«С. В. Мациевский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ Учебное пособие Издательство Российского государственного университета им. И. Канта 2010 УДК 51(075) ББК 22.11я73 М 367 Рецензенты: доцент кафедры высшей математики ...»
-- [ Страница 4 ] --
Множество {{4, 6}} является подмножеством множества {2, {4, 6}, 4, 6, 8}.
3. Для множеств A = {1, 2, 6, 18}; B = {6, 1, 18}; C = {2, 18, 6, 1} истинными высказываниями являются…
BC
BA CA CB
Решение. Изучим состав множеств A, B и C. Множества A и C равны. Кроме того, все элементы множества A являются также и элементами как множества B, так и множества C, но не наоборот. Поэтому истинными высказываниями являются:
4. Конечными множествами являются… Множество A = 2, 4, …, 2n, 2(n + 1),…, где n-натуральное число.
Множество {2, 1, 0, 1, 2}.
Множество деревьев в саду.
Множество двузначных натуральных чисел.
Множество натуральных чисел, больших 10.
Решение. Только два конечных множества:
Множество {2, 1, 0, 1, 2}.
Множество деревьев в саду.
Множество двузначных натуральных чисел.
5. Если А есть множество двухзначных натуральных чисел, а B = {1, 2, 3, 11, 22, 33, 111, 222, 333}, то количество элементов множество A B равно… Решение. Нужно найти пересечение двух данных множеств A и B. Для этого подсчитаем количество двухзначных натуральных чисел в множестве B, получим 3.
6. Пусть множества M = (8, 15), N = (9, 20) представляют собой интервалы числовой оси, тогда множество K = M N как числовой промежуток будет равно… Решение задач Решение 1. Множество K — это объединение множеств M и N. Самая маленькая левая граница из двух левых границ множеств M и N (8 и (9 — это (8.
Самая большая правая граница из двух правых границ множеств M и N 15) и 20) — это 20). Поэтому объединение множеств K = M N представляют собой интервал K = (8, 20).
Решение 2. Множество K — это объединение множеств M и N. Нарисуем эти множества на числовой оси.
Ясно видно, что объединение множеств K = M N = (8, 20).
7. Заданы произвольные множества А, В и С. Расположите указанные множества по порядку так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним.
AB ABC AC
Решение 1. Чем большим пересечением исходных множеств является данное множество, тем меньше само данное множество, а чем большим объединением — тем больше само данное множество. Поэтому самое маленькое множество то, которое образовано двумя пересечениями A B C. Это множество принадлежит следующему по величине множеству с одним пересечением A C. А это множество, в свою очередь, есть подмножество множества без пересечений и объединений A. Наконец, самое большое множество получается при одном объединении A B.
Получаем цепочку принадлежностей множеств:
Решение 2. Нарисуем диаграммы Эйлера — Венна указанных множеств:
A B A B A B
AB ABC A
Итак, самое маленькое множество из указанных занимает самую маленькую площадь, а самое большое — самую большую площадь на диаграммах.
Получаем цепочку принадлежностей множеств:
Итак, получаем ответ:
8. Если отношение задано неравенством: x 2y < 0, то данному отношению принадлежит следующая пара чисел… Решение. Подставим пары чисел по очереди в неравенство. Получим истинное неравенство только в случае пары (2, 2): 2 22 = 2 4 = 2 < 0.
9. Количество комбинаций, которое можно получить путем перестановки букв, в слове «TIME», равно… Решение. Обратите внимание, что количество мест равно количеству букв.
На первое место можно поставить одну из 4 букв. При каждой из 4 букв на первом месте на второе место можно поставить одну из оставшихся 3 букв, получаем 43 = 12 вариантов. При каждом из них на третье место можно поставить одну из оставшихся 2 букв, имеем 122 = 24 варианта. Последняя четвертая буква размещается однозначно. Все буквы разные, поэтому ответ остается 24.
10. Количество перестановок из букв слова «вальс», в которых буква «в» на первом месте, а буква «с» — в конце слова, равно… Решение. Обратите внимание, что количество переставляемых букв 3.
Переставлять можно только 3 буквы, про фиксированные 2 можно забыть.
Переставляемые три буквы разные, поэтому получаем 321 = 6 перестановок.
11. Количество комбинаций, которое можно получить путем перестановки букв, в слове «коробок», равно… Решение. Обратите внимание, что в слове есть одинаковые буквы.
