[ «1.3.3. Трудоемкость ООП ВПО: 330 зачетных единиц 1.4. Требования к абитуриенту Абитуриент должен иметь документ государственного образца о среднем (полном) общем образовании или среднем профессиональном образовании. 2. ...»
их формализации, анализа и Владеть: основными методами математического моделирования, выработки решения алгебраическим аппаратом для решения соответствующих математических задач.
3 ПК-2 – способностью приме- Знать: основные виды соединений (размещения, перестановки вычислительной техники, для решения профессиональных задач свойства колец и полей вычетов, конечных полей, широко применяемых в криптографии;
Уметь: применять алгебраический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для получения математических моделей информационно аналитических систем безопасности.
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Общая трудоемкость дисциплины составляет:7 зачетных единиц, 252 часа.
4.2. Виды и объемы учебной работы по дисциплине Аудиторные занятия (всего/в интерактивной форме):
В том числе:
Лабораторные работы (лаб) (всего/ в интерактивной форме) Практические, семинарские занятия (прк) (всего/ 54/0 18/0 36/ в интерактивной форме) Самостоятельная работе (ср) (всего):
В том числе:
Курсовой проект (курсовая работа) (кпр), (крб) В том числе практические занятия по курсовому проекту (работе) (пкп), (пкр) Проработка лекционного материала, подготовка к тиям вателя (кср) В том числе текущий контроль (количе- 6/6/2кр+3инд Промежуточная аттестация (экзамен (Э)/зачет (З)/зачет с оценкой (заО)/час) емкость дисциЗач. ед.:
плины:
Номер семестра IV. Делимость Отношение делимои сравнимость сти целых чисел.
в кольце целых Теорема о делении с V. Поле ком- Определение и суплексных чи- ществование поля одной перемен- одной переменной VII. Матрицы, Операции над матопределители и рицами и их св-ва.
нейных урав- ратных матриц и их ные (линейные) меры и простейшие пространства свойства векторных размерность векторного пространства. Подпространства. Изоморфизм IX. Евклидовы Понятие евклидова пространства. пространства. Ортогональные системы преобразования преобразования и степени над простым конечным полем. Описание конечных полей и алгоритм их построения.
* – включая кп (кр) и кср; ** – включая пкп (пкр).
4.4. Лабораторные работы / практические занятия Номер Номер не- Раздел учебной дисци- Наименование лабораторной раВсего часов VII. Матрицы, определинейных уравнений методом лители и системы лиКрамера.
VIII. Векторные (лиБазис и размерность векторнонейные) пространства X. Линейные преобраего ранг и дефект.
4.5. Примерная тематика курсовых проектов (работ) Не предусмотрены.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Применяется компетентностный подход в обучении математике, проблемный метод при чтения лекций, ИКТ и др. Более 50% занятий проводится в активных и интерактивных формах.
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
Номер Номер Раздел учебной дисци- Вид самостоятельной работы II. Элементы комбина- практическим занятиям, самостоятельное изучение теторики III. Основные алгеб- практическим занятиям, самостоятельное изучение тераические структуры VII. Матрицы, опреде- задания, самостоятельное лители и системы ли- изучение тем «Исследование VIII. Векторные (липрактическим занятиям и нейные) пространства практическим занятиям, самостоятельное изучение теIX. Евклидовы промы «Приведение квадратичстранства Работа по изучению теореX. Линейные преобра- тического материала, выполнение домашних заданий и7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Номер Номер Раздел учебной дисВиды контроля Оценочные средства Тематика эссе, рефератов, контрольных работ, заданий, контрольные вопросы, задания для текущего контроля.Темы рефератов для научной конференции:
1. Простые числа Ферма.
2. Простые числа Мерсенна.
3. Совершенные числа.
4. Дружественные пары чисел.
5. Аффинный шифр и его криптоанализ.
6. Шифр Виженера.
7. Криптосистема RSA.
Контрольные вопросы, задания для текущего контроля.
Контрольные вопросы по темам ««Теоретико-множественная и логическая символика и терминология» и «Элементы комбинаторики»
1. Через N обозначается множество всех ………………………..…..… чисел.
2. Через R обозначается множество всех …………………………….… чисел.
3. Через Q обозначается множество всех ………………………….…… чисел.
4. Через Z обозначается множество всех …………………………….… чисел.
5. Высказывание ( x 7. Высказывание ( x 8. Высказывание ( x 13. Число размещений с повторениями из n элементов по k вычисляется по формуле ……………………………………………………………………..….
14. Число отображений k-множества в n-множество равно ………………...
15. Число всех подмножеств n-множества равно ……………………………...
16. Число размещений (без повторений) из n элементов по k вычисляется по формуле ………………………………………………………………………...
17. Число перестановок n-множества вычисляется по формуле …………….
………………………………………………………………………………..
19. Число четных (нечетных) перестановок n–множества равно ……….. (…………..).
20. Перестановка 5, 3, 4, 1, 2 является (чётной, нечётной).
Примечание. В случае, если надо выбрать верный ответ из двух вариантов, то необходимо ненужное зачеркнуть.
Контрольная работа теме «Делимость и сравнимость целых чисел»
Примерный вариант 1. Найти:
3) 1) НОД (a, b) и НОК (a, b) c помощью канонических разложений чисел a, b;
4) 2) НОД (a, b) помощью алгоритма Евклида и НОК(a,b) по формуле;
5) представление НОД (a, b) = d в виде au + bv = d;
6) значения функции Эйлера для чисел a и b;
если a = 676, b = 572.
2. Найти группу всех обратимых элементов и множество всех делителей нуля кольца вычетов Z12.
Для каждого обратимого элемента указать ему обратный и для каждого делителя нуля указать соответствующий ненулевой множитель.
3. Образуют ли приведенную систему вычетов по модулю 8 следующие числа:
-7, -21, 45, 271.
Индивидуальное задание темам «Алгебраические сравнения с переменной», «Комплексные числа»
Примерный вариант 1. Решить сравнения:
а) 15х 25 (mod 35) методом равносильных преобразований б) 3х 1 (mod 13) методом Эйлера;
в) 32х 63 (mod 113) методом обобщенного алгоритма Евклида.
3. Извлечь корень и дать геометрическое истолкование: 4. Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа z, для которых одновременно: z 1 i < 4 и arg z.
5. Вычислить, используя формулу бинома Ньютона, 2 i.
Индивидуальное задание по теме «Многочлены от одной переменной».
1. Найти НОД и НОК многочленов: f ( x) x 4 x 3 2 x 2, g ( x) x 3 x.
4. Найти каноническое разложение многочлена f ( x) x 81 над полями Q, R, C.
5. Составить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий Найти и сам кратный корень.
Индивидуальное задание по теме «Системы линейных уравнений, матрицы и определители»
1. Решить матричное уравнение (обратную матрицу находить с помощью определителей:
2. Решить систему по правилу Крамера:
4. Найти фундаментальный набор решений для однородной системы линейных уравнений:
Индивидуальное задание теме ««Векторные и евклидовы пространства».
1. Найти какой-нибудь базис системы векторов. Выразить через него все остальные векторы данной системы:
2. Определить компоненты вектора так, чтобы система векторов была линейно зависимой:
пространства R и найти его базис и размерность.
4. Посредством процесса ортогонализации найти ортогональный базис линейной оболочки векторов:
подпространстве, натянутом на векторы a1 = (0, 1, 2) и a2 = (1, 1, 1), а другой ортогонален этому пространству.
6. Привести следующую квадратичную форму к сумме квадратов:
1. Какое из следующих утверждений верно:
1) множество четных целых чисел является группой относительно операции вычитания;
2) множество положительных действительных чисел является группой относительно сложения;
3) множество чисел a b 2 с целыми a и b является кольцом и не является полем относительно операций сложения и умножения;
4) множество чисел a b 2 с целыми a и b является группой относительно сложения и полем относительно сложения и умножения;
5) множество всех ненулевых действительных чисел является полем относительно сложения и умножения?
2. Какое из множеств является кольцом, но не является полем относительно операций сложения и умножения:
1) множество матриц вида 2) множество матриц вида 3) множество матриц вида 4) множество матриц вида 5) множество матриц вида 3. Пусть K – множество всех многочленов с чётными целыми коэффициентами. Какое из следующих утверждений верно:
1) K – группа относительно операций сложения и умножения;
2) K – поле относительно операций сложения и умножения;
3) K – не является кольцом относительно операций сложения и умножения;
4) K относительно операций сложения и умножения является кольцом и не является полем;
5) K – группа относительно операции вычитания и группа относительно операции сложения.
4. Какое из следующих утверждений верно:
1) множество нечетных целых чисел является кольцом относительно операций сложения и умножения;
2) множество ненулевых комплексных чисел является группой относительно сложения;
3) множество 1, 1, i, i является группой относительно умножения и не является группой относительно сложения;
4) множество чисел вида 2a 2bi с целыми a и b является полем относительно операций сложения и умножения;
5) множество комплексных чисел является группой относительно умножения и относительно сложения.
