«Воронежский институт МВД России Кафедра высшей математики Родин В.А. ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 2 Воронеж 2013 УДК Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики протокол № от 2012 г. Рассмотрены и одобрены ...»

Рассмотрим для простоты случай двух классов. Правило принятия решений определяется константой C – при f ( x) > C распознаваемый объект относится к первому классу, при f ( x) C – ко второму.

В первоначальной вероятностной модели Р.Фишера предполагается, что классы заданы обучающими выборками объемов N1 и N2 соответственно из многомерных нормальных распределений с разными математическими ожиданиями, но одинаковыми ковариационными матрицами. В соответствии с леммой Неймана-Пирсона, дающей правило принятия решений при поверке статистических гипотез, дискриминантная функция является линейной. Для ее практического использования теоретические характеристики распределения необходимо заменить на выборочные. Тогда дискриминантная функция приобретает следующий вид Здесь знак r означает реальные истенные значения без искажений, x1 выборочное среднее арифметическое по первой выборке x k, k = 1,2,..., N 1 а x 2 выборочное среднее арифметическое по второй выборке x k, k = 1,2,..., N 2. В роли S может выступать любая состоятельная оценка общей для выборок ковариационной матрицы. Обычно используют следующую оценку, естественным образом сконструированную на основе выборочных ковариационных матриц:

В соответствии с подходом статистики интервальных данных как обычно считаем, что специалисту по анализу данных известны лишь значения с погрешностями Таким образом, вместо f(x) статистик делает выводы на основе искаженной линейной дискриминантной функции f1(x), в которой коэффициенты рассчитаны не по исходным данным, а по искаженным погрешностями значениям Это – модель с искаженными параметрами дискриминантной функции.

На какие статистические процедуры влияют ошибки в исходных данных?

Здесь тоже много постановок. Можно изучать влияние погрешностей измерений на значения дискриминантной функции f, например, в той точке, куда попадает вновь поступающий объект х. Очевидно, случайная величина f(x) имеет некоторое распределение, определяемое распределениями обучающих выборок. Выше описана модель Р.Фишера с нормально распределенными совокупностями. Однако реальные данные, как правило, не подчиняются нормальному распределению.

Кластер-анализ имеет целью разбиение совокупности объектов на группы сходных между собой. Многие методы кластер-анализа основаны на использовании расстояний между объектами. (Степень близости между объектами может измеряться также с помощью метрики близости и показателей различия, для которых неравенство треугольника выполнено не всегда.) Рассмотрим влияние погрешностей измерения на расстояния между объектами и на результаты работы алгоритмов кластер-анализа.

С ростом размерности n евклидова пространства диагональ единичного куба растет как n. А какова погрешность определения евклидова расстояния? Пусть двум рассматриваемым векторам соответствуют X 0 = ( x1,..., x n ) и Y0 = ( y1,..., y n ) n. Они известны с погрешностями 0 = ( 1,..., n ) и вектора размерности 0 = ( 1,..., n ), т.е. статистику доступны лишь вектора X = X 0 +, Y = Y0 +.

Легко видеть, что Пусть ограничения на абсолютные погрешности имеют вид Такая запись ограничений предполагает, что все переменные имеют примерно одинаковый разброс. Трудно ожидать этого, если переменные имеют различные размерности. Однако рассматриваемые ограничения на погрешности естественны, если переменные предварительно стандартизованы, т.е. отнормированы (т.е. из каждого значения вычтено среднее арифметическое, а разность поделена на выборочное среднее квадратическое отклонение). Пусть n 2 0. Тогда последнее слагаемое в (6) не превосходит 4n2 поэтому им можно пренебречь.

Тогда из (6) следует, что нотна евклидова расстояния имеет вид с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Если случайные величины xi yi имеют одинаковые математические ожидания и для них справедлив закон больших чисел (эти предположения естественны, если переменные перед применением кластер-анализа стандартизованы), то существует константа С такая, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка.

Какое минимальное расстояние является различимым? По аналогии с определением рационального объема выборки при проверке гипотез предлагается уравнять слагаемые, т.е. определять минимально различимое расстояние min из условия Естественно принять, что расстояния, меньшие, не отличаются от 0, т.е. точки, лежащие на расстоянии, не различаются между собой.

Каков порядок величины С ? Если xi и yi независимы и имеют стандартное нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, то, как Следовательно, в этой модели Формула (8) показывает, что хотя с ростом размерности пространства n т растет диаметр (длина диагонали) единичного куба как n – естественной области расположения значений переменных, с той же скоростью (8) растет и естественное квантование расстояния с помощью порога неразличимости, т.е. увеличение размерности (вовлечение новых переменных), вообще говоря, не улучшает возможности кластер-анализа. Можно сделать выводы и для конкретных алгоритмов. В дендрограммах (например, результатах работы иерархических агломеративных алгоритмах ближнего соседа, дальнего соседа, средней связи) можно порекомендовать склеивать (т.е. объединять) уровни, отличающиеся менее чем на min. Если все уровни склеятся, то можно сделать вывод, что у данных нет кластерной структуры, они однородны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981, 112 с.

2. Дывак Н.П. Разработка методов оптимального планирования эксперимента и анализа интервальных данных. Автореф. дисс. канд.. технич. наук. - М.:

3. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2002. 576 с.

4. Дейвид Г. Порядковые статистики. – М.: Наука, 1979.

5. Колмогоров А.Н. Метод медианы в теории ошибок. – В кн.: Колмогоров А.Н.

Теория вероятностей и математическая статистика: [Сб. статей]. – М.:

Наука, 1986. – С.111-114.

6. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. – М.: Наука, 1970.

7. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Наука, 1973. ЛР № 9. Применение интервальной математики в статистике

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

1. Прочитать лекцию 11 и разобрать численные примеры 2. Выбрать свой вариант задания соответствующий номеру в 3. Выполнить задание

ЗАДАНИЯ

Каждый слушатель выполняет А) вариант 1 (для N 13 ) а)[1,2N]+[3,4N], б)[4,5N]-[2,3N], в)[3,4N] [5,7N], г)[1N,2N]:[4,5];

А) вариант 2 ( для 14 N 25 ) а)[0,N]+[3,N+5], б)[3,N]-[2,N+4], в)[2,N] [5,2N], г)[N,2N]:[1,5].

Б) вариант 1 (для N 13 ) Выпишите формулу для асимптотической нотны (ошибки по абсолютной величине не превосходят константы t, предполагающейся малой) для функции Вычислите асимптотическую нотну в точке (x1,x2) = (1,2) при t = 0,1. Если = 10, определить рациональный объем выборки - N рац.

Б) вариант 2 (для 14 N 25 ) Выпишите формулу для асимптотической нотны (ошибки по абсолютной величине не превосходят константы t, предполагающейся малой) для функции Вычислите асимптотическую нотну в точке (x1,x2) = (2,1) при t = 0,05. Если = 8, определить рациональный объем выборки - N рац.

Тема 7. Теория нечеткости Лекция № 12. “Задачи теории нечетких множеств”.

1. Нечеткие множества.

2. Пример описания неопределенности с помощью нечеткого 3. Ценообразование на основе теории нечетких множеств.

4. Нечеткие множества как проекции случайных множеств.

5. Примеры решения задач.

1.Нечеткие множества.

Пусть A - некоторое множество. Подмножество B множества A характеризуется своей характеристической функцией Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечеткое подмножество C множества A характеризуется своей функцией принадлежности µ C : C A [0,1].

Значение функции принадлежности в точке x показывает степень µ C принадлежности этой точки нечеткому множеству. Нечеткое множество описывает неопределенность, соответствующую точке x – она одновременно и входит, и не входит в нечеткое множество С. Вероятность вхождения - µ C, вероятность невхождения (1 µ C ).

Если функция принадлежности имеет вид ( ) при некотором C, то C есть обычное (четкое) подмножество A. Таким образом, теория нечетких множество является не менее общей математической дисциплиной, чем обычная теория множеств, поскольку обычные множества – частный случай нечетких.

Соответственно можно ожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких множеств весьма плодотворны.

Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, поскольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин "нечеткое подмножество" предпочтительнее при построении математических моделей реальных явлений.

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики.

Действительно, функция принадлежности задает интервальную неопределенность – про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале [a,b]. Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А.Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г.

Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек.

Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами.

Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть C и Dдва нечетких подмножества A с функциями принадлежности µ C (x) и µ D (x) соответственно. Пересечением C D, произведением CD, объединением C D, отрицанием C, суммой C+D называются нечеткие подмножества A с функциями принадлежности соответственно.

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества Y.

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений и путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества в теореме 1 назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений с пересечениями и объединениями, они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, A + A A за исключением случая, когда A - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств А, В и С В то же время равенство справедливо тогда и только тогда, когда при всех y Y Доказательство. Фиксируем произвольный элемент y Y. Для сокращения записи обозначим a = µ A, b = µ B, c = µ C. Для доказательства тождества (1) необходимо показать, что Рассмотрим различные упорядочения трех чисел a, b, c. Пусть сначала a b c, тогда левая часть этого соотношения есть min (a, c ) = a а правая max (a, a ) = a т.е.

равенство справедливо. Пусть b a c. Тогда в соотношении слева стоит min (a, c ) = a, а справа max(b, a ) = a т.е. соотношение опять является равенством.

Если b c a то в соотношении слева стоит min (a, c ) = c, а справа max(b, c ) = c т.е.

обе части снова совпадают. Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (1) числа b и c входят симметрично.

Тождество (1) доказано.

Второе утверждение (2) теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда a 2 bc = abc что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества А называется совокупность всех точек y Y, для которых µ A ( y ) > Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (2) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е.

обычное, классическое, не нечеткое) множество.

теоремы 2 следует, что µ A ( y ) µ A ( y ) = 0. Это значит или. µ A ( y ) = 1, или µ A ( y ) = 0, что и означает, что А - четкое множество.

2. Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества Понятие «богатый» часто используется при обсуждении социальноэкономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 1996 г. социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии "богатый человек". Мини-анкета опроса выглядела так:

1. При каком месячном доходе (в млн. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?

2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:

а) богатые; б) достаток выше среднего; в) достаток ниже среднего; г) бедные;

д) за чертой бедности?

3. Ваша профессия, специальность.

