«А. А. Чакак, С. Н. Летута ФИЗИКА КРАТКИЙ КУРС Рекомендовано к изданию Ученым советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет в качестве ...»

Наличие сил инерции отражает ускоренное движение системы отсчёта, и силы инерции определяют движение тела в ускоренной системе отсчёта. В этом смысле они ничем не отличаются от обычных сил взаимодействия тел. Однако следует отметить принципиальное отличие сил инерции от остальных сил, выражающих взаимодействие тел. Оно заключается в том, что силы инерции не имеют противодействующей, нельзя указать того тела, со стороны которого приложена сила инерции. Поэтому иногда и называют силу инерции «фиктивной силой». Такое название нельзя считать целесообразным: сила инерции реальна, поскольку она отображает ускоренное движение системы отсчёта, она отлична от сил взаимодействия тем, что не имеет противодействующей, но ничего фиктивного в этом нет.

Силы инерции, учитывающие ускоренное движение системы отсчёта, возникают только при рассмотрении движения относительно ускоренной системы отсчёта. Если то же самое движение рассматривается относительно инерциальной системы отсчёта, нет необходимости во введении каких-либо сил инерции. Действие силы инерции хорошо ощущают пассажиры при резком торможении или разгоне автомобиля.

аналогичными силам тяготения. Допустим, к потолку кабины космического корабля, движущегося поступательно с ускорением свободного падения g, подвешен на нити груз массы m (см. рисунок 23). Тогда, если можно пренебречь взаимодействием с окружающими телами в случае их значительной удалённости от корабля, на тело действует сила инерции Fин = mg. Точно такая же по величине сила (сила гравитации) будет действовать на тело, если кабина корабля находится неподвижно у поверхности Земли. Таким образом, наблюдатель, находящийся в кабине корабля, не сможет установить, чем обусловлена сила mg, ускоренным движением корабля или гравитационным полем Земли. Поэтому говорят, что силы тяготения в однородном гравитационном поле и силы инерции эквивалентны.

Пусть горизонтальный диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске на разных расстояниях от оси вращения установлены маятники (на нитях подвешены шарики массой m). При вращении маятников вместе с диском все шарики маятников отклоняются от вертикали (рисунок 24). Углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем дальше маятник отстоит от центра диска (маятник, висящий на оси вращения диска не будет отклоняться при угловых скоростях g / L, L – длина нити подвеса). Все маятники находятся в состоянии покоя относительно диска, но совершают равномерное движение по кругу относительно Земли (относительно инерциальной системы отсчёта; неинерциальностью из-за вращения Земли пренебрегаем). Так как радиусы кругов, по которым движутся грузики маятников, различны, то центростремительные силы, действующие на грузики, прямо пропорциональны расстоянию R грузиков от центра диска. Центростремительная сила F создается натяжением нитей Fн и силой тяготения грузиков mg (рисунок 25), F = m2R.

Поэтому угол отклонения нити от вертикали будет таков, что где R – расстояние грузика от оси вращения (центра) диска;

g – ускорение свободного падения;

угловая скорость вращения диска.

Относительно диска маятники находятся в состоянии покоя в отклонённом положении. Следовательно, кроме сил тяготения на грузики маятников действует еще какая-то горизонтальная сила, направленная от центра и притом различная для различных маятников. Эта сила и есть центробежная сила инерции, равная по величине массе грузика, умноженной на ускорение (относительно Земли) того места диска, над которым грузик находится, направлена она противоположно ускорению, т.е. от центра диска по радиусу. Таким образом, в состоянии покоя относительно диска на грузик каждого маятника действуют три силы: сила тяготения mg, сила натяжения Fн и центробежная сила инерции где вектор R направлен от оси вращения.

Сумма всех этих сил равна нулю (см. рисунок 25), и грузик поэтому находится в покое относительно диска. Если бы по какой-то причине равновесие нарушилось, то начались бы колебания маятников относительно диска, грузики получили бы ускорение относительно диска.

вращающейся системе отсчёта, зависят от места, которое занимает тело в этой системе. При движении тела относительно вращающейся системы отсчёта на тело будут действовать и другие силы инерции, величину и направление которых определим в следующем параграфе. Отметим, что в системе отсчёта, движущейся ускоренно и прямолинейно, силы инерции одинаковы для всех точек этой системы, и поэтому силы инерции, действующие на покоящееся и на движущееся относительно этой системы тело, имеют одно и то же значение.

При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции, равную m2r, где m – масса тела, угловая скорость суточного вращения Земли вокруг ее оси, r – расстояние тела от земной оси (рисунок 26). В случаях, когда высота тела над поверхностью Земли невелика, можно положить r равным Rcos, где R – радиус Земли, широта местности. Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид:

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тела g обусловлено действием силы F, с которой тело притягивается Землёй, и центробежной силы инерции Fцб. Результирующая этих сил есть сила тяжести, равная P = mg.

Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле F невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше F. Так, для массы 1 кг наибольшее значение Fцб, наблюдаемое на экваторе ( = 0), равно в то время как значение силы тяготения F равно приблизительно 9,8 Н, т.е. почти в 300 раз больше.

Угол между направлениями F и Р (см. рисунок 26) можно определить, воспользовавшись теоремой синусов:

откуда Синус малого угла можно приближенно заменить значением самого угла (в радианах). В результате получим, что Таким образом, угол изменяется в пределах от нуля (на экваторе, где = 0, и на полюсах, где = 900) до 0,0018 рад или 6 (на широте 450).

Направление силы Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса или вертикальным направлением (вертикалью). Сила F направлена к центру Земли. В рассмотренном нами случае угол представляет собой отклонение нити отвеса (вертикали) от направления к центру однородной Земли. Следовательно, вертикаль направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол, определяемый выражением (15.5). Если учитывать несферичность и неоднородность Земли, определение вертикали (т.е. оценка угла ) окажется несколько сложнее.

Здесь шла речь только о суточном вращении Земли вокруг оси. Легко убедиться, что влияние сил инерции, возникающих вследствие вращения Земли вокруг Солнца, будет несравненно меньше. Центробежная сила инерции вследствие вращения вокруг Солнца будет порядка 0,2 от центробежной силы вследствие суточного вращения на экваторе. К тому же, при движении тел вблизи поверхности Земли силы инерции, связанные с вращением Земли вокруг Солнца, и силы притяжения тел к Солнцу практически компенсируют друг друга и в большинстве случаев могут вообще не учитываться.

Самые простые примеры проявления центробежной силы инерции – центрифуга стиральной машины, различные аттракционы в развлекательных парковых комплексах, центробежные насосы для перекачки жидких продуктов.

При движении тела относительно вращающейся системы отсчёта кроме центробежной силы инерции появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции.

Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следующем примере.

Возьмём горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на диске радиальную прямую ОА (рисунок 27).

Запустим в направлении от О к А шарик со скоростью v. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по штриховой кривой ОВ, причём его скорость относительно диска v будет изменять свое направление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчёта шарик ведёт себя так, как если бы на него действовала сила FK, перпендикулярная к скорости v.

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направляющую, например, в виде ребра ОА (рисунок 28).

При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой Fr.

Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью. Это можно формально объяснить тем, что сила Fr уравновешивается приложенной к шарику силой инерции FK, перпендикулярной к скорости v. Сила FK и есть кориолисова сила инерции.

Найдём сначала выражение силы Кориолиса для частного случая, когда частица массы m движется относительно вращающейся системы отсчёта равномерно по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, с центром, находящимся на этой оси (рисунок 29). Скорость частицы относительно вращающейся системы отсчета обозначим v. Скорость частицы относительно неподвижной (инерциальной) системы отсчета v равна по модулю v + R в случае (а) и v R в случае (б), где угловая скорость вращающейся системы, R – радиус окружности (см. (4.6)).

Для того, чтобы частица двигалась относительно неподвижной системы по окружности со скоростью v = v + R, на нее должна действовать направленная к центру окружности сила F, например, сила натяжения нити, которой частица привязана к центру окружности (см. рисунок 29а). Модуль этой силы равен Относительно вращающейся системы частица в этом случае движется с ускорением an =, т.е. так, как если бы на нее действовала сила (см. (16.1)). Таким образом, во вращающейся системе частица ведёт себя так, как если бы на нее, кроме направленной к центру окружности силы F, действовали ещё две направленные от центра силы: Fцб = m2R и сила FK, модуль которой равен 2mv (см. рисунок 29а). Легко сообразить, что силу FK можно представить в виде векторного произведения Сила (16.3) и есть кориолисова сила инерции. При v = 0 эта сила отсутствует.

Центробежная сила инерции Fцб не зависит от v она, как мы уже отмечали в § 1.15, действует как на покоящиеся, так и на движущиеся тела.

В случае, изображенном на рисунке 29б, Соответственно Следовательно, во вращающейся системе частица ведёт себя так, как если бы на нее действовали две направленные к центру окружности силы F и FK, а также направленная от центра сила Fцб = m2R (см. рисунок 29б). Кориолисова сила FK и в этом случае может быть представлена в виде (16.3).

Запоминанию формулы (16.3) могут способствовать следующие соображения.

Сила Кориолиса возникает при движении частицы относительно вращающейся системы отсчёта, т.е. при условии, что «имеется в наличии» масса m, скорость частицы v и угловая скорость системы. Очевидно, что сила Кориолиса определяется именно этими тремя параметрами и никакими другими. Простейший способ получить из скаляра m и двух векторов v и новый вектор F состоит в том, чтобы перемножить v и векторно, а затем умножить результат на m. В итоге получается выражение mv,, которое с точностью до двойки совпадает с (16.3).

В примерах, разобранных на рисунке 29, движение частицы происходило в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, т.е. векторы скорости частицы v и угловой скорости были перпендикулярны (v ). В общем случае, из векторного уравнения (16.3) получаем выражения для модуля силы Кориолиса:

где угол между векторами v и.

Рассмотрим примеры проявления кориолисовой силы инерции.

