«Л.А. Лаушкина, Г.Э. Солохина, М.В. Черкасова Практический курс физики МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Под редакцией проф. Г.Г. Спирина Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного ...»

Федеральное агентство по образованию

АССОЦИАЦИЯ КАФЕДР ФИЗИКИ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗов

РОССИИ

Л.А. Лаушкина, Г.Э. Солохина, М.В. Черкасова

Практический курс физики

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И

ТЕРМОДИНАМИКА

Под редакцией проф. Г.Г. Спирина

Допущено Министерством образования

Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям в области техники и технологии Москва 2 ББК 16.4.1 Л69 Рецензенты:

Кафедра физики МГТУ ГА, зав. кафедрой: доктор технических наук, профессор Камзолов С.К.

Доктор технических наук, профессор МАИ Галицейский Б.М.

Л69 Лаушкина Л.А., Солохина Г.Э., Черкасова М.В.

Практический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика/ Под ред. проф. Г.Г.Спирина. - М.: ВВИА им. проф.

Н.Е. Жуковского, 2008. - 156 с.: ил.

Данное пособие разработано в соответствии с программой курса физики для ВТУЗов по разделу “Молекулярная физика и термодинамика” и состоит из шести глав. Каждая глава включает в себя краткое теоретическое введение, разбор типовых задач по рассматриваемому вопросу и подборку задач для самостоятельного решения.

Задачи могут быть использованы для проведения практических занятий со студентами, при составлении контрольных работ и домашних заданий. В конце пособия приводятся ответы к задачам для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов дневного и вечернего отделений.

@ Л.А.Лаушкина, Г.Э.Солохина, М.В.Черкасова ISBN 978-5-903111-12-

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

1. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

Основные понятия и законы -------------------------------------------------- Примеры решения задач ------------------------------------------------------ Задачи для самостоятельного решения -------------------------------- 2. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Основные понятия и законы ------------------------------------------------ Задачи для самостоятельного решения -------------------------------- 3. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Основные понятия и законы ------------------------------------------------ Примеры решения задач ---------------------------------------------------- Задачи для самостоятельного решения --------------------------------

4. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

Основные понятия и законы ------------------------------------------------ Примеры решения задач ---------------------------------------------------- Задачи для самостоятельного решения -------------------------------- 5. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Основные понятия и законы ------------------------------------------------ Примеры решения задач ---------------------------------------------------- Задачи для самостоятельного решения ------------------------------ 6. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

Основные понятия и законы ---------------------------------------------- Примеры решения задач -------------------------------------------------- Задачи для самостоятельного решения ------------------------------

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Идеальный газ ------------------------------------------------------------- 2. Первое начало термодинамики -------------------------------------- 3. Второе начало термодинамики--------------------------------------- 4. Элементы статистической физики. Распределения Максвелла и Больцмана ------------------------------------------------ 5. Явления переноса -------------------------------------------------------- 6. Реальные газы. Фазовые переходы -------------------------------- ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1 ----------------------------------------------------------------------- Таблица 2 ----------------------------------------------------------------------- Варианты расчетной работы № 2 --------------------------------------- ЛИТЕРАТУРА

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие посвящено разделу “Молекулярная физика и термодинамика” по программе курса общей физики для ВТУЗов. Целью пособия служит приобретение студентами практического навыка в решении физических задач по данному разделу.

Пособие состоит из шести глав. Каждая глава начинается с краткого теоретического введения, в котором приведены основные физические понятия и законы. Далее излагается подробное решение типовых задач с соответствующими методическими указаниями.

В конце каждой главы подобраны задачи для самостоятельного решения, ответы к которым приводятся в заключительной части пособия. По этим задачам на кафедре составлены индивидуальные домашние задания для студентов всех факультетов.

Авторы выражают благодарность преподавателям кафедры физики МАИ, участвовавшим в издании предыдущего пособия “Практический курс физики. Молекулярная физика и термодинамика” под редакцией Мартыненко Т.П. Их ценный опыт и методические наработки были учтены при подготовке данного издания.

Авторы будут признательны за критические замечания и рекомендации, которые послужат улучшению качества этой работы.

Пожелания направлять по адресу: 125871, Москва, Волоколамское шоссе, д.4, МАИ, кафедра физики, по электронному адресу:

[email protected], или по телефонам: (8-499) 158-42-71, 158-46-43.

Согласно молекулярно – кинетическим представлениям все вещества состоят из большого числа молекул. Для изучения таких систем используют два метода: статистический и термодинамический.

Статистический метод основан на законах теории вероятности и математической статистики.

Термодинамический метод основан на законе сохранения и превращения энергии. Этот метод описывает равновесные состояния термодинамической системы. Термодинамической системой называется система, состоящая из большого числа микрочастиц. Для описания поведения термодинамической системы используют термодинамические параметры: давление – Р, температуру – Т и объем V. Для равновесных состояний эти параметры постоянны и одинаковы по всему объему.

Количество вещества термодинамической системы где N – число частиц системы; NА = 6,02 1023 моль–1 – число Авогадро.

Молярная масса вещества – это масса одного моля, т.е. числа Авогадро молекул где m0 – масса молекулы, NA 6,02 1023 моль–1 – число Авогадро.

Молярную массу любого вещества можно подсчитать, используя таблицу Менделеева относительных атомных масс k элементов, входящих в состав молекулы; 166 10 27 - множитель, выражающий массу молекулы в кг (1 а.е.м. = 1,66 10–27 кг).

Число молекул в массе вещества m Концентрация частиц (молекул и атомов) однородной системы Простейшей термодинамической системой является идеальный газ, т.е. газ, молекулы которого рассматриваются как материальные точки, между которыми отсутствуют силы взаимодействия. Чем более разрежен газ, тем его свойства ближе к идеальному.

Основное уравнение молекулярно – кинетической теории связывает давление газа со средней кинетической энергией движения его молекулы где n - концентрация молекул; - кинетическая энергия поступательного движения молекулы, усредненная по всем N молекулам газа.

Средняя энергия движения молекулы связана с температурой где k 138 10 23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Сравнивая формулу (1.7) со средней энергией движения молекулы молекулы (среднюю квадратичную скорость молекулы) где R = 8,31 Дж/(К моль) – универсальная газовая постоянная.

Подставляя (1.7) в (1.6), получим связь давления идеального газа с температурой Уравнение (1.9) называется уравнением состояния идеального газа, причем в записанной форме оно не содержит специфических свойств газа. Если газ состоит из N одинаковых молекул, то концентрацию газа можно представить в виде где m / - число молей газа. Подставляя (1.10) в (1.9) и, учитывая, что kN A R, получим уравнение состояния идеального газа, связывающее три основных термодинамический параметра, которое называют уравнением Менделеева — Клапейрона В это уравнение входит свойство конкретного газа – его молярная масса. Уравнение Менделеева - Клапейрона можно записать через плотность газа ( m / V) :

Из уравнения (1.12) видно, что плотность газа не является постоянной, а зависит от давления Р и температуры Т.

Переход термодинамической системы (газа) из одного состояния в другое называют термодинамическим процессом. Термодинамический метод, как уже указывалось, позволяет описывать только равновесные процессы, происходящие столь медленно, что система проходит через последовательность равновесных состояний.

Изопроцессом идеального газа называется любое изменение его состояния при постоянстве массы m (числа молей ) и одного из трех параметров: P, V, или Т.

1) T = const- изотермический процесс – закон Бойля - Мариотта.

Уравнение изотермического процесса Графики изотермического процесса в различных координатах имеют вид:

2) V = const – изохорический (изохорный) процесс – закон Шарля.

Уравнение изохорического процесса Графики изохорического процесса в различных координатах имеют вид:

3) Р = const –изобарический (изобарный) процесс – закон ГейЛюссака. Уравнение изобарического процесса Графики изобарического процесса в различных координатах имеют вид:

Для смеси газов, находящихся в равновесии, уравнение Менделеева – Клапейрона можно записать в виде В этой формуле Рсм – давление смеси, которое по закону Дальтона равно сумме парциальных давлений ее компонент см – число молей в смеси, равное mсм – масса смеси; см - молярная масса смеси. Молярная масса смеси находится по формуле:

где mi - масса i – ого компонента смеси; i - количество вещества i – ого компонента смеси; k – число компонентов смеси.

Уравнение состояния для смеси можно записать через концентрации атомов где n i – концентрации отдельных компонентов смеси.

Массовая доля компонента в смеси Задача 1.1 Какую часть объема одного моля газа при нормальных условиях занимает собственный объем его молекул и каково среднее расстояние L между ними? Диаметр молекул газа d = 3 10-10 м.

Собственный объем молекул одного моля ( = 1 моль) газа равен Объем одного моля газа при нормальных условиях, т.е. при давлении P0 = 105 Па и температуре Т0 = 273 К определим из уравнения Менделеева – Клапейрона (1.11):

Следовательно, Вследствие малости относительного объема, при описании модели идеального газа собственным объемом молекул газа можно пренебречь.

Оценим величину среднего расстояния между молекулами.

Объем, приходящийся на одну молекулу, равен А среднее расстояние между молекулами равно:

т.е. расстояние между молекулами на порядок больше их размеров.

Задача 1.2 Идеальный одноатомный газ занимает объем V = 5 л.

Температура газа Т = 300 К, плотность газа квадратичная скорость движения его молекул равна vср.кв = 500 м/с.

Определить концентрацию молекул газа и суммарную кинетическую энергию движения молекул.

Концентрацию молекул идеального газа можно найти следующим образом:

Так как средняя квадратичная скорость молекул (1.8) то молярная масса Следовательно, Средняя кинетическая энергия движения одной молекулы (1.7) Энергия движения всех молекул Подставляя в формулу для энергии массу газа получаем Задача 1.3 Цилиндрический закрытый с обоих торцов горизонтально расположенный сосуд длиной L = 85 см разделен на две части легкоподвижным поршнем. При каком положении поршня давление в обеих частях сосуда будет одинаково, если одна часть заполнена кислородом, а другая – такой же массой водорода?

Молярная масса кислорода 1 = 0,032 кг/моль, водорода 2 = 0, кг/моль. Температуры газов одинаковы.

Из условия равновесия поршня давления газов будут одинаковы.

Обозначим длину части сосуда, в которой находится кислород, через x, тогда водородом заполнена часть сосуда, длиной L-x. Объемы этих частей сосуда соответственно равны V1 = xS и V2 = (L-x)S, где S – площадь поперечного сечения сосуда. Так как поршень находится в равновесии, то давления в обеих частях сосуда одинаковы.

Уравнение состояния для кислорода и водорода:

где m– одинаковые по условию задачи массы кислорода и водорода.

Поделив одно уравнение на другое, получим:

Отсюда Т.е. поршень находится на расстоянии x = 0,05 м от конца той части цилиндра, в которой находится кислород.

Задача 1.4 В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением Р1 = 1 МПа при температуре Т1 = 300 К. После того, как из баллона был израсходован гелий массой m = 10 г, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление Р2 гелия, оставшегося в баллоне. Молярная масса гелия = 0,004 кг/моль.

