«Воронежский институт МВД России Кафедра высшей математики Родин В.А. ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 2 Воронеж 2013 УДК Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики протокол № от 2012 г. Рассмотрены и одобрены ...»

1

Воронежский институт МВД России

Кафедра высшей математики

Родин В.А.

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

2

Воронеж 2013

УДК

Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей

математики протокол № от 2012 г.

Рассмотрены и одобрены на заседании методического совета протокол № от 2011 г.

Родин В.А. Теория принятия решений. Воронеж. Воронежский институт МВД России. 2012 г. - с.

Пособие предназначено для слушателей РТФ (3-4 курс), обучающихся по специальности 230102.65 “Автоматизированные системы обработки информации и управления”, специализация — эксплуатация и администрирование программнотехнических комплексов органов внутренних дел. Пособие содержит 30 лекций, лабораторных работ с полным решением типовых задач, самостоятельные контрольные задания по вариантам.

УДК Воронежский институт МВД России.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Рабочая программа дисциплины ТПР……………………………..

1.I Организационно-методический раздел………………………… 1.2 Основной раздел…………………………………………………… 1.2.1 Перечень тематических модулей…………………………….

1.2.2 Темы с перечнем основных вопросов……………………….

1.2.3 Темы лекций с перечнем основных вопросов……………… 1.2.4 Темы лабораторных работ с перечнем основных вопросов..

1.2.5 Перечень вопросов для подготовки к промежуточной аттестации и (зачету, экзамену) по всему курсу…………….

Тематический план дисциплины……………………………..

Учебно-методическое обеспечение дисциплины…………… 2. Введение (примеры ЗАМ ЕЧ А Т ЕЛЬ Н Ы Х УП Е А В Л ЕН ЧИ С К И Х РЕ Ш ЕН И Й ) … … …… … … … … … … … …… … … … … … … … … … …… … … … …… … ….

3. Введение в теорию принятия решений…………………………….

4. Принятие решений в ОВД…………………………………………… 5. Поисковые и информационные технологии……………………… 6. Шкалы измерения…………………………………………………….

7. Прогнозирование правонарушений………………………………… 8. Интервальная математика…………………………………………… 9. Теория нечеткости……………………………………………………..

10. Матричные методы принятия решений…………………………… 11. Задачи оптимизации…………………………………………………..

12. Вероятностно-статистические методы принятия решений……..

13. Основы моделирования оптимального хранения и перемещения ресурсов………………………………………………………………….

14. Моделирование взаимодействия инспекторов и проверяемых….

15. Моделирование процессов патрулирования с учетом фрактальности района………………………………………………..

16. Математические модели налогообложения………………………..

Воронежский институт МВД России протокол №

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

по специальности 230102.65 Автоматизированные системы обработки специализация — эксплуатация и администрирование программнотехнических комплексов органов внутренних дел Воронеж 2013 г.

Рабочая учебная программа дисциплины «Теория принятия решений»

подготовлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 230102.65 Автоматизированные системы обработки информации и управления.

Рабочая учебная программа подготовлена Родиным В.А., д.ф.-м.н., профессором кафедры высшей математики.

Рецензенты:

1. Новиков И.Я., профессор кафедры функционального анализа Воронежского Государственного университета, д.ф.-м.н, профессор.

2. Атласов И.В. начальник кафедры АИС ОВД Воронежского института МВД России, д.ф.-м.н., профессор.

Настоящая рабочая учебная программа обсуждена и одобрена:

на заседании кафедры высшей математики «_ » мая 2013 года. Протокол №.

на заседании методического совета института « » 2013 года. Протокол № _.

I. Организационно-методический раздел Теория принятия решений — область исследования, вовлекающая понятия и методы математического анализа, статистики, эконометрики, теории игр, менеджмента и психологии, теории графов и комбинаторики, финансовой математики и логистики с целью изучения закономерностей выбора людьми путей решения разного рода задач, а также способов поиска наиболее выгодных из возможных решений.

Принятие решения — это процесс рационального или иррационального выбора альтернатив, имеющий целью достижение осознаваемого результата. Различают нормативную теорию, которая описывает рациональный процесс принятия решения и дескриптивную теорию, описывающую практику принятия решений.

Дисциплина "Теория принятия решений" обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует формированию мировоззрения и системного мышления Целью преподавания дисциплины "Теория принятия решений" является формирование навыков ценностно-информационного подхода к анализу и синтезу автоматизированных систем обработки информации и управления.

Задачи дисциплины:

- изучение теоретических основ постановки задач принятия решений, методов и моделей обоснования решений;

- приобретение практических умений и навыков поиска компромиссных и оптимальных решений.

Междисциплинарные связи. Изучение дисциплины базируется на знаниях средней школы, курсов: «Математика» «Теория вероятностей и математическая статистика», «Теория игр», «Эконометрика», «Исследование операций», «Математическая обработка экспертных данных», «Основы теории управления», «Финансовая математика». Данный курс обеспечивает изучение дисциплин «Организация и планирование управления и контроля», «Моделирование систем», «Системы искусственного интеллекта», «Проектирование АСОИУ», «Надежность, эргономика и качество АСОИУ» и является базовым для изучения специальных дисциплин.

Требования к знаниям и умениям по дисциплине.

В результате изучения дисциплины курсант должен иметь представление:

- об основных закономерностях функционирования систем и возможностях их системного анализа;

- о современных методах исследования, оптимизации и проектировании автоматизированных систем обработки информации и управления (АСОИУ) и их обеспечения;

- об автоматизации моделирования;

- об использовании основных положений теории принятия решений в различных областях науки и техники;

знать:

- качественные и количественные методы анализа систем, методы теоретикомножественного описания систем;

- основы системного подхода, формальный аппарат анализа и синтеза структур автоматизированной системы, а также идеологию ее построения;

- основные классы моделей и методы моделирования, принципы построения моделей процессов, методы формализации, алгоритмизации и реализации моделей систем на ЭВМ;

- основные положения теории принятия решений, методы анализа и синтеза линейных непрерывных и дискретных систем принятия решений;

уметь использовать:

- методы системного анализа объектов и процессов, исследования операций и принятия решений;

- формальный аппарат для анализа организационной, функциональной и технической структур автоматизированных систем, определять состав задач, решаемых системой;

- методы системного моделирования при исследовании и проектировании систем, схемы моделирующих алгоритмов, языки моделирования и пакеты прикладных программ моделирования дискретных систем;

- математические модели и методы для анализа, расчетов и оптимизации детерминированных явлений, случайных явлений и процессов, проходящих в условиях полной неопределенности;

иметь навыки:

- использования методов теории систем в практике проектирования АСОИУ;

- составления математических моделей элементов систем принятия решений, проверки статистических гипотез, использования временных рядов для прогнозирования, практического применения теории игр, расчетов схем принятия решений при заданных внешних воздействиях и описании их непрерывными и дискретными моделями.

II. Основной раздел 1 Перечень тематических модулей 1. Тематический модуль №1. «Технология и процедуры разработки и принятия управленческих решений».

2. Тематический модуль №2. «Неопределенностей в теории принятия решений».

3. Тематический модуль №3. «Методы принятия решений».

4. Тематический модуль №4. «Моделирование в теории принятии решений».

2. Темы с перечнем основных вопросов «Технология и процедуры разработки и принятия управленческих Тема 1. Основные направления ТПР.

Примеры и задачи теории принятия решения. Различные методы сбора, обработки и анализа экспертных оценок. Основные понятия теории принятия решений. Современный этап развития теории принятия решений.

Основные понятия исследования операций и системного анализа;

методологические основы теории принятия решений; задачи выбора решений, отношения, функции выбора, функции полезности, критерии; детерминированные и стохастические задачи. Перечень основных направлений рассмотренных в курсе.

Тема 2. Принятие решений в ОВД Управление людьми и принятие решений на основе математичкой обработки мнения экспертов. Оценки общего мнения через средние и медианы, ранжирование мнений. Расстояние Кемени в пространстве мнений экспертов.

Матрицы идентификации, медиана Кемени.

Тема 3. Поисковые и информационные технологии Информационно системы. Устройство нейронных сетей. Варианты применения нейронных сетей. Шкалирование. Шкалы Лайкерта, Гуттмана.

Многомерное шкалирование. Диаграмма Шепарда, график “Каменистой осыпи”, многомерная регрессия. Устройство нейронных сетей. Варианты использования нейронных сетей. Типы архитектур нейросетей. Сети Хопфилда и Кохонена.

Обучение многослойной сети.

«Неопределенность в теории принятия решений»

Тема 4. Шкалы измерения Основные шкалы измерения. Инвариантные алгоритмы и средние величины.

Средние величины в порядковой шкале. Средние по Колмогорову и другие оценки.

Тема 5. Прогнозирование правонарушений Теория вероятностей и математическая статистика в принятии решений и построении гипотезы правонарушения. Суть вероятностно-статистических методов принятия решений. Логнормальное распределение легальных доходов Проверка качества продукции с помощью исследования временного ряда. Компьютерные методы исследования различных стратегий проверки налоговых деклараций. О пакете STATISTICA. Применение для построения трендов налоговой отчетности.

Проверка гипотезы об отсутствии тренда (метод медианы, метод ФостераСтюарта).

Тема 6. Интервальная математика Понятие об интервальной математике. Интервальные данные в задачах оценивания параметров. Интервальные данные в задачах проверки гипотез. Интервальный дискриминантный анализ. Интервальный кластер-анализ. Место статистики интервальных данных (СИД).

Тема 7. Теория нечеткости Нечеткие множества. Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. О разработке методики ценообразования на основе теории нечетких множеств. О статистике нечетких множеств. Нечеткие множества как проекции случайных множеств. Пересечения и произведения нечетких и случайных множеств. Сведение последовательности операций над нечеткими множествами к последовательности операций над случайными множествами.

Задачи в условиях неопределенности; задачи скалярной оптимизации, линейные, нелинейные, дискретные; многокритериальные задачи.

