«МАТЕМАТИКА 3 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Математика [Текст] : 3 кл. : Методическое пособие / Ч-37 А.Л. Чекин; под. ...»

При выполнении задания 180 учащиеся самостоятельно приходят к выводу, что 1 т = 10 ц. Для этого им достаточно ответить на поставленные в задании вопросы.

При выполнении заданий 181, 182 и 183 учащиеся должны выполнить уже хорошо знакомый им вид работы: осуществить перевод величин, выраженных в одних единицах, в другие единицы.

В задании 184 предлагается решить простую задачу на умножение. Особенность этой задачи состоит в том, что в условии речь идет о тоннах, а в требовании – о центнерах. Поэтому ученики, кроме стандартного поиска решения и вычисления ответа, должны еще осуществить процедуру перевода величины, выраженной в тоннах, в центнеры. Записать этот перевод лучше в виде отдельного равенства.

В задании 185 предлагается выполнить указанные действия над величинами, выраженными в тоннах и центнерах. Прежде чем выполнять эти действия, учащиеся должны перевести тонны в центнеры (где присутствуют обе единицы массы).

В задании 186 предлагается составить задачу по данному решению и ответу. Речь идет о составной задаче, и прежде чем ее формулировать, нужно детально проанализировать с учащимися смысл каждого действия: первое действие можно трактовать с точки зрения уменьшения данной величины в 2 раза, а второе – с точки зрения сложения величин. Сюжет задачи практически полностью определяется текстом ответа. Таким образом, это может быть следующая задача: «В первый день на склад привезли 10 т удобрений, а во второй – в 2 раза меньше. Сколько тонн удобрений привезли на склад за эти два дня?»

В задании 187 учащимся предлагается сравнить данные величины и записать результат сравнения в виде соответствующего равенства или неравенства. Для выполнения сравнения данные величины необходимо выразить в одних единицах. После этого процесс сравнения переходит на уровень сравнения чисел, что учащиеся уже хорошо умеют делать.

Задание 188 продолжает линию на сравнение величин, только теперь речь идет не о парном сравнении, а об упорядочивании целого массива данных. И в этом случае первый этап работы должен заключаться в том, чтобы выразить все величины в одной единице. Такой единицей будет являться килограмм. После этого расположить величины в порядке возрастания уже не составит никакого труда.

В задании 189 предлагается произвести разностное сравнение 1 т и 1 ц. Сделать это можно после перевода 1 т в центнеры.

Ответить на вопрос задания 190 учащиеся смогут, если вспомнят, что для получения из 1 ц величины в 10 ц нужно произвести увеличение в 10 раз (случай умножения числа 1 на произвольное число).

Это задание готовит учащихся к рассмотрению вопроса о кратном сравнении.

В задании 191 предлагается составить задачу по данной круговой схеме. Это может быть либо простая задача на смысл действия вычитания (величинный аспект), либо на уменьшение на данную величину. Особенность данных этой задачи, которые указаны в схеме, заключается в том, что они выражены в разных единицах. Как поступать в этом случае для выполнения действия над этими величинами ученики уже хорошо знают.

Тема: «Поупражняемся в вычислении и сравнении величин»

Мы предлагаем подборку заданий тренировочного характера по четырем темам. Особое место занимает предпоследнее задание в этой подборке, так как оно готовит учащихся к построению схемы для составной задачи.

В задании 192 предлагается поупражняться в сложении и вычитании величин (длины и массы). Так как величины, над которыми нужно выполнить указанное действие, выражены в разных единицах, то предварительно нужно привести их к одной единице.

В задании 193 данные длины предлагается расположить в порядке возрастания. Учащиеся должны быть очень внимательны, так как предложенные величины по своей записи очень похожи между собой.

В задании 194 данные массы предлагается расположить в порядке убывания. И в этом случае от учащихся потребуется особое внимание для того, чтобы правильно сравнить числа, записи которых очень похожи между собой.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Выполнение задания 195 также требует от учащихся умения сравнивать величины, выраженные в разных единицах. Из предложенных величин можно составить следующие верные равенства: 8 км В задании 196 от учащихся требуется решить задачу, в которой речь идет об уменьшении данной величины на некоторую известную величину. Распознать в этой задаче простую задачу на вычитание для учащихся не составит особого труда. Некоторые сложности могут возникнуть при вычислении ответа сначала в килограммах, а потом в тоннах и центнерах. Можно предложить им не вычислять ответ в тоннах и центнерах, а сделать перевод в тонны и центнеры вычисленного ответа в килограммах.

В задании 197 предлагается составить задачу по данному решению, а потом вычислить и записать ответ составленной задачи в килограммах. В данной ситуации нас больше интересует вторая часть задания, так как с составлением простой задачи на сложение величин учащиеся хорошо справляются.

В задании 198 предлагается сформулировать составную задачу по двум данным действиям ее решения и вычисленному ответу. Эта работа уже совсем иного уровня сложности. Сначала учащимся следует определиться с тем, как они будут трактовать данные действия:

можно говорить о сложении двух длин, а можно – об увеличении одной длины на другую длину. Когда этот выбор будет сделан, можно формулировать задачу, предварительно подобрав подходящий сюжет. Например, это может быть такая задача: «Хозяин загородного дома для того чтобы доехать до него, сначала должен проехать 120 км на электропоезде, после этого 60 км на автобусе и, наконец, 10 км пройти пешком. Сколько километров составляет весь путь до загородного дома?»

В заданиях 199, 200, 201 и 202 предлагается по данному уравнению составить задачу. При этом в каждом задании учащиеся должны работать с определенным видом уравнения. Этим мы повторяем вопрос о решении простой задачи на сложение (вычитание) с помощью уравнения. Кроме этого, мы предлагаем учащимся так подобрать сюжет составленных задач, чтобы он был согласован с той или иной единицей массы (соответственно с килограммом, граммом, центнером, тонной).

При выполнении задания 203 учащиеся смогут поупражняться не только в составлении задач по данной круговой схеме (предлагается схема простой задачи на сложение), но и в сложении величин, выраженных в разных единицах.

На задание 204 следует обратить особое внимание. С одной стороны мы предлагаем учащимся выполнить знакомую им работу: расТаблица и краткая запись задачи»

познать круговую схему, на которой показано уменьшение данной величины, и другую схему, на которой показано сложение данных величин. С другой стороны, работа по распознаванию схем приводит их к нахождению решения данной составной задачи. При этом они убеждаются в том, что каждому действию решения соответствует своя схема. В дальнейшем из таких связанных между собой двух схем будет сконструирована схема составной задачи. Таким образом, мы не только смогли повторить некоторые ранее изученные вопросы, но и провести необходимую пропедевтическую работу к изучению темы «Составные задачи на сложение и вычитание».

В задании 205 от учащихся требуется привести примеры использования единицы длины «километр» в повседневной жизни. Это устное задание, и они могут приводить любые примеры из жизни, лишь бы в них речь шла о километрах. Например, спортсмены на соревнованиях могут бежать дистанцию 5 км или 10 км. Можно предложить учащимся ответить на аналогичный вопрос, но для других изученных величин (для тонны, для грамма).

Тема: «Таблица и краткая запись задачи» (1 урок) При изучении данной темы мы хотим познакомить учащихся с тем, как можно использовать таблицу для оформления краткой записи задачи. Такая форма краткой записи имеет, на наш взгляд, целый ряд преимуществ по сравнению с традиционной формой краткой записи.

Во-первых, запись в виде таблицы системна и более информативна. Не случайно табулирование данных считается одной из простейших, но эффективных форм обработки данных. Во-вторых, при такой форме записи учащиеся постоянно учатся работать с таблицей, что является очень важным умением с точки зрения дальнейшего обучения. В-третьих, мы готовим учащихся к использованию таблицы при осуществлении краткой записи задач с пропорциональными величинами. В-четвертых, в отдельных случаях краткая запись задачи в виде таблицы может рассматриваться как пропедевтика изучения функциональной зависимости.

Мы не предлагали ранее такую форму краткой записи лишь по соображениям возможного возникновения проблем технического порядка при построении таблицы учащимися. И сейчас такая проблема может возникнуть: им понадобится больше времени на само построение таблицы. Чтобы этого избежать, мы, как правило, предлагаем работать с уже готовой таблицей, либо заполнять «пустую»

таблицу в рабочей тетради. В том случае, когда таблицу нужно наТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий чертить самим учащимся, можно предложить им делать это не по линейке, а от руки (лист в клетку позволяет это делать достаточно аккуратно), и обязательно простым карандашом, чтобы можно было вносить необходимые коррективы по ходу ее заполнения.

При выполнении задания 206 учащиеся знакомятся с новой формой краткой записи, которая имеет вид таблицы. С различными таблицами учащиеся уже много раз встречались, поэтому мы предлагаем им сразу самостоятельно прочитать данную таблицу, находя в ней ответы на предложенные вопросы. Сама таблица и вопросы к ней настолько просты и понятны, что они не должны испытывать каких-либо затруднений при выполнении этого задания.

В задании 207 предлагается составить краткую запись в виде таблицы к данной задаче. Предлагаемая задача очень похожа на ту, краткая запись которой была рассмотрена в предыдущем задании.

Отличие в том, что данных будет не два, а три. Поэтому в таблице появится еще одна графа. Понятно, что названия граф также изменятся: вместо «грибов» будут «сливы», а вместо «Маши» и «Миши»

будут «1-я бригада», «2-я бригада» и «3-я бригада».

В задании 208 предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Краткая запись имеет одну особенность: мы используем стрелку для того, чтобы показать, какие величины находятся в отношении «быть больше в 2 раза». Кроме этого, данная таблица содержит пустые графы, обозначенные пунктирной линией. Это имеет отношение ко второй части задания, где учащиеся будут изменять требование задачи так, чтобы она решалась в два действия. Тогда в таблице потребуется ввести дополнительную графу, которую следует обозначить словом «Всего», и поставить в соответствующей клетке вопросительный знак. Таким образом, мы от простой задачи на умножение переходим к составной задаче, в которой данная простая задача будет являться составным элементом ее логической структуры.

В задании 209 предлагается распознать по краткой записи, имеющей вид таблицы, задачу на разностное сравнение. Для этого они должны обратить внимание на требование задачи. Чтобы сделать акцент именно на требовании задачи, мы предлагаем такие краткие записи, в которых условия всех задач будут одинаковыми. Из четырех предложенных кратких записей две будут относиться к задачам на разностное сравнение. Это краткие записи, в которых требование сформулировано в виде вопроса: «На сколько больше?»

