На правах рукописи

Грициенко Наталия Вячеславовна

Влияние граничных условий на поведение

вырожденной электронной плазмы

Специальность 01.01.03 — Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико–математических наук

Москва — 2011

Работа выполнена на кафедре математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико–математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Шутяев Виктор Петрович доктор физико–математических наук, профессор Потапенко Ирина Фёдоровна

Ведущая организация: МГТУ "СТАНКИН" Кафедра прикладной математики

Защита диссертации состоится в часов на заседании диссертационного совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, Москва, Б.

Трехсвятительский пер., 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133. к.ф.-м.н, доцент П.В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Работа посвящена аналитическому решению граничных задач кинетической теории о поведении вырожденной плазмы во внешнем электрическом поле — задач о колебаниях плазмы, заполняющей полупространство, и об отражении плазменных волн от границы полупространства.

Данные задачи являются классическими задачами кинетической теории плазмы, они имеют большое теоретическое и прикладное значение.

В последние годы плазма является объектом интенсивных исследований.

Можно выделить четыре основных направления исследования. Во-первых, это проблема управляемого термоядерного синтеза, который может стать практически неисчерпаемым источником энергии. Во-вторых, создание плазменных преобразователей тепловой энергии непосредственно в электрическую. В-третьих создание плазменных ракетных двигателей с большой скоростью выброса струи.

Наконец, теоретическое изучение поведения плазмы ведет к пониманию многих явлений в космосе, таких как Солнце, звезды и космические туманности.

Наиболее детальный метод описания плазмы в кинетической теории состоит в использовании системы уравнений Максвелла и Власова — Больцмана.

Предметом исследования являются граничные задачи теории плазмы и методы их аналитического решения.

Впервые аналитическое решение задачи о колебаниях бесстолкновительной плазмы в полупространстве, находящемся во внешнем продольном электрическом поле, и при зеркальном отражении электронов от границы, было получено Л.Д.

Ландау. Л.Д. Ландау впервые сформулировал граничное условие на границе плазмы.

Таким образом, задача о колебаниях была корректно сформулирована как задача математической физики. В ряде работ других авторов рассматривались диффузные граничные условия отражения электронов от границы плазмы. А.В. Латышевым и А.А. Юшкановым проанализировано поведение электрического поля (для случаев зеркального и диффузного отражения электронов от поверхности) в металле вблизи резонанса, когда частота внешнего поля близка к плазменной частоте.

Поэтому актуальной задачей математической физики является развитие аналитического метода решения различных краевых задач кинетической теории, решение задач с новыми, более общими граничными условиями и анализ поведения электрического поля в плазме с учётом этих условий.

Цель диссертационной работы – аналитическое решение граничных задач о колебаниях и отражении волн в фермиевской плазме с использованием кинетического уравнения Власова — Больцмана с самосогласованным электрическим полем и уравнения Максвелла на электрическое поле, выяснение структуры электрического поля в металле и изучение характеристики падающей и отраженной волн для нового вида граничных условий отражения электронов от границы плазмы.

Научная новизна работы. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с аналитическим решением системы уравнений, описывающих поведение электронов и электрического поля в полупространстве фермиевской плазмы.

Как основной результат, в диссертации получено точное решение линеаризованной задачи о колебаниях в фермиевской плазме и отражении плазменных волн от границы с использованием кинетического уравнения Власова — Больцмана методом разложения по собственным функциям. В качестве граничных условий рассматриваются зеркально—аккомодационное и диффузно— аккомодационное условия отражения электронов от поверхности. При этом вводится коэффициент аккомодации нормального импульса электронов, характеризующий степень зеркальности отражения электронов, движущихся к границе. Ранее рассмотрение данной характеристики отражения электронов не проводилось.

Учёт коэффициента аккомодации нормального импульса электронов позволяет решить более общую задачу и выявить зависимость поведения плазмы от данного параметра.

Проведен анализ полученных результатов. Исследованы предельные случаи колебаний плазмы и отражения плазменных волн, соответствующие предельным значениям коэффициента аккомодации нормального импульса электронов.

Исследована структура дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионной функции.

Сформулирована и доказана теорема о том, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения.

Найдены точные выражения для электрического поля и функции распределения электронов на границе. Исследовано поведение электрического поля вблизи плазменного резонанса, когда частота колебаний внешнего поля принимает значение плазменной частоты, а также в случае малых частот внешнего электрического поля. Выяснена структура электрического поля. Проведен анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей вблизи резонанса.

Рассмотрено отражение электромагнитной волны вблизи границы плазмы.

