[ Методы построения и анализа статистических моделей временных
рядов
С.Н. Куприянова
методические указания
Содержание
1. Определение и структура временного ряда
2. Классификация и свойства основных стохастических процессов, генерирующих временной ряд
3. Интегрируемость временного ряда. Алгоритмы проверки статистических гипотез о стационарности стохастических процессов 4. Решение типового примера в пакете Eviews 5. Список литературы Определение и структура временного ряда Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием факторов, которые можно подразделить на три большие группы:
- факторы, формирующие тенденцию ряда;
- факторы, формирующие циклические колебания ряда;
- случайные факторы.
Значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом.
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней k-го порядка, так как он измеряет зависимость между уровнями ряда t и t-k, т.е.
при лаге 1.
n (y y k 1 )( y t y k 2 ) t rk t k, n n (y (y y k 1 ) 2 y k 2 ) t t t k 1 t k где n n yt y t y k 1 yk t k 1 t k, n k 1 nk Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени.
Классификация и свойства стохастических процессов, генерирующих временной ряд Случайным (стохастическим) процессом называется семейство случайных величин yt (), зависит от пары tєT, є, где t интерпретируется как время, TcR, – вероятностное пространство, которому принадлежит элементарное событие. Иначе, при каждом tєT yt () должна быть измерима по.
Математическое ожидание E(Xt) может изменяться во времени и представляет собой функцию среднего в зависимости от времени (t ) t E[ X t ] Дисперсия (Xt) является функцией, также зависящей от времени:
2 (t ) 2 t E[( X t t ) 2 ] Автоковариация t1t 2 cov( X t1, X t 2 ) E[( X t1 t1 )( X t 2 t 2 )] в общем виде зависит от каждого t1 и t2.
Конечная реализация х1, х2, …, хТ дискретного стохастического процесса Х1, Х2, …, ХТ называется временным рядом.
Под стационарным процессом в слабом смысле понимается стохастический процесс, для которого среднее и дисперсия независимо от рассматриваемого периода времени имеют постоянное значение, а автоковариация зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными.
t 2 const t 2 2 const t1,t 2 t1t 2 Автоковариация как функция длины лага ( ) E[( X t )( X t )] называется автоковариационной функцией.
Автокорреляционная функция или коэффициент корреляции стационарного стохастического процесса определяется как Стационарность временного ряда означает отсутствие:
- тренда;
- систематических изменений дисперсии;
- строго периодичных флуктуаций;
- систематически изменяющихся взаимозависимостей между элементами временного ряда.
«Белым шумом» называется ряд независимых, одинаково распределенных случайных величин. Свойства «белого шума»:
Процесс скользящего среднего порядка q [МА(q)] – это процесс Xr где at – «белый шум» с µ=0.
Если ввести оператор лага L:
выполнить замену и использовать функцию оператора процесс МА(q) определяется как Свойства процесса МА(q) Следовательно, процесс МА стационарен в слабом смысле.
Теорема 1: Порядок процесса МА(q) определяется количеством q автокорреляционных коэффициентов q, значимо отличных от нуля.
Авторегрессионный процесс порядка p[AR(p)] – стохастический процесс Xt:
Используя функцию оператора лага можно записать Процесс AR не всегда стационарен.
Его характеристическое уравнение определяется как где z – комплексное число.
Теорема 2 (критерии стационарности AR - процессов).
AR – процесс является стационарным тогда и только тогда, когда его комплексные решения (корни) лежат вне единичного круга, т.е. z 1.
В частности, если z 1, процесс называется процессом единичного корня и является нестационарным.
Авторегрессионным процессом скользящего среднего [ARMA(p,q)] называется процесса вида где Фр(L) и q(L) – функции операторов лага соответствующих AR(p) и МА(q) процессов, а ф0, как правило, предполагается равным нулю.
Теорема 3: Стационарный ARMA – процесс p ( L) X t 0 q ( L)at может быть представлен как бесконечный AR - процесс или как бесконечный МА – процесс:
Бесконечный полигон лага (L) определяется выражением Итегрируемость временного ряда. Алгоритмы проверки статистических гипотез о стационарности стохастических процессов Если исходный временной ряд нестационарен, то взятие его разностей может позволить получить стационарный временной ряд.
Первые разности стохастического процесса имеют вид:
Если первые разности ряда Xt стационарны, то ряд Xt называется интегрируемым первого порядка.
В противном случае дальнейшее взятие разностей приведет ко вторым разностям:
Если первый стационарный ряд получается после k-кратного взятия разностей, процесс называется интегрируемым k-го порядка.
Стационарный процесс имеет нулевой порядок интегрируемости.
Рассмотрим авторегрессию без смещения вида Для проверки порядка интегрируемости этого базового процесса используется метод Дики-Фулера (DF-тест на единичный корень), по сути представляющий собой алгоритм проверки статистической гипотезы о стационарности самого процесса и его разностей повышающегося порядка.
Выдвигаются две альтернативные гипотезы относительно параметра 1 1 уравнения Yt Yt 1 t, эквивалентного исходному уравнению авторегрессии.
H0: =0 – процесс нестационарен (наличие единичного корня)
«