«С. В. Мациевский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ Учебное пособие Издательство Российского государственного университета им. И. Канта 2010 УДК 51(075) ББК 22.11я73 М 367 Рецензенты: доцент кафедры высшей математики ...»

§ 1. Числовая система Следует заметить, что понятие отрицательного числа совсем не очевидно:

исторически в математике сначала появились дроби и даже вещественные положительные числа, и только потом — отрицательные.

Целое число.

Целые числа — это числа Целые числа обозначаются буквой с двойными линиями.

На числовой оси целые числа рисуются следующим образом:

Положительное и отрицательное число.

Целые числа распадаются на три части:

1) натуральные, то есть положительные, числа: 1, 2, 3, 4, …;

2) нуль 0;

3) отрицательные числа: 1, 2, 3, 4, ….

Натуральные числа входят в целые.

Изобразим три части целых чисел на рисунке 3.

То, что натуральные числа являются частью целых, можно изобразить так, как на рисунке 4.

Целые числа, точно также как и натуральные, дискретны. В частности, существует понятие соседних целых чисел, и между соседними целыми числами целых чисел нет.

Возникает интересный вопрос: каких чисел больше: натуральных или целых? Ясно, что и тех, и тех бесконечно много. Но эти две бесконечности одинаковые или разные?

Определим ту бесконечность, которую образуют натуральные числа.

Счетная бесконечность.

Числа образуют счетную бесконечность, если их можно пересчитать натуральными числами. Счетная бесконечность обозначается 0 (первой буквой еврейского алфавита «леф» с нулем, читается «алеф-нуль»).

Ясно, что натуральные числа счетны, ведь они пересчитывают сами себя.

Теорема 5. Счетность целых чисел.

Целые числа счетны.

Доказательство. Целые числа пересчитываются, как показано на рисунке 6.

Другими словами, целые числа пересчитываются натуральными по следующей схеме:

Итак, бесконечный набор целых чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с бесконечным набором натуральных чисел. Бесконечности натуральных и целых чисел одинаковые.

Кроме того, получаем, что, в отличие от конечного набора, бесконечный набор может быть равновелик своей части, которая не совпадает со всем набором. Это свойство бесконечности может быть взято за ее определение.

Бесконечность.

Бесконечность равновелика своей части.

Над любыми целыми числами можно производить уже три операции: сложение, умножение и вычитание, то есть при сложении, умножении и вычитании любых целых чисел снова получается целое число. Поэтому, кроме четырех вышеперечисленных алгебраических свойств операции над целыми числами обладают пятым алгебраическим свойством.

Свойства операций над числами.

5. Наличие противоположного числа:

Пример.

Противоположное число. 2 + (2) = 0.

§ 1. Числовая система Целые числа допускают только три операции сложения, умножения и вычитания и не допускают деления. Расширим множество целых чисел так, чтобы можно было делить числа.

Чтобы на числах выполнялась оставшаяся арифметическая операция деления, исключая, конечно, деление на нуль, к целым числам добавляют дробные.

Рациональное число.

Рациональны числа — это числа Рациональны числа обозначаются буквой, которую чаще пишут с двойными палочками.

Рациональное число записывают также десятичной дробью, у которой количество десятичных цифр либо конечно, либо бесконечно с периодичностью цифр:

На числовой оси рациональные числа рисуются как на рисунке 7.

Целые числа являются частью рациональных. Поэтому рациональные числа распадаются на две части:

1) целые числа;

2) дробные числа.

Дадим определение дробного числа.

Дробное числа.

Дробное число — это нецелое рациональное число.

Изобразим две части рациональных чисел на рисунке 8.

То, что целые числа являются частью рациональных, можно изобразить также и так, как показано на рисунке 9.

Рис. 9. Натуральные числа как часть целых как часть рациональных чисел Разумеется, рациональных чисел также бесконечно много. Но больше ли, чем натуральных?

Теорема 10. Счетность рациональных чисел.

Набор рациональных чисел счетен.

Доказательство. Запишем любое рациональное число в виде отношения целого и целого положительного чисел, как это показано на рисунке 12. Так записанные рациональные числа легко пересчитать.

В итоге пересчитаем даже больше, чем все рациональные числа, поскольку на рисунке 11 каждое рациональное число присутствует бесконечное количество раз.

Рациональные числа существенно отличаются от целых одним свойством.

Рациональные числа, в отличие от целых, не дискретны.

Теорема 12. Плотность рациональных чисел.

Рациональные точки расположены на числовой оси всюду плотно.

Доказательство. Между любыми двумя рациональными числами a и b всеa+b гда содержится среднее арифметическое a и b — рациональное число.

§ 1. Числовая система Рациональные числа всюду плотны, но бесконечная последовательность этих чисел далеко не всегда сходится к рациональному числу.

Примеры.

1. Бесконечная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к рациональному числу (количество девяток после нуля неограниченно увеличивается).

2. Бесконечная последовательность рациональных чисел, не сходящаяся к рациональному числу (количество знаков числа неограниченно увеличивается).

Операции над рациональными числами обладают, кроме вышеназванных пяти, следующим шестым свойством.

Свойства операций над числами.

6. Наличие обратного числа при a 0:

Пример.

Обратное число. 2 2 1 = 1.

Получили, что рациональные числа замкнуты относительно четырех арифметических операций. Результатом арифметической операции над любыми рациональными числами снова является рациональное число (кроме деления на 0).

Расширим набор используемых операций. Рассмотрим нахождение корней многочленов с целыми коэффициентами.

Какими свойствами обладают корни многочленов? Только у многочленов первой степени все корни являются рациональными числами.

Теорема 13. Корень многочлена 1-й степени рационален.

Многочлен первой степени с целыми коэффициентами имеет один рациональный корень.

Доказательство. Многочлен первой степени с целыми коэффициентами ax + b, причем обязательно a 0, имеет один рациональный корень b/a.

У многочленов 2-й степени и выше бывают не рациональные корни.

Примеры.

Многочлен 1-й степени x 1 имеет рациональный корень 1.

Многочлен 2-й степени x2 2 имеет не рациональный корень 2.

Теорема 14. Иррациональность корня из двух.

Число 2 иррационально.

Доказательство. Проведем доказательство от противного. Пусть 2 рационален. Тогда 2 = n / m, причем целые числа n и m являются несократимыми.

Следовательно, 2m2 = n2, и тогда n делится на 2. Поэтому n можно записать в виде n = 2k, где k — целое число.

Но тогда из 2m2 = n2 следует 2m2 = 4k2, или m2 = 2k2. Но отсюда следует, что и m, как и n, делится на 2.

Получили противоречие: несократимая дробь n/m сократима на 2.

Алгебраическое число.

Алгебраическим числом называется корень многочлена любой степени с целыми коэффициентами.

Рациональные числа являются частью алгебраических, которые распадаются на две части:

1) рациональные числа;

2) иррациональные числа.

Изобразим две части алгебраических чисел на рисунке 15.

Рис. 15. Две составные части алгебраических чисел То, что рациональные числа являются частью алгебраических, можно изобразить также и так, как показано на рисунке 16.

Рис. 16. Натуральные числа как часть целых как часть рациональных Иррациональное число.

Любые числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.

Примеры.

Примеры иррациональных алгебраических чисел:

§ 1. Числовая система Нарисуем на числовой оси алгебраические числа.

Алгебраические числа, также как и рациональные, замкнуты относительно четырех арифметических операций и для них выполняются все шесть свойств этих операций.

Если рациональные числа всюду плотны, то алгебраические тем более, поскольку рациональные числа являются частью алгебраических.

Следующую теорему примем без доказательства, хотя пересчитать все корни всех многочленов не составляет особого труда.

Теорема 18. Счетность алгебраических чисел.

Множество алгебраических чисел счетно.

3°*. Биномиальные коэффициенты Раз уж речь зашла о многочленах, изучим один важный случай их построения, пи котором получаются биномиальные коэффициенты.

Биномиальный коэффициент.

Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты многочлена, который получается после возведения бинома x + y в целую положительную степень n и приведения подобных: (x + y)n.

Линейный, квадратичный и кубический бином.

1. Возведем наш бином в первую степень, имеем два следующих коэффициента линейного бинома: 1 и 1.

2. Возведем наш бином во вторую степень, получим три коэффициента квадратичного бинома: 1, 2 и 1.

