«33-й Турнир им. М. В. Ломоносова 26 сентября 2010 года. Задания. Решения. Комментарии / Сост. А. К. Кулыгин. — М.: МЦНМО, 2012. — 182 с.: ил. Приводятся условия и решения заданий Турнира с подробными комментариями ...»

Комментарий. Боря, фактически, считает столбы в восьмеричной системе счисления с цифрами 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9; а Миша — в девятеричной с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Соответственно, чтобы решить задачу, надо перевести число «100» из восьмеричной системы в девятеричную — получится «71», а потом записать его «Мишиными цифрами»

(пропуская шестерку) — получится «81».

4. Два решения приведены ниже.

Комментарий. Найти решение могут помочь следующие два соображения. Во-первых, сосчитав число треугольничков в фигуре, находим, что сторона шестиугольника больше 2, но меньше 3. Во-вторых, так как фигура обладает поворотной симметрией, естественно попытаться провести три такие отрезка из её центра.

5. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполняться для каждого из них. Посадим сначала по яблоне в двух противоположных вершинах квадрата и в его центре, а также по груше в двух других вершинах квадрата. После чего заменим каждую грушу на пару близкорастущих груш — теперь условие выполняется для всех деревьев, кроме центральной яблони. Но подвинув её немного вдоль «яблоневой» диагонали, можно добиться, чтобы условие выполнялось и для неё — см.

5 Возможность неверного понимания условия ввиду не совсем удачной формулировки учтена при подведении итогов.

рисунок (подвинуть нужно так, чтобы, с одной стороны, нижняя яблоня стала к ней ближе, чем груши, а с другой — она осталась ближайшим деревом к верхней яблоне).

Можно аналогичную картинку нарисовать и по клеточкам.

6. Одна из возможных последовательностей взвешиваний приведена на схеме (см. стр. 14). В прямоугольниках указаны оставшиеся к данному моменту варианты для массы потерянной гирьки, в ромбах — взвешивания. В описании взвешиваний используются номера оставшихся грузиков — от 1 до 7.

Заметим, что если потерян грузик массой n г, то гирьки c номерами, меньшими n, весят столько грамм, каков их номер, а грузики с номером n и больше весят на 1 г больше, чем их номер.

Теперь нетрудно проверить приведённую схему. Ограничимся такой проверкой для первого взвешивания. Имеется 4 случая:

если потерянный грузик был тяжелее 5 г, то весы останутся в равновесии: 2 + 3 = 5;

если был потерян грузик массой 4 г или 5 г, то равновесия не будет:

2 + 3 = (5 + 1);

если потерян грузик массой 3 г, то равновесие снова будет:

2 + (3 + 1) = (5 + 1);

наконец, если потерян грузик массой 1 г или 2 г, то равновесия снова не будет: (2 + 1) + (3 + 1) = (5 + 1).

Комментарий 1. Придумать правильную последовательность взвешиваний может помочь следующее соображение. Изначально для потерянного грузика имеется 8 вариантов, и 3 взвешивания могут иметь как раз 23 = 8 исходов. Значит, каждое взвешивание должно сужать количество вариантов вдвое. (В самом деле, пусть, например, один из исходов первого взвешивания возможен не в 4, а в 5 случаях. Тогда за оставшиеся 2 взвешивания нужно выбрать один грузик из 5, а эти взвешивания могут иметь только 22 = 4 различных исхода.) Комментарий 2. Существуют и «неинтерактивные» решения — в которых следующие взвешивания не зависят от результатов предыдущих, а определены заранее. Достаточно, например, в приведённом решении заменить последнее взвешивание на « 1 + 2 + 7 = 4 + 6 ».

7. После деления уравнения x4 y 4 = x3 + y 3 на (x + y) получаем Но левая часть не меньше x2 + y 2 (так как из условия видно, что x > y), а правая меньше.

Другое решение. Перенесём иксы в левую часть, а игреки в правую.

Получаем x4 x3 = y 4 + y 3, т. е. x3 (x 1) = y 3 (y + 1). Видно, что невозможен ни случай x y (тогда правая часть заведомо больше левой), ни случай x y + 2 (тогда левая часть заведомо больше правой). Но и в оставшемся случае, x = y + 1, получаем, что (y + 1)3 y = y 3 (y + 1).

Для y > 0 последнее условие равносильно тому, что (y + 1)2 = y 2, что тоже невозможно.

Ответ. Нет.

8. Построение: соединим каждую из двух других вершин прямоугольника с серединой соответствующей длинной стороны. Правильность построения следует из теоремы Фалеса: параллельные прямые AN, M C и BX делят на три равные части отрезок DX — а значит, и диагональ DB.

Другое решение. Построение: проведём из каждого узла стороны DC диагональ клетки. Правильность построения снова следует из теоремы Фалеса: параллельные прямые делят на три равные части отрезок DY.

Задачи для конкурса по математике предложили: № 1, № 3, № 5 — Т. В. Караваева, № 2 — Г. А. Гальперин, № 4 — И. И. Осипов, № 6 — А. В. Шаповалов, № 7 — Б. Р. Френкин, № 8 — Ф. Т. Романов.

Критерии проверки и награждения По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):

«+» — задача решена полностью;

«±» — задача решена с недочётами, не влияющими на общий ход решения;

«+/2» — см. критерии по задаче 5;

« » — задача не решена, но имеются содержательные продвижения;

«» — задача не решена;

за задачу, к решению которой участник не приступал, ставился «0».

Так как по одному ответу невозможно определить, в какой степени участник решил задачу, за верный ответ без решения ставится не выше « » («» если ответ типа «да–нет»).

Комментарии по задачам (критериям оценок) 1. Утверждение «произведение двух двузначных чисел не может быть больше произведения двузначного и трёхзначного чисел» неверно; за использующие его решения ставилась оценка «».

2. Ответ не на вопрос задачи (например, «2/3») — от «» до « ».

3. Верно найдено лишь настоящее число столбов (64) — « ».

Решение «Миша не выговаривает все числа с буквой «Ш», до ста таких чисел 19 — значит, ответ 100 19 = 81» полностью неверно (хотя и приводит к верному ответу); за него ставилась оценка «» (« », если попутно найдено настоящее число столбов).

4. Отметим, что разрезания по линиям сетки не существует (см. комментарий к решению).

5. Некоторые участники сочли, что если ближайших (или самых дальних) деревьев к данному несколько, то достаточно, чтобы условие было выполнено хотя бы для одного из этих деревьев. За решение такого (существенно более простого) варианта задачи ставилась оценка «+/2».

Доказательства того, что приведённый пример удовлетворяет условию задачи, от участников не требовалось.

7. Потеря в решении типа решения 2 ключевого случая «x = y + 1» — не выше « ».

8. Решение этой задачи состоит из двух частей — построения и доказательства. Только верное построение — « ».

Отметим, что одной линейкой нельзя, вообще говоря, ни провести прямую, параллельную данной, ни построить перпендикуляр к данной прямой.

Критерии награждения При награждении учитывались только задачи своего и более старших классов. Задачи, предназначенные для более младших классов (чем тот, в котором учится участник турнира), проверялись и оценивались, но не учитывались при награждении.

При подведении итогов решёнными считаются задачи, за которые выставлены оценки «+» и «±». Также было принято решение считать решённой задачу № 5 в случае, если за неё выставлена оценка «+/2».

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась в следующих случаях:

— в 10 классе и младше решено не менее 1 задачи;

— в 11 классе решено не менее 2 задач.

Оценка «v» (грамота за успешное выступление на конкурсе по математике) ставилась в следующих случаях:

— в 6 классе и младше решено не менее 1 задачи;

— в 10 классе и младше решено не менее 2 задач;

— в 11 классе решено не менее 3 задач.

В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Приводим статистику решаемости задач конкурса по математике. Такая статистика даёт интересную дополнительную информацию о задачах (и задании конкурса по математике в целом): насколько трудными оказались задачи, какие задачи оказались наиболее предпочтительными для школьников, и т. п.

Учтены все работы по математике, сданные школьниками (в том числе и абсолютно нулевые). Школьники, не сдавшие работ по математике, в этой статистике не учтены.

Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по математике («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по математике (количестве сданных работ).

Всего 1 1 13 46 449 2848 3739 4105 4392 4501 Сведения о количестве решённых задач участниками разных классов. При составлении таблицы решёнными считались задачи своего или более старшего класса, за которые поставлены оценки «+!», «+» «+.»

и «±».

0 задач 0 1 13 41 410 2297 2511 3647 3871 Сведения о распределении оценок по задачам. Оценки «+!», «+», «+.», «±» и «+/2» считались как по классам, для которых рекомендована задача, так и по младшим классам; оценки « », «.», «» и «0»

считались только по классам, соответствующим задаче.

