Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И.Менделеева"
Кафедра математики,ТиМОМ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ»
по направлению подготовки 010200.62-«Математика. Прикладная математика»УМК подготовлен Доцентом кафедры математического анализа Кушнир Т.И.
УМК утвержден на заседании кафедры 08.09.2011г.
2011 г.
Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И.Менделеева" Кафедра математики,ТиМОМ
ПРОГРАММА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ»
по направлению подготовки 010200.62-«Математика. Прикладная математика»Программа составлена доцентом кафедры Кушнир Т.И.
утверждена на заседании кафедры математики, ТиМОМ 08.09.2011 г.
2011 г.
1. Цели и задачи дисциплины Данная учебная программа определяет объем знаний по дисциплине "Комплексный анализ" для студентов 010200.62 - "Математика. Прикладная математика" Целью данного курса является расширение основных понятий математики, изучаемых в школе, в курсе математического анализа, алгебры. Более глубоко изучаются такие понятия как функция, производная, интеграл, ряды и их приложения. Данная дисциплина способствует формированию научного мировоззрения студентов. Она дает возможность использовать этот материал при написании курсовых и дипломных работ.
Задачи дисциплины:
- сформировать представления об основных понятиях: комплексное число, функция комплексного переменного; интеграл Коши, формула Коши; ряды аналитических функций.
- научить применять комплексные числа, функции комплексного переменного к решению различных физических задач.
Данная дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научнометодический виды профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению многих задач профессионально деятельности, формированию научного мировоззрения студентов.
2. требования к уровню освоения содержания дисциплины В результате изучения дисциплины студент должен знать:
- основные понятия и методы теории функций комплексного переменного;
- историю возникновения и развития теории функций комплексного переменного;
- важнейшие теоремы теории функций комплексного переменного;
уметь:
-производить действия над комплексными числами;
- находить производные и интегралы от функции комплексного переменного;
- использовать на практике теоретические знания;
представлять связь данной теории с математическим анализом, с алгеброй и другими математическими дисциплинами.
- владеть:
- основными понятиями этой теории;
- навыком исследования теории конформных отображений.
Последовательность изучения учебного материала выбрана в соответствие с логикой развития предмета, с учетом преемственной связи со школьным курсом математики, математического анализа, алгебры и теории чисел.
Содержание дисциплины «Комплексный анализ» связано с другими курсами, предусмотренными учебным планом:
- с математическим анализом;
- с физикой (механика, оптика, методы математической физики).
Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научнометодический виды профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессионально деятельности:
Выпускник по направлению подготовки 010200.62 – «Математика. Прикладная математика» профиль «Компьютерная математика» подготовлен к решению следующих задач профессиональной деятельности:
1) научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность:
- применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;
- решение математических проблем, соответствующих квалификации, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
- подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований;
- участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и подготовка публикаций по результатам проводимых научно-исследовательских работ;
2) производственно-технологическая деятельность:
- использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;
- применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;
- сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники;
3) организационно-управленческая деятельность:
- применение математических методов экономики, актуарно-финансового анализа и защиты информации;
- создание эффективных систем внедрения в практику результатов научноисследовательских и опытно-конструкторских работ;
- применение методов теории вероятностей и математической статистики для принятия решений в условиях неопределенности;
Выпускник по направлению подготовки 010200.62 – «Математика. Прикладная математика» профиль «Компьютерная математика» подготовлен для работы в научно-исследовательских и проектно-конструкторских центрах, государственных органах управления, организациях различных форм собственности в качестве специалистов, использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии.
Курс комплексного анализа имеет также общеобразовательное, общекультурное и прикладное значение, способствует формированию научного мировоззрения студентов.
Комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргументы комплексного числа и их свойства; числовые последовательности и их пределы; ряды, стереографическая проекция, ее свойства; сфера Римана, расширенная комплексная плоскость; множества на плоскости, области и кривые.
2. Функции комплексного переменного.
Функции комплексного переменного и отображения множеств; функции комплексного переменного; предел функции; непрерывность, модуль непрерывности; дифференцируемость по комплексному переменному, условие КошиРимана; аналитическая функция; геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие о конформном отображении.
3. Элементарные функции Целая линейная и дробно-линейная функции, их свойства, общий вид дробнолинейного отображения круга на себя и верхней полуплоскости на круг; экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем; понятие о римановой поверхности на примерах логарифмической и общей степенной функций, функция Жуковского; тригонометрические и гиперболические функции.
4. Интеграл по комплексному переменному.
Интеграл по комплексному переменному, его простейшие свойства, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода; сведение к интегралу по действительному переменному; первообразная функция, формула НьютонаЛейбница; переход к пределу под знаком интеграла; интегральная теорема Коши.
Интегральная формула Коши; бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формула Коши для производных; теорема Морера.
6. Последовательности и ряды аналитических функций в области Теорема Вейерштрасса; степенные ряды; теорема Абеля, формула КошиАдамара; разложение аналитической функции в степенной ряд, единственность разложения; неравенство Коши для коэффициентов степенного ряда; действия со степенными рядами.