3. Возведем наш бином в третью степень, это даст четыре коэффициента кубического бинома: 1, 3, 3 и 1.

4. В четвертой степени получаются следующие пять коэффициентов бинома четвертой степени: 1, 4, 6, 4 и 1:

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 = 1x4y0 + 4x3y1 + 6x2y2 + 4x1y3 + 1x0y4.

Биномиальные коэффициенты для более высоких степеней бинома легко находятся, если воспользоваться следующей их простой закономерностью, которая является основой треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля.

Первые два числа треугольника Паскаля равны 1, крайние числа треугольника Паскаля равны 1, а внутренние числа треугольника Паскаля равны сумме ближайших двух чисел из предыдущего ряда, как изображено на рисунке 19.

n-й ряд треугольника Паскаля состоит из биномиальных коэффициентов для степени n, в которую возводится бином x + y: 1-й ряд — из коэффициентов линейного бинома, 2-й ряд — квадратичного, 3-й — кубического и т. д.

10-й ряд 1 10 45 120 210 252 210 120 45 Действительное число.

Действительные, или вещественные, числа — это числа, соответствующие точкам вещественной координатной прямой (рис. 21).

Действительные числа обозначаются буквой с двойными палочками.

Действительные числа замкнуты относительно всех четырех арифметических операций и для них выполняются все шесть свойств этих операций (кроме деления на 0).

Действительные числа распадаются на рациональные и иррациональные, а также на алгебраические и трансцендентные.

Трансцендентное число.

Трансцендентное число — действительное не алгебраическое число.

Примеры.

Примеры трансцендентных чисел:, e, sin 1, ln 2, 2 § 1. Числовая система Изобразим на рисунке 21 две части действительных чисел, а на рисунке 22 — две другие части действительных чисел.

Рис. 21. Две составные части действительных чисел Рис. 22. Две другие составные части действительных чисел Ясно, что трансцендентное число иррационально. Разобьем действительные числа на три части, как на рисунке 23.

Трансцендентные Иррациональные Рис. 23. Три составные части действительных чисел То, что алгебраические числа являются частью действительных, можно изобразить также и так, как показано на рисунке 24.

Рис. 24. Натуральные числа как часть целых как часть рациональных как часть алгебраических как часть действительных чисел Континуум. Диагональный метод Кантора.

Множество действительных чисел несчетно, другими словами, является континуумом. Несчетная бесконечность обозначается.

Докажем несчетность действительных чисел знаменитым диагональным методом Кантора.

Разумеется, несчетны также иррациональных и трансцендентных числа, поскольку рациональные и алгебраические числа счетны.

Теорема 25. Несчетность действительных чисел.

Множество действительных чисел несчетно.

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Предположим, что оно счетно. Тогда множество действительных чисел в интервале (0, 1) тоже счетно как часть счетного, то есть можно составить их пересчитывающий список. Например, какой-нибудь такой:

Жирным шрифтом выделены диагональные десятичные знаки. В данном примере это 1, 4, 1, 0, 0, …. Диагональный метод состоит в построении действительного числа в интервале (0, 1), отличающегося от всех чисел приведенной выше последовательности, что ведет к противоречию.

Пусть цифра разряда нового числа равна 1, если цифра соответствующего разряда на диагонали не равна 1, и равна 2, если равна 1. Получаем число Это число отличается от первого числа в списке в 1-м десятичном разряде после запятой, от 2-го — во 2-м десятичном разряде, от 3-го — в 3-м и так далее. Это число отличается от всех чисел в списке и поэтому в список не входит. Противоречие с тем, что в список входят все действительные числа.

Введем новое обозначение. Предположим, что двучлен x2 + 1 имеет корень и обозначим корень этого двучлена через i.

Мнимая единица.

Число i называется мнимой единицей.

В итоге получаем квадратное уравнение i2 + 1 = 0. Поэтому i 2 = 1.

С помощью мнимой единицы можно получить все комплексные числа.

Комплексное число.

Комплексные числа — действительные числа, к которым добавлены мнимая единица, а также все числа, полученные в результате всевозможных арифметических операций над ней и всеми действительными числами.

Комплексные числа обозначают, чаще записываемой с двойной дугой.

§ 1. Числовая система Любое комплексное число всегда можно представить в следующем стандартном виде z = x + iy, где x и y — действительные числа.

В этой записи число x Re z называется действительной, или вещественной, частью комплексного числа z, а y Im z — его мнимой частью.

Числа вида iy, когда x = 0, называются чисто мнимыми.

Получается, что действительные числа являются частным случаем комплексных при y = 0.

Интересно, что число 0 одновременно и действительное, и чисто мнимое.

Изобразим две части комплексных чисел на рисунке 26.

То, что действительные числа являются частью комплексных, можно изобразить также и так, как показано на рисунке 27.

Рис. 27. Натуральные числа как часть целых как часть рациональных как часть алгебраических как часть действительных как часть комплексных чисел Комплексные числа обладают еще одним замечательным и чрезвычайно важным свойством, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 28. Основная теорема алгебры.

Любой многочлен степени n > 0 с комплексными коэффициентами всегда имеет n комплексных (возможно совпадающих) корней.

Как эти числа представить геометрически?

Комплексная плоскость.

Комплексные числа суть точки плоскости — комплексной плоскости, или плоскости Аргаx на. Действительные числа составляют действительную, или вещественную, ось, а чисто мнимые числа — мнимую ось.

Комплексная плоскость изображена на рисунке 29 вместе с точками Сопряженное комплексное число.

Сопряженные комплексные числа — это числа z = x + iy и z = x iy (рис. 29).

Замечательно, что сумма и произведение сопряженных чисел действительны:

действительное число (Re z)2 + (Im z)2. Изобраy x = x2 + y зим это число на комплексной плоскости на го числа Обозначение: z = (Re z)2 + (Im z)2.

Комплексные числа являются последним расширением чисел в следующем смысле:

1) выполняются все четыре арифметических операции над комплексными числами;

2) сохраняются все шесть свойств арифметических операций;

3) дальнейшее расширение комплексных чисел приводит к утрате отдельных свойств арифметических операций.

Примеры.

Пусть даны два комплексных числа 1 + i и 1 i.

Из этих двух чисел можно составить две разности:

Их единственное произведение (1 + i) (1 i) = 1 i2 = 1 (1) = 2.

Из двух чисел составим два разных частных. Чтобы получить в знаменателе действительное число, используем число, сопряженное знаменателю.

§ 1. Числовая система 1.1. Какое из следующих чисел минимально?

1.2. Какое из следующих чисел максимально?

1.3. Какое из следующих чисел в натуральной степени равно другому числу?

1.4. Какое число равно среднему арифметическому двух других ( c = )?

1.5. Какое число равно среднему геометрическому двух других ( c = ab )?

2.1. Какое число является отрицательным?

2.2. Какое из следующих чисел равно сумме трех других?

2.3. Какое из следующих чисел равно произведению двух других?

2.4. Какое число равно среднему гармоническому двух других ( c = )?

2.5. Какое число равно среднему квадратичному двух других ( c = )?

3.1. Какая последовательность рациональных чисел постоянна (состоит из одного и того же числа)?

1) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … 2) 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; …, где цифры берутся из бесконечного десятичного представления числа e.

3.2. Какая последовательность рациональных чисел отрицательна (состоит только из отрицательных чисел)?

1) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … 2) 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; …, где цифры берутся из бесконечного десятичного представления числа e.

3.3. Какая последовательность рациональных чисел знакопеременна (после положительного идет отрицательное число, после отрицательного — положительное)?

1) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … 2) 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; …, где цифры берутся из бесконечного десятичного представления числа e.

3.4. Какая последовательность рациональных чисел, в которой нет двух одинаковых чисел, сходится к рациональному числу?

1) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; … 2) 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; …, где цифры берутся из бесконечного десятичного представления числа e.

3.5. Какая последовательность рациональных чисел не сходится к рациональному числу?

1) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; … 2) 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; …, где цифры берутся последовательно из бесконечного десятичного представления числа e.

§ 1. Числовая система 4.1. Какое число является натуральным?

4.2. Какое число является отрицательным?

4.3. Какое число является рациональным, но не целым?

4.4. Какое число является алгебраическим, но не рациональным?