Конкурс по математическим играм Условия игр Выберите игру, которая Вас больше заинтересовала, и попробуйте придумать для одного из игроков (первого или второго) стратегию, гарантирующую ему победу независимо от ходов соперника. Постарайтесь не только указать, как следует ходить, но и объяснить, почему при этом неизбежен выигрыш. Ответ без пояснений не учитывается.

Не пытайтесь решить все задания, сохраните время и силы для других конкурсов. Хороший анализ даже только одной игры позволит считать Ваше участие в конкурсе успешным.

1. «Режем шестиугольник». Есть правильный шестиугольник со стороной N, разлинованный на равносторонние треугольники со стороной 1. Два игрока ходят по очереди. В свой ход игрок разрезает фигуру на две части по прямой линии сетки, одну часть выкидывает, а другую передаёт сопернику. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи:

в) N произвольно (В пунктах «а» и «б» нарисовано несколько одинаковых шестиугольников. Их можно использовать для игры друг с другом или для черновика. Те части фигур, которые по условиям игры выкидываются, рекомендуется заштриховывать.) 2. «Сколько конфет?» Дед Мороз поставил под ёлку несколько мешков с конфетами. Волк и Заяц не знают, сколько в каком мешке конфет, а Дед Мороз знает. Волк и Заяц играют в игру, делая ходы по очереди. Ход состоит в том, что игрок указывает на какие-то два мешка, а Дед Мороз вслух объявляет, сколько в этих мешках вместе конфет.

После этого игрок имеет право (но не обязан) объявить, сколько конфет во всех мешках вместе. Если он угадал, то считается победителем, а если нет, то победителем признаётся соперник. Если игрок не желает угадывать количество конфет, его ход на этом завершается, а право ходить получает противник. Дважды спрашивать про одну и ту же пару мешков нельзя.

Начинает игру Заяц. Кто — Заяц или Волк — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи, когда под ёлкой:

3. «Борьба за территорию». Двое играют на поле 5 5 клеток, закрашивая клетки — каждый в свой цвет. Первый игрок своим ходом красит одну клетку, второй — фигуру из нескольких клеток (повёрнутую по своему усмотрению). Повторно клетки красить нельзя. Игрок, не имеющий хода, пропускает его. Игра заканчивается, когда всё поле закрашено. Победителем считается тот, кто в итоге сумел закрасить своим цветом бльшую площадь, чем противник.

Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?

Рассмотрите случаи, когда второй игрок закрашивает:

(Поля 5 5 клеток можно использовать для игр и черновиков.) Решения 1. «Режем шестиугольник». Во всех случаях победит второй игрок.

Рассмотрим сразу общий случай (пункт «в»). Заметим, что в любой момент у полученной фигуры углы равны либо 60, либо 120. Второй игрок победит, если будет придерживаться следующей стратегии:

если у фигуры есть острый угол, отломить единичный равносторонний треугольник и отдать его сопернику, иначе разрезать фигуру по линии, симметричной предыдущей линии разреза относительно центра фигуры, имевшейся на руках у соперника непосредственно перед его ходом.

Следуя этой стратегии, второй игрок всегда будет иметь ход, а потому не проиграет. Поскольку кто-то должен проиграть, то это и будет начинающий.

В принципе, правильность описанной стратегии достаточно очевидна. Попробуем, однако, более подробно объяснить, почему у второго игрока всегда будет ход. А именно, покажем, что Перед каждым ходом начинающего у него в руках будет либо равносторонний треугольник со стороной 1, либо центрально-симметричный шестиугольник с углами по 120.

Исходный шестиугольник такими свойствами обладает. Пусть первый игрок провёл карандашом линию своего разреза. Эта линия проходит по границам треугольничков и потому параллельна одной из пар противоположных сторон. Если она пересекает пару противоположных сторон (в частности, проходит через углы), то у каждой из образующихся после разреза частей есть угол в 60 (один из двух накрест лежащих углов при этой секущей), поэтому второй игрок отдаст первому треугольничек. Если она пересекает пару непараллельных сторон, то на части, не содержащей центр симметрии, будет даже два острых угла, а на другой части острых углов не образуется, но там можно будет провести симметричный разрез и отдать сопернику фигуру без острых углов и с восстановленной симметричностью. Этот шестиугольник будет снова удовлетворять условиям, и так далее.

2. «Сколько конфет?» В пунктах «а» и «г» победит Заяц, в пунктах «б» и «в» — Волк.

Сначала о двух условностях, связанных с этой игрой. Во-первых, понятно, что любой игрок в любой момент может победить, случайно угадав число конфет в мешках. Предполагается, однако, что игроки называют число только если уверены в его правильности, а не гадают попусту. Во-вторых, при совершенно честной игре может сложиться ситуация, когда количество конфет можно назвать раньше, чем в общем случае. Например, если, показав на два мешка, мы получаем ответ «10», то ничего о содержимом каждого мешка сказать нельзя, а если нам ответят «0», то можно. Причём эта проблема не решается даже если договориться, что в мешках достаточно много конфет: если, например, их не менее пяти в мешке, то уже ответ «10» даст «лишнюю» информацию. В реальных играх со школьниками на Турнире наши ведущие просили школьников решать задачу предполагая, что таких особых случаев не происходило, а самым дотошным велели представить себе, что количество конфет может быть отрицательным — если такое допустить, проблема снимается.

Теперь опишем решение каждого пункта задачи. Мешки будем обозначать жирными латинскими буквами, а количество конфет в каждом мешке — такими же курсивными латинскими буквами. Мы будем всякий раз описывать только один из нескольких равноправных случаев, если таковые представятся.

В пункте «а» Заяц сначала указывает на мешки A и B и узнаёт A + B. Разумеется, общую сумму он назвать пока не может. Волк своим чить, например, ситуацию с суммой 11, он не станет называть общую сумму. Заяц же, спросив A + C, сложит и поделит пополам три известных ему суммы и получит A+B +C, а потому победит. Заметим, что он сможет назвать, очевидно, не только общую сумму, но и количество конфет в каждом мешке.

В пункте «б» Заяц указывает на мешки A и B и узнаёт A + B. Далее Волк узнаёт C + D и немедленно побеждает.

Значительно сложнее пункт «в». Сначала Заяц, как и ранее, указывает на мешки A и B и узнаёт A + B. После этого Волк (напомним, мы описываем выигрышную стратегию именно для него) укажет на C и D и узнает C + D. Если теперь Заяц укажет на пару мешков с участием E, например, на E и A, Волк тут же спросит про E и B, узнает (как в пункте «а») сумму A + E + B, прибавит известную сумму C + D и выиграет. Поэтому разумный Заяц назовёт два мешка из разных названных ранее пар, например B и C, а Волк на это «замкнёт цепочку», спросив про A и D. Как мы уже видели, Заяц не может своим следующим вопросом задействовать мешок E, поэтому он спросит про A и С (или про B и D), и теперь обоим будут известны (согласно замечанию к пункту «а») количества конфет в каждом из первых четырёх мешков. Назвав теперь один из них и E, Волк выиграет.

В пункте «г» Заяц, как обычно, указывает на мешки A и B и узнаёт A + B. Если Волк укажет на два других мешка (этот ход помог ему выиграть в предыдущем пункте), то Заяц укажет на два оставшихся и немедленно победит. Так что Волку остаётся назвать В и С. Заяц точно так же как в пункте «а» указывает на мешки A и C, и теперь обоим известно, сколько конфет в каждом из первых трёх мешков. Своим следующим ходом Волк может либо указать на один из новых мешков и один из первой тройки, либо на два новых. Но ни один ход не сулит ему победы: если он укажет, например, на A и D, Заяц, зная A, вычислит D, потом назовёт E и F и победит. Если же Волк укажет на D и E, то Заяц укажет на A и F, найдёт F и тоже победит.

3. «Борьба за территорию». Поначалу кажется, что второй игрок имеет существенное преимущество: он одним ходом закрашивает в несколько раз больше клеток, чем противник. Однако фигуры второго игрока хоть и большие, но неповоротливые: умелой игрой начинающий быстро «портит» игровое поле, не давая сопернику ходить, после чего заполняет свободную территорию своим цветом. Только изогнутая форма фигурки второго игрока в последнем пункте («г») позволяет ему (не без труда) победить «одноклеточного» соперника.

