«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ Пермь 2001 Российская академия наук Межгосударственный координационный совет по физике прочности и пластичности Департамент образования и науки администрации Пермской ...»

ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА

«ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОДДЕРЖКА ИНТЕГРАЦИИ ВЫСШЕГО

ОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ

Пермь 2001

Российская академия наук

Межгосударственный координационный совет

по физике прочности и пластичности Департамент образования и науки администрации Пермской области Городской комитет по образованию и науке (г.Пермь) Пермский государственный технический университет Институт механики сплошных сред УрО РАН

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ

Тезисы докладов 10-й Всероссийской конференции молодых ученых Пермь 10-я Всероссийская конференция молодых ученых “Математическое моделирование в естественных науках” (26-29 сентября 2001 г.) организована Пермским государственным техническим университетом. Конференция посвящена актуальным проблемам математического моделирования в механике, физике, экологии, биомеханике, технике и технологии.

Конференцию подготовили и провели преподаватели и сотрудники кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета.

Оргкомитет конференции Председатель оргкомитета П.В.Трусов (ПГТУ) Члены оргкомитета: М.Б.Гитман, Ю.И.Няшин, В.Г.Пальчиковский, Ю.В.Соколкин, В.Ю.Столбов, (ПГТУ), В.П.Матвеенко, О.Б.Наймарк, П.Г.Фрик (ИМСС УрО РАН), Р.А.Васин (НИИМех МГУ), Б.Е.Победря (МГУ), В.А.Виссарионов, В.Б.Гаптов, Г.Д.Новосельцева, С.А.Обрубов, В.Н.Федорова (Московский институт медико-социальной реабилитологии).

Ответственный секретарь В.Н. Ашихмин (ПГТУ) Оргкомитет конференции считает своим долгом поблагодарить руководителей и коллективы следующих предприятий и организаций, оказавших поддержку при подготовке конференции:

Федеральной целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки»

Городского комитета по образованию и науке (г. Пермь), Пермского государственного технического университета, Института механики сплошных сред УрО РАН, Московского института медико-социальной реабилитологии Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. А.А.Роговой (ИМСС УрО РАН);

кафедра механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета.

© Пермский государственный технический университет, УДК 539.31 : 674. Математические модели в механике и физике Исследование устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости, при малом значении числа Прандтля Е.А. Алексеева (Пермский государственный университет) Исследовалась устойчивость адвективного течения, возникающего во вращающемся горизонтальном слое жидкости, при малом значении числа Прандтля (Pr = 0,1). Изучалось влияние вращения на характер устойчивости течения при различных значениях числа Тейлора.

Показано, что вращение повышает устойчивость адвективного течения, не меняя монотонный характер неустойчивости. Получены зависимости критического числа Грасгофа и волнового числа от числа Тейлора, построены нейтральные кривые.

Напряженное состояние шара при усадке центральной зоны (Екатеринбург, Институт машиноведения УрО РАН) В процессе изготовления композитных материалов, армированных дисперсными включениями, в материале возникают поля начальных технологических напряжений вследствие отличий свойств связующего и включений. В силу отсутствия внешних сил материал включений может перейти на стадию разупрочнения, и в зависимости от свойств матрицы и первоначальной усадки может произойти потеря устойчивости, что приведет к разрушению отдельных элементов композита.

Рассматривается модельная задача расчета напряженного состояния и оценка устойчивости положений равновесия кусочно-неоднородного шара, состоящего из толстостенной сферы (связующего) и внутреннего шара (включения). Внешняя сфера предполагается упругой, а свойства внутренней зоны характеризует полная диаграмма деформирования в координатах объемное напряжение – объемная деформация. Внутренний шар обладает начальной усадкой, и при сцеплении с внешней сферой система находится в некотором положении равновесия.

Задача расчета напряженного состояния составного шара разбивается на две упругие задачи (основную и корректирующую). Решение записывается в виде ряда, расходимость которого соответствует потере устойчивости положений равновесия системы, найденной с использованием аппарата теории катастроф.

Математическое моделирование динамического (Пермский государственный технический университет) С деформационным старением связаны следующие эффекты: появление зуба текучести на диаграмме деформирования, повторное его появление, качественная зависимость зуба от жесткости нагружающей системы и эффект Портевена – ЛеШателье.

Эффект появления зуба текучести заключается в следующем. На диаграмме деформирования наблюдается увеличение предела текучести, и после упругого участка происходит спад напряжений при жестком нагружении образца. Эффект Портеве – Ле-Шателье заключается в появлении осциляций на кривой деформирования после упругого участка.

Эффекты динамического деформационного старения связаны с взаимодействием дефектов внутри реальных металлов. В процессе ДДС происходит взаимодействие дислокаций и точечных дефектов, в результате которого происходит торможение дислокаций, что обеспечивает упрочнение материала. Кроме механизма торможения дислокаций облаками примесей существуют и другие механизмы, такие как торможение дислокаций барьерами Ломер – Коттрелла, торможение дислокаций при скольжении через лес дислокаций и др. Также с взаимодействием дислокаций и атомов примеси можно связать эффект микроползучести, при котором появляются микро-деформации на упругом участке кривой деформирования.

Целью работы является построение определяющих соотношений, которые описывают перечисленные эффекты. Мы полагаем также, что можно построить определяющие соотношения для описания многоуровневых процессов В работе рассматривается взаимодействие краевых дислокаций и атомов примеси. Получена одномерная структурно-механическая модель, которая описала перечисленные эффекты. Проведен анализ результатов.

Трехуровневая модель кристаллизации металлического (Пермский государственный технический университет) Описаны процессы, протекающие при кристаллизации, физические механизмы роста кристаллов. Рассмотрены некоторые подходы к описанию процесса кристаллизации. Описаны существующие модели кристаллизации и обнаружены недостатки, ограничивающие их применимость.

Сделан анализ модели кристаллизации как системы «белый ящик».

Определены компоненты системы (произведена декомпозиция) и построены связи между ними (произведено агрегирование). Данный подход облегчает дальнейшее проектирование и отладку системы. Хотя в настоящее время не решается задача на микроуровне, это не мешает использованию и исследованию построенной системы.

