Российская Академия Наук

УДК514.172.45

Математический Институт

им. В.А. Стеклова

На правах рукописи

Горский Михаил Александрович

Геометрия и комбинаторика комплексов подслов

и двойственных им многогранников

01.01.04 – Геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель член-корреспондент РАН, проф.

В.М. Бухштабер Москва – 2014 Оглавление 1. Введение................................ 2. Предварительные сведения...................... 2.1. Подразбиения ребер и 2срезки............... 2.2. Группы Коксетера...................... 2.3. 0-моноид Гекке........................ 2.4. Колчаны............................ 2.5. Комплексы подслов...................... 3. Комплексы подслов и движения в 0-моноиде Гекке........ 3.1. Движения кос и подразбиения рёбер............ 3.2. Геометрия ниль-движений.................. 4. Кластерные комплексы стабильности и ассоциаэдры стабильности 4.1. Пары кручения........................ 4.2. Гнездящиеся семейства пар кручения........... 4.3. Ассоциаэдры стабильности.................. 5. Тождества на квантовый дилогарифм................ 5.1. Квантовые аффинные пространства и тождества Райнеке 5.2. Колчан Кронекера...................... 5.3. Инвариант Дональдсона-Томаса для колчанов с потенци­ алом.............................. 5.4. Примеры............................ 5.5. Зелёные мутации....................... 6. Многогранники покрытий, нестоэдры и обобщённые ассоциаэдры 6.1. Покрытия и производящие множества........... 6.2. Кольцо выпуклых многогранников и покрытия...... 6.3. Ассоциаэдры стабильности типа и нестоэдры..... 6.4. Обобщённые ассоциаэдры серии и многогранники по­ крытий............................. 7. Обобщённые ассоциаэдры и срезки куба.............. Список литературы

1. Введение Важнейшими объектами изучения в классических и современных разде­ лах геометрии и перечислительной комбинаторики являются симплициальные комплексы и выпуклые многогранники. Наиболее интересные из них допускают одну или несколько интерпретаций в других областях математики: например, в алгебраической комбинаторике, в теории представлений или в алгебраической геометрии. Ярчайшим примером такого рода является серия ассоциаэдров, или многогранников Сташефа (в каждой размерности есть один такой многогран­ ник). Число вершин мерного ассоциаэдра является ( + 1)м числом Ка­ талана. Эти числа нумеруют нумеруют более сотни математических объектов различной природы, от триангуляций выпуклого (+3)угольника до неразло­ жимых представлений колчана типа, см. [Stan]. Кроме того, многогранник Сташефа двойственен кластерному комплексу кластерной алгебры типа, a отвечающее ему торическое многообразие тесно связано с компактификацией Делиня-Мамфорда 0,+3 пространства модулей стабильных кривых на сфере с ( + 3) отмеченными точками.

В последние годы были введены различные обобщения многогранников Сташефа, такие как нестоэдры, граф-ассоциэдры и обобщённые ассоциаэдры.

В работе [CLS] С. Чебальос, Ж.-Ф. Лаббе и К. Штумп показали, что двой­ ственные обобщённым ассоциаэдрам комплексы являются частным случаем бо­ лее широкого класса комплексов подслов. Последние были введены в 2004 году А.Кнутсоном и Э.Миллером. Данная диссертация посвящена исследованию раз­ личных комбинаторных и геометрических свойств комплексов подслов, а также интерпретаций этих свойств в терминах торической геометрии и теории пред­ ставлений.

Изначально комплексы подслов были введены в контексте многочленов Шуберта и матричных многообразий Шуберта. Вскоре было замечено, что они представляют интерес с точки зрения комбинаторики групп Коксетера. Ком­ плекс подслов задаётся парой (Q, ), где Q - слово в алфавите простых отраже­ ний, - элемент группы Коксетера. Симплексы комплекса отвечают подсло­ вам слова Q, чьи дополнения в Q содержат приведённые выражения. Аксио­ ма обмена для групп Коксетера соответствует в этом контексте переходу между двумя граничащими максимальными симплексами. В [KM1] было показано, что комплексы подслов вершинно разложимы и, следовательно, расшелушиваемы (англ. “shellable”). Этот результат приводит к новому доказательству (и новой интерпретации) свойства Коэна-Маколея матричных многообразий Шуберта и обычных многообразий Шуберта, см. [KM1]. Используя расшелушиваемость, в [KM2] Кнутсон и Миллер доказали, что произвольный комплекс подслов гомео­ морфен либо сфере, либо шару. Они также показали, что комплекс сферичен тогда и только тогда, когда произведение Демазюра (Q) слова Q равно.

Это произведение может быть определено как единственное приведённое выра­ жение Q в 0-моноиде Гекке, соответствующем группе. Кнутсон и Миллер также описали кольца Стэнли-Райснера комплексов подслов.

Для сферического комплекса подслов естественно встает вопрос, являет­ ся ли он полярно двойственным некоторому простому многограннику. Ответ на этот вопрос в общем случае на данный момент неизвестен, но в некоторых случаях многогранная реализация была построена. Самая общая конструкция принадлежит В. Пило и К. Штумпу [PS], которые назвали эти многогранники кирпичными. Для специального класса слов комплексы подслов оказываются изоморфными кластерным комплексам, введённым C.В. Фоминым и А.В. Зе­ левинским [FZ3]. Более того, некоторые важные объекты теории кластерных алгебр, такие, как векторы, могут быть описаны с помощью естественных геометрических реализаций этих комплексов подслов и их вееров [CLS]. Один из классов комплексов подслов называется мульти-кластерными комплексами.

Многие свойства категории представлений соответствующего колчана имеют естественную интерпретацию в терминах комбинаторики этих комплексов, см.

[CLS].

Естественным является следующий вопрос: если даны два слова Q1 и Q2, выражающие один и тот же элемент группы или связанного с ней 0-моноида Гекке, что можно сказать об отношении между соответствующими комплекса­ ми подслов 1 и 2 ? Теорема 3.1 и Следствие 3.2 дают частичный ответ на этот вопрос. Для Q1 и Q2, связанных ровно одним движением кос, мы явно описываем, какие симплексы должны быть удалены из 1 и какие должны быть добавлены, чтобы получить 2. К сожалению, в общем случае многие симплексы могут быть посчитаны несколько раз. Поэтому этот результат, бу­ дучи конструктивным, не может быть непосредственно применён для вычисле­ ния перечисляющих полиномов и не отражает картину достаточно точно. Тем не менее, при некоторых условиях мы доказываем, что эта операция является ничем иным, как композицией подразбиений рёбер и обратных подразбиений рёбер, которая может быть просто описана. Это описание дано в Теоремах 3. и 3.3. В частности, этот результат верен для любой пары слов, связанных дви­ жением кос, в случае просто вложенной группы Коксетера. В Теореме 3.5 мы даём двойственный результат в терминах многогранников; подразбиения ребер заменяются на срезки граней коразмерности 2, или просто на 2срезки.

Подразбиения рёбер и 2срезки привлекли внимание учёных в последнее время, благодаря приложениям к перечисляющим полиномам. С каждым сим­ плициальным комплексом, гомеоморфным сфере, связывается так называемый полином, чьи коэффициенты являются некоторыми линейными комбинаци­ ями чисел симплексов размерности. В [Gal], С. Гал выдвинул гипотезу о том, что все коэффициенты полинома произвольного флагового сферическо­ го симплициального комплекса неотрицательны. Н. Айсбетт доказала эту гипо­ тезу для любого комплекса, который может быть получен из нерв-комплекса куба последовательностью подразбиений ребер. Она также доказала обобще­ ние, касающееся реализации этих полиномов как полиномов некоторых других комплексов, см. [Ai] и ссылки в этой статье. Тот же результат, но в двой­ ственных терминах 2срезок, был получен В. Володиным, см. [В1, V2, BV].