Для описания стратегии первого игрока в пункте «а» поставим на некоторых полях точки (см. рис 1). Очевидно, что каждым своим ходом второй игрок закрасит одну и только одну отмеченную клетку. Если первый игрок будет красить только клетки с точкой (а именно так мы и рекомендуем ему поступать), то после того, как оба сделают по шесть ходов, второй игрок больше пойти не сможет, а потому проиграет — он закрасил только 12 клеток из 25.

Абсолютно аналогично решение и в двух следующих пунктах: соответствующие расстановки точек смотрите на рисунках 2 и 3.

Отметим, что в этих случаях «одноклеточный» игрок победит, даже если предоставит право первого хода сопернику.

В пункте «г» после первого парного хода определяется, в каком направлении (вертикальном или горизонтальном) будет красить клетки второй игрок. Если, например, он закрасил столбец, то и дальше сможет красить только столбцы. Но свободных столбцов остаётся 3, из которых он сможет гарантированно закрасить только 1 — два других «испортит»

начинающий. Тем самым второй игрок закрасит только 10 клеток из 25.

В этом варианте игры первый игрок проиграет, если передаст сопернику право начать игру.

Приведём теперь стратегию для второго игрока в пункте «д» — это задание оказалось самым сложным во всём конкурсе.

Все 25 клеток игрового поля можно разбить на семь типов (рис. 4)6 :

1) центральная, 2) соседняя с центральной по стороне, 3) соседняя с центральной по углу, 4) угловая, 5) соседняя с угловой по стороне слева, 6) соседняя с угловой по стороне справа, 7) и, наконец, средняя у края.

Любые две клетки одного типа можно совместить поворотом поля.

Поставим точки в некоторых клетках (см. рис. 5). Среди отмеченных есть клетки всех семи типов, поэтому, повернув, если нужно, игровое поле, можно считать, что начинающий закрасил клетку с точкой.

6 Если у двух клеток одинаковый тип, то их центры расположены на одинаковом расстоянии от центра центральной клетки. Но не наоборот: сравните клетки типов 5 и 6.

Теперь разобьём клетки с точками на четыре квадрата 2 2 (см. рис. 6) и посоветуем второму игроку придерживаться такой стратегии:

• Если начинающий закрасил клетку в одном из квадратов с точками, закрась оставшиеся клетки этого квадрата;

• Если начинающий закрасил клетку в одной из двух зон, свободных от точек, закрась уголок в другой зоне.

Очевидно, что второй игрок сможет, следуя этой стратегии, сделать как минимум пять ходов, а тогда он победит.

Задачи для конкурса по математическим играм предложили: № 1 — А. Г. Банникова, № 2 — А. В. Хачатурян, № 3 — И. В. Раскина.

Критерии оценивания За каждую задачу присуждается целое количество баллов от 0 до 20.

Оценки по различным пунктам суммируются (при этом ставится 20 баллов, если сумма оказывается больше 20).

1. «Режем шестиугольник».

а) 3 балла за полное решение.

б) 5 баллов за полное решение.

в) 20 баллов за полное решение.

1 балл, если просто указано, как поступать с острым углом.

5 баллов за неизвестную симметрию, в т. ч. «копирование» и другие нечёткие формулировки, без явного объяснения, что делать с острыми углами в общем случае.

10 баллов за полную формулировку стратегии (с углами) со словами типа «надо копировать ходы», «повторять ходы» и т. д., без указания центральной или диагональной симметрии.

+2 балла за указание вида симметрии.

+2–6 баллов за рассуждение о том, что всегда есть ходы.

+2–6 баллов за рассуждение об отсутствии острых углов у нашей фигуры (корректность нашего хода).

2. «Сколько конфет?».

а) 5 баллов за полное решение.

минус 1 балл, если не показано, как считать ответ.

минус 2 балла, если нет объяснения или хотя бы упоминания, почему нельзя было назвать число мешков раньше (почему другой не выиграет).

б) 2 балла за полное решение.

в) 15 баллов за полное решение.

г) 15 баллов за полное решение.

В пунктах «в» и «г» за сильные ошибки в разборе одного из 3 важных случаев снималось 5 баллов за случай.

3. «Борьба за территорию».

а) 6 баллов за полное решение.

б) 7 баллов за полное решение.

в) 6 баллов за полное решение.

г) 5 баллов за полное решение.

д) 10 баллов за полное решение.

Снимается 3 балла, если есть стратегия, но нет её доказательства.

0 баллов за слова «блокировать ходы» и т. п. (подобные рассуждения не влияют на оценку).

Критерии награждения Кроме письменного конкурса по математическим играм в ряде мест проведения турнира математические игры также проводились устно (для желающих участников).

Результаты устных ответов по каждому заданию переводятся в баллы в соответствии с критериями проверки письменных работ. Если какое-либо задание участник сдавал и устно, и письменно, учитывается наилучшая (из двух) оценка в баллах за это задание. (Если участник сдавал задание устно несколько раз — за каждый пункт каждого задания учитывается лучшая из всех полученных оценок.) Оценка «e» (балл многоборья) ставилась, если в сумме по трём заданиям было набрано 8 баллов или больше.

Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по математическим играм) ставилась, если в сумме по трём заданиям было набрано 18 баллов или больше. (То есть достаточно было полностью выполнить любое одно задание — возможно, с незначительными недочётами. Для этого, в частности, было достаточно полностью выполнить задание на одном «сеансе» устного конкурса.) В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Инструкция проводящим устный конкурс «Математические игры»

Уважаемые коллеги! Перед Вами задания конкурса «Математические игры» Турнира Ломоносова 2010 года. Мы рекомендуем вам по возможности провести этот конкурс в устной форме для учеников не старше восьмого класса. Ученикам 9–11 классов дайте задания для письменной работы и посадите их в специальную аудиторию. Если нет возможности провести конкурс устно, дайте письменные задания и младшим ребятам, но всё же, пожалуйста, постарайтесь организовать для них устный конкурс — младшеклассники, как показывает печальный опыт прошлых лет, очень плохо записывают решения заданий по играм.

Мы советуем проводить устный конкурс по матиграм приблизительно так. В выделенной аудитории назначаются «сеансы игр» — например, каждый час или, если аудитория невелика, каждые 45 минут.

Расписание «сеансов» вывешивается на дверях. Перед началом сеанса в аудиторию запускаются участники и рассаживаются за парты, лучше по двое. Не допускайте перенаселения, посоветуйте тем, кто не помещается, посетить иные конкурсы, а на этот прийти к другому сеансу.

На каждом сеансе ведущие (их нужно примерно по одному на 10–15 школьников) могут выбрать одну игру из предложенных ниже.

Перед тем, как рассказать правила, можно кратко объяснить, что такое математическая игра, что такое стратегия, привести пример на самых известных играх, например «крестики-нолики 3 3» или «двое берут из кучи по 1 или 2 камня». Когда школьники поймут, в чём заключается конкурс, расскажите им правила и задания одной из трёх игр, добейтесь, чтобы правила были понятны, потом раздайте реквизит (об этом подробнее написано ниже) и попросить их сыграть друг с другом или с вами несколько партий, чтобы понять суть игры. C желающим объяснить решение какого-либо пункта задания негромко побеседуйте.

Потребуйте, чтобы он не просто «обыграл» Вас, а внятно объяснил стратегию. Сданную задачу отметьте в протоколе.

Участнику можно предложить перейти в аудиторию, где проходит письменный конкурс — если он затрудняется изложить устно решение, особенно это касается игры с мешками, — если он уже решил предложенную игру и хочет решать другие, — если по каким-то причинам Вы бы хотели, чтобы его решение подверглось внешней проверке, — если, наконец, он бузит и мешает Вам работать.

Многие дети, кстати, не настолько жаждут решить и сдать задачу, они приходят просто поиграть. Дайте им эту возможность, поиграйте с ними, устройте турнир по какой-то игре. Шутите, улыбайтесь, создавайте праздничную атмосферу. Самых заядлых игроков можно оставить на повторный сеанс, но сначала напомните о других конкурсах.

Чтобы конкурс прошёл хорошо, к нему надо подготовиться.

Во-первых, прорешайте заранее задания, чтобы уверенно играть с детьми, когда надо, поддаваясь, когда надо, побеждая.

Во-вторых, распечатайте бланк протокола, распечатайте и имейте несколько экземпляров заданий.

В-третьих, заранее подготовьте реквизит. Для игры № 1 распечатайте листы с треугольной сеткой и вырежьте из них заранее шестиугольные поля разных размеров. В целях экономии поля можно не резать, а сгибать. Для игры № 2 распечатайте картинки с «мешками» (лучше на цветной бумаге или на цветном картоне). Вырежьте «мешки». На их обороте можно карандашом писать количество конфет.

