Лекция 9

План лекции

1. Моделирование недетерминированного конечного 

автомата

2. Моделирование недетерминированного магазинного 

автомата.

3. Программа планирования поездки. 

Моделирование недетерминированного конечного 

автомата

Недетерминированный конечный автомат (НКА) определяется 

пятеркой , где Q ­множество состояний, S —  множество символов, D — отображение из QхS в Q, I — начальное  состояние, F — множество конечных состояний. Если  отображение является функцией, то рассматриваемый автомат — детерминированный.

Недетерминированный конечный автомат ­ это абстрактная  машина, которая читает символы из входной цепочки и решает,  допустить или отвергнуть эту цепочку. Автомат имеет несколько  состояний и всегда находится в одном из них. Он может изменить  состояние, перейдя из одного состояния в другое. Внутреннюю  структуру такого автомата можно представить графом переходов, как  показано на рисунке.  В этом примере S1, S2,   S3  и  S4  ­ состояния  автомата. Стартовав из начального состояния (в нашем примере это S1  ), автомат переходит из состояния в состояние по мере чтения  входной цепочки. Переход зависит от текущего входного символа, как  указывают метки на дугах графа переходов.

 Пример недетерминированного конечного автомата.

Переход выполняется всякий раз при чтении входного символа.  Заметим, что переходы могут быть недетерминированными. На  рисунке  видно, что если автомат находится в состоянии S1, и текущий  входной символ равен  а,  то переход может осуществиться как в S1,  так и в  S2.  Некоторые дуги помечены меткой пусто, обозначающей  "пустой символ". Эти дуги соответствуют "спонтанным переходам"  автомата. Такой переход называется спонтанным, потому что он  выполняется без чтения входной цепочки. Наблюдатель,  рассматривающий автомат как черный ящик, не сможет обнаружить,  что произошел какой­либо переход.

Состояние S3 обведено двойной линией, это означает, что S3 ­  конечное состояние. Про автомат говорят, что он допускает входную  цепочку, если в графе переходов существует путь, такой, что:

(1)        он начинается в начальном состоянии, (2)        он оканчивается в конечном состоянии, и (3)        метки дуг, образующих этот путь, соответствуют полной  входной цепочке.

Решать, какой из возможных переходов делать в каждый момент  времени ­ исключительно внутреннее дело автомата. В частности,  автомат сам решает, делать ли спонтанный переход, если он возможен  в  Допущение цепочки:    (a)    при чтении первого символа X;

(b)    при совершении спонтанного перехода.

текущем состоянии. Однако абстрактные недетерминированные  машины такого типа обладают волшебным свойством: если  существует выбор, они всегда избирают "правильный" переход, т.е.  переход, ведущий к допущению входной цепочки при наличии такого  перехода. Автомат на рисунке, например, допускает цепочки  аb  и   aabaab,   но отвергает цепочки  abb  и  abba.   Легко видеть, что этот  автомат допускает любые цепочки, оканчивающиеся на  аb  и  отвергает все остальные.

Некоторый автомат можно описать на Прологе при помощи трех  отношений:

(1)        Унарного отношения конечное, которое определяет конечное  состояние автомата.

(2)        Трехаргументного отношения переход, которое определяет  переход из состояния в состояние, при этом         переход( S1, X, S2) означает переход из состояния S1 в S2, если считан входной символ X.

(3)        Бинарного отношения         спонтанный( S1, S2) означающего, что возможен спонтанный переход из S1 в S2.

Для автомата, изображенного на рисунке, эти отношения будут  такими:

        конечное( S3).

        переход( S1, а, S1).

        переход( S1, а, S2).

        переход( S1, b, S1).

        переход( S2, b, S3).

        переход( S3, b, S4).

        спонтанный( S2, S4).

        спонтанный( S3, S1).

Представим входные цепочки в виде списков Пролога. Цепочка  ааb   будет представлена как [а, а, b]. Модель автомата, получив его  описание, будет обрабатывать заданную входную цепочку, и решать,  допускать ее или нет. По определению, недетерминированный автомат  допускает заданную цепочку, если (начав из начального состояния)  после ее прочтения он способен оказаться в конечном состоянии.  Модель программируется в виде бинарного отношения допускается,  которое определяет принятие цепочки из данного состояния. Так         допускается( Состояние, Цепочка) истинно, если автомат, начав из состояния Состояние как из  начального, допускает цепочку Цепочка. Отношение допускается  можно определить при помощи трех предложений. Они соответствуют  следующим трем случаям:

(1)        Пустая цепочка [ ] допускается из состояния S, если S ­  конечное состояние.

