«Воронежский институт МВД России Кафедра высшей математики Родин В.А. ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 2 Воронеж 2013 УДК Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики протокол № от 2012 г. Рассмотрены и одобрены ...»

1. Классическая модель (совершенный рынок одного товара).

Пусть D ( p ), S ( p ) - функции спроса и предложения на рынке одного товара. Функции спроса и предложения обладают следующими свойствами:

1) Обе функции непрерывны, функция спроса строго убывающая, а функция предложения строго возрастающая, при необходимости имеют нужные производные;

3) lim pD( p) = 0, обе функции ограничены.

Первое из двух свойств 3) отражает тот бесспорный факт, что при повышении цены, начиная с некоторой величины, спрос сокращается быстрее - население переходит на какойнибудь заменяющий товар; второе - выражает потенциальную ограниченность мощностей по производству и потреблению товара.

В этом пункте. будет исследован только совершенно конкурентный (со стороны продавцов) рынок. Функционирование такого рынка проходит в равновесном состоянии, тем самым предполагается, что рынок, будучи выведенным из равновесного состояния переходит в другое равновесное состояние.

Напомним, что состояние рынка называется равновесным, если спрос равен предложению, соответствующая цена называется равновесной ценой, будем обозначать ее p.

Количество денег, перешедшее от покупателей к продавцам за единицу времени работы рынка определяется формулой W ( p) = p min{D( p), S ( p)}.

Введем теперь налог с продаж по ставке t. Тем самым с суммы Z будет выплачен налог tZ, так что продавцам останется (1 t) Z. Конечно, продавцы тут же начнут учитывать этот налог, так что введение такого налога должно привести к повышению цен. Функции, описывающие работу рынка после введения налога с продаж, будем обозначать теми же символами, но с чертой наверху.

Будем считать, что после введения налога с продаж функции спроса функция спроса не изменилась, т.е. D ( p ) = D ( p ). А вот функция предложения изменится. Будем предполагать, что новая функция предложения S ( p ) = S ((1 t ) p ).

На рисунке показано изменение графика функции предложения до и после введения налога с продаж.

при ставке t налога с продаж: а) найти равновесную цену и денежную сумму, уплаченную покупателями до введения налога с продаж: б) найти равновесную цену и денежную сумму, уплаченную покупателями после введения налога с продаж; в) найти величину налога с продаж.

Решение. Для нахождения цены равновесия до введения налога с продаж решим уравнение покупателями до введения налога с продаж равна p • D( p • ) = a ln(1 + a ). Для нахождения цены равновесия после введения налога с продаж решим уравнение pt = следовательно, денежная сумма, уплаченная покупателями после введения налога с 2. Показать, что при любой ставке 0 < t < 1 налога с продаж у продавцов после уплаты налога остается сумма меньшая, чем до введения налога.

Решение. До введения налога с продаж продавцы суммарно получали p D ( p ).

Пусть p t - равновесная цена для данной ставки t налога с продаж, тогда pt > p. Функция После введения налога и его уплаты у продавцов останется 1. Для функции спроса D ( p ) = ln (4 + p ), и функции предложения S ( p ) = ln(1 + p ) при ставке 20% налога с продаж: а) найти равновесную цену и денежную сумму, уплаченную покупателями до введения налога с продаж: б) найти равновесную цену и денежную сумму, уплаченную покупателями после введения налога с продаж; в) найти величину налога с продаж.

Ответ: цена равновесия до введения налога с продаж P = 2 ; денежная сумма, уплаченная покупателями до введения налога с продаж равна ln 9. Цена равновесия после введения налога с продаж pt = 2. денежная сумма, уплаченная покупателями после введения налога с продаж равна pt D( pt ) = 5 ln(1 + 3,2 ). Сам налог с продаж равен: ln(1 + 3,2 ).

2. Для функции спроса D( p) = 3 p и функции предложения S ( p) = p 1, 1 < p < 3, при ставке 10% налога с продаж: а) найти равновесную цену и денежную сумму, уплаченную покупателями до введения налога с продаж: б) найти равновесную цену и денежную сумму, уплаченную покупателями после введения налога с продаж; в) найти величину налога с продаж.

