«1.2. Нормативные документы для разработки ООП бакалавриата по направлению подготовки 231300 Прикладная математика: - Федеральные законы РФ Об образовании (от 10.07.1992 № 3266-1) и О высшем и послевузовском ...»

1. Общие положения

1.1. Определение

Основная образовательная программа высшего профессионального

образования (ООП ВПО) – система учебно-методических документов,

сформированная на основе федерального государственного образовательного

стандарта (ФГОС) по направлению подготовки ВПО и рекомендуемая вузам

для использования при разработке основных образовательных программ

высшего профессионального образования (ООП) в части:

- набора профилей подготовки, из числа включенных в Общероссийский классификатор образовательных программ (ОКОП);

- компетентностно-квалификационной характеристики выпускника;

- содержания и организации образовательного процесса;

- ресурсного обеспечения реализации ООП;

- итоговой государственной аттестации выпускников.

1.2. Нормативные документы для разработки ООП бакалавриата по направлению подготовки 231300 Прикладная математика:

- Федеральные законы РФ «Об образовании» (от 10.07.1992 № 3266-1) и «О высшем и послевузовском профессиональном образовании» (от 22.08.1996 №125-ФЗ);

- Типовое положение об образовательном учреждении ВПО (высшем учебном заведении), утвержденное Постановлением Правительства РФ от 14.02.2008 №71;

- Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению подготовки 231300 Прикладная математика (бакалавриат), утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «14» декабря 2009 г. № 722;

- Инструктивное письмо Минобрнауки России от 28.12.09 № 03- «О разработке примерных основных образовательных программ профессионального образования»;

- Инструктивное письмо Минобрнауки России 13.05.2010 № 03-956 «О разработке вузами основных образовательных программ»;

- Примерная основная образовательная программа (ПрООП) по направлению подготовки;

- Устав Московского технического университета связи и информатики.

1.3. Цель разработки ООП ВПО по направлению подготовки Целью разработки примерной основной образовательной программы является методическое обеспечение реализации ФГОС ВПО по данному направлению подготовки и разработки высшим учебным заведением основной образовательной программы соответствующего уровня ВПО.

1.4. Характеристика ООП по направлению подготовки Примерная основная образовательная программа по направлению подготовки Прикладная математика является программой 1 уровня высшего профессионального образования. Квалификация выпускника, освоившего ПООП и успешно прошедшего итоговую аттестацию, в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом «бакалавр прикладной математики»;

Нормативные сроки, общая трудоемкость освоения основной образовательной программы (в зачетных единицах) и соответствующая квалификация (степень) уровня высшего профессионального образования приводится в таблице 1.

Наименование ООП Квалификация Нормативный Трудоемко (степень) срок освоения сть (в ООП (для зачетных Код, наименование очной формы единицах) в соответствии с обучения) ОКСО ООП подготовки 4 года* 240** бакалавров бакалавр *) иные нормативные сроки освоения ООП устанавливаются Правительством Российской Федерации.

Для лиц, имеющих среднее (полное) общее образование, сроки освоения примерной основной образовательной программы подготовки бакалавра по очно-заочной (вечерней) и заочной формам обучения, а также в случае сочетания различных форм обучения увеличиваются на один год.

**) Трудоемкость основной образовательной программы по очной форме обучения за учебный год равна 60 зачетным единицам.

2. Компетентностно-квалификационные характеристики выпускников 2.1. Область профессиональной деятельности бакалавров Область профессиональной деятельности бакалавров по направлению подготовки Прикладная математика включает: применение современного программного обеспечения, применение и исследование математических методов и моделей объектов, систем, процессов и технологий, предназначенных для проведения расчетов, анализа и подготовки решений во всех сферах производственной, хозяйственной, экономической, социальной, управленческой деятельности, в науке, технике, медицине, образовании.

2.2 Объекты профессиональной деятельности бакалавров Объектами профессиональной деятельности бакалавров по направлению подготовки Прикладная математика являются: математические модели, методы и наукоемкое программное обеспечение, предназначенное для проведения анализа и выработки решений в конкретных предметных областях.

2.3. Виды профессиональной деятельности бакалавров:

- производственно-технологическая, - организационно-управленческая, - научно-исследовательская.

Конкретные виды профессиональной деятельности, к которым готовится бакалавр, определяются высшим учебным заведением совместно с заинтересованными участниками образовательного процесса.

Задачи профессиональной деятельности бакалавров:

а) производственно-технологическая деятельность:

- сбор и анализ исходных данных; подготовка исходных данных для выбора и обоснования научно-технических и организационных решений на основе экономического анализа;

- проведение экспериментов по заданной методике, составление описания проводимых исследований и анализ результатов;

- составление отчета по выполненному заданию, участие во внедрении результатов исследований и разработок;

- разработка и расчет вариантов решения проблемы, анализ этих вариантов;

- расчет экономической эффективности.

б) организационно-управленческая деятельность:

- составление технической документации, а также установленной отчетности по утвержденным формам;

- организация безопасных условий труда;

- организация работы коллектива, принятие управленческих решений.

в) научно-исследовательская деятельность:

- сбор и обработка статистических материалов, необходимых для расчетов и конкретных практических выводов;

- математическое моделирование процессов и объектов на базе стандартных пакетов автоматизированного проектирования и исследований;

- анализ и выработка решений в конкретных предметных областях;

- отладка наукоемкого программного обеспечения;

- изучение научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по тематике исследования;

- подготовка данных для составления обзоров, отчетов и научных публикаций.

образовательных программ бакалавриата Выпускник по направлению подготовки «Прикладная математика» с квалификацией «бакалавр» должен обладать следующими компетенциями:

а) общекультурными (ОК):

- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей е достижения (ОК-1);

- умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);

- готов уважительно и бережно относиться к историческому наследию и культурным традициям, толерантно воспринимать социальные и культурные различия; понимать движущие силы и закономерности исторического процесса, роль насилия и ненасилия в истории, место человека в историческом процессе, политической организации общества (ОК-3);

- способен понимать и анализировать мировоззренческие, социально и личностно значимые философские проблемы (ОК-4);

- владеет одним из иностранных языков на уровне бытового общения, а также способен переводить профессиональные тексты с иностранного языка (ОК-5);

- готов к кооперации с коллегами, работе в коллективе (ОК-6);

- способен находить организационно-управленческие решения в нестандартных ситуациях и готов нести за них ответственность (ОК-7);

- умеет использовать нормативные правовые документы в своей деятельности (ОК-8);

- стремится к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);

- осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК- 10);

- использует основные положения и методы социальных, гуманитарных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач, - способен анализировать социально-значимые проблемы и процессы (ОК-11);

- осознает сущность и значение информации в развитии современного общества; владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации (ОК-12);

- способен оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной работы (ОК-13);

- умеет создавать и редактировать тексты профессионального назначения (ОК-14);

- способен использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ОК-15);

- владеет методами физического воспитания и укрепления здоровья, готов к достижению должного уровня физической подготовленности для обеспечения полноценной социальной и профессиональной деятельности (ОК-16);

- владеет средствами самостоятельного, методически правильного использования методов физического воспитания и укрепления здоровья, готовностью к достижению должного уровня физической подготовленности для обеспечения полноценной социальной и профессиональной деятельности (ОК-17).

б) профессиональными (ПК):

в общепрофессиональной деятельности:

- способен использовать современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии программирования (ПК-1);

- способен отлаживать и тестировать прикладное программное обеспечение (ПК-2);

- способен и готов настраивать, тестировать и осуществлять проверку вычислительной техники (ПК-3);

- способен и готов демонстрировать знания современных языков программирования, операционных систем, офисных приложений, Интернета, принципов организации, состава и схемы работы операционных систем (ПКспособен и готов демонстрировать знания способов и механизмов управления данными; современных технологий и программного обеспечения для проектирования баз данных (ПК-5);

в организационно-управленческой деятельности:

- способен и готов решать проблемы, брать на себя ответственность (ПК-6);

- способен проводить организационно-управленческие расчты, осуществлять организацию и техническое оснащение рабочих мест (ПК-7);

- способен организовать работу малых групп исполнителей (ПК-8);

- способен определять экономическую целесообразность принимаемых технических и организационных решений (ПК-9);

- владеет основными методами защиты производственного персонала и населения от возможных последствий аварий, катастроф, стихийных бедствий (ПК- 10);

в научно-исследовательской деятельности:

- знает основные положения, законы и методы естественных наук;

способен выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, готов использовать для их решения соответствующий естественнонаучный аппарат, владеет основами (ПК-11);

- знает основные приемы обработки экспериментальных данных, основы моделирования, способен применить соответствующую процессу математическую модель, способен найти решение с помощью модели, проверить адекватность модели, провести анализ результатов моделирования, принять решение на основе полученных результатов (ПКготов применять знания и навыки управления информацией (ПК-13);

- способен самостоятельно изучать новые разделы фундаментальных наук (ПК-14).