7. Теорема единственности и принцип максимума модуля Нули аналитической функции, порядок нуля; теорема единственности для аналитических функций; принцип максимума модуля и лемма Шварца.
8. Ряд Лорана.
Ряд Лорана, область его сходимости; разложение аналитической функции в ряд Лорана, единственность разложения, формулы и неравенства Коши для коэффициентов; теорема Лиувилля и теорема об устранимой особой точке.
9. Изолированные особые точки.
Классификация изолированных особых точек однозначного характера по поведению функции и ряду Лорана; полюс, порядок полюса; существенная особая точка, теорема Сохоцкого-Вейерштрасса, понятие о теореме Пикара; бесконечно удаленная точка как особая.
10. Вычеты, принцип аргумента Определение вычета, теорема Коши о вычетах, вычисление вычетов; применение вычетов; логарифмический вычет, принцип аргумента; теорема Руше и теорема Гурвица.
11. Отображения посредством аналитических функций.
Принцип открытости и принцип области; теорема о локальном обращении; однолистные функции, критерий локальности однолистности и критерий конформности в точке, достаточное условие однолистности; дробно-линейность однолистных конформных отображений круговых областей друг на друга; теорема Римана и понятие о соответствии границ при конформном отображении.
12. Аналитическое продолжение.
Аналитическое продолжение по цепи и по кривой; полная аналитическая функция в смысле Вейерштрасса, ее риманова поверхность и особые точки;
теорема о монодромии; аналитическое продолжение через границу области, принцип симметрии.
13. Целые и мероморфные функции Целые функции, их порядок и тип; произведение Внйерштрасса; мероморфные функции; функции, мероморфные в расширенной плоскости.
14. Гармонические функции на плоскости.
Гармонические функции, их связь с аналитическими функциями; бесконечная дифференцируемость гармонических функций; аналитичность комплексно сопряженного градиента; теорема о среднем, теорема единственности и принцип максимума-минимума; инвариантность гармоничности при голоморфной замене переменных; теорема Лиувилля и теорема Харнака об устранимой особой точке; интегралы Пуассона и Шварца; разложение гармонической функции в ряд, связь с тригонометрическими рядами; задача Дирихле, применение конформных отображений для ее решения; гидромеханическое истолкование гармонических и аналитических функций.
Задания для самостоятельной работы студентов 1. Найти модуль и аргумент комплексного числа. Представить число в тригонометрической и показательной формах записи. Изобразить на комплексной плоскости: 2 5i.
2. Найти все значения корня и изобразить их на плоскости: 3 2.
3. Построить в комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству: z2 z2 2.
4. Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную:
5. Вычислить значения функций: Ln(4 3i) ; 3 i ; sin 5i.
ных особых точек.
их характер.
4.1. Разделы дисциплины и основные виды занятий Комплексные числа Функции комплексного переменного Элементарные функции Интеграл по комплексному переменному Интеграл Коши Последовательности и ряды аналитических функций в области Теорема единственности м принцип максимума модуля Изолированные особые точки Вычеты, принцип аргумента Отображения посредством аналитических Аналитическое продолжение Целые и мероморфные функции Гармонические функции на плоскости.
1. Комплексные числа, 2. комплексная плоскость;
3. модули и аргументы комплексного числа и их свойства;
4. числовые последовательности и их пределы;
5. функции комплексного переменного;
6. предел функции; непрерывность, модуль непрерывности;
7. дифференцируемость по комплексному переменному, 8. условие Коши-Римана;
9. аналитическая функция;
10. геометрический смысл аргумента и модуля производной;
11. Целая линейная и дробно-линейная функции, их свойства, 12. Интеграл по комплексному переменному, его простейшие свойства,.
13. Интегральная формула Коши;
14. формула Коши для производных;
15. степенные ряды; теорема Абеля, 16. разложение аналитической функции в степенной ряд, единственность разложения;
17. Нули аналитической функции, порядок нуля;
18. Ряд Лорана, область его сходимости;
19. разложение аналитической функции в ряд Лорана, 20. Классификация изолированных особых точек 21. полюс, порядок полюса; существенная особая точка, 22. Определение вычета, теорема Коши о вычетах, вычисление вычетов;
23. Аналитическое продолжение по цепи и по кривой;
24. Целые функции, их порядок и тип;
25. Гармонические функции, их связь с аналитическими функциями;
26. бесконечная дифференцируемость гармонических функций;
Дисциплина «Комплексный анализ» читается в 5 и 6 семестрах, имеет общий объем 200 часов. Форма итогового контроля – зачет в 5 и экзамен в 6 семестрах.
5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины 5.1. Рекомендуемая литература.
а) основная литература:
1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Наука, 2008 г.
2. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука, 2010 г.
б) дополнительная литература:
1. Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций.
- М.: Наука, 1972.
2. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1970.
3. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу. - М., Просвещение, 1973 г.
4. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. - М.:
Наука, 1978.
5. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1976.
Среды программирования Delphi, Vbasic, Математические пакеты МathCad, Mathematica, Табличный процессор Microsoft Excel.