Для игры № 3 распечатайте листы в крупную клетку. Из некоторых можно вырезать игровые поля, а из остальных (которые лучше напечатать на цветной бумаге) — фигурки разной формы (клетки, уголки, полоски), чтобы не закрашивать клетки, а закрывать их фигурками.

Не пожалейте времени на изготовление реквизита — оно окупится радостью маленьких участников Турнира.

О записи результатов. В протоколе отражайте сданные школьниками задания. Принимайте задачи строго, требуйте объяснения правильности стратегии. Не подсказывайте явно, но незаметно слегка помогите участнику, если видите, что он понимает суть решения, но не может точно её выразить. Бывает так, что маленький участник очень ловко играет в игру, в разные её варианты, но объяснить ничего толком не может. Отметьте это словами в протоколе, такого малыша тоже можно будет поощрить. Протокол(ы) сдайте старшему по точке проведения Турнира.

Стратегия в игре № 1 довольно простая. Постарайтесь слишком явно её не демонстрировать, играя с ребятами.

В игре № 2 может возникнуть проблема со случайным угадыванием. Один игрок играет по стратегии, у второго шансов нет, но он рискует и угадывает! Поясните, что, конечно, хотелось бы, чтобы победитель не просто гадал, а мог доказать, что его ответ единственно верный. Может также возникнуть вопрос, бывает ли мешок пустым.

Можно попытаться замять вопрос, сказав, что конфет в мешках много.

Но строго говоря, как только мы объявили, что в мешке не менее m конфет, возникает паразитическое решение (если в двух мешках в сумме оказалось 2m, то мы знаем, сколько в каком). Если участника это обстоятельство сбивает, можно ему предложить считать, что в мешке может быть любое количество конфет, даже отрицательное, тогда побочное решение не проходит.

В игре № 3 можно играть разными фигурами и не только на поле 5 5. Например, один играет полосками 5 4, другой полосками 5 3 и т. п. Стратегии в подобных вариантах игры, как правило, весьма неочевидны, но играть с интересом это не мешает.

Статистика В приведённой статистике учтены все письменные работы по математическим играм, сданные школьниками, а также все устные ответы, кроме абсолютно нулевых. При наличии нескольких устных ответов за каждый пункт каждой задачи учтён лучший результат. При наличии как устного, так и письменного ответа по каждой задаче учтена лучшая оценка (наибольшее количество баллов).

Сведения о распределении баллов по заданиям.

Сведения о распределении суммы баллов по классам. (Знаками «e»

и «v» показаны границы соответствующих критериев награждения.) Обращает на себя внимание очень большое количество нулевых баллов. Это обусловлено сочетанием двух причин. Во-первых, конкурс по математическим играм для многих школьников оказался непривычным, в своих работах ребята часто приводили описание игры, примеры партий и т. п., но не делали попыток решить игру как математическую задачу. Во-вторых, ввиду достаточно сложной системы учёта результатов (возможность нескольких устных и письменных ответов с корректным объединением результатов) невозможно чётко разграничить ситуации, когда школьник пытался выполнить задание, но получил 0 баллов, и когда он вообще не выполнял и не планировал выполнять какое-либо задание. (Например, отвечая устно, школьник сказал пару слов и передумал, но в протоколе перед началом ответа он уже был отмечен.) Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по астрономии и наукам о Земле («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по астрономии и наукам о Земле (количестве сданных работ).

Всего 0 0 26 38 382 1033 1145 962 841 777 Конкурс по физике Задания В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Ученикам 7 класса и младше достаточно решить одну «свою» задачу, ученикам 8–10 классов — две «своих» задачи, ученикам 11 класса — три «своих» задачи. Можно решать и задачи старших классов.

1. (6–9) Турист случайно попал в горную речку и намочил свою одежду.

После «отжимания» одежда всё равно осталась мокрой. Дело происходит солнечным летним днём. Вокруг — огромные камни, скалы и больше ничего нет. Что может сделать турист, чтобы его одежда высохла побыстрее? (По сравнению с тем, как если бы её просто положили сушиться.) 2. (6–9) На дороге, проходящей через посёлок, увеличили разрешённую скорость с 60 км/ч до 80 км/ч. На сколько процентов уменьшится количество вредных выхлопов, выбрасываемых автомобилями на территории посёлка, если предположить, что всего проезжающих автомобилей останется столько же, а интенсивность выхлопов на скоростях 60 км/ч и 80 км/ч одинакова?

3. (7–10) Летом 2010 года во многих регионах России была очень сильная жара. Как нужно измерять температуру человека обычным ртутным медицинским термометром, если температура окружающего воздуха на несколько градусов выше предполагаемой температуры человека?

4. (8–10) В тихую безветренную погоду вдоль берега озера проплыл большой корабль. После этого у берега начали плескаться волны.

Известно, что корабль плывёт прямолинейно с постоянной скоростью и не совершает никаких колебательных движений, которые могли бы быть источником волн. Как же эти волны образуются?

5. (8–11) Между контактами «1» и «2», к которым подключён источник постоянного напряжения, собрана электрическая схема, состоящая только из резисторов. Напряжение на одном из резисторов U0. Сопротивление этого резистора изменили, в результате напряжение на этом резисторе стало U1, напряжения на других резисторах схемы также изменились. Может ли в этой схеме оказаться резистор, на котором изменение напряжения окажется больше, чем |U1 U0 | ?

6. (9–11) Шарик прыгает по наклонной плоскости, ударясь об неё абсолютно упруго. Угол наклона плоскости, величина и направление скорости шарика в момент первого удара о плоскость — произвольные.

Докажите, что удары шарика о плоскость происходят через равные промежутки времени. Ускорение свободного падения g.

7. (9–11) Расположите в пространстве несколько точечных электрических зарядов так, чтобы в состоянии покоя система этих зарядов находилась в равновесии. Количество, величины и координаты зарядов вы можете выбрать сами. Необходимо проверить равенство нулю суммы электростатических сил, действующих на каждый из зарядов предложенной вами системы. Ненулевых зарядов в системе должно быть больше одного.

8. (10–11) В опыте исследовалось тепловое расширение смеси двух веществ под давлением p = 2 атм. Полученная в результате эксперимента зависимость объёма смеси (в литрах) от температуры (в градусах Кельвина) изображена на графике.

Известно, что никаких химических реакций в данном эксперименте не происходило. Укажите, какие вещества и в каких количествах могли входить в смесь. Объясните вид графика.

9. (10–11) Докажите, что два точечных объекта никогда не столкнутся, если один из них летит по прямой с постоянной скоростью, а другой не находится на этой прямой и всё время летит с такой же по величине скоростью по направлению на первый объект. (Направление скорости второго объекта всё время меняется по мере изменения положения первого объекта.) 10. (10–11) Скорость изменения расстояния между звёздами и наблюдателем, находящимся на Земле, можно определить по смещению известных спектральных линий в наблюдаемом оптическом излучении от этих звёзд, обусловленному эффектом Доплера.

Количественно эффект Доплера определяется скоростью наблюдаемого изображения светящегося объекта относительно наблюдателя.

Независимо от того, чем обусловлена эта скорость — движением в пространстве самого наблюдаемого объекта или оптической системой, используемой наблюдателем для построения изображения.

Придумайте и кратко опишите лабораторную установку, позволяющую наблюдать оптический эффект Доплера от источника света, расположенного в лаборатории. Используйте в своей конструкции только такие технические решения, которые были или могли быть доступны физикам-экспериментаторам в конце 19 – начале 20 века (когда и была осуществлена лабораторная проверка метода определения скоростей звёзд, основанного на эффекте Доплера).

Ответы и решения 1. (6–9) Турист случайно попал в горную речку и намочил свою одежду.

После «отжимания» одежда всё равно осталась мокрой. Дело происходит солнечным летним днём. Вокруг — огромные камни, скалы и больше ничего нет. Что может сделать турист, чтобы его одежда высохла побыстрее? (По сравнению с тем, как если бы её просто положили сушиться.) Решение. Одеждой нужно «хлестать» и «шлёпать» по камням.

На камнях остаются мокрые пятна, на которые расходуется вода из одежды. При этом часть воды непосредственно «вышибается» из одежды (силы инерции больше сил поверхностного натяжения, удерживающих воду в волокнах одежды).

Также от удара часть воды перераспределяется по волокнам: вода, «запрятанная» глубоко внутри ткани, после такой встряски окажется ближе к поверхности и потом ей будет легче испариться.

Школьникам, знающим, что такое поверхностное натяжение (это проходят в старших классах), можно предложить более подробное объяснение.