Тема 8. Матричные методы принятия решений Матричные процессы оптимизации. Классификация задач по виду информационного состояния ЛПР. Цепи Маркова, прогнозирование. Марковская модель принятия решений. Математическое и компьютерное моделирование оптимальной суммарной прибыли. Динамическое программирование. Решение типовой задачи садовника.

Матричные игры с нулевой суммой, биматричные игры.

Тема 9. Задачи оптимизации Парето-оптимальность, схемы компромиссов; методы решения многопараметрических задач динамические задачи; принятие решений в условиях неопределенности. Линейное программирование. Целочисленное программирование. Транспортная задача. Компьютерная оптимизация на графах.

Задача коммивояжера. Задача о кратчайшем пути Проблемы упорядочения.

Классификация задач теории расписаний. Методы решения задач теории расписаний.

Тема 10. Вероятностно-статистические методы принятия решений Эконометрические методы принятия решений в контроллинге. Принятие решений в условиях риска и инфляции. Принятие решений в условиях полной неопределенности (методы Вельда, Севиджа и др.) «Моделирование в теории принятии решений»

Тема 11. Основы моделирования оптимального хранения и перемещения ресурсов Основные понятия общей теории моделирования. Математическое моделирование при принятии решений. Понятие о логистике и принятие решений в задачах логистики. Алгоритм построения оптимального плана. Оптимизация плана с равными интервалами между поставками. Асимптотически оптимальный план.

Тема 12. Моделирование взаимодействия инспекторов и проверяемых.

Основные цели госинспекции. Модель с честными инспекторами. Модель двухуровневой инспекции с учетом коррупции. Использование информации в модели: “ Центр - подчиненные”.

Тема 13. Моделирование процессов патрулирования с учетом фрактальности застройки района.

Размерность Хаусдорфа-Безиковича. Фрактальность в уличной структуре мегаполисов на примере Токио. Оптимизация маршрутов патрулирования с учетом фрактальности застройки улиц.

Тема 14. Математические модели налогообложения.

Аксиомы и шкалы налогообложения. Принципы налогообложения физических лиц. Цена рабочего и свободного времени. Функция полезности, структура потребления и максимизация благосостояния. Налоги производственных фирм. Налоги на рынках. Основная задача налоговых органов.

3. Тематики лекций с перечнем основных вопросов «Технология и процедуры разработки и принятия управленческих Тема 1. Введение в теорию принятия решений Лекции №1. “ Основные направления и задачи ТПР “.

1. Пример задачи принятия решения.

2. Основные понятия системного анализа.

3. Основные понятия исследования операций; методологические основы теории принятия решений; задачи выбора решений, отношения, функции полезности, критерии; детерминированные, стохастические задачи.

4. Постановка задач принятия оптимальных решений Лекции №2. “Элементы финансовой математики в условиях определенности”.

1. Элементы финансовой математики в условиях определенности 1.1) Наращенные и дисконтированные суммы 1.2) Потоки платежей, ренты 1.3) Оценка инвестиционных проектов 1.4) Кредитные расчеты 2. Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой Тема 2. Принятие решений в ОВД Лекция №3. “Методы сбора, обработки и анализа экспертных оценок”.

Методы средних баллов Пример сравнения восьми проектов Метод средних арифметических рангов Метод медиан рангов Метод согласования кластеризованных ранжировок Основные математические задачи анализа экспертных оценок Бинарные отношения и расстояние Кемени Медиана Кемени и законы больших чисел Тема 3. Информационные технологии Лекция № 4. “Шкалирование информации” 1. Шкалирование, определения.

2. Шкалы Лайкерта, Гуттмана.

3. Многомерное шкалирование.

4. Диаграмма Шепарда, многомерная регрессия.

Лекция № 5. “Многомерное шкалирование в оболочке STATISTICA”’ 1. Пример обработки международных данных по рейтингам сходств студентов из 12 стран.

2. Схема последовательных действий для компьютерного анализа матрицы сравнений в оболочке STATISTICA.

3. Диаграмма Шепарда.

Лекция № 6. Введение в нейронные сети” 1. Устройство нейронных сетей.

2. Варианты использования нейронных сетей.

3. Типы архитектур нейросетей.

4. Сети Хопфилда и Кохонена.

5. Обучение многослойной сети.

«Неопределенность в теории принятия решений»

Тема 4. Шкалы измерения Лекция № 7. “Элементы теории измерений” Основные шкалы измерения.

Инвариантные алгоритмы и средние величины.

Средние величины в порядковой шкале.

Средние по Колмогорову и другие оценки.

Тема 5. Прогнозирование правонарушений Лекция № 8-9. “ Примеры принятия решения после проверки статистической гипотезы”.

Суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

Прогрессивная шкала подоходного налога.

Логнормальное распределение и границы легального заработка.

Проверка качества продукции с помощью исследования временного 5. Построение трендов временных ряд для проверки гипотезы о возможных налоговых правонарушениях.

Лекция № 10. “Статистическое прогнозирование нарушений налоговой отчетности ”.

1. Компьютерные методы исследования различных стратегий проверки налоговых деклараций 2. О пакете STATISTICA. Применение для построения трендов.

3. Проверка гипотезы об отсутствии тренда (метод медианы, метод Фостера-Стюарта). Применение в налоговой отчетности.

4. Типовые практические задачи и компьютерные методы их решения.

Тема 6. Интервальная математика Лекция № 11. “Интервальная математическая статистика” Определения действий в интервальной математике.

Основные результаты вероятностной модели.

Примеры оценивания характеристик распределения Интервальные данные в задачах проверки гипотез.

Интервальный дискриминантный анализ Интервальный кластер-анализ.

Тема 7. Теория нечеткости Лекция № 12. “Задачи теории нечетких множеств”.

1. Нечеткие множества.

2. Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества.

3. О разработке методики ценообразования на основе теории нечетких множеств.

4. Нечеткие множества как проекции случайных множеств.

Тема 8. Матричные методы принятия решений Лекция № 13. “Введение в теорию игр”.

Платежная матрица и стратегии игры.

Минимаксные и максиминные стратегии.

Доминирующие стратегии.

Смешанные стратегии.

Биматричные игры.

Применение для решения задач налоговых органов.

Лекция №.14. “Динамическое программирование в цепях маркова, задача садовника”.

Определения связанные с процессом оптимизации.

Классификация задач по виду информационного состояния ЛПР.

Марковская модель принятия решений Математическое и компьютерное моделирование оптимальной суммарной 5. Решение типовой задачи садовника.

Тема 9. Задачи оптимизации Лекция № 15. “ Векторная оптимизация ”.

Многопараметрическая оптимизация, схемы компромиссов;

Основные методы решения многопараметрических задач;

Лекция № 16. “Линейное программирование” 1. Линейное программирование.

2. Двойственная задача 3. Типовая задача линейного программирования.

4. Симплекс-метод.

Лекция № 17. “Транспортные задачи”.

Целочисленное программирование, задача о выборе оборудования.

Методы решения задач целочисленного программирования.

Лекция № 18 “Оптимизация на графах, сетевое планирование ” Задача о максимальном потоке.

О многообразии оптимизационных задач Лекции №.19-20. “Теория расписаний”.

1. Проблемы упорядочения 2. Классификация задач теории расписаний 3. Оценки, переменные и целевые функции в теории расписаний 4. Расписания и стоимость 5. Методы решения задач теории расписаний 6. Упорядочение конечного числа работ для одной машины 7. Перестановочные расписания 8. Упорядочение по минимуму длительностей работ.

Лекции №.21. “Сети Штейнера.” 1. Исторические корни и постановка геометрической задачи на экстремум 2. Математическая постановка задачи в общем виде (для произвольного 3. Актуальность решения задачи в общем виде. Сети Штейнера.

Лекции №.22. “Сети Штейнера, компьютерное решение”.

1. Физические принципы, теорема существования и физическое моделирование ( n произвольное число 4 ).

2. Алгоритм численного решения задачи для произвольного числа точек.

3. Блок-схема для компьютерной реализации решения задачи.

Тема 10. Вероятностно-статистические методы принятия решений Лекция № 23. “Принятие решений в условиях полной неопределенности и в вероятностных условиях”.

1. Анализ связанного набора решений в условиях неопределенности ( методы Вельда, Севиджа и Гурвица).

2. Анализ связанного набора операций в вероятностных условиях.

3. Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой стратегии.

4. Случайные потоки платежей, кредитные и депозитные риски «Моделирование в теории принятии решений»

Тема 11. Основы моделирования оптимального хранения и перемещения ресурсов Лекция № 24. “Введение в логистику”.

1. Основные понятия общей теории моделирования.

2. Математическое моделирование при принятии решений.

3. Понятие о логистике и принятие решений в задачах логистики, Лекция № 25. “Алгоритм построения оптимального плана.” 1. Оптимизация плана с равными интервалами между поставками.

2. Алгоритм построения оптимального плана.

3. Асимптотически оптимальный план.

Тема 12. Моделирование взаимодействия инспекторов и проверяемых.

Лекция № 26. “Оптимальная организация инспекции с подавлением коррупционных явлений ”.

Основные цели госинспекции.

Модель с честными инспекторами.

Модель двухуровневой инспекции с учетом коррупции.

Оптимальная зарплата инспекторов.

Синтез оптимальной контрольной структуры.

Тема 13. Моделирование процессов патрулирования с учетом Лекция № 27. Оптимизация маршрутов патрулирования с учетом фрактальности.

1. Размерность Хаусдорфа-Безиковича.

2. Фрактальность в уличной структуре мегаполисов на примере Токио.

3. Оптимизация маршрутов патрулирования с учетом фрактальности застройки улиц.

Тема 14. Математические модели налогообложения Лекция № 28. Модели основных видов налогов физических лиц Математические аксиомы и шкалы налогообложения.

Математические принципы налогообложения физических лиц ( подоходный налог).