5. Какое из следующих утверждений верно:
1) множество чисел вида a b 3 с целыми a и b является полем относительно операций сложения и умножения;
2) множество положительных рациональных чисел является группой относительно сложения;
3) множество целых чисел, кратных 3, является группой относительно операции вычитания;
4) множество чисел вида a b 3 с целыми a и b является кольцом и не является полем относительно операций сложения и умножения;
5) множество всех ненулевых рациональных чисел является полем относительно операций сложения и умножения?
Итоговый тест по всем темам для проверки остаточных знаний студентов Указания: Все задания имеют 5 вариантов ответа, из которых правильный только один. Номер выбранного Вами ответа обведите кружочком в бланке для ответов.
имеет бесконечное множество решений?
Если i2 = -1, то (1+i)3=...
2+2i; 2) 2i-2; 3) -2-2i; 4) 2-2i ; 5) 2i.
5. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из чисел 0, 1, 2, 3, 4?
Наибольший общий делитель чисел 360, 525, 154 лежит на отрезке:
2) [11;15]; 3) [16;25]; 4) [25;31]; 5) [32;37].
7. Найти многочлен с действительными коэффициентами наименьшей степени, корнями которого являются числа 2, 1+i.
1 (mod 10); 2) х 2 (mod 10); 3) х 1,7 (mod 10);
9. Какое из следующих утверждений верно:
6) множество четных чисел является группой относительно операции вычитания;
7) множество положительных действительных чисел является группой относительно сложения;
8) множество чисел a b 2 с целыми a и b является кольцом и не является полем относительно операций сложения и умножения;
9) множество чисел a b 2 с целыми a и b является группой относительно сложения и полем относительно сложения и умножения;
10) множество всех ненулевых действительных чисел является полем относительно сложения и 10. Сколько рациональных корней имеет многочлен f ( x) 5x 4 2 x 3 8x 2 13 x 6 ?
11. Многочлен f ( x) x 6 x 1) неприводим над С; 2) неприводим над R; 3) приводим над Q;
4) неприводим над Q; 5) приводим над Z.
12. Остаток от деления многочлена f ( x) 2 x 5 3x 4 4 x 3 2 x 2 5x 7 на двучлен x 2 равен:
{1}; 2) {1,2}; 3) {1,3,7,9}; 4) {1,2,3,4,5}; 5) {1,5,7}.
14. Порядок числа 2 в аддитивной группе кольца вычетов Z12 равен:
Вопросы для экзамена (экзаменационные билеты). (1-й семестр) 1. Основные правила комбинаторики: правила суммы и произведения. Основной принцип комбинаторики.
2. Размещения с повторениями и их число. Число отображений k-множества в n-множество (принцип ящиков). Число подмножеств конечного множества.
3. Размещения и перестановки без повторений, их число.
4. Сочетания без повторений, их число и свойства. Треугольник Паскаля и его свойства.
5. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.
6. Понятие инверсии в перестановке. Правило подсчета числа инверсий. Теорема о транспозиции в перестановке.
7. Число четных и нечетных перестановок.
8. Подстановки, их число и четность. Число четных и нечетных подстановок.
9. Понятие делимости целых чисел и его свойства.
10. Теорема о делении с остатком для целых чисел.
11. НОД целых чисел и его нахождение с помощью алгоритма Евклида.
12. Теорема о линейном представлении НОД двух чисел и ее следствия.
13. Взаимно простые числа и их свойства.
14. НОК целых чисел и теорема о нем.
15. Простые и составные числа. Свойства простых чисел.
16. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.
17. Число натуральных делителей данного числа.
18. Сумма натуральных делителей данного числа.
19. Сравнения по модулю и их свойства.
20. Полные системы вычетов и теоремы о них.
21. Функция Эйлера и формула для вычисления ее значений.
22. Приведенные системы вычетов и теоремы о них.
23. Теоремы Эйлера и Ферма.
24. Кольца и поля классов вычетов целых чисел. Примеры.
25. Алгебраические сравнения с переменной и их равносильность.
26. Исследование и решение сравнений первой степени.
27. Алгебраические сравнения по простому модулю и теорема о понижении их степени.
28. Построение системы комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической 29. Свойства сопряженных комплексных чисел.
30. Модуль и аргумент комплексного числа, их геометрический смысл. Тригонометрическая форма комплексного числа.
31. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Корни n-й степени из комплексных чисел, их геометрический смысл.
32.
Корни n-й степени из единицы, их свойства. Первообразные корни.
33.
Связь корней n-й степени из комплексных чисел с корнями n-й степени из единицы.
34.
35. Построение кольца многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом с единицей.
Свойства степени суммы и произведения двух многочленов.
36. Теорема о делении с остатком для многочленов.
37. Теорема Безу и схема Горнера.
38. Понятие корня многочлена и его характеристическое свойство. Теорема о числе корней многочлена над областью целостности.
39. НОД многочленов и его нахождение с помощью алгоритма Евклида.
40. Теорема о линейном представлении НОД двух многочленов и ее следствия.
41. Взаимно простые многочлены и их свойства.
42. НОК многочленов и теорема о нем.
43. Приводимые и неприводимые многочлены. Свойства неприводимых многочленов. Теорема о разложимости многочлена в произведение неприводимых.
44. Критерий приводимости многочленов 2-й и 3-ей степени над полем.
45. Производная многочлена и ее свойства. Формула Тейлора для многочлена.
46. Теорема о кратности неприводимого множителя многочлена и его производной и ее следствия.
47. Основная теорема алгебры (без док-ва) и ее следствия (о неприводимых многочленах, о числе корней, теорема Виета).
48. Теорема о сопряженности мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над R многочлены.
49. Теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами и ее следствия. Алгоритм нахождения рациональных корней.
50. Критерий неприводимости Эйзенштейна и его следствие.
Вопросы, которые необходимо знать без доказательства:
51. Понятие бинарной алгебраической операции и его свойства. Примеры. Нейтральные и симметричные элементы. Примеры.
52. Понятие полугруппы и моноида. Примеры. Свободные полугруппы и коды. Произведение элементов в полугруппе. Натуральная степень элемента в полугруппе и ее свойства.
53. Понятие группы, простейшие свойства групп. Примеры. Целая степень элемента в группе и ее свойства.
54. Группа обратимых элементов моноида. Примеры.
55. Умножение подстановок. Симметрическая и знакопеременная группы подстановок.
56. Понятие кольца и его простейшие свойства. Примеры.
57. Отношение делимости в коммутативном кольце с единицей и его свойства.
58. Отношение ассоциированности в коммутативном кольце с единицей и его свойства. Простые и разложимые элементы.
59. Понятие поля и его простейшие свойства. Примеры. Частное элементов в поле и его свойства.
60. Изоморфизм группоидов, полугрупп, моноидов. Примеры.
61. Изоморфизм колец и полей. Примеры.
62. Полполугруппы, подмоноиды, подгруппы и теоремы о них. Примеры.
63. Подкольца и подполя и теоремы о них. Примеры.
64. Понятие поля частных. Примеры. Существование поля частных для области целостности.
65. Характеристика кольца, поля и теоремы о ней.
66. Поле рациональных дробей. Представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Пример.
67. Понятие простейшей дроби. Представление правильной дроби в виде суммы простейших. Пример.
Вопросы и задания для экзамена (экзаменационные билеты). (2-й семестр) Вопросы, которые необходимо знать с доказательством:
1. Определение, примеры и простейшие свойства векторных пространств. Подпространство и теорема о нем. Примеры: линейная оболочка векторов и множество решений однородной системы линейных уравнений.
2. Понятия линейно зависимой и линейно независимой системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.
3. Линейно зависимые и независимые системы векторов и их свойства. Примеры.Линейная независимость ступенчатой системы векторов.
4. Размерность и базис векторного пространства. Примеры. Прямая теорема о базисе. Координаты вектора в базисе и их свойства.
5. Обратная теорема о базисе векторного пространства. Дополнение линейно независимой системы векторов до базиса векторного пространства.
6. Преобразование координат при изменении базиса.
7. Понятие ранга и базиса конечной системы векторов. Размерность линейной оболочки векторов и пространства решений однородной системы линейных уравнений.
8. Пересечение и сумма подпространств и теоремы о том, что они являются подпространствами.
9. Прямая сумма подпространств и теорема о ней.
10. Теорема о размерности суммы двух подпространств и ее следствие для прямой суммы (идея доква).
11. Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности.
12. Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского в евклидовом пространстве.
Длина (норма) вектора. Угол между векторами. Примеры.
13. Линейная независимость системы ненулевых ортогональных векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства и его существование (процесс ортогонализации).
14. Ортогональное дополнение к подпространству и теорема о том, что оно является подпространством. Условие ортогональности вектора линейной оболочке векторов.
15. Теорема о разложении евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
16. Теоремы о скалярном произведении векторов в ортонормированном базисе.
17. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.
18. Линейные операторы векторных пространств, их простейшие свойства. Примеры. Задание линейного оператора с помощью отображения базиса. Понятие матрицы линейного оператора.
19. Связь между координатами вектора и его образа при линейном операторе.
20. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.
21. Образ и ядро линейного оператора и теоремы о том, что они являются подпространствами. Понятия ранга и дефекта линейного оператора.
22. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора (идея док-ва).