или «На сколько меньше?» Задачу следует формулировать по каждой из этих кратких записей. При этом следует обратить внимание учащихся на тот факт, что решения этих задач ничем отличаться не будут. Отличие проявится лишь при записи ответа.

В задании 210 предлагается сделать краткую запись к данной задаче, заполнив таблицу в рабочей тетради. Для этого им достаточно внести данные в соответствующие клеточки таблицы, а в клеточке, которая соответствует числу грузовых автомобилей в первом гараже, поставить вопросительный знак и написать «На 3 больше».

Стрелка, которая обозначает, какие величины находятся в данном отношении, уже в таблице проведена.

В задании 211 мы предлагаем учащимся сначала поработать с круговой схемой, сформулировав по ней простую задачу на сложение, а уже потом сделать для этой сформулированной задачи краткую запись в виде таблицы. Тем самым мы в одном задании сопоставляем два вида работы над сюжетной задачей: составление схемы и составление краткой записи. Эти виды работ по обучению решению арифметических сюжетных задач дополняют друг друга.

Тема: «Алгоритм сложения столбиком» (1 урок) При изучении данной темы мы предлагаем учащимся подвести своеобразный итог в формировании умения складывать многозначные числа столбиком. Таким итогом будет формулировка соответствующего алгоритма, которую учащиеся должны построить самостоятельно в виде последовательности ответов на предлагаемые вопросы. Мы особо обращаем внимание на то, что от учащихся не следует требовать знания наизусть полной формулировки алгоритма сложения столбиком. Они лишь должны уметь отвечать на все вопросы, которые могут возникнуть при реализации этого алгоритма, и прежде всего на те вопросы, о которых речь пойдет при рассмотрении соответствующего задания данной темы. Главную роль в изучении этого алгоритма играет умение правильно его применять во всех возможных ситуациях, а не знание его полной формулировки.

При выполнении задания 212 учащиеся смогут повторить поразрядный способ сложения с использованием разрядной таблицы, с которым они познакомились во 2 классе. Особенность предлагаемого для рассмотрения случая сложения состоит в том, что слагаемые являются пятизначными числами и что при вычислении в «старшем» разряде слагаемых происходит переход через разряд, а это означает, что при записи результата приходится «открывать»

следующий разряд. Указание на это есть в таблице в виде вопросительного знака в разряде сотен тысяч искомого числа.

Задание 213 направлено на формирование умения выполнять сложение столбиком на множестве четырех-, пяти- и шестизначных чисел. Для этих чисел способ сложения столбиком ничем Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий принципиально не отличается от случая сложения трехзначных чисел, с чем учащиеся уже хорошо знакомы.

При выполнении задания 214 учащиеся не только смогут еще раз поупражняться в сложении столбиком многозначных чисел, но и вспомнить, как выглядит круговая схема простой задачи на сложение.

В задании 215 предлагается сформулировать алгоритм сложения столбиком, ответив на соответствующие вопросы. Особое внимание следует обратить на второй вопрос, в котором речь идет о том, с какого разряда нужно начинать сложение и к какому переходить далее, а также на третий вопрос, который предполагает наличие логического разветвления алгоритма. При этом следование одной логической ветви этого алгоритма требует знания ответа на четвертый вопрос данного перечня. Если учащиеся затрудняются самостоятельно ответить на все поставленные вопросы, то их можно переадресовать к соответствующей статье словаря (с. 148 учебника), в которой они смогут найти формулировку алгоритма сложения столбиком.

При выполнении задания 216 учащиеся смогут не только поупражняться в применении алгоритма сложения столбиком, но и сделать устно прикидку (установить до проведения вычислений), какая цифра получится в старшем разряде искомого значения суммы.

При выполнении задания 217 учащиеся смогут поупражняться в составлении простой задачи на сложение по краткой записи и в умении применять алгоритм сложения столбиком для вычисления ответа составленной задачи.

Тема: «Алгоритм вычитания столбиком» (1 урок) Изучение этой темы построено по той же логической схеме, что и изучение предыдущей темы. Рекомендации, которые были даны по поводу изучения алгоритма сложения столбиком, можно отнести и к изучению алгоритма вычитания столбиком.

При выполнении задания 218 учащиеся смогут поупражняться в поразрядном способе вычитания многозначных чисел с использованием разрядной таблицы.

В задании 219 предлагается применить способ вычитания столбиком для четырех-, пяти- и шестизначных чисел.

При выполнении задания 220 учащиеся смогут еще раз поупражняться в вычитании столбиком многозначных чисел и вспомнить круговую схему простой задачи на вычитание.

В задании 221 предлагается сформулировать алгоритм вычитания столбиком, ответив на соответствующие вопросы. Следует обратить внимание на второй вопрос, в котором речь идет о том, с какого разряда нужно начинать вычитание и к какому переходить далее, а также на третий вопрос, который предполагает наличие логического разветвления алгоритма. При этом следование одной логической ветви этого алгоритма требует знания ответа на пятый вопрос данного перечня вопросов. При ответе на пятый вопрос возникает еще одно логическое разветвление алгоритма, о котором не следует забывать. Одно дело, когда в разряде уменьшаемого, в котором происходит заимствование, находится отличное от нуля число, и совсем другое – когда в этом разряде стоит 0. Во втором случае процесс заимствования переходит на соседний старший разряд, для которого действует то же правило, о котором сейчас шла речь. Этот случай имеет смысл рассмотреть с учащимися подробно и с пояснениями учителя, предлагая сначала переход через один разряд, а уже потом через два и более. Если ученики затрудняются самостоятельно ответить на все поставленные вопросы, то им можно обратиться к соответствующей статье словаря (с. 148 учебника), в которой они смогут найти формулировку алгоритма вычитания столбиком.

При выполнении задания 222 учащиеся смогут не только поупражняться в применении алгоритма вычитания столбиком, но и сделать устно прикидку (установить до проведения вычислений), какая цифра получится в старшем разряде искомого значения разности.

При выполнении задания 223 учащиеся смогут поупражняться в составлении простой задачи на вычитание по краткой записи и в умении применять алгоритм вычитания столбиком для вычисления ответа составленной задачи. Обращаем внимание, что числа, участвующие в этом вычитании, связаны с соответствующими числами, участвующими в сложении из задания 217. Это можно использовать для проверки правильности выполнения вычитания, тем более, что учащиеся столкнулись с примером наиболее сложного случая вычитания, в котором невозможно провести заимствование в соседнем старшем разряде.

Тема: «Составные задачи на сложение и вычитание»

(2 урока) Мы подошли к рассмотрению одной из самых важных и трудных тем программного материала 3 класса. Это – изучение логической структуры составных задач на сложение и вычитание. Для выявлеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ния этой логической структуры мы предлагаем использовать хорошо знакомые учащимся круговые схемы. Такой подход позволяет, во-первых, четко продемонстрировать учащимся, что составная задача конструируется из простых задач. Во-вторых, мы можем показать то логическое звено, посредством которого простые задачи соединяются в составную задачу. Этим логическим звеном является промежуточное неизвестное, которое отвечает на дополнительное промежуточное требование. На схеме оно будет обозначено общим для двух круговых схем квадратом с вопросительным знаком.

В-третьих, понимание логической структуры составной задачи (в данном случае составной задачи на сложение и вычитание) поможет сформировать общие умения решения составных арифметических задач.

При этом мы хотим обратить особое внимание на роль, которую мы отводим рассмотренным схемам. Не следует считать, что решение каждой составной задачи обязательно должно сопровождаться составлением схемы. Схемы нам нужны для демонстрации логической структуры задачи, а понимание логической структуры задачи, в свою очередь, помогает найти ее решение. Поэтому схемы мы будем использовать только с целью формирования общего умения решать задачи и именно в тех заданиях, когда работа со схемой оправдана и не усложняет, а помогает в поиске решения.

Кроме этого, круговые схемы можно рассматривать как элементы своеобразного логического конструктора, а это вносит в достаточно монотонный процесс овладения учащимися умением решать задачи элемент разнообразия и занимательности, что может активизировать познавательные процессы.

В задании 224 учащимся сначала предлагается распознать, какая из схем какой из данных задач соответствует, а после этого решить каждую задачу. При этом задачи подобраны таким образом, что они легко объединяются в одну составную задачу с помощью введения промежуточного неизвестного (этим промежуточным неизвестным будет число 45 из условия второй задачи). Как это реально можно сделать, мы увидим при выполнении следующего задания.

В задании 225 предлагается записать по действиям решение задачи, формулировка которой построена из двух формулировок задач предыдущего задания. Так как соответствующие простые задачи уже были решены, то записать решение этой задачи по действиям означает фактически повторить запись решения каждой из соответствующих простых задач. Поэтому учащиеся не должны в этом испытывать затруднения. Когда же им будет предложено сравнить решения этой задачи с решениями двух предыдущих задач, то они смогут установить связь между ними и объяснить смысл термина «составная задача». Необходимую информацию о простых и составных задачах учащиеся смогут получить из словаря (с. 148 учебника).

Итак, с этого момента мы знакомим учащихся с терминами «простая задача» и «составная задача», и теперь этими терминами можно оперировать не только в диалоге «автор – учитель», но и в диалогах «автор – ученик» и «учитель – ученик».

Заключительная часть этого задания посвящена тому, чтобы продемонстрировать, как из двух круговых схем можно построить схему составной задачи, введя промежуточное неизвестное. Следует обратить внимание на наличие в схеме двух вопросительных знаков, которые имеют различный смысл: один из них обозначает промежуточное неизвестное, а другой – искомое. Промежуточное неизвестное распознать легко: именно посредством промежуточного неизвестного две схемы объединяются в одну. Графически это означает, что промежуточное неизвестное находится в том прямоугольнике, который принадлежит сразу двум схемам. Часть схемы, в которой промежуточное неизвестное выполняет роль искомого, соответствует первому действию решения составной задачи, а другая часть, где промежуточное неизвестное превращается в данное, соответствует второму действию решения составной задачи.

В задании 226 предлагается записать решение задачи по данной схеме. Начинать анализ надо с установления промежуточного неизвестного, а уже потом переходить к выделению той части, которая определяет первое действие решения задачи. Это действие нужно записать (с вычисленным результатом), после чего этот результат нужно поставить (можно мысленно) на место промежуточного неизвестного. Теперь уже можно выделить часть схемы, которая соответствует второму действию решения задачи. Далее следует записать это действие и вычислить ответ.

Заключительный этап выполнения задания состоит в формулировке задачи по данному решению. Для этого нужно подобрать соответствующий сюжет, или можно предложить воспользоваться сюжетом задачи из предыдущего задания.

