БЕЛОРУССКИЙ ГОСУдАРСТВЕШ{ЪIЙ УНИВЕРСИТЕТ

.1

УТВЕРЖдАЮ,, Ё1л

Ректор БГУ ‚ ‘

.

Абаi’ейко

2О 13 г

?1?

РегистрационнУ- /баз Учебная программа вступительного экзамена в магистратуру для специальности 1-31 81 08 Компьютерная математика и системный анализ 2013 2

СОСТАВИТЕЛИ:

В.Г. Кротов, зав. кафедрой теории функций, доктор физ.-мат. наук, профессор;

В.И. Громак, зав. кафедрой дифференциальных уравнений и системного анализа, доктор физ.-мат. наук, профессор;

В.С. Романчик, зав, кафедрой веб-технологий и компьютерного моделирования, кандидат физ. -мат. наук, доцент;

Н.Л. Щеглова, доцент кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа, кандидат физ.-мат. наук, доцент;

д.Н. Чергияец, доцент кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа, кандидат физ.-мат. наук.

д.Г. Медведев, декан механико-математического факультета, кандидат физ.-мат.

наук, доцент;

РЕКОМЕIЩОВАВА К УТВЕРЖДЕНШО:

Учебно-методической комиссией механико-математического факультета (протоколЗ{2от 7’ аи,’’ 2013г.);

Советом механико-математического факультета 2013г.);

(протокол!от,.

Ответственный за редакцию: д.Н. Чергинец Ответственный за выпуск: д.Н. Чергинец з

ПОЯСШIТЕЛЬВАЯ ЗАПИСКА

На вступительном экзамене в магистратуру студент должен знать:

определения математических понятий, участвующих в формулировках — теорем, которые он излагает;

точные формулировки математических теорем;

— формулировки лемм и теорем, используемых при доказательствах;

— целостное знание основ компьютерной математики, отражающее совре — менный уровень развития компьютерных математических систем;

суть основных понятий из области компьютерной математики и систем — ного анализа.

уметь:

применять теорию к решению задач и иллюстрировать определения ма — тематических понятий и формулировки теорем простыми примерами;

проверять вьтполнимость условий теорем, применяемых при доказатель ствах;

строить различные модели систем и процессов, используя знания фунда ментальньих основ математики и сочетал их с современными методологиями компьютерного моделирования.

Члены экзаменационной комиссии могут предлагать студенту в качестве дополнительных вопросов разбор простых примеров, определения и формули ровки теорем из программы.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

РАЗДЕЛ 1. Алгебра Тема 1.1 Комплексные числа Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа.

Комплексное сопряжение. Комплексная плоскость. Полярная система координат.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплекс ного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Понятие корня из комплексного числа, извлечение корня из комплексного числа.

Тема 1.2 Многочлены Понятие многочлена от одной переменной. Степень многочлена. Неприводи мьие многочлены. Разложение на неприводимые многочлены. Значение многочлена в точке, корень многочлена. Производная многочлена. Кратность корня.

Тема 1.3 Матрицы Специальные матрицы: диагональная, нижняя и верхняя треугольные, еди ничная, нулевая, ступекчатая, вектор-строка, вектор-столбец. Равенство матриц.

Сложение матриц, умножение матрицы на скаляр, умножение матриц, транспо нирование. Элементарные преобразования матриц. Обратная матрица. Характе ристический и минимальный многочлен матрицы. Жорданова клетка, жорданова нормальная форма матрицЫи. Определитель квадратной матрицы произвольного порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель Вандермонда.

Тема 1.4 Системы уравнений Системы линейных алгебраическях уравнений. Матричная запись системы.

Решение системы. Общее и частное решения системы. Эквивалентные системы.

Элементарные преобразования системы. Свободные и независимые переменные.

Однородные системы. Фундаментальная система решений.

Тема 1.5 Векторные пространства Векторньие пространства. Линейная зависимость и независимость векторов.