Всего было опрошено 74 человека, из них 40 - научные работники и преподаватели, 34 человека - не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл.1, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы – в табл.2.

Типичные ответы научных работников и преподавателей сотрудник Типичные ответы работников коммерческой сферы.

проектирования Разброс ответов на первый вопрос – от 1 до 100 млн. руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатства у финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных (см. гистограммы на рис.1 и рис.2 ниже). Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретное значение суммы, которая необходима "для полного счастья", пусть даже с небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 1 и 2, денежный эквивалент богатства колеблется от 1 до 100 миллионов рублей в месяц.

Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющем большинстве причисляют свой достаток к категории "в" и ниже (81% опрошенных), в том числе к категории "д" отнесли свой достаток 57%. Со служащими коммерческих структур и бюджетных организаций иная картина: "г" категория 1 человек (4%), "д" - категория 4 человека (17%), "б" - категория - 46% и 1 человек "а" - категория. Пенсионеры, что не вызывает удивления, отнесли свой доход к категории "д" (4 человека), и лишь один человек указал "г" - категорию.

Рабочие же ответили так: 4 человека - "в", и один человек - "б".

Для представления общей картины в табл.3 приведены данные об ответах работников других профессий.

Типичные ответы работников различных профессий.

Прослеживается интересное явление: чем выше планка богатства для человека, тем к более низкой категории относительно этой планки он себя относит.

Для сводки данных естественно использовать гистограммы. Для этого необходимо сгруппировать ответы. Использовались 7 классов (интервалов):

1 – до 5 миллионов рублей в месяц на человека (включительно); 2 – от 5 до миллионов; 3- от 10 до 15 миллионов; 4 – от 15 до 20 миллионов; 5 – от 20 до миллионов; 6 – от 25 до 30 миллионов; 7 – более 30 миллионов.

(Во всех интервалах левая граница исключена, а правая, наоборот – включена.) Сводная информация представлена на рис.1 (для научных работников и преподавателей) и рис.2 (для всех остальных, т.е. для лиц, не занятых в сфере науки и образования - служащих иных бюджетных организаций, коммерческих структур, рабочих, пенсионеров).

Рис.1. Гистограмма ответов на вопрос 1 для научных работников и преподавателей Рис.2. Гистограмма ответов на вопрос 1 для лиц, не занятых в сфере науки и Для двух выделенных групп, а также для некоторых подгрупп второй группы рассчитаны сводные средние характеристики – выборочные средние арифметические, медианы, моды. При этом медиана группы - количество млн. руб., названное центральным по порядковому номеру опрашиваемым в возрастающем ряду ответов на вопрос 1, а мода группы - интервал, на котором столбик гистограммы - самый высокий, т.е. в него "попало" максимальное количество опрашиваемых.

Результаты приведены в табл. 4.

Сводные средние характеристики ответов на вопрос образования бюджетных организаций Построим нечеткое множество, описывающее понятие «богатый человек» в соответствии с представлениями опрошенных. Для этого составим табл.5 на основе рис.1 и рис.2 с учетом размаха ответов на первый вопрос.

Интервал, млн. руб. в месяц Число ответов в интервале Доля ответов в интервале Накопленное число ответов Накопленная доля ответов Интервал, млн. руб. в месяц Число ответов в интервале Доля ответов в интервале Накопленное число ответов Накопленная доля ответов Четвертая и пятая строчки нужны для построения эмпирической функции распределения. Пятая строка табл.5 задает функцию принадлежности нечеткого множества, выражающего понятие "богатый человек" в терминах его ежемесячного дохода. Это нечеткое множество является подмножеством множества из интервалов, заданных в строке 1 табл.5. Или множества из 9 условных номеров {0, 1, 2, …, 8}. Эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из ответов 74 опрошенных на первый вопрос мини-анкеты, описывает понятие "богатый человек" как нечеткое подмножество положительной полуоси.

3. Ценообразование на основе теории нечетких множеств Для оценки значений показателей, не имеющих количественной оценки, можно использовать методы нечетких множеств. Например, нечеткие множества применялись при моделировании задач оценки фактора «Уровень качества курса» с использованием нечетких множеств. Методики ценообразования значения ряда других факторов могут также определяться с использованием теории нечетких множеств. Например, ее можно использовать для определения прогноза рейтинга специальности в вузе с помощью экспертов, а также значений других факторов, относящихся к группе «Особенности курса». Опишем этот подход (П.В. Битюкова) как пример практического использования теории нечетким множеств.

Значение оценки, присваиваемой каждому интервалу для фактора «Уровень качества курса», определяется на универсальной шкале [0,1], где необходимо разместить значения лингвистической переменной «Уровень качества курса»:

НИЗКИЙ, СРЕДНИЙ, ВЫСОКИЙ. Степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа ответов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному (для этого значения) числу ответов по всем интервалам.

В ходе работы П.В.Битюковым был проведен опрос экспертов о степени влияния уровня качества электронных курсов на их потребительную ценность.

Каждому эксперту в процессе опроса предлагалось оценить с позиции потребителя ценность того или иного класса курсов в зависимости от уровня качества.

Эксперты давали свою оценку для каждого класса курсов по 10-ти балльной шкале (где 1 - min, 10 - max). Для перехода к универсальной шкале [0,1], все значения 10ти балльной шкалы оценки ценности были разделены на максимальную оценку 10.

Используя свойства функции принадлежности (Эмпирической плотности распределения), необходимо предварительно обработать данные с тем, чтобы уменьшить искажения, вносимые опросом. Естественными свойствами функций принадлежности являются наличие одного максимума и гладкие, затухающие до нуля фронты. Для обработки статистических данных можно воспользоваться так называемой матрицей подсказок. Предварительно удаляются явно ошибочные элементы. Критерием удаления служит наличие нескольких нулей в строке вокруг этого элемента.

где bij - элемент таблицы с результатами анкетирования, сгруппированными по интервалам. Матрица подсказок представляет собой строку, в которой выбирается максимальный элемент: k max = max k j, и далее все ее элементы преобразуются по формуле:

Для столбцов, где k j = 0, применяется линейная аппроксимация:

Результаты расчетов сводятся в таблицу, на основании которой строятся функции принадлежности. Для этого находятся максимальные элементы по строкам:.

4.Нечеткие множества как проекции случайных множеств.

С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает функцию распределения вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма S значений функции принадлежности (в непрерывном случае - интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежности, т.е. разделить все ее значения на S (при S 0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают против такого "примитивного сведения", поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и определения обычных операций над нечеткими множествами с ним согласовать нельзя. Последнее утверждение означает следующее. Пусть указанным образом преобразованы функции принадлежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности A B, A B, A + B, AB ? Установить это невозможно в принципе.

Последнее утверждение становится совершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функций принадлежности, но различными результатами теоретикомножественных операций над ними, причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.

В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом прикладной математики и не имеет отношения к теории вероятностей. Авторы, сравнивавшие теорию нечеткости и теорию вероятностей, обычно подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сравнивают аксиоматику и сравнивают области приложений. Надо сразу отметить, что аргументы при втором типе сравнений не имеют доказательной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения.

При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь. Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.

Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Показано, что нечеткие множества естественно рассматривать как "проекции" случайных множеств. В данной лекции мы рассмотрим этот метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.

Определение 2. Пусть A = A( ) - случайное подмножество конечного множества Y. Нечеткое множество B, определенное на Y, называется проекцией A и обозначается Pr oj A, если при всех y Y.

Очевидно, каждому случайному множеству А можно поставить в соответствие с помощью формулы (3) нечеткое множество В = Proj A. Оказывается, верно и обратное.

Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества В конечного множества У существует случайное подмножество А множества У такое, что В = Proj A.

Результаты расчетов приведены в табл. 6.

В ДАННОМ ПРИМЕРЕ m = 3, это понятия - НИЗКИЙ, СРЕДНИЙ.

ВЫСОКИЙ.

Значения функции принадлежности лингвистической переменной Рис. 3. График функций принадлежности значений лингвистической На рис.3 сплошными линиями показаны функции принадлежности значений лингвистической переменной «Уровень качества курса» после обработки таблицы, содержащей результаты опроса. Как видно из графика, функции принадлежности удовлетворяют описанным выше свойствам. Для сравнения пунктирной линией показана функция принадлежности лингвистической переменной для значения НИЗКИЙ без обработки данных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Батыршин И. З., Недосекин А. А., Стецко А. А., Тарасов В. Б., Язенин А.

В., Ярушкина Н. Г. Теория и практика нечётких гибридных систем. Под ред. Н. Г. Ярушкиной. М.: Физматлит, 2007. ISBN 978-5-9221-0786- 2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. — 166c.

3. Круглов В. В., Дли М. И., Голунов Р. Ю. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. Учеб. пособие. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. — 224 c. ISBN 5-94052-027- 4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, ЛР № 10. Обработка мнений с помощью теории нечетких множеств.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

1. Прочитать лекцию № 12 и разобрать численные примеры с использованием таблиц 3-5.

2. Выбрать свой вариант задания соответствующий номеру в 3. Выполнить задание 4. Оформить в виде таблиц и графиков представленных в

ЗАДАНИЯ

Вопрос: как вы оцениваете значимость оборудования наружного наблюдения на вашем рабочем месте по 10 бальной шкале?

Медработник ( больница, операционная) Типичные ответы работников различных профессий.

Вопрос: как вы оцениваете значимость оборудования полицейского поста в непосредственной близости от вашего рабочего места по 10 бальной шкале?

Медработник ( больница, операционная) Вопрос: как вы оцениваете значимость оборудования тревожной кнопкой вашего рабочего места по 10 бальной шкале?

Медработник ( больница, операционная) Вопрос: как вы оцениваете значимость расположения в разумной близости опорного пункта полиции от вашего рабочего места по 10 бальной шкале?

Вопрос: как вы оцениваете значимость патрулирования наряда полиции в непосредственной близости от вашего рабочего места по 10 бальной шкале?

Тема 8. Матричные методы принятия решений Лекция № 13. “Введение в теорию игр”.

1. Платежная матрица и стратегии игры.

2. Минимаксные и максиминные стратегии.

3. Доминирующие стратегии.

Применение для решения задач налоговых органов.