В задании 227 предлагается выбрать из двух схем ту, которая соответствует данной задаче. Для осуществления выбора учащимся следует сначала предложить проанализировать каждую схему с точки зрения решения, которое эта схема определяет. Как проводить такой анализ, учащиеся уже знают (см. методические рекомендации к предыдущему заданию). Они могут даже записать те решения, которые эти схемы определяют. После этого уже не составит особого труда отыскать решение (а значит, и схему), которое соответствует данной задаче.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 228 предлагается составить задачу по данной схеме.

Можно начать выполнение с отыскания решения, которое определяет данная схема. Далее можно сформулировать простые задачи по каждой части этой схемы, а уже потом формулировать составную задачу для всей схемы.

В задании 229 мы предлагаем учащимся сопоставить краткую запись составной задачи в виде таблицы и соответствующую ей схему.

При таком сопоставлении нужно обратить внимание учащихся на то, где в краткой записи и схеме представлены данные из условия задачи, где – промежуточное неизвестное, а где – искомое.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях столбиком»

Мы предлагаем подборку заданий тренировочного характера на сложение и вычитание столбиком. В этой подборке особое место занимает задание 232, так как при его выполнении учащиеся познакомятся с некоторой модификацией алгоритма сложения столбиком, которая рассчитана на случай трех и более слагаемых. Мы не забыли также предложить задание и на использование схем для анализа составных задач на сложение и вычитание.

В заданиях 230 и 231 учащимся предлагается поупражняться в применении алгоритмов сложения и вычитания столбиком. Особое внимание следует обратить на правильность выполнения учащимися последнего задания на вычитание.

При выполнении задания 232 учащиеся не только смогут поупражняться в использовании разрядной таблицы при сложении многозначных чисел, но и познакомятся с возможностью применения поразрядного способа сложения для нахождения значения суммы трех (и более) слагаемых. Числа мы подобрали таким образом, чтобы учащиеся не столкнулись со случаем перехода через разряд.

При выполнении этого задания важно обратить внимание учащихся на то, что мы нигде не фиксируем промежуточный результат сложения двух слагаемых, а сразу записываем окончательный результат сложения трех слагаемых. Эта модификация алгоритма сложения столбиком играет очень важную роль, так как входит составной частью в алгоритм умножения на многозначные числа (исключая двузначные).

В задании 233 учащимся предлагается поупражняться в сложении сразу трех чисел столбиком.

Задание 234 относится к заданиям повышенной сложности. Связано это не с числами, над которыми нужно выполнять указанные действия, а с тем, что учащимся предлагается самостоятельно сделать выУмножение “круглого” числа на однозначное»

вод о возможности такого преобразования данного выражения, когда оно будет иметь вид разности двух сумм. Именно в этом случае для вычисления значения выражения нужно сначала выполнить сложение нужное число раз, а уже потом единственный раз выполнить вычитание. При этом данное выражение следует заменить следующим выражением: (35 897 + 25 461 + 13 548) – (12 435 + 22 413).

В задании 235, которое также относится к заданиям повышенной сложности, предлагается восстановить пропущенные цифры в записи чисел, которые участвуют в сложении и вычитании столбиком. Процесс восстановления цифр в каждом случае следует начинать с разряда единиц, а далее по порядку переходить к следующему разряду. Так как в каждом разряде два числа, которые участвуют в действии сложения (вычитания), известны, то третье число определяется по соответствующим правилам. Особое внимание следует обратить на случаи перехода через разряд при сложении и на случай заимствования в соседнем разряде при вычитании.

При выполнении задания 236 учащиеся смогут не только повторить правила решения уравнений с неизвестным слагаемым, с неизвестным вычитаемым, с неизвестным уменьшаемым, но и еще раз поупражняться в вычислении столбиком.

В задании 237 предлагается записать решение предполагаемой задачи, которое определяет данная схема. Сами задачи формулировать не нужно. Важно правильно записать решение, а потом правильно вычислить ответ, используя алгоритмы сложения и вычитания столбиком. Только после проведения всей работы можно предложить учащимся поупражняться в составлении задач по данным схемам.

Тема: «Умножение “круглого” числа на однозначное»

(2 урока) Этой темой мы открываем блок тем, посвященных изучению свойств действия умножения. Первая тема этого блока посвящена вопросу умножения «круглого» числа на однозначное. Нас будут интересовать в первую очередь те «круглые» числа, которые могут выступать в роли разрядных слагаемых. Это продиктовано вспомогательным характером данной темы. Умение умножать «круглые» числа на некоторое однозначное число нас интересует не само по себе (хотя и этот аспект не следует совсем сбрасывать со счета), а в связи с формированием умения умножать многозначное число на однозначное. К рассмотрению этого случая мы сможем перейти только после проведения соответствующей подготовительной работы.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Задание 238 мы предлагаем с целью повторения определения умножения, что необходимо сделать для понимания сути следующего задания.

Выполняя задание 239, учащиеся должны прийти к выводу, что десятки умножаются на число так же, как и единицы. Этот вывод базируется на аналогии со случаем умножения из задания 238 и на том факте, что десятки складываются так же, как и единицы.

В задании 240 предлагается поупражняться в умножении десятков на однозначные числа. Все предлагаемые случаи аналогичны соответствующим табличным случаям умножения.

При выполнении задания 241 мы предлагаем учащимся перейти от умножения десятков на число к умножению соответствующих «круглых» чисел на это число. Этот переход можно осуществить, если в данном равенстве первый множитель, который записан как 4 дес. заменить на «круглое» число 40, а значение произведения 12 дес. заменить на число 120. В конце задания учащимся даже предлагается цепочка преобразований, которая может служить доказательством верности равенства 40•3=120. От учеников требуется только дать соответствующие пояснения к этим преобразованиям.

Завершая работу с этим заданием, учитель может обратить внимание учащихся на то, что аналогичные преобразования можно сделать и для других подобных случаев умножения. Например, для случаев из задания 240.

При выполнении задания 242 учащиеся смогут поупражняться в умножении «круглых» десятков на однозначное число, используя вычислительный прием из предыдущего задания. Во второй части этого задания им предлагается высказать предположение относительно того, что при умножении «круглых» десятков на некоторое число обязательно получаются «круглые» десятки. Обосновать это можно, опираясь на то, что умножение «круглых» десятков на число можно заменить сложением (случай умножения на 0 и на 1 мы сейчас не рассматриваем), а при сложении «круглых» десятков обязательно получаются «круглые» десятки (об этом речь шла в учебнике 2 класса).

В задании 243 предлагается поупражняться в умножении «круглых» десятков на однозначные числа, но только теперь результат нужно указывать сразу, опираясь на соответствующие табличные случаи умножения.

Задания 244, 245, 246, 247 и 248 практически полностью повторяют соответственно задания 239, 240, 241, 242 и 243. Отличие состоит лишь в том, что вместо «круглых» десятков в них речь идет о «круглых» сотнях. Методические рекомендации к этим заданиям будут аналогичными. Работе с этими заданиями можно посвятить второй урок по данной теме.

Выполнение задания 249 подводит своеобразный итог изучению материала всей темы. Выполняя задания на умножение в каждом столбике, учащиеся еще раз смогут удостовериться в том, что умножение «круглых» десятков и «круглых» сотен на однозначное число ничем принципиально не отличается от умножения соответствующего числа единиц на это число. Так как среди «круглых» чисел нас в первую очередь интересуют разрядные слагаемые, то все возможные случаи умножения этих чисел на однозначные числа сводятся к табличным случаям умножения.

Тема: «Умножение суммы на число» (1 урок) Изучение этой темы мы включили по следующим причинам. Вопервых, это свойство, связывающее действия умножения и сложения (в математике оно называется правым распределительным или дистрибутивным законом умножения относительно сложения), интересно само по себе и полезно при проведении различных преобразований и вычислений. Во-вторых, и это для нас сейчас имеет принципиальное значение, данное свойство лежит в основе поразрядного способа умножения многозначного числа на однозначное, к рассмотрению которого мы перейдем при изучении следующей темы.

В задании 250 предлагается вычислить значение произведения (20+10)•3, заменив его суммой (20+10)+(20+10)+(20+10).

Задание 251 продолжает линию рассуждений, которую начали проводить учащиеся под нашим руководством при выполнении предыдущего задания. Теперь им предстоит убедиться в том, что сумму из предыдущего задания можно заменить суммой (20+20+20)+(10+10+10), а эту сумму, в свою очередь, можно заменить выражением 20•3+10•3. Все рассмотренные выражения имеют одно и то же значение. В этом учащиеся могут убедиться как с помощью соответствующих вычислений, так и на основе применения соответствующих свойств. Итогом выполнения этого задания является формулировка правила умножения суммы на число, которое учащимся нужно усвоить.

При выполнении задания 252 учащиеся смогут поупражняться в применении правила умножения суммы на число для вычисления значения соответствующих выражений.

В задании 253 предлагается вычислить значения данных произведений, разложив предварительно первый множитель на удобные слагаемые. После такого разложения интересующее нас произведение приобретает вид выражения, для которого применимо правило Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий умножения суммы на число. Именно этим правилом далее и нужно воспользоваться. Что касается удобных слагаемых, то ими могут быть как разрядные слагаемые, так и любые однозначные числа.

Выбор можно оставить за учащимися. Главное, чтобы они могли выполнить соответствующие случаи умножения.

В задании 254 учащиеся знакомятся с новым вариантом правила умножения суммы на число. С помощью вычислений они убеждаются в том, что изученное правило можно распространить и на сумму трех слагаемых. При этом нужно обратить их внимание на формулировку правила, с которым они познакомились при выполнении задания 251. В этой формулировке ничего не сказано о числе слагаемых, поэтому правило можно применять и к только что рассмотренному случаю без каких-либо изменений в формулировке.

При выполнении задания 255 учащиеся смогут поупражняться в применении изученного правила для произведений, первый множитель которых представляет собой как сумму трех слагаемых, так и сумму четырех слагаемых.

В задании 256 предлагается составить задачу, решением которой будет выражение (8+7)•4. Учащиеся могут трактовать данное выражение как с позиции четырехкратного повторения некоторого количества, составленного из 8 и 7 предметов, так и с позиции увеличения числа 8 сначала на 7, а потом того, что получилось, еще в 4 раза. Но сейчас для нас не это главное, а то, как учащиеся будут вычислять ответ составленной задачи, используя изученное правило.

Задание 257 относится к заданиям повышенной сложности.