Разработан алгоритм «выращивания» кристаллов в клеточном автомате.

Произведено его обобщение на все выпуклые фигуры. Определена зависимость погрешности метода от его параметров, составлены рекомендации по выбору их значений.

Для решения задач теплопроводности и диффузии использован универсальный метод приближенного решения дифференциальных уравнений.

Построена и исследована конечно-разностная шеститочечная двухслойная схема.

Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений использован эффективный по времени и памяти метод прогонки.

Создана компьютерная программа, реализующая разработанный алгоритм на неоднородном температурном поле с учетом примеси. Произведено тестовое моделирование. Сделаны попытки решения обратной задачи: определение параметров кристаллизации в зависимости от характеристик кристаллической структуры.

Описание тиксотропных и упругих эффектов нелинейных (Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН) Исследованию и описанию реологических свойств как упруговязких, так и тиксотропных сред посвящено множество работ, в большинстве которых упругие и тиксотропные свойства изучались раздельно. Согласно концепции, развивавшейся П.А. Ребиндером, Г.М. Бартеневым, Г. Эйрингом, Р.С. Бродки, эффективная вязкость определяется равновесной степенью разрушения структуры системы, достигаемой по завершении предстационарной стадии деформирования. В этой теории принимается, что деформирование влияет на динамическое равновесие в структурированных тиксотропных системах так, что ускоряет скорость разрушения связей, не влияя на скорость восстановления.

Ярким проявлением тиксотропных эффектов у вязкоупругих жидкостей является наличие максимума на кривой изменения напряжения во времени при течении с постоянной скоростью сдвига. В работах А.И. Леонова такое поведение материала объясняется изменением («усечением») релаксационного спектра при деформировании.

В данной работе процесс тиксотропного разрушения – восстановления связей в структурированных системах рассматривается с помощью введения параметра, для которого выписывается соответствующее кинетическое уравнение, на примере уравнения состояния тиксотропной упруговязкой жидкости интегрального типа. Приводится методика определения реологических постоянных.

Исследование напряжений в зернах текстурированных (Екатеринбург, Уральский государственный технический университет) При любом напряженном состоянии макрообъема зерна в поликристалле вследствии анизотрпии их свойств находятся в условиях сложного напряженного состояния. Кроме анизотропии упругих свойств монокристалла на микронапряжения оказывает существенное влияние текстура материала.

Макроскопические напряжения рассмотрены с учетом неоднородности cреды. В этом случае они определяются усреднением микронапряжений, отнесенных к областям второго порядка малости (кристаллитам) по сравнению с представительными элементами объема cреды. Поля напряжений и деформаций зависят от ориентации кристаллографических осей зерна, т.е. от кристаллографической текстуры, и однородны на мезоуровне. Напряжения и деформации в зернах с одинаковой ориентацией одинаковы.

Напряжения в зерне, отнесенные к кристаллографическим осям, найдены из решения Эшелби о деформации упругого сферического зерна кубической симметрии, помещенного в бесконечную однородную изотропную матрицу из материала с эффективными упругими характеристиками.

Получено тензорное равенство, которое полностью определяет микронапряжения. Величины, входящие в найденное соотношение, записаны в виде суммы независимых компонентов с использованием разложения единичного тензора четвертого ранга на ортогональные составляющие. При данном представлении тензоров существенно упрощается процедура исследования напряжений в зерне.

Микронапряжения определяются приложенными макроскопическими напряжениями и различием в эффективных и локальных значениях упругих констант поликристалла. Проведена оценка влияния неоднородности среды на микронапряжения при изменении положения внешней растягивающей силы по отношению к локальным кристаллографическим осям.

О двух внешних силах, создающих гидродинамический альфа-эффект в несжимаемой жидкости И.А. Бурылов1, О.Е. Кузнецова2, А.В. Фирулев (Пермский государственный технический университет1, Пермский государственный университет2, Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН3) Известно, что завихренность поля скорости в непроводящей жидкости и магнитное поле обладают некоторыми похожими свойствами. Оба формально подчиняются уравнениям одинакового вида. Эта аналогия была отмечена еще Бэтчелором в начале 50-х годов при изучении гидромагнитной турбулентности и динамо-эффектов.

Основываясь на этом свойстве и используя теорию среднего поля, Моисеев и соавторы (1983) получили уравнения альфа-эффекта для средней завихренности в сжимаемой среде. Для существования подобного явления в несжимаемой среде необходимо дополнительное нарушение симметрии, которое может быть, например, обеспечено внешней галилеевски неинвариантной силой.

Фриш и соавторы (1987) одними из первых предложили математическое выражение для такой внешней силы и получили аналог альфа-эффекта в гидродинамике несжимаемой жидкости. Это явление было названо анизотропным кинетическим альфа-эффектом (АКА-эффектом) или гидродинамическим альфаэффектом. Более реалистичную внешнюю силу, параметризующую собой совместное влияние вращения и внутреннего тепловыделения на слой турбулентной жидкости, предложили Левина и соавторы (2000).

В данной работе изучается и сравнивается влияние двух названных выше сил на конвективное течение в горизонтальном слое жидкости.

Численное моделирование проводилось для трехмерного течения в горизонтальном цилиндре в виде шайбы, с соотношением радиуса и высоты 10:1, подогреваемом снизу. Такое течение описывается уравнениями Буссинеска, дополненными соответствующей внешней силой. В предположении осевой симметрии расчетная область сводится к прямоугольнику со сторонами, равными радиусу и высоте цилиндра. В процессе вычислений размер сетки варьировался, начиная с 10020 и более.

Полученные результаты обсуждаются с точки зрения возможного применения изучаемых сил для моделирования реальных геофизических задач.

Подробно анализируются энергетические характеристики течений, реализующихся под действием внешних сил.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 01-05-64232.

Движение тела в колеблющейся оболочке с вязкой жидкостью (Пермский государственный университет) В литературе имеются противоречивые данные о поведении взвешенного в жидкости тела при колебаниях контейнера: теория высокочастотных вибраций, не учитывающая вязкости, предсказывает притяжение тела к стенке сосуда, а гидродинамическая теория смазки такого эффекта не обнаруживает.