Отклонение падающих тел к востоку. Все тела, падающие на Землю с большой высоты, отклоняются относительно ее поверхности к востоку. Определим это отклонение в неинерциальной системе отсчёта, связанной с вращающейся Землёй. Будем рассматривать свободное падение тела с высоты h на широте местности. Вследствие действующих сил тяготения и Кориолиса скорость тела v будет иметь две составляющие – вертикальную и горизонтальную (рисунок 30).

Отклонение к востоку обусловлено горизонтально направленной силой Кориолиса FK, связанной с наличием вертикальной составляющей скорости. Это отклонение описывается уравнением:

Из (16.7) с учетом (16.6) находим выражение для модуля ускорения Приближённо можно считать, что vверт = gt. Тогда Уравнение (16.9) проинтегрируем по времени. Первый интеграл – это горизонтальная компонента скорости:

а второй интеграл определяет искомое отклонение к востоку:

Если в (16.11) подставить время падения с высоты h на экваторе ( = 0), то окончательно получим:

Численная оценка для h = 100 м дает L 2,2 см. Малое значение L оправдывает применение приближенного метода.

Подмывание правых берегов крупных рек, текущих на север (или юг) в Северном полушарии. Если в Северном полушарии река течёт вдоль меридиана, т.е.

на юг или на север, со скоростью v, на поток воды действует сила Кориолиса FK, направленная вправо по ходу течения (рисунок 31). В результате поток воды прижимается к правому берегу и подмывает его. Легко убедиться, что в Южном полушарии подмываются левые берега. В случае небольших быстрых извилистых речек определяющую роль играют центробежные силы инерции, в результате чего подмываются как левый так и правый берега.

Также действием кориолисовой силы объясняется то, что при выстреле из орудия, направленного вдоль меридиана, снаряд Северном полушарии (рисунок 31) и влево – в Южном. При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведён в направлении на Запад, и поднимать его кверху, если выстрел произведён в направлении на Восток, что приводит к увеличению или к уменьшению дальности стрельбы. Эти же причины объясняют Рисунок неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.

Господствующие направления ветров для некоторых районов Земли и крупномасштабные течения воды в морях и океанах (например, Гольфстрим и Куросиво) также обусловлены действием силы инерции Кориолиса.

Следующий пример – поворот плоскости качаний маятника Фуко – шара массы 28 кг на тросе длиной 67 м, который французский физик Ж. Фуко установил в Пантеоне Парижа в 1851 г. Через 24 ч маятник не возвращается в исходное положение: плоскость качаний смещается на угол 2sin, называемый углом Ханнея. Фуко, наблюдая колебания маятника, доказал вращение Земли. Такой же маятник массы 54 кг на тросе длиной 98 м был недавно демонтирован в Исаакиевском соборе Санкт-Петербурга в связи с передачей собора в собственность православной церкви.

Подводя итоги, с учётом пояснений, приведённых к уравнению (14.3), можем записать уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта для произвольного случая:

где силы инерции задаются формулами (14.4), (15.2), (16.3).

Введение сил инерции позволяет описывать движение тел и в неинерциальных системах отсчёта с помощью известного нам второго закона Ньютона.

Таким образом, только приближённо можно считать систему отсчёта, связанную с Землёй, инерциальной. Ошибка, которая совершается в этом случае, определяется отношением величин сил инерции к величине всех остальных сил, действующих на тело.

Отметим особенности сил инерции, отличающие их от сил взаимодействия:

- силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчёта. Поэтому на силы инерции третий закон Ньютона не распространяется;

- силы инерции существуют только в неинерциальных системах отсчёта. В инерциальных системах отсчёта сил инерции нет вообще, и понятие сила в инерциальных системах отсчёта применяется только как мера взаимодействия тел;

- все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела.

Поэтому в поле сил инерции, как и в однородном поле сил тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их масс.

§ 1.17 Периодические колебания. Гармонические колебания Механические колебания. Колебаниями называются процессы, которые характеризуются той или иной степенью повторяемости во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, смена дня и ночи, вращение планет и спутников, вращение частей машин (а всякое вращение можно представить себе как два одновременных колебания во взаимно перпендикулярных направлениях), изменения давления и температуры в течение определённого времени, движение Луны вызывает приливы и отливы на Земле и т.д. Внутри любого живого организма – от одиночной клетки до высокоорганизованных их популяций – непрерывно происходят ритмично повторяющиеся процессы (биение сердца, колебания психических состояний и др.).

В технике колебания выполняют либо определённые функциональные обязанности (колесо, маятник, колебательный контур, генератор колебаний и т.д.), либо возникают как неизбежное проявление физических свойств (вибрации машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах и т.д.).

В зависимости от природы колебаний различают механические, звуковые, электромагнитные, электромеханические колебания, колебания температуры, давления и т.д. В физике особо выделяются колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации. Это обусловлено той исключительной ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности человека. Но все колебательные процессы описываются одинаковыми уравнениями, несмотря на различие их физической природы.

С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем большую часть прямой информации об окружающем мире. Волны – изменения некоторой совокупности физических величин (полей), способные перемещаться (распространяться), удаляясь от места их возникновения, или колебаться внутри ограниченных областей пространства. В современном понимании понятие волны настолько широко и многозначно, что фактически невозможно указать ни одного признака, общего для всех видов движений или процессов, которые наша интуиция или традиция относит к волновым процессам.

Колебания называют собственными (свободными), если они совершаются колебательной системой после выведения ее из положения равновесия под действием только внутренних сил. Колебания называют вынужденными, если они совершаются колебательной системой под действием внешней переменной силы.

При механических колебаниях состояния движущегося тела с течением времени повторяются, когда тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочерёдно в противоположных направлениях. Мы ограничимся рассмотрением движения механических систем с одной степенью свободы, т.е. систем, положение которых в пространстве определяется заданием зависимости переменной х от времени t: х(t).

Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин (при механических колебаниях значения смещения, скорости, ускорения), характеризующих колебательную систему, и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называют периодом колебаний. За период колебаний Т система совершает одно полное колебание:

Написанное соотношение представляет собой наиболее строгое определение периодичности колебательного процесса. Частотой периодических колебаний называют величину равную числу полных колебаний за единицу времени. Единица измерения частоты – герц (1 Гц = 1 с-1).

Простейшим видом периодических колебаний является гармоническое колебание – такое движение колебательной системы, при котором координата (смещение) х изменяется со временем по закону синуса (косинуса):

где А – амплитуда колебаний – величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия;

(0t + ) – фаза колебаний определяет положение системы в момент времени t после начала колебаний;

0 – круговая (циклическая) частота;

Начальная фаза представляет собой значение фазы в момент времени t = 0. Следовательно, значение начальной фазы определяется выбором начала отсчёта времени.

Так как значение х не изменяется при добавлении или вычитании из фазы целого числа 2, всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше. Поэтому обычно рассматривают только значения, лежащие в пределах от до +. Так как максимальное значение синуса равно единице, то максимальное значение координаты равно амплитуде А, т.е. координата х изменяется в пределах от А до + А ( x ( t ) A ).

Состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через период колебаний Т, за который фаза колебания получает приращение 2, т.е.

0(t + Т) + = 0t + + 2, откуда находим Сравнивая выражение (17.4) с (17.2) получаем т.е. 0 определяет число колебаний за 2 секунд.

Приведённый математический анализ гармонических колебаний будет более полным, если его дополнить анализом следующего физического примера. Для этого рассмотрим равномерное движение шарика по окружности радиуса А с угловой скоростью 0 (рисунок 32). В начальный момент времени t = 0 радиус-вектор шарика образует угол (t) = с горизонтальным направлением. За время t угол изменится на величину t = 0t и станет равным (t) = 0t +. В этот момент времени проекция радиус-вектора шарика на ось 0х равна Из рисунка 32 видно, что проекция х(t) совпадает с положением тени шарика при освещении параллельным пучком света. Приведённый рисунок позволяет пояснить понятие фазы колебаний. Если известна функция х(t) = Asin(0t+), то гармоническому колебанию можно поставить в соответствие вращение по окружности: значениям х(t) соответствуют определённые значения угла между радиус-вектором и горизонталью. Именно в этом смысле угол (t) называют фазой колебаний. За одно полное колебание (один цикл) радиус-вектор шарика повернётся на 2 радиан.

Если задана зависимость координаты х от времени t, то можно найти скорость v и ускорение а:

а=а(t)= = 2 =х(t)=-А02 sin(0t+)=А02sin(0t++)=-02 х(t). (17.10) Можно убедиться, что v(t) и а(t) являются проекциями модулей векторов скорости (v=А0) и ускорения (а=А02) на ось 0х. Нужно отметить, что в точках максимального отклонения от положения равновесия скорость равна нулю, а ускорение достигает наибольшей величины.

На рисунке 33 приведены графики зависимостей от времени для фазы (t), смещения х(t), скорости v(t), ускорения а(t) для случая, когда начальная фаза = 0.

На графиках за масштаб времени взят период колебаний Т.

Из уравнения (17.10) следует характерная для гармонических колебаний связь между ускорением и координатой:

Уравнение (17.11) х+ 02x = 0 называют дифференциальным уравнением 2-го порядка (максимальный порядок производной). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если уравнение движения тела имеет вид (17.11), то его решение имеет вид (17.8). Причём начальная фаза и амплитуда А колебаний определяются начальными условиями.

Пусть, в начальный момент времени t = 0 тело сместили из положения равновесия на х0 и сообщили в этой точке скорость v0. Для начального момента соотношения (17.8) и (17.9) принимают вид:

+5/ +3/ Решая уравнения (17.12) и (17.13), находим:

С учетом (17.14) решение уравнения (17.11) можно представить в виде:

§ 1.18 Динамика свободных гармонических колебаний. Маятники Колебания, совершаемые системой, называют свободными, если они совершаются системой только под действием внутренних сил после выведения ее из равновесия. Гармоническим осциллятором называют систему, совершающую колебания, описываемые уравнением вида:

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат характерной моделью во многих задачах. Примеры гармонического осциллятора – различные маятники, электрический колебательный контур и др.

