МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет механико-математический_
Кафедра математического моделирования в механике_
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «_»_2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Автомодельные решения уравнений математической физики Профессиональная образовательная программа направления 010800 Механика и математическое моделирование цикл Б3 «Профессиональный цикл», вариативная часть Профиль подготовки Механика жидкости, газа и плазмы Квалификация (степень) выпускника Магистр Форма обучения Очная Курс 5, семестр Самара Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления 010800 МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 21 декабря 2009 г.№ 771. Зарегистрировано в Минюсте РФ 4 февраля 2010 г. № 16263.
Составитель рабочей программы:
Степанова Л.В., доцент кафедры математического моделирования в механике, к. ф.-м. н.
«»2010 г. Рецензент:
Астафьев В.И., профессор кафедры безопасности информационных систем, д.ф.-м.н.
«»2010 г. _В.И.Астафьев_ Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического моделирования в механике (протокол № от «»2010 г.) Заведующий кафедрой «»2010 г. _Н.И.Клюев_
СОГЛАСОВАНО
Председатель методической комиссии факультета «» 2010 г. _ Е.Я.ГореловаСОГЛАСОВАНО
Декан факультета «» 2010 г. _ _С.Я. Новиков_СОГЛАСОВАНО
Начальник методического отдела «» 2010 г. _ _Н.В.Соловова 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины.1.1.Цели и задачи изучения дисциплины.
Цель дисциплины – знакомство с аналитическими методами построения точных решений нелинейных уравнений математической физики и механики, овладение методами построения автомодельных решений с помощью анализа размерностей, с помощью классического метода исследования симметрий дифференциальных уравнений; изложение новых подходов анализа размерностей и гипотезы автомодельности; применение этих новых подходов и методов для исследования задач механики с целью построения точных аналитических решений.
Задачи дисциплины:
ознакомить слушателей с применением анализа размерностей величин к построению точных частных решений задач математической физики (решений типа бегущей волны и автомодельных решений);
рассмотреть классические примеры автомодельных решений задач математической физики (задача о мгновенном тепловом источнике, задача о сильном взрыве, задача о пограничном слое на пластинке);
дать классификацию автомодельных зависимостей и автомодельных решений;
рассмотреть классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений (метод группового анализа), продемонстрировать использование симметрий уравнений для поиска точных решений;
рассмотреть примеры симметрий уравнений математической физики (симметрии уравнений стационарного гидродинамического пограничного слоя);
продемонстрировать основные методы и приемы решения задач.
1.2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен:
Иметь представление:
об анализе размерностей величин и применении его к построению точных решений задач математической физики;
о полной и неполной автомодельности, об автомодельных решениях первого и о методах решения нелинейных уравнений математической физики и механики (метод подобия, подход, основанный на решении функционального уравнения);
о классическом методе исследования симметрий.
базовую терминологию, относящуюся к автомодельным решениям уравнений математической физики и механики;
основные методы теории подобия и размерности;
классические автомодельные решения уравнений математической физики и задач знать основные понятия теории групп;
содержание специализированной литературы, посвященной автомодельным решениям уравнений математической физики и механики;
классификацию автомодельных решений, примеры автомодельных решений первого и второго рода;;
основные методы исследования симметрий дифференциальных уравнений (метод группового анализа).
использовать методы теории подобия и анализа размерностей в математических моделях физических явлений на основе фундаментальных законов природы, вариационных принципов;
привести примеры автомодельных решений уравнений математической физики;
показать в "работе" классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений;
применять основные приемы теории подобия и анализа размерностей при исследовании задач различной природы;
проанализировать полученные результаты.
Быть способным:
дать классификацию автомодельных решений;
привести примеры автомодельных решений уравнений математической физики и применить основные методы исследования симметрий дифференциальных уравнений;
показать в "работе" приемы классического метода исследований симметрий дифференциальных уравнений;
решать задачи курса на профессиональном уровне, включая разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования;
самостоятельно математически корректно ставить инженерно-физические задачи;
реализовать математические модели средствами вычислительной техники;
использовать современные достижения науки и передовой технологии в научноисследовательских работах.