В данной работе рассматривается движение цилиндрического тела в цилиндрической оболочке, совершающей гармонические колебания. Целью данной работы было определение закона движения тела и характерных режимов его поведения.

Задача решалась в приближении малости амплитуды колебаний оболочки и расстояния между внешним и внутренним цилиндром. Считалось также, что толщина динамического вязкого скин-слоя больше толщины зазора, т.е. частота колебаний оболочки не слишком велика.

Использование методов нелинейной теории пограничного слоя позволило свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решались численно. Показано, что тяжелое тело, плотность которого больше плотности жидкости, позиционируется в центре полости, в то время, как легкое тело притягивается к стенке сосуда.

Исследование влияния степени наполнения композита на величину его характерного объема Проблема прогнозирования эффективных механических свойств композитных материалов сохраняет свою актуальность на протяжении всей истории их разработки и применения. Реакция материала на внешнее нагружение является результатом проявления многих факторов: собственных механических свойств компонентов, механического взаимодействия компонентов как элементов образованной ими структуры, зарождения и развития в структуре диссипативных и аккомодационных процессов и т.п. Масштабный уровень проявления факторов такого рода приводит к необходимости изучения закономерностей деформирования механических свойств композитных материалов на уровне их структурных компонентов. Такие исследования в настоящее время часто выполняются численно на основе прямого моделирования поведения фрагментов структуры. В механике композитов известен факт существования масштабного эффекта, который заключается в наличии зависимости свойств композита от величины рассматриваемого объема. Надежность прогнозирования эффективных свойств материалов при таком подходе может быть обеспечена при исследовании объемов, обладающих свойством представительности. Интуитивно ясное понятие о "представительном объеме композита", несмотря на его широкое использование, крайне редко сопровождается определением способов получения количественных оценок его размеров (за исключением случая регулярных структур). Использование принципа "увеличение размеров исследуемого объема до получения результатов, совпадающих с заданной точностью", представляется малоэффективным, поскольку приводит к необходимости моделирования поведения фрагментов структур, содержащих порядка 102-103 элементов армирования. Более продуктивным может быть использование подхода, при котором свойства композита рассматриваются как случайные величины, реализация которых в каждой точке определяется конфигурацией элементов структуры в окружающем ее объеме. Возможность выделения объема конечных размеров, определяющего свойства в каждой конкретной точке композита, следует из принципа локальности формирования механических свойств. Определение размеров такого объема, названного "локально-представительным", предлагается проводить на основе исследования двухточечных распределений локальных свойств композита. Для однонаправленного волокнистого материала на основе такого подхода показана возможность выбора величины характерного ("локально-представительного") объема. Исследована зависимость величины характерного объема композита от степени его наполнения армирующими элементами.

Конвективная струя с пространственным ускорением (Пермский государственный технический университет) Исследование особенностей движения неизотермической вязкой несжимаемой жидкости представляет интерес с точки зрения различных геофизических и технических приложений. В научной литературе описаны ситуации, при которых характер течения жидкости развивается по различным сценариям: возникновение гексагональных структур (ячеек Бенара), появление конвективных валов и т.п.

Данная работа посвящается исследованию возможного струйного поведения течения неизотермической жидкости. Pассматривается стационарное трехмерное течение вязкой несжимаемой жидкости при наличии вертикального градиента температуры. Принимается гипотеза равенства единице числа Прандтля, что позволяет существенно упростить исходную систему уравнений. При этом задача сводится к задаче Коши, заданной в параметрической форме, где параметр описывает характер подогрева жидкости (подогрев сверху или снизу).

Задача решалась численно. Были получены следующие результаты: найдена область существования решений; рассмотрены различные случаи подогрева жидкости: сверху и снизу; получены картины, описывающие поведение течения в этих случаях. Проведен анализ полученных результатов.

Численное моделирование запредельного деформирования инкрементально-линейного моментного тела (Пермский государственный технический университет) Образование внутренних фрагментированных структур в металлических моно- и поликристаллических телах происходит при больших упруго-пластических деформациях. Такие структуры развиваются на нескольких масштабах, проходя на каждом из них эволюционный ряд: фрагменты сдвига, изгиба-кручения и поворота решетки. Явление фрагментации в металлах обуславливается набором причин.

Признаком потери устойчивости равновесного механического поля в некотором смысле является возникновение новых характерных размеров и элементов симметрии, сопровождающее фрагментацию. Целью работы является построение модели, описывающей образование фрагментированных структур в упругопластическом металлическом теле, а также сам процесс деформирования в до- и запредельном режимах.

Для описания появления фрагментов с разориентацией решетки в модель вводится независимая переменная, описывающая ориентацию решетки в каждой материальной точке. Основным механизмом пластической деформации считается кристаллографический сдвиг. Движение материальной среды представляется течением материала сквозь кристаллическую решетку и движением (ротацией) самой решетки. Такая среда является континуумом Коссера, в которой требуется уравнение баланса моментов и определяющее соотношение, связывающее две новые переменные состояния – тензор моментов-пар, действующий на решетку, и тензор изгиба-кручения решетки.

Сформулированы геометрически нелинейные инкрементально-линейные определяющие уравнения для плоской монокристаллической моментной среды, связывающие решеточную коротационную производную тензора напряжений Коши с тензором относительных градиентов скоростей, а также решеточную коротационную производную тензора моментов-пар с градиентом спина решетки.

Записаны силовые и моментные уравнения равновесия в скоростях в текущей конфигурации, т. е. использован текущий лагранжев подход, удобный для анализа устойчивости. Методом Галеркина в сочетании с методом конечных элементов построен численный аналог модели. Решена задача осадки плоского изначально прямоугольного ортотропного тела при больших деформациях. В докладе обсуждаются результаты решения задачи. В настоящее время решается эволюционная задача с итерационной процедурой уточнения текущей конфигурации и поля скоростей.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00440).