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лекционная аудитория новых информационных технологий.Компьютерная лаборатория: компьютер С1100(128) Мультимедийный проектор Графопроектор Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки "010200.62 – Математика. Прикладная математика" «Содержание лекционного курса (тезисы лекций)»
Раздел 1. Функции комплексного переменного. 4 ч.
Тема №1. Определение функции комплексного переменного. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного.
Тема №2. Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
Комплексное число, его модуль и аргумент. Разные формы записи комплексного числа. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексного числа, равенств и неравенств, содержащих комплексные числа.
- Комплексное число. Действительная, мнимая части комплексного числа, сопряженные комплексные числа, комплексная плоскость, модуль, аргумент комплексного числа;
- Изображение комплексного числа на комплексной плоскости;
- Нахождение аргумента комплексного числа;
- Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа;
- Действия над комплексными числами в разных формах записи (сложение, умножение, деление, возведение в n-ую степень, извлечение корня n-ой степени), примеры;
- Решение равенств и неравенств, содержащих комплексные числа.
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
[1, с. 9-34], [11-т1, с. 508-514] Раздел 2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Тема №3. Определение предела функции комплексного переменного в точке и его геометрическая интерпретация.
Тема №4. Определение непрерывности в точке функции комплексного переменного. Основные свойства непрерывной функции.
Тема: Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность, производная функции комплексного переменного. Дифференцируемость, условия Эйлера-Даламбера.
- Понятие функции комплексного переменного, примеры;
- Предел ФКП, свойства и правила вычисления предела ФКП;
- Понятие непрерывной ФКП;
- Понятие производной ФКП, условия дифференцируемости, примеры.
Раздел 3. Дифференцирование функции комплексного переменного. 6 ч.
Тема №5. Определение дифференцируемой в точке функции комплексного переменного. Определение производной.
Тема №6. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного.
Тема №7. Понятие аналитической функции.
Тема: Аналитическая функция. Понятие конформного отображения.
Элементарные функции комплексного переменного и отображения, задаваемые ими.
- Понятие аналитической и гармонической функций, примеры;
- Понятие конформного отображения, геометрический смысл аргумента и модуля производной;
- Элементарные ФКП (дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические), отображения, задаваемые ими.
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
[1, с. 34-37, 61-77], [2-т2, с. 276-308] Раздел 4. Интегрирование функции комплексного переменного. 6 ч.
Тема №8. Определение интеграла функции комплексного переменного.
Тема №9. Разные способы вычисления интеграла функции комплексного переменного.
Раздел 5. Теорема Коши и следствия из нее. 4 ч.
Тема №10. Теорема Коши и следствия из нее. Применение теоремы Коши к интегрированию функций.
Тема №11. Интегральная формула Коши и ее использование.
Интегрирование функций комплексного переменного.
Тема: Интеграл функции комплексного переменного. Интегральная теорема и формула Коши. Интегральное определение логарифма.
Тема: Изолированные особые точки, их классификация. Вычеты, основная теорема о вычетах. Использование вычетов для вычисления интегралов.
Дополнительно эти вопросы можно найти в следующей литературе:
[1, с. 89-110], [2-т2, с. 276-308] Раздел 6. Ряд Тейлора. 4 ч.
Тема №12. Степенные ряды функций комплексного переменного. Ряд Тейлора.
Тема №13. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
Формулы Эйлера.
Раздел 7. Ряд Лорана. 4 ч.
Тема №14. Определение ряда Лорана. Связь рядов Тейлора и Лорана.
Тема №15. Разложение функций комплексного переменного в ряд Лорана.
Раздел 8. Вычеты и их приложения. 4 ч.
Тема №16 Изолированные особые точки аналитической функции. Вычет и его вычисление. Основная теорема о вычетах.
Тема №17. Использование вычетов для вычисления интегралов функций действительного и комплексного переменных.
«Содержание практических занятий и методические указания к ним»
Практическое занятие №1. Функции комплексного переменного. 6 ч.
Определение функции комплексного переменного. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.
Практическое занятие №2. Комплексные числа. Действия над ними в разных формах записи.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
- Найти модули, главные значения аргументов комплексных чисел. Записать эти числа в тригонометрической форме записи и изобразить их:
-1; i; -2-2i;
3 +i.
- Изобразить множества точек, удовлетворяющих следующим условиям:
Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. 9 ч.
Определение предела функции комплексного переменного в точке и его геометрическая интерпретация. Определение непрерывности в точке функции комплексного переменного. Основные свойства непрерывной функции.
Практическое занятие №3. Элементарные функции комплексного переменного. Предел, непрерывность.
Примерные типы задач, рассматриваемых на практическом занятии:
- Найти значение функции комплексного переменного: Ln(1-i); e i.
- Выделить действительную и мнимую части функции Подробное решение задач можно найти в следующей литературе:
[2-т.2, с.282, 289-308], [9-ч.2, с. 92-93, 257-259] Дифференцирование функции комплексного переменного.
Определение дифференцируемой в точке функции комплексного переменного.
«