Цена рабочего и свободного времени работника.

Функция полезности, структура потребления и максимизация благосостояния.

Лекция № 29. Математические схемы основных налогов производственной фирмы.

Модель налога на прибыль.

Модель акцизного налога.

Лекция № 30. Математические схемы основных налогов рынка.

Классическая модель (совершенный рынок одного товара).

Максимальный налог на равновесном рынке.

Налоги на рынке с линейными функциями.

Акцизный налог на совершенном рынке.

4. Тематика лабораторных работ с перечнем основных вопросов «Технология и процедуры разработки и принятия управленческих Тема 1. Введение в теорию принятия решений ЛР № 1-2. Задачи принятия решений в финансовой сфере.

Решения простейших обиходных задач Ф.М в условиях стабильности.

Типовые задачи Ф.М. в вероятностных условиях с решениями.

Тема 2. Принятие решений в ОВД ЛР №3. Методы сбора, обработки и анализа экспертных оценок.

Обработка мнений и экспертных оценок.

Кластерные ранжировки.

Тема 3. Контроль операций ЛР № 4. Практические методы сбора и обработки информации.

1. Провести опрос по опроснику Гуттмана для выяснения предвзятости мнения о роли полицейских. Число респондентов 100.

2. Оформить в виде таблицs и вычислить: а) среднее, б) медиану, в) коэффициент воспроизводимости опросника.

ЛР № 5. Компьютерные методы сбора и обработки информации.

1. Составить матрицу размера 10 10 сравнения мнений ( например о высших учебных заведениях города Воронеж, 10-ти центров развлечений, кинотеатров города и др.).

2. Провести компьютерное многомерное шкалирование с применением программной среды – STATISTICA.

«Неопределенность в теории принятия решений»

Тема 4. Шкалы измерения ЛР № 6. Обработка эмпирических данных 1. Средние величины в порядковой шкале.

2. Средние по Колмогорову и другие оценки.

Тема 5. Прогнозирование правонарушений ЛР № 7, 8. Прогнозирование финансовых правонарушений.

Проверка гипотезы об отсутствии тренда, косвенное обнаружение правонарушений в налоговой сфере.

Построение трендов временных ряд для проверки гипотезы о возможных правонарушениях в финансовой отчетности.

Тема 6. Асимптотическая математическая статистика ЛР № 9. Применение интервальной математики в статистике.

1. Действия в интервальной математике, геометрия алгоритмов.

2. Место статистики интервальных данных (СИД) в оценке погрешности и достаточности числа проведенных испытаний.

Тема 7. Теория нечеткости ЛР № 10. Обработка мнений с помощью теории нечетких множеств.

1. Действия с нечеткими множествами.

2. О статистике нечетких множеств.

Тема 8. Матричные методы принятия решений ЛР № 11. Математическое описание и решение задач теории матичных игр.

1. Составление платежной матрицы.

2. Решение задач.

ЛР № 12-13. Цепи маркова, “задача садовника”.

Планирование и расчет прибыли от суммарной деятельности с Составление компьютерной программы и прогноз на горизонт Графическое представление об изменении суммы прибыли.

Тема 9. Задачи оптимизации ЛР №14. Построение множества Парето.

1. Парето-оптимальность.

2. Принятие решений в условиях неопределенности.

ЛР №15, 16. Линейное программирование. Симплекс метод.

1. Решение задачи линейного программирования симплекс методом.

2. Графическая иллюстрация.

ЛР №17, 18. Решение транспортных задач.

1. Определение начального плана методом северо-западного угла.

2. Последовательное улучшение плана методом потенциалов.

ЛР №19. Оптимизации на графах.

ЛР №20. Решения задач теории расписаний.

Оценка времени выполнения всех видов работ.

ЛР №21. Построение сетей Штейнера.

1. Построение сети Штейнера для четырехугольника.

2. Графическое оформление.

ЛР № 22. Определение точки Ферма-Торричелли-Штейнера для четырехугольника.

3. Определение точки Ферма-Торричелли-Штейнера.

4. Графическое оформление.

Тема 10. Вероятностно-статистические методы принятия решений ЛР № 23. Принятие решений в условиях полной неопределенности и в вероятностных условиях.

1. Принятие решений в условиях риска и инфляции.

2. Методы Вельда, Севиджа и Гурвица.

«Моделирование в теории принятии решений»

Тема 11. Основы моделирования оптимального хранения и перемещения ресурсов ЛР № 24. Оптимизация условий хранения и управления запасами.

1. Составить оптимальный план поставок.

Тема 12. Моделирование взаимодействия инспекторов и проверяемых.

ЛР нет.

Тема 13. Моделирование процессов патрулирования с учетом фрактальности района.

ЛР нет.

Тема 14. Математические модели налогообложения ЛР № 25. Факторы, влияющие на процессы налогообложения.

Максимизация функции благосостояния.

ЛР № 26. Схемы основных налогов производственной фирмы.

ЛР № 27. Схемы основных налогов рынка.

Классическая модель (совершенный рынок одного товара).

Максимальный налог на равновесном рынке.

Налоги на рынке с линейными функциями.

Акцизный налог на совершенном рынке.

5. Перечень вопросов для подготовки к промежуточной аттестации и (зачету, экзамену) по всему курсу.

Введение в теорию принятия решений Принятие решений - работа оперативного работника Принятие решений и контроль правильности финансовых операций Шкалы измерения и инвариантные алгоритмы Основы теории расписаний Вероятностно-статистические методы описания неопределенностей в теории принятия решений и прогнозирования правонарушений 7. Основные идеи асимптотической математической статистики интервальных 8. Описание неопределенностей с помощью теории нечеткости 9. Простые методы принятия решений 10. Задачи оптимизации при принятии решений 11. Вероятностно-статистические методы принятия решений 12. Основы моделирования 13. Принятие решений на основе моделей обеспечения качества 14. Моделирование и оценка результатов взаимовлияний факторов 15. Теория вероятностей и математическая статистика в принятии решений и построении гипотезы правонарушения.

16. Суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

17. Описание данных, оценивание и проверка гипотез.

18. Современное состояние прикладной статистики, типовые практические задачи и методы их решения.

19. Построение трендов временных ряд для проверки гипотезы о возможных правонарушениях 20. Интервальные данные в задачах оценивания характеристик распределения.

21. Интервальные данные в задачах оценивания параметров 22. Сравнение методов оценивания параметров.

23. Интервальный дискриминантный анализ.

24. Интервальный кластер-анализ.

25. Роль матичных игр для принятия решений в ситуации неопределенности.

26. Планирование и расчет прибыли от суммарной деятельности, “задача садовника”.

27. Парето-оптимальные решения.

28. Линейное программирование, симплекс метод.

29. Решение транспортных задач.

30. Оптимизация на графах.

31. Задачи теории расписаний.

32. Сети Штейнера.

33. Точки Ферма-Торричелли-Штейнера, оптимизация суммы расстояний.

34. Моделирование задач логистики.

35. Модели оптимизации маршрутов патрулирования с учетом фрактальных явлений.

36. Игровые модели взаимодействия инспекторов налоговой службы и налогоплательщиков.

37. Математические модели налогообложения.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ

Технология и процедуры разработки и принятия управленческих решений Введение в теорию принятия Работа оперативного работника Контроль финансовых операций Неопределенность в теории принятия решений Шкалы измерения Прогнозирование правонарушений Асимптотическая статистика Теория нечеткости Задачи оптимизации методы принятия решений взаимовлияний факторов III. Учебно-методическое обеспечение дисциплины основная литература 1. Кочетков В.П. Основы теории управления: учебное пособие.

РнД:Феникс, 2012. -411 с.

2. Винокуров С.А., Щербакова И.В. Автоматизированное управление сетями электросвязи. Воронеж, ВИ МВД РФ, 2008. – 89 с.

3. Пьянков О.В. Основы управления сетями связи. Воронеж, ВИ МВД 4. Малыхин В.И., Родин В.А. Финансовая математика в примерах и задачах./ Учебник. АО ИММ и Ф. Воронеж. 2004г. с.200.

5. Малыхин В.И., Моисеев С.А., Родин В.А. Финансовая математика и модели налогообложения. В примерах и задачах./ Учебник. АО ИММ и Ф. Воронеж. 2008г. с.278.

дополнительная литература 1. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие. - М.:

Издательство "Март", 2004. - 656 с.

2. Грешилов А.А. Математические методы принятия решений. М..:

МГТУ, 2006. – 584 с.

3. Е.В.Алексеева Теория принятия решений. Курс лекций. (слайды). НГУ.

2012. Каф. Дискретного анализа и исслед. операций.

4. Майзер Х., Эйджин Н., Тролл Р. Исследование операций. Т.1.

Методологические основы и математические методы. М.:Мир, -1981.

5. Браун Р., Мэзон Р., Фламгольц Э. Исследование операций. Т.2.

Модели и применения. М.:Мир, -1981. – 677 с.

научные журналы 1. Автоматика и телемеханика. ISSN 0005-2310.

2. Известия РАН. Теория и системы управления. ISSN 0002-3388.

3. IEEE Control @ Automation. ISSN 0956-3385.

4. IEEE Control Systems Technology ISSN 1063-6536.

5. IEEE Control Theory @ Applications. ISSN 1751-8644.

базы данных, информационно-справочные и поисковые системы http://mathem.h1.ru/ http://www.pm298.ru/ http://allmatematika.ru/ http://mathtest.ru/ http://www.mathnet.ru/ http://www.exponenta.ru/ http://eqworld.ipmnet.ru/ Материально-техническое обеспечение дисциплины 1. Учебные аудитории: компьютерный класс с установленным программным обеспечением Windows 9X/2000/XP, MS Office XP, MatLab, MathCad, Mathematica, из расчета один ПК на одного человека.

Видеопроектор и электронная доска.

2. Средства ТСО: плакаты, компьютерные презентации с использованием ноутбука и проектора.