Влияние шума на собственные хаотические свойства системы (Пермский государственный университет) При рассмотрении шума в системах, когда он описывается статистическими характеристиками, не всегда возможно определить механизм воздействия шума и отклик системы. В природе шум, как правило, представляет собой непредсказуемые колебания, подобные флуктуациям. Такое колебание на некотором отрезке времени всегда можно разложить в ряд Фурье. В связи с этим было бы разумно в качестве шума рассматривать гармоническое колебание, частота которого много больше собственных характерных частот системы. При этом, поскольку временные масштабы несоизмеримы, фаза шумовой гармоники не имеет принципиального значения и можно надеяться, что для исчерпывающей характеристики влияния шума будет достаточно его амплитудного спектра. Этот спектр уже можно усреднять по времени без ущерба для решения. Когда в хаотических динамических системах имеет место тонкая структура, интересно рассмотреть влияние шума именно в таком представлении.

В качестве динамической системы, на примере хаотических свойств которой рассматривается воздействие шума, использован математический маятник с движущейся точкой подвеса, участвующей в двух гармонических колебаниях:

вертикальном на частоте, близкой к первой частоте параметрического резонанса малых колебаний, и горизонтальном высокочастотном, которое играет роль шума.

Система исследовалась численно, интегрирование осуществлялось методом рядов Тейлора с удержанием большого числа слагаемых.

Исследованы хаотические свойства системы в отсутствие шума. Выяснен характер влияния шума, обнаружено, что он может вносить в поведение системы (в том числе и хаотическое) существенные качественные изменения.

Продемонстрирована обоснованность аппроксимации влияния шума через усредненные по времени инерционные силы. На первый взгляд это может показаться очевидным, однако, если учесть, что угловая скорость имеет высокочастотные пульсации, амплитуда которых сравнима с собственными характерными скоростями системы, адекватность усреднения инерционных сил по времени становится не столь очевидна. Поскольку осредненное описание шума все-таки себя оправдало, и влияние шума на осредненные характеристики свелось к созданию независящего от времени потенциала, у которого от амплитуды и частоты шума зависит лишь величина, но не форма, то для сложного шумового колебания, как и ожидалось, можно ввести аналогичный потенциал. Этот потенциал будет характеризоваться единственной интегральной характеристикой спектра шумовых колебаний.

Макроскопическая локализация деформации при растяжении монокристаллов металлов и сплавов К.В. Гончиков, С.А. Баранникова, М.В. Грехнева (Томск, Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, При обобщении результатов исследований деформационного поведения металлов и сплавов, выполненных с использованием спекл-интерферометрической методики, было установлено, что пластическое течение является локализованным на всех стадиях процесса, а формы локализации полностью определяются зависимостью коэффициента деформационного упрочнения от деформации на исследуемой стадии процесса. Показано существование четырех типов особенностей локализации деформации (движущийся фронт, подвижные и стационарные пространственно-периодические структуры, локализованный очаг деформации – предвестник разрушения). Все перечисленные данные получены на монокристаллических образцах сильно легированных, хотя и однофазных сплавов.

Выяснению, насколько данные закономерности справедливы при смене механизма деформации (скольжение, двойникование), а также для чистых металлов, посвящены настоящие исследования эволюции картин распределений локальных деформаций при растяжении. В работе использовали монокристаллы, выращенные методом Бриджмена из химически чистых Cu и Ni и стали Гадфильда (Fe-13% Mn– 0,93% C).

После гомогенизации полученных монокристаллических слитков на электроэррозионном станке вырезались образцы в форме лопатки с размерами рабочей части 3052 мм3. Стальные монокристаллы закаливали в воде после выдержки в 1 час при 1373 К; термическая обработка чистых металлов – отжиг в течение 1 часа при 1123 К, охлаждение с печью. При комнатной температуре образцы растягивались на испытательной машине “Instron - 1185” со скоростью 1,210 –4 с-1. Начиная с предела текучести и вплоть до разрыва (через 0,2% общей деформации), методом спекл-интерферометрии производилась регистрация полей векторов смещений на фронтальной поверхности исследуемых образцов. На деформационных кривых Ni и Cu отчетливо выделяются три характерные для гранецентрированных монокристаллов стадии упрочнения. В монокристаллах стали Гадфильда, в зависимости от выбора ориентации оси растяжения, возможна смена механизма деформации от скольжения к двойникованию, на деформационных кривых стадия параболического упрочнения отсутствует. На примере распределений локальных удлинений показано, что на стадии легкого скольжения наблюдается перемещение уединенного деформационного фронта. На стадии линейного упрочнения происходит движение трех-четырех локализованных зон деформации с постоянной скоростью. При этом установлена обратно пропорциональная зависимость скорости самосогласованного движения деформационных зон при растяжении монокристаллов стали Гадфильда, Cu и Ni от коэффициента деформационного упрочнения. Это правило справедливо для ранее исследованных металлов и сплавов. Общий вид и количественные параметры эволюции картин локализации пластического течения указывают на связь данного процесса с самоорганизацией дефектной подсистемы в деформируемой среде.

Численно-экспериментальное исследование стадии закритического деформирования композиционных материалов при квазистатическом нагружении (Пермский государственный технический университет) Под стадией закритического деформирования подразумевается явление роста деформации при падении напряжения. Стадия закритического деформирования на диаграмме растяжения иллюстрируется ниспадающей практически до нулевого значения напряжений ветвью. Жесткость испытательной машины оказывает свое влияние на процесс разрушения элементов структуры материала на стадии, соответствующей ниспадающему участку диаграммы, поэтому разрушение образца при испытаниях может произойти в любой точке диаграммы деформирования на закритической части. Устойчивость процесса разупрочнения в значительной степени зависит от условий нагружения, которые влияют на скорость накопления повреждений в материале. По результатам экспериментов дисперсно-упрочненных композиционных материалов КМ-4 и КМна основе порошковой меди при квазистатическом и циклическом нагружении с варьируемой амплитудой получены диаграммы деформирования с ниспадающей ветвью. Для исследуемого материала предельные деформации при обеспечении условий равновесного роста микродефектов могут, как минимум, в 4 раза превышать значения деформации, соответствующей пределу прочности материала.