начального и конечного состояний газа:

Выразим массы гелия в начальном и конечном состояниях газа Вычитая массы, получим массу израсходованного гелия Отсюда найдем искомое давление Задача 1.5 Камеру автомобильной шины накачивают с помощью насоса, работающего от двигателя. Сколько времени потребуется, чтобы накачать камеру от давления Р0 = 105 Па до давления Р = 0,5 МПа, если объем камеры V = 6 л, при каждом ходе насос захватывает из атмосферы столб воздуха высотой h = 10 см и диаметром d = 10 см. Время одного качания = 1,5 с. Температуру считать постоянной.

Объем воздуха, засасываемого при каждом ходе насоса, V0 h d2 4, его давление Р0.

Парциальное давление каждой засасываемой массы воздуха можно найти по уравнению изотермического процесса:

Сумма парциальных давлений всех порций воздуха, добавляемых в камеру за n ходов насоса равна Сложив эту величину с начальным давлением Р0 в камере, найдем конечное давление:

Отсюда число ходов насоса, необходимых для получения давления Р в камере:

Время откачивания камеры Задача 1.6 Сосуд объемом V необходимо откачать от давления Р до давления Р с помощью поршневого насоса, имеющего объем рабочей камеры V0. За сколько циклов работы насоса это можно сделать? Температуру считать постоянной.

Перед засасыванием объем воздуха равен объему сосуда, а давление его Р0. В конце первого цикла засасывания объем воздуха складывается из объема сосуда и объема засасывающей камеры насоса:

а его давление становится равным Р1. Согласно уравнению изотермического процесса P0 V P1( V V0 ), откуда При втором цикле откачивания роль начального давления будет играть Р1, поэтому При третьем цикле начальное давление будет Р2. Следовательно, и т.д. После n циклов давление будет равно:

Логарифмируя, найдем Окончательно для числа циклов n получим:

Задача 1.7 Плотность смеси гелия и аргона при давлении Р = 1,5 105 Па и температуре t = 270С равна = 2 кг/м3. Определить концентрацию атомов гелия в смеси газов. Молярная масса гелия 1 = 0,004 кг/моль, аргона - 2 = 0,04 кг/моль.

Масса смеси равна Разделив левую и правую часть этого соотношения на объем смеси, получим:

Выражая плотности 1 и 2 через концентрации атомов (1.5), получаем:

Подставляя плотности 1 и 2 в плотность смеси, можно получить выражение для концентрации атомов гелия:

концентрации (1.20):

выразим концентрацию атомов гелия:

Сравнивая выражения для n2, получим:

отсюда Задача 1.8 Тонкостенный резиновый шар радиусом r1 = 0,02 м наполнен воздухом при температуре t1 = 200С и давлении Р1 = 105 Па.

Определить радиус шара r2, если его опустить в воду с температурой t2 = 40С на глубину h = 20 м. Атмосферное давление Р0 = 105 Па.

Плотность воды Параметры воздуха в шаре после заполнения: давление Р 1, объем V1 = 4 r1 3, температура Т1. Параметры воздуха в шаре на глубине h соответственно равны: давление P2 P0 gh, объем V2 4 r2 3, температура Т2.

Запишем уравнения Менделеева – Клапейрона для этих двух состояний:

Поделив уравнения друг на друга, можно найти r2:

Задача 1.9 Определить наименьшее возможное давление = 1 моля идеального газа в процессе, происходящем по закону V2, где Т0 и - положительные постоянные, V – объем газа.

переменных Р – V, для чего решим систему уравнений:

и избавимся от температуры. Тогда зависимость давления от объема:

Для нахождения наименьшего давления надо исследовать эту функцию на экстремум. Взяв производную от давления по объему 0 ) и приравнивая ее к нулю, получим Т.е. газ достигает наименьшего давления при значении объема, равном:

Подставляя это значение объема в уравнение процесса, полученное в Р – V переменных, получим минимальное давление Рmin:

Задачи для самостоятельного решения 1.10 В баллоне объемом V = 3 л находится m = 4 г кислорода.

Определить количество вещества, количество молекул N и их концентрацию n в баллоне. Молярная масса кислорода 32 10 3 кг/моль.

1.11 Определить число атомов N ртути и количество вещества, содержащихся в объеме V = 1 см3 при температуре t = 270 С, если давление паров ртути Р = 0,75 Па.

1.12 Одна треть молекул азота массой m = 10 г распалась на атомы. Определить полное число частиц N, находящихся в газе.

Молярная масса азота 1.13 В сосуде объемом V = 5 л находится однородный газ количеством вещества = 0,2 моля. Определить, какой это газ, если его плотность = 1,12 кг/м3.

1.14 В сосуде объемом V = 5 л находится кислород, концентрация молекул которого равна n = 9,41 1023 м–3. Определить массу газа m.

Молярная масса кислорода 1.15 Рассматривая молекулы жидкости как шарики, соприкасающиеся друг с другом, оценить порядок размера молекулы жидкого сероуглерода СS2. Плотность сероуглерода равна = 1,26 103 кг/м3, молярная масса 1.16 В сосуде объемом V = 48 дм3 находится N1 = 1,9 1024 молекул водорода, 2 = 3,5 моля азота и m3 = 200 г аргона ( 3 40 10 3 кг/моль).

Определить среднее расстояние между молекулами смеси газов.

1.17 Радоновые ванны содержат N = 1,8 106 атомов радона на V = 1 дм3 воды. На сколько молекул воды приходится атом радона?

Плотность воды = 103 кг/м3, молярная масса 1.18 Концентрация молекул в некоторой жидкости n = 2 1027 м–3.

Оцените, за какое время испарится эта жидкость, налитая в цилиндрический сосуд диаметром d = 10 см и высотой Н = 3 см.

Скорость испарения жидкости из сосуда считать постоянной и равной N / t 5 10 20 1/с.

1.19 В сосуде объемом V = 1,12 л находится азот при нормальных условиях. При нагревании до некоторой температуры 30% молекул распалось на атомы. Определить количество вещества азота после нагревания.

1.20 В сосуде объемом V = 8 л находится m = 8 г гелия 4 10 3 кг/моль) при давлении Р = 105 Па. Определить количество молекул гелия в сосуде и их полную кинетическую энергию.

1.21 На сколько изменилась температура аргона, если средняя кинетическая энергия его атома уменьшилась в k = 1,2 раза?

Начальная температура аргона Т0 = 400 К.

1.22 Чему равна средняя кинетическая энергия движения молекулы аргона, если = 2 моля этого газа в баллоне объемом V = 10 л создают давление Р = 106 Па?

1.23 В сосуде объемом V = 20 см3 при температуре t = 270С и давлении Р = 104 Па находится идеальный одноатомный газ.

Определить число атомов в сосуде и их суммарную кинетическую энергию.

1.24 При некоторой температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость vср.кв.1 = 460 м/с. Какова при этой температуре средняя квадратичная скорость vср.кв.2 молекул азота?

Молярная масса кислорода 1 = 0,032 кг/моль, азота 2 = 0,028 кг/моль.

1.25 В закрытом сосуде находится идеальный газ. На сколько процентов изменится его давление, если средняя квадратичная скорость его молекул увеличится на 20%?

1.26 Давление идеального газа после его нагревания в закрытом сосуде увеличилось в k = 16 раз. Во сколько раз изменилась средняя квадратичная скорость его молекул?

1.27 Каково давление идеального газа, если его плотность равна = 3 кг/м3, а средняя скорость его молекул vср.кв. = 100 м/с?

1.28 Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при температуре Т = 296 К равна vср.кв. = 480 м/с. Сколько молекул содержится в m = 10 г этого газа?

1.29 Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре t1 = 70С было Р1 = 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t2 нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке Р2 = 130 кПа.

1.30 Найти массу воздуха ( аудиторию высотой h = 5 м и площадью пола S = 200 м3. Давление воздуха Р = 105 Па, температура в помещении t = 170С.

1.31 В цилиндре длиной L = 1,6 м, заполненном воздухом при нормальном атмосферном давлении Р0 = 105 Па, начали медленно вдвигать поршень площадью S = 200 см2. Определить силу F, которая будет действовать на поршень, если его остановить на расстоянии h = 10 см от дна цилиндра.

1.32 Во сколько раз плотность воздуха, заполняющего помещение зимой (t1 = 7 С), больше его плотности 2 летом (t2 = 270С)? Давление газа считать постоянным.

1.33 Некоторый газ при температуре t = 100С и давлении Р = 200 кПа имеет плотность = 0,34 кг/м3. Определить, что это за газ.

1.34 Масса m = 12 г газа занимает объем V = 4 л при температуре t1 = 70С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной 2 = 0,6 кг/м3. До какой температуры T2 нагрели газ?

1.35 Масса m = 10 г кислорода ( давлении Р = 304 кПа и температуре t1 = 100С. После нагревания при постоянном давлении кислород занял объем V2 = 10 л. Определить объем газа до расширения V1, температуру Т2 газа после расширения, плотности газа 1 и 2 до и после расширения.

1.36 При повышении температуры на Т = 3 К объем газа увеличился на = 1 %. Какова была начальная температура газа, если процесс протекал изобарически?

1.37 При сгорании топлива в цилиндре дизельного двигателя во время предварительного расширения объем газа увеличился в n = 2, раза при постоянном давлении. Определить изменение температуры газа, если начальная температура была равна Т = 1650 К.

1.38 Воздушный шарик внесли с улицы, где температура воздуха была t1 = –130С, в комнату с температурой t2 = 170С? На сколько процентов изменится объем шарика? Натяжением резины пренебречь.

1.39 Баллон, содержащий m1 = 1,45 кг азота, при испытании лопнул при температуре t1 = 4270С. Какую массу кислорода m2 можно хранить в таком же баллоне при температуре t2 = 170С, имея четырехкратный запас прочности (т.е. давление в баллоне не должно превышать одной четвертой значения давления, при котором баллон разрушается)? Молярная масса азота 1 = 0,028 кг/моль, 2 = 0,032 кг/моль.

1.40 Баллон содержит сжатый идеальный газ при температуре t1 = 270С и давлении Р1 = 0,2 МПа. Каким будет давление Р2 в баллоне, когда из него будет выпущено = 0,7 массы газа, а температура понизится до t2 = 0 С?

1.41 В баллоне емкостью V = 0,5 м3 находится идеальный газ при температуре t = 270С. Вследствие утечки давление снизилось на Р = 103 Па. Какое количество молекул вышло из баллона, если температура газа не изменилась?

1.42 Из баллона выпустили m = 2 г идеального газа, в результате чего давление уменьшилось на = 10%. Определить объем баллона, если вначале плотность газа была равна = 2 10–4 г/см3. Температура газа постоянна.

1.43 Стеклянная колба с воздухом при атмосферном давлении Р0 = 105 Па взвешена при температуре t1 = 800С. Воздух в колбе нагревают до t2 = 185С.

При последующем взвешивании колба оказалась на m = 0,25 г легче.

Чему равен объем колбы V? Молярная масса воздуха = 0,029 кг/моль.