Начальник кафедры высшей математики, полковник полиции В.В.Меньших

ТЕОРИЯ ПРОНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

«Технология и процедуры разработки и принятия управленческих Тема 1. “ Основные направления ТПР“.

Лекции №1. “ Основные направления и задачи ТПР “.

5. Пример задачи принятия решения.

6. Основные понятия системного анализа.

методологические основы теории принятия решений; задачи выбора решений, отношения, функции полезности, критерии; детерминированные, стохастические задачи.

8. Постановка задач принятия оптимальных решений.

1. Примеры задач принятия решения. В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора. Ввиду того, что размерность практических задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, то методы принятия оптимальных решений главным образом ориентированы на реализацию их с помощью ЭВМ.

Практическая потребность общества в научных основах принятия решений возникла с развитием науки и техники только в XVIII веке Началом науки "Теория принятия решений" следует считать работу Жозефа Луи Лагранжа, смысл которой заключался в следующем: сколько земли должен брать на лопату землекоп, чтобы его сменная производительность была наибольшей. Оказалось, что утверждение "бери больше, кидай дальше" неверен. Бурный рост технического прогресса, особенно во время и после второй мировой войны, ставил все новые и новые задачи, для решения которых привлекались и разрабатывались новые научные методы. Можно выделить следующие научно-технические предпосылки становления "Теории принятия решений":

• удорожание "цены ошибки". Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем "волевые" решения и тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее исключить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные;

• ускорение научно-технической революции техники и технологии.

Жизненный цикл технического изделия сократился настолько, что "опыт" не успевал накапливаться и требовалось применение более развитого математического аппарата в проектировании;

• развитие ЭВМ. Размерность и сложность реальных инженерных задач не позволяло использовать аналитические метода.

Эта наука, с одной стороны, стала определенной ветвью других более общих наук (теория систем, системный анализ, кибернетика и т.д.), а с другой, стала синтезом определенных фундаментальных более частных наук (исследование операций, оптимизация и т.д.), создав при этом и собственную методологию.

Инженерное дело теснейшим образом связано с совокупностями объектов, которые многочисленными и разнообразными по типу связями между отдельно существующими элементами системы и наличием у системы функции назначения, которой нет у составляющих ее частей. На первый взгляд каждая сложная система имеет уникальную организацию. Однако более детальное изучение способно выделить общее в системе команд ЭВМ, в процессах проектирования средств и метолов охраны, самолета и космического корабля.

В научно-технической литературе существует ряд термином, имеющих отношение к исследованию сложных систем.

Наиболее общий термин "теория систем" относится ко всевозможным аспектам исследования систем. Ее основными частями являются системный анализ, который понимается как исследование проблемы принятия решения в сложной системе, кибернетика, которая рассматривается как наука об управлении и преобразовании информации.

Здесь следует заметить, что понятие управления не совпадает с принятием решения. Условная граница между кибернетикой и системным анализом состоит в том, что первая изучает отдельные и строго формализованные процессы, а системный анализ - совокупность процессов и процедур.

Очень близкое к термину "системный анализ" понятие - "исследование операций", которое традиционно обозначает математическую дисциплину, охватывающую исследование математических моделей для выбора величин, оптимизирующих заданную математическую конструкцию (критерий). Широкая опора системного анализа на исследование операций приводит к таким его математизированным разделам, как постановка задач принятия решения;

описание множества альтернатив;

исследование многокритериальных задач;

методы решения задач оптимизации;

обработка экспертных оценок;

работа с макромоделями системы.

Приведем некоторые стандартные, базовые примеры постановки задач теории принятия решений.

Математическая модель описывает исследуемую систему и позволяет выразить эффективность в виде целевой функции где X = ( x1,..., xn ) - управляемые переменные а Y = ( y1,..., ym ) - исходные данные.

Возможны ограничения вида

А. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ КАМЕР СЛЕЖЕНИЯ,

ОПОРНЫХ ПУНКТОВ ИЛИ МАРШРУТОВ ПАТРУЛИРОВАНИЯ

Б. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ

ПОТРЕБИТЕЛИ

ПОСТАВЩИКИ

В. ЗАДАЧИ МАРШРУТИЗАЦИИ ( ЛОГИСТИКА)

Г. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАСПИСАНИЙ

Д. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

ПРИМЕР: A -налогоплательщик, В - инспектор.

Е. СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ РЕШЕНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

АНАЛИЗА

МОДЕЛИ

ДАННЫХ

РЕШЕНИЙ

Интерфейс пользователя, лицо принимающее решение (ЛПР)

Ж. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА

Имеем: n - число предприятий; Y количество единиц ресурса; f i (x) количество продукции, которое произведено на i - том предприятии, если в него вложили x единиц ресурса.

Требуется: максимизировать объем продукции

З. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

1.Линейное программирование. 2.Целочисленное программирование. 3.

векторная оптимизация. 4. Теория графов и компьютерная оптимизация на графах.

И. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, МАТРИЧНЫЕ КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ

1. Критерии Севиджа, Вальда, 2.Гурвица, Лапласа.

К. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ЗАДАНОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Детерминированные аналоги вероятностных характеристик, 2.

Оценка параметров, 3. Проверка статистических гипотез и их применение в оценки возможных правонарушений. 4. Прогнозирование с помощью временных рядов. 5 Случайные блуждания. 6. Цепи Маркова, задача садовника, 7. модели ситуационного поведения инспектора и проверяемого.

Л. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ФИНАНСОВОЙ СФЕРЫ

1. Финансовые потоки, 2. Инвестиции. 3. Методы снижения риска, 4. Модели налогообложения, 4. Оптимизация финансовой деятельности.

M. ХАРАКТЕРИСТИКИ АЛГОРИТМОВ

Для оценки качества алгоритма будем использовать два основных параметра: TA - трудоемкость, П А - требуемый объем памяти. Элементарная операция – это одна из арифметических операций или логическая из теории предикатов.

2.Основные понятия системного анализа.

Системный анализ - наука, занимающаяся проблемой принятия решения в условиях анализа большого количества информации различной природы.

Из определения следует, что целью применения системного анализа к конкретной проблеме является повышение степени обоснованности принимаемого решения, расширение множества вариантов, среди которых производится выбор, с одновременным указанием способов отбрасывания заведомо уступающим другим.

В системном анализе выделяют • методологию;

• аппаратную реализацию;

• практические приложения.

Методология включает определения используемых понятий и принципы системного подхода.

Дадим основные определения системного анализа.

Элемент - некоторый объект (материальный, энергетический, информационный), который обладает рядом важных для нас свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения.

информацией.

Система - совокупность элементов, которая обладает следующими признаками:

• связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;

• свойством, отличным от свойств отдельных элементов совокупности.

Практически любой объект с определенной точки зрения может быть рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая точка зрения.

Большая система - система, которая включает значительное число однотипных элементов и однотипных связей. В качестве примера можно привести трубопровод.

Элементами последнего будут участки между швами или опорами. Для расчетов на прочность по методу конечных элементов элементами системы считаются небольшие участки трубы, а связь имеет силовой (энергетический) характер каждый элемент действует на соседние.

Сложная система - система, которая состоит из элементов разных типов и обладает разнородными связями между ними. В качестве примера можно привести ЭВМ, лесной трактор или судно.

Автоматизированная система - сложная система с определяющей ролью элементов двух типов:

• в виде технических средств;

• в виде действия человека.

Для сложной системы автоматизированный режим считается более предпочтительным, чем автоматический. Например, посадка самолета или установка и наладеа аппаратуры слежения выполняется при участии человека, а автопилот или бортовой компьютер, или моделирование ситуации на ЭВМ используется лишь на относительно простых операциях. Структура системы расчленение системы на группы элементов с указанием связей между ними, неизменное на все время рассмотрения и дающее представление о системе в целом.

Указанное расчленение может иметь материальную, функциональную, алгоритмическую или другую основу. Пример материальной структуры структурная схема сборного моста, которая состоит из отдельных, собираемых на месте секций и указывает только эти секции и порядок их соединения. Пример функциональной структуры - деление двигателя внутреннего сгорания на системы питания, смазки, охлаждения, передачи крутящего момента. Пример алгоритмической структуры - алгоритм программного средства, указывающего последовательность действий или инструкция, которая определяет действия при отыскании неисправности технического устройства.

Декомпозиция - деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Примерами будут: разделение объекта на отдельно проектируемые части, зоны обслуживания; рассмотрение физического явления или математическое описание отдельно для данной части системы.

Иерархия - структура с наличием подчиненности, т.е. неравноправных связей между элементами, когда воздействие в одном из направлений оказывают гораздо большее влияние на элемент, чем в другом. Виды иерархических структур разнообразны, но важных для практики иерархических структур всего две древовидная и ромбовидная.

Аппаратная реализация включает стандартные приемы моделирования принятия решения в сложной системе и общие способы работы с этими моделями. Модель строится в виде связных множеств отдельных процедур. Системный анализ исследует как организацию таких множеств, так и вид отдельных процедур, которые максимально приспосабливают для принятия согласующихся и управленческих решений в сложной системе.

Модель принятия решения чаще всего изображается в виде схемы с ячейками, связями между ячейками и логическими переходами. Ячейки содержат конкретные действия - процедуры.

Практическое приложение системного анализа чрезвычайно обширно по содержанию. Важнейшими разделами являются научно-технические разработки и различные задачи экономики.

3. Основные понятия исследования операций Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Множеством допустимых решений называются заданные условия, которые фиксированы и не могут быть нарушены.

Показатель эффективности - количественная мера, позволяющая сравнивать разные решения по эффективности.

Все решения принимаются всегда на основе информации, которой располагает лицо принимающее решение (ЛПР).

Задача называется статической, если принятие решения происходит в наперед известном и не изменяющемся информационном состоянии. Если информационное состояние в ходе принятия решения сменяют друг друга, то задача называется динамической.