4.5. Какое число не является алгебраическим?

5.1. Сколько чисел стоит во втором ряду треугольника Паскаля?

5.2. Чему равно второй число в пятом ряду треугольника Паскаля?

5.3. Какое число стоит на левой границе треугольника Паскаля?

5.4. Какое число стоит на правой границе треугольника Паскаля?

5.5. Чему равна сумма чисел первого ряда треугольника Паскаля?

6.1. Какое число является натуральным?

6.2. Какое число является целым, но не натуральным?

6.3. Какое число является рациональным, но не целым?

6.4. Какое число является алгебраическим, но не рациональным?

6.5. Какое число является трансцендентным?

7.1. Какое число равно 1?

7.2. Какое число равно 1?

7.3. Какое число равно i?

7.4. Какое число сопряжено с 1 + 1i?

7.5. Чему равен модуль 1 + 1i?

Даны три комплексных числа, n — номер варианта (от 1 до 16):

Произведите указанные арифметические действия над комплексными числами. В результате следует получить комплексное число в стандартной записи z = x + iy.

1. Найдите все 3 разных сумм этих чисел.

2. Найдите все 6 разных разностей этих чисел.

3. Найдите все 3 разных произведений этих чисел.

4. Найдите все 6 разных частных этих чисел. Подсказка: чтобы избавиться от комплексного знаменателя, умножьте числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Не забудьте, что в результате следует получить комплексное число в стандартной записи z = x + iy.

3°*. Связь перестановок с повторением и сочетаний........................

Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы.— М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

Виленкин Н. Я., Виленкин А. Н., Виленкин П. А. Комбинаторика.— М.: ФИМА, МЦНМО, 2006.

Болтянский В. Г., Савин А. П. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты.— М.: ФИМА, МЦНМО, 2002.

Прямое произведение, декартово произведение, координатная плоскость, комбинаторика, расстановка, перестановка, выборка, перестановка с повторением, перестановка без повторения, размещение с повторением, размещение без повторения, сочетание с повторением, сочетание без повторения, факториал, треугольник Паскаля.

§ 2. Комбинаторика Пусть у нас есть два набора предметов: набор A и набор B.

Прямое, или декартово, произведение.

Прямым произведением двух наборов A и B называется набор всевозможных пар (a, b) такой, что a — это предмет из набора A, а b — предмет из набора B.

Прямое произведение называют также декартовым произведением.

Обозначение прямого произведения: A B.

Примеры.

1. Пусть набор A включает 4 конечности: I) левая рука; II) правая рука;

III) левая нога; IV) правая нога, а набор B — 5 пальцев: 1) большой; 2) указательный; 3) средний; 4) безымянный; 5) мизинец.

Тогда в прямое произведение A B входит 20 пар, как показано в таблице 1.

Конечности 1) большой 2) указательный 3) средний 4) безымянный 5) мизинец 2. Посчитаем количество двузначных чисел.

Десятки двузначного числа берутся из набора 9 цифр 1, 2, …, 9, а единицы — из набора 10 цифр 0, 1, …, 9. Двузначные числа удобно рассматривать как прямое произведение этих наборов.

Получаем 90 двузначных чисел: 10, 11, 12, …, 98, 99.

3. Координатная плоскость.

Координатная плоскость, показанная на рисунке 2, является примером прямого произведения двух числовых дение двух наборов вещественных чисел.

Координатная плоскость называется также декартовой плоскостью.

Достаточно очевидна следующая теорема, которая иллюстрируется первым примером.

Т е о р е м а 3. Если набор A состоит из n предметов, а набор B — из m предметов, то их прямое произведение A B содержит n m предметов.

Комбинаторика.

Комбинаторика — вычисление количества комбинаций и закономерностей этого вычисления.

Терминология этого параграфа весьма условна в обычном, бытовом понимании. Другими словами, практически одинаковыми словами обозначаются совершено разные математические понятия. Разберемся с этой терминологией.

В этом параграфе будут рассмотрены только две области комбинаторики, связанные с перестановкой имеющихся предметов и выбором предметов из предложенного набора.

Назовем расстановкой все, чем мы будем заниматься в этом параграфе.

Расстановка.

Расстановка — расположение предметов в разном порядке.

Естественным образом расстановки распадаются на два вида: перестановки и выборки.

Перестановка. Выборка.

Перестановка — расстановка набора предметов в разном порядке.

Выборка — выбор нескольких образцов из набора предметов.

Переставлять можно набор предметов, в котором либо все предметы разные, либо могут попадаться одинаковые.

Перестановка с повторением и без.

Перестановка без повторения — расстановка набора предметов в разном порядке, причем все предметы разные.

Перестановка без повторения традиционно называется просто перестановкой.

Перестановка с повторением — расстановка набора предметов в разном порядке, причем могут попадаться одинаковые предметы.

Выборки можно разбить на два вида двумя разными способами:

1) при выборе предметов их можно располагать в определенном порядке, а можно рассматривать просто кучей;

2) при выборе из набора предметов каждый предмет может быть только в единственном экземпляре, а может быть в неограниченном количестве.

§ 2. Комбинаторика Итак, после прямого произведения двух пар выборок получаем четыре вида выборки.

Размещение и сочетание с повторением и без.

Выборка предметов с учетом порядка, причем каждый предмет имеется в единственном экземпляре, называется размещением (без повторения).

Выборка предметов без учета порядка, причем каждый предмет имеется в единственном экземпляре, называется сочетанием (без повторения).

Выборка предметов с учетом порядка, причем каждый предмет имеется в неограниченном количестве, называется размещением с повторением.

Выборка предметов без учета порядка, причем каждый предмет имеется в неограниченном количестве, называется сочетанием с повторением.

Сводя к одной схеме рассмотренные виды расстановок, получаем следующий алгоритм решения задачи. Схематично алгоритм показан на рисунке 5.

Алгоритм 4. Определение вида расстановки 1. Если предметы переставляются, переходим на 2, если выбираются — на 3.

2. Если предметы повторяются, подсчитываем количество перестановок, если не повторяются — количество перестановок с повторением.

3. Если порядок есть, переходим на 4, если нет — на 5.

4. Если предметы повторяются, подсчитываем количество размещений, если не повторяются — количество размещений с повторением.

5. Если предметы повторяются, подсчитываем количество сочетаний, если не повторяются — количество сочетаний с повторением.

Рассмотрим перестановки из n неповторяющихся предметов.

Перестановка.

Перестановки из неповторяющихся предметов будем называть просто перестановками.

Количество перестановок также называется перестановкой.

Перестановки из n предметов, а точнее, количество перестановок из n предметов, обозначается Pn.

Порядок предметов учитывать необходимо, потому что в перестановке всегда задействованы все n предметов. Перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения предметов.

Без учета порядка перестановки n предметов рассматривать бессмысленно, поскольку получается так называемый вырожденный случай: всегда имеется только 1 куча, сложенная из n предметов.

Итак, у нас есть n различных предметов. Сколькими способами их можно расположить по порядку?

Примеры.

1. Сколькими способами можно расположить по порядку 3 буквы А, Б и В?

Решение. На первое место можно поставить одну из 3 букв, имеем 3 способа:

где звездочками обозначены неизвестные буквы. В каждом из этих трех случаев на второе место можно поставить одну из двух оставшихся букв, имеем по теореме 4 о прямом произведении 3 2 = 6 способов:

Наконец, в каждом из этих 6 случаев на оставшееся место можно поставить только одну букву, имеем для прямого произведения P3 = 3! = 3 2 1 = 6 способов:

2. Сколько пятизначных чисел можно составить из 5 цифр 1, 2, 3, 4 и 5?

Решение. На первое место можно поставить одну из 5 цифр, имеем 5 чисел:

В каждом из этих 5 случаев на второе место можно поставить одну из четырех оставшихся цифр, имеем для прямого произведения 5 4 = 20 чисел.

В каждом из этих 20 случаев на третье место можно поставить одну из трех оставшихся цифр, имеем для прямого произведения 5 4 3 = 60 чисел.

И так далее.

Осталось обобщить полученные результаты.

§ 2. Комбинаторика Введем новый важный термин и новое важное обозначение.

Факториал.

Факториал натурального числа n — произведение первых n натуральных чисел от 1 до n.

Короче можно записать так:

Обозначение факториала числа n: n!.