Базис, размерность. Координаты вектора. Матрица перехода от одного базиса к другому. Подпространство. Ранг системы векторов. Ранг матрицы. Сумма и пере сечение подпространств. Прямая сумма и дополнение подпространств.

Тема 1.6 Линейные отображения Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и дефект. Матрица линейного оператора. Алгебраические действия над линейными отображениями. Собствен ные значения и собственные векторы.

Тема 1.7 Евклидовы и унитарные пространства Евклидовы и унитарньие пространства. Скалярное произведение. длина векто ра. Угол между векторами в евклидовом пространстве. Ортогональные векторы.

Ортогональный и ортонормированный базис. Ортогональное дополнение к под пространству. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Сопряженный оператор. Унитарные и самосо пряженньте операторы.

Тема 1.8 Группы Группа, подгруппа. Циклическая подгруппа. Порядок элемента группы. Нор мальная подгруппа, факторгруппа. Смежный класс. Индекс подгруппы. Гомо морфизм и изоморфизм групп. Ядро гомоморфизма.

Тема 1.9 Кольца Кольцо, поле, подкольцо. i4деал, факторкольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Ядро гомоморфизма. Характеристика поля. Степень расширения полей.

РАЗДЕЛ II. Геометрия Тема 2.1 Векторы Понятие вектора в 11. Линейно зависямьте и линейно независимые системы векторов, базисы и аффинвые реперы. Координаты векторов и точек, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Тема 2.2 Аффинная геометрия Уравнеiшя прямых и плоскостей в К и К Аффинное пространство АП, аффинная группа и аффиiшая геометрия. iс -мерная плоскость в Ап, характери стика пары плоскостей.

Тема 2.3 Евклидовы пространства Евклидово точечное пространство Ка’, движения пространства и евклидова геометрия.

Тема 2.4 Кривые и поверхности второго порядка Эллипсы, гипербольт, парабольи. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоидьи.

Фигуры второго порядка в пространствах АП и К РАЗДЕЛ III. Топология Тема 3.1 Метрические и топологические пространства Замыкание, внутренность и граница множества в метрическом и топологиче ском пространствах. Ограниченное множество в метрическом пространстве.

Полное метрическое пространство. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм.

Тема 3.2 Компактность и связность Понятие компактности. Критерии компактности метрического пространства.

Связность. Понятие связной компоненты топологического пространства. Линей ная связность.

РАЗДЕЛ IУ. Дифференциальная геометрия Тема 4.1 Кривые Понятие кривой. Натуральная параметризация кривой. Репер Френе. Формулы Френе. Кривизна кривой. Кручение кривой.

Тема 4.2 Поверхности Понятие поверхности. Первая фундаментальная форма поверхности. Вторая фундаментальная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Типы точек поверхности.

РАЗДЕЛ У. Математический анализ Тема 5.1 Числа и последовательности Понятие вещественных чисел. Точные границы числовых множеств. Различ ные формы полноты множества вещественных чисел. Определение предела поб следовательности. Предел монотонной последовательности. Критерий Коши схо димости последовательности.

Тема 5.2 Функции одной переменной И РЯДЫ Определение предела функции в точке. Определение непрерывности функции в точке. Понятие равномерной непрерывности. Определение производной и диф ференциала функции одной вещественной переменой. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Определение интеграла Римана. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие числового ряда.

Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Сходимость ряда Фурье в точке.

Тема 5.3 Функции многих переменных Понятие дифференцируемости функций многих переменных. Матрица Якоби.

Теорема о неявной и обратной функции. Экстремумы функций многих перемен ных. Необходимое условие, достаточные условия существования экстремума.

Условный экстремум функций многих переменных.

Тема 5.4 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Определение интеграла Римана на евклидовых пространствах. Определение криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода. Определение поверхностных инте гралов 1-го и 2-го рода. Формула Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.

РАЗДЕЛ УI. Теория функций комплексного переменного Тема 6.1 Аналитические функции Производная функции комплексного переменного и ее геометрический смысл. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция. Интегральная теорема Коцш. Интегральная формула Коши.

