Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

ЛЯМИН Олег Олегович

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С

РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЛАПЛАСА

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Москва — 2010

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Бенинг Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Хохлов Юрий Степанович доктор физико-математических наук, профессор Зейфман Александр Израилевич

Ведущая организация: Институт проблем информатики РАН

Защита состоится «12» ноября 2010 г. в 11 часов на заседании диссерта­ ционного совета Д 501.001.44 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК МГУ http://www.cmc.msu.ru в разделе «Наука» — «Ра­ бота диссертационных советов» — «Д 501.001.44».

Автореферат разослан «12» октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор Н. П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Классическое распределение Лапласа с нулевым средним и дисперсией 2 было введено П. С. Лапласом в 1774 году. С тех пор оно стало одной из наиболее активно используемых симметричных веро­ ятностных моделей. Это распределение задается плотностью { } 1 2|| () = exp, > 0, IR.

Распределение Лапласа находит широкое применение при математическом моделировании многих процессов в телекоммуникационных системах, в эко­ номике, финансовом деле, технике и других областях, например, в задачах выделения полезного сигнала на фоне помех. Популярность распределения Лапласа как математической (вероятностной) модели обусловлена тем, что его хвосты тяжелее, чем у нормального распределения (см., например, работу Р. Истерлинга1, где обосновывается целесообразность использования распре­ деления Лапласа как модели распределения погрешностей измерений в энер­ гетике; статью Д. Хсу2, посвященную применению распределения Лапласа для моделирования ошибок в навигации; работу Т. Окубо3, в которой распре­ деление Лапласа применяется в метеорологии). Во многих работах описано успешное применение распределения Лапласа для моделирования распреде­ ления приращений логарифмов финансовых индексов4, для моделирования распределения логарифма размера частиц при дроблении5, при моделирова­ нии статистических закономерностей поведения некоторых характеристик ат­ мосферной6 и плазменной7 турбулентности. В работах Н. Джонсона8 и С.

Easterling R. J. Exponential responses with double exponential measurement error. A model for steam generator inspection // In: Proceedings of DOE Statistics Symposium. — U.S., Department of Energy. — 1978.

— P. 90–100.

Hsu D. A. Long-tailed distribution for position errors in navigation // Applied Statistics. — 1979. — Vol. 28. — P. 62–72.

Okubo T., Narita N. On the distribution of extreme winds expected in Japan // In: National Bureau of Standards Special Publication 560-1. — 1980. — P. 12.

Kozubowski T. J., Podgorski K. Asymmetric Laplace laws and modeling financial data // Math.

Comput. Modelling. — 2001. — Vol. 34. — P. 1003–1021.

Bagnold R. A. The physics of blown sand desert dunes. — London, Methuen. — 1954.

Barndorff-Nielsen O. E. Models for non-Gaussian variation, with applications to turbulence // Proc.

Royal Soc. A. — 1979. — Vol. 353. — P. 401–419.

Королёв В. Ю. Вероятностно-статистический анализ хаотических процессов с помощью смешан­ ных Гауссовских моделей. Декомпозиция волатильности финансовых индексов и турбулентной плазмы.

— М.: Изд-во ИПИРАН. — 2007.

Johnson N. L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous uni-variate distributions. Vol. II. 2nd ed.. — N. Y.:

Wiley. — 1995.

Котца9 можно найти дальнейшие ссылки на работы, в которых описывается применение распределения Лапласа к решению прикладных задач в самых разнообразных областях. Привлекательность распределения Лапласа в каче­ стве вероятностной модели при решении конкретных прикладных задач во многом обусловливается также его экстремальными энтропийными свойства­ ми. Этим свойством часто мотивируется выбор распределения Лапласа в каче­ стве распределения погрешностей измерений, в которых точность (параметр масштаба) изменяется от измерения к измерению случайным образом (см., например, работу Г. Л. Шевлякова10 ). Последний результат стоит отметить особо.

Можно признать, что в подавляющем большинстве ситуаций, связанных с анализом экспериментальных данных, число случайных факторов, влияю­ щих на наблюдаемые величины, само является случайным и изменяется от наблюдения к наблюдению. Примеры прикладных статистических задач, в которых объем выборки существенно случаен, можно найти, например, в кни­ гах В. Ю. Королёва11 и В. Е. Бенинга12. Поэтому вместо различных версий центральной предельной теоремы, обосновывающих нормальность распреде­ ления наблюдаемых случайных величин в классической статистике, в таких ситуациях следует опираться на их аналоги для выборок случайного объема.