Информационные состояния ЛПР могут по-разному характеризовать его физическое состояние:

• Если информационное состояние состоит из единственного физического состояния, то задача называется определенной.

• Если информационное состояние содержит несколько физических состояний и ЛПР кроме их множества знает еще и вероятности каждого из этих физических состояний, то задача называется стохастической.

• Если информационное состояние содержит несколько физических состояний, но ЛПР кроме их множества ничего не знает о вероятности каждого из этих физических состояний, то задача называется неопределенной.

Функция полезности — экономико-математическая модель для определения предпочтений экономических субъектов. Первая производная функции полезности по количеству определённого блага U называется предельной полезностью этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности приносит дополнительная единица блага. Если предельная полезность, равна нулю, это означает что достигнута насыщенность по данному виду. Большинство функций полезности, рассматриваемых в экономике, имеют отрицательную вторую производную — закон убывающей предельной полезности.

Функция полезности может быть использована для определения спроса потребителя через решение задачи о максимизации полезности.

В вероятностной сфере численными аналогами выступают: математическое ожидание характеризующее среднюю прибыль и среднеквадратическое отклонение – характеризующее риск или степень разброса случайного решения. В качестве критерия правильности решения в вероятностной среде выступают критерии согласия. Наблюдаемое значение критерия попадает или в область принятия решения или в критическую область. В случае попадания в область принятия решений статистическую выдвигаемую, “нулевую” гипотезу ( H 0 ) принимают. В обратном случае отвергают.

В случае полной неопределенности применяют критерии различной степени риска (критерии Вальда, Севиджа, Гурвица, Фостара и др.). Также в курсе мы рассмотрим схемы принятия решений использующие теорию матричных игр, опираясь на теоремы Неймана и Нэша. Cлучайные блуждания, цепи Маркова и эргодические теоремы. Определение случайного момента перестройки, изменения решения для оптимизации прибыли дает сочетание динамического программирования на цепях маркова, это задача садовника, которую в курсе также изучим в плане практического применения.

Отдельную науку представляют математические методы обработки экспертных данных. Эту тему мы рассмотрим в следующей лекции.

4. Постановка задач принятия оптимальных решений В первом приближении можно сформулировать следующую последовательность действий, которые составляют содержание процесса постановки задачи:

• установление границы подлежащей оптимизации системы. Расширение границ системы повышает размерность и сложность системы и, тем самым, затрудняет ее анализ. Следовательно, в инженерной практике следует использовать декомпозицию сложных систем на подсистемы.

• определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить функционирования системы. "Наилучшему" варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования • выбор внутрисистемных независимых переменных • построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности. Элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при расчете проекта или прогнозировании характеристик инженерной системы.

Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) векторного показателя эффективности Wm (x), x = ( x1,..., xN ). Компоненты этого вектора удовлетворяют системе ограниченийравенств hk ( x) = 0, k = 1,..., K или ограничений-неравенств g j ( x) > 0, j = 1,..., J, или областным ограничениям a x b, = 1,...,.

Все задачи принятия оптимальных решений можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью Wm (x), hk (x), g j (x ) и размерностью и содержанием вектора x :

• одноцелевое принятие решений - Wm (x ), скаляр;

многоцелевое принятие решений - Wm (x), вектор;

принятие решений в условиях определенности - исходные данные детерминированные;

принятие решений в условиях неопределенности - исходные данные случайные.

принятие решений в условиях полной неопределенности - исходные данные платежные матрицы или матрицы возможных переходов.

Лекции № 2. “Элементы финансовой математики в условиях определенности”.

1. Элементы финансовой математики в условиях определенности.

1.1) Наращенные и дисконтированные суммы.

1.2) Потоки платежей, ренты.

1.3) Оценка инвестиционных проектов 1.4 ) Кредитные расчеты 2. Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой В этой лекции коротко остановимся на определениях и приведем решения простейших обиходных задач Ф.М., отмечая тот факт, что население даже имеющее высшее образование неподготовлено для адекватного восприятия современной банковской деятельности даже в детерминированном случае. Таким образом лекция посвящена принятию решений в финансовой сфере на математической основе.

1. Элементы финансовой математики в условиях определенности.

1.1) Наращенные и дисконтированные суммы. Пусть в момент 0 сумма вклада в банк равна P, банковская ставка - i, тогда при начислении простых процентов в конце n -го периода начисления сумма станет равной P(1 + in) для Мультиплицирующий множитель M (n, i ) = (1 + i ) n показывает во сколько раз возрастет сумма вклада при наращении ее по ставке сложных процентов i в течение n периодов наращения. Можно также сказать, что в величину M (n, t ) вырастет одна денежная единица, наращиваемая по ставке сложных процентов i в течение n периодов. Дисконтирующий множитель показывает долю, которую составит начальная сумма, положенная в банк под i процентов годовых, от наращенной к концу n го года: D(n, i ) = называют современной стоимостью денежной единицы через n лет при ставке процента i. Для облегчения расчетов используются также таблицы дисконтирующих множителей. Таблицы дисконтирующих множителей и мультиплицирующих множителей имеется во всех справочниках. Итак, деньги меняют свою стоимость во времени. Сумма S (t ) в момент t называется эквивалентной сумме S (T ) в момент T по ставке сравнения i, если В силу второго замечательного предела при номинальной ставке a годовых сложных процентов непрерывное наращение определяется формулой Инфляция измеряется в процентах за промежуток времени, обычно за месяц или за год. Будем измерять инфляцию в процентах за год. Инфляция a % в год означает, что один и тот же набор товаров через год будет стоить в (1 + a ) раз больше - то же самое, если сказать, что так уменьшилась за год покупательная способность денег. Нижеследующие задачи с решениями показывают особенности банковских расчетов.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая инфляция?

Решение. Для решения задачи достаточно рассмотреть изменения единичной суммы, и заметить, что инфляция это тот же процент, но со знаком минус. Из уравнения 1 (1 x ) =, m = 4 находим x = 1 (1 ) 4. Например если годовая инфляция = 99,84 %, то x = 1 0.2 = 0.8 или x = 80%.

Пример 2. Пусть квартальная инфляция равна 10%. Найдем годовую из равенства 1 (1 0.1) = 0.34, или 34%.

Отметим распространенный ошибочный ответ 40% годовой процент.

Пример 3. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%.

Решение. Обозначим: i, - наращенный процент и процент инфляции соответственно. Тогда годовая реальная ставка (см. Ф.М. стр.15.) удовлетворяет уравнению:

решение 12%+6% = 18%.).

Задачи для самостоятельного решения на Л.Р.№ 1.

1. Вы желаете удвоить сумму за 4 года. Каково минимальное приемлемое значение годовой ставки сложных процентов?

2. Банк начисляет 14% годовых. Чему равен первоначальный вклад, если через три года на счете 1 млн. руб. ? Проценты начисляются ежеквартально.

3. Банк начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через три года иметь на счете 10 млн. руб., если проценты начисляются ежеквартально?

4. Вы разместили средства в виде трехмесячного депозита под ставку 40% годовых простых процентов. Но темп инфляции составил 35% годовых.

Какова реальная ставка процентов?

5. Предполагаемый темп инфляции 10% в год. Какую ставку сложных процентов нужно проставить в контракте, если желательна реальная доходность 8%?

Ответ. i 0,188 или 18,8 %.

6. Предполагаемый темп инфляции 12% в год. Какую ставку сложных процентов нужно проставить в контракте, если желательна реальная доходность 8%? Чему равна инфляционная премия?

Ответ: Брутто-ставка 21%, инфляционная премия 13%.

7. Первые два года переменная ставка сложных процентов равна 20% плюс маржа 5%, в третий год 8% и в четвертый 5%. Определить множитель наращения за 4 года.

Ответ: (1,25) 2 1,08 1,05 1,77.

8. Определить сумму накопленного долга, если ссуда равна 700 тыс. руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых ( i = 0,2 ). Как изменится наращенная сумма, если увеличить ставку в два раза?

Ответ. Сумма долга 560т.р. Наращенная сумма увеличится в 1,444 раза.

9. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Определить множитель наращения.

10. Сумма в 5 мл. руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12% годовых.

1.2) Потоки платежей, ренты. Рента представляет ряд последовательных платежей через равные промежутки времени; в общем платежи осуществляются несколько раз в году, на эти платежи начисляются сложные проценты. Промежуток времени, в течение которого производятся эти платежи, называется сроком ренты или ее длительностью. Самая простая рента - конечная годовая, когда и платежи, и начисление процентов на них осуществляются в конце каждого года из срока ренты.

Пример. Рассмотрим 5-летнюю ренту с годовым платежом 1000 руб., процентная ставка i = 10%. Поясним движение денежных сумм. В конце первого года в банк вносится 1000 руб. В конце второго года эта сумма возрастает до руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом в руб. на счете уже 2100. В конце 3-го года эта сумма возрастет до 2310 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом в 1000 руб. на счете уже 3310 руб. и т.д. Организация ренты является наилучшим способом быстрого но не затратного способа накопления денег на счету.

Расчет ренты с переменными годовыми платежами.

Потоком платежей называется последовательность величин платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществляются - = {Rk, t k }. Платежи Rk, моменты времени - t k. Рента представляет ряд последовательных платежей через равные промежутки времени - = {Rk, k} ; в общем, платежи осуществляются несколько раз в году, на эти платежи начисляются сложные проценты. Сами платежи часто одинаковы - = {R, k }. Величина потока в момент T равна (T ) = Rk (1 + i ) T t k, Достаточно найти величину потока в какой-то момент T тогда в любой другой момент T величина потока вычисляется по формуле (T ) = (T )(1 + i) T T. Величина (0) называется современной величиной потока. Для ренты с одинаковыми платежами современная величина коэффициентом приведения ренты. Значения a(n, i ) для различных n и i собраны в таблице на стр... Зная современную величину ренты, можно найти конечную ее величигу, которую еще называют наращенной величиной: S = A(1 + i ) n.

