«НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ СОЛНЕЧНОГО ДИНАМО ...»

Российская Академия Наук

Сибирское отделение

Институт солнечно-земной физики

На правах рукописи

УДК 523.76; 523.98

ПИПИН ВАЛЕРИЙ ВИКТОРОВИЧ

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ СОЛНЕЧНОГО ДИНАМО

01.03.03 – Физика Солнца

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, доцент по специальности Кичатинов Леонид Леонидович Иркутск - 2004 Оглавление Введение..................................................................... 1 Основные нелинейные эффекты солнечного динамо 1.1 Макроскопическая магнитная гидродинамика.......... 1.1.1 Причины магнитной активности: вращение и конвекция. 1.1.2 Основные уравнения..................... 1.1.3 Перенос тепла и баланс энергии в МГД средних полей.. 1.1.4 Осесимметричное термомагнитное динамо........ 1.2 Основные нелинейности динамо средних полей.......... 1.2.1 Крупномасштабные и мелкомасштабные силы Лоренца. 1.2.2 Плавучесть магнитных полей................ 1.2.3 Нелинейный -эффект.................... 1.3 Влияние магнитного поля и вращения на турбулентность.... 1.3.1 Турбулентность при одновременном воздействии магнитного поля и вращения.................... 1.3.1.1 О подавлении - эффекта магнитным полем в быстровращающейся турбулентности...... 1.3.2 Замечание о структуре турбулентных течений в конвективной зоне Солнца..................... 2 Плавучесть крупномасштабных полей и турбулентный перенос в КЗ Солнца 2.1 О турбулентном переносе крупномасштабных магнитных полей 2.2 Расчет эффекта плавучести..................... 2.2.1 Плавучесть среднего магнитного поля в не вращающейся атмосфере......................... -3Сравнение плавучестей магнитных трубок и среднего поля. Оценки скорости подъема КМП в конвективной зоне Солнца............ 2.2.2 Плавучесть во вращающейся среде............. 2.3 Нелинейный перенос КМП вращающейся стратифицированной турбулентностью........................... 2.3.1 Неоднородность плотности................. 2.3.2 Неоднородность интенсивности турбулентности...... 2.4 Турбулентный перенос КМП и солнечное динамо........ 2.5 Основные результаты 2 главы.................... 3 Турбулентный перенос углового момента в магнитном поле 3.1 Солнечные крутильные колебания................. 3.2 Расчет конвективных потоков углового момента......... 3.2.1 Нелинейный - эффект................... 3.2.2 Турбулентная вязкость с учетом магнитного поля.... 3.3 Численная модель крутильных колебаний Солнца........ 3.3.1 Основные уравнения..................... 3.3.2 Крутильные колебания: - эффект или сила Лоренца?. 3.4 Крутильные колебания и вековые циклы активности как результат взаимодействия магнитных полей и дифференциального вращения............................ 3.4.1 Простейшая одномерная модель.............. 3.4.1.1 Формулировка модели............... 3.4.1.2 Результаты и обсуждение............. 3.4.2 О механизмах вековых вариаций магнитной активности Солнца............................. 3.4.2.1 Цикл Глайсберга в осесимметричном -динамо с вакуумными условиями на внешней границе. 3.4.2.2 Условия выхода магнитных полей через внешнюю поверхность и вековой цикл магнитной активности....................... -4Результаты и выводы 3 главы.................... 4 Вариации светимости и радиуса Солнца как следствие динамо крупномасштабных полей 4.1 О проблеме 11-летних вариаций солнечной постоянной..... 4.2 О влиянии КМП и вращения на перенос тепла.......... 4.3 Основные механизмы 11-летних вариаций светимости Солнца. 4.4 Теплоперенос, термодинамика и стратификация КЗ....... 4.5 Численная модель 11-летних вариаций солнечного потока излучения и структуры КЗ Солнца.................. 5.2 Анизотропная диффузия примеси во вращающейся турбулентной среде............................... 5.5 Содержание Li7 и скорость вращения для молодых скоплений. Введение Магнитную активность Солнца и подобных ему звезд связывают с генерацией магнитных полей движениями вещества в звездных недрах. Этот процесс принято называть гидромагнитным динамо. По всей вероятности, областями действия динамо являются конвективные зоны (КЗ), где имеются достаточно интенсивные гидродинамические течения. Помимо относительно мелкомасштабных конвективных течений, в процессе генерации участвует глобальное неоднородное вращение.

Гидромагнитное динамо по сути означает неустойчивость проводящей среды относительно магнитного поля: слабое затравочное поле экспоненциально растет со временем, усиливаясь движениями среды. До тех пор пока магнитная энергия остается малой по сравнению с кинетической, магнитные силы практически не влияют на течение. В этом случае эволюция поля подчиняется линейному уравнению индукции и соответствующую теорию также называют линейной, или кинематической.

Первоначально теория динамо развивалась именно в линейном приближении. Была выяснена роль дифференциального вращения и циклонической конвекции для генерации поля, а также значение турбулентной диффузии для этого процесса. Были развиты линейные модели солнечного и звездного динамо, позволившие установить важные связи между поведением магнитного поля и характеристиками генерирующих его течений. Ясно, однако, что применимость линейного приближения ограничена. По прошествии достаточного времени усилившееся поле начинает влиять на течения. При этом поведение поля и движений вещества нужно рассматривать согласованно. Такой подход является предметом нелинейной теории. По всей вероятности, наблюдаемые магнитные поля реальных объектов находятся именно в нелинейном Актуальность проблемы К настоящему времени кинематическая теория динамо достигла определенной степени завершенности. Об этом свидетельствовало появление ряда монографий [7, 87, 100, 109], систематизировавших ее результаты. Основное внимание сместилось к нелинейным эффектам.

Некоторые из таких эффектов изучаются в данной работе. Основной целью диссертации является изложение нелинейных моделей солнечного динамо. Такие модели позволяют более детально сравнивать предсказания теории с наблюдениями и, возможно, объяснять некоторые наблюдаемые явления. Важнейшее значение для нелинейной теории имеет изучение взаимодействия между дифференциальным вращением, конвективной турбулентностью и магнитным полем.

До недавнего времени, одним из наиболее важных нелинейных эффектов считалась плавучесть магнитных полей. Первые результаты по плавучести магнитных трубок были сформулированы Паркером [109]. Полагалось, что плавучесть существенно влияет на работу динамо и приводит к быстрому выносу магнитных полей из конвективной зоны, ослабляя таким образом напряженность генерируемых полей. Попытки количественного учета этого явления в моделях динамо сталкиваются с трудностями [57, 62]. Причина, вероятно, состоит в том, что теория динамо рассматривает крупномасштабные поля в турбулентных средах, в то время, как явление плавучести изучено главным образом для тонкоструктурных магнитных трубок в спокойной атмосфере. Для последовательного учета плавучести в моделях динамо необходим расчет этого эффекта в рамках макроскопической магнитной гидродинамики. Такая задача решается в диссертации. При ее решении будет учтено вращение среды и обнаружится, что оно существенно влияет на плавучесть. Сравнение рассчитанной плавучести с другими механизмами переноса крупномасштабных полей, например с диамагнитным эффектом [73, 74], показало, что для сильных магнитных полей суммарная скорость переноса мала. Среднее время дрейфа крупномасштабных магнитных полей от основания конвективной зоны до поверхности или от средних широт до экватора примерно совпадает с периодом магнитного цикла.

Важнейшую роль в генерации магнитного поля Солнца играет дифференциальное вращение [44, 100, 109, 57, 169]. Поэтому не удивительно, что его взаимодействие с магнитным полем считается одним из основных нелинейных эффектов. На Солнце это взаимодействие проявляется в виде периодических зональных течений – так называемых крутильных колебаний [91]. Кроме того, взаимодействие магнитных полей и вращения, по-видимому, является источником вековых вариаций солнечной активности [116, 109, 100, 169, 119].

Это явление характерно не только для Солнца. Длиннопериодические модуляции циклов активности наблюдаются и на других звездах поздних спектральных классов [30]. Интересное проявление обсуждаемого типа нелинейности, по-видимому, наблюдается в тесных двойных системах типа RS Гончих Псов. В таких системах главная звезда обычно принадлежит к позднему спектральному классу и имеет мощную магнитную активность. Модуляция центробежного потенциала магнитоактивной звезды из-за крутильных колебаний является вероятным источником вариаций орбитального периода двойной системы [28, 93, 92]. Для исследования взаимодействия магнитных полей с вращением необходимо развивать нелинейную теорию дифференциального вращения, учитывающую влияние магнитных полей на конвективные потоки углового момента. В диссертации проведен расчет источников дифференциального вращения, а также эффективных вязкостей с учетом магнитных полей. Вычисления проведены без ограничения на величины напряженности поля и скорости вращения. Это позволило впервые построить самосогласованную численную модель крутильных колебаний, а также изучить эффекты модуляции магнитных циклов на вековых интервалах времени.

В конвективном переносе тепла на Солнце и звездах также работают нелинейные эффекты, возникающие в результате реакции сил плавучести неоднородной среды на поток тепла из звездных недр. Энергия магнитного поля и дифференциального вращения Солнца черпаются из энергии конвективных движений. В то же время обратное влияние вращения и магнитного поля на конвекцию приводит к модификации конвективного потока тепла. Вероятно, одним из последствий такого влияния являются наблюдаемые 11-летние вариации светимости Солнца с относительной амплитудой 0.1% [168]. Вопрос об их гео-эффективности остается открытым. Тем не менее, наблюдения вариаций солнечного потока излучения в цикле активности ставят перед гелиофизикой фундаментальный вопрос об их происхождении. Решение данной задачи требует самосогласованной формулировки физических моделей дифференциального вращения и генерации магнитного поля Солнца с учетом превращений энергии крупномасштабных полей, например, нагрева конвективной зоны в результате их диссипации или охлаждения вещества вследствие затрат тепловой энергии на генерацию магнитных полей и течений. В диссертации данный подход развивается на основе уравнения баланса энергии турбулентной среды, полученного с учетом крупномасштабных магнитных полей и течений.

Еще одна задача, тесно связанная с нелинейными процессами в звездах поздних спектральных классов, – это проблема низкого содержания Li7 в атмосферах этих звезд [29, 48, 98]. Перенос Li7 от основания конвективной зоны до области его горения, вероятно, осуществляется слабой анизотропной турбулентностью в лучистой зоне, непосредственно под основанием зоны конвекции [48, 47, 98, 46]. Статистический анализ данных о звездной активности показывает тесную взаимосвязь между скоростью вращения и концентрацией Li7 [63, 48]. Содержание Li7 убывает с возрастом звезды и сопровождается потерей углового момента и уменьшением магнитной активности. Кроме того, для звезд одного возраста в некоторых молодых скоплениях существует зависимость содержания Li7 от скорости вращения, [154]. Таким образом, напрашивается постановка задачи о влиянии вращения на турбулентную диффузию химических элементов на Солнце и звездах. Решение такой задачи изложено в последней главе диссертации.