Вода, «натянутая» плёнкой на волокна ткани и ограниченная сильно вогнутой поверхностью раздела с воздухом, испаряется плохо.

В момент удара расположение волокон и поверхностей воды (в частности, кривизна поверхности) меняется, в результате для части воды улучшаются условия испарения. Прежде всего для той воды, которая из плёнки, покрывающей волокна ткани, в результате удара превратилась в маленькие капельки с сильно выпуклой поверхностью, «сидящие» на волокнах. Для другой части воды условия испарения ухудшатся. Но это и неважно — ранее уже всё равно установилось равновесие и эта вода всё равно бы быстро не испарилась.

Если разная одежда сохнет с разной скоростью, можно сначала высушить быстросохнущую. Затем сложить вместе высушенную и мокрую и «пошлёпать» по камням. Или просто скрутить и «отжать» сухую и мокрую одежду вместе. В результате часть воды перераспределится с мокрой одежды на быстросохнущую сухую. Затем быстросохнущую одежду повторно высушить и повторить то же самое ещё несколько раз.

Все школьники, конечно же, знают, что такое школьная доска и тряпка. За тряпкой, которой стирают с доски, остаётся мокрый след.

Тем самым количество воды в самой тряпке уменьшается. Это и есть подсказка, помогающая придумать решение задачи: часть впитавшейся в одежду влаги нужно оставить на какой-нибудь поверхности. («Хлестать» по камням в данном случае несколько более практично, чем «вытирать» камни одеждой как доску тряпкой.) Высыханию будут способствовать и любые другие действия с тканью, как-то влияющие на устойчивое расположение воды между волокнами этой ткани (можно растягивать ткань — руками или используя для этого камни, крутить одеждой в воздухе за рукав или штанину и т. п.).

2. (6–9) На дороге, проходящей через посёлок, увеличили разрешённую скорость с 60 км/ч до 80 км/ч. На сколько процентов уменьшится количество вредных выхлопов, выбрасываемых автомобилями на территории посёлка, если предположить, что всего проезжающих автомобилей останется столько же, а интенсивность выхлопов на скоростях 60 км/ч и 80 км/ч одинакова?

Решение. Пусть длина участка дороги, проходящего через посёлок, равна x.

Двигаясь по этому участку дороги со скоростью 60 км/ч, машины проводят на этом участке время t0 = x/(60 км/ч).

Двигаясь со скоростью 80 км/ч, автомобиль проедет это же участок за время t1 = x/(80 км/ч).

По условию интенсивность вредных выбросов не зависит от скорости, то есть количество вредных выбросов каждой машины пропорционально времени, которая эта машина провела на территории посёлка.

Таким образом, для ответа на вопрос задачи (на сколько процентов уменьшится количество вредных выхлопов) нам нужно выяснить, сколько процентов составляет разница t0 t1 от величины t0.

Комментарий. В задаче представлена вполне реальная ситуация. Интенсивность выхлопа современных автомобилей на скоростях 60 км/ч и 80 км/ч в случае езды по одному и тому же участку дороги в одинаковых условиях действительно примерно одинакова (незначительные различия могут быть как в пользу более низкой, так и более высокой скорости).

В задаче не учтено другое существенное обстоятельство. Если в посёлке разрешённая скорость меньше, чем на прилегающей дороге, то при въезде в посёлок машины снижают скорость, а на выезде — разгоняются до прежней скорости. А во время разгона интенсивность выхлопов существенно выше, чем при езде с постоянной скоростью.

И вот от этих выхлопов жители посёлка в основном и будут страдать.

3. (7–10) Летом 2010 года во многих регионах России была очень сильная жара. Как нужно измерять температуру человека обычным ртутным медицинским термометром, если температура окружающего воздуха на несколько градусов выше предполагаемой температуры человека?

Решение. Прежде всего отметим, что вопрос задачи относится исключительно к использованию термометра как измерительного физического прибора. В условии задачи ничего не говорится о том, в каком месте организма нужно измерить температуру, о назначении лечения больным с повышенной температурой и т. п. — соответственно, всё это никак не оценивалось при проверке решений. Также предполагается, что температура окружающего воздуха выше предполагаемой измеряемой температуры. Предложения отказаться от этого условия, поместив больного в холодную комнату (или даже в холодильник) условию задачи не соответствуют.

Ртутный медицинский термометр (дальше будем называть его градусником) специально сконструирован так, чтобы им было удобно мерить температуру человека, когда она больше температуры воздуха.

При нагревании градусника (точнее, его конца с резервуаром ртути) показания увеличиваются до той температуры, до которой градусник нагрели. А при охлаждении показания не уменьшаются, а остаются прежними. Чтобы показания уменьшить, термометр нужно «стряхнуть».

То есть градусник всегда показывает максимальную температуру, до которой его нагревали с момента последнего «стряхивания». Поэтому в обычных условиях после соприкосновения градусника с телом человека градусник будет показывать температуру тела (эта температура и будет максимальной, температура воздуха меньше).

А вот если температура воздуха больше температуры больного, то градусник будет показывать температуру воздуха, а про температуру больного мы так ничего и не узнаем. «Стряхнуть» градусник также не удастся — ниже своей температуры он «не стряхивается» (или столбик ртути тут же после «стряхивания» возвращается обратно до отметки текущей температуры градусника).

Очевидно, для измерений температуры больного термометр перед измерением нужно как-то охладить. В условии задачи для этого ничего не предусмотрено (участники турнира предлагали использовать мокрую тряпку, холодильник, ближайший водоём и т. п.). Вспомним, что градусник нужно охладить до температуры не выше температуры больного, а для этой цели вполне можно использовать... самого больного, температуру которого и нужно измерить.

Мы можем «измерить» температуру обычным образом, только предварительно не «стряхивая» градусник (это бесполезно). И «стряхнём»

градусник сразу после измерения. Градусник в этот момент имеет температуру больного и «стряхнётся» как раз до этой температуры. «Стряхивать» градусник нужно до тех пор, пока это возможно (то есть пока в результате стряхивания получается снизить показания).

Если есть подозрение, что градусник «стряхивается» чуть больше, чем нужно, и устанавливает свои показания в соответствии со своей температурой не сразу (такое вполне может быть — ведь измерение температуры занимает некоторое время), после «стряхивания» измерение температуры можно продолжить. Если показания градусника были заниженными, то после повторного контакта градусника с телом больного показания станут правильными.

В некоторых работах школьников предлагалось «стряхивать» градусник прямо вместе с больным. Необходимости в этом нет. Теплоёмкость и теплопроводность у воздуха намного меньше, чем у тела человека, поэтому за несколько секунд, пока мы будем стряхивать градусник, он не успеет нагреться от воздуха настолько, чтобы существенно уменьшить точность измерений температуры больного.

Также нет никакой необходимости теплоизолировать больного на время измерения температуры. Нам необходимо измерить установившуюся температуру поверхности тела человека при имеющейся температуре воздуха. Поэтому вполне достаточно просто хорошего контакта градусника с телом. (А если больного укутать, его температура скорее всего изменится.) Дополнение. Про устройство ртутного медицинского термометра в задаче не спрашивалось. Но для интересующихся школьников мы дадим краткое пояснение.

Отличие от обычного термометра состоит в том, что на пути ртути между резервуаром и трубкой, расположенной около шкалы, есть узкое место. В сравнительно новых термометрах в качестве узкого места используется короткий отрезок стеклянной трубки диаметром в несколько раз меньше, чем диаметр трубки у шкалы. Раньше для этой же цели использовали стеклянный волосок, вставленный в трубку со стороны резервуара и почти полностью перекрывающий сечение трубки на небольшом её отрезке между резервуаром и шкалой (такая конструкция несколько проще в изготовлении).

В процессе измерения температуры ртуть в резервуаре расширяется и её часть с силой выдавливается через узкое место в трубку, расположенную рядом со шкалой. После того, как движение ртути прекращается (столбик ртути достигает отметки на шкале, соответствующей измеряемой температуре), в узком месте ртуть разрывается и выдавливается оттуда капиллярными силами.

Ртуть, находящаяся в трубке около шкалы, оказывается «оторванной» от ртути в резервуаре и сама собой перетечь обратно в резервуар уже не может (даже если температура термометра понизится). Для этого необходимо приложить определённое усилие, чтобы вновь заполнить узкое место ртутью. Это и происходит в результате «стряхивания»

термометра.

4. (8–10) В тихую безветренную погоду вдоль берега озера проплыл большой корабль. После этого у берега начали плескаться волны.

Известно, что корабль плывёт прямолинейно с постоянной скоростью и не совершает никаких колебательных движений, которые могли бы быть источником волн. Как же эти волны образуются?