Здесь следует отметить недавние результаты13 В. Е. Бенинга и В. Ю. Коро­ лёва, в которых была получена довольно простая асимптотическая схема, приводящая к распределению Лапласа как к предельному и, как следствие, дающая обоснование возможности более широкого использования распреде­ ления Лапласа в задачах описательной статистики.

Первая часть диссертации посвящена дальнейшему развитию идей этой работы, а именно получению оценок скорости сходимости распределений асимптотически нормальных статистик, построенных по выборкам случайного объема, к распределению Лапласа.

Kotz S., Kozubowski T. J., Podgorski K. The Laplace distribution and generalizations: A revisit with applications to communications, economics, engineering and finance. — Boston: Birkhauser. — 2001.

Shevlyakov G. L., Vilchevski N. O. Robustness in data analysis: Criteria and methods. — Utrecht: VSP.

— 2002.

Королёв В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска. — М.: Физмат­ лит. — 2007.

Королёв В. Ю., Бенинг В. Е., Соколов И. А., Шоргин С. Я. Рандомизированные модели и методы теории надежности информационных и технических систем. — М.: Торус Пресс. — 2007.

Бенинг В. Е., Королёв В. Ю. Некоторые статистические задачи, связанные с распределением Ла­ пласа // Информатика и еe Применения. — 2008. — Т. 2, №2. — С. 19–34.

Вторая часть диссертации связана с исследованиями Д. М. Чибисова14, и В. Е. Бенинга16 в области задачи проверки простой гипотезы против по­ следовательности сложных близких альтернатив. В указанной работе В. Е.

Бенинга была получена общая теорема, дающая достаточные условия для существования предела отклонения функции мощности асимптотически наи­ более мощного (АНМ) критерия от функции мощности наилучшего крите­ рия. В том типичном случае, когда соблюдены условия регулярности, мож­ но ожидать (см. работы Д. М. Чибисова14,15 ), что мощность АНМ критерия отличается от мощности наилучшего критерия на величину порядка 1. От­ сутствие регулярности может приводить к нарушению естественного порядка 1 и приводить к другим порядкам. Факт нарушения обычных порядков в случае распределения Лапласа с параметром сдвига был отмечен в работе Р. А. Королёва17. Там же на эвристическом уровне была получена формула для предела отклонения мощностей. При этом в работе В. Е. Бенинга18 пря­ мым методом были получены асимптотические разложения для мощностей критериев, из которых непосредственно следует, что отсутствие регулярно­ сти распределения Лапласа приводит к порядку 1/2. Однако, как выясни­ лось позже, достаточные условия, сформулированные в общей теореме В. Е.

Бенинга не выполнены, поэтому распределение Лапласа не может являться примером использования общей теоремы для случая нерегулярного распреде­ ления. Отсутствие такого примера может говорить в пользу того, что условия общей теоремы слишком сильны и выполняются только в регулярном случае, что существенным образом ограничивает множество ситуаций, в которых эта теорема может быть применима, и уменьшает ее прикладное значение. Таким образом, невыполнимость условий достаточности общей теоремы для случая распределения Лапласа оставляет актуальным вопрос поиска подходящего примера. Во второй части диссертационной работы далее исследуется воз­ можность использования общей теоремы для нерегулярного распределения на примере случая обобщенного распределения Лапласа.

Chibisov D. M. Asymptotic expansions and deficiencies of tests // In: Proc. Intern. Congr. Math., 2.

— Warszawa. — 1983. — P. 1063–1079.

Чибисов Д. М. Вычисление дефекта асимптотически эффективных критериев // Теор. вероятн.

и ее прим. — 1985. — Т. 30, №2. — С. 269–288.

Bening V. E. Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses. — Utrecht: VSP. — 2000.

Королёв Р. А., Тестова А. В., Бенинг В. Е. О мощности асимптотически оптимального критерия в случае распределения Лапласа // Вестник Тверского Государственного Университета. — 2008. — Т. 28, №. 1. — С. 7–27.