Класс 2усеченных кубов, т.е. многогранников, которые могут быть получены из куба фиксированной размерности последовательностью 2срезок, оказался очень интересным. В частности, он содержит все флаговые нестоэдры, граф­ ассоциаэдры и граф-кубиэдры; детали могут быть найдены в [BV]. Наши глав­ ные результаты дают новую интерпретацию 2срезок и подразбиений ребер в очень естественных комбинаторных терминах; действительно, мы видим, что в некоторых случаях эти операции соответствуют в точности движениям кос в системах Коксетера.

Кирпичные многогранники являются многогранниками Дельзанта. Каж­ дый такой многогранник является образом при отображении моментов некото­ рого гамильтонова торического многообразия. 2срезки многогранников инду­ цируют раздутия торических многообразий. Таким образом, движения кос отве­ чают раздутиям некоторых торических многообразий. В недавней работе Л. Эс­ кобар [Es] изучаются торические многообразия, соответствующие кирпичным многогранникам, и потому названные кирпичными многообразиями. Эскобар доказывает, что некоторые кирпичные многообразия являются разрешениями особых многообразий Ричардсона, т.е. пересечений страт в двух противополож­ ных стратификациях многообразия флагов. В работе Б. Леклерка [Lec] на по­ далгебре алгебры однородных координат на произвольном (открытом) многооб­ разии Ричардсона строится структура кластерной алгебры. Мы предполагаем, что эти две конструкции непосредственно связаны; а именно, линк некоторо­ го симплекса в соответствующем комплексе подслов является подкомплексом кластерного комплекса этой алгебры.

Мы описываем также преобразования комплексов подслов, индуцирован­ ные ниль-движениями слова Q в 0-моноиде Гекке группы и двойственными операциями. Первое преобразование является обычным взятием максимально­ го симплекса в комплексе, в то время как второе является композицией над­ стройки и, в некоторых случаях, последующего обратного подразбиения рёбер.

Мы проверяем также, что оба этих преобразования сохраняют многогранность, и описываем соответствующие трансформации двойственных многогранников.

Для каждого слова Q можно определить его произведение Демазюра (Q), ко­ торое отвечает произведению в 0-моноиде. Наши результаты и свойство слов в группах Коксетера дают алгоритм получения комплекса (Q, ) из комплекса ((Q), ) описанными выше преобразованиями. Первый комплекс является сферическим тогда и только тогда, когда последний является (-1)-сферой. Мы надеемся, что наши конструкции помогут продвинутся в исследовании общей проблемы многогранности комплексов подслов.

Мы применяем результат о движениях кос к комплексам подслов вида (c w ; ), где c - приведённое выражение элемента Коксетера, w - произ­ вольное приведённое выражение самого длинного элемента. Эти комплексы допускают реализацию кирпичными многогранниками Пило-Штумпа, которые мы будем обозначать B(c w ; ). Мы показываем, что все комплексы тако­ го вида и, соответственно, двойственные им многогранники, являются флаго­ выми. Чебальос-Лаббе-Штумп [CLS] доказали, что комплексы (c w (c); ), где w (c) - так называемое c сортирующее слово для, являются кла­ стерными комплексами соответствующего типа. Следовательно, многогранни­ ки B(c w (c); ) реализуют обобщённые ассоциаэдры типа. Мы показываем, что для любого другого элемента Коксетера и его приведённого выражения c комплекс (c w (c ); ) является кластерным для некоторой подгруппы груп­ пы, а B(c w (c ); ) реализует соответствующий обобщённый ассоциаэдр.

В частности, пусть c обозначает слово c, написанное задом наперёд, тогда B(c w (c ); ) является (комбинаторным) кубом.

Мы описываем множество граней B(c w ; ) для любых c, w, вводя поня­ тие (c, w )стабильных положительных корней в системе, соответствующей группе. Мы показываем, что гиперграни B(c w ; ) находятся во взаимно­ однозначном соответствии с простыми отрицательными и (c, w )стабильными положительными корнями в системе. Поэтому мы называем комплексы (c w ; ) и многогранники B(c w ; ) (c, w )кластерными комплексами стабильности и (c, w )ассоциаэдрами стабильности, соответственно. Обо­ значим множество стабильных корней за Stab(c, w ). Главным результатом дис­ сертации является следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть w, w таковы, что Stab(c, w ) Stab(c, w ). Тогда комплекс (c w ; ) получается из комплекса (c w ; ) последовательно­ стью подразбиений рёбер. Аналогично, многогранник B(c w ; ) получается из многогранника B(c w ; ) последовательностью 2срезок.

Отсюда мы получаем Следствие 1.1. Любой ассоциаэдр стабильности является 2усеченным ку­ бом. В частности, любой обобщённый ассоциаэдр является 2усеченным ку­ бом.

Мы доказываем также, что каждый ассоциаэдр стабильности в типе с линейным элементом Коксетера является нестоэдром. Мы формулируем ги­ потезу, согласно которой каждый кластерный комплекс стабильности явля­ ется кластерным комплексом некоторой алгебры феномена Лорана, в смысле Т. Лама-П. Пилявского [LP]. Последние являются естественным обобщением кластерных алгебр.

Выбор элемента Коксетера c эквивалентен выбору ориентации диаграммы Коксетера группы, т.е. задаёт (взвешенный) колчан. Приведённые выра­ жения для тесно связаны с дискретными условиями стабильности на ка­ тегории конечномерных представлений и максимальными зелёными последовательностями мутаций. Более точно, каждое приведённое выраже­ ние w задаёт семейство гнездящихся подкатегорий кручения в. Ана­ логично, каждое дискретное условие стабильности задаёт такое семейство. Ю Кью выдвинул гипотезу о том, что в каждом классе w относительно смены по­ рядка коммутирующих букв существует слово, соответствующее дискретному условию стабильности. Обобщая конструкцию кластерных комплексов стабиль­ ности, по каждому дискретному условию стабильности на артиновой абелевой категории глобальной размерности 1 мы строим флаговый симплициальный комплекс, равный (c w, ) для условия стабильности, соответствующего w, на категории представлений. Мы доказываем для таких комплексов аналог Теоремы 1.1. По каждому дискретному условию стабильности можно построить произведение квантовых дилогарифмов. Глубокий результат Райнеке заключа­ ется в том, что это произведение, для колчана конечного типа (т.е. ориентации диаграммы Дынкина), не зависит от выбора условия стабильности. Его доказа­ тельство обобщается на случай семейств гнездящихся подкатегорий кручения.

Ю Кью доказал, что все полученные тождества на произведения квантовых дилогарифмов порождаются коммутированием и пентагональным тождеством.

Теорему 1.1 и её аналог для произвольных взвешенных ациклических колчанов можно рассматривать как обобщение результата Кью для условий стабильно­ сти с конечным множеством стабильных объектов. Другое обобщение и другая интерпретация были недавно даны М. Энгенхорстом [En].

Диссертация устроена следующим образом. В главе 2 мы даём все необ­ ходимые предварительные сведения о срезках граней и подразбиениях рёбер, о перечисляющих многочленах, 0-моноидах Гекке, комплексах подслов и кир­ пичных многогранниках. В главе 3 мы описываем преобразования комплексов подслов и двойственных им многогранников, индуцированые движениями в 0-моноиде. В главе 4 мы подробно изучаем кластерные комплексы стабильности для семейств гнездящихся подкатегорий кручения. В случае колчанов Дынки­ на, мы интерпретируем эти комплексы в терминах конечных групп Коксетера, определяем ассоциаэдры стабильности и доказываем теорему 1.1 и следствия из неё. В главе 5 описываем приложения теоремы к тождествам на квантовый дилогарифм и инвариантам Дональдсона-Томаса. В главе 7 мы строим явные последовательности срезок граней, приводящие от куба к обобщённым ассоци­ аэдрам серий, используя описание последних в терминах триангуляций многоугольников. В главе 8 мы связываем ассоциаэдры стабильности типа с флаговыми нестоэдрами. Мы также показываем, что обобщённые ассоциэдры типа не являются ни нестоэдрами, ни, более общо, многогранниками покры­ тий.