Тема 6.2 Степенньхе рЯДЫ и вычеты Степенной ряд, радиус сходимости, формула Коши-Адамара для радиуса сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их клас сификация. Основная теорема о вычетах.

РАЗДЕЛ УII. Функциональный анализ Тема 7.1 Мера и интеграл Лебега Кольца, алгебры, о- -алгебры множеств. Мера на кольце множеств. о- аддитивнал мера на кольце множеств. Борелевские множества, продолжение ме ры по Лебегу. Измеримые множества. Измеримьие функции. I4нтеграл Лебега.

Тема 7.2 Метрические и нормированные пространства Сходящаяся последовательность, последовательность Коши в метрических пространствах. Сходимость функциональных последовательностей: точечная сходимость, сходимость почти всюду, равномерная сходимость. Отображения:

непрерывные, равномерно непрерывные, удовлетворяющие условию Липшiща.

Полное метрическое пространство. Сжимающее отображение. Пополнение мет рического пространства. Всюду плотное множество. Норма на векторном про странстве. Банахово пространство. Пространства суммируемых функций.

Тема 7.3 Линейные операторы Линейный ограниченный оператор. Норма линейного ограниченного опера тора. Линейные интегральные операторы. Образ, ядро, график линейного оператора. Обратимьтй оператор. Собственные значения и собственные векторы ли нейного оператора. Спектр линейного оператора.

РАЗДЕЛ УIII. Теория вероятностей Тема 8.1 Вероятность Элементарное событие, случайное событие, пространство элементарных со бытий. Алгебра и ст -алгебра событий. Вероятностное пространство, вероятность.

Классическое, конечное, дискретное, геометрическое вероятностньте простран ства. Условная вероятность, независимость событий. Схема Бернулли.

Тема 8.2 Случайные величины и независимость Случайная величина, ее функция распределения. дискретньие и абсолютно непрерывные распределения, плотность вероятности. о- -алгебра, порожденная случайной величиной. Распределение вероятностей, независимость случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции.

Характеристическая функция случайной величины.

Тема 8.3 Последовательности случайных величин Центральная предельная теорема, закон больтлих чисел, усиленный закон болылих чисел. Понятие о случайном процессе, гiуассоновский случайньтй про цесс, случайньий процесс броуновского движения.

Тема 8.4 Математическая статистика Выборка, вариационный ряд выборки, статистика. Несмещенность, состоя тельность, оптимальность, эффективность статистической оценки. Достаточная статистика, статистическая гипотеза, параметрическая гипотеза, линейная ре грессия, метод наименьших квадратов.

РАЗДЕЛ ГХ. Дифференциальные уравнения Тема 9.1 Основные понятия Обыкновенные дифференциальньие уравнения, поле направлений, решение, интегральная кривая, задача Коши.

Тема 9.2 Уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяю щимися переменными, линейные, Риккати и в полных дифференциалах.

Тема 9.3 Линейные системы и уравнения п—го порядка Фундаментальная система решений однородных линейных дифференциаль ных уравнений п -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных дифференциальньтх уравнений п -го порядка.

Тема 9.4 Особые точки и устойчивость Особые точки автономных систем: узел, седло, фокус, центр. Устойчивость решений по Ляпунову, функции Ляпунова.

РАЗДЕЛ Х. Уравнения в частных производных Тема 10.1 Уравнения в частных производных Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными произ водными второго порядка. Уравнение малых поперечных колебаний струны.

Уравнение теплопроводности. Гармонические функции. Задача Коши. Смешан ные задачи.

РАЗДЕЛ ХI. Вычислительная математика Тема 11.1 Приближение функций и численное интегрирование Понятие погрешности. Методы приближения функций. Приближенное вы числение интегралов.

Тема 11.2 Системы линейных алгебраических уравнений и проблема собственных значений Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Ите рационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Мето ды решения проблемы собственных значений.