3. Документы, определяющие содержание и организацию образовательного процесса 3.1. Примерный учебный план, составленный по циклам дисциплин, содержащий базовую и вариативную части, включает перечень дисциплин, их трудоемкость и последовательность изучения.

3.2. Программы учебных дисциплин Программы дисциплин содержат всю необходимую информацию, касающуюся требований к уровню освоения содержания дисциплины, видов учебной работы, содержания дисциплины, учебно-методического, материально-технического и информационного обеспечения дисциплины, методических рекомендаций по организации изучения дисциплины.

3.3. Программы практик Программы практик, предусмотренных ФГОС и примерным учебным планом, содержат всю необходимую информацию о целях, задачах, формах и местах проведения практик, структуре и содержанию практик, учебнометодическом, материально-техническом и информационном обеспечении практик, а также формах аттестации по итогам практик.

4. Ресурсное обеспечение.

Для освоения основной образовательной программы бакалавриата необходимы следующие ресурсы:

1. Учебные лаборатории по всем дисциплинам профессионального цикла данного профиля, включая базовую и вариативную часть, в соответствии с ФГОС и рабочим учебным планом. Материальнотехническое обеспечение лабораторий должно соответствовать перечню оборудования, указанному в программах дисциплин.

2. Компьютерные классы со специализированным программным обеспечением для организации практических занятий, в том числе в интерактивных формах, компьютерного тестирования, курсового и дипломного проектирования.

3. Комплексы электронных учебно-методических материалов (электронные учебники, лекции, тестовые материалы, виртуальные лаборатории и др.) 4. Научно-исследовательские структуры (лаборатории, отделы, полигоны и т.п.), занимающиеся научно-исследовательской деятельностью в области прикладной математики, сетей связи и методов передачи и обработки информации.

5. Библиотека, укомплектованная основной и дополнительной учебно-методической литературой в соответствии с примерными программами дисциплин. Каждый обучающийся по основной образовательной программе должен быть обеспечен не менее чем одним учебным и одним учебно-методическим печатным и/или электронным изданием по каждой дисциплине профессионального цикла, входящей в образовательную программу (включая электронные базы периодических изданий).

6. Средства обеспечения доступа каждого обучающегося к базам данных и библиотечным фондам, формируемым по полному перечню дисциплин (модулей) основной образовательной программы. Во время самостоятельной подготовки обучающиеся должны быть обеспечены доступом к сети Интернет.

7. Базы практик, позволяющие реализовать все виды предусмотренных практик в соответствии с их примерными 5. Рекомендации по использованию образовательных технологий Общими для данной основной образовательной программы являются следующие образовательные технологии: лекции, семинары, лабораторные работы, самостоятельная аудиторная работа, самостоятельная внеаудиторная работа, консультация, практическое занятие, учебная и производственная практики, курсовая работа, выпускная работа. В отдельных дисциплинах могут быть задействованы и другие технологии, способствующие формированию компетенций у обучаемых.

Реализация компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий (компьютерных симуляций, деловых и ролевых игр, разбор конкретных ситуаций, психологические и иные тренинги) в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.

Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной целью программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они должны составлять не менее 20 % аудиторных занятий. Занятия лекционного типа для соответствующих групп студентов не могут составлять более 40 % аудиторных занятий.

Образовательная программа бакалавриата вуза предусматривает лабораторные практикумы и/или практические занятия по дисциплинам (модулям) базовой части, формирующим у обучающихся умения и навыки в области истории, философии, иностранного языка, экономики отрасли инфокоммуникаций, русского языка и культуры речи, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики, информатики, физики, экологии, электромагнитных полей и волн, вычислительной техники и информационных технологий, общей теории связи, цифровой обработки сигналов, основ построения инфокоммуникационных систем и сетей, электроники, теории электрических цепей, схемотехники телекоммуникационных устройств, электропитания устройств и систем телекоммуникаций, метрологии, стандартизации и сертификации в инфокоммуникациях, безопасности жизнедеятельности, а также по дисциплинам (модулям) вариативной части, рабочие программы которых предусматривают цели формирования у обучающихся соответствующих умений и навыков.

Реализация компетентностного подхода должна предусматривать широкое использование в учебном процессе электронных средств и методов обучения (электронные учебники, лекции, тесты, виртуальные лаборатории и т.п.) с элементами дистанционного обучения, что позволит повысить качество обучения и при этом увеличить объем самостоятельной работы студентов.

При этом большое значение приобретает использование в учебном процессе компьютерных классов, мультимедийной техники и других технических средств обучения.

В рамках учебных курсов должны быть предусмотрены встречи с представителями ведущих российских и зарубежных компаний, работающих в сфере прикладной математики, государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и специалистов.

При разработке рабочих учебных планов необходимо обеспечить грамотное сочетание лекций, практических занятий, физических и виртуальных лабораторных работ, интерактивных форм обучения и самостоятельной работы студентов.

6. Требования и рекомендации к организации и учебнометодическому обеспечению текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации и итоговой государственной аттестации и разработке соответствующих фондов оценочных а) Требования и рекомендации к организации и учебно-методическому обеспечению текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Высшее учебное заведение обязано обеспечивать гарантию качества подготовки, в том числе путем:

- разработки стратегии по обеспечению качества подготовки выпускников с привлечением представителей работодателей;

- мониторинга, периодического рецензирования образовательных программ;

- разработки объективных процедур оценки уровня знаний и умений обучающихся, компетенций выпускников;

- обеспечения компетентности преподавательского состава;

- регулярного проведения самообследования по согласованным критериям для оценки деятельности (стратегии) и сопоставления с другими образовательными учреждениями с привлечением представителей работодателей;

- информирования общественности о результатах своей деятельности, планах, инновациях.

Вузом должны быть созданы условия для максимального приближения программ текущей и промежуточной аттестации обучающихся к условиям их будущей профессиональной деятельности – для чего кроме преподавателей конкретной дисциплины в качестве внешних экспертов должны активно привлекаться работодатели, преподаватели, читающие смежные дисциплины, и т.п.

Оценка качества освоения основных образовательных программ должна включать текущую, промежуточную и итоговую государственную аттестацию студентов.

Конкретные формы и процедуры текущего и промежуточного контроля знаний по каждой дисциплине разрабатываются вузом самостоятельно и доводятся до сведения обучающихся в течение первого месяца обучения в каждом семестре. Работа студента за курс (семестр) по всей дисциплине или ее части оценивается экзаменационной оценкой, зачетом и (или) оценкой по защите курсового проекта или работы. Виды и формы обязательной отчетности студента отражаются в графиках аудиторных занятий и самостоятельной работы, которые выдаются студентам или размещаются на сайте вуза в Интернете в начале каждого семестра.

Студенты могут проходить обучение и сдавать экзамены (зачеты) по факультативным дисциплинам, предусмотренным учебным планом.

Результаты сдачи экзаменов (зачетов) по желанию студентов вносятся в ведомость, в зачетную книжку и в выписку из зачетной ведомости (приложение к диплому).

Экзамены проводятся по билетам в устной или письменной форме. При проведении экзаменов и зачетов могут быть использованы технические средства, тестовые задания, контрольные работы, компьютерное тестирование, балльно - рейтинговая система и др. При любой форме проведения экзаменов экзаменатору предоставляется право задавать студентам дополнительные теоретические вопросы, задачи и примеры по программе данной дисциплины.

Экзамены в соответствии с расписанием экзаменов принимаются, как правило, лекторами данного потока. По согласованию с заведующим кафедрой возможно привлечение к приему экзаменов других преподавателей кафедры.

Зачеты по практическим и лабораторным работам, принимаются, как правило, по мере их выполнения преподавателями, руководившими практическими и лабораторными занятиями или читавшими лекции по данной дисциплине.

Зачеты по семинарским занятиям проставляются на основе представленных рефератов (докладов) или выступлений студентов на семинарах.

Знания, умения и навыки обучающихся определяются следующими оценками: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно», «зачтено», «не зачтено». Положительные оценки заносятся в экзаменационную ведомость и в зачетную книжку.

Неудовлетворительная оценка «неудовлетворительно» или «не зачтено»

проставляется только в экзаменационной ведомости.

Экзаменатор обязан предотвратить фальсификацию экзамена в виде списывания студентами друг у друга или из других источников и использования технических средств, не разрешенных по условиям данного экзамена.

Учебная, производственная и преддипломная практики студентов засчитываются руководителем практики на основе защиты отчетов, составляемых студентами в соответствии с утвержденной программой практики, при представлении оформленных дневников по практике. Студент обязан отчитаться по производственной практике в месячный срок после начала учебных занятий. Оценка по производственной практике проставляется в ведомость руководителем практики.