Основной целью диссертации является эффектов турбулентного динамо и развитие на этой основе согласованных количественных моделей дифференциального вращения, крупномасштабных магнитных полей и переноса тепла в конвективной оболочке Солнца. Это 1. Изучить совместное влияния вращения и магнитного поля на турбулентность проводящей жидкости. Количественно описать эффекты анизотропии турбулентности, возникающие в результате такого влияния.

2. Рассчитать эффекты плавучести крупномасштабных магнитных полей и переноса поля неоднородной турбулентностью для произвольной напряженности магнитного поля и с учетом вращения. Построить количественную модель турбулентного переноса крупномасштабных полей в КЗ Солнца.

3. Рассчитать конвективные потоки углового момента во вращающейся среде без ограничения на величины напряженности магнитного поля и скорости вращения.

4. Построить количественную модель крутильных колебаний Солнца. На основе такой модели исследовать взаимодействие крупномасштабных магнитных полей и дифференциального вращения в солнечном цикле и на бльших масштабах времени.

5. Получить уравнение переноса тепла для вращающейся конвективной оболочки с учетом взаимных превращений механической, тепловой и магнитной энергии. На его основе построить количественную модель вариаций светимости Солнца и строения конвективной зоны в цикле активности.

6. Изучить влияние вращения на турбулентную диффузию химических примесей в лучистой зоне Солнца. Построить количественную модель изменения содержания Li7 в ходе эволюции Солнца и подобных ему звезд.

Научная новизна работы среднего магнитного поля, возникающий в результате его влияния на турбулентность неоднородной среды. Проанализирована зависимость данного эффекта от скорости вращения.

- 11 Турбулентный перенос магнитных полей впервые рассмотрен без ограничений на величины напряженности магнитного поля и скорости вращения, а также с учетом вклада мелкомасштабных магнитных полей. Построена количественная модель турбулентного переноса крупномасштабных магнитных полей в конвективной зоне Солнца.

Найдены выражения для конвективных потоков углового момента, учитывающие одновременное воздействие вращения и магнитного поля без ограничений на величины угловой скорости и напряженности поля. На основе этих результатов разработана самосогласованная численная модель крутильных колебаний Солнца. Ключевым механизмом этой модели является модуляция потоков углового момента в конвективной зоне Солнца циклически меняющимся магнитным полем. В диссертации впервые показано, что взаимодействие дифференциального вращения и крупномасштабного магнитного поля может приводить к длиннопериодической модуляции магнитной активности и вращения конвективной зоны Солнца на вековых интервалах времени.

Получен закон сохранения энергии средних полей в конвективной оболочке звезды и на его основе рассмотрены циклические вариации светимости Солнца. Это дало возможность построить численную модель самосогласованного термомагнитного динамо, в которой наряду с генерацией магнитного поля описываются перенос тепла, дифференциальное вращение и гидростатический баланс конвективной зоны Солнца. С помощью данной модели сделана количественная оценка вклада крупномасштабных магнитных полей в вариации светимости и радиуса Солнца в цикле активности. Кроме того количественно описано влияние магнитных полей на квадрупольный момент Солнца. Построенная модель используется для объяснения вариаций орбитального периода для двойных звездных систем, в которых главная звезда принадлежит к одному из поздних спектральных классов и показывает циклическую магнитную активность.

Впервые исследовано влияние анизотропии турбулентности и глобального вращения на эффективную диффузию химической примеси малой концентрации. На этой основе построена количественная модель изменения содержания Li7 в процессе эволюции Солнца – от момента прибытия на главную - 12 последовательность до настоящего времени, а также сделана количественная оценка параметров турбулентности в лучистой зоне для области вблизи основания конвективной оболочки.

Научное и практическое значение работы В диссертации исследовано взаимодействие крупномасштабных магнитных полей, вращения и конвективной турбулентности. Явления рассмотрены для произвольных значений напряженности поля и скорости вращения. Это приближает теорию к реальным условиям на Солнце. Результаты могут быть применены к другим звездам поздних спектральных классов. Построена количественная модель крутильных колебаний Солнца. Данная модель позволяет глубже понять происхождение 11-летних вариаций вращения и их связь с солнечной магнитной активностью.

Разработана самосогласованная модель термомагнитного динамо, описывающая, наряду с генерацией магнитного поля, перенос тепла, дифференциальное вращение и гидростатический баланс конвективной зоны Солнца.

Предлагаемая модель при минимуме свободных параметров дает комплексное описание различных проявлений крупномасштабной магнитной активности Солнца и обеспечивает возможность сопоставления полученных результатов с наблюдениями.

Рассмотренный механизм влияния вращения на перенос примеси Li7 в недрах Солнца использован для изучения параметров турбулентности в лучистой зоне. Показано, что количество Li7, имеющееся в настоящее время на Солнце, по всей вероятности, исключает возможность генерации крупномасштабных магнитных полей в области проникающей конвекции.

На защиту выносятся следующие результаты и положения 1. Решение задачи о плавучести средних магнитных полей во вращающейся конвективной оболочке.

2. Расчет конвективных потоков углового момента – источников дифференциального вращения – с учетом крупномасштабных магнитных полей 3. Модель крутильных колебаний Солнца.

4. Объяснение векового цикла солнечной активности как результата взаимодействия крупномасштабных магнитных полей и дифференциального вращения.

5. Модель термомагнитного динамо, в которой согласованно описываются генерация магнитного поля, перенос тепла и дифференциальное вращение. Модель позволяет рассчитывать вариации распределения температуры, угловой скорости и гидростатического равновесия в цикле активности.

6. Решение задачи о турбулентной диффузии химической примеси с учетом вращения Солнца.

Основные результаты работы докладывались на межАпробация работы.

дународных конференциях: “Солнечные магнитные поля”, Фрайбург (1993);

“Звездные скопления и ассоциации: конвекция, вращение и динамо”, Палермо(1999); “Циклическая эволюция солнечных магнитных полей: достижения теории и наблюдений”, 179 коллоквиум МАС, Кодайконал (1999); Международная конференция Европейско-Азиатского Астрономического общества, JENAM, Москва (2000); 34 Конгресс COSPAR в секции “Магнитная спиральность на Солнце, в солнечном ветре и магнитосфере”, Хьюстон (2002); 7 Симпозиум по Солнечно-земной физике России и стран СНГ, а также на международных конференциях России и стран СНГ в Санкт-Петербурге: “Солнце в максимуме активности и солнечно-звездные аналогии” (2000); “Солнце в эпоху смены знака магнитного поля” (2001); в Иркутске: Всероссийская конференция “Солнечная активность и ее земные проявления”, посвященная памяти Г.В. Куклина (2000); Всероссийская конференция по физике солнечноземных связей (2001); Третья Российско-Китайская конференция “Космическая погода” (2002); Всероссийская конференция “Магнитные поля и трехмерная структура солнечной атмосферы”, посвященная памяти В.Е. Степанова (2003).

По теме диссертации опубликовано 23 работы, при этом 20 статей в ведущих международных рецензируемых журналах, в том числе в Астрономическом журнале и в Письмах в Астрономический журнал.

Личный влад автора Проведенные исследования были выполнены автором как самостоятельно, так и в тесном сотрудничестве с коллегами из ИСЗФ и ИЗМИРАН, а также иностранными коллегами из Потсдамского Астрофизического Института (Германия) и Университетов Катании (Италия), Потсдама (Германия). При выполнении работ, опубликованных в соавторстве, автору принадлежит равный вклад наряду с другими участниками.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (175 наименований) и трех приложений. В работе приводится 35 рисунков и 1 таблица. Общий объем диссертации 205 страниц.

Краткое содержание работы дается краткий обзор основных нелинейных эффектов гидВ первой главе ромагнитного динамо. Приведены основные уравнения магнитной гидродинамики средних полей для вращающихся турбулентных сред, использующиеся во всех последующих главах. Получено уравнение, описывающее баланс энергии средних полей вращающихся турбулентных сред. Нелинейные эффекты гидромагнитного динамо связаны, как правило, с влиянием магнитных полей и вращения на турбулентность. Поэтому вначале рассмотрены свойства турбулентности во вращающейся проводящей среде с магнитным полем. Сделан расчет анизотропии и изменения интенсивности турбулентности, возникающих при одновременном воздействии на нее магнитного поля и вращения.

Расчеты проведены без ограничения на величины напряженности магнитного поля и угловой скорости.

ных полей в неоднородной турбулентной среде. Возмущения среднего магнитного поля турбулентным течением приводят к возникновению магнитных неоднородностей. Флуктуации плотности, порождаемые мелкомасштабными силами Лоренца, вызывают подъем областей с повышенной напряженностью поля и опускание с пониженной. В среднем эти противоположные смещения не компенсируют друг друга, и возникает результирующий перенос крупномасштабного магнитного поля вверх. Скорость подъема поля дается формулой где M – отношение характерного масштаба конвективных течений к шкале высот для давления, – показатель адиабаты, uc – среднеквадратичная скорость конвективных течений, = B/ 4u2 – отношение энергии магнитc ных полей к энергии конвективных течений и K() – безразмерная функция, учитывающая зависимость скорости всплывания от напряженности магнитного поля. Показано, что скорость подъема достигает максимума при 1, максимальная скорость всплытия составляет 0.03uc. Для полей с напряженностью, много меньшей уровня равнораспределения, т.е. при 1, скорость подъема, как и в случае магнитных трубок, пропорциональна 2, поскольку для этого случая K(). Для сильных магнитных полей, 1, имеем K() 1 и скорость подъема убывает обратно пропорционально напряженности магнитного поля.

Рассмотрено влияние вращения на скорость подъема крупномасштабного магнитного поля. Расчеты проведены без ограничения на напряженность магнитного поля и скорость вращения. При этом, однако, приходится использовать так называемое –приближение, подобное приближению средней длины перемешивания. Показано, что вращение приводит к уменьшению скорости подъема и появлению горизонтальной составляющей скорости переноса, направленной к экватору.

Проведено сравнение плавучести средних полей с другими эффектами переноса. Для этого известные из литературы результаты о переносе поля - 16 неоднородной турбулентностью обобщаются для произвольных напряженностей магнитного поля и скорости вращения, а также с учетом мелкомасштабных магнитных полей. Показано, что для сильных магнитных полей суммарный перенос среднего поля турбулентностью мал. Характерное время дрейфа крупномасштабных магнитных полей в конвективной оболочке от ее основания до поверхности или от средних широт до экватора совпадает по порядку величины с периодом цикла. Влияние плавучести и других эффектов переноса на динамику крупномасштабного магнитного поля проиллюстрировано результатами численного моделирования солнечного динамо, в котором использовано распределение угловой скорости по данным гелиосейсмологии, а параметры турбулентности взяты из моделей внутреннего строения Солнца.