Основой динамики является второй закон Ньютона – по заданным силам определяют зависимость координат тела от времени.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной L, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой металлический шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. После отклонения из положения равновесия шарик будет двигаться к положению равновесия с ускорением, которое возникло под действием силы натяжения нити Fн и силы тяжести mg (рисунок 34). Достигнув положения равновесия 0, пройдёт положение равновесия, и далее будет тормоFн зиться той же силой, которая его ускоряла ранее. Затем он остановится и пойдёт обратно – так возникнут собственные колебания маятника. Собственными они назыF ся только под действием сил, определяемых физическим устройством самого маятника, а не других тел.

С течением времени колебания маятника будут затухать. Это происходит по той причине, что начальная энергия, которая была сообщена грузу маятника при отклонении его из положения равновесия, постепенно переходит в тепло вследствие наличия сил трения. Колебания маятника при этом будут негармоническими и непериодическими, но если силы трения уменьшить, то колебания будут очень близки к гармоническим колебаниям. Далее проанализируем предельный случай – колебания маятника в отсутствие силы трения, которые, очевидно, будут периодическими. Рассмотрим малые собственные колебания математического маятника.

Маятник совершает колебания вдоль дуги окружности радиуса, равного длине нити L. Колебания, совершаемые математическим маятником, можно считать за гармонические колебания только в случае малых углов отклонения нити от вертикали. Для малых углов выполняется условие: sin tg. Предположим, что условие малости углов выполнено. Отклонение шарика от положения равновесия обозначим через х. При малых углах можно приближённо принять дугу траектории шарика за прямую и где L – длина маятника от точки подвеса нити до центра тяжести шарика.

Сила F, действующая вдоль дуги, равна mgsin или при малых углах Тогда уравнение движения шарика будет иметь вид:

Мы написали перед F знак минус, так как сила F направлена против положительного направления смещения х. Если в (18.3) заменить на х/L, то уравнение (18.4) можно записать так:

или, сокращая на m, получаем окончательно:

Движение шарика происходит под действием силы F = mg (см. (18.5)), велиL чина которой изменяется пропорционально отклонению шарика (х) от положения равновесия (х = 0). Эта сила, равная равнодействующей силы натяжения нити Fн и силы тяжести mg, т.е. F = Fн + mg, всегда направлена к положению равновесия. Поэтому силу F называют возвращающей силой.

Уравнение (18.6) идентично с уравнением (17.11) или (18.1), если положить Решение уравнения (18.6) имеет вид (17.8), т.е.

Следовательно, при малых колебаниях смещение х (как следует из (18.2) и угловое отклонение ) математического маятника от положения равновесия изменяется со временем по гармоническому закону. В (18.8) величину А, равную максимальному отклонению от положения равновесия, называют амплитудой гармонических колебаний. Величина амплитуды зависит от первоначального отклонения и от толчка, после которых начались колебания маятника. Величину, стоящую под знаком синуса, 0t +, называют фазой. Фаза растёт пропорционально времени t. Величина начальная фаза или фаза в момент t = 0; она зависит от отклонения и скорости в момент начала отсчёта времени t.

Как следует из (18.7), собственная циклическая (или круговая) частота колебаний математического маятника 0 зависит только от длины маятника L и от ускорения свободного падения g в данном месте и не зависит от массы маятника m. По формуле (17.4) с учетом (18.7) получается выражение для периода колебаний математического маятника:

Как видно из (18.9) период колебаний не связан с амплитудой колебаний. Это утверждение верно только при ма- Lф лых углах отклонения. Так, например, колебания с амплитудой угла отклонения в 20 практически имеют тот же периС од, что и колебания с амплитудой в 40. При обычной точности измерения (до 0,2 %) это справедливо при колебаниях, когда углы отклонения маятника не превышают 100. mg При больших углах отклонения маятника приближёнРисунок ное уравнение (18.5) не будет справедливым. Колебания маятника при больших углах отклонения будут периодическими, но негармоническими. Период колебаний будет зависеть от амплитуды.

Физическим маятником называют твёрдое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. В этом случае твёрдое тело нельзя принять за материальную точку. Пусть твёрдое тело (рисунок 35) может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси 0, перпендикулярной к плоскости чертёжа. Если расстояние от центра масс С до оси равно Lф, то при повороте тела от положения равновесия на угол возникнет возвращающий момент силы тяжести, равный g – ускорение свободного падения;

Lф – длина физического маятника.

При колебаниях только этот момент действует на тело, тогда согласно основному закону динамики вращательного движения где J – момент инерции тела относительно оси вращения 0, = модуль углового ускорения.

При малых углах отклонения sin. Тогда или Уравнение (18.13) по виду совпадает с уравнением (17.11) или (18.1), если положить, что частота колебаний физического маятника равна В соответствии с (17.4) и (18.14) период колебаний физического маятника определяется выражением Сравнивая (18.14) с (18.7), можно заключить, что математический маятник, длина которого равна будет иметь ту же частоту (период) колебаний, что и данный физический маятник.

Величину (18.16) называют приведённой длиной физического маятника. Таким образом, приведённая длина физического маятника – это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точку, лежащую на расстоянии Lпр от оси вращения на прямой, соединяющей точку подвеса 0 (точка подвеса – это точка пресечения оси вращения с плоскостью чертежа) с центром масс С, называют центром качания физического маятника (см.

точку 0 на рисунке 35). Если точку подвеса (ось вращения) поместить в центре качания, то маятник будет совершать колебания с той же частотой.

В этом можно убедиться расчётом, если воспользоваться теоремой Штейнера для момента инерции: момент инерции J относительно произвольной оси равен моменту инерции J C относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния Lф между осями:

Тогда выражение (18.16) можно записать так:

Из (18.18) следует:

Центр качания перевёрнутого маятника по (18.18) будет на расстоянии Учитывая (18.19), находим, что Lпр= Lпр, т.е. точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряжёнными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания 0, то его период не изменится и прежняя точка подвеса станет новым центром качания. Это положение называют теоремой Гюйгенса.

Формула (18.18) показывает, что если отношение ничтожно мало по сравнению с Lф, то физический маятник приближается к математическому маятнику, для которого JC = 0.

Зная точно длину Lпр и определяя период колебаний физического маятника с помощью часов, можно измерить величину ускорения свободного падения g в данном месте. Таким методом были произведены наиболее точные измерения силы тяжести и определены ее изменения в различных точках земной поверхности. С помощью таких измерений g определяют местные изменения плотности земной коры и на их основании судят о породах, залегающих на глубине (гравитационная разведка Пружинным маятником называют систему, состоящую из материальной точки (шарика или грузика) массой F m, подвешенной на невесомой упругой пружине жёсткох стью k (см. рисунок 36). В условиях равновесия на грузик mg мая в соответствии с законом Гука, и равная F = -kl, где Рисунок l – удлинение пружины под действием силы тяжести. В условиях равновесия эти силы по модулю равны, т.е.

Если пружину растянуть дополнительно на величину х, то сила упругости становится равной F = -k(х+l). Если теперь грузик отпустить, то под действием силы тяжести mg и силы упругости F он будет совершать свободные колебания. Уравнение движения грузика (пружинного маятника) записывается так:

С учетом выражения (18.21) уравнение (18.22) принимает вид:

Сравнивая уравнения (18.1) и (18.23), заключаем, что уравнение движения пружинного маятника (18.23) представляет собой уравнение гармонических колебаний с циклической частотой 0 и периодом Т, определяемыми соотношениями:

Из (18.24) следует, что период колебаний пружинного маятника зависит только от массы груза m и жёсткости пружины k. Величина силы тяжести не оказывает никакого влияния на характер колебаний груза на пружине. Следовательно, груз, подвешенный на пружине, будет одинаково колебаться, если он будет находиться в различных точках земной поверхности, даже если его можно было бы перенести на другую планету или на космический корабль. Характер собственных колебаний не зависит от постоянной силы тяжести, действующей на тело, а зависит только от переменной возвращающей силы пружины.

Пружинный маятник совершает гармонические колебания, когда при деформациях пружины выполняется закон Гука. Все написанные условия и соотношения справедливы, если грузик массы m, прикреплённый к своk бодному концу горизонтально расположенной пружины жё- m сткости k, совершает колебания на гладкой горизонтальной поверхности. При этом другой конец пружины прикреплён к вертикальной стене (см. рисунок 37).

Рассмотренные примеры относятся к свободным колебаниям без трения для случая, когда действующие силы являются квазиупругими, т.е. эти силы направлены к положению равновесия и линейно зависят от смещения из положения равновесия.

Квазиупругость сил выполняется при малых колебаниях.

§ 1.19 Энергия гармонического осциллятора Сравнивая рассмотренные примеры колебаний математического, физического, пружинного маятников и аналогичные им, можно сделать вывод: собственные гармонические колебания всегда совершаются около устойчивого положения равновесия, когда возвращающая сила пропорциональна отклонению из положения равновесия.

Собственные гармонические колебания возникают после того, как тело выведено из положения равновесия или ему некоторым импульсом сообщена начальная скорость, или после того, как сделано и то и другое вместе, т.е. после того, как тело выведено из состояния равновесия. Если в системе нет трения, то колебания после начального «толчка» будут продолжаться сколь угодно долго. Иначе говоря, в начальный момент системе сообщили некоторый запас энергии, который при отсутствии сил трения будет сохраняться неизменным в системе в виде энергии колебаний.

Поэтому по закону сохранения энергии при гармонических колебаниях полная энергия остаётся постоянной, но кинетическая или потенциальная, каждая в отдельности, совершают колебания во времени. В момент, когда колеблющееся тело достигает крайнего положения и имеет скорость, равную нулю, вся энергия является потенциальной, а кинетическая равна нулю. Когда тело проходит через положение равновесия, вся энергия является кинетической, а потенциальная энергия равна нулю (конечно, если заранее известно, что потенциальная энергия в положении равновесия полагается равной нулю). Поскольку тело за период колебаний два раза проходит через положение равновесия, то периоды колебаний кинетической и потенциальной энергий в два раза меньше периода колебаний груза (тела). Энергетические соотношения в колебательной системе рассмотрим на примере пружинного маятника.