2. Предварительные сведения 2.1. Подразбиения ребер и 2срезки Для симплекса в симплициальном комплексе, линк и звезда - это следующие подкомплексы в :

Определим подразбиение ребра симплициального комплекса, следуя [Gal].

Эта операция называется также 1звёздным подразбиением.

Определение: Пусть - симплициальный комплекс. Пусть = {, } его ребро. Определим Sub () как симплициальный комплекс, полученный из бисекцией всех симплексов, содержащих. Иначе говоря, пусть - любая буква вне множества вершин. Тогда {} является множеством вершин Sub (), Мы будем говорить, что Sub () является подразбиением вдоль.

Мы будем использовать следующее естественное обобщение этого преобра­ зования.

Определение: Пусть симплициальный комплекс. Пусть = {, } его ребро.

Определим Sub () как симплициальный комплекс, полученный из разбие­ нием всех симплексов, содержащих, на частей. Иначе говоря, пусть 1,..., - любые букв вне множества вершин. Тогда {1,..., } является мно­ жеством вершин Sub (), и где мы кладём 0 =. Мы будем говорить, что Sub () является подразбиением вдоль.

Операция подразбиения ребра является, в точности, композицией по­ следовательных подразбиений рёбер, где ое подразбиение производится вдоль ребра {1, }, с добавлением вершины.

Выпуклый многогранник размерности наывается простым, если любая его вершина принадлежит ровно гиперграням. Многогранник прост тогда и только тогда, когда полярно двойственный ему многогранник * является симплициальным, т.е. каждая грань * является симплексом. Граница сим­ плицального мерного многогранника является симплициальным комплексом размерности ( 1). Для простого многогранника мы обозначим через граничный комплекс * двойственного многогранника. Он совпадаяет с нер­ вом покрытия гипергранями. Иначе говоря, вершины - это гиперграни, и набор вершин образует симплекс, как только пересечение соответствующих гиперграней непусто. Мы будем называть нерв-комплексом, или говорить, что полярно двойственен. Для простых многогранников существует опе­ рация, двойственная подразбиению ребра: это срезка грани коразмерности 2, или просто 2срезка.

Определение: Пусть - грань коразмерности 2 простого (комбинаторного) многогранника. Пусть = * - нерв-комплекс, и пусть * - грань, двойственная. Мы будем говорить, что многогранник такой, что = Sub ( ), является срезкой по грани. Такой многогранник существует и единственен, с точностью до комбинаторного изоморфизма.

Пусть многогранник мерен. Геометрически, многогранник может быть получен из реализации её пересечением с новым подпространством таким, что пересечение ( 1)мерной плоскости = с совпадает с линком грани в. Это означает, что гипергранями являются, в точности, гиперграни, и есть одна новая гипергрань, изоморфная прямому произве­ дению и такая, что Lk () = Lk (). Здесь обозначает отрезок [0, 1].

Более подробный разбор 2срезок и их свойств может быть найден в [BP, BV].

Мы видим, что для нерв-комплекса простого многогранника подразбиение ребра двойственно композиции последовательных 2срезок, причём:

первая срезка производится по некоторой грани, новая гипергрань ( + 1)ая срезка производится по грани {1} гиперграни, новая гипергрань +1 снова изоморфна.

Простой многогранник называется флаговым, если любой набор 1,..., попарно пересекаюшихся граней имеет в нём непустое пересечение.

На двойственном языке, симплициальный комплекс называется флаговым, если любая клика во множестве вершин (т.е., любая пара вершин из соединена ребром) образует грань. Легко видеть, что простой многогранник является флаговым тогда и только тогда, когда то же верно и для его нерв­ комплекса. Верен следующий факт, связывающий подразбиения рёбер и 2срезки со свойством флаговости.

Предложение 2.1 ([Gal, Proposition 2.4.6]) (i) Если симплициальный ком­ плекс является флаговым, то же верно и для любого его подразбиения (ii) Если простой многогранник является флаговым, то же верно и для лю­ бой его 2срезки.

Определим вектор (1)мерного симплициального комплекса как () = (0, 1,..., 1 ), где - количество мерных симплексов в. Поло­ жим также 1 = 1. вектор () = (0, 1,..., ) определяется тождеством Определим многочлен как производящую функцию от двух переменных:

(Симплициальной) обобщенной гомологической сферой размерности называ­ ется такой симплициальный комплекс, что линк любого его симплекса имеет гомологии сферы размерности ( dim ). Мы будем опускать индекс, если он будет ясен. Известно (под именем соотношений Дена-Соммервиля), что если является обобщённой гомологической сферой, то ()(, ) симметричен. Сле­ довательно, он может быть записан как многочлен от и ( + ); обозначим коэффициенты этого многочлена 0, 1,..., [ ] :

Определим полином как производящую функцию от одной переменной :

Положим () = () = 0. Гал явно описал, как изменяются коэффициенты и многочленов при подразбиениях рёбер; его результат можно записать следующим образом.

(ii) Если является обобщённой гомологической сферой,то мы имеем Этот факт побудил С. Гала сформулировать следующую гипотезу.

Гипотеза 2.1. Если является обобщённой гомологической сферой, то все коэффициенты () неотрицательны.

Это является обобщением важной гипотезы Черни-Дэвиса [25], эквивалент­ ной неотрицательности старшего коэффициента (). Мы видим, что если утверждение Гипотезы 2.1 выполняется для и для Lk (), то оно выпол­ няется и для Sub ().

2.2. Группы Коксетера Мы будем рассматривать конечную группу Коксетера, действующую на мерном евклидовом пространстве, т.е. конечную группу, порождённую отражениями. Множество отражений в обозначается. Коксетеровским набором гиперплоскостей группы называется набор всех отражающих ги­ перплоскостей. Его дополнение в является объединением открытых полиэд­ ральных конусов. Их дополнения называется камерами. Коксетеровский веер - это полиэдральный веер, образованный камерами вместе со всеми их граня­ ми. Этот веер полон (его конусы покрывают ) и симплициален (все конусы симплициальны). Мы фиксируем произвольную камеру, которую мы назовём фундаментальной камерой. Простыми отражениями группы называются отражений, ортогональных гиперплоскостям, определяющим гиперграни.

Множество = {1,..., } простых отражений порождает, поэтому выбор эквивалентен выбору. Пара ( ; ) образует систему Коксетера.

Для простых отражений,, обозначим черех порядок произведения ( ) в. Группа Коксетера просто вложена, если для любых,, мы име­ ем {2, 3}. Группа Коксетера задаёт также систему корней - векторов, нормальных к отражающим гиперплоскостям. Простыми корнями называются вектора, нормальные гиперплоскостям фундаментальной камеры и смотрящие внутрь её.

Длина () элемента - это длина кратчайшего выражения в виде произведения образующих из. Выражение = 1 2... с 1,..., называется приведённым, если = (). Обозначим самый длинный элемент ; известно, что он существует и единственен (это верно только для конечных групп Коксетера).

Мы обозначим через * множество слов в алфавите, и пусть e обозна­ чает пустое слово. Мы можем рассматривать * как свободный моноид на мно­ жестве образующих с конкатенацией в качестве операции. Чтобы избежать путаницы, мы обозначаем печатной буквой s букву алфавита, соответствую­ щую отражению. Аналогично, мы используем печатную букву w, чтобы обозначить слово в *, и курсивную букву, чтобы обозносить соответству­ ющий элемент группы. Например, мы пишем w := w1... w, имея в виду, что слово w * образовано буквами w1,..., w, в то время, как мы пишем := 1..., когда хотим сказать, что групповой элемент является произведением простых отражений 1,...,.

Есть два типа операций в *, отражающих структуру группы. Ниль-дви­ жение Коксетера удаляет две одинаковых последовательных буквы s s из сло­ ва w *, для какого-нибудь. Если w содержит подслово s s s s s... длины, то определено движение кос, преобразующее w в w заменой s s s s s...