23. Связь между рангом и дефектом линейного оператора и рангом и дефектом его матрицы.
24. Собственные векторы и собственные значения, их свойства. Примеры.
25. Существование и нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
26. Понятие характеристического многочлена линейного оператора и независимость его от выбора базиса.
27. Условия, при которых матрица линейного оператора приводится к диагональной.
28. Понятия циклической подгруппы и группы. Примеры. Теорема о связи между порядком элемента и порядком циклической подгруппы, им порожденной.
29. Характеризация циклических групп.
30. Смежные классы и их свойства.
31. Теорема Лагранжа и ее следствие о группе простого порядка. Примеры.
32. Отношение сопряженности для элементов группы и его свойства. Разбиение группы на классы сопряженности. Примеры.
33. Понятие нормального делителя. Теорема о нормальном делителе. Понятие факторгруппы. Примеры.
34. Понятие гомоморфизма групп. Примеры. Теорема о свойствах гомоморфизма.
35. Естественный гомоморфизм групп. Теорема о ядре естественного гомоморфизма. Пример.
36. Понятие ядра гомоморфизма групп. Примеры. Теорема о том, что ядро является нормальным делителем.
37. Теорема о ядре взаимно-однозначного гомоморфизма групп и о связи образов элемента при гомоморфизме и смежными классами по ядру.
38. Основная теорема о гомоморфизмах групп. Пример.
39. Понятие идеала кольца, главного идеала. Теорема об идеале, порожденном делителем единицы, и ее следствия.
40. Понятие и свойства сравнения по идеалу. Факторкольцо. Пример.
41. Кольцо классов вычетов целых чисел. Необходимое и достаточное условие того, чтобы оно было 42. Гомоморфизмы колец и их свойства. Пример.
43. Естественный гомоморфизм колец. Теорема о ядре естественного гомоморфизма.
44. Понятие ядра кольцевого гомоморфизма. Примеры. Теорема о том, что ядро является идеалом.
45. Теоремы о ядре взаимно-однозначного гомоморфизма колец и о связи образов элемента при гомоморфизме и классами вычетов по ядру. Основная теорема о гомоморфизмах колец. Пример.
46. Понятие кольца главных идеалов. Доказать, что кольцо целых чисел и кольцо многочленов от одной переменной над полем являются кольцами главных идеалов.
47. Характеристика поля. Простые поля и их описание.
48. Порядок конечного поля и цикличность его мультипликативной группы (без док-ва). Алгоритм построения конечного поля данного порядка.
Вопросы, в которых необходимо знать определение понятий и формулировку утверждений, уметь иллюстрировать их примерами и применять к решению задач 49. Определители 2-го и 3-го порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Понятие определителя nго порядка.
50. При каких преобразованиях определитель не меняется?
51. Как изменяется определитель, если: 1) поменять местами две строки; 2) умножить строку (столбец) на число к?
52. Основное свойство определителя о разложении его по элементам строки или столбца.
53. Теорема о сумме произведений элементов какой-нибудь строки на алгебраические дополнения другой строки.
54. Матрицы. Операции над матрицами, их свойства.
55. Ранг матрицы как наивысший порядок отличных от нуля миноров. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
56. Определитель произведения двух матриц.
57. Нахождение обратной матрицы с помощью определителей.
58. Исследование и решение систем линейных уравнений с помощью определителей (правило Крамера).
59. Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
60. Условие совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Каппели). Теорема о числе решений.
61. Теоремы о ненулевых решениях однородной системы линейных уравнений.
62. Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
63. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной системой линейных уравнений.
64. Фундаментальный набор решений однородной системы и теорема о нем.
65. Линейная зависимость большей системы векторов, линейно выражающейся через меньшую.
66. Свойства ортогонального дополнения.
67. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Положительный и отрицательный индексы, сигнатура и ранг квадратичной формы. Закон инерции.
68. Операции сложения, умножения и пересечения идеалов и теорема о них. Примеры.
69. Операции над линейными операторами и их свойства.
70. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры квадратных матриц.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
образованию в области информационной 8.2. Дополнительная литература Лекции по алгебре: Учебное пособие. 5-е изд., стер.http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=397 2007.
Гриф Министерства образования и науки РФ http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=399 ский И.С. 2008.
Гриф Министерства общего и профессион.образования РФ.
8.3. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы Электронно-библиотечная система Издательство "Лань".
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
9.1. Требования к аудиториям (лабораториям, помещениям, кабинетам) для проведения занятий с указанием соответствующего оснащения.Аудитории, оборудованные мультимедиа средствами. Лабораторные занятия по дисциплине учебным планом не предусмотрены.
9.2. Требования к программному обеспечению, используемому при изучении учебной дисциплины.
Программное обеспечение не требуется, так как лабораторные занятия по дисциплине учебным планом не предусмотрены.
Автор рабочей программы:
10. ИЗМЕНЕНИЯ, ВНЕСЕННЫЕ В РАБОЧУЮ ПРОГРАММУ:
Автор – _ _ Должность, уч. степень, уч. звание Подпись, дата, И. О. Ф.Автор – _ _ Должность, уч. степень, уч. звание Подпись, дата, И. О. Ф.
Автор – _ _ Должность, уч. степень, уч. звание Подпись, дата, И. О. Ф.
В 2015 г.
Автор – _ _ Должность, уч. степень, уч. звание Подпись, дата, И. О. Ф.
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Целями освоения учебной дисциплины Геометрия являются: развитие логического мышления студентов; изучение основных понятий и методов аналитической геометрии и векторного исчисления и способов их применения к анализу и решению задач, возникающих при математическом моделировании; создание прочного фундамента знаний, необходимого студентам для дальнейшего изучения математических, общеобразовательных и специальных дисциплин.
2. МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Учебная дисциплина Геометрия относится к базовой части (дисциплина Б. 1 либо Б. – Математического и естественнонаучного цикла).Для изучения данной дисциплины необходимы следующие знания: понятия целого, рационального и действительного числа и арифметических операций с ними; основные понятия школьного курса геометрии; основные понятия и формулы тригонометрии; умения:
решать простейшие уравнения и неравенства; преобразовывать аналитические выражения;
строить на плоскости точки и линии; изображать векторы и производить действия с ними аналитически и геометрически.
Наименования последующих учебных дисциплин:
- математический анализ;
- физика;
- дискретная математика;
- теория вероятностей и математическая статистика;
- методы математического моделирования;
- теория информации и кодирования;
- дисциплины специализаций.
3. КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ / ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБРАЗОВАНИЯ И КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА ПО ЗАВЕРШЕНИИ ОСВОЕНИЯ
ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ОК-10 – способен применять методы Знать:геометрии как средство познания, при- гебры, и аналитической геометрии;
ПК-1 – способен выявлять и анализировать количественные соотношения и их геометрические формы, возникающие в ходе профессиональной деятельности Уметь:
аналитической геометрии для расчета, ры и аналитической геометрии;
ПК-2 – способен применять математический аппарат векторной алгебры и аналитической геометрии для решения профессиональных задач, в том числе с использованием вычислительной техни- Владеть:
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Общая трудоемкость дисциплины составляет:2 зачетных единиц, 72 часа.
4.2. Виды и объемы учебной работы по дисциплине Геометрия Самостоятельная работе (ср) (всего):
В том числе:
Расчетно-графические работы (количество/час/вид) Контроль самостоятельной работы преподавателем (кср) ство/час/вид) Проработка лекционного материала, подготовка к там и зачету Промежуточная аттестация (экзамен (Э)/зачет (З)/зачет с оценкой (заО)/час) плины:
4.3. Разделы учебной дисциплины 4.4. Практические занятия 5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
лекция классическая (основное содержание лекции представляется в рисунках, графиках, блок-схемах, таблицах на доске);
лекция-визуализация (часть содержания лекции может быть представлена в электронной форме на мультимедиа проекторе).
5.2. Обучение по данной учебной дисциплине, предполагает следующие формы занятий:
практические аудиторные занятия с группой под руководством преподавателя;
самостоятельная работа студента при подготовке к практическим занятиям и контрольным работам (в том числе работа с сервером ОмГУПСа);
аудиторные занятия КСР для проведения самостоятельных работ, компьютерного тестирования студентов в конце семестра.
5.3. Студенты имеют доступ к учебно-методическому комплексу дисциплины, представленному в электронной форме в университетской сети, в первую очередь к тренировочным материалам по подготовке к самостоятельным работам, материалам зачета.
5.4. Занятия в активной и интерактивной формах не запланированы ввиду малого объема учебной дисциплины.
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
семестра недели Векторная Работа с электронными материалами подготовки к Самостоятельной работе «Вектоалгебра ры. Действия с векторами. Произведения векторов» (ГЕСАМ0)7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1 6,12,18 Все Балльная оценка по итогам контрольных недель семестра балльной оценкой качества знаний (приложение к календарному плану)УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАЧЕТА
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Вектор. Ортогональность. Коллинеарность. Компланарность. Координаты вектора. Длина вектора. Орт вектора. Линейные операции над векторами.(геометрически и алгебраически).
2. Проекция вектора на ось (определение с иллюстрациями). Формула проекции вектора на вектор. Линейность проекции. Скалярное произведение векторов: определение, формулы вычисления, свойства, использование.