Коэффициенты наращения конечной годовой ренты.

Коэффициент наращения ренты s (n, t ) = [(1 + i ) n 1] / i показывает во сколько раз наращенная величина S годовой ренты в течение n лет по ставке сложных процентов i больше единичного платежа R, т.е. S = R s (n, t ). Можно также сказать, что в величину s (n, t ) вырастет годовая рента с платежом в 1 денежную единицу, наращиваемая по ставке сложных процентов i в течение n лет.

Связь коэффициентов конечной годовой ренты.

Коэффициент приведения ренты a(n, i) = 1 (1 + i) n / i показывает во сколько раз современная величина A годовой ренты в течение n лет по ставке сложных процентов i больше единичного платежа R, т.е. A = R a (n, i). Можно также сказать, что a(n, i ) есть современная величина годовой ренты с платежом в денежную единицу, наращиваемая по ставке сложных процентов i в течение n лет. Справедливы флрмулы:

Рента конечная, общая (и платежи и проценты несколько раз в году).

Общая конечная рента R (n, i, p, m) представляет ряд последовательных одинаковых платежей через равные промежутки времени, p раз в году, годовая сумма их равна R ; на эти платежи начисляются проценты по номинальной годовой процентов m раз в году, т.е. каждый раз по ставке сложных процентов i m.

Наращенная величина ренты обозначается S, она равна A = S /(1 + i m), где (1 + i m) есть коэффициент дисконтирования.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Семья хочет через 6 лет купить дачу за $12 000. Какую сумму (одинаковую) ей нужно каждый год из этих б лет добавлять на свой счет в банке, чтобы накопить $12 000, если годовая ставка процента в банке 8% ?

Решение. Наращенная величина вычисляется по формуле S = R s (n, i), здесь s (n, i ) - коэффициент наращения суммы (ренты). Используя таблицу коэффициентов наращения годовой ренты, получаем R = S s(6,8) 1636.

Каждые полгода на банковский счет писателя издательство перечисляет 2000 руб., на которые банк начисляет каждые полгода 7% по схеме сложных процентов. Сколько будет на счете через 4 года?

Решение. Наращенная сумма вычисляется по формуле S = R s (n, i), здесь s (n, i ) - коэффициент наращения суммы (ренты). Используя таблицу коэффициентов наращения годовой ренты для n = 4 2 = 8, i = 0,07, R = 2000, получаем S = 2000 s (8,7) 20520.

Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $500 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4% по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет?

Решение. Наращенная величина вычисляется по формуле, здесь ренты с (1 + i m ) 1. Использовать таблицу коэффициентов наращения годовой ренты не возможно т.к. она начинается с 5-и процентов и выше. Поэтому p = 1, m = 2, R = 500, i 2 = 0,04, n = 5, nm = 10. Получаем S 2942.

В ходе судебного заседания выяснилось, что г. N недоплачивал налогов руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3% ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г. N?

Решение. Наращенная величина вычисляется по той же формуле, что и в предыдущей задаче, здесь ренты с платежами и начислениями процентов несколько раз в году:

коэффициентов наращения годовой ренты не возможно т.к. она начинается с 5-и процентов и выше. Поэтому считаем по приведенной формуле для p = m = 12, R p = 100, i m = 0,03, n = 2, nm = 24. Получаем S = Задачи для самостоятельного решения на Л.Р.№ 1.

1. Создается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной годовой ренты в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 18,5% годовых.

Найти величину фонда на конец срока.

2. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по т. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

3. Для формирования фонда делаются взносы по 10 000 руб. ежемесячно.

На накопленные средства начисляют сложные проценты по ставке 12% в год. Определить реальную величину фонда через 3 года, если ожидается темп инфляции 3% в год.

1.3) Оценка инвестиционных проектов. Инвестиционный процесс-это поток платежей, в котором инвестиции отрицательны, доходы положительны.

Характеристики такого процесса - конечная и современная величины дохода процесса (современная величина еще называется чистым приведенным доходом), его доходность (или рентабельность), срок окупаемости, внутренняя норма доходности. Приведенным чистым доходом NPV (Net Present Value) называется алгебраическая сумма всех платежей, дисконтированных к моменту 0 по действующей ставке процента i, Для конечного процесса можно определить наращенный чистый доход – NFP ( Net Future Value) – это сумма всех платежей, дисконтированных к Заметим, что NFP = NPV (1 + i) n.

Процесс называется окупающимся, если NPV > 0.

Обычно рассматривают процессы у которых инвестиции происходят в момент 0, а доходы в дальнейшие положительные моменты времени.

Внутренняя доходность таких процессов q - это наименьшее положительное число, такое, что Расчет характеристик конечного проекта с начальными инвестициями.

Пусть Inv, R, n, i размеры инвестиций и последующего годового дохода, длительность проекта и cтавка процента, тогда NPV = Inv + Ra (n, i ) есть современная, а NPV (1 + i ) n - наращенная величины дохода проекта, и NPV доходность проекта (доля). Внутренняя норма доходности находится как наименьший корень уравнения R a (n, q ) + Inv = 0. Срок окупаемости находится как наименьшее целое число k такое, что Задача: На строительство магазина надо затратить в течение месяца около $10000, а затем в течение 10 лет магазин будет давать доход $2000 в год. Найти характеристики данного инвестиционного проекта.

Решение. Параметры проекта, Предположим, что i = 7. Тогда коэффициент приведения годовой ренты Внутренняя норма доходности находится из уравнения a(10, q ) = Inv = и равна q 15. Срок окупаемости находим из неравенства a(k,7) 5 по Задачи для самостоятельного решения на Л.Р.№ 1.

1. Инвестиционный проект: Inv=-1000 д.е., последующий годовой доход при 8% годовых равен Д=500, длительность проекта 6 лет. Найти чистый приведенный доход и срок окупаемости.

Ответ: NPV 1311,5. Срок окупаемости меньше трех лет.

2. Для инвестиционного проекта длительностью 6 лет с планируемыми годовыми доходами 200 д.е. и годовой ставкой 10% найти необходимые инвестиции.

3. Создается из доходов фонд для погашения кредита инвестиций. В банке взят кредит под инвестиционный проект по ставке i = 10%, а доходы от проекта помещаются в другой банк по большей ставке j. Вычислите j, 4. В задаче 3 определить срок погашения кредита при ставке j = 20%.

1.4) Кредитные расчеты.

Погашение займа одним платежом в конце Взятый займ может погашаться разными способами. Например, одним платежом в конце срока займа. Пусть займ размером D взят в начале года на n лет под ставку i сложных процентов в год. Тогда к концу n -го года он вырастет до D(1 + i ) n. Эта величина и есть единственный платеж в конце срока займа. Для "ручного" подсчета этого платежа можно воспользоваться таблицей мультиплицирующих множителей Погашение займа равными уплатами несколько раз в год Рассмотрим погашение займа равными выплатами m раз в год через равные промежутки времени, причем и проценты начисляются столько же раз.

Пусть займ размером D взят в начале года на n лет под номинальную ставку i сложных процентов в год, тогда m раз будут начислены сложные проценты по ставке i. В конце n -го года займ вырастет до величины D(1 + i ) mn. С другой стороны, равные выплаты величиной y m раз в год образуют m -срочную ренту, равна наращенной величине займа. Следовательно, имеем уравнение откуда и находим Задайте ставку процента i, срок займа n, его величину D, частоту выплат в год m и получите значение y одной выплаты.

Погашение традиционной ипотечной ссуды.

Сущность ипотечной ссуды заключается в том, что владелец недвижимости (земли, дома и т.п.) получает кредит под залог этого имущества. В случае невозврата ссуды в установленный срок заложенное имущество становится собственностью кредитора. Традиционная ипотечная ссуда погашается равными ежемесячными выплатами, на которые же ежемесячно начисляются проценты.

Задайте ставку процента i, срок ссуды n, и получите величину одной выплаты y и остатки долга Ost на конец каждого года в долях от размера ссуды D. Для нахождения y имеем уравнение D M (12n, i 12) = y s (12n, i 12), величина же остатка к концу k -го года равна Ost k = D M (12k, i 12) y s (12k, i 12).

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Заем был взят под 16% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е.

в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?

Решение. Можно предложить следующее. Имеем n = 2, m = 4, i = 16. Оставалось выплатить 500 а(8, 16/4)=500 6,733=3367. Следовательно, новый размер выплаты должен быть R а(8, 6/4)=3367, отсюда R=3367/7,486=450.

Значений коэффициентов приведения от процентов 1,5% и 4% нет, поэтому их вычисления проводим приближенно по формуле a(n, i ) = 1 (1 + i ) i.

2. С помощью компьютера найден размер годовой уплаты 200.4 д.е. при погашении займа 800 д.е. равными годовыми уплатами, заем выдан на 5 лет при годовой ставке 8%. Проверьте компьютерные расчеты.

Решение. Уравнение D = R a(5,8), для D = 800, R = 200.4 дает значение a(5,8) 3.9928, а значение коэффициента по таблице a (5,8) 3.9927. Расчеты верны.

3. (коварство кредита). На покупку дачного домика взят потребительский кредит 40 000 руб. на 8 лет под 8 простых процентов. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Найти размер этой выплаты.

Решение. Так как n = 8, i = 0.08 то по формуле простого процента получаем, что всего нужно выплатить = 40000(1+0,64)= =65600. Следовательно, ежеквартальная выплата равна 65600/32=2050.

Найдем еще ставку сложных процентов j такую, чтобы современная величина потока этих выплат была бы равна номинальной величине кредита 40000. Так как 2050 a(32, j/4)= 40000, то а(32, j/4) = 40000/2050 = 19,51. Используя формулу для коэффициента приведения годовой ренты a(n, i ) = 1 (1 + i ) i, для n = 32, i = j / 4 подбором получаем j/4 =3,5%, т.е. j = 14%. Итак, кредит выдан фактически под 14 годовых сложных процентов.