1.44 При аэродинамическом торможении в атмосфере планеты температура внутри автоматического спускаемого аппарата увеличилась с t1 = 20 С до t2 = 80 С. Какую часть воздуха необходимо выпустить, чтобы давление внутри аппарата не изменилось?

1.45 Аэростат наполнен водородом при нормальном атмосферном давлении Р0 = 105 Па и температуре t0 = 150С. В солнечный день температура водорода поднялась до t = 370С. Чтобы давление в оболочке не изменилось, m = 6 кг водорода было выпущено через клапаны.

Определить объем аэростата. Молярная масса водорода = 0,002 кг/моль.

1.46 При уменьшении объема, занимаемого идеальным газом, на = 10%, температура газа увеличилась на t = 160С, а давление возросло на = 20%. Какова начальная температура газа?

1.47 Определить, на сколько процентов изменилось количество газа в сосуде, если объем сосуда увеличился на = 20%, давление возросло на = 10%, а температура увеличилась на = 40%.

1.48 В сосуде объемом V1 = 4 10–3 м3 при давлении Р1 = 1 атм находится m = 2 г водорода ( = 0,002 кг/моль). Газ сжали. При этом давление газа стало равным Р2 = 4 атм, а объем уменьшился на V = 2 10–3 м3. На сколько изменилась температура газа?

1.49 Перед стартом при нормальных условиях объем аэростата с эластичной оболочкой был равен V1 = 4000 м3. Аэростат поднялся на высоту, где давление составляет Р = 5 104 Па, а температура понижается до t = –170С. На сколько изменился объем аэростата?

Натяжением материала оболочки пренебречь.

1.50 Эластичная оболочка метеозонда, заполненная гелием массой m = 1 кг при температуре Т = 300 К, была пробита метеоритом. Сечение отверстия S = 10 мм2. Через какое время из оболочки вытечет = 50% газа, если скорость истечения гелия через пробоину постоянна и равна v = 5 м/с, а объем оболочки меняется так, что плотность газа остается постоянной? Молярная масса гелия = 0,004 кг/моль, атмосферное давление Р0 = 105 Па. Температуру гелия считать постоянной. Натяжением материала оболочки пренебречь.

1.51 По трубе сечением S = 5 10-4 м2 течет углекислый газ ( = 0,044 кг/моль) под давлением Р = 3,92 105 Па при температуре Т = 280 К. Определить среднюю скорость протекания газа по трубе, если через поперечное сечение за t = 10 минут протекает m = 20 кг газа.

1.52 Аэростат объемом V = 300 м3 заполнен водородом при температуре t = 200С и давлении Р = 95 кПа. Сколько времени продолжалось заполнение, если в аэростат каждую секунду поступало m = 2,5 г водорода? Молярная масса водорода равна = 0,002 кг/моль.

1.53 В камеру футбольного мяча объемом V = 2,5 л накачивают воздух насосом, забирающим при каждом качании V0 = 0,15 л атмосферного воздуха при давлении Р0 = 105 Па. Каково будет давление в камере мяча после n = 50 качаний, если камера вначале была пустой? Температуру воздуха считать постоянной.

1.54 Автомобильную камеру емкостью V = 10 л нужно накачать до давления Р = 2 атм. Определить, сколько качаний следует сделать насосом, забирающим при каждом качании V = 500 см3 воздуха из атмосферы, если камера вначале была заполнена воздухом при нормальном атмосферном давлении Р0 = 105 Па. Изменением температуры пренебречь.

1.55 Давление воздуха в резервуаре компрессора Р0 = 105 Па. Объем цилиндра компрессора в k = 40 раз меньше объема резервуара. Сколько качаний должен сделать поршень компрессора, чтобы давление в резервуаре стало Р = 4 атм? Изменением температуры пренебречь.

1.56 После одного хода откачивающего поршневого насоса, объем рабочей камеры которого в k = 2 раза меньше объема откачиваемого сосуда, давление воздуха в сосуде упало до Р = 16 кПа. Определить начальное давление газа в сосуде. Температуру считать постоянной.

1.57 Давление воздуха в сосуде было равно Р0 = 105 Па. После трех ходов откачивающего поршневого насоса давление воздуха упало до Р = 2 кПа. Определить отношение объема сосуда к объему цилиндра поршневого насоса. Температуру считать постоянной.

1.58 Определить давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени t. Объем сосуда V, начальное давление в сосуде Р0. Скорость откачки равна С и не зависит от давления. Процесс откачки считать изотермическим.

1.59 Сосуд объемом V = 87 л откачивают насосом. Определить, через какое время давление в сосуде уменьшится в n = 1000 раз.

Скорость откачки считать постоянной и равной С = 10 л/с. Процесс откачки – изотермический.

1.60 Идеальный газ, занимающий P температуре Т1 = 300 К, расширился уменьшено изохорически в k = 2 P3=P раза. Далее газ расширился при = 4 л. Процессы, происходящие с газом, изображены на Р – V диаграмме (рис.1.4). Определить конечную температуру газа Т4.

1.61 Идеальный газ сначала изотермически сжимают в k = 4 раза, а затем изобарически расширяют в n = 3 раза. Построить этот процесс на Р – V, Р – Т и V – Т диаграммах.

1.62 Начальные параметры газа Р0, V0, Т0. Газ сначала изобарически расширили до объема V1, после чего нагрели при постоянном объеме до давления Р2. Определить температуру Т2 в конечном состоянии.

1.63 Идеальный газ сначала изохорически нагрели до абсолютной температуры в два раза большей начальной, а затем изобарически температуру еще увеличили еще в два раза. Определить отношение конечного объема к начальному объему.

1.64 Идеальный газ, находящийся при температуре t1 = 1270С и давлении Р1 = 4 105 Па, занимает первоначально объем V1 = 2 л. Этот газ изотермически сжимают, затем изохорически охлаждают до температуры t3 = –730С и далее изотермически доводят его объем до V4 = 1л. Определить установившееся давление Р4 газа.

1.65 В вертикальном сосуде под поршнем находится m = 1 г азота.

Площадь поршня S = 10 см2, масса поршня М = 1 кг. Азот нагревают на Т = 10 К. На сколько при этом поднимется поршень? Давление над поршнем нормальное Р0 = 105 Па. Молярная масса азота = 0,028 кг/моль. Трением пренебречь.

1.66 В вертикальном, открытом сверху цилиндрическом сосуде, имеющем площадь поперечного сечения S = 100 см2, под тяжелым поршнем находится m = 10 г кислорода. После увеличения температуры кислорода на Т = 50 К поршень поднялся на h = 12 см.

Определить массу поршня, если над поршнем давление Р0 = 105 Па.

Трением поршня о стенки цилиндра пренебречь. Молярная масса 1.67 В вертикальном, открытом сверху цилиндре под поршнем находится воздух (рис.1.5). Поршень имеет форму, показанную на рисунке. Масса поршня М = 6 кг, площадь сечения S = 20 см2, атмосферное давление Р0 = 1 атм. Определить массу груза, который надо положить на поршень, Температуру считать постоянной. Трения нет.

1.68 В гладкой, открытой с обоих торцов вертикальной трубе, имеющей два разных сечения, находятся в равновесии два поршня, соединенные невесомой нерастяжимой нитью (см.

идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на S = 10 см2 больше, чем нижнего. Общая масса поршней m = 5 кг. Давление наружного воздуха Р0 = 1 атм. На сколько градусов надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на расстояние L = 5 см?

1.69 Газ, находящийся в вертикальном, открытом сверху цилиндре под поршнем, нагрели при постоянном давлении так, что его объем увеличился в n = 1,5 раза. Затем поршень закрепили и нагрели газ так, что его давление возросло в m = 2 раза. Найти отношение конечной температуры к начальной.

1.70 Внутри закрытого с обоих торцов горизонтального цилиндра находится в равновесии тонкий поршень. С одной стороны поршня находится m1 = 2 г водорода, с другой – m2 = 14 г азота. Какую часть объема цилиндра занимает азот, если температуры газов одинаковы?

Молярная масса водорода 1 = 0,002 кг/моль, азота - 2 = 0,028 кг/моль.

1.71 Цилиндрический, закрытый с обоих торцов, горизонтальный сосуд длиной L0 = 40 см разделен на две части легким тонким поршнем, скользящим без трения. Поршень находится на расстоянии L1 = 26,7 см от одного из торцов цилиндра. С одной стороны поршня находится водород (молярная масса 1 = 0,002 кг/моль), а с другой – идеальный газ с неизвестной молярной массой 2. Определить газа, если его масса равна массе водорода, а температуры газов одинаковы.

1.72 Закрытый с обоих торцов горизонтальный цилиндрический сосуд содержит идеальный газ при температуре t = 00С. Внутри сосуд перегорожен поршнем радиусом r = 0,02 м, не проводящим тепло, на две части объемами V1 = 10 см3 и V2 = 50 см3. Поршень находится в равновесии. На какое расстояние h переместится поршень, если газ, заключенный в большем объеме, нагреть на Т = 30 К?

1.73 Закрытый с обоих торцов горизонтально расположенный цилиндрический сосуд разделен подвижным поршнем на две части, объемы которых относятся как один к двум. Температура газа в обеих частях одинакова и равна Т0 = 300 К. До какой температуры нужно нагреть газ в сосуде меньшего объема, чтобы отношение объемов изменилось на обратное? Поршень и сосуд теплоизолированы.

1.74 Определить период малых колебаний поршня массой m, разделяющего закрытый с обоих торцов цилиндрический сосуд сечением S на две равные части длиной L каждая. По обе стороны от поршня находится воздух при давлении Р0. Трения нет. Температуру считать неизменной.

1.75 Приближенно воздух можно считать смесью азота ( 1 = 80% по массе) и кислорода ( 2 = 20% по массе). Определить молярную массу воздуха. Молярная масса азота 1 = 28 10–3 кг/моль, кислорода кг/моль.

1.76 В баллоне объемом V = 7,5 л при температуре Т = 300 К находится смесь газов: 1 = 0,1 моля кислорода ( 1 = 0,032 кг/моль), 2 = 0,2 моля азота ( 2 = 0,028 кг/моль) и 3 = 0,3 моля углекислого газа ( 3 = 0,044 кг/моль). Считая газы идеальными, определить:

1) давление смеси; 2) молярную массу смеси.

1.77 Сосуд объемом V = 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 200С и давлении Р = 2 атм. Масса смеси m = 5 г.

Найти отношение массы водорода к массе гелия в смеси. Молярная масса водорода 1 = 2 10–3 кг/моль, гелия - 2 = 4 10–3 кг/моль.

1.78 Определить плотность газовой смеси водорода и кислорода, если их массовые доли равны соответственно 1 = 1/9 и 2 = 8/9.

Давление смеси Р = 100 кПа, температура смеси Т = 300 К. Молярная масса водорода 1 = 2 10–3 кг/моль, кислорода - 2 = 32 10–3 кг/моль.

1.79 Смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением Р = 1 МПа. Определить парциальные давления кислорода Р1 и азота Р2, если массовая доля кислорода в смеси равна 1 = 0,2. Молярная масса кислорода 1 = 32 10–3 кг/моль, азота кг/моль.