3. Векторное произведение: определение, формулы вычисления, свойства, использование. Смешанное произведение: определение, формулы вычисления, свойства, использование.
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
4. Введение в аналитическую геометрию. Уравнения линий и уравнения поверхностей. Алгебраическая линия и ее порядок. Примеры линий на плоскости и поверхностей в пространстве.5. Прямая на плоскости. Уравнения: общее, каноническое, с угловым коэффициентом, нормальное. Переходы.
6. Прямая на плоскости. Пучок прямых. Способы составления уравнения прямой. Угол между прямыми. Параллельность и перпендикулярность.
расстояние от точки до прямой.
7. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Геометрические иллюстрации. Общее уравнение кривой второго порядка.
Определение типа кривой по коэффициентам. Вырожденные случаи.
8. Плоскость в пространстве. Вывод канонического уравнения плоскости. Уравнения: общее, в отрезках, нормальное. Расстояние от точки до плоскости.
Алгоритм решения задачи об уравнении плоскости через три точки.
9. Прямая в пространстве. Вывод канонических уравнений прямой. Уравнения: общие, уравнения через две точки, параметрические. Алгоритм решения задачи о пересечении прямой и плоскости.
10. Поверхности второго порядка: общее уравнение, таблица поверхностей, метод сечений. Цилиндрические поверхности.
11. Полярная система координат. Связь полярной и декартовой систем координат на плоскости. Системы координат в пространстве на основе полярной СК:
цилиндрическая СК, сферическая СК.
ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАЧЕТА
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ: Составить все виды уравнений прямой и построить ее на плоскости:2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ: Составить уравнения параллельной и перпендикулярной прямых, проходящих через заданную точку плоскости.
3. СОСТАВИТЬ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ:
4. НАЙТИ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ:
5. КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА: Определить тип кривой по коэффициентам общего уравнения. Получить каноническое уравнение кривой.
6. НАЙТИ ОБЪЁМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, ПОСТРОЕННОГО НА ТРЕХ ВЕКТОРАХ:
7. НАЙТИ ВСЕ ВОЗМОЖНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ:
8. ВЫБРАТЬ ПАРЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ ИЗ ЗАДАННОГО СПИСКА:
9. ВЫБРАТЬ ПАРЫ КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ ИЗ СПИСКА:
10. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА: Получить каноническое уравнение поверхности. Определить ее тип и положение в пространстве.
8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
8.1. Основная литература 1 Конспект лекций по высшей математи- Письменный Д. Т. М.: Айрис Пресс, 2007.3 Линейная алгебра и аналитическая гео- Киркинский А. С. М.: Академический Проект, 2006.
метрия: Учебное пособие, 8.2. Дополнительная литература 1 Сборник задач по высшей математике. Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., М.: Рольф, 2001.
8.3. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы внутренняя учебная сеть вуза;
учебный сервер кафедры;
http://www.sci-lib.com – большая научная библиотека (книги по математике, физике, химии, биологии, технике, медицине, программированию и пр.);
http://www.umup.narod.ru – библиотека технической литературы (книги по технике, математике, физике, основам программирования и т.п.);
http://www.mccme.ru – Free books (книги по математике, лекции, сборники задач, программы курсов и http://elibr.narod.ru/Books-pdf.htm – научная библиотека МГУ;
поисковые системы Интернета (Google, Яндекс, Irbis и др);
http://e.lanbook.com/ (электронно-библиотечная система издательства «Лань»).
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
9.1. Требования к аудиториям (лабораториям, помещениям, кабинетам) для проведения занятий с указанием соответствующего оснащения.Лекционные аудитории должны быть оснащены стеклоэмалевой доской для записей мелом, достаточным количеством столов и стульев для размещения студентов. Желательно оснащение аудитории персональным компьютером, мультимедиа проектором и экраном.
Аудитории для практических занятий должны быть оснащены стеклоэмалевой доской для записей мелом, достаточным количеством столов и стульев для размещения студентов.
Аудитории для занятий КСР должны быть оснащены так же, как и аудитории для практических занятий.
9.2. Требования к программному обеспечению, используемому при изучении учебной дисциплины.
Для изучения дисциплины может быть использовано лицензионное программное обеспечение: MathCAD, Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word, программы архивации WinRAR, браузер Internet Explorer для работы в глобальной сети; программное обеспечение свободного доступа: Advanced Grapher; авторские программные средства для решения геометрических задач. Для самостоятельной работы студентов применяется внутренняя учебная сеть ОмГУПСа и учебный сервер кафедры, где размещены электронные учебные пособия, а также авторские электронные материалы по выполнению типовых расчетов, контрольных и самостоятельных работ.
Автор рабочей программы:
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Целями освоения учебной дисциплины «Математический анализ» являются:Изучение законов, закономерностей математики с целью сформировать у студентов математический фундамент как средство изучения окружающего мира и успешного освоения дисциплин математического и профессионального циклов;
Совершенствование навыков математического мышления обучаемых;
Обучение аналитическим и расчетным методам работы с функциями, применимым в профессиональной деятельности.
2. МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Учебная дисциплина Математический анализ относится к базовой части «Б. 2 – Математического и естественнонаучного цикла».Для успешного изучения данной дисциплины требуются знания, умения и навыки, приобретённые обучающимися в средней школе, а также методы и модели линейной алгебры и аналитической геометрии, изучаемые в соответствующей дисциплине первого семестра первого курса. Специальных умений и компетенций не требуется.
Наименования предшествующих учебных дисциплин:
Наименования последующих учебных дисциплин:
- дискретная математика;
- теория вероятностей и математическая статистика;
- методы математического моделирования;
- теория информации и кодирования;
- дисциплины специализаций.
3. КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ / ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБРАЗОВАНИЯ И КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА ПО ЗАВЕРШЕНИИ ОСВОЕНИЯ
ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ОК-10 – способен применять методы Знать:математического анализа как средство изменения вида профессиональной деяобыкновенных дифференциальных уравнений;
ПК-1 – способен выявлять и анализировать функциональные связи, возникаУметь:
ющие в ходе профессиональной деяопределять возможности применения метельности и применять математический аппарат дифференциального и интерасчетных и исследовательских задач;
грального исчисления, теории дифферешать основные задачи на вычисление ренциальных уравнений и теории рядов пределов функций, дифференцирование и интедля расчета, анализа и выработки решегрирование, на разложение функций в ряды;
виде дифференциальных уравнений, функциоПК-2 – способен применять математи- нальных рядов, задач на поиск экстремумов ческий аппарат исследования функций функции при решении задач в профессиональной для решения профессиональных задач, в области.
том числе с использованием вычислительной техники
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Общая трудоемкость дисциплины составляет:12 зачетных единиц, 432 часа.
4.2. Виды и объемы учебной работы по дисциплине Математический анализ Вид учебной работы В том числе:
Практические, семинарские занятия (прк) Самостоятельная работа (срс) (всего):
В том числе:
Курсовой проект (курсовая работа) (кпр), (крб) В том числе практические боте) (пкп), (пкр) Расчетно-графические работы (количество/час/вид) Самостоятельная работа под контролем преподавателя (кср) нятиям Другие виды самостоятельной работы Промежуточная аттестация оценкой (заО)/час) плины:
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
одной действиПредел функции в точке и на бесконечнотельной перемен- сти. Бесконечно малые и бесконечно Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва, их классификация. СвойстваПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
исчисление функсвойства. Устройство неопределенного ций одной переинтеграла и способы интегрирования. Табменной интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование простейших тригонометрических и гиперболических выражений. Интегрирование рациональных дробей от тригонометрических функций. Интегрирование некоторыхОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
деленного интеграла. Определенный интеисчисление функграл, его свойства. Формула Ньютонаций одной переЛейбница и интеграл с переменным верхменной способы исследования и вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и отОБЗОРНАЯ ЧАСТЬ. ПРИЛОЖЕНИЯ
гральное исчисленые работы, определеТеоремы дифференциального и интение функций одгрального исчисления. Теорема Ферма. ние рейтинга студентаИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. ОбщаяФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
альное исчисление функций нескольсмысл частных производных. Полный ких действительдифференциал, его связь с частными проных переменных изводными. Дифференцируемость. Чувствительности. Частные производные и направлению. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Алгоритмы поиска локальных иКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
исчисление функинтеграл и его свойства. Сведение двойноций нескольких Преобразование координат в двойном инпеременных теграле. Якобиан преобразования. Тройной интеграл и его свойства. Правильные и неправильные области трехмерного пространства. Сведение тройного интеграла кТЕОРИЯ ПОЛЯ
ного поля, его физический смысл. Криволинейные интегралы. Их свойства и вычисление. Поверхности и их свойства. Поверхностные интегралы. Их свойства и вычисление. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. ПотокОБЗОРНАЯ ЧАСТЬ. ПРИЛОЖЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
дифференциаль- уравнений. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для Фурье и интеграл гонометрические ряды Фурье. Периодические продолжения функций.