на подслово s s s s s... той же длины. Заметим, что ни ниль-движение, ни движение кос не меняет групповой элемент, выраженный w. Напом­ ним Свойство Слов, выполненное для любое системы Коксетера ( ; ).

Теорема 2.2 ([15, Theorem 3.3.1]) жет быть преобразовано в приведённое выражение для последователь­ ностью ниль-движений Коксетера и движений кос.

(2) Любые два приведенных выражения для могут быть связаны друг с другом последовательностью движений кос.

Элемент Коксетера - это произведение всех простых отражений в ка­ ком-либо порядке. Выберем произвольное приведённое выражение c для и обозначим w(c) c сортирующее слово для, то есть лексикографически пер­ вое (как последовательность позиций) приведённое подслово в c = c c c...

для. В частности, wo (c) обозначает c сортирующее слово самого длинного элемент.

2.3. 0-моноид Гекке Каждой конечной группой Коксетера с системой образующих соот­ ветствует свой 0-моноид Гекке. Он порождён множеством = 1,...,, где отвечает. Отличие с исходной группой состоит в том, что каждая образующая Гекке является идемпотентом, т.е. удовлетворяет соотношению 2 =, в то вре­ мя как образующие Коксетера являются инволюциями. Иначе говоря, вместо отражений, мы рассматриваем проекторы. Кроме того, каждому соотношению кос Коксетера ( ) = соответствует соотношение кос Гекке вида с чередующимися членами в каждой из частей.

Из Свойства Слов (Теорема 2.2) следует, что любое слово в алфавите об­ разующих Гекке может быть приведено последовательностью ниль-движений Гекке 2 и движений кос....... Элемерт моноида, выра­ жаемый полученным приведённым словом, не зависит от последовательности движений; он в точности равен произведению букв исходного слово в монои­ де. Приведенное слово в образующих Гекке соответствует приведённому слову в образующих Коксетера заменой на. Для каждого слово Q в алфави­ те, определим его произведение Демазюра (или 0-произведение Гекке) (Q) следующим образом: мы заменяем все буквы на, приводим результат к произведению букв (в моноиде), заменяем все обратно на, и рассматрива­ ем результат как элемент. Приведённые выше аргументы показывают, что это определение корректно. Известно (и нетрудно проверить), что Q содержит приведённое выражение для некоторого элемента группы тогда и только тогда, когда какое-нибудь приведённое выражение (Q) содержит приведённое выражение.

2.4. Колчаны Колчаном называют также ориентированный граф, иначе говоря, чет­ вёрку (0, 1,, ). Здесь 0 - множество вершин графа, 1 - множество стре­ лок (ориентированных рёбер), : 1 0 и : 1 0 отображают стрелку в её начало и в её конец, соответственно.

Петлёй называется стрелка, чей конец совпадает с началом; 2-циклом - па­ ра стрелок = таких, что () = () и () = (). Колчан конечен, если конечны и 0, и 1.

Пусть - колчан без петель и 2циклов. Мутацией () колчана в называется колчан, полученный из по следующим правилам:

1) Меняется ориентация у всех рёбер, содержащих ;

2) Для каждой пары вершин =, отличных от, число стрелок между и меняется следующим образом:

где,, - неотрицательные целые числа, означает при 0, что Нетрудно видеть, что - инволюция.

Пусть 1 - целые числа. Ледяной колчан типа (, ) - это колчан со множеством вершин такой, что между любыми двумя вершинами,, строго большими, нет ни од­ ной стрелки. Главной частью называется полный подколчан (ориентирован­ ный подграф) колчана на множестве вершин {1,..., } (подколчан полон, если вместе с любыми двумя вершинами исходного колчана он содержит и все стрелки между ними). Вершины + 1,..., называются замороженными.

Ледяной колчан можно мутировать только в незамороженных вершинах.

Определение мутации останется прежним, только мы потребуем ещё стереть все полученные по вышеописанным правилам стрелки между замороженными вершинами.

Существует и эквивалентное определение мутации в. Она задаётся по­ следовательностью следующих четырёх операций:

1) Меняется ориентация у всех рёбер, содержащих ;

2) Для каждой пары стрелок (полученных в 1)) и рисуется одна 3) Стираются все полученные ранее 2циклы;

4) Стираются все стрелки между замороженными вершинами.

Нетрудно видеть, что эти два определения действительно эквивалентны.

Дадим теперь некоторые базовые определения теории представлений кол­ чанов.

Определение: Пусть - конечный колчан без ориентированных циклов. В качестве примера можно рассмотреть такой колчан:

Пусть - алгебраически замкнутое поле. Представлением конечного назы­ вается диаграмма из конечномерного векторного пространства над для каждой вершины линейного отображения : для каждой стрелки : из 1.

Для примера выше представление представляет собой (не обязательно ком­ мутативную) диаграмму сформированную из трёх конечномерных пространств и трёх линейных отобра­ жений.

Подпредставление представления задаётся семейством подпро­ странств, 0 таких, что образ под действием содержится в для любой стрелки : из 0.

Вектором размерности представления называется последовательность dim размерностей dim, 0.

Прямая сумма представлений и - это представление, в котором Представление называется неразложимым, если не все равны 0 и для любого разложения = либо = 0, либо = 0.

Конечномерные представления ацикличного колчана над произвольным полем образуют абелеву наследственную (то есть такую, где тривиальны все старшие расширения) категорию Крулля-Шмидта.

Теорема 2.3. (Габриэль [Gab]). Пусть алгебраически замкнуто, - ориен­ тация просто вложенной диаграммы Дынкина. Существует биекция между множеством (с точностью до изоморфизма) неразложимых представлений колчана и множеством положительных корней системы, причём пред­ ставлению с вектором размерности ( ) соответствует корень.

2.5. Комплексы подслов Пусть ( ; ) - система Коксетера, Q := q1... q принадлежит * и является элементом группы. Комплекс подслов (Q; ) - это чистый сим­ плициальный комплекс подслов в Q, дополнения которых в Q содержат при­ ведённые выражения. Вершины этого симплициального комплекса индекси­ руются буквами (точнее, их позициями) в слове Q. Заметим, что две позиции отличаются друг от друга, даже если буквы в Q на этих позициях совпадают.

Максимальные симплексы комплекса подслов (Q; ) отвечают дополнениям приведённых выражений в слове Q.

В статье [KM1] было показано, что комплекс подслов (Q; ) является ли­ бо триангулированной сферой (или просто сферическим), либо триангулирован­ ным шаром. Он сферичен тогда и только тогда, когда произведение Демазюра слова Q равно, см. определение этого произведения и доказательство крите­ рия в [KM1, Section 3]. В этом случае, ((Q; )) симметричен и ((Q; )) определён. В некоторой общности, эти сферические комплексы подслов поляр­ но двойствены некоторым простым многогранникам. Общее описание этих мно­ гогранников и их геометрических реализаций на данный момент неизвестно;

при некоторых условиях, такие реализации построены и названы кирпичны­ ми многогранниками в статье [PS]. Нас интересуют комбинаторные типы этих многогранников. Гиперграни такого многогранника отвечают (позициям) букв в слове Q, дополнения к которым содержат приведённые выражения. При­ ведём несколько примеров. Обозначим простые отражения в группе Коксетера символами 1,..., в естественном (линейном) порядке.

Пример: (Кластерные комплексы и обобщённые ассоциаэдры). Для любого c комплекс подслов (c w (c); ) совпадает с кластерным комплексом типа.

Двойственный ему многогранник - обобщенный ассоциаэдр типа. Например, в типе, известно, что слово является приведенным выражением. Нетрудно проверить, что оно является сортирующим словом для, где c = s1 s2... s. Стало быть, для этого c, мы имеем Каждая позиция задает вершину комплекса и гипергрань многогранника. Об­ щий алгоритм поиска сортирующих слов для можно найти в [CLS, Algorithm 7.3].