Решение. Источником колебаний является масса воды, расположенная на том месте, где раньше находился корабль. Эта вода «расступилась» перед кораблём, а затем вернулась на своё место, которое корабль освободил, проплыв дальше. Если горизонтальные перемещения воды в основном взаимно гасятся (картина перемещений является симметричной, что обусловлено наличием плоскости симметрии у корпуса корабля), то вертикальные — остаются. Дальнейшие колебания воды вверх-вниз на месте, где проплыл корабль, и будут являться источником расходящихся волн.

Возможны и другие эквивалентные описания. Например, возникновение расходящихся от корабля «гребней» вытесняемой воды, которые затем «распадаются» на обгоняющие гребень волны (фазовая скорость волн на воде больше групповой).

В качестве верного решения годятся любые разумные описания и объяснения, а также поясняющие рисунки.

Комментарий. Аналогичную картину расходящихся волн создаёт водоплавающая птица (например, утка) на гладкой поверхности воды.

Наблюдать за маленькой птицей (и структурой расходящихся от неё волн) может оказаться проще, чем за большим кораблём.

Корабельные волны (от настоящих кораблей, водоплавающих птиц, ветвей, свисающих над рекой,... ), наверное, интересовали людей с глубокой древности — хотя бы просто из-за своей красоты. По мере развития судостроения и мореплавания изучение корабельных волн стало важной практической задачей. Действительно, энергия на образование корабельных волн берётся за счёт энергии движения корабля. То есть чем больше за кораблём волны, тем сильнее этот корабль тормозится о воду, тем больше расход топлива в двигателях 7 К сожалению, по техническим причинам здесь не удалось разместить качественную красивую фотографию корабельных волн. Такие фотографии можно легко найти в сети Интернет.

этого корабля. Снизить потери энергии на образование волн можно подбором подходящей формы корпуса корабля и скорости его движения.

Что делается как расчётным путём, так и экспериментально. Поэтому корабельные волны в настоящее время достаточно хорошо изучены.

Для справки приведём описание типичного внешнего вида корабельных волн. Энергия корабельных волн сосредоточена внутри клина с углом полураствора 19,5 (клин корабельных волн Кельвина), расположенного на поверхности воды за плывущим кораблём; внутри этого клина имеются волны, бегущие под различными углами к направлению движения корабля. Наиболее заметны волны на границе клина; их гребни составляют с траекторией судна угол 55. То есть граница клина Кельвина получается «пунктирной», составленной из гребней волн, расположенных под углом 55 19,5 = 35,5 к этой границе. Картинка волн внутри клина как бы следует за кораблём, она может быть разной в зависимости от формы корпуса корабля, скорости и внешних условий;

при этом углы 19,5 и 50 оказываются именно такими для достаточно большого диапазона скоростей корабля и прочих условий.

5. (8–11) Между контактами «1» и «2», к которым подключён источник постоянного напряжения, собрана электрическая схема, состоящая только из резисторов. Напряжение на одном из резисторов U0. Сопротивление этого резистора изменили, в результате напряжение на этом резисторе стало U1, напряжения на других резисторах схемы также изменились. Может ли в этой схеме оказаться резистор, на котором изменение напряжения окажется больше, чем |U1 U0 | ?

Решение. Если заменить источник питания (источник с постоянным напряжением) E и всю остальную часть схемы (в которую не включается изменяемое сопротивление r) «эквивалентным» сопротивлением R, то изменённая схема — это последовательно включённые идеальный источник напряжения, его внутреннее сопротивление R и то самое сопротивление r, величину которого изменяют. При этом сумма напряжений на R и r равна E. Значит изменение напряжения на R равно по величине и противоположно по знаку изменению напряжения на r. Все остальные резисторы, для которых произведена эквивалентная замена, входят в состав R, поэтому на любом из них изменение напряжения не может превосходить величины изменения напряжения на R.

Комментарий (другое решение). Вместо изменения величины резистора можно менять напряжение на нём с помощью внешнего источника напряжения. Для остальной схемы «подмена» будет незаметна.

Если бы в результате этого в каком-то другом месте схемы напряжение менялось бы с большей амплитудой, чем мы меняем на своём резисторе, получился бы усилитель, собранный целиком на линейных элементах — резисторах, что невозможно.

6. (9–11) Шарик прыгает по наклонной плоскости, ударясь об неё абсолютно упруго. Угол наклона плоскости, величина и направление скорости шарика в момент первого удара о плоскость — произвольные.

Докажите, что удары шарика о плоскость происходят через равные промежутки времени. Ускорение свободного падения g.

Решение. Проекция ускорения шарика на направление, перпендикулярное наклонной плоскости, постоянна и равна проекции g на это направление. Равноускоренное движение (речь идёт о перпендикулярной к плоскости составляющей скорости) с переменой знака скорости в фиксированном месте (удар о плоскость) будет периодическим.

Проекция скорости шарика на саму плоскость определяет только перемещение шарика вдоль этой плоскости и не влияет на периодичность ударов о плоскость.

7. (10–11) Расположите в пространстве несколько точечных электрических зарядов так, чтобы в состоянии покоя система этих зарядов находилась в равновесии. Количество, величины и координаты зарядов вы можете выбрать сами. Необходимо проверить равенство нулю суммы электростатических сил, действующих на каждый из зарядов предложенной вами системы. Ненулевых зарядов в системе должно быть больше одного.

Решение. Приведём наиболее простое решение.

Возьмём два одинаковых заряда — они будут отталкиваться. Разместим ровно посередине между ними маленький заряд противоположного знака. Сила, действующая на этот заряд, равна 0 из-за симметрии конфигурации. Пока заряд маленький, он не оказывает существенного влияния на отталкивание крайних зарядов. Если же центральный заряд сделать, наоборот, очень большим, крайние заряды к нему будут притягиваться сильнее, чем отталкиваться друг от друга. Значит, существует и промежуточное значение центрального заряда, когда сила притяжения крайних зарядов к нему в точности компенсирует силу отталкивания крайних зарядов друг от друга.

Другое решение. Расположим на одной прямой заряды, как указано на рисунке.

(расстояния от среднего заряда до крайних одинаковы, введём для этих расстояний обозначение L). Средний заряд будет находиться в равновесии, так как расположен симметрично относительно крайних зарядов, равных по величине. Сила, действующая на крайний заряд со стороны двух других, равна Естественно, годятся и любые другие решения (конфигурации зарядов), удовлетворяющие условию задачи.

8. (10–11) В опыте исследова- V, l лось тепловое расширение смеси двух веществ под давлением p = 2 атм. Полученная в результате эксперимента зависимость объёма смеси (в литрах) от температуры (в градусах Кельвина) изображена на графике.

Известно, что никаких химических реакций в данном экспери- менте не происходило. Укажите, какие вещества и в каких количествах могли входить в смесь. 0 100 200 300 400 T, K Объясните вид графика.

Решение. График такого вида может получиться, если одно из веществ смеси (в количестве 1 ) все время находилось в газообразном состоянии, а другое (в количестве 2 ) — было как в жидком, так и в газообразном состоянии. Момент полного испарения второго вещества соответствует излому на графике.

Обозначая через pн (T ) зависимость давления насыщенного пара второго вещества от температуры, найдём теоретическую зависимость объма смеси от температуры.

Если второе вещество ещё не всё испарилось, его пар, являясь насыщенным, создаёт давление pн (T ) — давление первого вещества равно p pн (T ). Согласно уравнению идеального газа для первого вещества, его объём равен Объёмом второго вещества в жидком состоянии можно пренебречь. Данный случай возможен, если pн (T )V < 2 RT, или при pн (T ) < p.

Если же второе вещество испарилось полностью, объём смеси согласно уравнению идеального газа равен Этот случай реализуется при pн (T )V > 2 RT, или pн (T ) > p.

Из графика видно, что при высоких температурах объём линейно зависит от температуры. Подставляя найденные из графика значения в (2), найдём 1 + 2 = 2 моль. При низких температурах, когда давлением насыщенного пара можно пренебречь, выражение (1) перехоRT дит в V графике соответствует случаю pн (T ) = p = 1 атм и температуре T 373 K. Веществом с таким свойством является вода.

Ответ. Смесь может состоять из газообразного в заданном интервале температур вещества в количестве 1 моль и воды в количестве 1 моль.