Тема 11.3 Системы нелинейных уравнений Методы численного решения систем нелинейных уравнений. Линейная и квадраткчная скорость сходимости.

Тема 11.4 Разностные схемы и их применение Основные понятия теории разностных схем (сетка, устойчивость, сходи мость, аппроксимация). Разностные схемы для уравнений в частных производ ных.

РАЗДЕЛ ХИ. Математическая логика Тема 12.1 Математическая логика Алгебра высказываний. Формулы, равносильность формул. Функции алгебры высказываний, способы задания. Исчисление высказываний. Формулы, аксиомы, правила вывода. Предикаты, формулы, кванторы, отрицание кванторов. Приве денные и нормальные формулы.

РАЗДЕЛ ХIП. Дискретная математика Тема 13.1 Дискретная математика Граф, цикл, сеть, поток, циркуляция, мощность потока. Эйлеровы графы.

РАЗДЕЛ ХIУ. Методы оптимизации Тема 14.1 Методы оптимизации Экстремум, локальный экстремум, условный экстремум функции. Функция Лагранжа. Вариационная задача. Производные в векторньих пространствах: про изводная по направлению, вариация по Лагранжу. Выпуклые множества, вьшук лые функции, выпуклые экстремальные задачи. Линейная задача, двойственная задача.

РАЗДЕЛ ХУ. Компьютерная математика Тема 15.1 Основные понятия информатики и программирования Технические и программные средства реализации информационных процес сов; технологии представления, хранения и обработки текстовой и числовой ин формации; структура программного обеспечения с точки зрения пользователя;

основные этапы компьютерного моделирования; объектно-ориентированные проектирование, алгоритмизация и программирование; представление основных структур: итерации, ветвления, повторения; программирование рекурсивньих аягоритмов; постановка задачи и спецификация программы; особенности построе ния компьютерных моделей.

Тема 15.2 Современные математические компьютерные среды на при мере систем МаВiета(iса и МАТIАВ Организация и средства человеко-машинного интерфейса; стандартные типы данных; типы данных, определяемые пользователем; графика и визуализация данных; возможности документирования исследований; архитектура и возмож ности семейства языков программирования сверхвысокого уровня.

РАЗДЕЛ ХУI. Системный анализ Тема 16.1 Основы системного анализа Определение системного анализа; области его применения. Сущность и приiщивъi системного подхода. Конструктивное определение системы, ее свой ства и признаки; эмерджентность системы. Понятие цели системы. Структурный анализ как разновидность системного анализа. Методология $А1)Т структурного анализа, ее использование для описания систем: моделирования данных и объек тов, а также функционального моделирования.

Тема 16.2 Прикладной системный анализ Основы бизнес-анализа. Экономические системы, их классификационные признаки. Понятие организации. Иерархия целей организации. Разбиение органи зации на структурные подсистемы. Процессньий подход к управлению как основа для моделирования информационных систем. Понятие бизнес-процесса. Методо логия АРИС построения интегрированньих информационных систем.

ЭКЗАМЕIIАГЩОНIIЬиЕ ВОПРОСЫ

1. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая фор ма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометриче ской форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.

2. Кольцо многочленов от одной переменной. Корень многочлена, теоре ма Безу, кратность корня. Неприводимьте многочлены над 1i и С. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов.

З. Матрицьт и алгебраические операции над ними. Ранг матрицы и его ос новные свойства. Обратная матрица, критерий существования и методы ее вычисления. Жорданова нормальная форма матрицы.

4. Определители, их основные свойства. Миноры и алгебраические до полнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Определитель произведения квадратных матриц.

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместности. Методы Гаусса и Крамера. Размерность и базис пространства всех реше ний однородной системы линейных уравнений.

б. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость век торов. Базис, размерность. Координаты вектора, их изменение при изменении базиса. Подпространства и операции над ними: пересечение, сумма, прямая сумма.