Студенты, не выполнившие программу производственной и (или) преддипломной практики, получившие отрицательный отзыв о работе или неудовлетворительную оценку при защите отчета, а также не получившие оценку по практике в установленные сроки, считаются неуспевающими. При наличии уважительных причин, подтвержденных соответствующими документами, студенты направляются повторно на практику в период студенческих каникул или по скользящему графику в течение семестра.

Студентам, которые не могли сдать зачеты и экзамены в общеустановленные сроки по болезни или другим уважительным причинам, документально подтвержденным соответствующим учреждением, декан факультета устанавливает индивидуальные сроки сдачи экзаменов и зачетов. В данном случае сдача зачетов (экзаменов) осуществляется по экзаменационным листам, выданным деканатом на имя преподавателя, ведущего занятия в группе, или заведующего кафедрой.

Экзаменационная сессия может быть продлена деканом студентам:

- болевшим в период зачетной или экзаменационной сессии;

- допущенным к экзаменационной сессии и пропустившим экзамены в период экзаменационной сессии по документально подтвержденной уважительной причине.

Для аттестации обучающихся на соответствие их персональных достижений поэтапным требованиям соответствующей ООП (текущая и промежуточная аттестация) в вузе разрабатываются отдельные положения (например, положение о курсовых экзаменах и зачетах), фонды оценочных средств, включающие типовые задания, контрольные работы, тесты и методы контроля, позволяющие оценить знания, умения и уровень приобретенных компетенций. Фонды оценочных средств разрабатываются и утверждаются вузом.

Обучающимся должна быть предоставлена возможность оценивания содержания, организации и качества учебного процесса в целом, а также работы отдельных преподавателей.

б) Требования к проведению итоговой государственной аттестации и разработке соответствующих оценочных средств Итоговая государственная аттестация включает защиту бакалаврской выпускной квалификационной работы. Итоговая государственная аттестация должна подтверждать освоенность компетенций бакалавра в соответствие с ФГОС ВПО по направлению подготовки «Прикладная математика», определяющих его подготовленность к решению профессиональных задач, способствующих его устойчивости на рынке труда и позволяющих продолжить образование в магистратуре.

Выпускная квалификационная работа бакалавра техники и технологии должна соответствовать видам и задачам его профессиональной деятельности. Она должна быть представлена в виде рукописи с необходимым иллюстрационным материалом и библиографией.

Тематика и содержание выпускной квалификационной работы должны соответствовать уровню компетенций ООП, освоенных выпускником. Работа должна выполняться под руководством опытного специалиста – преподавателя или специалиста производственной организации. В последнем случае от МТУСИ должен назначаться куратор.

Выпускная квалификационная работа должна содержать реферативную часть, отражающую общую профессиональную эрудицию выпускника, а также самостоятельную практическую часть, выполненную самостоятельно или в составе коллектива по материалам, полученным в ходе выполнения работы. Темы выпускной квалификационной работы могут быть предложены преподавателями или самими студентами.

Самостоятельная часть выпускной квалификационной работы должна свидетельствовать об уровне профессионально-профилированных компетенций автора. Требования к содержанию, объему и структуре выпускной квалификационной работы определяются высшим учебным заведением на основании действующего Положения об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденного федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере образования, а также данного ФГОС ВПО в части требований к результатам освоения основной образовательной программы бакалавриата.

ВСЕГО ЧАСОВ

Код Наименование дисциплины Вариативная часть В.1.1 Экономика отрасли инфокоммуникаций Чрезвычайные ситуации мирного устанавливаемые вузом Б.2.2 Линейная алгебра и аналитическая Б.2.3 Теория функций комплексного Б.2. Б.2.7 Теория вероятностей, случайных процессов Б.2. Физические основы систем инфокоммуникаций Дополнительные главы математического анализа Математические методы теории Теория случайных процессов и Основы теории электромагнитного Дисциплины и курсы по выбору студента, устанавливаемые Базовая (общепрофессиональная Программные и аппаратные средства Вариативная часть, Профиль:

Применение математических инженерных и экономических Гармонический анализ и быстрые Программное обеспечение средств Программирование для Интернет Объектно-ориентированное программирование 3.2. 3.2. Дисциплины и курсы по выбору студента, устанавливаемые Дисциплина по выбору № Итого: в неделю теоретическое обучение (без физической культуры) Учебная и производственная 6.0. Выпускная квалификационная Проректор по учебной работе Декан факультета "Первый общетехнческий Зав. Кафедрой теории вероятностей и прикладной Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технический университет связи и информатики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Дифференциальные уравнения»

231300 Прикладная математика квалификация (степень) «бакалавр»

1. Цель и задачи дисциплины.

Дисциплина "Дифференциальные уравнения" обеспечивает подготовку по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся важным инструментом исследования многих задач естествознания и техники. В процессе освоения дисциплины студенты осваивают методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка, методы решения линейных уравнений порядка n, а также методы решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами. Содержание дисциплины имеет многочисленные приложения и является одним из фундаментов будущей практической и научной деятельности специалиста.

При изучении дисциплины "Дифференциальные уравнения" используются понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, высшей алгебры, а также элементы теории функций комплексного переменного и функционального анализа. Предложенные в курсе методы решения дифференциальных уравнений находят широкое применение в курсах теории вероятностей и математической статистики, физики и других науках.

2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

В результате освоения студент должен:

основные положения теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости; (ОК-09, ПК-11, ПК-14) определять возможности применения теоретических положений дифференциальных уравнений для постановки и решения конкретных прикладных задач;

решать основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами, исследовать на устойчивость решения уравнений и систем; (ОК-09, ОК-12, ОК-14, ПК-11, ПК-14) стандартными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости и их применением к решению прикладных задач. (ОК-09, ОК-10, ПК-11, ПК-14) 2.1. Перечень дисциплин, знание которых необходимо для изучения данной дисциплины.

2.1.1. Математический анализ;

2.1.2. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

2.2. Перечень дисциплин, для изучения которых необходимы знания по данной дисциплине.

2.2.1. Численные методы;

2.2.2. Уравнения математической физики;

2.2.3. Математическое моделирование;

2.2.4. Теория случайных процессов и основы теории массового обслуживания;

2.2.5. Методы оптимизации;

2.2.6. Исследование операций;

2.2.7. Теория управления.

3. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Форма Количество акад. часов, отводимое на изучение дисциплины обучения Всего по Из них плану Аудиторные занятия Самостоятельная работа Вид учебной работы Очная форма дисциплины Расчетно-графические работы нет (ГР) занятиям 4. Форма проведения и содержание итогового контроля 5. Содержание дисциплины.

ЛПЛСС ЛПЛС С

З Р Р З Р Р

Общие определения.

Примеры. Уравнения I порядка. Метод изоклин.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

Уравнения Бернулли и в полных дифференциалах.

Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциаль-ных уравнений.

дифференциальных уравнений. Теорема существования и единствен-ности для уравнений, не разрешенных относит. производной. Особые Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с непрерыв-ными коэффициентами.

Фундаментальная система решений.

линейного дифференциальные уравнения с постоян-ными коэффициентами. Общее решение в случае простых и кратных корней характеристического уравнения.

7 Теоремы о свойствах решений * * * линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных.

линейных неодно-родных дифференциальных уравнений. Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений II порядка. Функция Грина.

дифференциальных уравнений. Общее решение.

Линейные неоднородные системы дифференциаль-ных уравнений. Метод вариации постоянных.

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Общее решение в случае простых и кратных корней характеристического уравнения.

свойства. Фундаментальная матрица. Неоднородные векторные уравнения.

Сопряженная система.

12 Устойчивость решений систем * * * дифферен-циальных уравнений Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Устойчивость Простейшие типы точек покоя: узел, седло, фокус, центр. Связь классификации точек покоя с классификацией особых точек.

Устойчивость решения системы n линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоремы Ляпунова об устойчивости.

Теорема Четаева о неустойчивости.

Исследование на устойчивость * по I при-ближению.

Стационарные в I приближении системы д.у.

Предельные циклы.

Уравнения в частных производных первого порядка.

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений.

Характеристики. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными.

6. Содержание разделов дисциплины.

Основные определения. Примеры дифференциальных уравнений.

Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

Дифференциальные уравнений с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения, сводящиеся к линейным (уравнения Бернулли, уравнения Риккати).

Уравнения в полных дифференциалах.

Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений.

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения.

Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений (метод последовательных приближений, метод Эйлера). Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теоремы об основных свойствах решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка. Линейная независимость систем функций. Определитель Вронского. Теорема об общем решении однородного уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен. Факторизация оператора линейного однородного дифференциального уравнения.