При перестановке всех 7 букв получим 765432 комбинаций. Но в данном слове имеются одинаковые буквы: одна серия из 2 букв «к» и одна серия из трех букв «о». При перестановке только 2 букв «к» полученные 2 слова не меняются, и при перестановке только 3 букв «о» полученные 32 слова не меняются. Поэтому разных слов получится меньше, а именно 12. Количество различных трехбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв, входящих в слово «штора» (все буквы в комбинации различны), равно… Решение. Обратите внимание, что количество мест меньше количества букв.
Количество различных трехбуквенных комбинаций равно 543 = 60.
Решение задач 13. Количество различных способов выбора (порядок не имеет значения) томов из 12-томного собрания сочинений Л. Н. Толстого равно… Решение. 2 тома из 12 можно выбрать 1211 = 132 способами. Но это при учете порядка. Чтобы учесть одинаковые варианты, отличающиеся порядком, разделим 132 на количество выбираемых томов: 132/2 = 66.
14. Даны множества M = {a, b, c, d} и N = {b, c, d, e, f, g}. Установите соответствия между обозначениями множеств и самими множествами.
Решение. Выполним предложенные операции на множествах M и N:
2. M N = {a, b, c, d} {b, c, d, e, f, g} = {a, b, c, d, e, f, g};
3 {A} 15. Операции над высказываниями А и В (дизъюнкция, конъюнкция и отрицание) задаются с помощью таблицы истинности: Тогда таблицей истинности для сложного высказывания C = A B) A будет таблица…
A B C A B C A B C A B C
Решение 1. Попробуем упростить данное высказывание:
Данное высказывание — конъюнкция A и B, что соответствует таблице 4).
Решение 2. Вычислим значения выражения C.
Полученные значения совпадают с таблицей 4).
16. Заданы множества A = {2, 6, 6} и B = {4, 4}, тогда декартовым произведением этих множеств А В является множество… 1) {(4, 6), (6, 4), (6, 4), (6, 4), (4, 6), (4, 2)}.
Решение 1. Декартово произведение — это прежде всего множество пар.
Поэтому варианты ответов 2) и 3) сразу отпадают.
На первом месте в декартовом произведении А В стоит множество A = {2, 6, 6}, поэтому первыми числами в паре могут быть только числа 2, 6, 6. Этому условию не удовлетворяет вариант 1) и удовлетворяет вариант 4).
Тогда верным утверждением будет… Решение. Утверждение 1) верно, 13 — это натуральное число.
Рассмотрим остальные утверждения. Они неверны:
2) 8 не является целым числом, это число иррациональное;
3) 3,7 — число дробное, а не натуральное;
4) 7 — иррациональное, а не рациональное.
В вариантах ответов не может быть R — множество действительных чисел, поскольку любое число — действительное (комплексных чисел здесь нет).
18. Высказывание A — «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ»; высказывание В — «Диагонали прямоугольника равны». Конъюнкцией этих высказываний (A B) является предложение… 1) «Если Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ, то диагонали прямоугольника равны».
2) «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ, и диагонали прямоугольника равны».
3) «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ, или диагонали прямоугольника равны».
4) «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ тогда и только тогда, когда диагонали прямоугольника равны».
Решение. Конъюнкция (A B) — это логическая связка «и». Ищем среди вариантов ответов тот, который содержит связку «и»,— это ответ 2).
Решение задач 19. Вероятность вытащить качественную деталь из первого ящика равна 0,7, а из второго — 0,6. Из каждого ящика вытащили по одной детали. Вероятность того, что обе они качественные, равна… Решение. Качество одной детали н зависит от качества другой, это события независимые. Вероятность одновременно наступления этих двух событий, конечно, меньше их собственных вероятностей и равна 0,7 0,6 = 0,42.
20. Игральный кубик бросают два раза. Вероятность того, что на верхней грани два раза выпадет четное число очков, не меньшее 4, равна… Решение 1. Четное число очков, не меньшее 4, встречается на гранях кубика 2 раза: это 4 и 6. Поэтому впадение четного числа очков, не меньшего 4, на одном кубике равна + =, а на двух кубиках — =.
