«Председатель: д. т. н., профессор И. В. Черных Секция 5. Моделирование в Simulink Оглавление Анимица О. В., Кувшинов В. М. ПРОГРАММА ПОДДЕРЖКИ БАЗ ДАННЫХ DATABASE MANAGER ДЛЯ КОМПЛЕКСА FLIGHTSIM В СРЕДЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ...»

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

блочно-импульсная аппроксимация (штриховая линия)/ При достаточно большом числе интервалов разбиения оси абсцисс m точки пересечения кривой с ее аппроксимацией находятся приблизительно посередине отрезков (i 1)h и ih, т. е. имеют абсциссы (i 0.5)h. Это является следствием метода наименьших квадратов, а именно равенство площадей, ограниченных данной кривой и ее аппроксимацией. Зная элементы блочно-импульсного спектра, можно построить аппроксимацию сигнала на основе линейной интерполяции между серединами подинтервалов разбиения оси аргумента.

Уравнение для определения коэффициентов интерполирующей кривой будет иметь вид:

Значения X (i ) и X (i + 1) рассчитываются по формуле (4). Разрешая (8) относительно i и i, получим:

Уравнение аппроксимирующей прямой определяется формулой:

Но аппроксимация (9) строится на интервале 0 + h, T h, поэтому на интервалах 0, h и T h, T кривая экстраполируется. Тогда полное уравнение аппроксимирующей прямой будет иметь вид:

Так как в вышеизложенных методах аппроксимирующий спектр сигнала рассчитывается практически по одной формуле, то S-модель анализатора сигнала можно представить в следующем виде (рис. 2).

Здесь блок Х0 определяет спектр сигнала x(t ) для метода блочноимпульсных функций и интерполяционно-экстраполяционного метода по формуле (4), а вместе с блоком Х1 по формуле (7) — для метода аппроксимирующих импульсных спектров. При восстановлении сигнала по определенному методу выбирается необходимый вектор коэффициентов (либо Х0, либо Х0 и Х1). Полученный спектр записывается в рабочую область для дальнейшей обработки.

При моделировании динамических систем нецелого порядка, операция дробного интегро-дифференцирования сводится к операции интегрирования и заменяется операцией умножения на матрицу интегрирования соответствующего порядка.

Рассмотрим сигнал x(t), который аппроксимируется обобщенным полиномом вида (3). Тогда операция дробного интегрирования по формуле (1) сводится к интегрированию образующих функций vi (t ). Обозначим через r = i j, i, j = 1, m, номер диагонали матрицы интегрирования P. Тогда после преобразований получим треугольную матрицу вида:

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

S-модель, выполняющая расчет матрицы интегрирования, которая является теплицевой нижнетреугольной, приведена на рис. 3.

Рис. 3. Схема расчета матрицы интегрирования дробного порядка.

Моделирование динамической системы нецелого порядка в системе локально-импульсных функций по рассмотренным методам проводится по следующей схеме:

– интегро-дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, приводится к интегральному уравнению путем последовательного применения оператора интегрирования;

– по формулам (4) и (6) рассчитываются локально-импульсные спектры всех известных функций и констант, и по формуле (11) — матрицы интегрирования необходимого порядка;

– записывается преобразованное уравнение в операционной области, с учетом правил спектральной алгебры;

– в результате решения алгебраического уравнения в операционной области, находится блочно-импульсный спектр неизвестного сигнала;

– строится аппроксимация решения по выбранному методу (3), (5) Проиллюстрируем изложенную схему на примере. Рассмотрим дробное дифференциальное уравнение вида [5]:

где 0 < < 1, f — заданная функция на интервале [0, 1], A 0 и x — неизвестная функция. Здесь D x — дробная производная порядка функции х по Риману-Лиувиллю. Заданный интервал изменения аргумента позволяет учесть начальные условия подобно обыкновенным дифференциальным уравнениям.

При = 1 2 уравнение (12) описывает поведение модели затухания в механике, где х является перемещением, A = 1 ( — вязкость) и f (t ) = lN (t ) ( EV ). Здесь l — длина исследуемого объекта, V — объем, Е — модуль Юнга и N(t) — внешняя сила.

Уравнение типа (12) описывает процессы диффузии, а также применяется в электродинамике, электрохимии, материаловедении, теории ультра-медленных процессов, теории специальных функций и др.

начальные условия x(0 ) = 0. Точное решение уравнения x(t ) = t 2. Проинтегрируем уравнение и с учетом нулевых начальных условий, перейдем к уравнению в операционной области:

где Е — единичная матрица порядка m; Р(1/2) — матрица интегрирования порядка 1/2; F — спектр интеграла правой части уравнения.

На рис. 4 представлена S-модель решения дифференциального уравнения в операционной области (верхняя часть). Найденный спектр решения подается на входы блоков, восстанавливающих сигнал, в частности, для блочно-импульсной аппроксимации и интерполяционноэкстраполяционного метода. На рис. 5. показаны результаты работы модеТруды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

ли — аппроксимации, точное решение и соответствующие ошибки аппроксимации.

Integr_Matrix Рис. 4. S-модель решения дифференциального уравнения нецелого порядка.

Рис. 5. а) Точное решение уравнения, блочно-импульсная аппроксимация и аппроксимация по интерполяционно-экстраполяционному методу;

Операционный метод моделирования позволяет получать алгебраические аналоги динамических систем целого и дробного порядков, которые допускают эффективные реализации метода блочно-импульсных спектров. В свою очередь интерполяционно-экстраполяционный метод повышает точность блочно-импульсной аппроксимации без увеличения вычислительных затрат.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Литература 1. Oldham K. B., Spanier О. The fractional calculus.— New York&London:

Academic Press, 1974.— 234 p.

2. Васильев В. В., Грездов Г. И., Симак Л. А. и др. Моделирование динамических систем: Аспекты мониторинга и обработки сигналов.— К.: НАН Украины, 2002.— 344 с.