1.80 В двух сосудах находится одинаковый идеальный газ. Сосуды соединены трубкой с краном. В первом сосуде масса газа m1 = 1 кг при давлении Р1 = 105 кПа, во втором – m2 = 2 кг при давлении Р2 = 4 105 Па. Какое давление установится в сосудах, если открыть кран? Температуру считать постоянной.

1.81 В сосуде объемом V = 1 л находится m = 0,28 г азота. Газ нагревают до температуры t = 15000С, при которой = 30% молекул азота диссоциировало на атомы. Определить давление в сосуде.

Молярная масса азота = 28 10–3 кг/моль.

1.82 В сосуде находится идеальный двухатомный газ. Под действием ультрафиолетового излучения распалось на атомы = 12% молекул и после этого установилось давление Р = 93 кПа. Определить первоначальное давление в сосуде. Температуру газа считать постоянной.

1.83 В сосуде находится идеальный двухатомный газ. При увеличении температуры в n = 3 раза давление увеличилось в k = 3,15 раза. Сколько процентов молекул от их первоначального количества распалось на атомы?

1.84 Во сколько раз изменится давление двухатомного идеального газа в сосуде, если при той же температуре треть молекул распадется на атомы?

1.85 На какой глубине h радиус пузырька вдвое меньше, чем у поверхности воды? Атмосферное давление Р0 = 105 Па, Температуру воздуха считать неизменной, плотность воды = 103 кг/м.

1.86 Аквалангист, находясь на глубине h = 15 м от поверхности воды, вдохнул воздух, заполнивший объем легких V = 5,5 л. До какого объема расширятся его легкие, если аквалангист быстро вынырнет на поверхность? Плотность воды = 103 кг/м3, атмосферное давление Р0 = 105 Па.

1.87 В широкий сосуд с водой был опрокинут сосуде и стакане находятся на одинаковой высоте.

Расстояние от уровня воды до дна опрокинутого стакана равно L = 40 см. На какую высоту h поднимется вода в стакане при понижении температуры от Т1 = 310 К до Т2 = 273 К?

Атмосферное давление Р0 = 105 Па, плотность Рис. 1. воды = 10 кг/м.

1.88 Узкая цилиндрическая вертикальная трубка длиной L, запаянная с одного конца, содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути длиной h. Плотность ртути равна. Трубка расположена открытым концом вверх. Какова была первоначальная длина столбика ртути в трубке, если при перевертывании трубки открытым концом вниз из трубки вылилась половина ртути?

Атмосферное давление Р0.

1.89 Стеклянная трубка длиной L0 наполовину погружена в ртуть.

Ее закрывают пальцем и вынимают. При этом часть ртути вытекает.

Какова длина столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление равно Н мм. рт. ст.

1.90 Цилиндрический стакан массой m, высотой h и сечением S плавает верх дном в жидкости плотностью. При температуре Т глубина погружения стакана (расстояние от поверхности жидкости до дна стакана) равна h1. До какой величины надо понизить температуру воздуха в стакане, чтобы глубина погружения стала равной h2?

1.91 Полый шар с жесткой оболочкой, масса которой m = 10 г, наполнен водородом. Объем шара V = 10 дм3. Температура водорода и окружающего шар воздуха t = 00С. Найти давление водорода в шаре, если подъемная сила шара равна нулю. Атмосферное давление Р0 = 105 Па. Молярная масса водорода 1 = 2 10–3 кг/моль, воздуха - 2 = 29 10–3 кг/моль.

1.92 Аэростат, наполненный гелием при давлении Р0 = 105 Па и температуре Т = 300 К, должен подняться на высоту h = 1,5 км, чтобы не стать помехой движению самолетов. Плотность воздуха на такой высоте на = 20% меньше, чем у поверхности земли. Определить массу оболочки аэростата, если его объем V = 500 м3. Оболочка нерастяжима и герметична. Молярная масса гелия 1 = 4 10–3 кг/моль, воздуха - 2 = 29 10–3 кг/моль. Давление воздуха у поверхности земли нормальное, температуру считать постоянной.

1.93 Во время сжатия идеального газа его давление и объем изменяются по закону: PV 1 const. Температура газа при этом уменьшилась в n = 4 раза. Каково было начальное давление Р1 газа, если после сжатия его давление Р2 = 105 Па?

1.94 Идеальный газ расширяется по закону: PV 2 const, и его объем увеличивается в n = 3 раза. Найти первоначальную температуру Т1, если после расширения его температура Т2 = 100 К.

1.95 С идеальным газом происходит процесс: V Температура газа при этом увеличилась в n = 5 раз. Определить конечное давление, если начальное давление газа равно Р1 = 105 Па.

1.96 Найти максимально возможную температуру идеального газа в процессе, происходящем по закону: P P0 положительные постоянные, V – молярный объем газа.

1.97 Найти максимально возможную температуру идеального газа в процессе, происходящем по закону: P P0e V, где Р0 и положительные постоянные, V – объем моля газа.

1.98 На рис.1.8 приведен процесс изменения состояния идеального газа.

Когда газ занимал объем V1, его температура равнялась Т1. Какова будет 1.99 На Р – V диаграмме (рис.1.9) P представлен циклический процесс, Участки 1-2 и 3-4 лежат на прямых, P участки 4-1 и 2-3 – изотермы. Найти объем V3, если известны объемы V1 и равны.

1.100 Идеальный газ совершает P2=P циклический процесс, представленный P состояниях 1 и 3 равны Т1 = 300 К и Т температуру газа в состоянии 2.

2. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Термодинамика – это постулативная наука о превращении энергии. Выводы термодинамики основаны на общих принципах или началах, которые представляют собой обобщение опытных фактов.

Первое начало термодинамики является обобщением экспериментального материала и представляет собой одну из форм закона сохранения энергии применительно к тепловым процессам.

Этот закон содержит три величины: внутреннюю энергию U, работу А и теплоту Q. Установим физический смысл этих величин.

Внутренняя энергия. Внутренняя энергия U системы является функцией состояния, и ее изменение U определяется лишь начальным и конечным состоянием системы, т.е. не зависит от того, каким образом система перешла из одного состояния в другое.

Внутренняя энергия идеального газа выражается формулой:

где Р1,V1, Р2,V2 –давления и объемы газа в начальном и конечном состояниях, i – число степеней свободы молекулы газа, - количество вещества, R = 8,31 Дж/(К моль) – универсальная газовая постоянная.

Числом степеней свободы i называется количество независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве. Для одноатомной молекулы i = 3 (все три степени свободы приходятся на долю поступательного движения). Для двухатомной жесткой молекулы i = 5 (3 приходятся на долю поступательного движения и на долю вращательного движения). Для жесткой молекулы из трех и более атомов i = 6.

Изменение внутренней энергии U > 0, если Т > 0; изменение внутренней энергии U < 0, если Т < 0.

Работа газа. Работа газа, совершаемая при переходе из одного состояния в другое, зависит не только от начального и конечного состояний системы, но и от вида процесса, в котором происходит изменение состояния.

Элементарная работа газа определяется выражением а полная работа Независимо от вида процесса, совершаемая работа положительна, если в процессе происходит расширение газа ( A 0, если dV 0 ), и отрицательна, если газ сжимается ( A 0, если dV 0 ).

Количество теплоты. Количество теплоты при переходе из одного состояния в другое так же, как и работа, зависит от вида процесса. Если к системе подводится тепло, то оно считается положительным (Q > 0), если тепло отводится от системы, то оно считается отрицательным (Q < 0).

Первое начало (1 закон) термодинамики. В общем случае количество теплоты, сообщаемое системе, идет на изменение внутренней энергии системы U и на совершение системой работы А против внешних сил:

Первое начало термодинамики обычно записывают для изменения состояния системы, вызванного сообщением ей малой теплоты Q, совершением системой элементарной работы А и приводящего к малому изменению dU внутренней энергии:

Следует отметить, что ни работа, ни теплота не являются функциями состояния системы, а зависят от вида процесса, и поэтому Q и А не являются полными дифференциалами.

Теплоемкостью тела С называется отношение теплоты Q, сообщаемой телу, к изменению температуры dT в рассматриваемом термодинамическом процессе Удельной теплоемкостью суд называется теплоемкость единицы массы вещества Молярной теплоемкостью Смол называется теплоемкость одного моля вещества Связь молярной и удельной теплоемкостей где - молярная масса газа.

Величина теплоемкости зависит от вида процесса, происходящего с газом. Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении можно выразить через число степеней свободы и, соответственно, изменение внутренней энергии газа можно выразить через его теплоемкость при постоянном объеме:

Уравнение Майера выражает связь между молярными теплоемкостями при постоянном объеме и постоянном давлении Показатель адиабаты Соотношения (2.11), (2.12) и (2.15) позволяют выразить молярные теплоемкости газа через показатель адиабаты:

Используя понятие молярной теплоемкости, можно первое начало термодинамики (2.6) записать в виде Выражение (2.17) позволяет решать многие задачи термодинамики при различных процессах, в частности на определение теплоемкости при различных процессах, расчет работы, совершаемой газом, и др.

Применение первого начала термодинамики для 1. Изотермический процесс Т = const.

Изменение внутренней энергии (2.2), (2.13) или Теплота Q расходуется на совершение работы газом против внешних сил или согласно (2.4) Теплоемкость при изотермическом процессе бесконечно велика, это следует из соотношения (2.7), т.к. Q 0, a dT 0.

2. Изохорический процесс V = const.

Работа газа равна нулю, так как нет изменения объема Подводимое тепло идет на изменение внутренней энергии или в интегральной форме 3. Изобарический процесс Р = const.

Изменение внутренней энергии Работа газа или Количество теплоты или в интегральной форме Адиабатический процесс – это термодинамический процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой Q = 0. Этот процесс осуществляется при быстром расширении или сжатии.

Первое начало термодинамики для адиабатического процесса имеет вид или т.е. при адиабатическом процессе система совершает работу за счет убыли внутренней энергии. При расширении (А > 0) газ охлаждается, т.к. U 1 U 2, при сжатии (А < 0) газ нагревается, т.к. U 1 U 2.

Теплоемкость системы при адиабатическом процессе С = 0 (это следует из соотношения 2.7), т.к. Q 0, dT 0.

Уравнение Пуассона выражает связь между термодинамическими параметрами при адиабатическом процессе где - показатель адиабаты, определяемый по формуле (2.15).

Уравнение Пуассона в координатах (Т – V) и (Т – Р) имеет вид Работа газа при адиабатическом процессе Если при адиабатическом процессе температура изменяется от Т до Т2, то работу, согласно (2.13) и (2.16), можно вычислить по формуле Задача 2.1 Определить внутреннюю энергию азота массой m = 0,56 кг, который вначале находится при температуре Т 1 = 300 К.

Найти, какая часть внутренней энергии при этой температуре приходится на долю поступательного движения и какая часть на долю вращательного. Затем азот изобарно нагрели до Т2 = 500 К.

Определить изменение внутренней энергии газа. Молярная масса азота равна = 0,028 кг/моль.

