[ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Методические указания к выполнению лабораторных работ
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки
230100.62 – «Информатика и вычислительная техника»
Составитель Л. Г. Астахова
Владикавказ 2014
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)"
Кафедра "Автоматизированная обработка информации"МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Методические указания к выполнению лабораторных работ Для студентов, обучающихся по направлению подготовки 230100.62 – «Информатика и вычислительная техника»Составитель Л. Г. Астахова Допущено редакционно-издательским советом Северо-Кавказского горно-металлургического института (государственного технологического университета) Протокол заседания РИСа № 1 от 17.01.2014 г.
Владикавказ УДК 519. ББК 22. А Рецензент кандидат технических наук, доцент Северо-Кавказского горно-металлургического института (государственного технологического университета) Мирошников А. С.
А91 Математическая теория планирования эксперимента: Методические указания к выполнению лабораторных работ. Для студентов, обучающихся по направлению подготовки 230100.62 – "Информатика и вычислительная техника" / Сост. Л. Г. Астахова; Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек», 2014. – 77 с.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторных работ по курсу «Математическая теория планирования эксперимента» для студентов по направлению подготовки 230100.62 «ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА» и содержат необходимые материалы по выполнению лабораторных работ. Приводятся краткие теоретические сведения в объёме, необходимом для выполнения работ, а также алгоритмы методов решения задач.
Подготовлено кафедрой «Автоматизированной обработки информации».
УДК 519. ББК 22. Печатается в авторской редакции.
Составление. ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)», Астахова Л. Г., составление, Подписано в печать 22.08.2014. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс».
Печать на ризографе. Усл. п.л. 4,48. Уч.-изд. л. 2,95. Тираж 20 экз. Заказ №.
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Издательство «Терек».
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
Лабораторная работа
ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Цель работы: Изучение основных понятий, определений, принципов теории планирования экспериментов, приобретение навыков проведения экспериментов по построению математических моделей, ознакомление с методикой построения регрессионных моделей.Эксперимент – метод научного исследования, когда исследователь активно и целенаправленно воздействует на объект исследования путем создания искусственных условий или использования естественных условий, необходимых для выявления конкретных свойств объекта.
Эксперименты делятся на пассивные и активные (управляемые). В пассивном эксперименте контролируемые (входные) параметры нельзя изменять, в активном – можно.
Планирование эксперимента – область знания, связанная с построением и оптимизацией математических моделей.
Объект исследования рассматривается как носитель некоторых неизвестных или подлежащих исследованию свойств и качеств – своеобразный «черный ящик». При этом вектор Х1…Хk представляет собой группу контролируемых и управляемых величин, которые могут изменяться определенным образом в ходе эксперимента, а Z1…Zk контролируемые характеристики. Характеристики (Х1…Хk) также называют факторами или управляемыми воздействиями. Функция Y – функция отклика (поверхность отклика), представляет собой реакцию системы на воздействие факторов. Также можно выделить и третью, не обозначенную на идеальной модели систему входных сигналов – это шумы или помехи, которые обусловлены многими факторами: ошибками обслуживающего персонала, влиянием внешней среды, погрешностью приборов и т.д. К этой же группе относятся воздействия, которые не могут контролироваться либо из-за их сложности, либо из-за незнания их природы и невозможности контроля.
Характеристики объектов имеют различную физическую природу, а, следовательно, и размерность, что затрудняет построения модели. Поэтому на практике значения факторов, которые имеют реальный физический смысл, нормируют (приводят к определенному ранее заданному набору значений). Для любого фактора Х существует нижний Хmin и верхний Xmax уровни изменения значений.
Структурная схема объекта (процесса) при проведении активного Факторное пространство Приведем алгоритм нормировки фактора:
• выбираем масштаб и положение осей координат таким образом, чтобы Хi min соответствовало –1, а Xi max +1;
• вычисляем значение Хi 0 для данного фактора следующим образом • вычисляем интервал изменения фактора;
• находим нормированное значение Хн для каждого фактора:
Зависимость реакции объекта от точки факторного пространства называется функцией отклика Y, а ее геометрическое представление Y(x1, x2,…, xi) – поверхностью отклика. Векторов значений функции отклика может быть столько, сколько опытов.
Проведение эксперимента Эксперимент состоит из опытов (воспроизведение исследуемого явления). Под планированием эксперимента понимают выбор плана эксперимента – совокупности данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Каждый опыт эксперимента характеризуется определенным набором значений факторов.
Вектор, содержащий некоторый набор конкретных значений факторов ХI, определяет q-ю точку плана эксперимента. Совокупность векторов Хq (q = 1, 2, …, n) образует план эксперимента (матрица, содержащая k строк и n столбцов, каждая строка которой образует точку плана эксперимента, а столбец фактор эксперимента).
Совокупность всех точек плана, отличающихся уровнем хотя бы одного фактора (различных строк матрицы планирования), называется спектром плана. Матрица, получаемая из всех различных строк плана – матрица спектра плана. Она отличается от приведенной выше матрицы только числом строк (из-за отсутствия повторяющихся точек плана). При количестве точек спектра плана G, ее размерность будет составлять: G строк на N столбцов. Применяется также матрица дублирования, размерность которой совпадает с размерностью матрицы спектра плана. Она имеет вид:
Здесь Кj – число параллельных опытов в точке спектра плана с номером j (j = 1, 2, …, N). Т.е. это число характеризует дублирование соответствующей строки в матрице спектра плана.
Для описания объектов управления часто используются полиномиальные модели. При этом в качестве базисного выражения используется ряд Тейлора, имеющий конечное число членов.
Но при использовании аппроксимирующего полинома Тейлора в приведенном выше виде возникает ряд проблем, связанных с нахождением производных, так как неизвестна функция, а известен только ряд ее значений. Поэтому заменим полином Тейлора на аналогичное ему уравнение регрессии где k – число столбцов в матрице планирования. Построим линейную регрессионную модель. Для ее экспериментального получения используем план первого порядка (факторный эксперимент первого порядка).
Для k-факторного эксперимента достаточно k + 1 опытов. При определении коэффициентов регрессии должны выполняться необходимые и достаточные условия:
1. Результаты измерений выходной величины Y в N точках факторного пространства – нормально распределенные величины.
2. Дисперсии реализации во всех точках факторного пространства одинаковы, то есть не зависят от абсолютного значения величины и от направления обхода факторного пространства.
3. Входные переменные (факторы) – это независимые величины, которые измеряются с бесконечно малой ошибкой по отношению к ошибке выходной величины.
Оценка выполняется по критерию Фишера.
Любой многофакторный эксперимент является результатом варьирования всех факторов.
Полный факторный эксперимент Если в многофакторном эксперименте использованы все возможные комбинации уровней факторов, то такой эксперимент называется полным факторным экспериментом. Приведем таблицу (для линейного уравнения регрессии):
Количество Количество Количество опы- Достаточное количество факторов неизвестных тов в полном фак- для определения Полный факторный эксперимент (ПФЭ) включает в себя 2k опытов, которые при построении линейной модели могут полностью не использоваться. В общем случае ПФЭ позволяет найти 2k коэффициентов регрессии при 2k базисных функциях. Первые k + 1 базисные функции очевидны – они составляют линейную модель (f0 = 1 f1 = X1 f2 = X2 f3 = X3).
Приведем пример полного трехфакторного эксперимента (столбцы с первого по четвертый – первый столбец вводится искусственным путем и постоянен и равен 1). Эта матрица является матрицей базисных функций.
Свойства полного факторного эксперимента Матрица планирования ПФЭ обладает рядом свойств:
1) симметричность плана относительно центра эксперимента:
то есть сумма значений уровней любого фактора (столбца) равна 0 ;
2) нормировка плана:
сумма квадратов значений уровней любого фактора равна N (числу строк матрицы планирования ПФЭ);
3) ортогональность плана:
сумма по парных произведений значений уровней любых 2 факторов (кроме j = u) равна 0;
4) рототабельность плана – точность предсказания значений функции отклика одинакова на равном расстоянии от центра и не зависит от направления обхода.
Свойства ортогональности и рототабельности взаимоисключающие.
В некоторых случаях нет необходимости использовать полный факторный эксперимент. В таких случаях усекают количество строк матрицы ПФЭ до количества коэффициентов регрессионной модели. Это производится в случаях линейной регрессионной модели. Дробный факторный эксперимент удовлетворяет всем свойствам полного факторного эксперимента.