По результатам микросканирования, проведенного с разрушенными образцами, можно сделать вывод о стохастической волокнистой структуре материалов КМ-4 и КМ-25. Проведенные эксперименты на одноосное растяжение образцов из прессованного текстолита, стеклотекстолита, имеющих стандартные форму и размеры, а также растяжение стеклопластиковых колец NOL–методом на разрывных машинах с гидравлическим и кинематическим приводом с различной жесткостью показывают, что достаточный уровень жесткости испытательной машины является одним из условий правильной регистрации ниспадающей ветви диаграммы деформирования. Композиционные материалы являются структурнонеоднородными средами, что обуславливает существенную неоднородность полей напряжений. Достижение фазы закритического деформирования приводит к еще более выраженной неоднородности. Возникает проблема достоверности экспериментальных данных. Для ограничения влияния геометрической формы образца на правильную регистрацию диаграммы деформирования используется расчетно-экспериментальный метод построения диаграмм деформирования. По результатам последовательных итераций выбирается форма образца, при которой с заданной точностью совпадают экспериментальная и численная диаграммы.

Работа выполнена при финансовой поддержке по гранту РФФИ–Урал № 01Резонансное возбуждение инерционных волн во вращающейся стратифицированной жидкости (Пермский государственный университет) В равномерно вращающейся как целое идеальной несжимаемой жидкости, как известно, могут распространяться внутренние волны, происхождение которых связано с возникающими при вращении кориолисовыми силами. В настоящей работе исследовалась возможность резонансного возбуждения этих волн под влиянием вибраций.

Решение задачи о поведении возмущений равномерно вращающейся как целое несжимаемой жидкости в вибрационном поле, направленном вдоль оси вращения, показало, что в однородной жидкости вибрации не вносят изменений в характер распространения волн, а приводят лишь к осцилляциям давления.

Резонансное поведение внутренних волн было обнаружено при решении аналогичной задачи для случая стратифицированной жидкости. Было показано, что характер неустойчивости не зависит от длины волны, но сильно зависит от направления ее распространения в пространстве. Численно была определена область параметров, соответствующих ограниченным решениям для всех направлений волнового вектора.

стратифицированной жидкости также были проведены применительно к реальной жидкости, для которой, в целом, механизм резонансного возбуждения остался неизменным. Влияние трения существенно проявилось в том, что область параметров, соответствующих ограниченным решениям, для всех направлений распространения колебаний оказалась шире, в сравнении с областью устойчивости для идеальной жидкости.

Системный анализ уравнений пространственной задачи несимметричной теории упругости в перемещениях (Пермская государственная сельскохозяйственная академия) Предметом рассмотрения является системный анализ двух взаимосвязанных уравнений несимметричной теории упругости в перемещениях, приведенных в монографии В. Новацкого «Теория упругости». Из первого уравнения находим, что лапласиан дивергенции вектора смещения, как и в классической теории упругости, равен нулю. Из второго уравнения следует, что лапласиан дивергенции вектора поворота Ф пропорционален дивергенции этого вектора (свойство А).

Коэффициент пропорциональности равен эквивалентного преобразования исходной системы первое уравнение приводится к виду где L — дифференциальный оператор Ламе. Взяв оператор Лапласа от второго уравнения и используя (1), мы получаем возможность в окончательном результате снять введенный ранее оператор Лапласа. В итоге получаем зависимость:

Подставляя (2) в (1), получаем представление Сравнивая (1) с (3) и используя свойство А, находим, что должна выполняться следующая зависимость между постоянными исходной системы:

Эта зависимость была до сих пор неизвестна. Она является данью за совместность системы двух основных уравнений. В докладе проведен системный анализ методов решения однородного уравнения (2) и неоднородного уравнения (1) или (3).

Численное моделирование вибрационно-конвективных течений Конвективные движения в полости, имеющей форму параллепипеда, одна из сторон которого много меньше двух других сторон (ячейка Хеле – Шоу), являются объектом как теоретических, так и экспериментальных исследований [1]. В данной работе рассматривается подогреваемая снизу вертикальная ячейка Хеле – Шоу с соотношением сторон 1:10:20 при наличии высокочастотных (неакустических) вибраций. Данное ограничение позволяет использовать для теоретического описания конвективных движений уравнения термовибрационной конвекции в приближении Зеньковской и Симоненко. На основе этих уравнений численно и аналитически производится расчет вибрационно-конвективных течений в случае воздействия продольных горизонтальных вибраций. Ранее задача в подобной постановке без учета силы тяжести рассматривалась в [2] с помощью метода конечных разностей.

Система нелинейных уравнений вибрационной конвекции (в приближении плоских траекторий) сводилась к уравнениям в терминах функций тока и температуры, которые методом Галеркина – Канторовича приводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям для амплитуд. В качестве базисных использовались тригонометрические функции (для температуры и "пульсационного" поля - 12, для функции тока - 9). Из полученной системы уравнений была выделена замкнутая триплетная подсистема, которая отличалась от классического триплета Лоренца наличием дополнительного слагаемого, характеризующего осредненное вибрационное воздействие, что позволило аналитически построить стационарные решения для разных значений вибрационного числа Рэлея. Чтобы проследить эволюцию системы (выход полей функции тока и температуры на стационарные значения и изучить колебательные режимы конвекции), триплетная подсистема была исследована численно с помощью стандартной подпрограммы решения дифференциальных уравнений Рунге – Кутта – Фельдберга 4-5-го порядков точности. В качестве языка программирования использовался Fortran-90 Power Station. По результатам расчетов были построены изолинии осредненных полей функции тока и температуры для разных значений числа Прандтля и вибрационного числа Рэлея, а также графики зависимости максимального значения функции тока от вибрационного числа Рэлея при разных числах Рэлея. Оказалось, что для всех фиксированных значений числа Рэлея интенсивность конвективных течений уменьшается с ростом вибрационного числа Рэлея, т.е. продольные вибрации подавляют конвективные движения в ячейке Хеле – Шоу.

Библиографический список 1. Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. О конвективных движениях в ячейке Хеле – Шоу // Докл. АН СССР. - 1977. №3. С. 554-556.

2. Браверман Л.М. О вибрационной тепловой конвекции в ячейке Хеле – Шоу //Конвективные течения: Сб. науч. тр. /Перм.гос.пед.ин-т. Пермь, 1989. С. 73-78.

Исследование случайных полей структурных напряжений и деформаций двухфазных композитов со сферическими и эллипсоидальными включениями (Пермский государственный технический университет) Исследуются случайные поля структурных модулей упругости, напряжений и деформаций в задачах о деформировании матричных композитов со сферическими и эллипсоидальными включениями.