решается задача о влиянии крупномасштабных магнитных В третьей главе полей на дифференциальное вращение Солнца. Считается, что дифференциальное вращение возникает из-за переноса углового момента турбулентностью в неоднородной конвективной зоне. Недиссипативные составляющие конвективных потоков углового момента, которые выражаются через так называемый -эффект, являются источниками дифференциального вращения.

В установившемся равновесном состоянии эти источники компенсируются действием турбулентной вязкости. Для решения задачи о взаимодействии магнитных полей и дифференциального вращения необходимо учитывать влияние магнитных полей, как на -эффект, так и на турбулентную вязкость.

Известно, что недиссипативные потоки углового момента имеют вид:

где – угловая скорость; – плотность;, – коширота и азимут, соответственно; = 2c – число Кориолиса; c – корреляционное время турбулентности; V (0), V (1), H (0), H (1) – безразмерные функции, характеризующие влияние вращения и магнитного поля. Заметим, что в отсутствие магнитного поля H (0) обращается в нуль. Расчет -эффекта проведен без ограничения на скорость вращения и напряженность крупномасштабного магнитного поля. В диссертации показано, что влияние магнитных полей приводит не только к ослаблению коэффициентов генерации дифференциального вращения V (0), V (1), H (1). Крупномасштабное магнитное поле дает дополнительный источник генерации широтной неоднородности скорости вращения H (0).

Появление вклада H (0) имеет большие последствия. В диссертации впервые показано, что H (0) < 0 для произвольных значений и. Это означает, что влияние крупномасштабного азимутального магнитного поля на турбулентность может приводить к усилению широтной неоднородности вращения.

Данный вывод согласуется с наблюдениями крутильных колебаний Солнца.

Следует отметить, что изложенная выше качественная картина крутильных волн не может быть убедительной без учета влияния магнитного поля на турбулентную вязкость. Поэтому в диссертации проведен расчет тензора турбулентных вязкостей. Он выполнен без ограничения на величину напряженности магнитного поля и скорость вращения. Показано, что влияние магнитных полей на турбулентность вращающейся среды приводит к значительному изменению структуры тензора эффективных вязкостей. Главный результат состоит в определении анизотропии турбулентной вязкости. Для полей с умеренной напряженностью, поперечная вязкость оказывается малой.

В этом случае диссипативный поток углового момента поперек неоднородности крупномасштабной скорости будет минимален. Это означает возрастание неоднородности сдвигового типа в крупномасштабных течениях с магнитным полем.

Выполненные расчеты позволили построить первую численную модель крутильных колебаний, качественно и количественно согласующуюся с наблюдаемой картиной. Крутильные колебания возникают в результате модуляции конвективных потоков углового момента циклически меняющимся крупномасштабным магнитным полем. Разработанная модель позволила не только исследовать 11-летние крутильные колебания Солнца, но и рассмотреть взаимодействие дифференциального вращения и магнитных полей на вековых интервалах времени. Обратное влияние магнитного поля на дифференциальное вращение является одним из основных нелинейных эффектов является возможной причиной длиннопериодных модуляций магнитной активности и дифференциального вращения Солнца. Показано, что крутильные колебания и вековые циклы активности могут иметь общее происхождение, возникая в результате взаимодействия магнитных полей с неоднородным вращением. Существование длиннопериодических модуляций, моделирующих вековой цикл, продемонстрировано как на простейшей одномерной модели, так и для двумерного динамо в сферическом слое. Характерной особенностью вековых модуляций магнитной активности, возникающих на основе предложенного механизма, является то, что дифференциальное вращение максимально в периоды минимумов магнитных вековых циклов и минимально для их максимумов. Подобная картина подтверждается и наблюдениями солнечной активности. Кроме того, проведенные расчеты обнаруживают северо-южную асимметрию магнитной активности в длиннопериодной модуляции. Максимум магнитной активности перемещается из одного полушария в другое в периоды вековых минимумов. Данный результат также получен впервые. В описываемой модели динамо не учитывается влияние магнитных полей и вращения на источники конвективной турбулентности и перенос тепла. Это сделано в четвертной главе диссертации.

посвящена изучению влияния магнитных полей и вращеЧетвертая глава ния на конвективный перенос тепла в недрах Солнца и его светимость. Здесь рассматривается также влияние магнитных полей на гидростатическое равновесие в конвективной зоне и возможные возмущения геометрической фигуры и радиуса Солнца, вызванные магнитной активностью.

Для решения поставленных задач используется уравнение баланса энергии крупномасштабных полей, полученное в первой главе. Смысл этого уравнения заключается в следующем: изменение среднего количества тепловой энергии в некотором элементарном объеме складывается из дивергенции диффузионного (из-за турбулентной теплопроводности) и лучистого тепловых потоков, затрат энергии на генерацию дифференциального вращения и магнитного поля и нагрева в результате вязкой диссипации течений и Джоулева В данной главе изучаются вариации солнечного потока излучения и структуры конвективной зоны в 11-летнем цикле. Рассмотрено экранирование тепловых возмущений в глубине конвективной зоны, обусловленное большой теплоемкостью солнечного вещества. С помощью уравнения баланса энергии средних полей проведены оценки основных источников 11-летних вариаций светимости по порядку величины. Из возможных причин переменности солнечного потока излучения наиболее вероятными являются следующие.

1. Изменения в цикле активности источников и стоков тепла из-за диссипации и генерации глобальных магнитных полей и течений в конвективной зоне Солнца.

2. Эффект магнитной тени: магнитное поле уменьшает эффективную теплопроводность и потому понижает приток тепла к солнечной поверхности.

3. Вклад магнитных полей надфотосферной области.

Показано, что 1)-ый и 2)-ой факторы, хотя и не малы по мощности энерговыделения, не могут эффективно влиять на яркость солнечной поверхности.

Это связано с большой тепловой инерцией Солнца, т.е. с малой величиной времени турбулентной диффузии по сравнению со временем "высвечивания” тепловой энергии, запасенной в недрах Солнца. Данное утверждение иллюстрируется решением простой задачи об эволюции тепловых возмущений в плоскопараллельном слое с подогревом. Тепловая инерция, однако, уменьшается с приближением к поверхности. Поэтому, чем ближе к поверхности расположен источник нагрева или охлаждения, тем больший вклад в вариации светимости он дает. Наибольшей эффективностью будут обладать источники, располагающиеся над поверхностью, в оптически прозрачной области. Именно поэтому вклад магнитных полей, вышедших в надфотосферную область, оказывается основным. Вклад поверхностной магнитной активности в излучение можно оценить, предполагая, что по порядку величины он совпадает с потоком магнитной энергии через солнечную поверхность. Этот поток в свою границе используются условия частичного отражения:

где B(0) - пороговая напряженность для выхода магнитного поля через поверхность, а B – напряженность крупномасштабного азимутального магнитного поля. Внешняя граница области динамо в описываемой модели примерно совпадает с основанием слоя солнечной супергрануляции. Исходя из (1), поток магнитной энергии из области динамо есть где B – напряженность крупномасштабного азимутального поля на поверхre ности.

Получено уравнение, описывающее возмущения стратификации конвективной зоны вследствие возмущений термодинамических характеристик, таких как плотность, давление и энтропия. Качественно проанализированы возможные причины возмущений стратификации конвективной зоны. Возмущения могут быть механического или теплового типа. Первые возникают благодаря вариациям плотности атмосферы в области, охваченной крупномасштабными магнитными полями или течениями. К данному типу возмущений можно отнести магнитное давление, максвелловские напряжения, а также возмущения центробежных сил крутильными колебаниями. Тепловые возмущения стратификации и радиуса Солнца связаны с затратами энергии на генерацию крупномасштабных магнитных полей и течений. Отток тепловой энергии в крупномасштабные поля приводит к охлаждению солнечного вещества и, следовательно, к уменьшению солнечного радиуса. Однако, ввиду упомянутого эффекта экранирования тепловых возмущений (тепловой инерции) этот механизм эффективен лишь вблизи солнечной поверхности.

Изложенная качественная картина 11-летних вариаций светимости и стратификации Солнца дополнена расчетами в рамках численной модели согласованно описывающей генерацию крупномасштабного магнитного поля, дифференциальное вращение и перенос тепла в солнечной конвективной зоне.

Расчеты показывают, что генерация магнитных полей в глубине конвективной зоны приводит к вариациям различных солнечных параметров в цикле активности. Отметим следующие проявления магнитной активности.

• Циклические вариации дифференциального вращения с амплитудой 10 м/с, т.е. крутильные колебания.

• Результаты расчетов дают возрастание светимости Солнца в максимуме цикла с амплитудой 103L. Данные вариации обусловлены прежде всего выходом магнитной энергии из области динамо.

• Модель описывает вариации радиуса и квадрупольного момента Солнца, с амплитудами 1.5 · 106R и 4.5 · 109, соответственно. Вариации квадрупольного момента, как легко видеть, намного превышают приливное воздействие Юпитера. Более того, данные вариации сравнимы с воздействием приливных сил звезды, подобной Солнцу, находящейся на расстоянии 4.5 а.е.

• Расчеты предсказывают, что сплюснутость Солнца должна быть наибольшей на фазе спада магнитной активности. Это объясняется тем, что именно в это время возрастает скорость вращения поверхностных слоев Солнца.

• Расчетные возмущения давления и плотности в конвективной зоне концентрируются вблизи внешней границы, следуя, в основном, за возмущениями угловой скорости. Рассчитаны также вариации скорости звука в конвективной зоне. В максимуме цикла скорость звука уменьшается.

Относительная амплитуда вариаций составляет 103. Такое поведение качественно согласуется с данными гелиосейсмологии о красном смещении частот собственных акустических колебаний Солнца в максимуме 11-летнего цикла.

В целом можно сказать, что избранный подход себя оправдал. Удалось получить согласованное комплексное описание различных проявлений воздействия магнитного поля на крупномасштабные течения и перенос тепла в - 22 конвективной зоне, включающие в себя 11-летние крутильные колебания, вариации потока излучения и стратификации конвективной зоны Солнца. По многим параметрам получено удовлетворительное согласие с наблюдениями.

В конце главы полученные результаты используются для оценки предложенного недавно Эплгейтом [28] объяснения вариаций орбитального периоды в тесных двойных звездных системах (системы типа RS Гончих Псов), в которых главный компонент принадлежит к тому же спектральному классу, что и Солнце. Предполагается, что вариации орбитального периода возникают изза изменений квадрупольного момента главного компонента, которые в свою очередь вызваны циклически изменяющимся магнитным полем этой звезды.

Как отмечалось, сплюснутость звезды возрастает на фазе максимума магнитной активности. В это же время увеличивается гравитационное поле звезды в экваториальной плоскости. Это приводит к возрастанию центробежного ускорения компаньона, уравновешивающего гравитационное притяжение. Угловой угловой момент в системе сохраняется, поэтому скорость движения по орбите возрастает, а радиус орбиты уменьшается. Известно, что амплитуда вариаций орбитального периода пропорциональна квадрату скорости вращения звезды и первой степени относительной амплитуды крутильных колебаний. Для оценок по порядку величины можно использовать относительную величину крутильных колебаний и колебаний квадрупольного момента, полученную Солнца. Выбраны примеры двойных систем с центральной звездой спектрального класса G2. Во всех случаях обнаружено согласие по порядку величины между наблюдаемой и расчетной амплитудами вариаций орбитального периода.