Кроме того, для удобства наиболее часто используемых вычислений полагают, что всегда 0! = 1.

Теперь можно сформулировать теорему, которая обобщает полученные в примерах результаты.

Т е о р е м а 6. Количество перестановок P n из n предметов равно n!:

Рассмотрим перестановки из n повторяющихся предметов, которые могут повторяться.

Перестановка с повторением.

Перестановки из повторяющихся предметов называются перестановками с повторением. Количество перестановок с повторением также называется перестановкой с повторением.

Количество перестановок с повторениями из n предметов обозначаются P(n1, n2, …, nk), где k — количество видов различных предметов, n1, n2, …, nk — количество предметов вида 1, 2, …, k, причем, разумеется, n1 + n2 + … + nk = n.

Ясно, что когда все предметы разные, то получаем частный случай: перестановки без повторений, то есть просто перестановки:

Также очевидно, что порядок одинаковых предметов учесть невозможно, чем мы и воспользуемся при подсчете числа перестановок.

Итак, у нас есть n предметов, некоторые из которых повторяются. Сколькими способами их можно расположить по порядку?

Примеры.

1. Сколькими способами располагаются по порядку 6 букв А, Б, Б и В, В, В?

Решение. Нам нужно подсчитать количество перестановок с повторением P(1, 2, 3). Общее количество букв n = 1 + 2 + 3 = 6.

Если бы все буквы были разными, то получили бы просто перестановки в количестве Но у нас три одинаковые буквы В. Возникает вопрос, сколько набегает лишних перестановок, когда эти три буквы расположены на одних и тех же местах? Поскольку при подсчете мы предполагали, что эти три буквы В различны, то, когда они на одних и тех же местах, их можно упорядочить способами. Это количество лишних перестановок для буквы В для всех случаев их размещения! Чтобы учесть одинаковость букв В, нужно P6 поделить на P3.

Аналогично получаем для буквы Б P2 = 2! = 1 2 лишних перестановок.

Чтобы учесть одинаковость букв Б, нужно P6 поделить на P2.

Для буквы А получаем одну лишнюю перестановку,— лишних перестановок нет.

Итак, количество разных упорядочений 6 букв А, Б, Б и В, В, В, то есть их перестановок с повторениями, равно 2. Сколько различных 9-значных чисел можно составить из 9 цифр 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3?

Решение. Всего у нас 9 чисел. Поэтому без учета повторений предметов получаем 9! чисел.

Но в наборе имеются три числа, каждое из которых повторяется три раза. Следовательно, для получения правильного ответа задачи необходимо полученное ранее количество перестановок без повторений 9! поделить три раза на 3!:

Теперь можно сформулировать теорему, которая обобщает полученные в примерах результаты.

Т е о р е м а 7. Количество перестановок с повторениями из n предметов, где количество различных предметов k, а одинаковых предметов n1, n2, …, nk, причем n1 + n2 + … + nk = n, равно P(n1, n2, …, nk):

§ 2. Комбинаторика Рассмотрим размещения из k предметов, которые выбираются из n неповторяющихся предметов. Другими словами, разместим n неповторяющихся предметов по k местам. Ясно, что при этом всегда k n.

Размещение.

Размещения без повторений называются просто размещениями. Количество размещений без повторений также называется размещением.

Количество размещений из n предметов по k обозначается An, k n.

Примеры.

1. Сколькими способами размещаются по порядку 3 буквы из 5: А, Б, В, Г, Д?

Решение. Алгоритм подсчета числа размещений совпадает с алгоритмом подсчета числа перестановок без повторений, только обрывается раньше.

На первое место можно поставить одну из пяти букв, имеем 5 способов:

где звездочками обозначены неизвестные буквы. В каждом из этих пяти случаев на второе место можно поставить одну из четырех оставшихся букв, имеем по теореме о прямом произведении 5 4 = 20 способов:

Наконец, в каждом из этих 20 случаев на оставшееся место можно поставить одну из трех оставшихся букв, имеем 5 4 3 = 60 способов:

АБВ, АБГ, АБД, АВБ, АВГ, АВД, АГБ, АГВ, АГД, АДБ, АДВ, АДГ, БАВ, БАГ, БАД, БВА, БВГ, БВД, БГА, БГВ, БГД, БДА, БДВ, БДГ, ВАБ, ВАГ, ВАД, ВБА, ВБГ, ВБД, ВГА, ВГБ, ВГД, ВДА, ВДБ, ВДГ, ГАБ, ГАВ, ГАД, ГБА, ГБВ, ГБД, ГВА, ГВБ, ГВД, ГДА, ГДБ, ГДВ, ДАБ, ДАВ, ДАГ, ДБА, ДБВ, ДБГ, ДВА, ДВБ, ДВГ, ДГА, ДГБ, ДГВ.

2. Сколько 4-значных чисел можно составить из 7 цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7?

Решение. Получаем 7 6 5 4 = 840 чисел.

Т е о р е м а 8. Количество размещений из n по k равно Для расчетов следует использовать только начало формулы, где нет факториалов!

В частности, размещения из n по n — просто перестановки из n:

An = Pn = n!. А размещения из n по 1 всегда равно n: An = n.

Ранее величина нашей выборки k, то есть количество выбранных предметов, не превосходило числа самих предметов n. Рассмотрим размещения из n различных предметов, при которых количество предметов любого из n видов неограничено. Другими словами, из n предметов выбирается произвольное количество k предметов, естественно, что при этом предметы могут повторяться.

Размещение с повторением.

Размещение с повторением — это выбор k предметов из n, причем количество предметов любого из n видов неограничено. Количество размещений с повторением также называется размещением с повторением.

Количество различных размещений с повторением из n предметов по k никак не обозначается.

Следует иметь в виду, что размещение с повторением стоит особняком в рассматриваемых расстановках: при его вычислении используется степенная функция, а не факториал!

Примеры.

1. Сколько существует семизначных чисел?

Решение. На 1-е место можно поставить одну из 10 цифр.

При каждой из них на 2-м месте может оказаться любая из 10 цифр.

И так далее до 7 цифр в числе.

Имеем 10 10 10 10 10 10 10 = 107 = 10 000 000 различных чисел.

2. Сколько существует 20-значных чисел?

Решение. Количество различных 20-значных чисел равно 1020.

Приведем теорему, которая обобщает полученные в примерах результаты.

Количество размещений с повторениями из n по k равно nk.

Однако задачи, приведенные в примерах выше, обычно трактуются в более сложной интерпретации. А именно.

Пример.

1. Сколько существует семизначных чисел, не начинающихся с нулей?

Заметим, что вторая часть условия задачи может опускаться! В этом случае имеет смысл решить сразу две задачи:

1) найти все числа, которые могут начинаться с нуля;

2) найти все числа, которые не могут начинаться с нуля.

Решение. Очевидно, что требование к числу не начинаться с нулей эквивалентно условию, чтобы число не начиналось с одного 0. В этом случае на 1-м месте может быть только одна из 9 цифр, отличных от 0. А уже на остальных 6 местах могут находиться все 10 цифр. Ясно, что по правилу прямого произведения следует умножить 9 на количество 6-значных чисел. Получается 9 10 10 10 10 10 10 = 9 106 различных чисел.

§ 2. Комбинаторика У нас есть n различных предметов. Сколькими способами их можно разместить по k местам без учета порядка? Или, что то же самое, выбрать из них k предметов?

Сочетание.

Сочетания без повторений называются просто сочетаниями. Количество сочетаний без повторений также называется сочетанием.

Количество сочетаний из n предметов по k обозначается C n, или, k n.

Примеры.

1. Найти количество сочетаний 3 букв из 5: А, Б, В, Г, Д?

Решение. Алгоритм подсчета числа сочетаний аналогичен алгоритму подсчета числа перестановок с повторениями.

Если бы порядок учитывался, то имели бы размещения из 5 по 3: A5.

Но порядок не учитывается. Возникает вопрос, сколько набегает лишних размещений при перестановке одних и тех же трех букв? Три буквы можно упорядочить P3 способами.