4. Кредит $500 банк дает под 6% годовых, которые сразу же высчитывает.

Проанализируйте предыдущую задачу: может быть, лучшее взять в банке кредит в $500?

Решение. “На руки” клиент получает 500 - 500 6%=470. Условия задачи предпочтительней.

5.Заем $5000 взят на 8 лет под 8% годовых. Погашаться будет равными ежегодными выплатами основного долга. Найдите ежегодные выплаты.

Решение. Выплаты можно рассматривать как годовую ренту длительности n = лет. Приравниваем современную величину этой ренты величине займа 5000= R a (8,8) R5,747. Коэффициент приведения годовой ренты взят из таблицы.

Получаем R = 5000 5,747 870.

6.Заем 20 000 д.е. взят на 8 лет под 8% годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.

Решение. Выплаты можно рассматривать как годовую ренту длительности n = лет. Приравниваем современную величину этой ренты величине займа 20000= R a (8,8) R5,747. Коэффициент приведения годовой ренты взят из таблицы. Получаем R = 20000 5,747 3480.

7.Заем 20 000 д.е. взят на 10 лет под 8% годовых. Погашаться будет начиная с конца шестого года ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.

Решение. Современная величина потока равна D = R a(n, i ). Погашаться будет погашать начиная с первого года то R = D 3749.

1. Заем был взят под 20% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 100 д.е.

в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 10% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?

Ответ: новый размер выплаты 90,27.

2. На покупку дачного домика взят потребительский кредит 20 000 руб. на 8 лет под 8 простых процентов. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Найти размер этой выплаты.

Ответ: 1025.

Заем 10 000 д.е. взят на 8 лет под 8% годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.

Ответ R 1740.

Заем 10 000 д.е. взят на 10 лет под 8% годовых. Погашаться будет начиная с конца шестого года ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.

Ответ 3019,25.

К категории льготных займов относится беспроцентный заем. Найдите относительный и абсолютный грант - элементы для такого займа при D=500, n=5, i=10%.

Ответ 121, 0.121.

6. Требуется погасить текущую задолженность в размере 100 тыс. руб. равными ежеквартальными платежами в течение двух лет. Рассчитайте размер платежа, если на остаток долга ежеквартально начисляются проценты по номинальной ставке 24% годовых.

Ответ: 16103 руб.36 коп.

7. Потребительский кредит в размере 3 т. у.е. на 2 года под 20% за каждый год.

Выплаты равные, ежемесячные. Определить размер погасительного платежа и доходность для кредитора в виде годовой ставки сложных процентов.

Ответ: 41,2% годовых.

8. Под вексель на сумму в 15 тыс. руб. был выдан кредит в размере 10 тыс, руб. на 2 года. Какую учетную ставку означает такая сделка?

9. Вы предоставили кредит на 2 года под номинальную ставку 40% годовых, предусмотрев ежеквартальное начисление процентов. За это время темп инфляции составил 20% в год. Какова реальная ставка сложных процентов?

Номинальная, реальная, эффективная и чистая доходность Финансовой называется операция, начало и конец которой имеют денежную оценку H (инвестиции) и K (доход) и цель проведения которой заключается в максимизации прибыли D = K H или какого-либо аналогичного показателя.

Величина d = ( K H ) / H, выраженная в доле или в процентах называется доходностью или, номинальной доходностью операции. Для упрощения пусть операция длится ровно год. Пусть a - ставка инфляции, тогда r = ( K /(1 + a) H ) / H называется реальной доходностью - она выражает степень реального увеличения ценности денежной суммы H. Пусть b - ставка безрискового вложения, тогда d э = ( K /(1 + b) H ) / H называется эффективной доходностью, эта доходность отражает степень умелости в управлении операцией.

Величина d ч = ( K /(1 + b)(1 + a ) H ) / H называется чистой доходностью - эта доходность "очищена" от инфляции и от безрискового наращения денежной суммы по ставке b. Эффективная ставка f находится из уравнения (1 + f ) t = S (t ) / S (0).

Пусть например наращение происходит по сложным процентам m раз в году, каждый раз начисляется i m процентов. Тогда эффективная ставка находится из уравнения f = (1 + i ) m 1. Если для некоторой операции есть начальная H и конечная K оценка, то ставка e для которой справедливо равенство K N = (1 + e) t, где t - длительность операции, называется эквивалентной Доходность в процентах годовых Доходность из предыдущей пункта, как отношение, может быть названа абсолютной доходностью, так как не учитывается длительность операции. Однако гораздо более выразительным является определение доходности посредством числа процентов годовых. Если операция длилась T лет, то величина d, определяемая из уравнения (1 + d 100) T = K / H называется доходностью операции в процентах годовых. Пусть, например, H = 100, K = 121, T = 2, тогда как легко видеть d=10%.

Эта доходность выражает скорость роста денежных сумм - капитала в стандартных единицах - процентах годовых. Если фиксировать значения капитала K 0, K1, K 2 в моменты времени 0, 1, 2 и т.д., то можно определить, например, среднюю доходность d c на промежутке [0,1], как (1 + d c ) 2 = K 2 / K 0.

Ссуда выдана на 4 года с обязательством выплатить на 30% больше (т.е. под 7,5 ежегодных простых процентов). Найдите эквивалентную ставку сложных годовых процентов.

На какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов i = 12%, если начислять сложные проценты ежеквартально по 3 % ?

Ответ: Нужно заменить примерно на d = 0.125, или на 12,5%.

3. Иногда операции с иностранной валютой могут быть очень доходные.

Пусть за ноябрь 1998 г. курс доллара возрос с 15 руб. до 17 руб. Банк в начале месяца купил доллары за рубли, а в конце месяца продал доллары, получив рубли.

Найдите доходность этой операции в процентах годовых. Если инфляция за этот месяц была 8 %, то какова реальная доходность операции?

Ответ: абс. доходность d 0,133. Реальная доходность операции с учетом инфляции d r 0,049. Номинальная доходность в процентах годовых xn 1,6 или 160%. С учетом инфляции xr 0,59 или 59 %. Эффективная доходность 77,5 % годовых.

4. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит 35% годовых.

Прогноз повышения курса доллара за год — с 22 руб. до 30 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и хранить их «в банке, а банку в тумбочке»? («естественной» инфляцией доллара в 2-3% в год пренебречь).

Ответ: абсолютная доходность от роста курса доллара d 0,36 или 36%.

Решение: купить доллары и хранить их «в банке, а банку в тумбочке».

5. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит 25 % годовых, а по такому же валютному — 4 %. Прогноз повышения курса у.е. за год — с 20 руб. до 24 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них у.е. и положить их на валютный вклад?

Ответ: аб.доходность от роста курса у.е. d = 0,2 или 20%. Это меньше и просто хранить деньги в у.е. менее выгодно. Пусть N начальная сумма в рублях, конечная сумма в рублях при хранении в банке K = N 1.25. Покупая у.е. в начале года, положив их в банк под 4 % и купив в конце года рубли получаем сумму K 1 = N 1.248 < K. Выгоднее нести рубли в банк.

6. Пусть обменные курсы двух валют в банке: по первой — 22/24 руб.; по второй — 13/16 руб. Какова доходность для банка операции по обмену второй на первую?

Ответ: доходность операции примерно 34,3 %.

Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой.

Предположим, что ЛПР обдумывает четыре возможных решения. Но ситуация на рынке неопределенна, она может быть одной из четырех. Однако в отличие от предыдущих рассуждений известны вероятности этих ситуаций pi. Имея матрицу доходов Q теперь можно сказать, что доход от i -го решения есть с.в. Qi с доходами qi, j и вероятностями этих доходов p j. Кроме того, риск i -го решения также есть с.в. Ri с рисками ri, j и вероятностями этих рисков p j.

Математические ожидания с.в. Qi, Ri называются также средним ожидаемым доходом и средним ожидаемым риском i-го решения. Теперь можно принять решение (провести операцию), у которого наибольший средний ожидаемый доход, Анализ по доходу и риску набора операций.

Пусть имеем набор несвязанных друг с другом операций Qi, i = 1,2,..., n. Каждая операция имеет два показателя: доход mi и риск ri. Скажем, что i -я операция доминирует (превосходит) j -ю, если mi m j и ri r j, при этом хотя бы одно из этих неравенств строгое. При выборе наилучшей операции стараются, чтобы доход был больше, а риск меньше, поэтому ни при каком разумном выборе доминируемая операция не может быть выбрана. Остаются недоминируемые операции, Они как мы узнаем из курса лекций образуют так называемое “множество Парето”. Эти задачи относятся к разделу – векторная оптимизация. Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой находятся методами теории вероятностей.

Математическое ожидание M [Q ] называют средним ожидаемым доходом, а риск операции - r отождествляют со средним квадратическим отклонением СКО, r [Q ] = D[Q ].

Кредитным риском называется вероятность невозврата в срок взятого кредита. Для вычисления кредитного риска применяются формулы теории вероятностей, в частности может быть использована формула полной вероятности.

Пример. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% -госорганы, 30% банки, остальное – физические лица. Вероятность не возврата кредита соответственно: 0,01; 0,05; 0,2.

Сообщение о не возврате кредита плохо пропечатано. Какова вероятность, что кредит не возвращает какой то банк.

Решение. Пусть H 1 - запрос поступил от госорганов, H 2 - запрос поступил от банка, H 3 запрос поступил от физического лица, A - не возврат кредита. По формуле полной вероятности получаем = 0,1 0,01 + 0,3 0,05 + 0,6 0,2 = 0, Депозитным риском называется вероятность досрочного отзыва депозита. Для вычисления депозитного риска также применяются формулы теории вероятностей.

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Дайте определение детерминированного эквивалента плавающей процентной ставки в простейшем случае начисления процентов за пользование деньгами на единичном промежутке.