Определение коэффициентов уравнения регрессии После проведения опытов во всех точках факторного пространства необходимо найти коэффициенты уравнения регрессии. Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов:
то после дифференцирования получим Для линейной регрессии при k = 2:
продифференцировав по коэффициентам, получим:
Запишем уравнения в полной форме:
Отсюда, принимая в расчет свойства матрицы планирования, получим следующие формулы для вычисления коэффициентов
ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ
1. Используя программу генерации случайных чисел провести трехфакторный эксперимент в восьми точках (то есть сформировать три столбца и восемь строк в матрице планирования – заполнить ее случайным образом). Желательно взять ограничение до 20 при генерации случайных чисел, но учесть возможность его изменения по требованию преподавателя.2. Определить значения нулевых уровней факторов, выполнить нормировку факторов.
3. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0 = 1).
4. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.
5. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ, повторив 5 раз опыты в выбранных точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 в соответствии с вариантом, выданным преподавателем).
6. Найти коэффициенты уравнения регрессии.
7. Проверить свойства полного факторного эксперимента: симметричность, нормировку, ортогональность и рототабельность.
8. Составить уравнение регрессии в кодированном виде, привести его к натуральному, используя значение интервалов варьирования.
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
1. Используя генератор случайных чисел, найти значения факторов в точках, а также функцию отклика. Определить нулевой уровень фактора, провести нормировку.2. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0 = 1), и заполнить таблицу кодированными значениями Х1, Х2 и Х3.
3. Составить матрицу планирования для дробного трехфакторного эксперимента, пренебрегая взаимодействием факторов.
4. Провести эксперимент во всех точках ДФЭ (найти значения функции отклика Y). Для каждой точки плана провести по три эксперимента, значения функции отклика брать из таблицы 1 в соответствии с вариантом.
5. Получаем коэффициенты регрессии после упрощения системы уравнений b0, b1, b2, b3.
6. Уравнение регрессии будет иметь вид:
7. Полученное в кодированном виде уравнение регрессии преобразовать в натуральный, используя значения интервалов варьирования.
Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант 13,349 13,332 13,357 13,342 13, Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант 2,567 2,587 2,585 2,527 2,583 3,073 3,033 3,062 3,065 3, 4,148 4,183 4,155 4,144 4,169 5,191 5,186 5,221 5,156 5, 4,998 4,949 4,950 4,947 4,968 3,884 3,932 3,929 3,914 3, 9,758 9,689 9,701 9,711 9,686 14,70114,69014,73414,75414,
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта).2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных).
3. Основные теоретические положения (используемые формулы).
4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы).
5. Листинг программы (язык программирования не имеет значения).
6. Ответы на контрольные вопросы.
7. Результат выполнения работы.
8. Выводы по лабораторной работе.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется экспериментом?2. Какие бывают эксперименты?
3. Что называется планированием эксперимента?
4. Что образует план эксперимента?
5. Что называется спектром плана?
6. Чем характеризуется объект исследования? Дайте определение факторному пространству.
7. Что такое регрессионные полиномы и где они применяются?
8. Перечислите условия, необходимые для определения коэффициентов регрессии.
9. Что называется полным факторным экспериментом?
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Цель работы: Изучение методики проведения экспериментов по ортогональному плану, овладение теорией проверки адекватности модели оригиналу.Предположим, что в каждой точке факторного пространства, которой соответствует одна из строк матрицы планирования, проводится серия из m опытов. Для любой i-й точки вычисляется среднее значение выходной величины:
и построчную дисперсию выходной величины:
Рассмотрим этапы обработки результатов эксперимента на примере.
Среднее значение выходной величины Yi в каждой точке определим по формуле (1) (m = 3):
Определим по формуле (2) построчную дисперсию:
S2{y1} = [(43 – 42)2 + (35 – 42)2 + (48 – 42)2] / 2 = 43, S2{y2} = [(90 – 90)2 + (86 – 90)2 + (94 – 90)2] / 2 = 16, S2{y3} = [(10 – 14)2 + (16 – 14)2 + (16 – 14)2] / 2 = 12, S2{y4} = [(56 – 56)2 + (54 – 56)2 + (58 – 56)2] / 2 = 4.
Проверка однородности по критерию Кохрена Среди всей совокупности рассчитанных построчных дисперсий выбирается максимальная S2{yi}мах и берется отношение данной дисперсии к сумме всех построчных дисперсий S2{yi}, т.е. определяется расчетное значение коэффициента Кохрена:
который показывает, какую долю в общей сумме построчных дисперсий занимает максимальная из них. В случае идеальной однородности построчных дисперсий коэффициент Gp стремился бы к значению 1 / N, где N – число опытов (количество строк в матрице планирования).
Расчетное значение коэффициента Кохрена сравнивается с табличным значением G – критерия, которое выбирается из таблиц для принятого уровня значимости и для чисел степени свободы соответственно числителя f1 и знаменателя f2:
Для этого значение f1 находится в горизонтальном заголовке таблицы (выбирается столбец), а f2 выбирается слева в вертикальном заголовке таблицы (выбирается строка) и на пересечении получаем табличное значение Gт коэффициента Кохрена. Если выполняется условие то с выбранным уровнем статистической значимости (с достоверностью 1 – ) все построчные дисперсии признаются однородными. В противном случае гипотезу отвергают.
По данным из нашего примера определим расчетное значение коэффициента В соответствии с таблицей коэффициентов для = 0,05; f1 = 3 – 1 = 2;
f2 = 4, находим Gт = 0,77; Gт > Gp, т.е. условие выполняется.
Проверка нуль-гипотезы по критерию Стьюдента После проверки однородности переходят к определению оценок коэффициентов по формуле:
где k – номер вектор-столбца.
В нашем примере имеем:
Найденные таким образом коэффициенты уравнения регрессии необходимо оценить на статистическую значимость. Оценка производится по t-критерию Стьюдента. Для каждого коэффициента ak вычисляется коэффициент (ak – коэффициент уравнения регрессии):
т. е. проверяется отклонение от нуля найденной оценки. S{ak} – оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента.
Оценка дисперсии коэффициентов, найденных по экспериментальным данным:
Оценкой генеральной дисперсии воспроизводимости S2в, характеризующая точность одного измерения, является средняя из всех построчных дисперсий:
При выбранном уровне статистической значимости по таблицам распределения Стьюдента при числе степеней свободы f = N (m – 1) находят табличное значение коэффициента tтабл. Найденное табличное значение сравнивается с расчетным значением коэффициента. Если выполняется неравенство tтабл > tk, то принимается нуль-гипотеза, т.е. считается, что найденный коэффициент ak является статистически незначительным и его следует исключить из уравнения регрессии.
Для рассматриваемого примера:
Определим расчетные значения коэффициента Стьюдента:
Из таблиц при уровне статистической значимости = 0,05 и числе степеней свободы f = 4(3 – 1) = 8, определим табличное значение коэффициента. Оно равно tт = 2,3. Сопоставим расчетные значения tk с табличным tт. Неравенство выполняется для t12. Следовательно, можно предположить, что a12 статистически незначим и его можно исключить из уравнения регрессии.
Уравнение регрессии, содержащее статистически значимые коэффициенты, будет (в кодированной системе) Проверка адекватности по критерию Фишера Полученное уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность исследуемому объекту. Для этой цели необходимо оценить, насколько отличаются средние значения yi выходной величины, полученной в точках факторного пространства, и значения yi,полученного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства. Для этого используют дисперсию адекватности где l – число значимых коэффициентов.
Адекватность модели проверяют по F-критерию Фишера Fp = S2ад / S2в.
Найденное расчетным путем Fp сравнивают с табличным значением Fт, которое определяется при уровне значимости и числе степеней свободы fад = N – l и fв = N(m – 1). Если Fp < Fт, то полученная математическая модель с принятым уровнем статистической значимости адекватна экспериментальным данным.
Для рассматриваемого примера получаем:
Рассчитаем оценку дисперсии адекватности:
S2ад = 3[(42 – 43,5)2 + (90 – 88,5)2 + (14 – 12,5)2 + (56 – 57,5)2]/(4 – 3) = 27, Табличное значение коэффициента Фишера при уровне статистической значимости =0,05 и числе степеней свободы fад = (4 – 3) = 1 и fв = 4(3 – 1) = 8 будет Fт = 5,32. Следовательно, при выбранном уровне статистической значимости полученная в результате эксперимента:
адекватна исследуемому объекту.
ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ
1. Составить матрицу планирования для полного трехфакторного эксперимента с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0 = 1).2. Провести эксперимент, во всех точках факторного пространства повторив 5 раз опыты во всех точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 согласно варианту, выданному преподавателем).
3. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена.
4. Найти коэффициенты уравнения регрессии.
5. С помощью критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов регрессии.
6. Составить уравнение регрессии в кодированном виде и проверить его адекватность с помощью критерия Фишера.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Опишите план нахождения построчной дисперсии выходной величины?2. Для чего нужно расчетное значение коэффициента Кохрена и как он находится?
3. Что такое критерий Стьюдента и где он используется?
4. Для чего оценивают, насколько отличаются средние значения yi выходной величины, полученной в точках факторного пространства, и значения yi, полученного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства?
5. Чем определяется F-критерий Фишера и как его применяют?
Вариант 14,672 14,680 14,695 14,668 14, Вариант 13,041 13,081 13,051 13,089 13, 25,575 25,563 25,611 25,578 25, Вариант Вариант Вариант 3,072 3,028 3,080 3,049 3, 5,193 5,159 5,163 5,220 5, 3,932 3,955 3,893 3,915 3, 7,094 7,126 7,149 7,102 7, 4,740 4,704 4,668 4,698 4, 9,163 9,167 9,160 9,133 9, 6,336 6,396 6,369 6,405 6, 14,676 14,668 14,725 14,722 14, Вариант 13,349 13,332 13,357 13,342 13, 20,252 20,271 20,271 20,258 20, 11,282 11,269 11,293 11,249 11, 66,571 66,613 66,562 66,585 66, Вариант Вариант
ПОСТРОЕНИЕ ДВУХФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАДРАТИЧНОЙ МОДЕЛИ
Цель работы: Изучение методики построения квадратичных моделей объектов на основе планов второго порядка, теории композиционного планирования.Планы второго порядка предназначены для получения регрессионной модели в виде полного квадратичного полинома (полинома второй степени):
Для факторов xi в стандартизированном масштабе эта модель будет иметь вид:
Подобные планы применяют, как правило, либо в том случае, когда использование планирования первого порядка не позволило получить адекватную регрессионную модель, и выяснилась необходимость ее усложнения, либо если заранее известно, что объект исследования обладает существенными нелинейными свойствами.
По сравнению с планами первого порядка планы второго порядка являются более сложными по структуре, имеют большее число точек в спектре плана и уровней варьирования для каждого фактора, требуют при своей реализации увеличенного количества опытов. Действительно, квадn + 1)(n + 2 )] (n + 2) / 2 раз больше, чем в линейной модели. Значит, соответственно возрастает и минимально необходимое количество точек в спектре плана.
Для получения квадратичной зависимости каждый из факторов должен изменяться, по крайней мере, на трех уровнях.
Центрально-композиционные планы (ЦКП) любой модификации состоят из трех частей. Первая часть – основа или ядро плана – это ПФЭ 2n или ДФЭ 2n–p, где n – количество неизвестных коэффициентов регрессии, p = 0,1,2. При этом требуется, чтобы ядро плана обеспечивало раздельную оценку коэффициентов регрессии и всех парных взаимодействий. Данное условие накладывает весьма жесткое ограничение на возможную степень дробности используемого ДФЭ. В частности, при n 4, как показывают расчеты, может применяться лишь ПФЭ 2n; если 5 n 7, то кроме ПФЭ 2nможно использовать и ДФЭ 2n–1, а для n > 7 допустим также и ДФЭ 2n–2.
Вторая часть ЦКП – так называемые «звездные» точки, расположенные на координатных осях на расстоянии ± от центра эксперимента. Общее число таких точек равно 2n. Третья часть ЦКП – опыты в центре плана;
число таких опытов N0 1. Произвольный симметричный ЦКП приведен в таблице:
ДФЭ 2n – p) точки Центральные точки Таким образом, ЦКП для двух факторов и значения = 1 (± – расстояние от «звездных» точек до центра эксперимента), имеет вид:
При этом оценки коэффициентов регрессии мы будем находить, решая матричное уравнение Ф В = (FT Y), где:
Это уравнение можно переписать в виде где Ф–1 – нормированная обратная информационная матрица Фишера центрального композиционного плана второго порядка.
Ортогональный центрально-композиционный план Конкретные значения и N0 выбираются исходя из тех или иных критериев оптимальности регрессионных экспериментов ( – звездное плечо, N0 – количество экспериментов в центре плана). В связи с этим принято выделять ортогональные (ОЦКП) и рототабельные (РЦКП) центрально-композиционные планы.
В ОЦКП, как правило, N0 = 1, а план целиком строится с учетом критерия ортогональности (сумма попарных произведений значений уровней двух любых факторов (столбцов) равна нулю). Тогда информационная матрица Фишера должна быть диагональной, для чего необходимо, как это следует из вида информационной матрицы Фишера для произвольного центрально-композиционного плана, принять специальные меры для обеспечения по парной ортогональности столбцов, отвечающих свободному члену 0 и квадратичным коэффициентам i2, i = 1, 2, …, n, а также столбцов, отвечающих квадратичным членам между собой.
С этой целью, прежде всего, несколько видоизменяют систему базисных функций, а именно – ищут регрессионную модель в виде:
где N – общее число точек плана: N = число, определяющее дробность эксперимента, а i – коэффициенты уравнения регрессии). Как видно, в этой модели при квадратичных коэффициентах используются центрированные переменные. Переход к таким переменным обеспечивает ортогональность столбца матрицы F численных значений базисных функций, соответствующего свободному члену уравнения регрессии, и любого из столбцов центрированных квадратов (базисная функция вида ~i2 = xi2 x' i2 ). Действительно, для указанных столбцов имеет место следующее равенство:
Это равенство справедливо независимо от конкретного значения.
Однако, при произвольном, остаются неортогональными столбцы матрицы F, отвечающие различным центрированным квадратичным переменным. Поэтому, в ОЦКП числовое значение и выбирается как раз из условия ортогональности именно этих столбцов, т.е. исходя из условия:
или, в развернутом виде:
После несложных преобразований получаем уравнение для требуемого значения :
С помощью этой формулы найдены конкретные числовые значения при n = 2 8:
Ядро ПФЭ ПФЭ ПФЭ ПФЭ ДФЭ ПФЭ ДФЭ ПФЭ ДФЭ ПФЭ ДФЭ ДФЭ
ЦПК 1,000 1,215 1,414 1,596 1,547 1,761 1,724 1,909 1,885 2,045 2,029 2, Общее количество опытов N в ОЦКП равно N = 2n–p + 2n + N0. Таким образом, переходя к квадратичной модели с центрированными квадратичными переменными и используя указанные значения, можно добиться полной ортогонализации столбцов матрицы F.Оценки коэффициентов регрессии, полученные с помощью ОЦКП, некоррелированы между собой, что, впрочем, характерно для любого ортогонального плана.
Оценки коэффициентов регрессии для соответствующих групп равны:
Приведем теперь уравнение регрессии к более привычному для нас виду:
где Условие нормировки в случае ортогонального ЦКП не соблюдается, т. к. (k – номер любого столбца, кроме нулевого). Это значит, что точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова.
Оценки дисперсий для каждой из четырех однородных групп для m параллельных опытов подсчитываются по следующим формулам:
где S в – дисперсия воспроизводимости.
Таким образом, дисперсия оценки Y' функции отклика в некоторой точке факторного пространства зависит не только от расстояния этой точки до центра плана, но и от ее положения на гиперсфере. Значит, ОЦКП не удовлетворяет условию рототабельности. Поэтому, если не предъявляются особые требования к точности предсказания выходной величины по уравнению регрессии в любом направлении факторного пространства от базовой точки, предпочтительно применение ортогонального ЦКП ввиду его простоты.
ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ
1. Составить матрицу планирования ортогонального центральнокомпозиционного плана для двух факторов с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0 = 1).2. Провести эксперимент, во всех точках факторного пространства, повторив 5 раз опыты во всех точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы 1 согласно варианту, выданному преподавателем).
3. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена и, если необходимо, подобрать такое m (m – кратность проведения опытов, не больше 5), чтобы дисперсия была однородной.
4. Найти коэффициенты уравнения регрессии для нормализованной системы координат.
5. С помощью критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов регрессии.
6. Проверить адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.
7. Привести уравнение регрессии к натуральному виду.
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта).2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных).
3. Основные теоретические положения (используемые формулы).
4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы).
5. Проверка ортогональности столбцов матрицы.
6. Результат проверки однородности дисперсии по критерию Кохрена.
7. Коэффициенты регрессии i.
8. Результат проверки значимости коэффициентов регрессии.
9. Результат проверки адекватности модели оригиналу с помощью критерия Фишера.
10. Уравнение регрессии в натуральном виде.
11. Ответы на контрольные вопросы.
12. Выводы по лабораторной работе.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему в планах второго порядка возрастает минимально необходимое количество точек в спектре плана? Как определяется число членов квадратичной модели?2. В каких случаях используют квадратичную модель объекта?
3. Дайте определение ЦКП.
4. Цель натурализации уравнения регрессии.
5. Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы F?
6. Определение ОЦКП. Каким образом для ОЦКП выбирается числовое значение (звездного плеча).
7. Объясните, почему точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова.
Вариант 14,672 14,680 14,695 14,668 14, Вариант 13,041 13,081 13,051 13,089 13, 25,575 25,563 25,611 25,578 25, Вариант Вариант Вариант 3,072 3,028 3,080 3,049 3, 5,193 5,159 5,163 5,220 5, 3,932 3,955 3,893 3,915 3, 7,094 7,126 7,149 7,102 7, 4,740 4,704 4,668 4,698 4, 9,163 9,167 9,160 9,133 9, 6,336 6,396 6,369 6,405 6, 14,676 14,668 14,725 14,722 14, 8,385 8,390 8,404 8,421 8, Вариант 13,349 13,332 13,357 13,342 13, 20,252 20,271 20,271 20,258 20, 11,282 11,269 11,293 11,249 11, 66,571 66,613 66,562 66,585 66, Вариант 13,329 13,304 13,328 13,340 13, 20,255 20,278 20,304 20,279 20, 11,226 11,238 11,271 11,234 11, 66,599 66,605 66,588 66,595 66, 13,040 13,011 13,045 13,061 13, Вариант 13,040 13,011 13,045 13,061 13, 25,586 25,544 25,578 25,562 25, Вариант 14,677 14,670 14,718 14,690 14, Вариант
ПОСТРОЕНИЕ ДВУХФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РОТОТАБЕЛЬНОГО
ЦЕНТРАЛЬНО-КОМПОЗИЦИОННОГО ПЛАНА
Цель работы: Изучение методики построения квадратичных моделей объектов на основе планов второго порядка, теории композиционного планирования.При исследовании экстремальной области часто интерес представляет оценка не коэффициентов полученной регрессионной модели, а самой функции отклика. Кроме того, на практике часто можно значительно упростить регрессионную модель путем поворота координатных осей, т.е.
преобразованием координат. Рототабельное планирование, обеспечивающее погрешность предсказания выходной величины по уравнению регрессии, зависящую лишь от расстояния точки факторного пространства до центра эксперимента, позволяет предсказывать с одинаковой точностью значение функции отклика, а следовательно, преобразовывать систему координат с целью упрощения уравнения регрессии.
Основным условием рототабельности планов является инвариантность нормированной информационной матрицы Ф и корреляционной матрицы Ф-1 к вращению прямоугольных осей относительно начала координат, помещенного в базовую точку. Исходя из условия инвариантности матриц к вращению системы координат, точность оценок коэффициентов регрессии при вращении также не будет изменяться. Следует при этом отметить, что изменение момента масштаба входных переменных приводит к потере свойства рототабельности. Таким образом, необходимо поддерживать постоянство масштаба задания независимых переменных при проведении всего эксперимента.
Нормированная матрица Ф должна обладать некоторыми свойствами, чтобы быть инвариантной к ортогональному преобразованию (вращению).
Будем называть моментами плана элементы нормированной информационной матрицы:
а порядком момента величину:
Момент будет четным, если все степени pj четные, и нечетные, если хотя бы одна степень pj элемента нормированной информационной матрицы нечетна.
Для рототабельного плана второго порядка все нечетные моменты вплоть до четвертого порядка включительно должны быть равны нулю. К таковым относятся следующие моменты:
1. Первого порядка 2. Второго порядка 3. Третьего порядка 4. Четвертого порядка Все четные моменты такого плана должны удовлетворять таким соотношениям:
1. Второго порядка 2. Четвертого порядка Константа 2 выбирается из условия выбора масштаба плана, а константа 4 выбирается из условия невырожденности информационной матрицы.
Если все точки плана расположить на поверхности сферы с радиусом и с центром в начале координат нормированного факторного пространства, то дли любой I-ой точки данного плана можно записать:
В соответствии с матрицей Фишера (подматрица с линейными членами):
Таким образом, точки рототабельного плана, в которых реализуются опыты, должны быть расположены на нескольких (как минимум двух) концентрических гиперсферах с общим центром.
Для построения рототабельного ЦКП второго порядка необходимо выбрать соответствующие значения «звездного» плеча и количество центральных точек N0.
Запишем общие выражения для всех четных моментов 1. Нулевого порядка 2. Второго порядка 3. Четвертого порядка Таким образом, N2 = 2n + 22, N4 = 2n, 3N4 = 2n + 24.
Отсюда находим условие рототабельности:
или 4 = 2n.
Следовательно, чтобы ЦКП второго порядка обладал свойствами рототабельности, значение «звездного» плеча должно составлять:
Как и в случае ортогональных ЦКП, зависит от числа n входных величин. Для определения числа опытов в центре плана («нулевой» точке) необходимо исходить из условия невырожденности информационной матрицы Фишера для рототабельных планов:
Из последнего соотношения видно, что для построения рототабельного ЦКП с невырожденной информационной матрицей Фишера достаточно в центре плана проводить один опыт. Увеличение числа N0 опытов в центре плана приводит к увеличению числителя и позволяет усилить неравенство до требуемой степени.
Часто исследователя интересует информация о функции отклика в некоторой окрестности центра плана, т.е. требуется, чтобы информация о выходной величине, полученная на основании уравнения регрессии, была практически одинаковой (постоянной) внутри гипершара радиуса = для [0,1]. Такое планирование называется униформ-рототабельным.
Для его получения достаточно обеспечить равенство дисперсии в центре плана ( = 0) и на поверхности гиперсферы радиуса = 1. Этого добиваются подбором числа наблюдений N0 в центре плана.
В случае, когда число факторов велико, то в качестве «ядра» рототабельного ЦКП выбирается матрица ДФЭ. Оптимальное значение «звездного» плеча при этом определяется так:
В таблице приведены значения и N0 для РЦКП, причем значения N приведены для униформ-рототабельного плана.
Ядро ПФЭ ПФЭ ПФЭ ПФЭ ДФЭ ПФЭ ДФЭ ПФЭ ДФЭ
ЦПК Для нахождения методом наименьших квадратов оценки коэффициентов регрессии будем исходить из известного соотношения:откуда Это равенство может быть переписано в виде где Ф-1 – матрица, обратная нормированной информационной матрице Ф любого рототабельного плана.
Ввиду того, что подматрицы с линейными факторами, а также с их линейными взаимодействиями диагональные, то они легко обращаются (аналогично ортогональным планам).
В таблице приведена матрица рототабельногоn-мерного плана второго порядка, в которой используется обозначение:
Запишем формулы для определения оценок коэффициентов:
j,u = 1, n; j < u.
Точность вычисленных оценок определяется их дисперсиями. Для определения дисперсий оценок коэффициентов воспользуемся таблицей, в которой представлена матрица Ф-1, рассмотрев ее диагональные и недиагональные элементы. Поскольку в матрице недиагональные элементы не нулевые, то оценки коэффициентов регрессии квадратичных членов и оценка свободного члена остаются взаимозависимыми.