Бенинг В. Е., Королёв Р. А. Асимптотические разложения для мощностей критериев в случае распределения Лапласа // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная матема­ тика. — 2008. — Т. 3(10), №26(86). — P. 97–107.

Цель работы. Цель первой части данной работы состоит в обосновании возможности использования распределения Лапласа в задачах теории вероят­ ностей и математической статистики, возникающего в качестве предельного в случае выборок случайного объема. Задачами первой части диссертации являются:

1. Описание асимптотической схемы, приводящей к распределению Лапла­ са как к предельному.

2. Получение оценок скорости сходимости распределений асимптотически нормальных статистик, построенных по выборкам случайного объема специального вида, к распределению Лапласа.

Целью второй части диссертации является изучение возможности при­ менения исследований В. Е. Бенинга, связанных с задачей проверки простой гипотезы против последовательности сложных близких альтернатив, в нере­ гулярных случаях. Задачами второй части диссертации являются:

1. Проверка условий общей теоремы из работы В. Е. Бенинга в случае нере­ гулярного распределения (случай обобщенного распределения Лапласа, предложенный в работе).

2. Демонстрация того, что отсутствие регулярности может приводить к нарушению естественного порядка разности функций мощности наилуч­ шего и асимптотически наиболее мощного критериев.

Научная новизна. Все основные результаты работы новые и заключа­ ются в следующем:

1. Получены новые оценки скорости сходимости распределения нормиро­ ванного максимума от случайных величин с дискретным распреде­ лением Парето к обратному показательному распределению с ростом. Получены новые оценки скорости сходимости распределения асимп­ тотически нормальных статистик к распределению Лапласа в случае, когда объем выборки случаен и равен указанному максимуму.

2. Предложено обобщенное распределение Лапласа, для которого рассмот­ рена задача проверки простой гипотезы против последовательности сложных близких альтернатив. С применением общей теоремы показа­ но, как отсутствие регулярности у этого распределения приводит к нару­ шению естественного порядка разности функций мощности наилучше­ го и асимптотически наиболее мощного критериев. Получена формула для предела отклонения мощности наилучшего критерия от мощности асимптотически наиболее мощного критерия. Обоснована возможность использования общей теоремы для случая нерегулярных распределе­ Методы исследования. В работе использованы аналитические методы математического анализа, неравенства и предельные теоремы теории вероят­ ностей, аппарат математической статистики, а также метод характеристиче­ ской функции.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоре­ тический характер. Результаты, относящиеся к оценке скорости сходимости распределений статистик к распределению Лапласа, могут найти примене­ ние в теории оценивания, а также в прикладных исследованиях, связанных с теорией риска. Результаты, касающиеся обобщенного распределения Лапла­ са, могут применяться в задачах о различении близких гипотез, выделении полезного сигнала на фоне помех.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва­ лись на научном семинаре «Теория риска и смежные вопросы» под руковод­ ством профессора В. Е. Бенинга, профессора В. Ю. Королёва и стар. преп.

А. А. Кудрявцева, на X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промыш­ ленной математике (1 – 8 октября 2009 г., Сочи – Дагомыс).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 пе­ чатных работах, из них 3 статьи [1, 3, 4] в журналах, входящих в список ВАК «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты дис­ сертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук », и работа в сборниках трудов конференций [2].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 64 наименования.

Общий объем работы составляет 99 страниц.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность профессору Бенингу Владимиру Евгеньевичу, под руководством которого проходила ра­ бота над диссертацией, за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Содержание работы Введение содержит общую характеристику работы, описание объектов исследования и основных результатов.

В первой главе получена оценка скорости сходимости распределения случайной величины, равной максимуму от независимых случайных ве­ личин с одним и тем же дискретным распределением Парето, к обратному показательному распределению при. Здесь также получена оценка скорости сходимости распределений асимптотически нормальных статистик к распределению Лапласа в случае выборок случайного объема с распреде­ лением указанной случайной величины.

Рассмотрим случайные величины 1, 2,..., 1, 2,..., определенные на одном и том же измеримом пространстве (, ). Пусть на задана веро­ ятностная мера P. Предположим, что при каждом 1 случайные величины принимают только натуральные значения и не зависят от последователь­ ности 1, 2,.... Пусть = (1,..., ) — некоторая статистика, то есть измеримая функция от случайных величин 1,...,. Для каждого определим случайную величину, положив для каждого элементарного исхода. Будем говорить, что статистика асимптотически нормальна, если существуют числа > 0 и IR такие, где () — функция распределения стандартного нормального закона.

