МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.9

Распопов Владимир Владимирович

АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛУЦЕЛЫХ

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ ДИСКРЕТНЫХ

ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук

по специальности 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ доктор физико-математических наук, профессор Научный Дубровский Владимир Васильевич руководитель кандидат физико-математических наук, доцент Кадченко Сергей Иванович Магнитогорск Содержание Введение 1. Некоторые спектральные свойства самосопряженных дискретных операторов …… 1.1 Общие вопросы теории самосопряженных операторов …… 1.2 Следы дискретных самосопряженных операторов …… 1.3 Приближенные формулы регуляризованных следов самосопряженных операторов …… 1.4 Спектральная задача Штурма-Лиувилля …… 2. Алгоритм вычисления первого полуцелого регуляризованного следа одного класса возмущенных обыкновенных дифференциальных операторов …… Алгоритм вычисления первого полуцелого …… 2.1 регуляризованного следа обыкновенного дифференциального оператора порядка 4m.

Алгоритм вычисления первого полуцелого …… 2.2 регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора восьмого порядка.

Алгоритм вычисления первого полуцелого …… 2.3 регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка.

3. Вычисление первых собственных чисел одного класса …… возмущенных операторов.

Формула регуляризованного следа произвольного …… 3.1 полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.

3.2 Вычисление чисел kp / 2 (n0 ) в формуле регуляризованного …… следа произвольного полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.

3.3 Явный вид первых пяти поправок теории возмущений. …… 3.4 Оценка погрешности в формуле регуляризованного следа …… произвольного полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.

3.5 Вычисления первых собственных чисел модели ШтурмаЛиувилля со смешанными граничными условиями. …… Приложения …… Список литературы …… Введение Постановка задачи. Пусть сепарабельное гильбертово G пространство. Рассмотрим дискретный полуограниченный снизу оператор T, действующий в G. Обозначим через {µ n }n =1 собственные числа оператора T, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности. Через { n }n = обозначим ортонормированные собственные функции, соответствующие собственным числам {µ n }n =1. Рассмотрим ограниченный линейный оператор занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом кратности. Регуляризованным следом оператора T + P назовем равенство вида где C, а Ak (T ), B - явно выражаются через характеристики оператора выражения.

вычисления полуцелых (при = p / 2, p N ) регуляризованных следов невозмущенной задачи и данный возмущающий оператор P, а также вычислению с помощью найденных следов первых собственных чисел возмущенной задачи.

обыкновенные дифференциальные операторы, действующие в L2 [a, b], следующего вида:

В качестве конкретной интерпретации этих операторов рассмотрены дифференциальные операторы восьмого и четвертого порядков с краевыми условиями Штурма-Лиувилля.

сформулированным выше условиям. Решается задача нахождения полуцелых регуляризованных следов возмущенного оператора T + P. На основе полученных формул поставлена задача по разработке программного обеспечения для вычисления первых собственных чисел возмущенного T + P. В качестве конкретной интерпретации заявленной оператора абстрактной задачи рассмотрена краевая задача Штурма-Лиувилля со смешанными краевыми условиями:

Обоснование интереса к проблеме. Несмотря на «простой» спектр рассматриваемого возмущенного оператора T + P, до последнего времени не было удовлетворительных результатов по нахождению его регуляризованных сумм. Даже в случае целого порядка регуляризованного следа решение рассматриваемой задачи предполагало априорное знание асимтотического поведения соответствующей задаче характеристической функции. В случае же полуцелого порядка соответствующие формулы выражались через неизвестный след резольвенты возмущенного оператора. Интересно, что для широкого класса псевдодифференциальных уравнений получены формулы следов произвольного комплексного порядка и доказана сходимость или расходимость соответствующих рядов. Тем не менее, рассматриваемый нами случай возмущенного оператора охватывает широкий класс физических моделей, среди которых важное место занимает и краевая задача ШтурмаЛиувилля.

Историография вопроса. Большое значение в исследовании распределения собственных значений операторов с дискретным спектром сыграли работы Г. Вейля и Э.Ч. Тичмарша. Они породили огромное количество работ, связанных с исследованием распределения собственных значений многомерных дифференциальных уравнений с дискретным спектром. Для отыскания асимптотики спектра в основном использовались два метода: вариационный принцип и резольвентный метод. Вариационный принцип, восходящий к работам Г. Вейля [86] и Р. Куранта [32] и впоследствии развитый М.Ш. Бирманом [5], по сравнению с другими, не так чувствителен к гладкости коэффициентов или границы области. Но асимптотика собственных значений не достаточно точна. Резольвентный метод связан с изучением резольвенты оператора или другой функции от него с последующим использованием тауберовых теорем. С этим методом связаны наибольшие достижения последних лет в области спектральных асимптотик. К этому методу тесно примыкают предложенный В.Г.

Авакумовичем в [79] и Б.М. Левитаном в [34] метод гиперболического уравнения, а так же метод параболического уравнения, предложенный С.

Минакшисундарамом и А. Плейелем в [82]. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных дан в [50].

Обозначим через N ( ) число (с учетом кратности) собственных значений оператора T, не превосходящих. Исследованию асимтотического поведения функции N ( ) при посвящено большое количество работ.

В работах Г. Вейля [87] был получен главный член N ( ) ~ an / m без оценки остаточного члена. Здесь m - порядок оператора T, а n - размерность многообразия, на котором он действует. Им же была доказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики N ( ) (связанного с граничными условиями, если речь идет о многообразиях с краем).

В случае, когда N ( ) имеет «кластерную асимптотику», невозможно улучшение остаточного члена, более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. И, поскольку, дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра, по сути, невозможно, необходимо перейти к исследованию другим методом. Стандартным инструментом такого исследования асимптотического поведения спектра является получение формул регуляризованных следов оператора вида (0.1).

Создание этой теории связано с именами И.М. Гельфанда и Б.М.

Левитана [10], [11]. Параллельно с ними свои результаты получил Л.А.

Дикий в [15], [13]. В результате исследования И.М. Гельфандом и Л.А.

Диким в 1957 году [14] был предложен новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля – в рассмотренной системе регуляризованных следов удерживаются частные приближения к собственным числам задачи. Однако в 1995 году, С.А.

Шкарин в [78] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определенного вида. Таким образом было доказано, что метод Гельфанда-Дикого в указанной трактовке не может быть использован.

Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы М.Г. Гасымова и Б.М. Левитана [8], [9], [34], Р.Ф. Шевченко [77], А.Г. Костюченко [31] и многих других.

Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В.А. Садовничего, В.Б. Лидского, В.А.

Любишкина и В.Е. Подольского. Так, в работах В.А. Садовничего, В.Б.