3. Симак Л. А. Аппроксимирующие импульсные спектры в приложении к дробно дифференциальному анализу.— Киев, 1989.— 56 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т проблем моделирования в энергетике, 89–8).

4. Васильев В. В., Симак Л. А., Тодорова А. М. Интерполяционноэкстраполяционный метод цифровой обработки сигналов на основе смещенных систем базисных функций // Моделювання та інформаційні технології.— 2004.— Вип.13.— С.13–23.

5. Diethelm K. An algorithm for the numerical solution of differential equations of fractional order // Electronic transactions on numerical analysis.— 1997.— V.5.— №5.— Р.1–6.

УДК 519.

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ЛЕСНОЙ ОТРАСЛИ

ПРОИЗВОДСТВЕННО–ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО СЕКТОРА

ЭКОНОМИКИ

Пермский государственный университет, Пермь, В последнее время имитационное моделирование получило большое развитие и становится все более широко используемым. В основном, его используют для создания модели и анализа сложных систем, для которых воспользоваться аналитическими средствами для решения и анализа не представляется возможным. Некоторые экономические проблемы можно формализовать с помощью математических моделей. Иногда возникают более сложные задачи, решение которых с помощью математических моделей не отвечает существу поставленной проблемы. Кроме того, самым главным преимуществом является то, что это стохастический подход, позволяющий учитывать влияние множественных случайных факторов.

Этот метод позволяет построить наиболее адекватную модель сложной системы. С появлением ЭВМ одним из наиболее важных и полезных орудий анализа структуры сложных систем становится имитационное моделирование.

Имитационное моделирование применяется в любой отрасли наук

и.

Первоначально имитационное моделирование использовалось в ходе реализации авиакосмической программы, но на самом деле область его применения гораздо обширнее. В настоящее время оно используется для исследования разнообразных систем в различных областях, в частности в коммерческой деятельности, экономике, маркетинге, в исследовании проблем городов, транспортных системах, в системе образования и здравоохранения, политике и обществоведении, в кадровой политике, а также в теории управления и исследования операций, в управлении промышленными предприятиями и организациями, в стратегическом анализе и др.

Остановимся немного подробнее на понятии, целях и преимуществах выбранного подхода.

Под имитационным моделированием будем понимать процесс конструирования модели реальной системы и постановки эксперимента на этой модели с целью понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторыми критериями или их совокупностью) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы. Вообще, имитационное моделирование применяется для исслеТруды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

дования границ и структур системы с целью решения конкретной проблемы; определения и анализа критических элементов, компонент и точек в исследуемых системах и процессах; для синтеза и оценки предполагаемых решений; прогнозирования и планирования будущего развития исследуемых систем.

Цели имитационного моделирования следующие:

описать поведение системы;

построить теорию и гипотезы, которые могут объяснить наблюдаемое поведение;

использовать это для предсказания будущего поведения системы, т. е. тех воздействий, которые могут быть вызваны изменениями в системе или способе ее функционирования.

Укажем несколько основных положений определения имитации.

1. Это численный метод, используемый в крайнем случае, когда аналитических способов для анализа модели нет. Для многих проблем экономики и теории управления предприятием имитация — единственный пригодный метод исследования.

2. Это эксперимент. Особое внимание следует обратить на его планирование и обработку результатов.

3. Хотя ЭВМ не является необходимым элементом проведения имитационного эксперимента с моделью экономической системы, она ускоряет процесс, уменьшая возможность ошибки (будем рассматривать только машинные эксперименты).

4. Машинная имитация позволяет исследовать поведение модели как в определенный момент времени, так и в течение длительного периода (статическая и динамическая имитация).

5. Большинство имитационных экспериментов с моделями экономических систем являются стохастической имитацией (содержит случайные функции времени). Если в модель включить случайные величины, то с помощью имитационного эксперимента можно сделать выводы о поведении системы в целом, основываясь на вероятностном распределении случайных величин (метод Монте-Карло).

Каковы же преимущества имитационного моделирования? Машинная имитация дает возможность экспериментировать с большим числом переменных, с большим числом правил принятия решений и с более сложными моделями, точнее описывающими реальное поведение систем. Можно выделить следующие преимущества:

1. Имитация позволяет исследовать сложные внутренние взаимодействия в рассматриваемой системе.

2. С помощью имитации можно изучать воздействие на функционирование системы некоторых информационных и органических изменений, а также изменений во внешней обстановке.

3. Детальное наблюдение имитируемой системы (знания, полученные при ее обработке) позволяет лучше ее понять и разработать предложения по улучшению.

4. Имитация сложных систем дает представление о том, какие переменные наиболее существенны и как они взаимодействуют.

5. Имитация служит для изучения новой ситуации, для проверки новых стратегий и правил принятия решений перед проведением эксперимента на реальной системе.

6. Для некоторых типов статистических моделей особо значима последовательность событий. Данные только об ожидаемых значениях и моментах могут быть недостаточны для описания процесса. Тогда единственный способ для получения информации — метод МонтеКарло.

7. Если имитационное моделирование применять в течение длительного периода, то есть возможность создавать модели с периодическим циклом. Также оно помогает при составлении прогнозов относительно возможного поведения системы в будущем.

8. Имитация типа Монте-Карло может служить и для проверки аналитических решений.

9. Имитация позволяет изучать динамические системы в реальном или приведенном времени.

Основной метод имитационного моделирования — метод статистических испытаний (метод Монте-Карло, о котором уже часто упоминалось выше). Вследствие этого и, кроме того, сложности моделей, одним из необходимых средств имитационного эксперимента является ЭВМ. Поэтому любая имитационная модель представляет собой более или менее сложный программный продукт. Как и любая другая программа, имитационная модель может быть разработана на любом универсальном языке программирования, кроме того, существует довольно много специальных языков программирования для разработки исследуемого подхода (например, такие как СЛАМ, GPSS, ФОРТРАН, СИМУЛА и пр.). Поэтому на пути разработчика модели возникают следующие проблемы: требуется знание не только области исследования, но и хорошее знание языков программирования, причем на достаточно высоком уровне. Помимо этого, интерес представляет не столько эффективности системы, сколько ее поведение в той или иной ситуации, а для этого нужно изменять характеристики системы в достаточно широких пределах (причем не дожидаясь окончания текущего эксперимента),сохранять внесенные изменения до тех пор, пока они необходимы.