Связано это с тем, что при выполнении задания, учащиеся еще раз смогут самостоятельно убедиться в справедливости правила умножения суммы на число. Но для этого им предложен не совсем обычный способ. Он заключается в том, что учащиеся должны составить одну задачу, которой отвечают два данных решения. Так как это будут решения одной и той же задачи, то этим обеспечено равенство значений данных выражений. Примером интересующей нас задачи может быть следующая задача: «В одной коробке с пирожными было 5 песочных пирожных и 4 бисквитных. Сколько всего пирожных в трех таких коробках?»

В задании 258 предлагается вычислить значения данных выражений любым удобным способом. Для одних выражений таким способом является применение правила умножения суммы на число, а для других – вычисление значения выражения без каких-либо дополнительных преобразований. При этом следует напомнить учащимся о правиле порядка выполнения действий в выражении со скобками.

Тема: «Умножение многозначного числа на однозначное»

(1 урок) Две предыдущие темы носили подготовительный характер. Случай умножения многозначного числа на однозначное имеет как самостоятельное, так и вспомогательное значение. Умение выполнять умножение многозначного числа на однозначное лежит в основе умения умножать многозначные числа, о чем речь еще пойдет во второй части учебника.

Итогом выполнения задания 259 должно стать знакомство учащихся с поразрядным способом умножения двузначного числа на однозначное. Этот способ основан на применении правила умножения суммы на число и на умении умножать «круглые» числа на однозначное число. Вся подготовительная работа к выполнению этого задания уже была проведена при изучении двух предыдущих тем.

В задании 260 учащимся предлагается поупражняться в применении рассмотренного в предыдущем задании способа умножения двузначного числа на однозначное.

При выполнении задания 261 учащиеся смогут познакомиться с аналогичным способом умножения трехзначного числа на однозначное. Он ничем принципиально не отличается от рассмотренного ранее способа умножения двузначного числа на однозначное.

В задании 262 учащимся предлагается поупражняться в применении поразрядного способа умножения трехзначного числа на однозначное.

В задании 263 предлагается решить простую задачу на увеличение в несколько раз. Найти решение этой задачи особого труда для учащихся не составит. Другое дело – вычислить ответ. Здесь они столкнутся со случаем умножения четырехзначного числа на однозначное. Чтобы выполнить это умножение, можно действовать аналогично тому, как они действовали при умножении трехзначного числа на однозначное. При этом нужно будет умножать «круглые»

тысячи на однозначное число, но это ничем принципиально не отличается от умножения «круглых» сотен на однозначное число.

Задание 264 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащимся нужно разделить 8888 на 4, т. е. найти число, которое в 4 раза меньше, чем 8888. Но такое деление учащиеся еще не в состоянии выполнить. Поэтому им нужно искать обходные пути. Возможный обходной путь состоит в применении «метода подбора»: учащимся можно предложить подобрать число, которое при умножении на 4 дает число 8888. Если потребуется помощь учителя, то можно предложить учащимся проверить сначала Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий число 1 111. После того как они получат число 4 444, им уже совсем нетрудно будет догадаться, что искомым числом будет число 2 222.

В задании 265 предлагается составить простую задачу на умножение по известному решению этой задачи. В первую очередь при выполнении этого задания нужно обратить внимание на этап вычисления ответа составленной задачи. При выполнении вычислений учащиеся смогут продемонстрировать свое умение умножать трехзначное число на однозначное с применением поразрядного способа умножения.

При выполнении задания 266 учащиеся еще раз поупражняются в умножении трехзначных чисел на однозначные. Но только теперь им предлагается начать преобразования не с самого начала, а с момента, когда уже применили правило умножения суммы на число.

Поэтому первым этапом выполнения этого задания является этап восстановления исходного произведения, что можно сделать, проведя рассуждения в обратном порядке: от данного выражения перейти к произведению суммы на число, вынося общий множитель за скобки, а уже потом выполнить сложение разрядных слагаемых.

После этого нужно вернуться к исходному выражению и вычислить его значение, совершая знакомые уже преобразования.

Тема: «Запись умножения в строчку и столбиком» (1 урок) При изучении темы учащиеся познакомятся с записью умножения столбиком. Им уже хорошо знакомы преимущества записи сложения и вычитания столбиком, поэтому естественно может возникнуть вопрос о записи в столбик действия умножения, и о том, какие преимущества дает такая форма записи. Предваряя эти вопросы учащихся, мы дали возможные ответы на них в преамбуле к данной теме.

Примечание. В данный момент мы не можем продемонстрировать преимущества такой формы записи и для умножения, так как эти преимущества явно будут видны только при умножении на многозначное число, а этот случай умножения мы будем рассматривать во второй части учебника. Однако мы считаем возможным дать учащимся соответствующую информацию перспективного характера. Это поможет им более естественно воспринять переход к записи умножения в столбик уже на этапе умножения на однозначные числа. Мы считаем необходимым введение такой формы записи умножения заранее, а не в тот момент, когда она действительно становится актуальной. Такая подготовительная работа к изучению алгоритма умножения столбиком поможет не отвлекать внимание учащихся на те моменты, которые можно усвоить заранее. Тем более что трудностей при изучении этого алгоритма возникает достаточно много.

В задании 267 учащимся предлагается познакомиться с записью умножения в столбик на примере вычисления значения произведения 21•4. При этом, анализируя соответствующую запись, учащиеся приходят к выводу, что поразрядный способ умножения можно легко реализовать и при записи в столбик. Для этого нужно производить умножение в каждом разряде первого множителя, и начинать умножение следует с разряда единиц. Такой порядок действий в разрядах для данного примера совсем не обязателен, но даже в этом случае лучше его не нарушать. Любое нарушение, которое сейчас допускается, в дальнейшем может привести к ошибкам.

В задании 268 предлагается сделать переход от записи в столбик к записи в строчку. Как и в случаях записи сумм и разностей, для записи произведения мы не используем черту, так как она заменяет знак равенства при записи в строчку, а знак равенства в запись произведения не входит.

В задании 269 учащимся предлагается осуществить переход от записи в строчку к записи в столбик. После выполнения предыдущего задания такую работу они уже смогут выполнить без особого труда:

у них перед глазами имеются образцы таких записей. На этом этапе освоения записи умножения в столбик важно обращать внимание на правильное расположение множителей друг под другом. Так как при записи произведения расположение чисел ничем не отличается от расположения чисел при записи суммы, то учащимся не составит особого труда освоить эту форму записи произведения.

В задании 270 рассмотренная запись в столбик для произведения дополняется тем, что появляется черта, которая заменяет знак равенства. В этом случае мы уже не можем говорить о записи произведения, но можем говорить о записи заданий на умножение.

В задании 271 предлагается решить простую задачу на умножение, а само решение записать в столбик. При вычислении ответа данной задачи учащиеся могут попробовать использовать эту запись (в данном случае нет перехода через разряд, и выполнение умножения сводится к выполнению умножения отдельно в каждом разряде). Если же у них возникнут затруднения, то можно предложить сделать запись в строчку и выполнить умножение по образцу из задания 259.

В задании 272 учащимся предлагается проверить правильность выполнения умножения с использованием записи в столбик. Мы предлагаем именно такой вид работы, так как наличие готового Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий результата поможет учащимся провести необходимые вычисления.

При этом следует учитывать, что все вычисления выполнены правильно. Никаких «ловушек» для учащихся не предусмотрено. Это совсем не означает, что задание теряет смысл, так как учащиеся не знают об этом, и они будут добросовестно делать проверку. Помещать же на страницах учебника задания с ошибками мы считаем нецелесообразно, так как такие задания могут зафиксироваться в памяти учащихся как правильные. На доске учитель может предлагать записи с ошибками, но после проведенного анализа обязательно их зачеркивать.

При выполнении задания 273 учащимся сначала предлагается вычислить значение произведения 3213•3 с помощью сложения столбиком. В полученной сумме будет три слагаемых, и учащимся нужно применить модифицированный вариант алгоритма сложения столбиком. Однако данные числа подобраны таким образом, что перехода через разряд не будет. Это облегчает работу учащимся.

После этого уже можно записать данное произведение и полученное его значение с помощью записи в столбик. Можно даже предложить учащимся проверить правильность вычисления, используя эту запись и поразрядный способ умножения.

Тема: «Вычисления с помощью калькулятора» (1 урок) Данная тема не относится к числу обязательных. Для проведения полноценного урока по этой теме необходимо обеспечить всех учащихся калькуляторами, а учителю желательно иметь демонстрационный калькулятор. Мы понимаем, что эти условия далеко не всегда могут быть выполнены. Именно по этой причине мы и оставляем на усмотрение учителя решение о проведении урока по данной теме. Если урок проводиться не будет, то данный материал можно использовать на внеклассных занятиях, или его можно фрагментарно включать в соответствующие уроки по другим темам.

В заданиях 274 и 275 учащимся предлагается проверить с помощью калькулятора правильность выполнения сложения и соответственно вычитания столбиком. Для проверки мы предлагаем только правильно выполненные задания, но учащиеся об этом заранее знать не должны.

В задании 276 предлагается выполнить с помощью калькулятора четыре задания на умножение. Дополнительное требование этого задания – записать данные произведения и полученные их значения столбиком.

В задании 277 предлагается выполнить с помощью калькулятора пять заданий на деление. Без калькулятора учащиеся такие задания выполнять еще не умеют, но с калькулятором это не составит им особого труда.

В задании 278 учащимся предлагается уже вычислить значения выражений, что связано с выполнением нескольких действий. Выполняя действия, они должны соблюдать порядок выполнения действий в соответствующем выражении, а также записывать промежуточный результат, если того требует конструкция данного числового выражения.

В задании 279 учащимся предлагается использовать калькулятор для подсчета числа звездочек в данном узоре. Сделать это они могут на этапе вычисления значений соответствующих произведений, а также при их сложении. Сами же произведения учащиеся должны установить без помощи калькулятора. Для этого им достаточно сосчитать для каждого из трех прямоугольников число звездочек в одном ряду и число таких рядов.

В задании 280 предлагается изображенная в виде рисунка последовательность нажатий клавиш на калькуляторе. Учащимся нужно восстановить выражение, значение которого будет вычислено, если нажимать клавиши, следуя данной последовательности. Так как в данном случае речь идет только о сложении четырех чисел, то рисунок фактически и дает ответ на поставленный вопрос. Единственное, на что нужно обратить внимание, знак «=». Этот знак не должен входить в запись выражения.

Что касается второй части этого задания, то при его выполнении мы хотим обратить внимание учащихся на тот факт, что если на калькуляторе набрать число, потом знак «+», потом еще число, а потом опять знак «+» (клавиша со знаком плюс в этой последовательности нажатий клавиш будет нажата второй раз), то табло калькулятора покажет нам число, которое будет являться значением суммы двух ранее набранных чисел. Если после этого мы наберем еще одно число и опять нажмем клавишу со знаком «+» (в третий раз), то табло калькулятора покажет значение суммы трех ранее набранных чисел, и т. д.