Исходя из системы оценок коэффициентов с учетом кратности m проведения опытов, получим:
Вторые слагаемые в выражениях оценок b0 и b j обусловлены наличием корреляционной связи между ними. Найдем эту зависимость:
Поскольку остальные подматрицы нормированной матрицы Фишера Ф и обратной матрицы Ф-1 диагональные или нулевые, то все остальные корреляционные моменты равны нулю. Из этого следует, что оценки коэффициентов b и b при факторах и их линейных взаимодействиях неj ju зависимы. Поэтому их можно проверять независимо от полученных оценок других групп коэффициентов на статистическую значимость на основании t-критерия Стьюдента, как и при ортогональном планировании. Если какой-либо из коэффициентов b или b окажется статистически неj ju значимым, то его можно исключить из уравнения регрессии, не пересчитывая оценки других коэффициентов. Значимость оценки b0 свободного члена или оценки b 2 квадратичных коэффициентов регрессии должна проверяться при фиксированных значениях всех остальных коэффициентов из этой группы с помощью F-критерия. Если какая-либо из оценок коэффициентов b или b 2 окажется статистически незначимой, то для ее исключения из уравнения регрессии требуется пересчет остающихся оценок данной группы.
Рассмотрим задачу проверки гипотезы адекватности полученной регрессионной модели, содержащей значимые коэффициенты. Вначале будем предполагать, что параллельные опыты не ставятся, т. е. m = 1. Тогда остаточная сумма квадратов может быть записана:
т.е. остаточная сумма разбита на сумму отклонений в точках ПФЭ (или ДФЭ), в «звездных» точках и на сумму отклонений опытных yi и расчетных y' i значений выходной величины в центре плана. Y'i Перепишем последнее выражение в виде:
В данном выражении первые два слагаемых связаны с общим рассеянием результатов наблюдений отклика относительно оценки регрессионной модели. Общее рассеяние связано со случайными погрешностями наблюдений, возникающими в результате влияния неконтролируемых факторов и систематическими погрешностями в случае неадекватности регрессионной модели и функции отклика. Третий член остаточной суммы связан с дисперсией, характеризующейся только случайной погрешностью опыта. Следовательно, с дисперсией адекватности (остаточной дисперсией) связана сумма:
Подставим уравнение регрессии в это выражение:
и получим остаточную сумму квадратов, связанную с дисперсией адекватности и имеющую число степеней свободы:
Если в каждой точке рототабельного центрального композиционного плана проводилось m параллельных опытов, то, проделав аналогичные выкладки, можно получить выражение для остаточной суммы, связанной с дисперсией адекватности. Оно будет отличаться заменой результатов y 'i единичных наблюдений в точках плана на средние арифметические yi = единичных наблюдений, а среднего арифметического y0 из N параллельных наблюдений в центре плана на общее среднее арифметическое y 0 из mN0 таких наблюдений, т. е.:
Данная остаточная сумма имеет то же число степеней свободы fад, что и предыдущая.
Далее для проверки адекватности модели необходимо для отношения дисперсии адекватности Sад = ост и дисперсии воспроизводимости применить F-критерий Фишера, как и в общем случае регрессионного анализа. Полученная адекватная модель позволяет не только предсказать с равной точностью независимо от направления значение величины отклика, но и оценить ординаты точки экстремума. Ввиду свойства рототабельности плана эта задача облегчается – можно от полинома второго порядка, полученного в результате эксперимента, преобразованием системы координат (поворотом координатных осей) перейти к стандартному каноническому уравнению.
ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ
1. Составить матрицу планирования ортогонального центральнокомпозиционного плана для двух факторов с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0 = 1).2. Провести эксперимент повторив 3 раза опыты во всех точках факторного пространства (найти значения функции отклика Y из таблицы согласно варианту, выданному преподавателем).
3. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена и, если необходимо, подобрать такое m (m – кратность проведения опытов, не больше 5), чтобы дисперсия была однородной.
4. Найти коэффициенты уравнения регрессии для нормализованной системы координат.
5. С помощью критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов регрессии.
6. Проверить адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера.
7. Привести уравнение регрессии к натуральному виду.
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта).2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных).
3. Основные теоретические положения (используемые формулы).
4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы).
5. Проверка ортогональности столбцов матрицы.
6. Результат проверки однородности дисперсии по критерию Кохрена.
7. Коэффициенты регрессии i.
8. Результат проверки значимости коэффициентов регрессии.
9. Результат проверки адекватности модели оригиналу с помощью критерия Фишера.
10. Уравнение регрессии в натуральном виде.
11. Ответы на контрольные вопросы.
12. Выводы по лабораторной работе.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему в планах второго порядка возрастает минимально необходимое количество точек в спектре плана? Как определяется число членов квадратичной модели?2. В каких случаях используют квадратичную модель объекта?
3. Дайте определение ЦКП.
4. Цель натурализации уравнения регрессии.
5. Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы F?
6. Определение ОЦКП. Каким образом для ОЦКП выбирается числовое значение (звездного плеча).
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ИССЛЕДОВАНИЙ
Цель работы: ознакомление студентов с использованием полного факторного эксперимента при исследовании технологических процессов.Студенты должны приобрести навыки постановки эксперимента, определения исследуемых факторов и области планирования эксперимента, составления матриц планирования полного факторного эксперимента, расчетов коэффициентов регрессии. При выполнении лабораторной работы студенты должны научиться работать с полученными математическими моделями. Перед студентами стоит задача изучения методов планирования полного факторного эксперимента применительно к технологическим задачам. Студенты должны освоить принципы составления матрицы планирования полного факторного эксперимента, проводить расчет коэффициентов регрессии, использовать статистические критерии для оценки однородности, нормальности экспериментальных данных, значимости коэффициентов и адекватности полученной математической модели. Студенты должны научиться работать с полученной моделью, строить изолинии.
Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для получения математической модели процесса. При этом важно учитывать следующее:
стремление к минимизации числа опытов; одновременное варьирование всех переменных, определяющих процесс; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов. Перед проведением планирования активного эксперимента необходимо собрать дополнительную информацию об исследуемом объекте, для получения которой используются навыки и знания, которые получены ранее в предыдущих исследованиях или описаны в литературе.
При использовании метода активного планирования весь эксперимент обычно разбивается на несколько этапов. Информация, полученная после каждого этапа, используется для планирования исследований на следующем этапе. Планирование эксперимента позволяет варьировать ряд факторов и получать одновременно количественные оценки всех проявляющихся эффектов. При этом в отличие от классического регрессионного анализа, избежать корреляции между коэффициентами уравнения регрессии. При статистическом подходе математическая модель объекта или процесса представляется в общем виде полиномом n-степени, т. е.
отрезком ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция.
Под планированием эксперимента понимают процесс определения числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Эффективность использования МПЭ при исследовании процессов в различных объектах объясняется тем, что их наиболее важные характеристики являются случайными величинами, распределение которых близко к нормальному.
Основная задача исследований – оптимизация, заключающаяся в нахождении совокупности варьируемых параметров, при которых выбранная целевая функция (параметр оптимизации) принимает экстремальное значение.
При решении задачи предполагается, что оптимизируется один параметр, каждый из факторов управляем, результаты опытов должны воспроизводиться. Для построения математической модели используется полный или дробный факторный план эксперимента, обладающий оптимальной матрицей планирования.
При планировании эксперимента цель исследования должна быть четко сформулирована и должна иметь количественную оценку. Характеристику цели, заданную количественно, называют параметром оптимизации.
Границы изменения факторов определяются так, чтобы обеспечить условия физической реализации процесса. Факторы должны быть управляемыми, независимыми (устанавливаться на любом уровне независимо друг от друга), однозначными (не являться функциями других). Кроме того, должны быть соблюдены некоторые ограничения:
1. Ограничения, связанные с условиями соблюдения техники безопасности при изучении данного процесса.
2. Ограничения, связанные с изменением экологической ситуации (использование веществ свыше предельно допустимой концентрации;
проведением экспериментов, повлекших за собой ухудшение экологической ситуации).
3. Ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями (дефицитность отдельных элементов, стоимость сырья, и т. д.).
4. На выбор интервала варьирования также накладываются ограничения: он не может быть меньше ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, и не может быть настолько большим, что верхний и нижний уровни оказались за пределами области определения. Необходимо отметить, что при выборе верхнего и нижнего уровней факторов необходимо учитывать ограничения, связанные с свойствами объекта исследования.
5. Принципиальные ограничения (например, если исследуемый фактор «температура», то ее нижний предел не может быть ниже абсолютного нуля).