Рассмотрим ситуацию, в которой сталкиваются противоположные интересы двух участников (партнеров). Каждая из сторон может проводить ряд мероприятий для достижения своих целей, причем успех одной стороны означает неудачу другой. Упрощенную формализованную модель конфликтной ситуации называют игрой, а конфликтующие стороны – игроками. Иногда под игроком понимается природа (стихия), которая формирует условия, в которых необходимо принимать решения. Ограничимся рассмотрением игр, в которых имеются только две конфликтующие стороны.

Игра представляет собой совокупность правил, описывающих поведение игроков. Каждый случай разыгрывания игры некоторым конкретным образом от начала и до конца представляет собой партию игры. Элементами игры являются ходы. Правила игры предусматривают, какова должна быть последовательность ходов, и указывают характер каждого хода.

Ходы бывают определенные и случайные. Определенный ход представляет собой выбор игроком одного из заданного множества вариантов. Случайный ход также представляет собой выбор одного из множества вариантов, но здесь вариант выбирается не игроком, а некоторым механизмом случайного выбора. Примерами случайных ходов может служить сдача карт или бросание монеты. Выбор, осуществляемый при случайном ходе, называют исходом этого хода.

По отношению к ходам правила имеют следующую структуру. Для первого хода правила указывают, будет это определенный-личный или случайный ход.

Если это личный ход, то правила перечисляют имеющиеся варианты ходов и указывают, какой игрок должен делать выбор. Если это случайный ход, то правила перечисляют имеющиеся варианты и обуславливают вероятности их выбора.

Для каждого следующего хода правила указывают в зависимости от выборов и исходов предыдущих ходов: будет личный или случайный ход. Если это случайный ход, то правила перечисляют имеющиеся варианты ходов и обуславливают вероятности их выбора. Если это личный ход, то правила указывают, какой игрок делает выбор, и перечисляют возможные варианты.

Наконец, правила определяют в зависимости от выборов и исходов следующих друг за другом ходов (т.е. в зависимости от хода игры), когда игра должна закончиться и каков выигрыш или проигрыш каждого из игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш, независимо от поведения противника. Или максимально возможный проигрыш (возможны другие показатели оптимальности).

Если игра состоит только из личных ходов, то исход игры определен, если каждый из игроков выбрал свою стратегию. Однако если в игре имеются случайные ходы, то игра будет носить вероятностный характер и выбор стратегий игроков еще не определит окончательный исход игры.

Обозначим через x и y множества всевозможных стратегии, которыми могут пользоваться участники игры, называемые далее первым и вторым игроками соответственно. Величины x x и y y будут означать конкретные стратегии первого и второго игроков.

Количественную характеристику интересов первого и второго партнеров будем обозначать 1 и 2 соответственно ( 1 - выигрыш первого партнера, 2 выигрыш второго).

Определение 1. Совокупность правил, в результате выполнения которых сумма выигрышей 1 и 2 партнеров равна нулю:

называется матричной игрой с нулевой суммой и обозначается буквой A.

Другими словами, если в парной игре выигрыш одной стороны равен проигрышу другой, то такую игру называют игрой с нулевой суммой.

Определение 2. Чистыми стратегиями ei, i = 1, 2,..., n называется совокупность возможных ходов данного игрока.

Представим чистую стратегию ei игрока в виде n -мерного единичного вектора ei = (0,0,...,0,1,0,...,0) Определение 3. Матрица ( n m) :

элемент ai k которой равен величине выигрыша первого игрока (а значит величине проигрыша второго) при условии, что он выбрал чистую стратегию с номером i, а его противник — чистую стратегию с номером k, называется матрицей выигрышей игры A или платежной матрицей.

Пример 1. Каждый из двух игроков должен выбрать одно из чисел 1, 2, 3, 4.

Если разница выбранных игроками чисел нечетная – то 3 очка выигрывает нечетный игрок. Если разница - четная, то 4 очка выигрывает четный игрок. В случае равного выбора игра оканчивается вничью. Определить платежную матрицу игры.

Решение. Выписывая в таблицу стратегии игроков распишем выигрыш игрока при различном выборе 2 игрока:

Стратегии симметрична.

Очевидно, что цель игрока 1 - максимизировать свой выигрыш, а игрока 2 минимизировать свой проигрыш. Нам следует определить:

а) наилучшую стратегию игрока 1 среди стратегий x = ( x1, x2,..., xn ) ;

б) наилучшую стратегию игрока 2 среди стратегий y = ( y1, y 2,..., y m ).

Основное правило математической теории игр: считается, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны и каждый из них делает все для того, чтобы добиться своей цели.

Используя этот принцип, найдем наилучшую стратегию игрока 1, для чего проанализируем последовательно все его стратегии. Выбирая стратегию xi игрока 1, мы должны рассчитывать, что игрок 2 ответит на нее той из своих стратегий y k, для которой выигрыш игрока 1 будет минимальным (“наихудший вариант”). В каждой строке найдем минимальное число и обозначим его i = min aik. Зная числа i, игрок должен предпочесть другим стратегиям ту, для которой i максимально.

Обозначим это максимальное значение через v, тогда v = max i, или Определение 4. Величина v - это гарантируемый выигрыш, который может обеспечить себе игрок 1, он называется нижней ценой игры (максимином). А стратегия выбора v называется максиминной стратегией. Если игрок 1 будет придерживаться максиминной (перестраховочной) стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не менее при любом поведении игрока 2. С другой стороны.

Игрок 2 заинтересован уменьшить свой проигрыш или, что то же самое, выигрыш игрока 1 обратить в минимум.

Поэтому для выбора своей наилучшей стратегии он (2-й) должен найти максимальное значение выигрыша в каждом из столбцов и среди этих значений выбрать наименьшее.

Максимальный элемент в каждом столбце обозначим через k.

Определение 5. Наименьшее значение среди k обозначим v - это верхняя цена игры (минимакс), которая определяется по формуле Стратегия игрока 2, обеспечивает “выигрыш” v, является его минимаксной стратегией. Если игрок 2 будет придерживаться своей минимаксной стратегии, то он гарантирован, что в любом случае проиграет не больше v.

Можно показать, что для нижней и верхней цены игры всегда справедливо неравенство Определение 6. Существуют игры, для которых нижняя цена равна верхней, т.е. v = v. Такие игры называются играми с седловой точкой. Общее значение ( v = v ) нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой ценой игры, а стратегии x и y позволяющие достич этого значения оптимальными. Пара оптимальных стратегий x, y называется седловой точкой матрицы, так как элемент a ik является одновременно минимальным в i - ой строке и максимальным в k - ом столбце.

Оптимальные стратегии и чистая цена являются решением игры.

Пример 2. Каждый из игроков может записать любое число из трех {1, 2, 3}. Если разность между цифрами положительна между цифрой 1-го и 2-го, то выигрывает 1-ый, и наоборот. Если равно нулю, то ничья. Найти решение игры.

Решение. Матрица платежей выглядит так:

Запишем ход решения в таблице:

Нижняя цена игры Верхняя цена игры Так как: v = v = v = 0, то матрица имеет седловую точку, т.е. решение в чистых стратегиях. Чистая цена игры v = 0. Оптимальные стратегии для 1-го игрока x3 = 3 (писать на бумажке число 3), для 2-го оптимальная стратегия также y3 = (писать на бумажке число 3). Это легко согласуется со “здравым смыслом”.

В ряде случаев, анализ платежной матрицы позволяет обнаружить такие стратегии, которые не вносят никакого вклада в искомые оптимальные стратегии.

Отбрасывание подобных стратегий позволяет заменить первоначальную матрицу на платежную матрицу меньших размеров.

Определение 7. Для 1 игрока стратегия (строка) i будет доминировать над стратегией (строкой) k, если для всех элементов этих стратегий выполняется неравенство В этом случае 1 игроку ни при каких обстоятельствах не выгодно использовать доминантную стратегию k.

Определение 8. Для 2 игрока стратегия (столбец) i будет доминировать над стратегией (столбцом) k, если для всех элементов этих стратегий выполняется неравенство В этом случае 2 игроку ни при каких обстоятельствах не выгодно использовать доминантную стратегию k. Такие правила называются методом исключения доминант.

доминант найти решение игры, заданной платежной матрицей.

Решение. Рассмотрим доминанты для 1 игрока.

соответствующего элемента 1 строки, невыгодной 1 стратегией, которая исключения доминанты (1 стратегии) платежная матрица выглядит так 2) По такому же принципу 5 стратегия доминирует 4 стратегию:

стремится получить наименьший являются стратегии с наименьшими элементами. Сравнивая 1 и 5 столбцы исключаем 5 стратегию, как заведомо невыгодную для 2 игрока:

стратегию:

5) Сравнивая 4 и 3 столбец, исключаем стратегию:

Таким образом, данная игра имеет решение в чистых стратегиях. Оптимальными являются: для 1 игрока – 5 стратегия;

Для каждого игрока естественно стремление увеличить свой выигрыш (уменьшить проигрыш). Поиск такого решения может заключается и в том, что игроки применяют не одну, а несколько чистых стратегий, причем их выбор целесообразно осуществлять случайным образом, т.е. каждая чистая стратегия принимается с некоторой вероятностью, изменяющейся от 0 до 1.

Стратегии, состоящие в случайном чередовании чистых стратегий, называют смешанными.

Определение 9. Вектор x = ( x1, x2,..., xn ), компонента xi которого означает вероятность выбора игроком чистой стратегии ei, называется его смешанной стратегией.

Определение. Функция значение которой равно математическому ожиданию выигрыша первого игрока при выборе партнерами смешанных стратегий x = ( x1, x 2,..., xn ) и y = ( y1, y 2,..., y m ), называется платежной функцией игры A.

Определение 10. Стратегии x и y называются оптимальными, если для произвольных стратегий x и y выполняются соотношения Значение функции M (x, y ) = называется ценой игры A.

Матричные игры с нулевой суммой называются еще антагонистическими.

Каждая матричная антагонистическая игра A имеет решение в чистых или смешанных стратегиях, т.е. существуют оптимальные Теорема стратегии x и y удовлетворяющие соотношениям:

фон Неймана Так как выполняется неравенство v v, то каждый игрок при многократном повторении игры, придерживаясь смешанных стратегий, получает более выгодный для себя результат. Оптимальное решение в смешанных стратегиях, так же как и решение в чистых стратегиях, обладает свойством, которое заключается в том, что каждый игрок не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии, если его противник применяет оптимальную смешанную стратегию, так как это ему не выгодно. Стратегии игроков, входящие в их оптимальные смешанные стратегии, называются активными.