В задании 281 учащимся предлагается с помощью калькулятора вычислить значение суммы четырех слагаемых. Действовать они должны, следуя образцу из предыдущего задания, т. е. последовательно набирать все те знаки, которые используются для записи данного выражения. Последней должна быть нажата клавиша со знаком «=» (или со знаком «+», так как результат будет тот же).

Когда учащиеся сделают запись столбиком для всей суммы и для найденного ее значения, то им предлагается произвести проверку Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий только в разряде единиц. Для этого они должны сложить все числа из разряда единиц слагаемых и сравнить цифру разряда единиц полученного результата с цифрой разряда единиц полученного с помощью калькулятора значения всей суммы.

Задание 282 аналогично заданию 280. Отличие состоит лишь в том, что в данной последовательности нажатий клавиш кроме клавиш с цифрами и со знаком «+» встречается еще и клавиша со знаком «–». Учащимся хорошо известно, какое действие будет выполнено, если между набором соответствующих цифр будет нажата клавиша со знаком «–». Что же касается второй части задания, то ответ калькулятора на повторное нажатие клавиши со знаком «+»

или «–» будет таким же, как и при повторном нажатии только клавиши со знаком «+». Другими словами, после такого нажатия табло калькулятора покажет значение выражения, которое было набрано на калькуляторе до этого нажатия.

Тема: «Сочетательное свойство умножения» (1 урок) В данной теме мы продолжаем рассматривать свойства умножения.

Сейчас речь пойдет о сочетательном или ассоциативном свойстве умножения. С проявлением сочетательного свойства учащиеся уже сталкивались при изучении таких свойств сложения, как «прибавление числа к сумме» и «прибавление суммы к числу». Мы не вводили тогда термин «сочетательное свойство», считая это преждевременным. На данном этапе обучения таким термином учащиеся уже вполне могут оперировать. Более того, мы считаем, что сейчас вполне возможно построить изучение этого свойства таким образом, чтобы дать учащимся доступный вариант фактического его доказательства, и мы это делаем, сохраняя при этом подход, основанный на применении неполной индукции.

При выполнении задания 283 учащиеся познакомятся с фактическим доказательством сочетательного свойства умножения. Для этого им предлагается рассмотреть конструкцию, составленную из кубиков. Данная конструкция имеет форму прямоугольного параллелепипеда (размером 5х4х3). Учащимся предлагается два варианта вычисления числа кубиков в этой конструкции. В первом случае мы представляем, что вся конструкция состоит из столбиков по 3 кубика, а число таких столбиков легко найти, перемножив числа 4 и (см. соответствующий рисунок в учебнике). Таким образом, число всех кубиков равно значению выражения 3•(4•5). Во втором случае всю конструкцию можно представить состоящей из 5 слоев, в каждом из которых будет по 12 кубиков (см. соответствующий рисунок в учебнике). Число всех кубиков в этом случае можно вычислить с помощью выражения (3•4)•5. Так как число кубиков в конструкции не менялось, то мы доказали равенство 3•(4•5)=(3•4)•5. Но это равенство легко обобщается на произвольный набор трех чисел, так как аналогичное доказательство можно провести и с любыми другими числами.

В задании 284 мы сначала предлагаем учащимся поупражняться в составлении равенств на основе сочетательного свойства умножения (пока не называя его), а уже потом знакомим их с возможным вариантом формулировки этого свойства, который представлен в виде правила умножения числа на произведение. После того как будет введена формулировка сочетательного свойства умножения, можно предложить учащимся самостоятельно сформулировать сочетательное свойство сложения. Последняя часть этого задания знакомит учащихся с одним из важнейших применений изученного свойства, которое состоит в том, что произведение трех множителей можно записывать без скобок, так как от расстановки скобок не зависит значение этого выражения.

В задании 285 предлагается поупражняться в применении сочетательного свойства умножения с целью упрощения вычисления значения каждого из данных выражений. От того, как будут расставлены скобки в произведении трех множителей, зависит уровень сложности выполняемых вычислений, но не значение этого выражения.

Тема: «Группировка множителей» (1 урок) При изучении темы учащиеся смогут познакомиться с еще одним свойством умножения. Это свойство может быть названо свойством «группировки множителей». Такое название не является общепринятым, но оно хорошо отражает суть этого свойства. Фактически данное свойство заключается в комбинации переместительного и сочетательного свойств умножения. Эти два свойства позволяют в произведении трех множителей не только в любом порядке расставлять скобки, но и в любом порядке расставлять множители.

В задании 286 учащимся сначала предлагается сопоставить данные рисунки и данные произведения. Как это можно сделать, им уже известно на примере выполнения задания 283 из предыдущей темы. Так как анализируемых ситуаций достаточно много, то это требует внимательной и кропотливой работы. В итоге должно получиться, что первому рисунку соответствует выражение 3•(2•5), второму – 2•(3•5), третьему – (3•5)•2, четвертому – (2•5)•3, пятому – (2•3)•5, шестому – 5•(2•3).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Вторая часть задания посвящена доказательству того, что значения всех этих произведений равны. Мы предлагаем это сделать следующим образом: учащиеся должны доказать, что с помощью любого из данных произведений можно вычислить число кубиков в соответствующей конструкции (прямоугольный параллелепипед размером 2х5х3). Это фактически и означает, что значения всех этих произведений равны. Сам же процесс доказательства указанного выше факта состоит в том, что на всех шести рисунках представлены конструкции, которые легко трансформируются в данный прямоугольный параллелепипед. Для этого достаточно только соединить отдельные элементы конструкции, не изменяя их и не переставляя.

В задании 287 учащимся предлагается из шести произведений из задания 286 выбрать то, значение которого легче всего вычислить.

Так как значения всех этих произведений равны, то вычисление значения одного произведения фактически означает вычисление значения любого из этих произведений. Тем самым мы показываем учащимся одно из применений свойства группировки множителей, которое носит вычислительный характер.

При выполнении заданий 288 и 289 учащиеся еще раз поупражняются в применении изученного свойства для упрощения процесса вычисления, а также поупражняются в комбинаторных умениях, расставляя и группируя различным образом данные множители в произведении.

В задании 290 предлагается восстановить пропущенные числа в верных равенствах, используя сочетательное свойство умножения.

Для этого им достаточно поставить числа, записанные в одной части равенства, на аналогичные места во второй части равенства.

В задании 291 предлагается записать в виде произведения трех множителей число учеников в классе. Для этого учащиеся должны сначала записать в виде произведения число парт в классе. У них должно получится произведение 5•3. После этого можно записать и число учащихся, сидящих за этими партами. В итоге получится такое произведение: 2•(5•3). Это задание мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

Тема: «Умножение числа на произведение» (1 урок) При изучении данной темы мы еще раз возвращаемся к сочетательному свойству умножения. Именно сочетательное свойство умножения позволяет заменить умножение числа на произведение умножением этого числа на первый множитель, а полученного результата на второй множитель данного произведения. А это, в свою очередь, означает, что процесс последовательного многократного увеличения числа в несколько раз можно заменить однократным увеличением в соответствующее число раз. Так, если некоторое число или величину сначала увеличили в 3 раза, а потом еще в 4 раза, то это означает, что произошло увеличение в 12 раз. Именно этот аспект сочетательного свойства умножения мы сейчас и будем рассматривать.

При выполнении задания 292 учащиеся еще раз смогут убедиться в том, что от расстановки скобок в произведении трех множителей не зависит значение этого выражения. Это означает, например, что вычислить значение произведения 5•28 можно, умножив сначала на 4, а потом полученный результат умножив на 7.

В задании 293 учащимся предлагается поупражняться в вычислении значений произведений, предварительно представив второй множитель в виде произведения.

При выполнении задания 294 учащиеся смогут познакомиться с тем фактом, о котором речь шла в общих методических рекомендациях по изучению данной темы. Этот факт им предлагается сформулировать самостоятельно в виде предположения, а потом проверить его справедливость на примере увеличения числа 10 сначала в 2 раза, а потом еще в 3 раза. Совсем простые вычисления показывают, что итоговое увеличение в этом случае происходит в 6 раз.

При этом все проводимые вычисления базируются на сочетательном свойстве умножения.

В задании 295 предлагается проанализировать ситуацию, которая носит обратный характер: процесс увеличения в данное число раз нужно представить как двух- и трехступенчатый процессы. Для этого достаточно представить данное число в виде произведения соответствующего числа множителей. Для числа 8 такими представлениями будут: 8 = 2•4, 8 = 4•2, 8 = 2•2•2. Задание мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

В задании 296 даны различные произведения трех множителей с первым множителем 15. Если вычислить значение каждого такого произведения, то это будет фактически означать, что число умножили на произведение оставшихся двух множителей, т. е. увеличили 15 в соответствующее число раз. Это число в каждом случае можно найти, перемножив оставшиеся два множителя (кроме числа 15) данного произведения.

Задание 297 мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

При его выполнении от учащихся потребуется перенести полученные только что знания на случай увеличения длины в несколько раз. При этом сама интересующая нас длина должна быть найдена с помощью измерения. На основании анализа данного чертежа Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий и измерения длин отрезков легко установить, что для получения длины второго отрезка нужно в 3 раза увеличить длину первого отрезка, а для получения длины третьего отрезка нужно в 2 раза увеличить длину второго отрезка. После этого только с помощью действия умножения можно установить, что для получения длины третьего отрезка нужно увеличить в 6 раз длину первого отрезка.

Число 6 находится на основании правила умножения на произведение, примененного в обратном порядке.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

При выполнении задания 298 учащиеся смогут поупражняться в умножении «круглых» чисел на однозначные числа.

Задание 299 посвящено повторению правила умножения суммы на число.

В задании 300 предлагается поупражняться в умножении многозначных чисел на однозначные с применением поразрядного способа умножения, а также в записи в столбик действия умножения.

Задание 301 еще раз возвращает учащихся к свойствам группировки множителей и умножения числа на произведение. Именно эти два свойства позволяют значение произведения трех множителей трактовать как результат увеличения одного из множителей в такое число раз, которое можно вычислить, если перемножить два оставшихся множителя. Это задание мы относим к заданиям повышенной сложности.

В задании 302 предлагается вычислить значение данного произведения, используя только табличные случаи умножения и правило группировки множителей. Сделать это учащиеся смогут, если представят данное произведение следующим образом (3•2)•(4•2). Тогда процесс вычисления искомого значения сведется к последовательному обращению к трем табличным случаям умножения, а именно:

3•2 = 6, 4•2 = 8, 6•8 = 48. Это задание мы относим к заданиям повышенной сложности.