В настоящее время есть вычислительная система, позволяющая очень эффективно решать эти проблемы — пакет МАTLAB, а точнее содержащийся в его составе инструмент визуального моделирования Simulink. Важным достоинством Simulink является то, что это открытая систеТруды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

ма, т. е. она позволяет пользователю пополнять библиотеку блоков и дорабатывать ее в соответствии с их потребностями. Кроме того, в ходе моделирования пользователь имеет возможность наблюдать за процессами, происходящими в системе, для этого используются специальные «смотровые окна», входящие в состав библиотеки Simulink. Интересующие характеристики могут быть представлены как в числовом, так и графическом варианте, а еще можно включить в состав модели анимацию.

Для иллюстрации имитационного подхода и применения широких возможностей Simulink нами была рассмотрена модель лесоперерабатывающей отрасли производственного сектора. Целью было построение и анализ имитационной модели средствами инструмента Simulink для нахождения общей тенденции развития отрасли и для прогноза в будущем. Модель включает уравнения для производства пиломатериалов, для производства бумаги, целлюлозы, картона, уравнение, моделирующее количество рабочих, занятых в производстве и заработную плату. Коэффициенты модели получены с помощью метода наименьших квадратов (как уравнения линейной и нелинейной регрессии) по статистическим данным, опубликованным в открытой печати. Кроме того, была проведена оценка достоверности полученных уравнений. В результате мы получили следующую модель:

Переменные модели Д(t) — годовой объем древесины П(t) — годовой объем производства пиломатериалов Ц(t) — годовой объем производства целлюлозы Б(t) — годовой объем производства бумаги К(t) — годовой объем производства картона N(t) — количество рабочих, занятых в производстве Е(t) — средняя заработная плата П(t) = 0,402Д(t) — 0,007П(t — 1) — 52100,47 R = 0, Б(t) = — 0,047Д(t) + 0,644Б(t — 1) + 18233,67 R = 0, К(t) = 0,012Д(t) + 0,815К(t — 1) — 4339,24 R = 0, Ц(t) = 0,013Д(t) + 0,837Ц(t — 1) — 3705,37 R = 0, N(t) = -12,661Д(t) + 122,51Д(t) + 169,9 R = 0, R — выборочный коэффициент корреляции, позволяющий оценить достоверность полученных уравнений.

По описанной модели были просчитаны траектории значений эндогенных переменных с 1960–1985 годы (интервал — 5 лет). Были построены диаграммы реальных и имитируемых траекторий и проведен дисперсионный анализ полученных решений для оценки пригодности модели.

Хотя взятая нами модель довольна проста (многие факторы, влияющие на производство не учитываются вследствие нехватки статистических данных по отрасли) и лишь частично описывает реальную экономическую систему, нашей целью было научится применять технику имитационного моделирования, показать возможности пакета MATLAB для построения и анализа таких моделей. Взяв пока простейшую модель и отработав на ней технику проведения имитационного эксперимента, в будущем мы планируем применение полученного опыта к построению и исследованию более сложных моделей, более адекватных и описывающих реальные системы.

Ведь техника имитационного моделирования довольна молода и очень перспективна и с помощью пакета MATLAB довольно просто и эффективно реализуется, кроме того он дает возможность очень хорошей визуализации результатов.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

УДК 519.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАСЧЕТА

СИСТЕМ ЗАПРАВКИ РАКЕТЫ КОСМИЧЕСКОГО

НАЗНАЧЕНИЯ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА SIMULINK

Конструкторское бюро общего машиностроения им. В. П. Бармина, Москва, Система заправки ракеты космического назначения (РКН) компонентами топлива представляет собой гидравлическую систему, содержащую средства вытеснения и (или) насосной закачки компонента, основную магистраль и магистрали отдельных баков РКН с запорно-технологической арматурой, а также собственно баки [1].

На рис. 1 в качестве примера приведена упрощенная расчетная гидравлическая схема системы заправки насосом трех баков РКН, на которой обозначено: Hi1, Hi2 — напоры в начале и в конце i–й магистрали соответственно; H1 — напор на входе насоса; i — приведенные коэффициенты гидравлического сопротивления i-ой магистрали; Qi — расходы в i-ой магистрали.

Принимая, что потери напора пропорциональны величине скоростного напора в магистрали, а напоры H12, H22 и H32 постоянны, получим систему уравнений Из условия равенства напоров в узловой точке равенства расходов и заданной напорной характеристики насоса Hн=f(Q0), при которой получаем уравнение для Q Остальные расходы при известном Q0 определяются из системы (1).

Рис. 1. Гидравлическая схема заправки насосом трех баков.

Рассмотренная выше задача, ввиду того, что H12, H22 и H32 принимались постоянными, являлась стационарной.

На рис. 2 приведена блок-схема решения стационарной задачи для произвольного количества баков средствами пакета Simulink [2].

Рис. 2. Блок-схема задачи расчета системы заправки.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Если уровень заполнения бака зависит от времени, то задача является нестационарной.

Схема простой нестационарной задачи заправки насосом одного бака приведена на рис. 3.

Рис. 3. Гидравлическая схема нестационарной задачи заправки бака насосом.

Дифференциальное уравнение для расхода по магистрали в этом случае имеет вид где F — площадь поперечного сечения бака.

Если HН=Const и при начальных условиях t=0; H(0)=H На рис. 4 приведена блок-схема решения нестационарной задачи для произвольного количества баков средствами пакета Simulink.