Лидского в [37], [54], рассматривался класс K целых функций f (z ), допускающих представление где Pk (z ) разлагаются в асимптотические ряды при z :

Функции этого вида возникают при рассмотрении краевых задач для дифференциальных уравнений со спектральным параметром z. В выражения для регуляризованных сумм входят члены асимптотики wk( s+)1 из разложения В этих работах авторы активно использовали теорию аналитических функций, благодаря которой им удалось сформулировать решение для регуляризованных следов рассмотренных операторов осталась не до конца решенной.

Позже появились работы В.А. Садовничего [56], где он, пользуясь той же методикой, исследовал распределение части корней характеристической нахождение полуцелого регуляризованного следа задачи. В результате применения этого метода В.А. Садовничему удалось выписать полуцелый след широкого класса операторов. Но суммы Ak (T ), B содержали интегралы от следа резольвенты возмущенного оператора, что не позволяло в принципе говорить о возможности численной реализации этого метода. Заметим, что вычисление wk( s+)1 и интегралов от следа резольвенты является сложной и трудно алгоритмизируемой задачей.

Позднее в 80-х годах в работах В.А. Садовничего и В.А. Любишкина [66], [67] класс целых функций был расширен на класс C (класс целых функций экспоненциального вида) и для этого случая были получены похожие результаты, использующие также асимптотику Таким образом, несмотря на очень широкий класс рассмотренных операторов, при нахождении полуцелых регуляризованных следов и, отчасти, следов целых степеней неизвестные величины выражались через неизвестные.

регуляризованного следа возмущенного оператора, который бы в явном виде выражался через термины задачи и возмущающий потенциал. Решению этой задачи была посвящена работа В.В. Дубровского, Н.В.Семина [23], в которой был получен первый полуцелый регуляризованный след для широкого класса операторов. В частности, если оператор T, допускает разложение в виде конечномерный операторы, то для собственных чисел оператора (T + V ) T 1 / 2 была получена формула первого регуляризованного следа. В этой работе авторы применили отличный от методов В.А. Садовничего метод приближенного вычисления. Заметим, что в настоящее время именно тенденция нахождения характеристик возмущенного оператора через характеристики невозмущенного с наперед заданной точностью является наиболее развиваемой.

После опровержения С.А. Шкариным в [78] метода Гельфанда-Дикого в исходной интерпретации крупным продвижением в решении задачи нахождения первых собственных чисел оператора стали работы В.А.

Садовничего, В.Е. Подольского [68], [69], в которых был введен класс операторов S, с помощью которых была доказана возможность нахождения собственных чисел задачи с заранее заданной погрешностью вычисления.

Однако данный метод разработан для регуляризованных сумм целой степени N и достаточно полно описан лишь для оператора Штурма-Лиувилля второго порядка. Тем не менее, следует заметить, что предложенная методика представляет собой очень мощный аппарат для изучения возмущенных операторов и является универсальным.

Альтернативным методом можно считать метод, предложенный В.А.

Садовничим, В.В. Дубровским [58], [59], [60], [61], [62], [63], который использовал теорию возмущений операторов. В данном методе предлагается рассматривать систему нелинейных уравнений предполагается, что T - дискретный полуограниченный снизу оператор, заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве L2 [0,1].

Позже В.В. Дубровским и учениками в [17], [18], [19], [20], [21], [22].

[95], [96] данный метод был развит, и с помощью него найдены регуляризованные следы для различных классов дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. Замечательным обстоятельством является возможность применения этого метода для плохо изученных в настоящее время дифференциальных уравнений в частных производных.

Получению похожих систем посвящены работы В.А. Садовничего, В.А.

Любишкина [65], но для произвольной комплексной степени. Однако, результаты, полученные в них, носят лишь предварительный характер и не позволяют вычислять регуляризованные следы произвольной степени для рассмотренного класса операторов. Задача нахождения следов в них сведена к нахождению аналитического продолжения некоторой функции ряда особенностями. Поэтому в качестве основной теоремы рассмотрены регуляризованные следы целых степеней.

В работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского, С.И. Кадченко [20], [21], [26] (1998-2002 г.г.) были получены оценки остаточного члена и вычислены поправки теории возмущений для целого p. Причем в [26] рассмотренный собственных чисел краевой задачи Орра-Зоммерфельда. Там же были полно освещены вопросы оценки погрешности вычисления этих чисел, а также приведены конкретные результаты численного эксперимента. Отметим, что с задачами теории гидродинамики вязкоупругих жидкостей тесно связаны работы Г.А. Свиридюка [70] и его учеников.

нахождения регуляризованных следов операторов относится к числу активно изучаемых. Подтверждением этому может стать обилие вышедших за последние несколько лет работ, посвященных этой проблеме и решающих ее для различного типа операторов, действующих в различных банаховых пространствах [1], [2]. [3], [4], [7], [24], [30], [38], [45], [46], [48], [51], [52], [74], [76]. Существенное продвижение наблюдается в изучении псевдодифференциальных операторов, действующих в гильбертовых пространствах. Тем не менее, для операторов с дискретным спектром, моделирующим не менее широкий класс прикладных задач (например, в теории гидродинамической устойчивости течения жидкости, квантовой механике), изучение их спектральных характеристик еще рано назвать завершенным.

поставлена академиками Тихоновым А.Н. и Садовничим В.А.. Но решена она была описанным выше методом для широкого класса операторов, характеристические функции которых принадлежат классу К, который не позволяет применить его для вычислительного эксперимента. Поэтому поставленная задача до сих пор не имеет удовлетворительного решения, так как получаемые формулы либо трудно алгоритмизируемы, либо содержат неизвестные величины возмущенного оператора.

Новизна полученных результатов. Впервые разработаны алгоритмы вычисления первого полуцелого регуляризованного следа для обыкновенных дифференциальных операторов порядка 4m, которые были использованы для нахождения регуляризованного следа операторов восьмого и четвертого порядков с краевыми условиями Штурма-Лиувилля. Данные алгоритмы позволяют вычислить след задачи через параметры невозмущенной задачи и возмущающий потенциал. Оператор четвертого порядка был рассмотрен ранее в работе В.В. Дубровского, Н.В. Семина [23], но при других краевых условиях.

Впервые с использованием теории возмущений были получены полуцелые регуляризованные следы для широкого класса операторов, в том числе для обыкновенных дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частными производными. С помощью полученных формул была разработана программа для вычисления первых собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля. Сделано сравнение результатов вычисления собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля по двум методам – с помощью вычисления регуляризованных следов целых и полуцелых степеней.

Методы исследования. Для решения указанных выше задач используются методы функционального анализа, спектрального анализа линейных операторов, теории возмущений.

Теория возмущений линейных операторов была создана Л. Рэлеем и Е.

Шредингером. Л. Рэлей в 1927 г. [83] дал формулу для вычисления собственных частот и мод колебаний системы, мало отличающейся от более простой системы, которая допускает полное описание частот и мод колебаний. С математической точки зрения этот метод эквивалентен приближенному решению задачи на собственные значения для линейного оператора, мало отличающегося от более простого оператора, для которого эта задача полностью решена.