Найдем смешанные стратегии игры n n Оптимальные стратегии 1 игрока найдем решая систему Оптимальные стратегии 2 игрока находятся из системы Пример 4. Найти смешанные оптимальные стратегии и цену игры заданной платежной матрицей Решение. Отметим, что ни по строкам, ни по столбцам игра не имеет доминирующих стратегий. Нижняя цена игры Нижняя цена игры Верхняя цена игры Так как v v, то матрица не имеет седловой точки, т.е. решения в чистых стратегиях не существует. Будем искать решение игры в смешанных стратегиях.

Для 1 игрока, получим Для 2 игрока, получим Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш (или минимальный средний проигрыш), равный цене игры, независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий.

Игры в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого называются антагонистическими. Их мы рассматривали выше. Чаще встречаются конфликтные ситуации, в которых интересы игроков не совпадают, но и не являются прямо противоположными. Математически это означает, что выигрыш одного игрока не является проигрышем другого. Т.е. для каждого игрока мы имеем свою платежную матрицу и мы приходим к так называемым биматричным играм.

Если для первого игрока платежная матрица имеет вид а для второго Решение в чистых стратегиях в биматричной игре очень редки, а для смешанных стратегий есть аналог теоремы Неймана. Это теорема Нэша. Введем более простые обозначения.

Умножая строчки на координаты вектора P = ( p,1 p ) и столбцы на координаты вектора Q = (q,1 q ) смешанных стратегиях мы получаем средний выигрыш по матрице A :

По матрице B :

оптимальными, если для произвольных стратегий P и Q выполняются соотношения Значение функции M (x, y ) = называется ценой игры A.

Значение функции M (x, y ) = называется ценой игры A.

О том, что решение есть, говорит следующая Каждая виматричная антагонистическая игра ( A, B ) имеет по Теорема крайней мере одно решение в смешанных стратегиях, т.е.

Дж. Нэщ существуют оптимальные стратегии x и y удовлетворяющие Мы в этой лекции рассмотрим необычное, но очень простое решение задачи определения оптимальных стратегий в случае, когда частные производные целевых функций конечны ( имеют смысл). А именно, существуют и имеют смысл равенства:

Эта система имеет решение, если матрицы обладают свойствами:

В этом случае решение задачи оптимизации имеет вид:

Заметим важное и поучительное свойство оптимальных решений – для каждого игрока оптимальная стратегия определяется матрицей соперника, а не его собственной.

Пример 5. Даны матрицы, найти оптимальные стратегии игрокав и их выигрыш ( проигрыш):

Решение. Вычисляем Оптимальные стратегии P =, и Q =,. Придерживаясь этих стратегий игроки будут иметь следующие средние выигрыши:

Вывод: стратегии равновесия по Нэшу оказались выигрышными для обоих игроков.

6. Применение для решения задач налоговых органов.

Модель взаимодействия налогоплательщиков и инспекторов по проверке деклараций без коррупции.

Пусть условно все доходы разобьем на две части: низкий - I L, и высокий I H. Пусть они встречаются с вероятностями 1 q и q соответственно. Пусть Считаем, что проверка всегда выявляет реальный доход и ее стоимость есть величина - C. Штраф за уклонение включает неуплаченную сумму налога и пусть равен - F.

Модель с честными инспекторами.

Налогоплательщик с высоким доходом выбирает свою стратегию из множества I L, I H. Конечно, оптимальная стратегия зависит от соотношения цен штрафа и налога. Обозначим. Честное поведение богатого приведет к тому, что у него останется в наличие сумма I H T, при уклонении от налога в среднем остается I H pF. Здесь pF - математическое ожидание штрафа. Что больше то и выгоднее. Если I H T > I H pF или p > p =, то уклонение от полной декларации дохода не происходит (оно не выгодно) и чистый доход государства в расчете на одного налогоплательщика равен R( p ) = qT p(1 q)C.

Если то все налогоплательщики с высоким доходом уклоняются, (это выгодно) и чистый доход государства в расчете на одного налогоплательщика равен При этом все эти стратегии предполагают достаточно большой слой богатых людей, или qF > (1 q )C.

В ПРИЛОЖЕНИИ 1 приводим полную иллюстрацию этой пороговероятностной стратегии и доказательство следующего утверждения.

Утверждение 6.1.

достигается проверкой с вероятностью Pmax = p =. Он равен В обратном случае Pmax = 0 и эту группу налогоплательщиков нет смысла проверять.

Вывод очевиден: богатый налогоплательщик, владея всей информацией, может варьировать свою криминальную стратегию уклонения, приспосабливаясь к условиям налогообложения. Следовательно, информация о параметрах должна быть засекречена. Величину штрафа F и налога T скрывать нельзя, поэтому единственной как раз засекреченной должна быть вероятность проверок - p.

А также нельзя раскрывать статистическую структуру финансового неравенства проверяемой группы, или вероятность q и пороги I L, I H.

Модель двухуровневой инспекции с учетом коррупции.

Коррумпированный инспектор может быть подкуплен пойманным налогоплательщиком и тогда он скрывает результат проверки. Центр, в свою очередь, проверяет инспекторов, подтверждающих низкие доходы и наказывает их в случае обнаружения, что факт уклонения был скрыт. Под наказанием инспектора за “недобросовестную проверку” подразумевается его увольнение с понижением зарплаты. Денежную величину этого наказания обозначим - F = c(до) с(после).

Обозначим через вероятность перепроверки проводимой центром.

декларации, а через Повторная проверка пусть стоит - C. И она дороже C > C Наказание носит характер штрафа за ошибку, так как факт взятки, как правило, не устанавливается.

Только часть моделях = 0, то есть доход от штрафа не поступает в бюджет, а служит для развития налоговых органов и премий инспекторам.

Основная математическая задача центра – максимизация суммы чистого дохода в бюджет. Она состоит из налогов, штрафов нечестных налогоплательщиков, штрафов коррумпированных инспекторов за вычетом издержек на проверки C и перепроверки C. Затраты на ревизию C > C.

Проанализируем зависимость между размером взятки и величиной штрафов на налогоплательщика и на инспектора. Обозначим размер взятки через - B.

Минимальная величина взятки, выгодная инспектору, составляет Bmin = p F. Подкуп выгоден налогоплательщику, если Второе слагаемое это математическое ожидание возможной платы нарушителя – налогоплательщика при обнаружении уклонения.

Подкуп выгоден инспектору, как страховка от издержек от перепроверки, если B > F. Взятка больше, чем математическое ожидание штрафа от перепроверки.

Максимальная величина взятки, выгодная налогоплательщику, определяется из соотношения B + F < F и составляет Bmax = (1 p ) F. Учитывая оба неравенства, получаем, что подкуп возможен при выполнении неравенства Bmax > Bmin. Это также определяет пороговую ситуацию. Неравенство является функциональным требованием “целесообразности “ действий по нарушению закона.

Это неравенство связывает вероятности и величины штрафов.

Подкуп возможен, если вероятность ревизии меньше пороговой:

Предположим линейную зависимость величины B от своего максимума и минимума. Или пусть В этом равенстве параметр расположение значения B от своего максимума F (1 ) и минимума F.

Если соотношение Bmax > Bmin не выполняется, и налогоплательщик с большим доходом уклоняется от верной выплаты, но в случае поимки взятку не дает. Он уклоняется даже при выполнении более слабого неравенства Определение целевых функций.

Этот пункт посвящен анализу суммы чистого налогового сбора в расчете на одного налогоплательщика. Рассмотрим несколько примеров, при этом исправим имеющиеся в этой работе опечатки.

1) Пусть выполнены неравенства:

В этом случае налогоплательщик уклоняется, и коррумпированные инспектора берут взятки. Чистая прибыль в расчете на одного такого налогоплательщика, вычисленная сумма математического ожидания составного процесса равна:

Поясним формулу, так как F включает сумму налога, то это математическое ожидание суммы с точно уклоняющегося от налога богатого налогоплательщика.

Эта сумма может, и будет расти с увеличением штрафа от уклонения, но в пределах выполнения неравенства:

Слишком большой штраф с уклоняющегося налогоплательщика может прекратить как взятки, так и уклонения.

2) Пусть выполнены неравенства:

Согласно сказанному выше налогоплательщик с большим доходом уклоняется от полной выплаты, но в случае поимки взятку не дает.

Следовательно, при перепроверке инспектору незачем скрывать сумму уклонения и F = 0. Чистая прибыль в расчете на одного налогоплательщика, вычисленная сумма математического ожидания составного процесса в этом случае равна:

Поясним формулу: произведение q F - это средний штраф богатого за уклонение ( q доля богатых), минус расходы на проверку q F C. Последнее слагаемое с минусом, это затраты на перепроверку бедных слоев населения, они маловероятны.

3а) Пусть выполнены неравенства:

3б) Выполнены неравенства В этих условиях налогоплательщик не уклоняется. Следовательно, при перепроверке инспектору незачем скрывать сумму уклонения и F = 0. Также отпадает смысл перепроверки.

Чистая прибыль в расчете на одного налогоплательщика, вычисленная сумма математического ожидания составного процесса в этом случае равна:

Формулы (3-5) дают аналитические выражения для целевой функции сбора налога на одного налогоплательщика в моделях при разных ситуациях.

Получение оптимальных стратегий подтверждающих целесообразность порогового правила проверки деклараций.

Стоимость первичной проверки C складывается из зарплаты инспектора s и прочих расходов c. Основной результат исследования перечисленных выше моделей состоит в следующем. В зависимости от затрат на проверки, ревизии и от величины налогового бремени и штрафа могут быть три варианта оптимальной стратегии:

1) 0проводить проверки и ревизии с пороговыми вероятностями:

добиваясь тем самым честного поведения всех налогоплательщиков;

2) отказаться от ревизий ( ~ = 0 ), но повысить вероятность проверок до проверок);

3) если чистый налоговый сбор получается отрицательным (расходы на проверки больше налогов и штрафов) то следует отказаться от сбора данного Получена общая формула позволяющая различать все эти случаи. А именно, чистый налоговый сбор при оптимальной стратегии проверки деклараций вычисляется по формуле:

ЛИТЕРАТУРА

Шикин Е.В. От игр к играм. Математическое введение. М. : УРРС, 2003. – Думачев В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Воронеж 2006 г. МВД РФ, ВИ МВД России. 200 с.