Итак, количество разных сочетаний 3 букв из 5 равно 2. Сколькими способами 4 цифры можно выбрать из 7 цифр 1, 2, 3, 4, 5, Решение. С учетом порядка 4 цифры из 7 можно выбрать A7 способами, а без учета порядка, что и имеется, конечно, в виду в условии данной задачи, Т е о р е м а 1 0. Количество сочетаний из n по k равно Для расчетов следует использовать только начало формулы, где нет факториалов!

Наиболее трудное в подобных задачах — определить, нужно ли учитывать порядок размещений. Другими словами, что нужно подсчитывать — размещения или сочетания?

Сочетания с повторениями в этой книге не рассматриваются.

Пожалуй, сочетания — одни из наиболее важных чисел.

Можно показать, что при вычислении биномиальных коэффициентов, рассмотренных в предыдущем параграфе, получаются сочетания. Вместо доказательства этого факта проиллюстрируем его. Для этого просто выпишем сочетания для первых n.

Примеры.

1. При n = 1 получаем 2 сочетания. Поскольку числа маленькие, просто выпишем наиболее короткие формулы:

2. При n = 2 получаем 3 сочетания:

3. При n = 3 получаем 4 сочетания:

4. При n = 4 получаем 5 сочетаний:

Сочетания для больших n легко находятся, если воспользоваться следующей их простой закономерностью, лежащей в основе треугольника Паскаля:

n-й ряд треугольника Паскаля состоит из сочетаний для n.

Треугольник Паскаля.

Первые числа треугольника Паскаля равны 1, крайние числа равны 1, а внутренние числа равны сумме ближайших двух чисел сверху и сверху слева из предыдущего ряда, как изображено на рисунке 11.

§ 2. Комбинаторика 3°*. Связь перестановок с повторением и сочетаний Как связаны перестановки Pn = n! и размещения An, мы уже знаем:

Теперь посмотрим, как связаны перестановки с повторением и сочетания.

Для этого решим примеры, рассмотренные для перестановок с повторением, другим способом.

Примеры.

1. Сколькими способами располагаются по порядку 6 букв А, Б, Б и В, В, В?

Решение. Нам нужно подсчитать количество перестановок с повторением P(1, 2, 3). Общее количество букв n = 1 + 2 + 3 = 6.

На 6 мест букву А можно поставить 6 способами. Заметим, что число можно удобно перевести в сочетания формулой C 6 = 6. Из оставшихся 5 мест две буквы Б занимают 2 места, которые можно выбрать C 5 = 10 способами (см. треугольник Паскаля).

Наконец, из оставшихся 3 мест три буквы В занимают 3 места, которые можно выбрать 1 способом. Заметим, что число 1 можно в нашем контексте удобно перевести в сочетания формулой C 3 = 1.

Итак, количество разных упорядочений 6 букв А, Б, Б и В, В, В равно произведению трех полученных чисел:

что совпадает с предыдущим результатом.

2. Сколько различных 9-значных чисел можно составить из 9 цифр 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3?

Решение. На 9 мест три цифры 1 можно поставить C 9 = 84 способами (см.

треугольник Паскаля).

На оставшиеся 6 мест три цифры 2 можно поставить C 6 = 20 способами (см. треугольник Паскаля).

Наконец, на оставшиеся 3 места три цифры 3 можно поставить единственным способом. Заметим, что число 1 можно в нашем контексте удобно перевести в сочетания формулой C 3 = 1.

Итак, количество разных упорядочений 9 цифр 1, 1, 1, 2, 2, 2 и 3, 3, 3 равно произведению трех полученных чисел:

что совпадает с предыдущим результатом.

Теперь можно сформулировать теорему, которая обобщает полученные в примерах результаты.

Т е о р е м а 1 2. Количество перестановок с повторениями из n предметов, где количество различных предметов k, а одинаковых предметов n1, n2, …, nk, причем n1 + n2 + … + nk = n, равно P(n1, n2, …, nk):

Доказательство. Посмотрим, чему равно произведение сочетаний, которое присутствует в формуле:

Теперь учтем, что первая и вторая дроби сокращаются на Pn n 1, вторая и третья — на Pn n 1 n 2, и так далее. Кроме того, Pn n 1 n 2 n 3 K n k = Pn n = 1. Получим:

Итак, мы получили нашу старую формулу.

§ 2. Комбинаторика 1.1. Сколько наборов участвует в прямом произведении?

1.2. Сколько предметов содержит прямое произведение, если наборы, участвующие в произведении, имеют 2 и 4 предмета?

1.3. Какой пары нет в прямом произведении (0, 1)(0, 1, 2)?

1.4. Какая пара есть в прямом произведении (1, 2)(2, 3, 4)?

1.5. Какая пара является координатами какой-нибудь точки на координатной плоскости на прямой y = x (биссектриса первого квадранта)?

2.1. Как называется выбор нескольких образцов из набора предметов?

1) Расстановка. 2) Выборка. 2) Перестановка. 3) Размещение. 4) Сочетание.

2.2. Как называется выборка предметов без учета порядка, причем каждый предмет имеется в единственном экземпляре?

1) Расстановка. 2) Выборка. 2) Перестановка. 3) Размещение. 4) Сочетание.

2.3. Как называется выборка предметов с учетом порядка, причем каждый предмет имеется в единственном экземпляре?

1) Расстановка. 2) Выборка. 2) Перестановка. 3) Размещение. 4) Сочетание.

2.4. Как называется расстановка набора предметов в разном порядке, причем все предметы разные?

1) Расстановка. 2) Выборка. 2) Перестановка. 3) Размещение. 4) Сочетание.

2.5. Как называется расположение предметов в разном порядке?

1) Расстановка. 2) Выборка. 2) Перестановка. 3) Размещение. 4) Сочетание.

3.1. Чему равно 3!?

3.2. Чему равно 0!?

3.3. Чему равно 4!?

3.4. Чему равно 1!?

3.5. Чему равно 2!?

4.1. Чему равно P(2, 3)?

4.2. Чему равно P(1, 2)?

4.3. Чему равно P(2, 2)?

4.4. Чему равно P(2)?

4.5. Чему равно P(1, 3)?

§ 2. Комбинаторика 5.1. Чему равно A2 ?

5.2. Чему равно A2 ?

5.3. Чему равно A3 ?

5.4. Чему равно A3 ?

5.5. Чему равно A3 ?

6.1. Чему равно 2 ?

6.2. Чему равно 24?

6.3. Чему равно 210?

6.4. Чему равно 22?

6.5. Чему равно 26?

7.2. Чему равно C 2 ?

7.3. Чему равно C 3 ?

7.4. Чему равно C 3 ?

7.5. Чему равно C 3 ?

Пусть n — номер варианта от 1 до 16.

1. Сколько различных «слов» можно составить из букв русского алфавита с номерами от 1 до n + 5, если их можно использовать только по одному разу?

2. Сколько различных чисел можно составить, переставляя местами цифры числа 100 K3 1 n ?

3. Сколько различных шеренг длиной 3 можно составить из n + 5 студентов?

4. Сколько имеется (n + 5)-значных чисел?

5. Сколькими способами можно выбрать 3 студентов из n + 5?

§ 3. Теория вероятностей Болтянский В. Г., Савин А. П. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты.— М.: ФИМА, МЦНМО, 2002.

Романовский И. В. Дискретный анализ.— СПб.: Невский Диалект; БХВПетербург, 2003.

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: 2-е изд., испр. и дополн. / Пер. с англ.— М.: Мир, 1999.

Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся.— М.: Просвещение, 1975.

Испытание, исход, вероятность, подкидывание монеты, бросание кости, выбор карты из колоды, событие, свойства вероятности, невозможное и достоверное события, произведение и сумма событий, независимые и несовместные события, метод Монте-Карло, случайные числа.

§ 3. Теория вероятностей Игра в кости, карточные и другие азартные игры издавна привлекали интерес некоторого круга людей. Естественно, основной вопрос состоял в том, как делать ставки в игре, какой сделать ход, чтобы выигрыш был наиболее вероятен.

Именно поэтому развитие теории вероятности было связано, в первую очередь, с азартными играми, и в качестве иллюстраций использовались игровые ситуации. В середине XVII столетия Блез Паскаль, Пьер Ферма и другие математики заложили научные основы этой теории, не сомневаясь, что она найдет важные приложения во многих сферах человеческой деятельности.

Однако и сейчас при изложении основных понятий теории вероятности ситуации с бросанием костей, подбрасыванием монет или выбором нескольких карт из колоды служат удобным материалом для примеров и иллюстраций.