Получено решение методом функций Грина в полном корреляционном приближении стохастической краевой задачи теории упругости для структурнонеоднородных сред. При вычислении статистических моментов полей напряжений и деформаций используются аппроксимации моментных функций структурных модулей упругости второго и третьего порядков.

Проведено исследование геометрии статистически однородных изотропных полей структурных модулей упругости. Синтезированы (методом Монте – Карло) разреженные структуры со сферическими и эллипсоидальными включениями равного размера, для которых в численном эксперименте построены моментные функции модулей упругости второго и третьего порядков. Установлены качественные различия в характере затухания моментных функций, соответствующие структурам со сферическими и эллипсоидальными включениями.

Проанализировано влияние объемной концентрации, формы и ориентации включений на вид моментных функций. Предложено общее выражение для аппроксимации моментных функций структурных модулей упругости для композитов с различным объемным содержанием, в котором производится нормирование аргумента на величину среднего расстояния между включениями.

Получены новые численные результаты о полях напряжений и деформаций для пористого материала с малым объемным содержанием при заданных условиях нагружения (например, чистом сдвиге, одноосном растяжении, чистом формоизменении). Вычисленные дисперсии напряжений и коэффициенты вариаций напряжений в матрице качественно совпадают со значениями, полученными ранее другими авторами.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ №01-1-96488) и Минобразования РФ (НТП «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники») Итерационные алгоритмы расчета шара с центральной зоной из повреждающегося материала при равномерном растяжении (Екатеринбург, Институт машиноведения УрО РАН) Рассматривается задача растяжения шара, состоящего из двух областей с разными свойствами: внутреннего шара, материал которого характеризуется нелинейной диаграммой деформирования в координатах объемное напряжение – объемная деформация, и окружающей его упругой толстостенной сферы.

Нагружение осуществляется заданием на границе радиального перемещения (жесткое нагружение), либо всестороннего растягивающего усилия (мягкое нагружение).

Формально нелинейную зависимость напряжений от деформаций материала внутреннего шара можно записать двумя способами, соответствующими двум вариантам возможной разгрузки: с образованием псевдопластической деформации или без такового. Для обоих случаев разработаны итерационные процедуры расчета деформированного состояния. Рассмотрим сначала вариант с отсутствием повреждаемости. В этом случае исходная задача разбивается на основную и корректирующую, сумма решений которых дает решение исходной задачи. Сперва для заданного параметра нагружения находим решение основной (упругой) задачи.

Затем для найденного решения по диаграмме деформирования находим псевдопластическую деформацию внутреннего шара и решаем корректирующую задачу по определению деформированного состояния. Сумма полученных решений есть первое приближение к решению исходной задачи. Далее вновь находим соответствующую ему псевдопластическую деформацию внутреннего шара и решаем корректирующую задачу. Процесс повторяем нужное число раз.

Показано, что для восходящей ветви диаграммы деформирования сходимость гарантирована. Если же материал внутреннего шара перешел на падающую ветвь диаграммы, то сходимость зависит от радиусов шаров, от коэффициента Пуассона материала и крутизны падающей ветви. Причем при жестком нагружении расходимость наступает при большем отрицательном наклоне диаграммы, чем при мягком нагружении.

В другом случае (повреждаемость в отсутствие псевдопластической деформации) в качестве первого приближения берем чисто упругое решение. Для него по диаграмме деформирования вычисляем первое приближение для повреждаемости и решаем задачу растяжения неоднородного шара, состоящего из двух упругих областей с разными модулями объемного растяжения. Решение данной задачи получено из условия минимума потенциальной энергии. Затем определяем следующее приближение к повреждаемости и повторяем всю процедуру. Условия сходимости итераций совпадают в обоих случаях.

Исследование механизма пространственно-временной А.И. Зайцев, А.А. Куркин, Е.Н. Пелиновский (Нижегородский государственный технический университет) Как известно, неровности океанического дна могут захватывать крупномасштабные поверхностные волны типа цунами, приводя к их волноводному распространению. Интерес к захваченным волнам велик прежде всего, потому, что такие волны затухают при прочих равных условиях медленнее из-за волноводного характера их распространения. Имеются многочисленные данные наблюдений реальных цунами, интенсивность которых нельзя объяснить без привлечения теории захваченных волн. Так, Ishi и Abe полагают, что проявления наиболее разрушительного для России Камчатского цунами 4 октября 1952 г. на побережье Японии обусловлены именно захваченными волнами, и приводят соответствующие расчеты времен добегания волны цунами. С помощью захваченных волн легко объясняется также неравномерность изменения высоты волны вдоль побережья.

Структура возможных захваченных баротропных волн над неровным дном при различных условиях подробно описана рядом авторов (например, Ле Блон и Майсек). Наиболее подробно обычно изучаются кинематические свойства таких волн, связанные с их дисперсионными соотношениями, поскольку последние определяются из наблюдений с помощью спектрально-временного анализа. Более трудной задачей является нахождение фоновой энергетики захваченных волн, так как необходимо знать их источники и стоки на достаточно больших акваториях, что весьма трудно сделать из данных наблюдений. Наиболее популярными моделями возбуждения фоновых захваченных волн являются атмосферные факторы: вариации атмосферного давления и ветрового напряжения. Такие модели применяются, как правило, для описания средних (многодневных) характеристик отклика океана на атмосферные возмущения. В качестве импульсных источников рассматриваются как сейсмические очаги (для волн цунами, возникающих при землетрясении), так и кратковременные возмущения атмосферы (так называемые метеоцунами). Обычно рассматривается однократное воздействие на поверхность океана, приводящее к возникновению уходящих от очага свободных волн.

Многократное воздействие в течение относительно небольшого промежутка времени может приводить к суперпозиции и взаимодействию индивидуальных волн, вызывая аномально большие волны. Такие процессы для захваченных волн еще не изучались.

В данной работе механизм пространственно-временной фокусировки волн Стокса изучается в рамках линейного приближения. Показано, что аномально большая волна пространственно локализована, и предложен простой способ ее нахождения. Обсуждаются свойства волнового пакета, состоящего из чередования локализованных пятен разной полярности, вдали от фокальной области, а также условия фокусировки, приводящие к возникновению аномально больших волн.