Васин А.А., Картунова П.А., Уразов А.С. Опримальная организация инспекции с подавлением коррупции // Математическое моделирование, Ечмаков С.М.. Теневая экономика: анализ и моделирование. Москва, “Финансы и статистика”, 2004 г.

Нейман Дж.ф., Моргенщтерн О. Теория игр и экономическое поведение. М. : Физматгиз. 1970.

Нэш Дж. Бескоалиционные игры // Матричные игры. М. : Физматгиз, 1961.

Петросян Л.А. Теория игр. / Л.А Петросян, Н.А.Зенкевич, Е.А.Семина. Уч.

Пособие. Москва 1998. с. 300.

ЛР № 11. Математическое описание и решение задач теории

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

1. Прочитать лекцию 13 и разобрать все численные промеры с использованием формул из текста лекции.

2. Выполнить задание номер которого совпадает с Вашим

ЗАДАНИЯ

(N =1 и 13). Каждый из двух партнеров, не зная хода другого, называет цифру или 2, причем при совпадении названных цифр второй платит первому одну единицу выигрыша, а в противном случае второй получает от своего противника столько же. Определить платежную матрицу игры.

(N =2 и 14). Игроки выбирают целые числа от 1 до k. Если первый выбрал х, а второй - у, то первый получает х-у единиц выигрыша, если х>у, и платит х+у Допустим, что при этом размер взятки составляет b = bmax + (1 )bmin, где (0,1) - параметр, определяющий близость взятки к максимуму. Рациональный налогоплательщик с высоким доходом и нейтральным отношением к риску уклоняется, если p (b + pc F ) < T. Если вероятность перепроверки то агент уклоняется, но не дает взятки в случае поимки.

Основной результат исследования этой модели при заданной зарплате s состоит в следующем. Есть три варианта оптимальной стратегии:

1) проводить проверки и ревизии с пороговыми вероятностями p = T и p c ( s ), добиваясь тем самым честного поведения всех агентов и значения ч.н.д. R1 =...

2) отказаться от ревизий ( pc = 0 ), но повысить вероятность проверок до p = p. (Если > 1, то следует говорить об интенсивности проверок). При этом плательщикам невыгодно уклоняться, учитывая размер взятки b, и ч.н.д. составляет R2 =.... Это значение превышает R1, если и только если pc >...

Если оба значения R1, R2 отрицательны, то оптимальная стратегия – отказаться от сбора данного платежа ( p = pc = 0 ).

Рассмотрим вопрос об оптимальной заработной плате инспекторов. Необходимым ограничением в этой модели является s s min, где s min – минимальная зарплата, необходимая, чтобы нанять достаточно инспекторов на работу. Далее допустим, что альтернативная зарплата, получаемая при увольнении, совпадает с минимальной.

Исходя из предыдущего результата, при заданной зарплате s smin максимальный чистый (F + F (s)). Поэтому оптимальная зарплата минимизирует затраты на проверки и ревизии:

pc = F Первой из минимизируемых функций в этой формуле является гипербола, которая достигает минимума при s1 = smin F (1 ) + (cF (1 )). Если это значение меньше s, то есть F / (1 ) c, то для определения оптимальной стратегии достаточно найти R ( smin ). Если * R* ( smin ) > 0, то smin - оптимальная зарплата, иначе инспекцию нет смысла организовывать.

При s1 > smin нужно сравнить R* ( smin ) и R* ( s1 ) и выбрать зарплату, обеспечивающую большее значение (если оно положительно). Если центр может сам проводить первичные проверки с издержками c и вероятностью p, то этот вариант следует сравнить с перечисленными.

Проблема коррупции в России весьма актуальна. Обсудим возможные пути борьбы с этим явлением в свете проведенных исследований.

Прежде всего, эффективная борьба с коррупцией невозможна без четких, строго сформулированных нормативных актов. Так уклонение от уплаты налогов в особо крупных размерах оставляет определенный произвол в наказании (это деяние может наказываться денежным штрафом, арестом на несколько месяцев и длительным лишением свободы). Нормы такого рода, допускающие различную трактовку, создают благоприятные условия для взяточничества и манипулирования.

В последнее время в обществе обсуждается необходимость декларирования доходов и имущества чиновниками. Предполагается, что ежегодная отчетность стимулирует госслужащих к выполнению антикоррупционного законодательства. Однако, результатом такой деятельности, как правило, является наказание лишь чиновников, не успевших скрыть свой истинный доход. В то же время опытные коррупционеры легко уходят от ответственности с помощью различных ухищрений. Более того, появляется возможность для дискредитации неугодных людей.

В областях, где проведена стандартизация нормативов, целесообразно сконцентрироваться на борьбе с коррупцией. Как показывают исследования, с помощью иерархической структуры можно создать эффективный проверяющий орган. За счет проверки не всех, а лишь некоторых агентов с определенной вероятностью достигается снижение расходов. Однако не стоит забывать, что для реализации такой проверки требуется случайный механизм выбора проверяемых. При невозможности обеспечения жесткого режима контроля этого механизма со стороны центра возникают предпосылки для сговора.

Примером страны, в которой многое из перечисленного уже эффективно применяется, является Сингапур. В этой стране существует независимое ведомство по противодействию коррупции с широкими полномочиями и публичным контролем. Чиновники получают высокие зарплаты, но подвергаются серьезному контролю – чиновник сверху наблюдает над чиновником снизу. Чиновники подвержены определенной ротации, а также время от времени происходят их случайные, непредвиденные проверки. Коррупция по своей сути чрезвычайно адаптивна, поэтому правительство Сингапура каждые 3-5 лет проводит мониторинг, анализ и пересмотр антикоррупционных мер.

В заключение отметим, что кризис – благоприятное время для борьбы со взяточничеством.

С помощью ряда мер, в частности увольнения, можно организовать эффективную работу чиновников на благо государства, а не для собственного обогащения.

ЛИТЕРАТУРА

Фонд "Индем". Во сколько раз увеличилась коррупция за 4 года: результаты нового [1] исследования Фонда ИНДЕМ. Веб-сайт фонда "Индем". [В Интернете] 2005 r.

http://www.indem.ru/corrupt/2005diag_press.htm.

[2] Transparancy International. 2008 Corruption Perceptions Index. [Online] 09 23, 2008.

http://www.transparency.org/news_room/in_focus/2008/cpi2008/cpi_2008_table.

Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. М. : Макс пресс, 2005.

[3] Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики. Москва : МАКС [4] Васин А.А., Панова Е.И. Собираемость налогов и коррупция в фискальных органах. М. :

[5] [6] Reinganum J.F., Wilde L.L. Income tax compliance in a principle-agent framework. Journal of Public Economics. 1985, 26, pp. 1 – 18.

[7] Border K., Sobel J. Samurai Accountant: A Theory of Auditing and Plunder. Review of Economic Studies. 1987, 54, pp. 525 – 540.

Тема 13. Моделирование процессов патрулирования с учетом Лекция № 27. Оптимизация маршрутов патрулирования с учетом 1. Размерность Хаусдорфа-Безиковича.

2. Фрактальность в уличной структуре мегаполисов на примере Токио.

3. Оптимизация маршрутов патрулирования с учетом фрактальности застройки Размерность Хаусдорфа-Безиковича ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Фракталом называется множество, размерность ХаусдорфаБезиковича которого строго больше его топологической размерности.

Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим: Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком–то смысле подобны целому. Строгого и полного определения фракталов пока не существует. Для окружностей, квадратов, равносторонних треугольников и других многоугольников отношение периметра к квадратному корню их охватываемой площади не зависит от размера многоугольника. Отношение одинаково для каждого семейства замкнутых кривых одинаковой формы. Для окружностей, квадратов и равносторонних треугольников это отношение равно соответственно = 2, 4 и 6/31/4.

Для семейства подобных островов различных размеров отношение длины нефрактальной береговой линии любого острова к квадратному корню из его площади не зависит от размера острова (1). Однако, если береговая линия фрактальна, то ее длина L() зависит от длины эталона, с помощью которого меряется длина и L() при 0. Напротив, площадь острова А(), измеряемая с помощью его покрытия квадратами площадью 2, остается конечной при 0. Как показал Мандельброт, для фрактальных кривых расходящееся отношение следует заменить в каждом случае следующей модификацией:

Здесь D - фрактальная размерность береговых линий островов, имеющих подобные очертания. Отношение D не зависит от размера острова, но оно зависит от выбора эталона длины.

Рис. 1. Два подобных острова, обмеряемых с помощью эталона, длина Соотношение (2) лежит в основе практического применения фрактальной размерности для практического в задачи оптимизации маршрутов и точек патрулирования. Истоком послужили сведения о соотношении площадей бассейнов и длин рек из книги Е.Федера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Фрактальная размерность рек: Хаак ( 1975г. Hack J.T.).

Перемещая точку по главой реке, можно сравнивать площадь бассейна реки выше точки с общей длинной притоков впадающих в основную реку на данной площади.

2. Фрактальности в уличной структуре мегаполисов на примере Токио.

В 2000 г. в ходе анализа уличной сети районов Токио была определена топологическая характеристика зависимости между суммой длин улиц хаотической зоны и площадью обслуживаемой ими территории. Для исследования были выбраны шесть зон: Shinjuku, Shibnua, Ueno, Aoto, Nokano, Ikibukuru, известные своей нерегулярностью. При этом в пределах этих зон, были выбраны визуально наиболее “хаотические” участки.

В пределах них были выбраны главные улицы-магистрали. На картах этих зон затем были выделены улицы первого порядка – исходящие от главной магистрали до первого пересечения, тупика или развилки, улиц второго порядка, исходящие из пересечения или разветвления улиц первого порядка до следующего разветвления, тупика и т.д. Параллельно с выделением улиц различного порядка вычислялись площади занимаемые улицами в пределах каждого порядка.