Рис. 4. Блок-схема задачи расчета нестационарного процесса заправки.

Приведенные на рис. 2 и 4 блок-схемы несложно дополнить и изменить при наличии двух насосов включенных параллельно или последовательно, при необходимости получения времени заправки отдельных баков и др.

Литература 1. Космодром / Под ред. А. П. Вольского.— М.: Воениздат, 1977.— 310 с.

2. Дьяконов В. Simulink 4. Специальный справочник.— СПб.: Питер, 2002.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

УДК 519.

ИНТЕРАКТИВНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

В СРЕДЕ MATLAB/SIMULINK

Московский государственный институт электронной техники При проектировании вычислительных устройств и систем управления часто возникает задача нахождения аппроксимирующих функций для зависимостей, которые не могут быть вычислены с помощью простых арифметических операций: сложение, вычитание, умножение и деление.

Для решения этой задачи исходная функция заменяется полиномом или рациональной дробью, параметры которых находятся в процессе минимизации ошибки приближения по выбранному критерию, например, среднеквадратичному или равномерному [1]. В некоторых случаях в качестве аппроксимирующей функции применяется совокупность полиномов (сплайн) или рациональных дробей.

Имеющиеся в среде MATLAB средства для приближения функций (команда polyfit, Curve Fitting Toolbox, пакет numapprox из ядра Maple, интегрированного в MATLAB) решают поставленную задачу в классическом виде и не позволяют управлять поведением аппроксимирующей функции на интервале приближения и его краях, а также вводить взаимную зависимость параметров аппроксимирующей функции.

Цель данной работы — создание в среде MATLAB инструмента для гибкой и наглядной аппроксимации функций полиномами или рациональными дробями с возможностью интерактивного управления ошибкой приближения. Это позволяет при поиске аппроксимирующих функций более полно учитывать особенности технической задачи и возможности практической реализации полученных приближений в приборах и системах.

В связи с тем, что полином можно рассматривать как частный случай рациональной дроби с полиномом знаменателя нулевого порядка, рассмотрим алгоритм нахождения параметров рационального приближения для функции F(x) на интервале xmin x xmax. Заметим, что хотя бы один из коэффициентов знаменателя b0 … bM отличен от нуля. Следовательно, можно сделать этот коэффициент равным единице путем деления на него всех коэффициентов числителя и знаменателя рациональной дроби. В дальнейшем будем считать b0 = 1.

1этап. Интерполируем функцию F(x) рациональной дробью R(x) на интервале xmin x xmax в N+M+1 точках Число точек интерполяции соответствует количеству независимых переменных R(x). Значения узлов интерполяции выберем произвольно, например, равномерно. В результате интерполяции получим систему N+M+ линейных уравнений Решением данной системы уравнений является набор параметров a0 … aN, b1 … bM аппроксимирующей функции R(x).

2 этап. Построим график ошибки приближения (x) с весом q(x) Для абсолютной ошибки q(x)=1, для относительной ошибки q(x)=1/F(x).

3 этап. Проанализируем график ошибки приближения и изменим положение узлов интерполяции там, где необходимо изменить величину ошибки приближения. Сближение узлов интерполяции приводит к уменьшению ошибки аппроксимации между узлами, а удаление — к увеличению ошибки соответственно.

После этого переходим к этапу 1 с новыми узлами интерполяции. В результате повторения этапов 1,2 и 3 до достижения требуемого вида ошибки аппроксимации получаем итоговые значения параметров a0 … aN, b1 … bM аппроксимирующей функции R(x).

Выполнение этапов 1 и 2, связанных с большим объемом вычислений, возложено на компьютер. Этап 3 проводит человек. Такое распределение обязанностей делает процесс аппроксимации интерактивным и позволяет наиболее полно использовать возможности человека и компьютера.

Для реализации изложенного алгоритма в среде MATLAB/ Simulink разработана модель approximation.mdl, приведенная на рис. 1.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Рис.1. Модель интерактивной аппроксимации функций.

Данная модель интерполирует функцию рациональной дробью в виде отношения полиномов второго порядка с взаимосвязанными коэффициентами знаменателя Такие условия возникают при аппроксимации синусной и косинусной функций рациональными дробями с одинаковыми знаменателями.

Модель включает генератор четырех управляемых узлов аппроксимации, выполненных на основе стандартных блоков Slider Gain SG1 … SG4, формирователь и решатель системы линейных уравнений (1) SOLVER, вычислитель аппроксимирующей функции и ошибки приближения CALCULATOR и дисплеи для отображения результатов моделирования: X[I] — вектор узлов аппроксимации, C[I] — вектор параметров аппроксимирующей функции, блок SCOPE отображает аппроксимирующую функцию и ошибку приближения. Установив бесконечное время моделирования и предел временного интервала в блоке Scope, равный единице, можно непрерывно наблюдать графики аппроксимирующей функции и ошибки приближения в процессе коррекции узлов аппроксимации. Изменяя положения узлов аппроксимации с помощью блоков Slider Gain SG1 … SG4, добиваемся желаемой формы ошибки аппроксимации. На дисплеях X[I] и C[I] отображаются вектора узлов аппроксимации и параметров апСекция 5. Моделирование в Simulink проксимирующей функции.

Реализация блоков SOLVER, CALCULATOR и блока ERROR изображена на рис. 2, 3 и 4.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

В результате моделирования получено три варианта аппроксимирующей функции:

- при произвольном расположении узлов аппроксимации - при расположении одного из узлов аппроксимации в начале диапазона изменения аргумента функции - при расположении двух узлов аппроксимации в начале и конце диапазона изменения аргумента функции Модель approximation.mdl является удобным инструментом для интерактивной аппроксимации функций в среде MATLAB/Simulink. Она наглядно показывает процесс поиска желаемого приближения и может быть легко настроена на особенности конкретной рациональной дроби или полинома.

Литература 1. Калиткин Н. Н. Численные методы.— М.: Наука, 1978.— 512 с.