Примеры асимптотически нормальных статистик хорошо известны.

Свойством асимптотической нормальности обладают, например, выборочное среднее (при условии существования дисперсий), центральные порядковые статистики, оценки максимального правдоподобия (при достаточно общих условиях регулярности) и многие другие статистики.

Ранее была доказана лемма (см., например, [13 ]) о необходимых и до­ статочных условиях сходимости распределений асимптотически нормальных статистик, построенных по выборкам случайного объема, к заданному рас­ пределению ().

Лемма 1. (Бенинг, Королёв 2008) Пусть { }1 — неограниченно возрас­ тающая последовательность положительных чисел. Предположим, что по вероятности при. Пусть статистика асимптоти­ чески нормальна в смысле (1). Для того чтобы существовала такая функ­ ция распределения (), что необходимо и достаточно, чтобы существовала функция распределения (), удовлетворяющая условиям Распределение Лапласа может быть представлено в виде масштабной смеси нормальных законов с нулевым средним при обратном показательном смешивающем распределении, а именно: для любого IR где () — функция распределения обратного показательного распределения и () — функция распределения распределения Лапласа, соответствующая Обратное показательное распределение — это распределение случайной вели­ чины где случайная величина имеет показательное распределение. Обратное по­ казательное распределение является частным случаем распределения Фреше, хорошо известного в асимптотической теории экстремальных порядковых ста­ тистик как предельное распределение типа II.

Из леммы 1 непосредственно следует следующая теорема (см. [13 ]), даю­ щая необходимые и достаточные условия сходимости распределений асимп­ тотически нормальных статистик, построенных по выборкам случайного объ­ ема, к распределению Лапласа.

Теорема 2. (Бенинг, Королёв 2008) Пусть > 0 произвольно и { }1 — некоторая неограниченно возрастающая последовательность положитель­ ных чисел. Предположим, что по вероятности при. Пусть статистика асимптотически нормальна в смысле (1). Для справедли­ вости соотношения необходимо и достаточно, чтобы Приведем пример ситуации, в которой случайный объем выборки имеет предельное обратное показательное распределение (). Пусть 1, 2,... — независимые одинаково распределенные случайные величины с одной и той же непрерывной функцией распределения. Пусть — произвольное нату­ ральное число. Обозначим Случайная величина () имеет смысл количества дополнительных наблю­ дений, которые надо произвести, чтобы текущий (по наблюдениям) макси­ мум был перекрыт. Распределение случайной величины () было найдено С. Уилксом, который показал, что распределение величины () является дискретным распределением Парето:

Пусть теперь (1) (), (2) (),... — независимые случайные величины с од­ ним и тем же распределением (4). В работе [13 ] было доказано, что для любого Заметим, что в правой части предельного выражения стоит функция распре­ деления обратного показательного распределения () с параметром формы =. Поэтому, если положить теорема 2 с = дает иллюстрацию того, как вместо ожидаемого в со­ ответствии с утверждениями классической асимптотической статистики нор­ мального распределения при замене объема выборки случайной величиной в качестве предельного распределения регулярных статистик возникает рас­ пределение Лапласа.

Теорема 3. (Бенинг, Королёв 2008) Пусть — произвольное натуральное число. Предположим, что (1) (), (2) (),... — независимые случайные величины с одним и тем же распределением (4), и случайная величина определяется формулой (5). Пусть статистика асимптотически нор­ мальна в смысле (1). Тогда где () — функция распределения распределения Лапласа с плотностью вида (3) c =.

Таким образом, основной вывод из приведенных выше результатов мож­ но сформулировать следующим образом. Если число случайных факторов, определяющих наблюдаемое значение случайной величины, само является случайной величиной, распределение которой может быть приближено обрат­ ным показательным распределением (например, является случайной величи­ ной вида (5)), то те функции от значений случайных факторов, которые в классической ситуации считаются асимптотически нормальными, в действи­ тельности являются асимптотически лапласовскими.

В приводимой ниже теореме изучается вопрос о предельном поведении распределения случайной величины / при, где — случайная величина вида (5) с некоторым натуральным параметром.

Теорема 4. Для каждого натурального существует константа > такая, что где () — функция распределения обратного показательного распределе­ ния, определяемая формулой (2) c =. При этом Далее приведена общая теорема, позволяющая автоматически получать оценки скорости сходимости распределений статистик, построенных по вы­ боркам случайного объема, к распределению Лапласа из оценок скорости сходимости к нормальному закону этих же статистик, но уже построенных по обычным, неслучайным выборкам. При этом предполагается, что объем выборок является случайной величиной вида (5).

Теорема 5. Пусть = (1,..., ) — асимптотически нормальная статистика, и для ее распределения справедлива оценка скорости сходимо­ сти вида: для некоторого 0 < 0 < 2 существуют числа > 0 и IR такие, что Пусть — случайная величина вида (5) с некоторым натуральным пара­ метром, которая не зависит от исходных случайных величин 1, 2,...

и. Пусть () — функция распределения распределения Лапласа с плотностью вида (3) с =. Тогда распределение статистики = (1,..., ) удовлетворяет равенству Далее приведены два примера использования теоремы 5. Первый при­ мер касается –статистик, а второй — линейных комбинаций порядковых статистик, широко применяемых в статистике (см., например, [16 ]).

Пусть 1, 2,... — последовательность независимых одинаково рас­ пределенных случайных величин, имеющих общую функцию распределения (). Определим –статистику по формуле где и — константа из неравенства (8).

Воспользуемся теоремой для получения оценки скорости сходимости рас­ пределения выборочного среднего, построенного по выборке объема, равного случайной величине (5), к распределению Лапласа. Пусть 1,..., — неза­ висимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Положим 3 = E|1 |3 <. Тогда для стати­ стики = / по неравенству Берри-Эссеена справедлива оценка Пусть — случайная величина вида (5) с некоторым натуральным. При­ меняя теорему 7 для случая = 1/2, получим Справедлива также более грубая, но не зависящая от, оценка:

Во второй главе предложено обобщенное распределение Лапласа. Для него доказано, что отсутствие регулярности распределения приводит к наруше­ нию естественного порядка 1 разности функций мощности наилучшего и асимптотически наиболее мощного критериев и приводит к порядку 1/2.

Получена формула предела отклонения функций мощности.

Пусть имеются независимые наблюдения X = (1,..., ), каждое из которых принимает значения в измеримом пространстве (, ) и имеет неиз­ вестную с точностью до параметра плотность (, ) относительно некото­ рой -конечной меры (·) на. Предположим, что неизвестный параметр принадлежит открытому множеству IR, содержащему 0. Обозначим через P,, P соответственно распределения X и 1, а через E,, E — соот­ ветствующие математические ожидания.

Рассмотрим задачу проверки простой гипотезы против последовательности сложных близких альтернатив вида где параметр неизвестен. Согласно фундаментальной лемме Неймана-Пир­ сона для любого фиксированного (0, ] наилучший (наиболее мощный) критерий для проверки гипотезы H0 против простой альтернативы основан на логарифме отношения правдоподобия где (, ) = log (, ), и отвергает гипотезу H0, если причем критическое значение выбирается из условия где (0, 1) — фиксированный уровень значимости, и мы для простоты предполагаем непрерывность распределения () при гипотезе H0, то есть считаем, что Обозначим через () мощность такого критерия, то есть положим Поскольку неизвестно, мы не можем использовать статистику () для по­ строения критерия проверки гипотезы H0 против альтернативы H,1. Однако () дает верхнюю границу для мощности любого критерия при проверке ги­ потезы H0 против фиксированной альтернативы H,, > 0 и может служить стандартом при сравнении различных критериев.

Ранее (см., например, [16 ]) при естественных условиях регулярности, со­ стоящих в существовании необходимого числа моментов случайных величин (1, ) и всех необходимых производных по функций (, ), при были получены следующие соотношения где = E0 ((1) (1 ))2 — фишеровская информация, ( ()|H0 ), ( ()|H, ) — распределения () при соответствующих гипотезах, — нормальное распределение с соответствующими параметрами и = 1 (1 ).