Для упрощения выкладок предположим, что начальная фаза колебаний = 0.

В этом случае зависимости координаты х и скорости v от времени t принимают вид (см. (17.8) и (17.9)):

При колебаниях груза на пружине потенциальная энергия U будет равна kx2/2.

Следовательно, с учётом известной формулы тригонометрии имеем А кинетическая энергия Т будет равна mv2/2. С учетом выражения (18.24) 0 = k / m, т.е. k = m02, имеем Полная энергия системы Е равна сумме кинетической Т и потенциальной U энергий:

Полная энергия остаётся постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Используя выражение для полной энергии Е, выражениям для потенциальной U и кинетической Т энергии, можно придать вид:

где Е – полная энергия системы.

Из формул (19.6) и (19.7) видно, что потенциальная U и кинетическая Т энергия изменяются с частотой 20, т.е. с частотой в два раза превышающей частоту гармониЕ Е ческих колебаний, с амплитудой относительно значения энергии, равного.

На рисунке 38 показан ход изменения со временем t смещения х, потенциальной энергии U и кинетической энергии Т.

Контрольные вопросы к § 1.1 – § 1. 1 Что называется материальной точкой? Какое тело называют абсолютно твёрдым? Почему в механике вводят такие модели?

2 Что такое система отсчёта?

3 Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути, пройденному точкой?

4 Какое движение называется поступательным? вращательным?

5 Запишите кинематические уравнения движения материальной точки.

6 Что понимают под числом степеней свободы?

7 Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

8 Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая ускорения? Каковы их модули?

9 Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?

10 Какова связь между линейными и угловыми величинами?

Контрольные вопросы к § 1.5 – § 1. 1 Какое движение называют движением по инерции? Какая система отсчёта называется инерциальной? Почему система отсчёта, связанная с Землёй, строго говоря, неинерциальная?

2 Что такое масса (инертная, гравитационная)? Что такое сила? Как их можно охарактеризовать?

3 Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона? Почему?

4 Сформулировав три закона Ньютона, покажите, какова взаимосвязь между этими законами.

5 В чём заключается принцип независимости действия сил?

6 Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми?

Контрольные вопросы к § 1.8 – § 1. 1 В чём различие между понятиями энергии и работы? Как найти работу переменной силы?

2 Какую работу совершает равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномерно движущемуся по окружности?

3 Что такое мощность? Единицы измерения работы и мощности.

4 Какова связь между силой и потенциальной энергией?

5 Почему изменение потенциальной энергии обусловлено только работой консервативных сил?

6 В чём заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняется?

7 Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранения механической энергии?

8 Что такое момент инерции тела?

9 Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

10 Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела. Что такое момент импульса материальной точки? твёрдого тела? Как определяется направление момента импульса?

11 В чём заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В каких системах он выполняется? Приведите примеры.

12 Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.

Контрольные вопросы к § 1.14 – § 1. 1 Справедлив ли второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчёта?

Как следует изменить основное уравнение динамики, чтобы оно оказалось справедливым и для неинерциальных систем отсчёта?

2 Что понимают под силами инерции?

3 Запишите уравнение движения частицы в неинерциальной системе отсчёта.

4 Чему равна сила инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта?

5 В чём проявляется аналогичность сил инерции силам тяготения?

6 Какие особенности отличают силы инерции от сил взаимодействия?

7 Какие силы инерции появляются при вращательном движении системы отсчёта? Как направлены центробежная сила инерции и сила Кориолиса?

8 Приведите примеры проявления сил инерции.

Контрольные вопросы к § 1.17 – § 1. 1 Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические процессы?

2 Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колебаний.

3 Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при прямолинейных гармонических колебаниях?

4 Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени.

5 От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?

6 Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии при гармонических колебаниях.

7 Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному значению возвращающей силы, вызывающей эти колебания?

8 Как можно сравнить между собой массы тел, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих масс к пружине?

9 Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? математическим маятником? физическим маятником?

10 Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, математического и физического маятников.

11 Что такое приведённая длина физического маятника?

12 Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

1. Реактивный самолет летит со скоростью v0 = 720 км/час. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t = 10 с и в последнюю секунду проходит путь S = 295 м. Определите конечную скорость v самолета.

2. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется в земляной вал и, двигаясь равнозамедленно, проникает в него на глубину 36 см. Чему будет равна скорость пули к моменту, когда пуля пройдет 99 % своего пути?

3. Автомобиль, движущийся с начальной скоростью 30 м/с, проехал 175 м с ускорением 2 м/с2. Сколько времени потребовалось на это?

4. Первую четверть пути автомобиль двигался со скоростью 60 км/час, а оставшуюся часть пути – со скоростью 20 км/час. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

А) 40 км/час В) 36 км/час С) 32 км/час Д) 28 км/час Е) 24 км/час 5. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через t1 = 1 с и через t2 = 2 с после начала движения. Определите начальную скорость v0, считая ускорение движения шарика постоянным.

6. По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела: одно равномерно со скоростью v = 9,8 м/с, а другое – равноускоренно без начальной скорости с ускорением а = 9,8 см/с2. Через какое время второе тело догонит первое?

7. Две стрелки начинают двигаться по окружности в одну сторону. Период вращения 1-й составляет Т1 = 50 с, а 2-й – Т2 = 30 с. Положения стрелок при этом совпадают через минимальный интервал времени, равный 8. С крыши с интервалом времени в 1 с падают одна за другой две капли. Через 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями станет равным (полагайте g=10 м/с2):

9. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется в земляной вал и, двигаясь равнозамедленно, проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась она внутри вала?

1. Шарик массы m, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в момент прохождения положения равновесия и при максимальном отклонении из положения равновесия равны друг другу. Чему равна сила натяжения нити в нижнем положении, если угол отклонения нити в крайнем положении равен ? Ускорение свободного падения g.

2. Мальчик массой m = 50 кг качается на качелях с длиной подвеса = 4 м. С какой силой он давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью v = 6 м/с? Ускорение свободного падения g =10 м/с2.

3. Груз массой m, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вертикальной плоскости. Найдите максимальную разность сил натяжения нити. Ускорение силы тяжести g.

4. Определите массу груза, который нужно сбросить с аэростата массой 1 100 кг, движущегося равномерно вниз, чтобы аэростат стал двигаться с такой же по модулю скоростью вверх. Архимедова сила, действующая на аэростат, равна 104 Н. Сила сопротивления воздуха при движении аэростата пропорциональна скорости. Ускорение свободного падения 10 м/с2.

5. Груз поднимают равноускоренно на высоту h = 10 м с помощью верёвки.

Масса груза m = 2 кг. Изначально груз покоился. Определите время подъёма t, если сила натяжения верёвки в процессе подъёма T = 30 Н. Ускорение силы тяжести g = 10 м/с2.

6. В шахту опускается равноускоренно груз массой 580 кг. За первые 10 с он проходит 35 м. Найдите натяжение каната, на котором висит груз. Ускорение силы тяжести 10 м/с2.

7. Сани с седоками общей массой 100 кг начинают съезжать с горы высотой 8 м и длиной 100 м. Какова средняя сила сопротивления движению санок, если в конце горы они достигли скорости 10 м/с? Ускорение свободного падения равно 10 м/с2.

8. Груз массой m может скользить без трения по горизонтальному стержню, вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов.

Груз соединяют с этим концом стержня пружиной, коэффициент упругости которой k. При какой угловой скорости пружина растянется на 50 % первоначальной длины?

9. Молоток массой 800 г ударяет по небольшому гвоздю и забивает его в доску. Скорость молотка перед ударом равна 5 м/с, после удара она равна 0, продолжительность удара 0,2 с. Определите среднюю за время удара силу удара молотка.

10. Два тела связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности.

К телу массы m1 приложена сила F1, направленная вдоль поверхности, а к телу массы m2 сила F2 (F2 F1), направленная в противоположную сторону. Найдите силу натяжения Т нити при движении тел.

1. Пуля массой m, летящая горизонтально, попадает в центр бруска массой 10 m, висящий неподвижно на нити, и застревает в нем. Во сколько раз кинетическая энергия пули перед ударом превышает кинетическую энергию бруска с пулей сразу после удара?

2. Камень брошен под углом 600 к горизонту. Как соотносятся между собой начальная кинетическая Т1 камня с его кинетической энергией Т2 в верхней точке траектории?

3. Тело массой m = 2 кг двигалось со скоростью v = 5 м/с и упруго столкнулось с жёсткой стенкой, двигавшейся навстречу со скоростью u = 2 м/с. Чему будет равна кинетическая энергия тела после столкновения?

4. Канат массой m висит вертикально, касаясь нижним концом поверхности пола. Какова будет максимальная сила действия каната на пол, если верхний конец каната отпустить? Ускорение свободного падения равно g.

5. Тележка массой 0,8 кг движется по инерции со скоростью 2,5 м/с. На тележку с высоты 50 см падает кусок пластилина массой 0,2 кг и прилипает к ней. Рассчитайте энергию, которая перешла во внутреннюю энергию при этом ударе. Ускорение свободного падения 10 м/с2.

6. Грузовики, снабжённые двигателями мощностью N1 и N2, развивают скорости, соответственно, v1 и v2. Какова будет скорость грузовиков, если их соединить тросом?

7. С какой начальной скоростью v0 надо бросить вниз мяч с высоты h, чтобы он подпрыгнул на высоту 2h от поверхности Земли? Удар мяча о поверхность Земли считайте абсолютно упругим. Ускорение свободного падения равно g.

8. При произвольном делении покоившегося ядра химического элемента образовалось три осколка массами 3m; 4,5m; 5m. Скорости первых двух взаимно перпендикулярны, а их модули равны, соответственно, 4v и 2v. Определите модуль скорости третьего осколка.