9. (10–11) Докажите, что два точечных объекта никогда не столкнутся, если один из них летит по прямой с постоянной скоростью, а другой не находится на этой прямой и всё время летит с такой же по величине скоростью по направлению на первый объект. (Направление скорости второго объекта всё время меняется по мере изменения положения первого объекта.) Комментарий. Это классическая задача, но малоизвестная современным школьникам. Подробный разбор этого сюжета можно прочитать в журнале «Квант» № 2 за 1973 год в статье «Про лису и собаку» (стр. 39–43; электронная версия статьи опубликована по адресу http://kvant.mccme.ru/1973/02/pro_lisu_i_sobaku.htm).

В этой статье, в частности, показано, что траектория «догоняющего» объекта (названного в статье Собакой) в системе отсчёта, связанной с «убегающим» объектом (в терминологии статьи это Лиса, то есть Собака ловит Лису), является параболой (точнее, половинкой параболы), которая не проходит через «Лису». Ну а раз объекты не встречаются в какой-то конкретной системе отсчёта, они не встретятся и в любой другой системе отсчёта.

Явное определение траектории движения, безусловно, является требуемым доказательством, то есть решением нашей задачи. Однако в условии от нас требуется просто доказательство отсутствия встречи.

Поэтому мы можем обойтись и без определения траектории.

Решение. Примем, как в вышеупомянутой статье, условные обозначения: Лиса бежит по прямой с постоянной скоростью, а Собака — всё время по направлению на Лису с такой же по величине скоростью, всё время меняя направление движения так, чтобы Лису всегда видеть перед собой. С первого взгляда кажется, что действия Собаки оптимальны (если хочешь кого-то поймать, так и беги прямо на него!).

Но такая стратегия годится далеко не всегда. В самом деле, мы рассматриваем ситуацию в какой-то системе отсчёта, выбранной по сути дела случайно (и просто выделяющейся фактом равенства величин скоростей Лисы и Собаки). Утверждение «бежать прямо на» зависит от системы отсчёта, и в других системах отсчёта уже будет неверным.

Перейдём в (инерциальную) систему отсчёта, в которой Лиса покоится. К скорости Собаки при этом добавится (в смысле сложения векторов) константа — бывшая скорость Лисы, взятая с противоположным знаком. Если в старой системе отсчёта направление скорости было «всегда на Лису», то в новой оно будет (учитывая постоянную добавку, изменяющую направление суммарного вектора по сравнению с исходным) «всегда мимо Лисы». Поскольку Лиса неподвижна и не сможет «подвинуться» в нужном направлении, то может показаться, что задача решена: имея направление скорости всегда мимо заданной точки, мы в эту точку никогда не попадём.

На самом деле это решение нуждается в дополнительной доработке.

Например, рассмотрим движение по окружности и какую-нибудь точку на этой окружности. До момента попадания в эту точку направление скорости движения вдоль окружности также будет всегда мимо этой точки, однако в заданную точку мы всё же попадём. Также к точке можно приближаться по «бесконечно накручивающейся» спирали и т. п.

Но в нашей задаче совсем нетрудно построить более аккуратное рассуждение. Например, легко сообразить, что в новой системе отсчёта Собака неизбежно окажется «сзади» Лисы. После этого вернёмся в старую систему отсчёта, где сразу станет очевидным, что Лису уже не догнать — для этого Собаке потребуется пробежать больший путь, чем пробежит Лиса за то же время, а величины их скоростей равны.

10. (10–11) Скорость изменения расстояния между звёздами и наблюдателем, находящимся на Земле, можно определить по смещению известных спектральных линий в наблюдаемом оптическом излучении от этих звёзд, обусловленному эффектом Доплера.

Количественно эффект Доплера определяется скоростью наблюдаемого изображения светящегося объекта относительно наблюдателя.

Независимо от того, чем обусловлена эта скорость — движением в пространстве самого наблюдаемого объекта или оптической системой, используемой наблюдателем для построения изображения.

Придумайте и кратко опишите лабораторную установку, позволяющую наблюдать оптический эффект Доплера от источника света, расположенного в лаборатории. Используйте в своей конструкции только такие технические решения, которые были или могли быть доступны физикам-экспериментаторам в конце 19 – начале 20 века (когда и была осуществлена лабораторная проверка метода определения скоростей звёзд, основанного на эффекте Доплера).

Комментарий. Речь идёт об экспериментах Аристарха Аполлоновича Белопольского (1854–1934). Подробные описания этих экспериментов можно найти в интернете.

К концу 19 века свойства света, доступные непосредственному наблюдению, были достаточно хорошо известны. В частности, были очень подробно изучены спектральные линии, возникающие в разных условиях, определено их соответствие тем или иным веществам. Были составлены подробные таблицы спектральных линий, выведены математические закономерности их расположения в спектре.

Наблюдатели не обошли своим вниманием также Солнце, звёзды и прочие светящиеся космические объекты. При этом были обнаружены те же самые спектральные линии, что и у земных источников света. Однако у многих космических объектов картинка спектральных линий оказывалась смещённой по шкале спектра относительно того, что наблюдается от земных источников (а также у разных космических объектов относительно друг друга).

Волновые свойства света в те времена уже были известны. Поэтому предположение о том, что смещение спектров связано с движением источников света и обусловлено эффектом Доплера, было вполне естественным. В то же время тогда ещё ничего не было известно о строении атомов, электронных уровнях, механизмах излучения света и т. п.

Поэтому и была необходима экспериментальная проверка, смысл которой в наше время мог бы показаться неясным и даже странным.

Решение. Приведём описание эксперимента А. А. Белопольского.

Разумеется, приниматься в качестве верных должны и любые другие решения, удовлетворяющие условию задачи.

Два одинаковы расположенных рядом колеса с лопастями из зеркал, быстро вращающихся в противоположные стороны. Между колёсами с небольшим смещением от линии, соединяющей их центры, располагается исследуемый источник света S.

Наблюдается изображение, полученное в результате многократных переотражений исходного источника света от движущихся зеркал. Если участок зеркала, на котором происходит переотражение, в результате вращения колеса, на котором зеркало закреплено, удаляется от источника с линейной скоростью v, а переотражение от зеркал происходит N раз, скорость наблюдаемого изображения будет 2N v.

Кроме того, «зайчик» с фиксированным количеством переотражений N всё время будет отбрасываться (прерывисто) в одном и том же направлении (направление и N однозначно связаны друг с другом, на рисунке стрелкой указано направление для N = 3). В этом направлении следует расположить спектроскоп, в котором и наблюдать смещение спектра «мигающего» изображения. Или «накопить» его на фотопластинке с большой выдержкой.

В конце 19 века техника была уже достаточно хорошо развита. Высокие и стабильные скорости вращения механизмов были вполне достижимы, что давало большую величину v. Также уже умели делать и качественные зеркала — достаточно ровные и с хорошими отражающими свойствами, что позволяло добиться больших значений N. В результате экспериментально реализуемое значение произведения 2N v оказывалось вполне достаточным для наблюдения смещения спектральных линий и сравнения таких наблюдений с астрономическими.

Согласованные между собой результаты астрономических наблюдений и экспериментов, поставленных в земной лаборатории, стали одним из подтверждений предположения о том, что смещения спектральных линий в излучении звёзд действительно обусловлены эффектом Доплера. Эти смещения, которые раньше просто наблюдались как интересное природное явление, оказалось возможным использовать для расчётов взаимных скоростей между наблюдаемыми звёздами и Землёй.

Проверка и награждение Инструкция для проверяющих работы За каждую задачу ставится одна из следующих оценок:

Если в работе нет никакого текста по данной задаче — за эту задачу ставится оценка «0».

Если задача решена верно (это решение может быть как похожим на приведённое здесь, так и совершенно оригинальным; главное, чтобы оно было грамотным с научной точки зрения и давало ответ на поставленный в задании вопрос) — за него ставится оценка «+». Грамотность, содержательность, оригинальность решения можно отмечать оценкой «+!» (если такая оценка поставлена, то дальнейшие недочёты не отмечаются, впрочем, если есть серьёзные недочёты, то нужно подумать, стоит ли вообще ставить «+!»). Мелкие недочёты отмечаются оценкой «+.», а более серьёзные проблемы — оценкой «±». Не имеет значения, как именно «оформлен» пробел в решении — школьник ошибся, просто пропустил логически необходимый фрагмент решения или явно указал («признался»), что он что-то не обосновывает.

Оценка «+/2» ставится, если школьник продвинулся на пути к верному решению примерно наполовину. Это последняя оценка, которая содержательно учитывается при подведении итогов.

Оценка « » ставится, если решение неверно, но сделан хотя бы один логический шаг в любом верном направлении.

Оценка «.» ставится, если школьник на пути к решению с места не сдвинулся, но упомянул что-то, что на этом пути может пригодиться.