изучается влияние вращения на турбулентное перемешиваВ пятой главе ние примеси малой концентрации. Полученные результаты использованы для изучения эволюции содержания Li7 на Солнце и других холодных звездах.

Проблема низкого содержания Li7 в атмосферах холодных звезд главной последовательности тесно связана с процессами перемешивания химических элементов под конвективной зоной. Согласно современным представлениям, существенное (на эволюционных масштабах времени) сгорание Li7 может происходить при температурах > 2.5 · 106 K, что соответствует глубине > км ниже основания конвективной зоны Солнца. По одному из наиболее вероятных сценариев перенос Li7 со дна конвективной зоны до области его сгорания осуществляется слабой турбулентностью. Такая турбулентность может возбуждаться неустойчивостями крупномасштабных сдвиговых течений и для нее характерна сильная анизотропия. Вектор флуктуационной скорости лежит преимущественно в горизонтальных плоскостях. В диссертации проведен (аналитический) расчет данной анизотропии. Показано что эффективность перемешивания уменьшается обратно пропорционально параметру анизотропии A =, где u||, u – среднеквадратичные скорости турбулентноu|| сти для вертикального и горизонтального направлений соответственно. Расчеты проведены методом перенормировки по спектру турбулентности. Кроме того, учтено влияние вращения на турбулентную диффузию примеси. Показано, что даже при отсутствии в фоновой турбулентности радиальных скоростей перемешивание по радиусу возникает под действием сил Кориолиса и порождает радиальную диффузию примеси. В то же время при очень быстром вращении турбулентное перемешивание, в целом, и радиальное перемешивание, в частности, ослабляются. Поэтому для быстровращающихся звезд следует ожидать повышенного содержания Li7.

Полученные коэффициенты анизотропной диффузии примеси использованы в численной модели эволюции содержания Li7 на Солнце и других звездах поздних спектральных классов. Показано, что вследствие ослабления турбулентного перемешивания на быстро вращающихся звездах должно наблюдаться более высокое содержание Li7. Данный вывод впоследствии был подтвержден данными наблюдений содержания Li7 в холодных звездах молодых звездных скоплений. Кроме того, численная модель была использована для определения диапазона параметров турбулентности под конвективной зоной, соответствующего наблюдаемому в настоящее время содержанию Li7 на Солнце. Показано, что даже строго горизонтальная турбулентность с A 1 должна быть весьма слабой или же короткокоррелированной во времени, чтобы обеспечить достаточно медленный перенос лития в область сгорания с температурой выше 2.6 млн. градусов. Важно отметить, что такая слое под конвективной зоной.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Глава Основные нелинейные эффекты солнечного динамо 1.1 Макроскопическая магнитная гидродинамика 1.1.1 Причины магнитной активности: вращение и конвекция Магнитные поля Солнца и подобных ему звезд генерируются механизмами динамо, в которых ключевую роль играют вращение и конвекция, [109, 100, 87]. Данный вывод подтверждается наблюдениями магнитной активности холодных звезд главной последовательности [146, 145, 149]. В частности, измерения магнитной активности по хромосферным линиям [137, 139] показывают корреляцию со скоростью вращения. Высокий уровень активности демонстрируют быстровращающиеся звезды. Конвекция – это также важнейшее условие для генерации магнитных полей на звездах. Согласно [136, 138, 139], динамо солнечного типа обнаруживается на всех вращающихся звездах, обладающих внешней конвективной зоной. Конвективный теплообмен между недрами звезды и фотосферой происходит в условиях, когда число Рэлея, характеризующее отношение мощности сил плавучести к мощности вязкой диссипации велико, R 1. Конвекция при таких условиях имеет турбулентный характер [20]. Турбулентная конвекция во вращающейся стратифицированной среде является, по всей вероятности, источником дифференциального вращения конвективных зон Солнца и ему подобных звезд [122].

Первый сценарий генерации магнитных полей, основанный на взаимодействии дифференциального вращения и циклонической турбулентной конвекции был предложен Паркером [110]. Данный механизм подробно рассматривается в монографиях [7, 87, 100, 109]. Основная идея заключалась в том, что вмороженные в плазму полоидальные силовые линии магнитного поля могут вытягиваться дифференциальным вращением с образованием крупномасштабного тороидального магнитного поля. Регенерация полоидального поля обеспечивается взаимодействием циклонической конвекции с тороидальным полем. Следует отметить, что данный механизм в том или ином варианте является основой всех современных сценариев солнечного динамо [57, 62, 87, 109, 51, 54].

Последовательная и самосогласованная формулировка теории солнечного динамо возможна с использованием современных методов теории турбулентности и магнитной гидродинамики средних полей. Математические основы МГД средних полей изложены в монографиях [87, 100, 109], см также [39, 101]. Ниже мы сформулируем основные уравнения и приближения МГД средних полей, которую будем также называть макроскопической МГД. Это название, по-видимому, лучше отражает физический смысл используемого подхода, поскольку применяемое в нем усреднение выделяет большие пространственные масштабы по сравнению с характерными масштабами турбулентных флуктуаций.

1.1.2 Основные уравнения В турбулентной среде скорость V и магнитное поле B имеют, как средние так и флуктуирующие компоненты:

где усреднение обозначено чертой сверху, а штрихом помечены случайные составляющие полей. Усреднение проводится по ансамблю реализаций турбулентности. Первым и наиболее существенным приближением магнитной гидродинамики средних полей является предположение о разделении пространственных и временных масштабов средних и флуктуирующих компонент поля [39, 100, 109, 87]:

где L, T - пространственный и временной масштабы изменений средних полей и c, c - соответствующие (корреляционные) масштабы турбулентных течений. При выполнении условия о разделении масштабов средних и случайных полей усреднение по ансамблю тождественно процедуре усреднения по времени или пространству [87].

На Солнце разделение масштабов не является четко выраженным. Пространственная иерархия масштабов солнечных магнитных полей простирается от самых мелкомасштабных полей эфемерных активных областей и полей сетки до корональных образований, связанных с межпланетным магнитным полем и охватывающих все Солнце [68, 163]. В тоже время, солнечная активность показывает явные признаки крупномасштабной организации поведения магнитных полей и течений. К таким признакам можно отнести: 1) 11-летнюю цикличность появления солнечных пятен, закон Хэйла и экваториальный дрейф пятнообразования в цикле [9]; 2) периодическая смена знака полярных магнитных полей и полярный дрейф активности полярных факелов согласованный с магнитной активностью на низких широтах [9, 96]; 3) дифференциальное вращение Солнца; 4) вековые вариации дифференциального вращения и магнитной активности Солнца [172, 173, 174, 72]. По этой причине, применяя двухмасштабное приближение, мы будем отождествлять крупномасштабные магнитные поля с компонентами, изменяющимися с характерными временами порядка 11-летнего цикла и более. Мелкомасштабные поля будем считать изменяющимися в пределах типичных пространственных масштабов ячеек солнечной гигантской конвекции, которая имеет характерные размеры 30. Ячейки гигантской конвекции могут существовать более одного солнечного оборота [102]. Следует заметить, что наблюдательных свидетельств гигантской конвекции на Солнце все еще мало.

Усреднение уравнений индукции и Навье-Стокса для высокопроводящей где для сокращения записи введено обозначение для тензора турбулентных напряжений:

Угловыми скобками обозначена процедура усреднения случайных компонент по ансамблю и V (i,j) = i V j + j V i - тензор деформаций среднего течения,, - магнитная диффузия, и вязкость, fiE - внешняя сила, например, гравитационная. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Система (1.2) содержит ряд неизвестных величин. В первую очередь это корреляционные функции флуктуационных полей, описывающие индукционные и диссипативные эффекты турбулентности. Среди них средняя электродвижущая сила (ЭДС) турбулентных течений E = u b и турбулентные напряжения T ij. Давление и плотность среды определяются уравнением состояния. Мы не будем выписывать их здесь, а уточним ниже при постановке конкретных задач.

Интересно отметить, что общий вид вкладов турбулентности в уравнения для средних полей может быть выписан, исходя только лишь из предположения о разделении масштабов [88]. Согласно [87, 100, 101, 82, 6, 134] справедливы следующие разложения для средней ЭДС и турбулентных напряжений:

В общем случае, тензорные коэффициенты в (1.3,1.4) зависят от безразмерных параметров, определяющих влияние крупномасштабных магнитных полей и вращения на турбулентность. Степень влияния магнитного поля характеризуется отношением энергии магнитного поля к энергии турбулентных пульсаций =. Влияние вращения на турбулентность характериu зуется числом Кориолиса: = 2c, где - угловая скорость, а c - типичное время распада конвективных ячеек.

Коэффициенты в (1.3,1.4) в нулевом приближении в разложении по отноc шению масштабов описывают генерацию и эффективный перенос крупноL масштабных магнитных полей, а также источники крупномасштабной неоднородности течений [123, 122, 87, 100]. Коэффициенты при пространственных производных магнитного поля и скорости дают турбулентную диффузию и вязкость соответственно. Заметим также, что эффекты генерации магнитного поля в (1.3) описываются тензором ij, который является нечетной функцией. Четные по числу Кориолиса вклады содержатся в ij и описывают турбулентный перенос крупномасштабного магнитного поля. Таким образом, справедливо представление ij = inj Vn дрейфа магнитного поля в турбулентной среде [87, 82].

Для определения турбулентных напряжений и средней ЭДС необходимо рассмотреть уравнения для флуктуационных полей. Процедура их получения описана в [87]. Во вращающейся вместе со средой системе координат получаем Уравнения (1.5,1.6) содержат корреляции второго порядка. Для нахождения решений необходимо применить некоторую процедуру замыкания. Один из известных методов в магнитной гидродинамике средних полей состоит в - 30 пренебрежении вторыми моментами : G, T. Такой подход называют квазилинейным приближением [87] или приближением сглаживания первого порядка [100, 101]. Оценки и обсуждение пределов применимости данного приближения содержатся в [87, 100, 101]. В частности, данная процедура линеаризации оправдана, если число Струхаля мало ( S = uc /c 1). Кроме того, как указывает Моффат [101], квази-линейное приближение справедливо и при S 1 для быстро вращающихся сред, когда турбулентность может быть представлена как суперпозиция слабо взаимодействующих инерциальных волн.

Другая часто используемая процедура замыкания (1.5,1.6) состоит в том, чтобы вторые моменты вместе с производными по времени заменить на релаксирующий член. Иными словами, будем считать, что нелинейные взаимодействия, описываемые G, T, приводят к "распаду"флуктуаций b и u за корреляционное время турбулентных течений c Данное приближение обычно называется приближением длины перемешивания. Оно является простейшим вариантом другого часто используемого в расчетах в теории турбулентности приближения -релаксации. В приближении -релаксации замыкание типа (1.8) проводят обычно не для первых, а для вторых моментов, выражая третьи моменты через -релаксирующие вторые.