1. Какую мощность Р развивает сила Кориолиса?

2. Движение частицы массы m = 10 г рассматривается в системе отсчёта, вращающейся относительно инерциальной системы с угловой скоростью = 10 рад/с.

Какую работу А совершают над частицей силы инерции при перемещении ее из точки, отстоящей от оси вращения на расстояние r1 = 1 м, в точку, отстоящую на расстояние r2 = 2 м?

3. Определить скорость электропоезда в момент начала торможения, считая его движение равнозамедленным, если он остановился, пройдя путь S = 200 м, а подвешенный в вагоне отвес при торможении отклонился на угол = 50 от вертикального направления.

4. С какой наименьшей скоростью может ехать мотоциклист по внутренней вертикальной стенке вертикального цилиндра радиусом R = 12 м, описывая горизонтальную окружность, если коэффициент трения покрышек о стенку = 0,5, а центр масс мотоциклиста и мотоцикла находится на расстоянии = 1 м от стенки?

5. Небольшое тело падает без начальной скорости на Землю на экваторе с высоты h = 10 м. На какое расстояние L отклонится тело к востоку от вертикали под действием силы Кориолиса за время падения ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

6. На широте = 450 из ружья, закреплённого горизонтально в плоскости меридиана, произведён выстрел в направлении на север по мишени, установленной на расстоянии S = 100 м от дула ружья. Центр мишени находится на оси ружейного ствола. Считая, что пуля летит горизонтально с постоянной скоростью v = 500 м/с, определить, на какое расстояние L отклонится пуля от центра мишени?

7. Найдите силу F, отделяющую сливки (плотностью с = 0,93 г/см3) от снятого молока (м = 1,03 г/см3) в расчете на единицу объёма, если отделение сливок происходит в центробежном сепараторе, вращающемся с частотой = 6 000 об/мин, если жидкость находится на расстоянии r = 10 см от оси вращения.

3,95104 Н/м3 3,95106 Н/м3 3,95105 Н/м3 2,83105 Н/м3 2,83104 Н/м 8. В центре горизонтально расположенного диска радиусом R = 2 м установлена мишень, а на его краю – воздушный пистолет. При неподвижном диске шарик попадает в центр мишени. Если диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью = 0,5 рад/с, то шарик попадает в точку мишени, смещённую от ее центра на L = 10 см. Определить скорость шарика.

9. Электровоз массы m = 184103 кг движется вдоль меридиана со скоростью v = 72 км/ч на широте = 450. Определить горизонтальную составляющую F силы, с которой электровоз давит на рельсы.

10. В точке, расположенной на широте = 600, из ружья произведён выстрел строго вертикально вверх. Через некоторое время пуля упала на Землю. Определить, на сколько сместилась упавшая пуля от точки выстрела, если ее начальная скорость v0 = 200 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.

1. Тонкий стержень длиной L вращается вокруг одного из концов, описывая круговой конус (физический конический маятник). Найти период движения Т в зависимости от угла при вершине конуса 2.

2. Во сколько раз уменьшится полная энергия колебаний секундного маятника за 5 мин, если логарифмический декремент затухания 0,031?

3. Амплитуда колебаний камертона за 15 с уменьшилась в 100 раз. Найдите коэффициент затухания колебаний.

4. Стакан массой 20 г и площадью поперечного сечения 5 см2 содержит ртуть массой 80 г и плавает на поверхности воды. Под действием вертикальной силы стакан выводится из положения равновесия и отпускается. Определите период вертикальных колебаний системы.

5. Найдите частоту колебаний груза массой m = 0,2 кг, подвешенного на пружине и помещённого в масло, если коэффициент трения в масле r = 0,5 кг/с, а жёсткость пружины k = 50 Н/м.

6. Определите амплитуду вынужденных колебаний груза массой 0,2 кг, подвешенного на пружине жёсткостью 20 Н/м, если действует вынуждающая сила с амплитудой 2 Н и частотой в 2 раза большей собственной частоты колебаний груза, а коэффициент затухания 0,5 с-1.

7. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны друг другу по модулю. Найдите угол отклонения нити в крайнем положении.

8. Если к пружине подвесить поочерёдно два разных груза, пружина удлиняется на х1=1 см и х2=2 см, соответственно. Определите период колебаний, когда к пружине подвешены оба груза. Ускорение свободного падения g=9,8 м/с2.

9. В процессе гармонических колебаний грузик математического маятника имеет максимальную скорость v0 = 3 м/с, а максимальное ускорение равно а = 3,14 м/с2. Чему равен период колебаний маятника?

Упражнения для самоконтроля 1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением:

S A Bt Ct 2 Dt 3 (С=0,1 м/с2, D=0,03 м/с3). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение аср тела за этот промежуток времени. [ 1) 10 с; 2) 1,1 м/с2].

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [450].

1.3. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса R=4 м, задаётся уравнением an A Bt Ct 2 (А=1 м/с2, B=6 м/с3, С=3 м/с4). Определить:

1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1 = 5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t 2 = 1 с.

[ 1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2].

1.4. Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задаётся уравнением:

Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2].

1.5. Самолёт описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы лётчик не оторвался от сиденья в верхней части петли? [28 м/с] 1.6. На катере массой m = 5 т находится водомёт, выбрасывающий = 25 кг/с воды со скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера.

1.7. С башни высотой 35 м горизонтально брошен камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала движения его кинетическая энергия составляет 60 Дж; 2) потенциальную энергию камня через 1 с после начала движения.

[1) 17,4 м/с; 2) 88,6 Дж] 1.8. Пренебрегая трением, определить наименьшую высоту, с которой должна скатываться тележка с человеком по жёлобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из жёлоба. [25 м] 1.9. Пуля массой m=10 г, летевшая горизонтально со скоростью v = 500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной = 1 м и массой М = 5 кг и застревает в нём. Определить угол отклонения маятника. [180 30'] 1.10. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой m ударяется в покоящееся тело массой m2, в результате чего скорость первого тела уменьшается в n = 1,5 раза. Определить: 1) отношение m1/m2; 2) кинетическую энергию Т2, с которой начнёт двигаться второе тело, если первоначальная кинетическая энергия первого тела Т1=1 000 Дж. 1) 5; 2) 555 Дж] 1.11. Стрелок и мишень находятся в диаметрально противоположных точках карусели радиусом R = 5 м, равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси.

Период вращения карусели Т = 10 с, скорость пули v = 300 м/с. Пренебрегая максимальной линейной скоростью вращающейся карусели R по сравнению со скоростью пули, определить приближённо, под каким углом к диаметру карусели долR жен целиться стрелок, чтобы поразить мишень? = = 0,0209 рад 1.12. Теплоход движется на восток вдоль параллели с географической широтой = 600. Скорость теплохода v = 10 м/с. Определить вес тела Р на теплоходе, если взвешивание происходит на пружинных весах. Вес того же тела, неподвижного относительно Земли, в той же точке земной поверхности равен Р0.

1.13. Самолёт летит с постоянной скоростью, описывая окружность на постоянной высоте. Какое направление будет указывать нить отвеса подвешенного в салоне самолёта? Найти период малых колебаний математического маятника внутри самолёта, если длина маятника равна L, корпус самолёта наклонён к направлению горизонта под углом. Нить отвеса установится перпендикулярно к полу салона 1.14. Из ружья произведён выстрел строго вверх (т.е. параллельно линии отвеса). Начальная скорость пули v0 = 100 м/с, географическая широта местности = 600. Учитывая осевое вращение Земли, определить приближённо насколько восточнее или западнее от места выстрела упадёт пуля. Сопротивлением воздуха пренебv речь. Пуля отклонится к западу на расстояние L = cos 51 см 1.15. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой = 2 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой x0 = 6 см, со скоростью v0 = 14 см/с. Определить амплитуду колебаний. [6,1 см] 1.16. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза /3.

[х = 0,04cos(t + /3)] 1.17. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. [7,2 см] 1.18. Два математических маятника, длины которых отличаются на l = 16 см, совершают за одно и то же время: один n1 = 10 колебаний, другой n2 = 6 колебаний.

Определить длины маятников l1 и l2. [l1 = 9 см, l2 = 25 см] 2 Молекулярная физика § 2.20 Идеальный газ Из трёх агрегатных состояний, в которых может находиться вещество, наиболее простым для описания является газообразное состояние, так как в газах силы, действующие между молекулами, очень малы, и ими, при определённых условиях, можно пренебречь. Поэтому изложение молекулярной физики начнём с рассмотрения свойств газов. При этом сначала будем полагать, что межмолекулярные силы в них даже не малы, а полностью отсутствуют. Для простоты пренебрежём также размерами молекул, считая их материальными точками. Газ, обладающий такими же свойствами, как и совокупность невзаимодействующих материальных точек, называется идеальным газом.

Переходя к рассмотрению реальных газов мы снимем эти произвольные допущения, оправданные, впрочем, тем, что при определённых условиях такая идеализация не уводит нас слишком далеко от действительности.

Итак, идеальный газ – теоретическая модель газа, в которой пренебрегают размерами и взаимодействием молекул и учитывают лишь упругие столкновения.

Это первоначальное представление было расширено, в более широком понимании идеальный газ состоит из молекул, представляющих собой упругие сферы радиуса R или эллипсоиды, у них проявляется атомная структура. Расширенная модель идеального газа позволяет учитывать не только поступательное, но и вращательное и колебательное движения его частиц, вводить в рассмотрение наряду с центральным и нецентральное соударение, исследовать переходы энергии из одной степени свободы в другую и т.д.

Наиболее полно изучены свойства достаточно разрежённых газов, в которых расстояния между молекулами (при нормальных условиях 10 нм) значительно больше радиуса действия сил межмолекулярного взаимодействия (менее 0,5 – 1 нм).