Решение 2. Выпишем все варианты, которые могут получиться при бросании двух кубиков:
Четное число очков, не меньшее 4, встречается на гранях кубика 2 раза:
это 4 и 6. Поэтому нас устраивают 4 варианта (4, 4), (4, 6), (6, 4), (6, 6) из 36. Искомая вероятность равна 21. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей:
Математическое ожидание М(Х) этой случайной величины равно… Решение. Математическое ожидание М(Х) — это взвешенное среднее, то есть М(Х) = 20,3 + 60,7 = 0,6 + 4,2 = 4,8.
22. График плотности вероятностей для нормального распределения изображен на рисунке… Решение. График плотности вероятностей для нормального распределения имеет колоколообразный вид и поэтому изображен на рисунке 3).
23. Из приведенных величин случайными являются… «Число бракованных деталей в прибывшей на завод партии».
«Число = 3,1415927».
«Число дней в декабре».
«Число очков при стрельбе по мишени».
Решение. Величины «число p=3,1415927» и «число дней в декабре» являются константами, постоянными числами, и случайными не являются.
Величины «число бракованных деталей в прибывшей на завод партии» и «число очков при стрельбе по мишени» зависит от случая, меняется от случая к случаю и поэтому являются случайными.
24. Расположите случайные события в порядке возрастания их вероятностей:
(1) при бросании кубика выпало два очка;
(2) при бросании кубика выпало не менее двух очков;
(3) при двух бросаниях кубика выпало в сумме два очка.
Решение. Вычислим вероятности описанных событий.
1) Событие «при бросании кубика выпало два очка» бывает в 1 случае из и имеет вероятность.
2) Событие «при бросании кубика выпало не менее двух очков» бывает в случаях из 6 (это очки 2, 3, 4, 5 и 6) и имеет вероятность.
3) Событие «при двух бросаниях кубика выпало в сумме два очка» бывает в 1 случае из 36 (это очки (1, 1)) и имеет вероятность.
Получаем ответ: (3), (1), (2).
Решение задач 25. Из приведенных событий несовместными являются… «Наступление ночи» и «Восход солнца».
«Появление 6 при бросании игральной кости» и «Появление 4 при бросании игральной кости».
«Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание от до 10 очков при стрельбе по мишени».
«Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание четного числа очков при стрельбе по мишени».
Решение. Посмотрим, могут ли указанные события произойти одновременно.
1) «Наступление ночи» и «Восход солнца» одновременно не бывают, это события несовместные.
2) «Появление 6 при бросании игральной кости» и «Появление 4 при бросании игральной кости» одновременно не бывают, это события несовместные.
3) «Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание от до 10 очков при стрельбе по мишени» одновременно не бывают, это события несовместные.
4) «Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание четного числа очков при стрельбе по мишени» могут произойти одновременно, например, когда выбито 2 очка, а еще когда выбито 4 очка, а еще когда выбито 0 очков. Эти события совместные.
Ответ. В первых трех квадратиках ставим галочки.
26. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна… Решение. Согласно свойству вероятности, ее значение всегда принадлежит отрезку [0, 1]. Поэтому вероятность наступления некоторого события не может быть равна 1,3, что больше 1.
27. В результате некоторого эксперимента получен статистический ряд:
Тогда значение относительной частоты при x = 3 будет равно… Решение. Сумма вероятностей статистического ряда должна быть равна 1.
До единицы данному статистическому ряду не хватает 0,4.
1. Заданы множества A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}. Верно для них утверждение… 1) Множества A и B равны.
2) Множество B есть подмножество множества A.
3) Множество A есть подмножество множества B.
4) Множества A и B не содержат одинаковых элементов.
2. Задано множество {2, {4, 6}, 4, 6, 8}. Истинными высказываниями являются… Множество {2, {4, 6}, 4, 6, 8} состоит из 5 элементов.
Множество {2, {4, 6}, 4, 6, 8} пустое.
Множество {4} является подмножеством множества {2, {4, 6}, 4, 6, 8}.
Множество {4, 6} является подмножеством множества {2, {4, 6}, 4, 6, 8}.
3. Для множеств A = {1, 2, 6, 18}; B = {6, 1, 18}; C = {2, 18, 6, 1} истинными высказываниями являются…
AC
BA CA CB
4. Конечными множествами являются… Множество A = 2, 4, …, 2n, 2(n + 1),…, где n-натуральное число.
Множество двухзначных натуральных чисел.