7. Линейное отображение векторных пространств, его ядро и образ. Мат рица линейного оператора. Матрица суммы и композиции линейных опера торов. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы.

8. Понятие группы, подгруппы, примеры. Нормальная подгруппа, фак торгруппа. Теорема Лагранжа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Основная теорема о гомоморфизмах групп.

9. Понятие кольца, поля, подкольца, подполя, примеры. I4деал, фактор кольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Основная теорема о гомомор физмах колец.

10. Свободные векторы в I, скалярное, векторное и смешанное произве дения.

11. Различные виды уравнений прямой и плоскости в К и в К.

12. Эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и свойства. Классификация кривых второго порядка в К 13. Аффинные пространства Ап. Плоскости в АП и их уравнения. Взаим ное расположение двух плоскостей.

14. Евклидовы точечные пространства К”. Ортогональность плоскостей в К”. Расстояние от точки до плоскости в К”.

15. Топологическое пространство. Способы задания топологий, сравнение топологий. Ввутренность, замыкание, граница множества в топологическом пространстве.

16. Непрерывные отображения топологвческвх пространств и их свойства.

Гомеоморфизм.

17. Компактные и связные топологическве пространства. Критерии ком пактности метрического пространства.

18. Кривые в и в 1[ способы их задания. Натуральная параметриза ция кривой.

19. Кривизна и кручение кривой, их геометрический смысл. Формулы Френе.

20. Поверхности в и способы их задания. Первая фундаментальная форма поверхности и задачи, решаемые с ее помощью.

21. Нормальная кривизна поверхности. Вторая фундаментальная форма поверхности. Полная (гауссова) кривизна.

22. Вещественные числа и их основные свойства. Поле вещественных чи сел. Важнейшие подмножества в и их мощность. Теорема Кантора о не счетности множества вещественных чисел.

23. Числовые множества и их границы. Теорема о существовании точных границ.

24. Предел последовательности и его свойства (единственность, операции над последовательностями, предельный переход в неравенствах). Теорема о пределе монотонной последовательности. Число Эйлера.

25. Критерий Коши сходимости последовательности. Предельная точка множества в К, лемма Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.

26. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Теорема о стягивающейся последовательности отрезков.

27. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (о конечных приращениях), Коши (об отношении приращений).

28. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.

29. Формула Тейлора, остаточные члены в форме Пеано, Лагранжа, Коши.

30. Определение интеграла Римана для функций одной переменной. Необ ходимое условие интегрируемости. Суммы дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости в терминах сумм дарбу, критерий Лебега интегрируемости.

Классы интегрируемых функций.

31. дифференщруемость интеграла с переменным верхним пределом. Су ществование первообразной для непрерывной функции, формула Ньютона Лейбница. I4втегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.

32. Понятие числового ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости числовьих рядов. Признаки сходимости положительных рядов. (Коши с корнем, даламбера, Гаусса).

33. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки дирих ле и Абеля.

34. Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходи мость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля и дирихле для равномерной сходимости.

35. Интегральные представления частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Лемма Римана-Лебега. Принцип локализации. Классы поточеч ной сходимости рядов Фурье.

36. дифференцируемые отображения из К” в ]}Т Матрица Якоби.

37. Локальные экстремумы функций одной и многих переменных. Необхо димые и достаточные условия локального экстремума функции.

38. Условный экстремум. Необходимые, достаточные условия. Метод множителей Лаграяжа.

39. Теоремы о неявной и обратной функциях, условия их дифференцируе мости и формулы для производных.

40. Мера Жордана в К” и ее свойства: монотонность, аддитивность, субад дитивность. I4нтеграл Римана в К” и его свойства. Сведение интеграла к по вторному (теорема Фубини), замена переменной в кратном интеграле.

41. Криволинейные интегралы и их основные свойства. Формула Грина.

42. Поверхностные интегралы, формула Стокса, формула Гаусса Остроградского.