6. Ограничения, связанные с конкретными условиями проведения процесса (например, верхний уровень температуры нельзя поднять выше температуры плавления материала, из которого сделан реактор).
7. Ограничения, связанные с условиями деградации процесса либо деструкцией изучаемого материала (параметры процесса после его полного завершения; свойства жидкости после ее испарения, свойства композиции после ее разрушения).
8. Ограничения, связанные с фазовыми переходами вещества, либо составляющих его компонентов.
Полный факторный эксперимент (2k) целесообразно проводить в том случае, если он не продолжителен по времени и требует небольших затрат (число варьируемых факторов k мало). Для каждого включенного в эксперимент факторов (x1, x2,.. xk) устанавливают только два уровня: верхний ximax и нижний ximin. Основной уровень вычисляется:
а интервал варьирования по выражению:
Для полного факторного эксперимента, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, число опытов определяется по следующей формуле:
где N – число опытов; k – число факторов.
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.
Вводят условное обозначение верхнего (+), нижнего (–) и основного уровня (0). Затем строится план эксперимента (например, для двух факторов, приведенный в таблице 1):
Таблица 1 – Матрица планирования В первом столбце знаки чередуются через один, во втором – через два( в третьем – через четыре и т.д. по степеням 2, если необходимо построить план для трех и более факторов).
Составленная матрица планирования должна соответствовать свойствам полного факторного эксперимента.
1. Симметричность относительно центра эксперимента:
где j – номер фактора; N – число опытов, j = 1... k.
2. Условие нормировки:
Ортогональность матрицы:
Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов.
Чтобы сократить число опытов нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца. Так, план дробного факторного эксперимента 23-1 будет иметь вид, приведенный в таблице 2.
Таблица 2 – Матрица планирования дробного факторного эксперимента Запись 2k-m обозначает: 2 – количество уровней факторов, k – количество факторов, m – количество факторов, введенных вместо эффектов взаимодействия. Эффект взаимодействия, подлежащий замене выбирается из условия максимального разрешения или априорной информации, имеющейся об эффектах взаимодействия.
Записываем уравнение процесса в виде:
Для движения к точке оптимума необходимо вычислить коэффициенты линейной модели по следующей формуле:
Следует учесть, что для расчетов используются кодированные значения факторов, которые определяются по формуле:
где ~ j – кодированное значение фактора, xj – натуральное значение факx тора, xj0 – натуральное значение основного уровня, Jj – интервал варьирования, j – номер фактора.
Коэффициент b0 есть среднее арифметическое значений параметра оптимизации.
Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности экспериментального материала. Постановка параллельных опытов не дает полностью совпадающих результатов, так как всегда существует ошибка опыта. Ошибка опыта может быть определена по следующим показателям:
1. Среднее арифметическое результатов:
где уi – результаты экспериментов, n – количество опытов в серии.
2. Дисперсия – среднее значение квадрата отклонений величины от ее среднего значения:
где (n – 1) – число степеней свободы, равное количеству опытов минус единица.
2. Квадратичная ошибка или стандарт:
Стандарт имеет размерность той величины, для которой он вычислен.
Для определения ошибок опыта используем критерий Стьюдента:
где t – табличное значение критерия Стьюдента.
Полученные дисперсии проверяем на однородность. Однородность дисперсий означает, что среди всех суммируемых дисперсий нет таких, которые бы значительно превышали все остальные. Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев. Простейшим из них является критерий Фишера, предназначенный для сравнения двух дисперсий. При его использовании в случае, когда дисперсий более 2 критерий Фишера (Ф-критерий) представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличной.
Если критерий Фишера, полученный расчетным путем меньше табличного значения, то дисперсии однородны.
При n параллельных опытах и однородности дисперсии, расчет дисперсии параметра оптимизации проводится по следующей формуле:
После построения модели необходимо провести проверку ее адекватности.
С этой целью вычисляем дисперсию адекватности по формуле:
Остаточная дисперсия, или дисперсия адекватности Sад2 – это остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы.
Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов, которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга. Число степеней свободы вычисляется по следующей формуле:
где N – число серий опытов, k – количество факторов.
Для проверки адекватности модели используется Ф-критерий Фишера, который определяется следующей формулой:
Если табличное значение критерия больше расчетного, модель адекватна. Столбцы таблицы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя f1, строки – для знаменателя f2.
Если полученная линейная модель неадекватна, то необходимо учесть эффекты взаимодействия или проверить все ли факторы учтены.
После проверки адекватности модели проводим проверку значимости каждого коэффициента. Для этого необходимо рассчитать дисперсии коэффициента регрессии.
Дисперсия коэффициента регрессии вычисляется по следующей формуле:
Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибки опыта и числа опытов.
На основе полученной дисперсии коэффициентов регрессии строим доверительный интервал по формуле:
где S{bj} – квадратичная ошибка коэффициента регрессии; t – табличное значение критерия Стьюдента.
Коэффициент является значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.
Если построенная модель адекватна и большинство факторов значимы, то переходим к движению по градиенту, на основе которого исследуем поведение объекта в точках, отличных от заданных. Изменяя факторы пропорционально величинам коэффициентов регрессии с учетом их знака, мы будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути. Поэтому процедура движения к точке стационарной области называется крутым восхождением. Крутое восхождение заканчивают достижением оптимума.
Определить область планирования эксперимента, число действующих факторов, функцию отклика.
1. Провести проверку экспериментальных данных на однородность и нормальность.
2. Провести расчет матрицы планирования полнофакторного эксперимента, занести матрицу в протокол. Необходимо обратить внимание, что матрица заполняется в строгом соответствии с планом эксперимента.
3. Получить уравнение регрессии. Занести результаты в протокол.
Провести сравнение экспериментальных и расчетных значений. Занести в протокол полученную таблицу.
4. Провести оценку значимости коэффициентов регрессии и оценку адекватности полученного уравнения. Результаты занести в протокол.
5. Рассчитать значения выходного параметра в 4 точках. Занести результаты в протокол.
6. Рассчитать отклонение расчетного значения выходного параметра от экспериментальных данных в центре плана.
7. Написать выводы о проделанной работе.
8. Подготовиться к отчету лабораторной работы преподавателю.
Контрольные вопросы 1. Какие вы знаете методы активного эксперимента. Назовите основные отличия методов пассивного и активного эксперимента?
2. Какой порядок выборов действующих факторов, области определения эксперимента?
3. Какой имеют вид уравнения регрессии при полном факторном эксперименте?
4. Как производится построение матрицы планирования полного факторного эксперимента? Ее назначение?
5. Каков порядок расчет коэффициентов математической модели?
6. Как производится определение значимости коэффициентов регрессии?
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Цель работы: Научиться применять формулы для приближенного вычисления значения функции в заданной точке, проектировать и программно реализовывать рекуррентные формулы.Общие сведения: Формулой Тейлора для произвольной функции f(x) называется формула:
Здесь x0 некоторая произвольная (опорная) точка, в которой может быть вычислена функция f(x) и все ее производные:
остаточный член формулы Тейлора.
Формула Тейлора применяется для приближенного вычисления значения функции в заданной точке. Для этого выбирают такое количество слагаемых n суммы в формуле (1), чтобы модуль остаточного члена (2) не превышал некоторой заданной величины (точности).
Так как остаточный член Rn(x) не может быть точно вычислен, его принимают равным величине:
где – некоторая средняя точка интервала [x0, x]. На практике погрешность вычисления значения функции по формуле (2) обычно оценивают модулем первого слагаемого остаточного члена (что совпадает со случаем = x0):
Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при x0 = 0. В этом случае обычно производные f(k)(x) принимают достаточно простой вид и могут быть легко вычислены, поэтому формулу Маклорена чаще применяют на практике. Формулы (1) и (4) для данного случая приобретают вид:
Ряд в формуле Маклорена для большинства элементарных функций (ex, sinx, cosx, lnx и т. д.) сходится при x (–, +) (для lnx – x (0, +) ), однако, чем меньше x, тем меньшее количество слагаемых требуется для достижения заданной точности.