его свойства. Алгоритмы получения спектра сигнала и восстановления сигнала по 4.4. Практические занятия 1 10 Неопределенный интеграл Интегрирование дробно-рациональных функций. Освоение алгоритма. Пр. Приложения (дифференциальное и интегральное исчис- Определенный интеграл. Решение задач на оценку несобственных интегралов (проПр.
В Т О Р О Й С Е М Е С ТР
функций одной и нескольких Линейная и квадратичная аппроксимация функций одной переменной по методу переменных, теория поля). наименьших квадратов (командное соревнование).
Т Р Е Т И Й С Е М Е С ТР
4.5. Тематика курсовых работ – Курсовые проекты (работы) не предусмотрены.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
5.1. Чтение лекций с применением классических технологий.– лекция классическая (основное содержание лекции представляется в рисунках, графиках, блок-схемах, таблицах на доске);
– лекция-визуализация (часть содержания лекции может быть представлена в электронной форме на мультимедиа проекторе).
5.2. Обучение по данной учебной дисциплине, предполагает следующие формы занятий:
– практические аудиторные занятия с группой под руководством преподавателя;
– обязательная самостоятельная работа студента по заданию преподавателя, выполняемая во внеаудиторное время, в том числе с использованием программного обеспечения (MathCAD, Advanced Grapher или авторские программы при выполнении типовых расчетов);
– самостоятельная работа студента при подготовке к практическим занятиям и контрольным работам (в том числе работа с сервером ОмГУПСа);
– аудиторные занятия КСР для проведения контрольных и самостоятельных работ, решения проблемных задач с применением программных продуктов, компьютерного тестирования студентов в конце семестра.
5.3. Студенты имеют доступ к учебно-методическому комплексу дисциплины, представленному в электронной форме в университетской сети, в первую очередь ко всем учебно-методическим разработкам кафедры по организации самостоятельной работы: выполнению типовых расчетных заданий, использованию компьютерных технологий при их выполнении, тренировочным материалам по подготовке к контрольным работам и самостоятельным работам, материалам экзамена и зачета.
5.4. Занятия в активной и интерактивной формах проводятся в объеме 48 часов из общих 242 аудиторных часов (198 часов+ КСР), что составляет 20%.
– на практических занятиях – 22 часа (ролевые игры, командные соревнования, проблемные занятия);
– на занятиях КСР – 26 часов (решение задач с применением программного обеспечения, компьютерное тестирование).
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
семестра недели 2 Исследование функций одТиповой расчет ТР-ИФ «Исследование функций и построение графиков» Криволинейные и поверхностные интегралы. Типовой расчет ТР-КИТ «Кратные интегралы и теория поля. Часть 2» Обыкновенные дифференциТиповой расчет ТР-ДУ «Дифференциальные уравнения первого порядка и Линейные Проработка лекционного материала, подготовка к практическим занятиям. Самостоятельное изучение специальных вопросов.
7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
1 Введение в математиТестирование по графикам элементарных функций Оценка зачтено \ не зачтено Предел и непрерывТиповой расчет ТР-МА «Предел и непрерывность функции» Оценка по пятибалльной шкале.ность функции действительной переменКонтрольная работа № Интегральное исчисление функций одной Типовой расчет ТР-НИЛ «Неопределенный интеграл» Оценка по пятибалльной шкале.
6, 12, 18 Все Балльная оценка по итогам контрольных недель семестра. балльной оценкой качества знаний (приложение к календарному плану) 2 Исследование функТиповой расчет ТР-ИФ «Исследование функций и построение нескольких перемен- « Функции двух переменных. Дифференцирование, исследоваОценка по пятибалльной шкале.
верхностные интеграКонтрольная работа № 6, 12, 18 Все Балльная оценка по итогам контрольных недель семестра. балльной оценкой качества знаний (приложение к календарному плану) Обыкновенные дифпорядка и Линейные дифференциальные уравнения разных по- Оценка по пятибалльной шкале.
Линейные дифференДифференциальные уравнения первого порядка. Понижение Оценка по пятибалльной шкале.
Числовые и функциоСамостоятельная работа № 6, 12, 18 Все Балльная оценка по итогам контрольных недель семестра. балльной оценкой качества знаний (приложение к календарному плану)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1. Понятие отображения. Примеры математических отображений. Функция как отображение, однозначность этого отображения. Область определения функции. Область значений функции. Пример. Способы задания функции. График функции. Примеры.2. Определение функции. Способы задания функции. График функции. Основные элементарные функции. Определение элементарной функции.
Классификация функций, алгебраические и трансцендентные функции. Примеры.
3. Окрестность точки. Предел функции. Виды пределов: обозначения, формальный смысл и геометрические иллюстрации. Пределы слева и справа.
4. Бесконечно большие, бесконечно малые и ограниченные функции. Примеры и иллюстрации. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Примеры.
5. Алгоритм вычисления пределов. Замечательные пределы. Символы 0,,, 0 и их свойства. Виды неопределенностей.
Преобразование неопределенностей.
6. Непрерывность функции. Разрывы и их классификация. Алгоритм KLARA. Иллюстрации (примеры) различных типов разрывов. План исследования функции на непрерывность.
7. Производная. Физический и геометрический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Примеры непрерывных недифференцируемых функций (с обоснованием).
8. Способы вычисления производной. Основные правила дифференцирования и их иллюстрация на примерах. Особые случаи аналитического нахождения производной (неявная, параметрическая, «логарифмическая»).
9. Дифференциал (с выводом понятия). Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Пример нахождения дифференциала.
Дифференциалы различных порядков.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10. Задача дифференцирования и задача интегрирования. Дифференциал функции: формула и геометрический смысл. Первообразная. Примеры.Теорема о разности первообразных (с доказательством).
11. Неопределенный интеграл. Определение; устройство (аналитически, геометрически, как отображения); существование; представимость в элементарных функциях. Свойства неопределенного интеграла.
12. Интегрирование дробно-рациональных функций. Виды дробей. Утверждение о разложении неправильной дроби (с доказательством). Типы простейших дробей. Формула РПД.
13. Интегрирование дробно-рациональных функций. Алгоритм интегрирования рациональной дроби IRD. Простейшие дроби и приемы их интегрирования. Нахождение коэффициентов в формуле РПД: алгоритмы МНК и МНЗ. Пример.
14. Приемы интегрирования дробей с ax bx c в знаменателе. Формулы РКЗ и РКЧ для интегрирования иррациональных выражений.
Алгоритм нахождения коэффициентов. Примеры.
15. Интегрирование простейших тригонометрических выражений. Приемы «отщепление» и «понижение». Пример. Интегрирование рациональных Дробей от тригонометрических функций. Анализ и виды подстановок. Пример.
16. Понятие неопределенного интеграла. Общая идеология процесса интегрирования: разбиение и преобразование. Общая схема интегрирования:
маршруты вычисления интегралов. Примеры. Перечислить основные методы интегрирования.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
17. Интегральные суммы: зависимость S n от выбора точек i и от способа разбиения отрезка [ a, b] (иллюстрации). Определенный интеграл как предел. Интегрируемость функций и её связь с другими свойствами.18. Определенный интеграл как предел. Геометрический смысл определенного интеграла. Десять основных свойств определенного интеграла.
19. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Аналитическое и численное нахождение неопределенного и определенного интегралов (различие подхода). Примеры.
20. Приемы вычисления определенного интеграла: рекомендуемый алгоритм (в том числе ГСА). Понятие о бессмысленном, собственном и несобственном интегралах. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
21. Длина дуги плоской кривой. Постановка задачи. Переход к интегралу. Вывод соотношений для dL и формул длины дуги для прямоугольной и полярной систем координат.
22. Объем тела по площадям параллельных сечений. Постановка задачи. Переход к интегралу. Получить формулу для объема тела вращения. Сделать геометрические иллюстрации.
23. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Пример вычисления площади сектора в полярной системе координат.
24. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (интегралы первого рода). Иллюстрации. Сходимость. Алгоритм вычисления.
Пример вычисления несобственного интеграла.
25. Несобственные интегралы от неограниченных разрывных функций (интегралы второго рода). Иллюстрации. Сходимость. Алгоритм вычисления Пример вычисления несобственного интеграла.
ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНА
ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
1. ВЫЧИСЛИТЬ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ:
2. НАЙТИ3. НАЙТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ:
4. НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ y x ( x, y ) при неявном задании функции:5. НАЙТИ ПРОИЗВОДНЫЕ y x (t ), y xx (t ) при параметрическом задании функции:
6. НАЙТИ «ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ» ПРОИЗВОДНУЮ y (x ) :
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (1)
1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ:
2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ИНТЕГРАЛОМ:
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ:
4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ:
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (2)
1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ:
2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ИНТЕГРАЛОМ:
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ:
4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ:
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ЗАДАННОЙ СИСТЕМОЙ НЕРАВЕНСТВ:
2. ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ЗАДАННОЙ КАРТИНКОЙ: область между параболой и прямой3. ИССЛЕДОВАТЬ И ВЫЧИСЛИТЬ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА:
4. ИССЛЕДОВАТЬ И ВЫЧИСЛИТЬ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА:
ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Возрастание и убывание функции f (x). Признаки возрастания и убывания. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Неравенство Иенсена и его геометрический смысл. Достаточное условие выпуклости (вверх или вниз) графика функции f (x).2. Глобальные экстремумы функции f (x) на отрезке. Локальные экстремумы функции f (x). Отличие локальных и глобальных экстремумов (иллюстрации). Необходимое условие локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума. Критические точки.