(2)        Непустая цепочка допускается из состояния S, если после  чтения первого ее символа автомат может перейти в состояние S1, и  оставшаяся часть цепочки допускается из S1. Этот случай  иллюстрируется на рис. 4.4(а).

(3)        Цепочка допускается из состояния S, если автомат может  сделать спонтанный переход из S в S1, а затем допустить (всю)  входную цепочку из S1. Такой случай иллюстрируется на рис. 4.4(b).

Эти правила можно перевести на Пролог следующим образом:

        допускается( S, [ ]) :­                                % Допуск пустой цепочки               конечное( S).

        допускается( S, [X | Остальные]) :­                                % Допуск чтением первого символа               переход( S, X, S1),               допускается( S1, Остальные).

        допускается( S, Цепочка) :­                                % Допуск выполнением спонтанного перехода               спонтанный( S, S1),               допускается( S1, Цепочка).

Спросить о том, допускается ли цепочка  аааb,   можно так:

        ?­  допускается( S1, [a, a, a, b]).

        yes             (да) Как мы уже видели, программы на Прологе часто оказываются  способными решать более общие задачи, чем те, для которых они  первоначально предназначались. В нашем случае мы можем спросить  модель также о том, в каком состоянии должен находиться автомат в  начале работы, чтобы он допустил цепочку  аb:

        ?­  допускается( S, [a, b]).

        S = s1;

        S = s Как ни странно, мы можем спросить также "Каковы все цепочки  длины 3, допустимые из состояния s1?"         ?­  допускается( s1, [XI, Х2, X3]).

        X1 = а         Х2 = а         Х3 = b;

        X1 = b         Х2 = а         Х3 = b;

        nо               (нет) Если мы предпочитаем, чтобы допустимые цепочки выдавались в виде  списков, тогда наш вопрос следует сформулировать так:

        ?­ Цепочка = [ _, _, _ ], допускается( s1, Цепочка).

        Цепочка = [а, а, b];

        Цепочка = [b, а, b];

        nо                (нет) Можно проделать и еще некоторые эксперименты, например спросить:  "Из какого состояния автомат допустит цепочку длиной 7?" Эксперименты могут включать в себя переделки структуры автомата,  вносящие изменения в отношения конечное, переход и спонтанный.  В автомате, изображенном на рисунке, отсутствуют циклические  "спонтанные пути" (пути, состоящие только из спонтанных  переходов). Если  добавить новый переход         спонтанный( s1, s3) то получится "спонтанный цикл". Теперь наша модель может  столкнуться с неприятностями. Например, вопрос         ?­  допускается( s1, [а]).

приведет к тому, что модель будет бесконечно переходить в  состояние s1, все время надеясь отыскать какой­либо путь в конечное  состояние.

Моделирование недетерминированного магазинного  автомата (раздел 14.3 из книги Л.Стерлинга и  Планирование поездки (Раздел 4.4 книги Братко) В данном разделе мы создадим программу, которая дает советы по  планированию воздушного путешествия. Эта программа будет  довольно примитивным советчиком, тем не менее она сможет отвечать  на некоторые полезные вопросы, такие как:  По каким дням недели есть прямые рейсы из Лондона в  Как в четверг можно добраться из Любляны в Эдинбург?  Мне нужно посетить Милан, Любляну и Цюрих; вылетать нужно  из Лондона во вторник и вернуться обратно в Лондон в пятницу.  В какой последовательности мне следует посещать эти города,  чтобы ни разу на протяжении поездки не пришлось совершать  более одного перелета в день.  Центральной частью программы будет база данных, содержащая  информацию о рейсах. Эта информация будет представлена в виде  трехаргументного отношения:

        расписание( Пункт1, Пункт2, Список_рейсов) где  Список_рейсов  ­  это список, состоящий из структурированных  объектов вида:

        Время_отправления / Время_прибытия / Номер_рейса                                               / Список_дней_вылета Список_дней_вылета ­ это либо список дней недели, либо атом  "ежедневно". Одно из предложений, входящих в расписание могло бы  быть, например, таким:

        расписание( лондон, эдинбург,                         [ 9:40 / 10:50 / bа4733/ ежедневно,                         19:40 / 20:50 / bа4833 / [пн, вт, ср, чт, пт, сб]] ).

Время представлено в виде структурированных объектов, состоящих  из двух компонент ­ часов и минут, объединенных оператором ":".