Следует заметить, что в этом случае конечный результат для корреляций типа ui bj, uiuj, bi bj должен совпадать с решением в приближении длины перемешивания [6]. Приближение (1.8) очень удобно для практических приложений, поскольку параметры турбулентности в данном случае можно выразить через известные характеристики термодинамического состояния вещества в недрах конвективной зоны, например градиент средней энтропии [156].

В целом приближение (1.8) не дает преимуществ в точности получаемых результатов, по сравнению с квази-линейным приближением, однако позволяет существенно упростить вычисления. В дальнейшем мы будем использовать оба приближения в зависимости от конкретной постановки задачи.

Обычно в нелинейных моделях динамо ограничиваются исследованием совместной эволюции крупномасштабного магнитного поля и поля скорости (дифференциального вращения), рассматривая совместное решение системы (1.2), например [151, 152, 113, 97]. При этом характеристики турбулентности в конвективной зоне считаются заданными. Получается, что конвективные источники энергии возбуждаемых магнитных полей и дифференциального вращения исключены из рассмотрения, и постановка задачи является не замкнутой.

Интенсивность конвективной турбулентности на звездах солнечного типа может быть определена из градиента средней энтропии [156]. Для нахождения градиента средней энтропии необходимо решать уравнение переноса тепла во вращающейся конвективной оболочке с учетом влияния крупномасштабных магнитных полей и дифференциального вращения. Такое уравнение было впервые сформулировано в [26].

Согласно [21] общий закон сохранения энергии магнитной гидродинамики гласит:

где - удельная внутренняя энергия, S - вектор потока электромагнитной энергии, F - поток энергии из-за молекулярных процессов и излучения, - тензор вязких напряжений. Предположим, что среда является идеальным газом, а также выполняется условие неупругости · V = 0, тогда (1.9) можно переписать в виде где T, Cp, S- температура, удельная теплоемкость при постоянном давлении и удельная энтропия, соответственно, ij = ij P ij и P - давление. Разложим теперь все величины на средние и случайные компоненты и усредним по ансамблю флуктуаций. Будем пренебрегать величинами второго порядка относительно флуктуаций термодинамических величин, но сохраним произведения этих флуктуаций с полем скорости. Это соответствует приближению потока массы, слагаемые u также не учитываются. С учетом сказанного имеем где Fc = Cp T u - конвективный поток тепла. Общий вид выражения для конвективного потока можно, подобно (1.3,1.4), записать, не вычисляя корреляции T u. Согласно [82, 155], где ij - турбулентная температуропроводность, которая в общем случае, также как и тензорные коэффициенты (1.3,1.4), зависит от параметров влияния крупномасштабного магнитного поля и вращения на турбулентность, таких как,. Конвективная турбулентность дает мелкомасштабные флуктуации скорости и магнитного поля. Для построения численных моделей динамо, учитывающих теплоперенос, мы будем использовать приближение длины перемешивания. В данном приближении интенсивность конвекции определяется распределением средней энтропии. Поэтому можно считать, что скорость воспроизводства средней энтропии T включает в себя измеt нения энергии мелкомасштабных флуктуаций скорости и магнитного поля. В этом случае мы учитываем влияние мелкомасштабных полей на эволюцию средних полей и отказываемся от рассмотрения эволюции самих мелкомасштабных флуктуаций. Построенная теория будет корректной при описании вариаций теплопереноса на больших масштабах времени изменения средних полей, т.е. времени динамо-цикла. Для учета более короткопериодических вариаций необходимо отказаться от использования теории длины перемешивания, и для описания мелкомасштабных полей использовать более аккуратные методы теории турбулентности. В принятых приближениях уравнение (1.10) дает основе (1.2) и, учитывая общий вид турбулентных вкладов (1.3,1.4,1.11), получим уравнение, описывающее скорость изменения средней энтропии в турбулентной среде с учетом влияния крупномасштабных полей:

Полученному уравнению можно дать простую интерпретацию. Первое слагаемое в правой части описывает перенос тепла меридиональной циркуляцией.

Далее идут члены, описывающие турбулентную конвекцию и перенос тепла излучением и молекулярными процессами. Вторая строка описывает затраты энергии на генерацию дифференциального вращения и нагрев из-за вязкой диссипации течений, а последняя строка - затраты турбулентной энергии на генерацию КМП и нагрев вследствие диссипации магнитных полей. Таким образом, соотношение (1.12) описывает баланс тепловой энергии в конвективной зоне с учетом ее затрат на генерацию крупномасштабных магнитных полей и течений. Данный закон сохранения является основой для описания влияния крупномасштабных магнитных полей и течений на конвективную турбулентность. В 4 главе диссертации мы применим (1.12) к описанию 11летних вариаций светимости Солнца.

Для дальнейшего необходимо конкретизировать общий вид уравнений, описывающих эволюцию средних магнитных полей, дифференциальное вращение и термодинамику в конвективной оболочке Солнца. Будем считать, что средние поля обладают цилиндрической симметрией относительно оси вращения. Вектор индукции осесимметричного крупномасштабного магнитного поля B содержит тороидальную (азимутальную) и полоидальную составляющие Крупномасштабное поле скорости соответствует дифференциальному вращению:

Средняя энтропия в дальнейшем обозначается как S (r, ). Не конкретизируя пока турбулентных вкладов (1.3,1.11,1.4), запишем уравнения для крупномасштабных полей в конвективной оболочке Солнца:

Математическая модель, опирающаяся на уравнения (1.15,1.16,1.17,1.18), обеспечивает замкнутое описание эволюции средних полей во вращающейся турбулентной среде. При этом считаем, что возмущения стратификации под влиянием крупномасштабных магнитных полей и дифференциального вращения малы. Представленная модель допускает ряд приближений и упрощений. Например, кинематическое динамо описывается системой (1.15,1.16), при этом дифференциальное вращение, подчиняющееся уравнению (1.17), считается заданным. В полной нелинейной модели все крупномасштабные характеристики, такие как: магнитное поле, дифференциальное вращение и средний градиент энтропии, взаимосвязаны. Такую модель мы будем называть термомагнитным динамо.

1.2 Основные нелинейности динамо средних полей Перейдем к обсуждению основных нелинейных эффектов, возникающих в задачах о генерации крупномасштабных полей. Кроме того, обсудим некоторые наблюдаемые проявления нелинейных эффектов. В соответствии с двухмасштабным приближением (1.1) обратное влияние магнитных полей на течения можно разделить на мелкомасштабные и крупномасштабные нелинейности.

На мелких масштабах нелинейные эффекты возникают из-за обратного влияния магнитных полей и вращения на конвективную турбулентность. При этом считается, что перестройка конвективных течений под действием средних полей происходит за время совпадающее с характерным временем оборота конвективных ячеек.

1.2.1 Крупномасштабные и мелкомасштабные силы Лоренца Наблюдаемые на Солнце периодические зональные течения [69, 72, 91] можно объяснить воздействием магнитных полей. На это прямо указывает 11-летний период крутильных колебаний. Период изменения глобальных магнитных полей в солнечных циклах приблизительно вдвое больше. Неудивительно, что сила Лоренца, являясь величиной второго порядка относительно магнитного поля, возбуждает гидродинамические колебания на удвоенной частоте магнитного цикла.

Дифференциальное вращение участвует в генерации солнечных магнитных полей и является источником сильного азимутального поля. Обратное основных нелинейных эффектов гидромагнитного динамо. На макро-уровне этот эффект проявляется в виде максвелловских напряжений средних полей (см ур. (1.17)) :

которые возникают, как противодействие искажению силовых линий крупномасштабного магнитного поля дифференциальным вращением. Данную нелинейность иногда называют эффектом Малкуса-Проктора [97, 151, 152, 169]. Необходимо отметить, что прямое влияние магнитных полей на дифференциальное вращение через крупномасштабную силу Лоренца для солнечных условий не является эффективным. Причина в относительной малости полоидального магнитного поля. Вместе с ним мала и зональная составляющая силы Лоренца. К сожалению, имеются лишь косвенные данные о напряженности крупномасштабного тороидального поля Солнца в конвективной зоне. Если судить по солнечным пятнам, напряженность тороидального поля может достигать 1кГс [109]. Заметим, что оценка этой величины зависит от предполагаемого сценария генерации [62, 59, 70, 100]. Такое относительно большое тороидальное магнитное поле способно эффективно влиять на солнечную конвекцию и, следовательно, на конвективные потоки углового момента T ij, т.е. на - эффект и турбулентную вязкость.

Модификация конвективных потоков углового момента крупномасштабным тороидальным магнитным полем привносит в уравнения динамо дополнительную нелинейность, которую мы в дальнейшем условимся называть нелинейностью. Как было показано в [78, 80, 16], - нелинейность может быть не только источником крутильных колебаний Солнца, но приводит также к долгопериодической модуляции магнитных циклов, подобной вековому циклу солнечной активности [172, 9]. Кроме того существуют наблюдательные свидетельства вековых модуляций 11-летних крутильных колебаний [22].

Мощные проявления взаимодействия магнитных полей и вращения, по всей вероятности, обнаруживаются на двойных системах типа RS CVn (двойная RS Гончих Псов). Как указывается в [28, 93, 92], периодические изменения в перераспределении углового момента (иначе говоря, крутильные колебания) в конвективной оболочке главной звезды порождают возмущения квадрупольного гравитационного потенциала и потому приводят к возмущениям орбитального периода компаньона.

1.2.2 Плавучесть магнитных полей Плавучесть магнитных полей до сих пор считалась важнейшим из эффектов переноса для космического динамо [59, 70, 109, 111]. Важность этого явления для теории динамо обусловлена тем, что магнитная плавучесть приводит к выносу магнитных полей из области их генерации, уменьшая таким образом эффективность динамо. При рассмотрении этого явления многие авторы ограничиваются представлением магнитного поля в виде трубок, по разному учитывая влияние турбулентности в атмосфере на движение трубки. Согласно Паркеру, всплытие магнитной трубки с напряженностью в несколько сотен гаусс ото дна конвективной зоны до солнечной поверхности происходит за время менее одного солнечного оборота.

Интересно отметить, что для малых солнечных активных областей и магнитных полей сетки, представление о всплывающих тонкоструктурных элементах магнитного поля, подобных магнитным трубкам, оказывается вполне оправданным с точки зрения наблюдений. В тоже время, формирование более крупномасштабных магнитных образований, например солнечных пятен, происходит, видимо, по иному сценарию нежели простое всплытие трубки магнитного потока. Уравнения динамо, как уже отмечалось выше, оперируют еще более крупномасштабными магнитными образованиями, чем магнитные поля пятен или даже крупных активных областей. Поэтому включение плавучести в уравнения динамо требует расчета данного эффекта в рамках макроскопичекой магнитной гидродинамики. Фактически необходим соответствующий расчет вкладов вида V(ef ) B в крупномасштабную ЭДС.