Получено точное выражение для коэффициента отражения волны, найден аргумент отражения волны, выяснены зависимости данных величин от коэффициента аккомодации нормального импульса. Показано, что рассмотренные в работе зеркально—аккомодационные граничные условия хорошо аппроксимируют зеркально—диффузные граничные условия отражения электронов, что имеет большое теоретическое и прикладное значение в науке о плазме.

Научная и практическая ценность. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Можно отметить по крайней мере два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение:

применение методов функционального анализа (теории обобщенных функций), а также методов краевых задач теории функций комплексного переменного для решения кинетических уравнений и применение полученных результатов при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании процессов колебаний плазмы и отражения плазменных волн в фермиевской плазме.

Личное участие автора. Постановка задачи принадлежит профессору А.В. Латышеву и профессору А.А. Юшканову. Результаты диссертационного исследования, касающиеся получения аналитического решения поставленной граничной задачи, анализ полученных результатов, изучение структуры электрического поля, характеристик отражения плазменных волн проведены соискателем самостоятельно.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. Ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2007 – 2009 гг.);

2. XVI международная научная конференция "Математика. Компьютер.

Образование"(Дубна, 25-30 января 2009 г.);

3. XVII международная научная конференция "Математика. Компьютер.

Образование"(Дубна, 25-30 января 2010 г.);

4. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы обучения математике (К 155–летию со дня рождения А.П.

Киселева)" (Орел, Россия, 2007 г.);

5. Всероссийская заочная научно-практическая конференция "Современная математика и проблемы математического образования" (Орел, Россия, 6. 3rd International conference in Applied Mathematics, Simulation, Modelling (Греция, Афины, 29–31 декабря 2009 г.);

7. XII научная конференция МГТУ "СТАНКИН"и Учебно-научного центра математического моделирования ИММ РАН по математическому моделированию и информатике (МГТУ СТАНКИН, Москва, Россия, 14– 8. XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии (РУДН, Москва, 19 - 23 апреля 2010 г.).

Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми.

Они опубликованы в 13 работах соискателя. Причем 6 статей опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 139 страницы текста, в том числе 17 рисунков. Библиография включает в себя 110 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются основные результаты работы, а также дается краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе проводится постановка задачи. Показано, что задача сводится к решению системы уравнений Максвелла и Власова — Больцмана.

Пусть вырожденная плазма занимает полупространство x > 0, где x – координата, нормальная к границе плазмы. Внешнее электрическое поле вне плазмы перпендикулярно границе плазмы и меняется по закону: E0 exp(it). Тогда самосогласованное электрическое поле E(r, t) внутри плазмы имеет одну x–компоненту и изменяется только вдоль оси x: E = {Ex (x, t), 0, 0}. Возьмем кинетическое уравнение для функции распределения электронов:

В уравнении (1) f = f (r, v, t) — функция распределения электронов, e – заряд электрона, p = mv – импульс электрона, m – его масса, – характерное время между двумя столкновениями, E = E(r, t) – самосогласованное электрическое поле внутри плазмы, feq = feq (r, t) – локально – равновесная функция распределения Ферми — Дирака, feq = (F (t, x) E ), где (x) – единичная ступенька Хэвисайда, F (t, x) = mvF (t, x) – возмущенная кинетическая энергия Ферми, E = 1 mv 2 – кинетическая энергия электрона.

Электрическое поле E(r, t) удовлетворяет уравнению Максвелла:

где Линеаризуем локально – равновесное распределение Ферми — Дирака feq и функцию распределения электронов f относительно невозмущённого распределения f0 (E ):

где (x) – дельта – функция Дирака, Введём безразмерную функцию e(x, t) = Ex (x, t), перейдём к безразмерной координате x1 = x/l, где l = vF – средняя длина свободного пробега электронов, и введём безразмерное время t1 = t. Далее вместо x1, t1 снова будем писать x, t. Тогда уравнение (1) на функцию распределения и уравнение на поле (2) преобразуются к следующему виду:

N – числовая плотность (концентрация) электронов, m – масса электрона.

Граничные условия в рассматриваемой задаче о колебаниях плазмы в случае зеркально–аккомодационного отражения электронов имеют вид:

где p – коэффициент аккомодации нормального импульса электронов, Pi и Pr – потоки нормальных к поверхности импульсов падающих на границу и отраженных от нее электронов, величина Ps – поток нормального к поверхности импульса отраженных от границы таких электронов, которые находятся в термодинамическом равновесии со стенкой. Константы A0 и A1 определяются из условий непротекания потока электронов через границу плазмы и определения коэффициента аккомодации (7).