Ниже приведены формулы Маклорена для некоторых элементарных функций:
В случае, если x >> 1, вычисление значения с помощью формулы Маклорена до заданной точности может потребовать значительного количества слагаемых. В этом случае удобно выразить аргумент следующим образом: x = E(x) + q(x), где E(x) – большое число, для которого можно легко вычислить значение f(x), а q(x) – оставшаяся часть числа x (обычно |q(x)| < 1). Тогда достаточно применить формулу только для q(x). Например, для вычисления e12,43, представим аргумент в виде x = 12 + 0,43. В этом случае e12,43 = e12 e0,43. В этом выражении e12 вычисляем, просто перемножая 12 раз число e, а для e0,43 применяем формулу Маклорена, при этом количество вычислений снижается на 1–2 порядка по сравнению с решением «в лоб».
Пример:
Вычислить е с точностью до 0,0001.
через uk–1, получим: uk =u k 1. Таким образом, можно составить слеk дующую рекуррентную схему:
Результаты работы программы, производящей вычисления по заданной формуле будут иметь вид:
Ответ округляем до одного сомнительного знака. В качестве погрешности берем модуль последнего полученного значения uk, округляя до 2 знаков в большую сторону.
Ответ: е = 1,64870 с точностью = 0,000022. Для проверки вычислим е, используя стандартную функцию языка Паскаль exp(1/2).
Проверка: 1.6487212707.
Многочленные приближения (формулы Чебышева) Общие сведения: Формулы Чебышева являются одним из методов интерполяции функции многочленом. Главным достоинством этих формул является достаточно фиксированная высокая точность вычислений при постоянных заранее известных коэффициентах и фиксированном числе слагаемых. Ниже приведены формулы, основанные на многочленах Чебышева для некоторых элементарных функций.
с точностью 210–7 для |x| 1.
с точностью 2,210-7 для 0 x 1.
где a1 = 0,999981028 a2 = –0,499470150 a3 = 0, с точностью 210-9 для |x| 1.
В качестве вариантов заданий могут быть использованы задания лабораторной работы 12.
Общие сведения: Для приближенного вычисления значений неизвестной функции по заданной таблице ее значений y1 = f(x1), K, yn = f(xn).
Интерполяционный многочлен Лагранжа предлагает наиболее общую формулу для решения данной задачи:
Остаточный член интерполяционной формулы с многочленом Лагранжа равен:
где [x1, xn]..
1–5. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,2, 0,45, 0,55, 0,82, 1,15, 1,25, 1,5 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
1 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 2,71828 3,004717 3, 2 sin x 0,47943 0,56464 0,64422 0,71736 0,78333 0,84147 0,89121 0, 3 cos x 0,87758 0,82534 0,76484 0,69671 0,62161 0,54030 0,45360 0, 4 tg x 0,54630 0,68414 0,84229 1,02964 1,26016 1,55741 1,96476 2, 5 ln x –0,69315 –0,51083 –0,35667 –0,22314 –0,10536 0 0,09531 0, Сделать сравнительный анализ методов 6–8. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,7, 0,9, 1,1, 1,5, 2,3, 2,5, 2,7 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
№ ция 6 2,71828 3,32012 4,05519 4,95303 6,04964 7,38905 9,02501 11, 7 sin x 0,84147 0,93204 0,98544 0,99957 0,97384 0,90929 0,80849 0, 8 cos x 0,54030 0,36236 0,16996 –0,02919 –0,22720 –0,41614 –0,58850 –0, Сделать сравнительный анализ методов Общие сведения: Для приближенного вычисления значений неизвестной функции по заданной таблице ее значений y1 = f(x1), K, yn = f(xn).
Схема Эйткена предлагает более удобную форму вычисления f(x) по формуле Лагранжа. Основная идея данного метода заключается в следующем. На первом этапе вычисляются многочлены L1,2(x), L2,3(x), K, L2n-2, n-1(x), построенные на каждой паре соседних узлов:
Затем на их основе вычисляются многочлены, построенные на тройках соседних узлов:
и т.д., пока не получится один многочлен, построенный на всех узлах интерполяции:
Нетрудно убедиться, что Ln(x) L1, 2, K, n(x).
1–5. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,2, 0,45, 0,55, 0,82, 1,15, 1,25, 1,5 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
№ ция Сделать сравнительный анализ методов 6–8. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,7, 0,9, 1,1, 1,5, 2,3, 2,5, 2,7 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
№ ция 6 2,71828 3,32012 4,05519 4,95303 6,04964 7,38905 9,02501 11, 7 sin x 0,84147 0,93204 0,98544 0,99957 0,97384 0,90929 0,80849 0, 8 cos x 0,54030 0,36236 0,16996 –0,02919 –0,22720 –0,41614 –0,58850 –0, Сделать сравнительный анализ методов.
Первая интерполяционная формула Ньютона Общие сведения: Для приближенного вычисления значений неизвестной функции по заданной таблице ее значений y1 = f(x1), K, yn = f(xn).
Первая формула Ньютона используется для интерполяции и экстраполяции в начале таблицы:
где Остаточный член первой формулы Ньютона равен 1–5. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,2, 0,45, 0,55, 0,82, 1,15, 1,25, 1,5 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
№ ция 2 sin x 0,47943 0,56464 0,64422 0,71736 0,78333 0,84147 0,89121 0, 3 cos x 0,87758 0,82534 0,76484 0,69671 0,62161 0,54030 0,45360 0, Сделать сравнительный анализ методов 6-8. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,7, 0,9, 1,1, 1,5, 2,3, 2,5, 2,7 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
№ ция 8 cos x 0,54030 0,36236 0,16996 –0,02919 –0,22720 –0,41614 –0,58850 –0, Сделать сравнительный анализ методов.
Вторая интерполяционная формула Ньютона Общие сведения: Для приближенного вычисления значений неизвестной функции по заданной таблице ее значений y1 = f(x1), K, yn = f(xn).
Вторая формула Ньютона применяется для интерполяции и экстраполяции в конце таблицы:
где Остаточный член второй формулы Ньютона равен 1–5. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,2, 0,45, 0,55, 0,82, 1,15, 1,25, 1,5 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
Функция 1 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 2,71828 3,004717 3, 2 sin x 0,47943 0,56464 0,64422 0,71736 0,78333 0,84147 0,89121 0, 3 cos x 0,87758 0,82534 0,76484 0,69671 0,62161 0,54030 0,45360 0, 4 tg x 0,54630 0,68414 0,84229 1,02964 1,26016 1,55741 1,96476 2, 5 ln x –0,69315 –0,51083 –0,35667 –0,22314 –0,10536 0 0,09531 0, Сделать сравнительный анализ методов 6–8. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,7, 0,9, 1,1, 1,5, 2,3, 2,5, 2,7 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
Функция 6 ex 2,71828 3,32012 4,05519 4,95303 6,04964 7,38905 9,02501 11, 7 sin x 0,84147 0,93204 0,98544 0,99957 0,97384 0,90929 0,80849 0, 8 cos x 0,54030 0,36236 0,16996 –0,02919 –0,22720 –0,41614–0,58850 –0, Сделать сравнительный анализ методов Первая интерполяционная формула Гаусса Общие сведения: Для приближенного вычисления значений неизвестной функции по заданной таблице ее значений y1 = f(x1), K, yn = f(xn).
Интерполяционные формулы Гаусса используются для интерполяции в середине таблицы. Для x (xk, xk+1) первая формула Гаусса имеет вид:
где t =, а i определяется требуемым количеством слагаемых либо количеством узлов (таблица конечных разностей имеет треугольную форму).
1–5. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,2, 0,45, 0,55, 0,82, 1,15, 1,25, 1,5 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
Функция 1 ex 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 2,71828 3,004717 3, 2 sin x 0,47943 0,56464 0,64422 0,71736 0,78333 0,84147 0,89121 0, 3 cos x 0,87758 0,82534 0,76484 0,69671 0,62161 0,54030 0,45360 0, 4 tg x 0,54630 0,68414 0,84229 1,02964 1,26016 1,55741 1,96476 2, Сделать сравнительный анализ методов.
6–8. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,7, 0,9, 1,1, 1,5, 2,3, 2,5, 2,7 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
Функция 6 ex 2,71828 3,32012 4,05519 4,95303 6,04964 7,38905 9,02501 11, 7 sin x 0,84147 0,93204 0,98544 0,99957 0,97384 0,90929 0,80849 0, 8 cos x 0,54030 0,36236 0,16996 –0,02919 –0,22720 –0,41614 –0,58850 –0,
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНАМИ
Цель работы: Изучить интерполяцию сплайн-функциями, научиться строить сплайны для функции, заданной таблично.Общие сведения: Сплайном называется непрерывная функция, принимающая в узлах интерполяции соответствующие значения y1, y2К, yn и описываемая на отдельных отрезках [xi, xi+1] ( i = 1, n 1 ) некоторыми полиномами Pi(x) невысокого порядка (обычно второго или третьего).