Теория функций комплексного переменного 43. Производная от функции комплексного переменного и ее геометриче ский смысл. Условия Коши-Римана.

44. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.

45. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Свойства аналитических функций.

46. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов.

47. Понятие конформного отображения и его связь со свойством анали тичности. Теорема Римана о конформных отображениях. Принцип соответ ствия границ.

48. Продолжение меры по Лебегу. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса на К.

49. Пространства IУ (Т, ц), неравенства Гёльдера, Минковского, полнота.

50. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений) и его применения к интегральным уравнениям.

51. Линейные непрерывные операторы. Норма оператора. Примеры.

52. Аксиоматика Колмогорова. Условные вероятности.

53. Числовые характеристики случайных величин математическое ожи 54. Критерии независимости случайных величин (дискретный, абсолютно непрерывный).

55. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слага емых.

56. Законы больших чисел. Неравенство и теоремы Колмогорова.

57. Теорема Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

58. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения и основные теоремы об их решениях. Метод вариации произвольных постоянных.

59. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Ко ши для обыкновенного дифференциального уравнения.

60. Линейные однородные дифференциальные уравнения п-го порядка и основные теоремы об их решениях.

61. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоремы Лягiунова.

62. Основные краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Свойства гармонических функций. Теорема единственности для решений краевых за дач.

63. Принцип максимума и теорема единственности для решений первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.

64. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения теплопровод ности.

65. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны.

66. Формула даламбера для решения задачи Коши для уравнения колеба ний струны.

67. Основные вычислительные схемы метода Гаусса решения систем ли нейных алгебраических уравнений.

68. Метод итераций и общий неявньтй метод итераций для систем линей ных алгебраических уравнений, теорема о сходимости.

69. Метод итераций для систем нелинейньтх уравнений, теорема о сходимости. Метод 1-Гьютона для операторньих уравнений, теорема о сходимости.

70. Метод Эйлера для решения задачи Коши в случае системы обыкновен ных дифференциальных уравнений первого порядка, сходимость метода. Ме тод Руяге-Кутга для решения задачи Коши в случае дифференциального уравнения первого порядка, четырехточечное правило.

71. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчи вость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со схо димостью.

72. Алгебра высказываний. Формулы. Равносильность формул. Функции алгебры высказываний. Способы задания. Проблема минимизации.

73. Исчисление высказываний. Формулы, аксиомьи, правила вывода. Вывод из гипотез. Теорема дедукции. Теорема о непротиворечивости исчисления высказываний. Независимость системы аксиом.

74. Логика предикатов. Предикаты, формулы, кванторьи, отрицание кван торов. Приведенные и нормальные формулы. Проблема разрешения.

75. Исчисление предикатов. Формульт, аксиомы, правила вывода. Произ водное правило связывания квантором. Эквивалентность формул. Закон двойственности.

76. Основная теорема о потоке (теорема о щах- и пнп- разрезах).

77. Алгоритм Форда-Фолкерсона построения максимального потока.

78. Необходимые и достаточные условия существования эйлерова цикла в графе.

79. Теорема Куна-Таккера.

80. Необходимое условие экстремума в классической вариационной задаче (уравнение ЭйлераЛагранжа).

81. Метод множителей Лагранжа.

82. Производные в векторных пространствах (производная по направле ншо, вариация по Лагранжу).

83. Условия оптимальности первого и второго порядков в задаче оптими зации с ограничениями-равенствами (задача условной оптимизации).

84. Симнольный математический пакет МаiiетаЁiса. Структура, интерфейс пользователя. Возможности системы, предоставляемьие пользователю для решения задач математического содержания и оформления результатов ис следований.

85. Понятие выражения в Ма1iетпаiса. Атомарньие объекты и их свойства.

Функции для анализа структуры выражения.

86. Теория образцов (РаiЁепз) в Майiетаiiса и ее применение при по строении функций пользователя.

87. Глобальные правила преобразований в Майгетаiса, их определение и порядок вычисления. Различные механизмы определения правила.