Сближение молекул на расстояния меньше радиуса действия межмолекулярных сил принято трактовать как столкновение молекул, а общий объём, в котором эти силы сказываются, как собственный объём молекул, который в разрежённых газах пренебрежимо мал (10 нм3). В этом случае молекулы можно рассматривать как невзаимодействующие материальные точки, а модель газа, состоящего из них, называют идеальным газом. В разрежённых газов молекулы практически не взаимодействуют между собой. Они лишь иногда сталкиваются друг с другом. Однако эти столкновения происходят настолько редко, что большую часть времени молекулы движутся свободно. Газ, взаимодействием между молекулами которого можно пренебречь, называют идеальным.

Чем слабее взаимодействие между частицами, тем свойства газа ближе к свойствам идеального газа. Все газы при не слишком высоких давлениях и при не слишком низких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу, и их поведение можно описывать уравнениями, полученными для идеального газа.

При повышении плотности газа его свойства перестают быть идеальными, процессы столкновения играют всё большую роль и размерами молекул и их взаимодействием уже нельзя пренебречь. Такой газ называют реальным (неидеальным).

Размеры молекул являются одной из основных характеристик неидеального газа.

Все газы из-за малости межмолекулярных взаимодействий способны неограниченно расширяться и занимать весь предоставленный им объём, причём для смеси газов это справедливо по отношению к каждой компоненте смеси.

Нашей первой задачей будет изложение кинетической теории идеальных газов. В молекулярно-кинетической теории пользуются моделью идеального газа, согласно которой считают, что:

- собственный объём молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объёмом сосуда;

- между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

- столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

§ 2.21 Давление газа Непрерывно двигаясь молекулы газа сталкиваются с поверхностью тел, находящихся в газе, например, со стенками сосуда, содержащего газ, и друг с другом.

Столкновения молекул между собой играют очень большую роль в поведении газа.

Рассмотрим столкновения молекул со стенками сосуда или с любой другой поверхностью, соприкасающейся с газом. Именно взаимодействием молекул газа и стенок определяется сила, испытываемая стенками со стороны газа. Будем характеризовать действие газа на стенку силой F, отнесённой к единице площади S поверхности стенки, нормальной к этой силе:

Эта величина называется давлением.

Свойство газа оказывать давление на стенки содержащего его сосуда одно из основных свойств газа. Именно своим давлением газ чаще всего и обнаруживает свое присутствие. Поэтому величина давления является одной из главных характеристик газа.

Давление газа на стенки сосуда, как это предположил ещё в XVIII в. Даниил Бернулли, есть следствие бесчисленных столкновений молекул со стенками. Эти удары молекул о стенки приводят к некоторым смещениям частиц материала стенки, и значит, к её деформации. Деформированная же стенка действует на газ упругой силой, направленной в каждой точке перпендикулярно к стенке. Эта сила равна по абсолютному значению и противоположна по направлению силе, с которой газ действует на стенку.

Хотя силы взаимодействия каждой отдельной молекулы с молекулами стенки при столкновении неизвестны, тем не менее, законы механики позволяют найти среднюю силу, возникающую от совокупного действия всех молекул газа, т.е. найти давление газа.

Допустим, что газ заключён в сосуд, имеющий форму параллелепипеда (рисунок 39), и что газ находится в состоянии равновесия. В данном случае это означает, что газ как целое покоится относительно стенок сосуда: число молекул, движущихся в каком-нибудь произвольном направлении, в среднем равно числу молекул, скорости которых направлены в противоположную сторону.

Вычислим давление газа на одну из стенок сосуда, например на правую боковую стенку abcd. Направим координатную ось 0х вдоль ребра параллелепипеда перпендикулярно к стенке abcd, у 39. Как бы ни были направлены скорости v молекул, нас будут интересовать стей молекул на ось 0х: по направлению к стенке abcd молекулы движутся со скоРисунок ростью vx.

Выделим мысленно слой газа толщиной х, прилегающий к выбранной стенке. На него со стороны деформированной стенки действует упругая сила F. С такой же по абсолютному значению силой и газ действует на стенку. По второму закону Ньютона импульс силы Ft (где t – некоторый произвольный промежуток времени) равен изменению импульса газа в выбранном слое. Так как газ находится в состоянии равновесия, то слой никакого приращения импульса в направлении импульса силы (против направления оси 0х) не получает. Происходит это потому, что из-за молекулярных движений выделенный слой получает импульс противоположного направления и, конечно, такой же по абсолютному значению. Его нетрудно вычислить.

При беспорядочных движениях газовых молекул за время t в выбранный слой газа слева направо входит некоторое число молекул и столько же молекул выходит из него в обратном направлении – справа налево. Входящие молекулы несут с собой определённый импульс. Выходящие молекулы несут такой же импульс противоположного знака, так что импульс, получаемый слоем, равен алгебраической сумме импульсов входящих в слой и выходящих из него молекул.

Найдём число молекул, входящих в слой слева за время t.

За время t к границе abcd слева могут подойти те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем vxt. Все они находятся в объёме параллелепипеда с площадью основания S (это площадь рассматриваемой стенки) и длиной vxt, т.е. в объёме Svxt. Если в единице объёма содержится n молекул, то в указанном объеме находится nSvxt молекул. Но из них лишь половина движется слева направо и попадет в слой. Другая половина движется от него и в слой не попадает. Следовательно, за время t в слой слева направо входит nSvxt молекул.

Каждая из молекул обладает импульсом mvx (m – масса молекулы), и общий импульс, вносимый ими в слой, равен:

За это же время t слой покидает, двигаясь справа налево, такое же число молекул с таким же общим импульсом, но обратного знака. Таким образом, из-за прихода в слой молекул с положительным импульсом и ухода из него молекул с отрицательным импульсом общее изменение импульса слоя равно:

Это изменение импульса слоя и компенсирует то изменение, которое должно было бы произойти под действием импульса силы Ft. Поэтому можем написать:

Разделив обе части этого равенства на St, получаем:

До сих пор предполагали, что у всех молекул газа одинаковые проекции скорости vx. В действительности это, конечно, не так. И скорости молекул v, и их проекции vx на ось 0х у разных молекул, разумеется, различны. Вопрос о различии скоростей газовых молекул в условиях равновесия подробно рассмотрим позже в § 2.25. Пока же учтём различие скоростей молекул и их проекций на оси координат тем, что заменим величину vx2, входящую в формулу (21.1), ее средним значением v 2, так что формуле для давления газа (21.1) придадим вид:

Для скорости v каждой молекулы можно написать:

поэтому (последнее равенство означает, что порядок проведения операций усреднения и сложения можно изменять).

Из-за полной беспорядочности молекулярных движений можно полагать, что средние значения квадратов проекций скоростей на три оси координат равны друг другу, т.е.

А это значит, принимая во внимание (21.3), что Подставив это выражение в формулу (21.2), получаем:

Или, умножив и разделив правую часть этого равенства на двойку, имеем:

Приведённые простые рассуждения справедливы для любой стенки сосуда и для любой площадки, которую мысленно можно поместить в газ. Во всех случаях мы получим для давления газа результат, выраженный формулой (21.4). Величина m v 2 /2 в формуле (21.4) представляет собой среднюю кинетическую энергию одной молекулы газа. Следовательно, давление газа равно двум третям средней кинетической энергии молекул, содержащихся в единице объёма газа.

Это – один из важнейших выводов кинетической теории идеального газа. Формула (21.4) устанавливает связь между молекулярными величинами, т.е. величинами, относящимися к отдельной молекуле, и величиной давления, характеризующей газ как целое, величиной макроскопической, непосредственно измеряемой на опыте. Уравнение (21.4) иногда называют основным уравнением молекулярнокинетической теории идеальных газов.

Важно подчеркнуть, что давление газа определяется средней кинетической энергией его молекул. Это значит, что давление газа – величина, органически связанная с тем, что газ состоит из большого числа молекул. Поэтому не имеет смысла говорить, например, о давлении, создаваемом одной или немногими молекулами. О таких понятиях, которые имеют смысл только для систем, содержащих очень много частиц, говорят, что они имеют статистический характер.

Отметим, что в формулу (21.4) входит величина среднего значения квадрата скорости поступательного движения v 2. Величину, равную корню квадратному из него, называют средней квадратичной скоростью v = состоящей из n молекул, скорость i-ой молекулы равна vi, то средняя квадратичная скорость определяется следующим образом:

А средняя (среднеарифметическая) скорость v, как известно, определяется выражением:

Таким образом, с точки зрения молекулярно-кинетической теории давление является результатом многочисленных ударов молекул газа о стенки сосуда, усреднённых по времени и площади поверхности сосуда. При нормальных условиях и макроскопических размерах сосуда число ударов об 1 см2 поверхности 1024 в секунду, заметных флуктуаций даже за время 10-13 с не возникает.

Единицы давления. В системе единиц СИ за единицу давления принимается давление, при котором на 1 м2 поверхности нормально к ней действует сила в ньютон. Такая единица называется паскаль (сокращенно Па):

Далее приведем некоторые внесистемные единицы измерения давления.

Ввиду малости единицы измерения 1 Па пользуются единицей в 105 раз большей, которой присвоено название бар:

В технике широко применяется единица давления, называемая технической атмосферой (сокращенно ат), равная 1 кгс/см2. Эта единица лишь на 2 % отличается от бара:

Иногда используется единица – физическая атмосфера (сокращенно атм.), равная давлению столба ртути высотой 760 мм. Считая плотность ртути равной 13 595,1 кг/м3 и ускорение свободного падения равным 9,80665 м/с2, получаем:

В области низких давлений применяется единица давления тор (миллиметр ртутного столба):

§ 2.22 Температура Из уравнения (21.4) следует, что давление идеального газа пропорционально его плотности (плотность газа определяется числом молекул n в единице объёма) и средней кинетической энергии поступательного движения молекул. При неизменном n, а значит, при неизменном объёме V газа (n = N/V, где N – число молекул в сосуде) давление газа зависит только от средней кинетической энергии молекул.