Такая задача была решена в [84, 14] и будет более подробно рассмотрена в следующей главе. Результаты показывают, что роль эффекта плавучести в солнечном динамо, по всей вероятности, переоценена. Об этом же говорят результаты трехмерных численных экспериментов. Согласно [39], магнитогидродинамическая турбулентность при больших числах Рейнольдса является перемежаемой. В таком состоянии мелкомасштабные концентрированные магнитные структуры, подобные магнитным трубкам, возникающие из слабо-неоднородного крупномасштабного магнитного поля, распадаются за время существования турбулентных вихрей. Крупномасштабное магнитное поле находится в гидростатическом равновесии со средой. Среднее состояние гидростатического равновесия конвективной зоны поддерживается балансом многих сил, в которых наряду с гравитацией, крупномасштабной силой Лоренца и центробежной силой участвуют также и турбулентные напряжения, вызываемые конвективной турбулентностью и мелкомасштабными магнитными полями (этот вопрос более подробно рассмотрен в части 4.4). Магнитные неоднородности, всплывая, дают в среднем перенос крупномасштабного магнитного поля вверх и затем распадаются. Взамен появляются новые магнитные неоднородности и процесс многократно повторяется. Таким образом, эффективная скорость всплывания среднего поля, в силу своей статистической природы, может быть гораздо меньше скорости всплывания магнитный трубок, имеющих малое время жизни по сравнению с крупномасштабным полем.

1.2.3 Нелинейный -эффект В наиболее противоречивом состоянии в данный момент находится вопрос об -эффекте и степени его ослабления в магнитном поле. Этот вопрос обсуждался в ряде работ, например в [41, 42, 44, 100]. Основная трудность для расчета -эффекта состоит в том, что необходимо учитывать вклад как кинетической, так и токовой спиральности. Последняя трудно поддается расчету.

Как отмечают [7, 6], реакция мелкомасштабных полей и течений на крупномасштабное магнитное поле происходит на разных временных масштабах, характеризующих эволюцию системы в целом. Согласно принятым предположениям (1.1) существует два основных временных масштаба. Одно из них - корреляционное время турбулентности c, которое можно назвать характерным гидродинамическим временем адаптации турбулентности [6, 100]. Другой масштаб времени связан с эволюцией средних полей. Он определяется - 39 периодом магнитного цикла и временем турбулентной диффузии крупномасштабного магнитного поля. С точки зрения эволюции средних магнитных полей перестройка турбулентности на гидродинамических интервалах времени происходит практически мгновенно.

Для изучения влияния динамической перестройки мелкомасштабных магнитных полей на эволюцию средних полей, система уравнений (1.15,1.16) и (1.17,1.18) должна быть дополнена уравнениями эволюции для таких характеристик турбулентности, как токовая спиральность hc = b(0) · rotb(0), где индекс(0) означает, что данное мелкомасштабное магнитное поле генерируется независимо от крупномасштабного посредством "мелкомасштабного динамо"[6]. Строго говоря, отсутствие средних полей и вращения означает также и отсутствие источников мелкомасштабной токовой спиральности. В этом случае b(0) · rotb(0) = 0. Тогда вместо b(0) · rotb(0) следует рассматb(0) + b · rot b(0) + b, где b - флуктуации ривать величину типа hc = среднего магнитного поля. К настоящему времени не найдено последовательной процедуры получения уравнений, описывающих hc. Как указывает Моффат [100], процедуры получения эволюционных уравнений для hc, основанные на законе сохранения магнитной спиральности, например [6], являются некорректными поскольку это физически разные величины, имеющие, кроме прочего, и разный характер распределения по спектру турбулентных масштабов.

Кроме того, в [24] мы показали, что для сжимаемой однородной среды фактор ослабления -эффекта магнитным полем может зависеть от степени влияния вращения на турбулентность, т.е. от числа Кориолиса. При быстром вращении ( 1) влияние магнитных полей на значительно меньше, чем при медленном (когда 1). Состояние 1 является типичным для конвективной турбулентности вблизи основания конвективной зоны, поэтому следует ожидать, что данные слои Солнца более благоприятны для динамо, чем верхняя половина конвективной оболочки, где 1.

Следует учитывать, что результаты цитированной выше работы [24] являются предварительными, поскольку не рассматривались главные факторы, влияющие на величину - эффекта во вращающейся конвективной зоне, это В статье Рюдигера и Кичатинова [123] сделан расчет - эффекта для неоднородной конвективной турбулентности. Недостатком работы является то, что нелинейные эффекты магнитного поля рассмотрены только для случая медленного вращения.

Таким образом, на данный момент вопрос об обратном влиянии магнитных полей на - эффект остается весьма неясным и, по-видимому, одним из наиболее слабых мест теории динамо. Анализ одновременного влияния вращения и магнитного поля на - эффект требует дополнительных расчетов и исследования. В диссертации учет влияния магнитного поля на - эффект осуществлен путем комбинирования известных результатов работ [123, 24].

1.3 Влияние магнитного поля и вращения на турбулентность Воздействие крупномасштабных полей приводит к изменению интенсивности турбулентности и свойств симметрии ее усредненных характеристик. Как мы увидим, такое воздействие может приводить к существенному изменению в эволюции средних полей в турбулентной среде. Кроме того, расчеты одновременного воздействия магнитного поля и вращения на турбулентность будут привлекаться для интерпретации нелинейных эффектов динамо, рассматриваемых в последующих разделах.

Мерой воздействия вращения на конвекцию является число Кориолиса:

= 2c, где c - характерное время распада (существования) турбулентных конвективных ячеек. Если конвекция происходит в быстро вращающейся среде, то движения подчиняются ограничениям теоремы Тэйлора-Праудмена [2, 58], которая утверждает, что конвекция в данном случае приближается к двухмерному состоянию, при котором скорости движения вещества в конвективной ячейке слабо зависят от направления вдоль оси вращения.

Для глубоких слоев конвективной зоны Солнца, по всей вероятности, реализуется именно случай быстрого вращения. Для гигантской конвекции, которая зарождается вблизи основания конвективной зоны, справедлива оценка 6 [156]. Поэтому известные численные модели быстро вращающегося конвективного слоя сжимаемой конвекции предсказывают существование бананообразных ячеек вытянутых вдоль оси вращения [43]. Несмотря на многочисленные наблюдательные попытки такой тип конвекции на Солнце не обнаружен. Кроме того, нет надежных наблюдательных свидетельств в пользу существования самой гигантской конвекции. Возможной причиной является экранирование гигантской конвекции поверхностными ячейками, для которых 1. Как отмечается в [10, 133] крупномасштабная конвективная циркуляция должна формировать вблизи поверхности пограничный слой, способствующий возникновению мелкомасштабной конвекции.

Мерой воздействия магнитного поля на конвекцию является отношение энергии магнитных полей и конвективных течений =. Под влиu янием однородного магнитного поля конвекция также стремится к двухмерному состоянию, при котором скорости в конвективных ячейках слабо меняются вдоль магнитного поля [49].

Анализ поведения турбулентности в магнитном поле или вращающейся среде отличается от случая ламинарной конвекции. При анализе турбулентности основной интерес представляют поведение ее корреляционных характеристик и параметров анизотропии. В [133, 131, 132] был получен ряд результатов по анизотропии и интенсивности турбулентных течений в магнитном поле и во вращающейся среде. Было показано, что при увеличении скорости вращения или напряженности магнитного поля состояние турбулентности можно охарактеризовать как квази-двухмерное, поскольку корреляционная длина в направлении оси вращения (или магнитного поля) намного превосходит корреляционные масштабы в поперечных направлениях. Интенсивность турбулентности уменьшается обратно пропорционально напряженности магнитного поля (или скорости вращения) [133, 131, 132].

Цель следующего подраздела - расчитать параметры турбулентности при одновременном воздействии магнитного поля и вращения.

По всей вероятности, доминирующей компонентой крупномасштабного магнитного поля (КМП) Солнца является его азимутальная составляющая [109].

Поэтому далее будем учитывать лишь эту компоненту КМП. В данном параграфе будем считать среду несжимаемой и пренебрегать ее неоднородностью.

С учетом принятых приближений можно получить следующие уравнения для флуктуационных полей (1.5,1.6) в квази-линейном приближении:

Наша задача состоит в том, чтобы рассчитать корреляции ui uj, проанализировать зависимость интенсивности турбулентности u2 и ее анизотропии от параметров и. Для решения такой задачи необходимо еще определить случайные силы fi. Для этого вводят понятие "исходной"турбулентности [87, 132], возбуждаемой стохастическими силами в отсутствии магнитных полей и вращения. Свойства этой турбулентности предполагаются заданными.

Принимается, что флуктуационное поле скорости исходной турбулентности, обозначаемое далее через u(0), удовлетворяет соотношению, Здесь и далее надстрочный индекс соответствует исходной турбулентности. При помощи (1.21) случайные силы исключаются из (1.21,1.20). Переходя к Фурье представлению в (1.21,1.20) и исключая давление с помощью условия несжимаемости, можно получить решение уравнения Навье-Стокса для Фурье - компоненты флуктуационной скорости u = где VA - Альфвеновская скорость. Дальнейшие преобразования целесообразно проводить в приближении длины перемешивания, используя представление для спектральной плотности флуктуаций поля скорости стационарной и однородной турбулентности, предложенное в [73] где E(k, ) спектральная плотность для фоновой турбулентности:

После обратного преобразования Фурье корреляционной функции флуктуаций скорости и некоторых промежуточных вычислений получим где M = 1 + 2t2 +2 1 t2 и bi = Bi/ |B|, ei = i / || - единичные векторы вдоль направлений магнитного поля и угловой скорости. В отсутствие магнитного поля или вращения мы возвращаемся к известным из литературы результатам [131, 122, 132].

Определим характерный корреляционный масштаб турбулентности в некотором направлении J:

Используя это определение и решение (1.24), найдем интенсивность турбулентности u2, а также корреляционные масштабы вдоль азимутального направления (вдоль магнитного поля) lB и вдоль оси вращения l :

Интегралы в (1.25,1.26) эллиптического типа и в общем случае не могут быть выражены через элементарные функции. В работе [115] для них приведены асимптотические оценки и аппроксимирующие формулы, основанные на преобразованиях Ландена. Для общего случая результат выглядит очень громоздко. Поэтому требуются дополнительные упрощения. Как упоминалось выше, в недрах конвективной зоны Солнца влияние сил Кориолиса значительно ( 1). Для этого случая результаты существенно упрощаются:

Из (1.27) следует, что в пределе быстрого вращения интенсивность турбулентности обратно пропорциональна скорости вращения и напряженности магнитного поля. Согласно (1.28), в пределе 1 корреляционный масштаб вдоль магнитного поля растет с увеличением напряженности как sqrt и не зависит от скорости вращения среды. При этом корреляционный масштаб турбулентности вдоль оси вращения растет как и убывает в зависимости от магнитного поля как. Общие зависимости исследуемых параметров турбулентности для произвольных, показаны на рис.1.1.