Оценка «» ставится, если в решении не содержится абсолютно никаких полезных для решения сведений, новых по сравнению с условием (только данные из условия, но переписанные в определённом логическом порядке, могут быть частью верного решения, за что ставится оценка выше, чем «»).

Одна из основных целей подробной шкалы оценок — «обратная связь» со школьниками — почти все они узнют свои оценки. Поэтому оценки нужно выбирать внимательно, даже тогда, когда выбор не влияет на итоговый результат. По этой же причине нужно оценивать в основном физику (и математику в той мере, в какой она необходима для решения конкретной задачи).

Грамматические ошибки никак не учитываются.

За описки в формулах оценка по возможности ставится «+.» (но если это дальше привело к серьёзным проблемам — ставится более низкая оценка, тут ничего не поделаешь).

За арифметические ошибки (при верном подходе к решению) в основном ставится «+.» или «±» в зависимости от серьёзности последствий для дальнейшего хода решения. Если задача была именно на вычисления и в результате проблем с этими вычислениями получен принципиально неверный ответ — за это обычно ставится «+/2».

Разумеется, форма записи условия (в том числе отсутствие условия в работе), а также форма записи решения никак не должна влиять на оценку.

За верно угаданный (без дополнительных разъяснений) ответ из двух очевидных возможных вариантов ставится « », из трёх и больше вариантов — «+/2».

Зачёркнутое верное решение учитывается также, как незачёркнутое.

Особенно внимательно относитесь к «ляпам» младших ( 7 класса) школьников, которые только начали учиться физике (или даже ещё не начинали). Не судите их за это строго. Если понятно, что именно хотел сказать ребёнок, и это правильно — ставьте «+».

Подведение итогов При подведении итогов учитываются только решения задач своего и старших классов.

Оценки за задачи, адресованные более младшим классам, чем класс, в котором учится участник, при подведении итогов никак не учитываются.

Оценка «e» (балл многоборья) ставилась в следующих случаях:

— класс не старше 6 и не менее 1 оценки не хуже +/ — класс не старше 8 и не менее 2 оценок не хуже +/ — класс не старше 10 и не менее 4 оценок не хуже +/ — класс не старше 11 и не менее 1 оценки не хуже ± — класс не старше 11 и не менее 4 оценок не хуже +/2, среди которых не менее 1 оценки не хуже ± Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по физике) ставилась в следующих случаях:

— класс не старше 6 и не менее 2 оценок не хуже +/ — класс не старше 7 и не менее 1 оценки не хуже ± — класс не старше 11 и не менее 2 оценок не хуже ± В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.

Статистика Приводим статистику решаемости задач конкурса по физике. Эта статистика даёт интересную дополнительную информацию о задачах (и задании конкурса по физике в целом): насколько трудными оказались задачи, какие задачи оказались наиболее предпочтительными для школьников, и т. п.

В приведённой статистике учтены все работы по физике, сданные школьниками (в том числе и абсолютно нулевые). Школьники, не сдавшие работ по физике, в этой статистике не учтены.

Сведения о количестве школьников по классам, получивших грамоту по физике («v»), получивших балл многоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по физике (количестве сданных работ).

Сведения о количестве участников конкурса по классам и количестве решённых ими задач. При составлении таблицы решёнными считались задачи своего или более старшего класса, за которые поставлены оценки «+!», «+», «+.» и «±». Две оценки «+/2» за задачи своего или старшего класса при составлении таблицы условно отмечались как одна решённая задача.

Сведения о распределении оценок по задачам. Оценки «+!», «+», «+.», «±» и «+/2» считались как по классам, для которых рекомендована задача, так и по младшим классам; оценки « », «.», «» и «0»

считались только по классам, соответствующим задаче.

3917 2901 5282 2920 2341 2162 681 486 0 453 1576 2540 1024 6195 3937 5612 3755 Всего 6978 6960 9058 7751 9743 7269 7257 4604 Конкурс по химии Задания В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Ученикам 8 класса (и младше) предлагается решить 1– задачи, ученикам 9–10 классов — 2–4 задачи. Можно решать и задачи старших классов. Решённые задачи класса младше своего не влияют на оценку. 11-классникам достаточно записать полные верные решения двух задач. На случай, если какое-то ваше решение окажется неверным или будет зачтено только частично, жюри рекомендует вам решать также и остальные задачи для 11 класса.

1. (8) Ангидридом кислоты называется оксид, который при взаимодействии с водой образует эту кислоту. Например, ангидридом серной кислоты является оксид SO3. Составьте формулы ангидридов следующих кислот:

Укажите степени окисления элементов в оксидах.

2. (8) Молекулярная масса бромида щелочного металла в 1,76 раз больше молекулярной массы хлорида этого же металла. Назовите металл и запишите уравнения его реакции с кислородом и с водой.

3. (8–9) Нитрат калия массой 10,1 г растворили в 43,2 г воды.

а) определите массовую долю вещества в полученном водном растворе;

б) сколько молекул воды приходится на один атом калия в полученном растворе?

в) раствор упарили, удалив из него половину первоначально взятой воды, затем охладили до 20 C. Определите массу выпавшего осадка, если максимальная растворимость нитрата калия при этой температуре составляет 31,6 г на 100 г воды.

4. (8–10) Юному химику Пете предоставили в распоряжение любое лабораторное оборудование, оксид серы(VI), воду и ещё одно вещество по его выбору. Петина задача — получить 10 новых веществ, используя имеющиеся у него вещества и продукты их превращений. Помогите Пете выполнить это задание — выберите реактив и запишите уравнения химических реакций получения новых веществ.

5. (9–10) На чашках весах уравновешены два стакана, каждый из которых содержит 100 г 20%-ной соляной кислоты. В один из них опустили 6 г магния, магний полностью растворился. Сколько граммов карбоната кальция надо опустить во второй стакан, чтобы весы снова пришли в равновесие? Испарением воды пренебречь.

6. (9–10) Во время Великой Отечественной войны для борьбы с ночными бомбардировщиками противника применялись аэростаты заграждения, наполнявшиеся водородом. В результате утечки газа водород постепенно вытеснялся воздухом. Это уменьшало подъёмную силу и делало опасным использование аэростатов, так как газовая смесь становилась взрывоопасной. Поэтому при содержании воздуха 17% газ в аэростате заменяли на свежий. Контроль состава газовой смеси проводили измерением плотности. При каком значении плотности (в г/л) заменяли газ в аэростате? (в расчёте на н. у., относительную молекулярную массу воздуха принять равной 29,0).

Какой способ получения водорода вы бы порекомендовали для наполнения аэростатов и почему?

7. (10–11) Ароматический углеводород состава C8 H10 при окислении превращается в кислоту. Если эта кислота массой 8,3 г прореагирует с кальцием, выделится 1,12 л водорода. Какое строение может иметь исходный ароматический углеводород? Напишите уравнение упомянутых реакций.

8. (10–11) В вашем распоряжении имеются три монеты — железная, медная и золотая; а также дистиллированная вода, водный раствор FeCl3, химические стаканы и платиновая проволока. Кратко опишите последовательность действий, позволяющих покрыть слоем меди а) железную монету, б) золотую монету.

Приведите уравнения реакций.

9. (10–11) Имеется 5,6 г смеси серы и углерода. Смесь обработали избытком горячей концентрированной серной кислоты. В результате реакции выделилось 22,4 л газов, измеренных при н. у. Определить состав исходной смеси в массовых процентах.

10. (10–11) В замкнутом сосуде, содержащем кислород, сожгли 4,7 г органического вещества А, нанесённого на 22,2 г гидроксида кальция.

После охлаждения сосуда там, кроме избытка кислорода, было обнаружено 8,1 мл воды и 30 г твёрдого неорганического вещества Б. Определите формулы веществ А и Б.

Вместе с заданиями конкурса по химии участникам турнира также выдавались справочные материалы: таблица Менделеева, таблица растворимости и электрохимический ряд напряжений.

Решения 1. Для решения этой задачи важно понимать, что при взаимодействии оксида с водой с образованием кислоты (или основания) степень окисления элемента не меняется.

Значит, требуется подобрать оксид с той же степенью окисления элемента, что и в кислоте — это и будет ангидрид кислоты.

Посчитаем степени окисления элементов в приведённых кислотах и запишем оксиды этих элементов с той же степенью окисления:

2. Обозначим молярную массу щелочного металла как x г/моль, тогда масса бромида этого металла составляет (x + 80) г/моль, а хлорида — (x + 35,5) г/моль. По условию задачи масса бромида в 1,76 раз больше массы хлорида, что позволяет нам составить уравнение:

Решая это уравнение получим, что x 23,05 г/моль, что соответствует молярной массе натрия.