В задании 303 предлагается вычислить периметр квадрата со стороной 125 см. Сделать это учащиеся могут, вычислив значение произведения 125 см•4. Процедура умножения величины на однозначное число ничем принципиально не отличается от процедуры умножения многозначного числа на однозначное. Поэтому они могут выполнить умножение 125 на 4, а полученный результат трактовать как длину, выраженную в сантиметрах.

В задании 304 учащимся предлагается вычислить длину забора, огораживающего участок прямоугольной формы. Фактически речь идет о вычислении периметра прямоугольника со сторонами 30 м и 20 м. Искомый периметр можно вычислить разными способами.

Нас интересуют два способа, которые могут быть описаны с помощью следующих выражений: (30 м + 20 м)•2 и 30 м•2 + 20 м•2.

Равенство значений этих выражений убеждает учащихся в возможности применения правила умножения суммы на число и для суммы длин, а не только для суммы чисел.

В задании 305 предлагается определить, во сколько раз увеличили число на втором этапе преобразований, если на первом этапе это увеличение произошло в 3 раза, а в итоге данное число увеличилось в 24 раза. Методом подбора достаточно легко находится число 8, умножая на которое число 3, мы и получим число 24. Если кто-то из учащихся интересующее нас число найдет с помощью деления на 3, то это следует рассматривать как проявление фактора опережающего обучения.

Задание 306 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается увеличить число 4 в 16 раз, используя только табличные случаи умножения. Для этого им нужно соответствующим образом представить число 16 в виде произведения. Выполнить требование задания мы сможем только в том случае, когда 16 будет представлено следующим образом: 16 = 2•8. В этом случае увеличение числа 4 в 16 раз можно произвести в два этапа: сначала увеличить 4 в 2 раза (табличный случай умножения), потом полученное число 8 увеличить еще в 8 раз (табличный случай умножения).

Задание 307 относится к заданиям повышенной сложности. В нем также рассматривается процесс поэтапного увеличения данного числа в несколько раз. Только теперь неизвестным является исходное число. Для установления этого числа учащиеся сначала должны определить, во сколько раз в итоге это число было увеличено. Так как увеличение проходило в два этапа, и каждый раз число увеличивалось в 3 раза, то в итоге его увеличили в 9 раз. Учитывая, что при увеличении в 9 раз получилось число 27, то методом подбора можно установить, что исходное число равно 3. Это же число можно найти и с помощью деления 27 на 9, но такой способ решения может быть доступен только отдельным учащимся, которые хорошо понимают смысл действия деления и знают табличные случаи деления. Данное задание может служить основой для парной работы, которая может быть организована в виде игры по отгадыванию задуманного числа.

В задании 308 предлагается установить, во сколько раз увеличили число на втором этапе преобразований, если на первом этапе его увеличили в 3 раза, а в итоге оно увеличилось в 18 раз. Ответ на этот вопрос учащиеся могут получить либо «методом подбора», либо разделив 18 на 3.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Тема: «Кратное сравнение чисел и величин» (1 урок) После того как учащиеся расширили свои знания о действии деления, мы имеем возможность рассмотреть вопрос о кратном сравнении чисел и величин, в основе которого и лежит умение выполнять действие деления.

При выполнении задания 309 учащиеся убеждаются в том, что, разделив одно число на другое, можно узнать во сколько раз первое число больше второго (или во сколько раз второе число меньше первого). Для этого им нужно только последовательно отвечать на все поставленные вопросы.

Задание 310 имеет цель акцентировать внимание учащихся на той информации, которую они получили при выполнении предыдущего задания.

В задании 311 сначала предлагается еще раз поупражняться в ответе на вопрос о том, во сколько раз одно число больше (или меньше) другого. После этого учащиеся могут познакомиться с соответствующей терминологией, которая применяется в этом случае.

Дополнительную информацию о кратном сравнении они могут получить из словаря (с. 148 учебника).

При выполнении задания 312 учащиеся смогут познакомиться с процедурой кратного сравнения величин на примере такой величины, как длина.

В задании 313 предлагается выполнить кратное сравнение величин. В отличие от кратного сравнения чисел кратное сравнение величин имеет одну важную особенность: деление одной величины на другую можно производить только тогда, когда они выражены в одинаковых единицах. В этом случае деление величин ничем принципиально не отличается от деления чисел. И в том и в другом случае с помощью деления мы определяем, во сколько раз делимое больше делителя (или во сколько раз делитель меньше делимого).

При этом значение частного всегда будет показывать, сколько раз делитель содержится в делимом. Даже если делимое и делитель являются величинами, значение частного величиной не будет. При выполнении предыдущего задания учащиеся могли в этом убедиться. Если же величины представлены в разных единицах (например, случай сравнения 2 дм и 2 см), то сначала их нужно привести к одной общей единице, иначе деление не будет иметь никакого смысла.

В задании 314 учащимся еще раз предлагается поупражняться в кратном сравнении чисел. После проведения такого сравнения для всех данных пар чисел, учащиеся должны составить верные равенства. Такими равенствами будут: 32 : 8 = 24 : 6 и 48 : 6 = 32 : 4.

В задании 315 мы возвращаемся к кратному сравнению величин.

Привести пример двух длин, одна из которых в 10 раз больше другой, учащиеся могут на основе знания соотношения между метром и дециметром, или между дециметром и сантиметром, или между сантиметром и миллиметром. Желательно, чтобы были приведены различные примеры, в том числе и такие, как 20 см и 2 см.

Тема: «Задачи на кратное сравнение» (2 урока) Данная тема является естественным продолжением предыдущей темы. В ней речь пойдет о задачах на кратное сравнение. Этот тип задач легко распознается по специфическому требованию, когда в формулировке задачи говорится о том, что нужно узнать, во сколько раз одно число (величина) больше или меньше другого (другой величины). Аналогичную ситуацию мы имели, когда рассматривали задачи на разностное сравнение. Сопоставление этих двух видов сравнения (разностного и кратного) обязательно должно быть проведено. Это поможет увидеть учащимся существующие различия между ними, что, в свою очередь, будет являться гарантией от возможных ошибок при решении данных типов задач. Именно с этого сопоставления мы и начинаем изучение данной темы.

В задании 316 учащимся сначала предлагается сравнить две задачи. Обе задачи имеют общее условие, но разные требования. Первая задача является задачей на разностное сравнение, а вторая – на кратное сравнение. При этом им предлагается самим высказать предположение о том, почему вторая задача так называется. Сделать это будет совсем нетрудно, так как до этого момента вся необходимая подготовительная работа будет уже проведена.

В задании 317 предлагается дополнить данное требование условием с заданными числами. По данному требованию сразу можно сказать, что составленная задача будет задачей на кратное сравнение, а это, в свою очередь, сразу говорит и о решении составленной задачи.

В задании 318 ситуация по сравнению с предыдущей меняется:

известно условие задачи, а нужно дополнить его требованием, но не любым, а таким, чтобы получилась задача на кратное сравнение.

Желательно, чтобы учащиеся предложили два варианта требования:

один со словами «во сколько раз больше», другой – со словами «во сколько раз меньше». После того как составленная задача будет решена, а также будет вычислен и записан ответ, можно предложить учащимся составить задачу с новым требованием, которое используется в задачах на разностное сравнение.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 319 предлагается готовое решение задачи, по которому нужно составить задачу на кратное сравнение. После того как будет вычислен и записан ответ составленной задачи (решение уже было известно заранее), учащимся предлагается изменить требование задачи так, чтобы решение не изменилось. Речь идет об использовании другого варианта требования задачи на кратное сравнение, которое отличается от первого варианта только тем, что слово «больше» заменяется словом «меньше» или наоборот. В этом случае решение и, соответственно, вычисление ответа останутся без изменений, а запись полного ответа нужно будет скорректировать.

При выполнении заданий 320 и 321 от учащихся потребуется понимание того факта, что кратное сравнение дает ответ не только на вопрос о том, во сколько раз одно число больше (или меньше) другого, но и на вопрос о том, во сколько раз нужно увеличить (уменьшить) одно число, чтобы получить другое.

В задании 322 предлагается решить задачу на кратное сравнение величин. Особенность условия этой задачи состоит в том, что данная величина измеряется в «вагонах», а не в тоннах или центнерах.

Однако для проведения кратного сравнения это принципиального значения не имеет. Важно лишь то, что все измерено в одинаковых единицах. В этом случае мы с помощью деления можем узнать, во сколько раз одна величина (одно число) отличается от другой величины (другого числа).

В задании 323 учащиеся имеют дело с ситуацией, аналогичной ситуации из предыдущего задания. Только теперь величина измеряется в «цистернах», а не в тоннах. При анализе сюжета данной задачи можно провести небольшую пропедевтическую работу, готовящую к изучению величины «вместимость».

В задании 324 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать и решить любую задачу на кратное сравнение. Учителю нужно обязательно обратить их внимание на выбор данных: одно число должно обязательно делиться на другое.

В задании 325 предлагается решить задачу, которая формально не является задачей на кратное сравнение, но фактически таковой является. Об этом можно судить по решению данной задачи, а также по тому, что можно переформулировать требование задачи, сделав ее задачей на кратное сравнение, но сохранив смысл первоначального требования. При вычислении ответа данной задачи мы предлагаем воспользоваться калькулятором, так как речь идет не о табличных случаях деления (если величины выражены в сантиметрах). Если же величины выразить в дециметрах, то деление становится табличным.

В задании 326 задача легко разбивается на две самостоятельные задачи: первая задача на вычисление периметра прямоугольника, а вторая – на кратное сравнение этого периметра и длины одной секции ограды. Если пойти по этому пути, то мы столкнемся со случаем деления, который учащимся трудно будет выполнить. Поэтому мы и предлагаем найти такое решение этой задачи, в котором деление представлено только табличными случаями. Сделать это можно с помощью вычисления необходимого числа секций ограды для каждой стороны участка отдельно (ситуация упрощается за счет того, что противоположные стороны участка имеют одинаковую длину).

После этого полученные результаты останется только сложить. Решение в этом случае может быть записано по действиям так:

1) 30 м : 5 м = 6 (секц.) 2) 25 м : 5 м = 5 (секц.) Задание 327 относится к заданиям повышенной сложности. Мы предлагаем учащимся так сформулировать требование к данному условию, чтобы задача решалась в два действия деления. Указание на одно действие деления есть уже в условии («…до железнодорожной станции в 2 раза ближе, чем до озера»). Второе действие деления можно обеспечить за счет требования задачи на кратное сравнение.