Для проверки гипотезы H0 против альтернативы H, существуют кри­ терии, основанные на статистиках, отличных от () и не зависящих от, и имеющие ту же предельную мощность * (). Такие критерии называются асимптотически наиболее мощными (АНМ) (точнее локально АНМ, посколь­ ку альтернатива H,1 имеет локальный характер). Таковы, например, крите­ рии, основанные на статистиках, (0 ), где 0 > 0 фиксировано, оценках максимального правдоподобия. Все эти статистики не зависят от неизвестно­ го параметра, и поэтому могут быть использованы при проверке гипотезы H0 против альтернативы H,1.

Соотношение (10) дает естественную основу для асимптотического срав­ нения различных АНМ критериев, однако для различения критериев такого рода, то есть удовлетворяющих соотношению где () — мощность конкретного рассматриваемого критерия, нужны сле­ дующие члены асимптотического разложения (), то есть представление типа Было обнаружено, что для широкого класса АНМ критериев мощность () АНМ критерия отличается от мощности () наилучшего критерия на вели­ чину порядка 1/. При этом величина допускает статистическую интерпретацию в терминах необходимого числа наблюдений и позволяет находить асимптотический дефект (см. работы Д. М.

Чибисова14,15 ).

Первоначально выражения для величины () строились с помощью асимптотических разложений для () и () (см., например, [14,22 ]). Этот подход технически очень трудоемкий и громоздкий. Однако в работе В. Е.

Бенинга16 был рассмотрен общий случай в терминах общего статистического эксперимента и приведена теорема, дающая достаточные условия для суще­ ствования предела где 0 — малый параметр.

Теорема 8. (Bening, 2000) Пусть выполнены условия регулярности (см.

теорему 3.2.1 из работы [16 ]), и 0 < < 1. Тогда Hodges J. L., Lehmann E. L. Deficiency // Ann. Math. Statist. — 1970. — Vol. 41, N. 5. — P. 783–801.

где = 1 (1 ), 1 () — функция распределения, предельная для ло­ гарифма отношения правдоподобия () при гипотезе H0, () = 1 (), (, ) — случайный вектор, предельный для ( (), ()) при гипотезе H0, () = () (), () — монотонное (не меняющее мощности критерия) преобразование статистики критерия.

Как уже было отмечено, в типичном случае, когда соблюдены естествен­ ные условия регулярности, = 1/2 и () отличается от () на величину порядка 1. Заметим, что здесь следует различать естественные условия ре­ гулярности и условия регулярности, указанные в теореме 8. Естественные условия регулярности заключаются в существовании всех необходимых мо­ ментов случайных величин (1, ) и существовании необходимых производ­ ных по для функций (, ). Отсутствие регулярности может приводить к нарушению естественного порядка 1 разности () () и приводить к другим порядкам.

Назовем обобщенным распределением Лапласа распределение с плотно­ стью вида где, — константа нормировки такая, что Обобщенное распределение Лапласа может оказаться полезным в тех слу­ чаях, когда необходим более тонкий контроль за поведением функции плот­ ности, чем может быть предоставлен однопараметрическими по параметру формы нормальным и лапласовским распределениями. Так, правильно подо­ брав параметры, можно получить распределение с хвостами менее тяжелыми, чем у соответствующего распределения Лапласа, при этом сохранив суще­ ственную особенность негладкости функции плотности, которая отсутствует у нормального распределения.

Обычное распределение Лапласа получается при = 0. Для этого случая известно, что условия регулярности теоремы 8 не выполнены. Далее всюду будем предполагать > 0.

Для обобщенного распределения Лапласа с параметром сдвига (, ) = ( ) рассмотрим задачу проверки простой гипотезы против последова­ тельности близких сложных альтернатив в описанной постановке. Следую­ щая лемма описывает асимптотическое поведение распределения логарифма отношения правдоподобия при основной гипотезе и альтернативе H,.

Лемма 9. В случае распределения (11) справедливы следующие соотноше­ ния Из этой леммы вытекает следующее утверждение.

Следствие 10. В случае распределения (11) справедливо соотношение Ранее было отмечено, что это соотношение справедливо в регулярном случае. Заметим, что семейство (11), также как и семейство плотностей обыч­ ного распределения Лапласа, не является регулярным, поскольку у (, ) не существует производной по в точке =. Тем самым показано, что от­ сутствие дифференцируемости по функции плотности (, ) в точке = качественно не влияет на порядок альтернатив (равный ) и вид предель­ ной мощности * ().