Внутренняя энергия азота при начальной температуре по (2.1) где i – число степеней свободы. Для азота (жесткая двухатомная молекула) i = 5, тогда Из пяти степеней свободы молекулы газа 3 степени свободы приходятся на поступательное движение молекулы, а 2 степени свободы - на вращательное движение.

С учетом этого часть внутренней энергии, приходящаяся на долю поступательного движения, равна а часть внутренней энергии, приходящаяся на долю вращательного движения, равна Изменение внутренней энергии при изобарическом нагреве равно Задача 2.2 Углекислый газ (СО2) массой m = 2,2 кг, занимающий объем V1 = 4 м3 при температуре Т1 = 300 К, сжали адиабатически так, что конечное давление увеличилось в k = 2 раза. Определить конечный объем V2, температуру T2, давление P2 и изменение внутренней энергии U. Молярная масса углекислого газа равна = 0,044 кг/моль.

Учитывая, что углекислый газ (СО2) трехатомный, число степеней свободы i = 6. Показатель адиабаты для углекислого газа равен Конечный объем газа найдем из уравнения Пуассона P1V1 P2 V2.

Учитывая, что P2 kP1, получим:

Для нахождения температуры Т2 воспользуемся уравнением Изменение внутренней энергии для адиабатического процесса равно Задача 2.3 Некоторую массу идеального газа сжали в k раз (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически.

Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.

1. При адиабатическом процессе Q = 0, и работу, затраченную на сжатие газа, можно рассчитать по формуле (2.32):

где Р0 и V0 – начальные параметры газа.

2. При изотермическом процессе Т = const:

Находим отношение соответствующих работ Задача 2.4 Кислород, занимающий объем V1 = 1 м3 под давлением Р1 = 2 105 Па, нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления Р2 = 5 105 Па. Построить графики процессов в Р – V координатах.

Определить: 1) изменение внутренней энергии U газа;

2) совершенную им работу A; 3) количество тепла Q, переданное газу.

Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.

Графики процессов, происходящих с энергии U (2.2):

(жесткая двухатомная молекула) i 5.

уравнения Менделеева – Клапейрона (1.11):

Окончательно, изменение внутренней энергии 2. Найдем работу, совершенную газом На участке 1-2 (изобарический процесс) работа выражается формулой (2.24):

На участке 2-3 (изохорический процесс) работа равна нулю:

Таким образом 3. Количество тепла Q находится по первому началу термодинамики (2.5):

Задача 2.5 молей идеального газа с показателем адиабаты сначала адиабатически расширили по объему в k раз. Затем газ изотермически сжали до первоначального объема, причем сжатие происходило при температуре Т0. Изобразить процессы, происходящие с газом в Р – V координатах. Определить:

1) изменение внутренней энергии U газа; 2) работу А, совершенную газом; 3) полученное газом тепло Q.

происходящие с газом показаны на расширение, изотермическое сжатие.

при адиабатическом расширении Изменение внутренней энергии при изотермическом сжатии т.к температуры газа Т2 = Т3 = Т0.

Изменение внутренней энергии за два процесса В процессе 1-2 температура Т2 = Т0, а температура Т1 находится из уравнения адиабаты (2.30):

С учетом этого изменение внутренней энергии за оба процесса равно 2) Найдем работу, совершенную газом где А1-2 – работа при адиабатическом расширении (2.33) А2-3 - работа при изотермическом сжатии (2.19) Работа, совершенная газом за два процесса, равна 3) Найдем количество тепла где Q1-2 = 0, т.к. процесс адиабатический, а при изотермическом сжатии Задача 2.6 Вычислить показатель адиабаты для газовой смеси, состоящей из двух молей ( 1 = 2 моля) кислорода О2 и трех молей ( 2 = 3 моля) углекислого газа СО2. Газы считать идеальными.

Число степеней свободы для кислорода i1 = 5, а для углекислого газа i2 = 6. Вычислим показатели адиабаты для кислорода и углекислого газа через число степеней свободы:

Внутренняя энергия смеси складывается из внутренней энергии кислорода и углекислого газа или Выразим молярные теплоемкости при постоянном объеме через показатель адиабаты тогда внутреннюю энергию смеси можно записать так:

Из этого выражения находим показатель адиабаты для смеси:

Задача 2.7 Один моль идеального газа, молярная теплоемкость которого при постоянном давлении CP, совершает процесс по закону: P P0 V, где Р0 и - постоянные. Определить:1) молярную теплоемкость газа как функцию его объема V; 2) сообщенное газу тепло при его расширении от объема V0 до объема 5V0.

1) Молярная теплоемкость газа равна Количество тепла dQ запишем, используя первое начало термодинамики (2.6):

тогда Используя уравнение Майера (2.14), выразим теплоемкость Cмол :

Для нахождения производной определим зависимость объема V от температуры Т, для чего совместно решим два уравнения:

Отсюда И, окончательно, молярная теплоемкость в этом процессе будет равна Сообщенное газу тепло находится интегрированием выражения Q Cмол dT (с учетом того, что dT dV ) в пределах от объема V до объема 5V0:

Задача 2.8 Найти уравнение процесса (в переменных Т – V), при котором молярная теплоемкость идеального газа изменяется по закону: Cмол Cмол - постоянная, Смол – молярная теплоемкость при постоянном объеме, Р – давление.

Запишем первое начало термодинамики:

Вместо С подставим закон, по которому она изменяется в условии задачи, тогда получим, что:

Сокращая на Р, получим:

После интегрирования этого выражения, получим уравнение процесса Задача 2.9 Имеется идеальный газ с показателем адиабаты. Его молярная теплоемкость при некотором процессе изменяется по закону: Cмол T, где - некоторая постоянная. Определить работу, совершаемую одним молем газа при его нагревании от температуры Т0 до температуры 5Т0.

Отсюда выразим элементарную работу:

где С учетом выражений для теплоемкостей, элементарная работа будет равна:

Для нахождения полной работы последнее выражение надо проинтегрировать в пределах от Т1 = Т0 до Т2 = 5Т0:

Задача 2.10 В длинном вертикальном открытом цилиндрическом теплоизолированном сосуде на высоте h от дна на нити висит поршень массой m, газа при давлении окружающего пространства и температуре Т0 (рис.2.3). Какое количество тепла Q необходимо сообщить газу, чтобы поршень поднялся до высоты 2h? Трением пренебречь.

Для того, чтобы поршень поднялся на высоту 2h, газ сначала необходимо нагреть до температуры Т1, сообщив ему при постоянном объеме некоторое количество тепла Q1:

Затем газу надо сообщить количество тепла Q2 при постоянном давлении и нагреть его до температуры Т2.

где Cмол R, Cмол R – молярные теплоемкости одноатомного газа при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно.

Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для трех состояний газа:

где Р0 – атмосферное давление, P P0 mg / S - давление под поршнем при расширении, S поперечное сечение поршня. Из уравнений состояния получим выражения для температуры газа ( = 1 моль):

температур равно:

Задачи для самостоятельного решения 2.11 Определить внутреннюю энергию гелия массой m = 1 кг при температуре Т = 300 К. Молярная масса гелия = 0,004 кг/моль.

2.12 Аргон находится в вертикальном цилиндре под поршнем массой М = 1 кг и площадью S = 10 см2. Определить внутреннюю энергию газа, если объем газа V = 4 л. Атмосферное давление Р0 = 105 Па.

2.13 С идеальным одноатомным газом совершают процесс при постоянном объеме так, что его температура уменьшается в n = 2, раза. Начальное давление газа равно Р0 = 105 Па, объем V = 10 л.

Определить изменение внутренней энергии газа.

2.14 С неоном массой m = 2 кг совершают процесс при постоянном объеме так, что давление газа уменьшается в n = 4 раза. Начальная температура газа Т1 = 500 К. Определить изменение внутренней энергии газа. Молярная масса неона = 0,02 кг/моль.

5 молей идеального одноатомного газа расширяются при постоянном давлении так, что объем газа увеличивается в n = 5 раз, а изменение внутренней энергии равно U = 60 кДж. Определить начальную температуру газа Т1.

2.16 Идеальный одноатомный газ изотермически расширился из состояния с давлением Р1 = 106 Па и объемом V1 = 1 л до вдвое большего объема. Определить внутреннюю энергию газа в конечном состоянии и изменение внутренней энергии.

2.17 Один моль идеального одноатомного газа находится при температуре Т1 = 300 К в вертикальном теплоизолированном сосуде, закрытом поршнем массой m = 2 кг и диаметром d = 10 см. Когда на поршень поставили гирю массой М = 3 кг, он опустился на h = 5 см.

Определить изменение внутренней энергии газа, если атмосферное 2.18 Определить изменение 1,5P одноатомного газа в процессе, изображенном на рис. 2.4. Р0 = 0, 2.19 Один киломоль идеального одноатомного газа сжимается так, что его объем уменьшается вдвое.

Сжатие происходит по закону PV 2 const. Начальная температура газа Т1 = 200 К. Найти изменение внутренней энергии газа U.

2.20 Определить кинетическую энергию i, приходящуюся на одну степень свободы молекулы азота N2, при температуре Т = 103 К.

Также определить среднюю кинетическую энергию пост поступательного движения, вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы.

2.21 Определить среднюю энергию теплового движения всех молекул, находящихся в массе m = 20 г кислорода О2 при температуре Т = 283 К. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения и какая часть на долю вращательного?

Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.

2.22 Определить среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул воздуха в массе m = 1 г при температуре Т = 288 К.

Воздух считать однородным газом, состоящим из двухатомных жестких молекул, с молярной массой = 0,029 кг/моль.

2.23 Чему равна средняя энергия поступательного и средняя энергия вращательного движения молекул азота N2 в массе m = 1 кг при температуре Т = 280 К? Молярная масса азота = 0,028 кг/моль.

2.24 Определить среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул идеального двухатомного газа, заключенного в сосуд объемом V = 2 л под давлением Р = 1,5 105 Па. Чему равно отношение средней кинетической энергии вращательного движения к средней кинетической энергии поступательного движения молекул?

2.25 Средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул азота N2, находящегося в сосуде объемом V = 0,02 м3, равна Eпост 5 кДж. Средняя квадратичная скорость его молекул при этом равна v ср.кв = 2 103 м/с. Определить массу азота в баллоне и давление, под которым находится азот. Молярная масса азота равна = 0,028 кг/моль.

2.26 М = 1 кг идеального двухатомного газа находится под давлением Р = 8 104 Па и имеет плотность = 4 кг/м3. Определить энергию теплового движения молекул газа.

2.27 Некоторый идеальный газ расширяется от объема V1 = 1 л до объема V2 = 11 л. Давление при этом изменяется по закону P V, где = 4 Па/м. Определить работу, совершаемую газом.

2.28 Идеальный газ расширяется от давления Р1 = 2 кПа до давления Р2 = 1 кПа по закону P Определить работу, совершаемую газом при таком расширении.

2.29 Определить работу молей идеального одноатомного газа при расширении от объема V1 до объема V2 в процессе, при котором 2.30 Определить работу, которую рис.2.5, где Р0 = 10 Па, V0 = 1 м.

одноатомного газа участвует в процессе, график которого, состоящий из двух рис.2.6. Температуры в состояниях 1 и равны Т1 и Т3. соответственно.