В итоге были получены данные ( l1, l 2,..., l n ) - сумм улиц первого, второго, третьего порядка начинается от главной магистрали и ( s1, s 2,..., s n ) -площади первого, второго, третьего и т.д. порядка содержащие улицы соответствующего порядка (Рисунки.3 и 4). Учитывая то, что каждый последующий порядок имеет своим началом предыдущие магистрали, полученные данные служили для нахождения фазовых чисел необходимых для анализа выбранных зон, которые вычислялись по формулам:

То же самое проделывалось в случае определения сумм улиц:

Полученная последовательность (LK, SK) - определяющая отношение между парами чисел в данной последовательности является базовой.

Площадь последнего порядка содержит в себе всю площадь выбранной зоны, сумма длин улиц последнего порядка соответственно вся сумма улиц выбранной зоны.

Если прологарифмировать переменные последовательности (LK, SK) мы получим (yk = lnLk, xk = lnSk). После нанесения полученных данных на миллиметровку, была замечена скрытая линейная зависимость. Отклонения на графике вызваны случайными ошибками. В результате “выравнивания” полученных данных по методу наименьших квадратов были получены линейные регрессии характеризующие изучаемые районы y = x + b. Вводя стандартные обозначения средних x, y, находим, что Переходя обратно к логарифмам, получаем: ln L = ln S + ln B, тогда вид В результате анализа шести различных участков Токио была выделена фрактальная размерность 0.83 1.62, графики различных регрессий различаются углом наклона. Конечно, ни о каком фрактальном самоподобии здесь говорить нельзя, но фрактальность здесь обнаруживается за счет ветвления улиц.

Различные зоны Токио дали следующие результаты зависимости:

Соответственно D={1.66; 2.14; 2.34; 2.54; 2,8; 3.24}.

В зависимости от величины фрактальной размерности исследуемые зоны можно расположить в следующем порядке:

Shinjuku = 3.24, Aoto = 2.8, Ikibukuru = 2.54, Ueno = 2.4, Shibnua = 2.34, Nokano = 1.66, Высокий показатель фрактальности Shinjuku, обьясняется наличием множества функций в данной зоне, ведь сегодня это фактический центр Токио.

Исторически сложившаяся “феодальная” сетка улиц Aoto давно вызывает беспокойство властей. Данная территория является зоной повышенной максимальной опасности в случае землетрясения, выйти быстро из лабиринта маленьких улочек практически невозможно.

Для выяснения смысла возникновения фрактальности в уличной сети Токио рассмотрим следующий пример: Характеристика (по Мандельброту D=2 ) не будет меняться, если мы будем деформировать область застройки с улицами так чтобы, величины площади различных порядков и сумма длин улиц различных порядков была величиной, не изменяющейся (постоянной). Эта возможность деформирования определяет топологический характер задачи.

Она показывает, что должны быть “эталонные” примеры с одинаковыми “ячейками”- например, это “тетрадка в клетку или линейку“ или “паутинка с кольцами из окружностей” (Петровская застройка центра Санкт-Петербурга)“.

Рассмотрим пример “тетрадки в клетку” (Манхеттен). Простые вычисления показывают, что площадь S и сумма длин улиц L будет удовлетворять соотношению: L(a) = const k.

Здесь a - длина стороны квадратной ячейки тетрадки, константа зависит только от размера стороны квадрата изоморфного изучаемой площади [1]. Сравнение со стандартной формулой Мандельброта (2) показывает, что мы имеем = 1, а D = 2, как и положено a - эталон измерения (сторона квадрата).

3. Оптимизация маршрутов патрулирования с учетом фрактальности застройки Из инструкции: “…при составлении дислокации постов и маршрутов патрулирования нарядов охраны необходим творческий подход, глубокое знание особенностей охраняемых объектов, возможностей подразделения. Руководители отделов (отделений) вневедомственной охраны призваны постоянно анализировать эффективность использования личного состава, искать и находить новые формы и методы несения службы, обобщать и распространять передовой опыт”.

Построение поверхности потенциалов для охраняемых объектов.

Разбиваем карту одного района города Воронежа координатной сеткой размером 20Х ячеек.

Используя данные, предоставленные Отделом вневедомственной охраны, наносим на карту объекты, охраняемые вышеуказанным ОВО. Числу объектов в каждой из ячеек координатной сетки и их важности соответствует число заносимое в данную ячейку таблицы объектов (Значимость ячейки = от 0 до 15). По полученной таблице можно строим поверхность уровней (рис.6), показывающую потенциалы объектов в каждой единице площади района, которая разбита координатной сеткой.

Для усреднения влияния “цены объектов” на данной территории, аппроксимируем полученные данные, используя метод наименьших квадратов с аппроксимационной функцией полинома шестой степени от двух независимых переменных. Графиком этой функции является аппроксимированная поверхность объектов (Рис.7.).

Наложим полученную поверхность на карту района (РИС.9) и получим наглядное представление о плотности объектов в исследуемом районе (РИС.9 “КАРТА ВАЖНОСТИ”).

Дискретизируем по ячейкам полученную аппроксимированную поверхность объектов и получаем таблицу аппроксимированных объектов.

Данные таблицы представим в виде матрицы A.

Построение фрактальной сетки района.

Разбиваем район города на области, охватываемые центральными улицами района. В пределах них выбираем главные улицы-магистрали. Затем выделяем улицы первого порядка – исходящие от главной магистрали до первого пересечения, тупика или развилки, улицы второго порядка, исходящие из пересечения или разветвления улиц первого порядка до следующего разветвления, тупика и т.д. Параллельно с выделением улиц различного порядка вычисляем площади, занимаемые улицами в пределах каждого порядка. В итоге получаем данные ( l1, l 2,..., l n ) - сумм улиц первого, второго, третьего порядка начинается от главной магистрали и ( s1, s 2,..., s n ) -площади первого, второго, третьего и т.д. порядка содержащие улицы соответствующего порядка.

Находим площади полученных областей (S) и суммарную длину улиц, обслуживающих каждую из областей (L). Определяем коэффициент фрактальности каждого из полученных фрактальных поясов по формуле:

Дискретизируем полученную фрактальную поверхность и получаем дискретизированную карту зон фрактальности района (Рис.9). По первоначальной сетке размером 20Х20 ячеек на карте дискретизируем данные по насыщенности улицами (фрактальности клеток) и переводим данные в матричную запись B.

Рис.9. Карта насыщенности улицами района (фрактальности).

аппроксимированную таблицу объектов. По которой построим дискретизированную поверхность потенциалов объектов с учетом фрактальности улиц, а затем и аппроксимированную поверхность (РИС.11 “карта важность плюс труднодоступность”).

Рис. 10. Фрактальная аппроксимированная поверхность объектов Эта карта отличается от карты учитывающей только важность охраняемых объектов (Рис.8). Появился район, примыкающий к железнодорожным складам с повышенной насыщенностью и искривленностью улиц примыкающих к этим складам. По полученной карте “ценности-трудности” были составлены маршруты различной “важности”: (малиновый цвет – наиболее важные) (красного цвета – средней значимости) и (синего цвета – второстепенные, но обязательные) с указанием оптимальных мест для стационарных опорных пунктов (красные звездочки) ( Рис.11). Патрулирование возможно совмещать с установкой камер слежения, учитывая линии движения и их цвет. В условиях ограниченности ГСМ, наряды полиции на транспорте РИС.11 Карта маршрутов патрулирования и расположения «Моделирование в теории принятии решений»

Тема 14. Математические модели налогообложения Лекция № 28. Модели основных видов налогов физических лиц 1. Математические аксиомы и шкалы налогообложения.

2. Математические принципы налогообложения физических лиц ( подоходный налог).

3. Цена рабочего и свободного времени работника.

4. Функция полезности, структура потребления и максимизация 5. Задачи с решениями и для самостоятельной работы.

А. Смит: “ При какой-либо особенной крайности народ может под влиянием сильного общественного воодушевления сделать большое усилие и отдать даже часть своего капитала, чтобы прийти на помощь государству, но совершенно не мыслимо, чтобы он делал это скольконибудь продолжительное время; а если бы он делал это, то налог скоро бы разорил его в такой степени, что он вообще утратил бы способность поддерживать государство “.

Тем не менее, для принятия правильного решения в использовании и анализе схем налогообложения необходим математический подход, что и будет обосновано в этой и следующей лекциях.

Пусть i = 1,..., m - виды доходов физического лица, с которых надо платить налог. Пусть xi - величина дохода i - го вида а f i - способ взимания налога с дохода i - го вида (налоговая шкала, средняя ставка налога и т.п.), f i ( xi ) - налог с i-го вида доходов; F = ( f 1,..., f m ) - вектор способов взимания налога с доходов (налоговая шкала, средняя ставка налога или др.). Получаем два вектора: это X = ( x1,..., x m ) - вектор доходов и F = ( f 1,..., f m ) - вектор способов взимания (ставок) налога с разных по виду доходов. Введем обозначение: F, X = f i ( xi ) xi и назовем его псевдоскалярным (определено только на положительных числах) произведением векторов F, X. Тогда это псевдоскалярное произведение двух векторов и есть величина взимаемого налога.

Обозначим через x месячный (или годовой) доход налогоплательщика. Пусть N (x) - величина подоходного налога или просто налог, R ( x) = x N ( x) - оставшийся у налогоплательщика доход или просто остаток дохода. Очевидные соображения позволяют принять следующее утверждение, Налоговая аксиома (НА): налог и остаток дохода должны быть непрерывными возрастающими функциями дохода, а остаток дохода - строго возрастающей функцией дохода (иначе теряется всякий смысл - зарабатывать больше).

Налоговая шкала T = (t 0 ; a1, t1 ;...; a k, t k ) - это упорядоченный набор 2k + 1 чисел.

промежутка [0,1) называются налоговыми ставками.

Величина налога определяется по шкале T следующим образом:

Обе функции N, R (налог и остаток) являются непрерывными, возрастающими кусочнолинейными и имеют всюду производные, кроме точек-делений шкалы. Налоговая шкала называется прогрессивной, если налоговые ставки строго возрастают и регрессивной, если строго убывают. График налога для прогрессивной шкалы “выпуклый вниз”, для регрессивной “выпуклый вверх”. Средней ставкой подоходного налога называется непрерывная дифференцируемая почти всюду функция y (x) со значениями в промежутке [0,1). Допускается отсутствие производной в нескольких точках. Для практических целей среднюю ставку налога можно задать таблицей. Если y (x) средняя ставка налога, то налог N (x) равен y ( x) x, а при известной N (x) средняя ставка равна N ( x) / x. Если налог задан шкалой, то средняя ставка налога вычисляется по шкале следующим образом:

Существуют различные виды подоходных налогов, которые отражены на практике:

а) пропорциональный, если y ( x) = N ( x) x = Const, т.е. средняя ставка постоянна или налоговая шкала не имеет делений;

б) прогрессивный, если средняя ставка y (x) - возрастающая функция (и регрессивным, если y (x) - убывающая функция);

в) выпуклый, если N (x) - выпуклая функция (вогнутый, если N (x) вогнутая функция);

г) ультрапропорциональный, если N (cx) cN ( x), 0 c 1 ; (и инфрапропорциональным, д) ультрааддитивный, если Из этих 5-х видов только прогрессивность и регрессивность широко известны. В настоящее время в России ставка постоянная и вид налога – а).