Общее решение в случаях простых и кратных корней характеристического многочлена. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.

Принцип суперпозиции. Теорема об общем решении неоднородного уравнения с непрерывными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Метод Коши решения линейного дифференциального уравнения. Функция влияния. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Системы линейных дифференциальных уравнений. Основные свойства решений однородных систем линейных дифференциальных уравнений.

Линейно зависимые вектор-функции. Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами. Неоднородные системы. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными 10.

коэффициентами. Характеристическое уравнение. случаи простых и кратных корней характеристического уравнения.

Понятие о матричной экспоненте. Матрицы и дифференциальные 11.

уравнения. Дифференцирование и интегрирование векторных и матричных функций. Нормы векторов и матриц. Бесконечные ряды векторов и матриц. Существование и единственность решения векторного дифференциального уравнения. Матричная экспонента.

Неоднородное векторное дифференциальное уравнение.

Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений.

12.

Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.

Устойчивость точки покоя. Простейшие типы точек покоя. Связь точек покоя с особыми точками дифференциальных уравнений.

Однородная система n линейных уравнений с постоянными 13.

коэффициентами. Теорема Ляпунова об устойчивости. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Теорема Четаева о неустойчивости.

Исследование решений систем дифференциальных уравнений на устойчивость по первому приближению. Устойчивость и неустойчивость стационарных в первом приближении систем.

Уравнения в частных производных первого порядка. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными.

Решение дифференциального уравнения II порядка с аналитическими в некотором круге коэффициентами при помощи степенных рядов.

Решение линейного дифференциального уравнения II порядка в окрестности регулярной особой точки. Определяющее уравнение.

7. Лабораторный практикум.

Не предусмотрен.

8. Тематика практических занятий дифференциальных уравнений.

Особые решения. Огибающая семейства решений.

Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференци-альных уравнений I дифференциальные уравнения.

Линейные неоднородные дифференци-альные уравнения.

Метод вариации произвольных дифференциальные уравнения со специальным видом правой Краевые задачи. Задача ШтурмаЛиувилля. Функция Грина.

Линейные однородные системы диффе-ренциальных уравнений.

Системы с постоянными Матричная экспонента и способы Неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации постоянных. Неоднородные векторные уравнения.

Элементы теории устойчивости.

Классификация точек покоя.

Исследования на устойчивость дифференциальных уравнений.

Метод функции Ляпунова.

Исследование на устойчивость дифференциальных уравнений по Интегрирование линейных дифферен-циальных уравнений при помощи степенных рядов.

9. Темы курсовых работ (КР), курсовых проектов (КП), расчетнографических работ (ГР), рефератов (Р).

Построение интегральных кривых дифференциальных уравнений.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Исследование на устойчивость решений дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Определение характера точек покоя.

Построение матричной экспоненты.

10. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

Рекомендуемая литература.

а) основная литература:

1. А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит. 1998.

2. В.В.Степанов, «Курс дифференциальных уравнений», М.: Гостехиздат, 1959.

3. Л.С.Понтрягин, «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Москва Ижевск: РХД, 2001.

4. А.Г.Кюркчан, Н.И.Смирнова «Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям», М.: МТУСИ, ч. 1, ч. 2, 2007, 2010.

5. А.Ф.Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.

Наука, 1992.

б) дополнительная литература 1. Л.Э.Эльсгольц, «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление», М.: Наука, 1969.

2. Р.Беллман «Введение в теорию матриц», М.: Мир, 1973.

3. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. М.: Наука, 1995.

11. Интернет ресурсы testing.mtuci.ru 12. Вопросы для итогового контроля 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

2. Изоклины. Графический метод построения интегральных кривых.

3. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Общее и частное решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

5. Уравнения, сводящиеся к линейным (уравнение Бернулли и др.).

6. Метод подстановки (способ Даламбера). Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

7. Нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши. Условие Липшица.

8. Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений.

9. Метод последовательных приближений.

10.Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений и особые точки уравнений. Классификация особых точек.

11.Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения.

12.Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные. Теоремы о свойствах решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

13.Линейно независимые на отрезке системы функций. Примеры.

Вронскиан.

14.Теоремы о линейно зависимых на отрезке функциях и о линейно независимых решениях линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами.

15.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами. Фундаментальная система решений.

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Свойства решений таких уравнений. Принцип суперпозиции.

17.Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами.

18.Метод вариации произвольных постоянных.

19.Метод Коши решения линейного неоднородного уравнения.

Функция влияния.

20. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен.

21.Факторизация оператора линейного однородного дифференциального уравнения.

22.Общее решение в случаях простых и кратных корней характеристического многочлена.

23.Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части.

24. Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная запись. Фазовое пространство, фазовые траектории.

25.Теоремы о свойствах решений систем линейных дифференциальных уравнений. Линейно независимые на отрезке вектор-функции. Определитель Вронского.

26.Теоремы о линейно независимых решениях и об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами.

27.Теорема об общем решении неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами.

28.Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.

29. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

30.Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения.

31.Матричная запись решения системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная экспонента и способы ее построения.

32. Дифференцирование и интегрирование векторных и матричных функций. Нормы векторов и матриц. Бесконечные ряды векторов и матриц.

33.Существование и единственность решения матричного дифференциального уравнения. Фундаментальная матрица.

34.Свойства матричной экспоненты.

35.Неоднородное векторное уравнение с постоянными и переменными коэффициентами.

36. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость.

37.Устойчивость точки покоя. Простейшие типы точек покоя (узел, седло, фокус, центр).

38.Связь между классификацией точек покоя и особых точек дифференциальных уравнений.

39.Устойчивость решений систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

40.Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости. Функция Ляпунова.

41.Теорема Четаева о неустойчивости.

42.Исследование решений систем дифференциальных уравнений на устойчивость по первому приближению.

43.Устойчивость и неустойчивость стационарных в первом приближении систем. Примеры.

44.Предельные циклы (устойчивый, неустойчивый, полуустойчивый предельные циклы).

45.Линейные уравнения в частных производных первого порядка.

Однородные уравнения. Эквивалентная система обыкновенных дифференциальных уравнений.

46.Первые интегралы и интегрируемые комбинации.

Характеристики.

47.Общий интеграл квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных I порядка.

48.Нахождение интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую.

49. Теорема об эквивалентности линейного однородного дифференциаль-ного уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

50.Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных I порядка.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технический университет связи и информатики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

231300 Прикладная математика квалификация (степень) «бакалавр»

Цель и задачи дисциплины.

Дисциплина «Компьютерная алгебра» относится к вариативной части математического и естественнонаучного цикла и имеет своей целью обучить студентов основным методам и алгоритмам компьютерной алгебры.

Основными задачами дисциплины являются:

1. приобретение студентами навыков работы с системами аналитических (символьных) вычислений (на примере программы Maple).

2. приобретение знаний об основных понятиях абстрактной и компьютерной алгебры (группы, кольца, поля, факторкольца, вычеты, результант, факторизация чисел, факторизация многочленов и др.);

3. приобретение знаний о методах и алгоритмах компьютерной алгебры и о способах применения алгоритмов символьной математики путем программирования их в системе аналитических вычислений Maple и/или на языках программирования высокого уровня (Паскаль, Си);

Основные алгоритмы компьютерной алгебры разобраны для символьных преобразований, связанных с такими объектами как целые числа и полиномы.

При изучении данной дисциплины предполагается проведение лекционных и практических занятий.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование у студента следующих компетенций:

ОК-12 – использование методов и алгоритмов алгебры;

ОК-14 – способности оформлять, представлять и докладывать результаты выполненной работы;

ОК-16 - способности использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства;

ПК-1 – готовности к самостоятельной работе;

ПК-2 – способности использовать современные прикладные программные средства и осваивать современные технологии программирования;

ПК-3 – способности использовать стандартные пакеты прикладных программ для выполнения символьных преобразований на компьютере;

ПК-11 – знать основные положения, теоремы и методы алгебры;

ПК-12 – готовности применять математический аппарат для решения поставленных задач, способностью применить соответствующую процессу математическую модель и проверить ее адекватность;

В результате изучения дисциплины студенты должны:

иметь представление:

об основных алгоритмах компьютерной алгебры;

о видах представлений данных различной природы (числа, многочлены, рациональные и трансцендентные функции) на компьютере с произвольной точностью;

знать:

основные понятия абстрактной алгебры (группы, кольца, поля, вычеты, факторкольца, результант);

основные алгоритмы представления и работы с целыми числами (способы задания, алгоритмы поиска НОД, алгоритм Евклида, решение систем сравнений (КТО) и алгебраических уравнений произвольной степени по заданному модулю, факторизация целых чисел) основные понятия, способы задания и алгоритмы алгебры многочленов (поиск НОД, НОК, деление и псевдоделение, алгоритм Евклида, алгоритм Кронекера факторизации, вычисление результанта и дискриминанта, отделение действительных корней, поиск корней полиномов степени не выше четвертой);

уметь:

проводить анализ различных алгоритмов арифметики целых чисел, рациональных чисел и многочленов, оценивать сложность алгоритмов;

строить алгоритмы в Maple и в других системах программирования;

характеризовать числовые поля;

решать линейные системы сравнений и диофантовы уравнения;

используя алгоритм Евклида, вычислять НОД целых чисел и полиномов;

факторизовать целые числа.

