«С. В. Мациевский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ Учебное пособие Издательство Российского государственного университета им. И. Канта 2010 УДК 51(075) ББК 22.11я73 М 367 Рецензенты: доцент кафедры высшей математики ...»
ГЛАВА I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
Введение.§ 1. Операции над целыми числами. 1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
§ 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция. 1. Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия.
4. Сумма n первых квадратов. *5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема.
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Дополнение к главе I. Теория чисел. Введение. § 1. Простые числа. 1. Основные факты.
2. Распределение простых чисел. § 2. Сравнения. 1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты. § 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма. § 4. Алгоритм Евклида. 1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики. 3. Функция Эйлера (n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.
ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА.
Введение.§ 1. Рациональные числа. 1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри смой математики. Принцип обобщения.
3. Геометрическое представление рациональных чисел.
§ 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы. 1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии.
4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.
§ 3. Замечания из области аналитической геометрии. 1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.
§ 4. Математический анализ бесконечного. 1. Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Косвенный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.
§ 5. Комплексные числа. 1. Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы. *4. Основная теорема алгебры.
§ 6. Алгебраические и трансцендентные числа. 1. Определение и вопросы существования.
*2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Дополнение к главе II. Алгебра множеств. 1. Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.
Литература
ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ. АЛГЕБРА ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ.
Введение.Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра. § 1. Основные геометрические построения. 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония. § 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля. 1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение,— алгебраические. § 3. Неразрешимость трех классических проблем. 1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Трисекция угла. 4. Правильный семиугольник.
5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы выполнения построений. § 4. Геометрические преобразования.
Инверсия. 1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое построение обратных точек.
4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данного круга с помощью с помощью одного циркуля. § 5. Построения с помощью иных инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля. 1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. Построения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклиды. *4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта. § 6. Еще об одной инверсии и ее применениях. 1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония.
3. Повторные отражения.
ГЛАВА IV. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА. НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ.
§ 1. Введение. 1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. 2. Проективные преобразования.§ 2. Основные понятия. 1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.
§ 3. Двойное отношение. 1. Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.
§ 4. Параллельность и бесконечность. 1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки.
2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
§ 5. Применения. 1. Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля. 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.
§ 6. Аналитическое представление. 1. Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.
§ 7. Задачи на построение с помощью одной линейки.
§ 8. Конические сечения и квадрики. 1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Проективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.
§ 9. Аксиоматика и неевклидова геометрия. 1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений. 1. Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или комбинаторный, подход.
ГЛАВА V. ТОПОЛОГИЯ.
Введение.
§ 1. Формула Эйлера для многогранников.
§ 2. Топологические свойства фигур. 1. Топологические свойства. 2. Свойства связности.
§ 3. Другие примеры топологических теорем. 1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2.
Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.
§ 4. Топологическая классификация поверхностей. 1. Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности.
Приложение. *1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая многоугольников.
*3. Основная теорема алгебры.
ГЛАВА VI. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ.
Введение.§ 1. Независимое переменное и функция. 1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность. *6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.
§ 2. Пределы. 1. Предел последовательности an. 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число. *5. Непрерывные дроби.
§ 3. Пределы при непрерывном приближении. 1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел sin(x)/x. 4. Пределы при x.
§ 4. Точное определение непрерывности.
§ 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях. 1. Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.
§ 6. Некоторые применения теоремы Больцано. 1. Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме.
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность. § 1. Примеры пределов. 1. Общие замечания. 2. Предел qn. 3. Предел n p. 4. Разрывные функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации. § 2. Пример, относящийся к непрерывности
ГЛАВА VII. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ.
Введение.§ 1. Задачи из области элементарной геометрии. 1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах. 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. *5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
§ 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи. 1. Принцип. 2. Примеры.
§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление. 1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3.
Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.
§ 4. Треугольник Шварца. 1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
§ 5. Проблема Штейнера. 1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей.
3. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обобщение: проблема уличной сети.
§ 6. Экстремумы и неравенства. 1. Средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.
§ 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле. 1. Общие замечания. 2. Примеры. 3.
Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
§ 8. Изопериметрическая проблема.
*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой.
§ 10. Вариационное исчисление. 1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике. 3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. 4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
§ 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками.
1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. 4.
Экспериментальные решения других математических проблем.
ГЛАВА VIII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
Введение.§ 1. Интеграл. 1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла.
Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисления».
§ 2. Производная. 1. Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры. 4.
Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6.
Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной. 8. Максимумы и минимумы.
§ 3. Техника дифференцирования.
§ 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые».
§ 5. Основная теорема анализа. 1. Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для.
Литература § 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм. 1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xa. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
§ 7. Дифференциальные уравнения. 1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты. 3. Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.
Дополнение к главе VIII. § 1. Вопросы принципиального порядка. 1. Дифференцируемость.
2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой. § 2. Порядки возрастания. 1. Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).
§ 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения. 1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения. *§ 4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода.
Приложение. Дополнительные замечания, задачи и упражнения. Арифметика и алгебра.
Аналитическая геометрия. Геометрические построения. Проективная и неевклидова геометрия.
Топология. Функции, пределы, непрерывность. Максимумы и минимумы. Дифференциальное и интегральное исчисления. Техника интегрирования.
Рекомендуемая литература.
Предметный указатель.
Кэрролл Л. История с узелками.—М.: «Мир», 2000.— 398 с.: ил.— ISBN 5-03Аннотация.
В «Истории с узелками» собраны математические головоломки и изящные логические парадоксы знаменитого английского писателя, автора «Алисы в Стране Чудес» и «Алисы в Зазеркалье» Льюиса Кэрролла.
Кенига рассчитана на читателей, интересующихся математикой и желающих с пользой провести свой досуг, а также может быть использована преподавателями математики и логики в школах и колледжах.
Оглавление.
От переводчика.
ИСТОРИЯ С УЗЕЛКАМИ.
Узелок I. По горам и по долам. Узелок II. Комнаты со всеми удобствами. Узелок III. Безумная математильда. Узелок IV. Искусство счисления. Узелок V. Крестики и нолики. Узелок VI. Ее блистательство. Узелок VII. Мелкие расходы. Узелок VIII. De rebus omnibus. Узелок IX. Змея с углами. Узелок X. Пирожки. Ответы.
ПОЛУНОЧНЫЕ ЗАДАЧИ, ПРИДУМАННЫЕ В ЧАСЫ БЕССОННИЦЫ.
Предисловие. Предметный указатель задач. Глава I. Задачи. Глава II. Ответы. Глава III.Решения.
СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА.
Обращение к учащимся.Книга I. Предметы и их признаки. Глава I. Введение. Глава II. Классификация. Глава III. Разбиение на подклассы. § 1. Предварительные замечания. § 2. Дихотомия. Глава IV. Имена.
Глава V. Определение.
Книга II. Суждения. Глава I. Общие сведения о суждениях. § 1. Предварительные замечания.
§ 2. Нормальная форма суждения. § 3. Различные типы суждений. Глава II. Суждения существования.
Глава III. Суждения отношения. § 1. Предварительные замечания. § 2. Приведение суждения отношения к нормальной форме. § 3. Суждение, начинающееся со слова «все», как двойное суждение. § 4. Какое заключение следует из суждения отношения относительно реальности его терминов? § 5. Перевод суждения отношения в одно или несколько суждений существования.
Книга III. Двухбуквенная диаграмма. Глава I. Символы и клетки. Глава II. Фишки. Глава III. Представление суждений на диаграмме. § 1. Предварительные замечания. § 2. Представление суждений существования на диаграмме. § 3. Представление суждений отношения на диаграмме. Глава IV. Интерпретация двухбуквенной диаграммы с расставленными на ней фишками.