Е.А. Залазинская, М.С. Мокроусова, А.С. Шевченко (Екатеринбург, Уральский государственный технический университет, Осуществлено математическое моделирование глубокого проникания в испытывающую гармонические колебания идеально-упругопластическую среду твердой частицы, имеющей сферическую форму. Для определения закона движения твёрдой частицы в данной среде использован принцип виртуальных скоростей и напряжений и феноменологическая теория разрушения, разработанные В.Л. Колмогоровым с сотрудниками. При решении краевой задачи предполагалось, что вокруг движущейся частицы образуется локализованная вокруг нее и движущаяся вместе с частицей область пластического течения, ограниченная поверхностью сильного разрыва. Напряжённое состояние в окрестности частицы представили как суперпозицию упругого и пластического решений соответствующих краевых задач механики сплошной среды. В сферической системе координат, связанной с центром движущейся частицы, для области упругопластического течения введены кинематически допустимое поле скоростей и статически возможное поле напряжений. Границы области определены из решения соответствующей вариационной задачи. Показано, что радиус области упругопластического течения не превышает двух радиусов частицы и несущественно зависит от ее ускорения (замедления). Определены траектории движения частиц среды в области пластического течения, накопленная деформация частиц и зависимость коэффициента напряженного состояния от координат. Это позволило применить феноменологическую теорию разрушения. Вокруг частицы в области пластического течения обнаружена зона, насыщенная микродефектами сплошности деформируемой среды. Введена связь между поврежденностью частиц среды и механическими свойствами (пределом текучести материала при сдвиге).

Показано, что поврежденность среды, сопутствующая процессу пластической деформации, может существенно увеличивать глубину проникания частицы в сплошную среду. Полученные результаты сравнили с известными решениями задач о вдавливании штампов в пластическое полупространство.

Работа выполнена под руководством В.Л. Колмогорова.

Моделирование структур зернистых композиционных (Пермский государственный технический университет) С целью более точного описания механического поведения элементов конструкций, находящихся под действием различных нагрузок, ставится нелинейная задача механики деформирования и разрушения структурнонеоднородных тел с учетом процессов накопления повреждений.

В работе нелинейная краевая задача механики деформирования и разрушения решается для зернистых композиционных материалов.

Представителями этого класса материалов являются некоторые виды горных пород, спеченные стали и керамики. Особенность таких материалов состоит в том, что их пористая внутренняя структура представляет множество зерен, имеющих различные размеры и форму. Поэтому необходимо рассмотреть зависимость механического поведения элементов конструкции при неупругом деформировании от некоторых параметров внутренней структуры зернистых композитов (пористости, размеров и формы анизотропных зерен, их ориентации в пространстве).

На первом этапе моделирования процессов деформирования и разрушения структурно-неоднородной среды ставится задача генерирования случайной структуры рассматриваемого зернистого композита. Разработан алгоритм и на его основе получены результаты создания структур материалов, состоящих из анизотропных зерен различных размеров, формы и ориентации, по заданным законам статистического распределения структурных геометрических параметров.

Работа проводится при финансовой поддержке по гранту РФФИ-Урал №01Исследование течений в плоских каналах (Ижевск, Институт прикладной математики УрО РАН) Представлены результаты численного моделирования течений сжимаемого вязкого газа в прямых каналах с различным расположением участка подвода массы.

Исследования выполнены на основе численного интегрирования уравнений Навье – Стокса с использованием разностных схем высокого порядка точности.

Показано, что при низких числах Рейнольдса всегда имеет место установившийся режим течения, параметры которого не зависят от начальных данных. Определена длина области перехода к симметричному течению при несимметричном расположении входного отверстия.

При высоких числах Рейнольдса стационарное течение в каналах не наблюдалось. Происходило зарождение вихревых структур, их взаимодействие между собой – слияние, дробление, и влияние на ядро потока. Исследованы характер пульсаций давления в различных точках канала и их связь с динамикой вихревых структур.

Электростимулированная малоцикловая усталость В.В.Коваленко1, Э.В. Козлов2, О.В. Соснин1, С.В. Коновалов1, В.Е. Громов (Новокузнецк, Сибирский государственный индустриальный университет1, Томский государственный архитектурно-строительный университет2) В настоящей работе выяснена природа повышения выносливости стали 08Х18Н10Т при малоцикловых усталостных испытаниях под действием мощных токовых импульсов плотностью до 500 МА/м2 в течение 30 секунд.

Эффект улучшения свойств стали при электростимулировании во многом связан с природой зарождения и развития микро- и макротрещин.

Электростимулирование приводит к повышению характеристик усталостной прочности стали. Пробег трещины за цикл испытаний в исходных образцах больше, чем в стимулированных. Это соответствует увеличению живучести материала при электростимулировании из-за повышения вязкости разрушения.

Электростимулирование не изменяет места зарождения трещин (как и в исходном образце ими являются внутрифазные и межфазные границы раздела), но уменьшает их количество. Электростимулирование приводит к увеличению размеров и объемной доли частиц карбидных фаз (за счет ухода углерода с дефектов структуры и из твердого раствора) и уменьшению объемной доли кристаллов мартенсита.

Микромеханизмы электропластификации при усталостном малоцикловом нагружении аустенитной стали 08Х18Н10Т заключаются: а) в протекании процессов измельчения крупных зерен и рассеяния их структурной текстурой; б) в изменении кинетики самоорганизации дислокационной субструктуры; в) в инициировании распада твердого раствора с выделением частиц карбида титана.

Итогом всей совокупности процессов является резкое уменьшение плотности возможных мест зарождения микротрещин в электростимулированной аустенитной стали. Вся совокупность этих процессов сдвигает разрушение к более высокому числу циклов нагружения.

Простейший механизм возникновения аномально высоких волн Кельвина в шельфовой зоне океана А.С. Козелков, А.А. Куркин, Е.Н. Пелиновский (Нижегородский государственный технический университет) Явление возникновения аномально высоких волн на поверхности жидкости, когда один или два гребня неожиданно возникают зачастую во время штиля и также неожиданно исчезают, характерно для многих областей Мирового океана.