УДК 621. 313.

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АДАПТИВНОГО

УПРАВЛЕНИЯ ДОБЫЧЕЙ НЕФТИ В ПАКЕТЕ

MATLAB/SIMULINK

Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа, Современное состояние развития методов и технических средств добычи нефти из малодебитных высокообводненных скважин переживает драматический период, обусловленный, во-первых, тем, что все скважины на заключительной стадии эксплуатации переходят в разряд малодебитных по нефти, а технология добычи и технологическое оборудование остается прежним. Во-вторых, изменение режимов продуктивного пласта и добывающих скважин требует соответствующего изменения режимов добычи на основе повышения экономичности и снижения себестоимости добычи нефти, а технические средства, которые могут осуществить это, отсутствуют.

Наиболее экономичными с точки зрения затрат энергии являются наземные приводы штанговых скважинных насосных установок (ШСНУ) маятникового типа (осцилляторы) [1, 2].

В современной технике практически не используются колебательные системы маятникового типа (кроме часовых механизмов), обладающие всеми признаками маятника. Поэтому представляет интерес использование маятника в системе привода ШCНУ.

Рассмотрим привод насоса, в работе которого используется принцип действия крутильного маятника Максвелла (рис. 1).

Рис. 1. Кинематическая схема наземного привода ШCНУ с крутильным маятником.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

В начале рабочего цикла (колонна штанг опущена) электропривод через редуктор 5 вращает маховик 6 и барабаны 4.1 и 4.2, соединенные цепью 4, и с помощью троса 3, соединенного с цепью 4 в точке А, поднимает колонну штанг в верхнее положение. В точке А происходит перемена направления движения штанг насоса.

Рабочий процесс начинается с опускания колонны штанг под действием гравитационных сил. Потенциальная энергия штанг при опускании преобразуется в кинетическую энергию вращения маховика 6. Кинетическая энергия вращения маховика, запасённая в период опускания колонны штанг, используется для поднятия груза в период хода вверх. Потери, неизбежные при движении всех элементов глубинно-насосной установки, не позволяют поднять штанги на исходную высоту только за счёт энергии маховика.

Когда кинетическая энергия маховика иссякает, электропривод продолжает подъём штанг до достижения ими первоначального положения, тем самым происходит компенсация потерь в колебательной системе.

Для определения оптимального закона управления приводом ШCНУ разработана имитационная модель в математическом пакете фирмы MathWorks — MATLAB Simulink 4.0. Привод ШCНУ маятникового типа с электродвигателем представляет собой сложную нелинейную колебательную динамическую систему. Свободные колебания крутильного маятника описываются следующим дифференциальным уравнением:

где — циклическая частота свободных колебаний маятника, x — координата перемещений маятника.

Циклическая частота свободных колебаний системы зависит от жесткости и массы маятника:

где с — жесткость колебательной системы; M — масса маятника.

Из (2) следует, что циклическая частота свободных колебаний системы изменяется обратно пропорционально квадратному корню массы системы.

Благодаря заполнению насоса жидкостью при движении его вверх подвижная масса увеличивается, а при движении вниз — уменьшается. Так как клапанная система насоса срабатывает в течение некоторого времени, вследствие чего нагрузка на подвижную систему насоса изменяется постепенно, то и изменение циклической частоты колебаний системы также происходит постепенно.

Приближенно оценить циклическую частоту системы позволяет следующее соотношение:

где f — частота колебаний системы.

Диапазон изменения частоты качаний ШCНУ — от 1 до 5 качаний в минуту. Поэтому диапазон изменения квадрата циклической частоты примерно 0,01670,274 рад2/с2. При движении насоса вверх скорость положительна, масса насоса c поднимаемой жидкостью выше, следовательно, ниже. При движении насоса вниз скорость отрицательна, масса насоса ниже, следовательно, 2 больше. Поскольку насос наполняется/освобождается от жидкости постепенно, то и изменение 2 происходит постепенно (предположительно по линейному закону).

Рис. 2. График изменения 2 от скорости перемещения штанг.

На рис. 2 представлена зависимость 2 = f ( x), где x — скорость перемещения точки подвески штанг (ТПШ). В модели эта зависимость реализуется функцией multip.m.

Решением уравнения (1) являются синусоподобные затухающие колебания; искажения формы синусоиды происходят в результате изменения, а затухание в результате потерь энергии при подъеме жидкости насосом. На рис. 3 представлены затухающие свободные колебания станкакачалки для точки B (рис. 1) из положения +3м, при условии, что ось координат r направлена вдоль цепи 4.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Рис. 3. Свободное движение системы из положения ТПШ +3м.

Изломы кривой объясняются кусочно-ломаным характером характеристики 2 = f ( x), (рис. 1). Модель данной системы представлена на рис. 4. Изменение реализует блок MATLAB Function, который, в свою очередь, обращается к функции multip.m.

Рис. 4. Модель колебательной системы, совершающей свободные колебания.

В случае линейной системы схема (рис. 4) являлась бы просто решением уравнения (1), записанным на графическом языке Simulink — решение представляло бы собой незатухающую синусоиду (вся система в целом представляла бы собой колебательное консервативное звено).

Рис. 5. Модель колебательной системы с затуханиями.

Введем в модель отрицательную обратную связь по скорости для моделирования диссипативных потерь в результате вязкого и жидкостного трения в виде усилительного звена с коэффициентом усиления 0.06. Схема такой системы в Simulink представлена на рис. 5.

На рис. 6 представлен график движения точки B (рис. 1) из положения +3м с диссипативными потерями на трение.

Рис. 6. Движение колебательной системы с диссипативными потерями.