Книга IV. Трехбуквенная диаграмма. Глава I. Символы и клетки. Глава II. Представление суждений в терминах x и m или y и m. § 1. Представление суждений существования в терминах x и m или y и m. § 2. Представление суждений отношения в терминах x и m или y и m. Глава III. Одновременное представление на одной диаграмме двух суждений отношения: одного — в терминах x и m, другого — в терминах y и m. Глава IV. Интерпретация трехбуквенной диаграммы с расставленными на ней фишками или цифрами в терминах x и y.
Книга V. Силлогизмы. Глава I. Введение. Глава II. Задачи на силлогизмы. § 1. Предварительные замечания. § 2. Задачи первого типа. Вывод заключения из двух суждений отношения, содержащих два ко-класса и принимаемых за посылки силлогизма. § 3. Задачи второго типа. Проверка правильности и полноты заключения силлогизма, образованного тремя суждениями отношения, из которых любые два содержат по два ко-класса.
Книга VI. Метод индексов. Глава I. Введение. Глава II. Представление суждений отношения.
Глава III. Силлогизмы. § 1. Представление силлогизмов. § 2. Формулы для решения задач на силлогизмы.
§ 2. Логические ошибки. § 4. Метод обнаружения ошибки в данной паре суждений.
Книга VII. Сориты. Глава I. Введение. Глава II. Задачи на сориты. § 1. Предварительные замечания. § 2. Решение соритов методом отдельных силлогизмов. § 3. Решение соритов методом подчеркивания.
Книга VIII. Примеры, ответы и решения. Глава I. Примеры. § 1. Привести к нормальной форме следующие суждения отношения. § 2. Представить на одной трехбуквенной диаграмме пару абстрактных суждений (одно суждений — в терминах x и m, другое — в терминах y и m). § 3. Следующие трехбуквенные диаграммы перевести на язык суждений в терминах x и y. § 4. Приняв каждую из следующих пар абстрактных суждений за посылки силлогизма, вывести заключение. § 5. Приняв каждую из следующих пар конкретных суждений за посылки силлогизма, вывести заключение. § 6. Проверить, являются ли следующие тройки абстрактных суждений силлогизмами. § 7. Проверить, являются ли следующие тройки конкретных суждений силлогизмами. § 8. Предположить, что каждый из приводимых далее наборов абстрактных суждений является набором посылок сорита, найти заключение. § 9. Предположить, что каждый из приводимых далее наборов конкретных суждений является набором посылок сорита, найти заключение. Глава II. Ответы. Глава III. Решения. § 1. Нормальная форма суждения отношения. § 2. Метод диаграмм. § 2. Метод индексов.
Приложение, адресованное преподавателям. § 1. Введение. § 2. Утверждение о существовании субъекта суждения, вытекающее из самого суждения. § 3. Употребление выражение «не есть» («не суть») в качестве связки. § 4. Теория, согласно которой «две отрицательные посылки ничего не доказывают».
§ 5. Метод кругов Эйлера. § 6. Метод диаграмм Венна. § 7. Мой метод диаграмм. § 8. Решение силлогизмов с помощью различных методов. § 9. Мой метод рассмотрения силлогизмов и соритов. § 10. Краткий обзор II и III частей «Символической логики».
РАЗНЫЕ РАЗНОСТИ ИЛИ MISCELLANEA CARROLLIANA.
Трудности и парадоксы. Трудность первая. Где происходит смена дат? Трудность вторая.Какие часы лучше?
Что черепаха сказала Ахиллу.
Аллен, Браун и Карр.
Предисловие к книге «Простые факты о квадратуре круга», оставшейся ненаписанной.
Задачи и загадки для больших и маленьких.
Из писем к детям.
Литература Мендельсон Э. Введение в математическую логику.— М.: Наука, 1976.— 320 с.: ил.
От редактора перевода.