Ответ: цена равновесия до введения налога с продаж P = 2 ; денежная сумма, уплаченная покупателями до введения налога с продаж равна 2. Цена равновесия после введения налога с продаж pt = 2 10. денежная сумма, уплаченная покупателями после введения налога с продаж равна При какой ставке налога величина налога с продаж максимальна? Такой вопрос должен быть интересен налоговым органам. Более точная формулировка: при каком - t максимален налог с продаж, если после введения налога по этой ставке на рынке устанавливается новая равновесная цена pt. Поскольку выручка продавцов равна pt D ( pt ), то речь идет о нахождении t, при котором величина t pt D( pt ) максимальна. Таким образом, надо решить задачу на условный экстремум:

Необходимый признак существования экстремума – это выполнение следующих равенств:

оптимальной равновесной цены - pопт, конечно зависящей от t. Эти значения можно получить для конкретной задачи как решение следующей системы После несложных преобразований, последнее уравнение в системе может быть записано так:

1. Доказать, что задача налоговых органов - определения ставки максимизирующей сбор налога с продаж на равновесном рынке имеет решение.

Доказательство. Равновесная цена pt, при любом 0 t 1, существует (рис. 16.1). Она больше прежней равновесной цены - p •. Так как S ( p ) D ( p ), при любом p > p, то в силу непрерывности функции S, найдется t p из [0,1], такое что S ((1 t p ) p) = D( p), причем t p ограничиться рассмотрением задачи на некотором ограниченном замкнутом, следовательно, компактном промежутке p • p P. Непрерывная на компакте функция достигает своего максимума - задача имеет решение. Утверждение доказано.

оптимальную ставку t и затем оптимальную равновесную цену pопт для этой задачи.

Решение. Можно решить и без составления функции Лагранжа.

tpD ( p ) = p 1 (2 p ) 2 (2 p ). Производная этой функции приравненная нулю дает уравнение 3 p 2 14 p + 15 = 0 с положительным корнем pопт =.

Оптимальная ставка налогообложения равна t = 1 / 3, а максимальный налог с Заметим, что при t = 0, и при t = 1 / 2 величина налога с продаж F равна нулю, а в точке t = 1 / 3 достигает своего максимума (Рис.16.2).

На рисунке показана зависимость величины налога с продаж F от ставки налогообложения t.

Из рисунка следует еще один важный вывод: если ставку налога сделать больше критической t = 1 / 2, то или разрушится равновесие рынка, или само существование данного рынка под вопросом. Чрезмерное увеличение налогов ведет к нарушению законов. Показана объективная возможность появления “теневых “ явлений.

1 < p < 5 найти оптимальную ставку t и оптимальную равновесную цену pопт.

2. Пусть первоначальная цена единицы товара равна 100 руб. Пусть рентабельность каждой продажи равна 10% ((цена продажи – цена покупки)/(цена покупки)=0,1). Тогда 1-й перепродавец покупает единицу товара по 100 руб., а продает по 110 руб., 2-й покупает по 110, а продает по 121 руб., и т.д. Опишите процесс изменения цены в общем виде: при любой рентабельности и любом числе перепродаж.

S ( p ) = ln(1 + p ) найти оптимальную ставку t и оптимальную равновесную цену pопт.

Ответ: Приближенное вычисление в Mathcad дает значение: p опт = 2,961 10 8, а оптимальная ставка практически равна единицы. Вывод эти функции мало пригодны для моделирования рыночных процессов.

В случае линейных функций спроса и предложения все выкладки можно довести до конца.

Этот случай интересен и тем, что при малых отклонениях от равновесной цены функции спроса и предложения общего вида можно приближенно аппроксимировать линейными функциями.