Е. Шредингер [85] развил аналогичный метод для задач на собственные значения, возникающих в квантовой механике. Строгое математическое обоснование методам Л. Рэлея и Е. Шредингера было дано в серии работ Реллиха 1937-1940гг. (см. [27]). Фундаментальные работы Реллиха положили начало спектральной теории возмущений и стимулировали дальнейшие исследования по аналогичным или родственным проблемам теории линейных операторов.

В течение долгого времени наиболее существенной частью теории вполне непрерывных операторов в гильбертовом пространстве оставались исследования Д.Гильберта и Ф.Рисса, обобщавшие теорию интегральных уравнений Фредгольма. Теория вполне непрерывных операторов тесно связана с теорией несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, являющейся молодой ветвью функционального анализа.

Операторы дифференцирования, действующие в гильбертовом пространстве, не являются, как известно, ограниченными операторами. При их изучении иногда переходят к их резольвентам, которые оказываются во многих случаях уже ограниченными и даже вполне непрерывными операторами. Вместе с тем, в теории несамосопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Биркгоф (1908г.), а затем Я.Д.Тамаркин (1917г.) [72] достигли крупных успехов. Эти авторы отправлялись от методов О. Коши и А. Пуанкаре, основанных на изучении аналитических свойств резольвенты задачи.

Основными методами диссертации стали методы научной школы академика Садовничего В.А., с помощью которых удалось рассмотреть абстрактные возмущенные операторы, а затем редуцировать к ним задачи частного вида.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы.

Первая глава посвящена общим вопросам спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве. Здесь сформулированы теоремы о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду – спектральные теоремы, утверждения о полноте и базисности собственных векторов операторов, о свойствах спектра и собственных значениях.

Наиболее изученным классом операторов являются вполне непрерывные операторы и их подклассы – ядерные операторы и операторы ГильбертаШмидта. Для них были сформулированы важные для дальнейших доказательств теоремы, характеризующие спектральные свойства этих операторов. Первая глава носит справочный характер и основными источниками для ее написания стали работы [26], [27], [33], [40], [41], [47], [57], [65].

В п. 1.1 рассмотрены абстрактные самосопряженные дискретные операторы. Для них введены основные определения, рассмотрена резольвента оператора и сформулированы в виде теорем основные общие спектральные свойства операторов. В п. 1.2 рассмотрена задача нахождения регуляризованных следов абстрактных дискретных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. В п. 1.3 описан метод нахождения первого полуцелого регуляризованного следа положительных операторов, обратный корень которого является ядерным оператором.

Наконец, в п. 1.4 была рассмотрена краевая задача Штурма-Лиувилля, приведены основные данные о ее собственных числах и собственных функциях, описан переход от задачи вычисления первых собственных чисел модели Штурма-Лиувилля к задаче вычисления первых собственных чисел самосопряженного, полуограниченного снизу, дискретного оператора.

Во второй главе разработаны алгоритмы вычисления первого полуцелого регуляризованного следа одного класса возмущенных обыкновенных дифференциальных операторов, действующих в G, заданных краевыми задачами (0.2)-(0.4). В п. 2.1 приведен основной результат главы.

Для оператора порядка 4m с нулевыми краевыми условиями разработан алгоритм получения его полуцелого регуляризованного следа, получены сформулированы теоремы для общей задачи (0.2)-(0.4), выявлены условия на коэффициенты краевых условий задачи, произведена оценка остаточного члена в формуле регуляризованного следа. В п. 2.2 и 2.3 этот алгоритм четвертого порядков с краевыми условиями Штурма-Лиувилля. Заметим, что возмущающего оператора, а в случае оператора четвертого порядка улучшить оценку остаточного следа.

полуограниченного оператора. В п. 3.1 получен общий вид формулы, выявлены ограничения на возмущающий оператор и введены необходимые обозначения. В п. 3.2 получен другой вид поправок теории возмущений, с помощью которого в п. 3.3 явно вычислены первые пять поправок теории возмущений в формуле регуляризованного следа. В п. 3.4 получена оценка остаточного члена в формуле следа при условии учета при расчетах только первых t поправок теории возмущений. Наконец, в п. 3.5 разработанный метод использован для вычисления первых собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля. Здесь сформулирован алгоритм, с помощью которого можно вычислять первые собственные числа дискретных полуограниченных снизу операторов.

Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Владимиру Васильевичу Дубровскому за чуткое руководство и поддержку. Автор так же выражает огромную благодарность заведующему кафедрой прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета Сергею Ивановичу Кадченко за всестороннюю помощь. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры математического анализа Магнитогорского госуниверситета за конструктивную критику, а также своим родителям Владимиру Михайловичу и Татьяне Кондратьевне за веру и поддержку.

Глава 1. Некоторые спектральные свойства самосопряженных дискретных операторов Настоящая глава посвящена общим вопросам спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве. Важнейшими задачами этой теории являются теоремы о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду – спектральные теоремы, утверждения о полноте и базисности собственных векторов операторов, о свойствах спектра и собственных значениях. Наиболее изученным классом операторов являются вполне непрерывные операторы и их подклассы – ядерные операторы и операторы Гильберта-Шмидта.

Решение ряда важных задач спектральной теории операторов связано с теорией аналитических функций. Дело в том, что основные объекты, характеризующие спектральную задачу для оператора такие, как резольвента, характеристический определитель, нулями которого являются собственные числа оператора, и др., являются аналитическими функциями спектрального параметра в определенных областях 1.1 Общие вопросы теории самосопряженных операторов Дадим сразу основное Определение 1.1.1. Регуляризованным следом спектральной задачи называется соотношение вида где C, а Ak (T ), B - явно выражаются через характеристики оператора выражения. Если степень следа N, то регуляризованный след называется целым.

элементами которого являются классы эквивалентных между собой произведением, определяемым формулой:

Определение 1.1.2. Оператор A* называется сопряженным к линейному ограниченному оператору A, если для всех f, g G выполнено равенство сопряженным, то он называется самосопряженным.

Задача отыскания элементов, сохраняющих под действием оператора свое направление, приводит к уравнению Af = f, где - число. Каждый f 0 называется собственным вектором оператора, а подпространство H. Его размерность называется кратностью собственного числа.

Рассмотрим оператор A E = B ( ). Допустим, что для некоторого область значений оператора B ( ) плотна в G и существует непрерывный резольвентным оператором (или просто резольвентой) оператора A.

Справедлива следующая Теорема 1.1.1. Если A - линейный ограниченный, определенный во всем пространстве, самосопряженный оператор в G, то все его собственные числа действительны, собственные векторы, соответствующие различным действительна, и наименьшая постоянная N A, для которой Af, f N A f, равна A.

Линейный оператор, обладающий тем свойством, что ( Af, f ) 0, называется положительным.