Теория вероятностей основывается на базовых модельных примерах. В качестве модельных примеров рассматриваются типовые испытания.

Испытание. Исход. Вероятность.

Испытание, или опыт — в теории вероятностей это — действие, которое можно повторять многократно.

Исход — результат испытания.

Вероятность исхода — доля исхода среди всех возможных исходов испытания.

Рассмотрим три типичных модельных испытания теории вероятностей.

Примеры.

1. Подкидывание монеты.

Рассмотрим следующее испытание: подкидывание монеты. Оно имеет два исхода: монета может упасть одной из двух сторон вверх: орлом (гербом, аверсом) или решкой (решеткой, реверсом, цифрой). При многократном подкидывании монеты орел и решка выпадают примерно одинаковое число раз.

Построим математическую модель подкидывания монеты: монета идеальная, причем в половине случаев выпадает орел, а в половине — решка, тогда вероятности P выпадения орла и решки одинаковы и равны 1.

На рисунке 1 показана русская монета с изображением математика Леонарда Эйлера.

Рис. 1. Решка и орел русской монеты в честь 300-летия русского математика 2. Бросание кости.

Возьмем игральную кость — кубик, на гранях которого изображены шесть чисел от 1 до 6. Опыт бросание игральной кости, когда кубик падает одной из сторон вверх, имеет шесть исходов, обозначаемых числами от 1 до 6.

Если игральная кость идеальна, то выпадение любого из шести чисел равновероятно с вероятностью P = 1.

На рисунке 2 показан стаканчик с шестью игральными костями.

3. Выбор карты из колоды.

Наконец, классическое испытание выбор карты из колоды в 52 карты имеет 52 равновероятных исходов, каждый с вероятностью P = 1.

На рисунке 3 показаны карты из одной из национальных русских колод.

Рис. 3. Некоторые бубновые атласные карты (автор неизвестен) Рассмотрим более сложные испытания.

Примеры.

1. Пусть монета подкидывается два раза подряд. Этот опыт имеет 2 2 = исхода: 4 пары (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р), где буквой О обозначено выпадение орла, а буквой Р — решки. В этом случае в математической модели вероятность каждого исхода P равна 1.

2. При бросании игральной кости два раза подряд имеем 6 6 = 36 исходов (1, 1), (1, 2), …, (1, 6), (2, 1), (2, 2), …, (2, 6), …, (6, 1), (6, 2), …, (6, 6). Поэтому вероятность P каждого исхода в идеальном случае составляет 1.

3. Выберем две карты из колоды в 52 карты. Здесь нужно внимательно следить за количеством карт. Первая карта выбирается из колоды в 52 карты, а вторая — уже из колоды в 51 карту. Поэтому количество исходов считается по формуле 52 51, и вероятность каждого исхода P равна § 3. Теория вероятностей Изучим некоторые простейшие свойства вероятностей.

Событие. Вероятность.

Событие — предполагаемый результат одного испытания или комбинации нескольких испытаний.

Вероятность события — доля события среди всех возможных событий.

Обозначение вероятности: P.

Таким образом, событие — это обобщение понятия исхода, а исход является частным случаем события, когда событие состоит из одного исхода.

Свойства вероятности.

1. Вероятность события больше или равна 0 и меньше или равна 1:

Это свойство с достаточной очевидностью следует из рассмотренных примеров. Вероятность какого-нибудь события не может быть никогда равна, например, 2 или 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0:

Невозможное событие.

Событие, которое никогда не может произойти, называется невозможным.

Вероятность такого события равна 0.

Например, вероятность при бросании кости получить 1,5 или 7, равна 0.

3. Вероятность достоверного события равна 1:

Достоверное событие.

События, которое происходит всегда, называется достоверным. Вероятность такого события равна 1.

Например, вероятность того, что при бросании кости выпадет число или 2 или 3 или 4 или 5 или 6, равна 1.

Выше мы вычисляли вероятность сложных событий напрямую, оценивая долю этих событий среди всех событий. Рассмотрим в этом разделе другие способы вычисления вероятностей событий.

Рассмотрим события с двух точек зрения:

1) как это было сделано в предыдущем разделе;

2) используя произведение вероятностей.

Примеры.

1. Подкинем две монеты и посчитаем вероятность события A выпадения одного конкретного исхода. Сделать это можно двумя способами.

1) Непосредственно выборкой, как это делалось выше. Имеем 4 независимых исхода: A11 = «исход (О, О)», A12 = «исход (О, Р)», A21 = «исход (Р, О)», A22 = «исход (Р, Р)». Поэтому вероятность события один к четырем: 1. Например, вероятность выпадения на 1-й монете орла, а на 2-й решки равна 1.

2) Использованием произведения вероятностей. Разобьем наше событие A, состоящее из двух конкретных исходов подкидывания 2 монет, на эти два исхода: A1 = «конкретный исход падения 1-й монеты», A2 = «конкретный исход падения 2-й монеты». Ясно, что событие A подкидывания 2 монет произойдет тогда и только тогда, когда случатся A1 и A2.

Произведение событий.

Событие A — это пересечение, или произведение, событий A1 и A2: A = A1 A2.

Так как при этом события A1 и A2 независимы, то есть происшествие одного события не влияет на вероятность другого, то вероятность A равна произведению вероятностей A1 и A2: 1 1 = 1. Снова 1. Например, вероятность выпадения на первой монете орла, а на второй решки равна 1.

2. Подкинем три монеты и посчитаем вероятность события выпадения одного конкретного исхода. Сделать это можно двумя способами.

1) Непосредственно выборкой. При этом выбор производим из всех возможных 8 независимых исходов: A111 = (О, О, О), A112 = (О, О, Р), A121 = (О, Р, О), …, A221 = (Р, Р, О), A222 = (Р, Р, Р). Поэтому вероятность нашего события 1.

Например, вероятность выпадения тройки (О, Р, О) равна 2) Вычислением произведения вероятностей. Вероятность каждого из трех отдельных исходов по подкидыванию одной монеты равны 1. Эти события независимы, поэтому вероятность конкретного исхода при подкидывания трех монет равна произведению их вероятностей — снова 1 1 1 = 1.

Например, вероятность выпадения тройки (О, Р, О) равна 1.

3. Бросим две кости и посчитаем вероятность события выпадения одного конкретного исхода. Сделать это можно двумя способами.

1) Непосредственно выборкой. Выбираем из 36 независимых исходов:

A11 = (1, 1), A12 = (1, 2), A13 = (1, 3), …, A65 = (6, 5), A66 = (6, 6). Поэтому вероятность события 1. Например, вероятность выпадения пары (1, 3) равна 1.

§ 3. Теория вероятностей 2) Вычислением произведения вероятностей. Вероятность каждого из 2 отдельных исходов по бросанию одной кости равны 1. Эти события независимы, поэтому вероятность конкретного исхода при бросании 2 костей равна произведению их вероятностей — снова 1 1 = 1. Например, вероятность выпадения пары (1, 3) равна Независимые события.

Итак, независимыми событиями называются события, вероятности которых не зависят друг от друга.

Кроме того, проиллюстрирована следующая теорема.

Теорема 1. Произведение вероятностей.

Вероятность нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, взятых по отдельности.

Итак, зная вероятности исходов, можно посчитать вероятности событий., которые состоят из этих исходов.

Рассмотрим такие исходы, которые не могут произойти одновременно.

Пример.

Бросим кость и пусть событие A = «выпало четное количество очков».

1) Вероятность события A можно посчитать непосредственно, заметив, что оно достигается при 3 исходах из 6, поэтому его вероятность 3 = 1.

2) С другой стороны, рассмотрим 6 событий A1 = «выпало 1», A2 = «выпало 2», …, A6 = «выпало 6». Очевидно, что A случится тогда и только тогда, когда случится A2 или A4 или A6.

Сумма событий.

Событие A — это объединение, или сумма, событий A2, A4 и A6:

Так как при этом события A2, A4 и A6 несовместны, то есть они не могут произойти одновременно, то вероятность A равна сумме вероятностей A2, A Снова получили 1.

Разложить событие по сумме других удается не всегда: другие события должны быть несовместными.

Несовместные события.

Итак, несовместными событиями называются такие события, что любые два из них не могут произойти одновременно.