Определение. Детерминированный эквивалент i - плавающей процентной ставки это математическое ожидание. Если f (t ), t [0,1] плотность распределения случайной величены ставки X, то i = M ( X ) = tf (t )dt.

2. Найдите детерминированный вариант процентной ставки, если ее начисление происходит дважды: первая половина в момент 0,9; вторая половина — в момент 1,1.

Решение. Приведем суммы начислений к моменту 1. Имеем, = 1 0,9 = 1,1 1 = 0,1. Детерминированный вариант процентной ставки 3. Найти детерминированный вариант процентной ставки, если с вероятностью 1/ ее начисление происходит в момент 0,9, и с вероятностью 2/3 — в момент 1,1.

Решение. Пусть величина ставки равна i, а сумма единичная, тогда математическое ожидание наращенной суммы в момент 1 равно (1 3)i(1 + i )0,1 + (2 3)i(1 + i )0,1. Представим степени в виде ряда, получаем i[(1 3)(1 + 0,1i +...) + (2 3)(1 0,1i +...)] = i[1 i 30 +...], т.е. детерминированный вариант чуть меньше i, 4. В случайный момент, равномерно распределенный на отрезке [0,1], приходит платеж 1. Найдите математическое ожидание его современной величины.

Решение. Пусть процентная ставка i. Плотность распределения равна современной величины единичного платежа в момент 1.

5. Найдите математическое ожидание современной величины случайной ренты:

платежи 1000 д.е. осуществляются раз в год: с равной вероятностью либо октября, либо 1 декабря.

Решение. Для простоты, пусть месячная ставка сложных процентов i.

Математическое ожидание современной величины случайной ренты равно Здесь D (n, i ) - дисконтирующий множитель. Для примера, если i = 6%, то по таблице находим D(10,6) 0,558, D(12,6) 0,497 и сумма равна 502,75 д.е. в год.

Найдите математическое ожидание современной величины случайной ренты, в которой момент годового платежа равномерно распределен в текущем году.

Решение. Для простоты, пусть ставка за день сложных процентов i.

Математическое ожидание современной величины случайной ренты равно 7. Осуществляется одновременно множество инвестиционных проектов («золотая лихорадка на Клондайке»). Инвестиции в каждый проект равны $5000, а будущий годовой доход случаен по проектам — равномерно распределен от 500 до долл. Какая часть проектов окупится в течение 10 лет?(Процентная ставка 8% в год).

Решение. Доход случаен по проектам — равномерно распределен от 500 до 3000 долл. Следовательно средняя доходность 1750 долл. За 10 лет современная величина ренты A = R a (10, 8) 1750 6,71 = 11742,5. Доля проектов окупивших себя за 10 лет ( A 5000) 0,576 или примерно 58%.

8. В начале года страховая компания кладет в банк 1 д.е. под i% годовых. В любой момент года возможен страховой случай, когда компании придется выплатить д.е. страхового возмещения. Найдите математическое ожидание суммы на счете компании к концу года.

Решение. Предполагаем, что момент выплаты распределен равномерно, тогда математическое ожидание суммы на счете компании к концу года равно ожидание суммы будет чуть больше, чем 0,034.

распределенный от а до b, a i.

2. Найти детерминированный вариант процентной ставки i = 8%, если с вероятностью 1/4 ее начисление происходит в момент 0,5, и с вероятностью 3/4 — Ответ: 0,0785 < i. т.е. детерминированный вариант чуть меньше i.

3. Найдите детерминированный вариант процентной ставки i = 12%, если момент ее начисления равномерно распределен на временном отрезке [0,6; 1,2].

4. Осуществляется одновременно множество инвестиционных проектов. Инвестиции в каждый проект равны $3000, а будущий годовой доход случаен по проектам — равномерно распределен от 600 до 2000 долл. Какая часть проектов окупится в течение 5 лет? (Процентная ставка 12 % в год).

Рискованная операция Q имеет исходы q1 = 1000, q 2 = 500, q 3 = 200.. С вероятностями p1 =, p 2 =, p3 =. Определить средний риск операции.

6. Пусть результатом операции является денежный доход, равномерно распределенный от 100 до 1000. Каков риск этой операции?

ЛР № 1,2. Задачи принятия решений в финансовой сфере.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

3. Прочитать лекцию 2 и разобрать решения типовых задач.

4. Задания для лабораторной работы к этой лекции составляются преподавателем случайным образом из задач, приведенных в каждом разделе лекции № 2.

5. Выполнить задание 6. Оформить в виде комментариев и таблиц представленных в

ЛИТЕРАТУРА

Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. – М.: Приор, 1998.

Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. – М.: Дело, 1998.

Малыхин В.Н. Финансовая математика. – М.: ЮНИТИ, 2002.

В.И Малыхин, В.А. Родин Финансовая математика в упражнениях и задачах.

Воронеж: АОНО ИММФ. - 2004. - c.

Уотшем Т. Дж., Паррамоу Л. Количественные методы в финансах: Пер. с англ.

– М.: ЮНИТИ, 1998.

Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: Дело, Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций. – М.: Наука, Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. – М.:

Фазис, 1998.

«Технология и процедуры разработки и принятия управленческих Тема 2. Принятие решений в ОВД Лекция №3. “Методы сбора, обработки и анализа экспертных 1.Методы средних баллов 2. Пример сравнения восьми проектов 3. Метод средних арифметических рангов 4. Метод медиан рангов 5. Метод согласования для стилизованных ранжировок 6. Основные математические задачи анализа экспертных 7. Бинарные отношения и расстояние Кемени 8. Медиана Кемени и законы больших чисел 1. Методы средних баллов. В настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и иные опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научноисследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т.п. Затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные (т.е.

обобщенные, итоговые) оценки, выставленные коллективом опрошенных экспертов. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин?

Ведь средних величин существует, как мы знаем, очень много разных видов.

Обычно применяют среднее арифметическое. Специалисты по теории измерений уже около 30 лет знают, что такой способ некорректен, поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см. выше). Обоснованным является использование медиан в качестве средних баллов. Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из-за их привычности и распространенности.

Поэтому представляется рациональным использовать одновременно оба метода - и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов.

Такая рекомендация находится в согласии с общенаучной концепцией устойчивости, рекомендующей применять различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах. Такие выводы, видимо, соответствуют реальной действительности, в то время как заключения, меняющиеся от метода к методу, зависят от субъективизма исследователя, выбирающего метод обработки исходных экспертных оценок.

2. Пример сравнения восьми проектов. Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода.

По заданию руководства фирмы анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы (отдела, организации). Они обозначены следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, включенным в экспертную комиссию, организованную по решению Правления фирмы. В приведенной ниже табл.1 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы.

При этом эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо реализовать. Ранг 2 получает от эксперта второй по привлекательности проект, и т.д., наконец, ранг 8 - наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь. Ранги 8 проектов по степени привлекательности для включения в план стратегического развития фирмы Примечание. Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту - проекту Сол. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5. Анализируя результаты работы экспертов (т.е. упомянутую таблицу), члены аналитической подразделения Рабочей группы, анализировавшие ответы экспертов по заданию Правления фирмы, были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в таблице, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.

3. Метод средних арифметических рангов Сначала для получения группового мнения экспертов применим метод средних арифметических рангов. Для этого прежде всего подсчитаем сумму рангов, присвоенных проектам (см. табл. 1). Затем эта сумма разделим на число экспертов, в результате рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии - упорядочение), исходя из принципа - чем меньше средний ранг, чем лучше проект. Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл. 2 ниже. Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет вид:

Здесь запись типа "А f крит, то нулевая гипотеза отвергается, если же f набл f крит, то принимается. С учетом погрешностей измерений выборочное значение статистики критерия может принимать любое значение в интервале f ( y ) N f ( y ); f ( y ) + N f ( y ).

Это означает, что «истинное» значение порога, соответствующее реально используемому критерию, находится между f кр N f ( y ) и f кр + N f ( y ), а потому распределения..

Пример 1. Пусть x1, x 2,..., x n - выборка из нормального распределения с математическим ожиданием а и единичной дисперсией. Необходимо проверить гипотезу H0: a = 0 при альтернативе Из курса математической статистики, следует использовать следует использовать f кр = С = 1 где - уровень значимости, – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. В частности, С = 1,96 при = 0,05.

При ограничениях (1) на абсолютную погрешность нотна равна N f ( y ) = n.

Например, если = 0,1, а n = 100, то Nf(y) = 1,0. Это означает, что истинное значение порога лежит между 0,96 и 2,96, а истинный уровень значимости – между 0,003 и 0,34. Можно сделать и другой вывод: нулевую гипотезу H0 допустимо отклонить на уровне значимости 0,05 лишь тогда, когда f > 2,96.

Если же n = 400 при то Nf(y) =2,0 и C-Nf(y) = -0,04, в то время как C+Nf(y) =3,96. Таким образом, даже в случае x = 0 гипотеза H0 может быть отвергнута только из-за погрешностей измерений результатов наблюдений.

Вернемся к общему случаю проверки гипотез. С учетом погрешностей измерений граничное значение C гр в статистике интервальных данных целесообразно заменить на C гр + N f ( y ). Такая замена дает гарантию, что вероятность отклонения нулевой гипотезы H0, когда она верна, не более. При проверке гипотез аналогом статистической погрешности, рассмотренной выше в задачах оценивания, является - C гр. Суммарная погрешность имеет вид C гр + N f ( y ). Исходя из принципа уравнивания погрешностей [3], целесообразно определять рациональный объем выборки из условия Пример 2. Если f = |f1|, где f1 при справедливости H0 имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и при больших n, где u распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Из (5) вытекает, что в рассматриваемом случае В условиях примера 1 получаем:

6.Интервальный дискриминантный анализ В задачах заданы классы (полностью или частично, с помощью обучающих выборок), и необходимо принять решение – к какому этих классов отнести вновь поступающий объект.

В линейном дискриминантном анализе правило принятия решений основано на линейной функции f (x) от распознаваемого вектора x R n.