В дальнейшем важное значение будет иметь Теорема 1.1.2. Каждому самосопряженному положительному оператору квадратный корень, который обозначается A1 / 2 (( A1 / 2 ) 2 = A). Он представляет собой поточечный предел некоторой последовательности многочленов от A и в силу этого перестановочен со всеми операторами, перестановочными с Спектральная теорема для самосопряженного ограниченного оператора имеет следующую формулировку Теорема 1.1.3. Всякому самосопряженному оператору A в G можно поставить в соответствие единственное семейство проекционных операторов E ( ), зависящее от действительного параметра, которое обладает свойствами:

С помощью E ( ) оператор A представляется в виде Определение 1.1.3. Рядом Неймана для резольвенты R ( A) называется разложение R ( A) (в окрестности точки 0 ) Отсюда получается следующее полезное равенство Для нормы резольвенты самосопряженного оператора A справедливо соотношение где d (, S ( A)) - расстояние от точки, где определена резольвента, до спектра оператора A.

В дальнейшем изложении важное место занимают так называемые ядерные операторы. Их определение тесно связано со следующей теоремой.

Теорема 1.1.4. Пусть A - произвольный вполне непрерывный оператор в G, пусть - его нулевое подпространство. Можно указать две разложения, сходящиеся по норме G :

ядерным, если сходится ряд из его s-чисел, то есть Одно из самых важных свойств ядерных операторов формулируется в Теорема 1.1.5. (Лидского) Если оператор A - ядерный, то его матричный след совпадает с его спектральным следом:

{ } - произвольный ортонормированный базис в G, i собственные числа оператора A.

дифференциальным выражением l ( y ) = p0 ( x) y ( n ) +... + p n ( x) y и краевыми условиями U ( y ) = 0, = 1, n называется целая аналитическая функция, определяемая равенством:

Собственные значения оператора L суть нули рассмотренной функции f (z ), причем, если 0 - есть нуль кратности характеристического определителя, то кратность собственного числа 0 не превосходит.

Рассмотрим класс K целых функций f (z ), допускающих представление где Pk (z ) разлагаются в асимптотические ряды при z :

Функции f (z ) суть характеристические определители оператора L.

Такие определители возникают при решении дифференциальных уравнений, содержащих параметр z сложным образом.

Предположим, что плоскость z можно покрыть конечным числом открытых секторов, содержащих начало координат, в каждом из которых функции Pk (z ) являются аналитическими при z > R. Допустим также, что представление этих функций допускает почленное дифференцирование.

Отметим на комплексной плоскости точки 0, 1,..., N 1 и их выпуклую оболочку обозначим через. В общем случае есть r - угольник, r N.

Направления внешних нормалей к называются критическими. Не нарушая общности, можно предполагать, что в вершины r -угольника попадут первые r сопряженных показателей экспонент - 0, 1,..., r 1.

Если удалить из плоскости z r секторов Ts сколь угодно малого направлениям, то известно, что нули f (z ), достаточно большие по модулю могут располагаться только внутри секторов Ts. Область, которая дополняет секторы Ts до всей плоскости, обозначим ; она в свою очередь распадается на r открытых секторов s (. s = 0, r 1 ).

Предположим, что на стороне [ s, s +1 ] многоугольника отсутствуют другие точки множества 1,..., s 1, s + 2,..., N 1, а точки s, s +1 являются концами этой стороны. В этом случае для отыскания корней n1 / s функции f (z ) надо решать уравнение где в правой части стоит аналитическая функция в секторе Ts при z > R, для которой справедливо асимптотическое представление Корни n1 / s достаточно большие по модулю попадают в сектор Ts и разлагаются в асимптотический ряд ( n ):

существуют рекуррентные соотношения, rkk = 0, если k > 1.

В случае полуцелых степеней имеются только два сектора T1 и T2 на комплексной - плоскости с биссектрисами – положительной и отрицательной действительной полуосью соответственно.

Доказательство изложенных в этом параграфе фактов можно найти в работах В.А. Садовничего [54], [57], а также в монографии М.А. Наймарка [47].

Рассмотренные нами общие формулы для части корней возмущенной задачи позволяют получать результаты для широкого класса операторов, однако в случае операторов Штурма-Лиувилля рассмотренный подход предполагает априорное знание явного вида резольвенты возмущенного оператора, что не позволяет использовать его для вычислений собственных чисел оператора. Эту задачу помогает решить активно используемая в настоящее время теория возмущений линейных операторов.

1.2 Следы дискретных самосопряженных операторов.

Рассмотрим задачу нахождения регуляризованных следов абстрактных дискретных операторов, действующих в гильбертовом пространстве.

Дадим следующее определение:

Определение 1.2.1. Оператор T, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве G, называется дискретным, если существует некоторое комплексное число 0, такое, что R (T ) = (T 0 E ) 1 является вполне непрерывным оператором в G.

Согласно свойству спектра вполне непрерывного оператора спектр R состоит не более чем из счетного набора нормальных собственных чисел, имеющих единственную предельную точку нуль.

Определение 1.2.2. Пусть T - дискретный самосопряженный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве G. Если существует такое действительное число c, что для всех f DT, то T называется полуограниченным снизу оператором.

самосопряженный, полуограниченный дискретный оператор T. Обозначим N ( ) = где µ n - собственные числа оператора T. Предположим, что N ( ) = O( p ), где p < 1. Пусть - некоторое фиксированное число, удовлетворяющее условие > 1 /(1 p).

При этих предположениях справедлива следующая Лемма 1.2.1. Существует последовательность чисел {a n }n =0, a n +, зависит от n.

Пусть P - некоторый ограниченный оператор в G. Рассмотрим плоскости обладает следующими свойствами:

1) все точки контура являются регулярными значениями оператора T ;

2) весь спектр оператора T внутри D состоит из n нормальных собственных чисел µ1,..., µ n.

Справедлива Лемма 1.2.2. Если max PR (T ) < 1, то оператор T + P является дискретным оператором. Все точки контура n являются регулярными значениями оператора T + P, причем на этом контуре справедливо соотношение операторный ряд (1.2.1) сходится со скоростью геометрической прогрессии.

Умножим (1.2.1) на, проинтегрируем полученное равенство по контуру n. Получим Справедливы следующие утверждения Теорема 1.2.1. При любом комплексном операторы k (n) являются конечномерными, причем их размерность не превосходит const kn p, где const не зависит от k и n.

Теорема 1.2.2. Пусть D - конечномерный оператор. Тогда где символ SpD означает след оператора D, а dim D - его размерность.

Теорема 1.2.3. Пусть Dn - конечномерные операторы, стремящиеся по норме к нулю, причем lim Dn dim Dn = 0. Тогда SpDn 0 при n.

Возьмем след от обеих частей равенства (1.2.2), тогда справедлива Теорема 1.2.4.

Используя теоремы 1.2.1-1.2.4, получим равенство где - область, ограниченная контуром n.