Очевидно, что наши события A1, …, A6 — несовместные, поэтому событие A удалось представить в виде суммы трех из них.

Кроме того, проиллюстрирована следующая теорема.

Теорема 2. Сумма вероятностей.

Вероятность нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, взятых по отдельности.

Возможно ли при суммировании несовместных событий получить сумму, большую 1?

Нет, это невозможно. Дело в том, что несовместные события так устроены, что при суммировании их вероятностей невозможно получить число, большее 1. Поэтому свойство вероятности быть в пределах от 0 до 1 эта теорема не нарушает.

Примеры.

1. Пусть есть колода в 52 карты и событие A = «выбрана красная масть».

1) Вероятность события A можно посчитать непосредственно, заметив, что оно достигается при 26 исходах из 52, поэтому его вероятность 26 = 1 .

2) С другой стороны, рассмотрим 52 события A1 = «выбран бубновый туз», A2 = «выбрана бубновая двойка», A3 = «выбрана бубновая тройка», …, A25 = «выбрана червовая дама», A26 = «выбран червовый король», …, A51 = «выбрана крестовая дама», A52 = «выбран крестовый король».

Очевидно, что A случится тогда и только тогда, когда случится A1 или A или A3 или … или A25 или A26. Другими словами, событие A — это объединение, или сумма, 26 событий A1, A2, A3, …, A25 и A26:

В этом случае вероятность A равна сумме 26 вероятностей A1, A2, A3, …, A и A26: 1 + 1 + 1 + K + 1 + 1 = 26 = 1. Снова получили 1.

2. Рассмотрим бросание двух игральных костей. Посчитаем вероятность события B = «на первой кости выпало 1».

1) Первый способ. В качестве элементарных здесь удобно взять 36 событий B11 = «исход (1, 1)», B12 = «исход (1, 2)», …, B66 = «исход (6, 6)». Наше событие достигается при 6 исходах из 36, поэтому его вероятность 6 = 1.

2) Ясно, что B = B11 B12 … B16, поэтому вероятность события B равна 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 = 1. Заметим, что эта вероятность просто совпадает с вероятностью выпадения 1 при бросании кости, как и должно быть.

§ 3. Теория вероятностей В более сложных задачах для вычисления вероятности события используются и сумма, и произведение вероятностей.

Примеры.

Бросили 2 кости. Какова вероятность того, что выпало четное число очков?

1) Первый способ решения заключается в непосредственном подсчете всех случаев четности очков на двух костях.

Всего различных случаев выпадения очков на 2 костях 6 6 = 36: (1, 1), (1, 2), …, (1, 6), (2, 1), (2, 2), …, (2, 6), …, (6, 1), (6, 2), …, (6, 6). Из них очки четны в 18 случаях: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), …, (6, 2), (6, 4), (6, 6).

Искомая вероятность снова равна 2) Второй способ.

Пусть равновероятные события следующие: Ч1 = «на 1-й кости очки четны», Н1 = «на 1-й кости очки нечетны», Ч2 = «на 2-й кости очки четны» и Н2 = «на 2-й кости очки нечетны». События имеют, очевидно, вероятности.

Событие Ч = «на каждой кости очки четны» получается при одновременном появлении независимых событий Ч1 и Ч2, поэтому вероятность Ч =.

Аналогично вероятность события Н = «на каждой кости очки нечетны»

равна =.

Наконец, событие С = «сумма очков на костях четна» происходит, когда имеют место несовместные события Ч или Н, поэтому вероятность события С равна сумме вероятностей событий Ч и Н: + =.

2. Вероятность выбрать из колоды туза равна 1, так как из 52 карт 4 — тузы. А какова вероятность того, что при выборе 2 карт 2-я — туз?

1) Рассмотрим две выбранных карты. Всего имеем 52 51 случаев. Из них 2) Возможны только два случая выбора 2 карт.

В первом случае 1-я карта является тузом, тогда вероятность 2-го туза — 1 3, так как один туз уже выбран, и вероятность 2-й карты быть тузом 3.

Во втором случае 1-я карта — не туз, но тогда 2-й туз выбирается с вероятностью 12 4.

Рассмотрены оба несовместных события, поэтому вероятность 2-й карте быть тузом равна сумме их вероятностей: 1 3 + 12 4 = 3 + 48 = 51 = 1.

При решении некоторых вероятностных задач проще провести тысячи повторений эксперимента, чем получить ответ теоретическим путем. Обычно для этой цели используют компьютер. Ответ получается усреднением полученных результатов. Этот метод используется и при решении обычных задач, в которых нужно накопить какую-то величину, например, при вычислении площадей. Измерение проводится случайным образом, а ответ получается также усреднением полученных данных.

Метод Монте-Карло.

Метод вычисления неслучайной величины с использованием случайных испытаний называют методом Монте-Карло.

Примеры.

1. Найдем площадь области A внутри сложной замкнутой кривой, показанной на рисунке 3а.

Поместим область A в квадрат известной площади S и будем «бросать»

наугад на него точки, как показано на рисунке 3а. «Наугад» означает, что попадания точки на любые равновеликие участки квадрата равновероятны.

При этом бросании некоторые точки попадут внутрь A, а другие нет.

Доля точек, попавших в A, и есть приближение к площади A, то есть площадь области A равна 2. Найдем площадь под графиком функции f (x) на отрезке от x1 до x2, как показано на рисунке 3б.

На отрезок [x1, x2] случайным образом бросим n точек, координаты которых a1, a2, …, an, тогда площадь под графиком f (x) на отрезке [x1, x2] равна Рис. 31. а) Нахождение площади внутри замкнутой кривой.

§ 3. Теория вероятностей Для проведения подобных экспериментов используют случайные числа.

Случайные числа.

Случайные числа — упорядоченный список цифр, полученный в результате какого-либо случайного процесса.

Последовательности случайных чисел могут быть любой конечной длины.

Опубликованы таблицы с миллионом случайных чисел. Сейчас случайные числа получают на компьютере сразу при решении задач.

Одну из небольших таблиц случайных чисел можно найти в приложениях к этой книге.

Большинство таблиц случайных чисел строится случайной выборкой из цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. В приложении приведена таблица из 2500 случайных чисел.

Пример.

Четверо юношей приобрели доску и костюмы для виндсерфинга, причем Саша внес 10% стоимости комплекта, Боря —20%, Витя — 30% и Гена — 40%.

8 марта каждый из них хотел бы воспользоваться комплектом. Как им бросить жребий так, чтобы их шансы были равны внесенной ими части стоимости комплекта?

Решение. Для решения этой задачи они строят 4 события с вероятностями 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4 следующим образом: один из них с завязанными глазами ставит точку в таблицу случайных чисел.

Если теперь число, расположенное ближе всех к этой точке, равно 0, то комплект получит Саша, если равно 1 или 2 — то Боря, если 3, 4 или 5 — Витя и если 6, 7, 8 или 9 — Гена.

1.1. Сколько исходов имеет бросание монеты и кости?

1.2. Сколько исходов имеет подкидывание двух монет?

1.3. Сколько исходов имеет подкидывание трех монет?

1.4. Сколько исходов имеет подкидывание монеты?

1.5. Сколько исходов имеет бросание кости?

2.1. Чему равна вероятность достоверного события?

2.2. Чему не может быть равна вероятность?

2.3. Чему не может быть равно произведение двух вероятностей?

2.4. Чему не может быть равно произведение трех вероятностей?

2.5. Чему равна вероятность невозможного события?

§ 3. Теория вероятностей 3.1. Чему равна вероятность выпадения орла и 1 при бросании монеты и кости?

3.2. Чему равна вероятность выпадения 2 орлов при подкидывании 2 монет?

3.3. Чему равна вероятность выпадения 3 орлов при подкидывании 3 монет?

3.4. Чему равна вероятность выпадения 4 орлов при подкидывании 4 монет?

3.5. Чему равна вероятность выпадения 2 при бросании 2 костей?

4.1. Чему равна вероятность выпадения либо 2 орлов, либо орла и решки, либо решки и орла при подкидывании 2 монет?

4.2. Чему равна вероятность выпадения либо орла и решки, либо решки и орла при подкидывании 2 монет?

4.3. Чему равна вероятность выпадения 2 орлов или 2 решек при подкидывании монет?