Из рис.1.1 видно количественное различие в поведении корреляционных масштабов турбулентности при одновременном воздействии магнитного поля и вращения. Например, в отсутствии вращения масштаб конвективных ячеек вдоль магнитного поля при = 2 увеличивается примерно вдвое относительно исходного. В режиме быстрого вращения и при тех же значениях напряженности магнитного поля имеем B c.

О подавлении - эффекта магнитным полем в быстровращающейся 1.3.1. Последний результат говорит о том, что учет влияния вращения может оказаться очень важным при анализе нелинейного влияния магнитного поля тех эффектов динамо, для которых анизотропия турбулентности играет ключевую роль. Такая ситуация типична для МГД средних полей. В качестве примера можно назвать альфа-эффект, анизотропный перенос крупномасштабного магнитного поля во вращающейся среде и др. Известно, что в пределе сильного магнитного поля 1 "гидродинамическая"составляющая эффекта уменьшается с ростом напряженности поля по закону 3 [100, 123].

Закон 3 справедлив для предела медленного вращения 1.

Кубичный закон подавления эффекта можно интерпретировать следующим образом. Мы показали, что масштаб турбулентности вдоль магнитного поля растет пропорционально, а вдоль оси вращения убывает в той же степеной зависимости от напряженности поля. Это означает, что турбулентные течения быстро теряют способность к генерации магнитных полей, поскольку турбулентность стремится к состоянию u b и тогда В случае быстрого вращения масштаб турбулентности вдоль оси вращения меняется мало если напряженность магнитного поля умеренная ( 1).

Поэтому подавление эффекта при этих условиях не должно быть столь катастрофическим, как при медленном вращении. Этот результат подтверждается нашими расчетами (см. [24]).

- 46 Рис. 1.1: Интенсивность турбулентности и отношение корреляционных масштабов при различных значениях безразмерных параметров напряженности магнитного поля и скорости вращения. Вверху, слева показано изменение интенсивности u2 / u(0)2. Вверху справа - отношение корреляционных масштабов в разных направлениях /B. Внизу, слева - корреляционный масштаб вдоль оси вращения /c. Внизу, справа - масштаб вдоль магнитного поля B /c.

Полученные результаты дают возможность проанализировать возможную структуру крупномасштабной конвекции на Солнце. Как уже отмечалось, к настоящему времени нет надежных наблюдательных свидетельств в пользу самого существования гигантской конвекции. Если представить, что влияние магнитных полей на движения в конвективной зоне мало, тогда, согласно полученным результатам, а также по результатам имеющимся в литературе [43, 49, 59, 133], следует, что на Солнце можно ожидать конвекцию бананообразного типа с ячейками, вытянутыми вдоль оси вращения, поскольку в глубине конвективной зоны предполагается 6 [156]. Существование не слабого магнитного поля при 1 существенно изменяет эту картину. Как показал в свое время Чандрасекар [49], совместное влияние магнитных полей и вращения может вообще приводить к дестабилизации конвективного слоя Допустим теперь, что в объеме конвективной зоны существует крупномасштабное магнитное поле с напряженностью 1. Число Кориолиса зависит от глубины в конвективной зоне от 1 в приповерхностных слоях до 6 вблизи основания [156]. При этом /B должно меняться от 0.7 у поверхности до 2.5 вблизи дна конвективной зоны. Ввиду явно выраженной радиальной составляющей скорости конвективных течений на Солнце, трудно себе представить существование конвективной ячейки, охватывающей всю толщину конвективной зоны и имеющую заданные геометрические свойства.

Таким образом, влияние крупномасштабного магнитного поля приводит к разрушению бананообразной структуры крупномасштабной конвекции. Численные расчеты, выполненные Робертсом [133], свидетельствуют о том, что при одновременном воздействии вращения и крупномасштабного тороидального магнитного поля конвекция является нестационарной. Кроме того Гетлинг [10] отмечает, что крупномасштабная конвективная циркуляция создает условия для формирования вблизи поверхности пограничного слоя, вызывающего возникновение мелкомасштабной конвекции.

в случае когда магнитное поле параллельно силе тяжести - 48 Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод о том, что одновременное воздействие крупномасштабного азимутального магнитного поля и вращения на конвекцию способствует дестабилизации и усложнению картины турбулентных течений в конвективной зоне Солнца.

Глава Плавучесть крупномасштабных полей и турбулентный перенос в КЗ Солнца 2.1 О турбулентном переносе крупномасштабных магнитных полей Известно, что турбулентная конвекция приводит, в частности, к направленному переносу КМП. Рассмотрим кратко возможные причины переноса КМП в турбулентной среде. Первым из эффектов турбулентного переноса магнитного поля был обнаружен турбулентный диамагнетизм [13]. Данный эффект состоит в том, что турбулентные течения вытесняют КМП в области с относительно низкой интенсивностью перемешивания. В тоже время, магнитные флуктуации в турбулентной среде, генерируемые мелкомасштабным динамо создают эффективный перенос поля в область более сильных магнитных пульсаций [6]. Как отмечает Вайнштейн [6], если плотность энергии магнитных флуктуаций, возникающих в мелкомасштабном динамо, сравнима с энергией гидродинамической турбулентности, то суммарный перенос среднего магнитного поля в пространственно-неоднородной турбулентной среде должен отсутствовать. В подразделе 2.3.2 показано, что для общего случая это не так. Учет влияния вращения и магнитного поля приводит к конечной диамагнитной накачке (переносу) КМП в КЗ.

Для Солнца одним из наиболее значимых физических факторов является неоднородность плотности солнечной плазмы. Плотность вещества меняется на 6 порядков от дна конвективной зоны до уровня фотосферы [156].

среде приводит к важным эффектам среднего дрейфа КМП - анизотропному переносу магнитных полей [73]. Полоидальные и азимутальные компоненты КМП дрейфуют в разных направлениях. Полоидальное поле переносится неоднородными турбулентными течениями к оси вращения звезды, тогда как азимутальное поле дрейфует в направлении от оси. Подробная физическая интерпретация данных явлений содержится в цитированной выше статье Кичатинова, [73]. Данный эффект очень важен для понимания наблюдаемых на Солнце экваториального дрейфа пятенной активности, [9], и полярного дрейфа волокон спокойных областей Солнца, [94], отражающих крупномасштабную структуру радиального магнитного поля. Ниже, эффекты переноса магнитных полей неоднородной турбулентностью во вращающейся среде будут обобщены на случай произвольной напряженности магнитного поля и скорости вращения.

Плавучесть магнитных полей до сих пор считалась важнейшим из эффектов переноса для космического динамо [109, 59, 100]. При анализе этого явления многие авторы ограничиваются представлением магнитного поля в виде магнитных трубок, по разному учитывая влияние турбулентности на движение трубки в атмосфере Солнца. Теория динамо оперирует с понятием крупномасштабного магнитного поля, поэтому для корректного включения эффекта плавучести в макроскопические уравнения магнитной гидродинамики необходимо расчитать скорость всплывания среднего магнитного поля в турбулентной атмосфере. Результаты этих расчетов опубликованы в [14, 84].

В отличие от магнитной трубки в спокойной атмосфере, плавучесть средних полей возникает, как статистический эффект от подъема и опускания мелкомасштабных магнитных неоднородностей, возбуждаемых при деформации КМП. Магнитные неоднородности, всплывая и распадаясь дают средний перенос КМП вверх. Взамен распавшихся возникают новые и процесс повторяется.

2.2 Расчет эффекта плавучести 2.2.1 Плавучесть среднего магнитного поля в не вращающейся атмосфере Математическая задача расчета плавучести заключается в определении средней ЭДС турбулентных течений E = u b. При вычислении эффекта плавучести КМП необходим учет архимедовых сил, конечной сжимаемости среды, а также учет влияния КМП на турбулентность.

В данном подразделе будем предполагать отсутствие среднего течения.

Кроме того, среднее магнитное поле и турбулентная плазма будут считаться пространственно однородными. Данные предположения делаются для того, чтобы упростить изложение. Флуктуации давления и плотности в турбулентной среде связаны с флуктуациями температуры, поэтому в общем случае, при решении данной задачи необходим дополнительный учет уравнений состояния и теплопроводности. Как показывают расчеты, количественные результаты для пределов бесконечно малой и бесконечно большой теплопроводности, (изотермические и адиабатические флуктуации соответственно) мало отличаются друг от друга. Поэтому все вычисления проведены только для этих предельных случаев.

Будем считать, что мелкомасштабные вариации давления и плотности связаны соотношением: p = Cac, где Cac - скорость звука. В основной части конвективной зоны число Маха мало M = u/Cac 1 и вещество является практически несжимаемым [156]. Тем не менее, для расчета магнитной плавучести необходимо учитывать сжимаемость. В несжимаемой среде возмущения магнитного давления, возникающие благодаря мелкомасштабным флуктуациям среднего поля, не влияют на плотность плазмы погруженной в магнитное поле и поэтому архимедова сила равна нулю.

Следуя процедуре, указанной в 1 главе, в квазилинейном приближении, для флуктуационных полей можно использовать линеаризованные уравнения Навье-Стокса, индукции и непрерывности:

где, t, t t- сдвиговая и объемная вязкости, и коэффициент магнитной диффузии с учетом микротурбулентности. Переписывая (2.1,2.2) для Фурье компонент случайных полей получим Тогда среднюю ЭДС турбулентных течений можно выразить через спектральные характеристики флуктуаций скорости и КМП Для завершения вычислений необходимо решить систему уравнений (2.3).

Метод решения и некоторые промежуточные результаты изложены в [14, 84].

Суть решения состоит в разбиении Фурье компонент поля скорости на вихревую us и потенциальную часть up :

где ij = ij kikj и k - единичный волновой вектор. После подстановки разложения в (2.3), решение ищется методом возмущений по малому параметру (uc /Cac)2. Мы выпишем конечный результат. С учетом эффектов сжимаемости, получаем следующие выражения для соленоидальной и потенциальной составляющих флуктуационной скорости:

где потенциальная часть флуктуаций скорости для исходной турбулентности. Исходную турбулентность будем считать статистически стационарной, однородной и изотропной. В этом случае справедливо следующее спектральное представление [1]:

где E, E p- спектры несжимаемой и и сжимаемой компонент турбулентности, соответственно. Интенсивность турбулентности выражается через сумму спектров ее вихревой и потенциальной составляющих Из (2.6) следует, что спектр E p дает второй порядок малости относительно сжимаемости среды. Кроме того, согласно уравнению (2.4) для средней ЭДС, а также (2.7), в нулевом порядке по сжимаемости, архимедовы силы не влияют на возмущения поля скорости и эффект плавучести отсутствует. После подстановки (2.7) в (2.4) и некоторых промежуточных вычислений получим, спектральный параметр, характеризующий отношение энергии КМП к кинетической энергии флуктуаций поля скоростей. Как и ожидалось, скорость всплывания пропорциональна ускорению свободного падения и параметрам сжимаемости среды. Зависимость скорости переноса от напряженности КМП выражается функцией 2K(k,, ), где K дается следующей формулой:

Традиционная, квадратичная зависимость скорости подъема от напряженности магнитного поля получается только для слабых КМП. В этом случае, переходя в выражении для K к пределу 0 получаем, K = cos /15.