Доказывается следующая Теорема 1.2.5. При достаточно большом n суммарные алгебраические кратности собственных значений, попавших внутрь контура n операторов T и T + P совпадают, при этом где const не зависит от n.

Результаты, рассмотренные в этом параграфе относятся к работам В.А.

Любишкина, В.А. Садовничего [64], [65], [67].

Приведенные здесь теоремы будут использованы нами в третьей главе возмущенного полуограниченного дискретного оператора.

1.3 Приближенные формулы регуляризованных следов Рассмотрим в гильбертовом пространстве G самосопряженный оператор T с областью определения DT, ограниченный снизу, с собственными собственными функциями 1, 2,... и любой ортонормированный базис f n DT, n = 1,. Тогда имеет место Лемма 1.3.1.

Заметим, что подобное неравенство для конечных матриц доказано Ки Фаном.

В качестве следствия из этой леммы получаем важную Лемма 1.3.2. Если w(t ) - непрерывная неубывающая функция, то Используя равенство следов ядерного оператора в различных базисах, доказывается следующая Терема 1.3.1. Пусть T - любой ограниченный снизу самосопряженный оператор в G с дискретным спектром и B - ядерный самосопряженный оператор. Тогда ряд из разностей собственных значений операторов C = T + B и T сходится к следу оператора B.

В доказательстве следующих теорем будет использована Теорема 1.3.2. Если w(t ) - непрерывная неубывающая функция и w(C ) w(T ) = Bw - ядерный оператор, то lim {w( n ) w( µ n )} существует и равен следу оператора Bw.

Здесь - собственные числа оператора C, который является определения DC = DT.

Приведенные здесь утверждения доказаны в работе М.Г. Гасымова [8].

самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном оператор). Здесь T оператора T и значения оператора T, занумерованные в порядке их возрастания с учетом кратности; P – ограниченный, линейный, самосопряженный оператор в пространстве G, а n, n = 1,, – собственные числа оператора T + P, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.

n µ n P. Действительно, справедлива Лемма 1.3.3. Если T и P - самосопряженные дискретные операторы, то В силу наших условий можно заключить, что Условия (2.9), (2.10) являются усиленно регулярными (см. [47, с.25]).

самосопряженным и положительным.

Если краевые условия (2.1.9)-(2.1.10) переписать в виде:

то при выполнении условий на коэффициенты доказывается Лемма 2.1.4 Оператор T, порожденный операцией y ( 2 m ) и краевыми условиями (2.1.9)-(2.1.10) положителен в L2 [a, b] если для коэффициентов краевых условий (2.1.9),(2.1.10), записанных в виде (2.1.11) выполняется соотношение (2.1.12).

Однако в данном случае нахождение представления оператора T в виде конечномерный операторы, приводит к громоздким формулам, которые являются аналогами формул (2.1.4)-(2.1.7), но характеризуются сложным видом ядер K 2 n1 ( s) и K 2 n1 ( s).

Аналогично Лемме 2.1.3 конструктивно доказывается следующая Лемма 2.1.5 Оператор T допускает представление T 1 / 2 = A + B, где A - ядерный вольтерров, а B - ограниченный конечномерный операторы.

Пользуясь теми же обозначениями, что и в Лемме 2.1.3 и Теореме 2.1.1, сформулировать (2.1.9),(2.1.10), записанных в виде (2.1.11) выполняется соотношение (2.1.12), то регуляризованный след краевой задачи (2.1.8)-(2.1.10) находится по формуле:

где k -собственные числа оператора BV Для числа (q) справедлива оценка воспользовались грубой оценкой T 1 / 2 T 1 / 2 1 ) Заметим, что условие ограниченности возмущающего оператора V можно заменить на более слабое условие подчинения оператора V оператору T. При этом все формулировки утверждений останутся в силе.

алгоритм вычисления регуляризованного следа для нахождения первого полуцелого регуляризованного следа обыкновенных дифференциальных операторов восьмого и четвертого порядков с краевыми условиями ШтурмаЛиувилля. При этом будут улучшены оценки остаточного члена в формуле.

2.2 Алгоритм вычисления первого полуцелого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора восьмого порядка Рассмотрим оператор T + V, действующий в пространстве L2 [0, ] и определяемый краевой задачей Здесь h R, H R, q - существенно ограниченная функция; T оператор, порожденный операцией y ( 8) и краевыми условиями (2.2.2)-(2.2.5);

V - оператор умножения на q.

Следуя алгоритму, изложенному в 2.1 вычисление формулы следа разбивается на четыре этапа:

1) Доказать, что оператор T - положителен в пространстве L2 [0, ].

2) Найти представление оператора T в виде T 1 / 2 = A + B, где A ядерный вольтерров, а B - ограниченный конечномерный операторы.

3) Найти Sp( AV ) и Sp(BV ) Лемма 2.2.1. Оператор T задачи (2.2.1)-(2.2.5) - положителен в пространстве L2 [0, ].

Действительно, интегрируя четыре раза по частям, найдем Используя краевые условия (2.2.2)-(2.2.5) это равенство примет вид:

Откуда, используя самосопряженность оператора, порожденного операцией y ( 4 ) и краевыми условиями (2.2.2)-(2.2.3), заключаем T 1 / 2 = A + B. Следуя рассуждениям предыдущего параграфа заключаем, что (T y )( x) = y ( 4 ) ( x) с краевыми условиями (2.2.2),(2.2.3).

Пользуясь краевыми условиями, найдем коэффициенты оператора B.

Получим y ( 2 ) (0) = y (0) = Обозначим полученные формулы через (2.2.6).

Таким образом, доказана Лемма 2.2.2 Оператор T задачи (2.2.1)-(2.2.5) допускает представление конечномерный операторы. Причем где коэффициенты оператора B находятся по формулам (2.2.6) Далее, рассматривая операторы AV, BV, находим, что вычислениям, в результате которых получим Для нахождения L2 нормы оператора T 1 / 2 воспользуемся равенством где n -собственные числа оператора T 1 / 2. Здесь нахождение собственных чисел оператора T 1 / 2 приводит нас к трансцендентному уравнению, явный вид которого будет выписан нами для оператора четвертого порядка в следующем параграфе. Сейчас же мы воспользуемся верхней оценкой нормы, а именно Учитывая, что в нашем случае приходим к следующему утверждению.

регуляризованный след краевой задачи (2.2.1)-(2.2.5) находится по формуле:

Для величины (q) имеет место оценка:

где W определяется по формуле (2.2.7) 2.3 Алгоритм вычисления первого полуцелого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка действующий в пространстве L2 [0, ] и определяемый краевой задачей:

Здесь h R, H R, q - существенно ограниченная функция; T - оператор, порожденный операцией y ( IV ) и краевыми условиями (2.3.2), (2.3.3); V оператор умножения на q.

Существенно, что для рассматриваемого оператора нами будут регуляризованного следа возмущенного оператора.