Владеть компетенциями:
ОК - 13 Знание иностранного языка и стремление пополнение своего лексического запаса в сфере профессиональной коммуникации ОК - 14 Умение активно использовать базовые знания в области гуманитарных и естественных наук в профессиональной деятельности ПК - 1 Владение методами математического моделирования при анализе глобальных проблем на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин и компьютерных наук ПК - 7 Способность к самостоятельному анализу физических аспектов в классических постановках математических задач и задач механики ПК - 11 Способность к творческому применению, развитию и реализации математически сложных алгоритмов в современных специализированных ПК – 25 Умение самостоятельно работать со специальной математической литературой, посвященной механике деформируемого твердого тела ПК - 26 Готовность использовать современные достижения науки и передовой технологии в научно-исследовательских работах ПК - 27 Знание последних достижений экспериментальной механики деформируемого твердого тела и глубокое понимание эффектов, сопровождающих деформацию твердого тела 1.3. Место дисциплины в структуре ООП.
Дисциплина «Автомодельные решения уравнений математической физики» входит в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, математическое моделирование.
Освоение дисциплины «Автомодельные решения уравнений математической физики» необходимо при написании магистерских диссертаций.
2. Содержание дисциплины.
2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы.
9 семестр – экзамен.
2.2. Тематический план учебной дисциплины. Автомодельные решения уравнений математической физики.
Наименование разделов и Содержание учебного материала, лабораторные и практические Объем часов/ Образовательн Формируемые Формы текущего тем занятия, самостоятельная работа обучающихся, курсовая работа зачетных ые технологии компетенции/ контроля Раздел 1. Методы теории подобия и размерности в механике.
подобие. Размерность. Размерные и безразмерные величины. Основные Применение анализа размерностей величин к 1 Использование анализа размерностей величин для построения построению точных точных частных решений краевых задач.
частных решений задач Задача о сильных тепловых волнах. Сильные взрывные волны.
математической физики и Автомодельность. Автомодельная перменная. Автомодельное механики. Автомодельные представление решения. Промежуточная асимптотика.
решения.
Автомодельные решения второго рода. 1 Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Модифицированная Прямое применение анализа размерностей в задача о мгновенном модифицированной задаче о мгновенном тепловом источнике.
тепловом источнике. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная Автомодельное решение асимптотика. Автомодельное предельное решение.
второго рода. Модифицированная задача о сильном взрыве. Прямое Классификация 1 Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения автомодельных первого и второго рода. Определение автомодельных решений зависимостей и первого и второго рода. Примеры.
автомодельных решений.
Автомодельные решения и 1 Решения типа бегущих волн. Ударная волна Бюргерса – бегущие волны. Полная и стационарная бегущая волна первого рода. Пламя – неполная автомодельность стационарная бегущая волна второго рода. Задача о равновесии упругости и разрушения. упругого клина под действием пары сил, приложенной в его Симметрия в математике.
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Введение. преобразований. Множества и отображения. Преобразования и Группы преобразований.
Интегрирование 1 Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с уравнений второго помощью двумерной алгебры. Пример уравнения, не порядка, допускающих допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах.
двухпараметрическую Групповая классификация уравнений второго порядка.
группу. Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая Классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений.
Однопараметрические 1 Однопараметрические преобразования и их локальные преобразования и их свойства. Инфинитезимальный оператор. Инвариант оператора.
локальные свойства. Преобразования на плоскости. Формулы для вычисления Симметрии нелинейных производным. Примеры поиска симметрий нелинейных уравнений второго уравнений математической физики. Двумерное стационарное порядка. уравнение теплопроводности с нелинейным источником.
Использование симметрий 1 Использование симметрий уравнения для построения уравнения для поиска однопараметрических решений. Процедура построения точных решений. инвариантных решений. Примеры построения инвариантных Уравнения старших 1 Однопараметрические группы Ли точечных преобразований. порядков. Генератор группы. Инвариант группы. Локальные преобразования производных. Условие инвариантности.