Главная задача состоит в отыскании точных маршрутов между двумя  заданными городами в определенные дни недели. Ее решение мы  будем программировать в виде четырехаргументного отношения:

        маршрут( Пункт1, Пункт2, День, Маршрут) Здесь Маршрут ­ это последовательность перелетов,  удовлетворяющих следующим критериям:

(1)        начальная точка маршрута находится в Пункт1;

(2)        конечная точка ­ в Пункт2;

(3)        все перелеты совершаются в один и тот же день недели ­ День;

(4)        все перелеты, входящие в Маршрут, содержатся в  определении отношения расписание;

(5)        остается достаточно времени для пересадки с рейса на рейс.

Маршрут представляется в виде списка структурированных объектов  вида         Откуда ­ Куда : Номер_рейса : Время_отправления Мы еще будем пользоваться следующими вспомогательными  предикатами:

(1)        рейс( Пункт1, Пункт2, День, N_рейса, Вр_отпр, Вр_приб) Здесь сказано, что существует рейс N_рейса между Пункт1 и Пункт2  в день недели День с указанными временами отправления и прибытия.

(2)        вр_отпр( Маршрут, Время) Время ­ это время отправления по маршруту Маршрут.

(3)        пересадка( Время1, Время2) Между Время1 и Время2 должен существовать промежуток не менее  40 минут для пересадки с одного рейса на другой.

Задача нахождения маршрута напоминает моделирование  недетерминированного автомата из предыдущего раздела:  Состояния автомата соответствуют городам.  Переход из состояния в состояние соответствует перелету из  одного города в другой.  Отношение переход автомата соответствует отношению  расписание.  Модель автомата находит путь в графе переходов между  исходным и конечным состояниями; планировщик поездки  находит маршрут между начальным н конечным пунктами  Неудивительно поэтому, что отношение маршрут можно определить  аналогично отношению допускает, с той разницей, что теперь нет  "спонтанных переходов". Существуют два случая:

(1)        Прямой рейс: если существует прямой рейс между пунктами  Пункт1 и Пункт2, то весь маршрут состоит только из одного  перелета:

        маршрут( Пункт1, Пункт2, День, [Пункт1­Пункт2 : Nр :  Отпр]):­               рейс( Пункт1, Пункт2, День, Np, Отпр, Приб).

(2)        Маршрут с пересадками: маршрут между пунктами Р1 и Р2  состоит из первого перелета из P1 в некоторый промежуточный пункт  Р3 и маршрута между Р3 и Р2. Кроме того, между окончанием  первого перелета и отправлением во второй необходимо оставить  достаточно времени для пересадки.

        маршрут( Р1, Р2, День, [Р1­Р3 : Nр1 : Отпр1 | Маршрут]) :­               маршрут( Р3, Р2, День, Маршрут ),               рейс( Р1, Р3, День, Npl, Oтпpl, Приб1),               вр_отпр( Маршрут, Отпр2),               пересадка( Приб1, Отпр2).

Вспомогательные отношения рейс, пересадка и вр_отпр  запрограммировать легко; мы включили их в полный текст программы  планировщика поездки на рис. 4.5. Там же приводится и пример базы  данных расписания.

Наш планировщик исключительно прост и может рассматривать пути,  очевидно ведущие в никуда. Тем не менее его оказывается вполне  достаточно, если база данных о рейсах самолетов невелика. Для  больших баз данных потребовалось бы разработать более  интеллектуальный планировщик, который мог бы справиться с  большим количеством путей, участвующих в перебора при  нахождении нужного пути.

Вот некоторые примеры вопросов к планировщику:  По каким дням недели существуют прямые рейсы из Лондона в          ?­ рейс( лондон, любляна, День, _, _, _ ).

        День = пт;

        День = сб;

        no                 (нет) 

% ПЛАНИРОВЩИК ВОЗДУШНЫХ МАРШРУТОВ

рейс( Пункт1, Пункт2, День, Np, ВрОтпр, ВрПриб) :­     расписание( Пункт1, Пункт2, СписРейсов),     принадлежит( ВрОтпр / ВрПриб / Nр / СписДней, СписРейсов),     день_выл( День, СписДней).

принадлежит( X, [X | L] ).

принадлежит( X, [Y | L] ) :­       принадлежит( X, L ).

день_выл( День, СписДней) :­       принадлежит( День, СписДней).

день_выл( День, ежедневно) :­       принадлежит( День, [пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс] ).