Что касается закона движения ТПШ, то в результате крепления троса, на который подвешивается колонна штанг к цепи между блоками 4.1 и 4.2 (рис. 1), движения ТПШ вдоль оси координат, направленной вверх от ШCНУ, будут подчиняться следующему закону: когда точка крепления троса А движется по оси r, тогда x =|r|, когда А движется против направления оси r, тогда x = -|r|. При движении точки А по поверхности блока (примем его радиус за 0,3 м), x будет изменяться по синусоидальному закону (рис. 7).

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Указанную зависимость x = f(r) реализует блок MATLAB Function, который использует функцию wheel.m. Движение из положения +3м ТПШ представлено на рис. 8. Схема модели в Simulink представлена на рис. 9.

Анализируя траекторию движения ТПШ (рис. 7), можно заключить, что в результате накопления кинетической энергии маховиком 6 (рис. 1) ТПШ преодолевает более половины хода насоса вверх по инерции. Таким образом, путем приложения дополнительной энергии в точке A (рис. 8) и принудительного перевода ТПШ в точку B можно достичь устойчивых рабочих колебаний насоса.

Регулируя наклон прямой восстановления AB можно регулировать период качания насосной установки, и, таким образом, производительность насоса.

Следовательно, энергия электропривода будет употребляться только на компенсацию потерь энергии в результате жидкостного и вязкого трения, а также потерь энергии, затраченной на подъем скважинной жидкости.

Рис. 8. Траектория движения ТПШ из положения +3м.

Перемещение ШCНУ под действием электропривода можно упрощенно описать прямой, проходящей из точки A в точку B (рис. 8), уравнением в координатах x и t :

Примем момент включения электродвигателя равным 4 3TC (рис. 8).

Для реализации блока «Электропривод» создадим подсистему Simulink «Drive out». Поскольку в (4) входит время t, воспользуемся блоком Simulink «Clock» — на выходе которого формируется текущее время моделирования (рис. 10).

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Формирование сигнала по формуле (4) в моменты времени, отстоящие от начала подъема на Tc/2, реализуется функцией Drive.m.

После подъема электроприводом штанг в положение +3 м происходит повторение цикла спуска насоса и раскручивания маховика. При моделировании требуется «сброс» блоков интеграторов для «возвращения» модели в нулевые начальные условия (состояние +3 м) при достижении точки B (рис. 8). Для сброса интеграторов создадим подсистему «Reset intgs»

(рис. 11), и зададим порты сброса для интеграторов Integrator и Integrator (рис. 12).

Блок «Ground» используется для предотвращения предупреждений Simulink о свободном входе блока MATLAB Function. Сброс системы производится выработкой ненулевого выходного сигнала в зависимости от состояния флага — глобальной переменной bReset_model (функция reset_model.m).

Установка флага bReset_model производится внутри функции Drive.m.

Рис. 12. Модель Simulink с подсистемами Drive out и Reset intgs.

Уравнение (4) реализуется в Drive.m следующим образом:

res=-(((3-Local_max_z)/Delta_t)*(t-(T_counter*T_half))+Local_max_z).

Электродвигатель включается периодически в определенные моменты времени, таким образом, на выходе подсистемы «Drive out» формируется трапецеидальный сигнал (рис. 13).

Рис. 13. График работы подсистемы Drive out от времени моделирования.

Рассмотрим некоторые параметры функции Drive.m.

Delta_t — время подъема электроприводом ТПШ в положение +3м.

T_counter — множитель для определения времени включения двигателя. Инкрементируется каждый цикл работы двигателя переменной T_counter_increment.

T_half — время спуска ТПШ из положения +3 м (фиксируется автоматически).

Local_max_z — наивысшее положение ТПШ, достигнутое за счет запасенной энергии маховика (фиксируется автоматически).

Путем подбора установлены значения параметров, обеспечивающие работу ШСНУ для различных скоростей электропривода. Путем подбора параметров T_counter и T_counter_increment построены графики движения ТПШ для Delta_t = 5, 7, 10 с (рис. 1416).

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

На основании полученных значений параметров T_counter и T_counter_increment составим графики их зависимости от Delta_t (рис. 17).

Таким образом, при использовании зависимости, приведенной на рис. 17, появляется возможность регулировать период качаний ШCНУ в широких пределах, что позволяет создать автоматическую систему управления производительностью насоса.

Положим, что производительность насоса Q прямо пропорциональна частоте качаний привода f :

где Tс — константа для каждого отдельно взятого станка-качалки и насосного оборудования. Изменяя tп (время подъема электроприводом штанг и насоса с жидкостью), можно производить регулирование f в пределах 1/Tc 0 Гц.

На рис. 18 представлена схема системы автоматического управления (САУ) привода ШCНУ маятникового типа.

Рис. 18. САУ технологическими режимами ШCНУ:

Hд0 — заданный (расчетный) динамический уровень жидкости в скважине, — ошибка управления, U — управляющее воздействие регулятора (контроллера), Q — производительность насоса, Hд — текущий динамический уровень жидкости в скважине.

Таким образом, используя возможности моделирования в пакете MATLAB Simulink, можно с достаточной для практического применения точностью провести подбор технологических режимов работы ШCНУ, обеспечив тем самым снижение энергозатрат и повышение эффективности нефтедобычи.

Возможность автоматизированного управления режимом ШСН в соответствии с текущим значением дебита продуктивной скважины позволяет по-новому организовать процесс нефтеизвлечения. На малодебитной по нефти высокообводненной стадии эксплуатации в скважине существенно изменяется характеристика среды — вместо заполненного нефтью ствола (характерного для высокодебитной стадии эксплуатации скважины) значительную высоту нижней части скважины занимает вода, в верхней части скапливается нефть. Изменившаяся характеристика внутрискважинной среды требует применения других технологических приемов нефтеизвлечения. Схема организации подъема нефти показана на рис. 19. Для исключения воды из добываемой скважинной жидкости прием насоса должен быть помещен в слой нефти в верхней части скважины, причем уровень приема насоса совпадает со статическим уровнем воды в скважине при отсутствии нефти.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Пусть в рассматриваемый момент времени скважина заполнена водой, а величина пластового давления постоянна — Pпл = const. Тогда статический уровень воды, зависящий от величины пластового давления, определяется выражением:

где в — плотность воды (1,016 г см3 ); g — ускорение свободного падения (9,8062 м с 2 ).