Определить работу, совершаемую газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

одноатомного газа участвуют в циклическом процессе 1–2–3–4–1, представленном на рис.2.7. Температуры газа в состояниях 1 и 2 равны Т 1 = 300 К и Т2 = 400 К соответственно. Найти работу, совершенную газом за цикл, если на участке 3–4 газу сообщили Q = 2 кДж тепла.

2.33 Идеальный газ массой m = 20 г и молярной массой = 0,028 кг/моль изображенный на рис.2.8. Найти работу за цикл, если температуры газа в состояниях 1 и 2 соответственно равны Т1 = 300 К, Т2 = объем газа увеличивается в два раза.

= 1 моль идеального газа, имеющего температуру Т, изотермически расширяется от объема V1 до объема V2. Определить совершаемую газом работу А и количество тепла Q, сообщенное газу.

2.35 Определить работу изотермического расширения водорода массой m = 5 г, взятого при температуре Т = 290 К, если объем газа увеличивается в k = 3 раза. Молярная масса водорода = 0,002 кг/моль.

2.36 При адиабатическом сжатии кислорода массой m = 1 кг совершена работа А = 100 кДж. Определить конечную температуру Т газа, если до сжатия кислород находился при температуре Т 1 = 300 К.

Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.

2.37 Азот массой m = 2 г, имевший температуру Т1 = 300 К, был адиабатически сжат так, что его объем уменьшился в n = 10 раз.

Определить конечную температуру Т2 газа и работу А сжатия.

Молярная масса азота = 0,028 кг/моль.

2.38 Кислород, занимавший объем V1 = 1 л под давлением Р1 = 1,2 МПа, адиабатически расширился до объема V2 = 10 л.

Определить работу расширения газа.

2.39 Некоторую массу водорода сжали в = 5 раз (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальные давление, объем и температура газа в обоих случаях одинаковы.

Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.

2.40 Некоторое количество идеального газа с трехатомными жесткими молекулами перешло адиабатически из состояния с температурой Т1 = 280 К в состояние, характеризуемое значениями параметров Т2 = 320 К, Р2 = 2 105 Па, V2 = 50 л. Какую работу А совершает газ при этом?

= 5 молей идеального газа сначала нагревают при постоянном объеме так, что абсолютная температура возрастает в n = 3 раза, а затем сжимают при постоянном давлении, доводя температуру газа до первоначального значения Т = 100 К. Какая работа совершена при сжатии?

2.42 Газ, занимавший объем V1 = 2 л при давлении Р1 = 0,1 МПа, расширили изотермически до объема V2 = 4 л. После этого, охлаждая изохорически, его давление уменьшили в два раза. Далее газ изобарически расширился до V2 = 6 л. Представить в координатах Р – V процессы, происходящие с газом, и определить работу, совершенную газом.

2.43 Азот массой m = 5 кг нагрели на Т = 150 К при постоянном объеме. Определить количество теплоты Q, сообщенное газу;

изменение внутренней энергии U; совершенную газом работу А.

Молярная масса азота = 0,028 кг/моль.

2.44 Водород занимает объем V1 = 10 м3 при давлении Р1 = кПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления Р 2 = 300 кПа.

Определить изменение внутренней энергии U газа; работу А, совершенную газом; количество теплоты Q, сообщенное газу.

2.45 При изохорическом нагревании кислорода объемом V = 50 л давление газа изменилось на Р = 0,05 МПа. Определить работу А, совершенную газом; количество теплоты Q, сообщенное газу и изменение внутренней энергии U.

2.46 Кислород нагревается при неизменном давлении Р = 80 кПа.

Его объем увеличивается от V1 = 1 м3 до V2 = 3 м3. Определить изменение внутренней энергии кислорода U; работу А, совершенную им при расширении; количество теплоты Q, сообщенное газу.

2.47 Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему было сообщено количество теплоты Q = 21 кДж. Определить работу А, которую совершил при этом газ, и изменение его внутренней энергии U.

2.48 Гелий массой m = 1 г был нагрет на Т = 100 К при постоянном давлении. Определить количество теплоты Q, переданное газу; работу А, совершенную газом; приращение внутренней энергии U. Молярная масса гелия = 0,004 кг/моль.

2.49 Какая доля w1 количества теплоты Q, подводимого к идеальному газу при изобарическом процессе, расходуется на увеличение U внутренней энергии газа и какая доля w2 – на работу А расширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1)одноатомный;

2) двухатомный; 3) трехатомный (с жесткими молекулами).

2.50 Азот массой m = 200 г расширился изотермически при температуре Т = 280 К, причем объем газа увеличился в n = 2 раза.

Найти: 1) приращение внутренней энергии U; 2) совершенную при расширении газом работу А; 3) количество теплоты, полученное газом. Молярная масса азота = 0,028 кг/моль.

2.51 В цилиндре под поршнем находится азот массой m = 0,6 кг, занимающий объем V1 = 1,2 м3 при температуре Т = 560 К. В результате подвода теплоты газ расширился и занял объем V2 = 4,2 м3, причем температура осталась неизменной. Найти: 1) изменение внутренней энергии U газа; 2) совершенную им работу А; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу. Молярная масса азота = 0,028 кг/моль.

2.52 При изотермическом расширении кислорода, содержащего количество вещества = 1 моль и имевшего температуру Т = 300 К, газу было передано количество теплоты Q = 2 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа?

2.53 Какое количество теплоты Q выделится, если азот массой m = 1 г, взятый при температуре Т = 280 К под давлением Р1 = 0,1 МПа, изотермически сжать до давления Р2 = 1 МПа? Молярная масса азота = 0,028 кг/моль. Чему равно при этом изменение внутренней энергии?

2.54 Углекислый газ СО2 массой m = 400 г был нагрет на Т = 50 К при постоянном давлении. Определить изменение U внутренней энергии газа; количество теплоты Q, полученное газом, и совершенную им работу. Молярная масса углекислого газа = 0,044 кг/моль.

2.55 Один киломоль идеального газа, находящегося при температуре Т = 300 К, охлаждается изохорически, в результате чего давление уменьшается в n = 2 раза. Затем газ изобарически расширяется так, что в конечном состоянии его температура равна первоначальной.

Изобразить процесс на Р-V диаграмме. Определить изменение внутренней энергии U и количество тепла Q, подведенного к газу.

2.56 Идеальный газ переводят из состояния 1 с давлением Р1 = 0,4 МПа и объемом V1 = 3 м3 в состояние 2 с давлением Р2 = 0,2 МПа и объемом V2 = 1 м3 различными путями. Один переход совершался сначала по изобаре, а затем по изохоре, а второй – сначала по изохоре, а затем по изобаре. В каком случае выделится тепла больше и на сколько?

2.57 = 2 моля идеального газа при температуре Т0 = 300 К охладили изохорически, вследствие чего давление уменьшилось в n = 20 раз.

Затем газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равна первоначальной. Найти суммарное количество тепла в этих процессах.

2.58 Один киломоль идеального газа изобарически нагревают от температуры Т1 = 293 К до Т2 = 873 К, при этом газ поглощает Q = 1,2 107 Дж тепла. Найти: 1) число степеней свободы газа i;

2) приращение внутренней энергии газа U; 3) работу газа А.

2.59 Автомобильная шина накачена до давления Р1 = 220 кПа при температуре Т1 = 290 К. Во время движения она нагрелась до температуры Т2 = 330 К и лопнула. Считая процесс, происходящий после повреждения шины, адиабатическим, определить изменение температуры Т вышедшего из нее воздуха. Внешнее давление воздуха Р0 = 100 кПа. Показатель адиабаты для воздуха = 1,4.

2.60 При адиабатическом расширении кислорода с начальной температурой Т1 = 320 К его внутренняя энергия уменьшилась на U = 8,4 кДж, а его объем увеличился в n = 10 раз. Определить массу кислорода m. Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.

2.61 Водород при нормальных условиях имел объем V1 = 100 м3.

Определить изменение внутренней энергии газа при его адиабатическом расширении до объема V2 = 150 м3.

2.62 При адиабатическом сжатии кислорода массой m = 20 г его внутренняя энергия увеличилась на U = 8 кДж и температура повысилась до Т2 = 900 К. Найти: 1) изменение температуры Т;

2) конечное давление газа Р2, если начальное давление было равно Р1 = 200 кПа. Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.

2.63 Воздух, занимавший объем V1 = 10 л при давлении Р1 = 100 кПа, был адиабатически сжат до объема V2 = 1 л. Определить давление воздуха после сжатия. Показатель адиабаты для воздуха = 1,4.

2.64 Горючая смесь в двигателе дизеля воспламеняется при температуре Т2 = 1,1 кК. Начальная температура смеси Т1 = 350 К. Во сколько раз нужно уменьшить объем смеси при сжатии, чтобы она воспламенилась? Сжатие считать адиабатическим. Показатель адиабаты для смеси принять равным = 1,4.

2.65 В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0, кг при температуре Т1 = 300 К. Водород расширился адиабатически, увеличив свой объем в n = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в k = 5 раз. Найти температуру Т2 в конце адиабатического расширения и полную работу А, совершенную газом. Изобразить процессы графически в Р-V координатах.

2.66 Идеальный двухатомный газ, находящийся в некотором начальном состоянии, сжимают до объема в n = 10 раз меньше начального. Сжатие производят в первом случае изотермически, во втором – адиабатически. 1) В каком из процессов и во сколько раз работа, затраченная на сжатие, будет больше? 2) В результате какого процесса внутренняя энергия возрастает и во сколько раз? Считать молекулы жесткими.

2.67 Вычислить удельные теплоемкости с уд и сР газов: 1) гелия (молярная масса = 0,004 кг/моль); водорода (молярная масса = 0,002) кг/моль; углекислого газа (молярная масса = 0,044 кг/моль).

2.68 Разность удельных теплоемкостей для некоторого двухатомного газа равна cР с V 260 Дж/(кг К). Определить 2.69 Каковы удельные теплоемкости с уд и сР смеси газов, содержащей кислород массой m1 = 10 г и азот массой m2 = 20 г?

Молярные массы кислорода и азота соответственно равны 1 = 0,032 кг/моль и 2 = 0,028 кг/моль.

2.70 Определить удельную теплоемкость с уд смеси газов, содержащей V1 = 5 л водорода с молярной массой 1 = 0,002 кг/моль и V2 = 3 л гелия с молярной массой = 0,004 кг/моль. Газы находятся при одинаковых условиях.

2.71 Определить удельную теплоемкость сР смеси кислорода ( 1 = 0,032 кг/моль) и азота ( 2 = 0,028 кг/моль), если количество вещества первого компонента равно 1 = 2 моля, а второго компонента 2 = 4 моля.

2.72 В баллоне находятся аргон и азот. Определить удельную теплоемкость с уд смеси этих газов, если массовые доли аргона и азота одинаковы и равны = 0,5. Молярная масса аргона 1 = 0, кг/моль, молярная масса азота 2 = 0,028 кг/моль.