Рассмотрим критерий, основанный на асимптотически эффективной ста­ Заметим, что статистика не зависит от, и потому может быть использова­ на для проверки гипотезы H0 против альтернативы H,1. Пусть () — функ­ ция мощности этого критерия заданного уровня (0, 1). Следующая лемма показывает, что критерий, основанный на статистике, является АНМ кри­ терием.

Лемма 11. В случае распределения (11) для любого 0 < 1/2 справедливо соотношение Основным результатом второй главы является получение предела выра­ жения ( () ()) с использованием теоремы 8. Рассмотрим монотонное преобразование статистики вида () = 2, /2 и положим () = () (). В следующей лемме устанавливаются предельные распределе­ ния случайной величины 4 () и случайного вектора ( 4 (), ()) при основной гипотезе.

Лемма 12. В случае распределения (11) при справедливы следующие соотношения где 2 — двумерный нормальный закон с соответствующими параметра­ ми.

Эта лемма показывает, что случайные величины 4 () и () асимп­ тотически независимы. Полагая и независимыми случайными величи­ нами с распределениями, равными предельным распределениям случайных величин 4 () и (), то есть и = 1/4, можно на эвристическом уровне из теоремы 8 получить формулу для предела выражения ( () ()). Для формального доказательства этой формулы в диссертации проверены условия регулярности теоремы 8.

Таким образом, установлена следующая теорема.

Теорема 13. Для распределения (11) справедлива следующая формула где () — плотность стандартного нормального закона.

Тем самым показано, что обобщенное распределение Лапласа может слу­ жить примером применения теоремы 8 для случая нерегулярного распределе­ ния и что отсутствие регулярности этого распределения приводит к порядку 1/2 отклонения мощности асимптотически наиболее мощного критерия от мощности наилучшего критерия, в отличие от регулярного случая, для кото­ рого этот порядок равен 1.

В заключении приводятся выводы диссертационной работы и возможные перспективы дальнейших исследований.

Основные результаты работы В диссертационной работе получено обоснование возможности исполь­ зования распределения Лапласа в задачах теории вероятности и математи­ ческой статистики, возникающего в качестве предельного в случае выборок случайного объема, а также построение примера применения общей теоремы, дающей достаточные условия для существования предела отклонения мощ­ ности асимптотически наиболее мощного критерия от мощности наилучшего критерия, в случае нерегулярного распределения.

1. Получена оценка скорости сходимости распределения случайной вели­ чины, равной максимуму от независимых случайных величин с одним и тем же дискретным распределением Парето, к обратному показатель­ ному распределению при.

2. Построены оценки скорости сходимости распределений асимптотически нормальных статистик к распределению Лапласа в случае выборок слу­ чайного объема с распределением указанного максимума.

3. Предложены варианты использования полученных результатов в иссле­ дованиях с применением –статистик, а также линейных комбинаций порядковых статистик.

4. Предложено обобщенное распределение Лапласа, которое при правиль­ ном подборе параметров обладает хвостами менее тяжелыми, чем у со­ ответствующего распределения Лапласа, сохраняя при этом существен­ ную особенность негладкости функции плотности, которая отсутствует у нормального распределения.

5. Для этого распределения описана задача проверки простой гипотезы против последовательности сложных близких альтернатив. С приме­ нением общей теоремы из работы [16 ] показано, что отсутствие регу­ лярности приводит к нарушению естественного порядка 1 разности функций мощности наилучшего и асимптотически наиболее мощного критериев и приводит к порядку 1/2.

Список публикаций по теме диссертации 1. Бенинг В. Е., Лямин О. О. О мощности критериев в случае обобщенного распределения Лапласа // Информатика и ее применения. — 2009. — Т. 3, № 3. — С. 79–85.

2. Лямин О. О. О скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Лапласа // Обозрение прикладной и промышленной ма­ тематики. — 2009. — Т. 16, № 6. — С. 1090–1091.

3. Лямин О. О. О предельном поведении мощностей критериев в случае обобщенного распределения Лапласа // Информатика и ее применения. — 2010. — Т. 4, № 3. — С. 49–59.

4. Лямин О. О. О скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Лапласа // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем.

и киберн. — 2010. — № 3. — С. 30–38.