Между тем из опыта известно, что при постоянном объёме давление газа можно изменять только одним способом: его нагреванием или охлаждением; при нагревании газа его давление растёт, при охлаждении уменьшается. Нагретый или охлаждённый газ, как и всякое тело, характеризуется своей температурой – особой величиной, которой издавна пользуются в науке, технике и быту. Следовательно, между температурой и средней кинетической энергией молекул должна существовать связь.

Выясним эту связь.

В повседневной жизни понятие температуры используется для оценки степени нагретости тел. И первые представления о температуре возникли из ощущений тепла и холода. Используем эти знакомые каждому человеку ощущения, чтобы выяснить главную особенность температуры как физической величины.

Возьмём три сосуда. В один из них нальём горячую воду, в другой холодную, а в третий – смесь горячей и холодной воды. Опустим одну руку, например, правую, в сосуд с горячей водой, а левую – в сосуд с холодной. Подержав руки некоторое время в этих сосудах, перенесём их в третий сосуд. Каковы же наши ощущения о воде в этом сосуде? Правой руке покажется, что вода в нём холодная, а левой – что она тёплая. Но эти различные ощущения исчезнут, если подержать обе руки в третьем сосуде подольше. Через некоторое время обе руки станут испытывать совершенно одинаковые ощущения, соответствующие температуре воды в третьем сосуде.

Дело в том, что руки, побывавшие сначала в сосудах с горячей и холодной водой, имели различные температуры, отличные и одна от другой, и от температуры в третьем сосуде. И требуется некоторое время, чтобы температура каждой из рук стала равной температуре воды, в которую они погружены. Тогда и температуры рук станут одинаковы. Одинаковы будут и ощущения. Необходимо, как говорят, чтобы в системе тел «правая рука – левая рука – вода» установилось тепловое равновесие.

Этот простой опыт показывает, что температура – это величина, количественно характеризующая состояние теплового равновесия: у тел, находящихся в состоянии теплового равновесия, температуры одинаковы. И наоборот, тела с одинаковой температурой находятся в тепловом равновесии друг с другом. А если два тела находятся в тепловом равновесии с каким-нибудь третьим телом, то оба тела находятся в тепловом равновесии и между собой. Это важное утверждение является одним из основных законов природы. И на нём основана сама возможность измерения температуры. В описанном опыте, например, речь шла о тепловом равновесии обеих рук, после того как каждая из них оказалась в тепловом равновесии с водой.

Если тело или система тел не находится в состоянии теплового равновесия и если система изолирована (не взаимодействует с другими телами), то через некоторое время состояние теплового равновесия устанавливается само собой. Состояние теплового равновесия – это и есть состояние, в которое переходит любая изолированная система. После того как это состояние достигнуто, оно уже больше не изменяется и никакие макроскопические изменения в системе не происходят. Одним из признаков состояния теплового равновесия и является равенство температур всех частей тела или всех тел системы. Известно, что в процессе установления теплового равновесия, т.е. при выравнивании температуры двух тел, происходит передача теплоты от одного тела к другому. Следовательно, с экспериментальной точки зрения температура тела – это величина, которая определяет, будет ли оно обмениваться теплотой с другим телом с иной температурой.

Своеобразие температуры состоит, прежде всего, в том, что она, в отличие от многих других величин, не аддитивна. Это значит, что если мысленно разделить тело на части, то температура всего тела не равна сумме температур его частей. Этим температура отличается от таких величин как длина, объём, масса и некоторых других, значения которых для всего тела складываются из значений соответствующих величин для его частей.

Вследствие этого температуру тела нельзя измерять непосредственно, как измеряют длину или массу, т.е. методом сравнения с эталоном. Если об одном стержне можно сказать, что его длина во столько-то раз больше длины другого стержня, то вопрос о том, сколько раз одна температура содержится в другой, не имеет смысла.

Для измерения температуры издавна пользуются тем, что при изменении температуры тела изменяются и его свойства. Следовательно, изменяются величины (термодинамические параметры), характеризующие эти свойства. На этом основано измерение температуры при помощи термометра. Для создания термометра, выбирают какое-либо вещество (термометрическое вещество) и определённую величину, характеризующую свойство вещества (термометрическую величину). Выбор того и другого произволен. В бытовых термометрах, например, термометрическим веществом является ртуть, а термометрической величиной – длина ртутного столбика.

Для изготовления термометра необходимо знать зависимость термометрической величины от температуры. Выбор этой зависимости тоже произволен: ведь пока нет термометра, нельзя опытным путём установить эту зависимость. В случае ртутного термометра, например, избирается линейная зависимость длины ртутного столбика (объёма ртути) от температуры.

Остаётся ещё установить единицу температуры – градус (хотя в принципе её можно было бы выражать в тех же единицах, в которых измеряется термометрическая величина, например по ртутному термометру – в сантиметрах). Величина градуса избирается тоже произвольно (как и термометрическое вещество, термометрическая величина и вид функции, связывающей термометрическую величину с температурой). Размер градуса устанавливается следующим образом. Выбирают, опятьтаки произвольно, две температуры (их называют реперными точками), например, температуры таяния льда и кипения воды при атмосферном давлении. Затем делят этот температурный интервал на некоторое (тоже произвольное) число равных частей – градусов, а одной из этих температур приписывают определённое числовое значение. Тем самым определяется значение второй температуры и любой промежуточной. Таким образом, получают температурную шкалу. Понятно, что с помощью описанной процедуры можно получить бесчисленное множество различных термометров и температурных шкал.

Современная термометрия основана на шкале идеального газа, устанавливаемой с помощью газового термометра. В принципе газовый термометр – это закрытый сосуд, наполненный идеальным газом и снабжённый манометром для измерения давления газа. Значит, термометрическим веществом в таком термометре служит идеальный газ, а термометрической величиной – давление газа при постоянном объёме. Зависимость давления от температуры принимается (именно принимается!) линейной. Такое допущение приводит к тому, что отношение давлений при температурах кипения воды (Рк) и таяния льда (Р0) равно отношению этих самых температур:

Отношение Рк/Р0 легко определить из опыта. Многочисленные измерения показали, что Таково, следовательно, и значение отношения температур:

Размер градуса выбирается делением разности Тк Т0 на сто частей:

Из последних двух равенств следует, что температура таяния льда по выбранной шкале равна Т0 = 273,15 градусов, а температура кипения воды равна Тк = 373,15 градусов. Для того, чтобы при помощи газового термометра измерить температуру какого-нибудь тела, надо привести тело в контакт с газовым термометром и, дождавшись равновесия, измерить давление Р газа в термометре. Тогда температура тела Т определяется по формуле:

где Р0 – давление газа в термометре, помещённом в тающий лёд.

На практике газовым термометром пользуются крайне редко. На него возложена более ответственная роль – по нему градуируются все употребляемые вторичные термометры. К числу распространённых вторичных термометров относятся жидкостные термометры; термометры сопротивления; термометры, основанные на температурной зависимости ЭДС термопар, диэлектрической проницаемости сегнетоэлектриков, падения напряжения на полупроводниковом диоде и другие.

Температура, равная нулю в нашей шкале, это, очевидно, температура, при которой давление идеального газа было бы равно нулю (это, конечно, не значит, что идеальный газ, в самом деле, можно настолько охладить, что его давление станет равным нулю). Если при нуле температурной шкалы термометрическая величина обращается в нуль, то такая шкала называется абсолютной шкалой, а температура, отсчитанная по такой шкале, называется абсолютной температурой. Описанная здесь шкала газового термометра является абсолютной. Ее часто называют также шкалой Кельвина, а единицу температуры в этой шкале – градусом Кельвина или просто кельвином (обозначение: К).

В технике и быту часто используется температурная шкала Цельсия, в которой температуре таяния льда приписывается значение нуль, а температуре кипения воды – 100 градусов. Температура t, отсчитываемая по шкале Цельсия, связана с абсолютной температурой Т очевидным соотношением:

Определение температурной шкалы неоднозначно и зависит от способа градуировки термометра. Общепринятой является температурная шкала Кельвина.

В некоторых используют температурную шкалу Фаренгейта (обозначение 0F), в которой первой реперной точке – температуре плавления льда приписывают значение 32 0F, второй реперной точке температуре кипения воды при атмосферном давлении приписывают значение 212 0F. Разность температур между этими реперными точками определяет основной интервал температурной шкалы Фаренгейта 180 0F.

Температура t, отсчитываемая по шкале Цельсия, связана с температурой ТF по шкале Фаренгейта соотношением:

Таким образом, температура характеризует тепловое равновесие тел: при переходе к состоянию равновесия температуры тел выравниваются, а в состоянии равновесия температура всех частей тела или системы тел одна и та же. С этим связана сама процедура измерения температуры. Ведь для того, чтобы измерить значение термометрической величины при температурах таяния льда и кипения воды, термометр необходимо привести в состояние равновесия с тающим льдом и с кипящей водой, а чтобы измерить температуру какого-нибудь тела, необходимо обеспечить возможность установления теплового равновесия между термометром и телом. И только тогда, когда такое равновесие достигнуто, можно считать, что температура тела равна температуре, отсчитанной по термометру.

Итак, температура – это то, что выравнивается в процессе установления равновесия в системе. Но само понятие выравнивания означает, что от одной части системы что-то передаётся к другой. Полученное нами уравнение (21.4) для давления идеального газа позволит нам понять, что представляет это «что-то».

Представим себе изолированный цилиндр с идеальным газом, в котором уже установилось тепловое равновесие, так что температура во всех частях объёма газа одинакова. Допустим, что без нарушения равновесия в цилиндр помещён подвижный поршень, разделяющий объём газа на две части (рисунок 40а). В условиях равновесия поршень будет находиться в покое. Это значит, что при равновесии не только температуры, но и давления по обе стороны поршня одинаковы. Согласно уравнению (21.4) одинаковы и величины n(m v 2 ):

Нарушим теперь временно изоляцию нашего цилиндра с газом и нагреем одну из его частей, например ту, что по левую сторону от поршня, после чего снова восстановим изоляцию. Теперь газ в цилиндре не находитТ Т вана, и сам собой начнётся переход к состоянию равновесия. При этом мы увидим, что поршень начнёт двиТ Рисунок правом отделении через поршень передаётся энергия. Значит, то, что передаётся в процессе установления теплового равновесия, это энергия. Через некоторое время движение поршня прекратится. Но остановится поршень после ряда колебаний. И остановится он в том же самом месте, где он находился до того, как левое отделение цилиндра подверглось нагреванию. В цилиндре с газом вновь установилось состояние равновесия. Но теперь температура газа и его давление, конечно, выше, чем до нагревания.