Студенты должны получить навыки:

работы в среде Maple и в др. пакетах символьных преобразований.

проведения вычислений в кольцах классов вычетов и применения их для решения алгоритмических задач арифметики целых чисел и многочленов;

работы с основными структурами компьютерной алгебры (списки, представление чисел и многочленов, рациональных функций и др.);

вычисления результантов полиномов через их корни и при помощи алгоритма Евклида;

нахождения последовательности полиномиальных остатков алгоритмами деления и псевдоделения;

факторизации полиномов одной переменной методом Кронекера;

отделения вещественных корней полиномов методом Штурма;

решения алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней при помощи преобразования Чирнгауза;

факторизации многочленов одной переменной.

2.1. Перечень дисциплин, знание которых необходимо для изучения данной дисциплины.

2.1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия;

2.1.2. Дополнительные главы алгебры;

2.1.3. Программирование на ЭВМ;

2.2. Перечень дисциплин, для изучения которых необходимы знания по данной дисциплине.

2.2.1. Численные методы;

2.2.2. Теория и методы защиты информации.

3. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Форма Количество акад. часов, отводимое на изучение дисциплины по учебному 4. Форма проведения и содержание итогового контроля 5. Содержание дисциплины.

Введение в компьютерную алгебру.

Ознакомление с системами символьной математики.

Проблема представления данных.

Кольцо целых чисел, многочлены, рациональные функции. Алгоритмы записи целых чисел в различных системах счисления. Алгоритм Евклида.

Китайская теорема об остатках.

Факторизация целых чисел.

Полиномиальная арифметика:

алгоритмы умножения и сложения полиномов, алгоритмы деления и псевдоделения. Расширенный и обобщенный алгоритмы Евклида в кольце полиномов.

Китайская теорема об остатках в кольце полиномов. Эффективное вычисление степеней и полиномов.

Схема Горнера.

Результант и дискриминант.

Решение.системы двух алгебраических уравнений методом исключения переменной.

Проблема отделения вещественных корней полиномов. Теорема Штурма. Теорема Кронекера.

Преобразование Чирнгауза.

Нормальная форма Бринга.

Неприводимые полиномы над числовым полем. Свойства неприводимых полиномов.

Теорема 9 разложении на неприводимые множители над полем. Алгоритмы Кронекера.

6. Содержание разделов дисциплины.

Темы лекций Общая характеристика и предмет компьютерной алгебры. Различие между численными и символьными вычислениями. Сравнительные характеристики различных систем символьной математики. Примеры символьных вычислений. Основные понятия абстрактной алгебры: группы, кольца, поля, отношение эквивалентности, факторкольца, вычеты, модули.

Проблема представления данных. Целые числа, кольца вычетов и конечные поля, рациональные числа, алгебраические числа, многочлены, рациональные функции. Алгоритмы записи целых чисел в различных системах счисления. Кольцо целых чисел. Операции над целыми числами.

Наибольший общий делитель целых чисел. Алгоритм Евклида. Теорема Ламе.

Евклидовы кольца. Обобщенный алгоритм Евклида. Решение линейного диофантова уравнения и произвольного алгебраического уравнения сравнения по модулю. Китайская теорема об остатках в кольце целых чисел. Факторизация целых чисел. Решето Эратосфена, алгоритм Ферма, идея ро-метода Полларда.

Полиномиальная арифметика: алгоритмы умножения, сложения, деления и псевдоделения полиномов. Расширенный и обобщенный алгоритм Евклида в кольце полиномов. Границы корней полиномов.

Вычисление полиномиальных остатков. Решение линейного диофантова уравнения в кольце полиномов. Китайская теорема об остатках в кольце полиномов. Эффективное вычисление степеней и полиномов. Схема Горнера.

Результант и дискриминант. Существование общих делителей двух полиномов. Метод решения системы полиномиальных уравнений, использующий исключение переменных.

Проблема отделения вещественных корней полиномов. Теорема Штурма. Теорема Кронекера.

Преобразования многочленов. Преобразование Чирнгауза. Уравнение третьей, четвертой и пятой степени в нормальной форме Бринга.

Неприводимые полиномы над числовым полем. Свойства неприводимых полиномов.

Теорема о разложении на неприводимые множители над полем.

Факторизация многочленов. Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Разложение многочленов на неприводимые множители по простому модулю.

7. Лабораторный практикум.

Не предусмотрен планом.

8. Тематика практических занятий № раздела дисциплины функции. Примеры написания подпрограмм Построение последовательности Штурма.

Реализация преобразования Чирнгауза для нахождения корней кубического полинома и Факторизация многочленов. Алгоритмы Кронекера. Разложение на множители, свободные от квадратов. Разложение многочленов на неприводимые множители 9. Темы курсовых работ (КР), курсовых проектов (КП), расчетнографических работ (ГР), рефератов (Р).

Курсовые работы (проекты), расчетно-графические работы, рефераты не предусмотрены планом.

10. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

Рекомендуемая литература.

а) основная литература:

1. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.:

2. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. – М.:

3. Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра. – М.: Наука, 1976.

4. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999.

5. Кнут Д. Искусство программирования, том 2. Получисленные алгоритмы. – М.: Изд. дом "Вильямс", 2000.

6. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. – М.: МЦНМО, 2000.

7. Манзон Б.М. Maple V Power Edition. – М.: Информационноиздательский дом "Филинъ", 1998.

8. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5, – М.:

б) дополнительная литература 1. Латышев В.Н. Комбинаторная теория колец. – М.: Изд. МГУ, 2. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. – М.: Мир, 3. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.:

4. Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры. М.: Бином.

5. Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. М.: Изд. центр "Академия". 2004.

11. Интернет ресурсы 12. Вопросы для итогового контроля 1. Что означает термин "компьютерная алгебра".

2. Чем отличаются символьные вычисления от численных расчетов?. Приведите примеры.

3. Перечислите интегрированные системы компьютерной алгебры.

4. Предмет компьютерной алгебры.

5. Проблема представления данных на компьютере на примере целых, рациональных чисел и полиномов.

6. Поясните смысл команд Maple: subs, simplify, expand, factor, normal, collect и combine.

7. Решение уравнений, неравенств и дифференциальных уравнений в системе Maple.

8. Дифференцирование и интегрирование в системе Maple.

9. Как представляются матрицы в системе символьных вычислений?

10.Работа с массивами и матрицами в системе Maple.

11.Как представляются в Maple рациональные, алгебраические и трансцендентные функции? Приведите примеры.

12.Работа с двумерной и трехмерной графикой в системе Maple.

Перечислите основные команды рисования графиков функций.

Пример.

13.Представление списков и наборов данных в Maple. В чем их отличия и когда их следует применять?

14.Способы задания пользовательских функций и подпрограмм на внутреннем языке системы Maple.

15.Понятие группы, кольца и поля. Что такое коммутативное кольцо, евклидово кольцо, кольцо целостности? Примеры.

16.Понятие неприводимого элемента кольца. Факториальные кольца.

17.Алгоритм преобразования чисел из одной системы счисления в другую.

18.Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Евклидовы кольца.

19.Простые числа, НОД, НОК. Свойства НОД.

20.Алгоритм Евклида в кольце целых чисел.

21.Бинарный алгоритм Евклида.

22.Алгоритм Евклида и теорема Ламе. Алгоритм Евклида и цепные дроби.

23.Расширенный алгоритм Евклида в кольце целых чисел.

24.Вычисление НОД двух чисел в системе Maple. Расширенный алгоритм Евклида.

25.Программирование в среде Maple: способы задания процедуры, внешние и внутренние переменные, циклы и условные операторы.

26.Сравнение по модулю. Основные свойства. Класс вычетов.

Фактор-кольца. Кольцо классов вычетов.

27.Теоремы Эйлера и Ферма. Функция Эйлера. Нахождение обратных чисел по некоторому модулю.

28.Модулярная арифметика. Целочисленные решения линейных диофантовых уравнений.

29.Китайская теорема об остатках в кольце целых чисел (для двух и больше двух модулей).