88. Локальные правила преобразований в Майiетаiiса, их применение. Ло кальные правила преобразований и программирование.

89. Функциональное программирование в системе Майiетаiса.

90. Числовой математический пакет МАТЕАВ. Структура, интерфейс пользователя. Вычисления.

91. Типы данных в числовом математическом пакете МАТIЛАВ. Сценарии, функции, переменные.

92. Объектно-ориентированяое программирование в числовом математи ческом пакете МАТГЛАВ.

93. Высокоуровневая и дескрипторная графика в числовом математиче ском пакете МАТЕАВ.

94. Основные понятия системного анализа. Системный подход, его сущ ность. Роль системного аналитика в сфере информационных технологий.

95. Понятие системы, ее свойства. Жизненный цикл системы. Обратная связь, ее основные функции.

96. Понятие модели, ее основные свойства. Общие принципы моделирова ния систем. Нотация модели.

97. Понятие структурного анализа. Методология $А]ЗТ структурного ана лиза: основные идеи, синтаксис моделей и диаграмм, типы взаимосвязей структурных блоков.

98. Организация как система, се структурные подсистемы. Иерархия целей организации. Процессный подход к управлению. Возможности автоматиза ции процессов организации.

99. Методология АКI$ проектирования интегрированньих информацион ных систем. Описание деятельности организации различными типами моде лей. Фазовая модель АКI$.

100. Понятие бизнес-процесса. Основные типы моделей для описания биз нес-процессов в инструментальной среде АКI$.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зорич В.А. Математический анализ. М., Наука, ТА 1981, Т.2 1984.

3. Кудрявцев Л.д. Курс математического анализа. М., Высшая школа, Т. 1, Рудин У. Основы математического анализа. М., Мир. 1976. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

М., Наука 1969 и др. издания.

Гелбаум Б., Олмстед дж. Контрпримеры в анализе. М., Мир, 1967.

7. демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Наука 1977 и др. издания.

Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

Москва: Высшая школа, 1991.

9. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальньтх уравнений. Минск: Вышэйшая школа, 1974.

10. Федорюк М.В. Обыкновенных дифференциальньте уравнения. Москва:

Наука, 1985.

1 1.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнетшям.

Москва: Наука, 1992.

12. Антоневич А.Б., Радьино Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения.Учебник. Минск, БГУ, 2006.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1989.

14. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980.

15. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.

16. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория математическая статистика. Киев: Вища школа, 1979.

17.6. Лазакович Н.В., Сташулёнок С.П.Теория вероятностей, Минск, БГУ, 2003.

18. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальньих задач, 1989.

19. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

432 с.

Моисеев Н.Н., I4ванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978.

-352 с.

21. Фаддеев д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

25. I4льин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М.: Наука, 1999.

26. Голубева, Л.Л. Компьютерная математика. Симнольный пакет Ма1Ьеiваiса. Курс лекций / Л.Л. Голубева, А.Э.Малевич, Н.Л.Щеглова.

Минск: БГУ, 2005.

27.Голубева, Л.Л. Компьютерная математика. Числовой пакет МАТ[ЛАВ.

Курс лекций / Л.Л. Голубева, А.Э.Малевич, Н.Л.Щеглова. Минск: БГУ, 2007.

28. Волкова В.Н., Денисов А.А. Основы теории систем и системного ана лиза. Санкт-Петербург: Изд-во СП6ГТУ, 2006. 200 с.

29. Кориков А.М., Сафьянова Е.Н. Основы системного анализа и теории си стем. Томск: Изд-во ТГУ, 2005.С.209.

Моисеев, Н.Н. Математические задачи системного анализа / Н.Н. Моисе ев.—М. : Наука, 31. Марка дэвид А., МакГоуэн Клемент. Методология структурного анализа и проектирования АЕТ.

32.Шеер А.-В. Моделирование бизнес-процессов. М: Весть-МетаТехнология, 2000.