3. Понятие асимптоты кривой на плоскости. Виды асимптот графика функции f (x). Примеры нахождения всех трех видов асимптот с графическими иллюстрациями.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)
4. Определение ФНП. Области на плоскости и их свойства. Область определения. Геометрическая иллюстрация функции двух переменных (график). Линии уровня функции f f ( x, y ). Предел и непрерывность f f ( x, y ).5. Частные приращения и частные производные. Полный дифференциал и дифференцируемость ФНП. Примеры: вычисление частных производных второго порядка, нахождение формулы полного дифференциала.
6. Градиент и линии уровня. Производная по направлению вектора. Теорема о производной по направлению. Вычисление производной по направлению через скалярное произведение. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Примеры.
7. Локальные экстремумы ФНП. Необходимое условие локального экстремума. Критические точки. Гессиан. Алгоритм поиска локальных экстремумов (LOC).
8. Глобальные экстремумы ФНП. Иллюстрации. Достаточное условие существования глобальных экстремумов (теорема Вейерштрасса). Алгоритм поиска глобальных экстремумов (GLOB).
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
9. Построение двойного интеграла на основе интегральных сумм. Геометрический смысл интегральной суммы и двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.10. Понятие правильной области в R. Примеры правильных и неправильных областей. Двукратный интеграл. Алгоритмы СДИ и ВДИ.
Простейший пример выполнения алгоритмов.
11. Определения двойного и двукратного интегралов. Теорема о равенстве двойного и двукратного интегралов (с обоснованием). Случаи, в которых необходимо разбивать область интегрирования D на подобласти. Примеры.
12. Преобразование координат в двойном интеграле: условия, формула, смысл (в общем виде). Пример преобразования двойного интеграла из ДСК в ПСК. Пример переноса ДСК в другую точку плоскости.
13. Тройной интеграл: построение на основе интегральных сумм, свойства. Теорема о равенстве тройного и трехкратного интегралов. Формула преобразования координат в тройном интеграле (в общем виде).
14. Условия правильности области T в R. Примеры нарушения каждого из условий правильности. Пример правильной области в R. Понятие трехкратного интеграла. Алгоритмы СТИ и ВТИ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
15. Скалярное и векторное поле. Операторы Гамильтона и Лапласа. Дивергенция. Ротор. Градиент. Их математический и физический смысл.Соленоидальное и потенциальное векторные поля. Гармоническая функция.
16. Дивергенция. Ротор. Градиент. Оператор Лапласа. Доказать соотношения:
17. Задача о работе. Вывод формул элементарной работы и суммарной работы при движении по кривой (с иллюстрациями). Определение криволинейного интеграла II рода.
18. Криволинейный интеграл II рода; его физический смысл и свойство. Циркуляция. Алгоритм ВКИ-2. Пример выполнения алгоритма.
Зависимость интеграла от пути интегрирования. Особенность циркуляции в потенциальном поле.
19. Задача о потоке. Элементарный поток. Вывод формулы для суммарного потока через поверхность (с иллюстрациями). Определение поверхностного интеграла II рода.
20. Поверхностный интеграл II рода; его физический смысл и свойство. Интеграл по замкнутой поверхности. Алгоритм ВПИ-2. Пример применения алгоритма (для одной компоненты векторного поля ).
21. Гладкая и кусочно-гладкая поверхности. Примеры, иллюстрации. Двусторонняя и односторонняя поверхности. Примеры, иллюстрации.
Ориентированная поверхность. Практическое задание: изготовить лист Мебиуса.
22. Формула Грина для циркуляции векторного поля 23. Формула Стокса для циркуляции векторного поля 24. Формула Остроградского-Гаусса для потока векторного поля Следствие для соленоидального векторного поля. Пример вычисления потока по формуле.
ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНА
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. НАЙТИ И ИЗОБРАЗИТЬ ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ:
2. НАЙТИ ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ grad f и, а также их значения в заданной точке М:
3. НАЙТИ И ИЗОБРАЗИТЬ НА ПЛОСКОСТИ ЛИНИИ УРОВНЯ И ГРАДИЕНТЫ ФУНКЦИИ:
4. НАЙТИ ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ (алгоритм LOC):5. НАЙТИ ВСЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 1го и 2го ПОРЯДКА:
6. НАЙТИ ГЛОБАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ (алгоритм GLOB):
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. ИЗМЕНИТЬ ПОРЯДОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ:
3. СОСТАВИТЬ ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ТЕЛУ В ПРОСТРАНСТВЕ. ТЕЛО ИЗОБРАЗИТЬ:
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ)
1. Введение: Типы ДУ. Порядок ДУ. Решение ДУ. ДУ 1-го порядка и задача Коши для него. Графические иллюстрации общих решений ДУ.Особые точки. Теорема существования и единственности решения и ее геометрический смысл.
2. Введение: Типы ДУ. Порядок ДУ. Решение ДУ. ДУ 1-го порядка. Аналитическое и численное решение ДУ. Классы ДУ 1-го порядка и методы их аналитического решения. Примеры.
3. ДУ N-го порядка и задача Коши для него. Два способа понижения порядка ДУ N-го порядка. Понижение порядка ДУ 2-го порядка с помощью подстановок. Примеры.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛДУ)
4. ДУ N-го порядка и задача Коши для него. Линейные ДУ N-го порядка: свойства решений. Характеристическое уравнение. Теорема о семействах решений и пояснение ее на конкретном примере ЛДУ.5. Оператор дифференцирования p. Составной линейный дифференциальный оператор L( p) и его свойства. Теорема о формуле смещения.
Комплексная экспонента: формулы, свойства. Квазимногочлены: свойства, примеры.
6. Метод неопределенных коэффициентов (алгоритм Понтрягина) для ДУ L( p) y F (t ). Постановка задачи, алгоритм в общем виде: Z Z0 z.
Пример нахождения z. Способ перехода Z (t ) Y (t ).
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
7. Примеры числовых рядов. Частичная сумма. Сходимость. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости:интегральный признак Коши, признак Даламбера. Пример исследования ряда одним из двух признаков.
8. Примеры числовых рядов. Частичная сумма. Сходимость. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости:
признак сравнения, признак Коши с радикалом. Пример исследования ряда одним из двух признаков.
9. Функциональные ряды. Проблемы, решаемые с помощью функциональных рядов. Важнейшие виды рядов. Проблема сходимости функционального ряда к функции-сумме.
10. Числовой ряд как значение функционального ряда в точке. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости. Примеры числовых рядов.
11. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда: основные определения. Алгоритм поиска области сходимости и его иллюстрация на примере.
12. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда: основные определения. Поиск радиуса и интервала сходимости на примерах.
Полные и неполные степенные ряды.
13. Ряды Тейлора. Способ Маклорена для получения коэффициентов разложения f (x) в степенной ряд. Таблица рядов Маклорена с указанием интервалов сходимости рядов.
14. Ряды Тейлора. Формула Тейлора как решение задачи аппроксимации. Получение ряда Тейлора из формулы Тейлора и проблема сходимости к порождающей функции f (x). Достаточные условия сходимости ряда к f (x).
15. Ряды Тейлора. Основные формулы. Алгоритм 16. Таблица рядов Маклорена Операции над степенными рядами. Алгоритм выполнения алгоритма.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
17. Понятие о разложении f (x) по ортогональным системам функций. Постановка задачи о разложении в тригонометрический ряд.Получение формул коэффициентов Фурье с помощью условий ортогональности.
18. Кусочно-монотонные функции. Теорема Дирихле и ее иллюстрация. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
19. Ряды Фурье для 2l -периодических функций. Разложение непериодической функции в ряд Фурье: общая идея и стандартные продолжения функции f (x) с отрезка [0; l ].
20. Интеграл Фурье и его свойства. Косинус-разложение и синус-разложение функции f (x).
ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. РЕШИТЬ ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ:
2. РЕШИТЬ ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА:
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. РЕШИТЬ ЗАДАЧУ КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ЛДУ:
2. НАЙТИ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ЛДУ:
3. НАЙТИ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ЛДУ:
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1. СХОДИТСЯ ЛИ ЧИСЛОВОЙ РЯД:
2. РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ТЕЙЛОРА С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ИССЛЕДОВАТЬ СХОДИМОСТЬ РЯДА:
3. РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД МАКЛОРЕНА КОМБИНИРОВАНИЕМ ТАБЛИЧНЫХ РЯДОВ:
4. НАЙТИ РАДИУС И ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА:
РЯДЫ ФУРЬЕ
1. РАЗЛОЖИТЬ ПЕРИОДИЧЕСКУЮ ФУНКЦИЮ В РЯД ФУРЬЕ: (задан основной период функции)8. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
8.1. Основная литература 1 Конспект лекций по высшей математи- Письменный Д. Т. М.: Айрис Пресс, 2007.2 Справочник по элементарной матема- Выгодский М. Я. М.: Астрель; Омск: АСТ, 2005.