30.Разложение числа на простые множители. Решето Эратосфена.

Метод Ферма. Идея ро-метода Полларда.

31.КТО в Мaple. Пример на КТО: найти x такое, что: x 2 mod 5, 32.Кольцо полиномов над полем. Теорема о делении с остатком.

Деление на двучлен.

33.Алгоритмы сложения, вычитания и умножения полиномов.

34.Алгоритм деления полиномов над полем.

35.Понятие простых (неприводимых), примитивных и нормированных полиномов.

36.НОД и НОК полиномов. Алгоритм Евклида поиска НОД двух полиномов над полем.

37.Алгоритм псевдоделения полиномов с коэффициентами из кольца целых чисел.

38.НОД полиномов с коэффициентами из кольца целых чисел (коммутативное кольцо с единицей). Обобщенный алгоритм Евклида в кольце полиномов.

39.Коэффициенты Безу и расширенный алгоритм Евклида в кольце полиномов.

40.Китайская теорема об остатках в кольце полиномов.

41.Результант двух многочленов (полиномов). Существование общего делителя полиномов. Свойства.

42.Дискриминант. Связь с результантом.

43.Метод решения системы полиномиальных уравнений, использующий исключение переменных. Результант.

44.Поиск результанта двух полиномов методом полиномиальных остатков (алгоритм Евклида). Пример.

45.Отделение корней полиномов. Теорема Штурма. Алгоритм Штурма. Указание целочисленных интервалов существования действительных корней полиномов.

46.Преобразования многочленов. Преобразование Чирнгауза для многочленов 3-ей степени.

47.Приведение уравнений 5-ой, 4-ой и 3-ей степени к нормальной форме Бринга.

48.Вычисление степеней и полиномов. Бинарный алгоритм и построение дерева степеней для вычисления степеней чисел.

49.Схема Горнера.

50.Факторизация многочленов. Алгоритм Кронекера.

51.Разложение на множители, свободные от квадратов.

52.Разложение многочленов на неприводимые множители по простому модулю.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технический университет связи и информатики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

231300 Прикладная математика квалификация (степень) «бакалавр»

1. Цель и задачи дисциплины.

Дисциплина «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» относится к математическому циклу и обеспечивает логическую взаимосвязь между е основными понятиями как основы значительной части математического аппарата теории дифференциальных уравнений, механики, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики, теории оптимизации, теории кодирования и других дисциплин; имеет своей целью ознакомить студентов с важнейшими понятиями и методами линейной алгебры и аналитической геометрии и с типичными задачами, решаемыми с их применением.

В процессе освоения дисциплины студенты осваивают матричное исчисление, методы вычисления определителей, методы решения линейных алгебраических систем уравнений, изучают основные типы кривых и поверхностей на плоскости и в пространстве и методы приведения их к каноническому виду, основные алгебраические структуры, векторные, линейные, евклидовы и эрмитовы пространства, основные виды линейных преобразований, билинейные и квадратичные формы, а также знакомятся с основными свойствами многочленов и их корней. Содержание дисциплины имеет многочисленные приложения и является одним из фундаментов будущей практической и научной деятельности специалиста.

1. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

– освоение основных примов решения практических задач по темам дисциплины;

– развитие способности интерпретации формальных алгебраических структур;

– приобретение навыков в формализации внутриматематических и прикладных задач в алгебраических терминах.

В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

– базовые понятия и основные технические примы матричной алгебры, аналитической геометрии, теории линейных пространств (над вещественным и комплексным полями) и их отображений, спектральной теории, теории билинейных и квадратичных форм;

– знать основные виды объектов на плоскости: прямая, эллипс, гипербола, парабола; и в пространстве: прямая, плоскость, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, цилиндры. Знать их основные характеристики, свойства и канонические уравнения.

Студенты должны уметь:

– использовать алгоритмические примы решения стандартных задач и выработать способность геометрического видения формального аппарата дисциплины, с одной стороны, и умение формализовать в терминах дисциплины задачи геометрического и аналитического характера, с другой;

– исследовать и решать системы линейных алгебраических уравнений, определять взаимное расположение различных геометрических объектов на плоскости и в пространстве; приводить уравнение кривых и поверхностей 2го порядка к каноническому виду, преобразовывать данную систему линейно независимых векторов к ортогональному базису, находить жорданову форму матрицы и соответствующий жорданов базис.

Студенты должны владеть:

– материалом дисциплины на уровне, позволяющем формулировать и решать задачи, возникающие в ходе практической деятельности и требующие углублнных профессиональных знаний.

2.1. Перечень дисциплин, знание которых необходимо для изучения данной дисциплины.

2.1.1. Математический анализ;

2.2. Перечень дисциплин, для изучения которых необходимы знания по данной дисциплине.

2.2.1. Дифференциальные уравнения;

2.2.2. Теория функций комплексного переменного;

2.2.3. Основы функционального анализа;

2.2.4. Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов;

2.2.5. Теория графов и комбинаторика;

2.2.6. Математическая логика;

2.2.7. Численные методы;

2.2.8. Методы оптимизации.

2. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Форма Количество акад. часов, отводимое на изучение дисциплины по учебному Форма проведения и содержание итогового контроля 4. Содержание дисциплины.

Л ПЗ ЛР С СР Л ПЗ ЛР С СР

Матрицы, операции над матрицами.

Определители. (6 ч.) Обратная матрица. (4 ч.) Ранг матрицы. (2 ч.) Системы линейных алгебраических уравнений. (8 ч.) Векторы. Метод координат. (6 ч.) Прямая на плоскости. (6 ч.) Прямая в пространстве. (6 ч.) Плоскость в пространстве. (6 ч.) Кривые второго порядка. (6 ч.) Поверхности второго порядка. (2 ч.) Группа. Кольцо. Поле. (2 ч.) Комплексные числа. (4 ч.) Многочлены. (8 ч.) Линейные пространства и подпространства. (6 ч.) Евклидово и унитарное пространство. (4 ч.) Линейные операторы в произвольных линейных пространствах. (6 ч.) Билинейные и квадратичные формы в линейных пространствах. (4 ч.) Подпространства евклидова и унитарного пространства.

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая Билинейные и квадратичные формы в евклидовых и унитарных пространствах. Приведение к главным осям. (2 ч.) Линейные операторы, действующие в одном линейном пространстве.

Матрица линейного преобразования. Собственные значения и собственные векторы. ( Линейные преобразования в евклидовом и унитарном пространстве. (4 ч.) Жорданова форма матрицы.

Жорданов базис. (4 ч.) 5. Содержание разделов дисциплины.

1-й семестр.

1. Матрицы, операции над матрицами. - 6 часов.

1.1. Основные типы матриц. Операции над матрицами. - 4 часа.

1.1. Элементарные преобразования матриц. Матрицы элементарных преобразований. - 2 часа.

2. Определители. - 6 часов.

2.1. Определители 2, 3, n-го порядков. Свойства определителей. - 4 часа.

2.2. Определитель произведения матриц. Определитель обратной матрицы. часа.

3. Обратная матрица. - 4 часа.

4. Ранг матрицы. - 2 часа.

5. Системы линейных алгебраических уравнений. - 8 часов.

5.1. Основные понятия. Метод Крамера. - 2 часа.

5.2. Метод Гаусса решения систем уравнений. - 2 часа.

5.3. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности системы уравнений. - 2 часа.

5.4. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. - 2 часа.

6. Векторы. - 6 часов.

6.1. Основные понятия. Скалярное и векторное произведения. - 2 часа.

6.2. Смешанное произведение. - 2 часа.

6.3. Метод координат на плоскости. Координаты вектора. Площадь треугольника. Центр тяжести однородной пластины. – 2 часа.

7. Прямая на плоскости. - 6 часов.

8. Прямая в пространстве. - 6 часов.

9. Плоскость в пространстве. - 6 часов.

10. Кривые второго порядка. - 6 часов.

10.1 Канонические уравнения эллипса и гиперболы и их свойства. – 2 часа.

10.2. Каноническое уравнение параболы и его свойства. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. – 2 часа.

10.3. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.

– 2 часа.

11. Поверхности второго порядка. - 2 часа.

12. Группа. Кольцо. Поле. - 2 часа.

13. Комплексные числа. - 4 часа.

13.1. Основные понятия. Сложение, умножение, возведение в степень. - часа.

13.2. Извлечение корня. Решение уравнений. - 2 часа.

14. Многочлены. - 8 часов.

14.1. Основные понятия. Операции над многочленами. Делители многочлена. - 2 часа.

14.2. Корни многочлена. Теорема Виета. Производная многочлена. - 2 часа.

14.3. Разложение многочлена на множители. - 2 часа.

14.4. Значения многочлена и его коэффициенты. Схема Горнера. - 2 часа.