определены на подходящих промежутках. Чтобы существовало равновесное состояние (невырожденное, т.е. с отличным от нуля спросом и предложением) необходимо и достаточно выполнения неравенства > 0. Это условие предполагается выполненным. Равновесная цена без налога с продаж:

Равновесная цена при налоге с продаж по ставке t равна:

Величина денег, истраченных покупателями после введения налога с продаж по ставке t равна:

Оптимальная ставка налога:

а оптимальная равновесная цена после введения налога:

равновесную цену pопт.

Оптимальная цена 1. Для линейных функций предложения и спроса D=100-2p, S = 4 p 20, D = 100 2 p найти: а) ставку налога с продаж, максимизирующую величину налога: б) равновесную цену и денежную сумму, уплаченную покупателями после введения налога и величину налога по этой ставке.

Ответ: а) t = 9, p opt = 35 ; б) денежная сумма, уплаченная покупателями после введения налога с продаж равна 35(100 70) = 1050. Величина налога с продаж равна 675.

2. Убедитесь, что прямоугольники АBCO, ABFE, EFCO представляют, соответственно, выручку продавцов до величину этого налога и оставшуюся Акцизный налог взимается с каждой проданной единицы. Считаем, что функция спроса не изменится после введения акцизного налога, а функция предложения будет S ( p ) = S ( p t ), где t - ставка акцизного налога. Реакция рынка на введение акцизного налога состоит в установлении новой равновесной цены, являющейся решением уравнения S ( p t ) = D ( p ).

При какой ставке акцизного налога величина налога с продаж максимальна? Такой вопрос интересен налоговым органам. Для ответа на этот вопрос нужно решить задачу:

Через уравнение связи проявляется зависимость p от t. Эта задача имеет решение, которое можно найти с помощью метода множителей Лагранжа. Составляем функцию L(t, p, ) = tD( p) + ( D( p ) S ( p t )) и приравниваем частные производные к нулю:

Решение задачи налоговых органов, (оптимальное для них) обозначим t и p opt.

Оптимальная ставка налога:

а оптимальная равновесная цена после введения налога:

Сравнивая эти формулы с аналогичными формулами для налога с продаж, замечаем необычный факт: оптимальные цены после введения налога с продаж или акцизного налога совпадают! Но достигаются при разных ставках.

оптимальную равновесную цену pопт.

Показать, что для случая линейных функций предложения и спроса S ( p ) = bp a, D( p ) = c dp суммарная выручка продавцов после уплаты акцизного налога меньше прежней выручки продавцов тогда и только тогда, когда выполнено неравенство ad < 2ab + 3bc.

Решение. Суммарная выручка продавцов после уплаты акцизного налога 3da + 2dc > bc.

Неравенство ad < 2ab + 3bc верно, ибо предполагается, что bc > ad ! Следовательно, после введения акцизного налога суммарная выручка продавцов всегда меньше прежней выручки до введения налога.

3.. Для линейных функций спроса D = 40 2 p, предложения S = 4 p 10 найдите а) ставку налога, максимизирующую величину акцизного налога: б) цену равновесия и денежную сумму, уплаченную покупателями после введения акцизного налога; в) величину акцизного налога.

Решение. Используя формулы задач 1 и 2, находим:

2. Докажите, что покупатели станут платить больше прежнего (т.е. до введения акцизного налога) т. и т. т. когда выполнено неравенство bc > 3ad + 2cd. ( Заметим, что оно выполняется, если bc > ad ).

4. Для линейных функций спроса ставки t = 5 акцизного налога найдите а) новую равновесную цену и величину денег истраченных покупателями: б) ставку налога, максимизирующую величину акцизного налога, цену равновесия и денежную сумму, уплаченную покупателями после введения акцизного налога; в) величину акцизного максимального налога.

Заметно удушающее свойство акцизного налога – налоговая сумма больше половины денежной суммы, выручки продавцов.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

2. Вариант задания для слушателя составляет преподаватель, используя для слушателя комбинацию примеров для самостоятельного решения из текста лекции и соответствующий номер слушателя в журнале группы.

3. Выполнить задание