2.73 Смесь газов состоит из хлора и криптона, взятых при одинаковых условиях и в равных объемах. Определить удельную теплоемкость сР смеси. Молярные массы хлора и криптона соответственно равны 1 = 0,070 кг/моль, 2 = 0,084 кг/моль.

2.74 Определить показатель адиабаты для смеси газов, содержащей гелий массой m1 = 10 г и водород массой m2 = 4 г.

Молярные массы гелия и водорода соответственно равны 1 = 0,004 кг/моль, 2 = 0,002 кг/моль.

2.75 Найти показатель адиабаты смеси водорода ( 1 = 0, кг/моль) и неона ( 2 = 0,02 кг/моль), если массовые доли обоих газов в смеси одинаковы и равны = 0,5.

2.76 Найти показатель адиабаты смеси газов, содержащей кислород О2 и аргон Ar, если количества вещества того и другого газа в смеси одинаковы и равны.

2.77 На нагревание кислорода массой m = 160 г на Т = 12 К было затрачено количество теплоты Q = 1,76 кДж. Как протекал процесс:

при постоянном объеме или при постоянном давлении? Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.

2.78 При адиабатическом сжатии идеального газа его объем уменьшился в n = 10 раз, а давление увеличилось в k = 21,4 раза.

Определить показатель адиабаты газа.

2.79 = 3 моля идеального газа, находящегося при температуре Т0 = 273 К, изотермически расширили в n = 5 раз, а затем изохорически нагрели так, что его давление стало равно первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла Q = 80 кДж. Изобразить процессы на Р – V диаграмме и определить молярную теплоемкость Cмол газа при постоянном объеме.

2.80 Объем одного моля ( = 1 моль) идеального газа с показателем адиабаты изменяют по закону V / T, где постоянная. Найти количество тепла, полученного газом в этом процессе, если его температура возросла на Т.

2.81 Идеальный газ с показателем адиабаты расширили по закону P V, где - постоянная. Первоначальный объем газа V0. В результате расширения объем газа увеличился в n раз. Найти:

1) приращение внутренней энергии газа; 2) работу, совершенную газом; 3) молярную теплоемкость газа в этом процессе.

2.82 Определить молярную массу газа, если при нагревании m = 0,5 кг этого газа на Т = 10 К изобарически требуется на Q = 1,48 кДж тепла больше, чем при изохорическом нагревании.

2.83 Идеальный газ, показатель адиабаты которого, расширяют так, что тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.

2.84 Идеальный газ расширился по закону P V, где численное значение = 0,1R. При этом начальный объем газа V1 = 20 л увеличился в n = 3 раза. Какую работу A совершил газ при расширении, если молярная теплоемкость газа в процессе Cмол Cмол R 2, где Cмол 21 Дж/(моль К) – молярная теплоемкость при постоянном объеме? Какое количество Q тепла получил газ?

2.85 Один киломоль идеального газа сжимают так, что давление и температура изменяются по закону P R 2. При этом начальный объем газа V1 = 3 л уменьшается в n = 3 раза. Какую работу А совершил газ при сжатии, и какое количество тепла Q выделилось, если молярная теплоемкость газа в процессе Cмол Cмол 2R, где Cмол = 21 Дж/(моль К) – молярная теплоемкость при постоянном объеме?

2.86 Один киломоль идеального газа сжимают так, что давление и температура изменяются по закону P = 0,1R. При этом конечное давление газа по сравнению с начальным Р1 = 0,01 МПа возрастает в n = 8 раз. Какую работу совершил газ при сжатии, если молярная теплоемкость газа в процессе Cмол Cмол R 2, где Cмол – молярная теплоемкость при постоянном объеме?

2.87 Один моль одноатомного идеального газа расширяется по закону: PV 2 const. Работа А, совершаемая газом, подсчитывается по формуле: A P1V1 P2 V2, где Р1, V1 – начальные параметры газа, Р2, V2 - конечные. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.

2.88 Определить молярную теплоемкость идеального газа как функцию его объема V, если газ совершает процесс по закону T T0e V.

Молярная теплоемкость газа Смол при постоянном объеме известна.

2.89 Определить молярную теплоемкость идеального газа как функцию его объема V, если газ совершает процесс по закону P P0e V.

Молярная теплоемкость газа Смол при постоянном объеме известна.

2.90 Один моль ( = 1 моль) идеального газа, теплоемкость которого при постоянном давлении СР, совершает процесс по закону T T0 V, где Т0 и - постоянные. Найти: 1) молярную теплоемкость газа как функцию его объема V; 2) сообщенное газу тепло при его расширении от V1 до V2.

2.91 Найти уравнение процесса (в переменных Т – V), при котором молярная теплоемкость идеального газа изменяется по закону:

1) Cмол Cмол T ; 2) Cмол Cмол V, где и - постоянные.

2.92 Имеется идеальный газ с показателем адиабаты. Его молярная теплоемкость при некотором процессе изменяется по закону:

Cмол / T, где - постоянная. Определить работу, совершенную одним молем газа при его нагревании от Т0 до температуры в раз большей.

2.93 В вертикальном, открытом сверху, цилиндрическом теплоизолированном сосуде сечением S = 120 см2 под невесомым поршнем находится одноатомный газ при давлении окружающего пространства Р0 = 105 Па и температуре Т0 = 300 К. Сосуд внутри разделен на две равные части горизонтальной перегородкой с небольшим отверстием. После того, как на поршень положили груз массой m = 0,36 кг, он переместился до перегородки. Найти установившуюся температуру.

цилиндрическом теплоизолированном сосуде находится поршень, удерживаемый ограничителем на некотором расстоянии от Поршень отделяет от внешнего пространства = 1 моль одноатомного газа при давлении в два раза меньшем атмосферного и температуре Т0. Какое количество тепла Q нужно сообщить газу, чтобы его объем увеличился в два раза? Трением пренебречь.

2.95 В длинном горизонтальном закрепленном цилиндрическом одноатомного газа. При нагревании газа поршень приходит в равноускоренное движение и приобретает через некоторое время скорость v = 0,2 м/с. Найти количество тепла Q, сообщенное газу.

Трением и теплоемкостью сосуда пренебречь.

3. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Второе начало (второй закон) термодинамики позволяет установить направление самопроизвольных термодинамических процессов. Оно также совместно с I началом дает возможность определить количественные соотношения между макроскопическими параметрами тел в состоянии термодинамического равновесия.

Термодинамический процесс, совершаемый системой, называется обратимым, если после него можно возвратить систему и всю окружающую среду в первоначальное состояние без каких либо изменений. Если процесс не удовлетворяет этому условию, то он – необратимый. Необходимое условие обратимости процесса в термодинамике – его равновесность (квазистатичность), т.е. любой обратимый процесс является равновесным, но не любой равновесный процесс обратим.

Все реальные процессы протекают с конечной скоростью и сопровождаются трением и теплообменом при конечной разности температур контактирующих тел. Следовательно, все реальные процессы, строго говоря, необратимы. Но в некоторых условиях протекания процессов их можно приближенно считать обратимыми.

Круговым процессом (циклом) называется совокупность нескольких термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. На диаграммах состояния (в координатах P-V, P-T, V-T) круговые процессы изображаются в виде замкнутых кривых. Тело, совершающее круговой процесс и обменивающееся энергией с другими телами, называется рабочим телом. Обычно таким телом является газ.

Круговые процессы лежат в основе всех тепловых машин.

Рассмотрим схематично работу тепловой машины по произвольному равновесному круговому процессу 1-a-2-b- (рис.3.1):

1) расширение из состояния в состояние 2 при получении нагревателя с совершением положительной работы A (площадь фигуры V11a2V2);

2) сжатие газа внешними силами из состояния 2 в состояние 1 с отдачей количества тепла Q холодильнику при совершении над газом работы A 2 (площадь фигуры V11b2V2), причем работа газа A2 < 0 и A2 = –A 2. За весь цикл газ совершает работу A = A1 + A2, численно равную площади 1а2b, ограниченной замкнутой кривой процесса. Таким образом, любая тепловая машина осуществляет прямой цикл, получая энергию в форме тепла от внешних источников и часть ее превращая в работу.

Обратным циклом называется круговой процесс с отрицательной работой системы, осуществляемый в холодильных установках, где рабочее тело получает энергию в виде работы внешних сил и передает ее в форме теплоты от холодного тела к более горячему (при этом замкнутая кривая в координатах P–V обходится против часовой стрелки).

Для циклического процесса полное изменение внутренней энергии U = 0 (совпадают начальное и конечное состояния). Следовательно, в соответствии с первым началом термодинамики общее количество тепла, сообщенное рабочему телу, равно работе, совершаемой телом за цикл Величина обратимый круговой процесс (цикл Карно), адиабат, как показано на рис.3.2. В прямом цикле Карно контакте с нагревателем T1 = Tн и Q1 > 0;

1/–2 – адиабатическое расширение (Q = 0);

2–2/ – изотермическое сжатие в контакте с холодильником T2 = Tх и Q2 < 0;

2/–1 – адиабатическое сжатие (Q = 0).

Элементарное количество тепла Q, полученное (отданное) системой, деленное на абсолютную температуру Т, при которой оно было получено, называется элементарным приведенным количеством тепла Q T. Соответственно величина Q T называется приведенным количеством тепла.

Для цикла Карно приведенные теплоты в процессах 1–1 и 2–2 равны поэтому КПД цикла Карно зависит только от температур, а не от устройства машины. КПД любой тепловой машины не может превосходить КПД идеальной машины Карно с теми же температурами нагревателя и холодильника.

Можно показать, что приведенное количество тепла Q T не зависит от пути перехода, а определяется только начальным и конечным состояниями системы. Для обратимых процессов оно является полным дифференциалом функции состояния системы S, называемой энтропией системы Энтропия системы определяется с точностью до произвольной постоянной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий двух равновесных состояний. Для обратимого процесса Если переход из начального состояния в конечное осуществляется несколькими последовательными процессами, то полное изменение энтропии равно алгебраической сумме изменений энтропии в каждом процессе.

Энтропия адиабатически изолированной системы в любом обратимом процессе не изменяется а в необратимом процессе возрастает Следовательно, энтропия изолированной системы не может убывать. Максимально возможное значение энтропии системы достигается в состоянии равновесия.

Для обратимых процессов выполняется термодинамическое тождество поэтому элементарная работа Значит, в природе невозможен процесс, в результате которого внутренняя энергия dU (тепловая энергия хаотического движения) перешла бы полностью в полезную работу (энергию направленного движения).

Таким образом, энтропия является мерой обесценивания тепловой энергии, мерой беспорядка (хаоса) в системе. Чем больше энтропия системы, тем меньше вероятность совершения системой полезной работы, а в состоянии равновесия система не может совершать полезную работу. Энтропия связана с вероятностью w осуществления данного состояния системы. Количественное соотношение установлено Больцманом где k =1,38 10 Дж/К постоянная Больцмана. Последнее выражение иногда считают еще одной математической формулировкой II начала термодинамики, так же и как принцип возрастания энтропии.

Задача 3.1 Тепловая машина работает по некоторому обратимому прямому циклу, КПД которого = 25%. Каков будет холодильный коэффициент этой машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении?