В случае диффузно—аккомодационного отражения электронов граничные условия имеют вид:

где Граничные условия для электрического поля на стенке и вдали от нее имеют вид:

где e0 – константа. С помощью анзаца Кейза (Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. – М.: Мир, 1972. – 384 с.) выводится характеристическая система уравнений:

Из уравнений (11) в классе обобщенных функций находим собственные функции непрерывного спектра (1 < < 1):

Здесь символ P x1 – главное значение интеграла по Коши, (x) – дельта–функция Дирака. В выражении (12) введена дисперсионная функция задачи:

В параграфе 1.4 проведен анализ структуры дискретного спектра, который состоит из нулей дисперсионного уравнения = 0, и исследован вопрос о существовании плазменной моды. Найдено дискретное собственное решение исходной системы уравнений:

называемое модой Друде. Построена двухсвязная область DR, ограниченная контуром + = R, состоящим из окружности {R : |z| = R, R = 1/, > 0}, и контура, охватывающего разрез [1, +1], и отстоящего от него на расстоянии.

Показано, что число нулей дисперсионной функции (13), лежащих в комплексной плоскости вне отрезка [1, 1] действительной оси, равно удвоенному индексу функции G( ) =, вычисленному на полуоси [0, +1].

Согласно принципу аргумента разность между числом нулей N и полюсов P дисперсионной функции равна деленному на 2 приращению ее аргумента вдоль контура +, охватывающего область DR по часовой стрелке. Тогда в силу принципа аргумента при 0 число нулей N равно:

где символ [0,1] f (z) означает приращение функции f (z) на отрезке [0, 1].

Под символом arg G( ) = arg понимается регулярная ветвь аргумента, фиксированная в нуле условием: arg G(0) = 0.

Число нулей связано с индексом задачи формулой:

где (G) есть индекс функции G( ). Выделяя действительную и мнимую части функции G(µ):

уравнениями:

Кривая L лежит на плоскости параметров задачи (, ), где =, =. При переходе через кривую L индекс функции G(µ) на положительной полуоси меняется скачком.

Из уравнений g1 = 0 и g2 = 0 найдём, что где Функции (15) определяют в явном параметрическом виде кривую L – границу области D+ (через D обозначим ее внешность). Можно доказать, что если (, ) D+, то (G) = Ind[0,+1] G(µ) = 1 (кривая L один раз охватывает начало координат), а если (, ) D, то (G) = Ind[0,+1] G(µ) = 0 (кривая L не охватывает начало координат).

Из выражения (14) видно, что число нулей дисперсионной функции равно двум, если (, ) D+, и равно нулю, если (, ) D.

В силу четности дисперсионной функции ее нули различаются лишь знаком.

Обозначим эти нули ±0, причем за 0 возьмем такой нуль, у которого Re 0 > 0.

Нулям ±0 отвечает следующее решение Это решение естественно называют модой Дебая (это – плазменная мода).

Знание поведения индекса исходной граничной задачи дает возможность решить однородную краевую задачу Римана из теории функций комплексного переменного.

Эта задача позволяет вывести формулы факторизации дисперсионной функции, из которых можно в явном виде получить выражения для ее нулей. Кроме того, Рис. 1: Области D+ и D разделены кривой L, при переходе через которую меняется индекс краевой задачи.

однородная краевая задача Римана лежит в основе решения исходной граничной задачи с диффузно–аккомодационным отражением электронов от границы плазмы.

Однородная краевая задача Римана формулируется следующим образом:

требуется найти функцию X(z), аналитическую везде в комплексной плоскости за исключением точек разреза [0; 1], имеющую ненулевой порядок во всех точках комплексной плоскости, а в бесконечно удаленной точке имеющую порядок, равный индексу задачи, и такую, что ее граничные значения в интервале (0; 1) сверху и снизу связаны линейным соотношением:

где G(µ) = – коэффициент задачи.

В случае нулевого индекса, решение задачи (16) имеет вид:

где (G) – индекс задачи, равный нулю либо единице в зависимости от значений параметров,.

В конце главы проведена факторизация дисперсионной функции и выведены интегральные представления факторизующей функции. Доказаны следующие утверждения:

1. Если (G) = 0, т. е. (, ) D, то для дисперсионной функции справедлива следующая формула:

2. Если (G) = 1, т. е. (, ) D+, то для дисперсионной функции справедлива следующая формула:

Во второй главе получено аналитическое решение поставленной задачи о колебаниях плазмы во внешнем электрическом поле. Рассматриваются зеркально– аккомодационное и диффузно–аккомодационное отражение электронов от границы полупространства. Используется метод разложения по собственным функциям.