Пример: (Дублированное слово). Пусть является множеством из позиций в каком-нибудь приведенном выражении w самого длинного элемента. Опре­ делим новое слово Q *, полученное удвоением букв в w на позициях из. При некоторых условиях (см. [PS, Example 3.8]), комплекс (Q ; ) полярно двойственен мерному кубу; иначе говоря, он является граничным комплексом мерного кросс-многогранника. Например, в типе, слово является удвоенным для = {1,..., }. Первые 2 позиций задают вершины (Q ; ), поэтому они соответствуют гиперграням куба; гиперграни, отвеча­ ющие позициям 2 1 и 2 буквы s противоположны друг другу.

Пример: (Мульти-кластерные комплексы). Для любого c комплекс подслов (c w (c)) называется -кластерным комплексом типа. В общем случае неизвестно, являются ли определенные таким образом комплексы полярно двой­ ственными каким-либо многогранникам. Когда это так, многогранник, поляр­ но двойственный (c w ()), называется ассоциаэдром типа. Известно, что классический ассоциаэдр (то есть, типа ) полярно двойственен поряд­ ковому комплексу частично упорядоченного множества частичных триангуля­ ций ( + 3)угольника. Аналогично, кластерный комплекс типа явля­ ется порядковым комплексом частично упорядоченного множества частичных триангуляций ( + 3)угольника. Детали можно найти в [CLS, PS].

Мы будем использовать следующее несложное наблюдение.

Лемма 2.1. Линк симплекса, соответствующего слову a1 a2... a, в комплек­ се подслов (U; ), где U *,, изоморфен комплексу (U ; ), где U получено из U удалением всех букв a, = 1, 2,...,.

Доказательство. По определению линка, нам нужно доказать, что если a1 a2... a является подсловом T и T является подсловом U, то дополнение T подслова T в U содержит приведённое выражение тогда и только тогда, когда дополнение T подслова T в U содержит приведённое выражение, где T получено из T удалением всех букв a, = 1, 2,...,. Но T совпадает с T, откуда следует доказываемое утверждение.

3. Комплексы подслов и движения в 0-моноиде Гекке 3.1. Движения кос и подразбиения рёбер Для любых,, определим семейство слов в * :

содержищих ( ) = ( ) букв, где {0, 1,..., }. Видно, что Если чётно, мы имеем также w = s w+1 s, иначе w = s w+1 s. Соот­ ношение кос для и эквивалентно тождеству где, и, - элементы группы, выраженные словами w и w, соответ­ ственно. Зафиксируем любые два слова Q, Q *. Слова Q w0 Q и Q w0 Q выражают один и тот же элемент группы и связаны ровно одним движени­ ем кос. В этой главе мы обсудим связь между соответствующими комплексами подслов. Введём обозначения:

Пусть f и g - ые буквы в w0 и в w0, соответственно, где = 1, 2,...,.

Здесь мы рассматриваем w0 как подслово в Q0 и w0 как подслово в Q0. Будем называть буквы f и g внутренними, если {2, 3,..., ( 1)}. Рассмотрим 1симплексы = f 1, f и = g1, g. Зафиксируем произвольный элемент группы и рассмотрим комплексы подслов Рассмотрим семейство условий, пронумерованных числами {0, 1,..., } :

( ) Q не содержит ни одного приведённого выражения ;

( ) Q не содержит ни одного приведённого выражения.

Заметим, что из ( ) следует ( ) и ( ) для любых >. Аналогично, из ( ) следует ( ) и ( ) для любых >. Следующая лемма непосредственно следует из определения комплексов подслов.

Лемма 3.1. Условие (2 ) выполнено тогда и только тогда, когда симплекс не содержится в 2. Аналогично, условие (2 ) выполнено тогда и только тогда, когда 1.

Зафиксируем произвольное = 1, 2,..., ( 1). Введём обозначения для изоморфизмов, определённых по Лемме 2.1:

Лемма 3.2. Для всех внутренних f, g, мы имеем Заметим, что эти объединения не обязаны быть дизъюнктными.

Доказательство. По Лемме 2.1, Lk1 ({f }) изоморфен комплексу подслов (R ; ), где R получается из Q0 удалением буквы f :

Буквы на позициях f 1 и f +1 совпадают. Никакое приведённое выражение не может содержать двух одинаковых последовательных букв; следовательно, дополнение к любому приведённому выражению в R содержит, как минимум, одну из букв f 1 и f +1. Значит, любой максимальный симплекс в (R ; ) содержится в объединении (Lk(R ;) ({f 1 })*{f 1 })(Lk(R ;) ({f +1 })*{f +1 }).

Посколько любой симплекс (R ; ) содержится в каком-нибудь максимальном, мы получаем, что Обратное включение очевидно; стало быть, мы имеем откуда следует первое тождество в (1). Второе тождество следует из определе­ ния изоморфизмов 1 и. Тождества (2) доказываются аналогично.

Определим подкомплексы 1,, 1, 1, 2,, 2, 2 следующим образом:

Лемма 3.3. Пусть условия (3 ) и (3 ) выполнены и > 3. Тогда 1 не содержит 1симплексов вида {f, f }, где f внутренняя буква, | | = 1.

Доказательство. Используя то же рассуждение об одинаковых последователь­ ных буквах, что и в доказательстве Леммы 3.2, можно показать следующее:

По аргументам из доказательства Леммы 2.1, отсюда следует, что когда не выполнено условие (4 ) ;

(ii) для 1 < <, f, f принадлежит 1 тогда и только тогда, когда не выполнено условие (3 );

не выполнено условие (3 ).

Теперь достаточно вспомнить, что из (3 ) следует (4 ).

Следствие 3.1. Пусть условия (3 ) и (3 ) выполнены и > 3. Тогда объ­ единения в тождествах (1)-(2) дизъюнктны.

Доказательство. По Лемме 3.3, в наших предположениях, 1симплекс {f 1, f +1 } не содержится в 1, и {g1, g+1 } не содержится в 2. Это экви­ валентно искомому утверждению.

Рассмотрим комплексы Следующая лемма показывает, что 1 и 2 действительно являются симпли­ циальными комплексами и объясняет их смысл.

Лемма 3.4. Комплекс 1 (соответственно, 2 ) - это максимальный под­ комплекс в 1 (соответственно, в 2 ), не содержащий ни (соотв. ), ни какой-либо вершины, отвечающей внутренней букве f (соотв. g ).

Доказательство. По определению, 1, является объединением всех сим­ плексов в 1, содержащих. По Лемме 3.2, 1, является объединением по всем внутренним буквам f всех симплексов в 1, содержащих {f }. Для доказательство аналогично.

Теорема 3.1. Имеет место изоморфизм:

отображающий буквы в Q и в Q в самих себя, f 1 в g и f в g1.

Доказательство. Рассмотрим произвольное подслово T в Q0. Если T не со­ держит ни одной буквы из w0, то оно задаёт симплекс в 1 тогда и только тогда, когда оно задаёт симплекс в 2, будучи рассмотрено как подслово в Q0.

Действительно, оно задаёт симплекс в 1, если его дополнение T в Q0 содержит приведённое выражение p элемента. Обозначим через q максимальное общее подслово (иначе говоря, пересечение) p и w0. Если q = w0, то q является также подсловом w0, и p является подсловом в дополнении T подслова T в Q0. Если q = w0, то слово p, полученное из p движением кос, заменяющим w0 на w0, является подсловом T и привёденным выражением. В обоих случаях, T оказывается симплексом в 2.

Предположим теперь, что T содержит f 1, но не содержит f. Слово T, полученное из T удалением f 1, является подсловом Q0, не содержащим g.

Рассмотрим подслово T в Q0, полученное добавлением буквы g (на её пози­ ции) к T. Нетрудно проверить, что T образует симплекс в 1 тогда и только тогда, когда T образует симплекс в 2. Значит, мы имеем Аналогично, Lk1 ( f ) Lk2 ({g1 }) и St1 ( f ) St2 ({g1 }).