Так как поршень остановился на прежнем месте, то концентрация n молекул (т.е. число молекул в единице объёма) осталась прежней. Это значит, что в результате нагревания газа изменилась только средняя кинетическая энергия его молекул.

Выравнивание температуры, следовательно, означает выравнивание значений средней кинетической энергии молекул по обе стороны поршня. При переходе к равновесию от одной части газа к другой передаётся энергия, но выравнивается не энергия всего газа как целого, а средняя кинетическая энергия, отнесённая к одной молекуле. Именно средняя кинетическая энергия молекулы ведёт себя как температура.

Эти две величины сходны ещё и тем, что средняя кинетическая энергия, как и температура, величина не аддитивная, она одинакова для всего газа и для любой его части (содержащей достаточно большое число молекул). Энергия же всего газа – величина, конечно, аддитивная, она складывается из энергий его частей.

Не следует думать, что наши рассуждения относятся только к случаю, когда газ в цилиндре разделён на две части поршнем. И без поршня молекулы при столкновениях между собой обменивались бы энергией, и она передавалась бы от более нагретой части к менее нагретой части, в результате чего выравнивались бы средние кинетические энергии молекул. Поршень лишь делает передачу энергии как бы видимой, так как его движение связано с совершением работы.

Приведённые простые, хотя и не очень строгие рассуждения показывают, что величина, давно известная под названием температуры, в действительности представляет собой среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул. То, что мы получили этот результат для случая идеального газа, не меняет дела.

Нет оснований считать, что это не относится также к жидким и твёрдым телам.

Энергию, которой обмениваются тела, имеющие различную температуру, называют теплотой. Таким образом, при взаимодействии двух тел, имеющих различную температуру, происходит процесс установления равновесия между ними, сопровождающийся теплопередачей. При этом количество теплоты, отданное одним телом, равно количеству теплоты, приобретённому другим. На этом основано количественное измерение переданной теплоты при помощи калориметра, который служит источником или стоком тепла. В качестве калориметра можно использовать любое тело, термодинамические параметры которого зависят от количества переданной ему теплоты.

В применении к идеальному газу удобнее считать, что температура равна двум третям средней кинетической энергии молекул, так как это упростит вид формулы (21.4) для давления газа. Обозначив определённую таким образом температуру буквой, можем написать:

Тогда уравнение (21.4) примет простой вид:

При таком определении температуры она, очевидно, должна измеряться в единицах энергии (в системе СИ – в джоулях). Однако практически пользоваться такой единицей температуры неудобно. При пользовании ею обычно встречающиеся температуры выражались бы ничтожно малыми числами. Например, температура таяния льда равнялась бы 5,6510-21 Дж. К тому же и измерение температуры, выражаемой в джоулях, было бы очень затруднительно.

По этой причине, а также потому, что величиной температуры пользовались ещё задолго до того, как были развиты молекулярно-кинетические представления, разъяснившие истинный смысл температуры, её всё-таки измеряют в старых единицах – градусах, несмотря на условность этой единицы.

Но если измерять температуру в градусах, то необходимо ввести соответствующий коэффициент, переводящий единицы энергии в градусы. Его принято обозначать буквой k. Тогда связь между температурой Т, измеряемой в градусах, и средней кинетической энергией выражается равенством:

отсюда Напомним, что формула (22.1) относится к молекуле, которую мы условились считать подобной точке. Ее кинетическая энергия – это кинетическая энергия поступательного движения, скорость которого может быть разложена на три составляющие. Вследствие хаотичности молекулярных движений можно принять, что энергия молекулы равномерно распределяется по всем трём составляющим скорости, так что на каждую из них приходится энергия kT.

Множитель k, выражающий соотношение между единицей энергии и единицей температуры – кельвином, называется постоянной Больцмана. Понятно, что его числовое значение должно быть установлено экспериментально. Ввиду особой важности этой постоянной она была определена многими методами. Ее значение равно:

Из формулы (22.1) следует, что нулём температуры является температура, при которой средняя кинетическая энергия беспорядочных движений молекул равна нулю, т.е. температура, при которой хаотические движения молекул прекращаются.

Это и есть тот абсолютный нуль, начало отсчёта абсолютной температуры, о котором упоминалось выше. Из формулы (22.1) вытекает также, что отрицательных температур быть не может, так как кинетическая энергия существенно положительная величина.

Так как температура определяется средней энергией движения молекул, то она, как и давление, является статистической величиной. Нельзя говорить о «температуре» одной или немногих молекул, о «горячих» или «холодных» молекулах. Не имеет смысла, например, говорить о температуре газа в космическом пространстве, где число молекул в единице объёма настолько мало, что они не образуют газ в обычном смысле слова и нельзя говорить о средней энергии движения молекул.

Энергии, связанные с хаотическими движениями частиц газа, очень малы. Из формулы (22.1) и из приведённого значения постоянной Больцмана видно, что температуре в 1 К соответствует энергия, равная 1,3810-23 Дж. При наинизшей достигнутой к настоящему времени температуре (порядка 10-6 К) средняя энергия молекул равна приблизительно 10-29 Дж. Даже наивысшей искусственно полученной – около 100 миллионов градусов, развивающейся при взрыве ядерной бомбы, соответствует ничтожная энергия частиц 10-15 Дж.

В СИ единица температуры (кельвин) устанавливается не на основе температурного интервала «температура тающего льда – температура кипящей воды», а на основе интервала «абсолютный нуль – температура тройной точки воды». Тройная точка воды – это температура, при которой вода, водяной пар и лёд находятся в равновесии. Температуре тройной точки воды приписывается значение 273,16 К (точно). Таким образом, 1 кельвин равен 1/273,16 части температурного интервала от абсолютного нуля температуры до температуры тройной точки воды.

Так как температура тройной точки воды равна 0,01 0С, то размеры градуса в шкалах Цельсия и Кельвина одинаковы и любая температура может выражаться либо в градусах Цельсия (0С), либо в кельвинах (К). Это означает, что изменения температуры по обеим шкалам численно совпадают – так, например, если температура увеличилась на 5 0С, то это равносильно увеличению температуры на 5 К.

§ 2.23 Уравнение состояния идеального газа Развитые выше молекулярно-кинетические представления и полученные на их основе уравнения позволяют найти те соотношения, которые связывают между собой величины, определяющие состояние газа. Этими величинами являются параметры состояния. Параметры состояния (термодинамические параметры) – физические величины, характеризующие равновесное состояние термодинамической системы: температура, объём, давление, плотность. Различают экстенсивные параметры состояния, пропорциональные объёму (или массе) системы (внутренняя энергия U, энтропия S, энтальпия Н, энергия Гельмгольца или свободная энергия F, энергия Гиббса G), и интенсивные параметры состояния, не зависящие от массы системы (температура Т, давление Р, концентрация n, химический потенциал ). В состоянии термодинамического равновесия параметры состояния не зависят от времени и пространственных координат. В неравновесном (квазиравновесном) состоянии параметры состояния могут зависеть от координат и от времени.

Термодинамическое состояние определяется заданием совокупности независимых параметров состояния. Однако не все параметры состояния являются независимыми. Уравнение состояния идеального газа выражает зависимые параметры состояния через независимые; например, давление является функцией температуры и объёма P = P(V,T). Это значит, что состояние газа определяется только двумя параметрами (например, давлением и объёмом, давлением и температурой или, наконец, объёмом и температурой), третий параметр однозначно определяется двумя другими. Если уравнение состояния известно в явном виде, то любой параметр можно вычислить, зная два других.

Объём является внешним параметром состояния, так как определяется положением внешних тел (стенки сосуда, положе- P нием поршня). Температура зависит только от внутреннего состояния системы и назыТ вается внутренним параметром состояния.

Для изучения различных процессов в газах (и не только в газах) удобно пользоваться графическим представлением уравV нения состояния в виде кривых зависимости одного из параметров от другого при заданном постоянном третьем. Например, при заданной постоянной температуре зависимость давления газа от его объёма имеет вид, изображённый на рисунке 41, где разные кривые соответствуют разным значениям температуры: чем выше температура, тем выше на графике лежит кривая.

На такой диаграмме состояние газа изображается точкой. Кривая зависимости одного параметра от другого показывает изменение состояния, называемое процессом в газе. Так, например, кривые рисунка 41 изображают процесс расширения или сжатия газа при данной постоянной температуре.

Очень удобно пользоваться подобными графиками при изучении различных процессов в молекулярных системах.

Для идеальных газов уравнение состояния легко получить из основных уравнений кинетической теории (21.4) и (22.1).

Действительно, подставив в уравнение (21.4) вместо средней кинетической энергии молекул её выражение из уравнения (22.1), получаем:

Если в объёме V содержится N частиц, то n = N/V; подставив это выражение в (23.1), имеем:

Это уравнение, в которое входят все три параметра состояния, и является уравнением состояния идеальных газов.

Его, однако, полезно преобразовать так, чтобы в него вместо недоступного прямому измерению числа частиц N входила легко измеряемая масса газа М. Для такого преобразования воспользуемся понятием о моле. Моль – это такое количество вещества, масса которого выраженная в граммах, равна относительной молекулярной массе вещества (иногда говорят: молекулярному весу). Эта своеобразная единица количества вещества примечательна тем, что моль любого вещества содержит одно и то же число молекул. Действительно, если обозначить молярные массы двух каких-либо веществ через 1 и 2, а массы молекул этих веществ – через m1 и m2, то можно написать такие очевидные равенства:

где N1 и N2 – числа частиц в моле этих веществ.