свойствами:

2) y - абсолютна непрерывна на отрезке [0, ].

Справедлива следующая Теорема 2.3.1. Пусть выполнено одно из условий Тогда для регуляризованного следа краевой задачи (2.3.1)-(2.3.3) справедлива формула:

Для величины (q) имеет место оценка:

1’) Если выполнено 1) условие, то 2’) Если выполнено 2) условие, то Под µ n 2 понимаем значения однозначной ветви корня Доказательство.

Если H, h R, то оператор Т положителен в L2 [0, ].

Действительно, интегрируя по частям три раза, найдем Используя свойство самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля с краевыми условиями (2.3.2) и равенства которые вытекают из краевых условий (2.3.2), получим В силу доказанного собственные числа оператора T - положительны.

Получим разложение T 1 / 2 = A + B, где A - ядерный вольтерров, а B ограниченный конечномерный.

Так как собственные числа T 1 / 2 и оператора, порожденного операцией y (x ) с краевыми условиями (2.3.2), равны, то (T 1 / 2 y )( x) = y( x).

Поэтому искомый оператор A имеет вид Из равенства используя (2.3.2), (2.3.3), имеем Отсюда следует, что оператор В имеет вид:

Bf ( x) = Найдем следы операторов AV и BV :

AV вольтерров, значит, не имеет отличных от нуля собственных чисел и поэтому Sp( AV ) = 0. Задача нахождения собственных чисел BV приводит нас к решению однородного уравнения Фредгольма с вырожденным ядром Тогда собственные числа оператора BV равны Окончательно Для вычисления ядерной нормы оператора T 1/ 2 используем известное равенство Для вычисления L2 нормы оператора T 1/ 2 воспользуемся равенством где i -собственные числа оператора T 1/ 2. Для нахождения собственных чисел оператора T 1/ 2 приравняем к нулю его характеристический определитель:

Получили трансцендентное уравнение:

воспользуемся следующей оценкой:

- сколь угодно малая величина. Заметим, что при таком построении, внутрь контура попадет ровно n0 собственных значений операторов T и T + P. Под µ s, s C мы будем понимать функцию µ s = e sLnµ и берется фиксированная ветвь логарифма с разрезом по положительной полуоси. Нас будут интересовать степени s = p / 2.

контуру Tn и возьмем след от обеих частей равенства. Получим Дальнейшей целью этого и последующих параграфов будет изучение уравнения (3.1.4) при сделанных выше предположениях.

Рассмотрим интеграл в левой части (3.1.4).

Здесь µ = z 2 и под n 2 понимается значения однозначной ветви корня для которой Аналогично рассматривается первое слагаемое в правой части (3.1.4).

Если обозначить то (3.1.4) примет вид В следующем параграфе рассмотрим числа kp / 2 (n0 ), которые принято называть поправками теории возмущения.

3.2 Вычисление чисел kp / 2 (n0 ) в формуле регуляризованного следа произвольного полуцелого порядка возмущенного Рассмотрим поправки теории возмущений Получим другое представление этих чисел.

Тогда Аналогично рассмотренной цепочке равенств, приходим к другому представлению остатка в формуле (3.5).

Заметим, что похожие формулы для произвольной комплексной степени были получены в работе [65], но при других исходных предположениях.

Продолжим рассмотрение поправок теории возмущений.

Используя подстановку µ = z 2, формула (3.2.1) примет вид Обозначим Vkl = ( P k, l ), где ( P k, l ) - скалярное произведение в пространстве G. Так как { i }i =1 - ортонормированные собственные функции, то справедливо разложение:

формулы для вычисления поправок теории возмущений:

В следующем параграфе вычислим в явном виде первые пять поправок теории возмущений.

3.3 Явный вид первых пяти поправок теории возмущений Получим явный вид первых пяти поправок теории возмущений в формуле (3.1.5), которые согласно формуле (3.2.3) имеют вид Для первой поправки имеем следующую цепочку равенств:

+ Vi,i res Запишем вторую поправку формулы (3.1.5) + Vk,iVi,k res Заметим, что Поэтому последняя сумма во второй поправке обнуляется. Рассмотрим оставшиеся две суммы, которые обозначим через I12 и I 22, и верхний индекс показывает номер поправки. Тогда I 12 = Последняя сумма, очевидно равна нулю. Обозначив оставшиеся слагаемые аналогично предыдущему через I 13, I 23, I 33, получим I 33 = Итак, третья поправка принимает вид Найдем четвертую поправку. Имеем:

Последняя сумма равна нулю. Обозначив оставшиеся слагаемые, аналогично предыдущему, через I 14, I 24, I 34, I 44 после несложных, но громоздких вычислений получим I = µ k VkkVi,kVk,i Таким образом, четвертая поправка имеет вид Наконец, рассмотрим пятую поправку в формуле (3.1.5).

+ 5 Vk,iVkkV j,k (Vi, jVkk + Vi,kVk, j ) res + 5 Vk,iVi, jV j,lVl,mVm,k + Vi, jV j,lVl,mVm, sVs,i res Обозначив ненулевые суммы через I 15, I 25, I 35, I 45, I 55 получим следующие равенства.

I 15 = Vkk µ kp / I 45 = Запишем явный вид пятой поправки Таким образом, нами получен явный вид первых пяти поправок теории возмущений для рассматриваемого регуляризованного следа, который будет использован при программировании вычисления первых собственных чисел возмущенного оператора. Теперь оценим остаток ряда, при условии учета при вычислениях только первых t поправок.

3.4 Оценка погрешности в формуле регуляризованного следа произвольного полуцелого порядка возмущенного Цель этого параграфа оценить число чтобы выяснить погрешность вычислений первых n0 - собственных чисел, если в вычислении учитывать первые t поправок kp / 2 (n0 ).

Справедлива следующая Лемма 3.4.1. Если собственные числа оператора T имеют кратность собственных чисел рассматриваемой невозмущенной задачи.

Доказательство. Действительно, справедливо равенство Здесь H j - проектор Рисса на собственный вектор оператора T, dim H j = Z. Многоточием обозначены еще k сумм, на втором, третьем и т.д.

Доказательство Леммы 3.4.1. полностью совпадает с доказательством из работы [20].

Используя равенство (1.1.3), норма резольвенты оценивается сверху следующим образом:

Справедлива следующая Лемма 3.4.2.

Справедливо равенство Доказательство.

Пользуясь теоремой (1.2.2) можем записать Для нормы же рассматриваемого оператора справедлива оценка Так убеждаемся в справедливости леммы.

В доказательстве Леммы 3.4.2. мы использовали метод доказательства, изложенный в [20].

Напомним, что мы предполагаем, что выполнено соотношение (3.1.2).

Перейдем, наконец, к оценке остаточного члена. Справедлива Теорема 3.4.1.

Доказательство.