По Лемме 3.4, любое подслово в Q0, задающее симплекс в 1, не содер­ жит внутренних букв f и содержит не более одной буквы из f 1 и f. Следо­ вательно, предыдущие аргументы показывают, что (1 ) 2. Аналогично, 2 (1 ), откуда следует искомое утверждение.

Следствие 3.2.

Пусть - объединение множеств букв в словах Q0 и Q0, по модулю отож­ дествления f 1 с g и f с g1.

Следствие 3.3. Выполнены следующие тождества на комплексы, рассмот­ ренные на множестве вершин :

Замечание: Если = 2, иначе говоря, если и коммутируют,– то мы имеем 1, = 2, =, и на выполнено тождество 1, = 2,. Стало быть, по Следствию 3.2, мы видим, что 1 = 2 на. Это очень естествен­ ный результат, и, благодаря ему, в теории комплексов подслов слово Q часто рассматривается с точностью до коммутаций, см. [PS].

Теорема 3.2. Предположим, что оба условия (3 ) и (3 ) выполнены и что > 3. Тогда либо 1 и 2 изоморфны друг другу, либо один из них изомор­ фен ( 2)подразбиению ребра другого, либо существует симплициальный комплекс, который может быть получен из каждого из, где = 1, 2, ( 2)подразбиением ребра.

Конкретнее, возможны следующие случаи:

(1) если оба условия (2 ) и (2 ) выполнены, то комплексы 1 и 2 комби­ наторно изоморфны.

(2) если условие (2 ) не выполнено, а условие (2 ) выполнено, то 1 явля­ ется ( 2)подразбиением 2 вдоль ;

(3) если (2 ) выполнено, а (2 ) не выполнено, то 2 является ( 2)подразбиением 1 вдоль ;

(4) если ни (2 ), ни (2 ) не выполнены, то существует симплициальный комплекс, который одновременно является ( 2)подразбиением 1 вдоль и ( 2)подразбиением 2 вдоль.

Заметим, что если хотя бы одна из букв f 1, f не задаёт вершину 1, то Доказательство. Положим равным каждому комплексу из тождеств (3):

Мы хотим показать, что если выполнено условие (2 ), то = 1, а ес­ ли (2 ) не выполняется, но выполняются (3 ) и (3 ), то является ( 2)подразбиением 1 вдоль. Вместе с аналогичным утверждением о 2, это докажет теорему.

По Лемме 3.1, условие (2 ) выполняется тогда и только тогда, когда 1, =. По Лемме 3.2 и по определению, это также эквивалентно равенству 2, =.

Отсюда следует, что (2 ) выполняется тогда и только тогда, когда = 1.

Предположим теперь, что оба условия (3 ) и (3 ) выполняются, а условие (2 ) - нет. По Следствию 3.3, мы получаем, что Lk2 ({g, g+1 }) не содержит {g }, для любого {, + 1}. Аналогично, Lk1 ( ) не содержит {f }, для любого {1, }. Мы видим, что на множестве вершин имеются следую­ щие равенства (а не просто изоморфизмы!):

Нетрудно проверить теперь, что (1 1, ) представляет собой первый член в определении Sub (1 ), тогда как 2, представляет собой второй.

Теорема 3.3. Предположим, что = 3. Тогда утверждение Теоремы 3. выполняется, с теми же случаями (1) - (4). А именно, есть следующие вари­ анты:

(1) если оба условия (2 ) и (2 ) выполнены, то комплексы 1 и 2 комби­ наторно изоморфны.

(2) если условие (2 ) не выполнено, а условие (2 ) выполнено, то 1 явля­ ется подразбиением 2 вдоль ;

(3) если (2 ) выполнено, а (2 ) не выполнено, то 2 является подразбиени­ (4) если ни (2 ), ни (2 ) не выполнены, то существует симплициальный комплекс, который одновременно является подразбиением 1 вдоль и подразбиением 2 вдоль.

Доказательство. В условиях теоремы множество вершин состоит из всех букв в Q Q, двух вершин f 2, g2 и двух вершин f 1 = g3 и f 3 = g1. При = 3, каждое из условий (3 ) и (3 ) эквивалентно следующему условию:

(*) Q Q не содержит ни одного приведённого выражения.

Предположим, что (*) выполнено. Рассмотрим тот же комплекс, что и в доказательстве Теоремы 3.2. Если (2 ) выполняется, то по тем же причинам = 1. Предположим теперь, что (2 ) не выполняется (но (*) по-прежнему выполнено). Тогда Lk1 ({f, f }) не содержит {f }, при {,, } = {1, 2, 3} ; и то же верно для 2. В таком случае, является подразбиением 1 вдоль по тем же причинам, что и во втором случае в доказательстве Теоремы 3.2.

Предположим теперь, что (*) не выполняется. В этом случае нам придётся выписать чуть более длинные формулы. Линки интересующих нас рёбер при­ нимают следующий вид:

Заметим, что на множестве вершин выполнено тождество где - полный подкомплекс (Q s Q ; ) на множестве вершин,, состоя­ щем из всех букв в Q Q. Аналогично, определим как полный подкомплекс (Q s Q ; ) на множестве вершин,. Мы видим, что Тогда его подразбиение вдоль, где мы берём g2 в качестве новой вершины, имеет следующий вид:

По аналогичным причинам, мы имеем Напомним, что мы отождествляем вершины в : f 1 с g3 и f 3 с g1 ; более того, на этом множестве, по Теореме 3.1, мы имеем 1 = 2. Теперь нетрудно заметить, что правые части в (4) и в (5) равны; следовательно, Sub (1 ) = Sub (2 ).

Пример: Рассмотрим группу 2 (), где 3. Она порождена двумя элемен­ тами 1, 2, по модулю соотношений (1 2 ) = (2 1 ) = e. Рассмотрим пару слов длины ( + 2). Они имеют вид 0 и 0 для = s1 s2, = e, = 1, = 2. Поло­ единственными возможными приведёнными выражениями, нетрудно прове­ рить. что условие (2 ) не выполняется, а (2 ) - выполняется. Отюда следует, что 1 = (1, ) является ( 2)подразбиением ребра 2 = (2, ).

Конкретнее, 2 - это граничный комплекс четырёхугольника: действительно, в точности первые три и последняя буквы в 2 задают вершины 2. Тогда представляет собой граничный комплекс ( + 2)угольника, и действительно, все буквы 1 соответствуют вершинам 2. На самом деле, 1 является ничем иным, как (s1 s2 )кластерным комплексом типа 2 () из Примера 2.5. Таким образом, мы реализуем все граничные комплексы угольников при 4 как комплексы подслов.

Теорема 3.4. Предположим, что либо условия (3 ) и (3 ) выполнены, либо = 3, либо и то, и то верно. Тогда (ii) Если 1, 2 сферические, то Доказательство. Согласно Факту 2.1, утверждение следует из Теоремы 3.2 и из существования изоморфизмов и.

Следствие 3.4. Предположим, что (2 ) выполнено. Тогда (i) если комплексы 1 и (Q2 ; ) флаговые, то же верно и для 2.

(ii) если Гипотеза 2.1 верна для 1 и для (Q2 ; ), то она верна и для 2.

Следствие 3.5. Рассмотрим любые два выражения Q1, Q2 элемента, связанные последовательностью движений кос, каждое из которых удовле­ творяет условиям Теоремы 3.2 или Теоремы 3.3. Для любого элемента комплекс подслов (Q2 ; ) может быть получен из (Q1 ; ) последователь­ ностью подразбиений рёбер и обратных подразбиений рёбер.

Мы можем переформулировать полученные ранее результаты в терминах 2срезок многогранников.

Теорема 3.5. Предположим, что либо оба условия (3 ) и (3 ) выполнены, либо = 3, либо верно и то, и то. Предположим также, что 1 и допускают реализацию нерв-комплексами многогранников 1 и 2, соответ­ ственно. Тогда выполняется один из следующих вариантов :

(1) если оба условия (2 ) и (2 ) выполнены, то многогранники 1 и 2 ком­ бинаторно изоморфны.