В книге Э. Мендельсона «Введение в математическую логику» дается доступное для начинающего читателя и достаточно полное изложение основных разделов современной математической логики и многих ее приложений. Наряду с такими разделами, как логика высказываний, исчисление предикатов, формальная арифметика и теория алгоритмов, в ней освещены также теория моделей и аксиоматическая теория множеств, отсутствующие в книге С. К. Клини «Введение в метаматематику», которая до настоящего времени служила наиболее полным пособием по математической логике. Следует однако отметить, что в отличие от книги С. К. Клини в этой книге по существу не затрагиваются интуиционистское и конструктивное направления математической логики.
Оглавление.
От редактора перевода.
Предисловие.
Введение.
Глава 1. Исчисление высказываний. § 1. Пропозициональные связки. Истинностные таблицы. § 2. Тавтологии. § 3. Полные системы связок. § 4. Система аксиом для исчисления высказываний. § 5. Независимость. Многозначные логики. § 6. Другие аксиоматизации.
Глава 2. Теории первого порядка. § 1. Кванторы. § 2. Интерпретации. Выполнимость и истинность. Модели. § 3. Теории первого порядка. § 4. Свойства теорий первого порядка. § 5. Теоремы о полноте. § 6. Некоторые дополнительные метатеоремы. § 7. Правило С. § 8. Теории первого порядка с равенством. § 9. Введение новых функциональных букв и предметных констант.
§ 10. Предваренные нормальные формы. § 11. Изоморфизм интерпретаций. Категоричность теорий. § 12. Обобщенные теории первого порядка. Полнота и разрешимость.
Глава 3. Формальная арифметика. § 1. Система аксиом. § 2. Арифметические функции и отношения. § 3. Примитивно рекурсивные и рекурсивные функции. § 4. Арифметизация. Гёделевы номера. § 5. Теорема Гёделя для теоремы S. § 6. Рекурсивная неразрешимость. Теорема Тарского. Система Робинсона.
Глава 4. Аксиоматическая теория множеств. § 1. Система аксиом. § 2. Порядковые числа.
§ 3. Равномощность. Конечные и счетные множества. § 4. Теорема Хартогса. Начальные порядковые числа. Арифметика порядковых чисел. § 5. Аксиома выбора. Аксиома ограничения.
Глава 5. Эффективная вычислимость. § 1. Нормальные алгорифмы Маркова. § 2. Алгорифмы Тьюринга. § 3. Вычислимость по Эрбрану — Гёделю. Рекурсивно перечислимые множества.
§ 4. Неразрешимые проблемы.
Дополнение. Доказательство непротиворечивости формальной арифметики.
Литература.
Алфавитный указатель.
Символы и обозначения.
Прасолов В. В. Наглядная топология.— М.: МЦНМО, 2006.— 112 с., ил.— ISBN 5-94057-260-X.
Аннотация.
Книга представляет собой вводный курс топологии. Основные понятия сначала описываются на интуитивно понятном уровне, а затем постепенно уточняются и становятся вполне строгими. Это позволяет сразу же заняться содержательными топологическими задачами.
Книга снабжена многочисленными иллюстрациями, которые нередко более важны для ее понимания, чем текст. Каждая глава содержит задачи, обдумывание которых поможет лучше усвоить излагаемый материал.
Книга будет интересна всем, кто способен воспринимать изящество и элегантность геометрических конструкций и теорем.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей кружков, студентов младших курсов математических специальностей.
Первое издание книги вышло в 1995 г.
Оглавление.
Предисловие.
1. Деформация эластичных тел. 2. Узлы и зацепления. 3. Заклеивание узлов и зацеплений. 4. Инвариант узла. 5. Гомеоморфизмы. 6. Векторные поля на плоскости. 7. Векторные поля на двумерных поверхностях. 8. Гомеоморфизмы без неподвижных точек. 9. Двумерные поверхности.
«