Оно может быть таким: «Во сколько раз от дома до пасеки ближе, чем от дома до железнодорожной станции?». Если учащиеся будут испытывать затруднения в формулировке этого требования, то можно сначала предложить им выполнить первое действие решения задачи, в котором вычисляется расстояние от дома до железнодорожной станции, а уже после этого формулировать искомое требование.

В задании 328 предлагается сформулировать любую задачу на кратное сравнение, в ответе которой получалось бы число 5. Для этого учащиеся сначала должны записать возможное решение такой задачи (например, 35 : 7), а уже потом формулировать саму задачу.

В задании 329 предлагается сформулировать задачу на кратное сравнение по данному чертежу. Для этого учащиеся сначала должны произвести измерения длины отрезка (должно получиться 6 см) и измерение и вычисление длины ломаной (должно получиться 12 см), а уже после этого можно формулировать задачу на кратное сравнение этих длин.

Задание 330 относится к заданиям повышенной сложности.

Мы еще раз предлагаем учащимся сопоставить задачи на разностное сравнение и на кратное сравнение, подчеркивая тот факт, что у них может быть общее условие. Требования и решения этих задач совпадать не могут, но есть один арифметический случай, когда Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий при одинаковом условии и в ответе получается одно и то же число.

Именно этот случай и должны отыскать учащиеся. Другими словами, им нужно предложить найти такие два числа, которые дают один и тот же результат при выполнении над ними и действия вычитания, и действия деления. Такими числами будут числа 4 и (4 – 2 = 2 и 4 : 2 = 2). После установления этого факта составление требуемых задач уже не будет вызывать затруднений.

Тема: «Поупражняемся в сравнении чисел и величин»

В заданиях 331 и 332 речь идет о кратном сравнении чисел. При этом учащиеся неявно знакомятся с понятием делителя данного числа (числа 24) и кратного данного числа (числа 4).

В задании 333 учащимся предлагается провести кратное сравнение величин без каких-либо дополнительных преобразований.

В заданиях 334 и 335 также речь идет о кратном сравнении величин, но особенность этих заданий состоит в том, что сначала учащимся предлагается выполнить сравнение величин, а уже потом их кратное сравнение. Уже на этапе «обычного» сравнения величин они должны осуществить переход к одной и той же единице.

В заданиях 336 и 337 предлагается решить задачи на кратное сравнение величин. При этом из условия этих задач можно сразу узнать только одну величину, а вторую нужно предварительно вычислить.

Таким образом, данные задачи будут решаться в два действия.

В заданиях 338 и 339 возвращаемся к процедуре поэтапного увеличения (уменьшения) данного числа. При выполнении этих заданий следует обратить внимание учащихся на то, что для ответа на поставленный вопрос нам не нужно знать число, которое подвергается увеличению (уменьшению), а нужно только знать, во сколько раз на каждом этапе происходит увеличение (уменьшение) этого числа. Работа с конкретным числом на последнем этапе выполнения этих заданий нужна лишь для того, чтобы на примере удостовериться в правильности сделанного вывода.

В задании 340 предлагается рассмотреть процесс поэтапного уменьшения числа 60 сначала в 2 раза, а потом еще в 3 раза. Чтобы ответить на поставленный вопрос, совсем необязательно осуществлять этот процесс (тем более, что это требует знания внетабличных случаев деления), а воспользоваться знаниями, о которых речь шла при анализе предыдущего задания.

При выполнении задания 341 учащиеся сначала могут поупражняться в нахождении периметров квадрата, треугольника, прямоугольника, а уже потом и в кратном сравнении полученных длин.

В задании 342 учащимся предлагается начертить квадрат, периметр которого в 5 раз больше периметра квадрата со стороной 1 см. Прежде чем чертить такой квадрат, учащиеся должны установить длину его стороны. Кто-то может пойти по пути вычисления периметра данного квадрата с последующим увеличением его в 5 раз. После чего уже можно вычислить длину стороны искомого квадрата. А кто-то может сразу предложить увеличить сторону данного квадрата в 5 раз, так как тогда и периметр увеличится в 5 раз.

Рассуждения такого плана нельзя считать доказательными, так как у учащихся не будет достаточных знаний для ссылок, но правильные рассуждения на интуитивной основе также следует поощрять.

Тема: «Сантиметр и миллиметр» (1 урок) Мы переходим к рассмотрению блока тем, которые посвящены вопросам изучения такой единицы длины, как миллиметр, и установления соотношения между миллиметром и другими единицами длины (сантиметром, дециметром и метром).

Примечание. Если следовать идее использования терминологической основы для введения данного понятия, то понятие «миллиметр» нам следовало бы вводить на основе сопоставления с понятием «метр». Однако мы этот путь считаем не очень удачным. Дело в том, что тогда нам нужно было бы как-то продемонстрировать учащимся тысячную долю метра, что технически сделать не очень просто. Гораздо легче продемонстрировать десятую долю сантиметра. Именно поэтому миллиметр мы вводим на основе сопоставления его с сантиметром.

При выполнении задания 343 учащиеся сами смогут установить соотношение между сантиметром и миллиметром, опираясь на шкалу измерительной линейки. Именно на ней наглядно показано деление сантиметра на 10 равных частей, а это, в свою очередь, позволяет определить миллиметр как одну десятую долю сантиметра. С понятием доли учащиеся познакомились еще во 2 классе при изучении темы «Деление на равные части».

При выполнении задания 344 учащиеся могут поупражняться в переводе длин из сантиметров в миллиметры. В результате будет обязательно получаться «круглое» число миллиметров.

При выполнении задания 345 они могут поупражняться в обратном переводе длин из миллиметров в сантиметры.

В задании 346 от учащихся требуется измерить длину отрезка в миллиметрах. В процессе измерения они должны рассматривать Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий каждый сантиметр как 10 мм, считая по 10 мм столько раз, сколько целых сантиметров укладывается по длине в этой полоске. Отдельно измеряется оставшаяся часть полоски, в которой уже сантиметр не укладывается, и это число миллиметров прибавляется к полученному ранее «круглому» числу миллиметров.

В задании 347 предлагается заполнить в тетради таблицу, в которой под каждым данным числом миллиметров будет стоять такое число миллиметров, которое дополняет его до 1 см, т. е. до 10 мм.

Арифметическая суть этого задания заключается в повторении аддитивного (на основе сложения) состава числа 10.

В задании 348 от учащихся требуется выразить данные длины в сантиметрах и миллиметрах. Для выполнения этого задания учащиеся могут поступить следующим образом. Сначала каждую длину можно представить в виде суммы «круглого» числа и однозначного числа миллиметров. Например, 37 мм = 30 мм + 7 мм. После этого первое слагаемое переводится в сантиметры (см. задание 345) и к результату добавляется второе слагаемое.

При выполнении задания 349 учащиеся смогут поупражняться и в переводе данных «смешанных» длин в миллиметры (процедура носит обратный характер по отношению к процедуре из предыдущего задания), и в сложении длин, выраженных в миллиметрах. При выполнении этого задания может быть организована парная работа.

В задании 350 предлагается вычислить периметр прямоугольника, длины сторон которого выражены в сантиметрах и миллиметрах.

Процесс вычисления периметра требует от учащихся выполнения сложения «смешанных» длин. Как это делать, им уже известно из предыдущего задания. При выполнении этого задания можно организовать парную работу.

Тема: «Миллиметр и дециметр» (1 урок) В данной теме рассматриваются две уже известные учащимся единицы длины. Новым знанием будет соотношение между этими единицами, вывести которое они могут вполне самостоятельно.

При выполнении задания 351 осуществляется вывод соотношения между дециметром и миллиметром. Для получения соответствующего равенства учащимся достаточно правильно ответить на все поставленные вопросы. Учитывая, что ученики умеют выражать дециметры в сантиметрах, а сантиметры в миллиметрах, можно поставить перед ними задачу, в которой требуется выразить дециметры в миллиметрах, т. е. установить непосредственное соотношение между дециметрами и миллиметрами, минуя посредничество сантиметров.

В задании 352 учащимся предлагается выразить дециметры в миллиметрах, используя полученное соотношение. В результате будут получаться числа, которые относятся к «круглым» сотням.

Формально эта процедура заключается в приписывании справа двух нулей к данному числу дециметров.

При выполнении задания 353 учащимся потребуется выполнить обратные преобразования по отношению к тем, которые они выполняли в предыдущем задании. Сейчас речь идет о переводе «круглых» сотен миллиметров в дециметры. Формально эта процедура будет заключаться в отбрасывании двух нулей справа от данного числа миллиметров.

Для выполнения задания 354 от учащихся потребуется умение выражать данные «смешанные» длины в миллиметрах. После такого преобразования первой из данных длин можно говорить о равенстве построенных отрезков.

В задании 355 предлагается отыскать среди данных длин самую большую и начертить отрезок такой длины. Перед тем как сравнивать длины, их нужно выразить в одной и той же единице. Такой единицей в нашем случае является миллиметр. Самой большой будет длина, равная 14 см или 140 мм.

В задании 356 предлагается выполнить сложение и вычитание длин. Как и ранее, прежде чем выполнять указанные действия, данные длины нужно выразить в одной и той же единице. И в этом случае такой единицей будет миллиметр.

Задание 357 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается показать на чертеже, как можно из квадратного листа бумаги со стороной 1 дм вырезать четыре модели круга радиусом 25 мм. Выполнение этого задания можно перевести в практическую плоскость, если подготовить соответствующий раздаточный материал (модель квадрата со стороной 1 дм и четыре модели круга с радиусом 25 мм). Выполняя это задание, учащиеся могут просто манипулировать с этим раздаточным материалом. Если ученики достаточно хорошо подготовлены, то они могут выполнять эти манипуляции умозрительно. В итоге должен получиться такой чертеж (рис. 2).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 358 учащимся предлагается измерить и записать длину полоски в дециметрах и миллиметрах. Фактически это означает, что сначала нужно отмерить от этой полоски максимально возможное число дециметров. В данном случае это будет 1 дм. После этого оставшуюся часть нужно измерить в миллиметрах и добавить результат измерения к уже имеющемуся результату отмеривания дециметров, т. е. к 1 дм.

В задании 359 учащимся предлагается начертить отрезки длиной 15 см и 1 дм 50 мм. После этого нужно обвести красным цветом тот отрезок, который имеет большую длину. Но это требование невыполнимо, так как эти отрезки равны по длине.

Для выполнения заданий 360 и 361 учащимся сначала нужно измерить в миллиметрах данные отрезки, потом увеличить (уменьшить) полученную длину на заданное число миллиметров и начертить отрезок полученной длины.