Множество деревьев в саду.
Множество {2, 1, 0, 1, 2}.
B = {1, 2, 3, 11, 22, 33, 111, 222, 333}, то количество элементов множество A B равно… 6. Пусть множества M = (8, 15), N = (9, 20) представляют собой интервалы числовой оси, тогда множество K = M N как числовой промежуток будет равно… 7. Заданы произвольные множества А, В и С. Расположите указанные множества по порядку так, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним.
AB AC ABC
8. Если отношение задано неравенством: 2x 4y < 0, то данному отношению принадлежит следующая пара чисел… 9. Количество комбинаций, которое можно получить путем перестановки букв, в слове «TIME», равно… 10. Количество перестановок из букв слова «штора», в которых буква «ш» на первом месте, равно… 11. Количество комбинаций, которое можно получить путем перестановки букв, в слове «арарат», равно… Варианты домашних заданий 12. Количество различных трехбуквенных комбинаций, которые можно составить из букв, входящих в слово «товар» (все буквы в комбинации различны), равно… 13. Количество различных способов выбора (порядок не имеет значения) 2 томов из 10-томного собрания сочинений Л. Н. Толстого равно… 14. Даны множества M = {a, b, c, d} и N = {b, c, d, e, f, g}. Установите соответствия между обозначениями множеств и самими множествами.
15. Операции над высказываниями А и В (дизъюнкция, конъюнкция и отрицание) задаются с помощью таблицы истинности:
Тогда таблицей истинности для сложного высказывания C = A B) A будет таблица…
A B C A B C A B C A B C
16. Заданы множества A = {2, 6, 6} и B = {4, 4}, тогда декартовым произведением этих множеств А В является множество… 3) {}.
17. Принято обозначать:
N — множество натуральных чисел;
Q — множество рациональных чисел;
Z — множество целых чисел;
R — множество действительных чисел.
Тогда верным утверждением будет… 18. Высказывание A — «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ»; высказывание В — «Диагонали прямоугольника равны». Дизъюнкцией этих высказываний (A B) является предложение… 1) «Если Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ, то диагонали прямоугольника равны».
2) «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ, и диагонали прямоугольника равны».
3) «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ, или диагонали прямоугольника равны».
4) «Джон фон Нейман — архитектор ЭВМ тогда и только тогда, когда диагонали прямоугольника равны».
19. Вероятность вытащить качественную деталь из первого ящика равна 0,7; а из второго — 0,6. из каждого ящика равна по одной детали. Вероятность того, что обе они качественные, равна… 20. Игральный кубик бросают два раза. Вероятность того, что на верхней грани два раза выпадет четное число очков, не меньшее 4, равна… 21. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей:
Математическое ожидание М(Х) этой случайной величины равно… 22. График плотности вероятностей для нормального распределения на рисунке… 23. Из приведенных величин случайными являются… «Число = 3,1415927».
«Число дней в декабре».
«Число очков при стрельбе по мишени».
«Число бракованных деталей в прибывшей на завод партии».
24. Расположите случайные события в порядке возрастания их вероятностей:
(1) при бросании кубика выпало не менее двух очков;
(2) при двух бросаниях кубика выпало в сумме два очка;
(3) при бросании кубика выпало два очка.
25. Из приведенных событий несовместными являются… «Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание четного числа очков при стрельбе по мишени».
«Появление 6 при бросании игральной кости» и «Появление 4 при бросании игральной кости».
«Выбивание менее 5 очков при стрельбе по мишени» и «Выбивание от 7 до 10 очков при стрельбе по мишени».
«Наступление ночи» и «Восход солнца».
26. Вероятность наступления некоторого события не может быть равна… 27. В результате некоторого эксперимента получен статистический ряд:
Тогда значение относительной частоты при x = 3 будет равно… Варианты домашних заданий 1. Заданы множества A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 6, 8}. Верно для них утверждение… 1) Множества A и B равны.
2) Множество B есть подмножество множества A.
3) Множество A есть подмножество множества B.
4) Множества A и B не содержат одинаковых элементов.
2. Задано множество {2, {4, 6}, 4, 6, 8}. Истинными высказываниями являются… Множество {2, {4, 6}, 4, 6, 8} состоит из 5 элементов.
Множество {4, 6} является подмножеством множества {2, {4, 6}, 4, 6, 8}.
«