2-й семестр.

15. Линейные пространства и подпространства. - 6 часов.

15.1. Линейные пространства. Базис линейного пространства. Координаты вектора в базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому. - 2 часа.

15.2. Линейные пространства. Размерность. Подпространства произвольного линейного пространства. Прямая сумма подпространств. - часа.

15.3. Подпространства произвольного линейного пространства.

Подпространства произвольного линейного пространства, задаваемые системой уравнений. Линейное многообразие. - 2 часа.

16. Евклидово и унитарное пространство. - 4 часа.

16.1. Евклидово и унитарное пространство. Ортонормированная система векторов. Матрица Грама. - 2 часа.

16.2. Евклидово и унитарное пространство. Изометрия. Эрмитова матрица. часа.

17. Линейные операторы в произвольных линейных пространствах. - 6 часов.

17.1. Матрица линейного оператора. Произведение операторов. - 2 часа.

17.2. Ранг и дефект линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора. Обратный оператор.- 2 часа.

18. Билинейные и квадратичные формы в линейных пространствах - 4 часа.

18.1. Полярная билинейная форма. Матрица билинейной и квадратичной формы. Канонический базис. Метод Лагранжа (выделение полных квадратов).- 2 часа.

18.2. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы.

Критерий Сильвестра. - 2 часа.

19. Подпространства евклидова и унитарного пространства. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора. - 2 часа.

20. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых и унитарных пространствах. Приведение к главным осям. - 2 часа.

21. Линейные операторы, действующие в одном линейном пространстве (линейные преобразования). Матрица линейного преобразования.

Собственные значения и собственные векторы. - 4 часа.

22. Линейные преобразования в евклидовом и унитарном пространстве. - часа.

22.1. Линейные преобразования в евклидовом и унитарном пространстве.

Самосопряженные операторы. - 2 часа.

22.2. Линейные преобразования в евклидовом и унитарном пространстве.

Ортогональные операторы. - 2 часа.

23. Жорданова форма матрицы. Жорданов базис. - 4 часа.

6. Лабораторный практикум.

Лабораторный практикум не предусмотрен планом.

7. Тематика практических занятий № раздела Тема практического занятия 8. Темы курсовых работ (КР), курсовых проектов (КП), расчетнографических работ (ГР), рефератов (Р).

– Нахождение базиса и размерности линейного пространства.

– Вычисление координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

– Нахождение ортогонального базиса в пространстве векторов и многочленов методом ортогонализации Шмидта.

– Нахождение прямой суммы подпространств в произвольном линейном пространстве.

– Вычисление матрицы линейного преобразования в различных линейных пространствах.

– Нахождение ранга, дефекта, ядра и образа линейного оператора.

– Вычисление матрицы обратного линейного оператора.

– Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

– Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Приведение к главным осям.

– Приведение уравнений кривых второго порядка и уравнений поверхностей второго порядка на плоскости к каноническому виду при помощи метода квадратичных форм.

– Построение жордановой формы матрицы.

9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

Рекомендуемая литература.

а) основная литература:

1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1975.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1978.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1981.

4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1980.

5. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича.

б) дополнительная литература 1. В.А.Ильин, Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М., МГУ, 1998 -320 с.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 423 с.

3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. 280 с.

4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Физматлит, 2001 - 382 с.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Части 1 (Основы алгебры) и (Линейная алгебра). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

10. Интернет ресурсы testing.mtuci.ru 11. Вопросы для итогового контроля Вопросы к экзамену (1-й семестр, темы 1-14).

1.1. Матрицы, операции над матрицами Матрица.

Различные типы матриц: (квадратная м., единичная м., ступенчатая м.) Примеры, контрпримеры.

Операции над матрицами (сложение м-ц, умножение м. на число, умножение м-ц, транспонирование м.) Примеры, контрпримеры.

Теорема (свойства операции сложения матриц).

Теорема (свойства операции умножения матрицы на число).

Теорема (свойства операции умножения матриц).

Теорема (свойства операции транспонирования матрицы).

2. Определители Определители 2, 3, n-го порядков. Примеры, контрпримеры.

Минор. Примеры, контрпримеры.

Дополнительный минор. Примеры, контрпримеры.

Алгебраическое дополнение. Примеры.

Вычисления определителя разложением по строке (столбцу). Пример.

Теорема (свойства определителей - 8 свойств).

3. Обратная матрица Обратная матрица. Примеры, контрпримеры.

Присоединенная (взаимная) матрица. Примеры, контрпримеры.

2-й способ нахождения обратной матрицы (метод Гаусса-Жордана). Пример.

Теорема (свойства обратной матрицы (Е-1, (А-1)-1, (АТ)-1, (АВ)-1)).

Теорема (критерий обратимости матрицы).

4. Ранг матрицы Ранг матрицы. Примеры, контрпримеры.

Базисный минор. Примеры, контрпримеры.

Теорема о базисном миноре матрицы.

Теорема об эквивалентных определениях ранга матрицы.

5. Системы линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений: ((не)однородная система, (не)совместная система, (не)определенная система, коэффициенты системы, (основная) матрица системы, расширенная матрица системы, столбец свободных членов). Примеры, контрпримеры.

Общее решение системы. Примеры, контрпримеры.

Главные переменные. Примеры, контрпримеры.

Свободные переменные. Примеры, контрпримеры.

Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема - решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Теорема - формулы Крамера.

Теорема - метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

6. Линейное пространство Линейное пространство. Примеры, контрпримеры.

Линейная комбинация. Примеры, контрпримеры.

Линейная (не)зависимость. Примеры, контрпримеры.

Базис. Примеры, контрпримеры.

Размерность линейного пространства. Примеры, контрпримеры.

Координаты вектора в линейном пространстве. Примеры, контрпримеры.

Подпространство линейного пространства. Примеры, контрпримеры.

Теорема о количестве векторов в базисе конечномерного линейного пространства.

7. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений.

Линейное пространство решений однородной системы линейных уравнений, его размерность и базис. Примеры.

Фундаментальная система решений. Примеры, контрпримеры.

Теорема о виде общего решения однородной системы линейных уравнений 8. Векторы, операции над векторами.

Геометрические векторы. Примеры, контрпримеры.

Сложение векторов. Примеры, контрпримеры.

Умножение вектора на число. Примеры, контрпримеры.

Скалярное произведение векторов. Примеры, контрпримеры.

Векторное произведение векторов. Примеры, контрпримеры.

Смешанное произведение векторов. Примеры, контрпримеры.

Теорема - свойства скалярного произведения векторов.

Теорема - свойства векторного произведения векторов.

Теорема - свойства смешенного произведения векторов.

9, 10. Прямая на плоскости и в пространстве Виды уравнений прямой на плоскости:

(общее, через точку перпендикулярно вектору, через точку параллельно вектору - каноническое, параметрические, через две точки, нормальное, с угловым коэффициентом, в отрезках,с угловым коэффициентом через точку).

Примеры, контрпримеры.

Виды уравнений прямой в пространстве:(через точку параллельно вектору каноническое, параметрические, через две точки, в виде пересечения двух плоскостей). Примеры, контрпримеры.

Формула расстояния от точки до прямой на плоскости. Примеры.

11. Плоскость в пространстве Виды уравнений плоскости в пространстве: (общее, через точку перпендикулярно вектору, через точку параллельно двум векторам, параметрические, через три точки, нормальное, в отрезках). Примеры, контрпримеры.

Формула расстояния от точки до плоскости. Примеры 12. Кривые второго порядка Общий вид уравнения кривой 2-го порядка. Примеры, контрпримеры.

Эллипс. Примеры, контрпримеры.

Гипербола. Примеры, контрпримеры.

Парабола. Примеры, контрпримеры.

Основные параметры эллипса, гиперболы, параболы:(центр, вершины, полуоси, фокусы, директрисы, эксцентриситет, асимптоты). Примеры.

Теорема - метод выделения полных квадратов.

13. Поверхности второго порядка Основные шесть поверхностей 2-го порядка: (эллипсоид, гиперболоиды однополостный и двуполостный, параболоиды - эллиптический и гиперболический, конус). Примеры, контрпримеры.

Цилиндры. Примеры, контрпримеры.

14. Группа.

Группа. Примеры, контрпримеры.

Групповая операция. Примеры, контрпримеры.

Нейтральный элемент. Примеры, контрпримеры.

Симметричный элемент. Примеры, контрпримеры.

Абелева группа. Примеры, контрпримеры.

14. Кольцо.

Кольцо. Примеры, контрпримеры.

Коммутативное кольцо. Примеры, контрпримеры.

Теорема (свойства колец - 7).

14. Поле.

Поле. Примеры, контрпримеры.

15. Комплексные числа.