Тогда скорость всплывания равна В противоположном пределе больших напряженностей КМП, оставляя слагаемые первого порядка малости по B 1 получаем т.е., для полей с напряженностью выше уровня равнораспределения эффект плавучести ослабляется обратно пропорционально напряженности КМП. Этот результат не укладывается в традиционно используемую зависимость магнитной плавучести типа Vbuo B и возникает вследствие того, что в тензоре - 55 максвелловских напряжений мы учли и давление, и натяжения крупномасштабного магнитного поля.

Эти компоненты тензора напряжений Максвелла играют разную роль в явлении плавучести. Баланс магнитного и газового давления приводит к понижению плотности плазмы в области занятой полем и создает условия для появления архимедовых сил и всплывания КМП. Нетрудно убедится, что эффект плавучести исчезает если пренебречь магнитным давлением.

Магнитные натяжения противодействуют деформации поля и уменьшают скорость подъема, если энергия КМП превосходит кинетическую энергию флуктуаций скорости. Таким образом, немонотонная зависимость скорости подъема от напряженности магнитного поля это следствие магнитных натяжений, возникающих при деформациях магнитного поля.

Физическое истолкование полученного результата состоит в следующем.

Турбулентность, запутывая магнитное поле, порождает магнитные неоднородности, которые или всплывают, или погружаются. Области повышенного магнитного давления порождают локальные разрежения плотности и всплывают. Области с пониженным магнитным давлением имеют относительную плотность выше средней и, поэтому тонут. Всплывающий поток, больше, чем опускающийся. В среднем, это дает перенос поля вверх - против силы тяжести.

Возникновение эффекта обусловлено существованием флуктуаций магнитного давления. Для образования неоднородностей давления, турбулентность должна преодолеть сопротивление магнитного поля деформациям, поэтому натяжение КМП уменьшает величину скорости всплытия. Сильное магнитное поле всплывает медленно поскольку Vbuo B. Этот результат получен благодаря согласованным расчету формирования спектра магнитных неоднородностей. Если, как это обычно делается, амплитуду неоднородностей считать заданной вне зависимости от напряженности КМП, то Vbuo B для произвольной напряженности поля.

скорости подъема КМП в конвективной зоне Солнца Прямое использование результата (2.8) для оценки скорости всплывания КМП в конвективной зоне Солнца представляет трудности, поскольку спектральные функции солнечной турбулентности известны плохо. Перейдем к приближению длины перемешивания. Используя (1.23) получим Для оценки скорости подъема КМП будем использовать тот факт, что, исключая тонкий слой вблизи поверхности, стратификация в конвективной зоне Солнца почти адиабатическая. Относительная величина суперадиабатичности глубже уровня супергрануляции составляет менее 104 [156]. Из уравнения состояния идеального газа находим g/Cac = (Hp )1, где Hp - шкала высот для давления : Hp = ( 1) cp T /g. Параметр учитывает термодинамические свойства турбулентных течений. Для адиабатических флуктуаций =, в изотермическом пределе = 1. С учетом сделанных замечаний (2.9) амплитуду скорости переноса можно переписать в виде:

где M - отношение длины перемешивания турбулентности к шкале высот для давления lc = M Hp, uc - среднеквадратичная скорость конвективных течений. На рис. 2.1 показано отношение скорости всплывания КМП к конвективной скорости. Турбулентные пульсации предполагались адиабатическими, при этом согласно [156], M. Штрихом показаны зависимости в предельных случаях слабого и сильного магнитного поля. Из рисунка видно, что скорость подъема КМП не может быть больше 3% от конвективной. Для поля с напряженностью 2 кГс, иcпользуя модель солнечной конвективной зоны, данную в [156], получим скорость всплывания Vbuo 1м/с, тогда время подъема со дна конвективной зоны (на высоту 2 · 105км) будет составлять - 57 Рис. 2.1: Скорость всплывания крупномасштабного магнитного поля в единицах конвективной скорости в зависимости от напряженности поля, выраженной через плотность энергии турбулентных течений. Штриховыми линиями показаны зависимости скорости переноса в пределах слабого поля с 1 и сильного поля с 1.

около 6 лет, что сравнимо с периодом солнечного цикла.

Скорость подъема магнитной трубки согласно [109, 111] составляет, где Rtub - радиус трубки, c -константа, учитывающая аэродинамическое сопротивление трубки при подъеме. Для слабых КМП скорость подъема согласно (2.9) равна, Пусть радиус трубки совпадает по порядку величины со шкалой высот, тогда Vtub /Vbuo = 1/15, т.е. скорость подъема КМП на порядок меньше, чем для магнитной трубки, вероятно в силу своей статистической природы.

Предварительный вывод о роли эффекта плавучести в эволюции КМП в конвективной зоне Солнца может заключаться в следующем. Характерное время выхода КМП из конвективной зоны за счет плавучести близко к периоду цикла и поэтому магнитная плавучесть вопреки традиционной точке зрения [58, 57, 62, 59, 70, 109] не является препятствием для генерации КМП - 58 в конвективной зоне до напряженностей сравнимых с уровнем равнораспределения с кинетической энергией турбулентных движений.

2.2.2 Плавучесть во вращающейся среде Известно, что учет вращения дает анизотропный перенос магнитного поля [73]. Это может быть очень важным для согласования теории динамо с наблюдениями. В частности, известная "динамо дилемма"связана с тем, что согласно современным данным гелиосейсмологии дно конвективной зоны вращается практически с той же скоростью что и поверхность, [148], таким образом наблюдаемый экваториальный дрейф зоны пятнообразования [9] с течением цикла невозможно объяснить миграцией динамо волн вдоль поверхностей изоротации. В [73] было показано, что учет анизотропии турбулентного переноса и магнитной диффузии позволяет согласовать теорию и наблюдения. С этой точки зрения представляется интересным учесть влияние вращения на эффекты плавучести. Можно ожидать, что вращение приведет к двум модификациям: 1)для вращающейся среды можно ожидать появления у скорости переноса КМП горизонтальной составляющей, обусловленной влиянием сил Кориолиса на турбулентные течения и 2) возможен генерационный эффект, возникающий из-за дисбаланса правых и левых мелкомасштабных вихрей во вращающейся турбулентной среде. Это явление аналогично по своей природе обычному -эффекту в среде с неоднородной плотностью. В данном случае имеет противоположный знак, в результате чего и суммарный -эффект, как показано в [24], уменьшается примерно вдвое. С точки зрения основной темы диссертации особый интерес представляет расчет данных эффектов при одновременном учете влияния вращения и магнитного поля.

Во вращающейся системе отсчета Фурье-амплитуды флуктуационного поля скорости удовлетворяют следующему уравнению:

в (2.3). В данном подразделе рассматриваются только тороидальные крупномасштабные поля. Это вызвано тем, что в общем случае операция интегрирование по волновому пространству вызывает затруднения. По этой же причине конечный результат будет выписан только в приближении длины перемешивания. Основная схема расчета аналогична применявшейся выше.

Решая (2.3) с учетом соответствующих уравнений для мелкомасштабного магнитного поля, в первом порядке по сжимаемости, мы получили следующие результаты для Фурье-амплитуд вихревой:

и потенциальной:

составляющих флуктуационной скорости. Подставляя полученные решения в выражения для средней ЭДС (2.4) и используя приближение длины перемешивания, (1.23), можно получить искомые выражения. Нужно иметь ввиду, что -эффект является нечетной функцией угловой скорости [134], а перенос поля не зависит от направления вращения, т.е. определяется слагаемыми четными по угловой скорости. С учетом вышесказанного запишем результат:

V(b) обозначает дополнительную скорость переноса тороидального поля во вращающейся среде, e, как и ранее, есть единичный вектор вдоль оси вращения, функции In приведены в приложении A3. Выражения (2.14,2.13) получены впервые и свидетельствуют о том, что во вращающейся неоднородной среде архимедовы силы, воздействующие на турбулентные флуктуации порождают, как генерацию так и эффективный дрейф крупномасштабного магнитного поля. Как показано автором, [24], данные эффекты существуют и в линейном приближении по магнитному полю. Кроме того в [24] приведено общее выражение для турбулентной ЭДС для случая слабого магнитного поля (произвольной конфигурации) и без ограничения на скорость вращения.

В линейном по магнитному полю приближении I1 0 (плавучесть отсутствует), а I2 1 (), где I3 4 (), где Генерационные эффекты вращающейся сжимаемой турбулентности обсуждались нами ранее, [24]. Поэтому здесь мы не будем этого касаться.

Согласно (2.12,2.13), во вращающейся среде имеется дополнительная скорость переноса КМП вдоль оси вращения. Этот эффект может быть интерпретирован следующим образом. Для обсуждаемого эффекта важны: сжимаемость вещества, наличие Архимедовых сил и вращения. Неоднородности плотности, возникающие в сжимаемой турбулентности, порождают мелкомасштабные силы Архимеда. Если общее вращение отсутствует, тогда вихревые течения разных знаков, существующие в среде, в среднем компенсируют друг друга, т.е., средняя кинетическая спиральность отсутствует. Если турбулентность участвует в общем вращении, тогда более плотные элементы, опускаясь, закручиваются под действием Кориолисовых сил против вращения.

Менее плотные элементы плазмы, поднимаясь и расширяясь, закручиваются в направлении вращения. В итоге, в однородной вращающейся турбулентности генерируется средняя положительная спиральность.

Отметим, что знак возникающей спиральности противоположен эффекту спиральности, связанной с неоднородностью плотности. В сумме последняя преобладает. Это обстоятельство важно для -эффекта, [24]. В механизме переноса КМП оба эффекта (правой и левой спиральности) работают в одном направлении. Эта ситуация возникает благодаря тому, что в упругой, сжимаемой среде, сила Кориолиса, кроме вращательного действия, оказывает сопротивление расширению или сжатию элементов плазмы. При медленном вращении, гиротропность в среде обусловлена эффектами первого порядка, а упругие свойства силы Кориолиса проявляются во втором порядке по угловой скорости. Сила Кориолиса, взаимодействуя с вихревыми правовинтовыми течениями создает сопротивление сжатию относительно разреженного элемента при подъеме и расширению - при опускании, что и дает в итоге перенос среднего поля. Наглядное представление этого эффекта вполне согласуется с идеями, касающимися механизмов переноса поля двухмерной турбулентностью, изложенными в [73].