Действительно, используя соотношение (3.1.2) и Лемму 3.4.2 получим Таким образом, мы получили оценку остаточного члена в формуле (3.1.5).

Итак, нами доказана следующая собственных чисел оператора T + P справедлива формула (3.1.5), где числа kp / 2 (n0 ) находятся по формуле (3.2.3), а для остаточного члена справедлива оценка (3.4.1).

3.5 Вычисление первых собственных чисел модели следующий алгоритм нахождения собственных чисел модели ШтурмаЛиувилля:

Вычислить собственные числа µ n невозмущенной краевой задачи по формулам (1.4.2) и найти суммы первых собственных чисел Вычислить соответствующие собственные функции n по формулам (1.4.3) и соответствующие нормировочные коэффициенты.

p = 1, n0 и оценить погрешности p [k ], допущенные при их вычислении.

Получить систему нелинейных уравнений уравнений (3.5.2) по формуле Вычислить коэффициенты многочлена Найти корни полученного многочлена методом парабол.

Вычислить полную погрешность вычисления собственных чисел модели по формулам:

возрастанию их действительных частей.

Разработанный алгоритм вычисления первых собственных чисел модели Штурма-Лиувилля был реализован в среде математического пакета Maple. За основу программного кода был взят код из работы С.И. Кадченко [26].

Изменению были подвержены модули вычисления поправок теории собственных чисел возмущенной задачи, а также код главной программы.

Программный код представлен в Приложении 1 к диссертации. Автор выражает искреннюю благодарность Сергею Ивановичу Кадченко за предоставленный программный код и всестороннюю помощь при внесении изменений.

После окончания компиляции полученной программы был проведен численный эксперимент для задач, порожденных оператором (0.5) и краевыми условиями (1.4.5) и (1.4.7), с помощью разработанного в диссертации алгоритма и алгоритма, использующего методы работ В.А.

Садовничего, В.В. Дубровского и С.И. Кадченко. Результаты численного эксперимента приведены в Приложении 2 к диссертации.

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

Результаты, полученные с помощью двух методик, совпадают с точностью допущенной при вычислении погрешности.

Разработанный в диссертации алгоритм может быть использован для вычисления первых собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов.

1. Абзалимов Р.Р. Асимптотическая формула для собственных чисел полуограниченного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.// Труды Средневолж. мат. о-ва. 1999. Т. 2. №1 С. 73-74.

2. Алероев Т.С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка// Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36. №10. С. 1422-1423.

3. Альшина Е.А., Калиткин Н.Н. Вычисление спектров линейных дифференциальных операторов// Доклады РАН. 2001. Т. 380. №4 С.

443-447.

4. Байрамов А.М. Об асимптотическом поведении собственных значений запаздывающим по времени аргументом и спектральным параметром в краевом условии// Сер. физ.-техн. и мат. наук АН Азербайджана. 1998.

Т. 18. №3-4. С.6-11.

5. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений.// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Мат. Анализ. 1977. Т.14.

С. 5-88.

6. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: МГУ, 1989.

Владимиров А.А. О спектре самосопряженных дифференциальных операторов из параметрического семейства// Мат. заметки. 2000. Т. 68.

8. Гасымов М.Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов// ДАН СССР. 1963. Т. 150. №6. С. 1202– 9. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. О сумме разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма-Лиувилля// ДАН СССР. 1963. Т.

151. №5. С. 1014-1017.

дифференциального оператора второго порядка // УМН. 1956. Т. 11.

11. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1953. Т. 88. С. 593-596.

несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М:

13. Дикий Л.А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке // Известия АН СССР. Сер. матем.

1955. Т. 19, №4, с. 187-200.

Дикий Л.А. Новый способ приближенного вычисления собственных 14.

чисел задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1957. Т. 116. №1. С. 12Дикий Л.А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана// УМН. 1953. Т. 54.

№(8:2). С. 119-123.

16. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения дифференциальных уравнений второго порядка // УМН. 1952. Т. 7, №6.

17. Дубровский В.В. Обоснование метода вычисления собственных чисел Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. № 10. C. 1762 - 1763.

18. Дубровский В.В. Приближенные формулы следов // Деп. ВИНИТИ АН СССР. 1978. №2002 — 78. С. 9.

19. Дубровский В.В. Теория возмущений и следы операторов. Дисс…докт.

физ-мат. нук, М. 1992.

20. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А.

Вычисление первых собственных чисел для краевой задачи ОрраЗомерфельда с помощью теории регуляризованных следов// Новые мат.

методы. Электромагн. волны и электронные системы. 1997. №6, Т. 2. С.

21. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Садовничий В.А.

Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора// Новые мат. методы. Электромагн. волны и электронные системы. 1998. №2. Т. 3. С.

22. Дубровский В.В., Кунакова Е.Ю. Формула регуляризованного следа Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. №7. С. 1274-1276.

регуляризованных следов. // ДАН. 1996. Т. 350. №5. С.583-584.

24. Дьяченко А.В. Асимптотика собственных значений индефенитной задачи Штурма-Лиувилля// Мат. заметки. 2000. Т. 68. №1. С. 139-143.

25. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов.

Самосопряженные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1991.

26. Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда.// Новые мат. методы.

Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. №6 Т.5. С. 4Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

28. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// ДАН. 1951. Т. 77.

№1 С. 11--14.

функционального анализа. М.: Наука, 1976.

30. Копылов В.И. Кратные собственные значения дифференциальных операторов// Деп ВИНИТИ. 22.02.2001 №458-В2001. 21с.

31.

дифференциальных операторов. Дисс… докт. физ-мат. наук. М. 1966.

32. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.:

33. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1983.

34. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка// Изв. АН СССР. Серия мат. 1952. Т. 16. №1. С. 325-352.

35. Лидский В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след //ДАН СССР. 1959. Т. 125. № 3. С. 485 – 487.

36. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов// Труды ММО. 1962. Т. 11. С. 3-35.

37. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций// Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1. №2. С. 52-59.

38. Лугуева А.С. Исследование спектральных характеристик дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q(x,p(x),e) в случае p(x)X+. // Деп. ВИНИТИ 30.05.2000, №1555-В2000.

39. Любишкин В.А., Подольский В.Е. О суммируемости регуляризованных следов дифференциальных операторов// Мат. заметки. 1993. Т. 53. №2.

Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том I. М.: Наука, 40.

41. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Том II. М.: Наука, 42. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды ММО. 1952.

43. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.:

44. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая дифференциального оператора смешанного типа// Межд. конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Алматы 26-28 сент.

2001. 2001. 46с.

четвертого порядка на пространственных сетях. Автореф. дисс…на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Душанбе. 2000. 28с.

47. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука.

48. Оруджев Э.Г Краевые задачи для дифференциальных уравнений четного порядка с кратными характеристиками.// Доклады РАН. 1999.

Т. 368. №1. С. 14-17.

Оруджев Э.Г. Резольвента и спектр одного класса дифференциальных 49.