В завершение это пункта покажем, что не всякая функция может задавать налоговую шкалу.

Например, функция:

не может определять налоговую шкалу так как функция N ( x) = y ( x) x не является линейной на промежутке (1, 2). сложное состояние формирования налоговой базы для налога на физическое лицо отражает рисунок 2.1.

2. Математические принципы налогообложения физических лиц Обозначим через X - случайную величину легального дохода физического лица в России.

Тогда производная от интегральной функции распределения - плотность распределения f (x) позволит определить среднее значение дохода физического лица (математическое ожидание):

Если - численность всех налогоплательщиков, то сумма собираемого легального дохода равна: N 1 = 13% µ. Совершенно очевидно, что в настоящее время в России имеет место большое различие в благосостоянии разных слоев населения.

Полагаем, что все граждане имеют логнормальное распределение возможных легальных доходов Это плотность логнормального распределения легальных доходов x, а ln µ и математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной величины ln x.

Обозначим через - число всех лиц, с которых собирается налог по шкале (2), а N () - обща легальная сумма сбора налога. Тогда Рассмотрим несколько вариантов шкал с применением этой формулы.

Пропорциональный налог (ставка единая для любых сумм), то случае формула (5) упрощается и имеет вид Если единая ставка подоходного налога 13%, то получаем известную формулу Расчет очень прост в этом случае, нужно взять тринадцать процентов от среднестатистического легального дохода и умножить на число налогоплательщиков. Посмотрим, как изменится сумма собираемого налога, если ввести прогрессивный налог по шкале (1). Очевидно, что при прогрессивном налоге сумма сбора налога с населения будет больше. Она зависит как от налоговых ставок, так и от распределения доходов. Потому что если бы все получали одинаковую зарплату, то и не возможно ввести разные налоговые ставки. Значит, эффективность прогрессивного налога зависит и от неравномерности доходов физических лиц. Будем считать, что имеет место логнормальное распределение возможных легальных доходов (3).

Прогрессивный налог. Получаем формулу Интегрирование в формулах (5,7) не может продолжаться до формальной бесконечности и доходить до нуля. Для определения реально значимого размаха значений легальных доходов воспользуемся правилом 3 для логнормального закона. Вероятность выполнения неравенства ln x ln µ 3, как известно пренебрежимо мала. Это означает, что легальные доходы, для которых выполняется это неравенство, встречаются очень редко. Для очень богатых людей, на взгляд автора, вообще надо определить особую политику помощи государству и стране, а слишком бедных освободить от налога.

Итак, из правила 3 следует, что для основного существенного множества легальных доходов справедливо условие:

показателям, среднеквадратичное отклонение по разным районам колеблется: (0.6, 1.2).

Если принять 0.9, то значения легальных доходов существенно распределены в основном в интервале Будем оценивать суточное рабочее время и время свободное от работы. Оценкой рабочего времени может служить w - часовая ставка заработанной платы, оценка свободного часа делается самим работником и пусть равна - a.

Если s - оценка всего рабочего времени за сутки и f - оценка всего свободного времени за сутки, то количество часов, составляющих рабочее и свободное время: s + f = Q. Функцию U = U ( s, f ) определим, как функцию ценности времени. Обычно это строго возрастающая вогнутая функция своих переменных. (Матрица вторых производных Гессе отрицательно определена.) Для определения оптимального поведения работник может решать задачу на экстремум:

В этой задаче роль вектора цен играет собственный вектор ( 1, 1 ). Поэтому оптимальное решение характеризуется тем, что вектор частных производных пропорционален этому вектору Напомним общий способ решения задач на условной экстремум. Составим функцию Лагранжа: L( s, f, ) = U ( s, f ) + Q ( s + f ) и затем найдем ее максимум, приравняв ее частные производные к нулю:

Затем нужно решить эту систему.

Если мы введем подоходный налог по ставке t, то задача оптимального поведения работника (9) меняется на задачу В условиях пункта 15.5 решить задачу определения оптимального поведения работник для функции ценности времени U ( s, f ) = s + f.

Решение. Система с частными производными имеет вид трех уравнений:

рабочее время для достижения максимума должно быть равно Q p = а свободное 2. Решить задачу определения оптимального поведения работник для функции ценности времени U ( s, f ) = s + f при условии введения подоходного налога по ставке t = 0,2.

Решение. После введения налога функция имеет вид U ( s (1 t ), f ) = (1 t ) s + f.

Воспользуемся характеристическим свойством оптимального решения из пункта 15.5. Получим систему уравнений для частных производных:

3. (Задача налоговой инспекции). В условиях задачи 2 определить оптимальную ставку Решение. Эта задача всегда имеет решение, заметим, что не всегда социально положительная непрерывная функция, F (0) = F (1) = 0. На замкнутом промежутке [0,1] она достигает своего максимума. Найдем его с помощью производной, из уравнения F (t ) = 0.

После вычисления производной дроби, в итоге получаем квадратное уравнение для определения максимальной ставки налога (с точки зрения налоговых органов!): t 2 2t + = 0.

Заметим, что эта теоретически найденная оптимальная ставка не удовлетворяет жизненным принципам. Так если ценность рабочего часа в 3 раза ценней чем свободного времени, или w = 3a, то t = =. Такая ставка процентов подоходного налога разорительна и просто недопустима.

1. Решить задачу определения оптимального поведения работник для функции ценности времени U ( s, f ) = s f.

Ответ: f =,s =. Рабочее время для достижения максимума должно быть равно Q p =, свободное Qc =. Данная функции ценности времени 2. Найти, как изменится рабочее время и зарплата в задачи где функция ценности времени U ( s, f ) = s + f после введения подоходного налога по ставке t = 0,3.

Ответ: Рабочее время, оптимизирующее поведение работника, уменьшится тоже уменьшилась.

3. В условиях задачи 3 определить оптимальную ставку налога t = t max для решения задачи налоговой инспекции по максимизации сбора налога, если рабочее и свободное время равноценно.

4. Функция полезности, структура потребления и максимизация благосостояния.

Пусть имеется набор товаров, определяющийся вектором X = {x1,..., x n } с ценами P = {p1,,..., p n } и функция полезности товаров U ( X ) = U ( x1,..., x n ) с обычным ограничением на покупательную способность потребителя X, P = x k p k = Q, здесь Q - возможная для покупки сумма денег.

Возможны две постановки задачи оптимизации покупки потребителя: до и после введения налога по ставкам T = {t1,..., t n }.

U ( X ) max, Первая задача, как известно, формирует функцию спроса и структуру потребления до введения налога. Вторая с учетом налоговых ставок.

Найдите структуру потребления и функцию благосостояния для функции полезности U ( x1, x 2 ) = 3 x1 + 3 x 2.

Решение. Сокращая число переменных, используя уравнение связи x1 p1 + x 2 p 2 = Q, Найдите структуру потребления и функцию благосостояния для функции полезности U ( x1, x 2 ) = x1 x 2.

Решение. Сокращая число переменных, используя уравнение связи x1 p1 + x 2 p 2 = Q, Найдите структуру потребления и функцию благосостояния для функции Решение. Используя уравнение связи x1 p1 + x 2 p 2 = Q, находим вид целевой функции f ( x1 ) = x1 2 ( (Q x1 p1 )) 3, производная приравненная к нулю приводит к равенству:

(Q x1 p1 ) = x1. Структура потребления:

Найдите структуру потребления для функции полезности U ( x1, x 2 ) = 4 x1 + 4 x 2.

Максимизация благосостояния. Рассмотрим потребителя, стремящегося свой доход потратить с максимальной пользой. Максимальная полезность, которую может обеспечить его доход, при данных ценах на рынке называется его благосостоянием. При повышении цен (введением, например, налога с продаж) благосостояние потребителя, конечно, уменьшается. Как повысить цены, чтобы собрать нужную сумму и в тоже время оставить благосостояние потребителя на достаточно высоком уровне? Это очень важная задача социальной направленности должна решаться государственными органами. На простых моделях рассмотрим решение этой задачи в разных условиях.

Напомним, что потребитель с функцией полезности U ( X ) определенной на наборах товаров, имеет функцию спроса X = X ( P, Q ), зависящую от цен P и дохода Q. Значение U = U ( X ) называется благосостоянием потребителя, обозначим его B, ясно, что это есть функция цен и дохода B = B ( P, Q ).

Рассмотрим две задачи повышения цен с максимизацией благосостояния.

1. Цель правительства дополнительно собрать за счет повышения цен на величину T сумму R. При этом правительство хотело бы так повысить цены, чтобы благосостояние потребителя осталось на максимально высоком уровне. Для нахождения вектора повышения цен T придется решать задачу:

Скобка.,. определяет скалярное произведение векторов.

2. Цены повышаются на величину T. При этом правительству придется "опустить" благосостояние потребителя, так что его благосостояние при новых ценах будет меньше прежнего, скажем на (100 r ) процентов. А основной целью будет при этом условии сбор максимальной дополнительной суммы. В итоге для нахождения вектора повышения цен T правительству придется решать задачу:

Например, при 5% уменьшения благосостояния благосостояния, и решить обе задачи на экстремум из текста. Доля сохранения благосостояния r = 0,95.