4.4. Чему равна вероятность выпадения 2 или 12 при бросании 2 костей?

4.5. Чему равна вероятность выпадения 2 или 3 при бросании 2 костей?

Пусть n — номер варианта от 1 до 16.

1. Найти двумя способами вероятность того, что при подбрасывании n + монет случится событие «Все монеты упали одинаково».

2. На экзамене 5(n + 2) билетов, из них n + 2 «счастливые». Очевидно, что вероятность 1-му студенту вытянуть счастливый билет равна 0,2. Найти двумя способами вероятность того, что 2-й студент вытянет счастливый билет, если неизвестно, что вытянул 1-й.

§ 4. Случайная величина Вероятность числа орлов 3°*. Дополнительные примеры распределения.............................

1°. Определение математического ожидания...............................

Болтянский В. Г., Савин А. П. Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты.— М.: ФИМА, МЦНМО, 2002.

Романовский И. В. Дискретный анализ.— СПб.: Невский Диалект; БХВПетербург, 2003.

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: 2-е изд., испр. и дополн. / Пер. с англ.— М.: Мир, 1999.

Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся.— М.: Просвещение, 1975.

Случайная величина, распределение случайной величины, свойства распределения случайной величины, достоверное событие, нормальной распределение, математическое ожидание, треугольник Паскаля, закон больших чисел.

§ 4. Случайная величина 1°. Определение случайной величины При большом количестве испытаний неудобно и не нужно записывать все данные. Сам процесс снятия измерений можно упростить, а количество сохраняемой информации существенно уменьшить. Например, при многократном бросании 1000 монет проще регистрировать одно число — количество орлов, а не положение каждой из 1000 монет.

Случайная величина.

Случайная величина — это любое числовое значение, которое можно вычислить при случайных испытаниях.

Примеры.

1. Рассмотрим подкидывание 2 монет.

Число выпавших орлов является случайной величиной, причем ее значениями могут быть числа 0, 1 и 2.

Случайными величинами являются также число выпавших решек, разность между числом выпавших орлов и решек, и так далее.

2. Рассмотрим бросание 2 костей.

Число выпавших очков является случайной величиной, причем ее значениями могут быть числа от 2 до 12.

Равно как и квадрат числа выпавших очков является случайной величиной, как и разность между числом выпавших очков на первой и второй костях, и так далее.

3. Рассмотрим выбор двух карт из колоды. Число выбранных карт красной масти является случайной величиной, причем ее значениями могут быть числа 0, 1 и 2.

Равно как и число карт черной масти, как и число тузов, двоек, и т. д.

2°. Распределение случайной величины Ясно, что одни значения случайной величины случаются чаще, другие — гораздо реже.

Более того, можно вычислить вероятность значений случайной величины, вероятность, с которой случайная величина может принять какое-нибудь свое значение.

Распределение случайной величины.

Распределением случайной величины и называется соответствие, то есть функция, между значениями случайной величины и их вероятностями.

Распределение случайной величины также называют ее статистическим рядом.

Примеры.

1. Перечислим все случаи, которые могут возникнуть при подкидывании монет: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Видно, что 0 орлов приходится на 1 случай из 4, 1 орел — на 2 случая и 2 орла — на 1.

Полученные результаты сведем в удобную таблицу 1.

Также построим график этой функции распределения на рисунке 2.

Распределение числа орлов при подкидывании двух монет Рис. 2. Функция распределения для числа орлов при подкидывании 2 монет 2. Перечислим все восемь случаев, которые могут возникнуть при подкидывании 3 монет: (О, О, О), (О, О, Р), (О, Р, О), (О, Р, Р), (Р, О, О), (Р, О, Р), (Р, Р, О), (Р, Р, Р). Получаем, что 0 орлов приходится на 1 случай, 1 орел — на 3 случая, 2 орла — также на 3 и, наконец, 3 орла — на 1 случай.

Теперь можно построить распределение для числа выпавших орлов и график этой функции.

Распределение числа орлов при подкидывании трех монет Вероятность числа орлов Рис. 4. Функция распределения для числа орлов при подкидывании 3 монет § 4. Случайная величина 3. При подкидывании 4 монет имеем 16 случаев. Распределение для числа выпавших орлов показано в таблице 7. График этой функции показан на рисунке 8.

Распределение числа орлов при подкидывании четырех монет Вероятность числа орлов Рис. 6. Функция распределения для числа орлов при подкидывании 4 монет 3°*. Дополнительные примеры распределения Разберем примеры из другой серии.

Примеры.

1. Перечислим все случаи, возникающие при бросании 2 костей:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6); (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6);

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6); (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6);

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6); (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

Видно, что 2 очка приходится на 1 случай из 36, 3 очка — на 2 случая, 4 очка — на 3 случая, …, 10 очков — на 3 случая, 11 очков — на 2 случая и 12 очков — на 1 случай из 36.

Полученные результаты сведем в удобную таблицу 7.

Распределение числа очков при бросании двух костей Вероятность числа очков Также построим график этой функции распределения на рисунке 8.

Вероятность числа очков Рис. 8. Функция распределения для числа очков при бросании 2 костей 2. Перечислим все 216 случаев, которые могут возникнуть при бросании костей:

Получаем, что 3 очка приходится на 1 случай из 216, 4 очка — на 3 случая, 5 очков — на 6 случаев, …, 16 очков — на 6 случаев, 17 очков — на 3 случая и 18 очков — на 1 случай из 216.

Теперь можно построить распределение для числа выпавших очков и график этой функции.

Распределение числа очков при бросании трех костей Вероятность числа очков 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 Вероятность числа очков Рис. 10. Функция распределения для числа очков при бросании 3 костей § 4. Случайная величина Свойства распределения.

1. Рассмотрим подкидывание 2 монет. Событие X = «выпадет 0 или 1 или орла» обязательно произойдет в любом случае. Поэтому вероятность события X равна 1.

Достоверное событие.

Событие, вероятность которого равна 1, называется достоверным.

Действительно, события «выпало 0 орлов», «выпал 1 орел» и «выпало 2 орла» несовместны, а вместе они составляют событие X. Поэтому вероятность X равна сумме вероятностей этих трех событий: 1 + 1 + 1 = 1. Получаем, что событие X достоверно.

Рассмотрим подкидывание 3 монет. Событие X = «выпадет 0 или 1 или или 3 орла» достоверно и имеет вероятность 1. Снова сумма всех вероятностей равна 1: 1 + 3 + 3 + 1 = 1.

При подкидывании 4 монет сумма всех вероятностей из таблицы распределения, другими словами, сумма его статистического ряда также равна 1:

16 16 16 Свойство распределения случайной величины.

Обобщая полученную закономерность, получаем первое свойство распределения случайной величины:

сумма статистического ряда случайной величины равна 1.

2. Можно сказать, что графики распределений на рисунках 2, 4 и 6 имеют некоторый «колоколообразный» вид. При увеличении числа монет характерный колоколообразный вид функции распределения не только будет сохраняться, но все больше и больше будет приближаться к идеальной непрерывной колоколообразной функции, показанной на рисунке 11.

Нормальное распределение.

Идеальное распределение в виде непрерывной колоколообразной функции называется нормальным.

Свойство распределения случайной величины.

Получаем второе свойство распределения случайной величины:

график вероятности числа выпадения орлов имеет колоколообразный вид.

Приведем функцию, графиком которой является колоколообразная функция, где p — вероятность на вершине функции, M — координата вершины, оно же математическое ожидание (см. рис. 11):

случайной величины Рис. 11. Колоколообразная функция нормального распределения Следует иметь в виду, что в других экспериментах может быть совсем иной вид графика случайной величины.

Однако нормальное распределение случайной величины занимает значительное место в применении методов теории вероятностей к решению самых разнообразных прикладных задач. Если значения случайной величины возникают в результате большого числа независимых воздействий, ни одно из которых существенно не превалирует над остальными, то почти всегда оправдывается предположение о том, что такая случайная величина подчинена нормальному закону распределения.

Например, случайные ошибки измерения, линейные размеры деталей при массовом производстве, отклонения в результатах химических, спектральных и других анализов и так далее.

Разберем примеры из другой серии.

Примеры.

1. При бросании 2 костей сумма всех вероятностей из таблицы распределения, другими словами, сумма его статистического ряда также равна 1: