[ Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский Государственный Университет
Механико-математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
_
РЕГ №_ От «_» _200г.
Базовая учебная программа дисциплины
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ
Для студентов специальностей 1-31 03 01 Минск, 200 Предисловие 1 РАЗРАБОТАНА Белорусским государственным университетомИСПОЛНИТЕЛИ:
Липницкий В.А. – профессор кафедры дифференциальных уравнений БГУ РЕЦЕНЗЕНТ:ОДОБРЕНА на заседании кафедры дифференциальных уравнений БГУ протокол № от 14 декабря 2007 г.
ОДОБРЕНА на заседании Ученого совета механико-математического факультета протокол № 4 от 18 декабря 2007 г.
Ответственный за редакцию:
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Современная цивилизация характеризуется переходом в информационную эпоху.Этот переход начался со второй половины 20-го века взрывным развитием теории и практики современных цифровых систем связи, развитием нанотехнологий и всеобщей компьютеризацией. Теоретические основы современных телекоммуникационных систем связи и компьютерных сетей вытекают из результатов современной алгебры и математической логики. Поэтому осмысление последних достижений в теории и практике современных цифровых систем связи, средствах и системах защиты информации возможно лишь на пути совместного изучения новейших результатов алгебры, теории чисел, математической логики и их прикладных аспектов.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью преподавания дисциплин цикла «математические методы защиты информации»является знакомство с теоретико-числовыми и алгебраическими алгоритмами защиты информации от помех и несанкционированного доступа.
Преподавание дисциплины решает следующие задачи:
1. Познакомить студентов с прикладными аспектами теории чисел, теории групп, теории конечных полей. Показать непосредственную взаимосвязь теоретических положений и результатов с современными алгоритмами в системах цифровой связи и защиты информации.
2. Научить студентов современным алгоритмам исправления ошибок в телекоммуникационных системах, историческим и действующим алгоритмам защиты информации.
3. Сформировать базовые навыки для теоретической и практической работы при эксплуатации и разработке современных систем телекоммуникаций и информационной безопасности.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
1. Знать • методы работы с большими числами, методы формирования больших простых чисел, алгоритмы защиты информации;
• методы формирования конечных полей и вычислений в них;
• методы коррекции ошибок в линейных кодах;
2. Уметь • формировать системы защиты информации;
• применять синдромные и норменные алгоритмы;
3. Иметь представление • о наиболее современных тенденциях развития теории и практики помехоустойчивого кодирования, криптологии и криптографии;
• о технических и программных средствах.
Тематический план курса дисциплины специализации "Математические методы защиты информации" Объём № № в часах Наименование раздела, темы раздела темы ЛК ЛБ I часть. Математические основы защиты информации от помех Тематическое содержание курса " Математические методы защиты I часть. Математические основы защиты информации от помех и 1. Делимость целых чисел. НОД. Алгоритм Евклида. Соотношение Безу. Простые числа и их свойства:бесконечность количества, распределение по ряду натуральных чисел и по арифметическим прогрессиям, проблема близнецов, числа Мерсена и Ферма. Основная теорема арифметики..
2. Сравнения. Классы вычетов и их свойства. Обратимые элементы в кольце классов вычетов по натуральному модулю. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера и ее свойства. Теорема Эйлера. Обращение теоремы Эйлера и числа Кармайкла.
Сложность проверки на простоту и разложения на простые множители.
3. Алгебраические системы. Группы: определение, примеры, основные классы групп.
Подгруппы: центральные, циклические, нормальные. Смежные классы по подгруппе и их свойства. Теорема Лагранжа о подгруппах конечных групп. Простые группы.
Симметрическая и знакопеременная группы, их свойства. Действие группы на множестве. Циклическая классификация двоичных векторов.
4. Краткая история криптографии. Шифры Цезаря и Вижинера. Криптосистема RSA.
5. Криптосистемы Рабина, Эль Гамаля, DES. Современный международный криптографический стандарт шифрования AES.
6. Вероятностные и детерминированные алгоритмы проверки числа на простоту. Числа 7. Китайская теорема об остатках. Формула Гарнера. Работа с большими числами.
8. Алгоритм Диемитко и его применение в белорусских и российских стандартах 9. Перспективы развития современной криптологии и криптографии. Квантовая криптография.
II часть. Теория помехоустойчивых кодов 1. Характеристика поля. Минимальное поле. Алгебраические расширения полей.
Характерные свойства конечных полей. Норма и лед. Проблема решения алгебраических уравнений над конечными полями. Метод Ченя.
2. Модель числовой системы связи.
3. Теорема Шеннона. Линейные коды. Порождающая и проверочная матрицы кода.
Эквивалентные и систематические коды. Метрика Хемминга.
4. Минимальное расстояние кодов и методы его определения. Исправление ошибок по таблицам смежных классов или с помощью синдромов. Декодирующие возможности кодов Хемминга.
5. Определение и полиномиальное задание циклических кодов. Различные варианты оределения класса кодов БЧХ. Полиномиальное и матричное задание кодов БЧХ и их основные свойства. Синдромное декодирование кодов БЧХ и алгебраические уравнения.
6. Гамма-орбиты ошибок линейных кодов, их свойства и количество. Синдромные спектры гамма-орбит и их свойства. Нормы синдромов, их осноные свойства и специфика для различных классов линейных кодов.
7. Норменное декодирование линейных кодов. Применение норм синдромов к решению алгебраических уравнений над полями Галуа.
КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ
Рекомендуется проведение не менее двух контрольных работ либо коллоквиума в течение каждого семестра.
ЛИТЕРАТУРА
по курсу "Математические методы защиты информации" Ноден П., Китте Алгебраическая алгоритмика Черемушкин Лекции по арифметическим алгоритмам в Методическая литература для проведения лабораторных работ может быть представлена в электронном виде.
«