Доказана теорема: Граничная задача (3) – (6) и (10) имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения:

В (17) и (18) E0 и E – неизвестные коэффициенты, отвечающие дискретному спектру (E0 – амплитуда Дебая, E1 – амплитуда Друде), E() – неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра.

Доказательство разложения сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в интервале (1, +1):

Последнее приводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного:

Условия разрешимости и формулы Сохоцкого позволяют найти все неизвестные коэффициенты разложения решения исходной граничной задачи. Доказана единственность разложения решения по собственным функциям непрерывного спектра.

Проведен анализ полученных результатов, показано, что учёт коэффициента аккомодации нормального импульса электронов не оказывает существенного влияния на поведение электронной плазмы в случае плазменного резонанса. При малых частотах внешнего электрического поля коэффициент аккомодации оказывает Рис. 2: Зависимость действительной части дискретного спектра Re Ed (x) от расстояния до границы плазмы для случая = 103 при = 0.1p, e0 = 1. Кривые 1, 2, 3, 4 отвечают значениям коэффициента аккомодации p = 0.001, 0.25, 0.5, 1.

существенное влияние на поведение электронной плазмы во внешнем электрическом поле.

В третьей главе проведено изучение отражения плазменной волны от границы, найдена неизвестная амплитуда отраженной волны и исследованы её характеристики — коэффициент отражения и сдвиг фазы волны.

Поведение плазмы описывается системой уравнений (3) – (4). Падающая и отраженная волны имеют вид e+ (x1, t1 ) = E1 exp i( + 1 t1 ) и e (x1, t1 ) = 1 t1 ) соответственно. Амплитуда E1 считается заданной, амплитуда E2 exp i( E2 неизвестна. Для электрического поля внутри плазмы на границе выполняется условие:

В параграфе 3.1 получено аналитическое решение задачи с зеркальноаккомодационными граничными условиями отражения электронов. Доказана теорема: Система уравнений (3) и (4) с граничными условиями (5),(6) и (19) имеет решение, и притом единственное, которое представимо в виде разложения по собственным функциям характеристической системы:

В (20) и (21) величины E1 и E2 (амплитуды Дебая) отвечают дискретному спектру, E() – неизвестная функция, называемая коэффициентом непрерывного спектра.

В параграфе 3.2 проведен асимптотический анализ полученного решения, рассмотрены предельные случаи значений коэффициента аккомодации нормального импульса электронов. Искомые величины — коэффициент отражения R(k,, ) = |E2 /E1 |2 и сдвиг фазы волны (k,, ) = arg E2 /E1 выражены через малые параметры задачи,, т.е. проведено изучение коэффициента отражения и сдвига фазы в длинноволновом пределе, когда волновое число k 0.

Построены графики зависимостей величины коэффициента отражения R от величин k,, p, сдвига фаз от величины. Показано, что значения угла слабо зависят как от волнового числа, так и от коэффициента аккомодации.

На рис. 2 изображена зависимость коэффициента отражения R от волнового числа k для случая = 102. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям коэффициента аккомодации p = 0.1, 0.5, 1.0. Кривая 4 отвечает диффузным граничным условиям.

Из графика видно, что при малых значениях k кривая 3 (соответствующая p = 1) практически сливается с кривой 4 (которой соответствует q = 1), которая получена линеаризацией величины коэффициента отражения по k. С учетом того, что при p = 0 коэффициент отражения равен коэффициенту отражения для зеркальных граничных условий (т.е. при q = 0) можно сделать вывод, что зеркально–аккомодационные граничные условия хорошо аппроксимируют зеркально–диффузные граничные условия при p = q.

В параграфе 3.3 решена задача об отражении плазменных волн с диффузно— аккомодационными граничными условиями. Доказательство теоремы о разложении решения задачи по собственным функциям непрерывного спектра соответствующей характеристической системы уравнений сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши и решению неоднородной задачи Римана.

В параграфе 3.4 проведен асимптотический анализ полученного решения в длинноволновом пределе. Для отношения амплитуд отражённой и падающей волн получено следующее выражение:

где величины V1, W0, b0, b1, входящие в (22), выражаются через исходные параметры задачи k,,. Формула (22) показывает, что при условии чисто диффузного отражения электронов от границы плазмы из представления (22) получается приближение, полученное ранее в статье Латышева А.В., Юшканова А.А.

"Отражение плазменной волны от плоской границы вырожденной плазмы"(Ж.

технической физики. 2007. Т. 77. № 3. С. 17 – 22).

В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.

Рис. 3: Зависимость коэффициента отражения R от волнового числа k для случая = 102. Кривые 1, 2, 3 отвечают значениям коэффициента аккомодации p = 0.1, 0.5, 1.0.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Аналитическое решение граничной задачи о колебаниях электронной плазмы, заполняющей полупространство.

2. Анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей для случая зеркально–аккомодационного отражения электронов вблизи плазменного резонанса, т.е. когда частота колебаний внешнего поля близка к собственной частоте колебаний плазмы.

3. Анализ величины модуля электрического поля, а также ее действительной и мнимой частей для случая малых частот колебаний внешнего электрического поля при зеркально—аккомодационном отражении электронов.

4. Исследование отражения электромагнитной волны от границы плазмы в случае зеркально–аккомодационного и диффузно–аккомодационного отражения электронов от границы. Получение точного выражения для коэффициента отражения волны, сдвига фаз падающей и отражённой волн в обоих случаях.

5. Анализ зависимости характеристик отражённой волны от коэффициента аккомодации нормального импульса электронов, связь с предшествующими исследованиями.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя профессора Анатолия Васильевича Латышева и профессора Александра Алексеевича Юшканова за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список работ соискателя по теме диссертации 1. Грициенко Н.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. К теории колебаний вырожденной электронной плазмы // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика линейных и нелинейных систем. Выпуск 25(2). – М.: КомКнига, 2008. – С. 56 – 2. Грициенко Н.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи об отражении плазменных волн от границы с аккомодацией нормального импульса электронов // Труды Института системного анализа Российской академии наук. Динамика линейных и нелинейных систем. Под ред. Ю.С. Попкова. Выпуск 32(3). – М.: Издательство ЛКИ, 2009.

3. Грициенко Н.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. К теории отражения плазменных волн от границы с зеркально–аккомодационными граничными условиями // Вестник МГОУ. Серия "Физика-математика". №3 – М.:

Издательство МГОУ, 2009. – С. 3 – 14.

4. N.V. Gritsienko, A.V. Latyshev, A.A. Yushkanov On The Theory of Plasma Waves Reection from the Boundary with Specular Accommodative Boundary Conditions// Proc. 3rd Intern. Conf. on Appl. Maths, Simulation, Modelling (ASM’09), Proc. 3rd Intern. Conf. on Circuits, Systems and Signals (CSS’09) Vouliagmeni, Athens, Greece. December 29-31, 2009. P. 68 – 75.

5. Грициенко Н.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача об отражении плазменных волн от границы полупространства с зеркальноаккомодационными граничными условиями // ЖВММФ, 2010, т. 50, № 8, с. 1506 – 1519.

6. Грициенко Н.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. Отражение плазменных волн от границы с зеркально-аккомодационными граничными условиями // Письма в ЖТФ, 2010, т. 36, вып. 16, с. 27 – 33.

7. Грициенко Н.В. Колебания вырожденной плазмы с аккомодацией нормального импульса элеткронов // Математика. Компьютер. Образование. XVI международная конференция. Пущино, 25–30 января 2009. Тезисы. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. – Москва–Ижевск, 2009. – С. 93.

8. Грициенко Н.В. Отражение плазменных волн от границы полупространства с аккомодацией нормального импульса электронов // Математика. Компьютер.

Образование. XVI международная конференция. Пущино, 25–30 января 2009.

Тезисы. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. – Москва–Ижевск, 2009. – С. 94.

9. Грициенко Н.В. Отражение плазменных волн от границы с аккомодацией нормального импульса электронов // Современная математика и проблемы математического образования. Труды Всероссийской заочной научно– практической конференции/ Под общ. ред. Т.Н. Можаровой. – Орёл:

Издательство ОГУ, 2009. – С. 39 – 45.

10. Грициенко Н.В. Отражение плазменных волн от границы с учётом аккомодации нормального импульса электронов // Материалы XII научной конф. МГТУ "Станкин"и Учебно–научн. центра матем. моделир. Российской академии наук по матем. моделированию и информатике./ – М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ "Станкин 2009. – С. 30 – 32.

11. Грициенко Н.В. К теории отражения плазменных волн от границы с зеркально– аккомодационными граничными условиями // Математика. Компьютер.

Образование. XVII международная конференция. Дубна, 25–30 января 2010.

Тезисы. Выпуск 17. Под ред. Г.Ю. Ризниченко. – Москва–Ижевск, 2010. – С.

12. Грициенко Н.В., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача об отражении плазменных волн от границы с зеркально–аккомодационными граничными условиями // XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. – М.: РУДН, 13. Грициенко Н.В. Новые граничные условия в задаче об отражении плазменных волн от плоской границы // Совр. образоват. технологии в системе матем.

образования.– Материалы межд. научно–практ. конф. (Коряжма, 21– октября 2010 г.) Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова, c. 396–407.

Статьи 1 – 6 опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.