(2) если (2 ) не выполнено, а (2 ) выполнено, то многогранник 1 мо­ жет быть получен из многогранника 2 последовательностью из ( (3) если (2 ) выполнено, а (2 ) не выполнено, то многогранник 2 мо­ жет быть получен из многогранника 1 последовательностью из ( (4) если не выполнены ни (2 ), ни (2 ), то существует простой многогран­ ник, который может быть получен одновременно (a) из 1 последо­ вательностью из ( 2) 2срезок по ; и (b) из 2 последователь­ Следствие 3.6. Пусть условие (2 ) выполнено. Тогда:

(i) если 1 может быть реализован как нерв-комплекс простого многогран­ ника 1, то 2 может быть реализован как нерв-комплекс некоторого простого многогранника 2 ;

(ii) если многогранник 1 флаговый, то многогранник 2 тоже флаговый.

Следствие 3.7. Предположим, что диаграмма Коксетера группы просто вложена, т.е. представляет собой конечное прямое произведение групп типов, 1;, 4, 6, 7 или 8. Тогда утверждения Теорем 3.3, 3.4, 3.5, и Следствий 3.4, 3.5 и 3.6 выполняются для любых слов и любых движений кос.

Пример: Рассмотрим группу типа 3. Мы опишем последовательность дви­ жений кос и соответствующие преобразования многогранников, двойственных соответствующим комплексам подслов. Групповой элемент, чьи приведённые выражения нас будут интересовать, всегда будет равен. Мы имеем:

В каждом столбце в правой части дан многогранник, двойственный комплексу (Q, ), где Q - слово в левой части. Подчеркнуты те буквы, которые задают вершины (Q, ) и гиперграни этого многогранника. Здесь - мерный ассоциаэдр; в частности, 2 - это пятиугольник. 3 - многогранник, получен­ ный из произведения 2 2срезкой по ребру у одного из оснований. По­ следнее слово и последний 3 описаны в Примере 2.5.

Рассмотрим теперь слова вида Q p Q, где Q, Q - произвольные слова в *, p - приведённое выражение некоторого фиксированного элемента груп­ пы. Согласно Факту 2.2, любые два приведённых выражения p, p элемента связаны друг с другом последовательностью движений кос; следовательно, любые два слова Q p Q, Q p Q такого вида связаны друг с другом последова­ тельностью движений кос. Поэтому, по Следствию 3.5 при некоторых условиях комплексы подслов (Q p Q ; ) и (Q p Q ; ) связаны друг с другом после­ довательностью подразбиений ребер и обратных подразбиений ребер. Пусть будет множеством всех приведенных выражений.

Определение: Для любых слов Q, Q *, определим частичный порядок Q,Q, на множестве по следующему правилу: для p, p, мы будем счи­ тать, что Q,Q, (p, p ) истинно, если (Q p Q ; ) может быть получен (с точно­ стью до комбинаторного изоморфизма) из (Q p Q ; ) последовательностью подразбиений ребер.

Проблема 3.1. Можно ли характеризовать все тройки (Q, Q, ), для кото­ рых Q,Q, задает верхнюю или нижнюю полурешётку?

3.2. Геометрия ниль-движений В этой главе описываем, как соотносятся друг с другом комплексы подслов для слов, связанных ниль-движением Гекке.

Теорема 3.6. Пусть слово Q получено из слова Q удвоением одной буквы:

Тогда, для любого, выполнено следующее:

(Q, ) либо совпадает с надстройкой ((Q, )), либо может быть получен из неё обратным подразбиением ребра. (Q, ) является линком в (Q, ) вершины, соответствующей одной из удвоенных букв q.

(Q, ) многогранен тогда и только тогда, когда многогранен (Q, ).

В этом случае (Q, ) либо совпадает с произведением (Q, ), либо может быть получен из него обратной 2срезкой. (Q, ) является гипергранью (Q, ), соответствующей одной из удвоенных букв q.

Доказательство. Обозначим удвоенные позиции буквы q в Q символами q и q2, её позицию в Q символом q0. Никакое приведённое выражение не может содержать двух подряд идущих одинаковых бука; следовательно, дополнение к каждому приведённому выражение в Q содержит хотя бы одну из букв q1 и q2. Отсюда следуем, что каждый максимальный симплекс в (Q, ) лежит в объединении Поскольку каждый симплекс в (Q ; ) содержится в максимальном, мы полу­ чаем, что Обратное включение очевидно; следовательно, мы имеем По Лемме 2.1, где первый изоморфизм дан заменой q2 на q0, второй дан заменой q0 на q1.

Мы видим, что комплекс (Q, ) равен следующему объединению:

Предположим сначала, что q0 не является симплексом комплекса (Q, ).

Тогда второе множество в большом объединении пусто, и мы имеем Предположим теперь, что q0 является вершиной комплекса (Q, ).

Нетрудно проверить, что в этом случае надстройка (St(Q,) (q0 )) является подразбиением второго слагаемого в ребре q1, q2, где новая вершина - q0.

Следовательно, второе слагаемое получается из (St(Q,) (q0 )) обратным под­ разбиением ребра, и всё объединение получается из обратным подразбиением ребра (мы убираем вершину q0, чтобы получить ребро q, q ). Первое утверждение доказано. Доказательство второго утверждения двойственно этому, по модулю части о сохранении многогранности; эта часть тривиальна.

Пример:

является граничным комплексом пятиугольника, и двойственный многогран­ ник = 2 тоже является пятиугольником. Тогда удвоение последней бук­ вы в Q преобразует в, полученное из срезкой одного ребра у ос­ нования. Заметим, что мы можем удвоить любую букву в Q и получить тот же результат. Это так, поскольку любая буква в Q задаёт гипергрань в, и все гиперграни (т.е. рёбра) комбинаторно не отличимы друг от друга. Мы мо­ жем удвоить последнюю букву ещё раз. На следующем рисунке изображена диаграмма Шлегеля четырёхмерного многогранника, двойственного комплексу (s1 s2 s1 s2 s1 s1 s1, ).

Следствие 3.8. Пусть просто вложена. Тогда для произвольных Q, лю­ бая последовательность движений кос и обратных ниль-движений Гекке из (Q) в Q индуцирует последовательность преобразований, описанных в Тео­ ремах 3.6 и ?? из ((Q); ) в (Q; ). Как минимум одна такая последо­ вательность существует (по Свойству Слов). Если (Q) =, существует такая последовательность, переводящая (-1)-сферу в (Q; ). Если (Q; ) многогранен, двойственный ему многогранник может быть получен из пу­ стого последовательностью двойственных описанным выше преобразований.

4. Кластерные комплексы стабильности и ассоциаэдры стабильности Гнездящиеся пары кручения, кластерные комплексы стабильности и ассо­ циаэдры стабильности В этой главе всегда будет малой абелевой категорией, все объекты кото­ рой имеют конечную длину. Из этого условия следует, что группа Гротендика K0 () является свободной абелевой группой, и множество классов изоморфиз­ мов простых объектов образует её базис. Мы используем стандартное обозна­ чение [ ] для класса в K() объекта. Под подкатегориями мы всегда понимаем полные подкатегории.

4.1. Пары кручения Следуя [As], определим пару кручения в как пару (, ) подкатегорий, называемых классом кручения (или подкатегорией кручения) и классом без кручения, удовлетворяющих следующим двум условиям:

(T2) Для каждого объекта существует такой подобъект, что Из условия (T1) следует, что подобъект в (T2) является максимальным под­ объектом, лежащим в ; отсюда следует его единственность. Такой назы­ вается подобъектом кручения относительно пары кручения (, ).

Существует эквивалентное определение пар кручения. Пара (, ) - пара кручения, если выполнены следующие два условия:

Из этой второй формулировки ясно, что категория замкнута относительно взятия факторов и расширений, а замкнута относительно взятия подобъектов и расширений.