операторов с периодическими коэффициентами// Функциональный анализ и его приложения. 2000. Т. 34. №3. С.87-90.

50. Розенблюм Г.В., Соломяк М.З., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов// Итоги науки и техники. ВИНИТИ.

Совр. пробл. мат. Фунд. направления. 1989. Т. 64. С. 1-248.

51. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формулы следа для операторов ШтурмаЛиувилля с сингулярным потенциалом// Мат. заметки. 2001. Т. 69. №3.

52. Садовничая И.В. Регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. №6. С. 771Садовничий В.А., Конягин С.В., Подольский В.Е. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным.

// ДАН. 2000. Т. 373. № 1. С. 26–28.

дифференциальных операторов// Дифференциальные уравнения. 1974.

Т. 10. №4. С. 1276-1285.

55. Садовничий В.А. О сумме разности двух дифференциальных операторов высших порядков// Дифференциальные уравнения. 1966. Т.

2. №12. С. 1611-1624.

Садовничий В.А. Регуляризованные суммы полуцелых степеней 56.

оператора Штурма-Лиувилля. // Мат. заметки. 1973. Т. 14. №2. С. 279– 57. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Наука. 1986.

58. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе дискретного оператора// Труды сем. И.Г. Петровского. 1994. №19. С.

59. Садовничий В.А., Дубровский В.В. К обоснованию метода вычислений регуляризованных следов. // УМН. 1990. Т. 45. №4. с. 120.

60. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора ЛапласаБельтрами с потенциалом на сфере// ДАН СССР. 1991. Т. 319. №1. С.

61. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере// Труды сем. И.Г. Петровского. 1996. №19. С. 37-72.

62. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных// Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. №11. С. 2033-2042.

Садовничий В.А., Дубровский В.В., Соченко Н.Ю. Регуляризованные 63.

следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой// Доклады РАН. 2000. Т. 370. №1. С.24-26.

64. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов// Функц. анализ и его прил.

1986. Т. 20. №3. С. 55-65.

65. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные следы дискретных операторов// ДАН СССР. 1982. С. 290-293.

66. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа// ДАН СССР, 1981. Т. 256. №5 С.794-798.

67. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов// ДАН СССР.

1987. Т. 293. №5. С. 1062-1064.

68. Садовничий В.А., Подольский В.Е. О вычислении первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля // ДАН. 1996. Т. 346. №2. С.

69. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Об одном классе операторов Штурма-Лиувилля и приближенном вычислении первых собственных значений// Математический сборник. 1998. Т. 189. №1. С. 133-148.

70. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой жидкости// Известия ВУЗов. Математика. 1994. №1. С. 62- Семин Н.В. О некоторых обратных задачах спектрального анализа для 71.

обыкновенных дифференциальных уравнений// Вестник молодых ученых. Сер. прикл. мат. и мех. 2000, №4 С. 53-55. Англ.

72. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Монография: Петроград, 1917г.

73. Тичмарш Е.К. Дзета-функция Римана. М.: Иностранная литература.

74. Томин Н.Г. О регуляризованных следах операторов с ядерной резольвентой.// Тезисы доклада на Межд. конференции по дифф.

уравнениям и динам. системам, Суздаль. – Владимир. 2000. С. 189-190.

75. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Иностранная литература. 1962.

76. Ускова Н.Б. О приближениях к собственным значениям и собственным Якутского гос. ун-та. 2000. Т. 7. №1. С. 72- 77. Шевченко Р.Ф. О следе дифференциального оператора// ДАН СССР, 1965. Т. 164. №1. С.62-65.

78. Шкарин С.А. О способе Гельфанда-Дикого вычисления первых собственных значений оператора Штурма-Лиувилля // Вестник МГУ.

Сер.1. Матем., мех. 1996. №1. С. 39--44.

79. Avacumovic V.G. Uber die Eigenfunctionen auf geschlossen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. – Math. Z., 1956, 65, p. 324-344.

80. Calkin J.W. Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space, Ann. Math., 42, N4 (1941), 839--873.

81. Carleman T. Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differential-gleichungen. – Ber. Sachs. Acad.Wiss. Leipzig, 1936, 88, p.

82. Minakshisundaram S., Plejel A. Some properties of the eigenfunctions of the Laplace operator on Riemannian manifolds// Canad. J. Math. 1949. V. 1.

83. Rayleigh Lord The theory of Sound. London: 1927, v. 1.

84. Schatten R. A theori of cross-spaces. Princeton. 1950.

85. Schrdinger E. Collected papers on wave mechanics. New-York-ToronroLondon: Mc. Graw-Hill, 1955.

86. Weil H. Das asymptotische Verteilungsgesatz der Eigenverte linearer partieller Differential-gleichungen (mit einer Anwendung Theorie Hohlraumstrahlung)// Math. Ann. 1912. 71. Р. 441-479.

87. Weil H. Uber die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze// J. Reine. Angew. 1913. V. 143. №3. P. 177-202.

Основные публикации автора по теме диссертации 88. Распопов В.В., Дубровский В.В. Формула регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка.// Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38 №7. С.979-981.

89.

регуляризованного следа дифференциального оператора// Сборник научных трудов преподавателей и аспирантов Магнитогорского госпединститута: Вып. 2. г.Магнитогорск. 1998. С. 34- 90. Распопов В.В., Дубровский В.В Оценка погрешности в приближенной формуле регуляризованного следа одного дифференциального Всероссийской научно – практической конференции 16-18 марта 1999г.

г. Магнитогорск. 1999. С. 12- 91.Распопов В.В. К вопросу вычисления регуляризованных следов Чимкент. 2000. С. 40-41.

92.Распопов В.В. Вычисление первого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка// Деп. ВИНИТИ.2001 №937-В обыкновенных дифференциальных операторов// Сборник докладов научно-практической конференции вузов Уральской зоны «Проблемы математического образования в педагогических ВУЗах на современном этапе». г.Челябинск. 2001. С. 89.

Распопов В.В. Нахождение первого регуляризованного следа одного 94.

дифференциального оператора// Студент и научно-технический прогресс. Материалы XXXIX Международной научной студенческой конференции г.Новосибирск. 2001. С. 122- 95.Распопов В.В. Вычисление первого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора восьмого порядка// Проблемы физико- математического образования в педагогических ВУЗах на современном этапе. Материалы Всероссийской научно – практической конференции 26-29 апреля 2002г. г.Магнитогорск. 2002.

конференции 4-8 февраля 2002 года. г.Челябинск. 2002, С. 28–29.

97. Распопов В.В. Вычисление первого регуляризованного следа одного обыкновенного дифференциального оператора порядка 4m// Деп.

ВИНИТИ. 2002. № 1210-В2002.

98.Распопов В.В. Формула регуляризованного следа дробного порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора// Деп.

ВИНИТИ. 2002. №1211-В2002.