Сплайны хороши тем, что дают возможность получить приближенный аналитический вид функции, при этом степень полинома остается невысокой. Главным недостатком сплайнов является то, что на каждом интервале [xi, xi+1] функция приближается отдельным полиномом. Таким образом, для всего промежутка [xi, xi+1] требуется построить n – 1 полином.
При увеличении степени сплайна повышается точность интерполяции, однако, увеличивается количество вычислений и порядок полинома. Простейшим случаем сплайн-функции является линейный сплайн, получающийся соединением точек (x1, y1), …, (xn, yn) ломаной линией. В этом случае где коэффициенты ai и bi можно найти по формулам:
Параболический сплайн строится на полиномах второго порядка:
При построении параболического сплайна обычно считается заданной производная функции в первом узле f '(x1). Коэффициенты полиномов такого сплайна могут быть вычислены по следующим рекуррентным формулам:
где i = 2ai 1xi + bi 1.
Чаще всего на практике используют кубический сплайн, так как при достаточно низком порядке полиномов он дает удовлетворительную точность вычислений. Для полиномов Pi(x) = aix3 + bix2 + cix + di кубического сплайна коэффициенты могут быть получены по следующей рекуррентной схеме:
где значения f ( x1 ) и f ( x1 ) считаются заданными (на практике часто полагают f ( x1 ) = 0).
1–10. По заданной таблице значений (из предыдущей лабораторной работы) составить линейный, параболический и кубический сплайны ( f ( x1 ) и f ( x1 ) вычислить, используя проверочную функцию). В одной системе координат построить график функции и графики всех сплайнов. Сделать анализ представленных методов.
1–5. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,2, 0,45, 0,55, 0,82, 1,15, 1,25, 1,5 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
Функция 1 ex 1,64872 1,82212 2,01375 2,22554 2,45960 2,71828 3,004717 3, 2 sin x 0,47943 0,56464 0,64422 0,71736 0,78333 0,84147 0,89121 0, 3 cos x 0,87758 0,82534 0,76484 0,69671 0,62161 0,54030 0,45360 0, 4 tg x 0,54630 0,68414 0,84229 1,02964 1,26016 1,55741 1,96476 2, 5 ln x –0,69315 –0,51083 –0,35667 –0,22314 –0,10536 0 0,09531 0, Сделать сравнительный анализ методов.
6–10. Вычислить конечные разности и значения функций в точках 0,7, 0,9, 1,1, 1,5, 2,3, 2,5, 2,7 с использованием каждого из описанных методов интерполяции по заданной таблице значений. Сделать проверку, используя стандартную функцию языка программирования:
Функция 6 ex 2,71828 3,32012 4,05519 4,95303 6,04964 7,38905 9,02501 11, 7 sin x 0,84147 0,93204 0,98544 0,99957 0,97384 0,90929 0,80849 0, 8 cos x 0,54030 0,36236 0,16996 –0,02919 –0,22720 –0,41614 –0,58850 –0, Сделать сравнительный анализ методов
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Цель работы: Изучить аппроксимацию функции, научиться применять МНК при решении задач.Пусть функциональная зависимость y = f(x) задана в виде таблицы На практике часто бывает необходимо знать значения функции и в других точках, причём нет возможности для их непосредственного вычисления или измерения. Например, для этого нужно было бы решить очень сложную задачу, провести трудоёмкие или дорогостоящие эксперименты и т.д. Поэтому очень важным является построение такого алгоритма, который позволил бы по имеющимся табличным данным найти значение функции в любой другой точке заданного отрезка или вне его.
Вот следующая задача: построить функцию y’ = F(x), которая с некоторой степенью точности может приближенно заменить (аппроксимировать) данную функцию y = f(x). Эта аппроксимирующая функция должна быть такой, чтобы её отклонение в некотором смысле, от данной функции на заданном множестве {xi } было минимальным. На практике имеют место две основные задачи приближения функций. Одна из них состоит в том, что аппроксимирующая функция строится таким образом, чтобы её значения в точках {xi } в точности совпадали с табличными данными {yi }. Это соответствует нахождению уравнения y’ = F(x) сплошной линии, которая проходит через заданные точки {xi, yi }. Такая задача называется интерполированием функции. Она применяется в основном в тех случаях, когда приведённые табличные данные имеют высокий порядок точности.
Далее рассматривается другая задача. Наиболее распространенным методом решения этой задачи является метод наименьших квадратов, в соответствии с которым ищем такую функциональную зависимость y’ = F(x), при которой:
Из курса математики известно, что в минимуме функции её производная равна нулю. Рассматривая S как функцию двух переменных а и b, приравниваем нулю частные производные от S по a и по b. Т. е.
В результате эксперимента получены величины (xi, yi) (i = 1, …, n), которые связаны отношением y = a eb/x. Определить а и b таким образом, чтобы кривая y = a eb/x была самой близкой к точкам (xi, yi) в смысле наименьших квадратов.
Т. к. дана показательная регрессия, сделаем следующие преобразования:
Сделаем замену: с = lna и будем решать задачу относительно новых неизвестных c и b.
В соответствии с методом наименьших квадратов c и b выбирают так, чтобы Из курса математики известно, что в минимуме функции её производная равна нулю. Рассматривая S как функцию двух переменных c и b, приравниваем нулю частные производные от S по c и по b:
Упростим выражения, и решим систему уравнений:
Решим эту систему уравнений методом Крамера:
Обозначения:
Блок-схема C = (S1 S4 – S2 S3)/ K b = (8 S3 – S1 S2)/ K Исходные данные:
Результаты вычислений.
Пример 2.
В результате эксперимента получены величины (xi, yi) (i = 1, …, n), которые связаны отношением y = ax2+btgx. Определить а и b таким образом, чтобы кривая y = ax2+btgx была самой близкой к точкам (xi, yi) в смысле наименьших квадратов.
В соответствии с методом наименьших квадратов a и b выбирают так, чтобы:
Из курса математики известно, что в минимуме функции её производная равна нулю. Рассматривая S как функцию двух переменных a и b, приравниваем нулю частные производные от S по a и по b:
Упростим выражения, и решим систему уравнений:
Решим эту систему уравнений методом Крамера:
Обозначения:
a = (S1*S5 – S4*S3) / ( S2*S5 – S3^2) B = (S2*S4 – S1*S3) / ( S2*S5 – S3^2) Получить систему линейных уравнений для определения параметров а и b, составить блок-схему и написать программу для определения а и b.
У 3,73 3,86 4,04 4,22 4,41 4,63 4,87 5, Х 0,2 0,6 0,8 1,2 1,5 1,8 1,9 2, У 0,08 0,25 0,44 1,41 3,30 7,9 10,6 18, 1. Температура: теория, практика, эксперимент: справ. изд.: в 3 т. / В. Г. Лисиенко, Е. М. Шлеймович, М. Г. Ладыгичев и др.; под ред. А. М.
Прохорова. М., 2009.
2. Степанский В. И. Психологические факторы выбора профессии.
Теория. Эксперимент: Учеб.-метод. пособие. М.: Моск. психологосоциальный ин-т, 2006.
3. Температура: теория, практика, эксперимент: Справочное издание: в 3 т. М., 2007.
4. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов: Учебник для вузов / В. Г. Блохин [и др.] / Под ред. О. П. Глуднина. М., 1997.
5. Натурный эксперимент: информационное обеспечение экспериментальных исследований / Под ред. Н. И. Баклашова. М., 1982.
6. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования. М.: АН СССР, 1988.
Лабораторная работа 1.
Построение регрессионных моделей
Лабораторная работа 2.
Обработка результатов эксперимента
Лабораторная работа 3.
Построение двухфакторного эксперимента с использованием модели........
Лабораторная работа 4.
Построение двухфакторного эксперимента с использованием рототабельного центрально-композиционного плана
Лабораторная работа 5.
Применение полного факторного эксперимента при проведении исследований
Лабораторная работа 6.
Интерполяция
Лабораторная работа 7.
Интерполяция сплайнами
Лабораторная работа 8.
Аппроксимация функций
Литература
«