Тема: «Миллиметр и метр» (1 урок) Логика изучения данной темы в основном подобна логике изучения предыдущей темы: системы предлагаемых заданий принципиальных отличий не имеют. Если же задание содержит определенную специфику, то мы обязательно на это обращаем внимание в методических рекомендациях к такому заданию.

При выполнении задания 362 осуществляется вывод соотношения между метром и миллиметром. Для получения соответствующего равенства учащимся достаточно правильно ответить на все поставленные вопросы. Учитывая, что они умеют выражать сантиметры в миллиметрах, им не составит особого труда выразить и 100 см в миллиметрах. Но 100 см – это и есть 1 м, поэтому соотношение между метром и миллиметром учащиеся фактически могут вывести самостоятельно.

Заключительная часть этого задания посвящена работе с термином «миллиметр». Именно сейчас, а не раньше, мы можем достаточно легко и понятно объяснить арифметический смысл этого термина.

Дополнительную информацию учащиеся могут получить из словаря (с. 148 учебника).

В задании 363 предлагается выразить длину в 1 м с помощью других единиц. Такими единицами могут и должны быть дециметр, сантиметр и миллиметр.

Эти соотношения будут использоваться при выполнении других заданий.

Для выполнения задания 364 учащиеся сначала должны привести все данные длины к одной и той же единице, а именно к миллиметру. После этого выбрать самую маленькую длину не составит особого труда. Этой длиной будет длина 1 м 5 дм 8 мм, так как при переводе ее в миллиметры мы получим 1508 мм. В двух других случаях будет получаться длина 1580 мм.

В заданиях 365 и 366 предлагается выполнить сложение (вычитание) длин, выразив их предварительно в одной и той же единице (в первом случае – в миллиметрах, а во втором – в метрах). После такого преобразования остается только выполнить указанное действие над соответствующими числами.

В задании 367 предлагается заполнить таблицу. Смысл таких таблиц учащимся хорошо известен: они заполняли их в достаточно большом количестве.

В арифметическом плане данную таблицу можно рассматривать как таблицу аддитивного состава числа 1000 с заданным первым слагаемым.

В задании 368 предлагается выполнить вычитание длин. Какие перед этим нужно сделать преобразования, учащиеся должны решить самостоятельно.

В задании 369 фактически предлагается выполнить разностное сравнение длин (хотя явно об этом ничего не сказано). После такого сравнения можно найти пары длин, которые отличаются на 10 мм. Этими парами являются: 4 м 26 мм и 4016 мм, 416 мм и 406 мм.

В задании 370 учащимся уже в явном виде предлагается выполнить разностное сравнение длин.

В задании 371 им предлагается выполнить кратное сравнение данных длин. Для того чтобы сделать эту процедуру легко выполнимой, нужно выразить данные длины в удобных для этого единицах.

Так, первую пару длин лучше выразить в дециметрах, а вторую пару длин – в сантиметрах.

Задание 372 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается поработать с вымышленным термином «киломиллиметр». Чтобы узнать, чему равен в метрах 1 кмм, нужно вспомнить смысл слов «кило» и «милли», с которыми учащиеся познакомились при изучении соответствующих тем. Так как «милли» означает уменьшение в 1000 раз, а «кило» – увеличение в 1000 раз, то 1 «киломиллиметр» будет равен 1 метру.

Если учащиеся с пониманием воспримут это задание, то можно им предложить самим придумать «фантастические» единицы.

Например, «килодециметр» (1 кдм = 100 м), «милликилометр»

(1 мкм = 1 м), «килосантиметр» (1 ксм = 10 м) и т. п.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Тема: «Поупражняемся в измерении и вычислении длин»

В задании 373 учащимся предлагается измерить и записать длину каждого из данных отрезков. В качестве показателя точности измерения следует выбрать единицу длины миллиметр. Сам же результат измерения может быть выражен и в смешанных единицах.

При выполнении задания 374 учащиеся смогут поупражняться в построении отрезков заданной длины. При этом в задании фигурируют все возможные в этой ситуации единицы длины: от миллиметра до дециметра.

В задании 375 предлагается провести измерения и вычислить периметр данного четырехугольника. Измерения следует проводить с точностью до миллиметра. Полученный результат нужно сравнить с результатом соседа по парте. Таким образом, будет организована парная работа.

Чтобы выполнить задание 376, учащиеся должны прийти к выводу, что деление отрезка на две части так, чтобы одна часть была в 2 раза длиннее другой, фактически означает деление этого отрезка на три равные части. При этом любая из двух точек деления отрезка на три равные части может являться искомой точкой.

Для выполнения задания 377 учащиеся сначала должны измерить длину каждого из данных отрезков, после этого полученные длины нужно сложить, а уже потом построить отрезок, длина которого равна сумме длин данных отрезков.

В задании 378 предлагается вычислить периметр четырехугольника, длина сторон которого уже известна. Так как в этом случае измерения производить не нужно, то задача становится только вычислительной, а вычисления связаны со сложением длин, в чем учащиеся уже достаточно много упражнялись.

В задании 379 речь идет о периметре фигур, составленных из одинаковых квадратов со стороной 5 мм. Такие фигуры можно легко изобразить на клетчатом листе бумаги. Периметр каждого такого многоугольника можно вычислить и установить, что наибольший периметр имеет фигура 1, а наименьший – фигура 5. Однако можно прийти к этому выводу, не вычисляя периметры фигур. Чем больше у фигуры сторон квадратов, которые являются «внутренними» и которые не участвуют в вычислении периметра, тем меньше сам периметр, и наоборот. Меньше всего «внутренних» сторон у фигуры (7 сторон), поэтому она имеет самый большой периметр. Больше всего «внутренних» сторон у фигуры 5 (12 сторон), поэтому она имеет самый маленький периметр. Очень важно, чтобы ученики научились работать с фигурами, разбитыми на квадратные клеточки (или составленными из одинаковых квадратов), так как эти умения активно будут востребованы при изучении такой величины, как площадь.

Тема: «Изображение чисел на числовом луче» (1 урок) Мы начинаем рассматривать блок тем, при изучении которых учащиеся познакомятся с одним из способов графического представления данных. Эта графическая конструкция носит название «диаграмма сравнения». Диаграммы сравнения можно использовать и при решении задач, особенно это касается задач на разностное и кратное сравнение (указание на это есть и в названии диаграммы). Первая тема в этом блоке носит подготовительный характер. При ее изучении мы напомним учащимся основные факты, связанные с изображением чисел на числовом луче (эту тему они изучали в конце 2 класса), а также проведем необходимую подготовительную работу для рассмотрения диаграмм сравнения.

При выполнении задания 380 учащиеся познакомятся с понятием «единичный отрезок», которое играет важную роль при изображении чисел на числовом луче, а также при построении диаграмм.

Они должны усвоить, что длина единичного отрезка может быть любой и выбирается она так, чтобы было удобно изображать интересующие нас числа. Таким образом, длина единичного отрезка не постоянна, а может меняться произвольно. После выбора длины единичного отрезка все остальные числа занимают строго определенные места на числовом луче: число 2 отстоит от начала луча на два единичных отрезка, число 5 – на пять и т. д.

В задании 381 предлагается изобразить на числовом луче числа 20, 10, 5 и 30, если есть изображение числа 40. На данном луче отмечена точка, изображающая число 30. На это можно обратить внимание учащихся, если они будут испытывать затруднения при выполнении данного задания. После этого отметить оставшиеся точки уже не составит особого труда.

В задании 382 предлагается изобразить на числовом луче числа 30, 50 и 60 при условии, что на нем изображено число 10. Рассуждать учащиеся в этом случае должны примерно так: «На луче изображено число 10, которое должно отстоять от начала луча на десять единичных отрезков. Чтобы изобразить число 30, нужно найти точку, отстоящую от начала луча на тридцать единичных отрезков, для этого можно три раза отложить отрезок, на который отстоит от начала луча число 10». Аналогично можно рассуждать и при изображении чисел 50 и 60.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 383 предлагается изобразить на числовом луче числа 12, 6 и 3 при условии, что на нем изображено число 24. Рассуждать учащиеся могут аналогично тому, как они это делали при выполнении предыдущего задания. Отличие состоит лишь в том, что теперь нужно не увеличивать в несколько раз длину данного отрезка, а уменьшать ее в соответствующее число раз. Если числа изображать в той последовательности, как они указаны, то изображение «нового» числа всегда будет связано с уменьшением в 2 раза (отысканием половины) длины отрезка, на который отстоит от начала луча «старое» число.

Для выполнения задания 384 учащиеся сначала должны убедиться в том, что отмеченная точка является серединой отрезка, на который отстоит от начала луча число 8. После этого уже не составит особого труда понять, что данная точка изображает число 4.

При выполнении задания 385 учащиеся смогут убедиться в том, что между числами и между длинами соответствующих отрезков на числовом луче существует одна и та же зависимость (в смысле отношения кратного сравнения): например, если число в 3 раза больше другого, то и отстоит оно от начала луча на расстояние в 3 раза больше. Именно эта закономерность и позволяет иллюстрировать отношение между числами через отношения длин соответствующих отрезков (или полос). Таким образом, мы готовим учащихся к восприятию диаграмм сравнения.

Выполнение задания 386 потребует от учащихся изобретательности в выборе единичного отрезка. Они еще напрямую не сталкивались с ситуацией, когда привычный выбор единичного отрезка в длину стороны одной клеточки невозможен, так как изобразить нужно достаточно большие числа (ни 50, ни тем более 100 клеточек не помещаются на листе тетради). Выход из этого положения один – взять единичный отрезок меньше по длине. Так как интересующие нас числа являются «круглыми» десятками, то отсчет мы можем вести тоже десятками (см. задание 382). В этом случае нам не нужно указывать единичный отрезок в явном виде: мы можем ограничиться указанием точки, изображающей число 10. Можно, например, взять эту точку так, чтобы она отстояла от начала луча «на две клеточки».

Тема: «Изображение данных с помощью диаграмм» (1 урок) При изучении этой темы учащиеся познакомятся с диаграммами сравнения. Из всех возможных видов диаграмм сравнения мы остановили свое внимание на диаграммах полосчатого вида (данные изображаются с помощью длины горизонтальных полос). Это продиктовано следующими причинами: во-первых, при горизонтальном расположении числовой оси учащиеся будут иметь перед глазами привычный образ числового луча; во-вторых, горизонтальное расположение отрезков (полос) более привычно для выполнения измерения; в-третьих, такое расположение более компактно при использовании рабочего пространства листа учебника или листа тетради. С помощью диаграмм сравнения можно изображать некоторые данные, иллюстрируя тем самым отношения между ними.