уравнения стационарного градиентного гидродинамического преобразования производных. Условие инвариантности.
«Однопараметрические группы Ли точечных преобразований.
преобразования производных. Условие инвариантности».
Симметрии систем 1 Основные соотношения, используемые при анализе симметрий уравнений систем уравнений. Симметрии уравнений гидродинамического математической физики. пограничного слоя.
Неклассический метод 1 Описание метода. Условие инвариантной поверхности. исследования симметрий Алгоритм построения точных решений неклассическим дифференциальных методом для эволюционных уравнений второго порядка.
уравнений. Конкретные примеры: уравнение Фитсхью-Нагумо и 2.3. Содержание учебного курса.
Раздел 1. Методы теории подобия и размерности.
Тема 1.1. Анализ размерностей и подобие.
1.1. Размерность. Анализ размерностей. Подобие. П-теорема.
Тема 1.2. Применение анализа размерностей величин к построению точных частных решений задач математической физики и механики. Автомодельные решения.
Сильные тепловые волны. Сильные взрывные волны. Автомодельность. Промежуточная асимптотика.
Тема 1.3. Автомодельные решения второго рода. Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Автомодельное решение второго рода.
Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о мгновенном тепловом источнике.
Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение. Модифицированная задача о сильном взрыве. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о точечном сильном взрыве.
Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение. Качественное исследование нелинейной задачи на собственные значения. Задача о коротком ударе. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение.
Тема 1.4. Классификация автомодельных зависимостей и автомодельных решений.
Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода.
Тема 1.5. Автомодельные решения и бегущие волны. Полная и неполная автомодельность упругости и разрушения.
Решения типа бегущих волн. Ударная волна Бюргерса – стационарная бегущая волна первого рода. Пламя – стационарная бегущая волна второго рода. Задача о равновесии упругого клина под действием пары сил, приложенной в его вершине. Парадокс Стернберга-Койтера. Промежуточная асимптотика решения неавтомодельной задачи.
Законы подобия хрупкого и квазихрупкого разрушения.
Тема 1.6. Решения типа бегущей волны и автомодельные решения. Метод подобия.
Общий вид решений типа бегущей волны. Инвариантность уравнений относительно преобразований сдвига. Функциональное уравнение, задающее решение типа бегущей волны. Метод подобия. Примеры автомодельных решений уравнений математической физики и механики. Уравнения, инвариантные относительно комбинаций преобразований сдвига и растяжения, и их решения. Экспонециально-автомодельные решения.
Инвариантные решения. Обобщенно-автомодельные решения.
Раздел 2. Симметрия в математике. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 2.1. Введение. Симметрия в современной математике. Группы преобразований.
Множества и отображения. Преобразования и их свойства. Группы преобразований и их инварианты. Общее понятие группы. Определение группы. Четные и нечетные функции.
Задача о кубе. Задача о восстановлении формы тела. Томограф и его устройство.
Однопараметрические группы преобразований. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений. Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения. Группа Галуа.
Тема 2.2. Группы преобразований. Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы.
Определяющее уравнение. Алгебра Ли.
Тема 2.3. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу.
Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двумерной алгебры. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах.
Групповая классификация уравнений второго порядка. Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений.
Признаки линеаризуемости. Инвариантные решения. Определения и решения.
Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих 3-хмерную алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи.
Сферические функции. Групповой подход в методе Римана.
Раздел 3. Классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений.
Тема 3.1. Однопараметрические преобразования и их локальные свойства.
Однопараметрические преобразования и их локальные свойства. Инфинитезимальный оператор. Инвариант оператора. Преобразования на плоскости. Формулы для вычисления производных. Координаты первого и второго продолжений.
Тема 3.2. Симметрии нелинейных уравнений второго порядка. Условие инвариантности. Процедура расщепления по производным. Примеры поиска симметрий нелинейных уравнений математической физики. Двумерное стационарное уравнение теплопроводности с нелинейным источником. Нелинейное уравнение нестационарной теплопроводности. Нелинейное волновое уравнение. Допустимые инфинитезимальные операторы и инварианты движения нелинейной вязко-пластической среды.