Комплексное число. Примеры, контрпримеры.

Алгебраическая форма записи комплексного числа. Примеры, контрпримеры.

Действительная часть. Примеры, контрпримеры.

Мнимая часть. Примеры, контрпримеры.

Сопряженное число. Примеры, контрпримеры.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Примеры, контрпримеры.

Модуль комплексного числа. Примеры, контрпримеры.

Аргумент комплексного числа. Примеры, контрпримеры.

Показательная форма записи комплексного числа. Примеры, контрпримеры.

Сумма двух комплексных чисел. Примеры.

Произведение двух комплексных чисел. Примеры.

Частное двух комплексных чисел. Примеры.

16.1. Многочлены, операции над многочленами.

Многочлен (полином) n-й степени. Примеры, контрпримеры.

Сумма многочленов. Примеры.

Произведение многочленов. Примеры.

Частное от деления многочленов. Примеры, контрпримеры.

Остаток от деления многочленов. Примеры, контрпримеры.

Теорема (формулы для коэффициентов при xn+m для произведения двух многочленов).

Теорема (деление многочленов с остатком).

16.2. Делители многочлена.

Взаимно простые многочлены. Примеры, контрпримеры.

Наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов. Примеры, контрпримеры.

Теорема (свойства делимости многочленов (I - IX)).

Теорема (об алгоритме Евклида нахождения НОД двух многочленов).

16.3. Корни многочлена.

Схема Горнера. Пример.

Кратность корня. Примеры, контрпримеры.

Теорема о корне многочлена.

16.4. Производная многочлена Производная многочлена. Примеры, контрпримеры.

Теорема (производная суммы, произведения, n-й степени многочленов).

16.5. Разложение многочлена на множители.

Неприводимые многочлены. Примеры, контрпримеры.

Теорема (основная теорема алгебры; доказательство - на 5+) Теорема (о разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами).

16.6. Значения многочлена и его коэффициенты.

Формулы Виета. Примеры, контрпримеры.

Теорема (достаточное условие равенства многочленов - по значениям).

Вопросы к экзамену (2-й семестр, темы 15-23).

1. Линейное (векторное) пространство. Примеры, контрпримеры. Базис линейного пространства.

Теорема (о двух системах векторов; каждый вектор одной системы является линейной комбинацией векторов другой системы) 2. Координаты вектора в базисе. Размерность линейного пространства.

Матрица перехода от одного базиса к другому. Примеры, контрпримеры.

Теорема (изменение координат вектора при переходе от одного базиса к другому) 3. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Сумма подпространств. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о размерности суммы двух подпространств).

4. Прямая сумма подпространств. Подпространства, задаваемые однородной С.Л.А.У. Примеры, контрпримеры.

Теорема (критерий прямой суммы подпространств).

5. Ортогональное дополнение к подпространству. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о сумме подпространства и его ортогонального дополнения).

6. Ортогональная проекция, ортогональная составляющая вектора.

Примеры, контрпримеры.

Теорема (о существовании и единственности ортогональной проекции вектора на подпространство).

7. Линейная функция (линейная форма). Матрица линейной формы.

Примеры, контрпримеры.

Теорема (об изменении матрицы линейной формы при переходе от одного базиса к другому).

8. Билинейная функция (билинейная форма). Матрица билинейной формы.

Ранг билинейной формы. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о матрице билинейной формы в фиксированном базисе).

Теорема (об изменении матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому).

9. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о существовании канонического базиса квадратичной формы).

10. Индексы инерции квадратичной формы. Сигнатура. Метод Лагранжа (метод выделения квадратов). Примеры, контрпримеры.

Теорема ( закон инерции).

11. Знакоопределенная квадратичная форма. Формулы Якоби. Примеры, контрпримеры.

Теорема (критерий Сильвестра).

12. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом (унитарном) пространстве. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о существовании ортонормированного канонического базиса) приведение к главным осям.

13. Линейный оператор. Ранг линейного оператора. Дефект оператора.

Изоморфизм линейных пространств. Примеры, контрпримеры.

Теорема (об изоморфных линейных пространствах).

14. Матрица линейного оператора. Канонический вид матрицы линейного оператора.. Пространство линейных операторов. Примеры, контрпримеры.

Теорема (об изменении матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому).

Теорема (о каноническом виде матрицы линейного оператора).

15. Линейное преобразование. Собственный вектор линейного оператора.

Характеристический многочлен линейного оператора. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о корнях характеристического многочлена и собственных значениях линейного преобразования).

16. Алгебраическая кратность собственного значения. Геометрическая кратность собственного значения. Оператор простой структуры. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о собственных векторах с различными собственными значениями).

17. Характеристический многочлен матрицы. Матрица простой структуры.

Примеры, контрпримеры.

Теорема (о характеристических многочленах подобных матриц).

18. Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования.

Примеры, контрпримеры.

Теорема (о матрице линейного преобразования в базисе из собственных векторов).

Теорема Гамильтона-Кэли.

19. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о матрице самосопряженного оператора в ортонормированном базисе).

20. Ортогональный (унитарный) оператор. Ортогональная (унитарная) матрица. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о матрице ортогонального оператора в ортонормированном базисе).

21. Самосопряженный оператор. Нормальный оператор. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о базисе из собственных векторов самосопряженного оператора).

22. Скалярное произведение. Евклидово и унитарное пространство.

Примеры, контрпримеры.

Теорема (неравенство Коши-Буняковского).

23. Ортогональные векторы. Ортонормированная система. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о существовании ортонормированного базиса; процесс ортогонализации Грама-Шмидта.).

24. Жорданова клетка. Жорданова форма матрицы. Примеры, контрпримеры.

Теорема (о существовании жордановой формы матрицы линейного оператора).

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский технический университет связи и информатики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

231300 Прикладная математика квалификация (степень) «бакалавр»

1. Цели и задачи дисциплины Целью преподавания дисциплины является изучение студентами основных разделов математического анализа, включающих теорию множеств, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, основы векторного анализа и элементы дифференциальной геометрии, теорию числовых и функциональных рядов. Овладение понятиями и методами, излагаемыми в курсе математического анализа, закладывает основу для дальнейшего изучения математических и прикладных дисциплин. Понимание основных формул и теорем математического анализа является необходимым условием успешного изучения курсов, предусмотренных учебным планом подготовки бакалавров по направлению "Прикладная математика".

Дисциплина "Математический анализ" призвана обеспечить воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современного математического мышления и навыков использования математических методов в профессиональной деятельности. Изучение математического анализа способствует развитию творческих способностей студентов, умению формулировать и решать задачи изучаемой специальности, умению творчески применять и самостоятельно повышать свои знания.

В результате изучения курса студент должен ясно представлять роль и место математики в современной цивилизации, уметь логически мыслить, оперировать абстрактными понятиями и объектами.

2. Место дисциплины в структуре ООП Математический анализ является одной из основных дисциплин базовой части профессионального цикла учебного плана подготовки бакалавра по направлению "Прикладная математика". Для успешного изучения предмета студенты должны:

- демонстрировать глубокое знание основных разделов элементарной математики (ПК-1);

- знать некоторые языки программирования или программное обеспечение и уметь применять их для решения математических задач и получения дополнительной информации (ПК-9);

- демонстрировать способность к абстракции, в том числе умение логически развивать отдельные формальные теории и устанавливать связь между ними (ПК-10);

- обладать умением читать и анализировать учебную и научную математическую литературу (ПК-11);

- уметь представлять математические утверждения и их доказательства, формулировать постановку задачи и план ее решения в терминах, понятных для профессиональной аудитории, как в письменной, так и устной форме (ПК-12);

- уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);

Овладение предметом дисциплины "Математический анализ" является обязательным для изучения всех математических и прикладных дисциплин учебного плана.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения математического анализа бакалавр должен знать:

-методы и правила вычисления пределов и дифференцирования функций одной и многих действительных переменных (ИК-1, ОНК-1, ОНК-2);

-геометрические приложения с использованием производных функций одной и многих действительных переменных (ИК-1,ОНК-1, ОНК-2);

-методы исследования функций и построения графиков (ИК-1,ОНК-1, ОНК-2);

-правила и основные методы интегрирования; геометрические приложения с использованием интегралов функций (ИК-1,ОНК-1, ОНК-2);

- правила и основные методы вычисления кратных и криволинейных интегралов (ИК-1, ОНК-1, ОНК-2);

-методы определения основных характеристик скалярных и векторных полей (ИК-1,ОНКОНК-2);

- признаки сходимости числовых и функциональных рядов, основные методы суммирования рядов (ИК-1, ОНК-1, ОНК-2);

уметь:

-вычислять пределы и производные функций одной и многих переменных (ИК-1, ОНК-1, ОНК-2);