МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тверской государственный университет»

УТВЕРЖДАЮ

Руководитель ООП подготовки магистров

В.П. Цветков 2012 Учебно-методический комплекс по дисциплине Методы алгебраической топологии в теории поля Направление подготовки магистров 010200.68 – Математика и компьютерные науки Программа специализированной подготовки Математическое и компьютерное моделирование Обсуждено на заседании кафедры Составитель:

математических методов современного д.ф.-м. н. доцент А.Н. Цирулев естествознания 6 марта Протокол № Зав. кафедрой А.Н. Цирулев Тверь I. Пояснительная записка 1. Цели и задачи дисциплины Целью учебной дисциплины является формирование и развитие у обучающихся знаний, умений и навыков для решения профессиональных задач в области научно-исследовательской деятельности с использованием методов современного анализа, дифференциальной геометрии и алгебраической топологии, а также приобретение практических навыков их применения в математическом моделировании сложных систем в теории поля.

Задачи дисциплины:

1) Изучение основных понятий и методов алгебраической топологии в связи с геометрией многообразий и векторных расслоений, а также их приложений в теории гравитации и классической теории поля.

2) Обобщение и систематизация знаний, полученных при изучении основных курсов по геометрии и топологии.

3) Овладение навыками, необходимыми для решения сложных задач математического моделирования на основе современных фундаментальных математических теорий.

2. Место дисциплины в структуре ООП магистратуры Дисциплина входит в вариативную часть профессионального цикла и основывается на базисных знаниях студентов в области математического анализа, линейной алгебры, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и общей топологии, а также специальных дисциплин вариативной части профессионального цикла бакалавриата по профилю «Математическое и компьютерное моделирование»:

«Дополнительные главы дифференциальной геометрии», «Геометрия пространственно-временных многообразий», «Математические методы теории гравитации», а также специальных дисциплин вариативной части профессионального цикла магистратуры: «Дифференциальные формы и метод Картана» и «Методы теории групп и алгебр Ли в математической физике». В частности, обучающийся должен иметь первоначальные представления из общей топологии и теории гладких многообразий и векторных расслоений.

Освоение дисциплины «Методы алгебраической топологии в теории поля» формирует у обучающегося знания, умения и навыки, которые необходимы в дальнейшем в цикле «Практика и научно-исследовательская работа» и при изучении дисциплины профессионального цикла «Связности в главных расслоениях и поля Янга-Миллса».

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 часа.

4. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Методы алгебраической топологии в теории поля»

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование и развитие следующих компетенций:

- способность порождать новые идеи и применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-5);

- способность к научно-исследовательской работе (ПК-3);

- самостоятельное построение целостной картины дисциплины (ПК-6);

- собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках (ПК-8).

В результате изучения дисциплины обучающиеся должны:

Знать с достаточной полнотой основные понятия и прикладные аспекты алгебраической топологии, понимать их связь с геометрией.

Уметь вычислять внешний дифференциал дифференциальной формы и внешний ковариантный дифференциал дифференциальной формы со значениями в векторном расслоении с заданной связностью. Уметь интегрировать дифференциальные формы и применять теорему Стокса.

Уметь вычислять для заданной псевдоримановой метрики на многообразии формы связности, кривизны и кручения с помощью метода структурных уравнений Картана. Уметь вычислять для заданной формы связности в векторном расслоении форму кривизны с помощью метода структурных уравнений Картана.

Владеть навыками применения освоенного математического аппарата, необходимыми для решения задач математического моделирования в теории гравитации.

5. Образовательные технологии Образовательный процесс по данной дисциплине проходит в традиционной форме: лекции и практические занятия (в том числе в интерактивной форме), самостоятельная реферативная работа, расчетно-графические задания.

6. Формы контроля Оценка активности и качества усвоения материала основана на рейтинговой системе. Формы контроля: проверка понимания материала при решении задач на практических занятиях, проверка расчетно-графических работ, проверка реферативных заданий. Итоговая форма контроля – экзамен.

1. Гомотопии и фундаментальная группа Гомотопные отображения, гомотопические классы. Фундаментальная группа многообразия. Фундаментальные группы двумерных поверхностей.

Накрытия и фундаментальная группа. Вычисления фундаментальных групп. Высшие гомотопические группы. Гомотопические группы сфер.

2. Гомологии и когомологии многообразий, их эквивалентность. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии. Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Эйлерова характеристика. Степень отображения и индекс векторного поля.

Характеристические классы векторных расслоений. Основные понятия теории препятствий. Простейшие вычисления.

3. Применения методов алгебраической топологии в теории поля.

Монополи в калибровочных теориях. Топология дефектов в физике конденсированных сред. Инвариант Хопфа. Динамические и топологические солитоны. Топологические геоны в теории гравитации.

1 Гомотопии и фундаментальная. группа Применения методов теории поля IV. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов Примерные темы рефератов:

1. Топология узлов и зацеплений.

2. Топология трехмерных многообразий.

3. Отображение Хопфа.

4. Характеристические классы Штифеля-Уитни.

5. Гомологии и когомологии Чеха.

6. Топологические дефекты в жидких кристаллах.

7. Топология и космология.

Перечень вопросов к экзамену:

1) Гомотопные отображения, гомотопические классы. Фундаментальная группа многообразия.

2) Фундаментальные группы двумерных поверхностей.

3) Накрытия и фундаментальная группа. Вычисления фундаментальных групп.

4) Высшие гомотопические группы. Гомотопические группы сфер.

5) Определения групп гомологий и когомологий.

6) Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии. Вычисления.

7) Двойственность Пуанкаре для многообразий.

8) Эйлерова характеристика. Степень отображения и индекс векторного поля.

9) Характеристические классы векторных расслоений. Основные понятия теории препятствий.

10) Монополь Дирака. Монополь т’Хофта – Полякова.

11) Инвариант Хопфа. Интегральное представление.

12) Топология дефектов в физике конденсированных сред.

13) Динамические и топологические солитоны.

14) Топологические геоны в теории гравитации.

V. Учебно-методическое и информационное обеспечение а) Основная литература:

1) Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия:

Методы и приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2008. Т. 1-2.

2) Борисович Ю.Г. Введение в топологию. М.: Наука, 2005.

3) Прасолов В.В. Элементы теории гомологий. М.:МЦНМО, 2006.

б) дополнительная литература:

1) Монастырский М.И. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.: ПАИМС, 1995.

2) Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.:МЦНМО, 2004.

3) Мищенко А.С., Соловьёв Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии: Учеб. пособие для вузов. М.:

Издательство физ.-мат. литературы, 2001.

VI. Материально-техническое обеспечение дисциплины Материально-техническое обеспечение включает программное обеспечение (редакторскую систему TeX и систему аналитических вычислений Maple), а также мультимедийное оборудование.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ООП ВПО по направлению 010200.68 Математика и компьютерные науки и программе специализированной подготовки «Математическое моделирование».