Решение. Используя уравнение связи x1 p1 + x 2 p 2 = Q, находим вид целевой функции f ( x1 ) = x1 2 ( (Q x1 p1 )) 3, производная приравненная к нулю приводит к равенству:

(Q x1 p1 ) = x1. Структура потребления:

1. Итак, первая задача имеет вид:

Поскольку искомая точка максимума не зависит от Q, то задачу можно записать так Найдем частные производные и приравнивая их нулю, получим систему Деля 1-е уравнение на 2-е, получим ( p 2 + t 2 ) p1 = ( p1 + t1 ) p 2 и t 2 p1 = t1 p 2. Подставляя эти выражения в 3-е уравнение и вспоминая, что b = 5 R / Q, получим окончательно; t1 = 1, Вывод такой: для сбора суммы R и сохранения благосостояния потребителя на максимально 2. Постановка второй задачи такова:

Решение. Составим функцию Лагранжа найдем ее производные по t1, t 2 и, приравнивая их нулю, получим систему t1 = p1 [(1/0,95) 5 -1] =0,094p1, t 2 = 0,094 p 2 т.е. цены нужно повысить на 9,4%.

Вывод: если допустить снижения благосостояния на 5%, то можно повысить цены на 9,4% и собрать максимальную дополнительную сумму.

ЛР № 25. Факторы, влияющие на процессы налогообложения.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

1.Прочитать лекцию № 28 и разобрать типовые численные промеры.

2.Вариант задания для слушателя составляет преподаватель, используя для слушателя комбинацию примеров для самостоятельного решения из текста лекции и соответствующий номер слушателя в журнале группы.

3.Выполнить задание Тема 14. Математические модели налогообложения Лекция № 29. Математические схемы основных налогов производственной Оптимальная ставка налога на прибыль. Пусть деятельность фирмы описывается вектор - производственной функцией f, которая устанавливает связь между вектором использованных ресурсов X и вектором Y выпускаемой продукции. Пусть W - вектор цен на виды этой продукции, P - вектор цен на ресурсы, в том числе на живой труд и на содержание единицы основных фондов. Будем предполагать цены неизменными. Величина W, f ( X ) т.е. выручка минус затраты, есть прибыль фирмы и обозначается F ( X ). В состояние равновесия производная функции равна нулю и оно характеризуется векторным равенством W f ( X ) = P, где f ( X ) есть вектор частных производных f f обычных скалярных уравнений-равенств:

При выполнении условия стабильности производства можно рассматривать задачу максимизировать прибыль фирмы. Эта задача хорошо известна, как задача нелинейного программирования, необходимым условием ее решения являются условия Куна – Таккера. Нас будет интересовать другая задача – получение максимальной суммы налога с устойчиво работающего производства. Для налога на прибыль эти задачи эквивалентны.

Это скалярная функция векторного аргумента. Здесь при ставке налога t, ( 0 < t < 1 ), сумма налога равна: tF ( X ). При фиксированной ставке равновесии не меняется и математическая постановка задачи, оптимального с точки зрения налоговых органов, сбора налогов имеет вид:

Это условный экстремум функции нескольких переменных.

Группа "челноков" в количестве Е решила объединиться с N продавцами. Прибыль за день работы выражается формулой Y = 600 ( E N) 3. Зарплата "челнока" 200 руб. в день, продавца 160 руб. в день. Найдите оптимальный состав группы из "челноков" и продавцов, т.е.

сколько должно быть "челноков" и сколько продавцов. Пусть налог на прибыль равен 20%. Какой величины налог платит эта группа, если ее состав оптимален?

Решение. Составим целевую функцию F ( x1, x 2 ) = 600 x1 3 x 2 3 200 x1 160 x 2.

Стабильность производства определяет равенство нулю частных производных составляющих систему:

Решение системы: x = 1 x 2 = 2. Максимум равен 236. Оптимальный налог равен 47,2.

Бизнесмен решил основать небольшое автотранспортное предприятие по оказанию услуг населению. Ознакомившись со статистикой он увидел, что примерная зависимость ежедневной выручки от числа автомашин А и числа обслуживающих рабочих N выражается формулой Y = 900 A 2 N 4. Амортизационные и другие ежедневные расходы на одну машину равны 400 у.е., ежедневная зарплата рабочего, слесаря и т.п. 200 у.е.. Найдите оптимальную численность рабочих и автомашин. Пусть налог на прибыль равен 20%. Какой величины налог будет платить бизнесмен при оптимальной структуре?

Решение. Составим целевую функцию F ( x1, x 2 ) = 900 x1 2 x 2 4 400 x1 200 x 2.

Стабильность производства определяет равенство нулю частных производных составляющих систему:

F (2,2) 314, абсолютный максимум примерно равен 607. Оптимальный налог равен 61,8.

1. Решить задачу №1 при условии, что прибыль за день работы выражается формулой F (1,1) = 430, оптимальный налог равен 86.

2. Решить задачу № 2 при условии, что зависимость ежедневной выручки от числа F (1,2) = 627, оптимальный налог равен 125,4.

Акцизный, это налог, который взимается с каждой проданной единицы товара и он имеет денежное выражение, а выпуск продукции исчисляется в натуральной форме. Величина налога равна скалярному произведению вектора t, характеризующего налог, на производственную вектор функцию, или t, f ( X ). Состояние равновесия фирмы после введения налога описывается векторным уравнением (W t ) f ( X ) = P. Математическая постановка задачи, оптимального с точки зрения налоговых органов, сбора налогов имеет вид:

Это задача определения условного экстремума функции n переменных с n условиями.

Задачи на условный экстремум можно решать с помощью метода Лагранжа, вводя L( X, t, V ) = t f ( X ) + V ( P = ( w t ) f ( X ))). Для векторов X, t, V, записывая операторные производные и приравнивая их (как вектор) к нулевому вектору, получим систему операторных уравнений:

В общем виде она имеет довольно сложную структуру. Даже если цена w и ставка t, это просто числа, одинаковые для всех видов продукции, то все равно система имеет сложный вид.

Например, учитывая тот факт, что V - это вектор строка дополнительных переменных, то если переписать первое уравнение системы в обычном (скалярном) виде, то вместо нее получим систему n уравнений:

На практике эти конкретные уравнения упрощаются.

Например, в случае, когда цена w( x) = a bx на продукцию линейно падает с ростом поставки x товаров на рынки, и издержки производства выражаются линейной формулой:

значении ставки акцизного налога объем производства равен xopt =. Обратим внимание:

после введения акцизного налога (по оптимальной для налоговых органов ставке) объем производства уменьшился ровно в 2 раза. Максимальное значение собираемого налога равно. Доход фирмы при рассматриваемой ставке акцизного налога равен (a c) доход фирмы становится нулевым,, а потом и отрицательным. Последнее означает, что после перехода ставки налога через критическое значение t kp = a c 4bd объем производства станет нулевым – фирма перестанет работать или уйдет в "теневую экономику".

1. Показать, что если рынок конкурентный и f возрастающая вогнутая функция, то введение акцизного налога производит удушающее действие на производство (производство сокращается без дополнительных решений).

Решение. Так как рынок конкурентный то фирма не может изменять цену P в уравнении состояния равновесия фирмы после введения налога так как w t < w, то первый множитель в произведении в равенстве меньше, чем до введения налога. Следовательно для сохранения равенства второй должен стать больше и равновесие будет достигнуто при больших значениях f ( X ). Так как функция f - возрастающая и вогнутая, то ее производная f - убывающая функция и равенство достигается для меньших значений X, чем ранее. Объем производства X при конкурентном рынке после введения акцизного налога уменьшается!

2. Цена w( x) = a bx на продукцию линейно падает с ростом поставки x товаров на рынки, и издержки производства выражаются линейной формулой: C ( x) = cx + d. Даны параметры фирмы: a = 100, b = 2, c = 12, d = 10. Найти: а) оптимальный объем производства, цену продукции и прибыль фирмы при этом объеме до введения акцизного налога; б)оптимальную ставку акцизного налога и сам налог; в)соответствующие этой ставке объем производства, цену продукции и доход фирмы.

Решение. Используем нужные формулы: а) оптимальный объем производства равен x = = 22 ; цена продукции равна a bx = 100 44 = 56 ; прибыль фирмы при этом объеме равна P( x ) = = 958 это до введения акцизного налога; б) оптимальная ставка акцизного налога равна t = = 44, сам налог при указанной оптимальной ставке равен 3. Производственная функция есть f ( x) = x, зависимость цены от объема поставленной на рынок продукции w( x) = 10 x, издержки производства c( x) = 5 + 3 x / 2. Найдите: а) оптимальный объем производства и прибыль фирмы при этом объеме до введения акцизного налога; б) оптимальную ставку акцизного налога и сам налог; в) соответствующие этой ставке объем производства и доход фирмы.

Решение. Целевая функция имеет вид: F ( x) = wf c = (10 x)( x ) 5 3 x / 2. Уравнение стабильности производства F ( x) = 0 дает уравнение x + x 10 = 0. а) Положительное решение x 1,940 2 - это оптимальный объем производства. Прибыль фирмы F ( x, t ) = wf c tx = (10 x)( x ) 5 3 x / 2 tx. Дифференцируя и решая квадратное уравнение, получаем оптимальную ставку акцизного налога t 5,45, а сам налог 2,18 в) соответствующие этой ставке объем производства xt 0,4 и доход фирмы будет меньше, чем сумма уплаченного налога плюс издержки производства. При данном налоге производство убыточно!

1. Цена w( x) = a bx на продукцию линейно падает с ростом поставки x товаров на рынки, и издержки производства выражаются линейной формулой: C ( x) = cx + d. Даны параметры фирмы: a = 50, b = 2, c = 6, d = 5. Найти: а) оптимальный объем производства, цену продукции и прибыль фирмы при этом объеме до введения акцизного налога;

б)оптимальную ставку акцизного налога и сам налог; в) соответствующие этой ставке объем производства, цену продукции и доход фирмы.

оптимальной ставке равен 2. В небольшой теплице ежедневно снимаемый урожай огурцов y (кг) зависит от числа работников x по формуле y = 4 x + 4 ln x. Найдите оптимальное число работников, если дневная зарплата работника равна доходу от продажи 2 кг огурцов.

ЛР № 26. Схемы основных налогов производственной фирмы.

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ

1. Прочитать лекцию № 29 и разобрать типовые численные промеры.

2. Вариант задания для слушателя составляет преподаватель, используя для слушателя комбинацию примеров для самостоятельного решения из текста лекции и соответствующий номер слушателя в журнале группы.

3. Выполнить задание Лекция № 30. Математические схемы основных налогов рынка.

Классическая модель (совершенный рынок одного товара).