(, ) (, ), если выполнены три следующих эквивалентных друг другу условия:

В этом случае, каждый объект обладает фильтрацией 0, где и - подобъекты кручения относительно (, ) и (, ), соответственно. Поскольку замкнута относительно взятия подобъектов, а замкнута относительно взятия факторов, мы имеем (, /, / ) Функцией стабильности на абелевой категории называется гомомор­ физм групп в абелеву группу поля комплексных чисел такой, что для любого ненуле­ вого объекта число () отлично от 0 и его аргумент, называемый фазой, лежит в интервале [0, ). Ненулевой объект называется полу­ стабильным (соответственно, стабильным), если для любого его собственного подобъекта фаза меньше либо равна фазы (строго меньше фазы, соответственно). Гомоморфизм иногда называют центральным зарядом.

Поскольку это гомоморфизм групп, он определятся комплексными числа­ ми ( ),. Заметим, что любой простой объект стабилен, поскольку он не имеет ненулевых собственных подобъектов.

Предложение 4.1. (Кинг [King]) Пусть : 0 ( C функция стабильно­ сти. Для любого действительного числа рассмотрим полную подкатегорию категории, образованную нулевым объектом и полустабильными объек­ тами фазы.

a) Подкатегория в замкнута относительно расширений, ядер и ко­ ядер. В частности, она абелева и её вложение в точно. Её простые объекты - в точности стабильные объекты фазы.

б) Для каждого объекта существует единственная фильтрация факторы +1 / которой являются полустабильными, со строго убы­ вающими фазами. Она называется фильтрацией Хардера-Нарасимана (или HN-фильтрацией). Её факторы - факторы.

Заметим, что, согласно а), все стабильные объекты неразложимы и алгеб­ ры их эндоморфизмов - поля частных.

В предположениях Предложения 4.1, пусть будет полной подкатего­ рией, порождённой объектами, фазы всех факторов которых больше либо равны. Определим аналогично полные подкатегории >, 0 такие, что первая по убыванию фазы по­ сле + подкатегория кручения, отличная от + (т.е. содержащая новые неразложимые), есть в точности. Используя определение дискретности, нетрудно увидеть, что любой неразложимый объект из является расширением копий единственного стабильного объекта из с помощью элемента +. Действительно, фильтрация для показыва­ ет, что последний фактор для лежит в и является полустабиль­ ным. С другой стороны, ядро отображения факторизации обязано лежать в +, поскольку фаза ( ) равна сумме фаз () и ().

Функции стабильности, не являющиеся порождающими, отвечают “стен­ кам” в терминологии wall-crossing’a.

Вообще говоря, Бриджланд [? ] определяет функции (и условия) стабиль­ ности не только на абелевых, но и на триангулированных категориях. Задание такой функции на триангулированной категории эквивалентно ([B1], [B2]) выбору ограниченной структуры на и заданию функции стабильности на её сердце (на котором должно выполняться свойство б) из Предложения 4.1).

В случае представлений колчанов соответствующими триангулированными ка­ тегориями будут производная категория представления колчана - для ациклич­ ных колчанов,- и конечномерная производная (N-Калаби-Яу) категория соот­ ветствующей алгебры Гинзбурга - для колчанов с потенциалом (мы, однако, не будем здесь их подробно рассматривать). Ключевым свойством условий ста­ бильности является следующая теорема:

Теорема 4.1. ([B1]). Пространство условий (функций) стабильности на триангулированной категории является комплексным многообразием, обо­ значаемым Stab().

4.2. Гнездящиеся семейства пар кручения каждая короткая точная последовательность ориентирована в одном из двух естественных направлений. Хотя они и не обязательно являются функциями стабильности, для них верны все утверждения предыдущего раздела, и они за­ дают гнездящиеся семейства пар кручения, т.е. семейства, где подкатегории кручения убывают. Мы определяем стабильные объекты как для функций ста­ бильности. Комплекс () - это порядковый комплекс (относительно вложения прямым слагаемым) объектов без само-расширений в точной категории полуста­ бильных относительно объектов и индексов 1,..., не лежащих в носителе этих объектов.

Теорема 4.2. Пусть категория наследственна и пусть, таковы, что Stab() Stab( ) и оба этих множества конечны. Тогда комплекс ( ) по­ лучается из комплекса () последовательностью подразбиений рёбер. Анало­ гично, многогранник B( ) получается из многогранника B() последователь­ ностью срезок граней коразмерности 2.

Доказательство. Мы разобьём доказательство на несколько несложных лемм.

Лемма 4.1. Объект полустабилен тогда и только тогда, когда ( ()) (), и стабилен тогда и только тогда, когда ( ()) < ().

Если (полу)стабилен, то и Q () (полу)стабилен.

Доказательство. Первое утверждение следует из определения (). Дока­ жем второе. Пусть стабилен. Тогда ( ()) < (). Пусть Q ().

Используя обратный образ, мы строим короткую точную последовательность ( ()) > (). Следовательно, ( ()) > ( ). Отсюда мы получаем, что ( ) < ( ()) < (Q ()). Поскольку это верно для любого подобъекта в Q (), Q () стабилен. Утверждение о полустабильности доказывается аналогично.

Лемма 4.2. Пусть, отличаются сменой порядка ровно в одной паре объ­ ектов с ненулевыми расширениями в () и нулевыми морфизмами, и пусть Stab(), Stab( ). Тогда верно следующее:

(i) Q () стабилен и относительно, и относительно.

(ii) Движение кос меняет порядок в точности в последовательностях вида (iii) (Q ()) < < (S ());

Доказательство. При подобном изменении порядка новыми стабильными объ­ ектами могут стать только средние члены коротких точных последовательно­ стей объектов из пары из условия. Если хотя бы один из объектов из пары не был стабилен, легко увидеть, что новых стабильных объектов не появится. Если они оба были стабильны, то для новых стабильных объектов они, очевидно, имели вид S ( ) и Q ( ). Отсюда следуют все три утверждения леммы.

Лемма 4.3. Пусть категория наследственна и пусть, таковы, что Stab() < Stab( ). Тогда существуют такие, Stab(), что выполнены следующие условия:

(ii) Для любого Stab(), =,, мы имеем либо () < (), либо (iii) В () между и равны нулю все морфизмы и расширения, кроме Ext1 (, ). Существует короткая точная последовательность (iv) Существует такая, что Stab( ) равняется объединению Stab() и всех неразложимых расширений с помощью.

Доказательство. Поскольку Stab() < Stab( ), существует хотя бы одна па­ ра стабильных относительно объектов, идущих в и в в разном порядке и такие, что между ними есть нетривиальные морфизмы и/или расширения.

Пусть, пара с минимальным среди всех таких пар количеством стабиль­ ных относительно объектов, идущих в между и. Мы считаем, что ( ) < ( ). Пусть это количество равно 0. Пусть > 0. Рассмотрим следующий по возрастанию после стабильный относительно объект, назо­ вём его. Из выбора, пары (, ) и (, ) обязаны идти в одном и том же порядке относительно и. В таком случае, не может быть так, что в паре (, ) порядок меняется. Значит, = 0. Мы знаем, что Hom(, ) = 0.

Кроме того, Ext1 (, ) = 0. Действительно, иначе существовал бы, для ко­ торого = S ( ) и ( ) < ( ) < ( ). Тогда был бы стабилен, что противоречит выбору. Если Hom(, ) = 0, то, поскольку и стабильны относительно, мы обязаны иметь ( ) < ( ), что противоречит выбору (, ). Следовательно, Hom(, ) = 0, и значит, Ext1 (, ) = 0. Мы доказали пункты (i)–(iii).

Известно, что для каждой подкатегории кручения в существует такое 1, что все короткие точные последовательности ориентированы согласованно - это, упорядочивающее все объекты как в колчане Аусландера-Рейтен. Для каждой подкатегории без кручениия существует 2, где неразложимые объек­ ты стоят в обратном порядке. Если взять 1 на >( ), объекты >( ) >( ) будут идти в начале и в порядке Аусландера-Рейтен, если взять 2 на < ( ), объекты ( ) будут идти в конце и в обратном