маршрут( P1, P2, День, [Р1­Р2 : Np : ВрОтпр] ) :­                                                 % прямой рейс       рейс( P1, P2, День, Np, ВрОтпр, _ ).

маршрут( Р1, Р2, День, [Pl­P3 : Np1 : Oтпp1 | Маршрут]) :­                                                 % маршрут с пересадками       маршрут( Р3, P2, День, Маршрут ),       рейс( Р1, Р3, День, Npl, Oтпp1, Приб1),       вр_отпр( Маршрут, Отпр2),       пересадка( Приб1, Отпр2).

вр_отпр( [Р1­Р2 : Np : Отпр | _ ], Отпр).

пересадка( Часы1 : Минуты1, Часы2 : Минуты2) :­       60 * (Часы2­Часы1) + Минуты2 ­ Минуты1 >=  % БАЗА ДАННЫХ О РЕЙСАХ САМОЛЕТОВ расписание( эдинбург, лондон,       [ 9:40 / 10:50 / bа4733 / ежедневно,       13:40 / 14:50 / ba4773 / ежедневно,       19:40 / 20:50 / bа4833 / [пн, вт, ср, чт, пт, вс] ] ).

расписание( лондон, эдинбург,       [ 9:40 / 10:50 / bа4732 / ежедневно,       11:40 / 12:50 / bа4752 / ежедневно,       18:40 / 19:50 / bа4822 / [пн, вт, ср, чт, пт] ] ), расписание( лондон, любляна,       [13:20 / 16:20 / ju201 / [пт],        13:20 / 16:20 / ju213 / [вс] ] ).

расписание( лондон, цюрих,       [ 9:10 / 11:45 / bа614 / ежедневно,       14:45 / 17:20 / sr805 / ежедневно ] ).

расписание( лондон, милан,       [ 8:30 / 11:20 / bа510 / ежедневно,       11:00 / 13:50 / az459 / ежедневно ] ).

расписание( любляна, цюрих,       [11:30 / 12:40 / ju322 / [вт,чт] ] ).

расписание( любляна, лондон,       [11:10 / 12:20 / yu200 / [пт],        11:25 / 12:20 / yu212 / [вс] ] ).

расписание( милан, лондон,       [ 9:10 / 10:00 / az458 / ежедневно,       12:20 / 13:10 / bа511 / ежедневно ] ).

расписание( милан, цюрих,       [ 9:25 / 10:15 / sr621 / ежедневно,       12:45 / 13:35 / sr623 / ежедневно ] ).

расписание( цюрих, любляна,       [13:30 / 14:40 / yu323 / [вт, чт] ] ).

расписание( цюрих, лондон,       9:00 / 9:40 / bа613 /       [ пн, вт, ср, чт, пт, сб],       16:10 / 16:55 / sr806 / [пн, вт, ср, чт, пт, сб] ] ).

расписание( цюрих, милан,       [ 7:55 / 8:45 / sr620 / ежедневно ] ).

 Планировщик воздушных маршрутов и база данных о рейсах  Как мне добраться из Любляны в Эдинбург в четверг?

        ?­ маршрут( любляна, эдинбург, чт, R).

        R = [любляна­цюрих : уu322 : 11:30, цюрих­лондон:

        sr806 : 16:10,         лондон­эдинбург : bа4822 : 18:40 ] Как мне посетить Милан, Любляну и Цюрих, вылетев из Лондона  во вторник и вернувшись в него в пятницу, совершая в день не  более одного перелета? Этот вопрос сложнее, чем предыдущие.  Его можно сформулировать, использовав отношение  перестановка, запрограммированное в гл. 3. Мы попросим найти  такую перестановку городов Милан, Любляна и Цюрих, чтобы  соответствующие перелеты можно было осуществить в несколько  последовательных дней недели:

        ?­ перестановка( [милан, любляна, цюрих],                                         [Город1, Город2, Город3] ),         рейс( лондон, Город1, вт, Np1, Oтпp1, Пpиб1),         peйc( Город1, Город2, ср, Np2, Отпр2, Приб2),         рейс( Город2, Город3, чт, Np3, Отпp3, Приб3),         рейс( Город3, лондон, пт, Np4, Отпр4, Приб4).

        Город1 = милан         Город2 = цюрих         Город3 = любляна         Npl = ba         Отпр1 = 8:         Приб1 = 11:         Np2 =sr         Отпр2 = 9:         Приб2 = 10:                  Np3 = yu         Отпр3 = 13:         Приб3 = 14:         Np4 = yu         Отпр4 = 11:         Приб4 = 12:20