В обратном цикле рабочее тело будет отбирать у холодильника количество тепла Q2 и затем отдавать нагревателю количество теплоты Q1. Работа А, совершенная рабочим телом в обратном цикле, будет отрицательна.

Холодильный коэффициент (3.3) запишется Коэффициент полезного действия прямого цикла (3.1) где количество подводимого в этом цикле тепла можно выразить через холодильный коэффициент Следовательно Окончательно получаем максимальное давление в цикле Р1 = 26 10 Па, а минимальное - Р2 = 105 Па.

Определить объмы газа для характерных 29 10 кг/моль.

Для воздуха показатель адиабаты Максимальное давление в цикле Карно соответствует точке 1: P1 = 26 105 Па. Так как температура в этой точке известна T1 = 600 K, то из уравнения состояния идеального газа (1.11) Минимальное давление в цикле реализуется в точке 3: P3 = 105 Па, а температура в этой точке T3 = 300 К. Аналогично запишем Для точки 2 температура T2 = T1 = 600 K. Используем уравнение адиабаты 2– А также уравнение изотермы для процесса 1– Для точки 4 из уравнения адиабаты 4–1 получаем давление Р Из уравнения изотермы 3–4 объем в этой точке работает по обратному циклу Карно t1 = 27 C и t2 = –3 C (рис.3.4). Рабочее тело – азот массой m = 2 кг. Найти за цикл, если отношение максимального объма к минимальному n = 5. Молярная масса азота = 28 10–3 кг/моль.

Искомое количество теплоты получено рабочим газом от охлаждаемого тела в процессе 4–3: Q2 = Q 43. Поскольку это процесс изотермического расширения, то Из графика цикла очевидно, что максимальный объм за цикл V3, а минимальный V1. Тогда по условию V3 V1 n. Из уравнения адиабаты 1–4:

Перемножив почленно два последние равенства, получим Подставляя это выражение, для Q43 имеем:

Работа внешних сил за цикл: A Q1 Q2, а так как для цикла Карно приведенные теплоты в изотермических процессах одинаковы (3.4), то Задача 3.4 Тепловая машина работает по циклу Карно.

Температура нагревателя t 1 400 0 C, холодильника t 2 20 0 C.

Рабочим телом служат m = 2 кг воздуха. Давление в конце изотермического расширения Р2 равно давлению Р4 в начале адиабатического сжатия. Время выполнения цикла = 1 с. Построить цикл Карно в координатах (S T) энтропия температура и найти мощность двигателя, работающего по этому циклу. Молярная масса воздуха = 0,029 кг/моль Рассмотрим последовательно процессы, входящие в цикл Карно.

тепла. Тогда, согласно (3.7) участок вертикальной прямой 1-2 на рис.3.6.

Процесс 2-3 (рис.3.5) – адиабатическое расширение, Q23 = 0, следовательно S2 = S3, а температура уменьшается до диаграмме S–Т (рис.3.6) соответствует горизонтальный участок 2-3.

Процесс 3-4 изотермическое сжатие тепла холодильнику, поэтому Q 34 < 0, а Рис. 3. значит и S 34 < 0 энтропия убывает.

Процесс 4-1 адиабатическое сжатие при Q41 0, а поэтому S 4 S1, температура возрастает до значения T1.

Коэффициент полезного действия цикла Карно где Q 1 = Q12 – количество тепла, полученное рабочим телом на участке изотермического расширения 1-2. Тогда работа за цикл Мощность двигателя адиабатического сжатия 4– Подставляя Q1 в выражение для мощности N, получим Задача 3.5 Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из изотермического, изобарического и адиабатического процессов. В изобарическом процессе рабочее тело – идеальный газ – нагревается от температуры T1 = 200 K до температуры T2 = 500 K. Определить коэффициент полезного действия данного теплового двигателя и двигателя, работающего по циклу Карно, происходящему между максимальной и минимальной температурами данного цикла.

последовательность процессов, составляющих 1 цикл, но поскольку изобарический процесс идет с ростом температуры, то на графике прямая этого процесса должна лежать адиабатического процессов. Поэтому, как изобарического расширения, потом первоначальной температуры, а затем изотермическим сжатием газ последовательность процессов не удовлетворяет условию задачи).

В данном цикле газ получает теплоту в процессе 1–2, поэтому Q1 = Q12, а отдает теплоту в процессе 3–1, то есть Q2 = Q31. Процесс 2–3 адиабатический Q23 = 0.

Количество теплоты, получаемое в изобарическом процессе Количество теплоты, отдаваемое в изотермическом процессе Для адиабатического процесса 2–3, учитывая, что T1 = T3, имеем Извлекая корень степени ( – 1) из левой и правой частей, получим В изобарическом процессе 1–2:

Перемножая эти выражения, получим:

Тогда, тепло, отдаваемое в адиабатическом процессе Показатель адиабаты выражаем через число степеней свободы молекулы газа Окончательно, отдаваемое тепло Коэффициент полезного действия цикла (3.2) максимальной и минимальной температурами Задача 3.6 Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в n = 10 раз. Рабочим веществом является азот.

КПД любого цикла (3.2) запишется отдается в изохорическом процессе 2–3.

совершается, имеем Процессы 1–2 и 3–4 адиабатические (Q12 = 0 и Q34 = 0). Тогда КПД цикла Воспользуемся уравнениями адиабат для получения соотношений между температурами цикла с учетом того, что V2 = V3 и V4 = V Вычитая два последних уравнения, получаем Для азота N2 показатель адиабаты условию задачи, следовательно Задача 3.7 Кислород массой m = 0,4 кг нагревают при постоянном давлении от температуры t1 = 17 C до температуры t2 = 97 C. Найти изменение энтропии газа. Молярная масса кислорода = 0,032 кг/моль.

Изменение энтропии в обратимом процессе, согласно (3.7), Подставляя, получим Окончательно изменение энтропии равно Задача 3.8 Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального газа в количестве = 5 моль, чтобы приращение его энтропии составило S = 45,65 Дж/К?

В изотермическом процессе T = const, поэтому элементарное количество тепла, согласно первому началу термодинамики (2.6), Тогда приращение энтропии по (3.7) Температуру выразим из уравнения состояния идеального газа Подставляя, получим Перепишем последнее выражение в виде потенцируем, и получим итоговую формулу Задача 3.9 Идеальный газ совершает цикл 1–2–3–1, в пределах которого абсолютная температура изменяется в n раз, где T – температура, S – энтропия. Найти КПД цикла.

КПД цикла выражается формулой (3.2) где Q1 – подводимое от нагревателя тепло, Q2 – тепло, отданное холодильнику.

Согласно определению энтропии (3.7) то есть знаки дифференциалов dS и Q совпадают.

Из этого выражения следует а значит тепло, подводимое или отводимое в цикле определяется площадью под графиком процесса на Т–S диаграмме.

На участке 1-2 S2 < S1, поэтому газ отдает тепло Q12 < 0. Площадь под графиком процесса На участке 2-3 S3 > S2, газ поглощает тепло Q23 > 0. Определяем площадь под графиком процесса адиабатический (без теплообмена).

Тогда для данного цикла Q1 = Q23 и Q2 = Q12. КПД цикла Задача 3.10 Теплоизолированный сосуд разделен на две равные части перегородкой, в которой имеется закрывающееся отверстие. В одной части сосуда находится водород массой m = 10 г. Другая часть сосуда откачана до глубокого вакуума. Отверстие в перегородке открывают, и газ заполняет весь объем. Считая газ идеальным, найти приращение его энтропии. Молярная масса водорода = 2 10–3 кг/моль.

Расширение газа в условиях задачи является необратимым процессом. Энтропия в результате необратимого процесса увеличивается, а ее изменение определяется только начальным и конечным состояниями системы. Чтобы найти это изменение, надо рассмотреть любой обратимый процесс, переводящий систему из начального состояния в конечное.

Поскольку газ изолирован от окружающей среды, и его температура не изменяется, то можно рассмотреть обратимое изотермическое расширение с увеличением объема в 2 раза. В изотермическом процессе Выразим давление из уравнения состояния идеального газа Подставим давление в интеграл Задачи для самостоятельного решения 3.11 Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в n = 4 раза выше абсолютной температуры холодильника. Какую долю теплоты, получаемой за один цикл от нагревателя, газ отдает холодильнику?

3.12 Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в n = 3 раза выше, чем температура холодильника.

Нагреватель передал газу количество тепла Q1 = 42 кДж. Какую работу совершил газ за цикл?

3.13 Газ совершает цикл Карно. Температура холодильника T2 = 290 K. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температуру нагревателя повысить с Т1 = 400 К до T1 = 600 К?

3.14 Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу A = 2,94 кДж и отдает за один цикл холодильнику количество тепла Q2 = 13,4 кДж. Найти КПД цикла.

3.15 Газ, совершающий цикл Карно 2/3 теплоты Q1, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Температура холодильника T2 = 280 К. Определить температуру нагревателя.

3.16 Найти КПД тепловой машины, совершающей цикл Карно, если работа за цикл равна A = 10 Дж, а работа на участке изотермического сжатия А = 5 Дж.

3.17 Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, за цикл получает от нагревателя количество теплоты Q1 = 2,512 кДж.

Температура нагревателя T1 = 400 K, температура холодильника T2 = 300 K. Найти работу, совершаемую машиной за один цикл, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодильнику.

3.18 Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл работу A = 73,5 кДж. Температура нагревателя t1 = 100 C, температура холодильника t2 = 0 C. Найти КПД цикла, количество теплоты Q1, получаемое за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодильнику.

3.19 В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на T или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

3.20 Тепловую машину, работающую по циклу Карно с КПД = 10%, используют при тех же температурах нагревателя и холодильника как холодильную машину. Найти ее холодильный коэффициент k.

холодильной машины для поддержания температуры некоторого резервуара t2 = –3 C. Температура окружающего воздуха t1 = 27 C.

Какая механическая работа требуется для выполнения одного цикла машины, если при этом от резервуара отводится Q2 = 900 Дж тепла?

3.22 Температура пара, поступающего из котла в паровую машину, t1 = 227 С, температура в конденсоре t2 = 27 C. Какова теоретически максимальная работа, которую можно получить при затрате количества теплоты Q1 = 4180 Дж?

3.23 У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n = 1,6 раза больше температуры холодильника. За один цикл машина производит работу A = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается на изотермическое сжатие рабочего тела?

3.24 Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = раза; б) давление уменьшается в n = 2 раза.

3.25 Один киломоль кислорода совершает цикл Карно в диапазоне температур от T1 = 6270C до T2 = 3270С. Отношение максимального давления к минимальному для этого цикла составляет Pmax / Pmin = 60.

Вычислить: а) КПД этого цикла ; б) количество теплоты Q1, полученное от нагревателя за цикл; в) количество тепла Q2, отданное холодильнику за цикл; г) работу А, совершаемую газом за цикл.

температуру нагревателя повысили на n1 = 10%, а температуру холодильника понизили на n2 = 20% от их первоначальных значений.

После этого КПД машины изменился на n3 = 15% по сравнению с первоначальным значением. Найти начальный и конечный КПД машины.