тике: справочное издание, 3 Высшая математика в упражнениях и Данко П.Е. М.: Оникс 21 век: Мир и Образовазадачах: учебное пособие (часть 1), 23 ние, 2005.
4 Высшая математика в упражнениях и Данко П.Е. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образозадачах: учебное пособие (часть 2), 199 вание, 2003.
5 Сборник задач по высшей математике. Кузнецов Л. А. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2005.
Типовые расчеты: учебное пособие, 8.2. Дополнительная литература 1 Дифференциальное и интегральное ис- Пискунов Н.С. М.: Интеграл-Пресс, 2 Дифференциальное и интегральное ис- Пискунов Н.С. М.: Интеграл-Пресс, 3 Руководство к решению задач по матема- Запорожец Г. И. М.: Высшая школа, 1966.
тическому анализу: учебное пособие, 4 Сборник задач по высшей математике: 1 Лунгу К. Н. М.: Рольф, 2001.
5 Сборник задач по высшей математике: 2 Лунгу К. Н. М.: Айрис-пресс, 2005.
6 Справочник по высшей математике: спра- Выгодский М. Я. М.: Джангар; М.: Большая 8.3. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы внутренняя учебная сеть вуза;
учебный сервер кафедры;
http://www.sci-lib.com – большая научная библиотека (книги по математике, физике, химии, биологии, технике, медицине, программированию и пр.);
http://www.umup.narod.ru – библиотека технической литературы (книги по технике, математике, физике, основам программирования и т.п.);
http://www.mccme.ru – Free books (книги по математике, лекции, сборники задач, программы курсов и т.п.);
http://elibr.narod.ru/Books-pdf.htm – научная библиотека МГУ;
поисковые системы Интернета.
9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
9.1. Требования к аудиториям (лабораториям, помещениям, кабинетам) для проведения занятий с указанием соответствующего оснащения.Лекционные аудитории должны быть оснащены стеклоэмалевой доской для записей мелом, достаточным количеством столов и стульев для размещения студентов. Желательно оснащение аудитории персональным компьютером, мультимедиа проектором и экраном.
Аудитории для практических занятий должны быть оснащены стеклоэмалевой доской для записей мелом, достаточным количеством столов и стульев для размещения студентов.
Аудитории для занятий КСР должны быть оснащены персональными компьютерами (из расчета не менее одного компьютера на двух студентов), стеклоэмалевой доской для записей мелом или белой доской для записей водяными фломастерами, обеспечены (помимо рабочих мест за компьютерами) достаточным количеством столов и стульев для выполнения студентами рукописных контрольных работ.
9.2. Требования к программному обеспечению, используемому при изучении учебной дисциплины.
Для изучения дисциплины используется лицензионное программное обеспечение: MathCAD, Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word, программы архивации WinRAR, браузер Internet Explorer для работы в глобальной сети; программное обеспечение свободного доступа: Advanced Grapher; авторские программные средства для решения задач аппроксимации функций, оптимизации ФНП, тестирования студентов. Для самостоятельной работы студентов применяется внутренняя учебная сеть ОмГУПСа и учебный сервер кафедры, где размещены электронные учебные пособия, а также авторские электронные материалы по выполнению типовых расчетов, контрольных и самостоятельных работ.
Автор рабочей программы:
дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.
Изучается в 4-м, 5-м и 6-м семестрах.
Форма контроля: экзамен, зачет, курсовой проект.
Цель дисциплины - ознакомить обучаемых с основными понятиями и методами теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики, обеспечить теоретическую и практическую подготовку специалистов к деятельности, связанной с созданием, эксплуатацией, развитием и защитой автоматизированных информационноаналитических систем, обеспечивающих обработку и анализ специальной информации, а также функционирующих в составе этих систем прикладных средств современных информационных технологий.
Задачи дисциплины - привить обучаемым навыки использования рассматриваемого математического аппарата в профессиональной деятельности и воспитать у обучаемых высокую культуру мышления, т.е.
строгость, последовательность, непротиворечивость и основательность в суждениях, в том числе и в повседневной жизни.
Краткое содержание дисциплины:
Тема 1. Алгебра событий.
Понятие события в теории вероятностей, Операции над событиями и их основные свойства. Теоретико-множественная аналогия Изображение событий в виде диаграмм Венна. Пространство элементарных событий, алгебра.
Тема 2. Вероятностное пространство.
Аксиомы вероятности. Классическое определение вероятности.
Геометрические вероятности. Статистическое определение вероятности.
Тема 3. Основные теоремы теории вероятностей.
Теорема сложения. Зависимость совпадений, Условные вероятности. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула переоценки гипотез.
Полиномиальная схема. Схема Бернулли.
Тема 4. Одномерные случайные величины.
Определение случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и её свойства. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения дискретной случайной величины. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и её свойства.
Тема 5. Числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия случайных величин и их свойства.
Моменты. Производящие и характеристические функции. Неравенство Чебышева.
Тема 6. Основные распределения случайных величин.
Геометрическое, гиперболическое распределения Бернулли. Распределение Пуассона Нормальное, показательное, равномерное распределения.
Предельные теоремы.
Тема 7. Многомерные случайные величины.
Непрерывные и дискретные двумерные случайные величины. Функция распределения, Матрица распределения. Плотность распределения.
Тема 8. Числовые характеристики многомерных случайных величин.
Центральные и начальные моменты. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Корреляционная матрица.
Тема 9. Функции случайных величин.
Функции одного и двух случайных аргументов. Числовые характеристики.
Плотность распределения. Получение значений случайной величины с заданным законом распределения на основании равномерной случайной величины.
Тема 10. Предельные теоремы.
Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Муавра-Лапласа и ее следствия.
Раздел 2. Случайные процессы.
Тема 11. Основные понятия. Стационарные процессы.
Случайные процессы: основные понятия, классификация. Ковариационная и корреляционная функции случайного процесса. Стационарные случайные процессы в узком и широком смысле. Теорема Бохнера-Хинчина для стационарных процессов. Спектральная функция и спектральная плотность.
Пуассоновский случайный процесс. Инфинитезимальная матрица. Теорема Хинчина для пуассоновского процесса. Простейший поток однородных событий, его связь с пуассоновским процессом.
Винеровский случайный процесс, броуновское движение, стандартный винеровский процесс. Понятие о принципе отражения.
Тема 12. Дискретные цепи Маркова.
Конечные однородные цепи Маркова. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Простейшая классификация состояний конечной цепи Маркова. Стационарное распределение цепи Маркова, система уравнений для вычисления стационарного распределения.
Тема 13. Марковские процессы с непрерывным временем.
Марковский однородный процесс с непрерывным временем и конечным множеством состояний. Переходные вероятностные функции.
Интенсивности переходов. Системы прямых и обратных дифференциальных уравнения Колмогорова. Стационарное распределение и система уравнений для его отыскания.
Раздел 3. Математическая статистика.
Тема 14. Выборочный метод.
Вариационные ряды. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Выборочные моменты.
Тема 15. Оценки параметров распределения.
Точечные оценки Метод моментов. Метод наибольшего правдоподобия Интервальные оценки неизвестных параметров.
Тема 16. Статистическая проверка гипотез.
Ошибки 1 и 2 рода. Уровень значимости и мощность критерия. Критерии согласия. Проверка гипотезы о виде распределения критериями Пирсона и Колмогорова. Распределения, встречающиеся в задачах математической статистики: распределение, Стьюдента, Фишера.
Тема 17. Теория корреляции.
Линейная корреляция. Метод наименьших квадратов. Криволинейная корреляция. Ранговая корреляция.
Тема 18. Однофакторный дисперсионный анализ.
Одинаковое число испытаний на всех уровнях. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях.
Тема 19. Метод статистических испытаний.
Разыгрывание дискретной случайной величины. Разыгрывание непрерывной случайной величины. Расчет надёжности простейших систем методом Монте-Карло.
дисциплины «Дискретная математика»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288 часа.
Изучается в 4-м и 5-м семестрах.
Форма контроля: экзамен.
Целью дисциплины является ознакомление студентов с основными разделами дискретной математики и ее применением для решения практических задач, а также обеспечение фундаментальной подготовки в одной из важнейших областей современной математики.
Задачами дисциплины являются:
- формирование научного мировоззрения, понимания широты и универсальности методов дискретной математики и умения применять эти методы в решении прикладных задач, - развитие творческого мышления и навыков в проведении самостоятельных научных исследований, математической грамотности, способности критически анализировать собственные рассуждения и самостоятельно их корректировать, - воспитание математической культуры, которая предполагает четкое осознание необходимости и важности математической подготовки для специалиста в области компьютерной безопасности, - приобретение навыков свободного обращения с основным дискретными объектами.
Таким образом, дисциплина "Дискретная математика" является неотъемлемой составной частью профессиональной подготовки по направлению подготовки 090305 «Информационно-аналитические системы безопасности». Изучение данной дисциплины призвано формировать специалиста, и в частности, вырабатывать у него такие качества, как:
строгость в суждениях, творческое мышление, организованность и работоспособность, дисциплинированность, самостоятельность и ответственность.