При накоплении слоя нефти в верхней части скважины, высота которой hн, необходимо определить положение нижнего уровня слоя нефти — границу раздела нефти и воды:

где н — плотность нефти.

Рис. 19. Схема размещения глубинного насоса на поздней стадии Обозначим динамический уровень скважинной жидкости (верхнюю границу слоя нефти) через x, а нижнюю границу слоя нефти (границу раздела нефти и воды) — через y. Тогда hн = y x, hв = H y, а н / в = k, где H — глубина скважины (рис. 20). Полная глубина скважины будет определяться выражением:

Отсюда определяем функциональную зависимость положения границы раздела нефти и воды y от положения динамического уровня x Зная эту зависимость (рис. 21), для целей управления режимом насоса можно ограничиться измерением только динамического уровня, хотя созданный для этой цели прибор может измерять обе границы нефтяного слоя.

В начале процесса нефтеизвлечения, когда слой нефти достаточно велик, насос работает в режиме интенсивной откачки. По мере уменьшения слоя нефти верхняя и нижняя границы нефтяного слоя приближаются с двух сторон к приему насоса. Для того чтобы насос работал эффективно, необходимо ограничить уменьшение слоя нефти уровнем «страхового слоя» — hmin = ymin xmax (рис. 19).

В случае уменьшения слоя нефти до нуля, уровень воды поднимется до уровня приема насоса. График изменения уровней жидкостей в скважине представлен на рис. 21.

Учитывая предложенную схему нефтеизвлечения, автоматизированная система управления, показанная на рис. 18, приобретает вид, представленный на рис. 22.

При изменении динамического уровня и связанного с ним функциональной зависимостью нижнего уровня слоя нефти (границы раздела нефти и воды) с помощью САУ производится изменение подачи насоса Q:

где 1, 2, 3 — коэффициенты, учитывающие влияние подачи насоса, взаимовлияние x и y и давления пласта соответственно на уровень слоя нефти.

Рис. 20. Функциональная зависимость y = f (x ) уровня границы раздела нефти и воды от динамического уровня скважинной жидкости.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Рис. 21. График изменения уровней жидкостей в скважине на поздней Рис. 22. Система автоматического управления технологическим режимом ШСНУ в соответствии с текущим значением дебита На рис. 23 представлена схема САУ добычей нефти в MATLAB Simulink.

Уравнение для уровня жидкости в скважине:

где Q — производительность насоса: Q = W·h·kзап·Sпл; W — число двойных ходов привода насоса: W = 1/(Tсобст+Tвосст); Tсобст — период собственных колебаний привода; Tвосст = 0,1 мин — период восстановления начального положения точки подвеса штанг — управляемый параметр, который зависит от электропривода насоса (блок Drive); h — высота хода (3 м); kзап — коэффициент заполнения насоса (0,7); Sпл — площадь плунжера насоса (блок Pump).

Для реализации указанной зависимости в Simulink воспользуемся интегратором с входом (x0), реализующим начальные условия (блок Well).

Разделив производительность насоса на площадь горизонтального сечения забойной зоны, получим скорость изменения уровня х.

Блоки R1 и R2 являются регуляторами. Блок Debit реализует дебит скважины (он пропорционален разнице начального и текущего уровней жидкости x-x0).

Блок Xopt — реализует заданный оптимальный уровень жидкости в скважине. В результате моделирования получены зависимости уровня жидкости в скважине x(t) и уровня раздела вода-нефть y(t) от времени (рис. 24).

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

Таким образом, предложенная модель нефтеизвлечения позволяет наиболее полно использовать запасы нефти и при этом исключить оборот воды, снизить металлоемкость ШСНУ за счет уменьшения глубины подвески насоса, уменьшить энергозатраты в 2,5-4 раза за счет снижения нагрузки на штанги и применения маятникового принципа работы наземного привода ШСНУ.

Литература 1. Шаньгин Е. С., Тагирова К. Ф. Система адаптивного управления режимами работы штанговых глубинных насосных установок // Мехатроника.— 2001.— №6.

2. Шаньгин Е. С. Автоматизированный привод глубинных насосов.— Уфа: Изд-во УТИС, 2001.

УДК

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ТОВАРНОГО СОРТА ПЛОДОВ

Мичуринский государственный аграрный университет, Мичуринск, Тамбовская обл., 1. Процедура имитации сортирования плодов Для окончательного определения качества плода, которое выражается категорией «товарный сорт», при автоматическом сортировании необходимо иметь также блок определения товарного сорта по результатам анализа изображения. Для приближения моделирующего алгоритма к реальному процессу сортирования плодов он должен содержать в себе процедуры (рис. 1):

– ввода информации (изображения плодов);

– отнесения каждого пикселя к одному из показателей качества поверхности плода (16 видов);

– определения площади, занимаемой на плоде каждым показателем качества;

– расчета товарного сорта;

– выдачи результата расчета товарного сорта на исполнительные Целью моделирования является отработка методов распознавания качества, а также реализация методов определения товарного сорта.

Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

2. Имитационная модель устройства сортирования плодов Создание средств сортирования плодов по качеству является достаточно сложной задачей не только с точки зрения создания средств распознавания качества, но и в не меньшей степени — при создании соответствующих устройств подачи плодов в зону осмотра и их отвода к исполнительным механизмам для разделения потока на товарные сорта.

Имитационная модель устройства сортирования плодов приведена на рис. 2. Она состоит из пяти блоков:

Б1 — генератора изображений показателя качества;

Б2 — блока весовых коэффициентов;

Б3 — блока порогов показателей качества;

Б4 — блока расчета товарных сортов;

Б5 — блока исполнительных механизмов.