Тема 3.3. Использование симметрий уравнения для поиска точных решений.
Использование симметрий уравнения для построения однопараметрических решений.
Процедура построения инвариантных решений. Примеры построения инвариантных решений нелинейных уравнений. Решения, порождаемые линейными комбинациями допускаемых операторов.
Тема 3.4. Уравнения старших порядков. Однопараметрические группы Ли точечных преобразований. Генератор группы. Инвариант группы. Локальные преобразования производных. Условие инвариантности. Процедура расщепления. Инвариантные решения.
Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного безградиентного гидродинамического пограничного слоя. Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного градиентного гидродинамического пограничного слоя.
Тема 3.5. Симметрии систем уравнений математической физики. Основные соотношения, используемые при анализе симметрий систем уравнений. Симметрии уравнений гидродинамического пограничного слоя. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений установившегося околозвукового течения газа. Допустимые операторы и инвариантные решения нелинейной системы уравнений одномерных длинноволновых колебаний упругого стержня. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений одномерного изэнтропического движения идеального газа. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений двумерного установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости.
Тема 3.6. Неклассический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений. Описание метода. Условие инвариантной поверхности. Алгоритм построения точных решений неклассическим методом для эволюционных уравнений второго порядка.
Конкретные примеры: уравнение Фитсхью-Нагумо и нелинейное волновое уравнение.
3. Организация текущего и промежуточного контроля обучения.
3.1. Организация контроля.
Текущий контроль – использование бально-рейтинговой системы.
В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В семестре проводятся три контрольные работа (на семинарах). Зачет выставляется после решения всех задач контрольной работы и индивидуальных заданий.
3.2. Тематика рефератов, проектов и т.п.
Примеры тематики проектов.
1. Автомодельное решение линейного уравнения теплопроводности (нахождение и визуализация автомодельного решения дифференциального уравнения в системе Mathematica).
2. Автомодельное решение нелинейного уравнения теплопроводности (нахождение и визуализация автомодельного решения дифференциального уравнения в системе Mathematica).
3. Автомодельное решение уравнения Бюргерса (нахождение и визуализация автомодельного решения дифференциального уравнения в системе Mathematica).
4. Решение типа бегущей волны уравнения Бюргерса (нахождение и визуализация автомодельного решения дифференциального уравнения в системе Mathematica).
5. Решение типа бегущей волны уравнения Кортевега – де Фриза (нахождение и визуализация автомодельного решения дифференциального уравнения в системе Mathematica).
Примеры тематики индивидуальных заданий.
1. Прямой метод Кларксона-Крускала. Примеры построения точных решений методом Кларксона-Крускала.
2. Метод функционального разделения переменных.
3. Комбинации методов Кларксона-Крускала и метода обобщенного разделения переменных.
4. Метод дифференциальных связей.
5. Законы сохранения. Интегралы движения. Законы сохранения некоторых нелинейных уравнений математической физики и механики.
6. Промежуточная автомодельная асимптотика решения задачи об усталостном подрастании трещины.
7. Автомодельные движения газа со сферическими, цилиндрическими и плоскими волнами.
8. Фракталы Мандельброта и неполная автомодельность.
9. О нелинейных задачах на собственные значения, к которым приводят автомодельные представления решений задач математической физики и механики.
3.3.Курсовая работа.
Курсовая работа по курсу не предусмотрена.
3.4. Бально-рейтинговая сиcтема.
Максимальная сумма баллов, набираемая студентами по дисциплине «Автомодельные решения уравнений математической физики» за семестр, равна 100.
На основе набранных баллов, успеваемость студентов в семестре определяется следующими оценками:
- «Отлично» - 86-100 баллов - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены (работа на практических занятиях, выполнение домашних работ, контрольных и индивидуальной работ), качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному.
«