РАЗДЕЛ 1. КОМБИНАТОРИКА
Тема 1. Введение.Задачи и программа курса. Литература по курсу. Принципы построения и изучения курса. Краткое содержание. Роль и место курса в формировании специалистов. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса.
Место дискретной математики в системе математического образования.
Дискретная математика, математическая кибернетика и компьютерные науки. Соотношение между дискретными и непрерывными подходами к изучению различных явлений.
Тема 2. Основные комбинаторные методы Принципы перечисления. Перестановки, размещения, сочетания, сочетания с повторениями, разбиения, их число. Алгоритмы порождения комбинаторных объектов. Метод включения-исключения. Рекуррентные соотношения.
Понятие о производящих функциях. Бином Ньютона. Применение производящих функций для решения рекуррентных соотношений. Числа Стирлинга и их свойства. Комбинаторные конфигурации, блок-схемы.
Конечные проективные плоскости.
Тема 3. Комбинаторные методы в решении экстремальных задач Ортогональные латинские квадраты. Матрицы Адамара. Перечисление графов отображений. Экстремальные задачи и перебор. Универсальные задачи. Метод ветвей и границ.
РАЗДЕЛ 2. ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Тема 4. Логические функции.Алгебра логики. Функции алгебры логики. Реализация функций формулами, эквивалентность формул. Свойства элементарных функций. Принцип двойственности. Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы. Полнота и замкнутость, примеры полных систем.
Полиномы Жегалкина. Важнейшие замкнутые классы, теорема о полноте.
Представление о результатах Поста. Функции k-значной логики и их представление. Реализация функций алгебры логики схемами из функциональных элементов.
РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Тема 5. Основы теории графов.Графы и орграфы. Степени. Теорема Эйлера о сумме степеней.
Изоморфизмы. Группа автоморфизмов. Пути. Маршруты. Разложение графа на компоненты связности. Циклы в графах. Цикломатическое число.
Тема 6. Деревья.
Теорема о характеризации деревьев. Остовы графа. Остовное дерево графа.
Алгоритм построения наименьшего остовного дерева.
Тема 7. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Необходимые и достаточные условия эйлеровости. Построение эйлерового цикла и эйлеровой цепи. Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновости графа и орграфа.
Тема 8. Планарные графы.
Теорема о том, что К5 и К3,3 не планарны. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского (без доказательства).
Тема 9. Некоторые приложения теории графов.
Покрытия и независимые множества. Задача о наименьшем покрытии (без доказательства). Сильная связность в орграфах. Компоненты сильной связности. Алгоритмы поиска кратчайших путей в графах. Задача поиска гамильтонова цикла в графе. Задача о коммивояжере. Паросочетания.
Максимальное паросочетание. Задача о назначениях.
РАЗДЕЛ 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ АВТОМАТОВ
Тема 10. Элементы теории кодирования.Проблематика теории кодирования. Алфавитное кодирование. Критерий однозначности декодирования. Помехоустойчивое кодирование. Коды Хэмминга. Линейные коды. Циклические коды. Коды Адамара и их корректирующая способность. Коды с минимальной избыточностью.
Тема 11. Основные определения теории автоматов.
Определение автомата. Частные виды. Примеры. Подавтоматы, гомоморфизмы и конгруэнции. Способы задания автоматов.
Тема 12. Эквивалентность в автоматах.
Эквивалентность состояний автоматов. Эквивалентность автоматов.
Некоторые обобщения понятия эквивалентности и гомоморфизма.
Тема 13. Функционирование автоматов.
Обратимость автоматов и автоматы БПИ. Автоматы с конечной памятью.
Цепочки и языки. Автоматные языки. Понятие формальной грамматики.
Примеры грамматик. Бесконтекстные грамматики. Применение грамматик для построения языков высокого уровня, в частности для языков программирования.
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель преподавания дисциплины – формирование общей информационной культуры студентов, подготовка их к деятельности, связанной с использованием современных информационных технологий.Задачи изучения дисциплины:
изучение основных понятий информатики;
изучение свойств и способов записи алгоритмов;
изучение способов представления чисел, символов, графики, аудио- и видеоинформации в персональном компьютере;
ознакомление с логическими основами устройства ЭВМ;
ознакомление с составом и назначением функциональных узлов компьютера;
овладение навыками применения сервисных программных средств системного и прикладного назначения;
изучение основ построения компьютерных сетей;
овладение навыками поиска информации в глобальной информационной сети Интернет.
2. МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Учебная дисциплина «Информатика» относится к базовой части цикла «С.2 – Математический и естественнонаучный цикл», индекс С2.Б. Для успешного усвоения данной дисциплины необходимо, чтобы студент владел знаниями, умениями и навыками в объеме требований «СТАНДАРТА СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО ИНФОРМАТИКЕ И ИКТ»Минобразования России от 05.03.04 №1089.
Дисциплина "Информатика" является предшествующей для изучения следующих дисциплин: «Языки программирования», «Технология и методы программирования», «Основы информационной безопасности», «Безопасность операционных систем».
3. КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ / ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ОБРАЗОВАНИЯ И КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА ПО ЗАВЕРШЕНИИ
ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
нимать социальную зна- основные понятия информатики;чимость своей будущей формы и способы представления данных в профессии, цели и персональном компьютере;
смысл государственной состав, назначение функциональных компослужбы, обладать высо- нентов и программного обеспечения персокой мотивацией к вы- нального компьютера;
полнению профессио- классификацию современных компьютернальной деятельности в ных систем;
области обеспечения типовые структуры и принципы организаинформационной без- ции компьютерных сетей;
тересов личности, об- применять персональные компьютеры для щества и государства, обработки различных видов информации;
готовностью и способ- применять типовые программные средства ностью к активной сосервисного назначения (средства восстановлестязательной деятельнония системы после сбоев, дефрагментации и сти в условиях инфор- очистки диска);
мационного противопользоваться сетевыми средствами для обборства ПК-2 - способность применять математичевладеть:
ский аппарат, в том чиснавыками работы с офисными приложенияле с использованием вычислительной технитаблицами, средствами подготовки презентаки, для решения проционных материалов);
фессиональных задач навыками обеспечения безопасности инфорПК-3 - способность исмации с помощью типовых программных пользовать языки, сисредств (антивирусов, архиваторов, стандартстемы и инструментальных сетевых средств обмена информацией);
ные средства програмнавыками поиска и обмена информацией в мирования в профессиглобальной информационной сети Интернет.
ональной деятельности ПК-4 - способность понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, применять достижения современных информационных технологий для поиска и объемов информации по профилю деятельности в глобальных компьютерных системах, сетях, в библиотечных фондах и в иных источниках информации
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Общая трудоемкость дисциплины составляет: 3 зачетные единицы, 4.2. Виды и объемы учебной работы по дисциплине В том числе:Лекции (лек) (всего / в интерактивной форме) Лабораторные работы (лаб) (всего / в интерактивной форме) Практические, семинарские занятия (прк) В том числе:
Расчетно-графические работы Проработка лекционного материала, подготовка к практическим, семинарским, ла- 28 бораторным занятиям Самостоятельная работа под контролем преподавателя (кср) В том числе текущий контроль (количе- 3/6/контр. 3/6/контр.
Промежуточная аттестация (экзамен, заЭкз(36) Экз(36) чет, зачет с оценкой/час) доемкость Номер семестра ности. Юридические основы информационной безопасности. Основные нормативные документы по обеспечению информационной Представление в оперативной памяти персонального компьютера числовой информации. Алгоритмы выполнения арифметических операций на 1 11 Архитектура и Обобщенная блок- 2 6 2 8 Контроль посещаемости. Проверка выорганизация схема персонального комполнения СРС, ЭВМ пьютера. Состав и назначеопределение рейтинние функциональных узлов обеспечение ин- классификация программформационных ного обеспечения. Опредесистем ление свободного программного обеспечения.
Адресация в Internet. Система доменных имен. Основы использования Internet 4.4. Лабораторные работы семестра Номер Арифметиче- Системы счисления, перевод из одной системы счисления в
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
5.1. Чтение лекций с применением мультимедийных технологий.5.2. Применение программных продуктов ( Microsoft Office) при чтении лекций и выполнении лабораторных работ.
5.3. Занятия, проводимые в активной и интерактивной формах, проводятся в объеме 20 часов, что составляет 56 %. В том числе:
– на лекционных занятиях – 2 часа;
– на лабораторных работах – 18 часов.
5.4. На лекционных занятиях широко используются мультимедийные лекции с элементами компьютерной анимации, с последующим обсуждением основных моментов в всех разделах курса.
В семестре аудиторные занятия (самостоятельная работа в аудитории под контролем преподавателя) проводятся в интерактивной форме – направление и организация познавательной деятельности студентов, осуществление функций консультанта при возникновении затруднений.
Студенты имеют доступ к учебно-методическому комплексу дисциплины, представленному в электронной форме в университетской сети, в том числе ко всем опубликованным учебно-методическим разработкам кафедры, включающим материалы по организации самостоятельной работы: выполнению контрольных работ, к использованию компьютерных технологий при их выполнении.
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТА
семестра Номер7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
семестра Номер 1. Системы счисления. Позиционные и непозиционные. Примеры.2. Перевод целых и дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.
«