Блок Б5 исполнительных механизмов собственно не относится к имитационной модели, но его наличие предполагает законченность функционирования имитационной модели. Этот блок должен быть принадлежностью сортировочной машины.

Генератор изображений показателей качества Генератор изображений показателя качества Б1 предназначен для формирования пикселей цветовых RGB составляющих изображения поверхности плода различного качественного состояния и подсчета их площади. С этой целью был использован банк изображений плодов, рис. 2, в котором находятся математические ожидания RGB составляющих различных показателей качества поверхности плодов и фона, а также их среднеквадратические отклонения. Вышеуказанные характеристики изображений плодов обозначены на рисунке 2 как элемент 1.

В блоке Б1 по математическим ожиданиям и среднеквадратическим отклонениям генерируются RGB составляющие одновременно по 16-ти каналам (показателям качества):

Случайное значение из разрешенных базой данных с доверительными интервалами ±3S генерируются с помощью генератора случайных чисел 2 и расчетного элемента 3, на выходе которого имеются три сигнала для каждой RGB составляющей для всех пикселей изображения плода всех 16-ти каналов. На рисунке 2 показан только один канал, остальные каналы блока Б1 — идентичны.

Рис. 2. Изображения плодов с различными показателями качества:

1 — фон; 2 — зеленая здоровая; 3 — красная здоровая; 4 — парша; 5 — прокол свежий;

6 — прокол заживший; 7 — сдир кожицы; 8 — растрескивание; 9 — чашечка; 10 — воронка; 11 — гниль плодовая; 12 — грибная гниль; 13 — ушиб; 14 — сетка; 15 — Сгенерированная таким образом тройка чисел может быть пропущена через фильтр, ограничивающий по желанию исследователя размах выборки в процессе эксперимента. Это осуществляется с помощью специального блока 35 — ширина окна показателя качества. В этом элементе находятся вектора чисел, определяющие желаемые границы изменения каждой из RGB составляющих, которые подаются на входы сравнения элементов 4–9. На выходе каждой из пар элементов 4–5, 6–7, 8–9, подсоединенных соответственно к схемам совпадения 10–12, появляются логические 1 в случае, если сгенерированная RGB составляющая находится внутри инТруды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

тервала, определяемого элементами 4–9. Математически это выражается следующим образом:

где: (Rmax – Rmin ) — ширина окна R составляющей; (Gmax – Gmin ) — ширина окна G составляющей; (Bmax – Bmin ) — ширина окна B составляющей;

FR, FG, FB — сигналы на выходе блоков 10-12.

На выходе элемента совпадений Это означает, что сгенерирован пиксель в заданном окне, соответствующем номеру канала — показателю качества. В элементе 38 записаны, вводятся исследователем, величины площадей показателей качеств, которыми необходимо ограничить моделируемый процесс в силу тех или иных причин. В изображение вводится столько пикселей данного показателя качества, сумма которых соответствует площади данного показателя Si, сколько введено в элемент 38.

Сигнал F13 = 1 подается на счетчик пикселей — элемент 14, который подсчитывает их количество за определенное время T или кадр изображения ( В случае если ограничением является время, то оно задается пакетом Simulink MATLAB, а если ограничением является кадр изображения — то количеством пикселей в одном кадре. Полученная сумма пикселей Si на выходе элемента 14 соответствует площади того i-го показателя, к которому относится канал:

Таким образом с выхода блока Б1 выводится площади до 16 показателей качества поверхности изображения плода.

Simulink — модели некоторых элементов блока Б1 приведены на рис. 3–5.

4. Блок весовых коэффициентов Б Блок весовых коэффициентов Б2 предназначен для свертки количества показателей и учета влияния разных показателей качества на величину искомого товарного сорта. На его входы поступают площади показателей качества Si c блока Б1. Снижение количества показателей качества обусловлено необходимостью упрощения модели, и особенно ее эксплуатации — большое количество одновременно встречающихся показателей в одной партии маловероятно. Поэтому все показатели разделены на пять групп:

1. Механических повреждений, пятен (элемент 15, входы 4, 7, 10);

2. Ушибов от механических повреждений, нажимов (элемент 16, 3. Болезни сада и хранилища, физиологические заболевания (элемент 17, входы 11,12,16);

4. Свежие проколы (элемент 18, входы 5, 6);

5. Здоровые плоды (элемент 19, входы 2, 3,8, 9).

Рис. 4. Установка размаха выборки. Рис. 5. Установка ширины окна.

Предполагается, что влияние показателей качества в каждой группе на конечный результат - товарный сорт одинаковые и что они имеют одинаковые весовые коэффициенты wi. В каждой группе площади отдельных показателей суммируются:

- на выходе первой группы (элемент 15) - на выходе второй группы (элемент 16) Труды II научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB»

- на выходе третьей группы (элемент 17) - на выходе четвертой группы (элемент 18) - на выходе пятой группы (элемент 19) Выход элемента 19- площадь здоровой части плода. Сумма всех площадей дает размер плода:

Если площади болезней стремятся к нулю, то площадь здоровой поверхности характеризует размер плода.

Так как влияние каждой группы показателей на величину товарного сорта различно, то площади с выходов умножаются в элементах 20–24 на соответствующие весовые коэффициенты wi :

Весовые коэффициенты задаются и хранятся в в специальном блоке, Simulink- модель которого приведена на рис.6. Выбор коэффициентов осуществляется путем экспертных оценок в интервале 0–1.

5. Блок порогов показателей качества Блок Б3 порогов показателей качества предназначен для определения частного товарного качества по каждой группе показателей. Частный товарный сорт — это уровень площади повреждения отдельной группы показателей Si относительно некоторых границ - пороговых значений площади. Задаются пороги площадей групп показателей, не более 3 - Si1 < Si2 < Si3, с помощью которых можно разделить поток на 4 товарных сорта Ts по правилу:

ssSetErrorStatus(S,»Parameter to S-function must be a scalar.»);