Процессы, приводящие к их генерации, хорошо известны для ветровых волн в океане. Конечно, математическое описание мелкомасштабных ветровых волн в целом отличается от описания крупномасштабных волновых движений в океане.

Между тем, в принципиальном плане и здесь, и там имеет место эквивалентность физических процессов: наличие дисперсии волн на воде, выход волн за пределы зоны генерации и т.п. Теория ветровых волн на воде разработана достаточно хорошо ввиду ее практической значимости. Здесь наряду с прогнозом средних характеристик ветрового поля весьма важно рассчитать возможные аномалии волнового поля, приводящие к генерации экстремально больших волн. Такие волны получили в русском языке название волн-убийц, на английском языке используются термины: freak или rogue waves. Главным свойством таких волн является неожиданность их появления на фоне достаточно спокойного моря и, связанная с этим, неготовность экипажей кораблей к встрече аномально высоких волн, что привело к многочисленным авариям кораблей и жертвам среди экипажа.

Особенно много таких случаев наблюдалось у берегов Южной Африки. В последнее время интерес к волнам-убийцам значительно возрос после участившихся случаев их регистрации с нефтяных платформ в море, что может привести к разрушению платформ и загрязнению моря нефтепродуктами.

Достаточно сказать, что в 1995 году на нефтяной платформе в Северном море зарегистрирована волна с рекордной в 26 м высотой. Важность прогноза экстремальных волн вызвала обилие теоретических моделей, учитывающих механизмы взаимодействия волн с течениями, нелинейной самомодуляции волновых пакетов, пространственно-временной фокусировки волн.

Очевидно, что почти все эти механизмы могут проявляться и для кельвиновских волн в шельфовой зоне океана, приводя к генерации аномально больших волн; однако такие явления, насколько нам известно, вообще еще не обсуждались. Целью настоящей работы является рассмотрение простейшего механизма возникновения аномально высоких волн Кельвина, основанного на механизме дисперсионного сжатия волновых пакетов, связанного с дисперсией волн на воде. Предложен метод нахождения волновых пакетов, эволюция которых приводит к возникновению волн-убийц. Эффект образования аномальных кельвиновских волн демонстрируется для двумерных волн на воде в присутствии случайного поля ветровых волн.

Однократное взаимодействие волн с упруго-инерционным закреплением, движущимся вдоль двухмерной системы (Нижегородский государственный университет) Проблема однократного взаимодействия волн с движущимися препятствиями давно привлекает внимание исследователей в различных областях физики. В начале века она была тесно связана с такими фундаментальными проблемами, как специальная теория относительности, открытие давления света, квантовая теория излучения. Успехи, достигнутые в последние пятнадцать лет применительно к задачам динамики упругих систем с движущимися нагрузками и закреплениями, позволяют физически и математически корректно поставить задачу о преобразовании энергии волн в энергию поступательного движения объекта.

В связи с этим рассматривается взаимодействие падающей плоской монохроматической волны с упругоинерционным закреплением, движущимся вдоль мембраны, лежащей на упругом основании. Получены выражения для частот и волновых чисел вторичных волн (отраженных и прошедших), а также исследованы качественно различные режимы поведения системы в зависимости от скорости движения нагрузки. Дана геометрическая интерпретация задачи кинематики. Исследованы зависимости амплитуд возбуждаемых волн и постоянной составляющей силы реакции со стороны мембраны от параметров объекта. Найдены условия полного прохождения и полного отражения волн.

Энергия падающей волны переходит в потенциальную и кинетическую энергии движущегося объекта, а затем передается мембране, то есть объект служит как бы переизлучателем, и на этот процесс затрачивается время, которое было рассчитано.

Найдены частотно-энергетические соотношения, характеризующие процесс взаимодействия. Приводится пример использования их для определения коэффициента преобразования энергии волн в энергию поступательного движения закрепления (КПД). Построена зависимость КПД от скорости движения объекта и параметров двумерной системы.

Работа выполнена в рамках программы “Интеграция” под руководством к.ф.м.н., доцента Е.Е. Лисенковой.

Конечно-элементная реализация двухмерных задач (Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН) Для несимметричной теории упругости рассмотрены алгоритм и результаты решения двумерных краевых задач методом конечных элементов.

В качестве конечного элемента выбран треугольный элемент с квадратичной аппроксимацией вектора перемещений и линейной аппроксимацией вектора поворота.

Апробация разработанного алгоритма проводилась на двухмерных задачах, имеющих аналитические решения. В численном эксперименте установлена сходимость численного решения к аналитическому при увеличении степени дискретизации расчетной области. Аналитические решения, полученные в работе **, рассматриваются с позиций возможности использования их в эксперименте по идентификации упругих параметров среды Коссера.

Разработанный алгоритм ориентируется на рассмотрение вариантов экспериментов, преследующих названную цель. Для этого решен ряд задач, например, задача о растяжении пластины с несколькими круговыми отверстиями.

Показано, что в отличие от задачи с одним отверстием, имеющей аналитическое Весницкий А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенных параметрических систем // Учебное пособие. Часть 1. Горький: Изд-во ГГУ, 1997.

Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера // Новосибирск, 2001, №4.

решение, при увеличении числа отверстий и при одних и тех же модельных упругих постоянных увеличивается различие моментного и классического решений. Также реализована задача о растяжении пластины с трещиной.

Установлено, что раскрытие трещины, полученное на основе несимметричной теории упругости, больше чем в классическом упругом решении. С увеличением размера трещины это различие уменьшается.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 99-01-00240).

К вопросу о физическом обосновании эндохронной теории (Пермский государственный технический университет) Эндохронная теория пластичности была предложена К. Валанисом в начале 70-х годов прошлого века как упрощенный вариант функциональной теории пластичности, позволяющей описывать весь процесс деформирования одним соотношением, без разделения на упругую и пластическую стадии. Результатом критики первоначального варианта эндохронной теории явилось ее усовершенствование, позволившее получать достаточно точное количественное и качественное описание большинства эффектов сложного упругопластического деформирования металлов.

Важнейшим параметром эндохронной теории является так называемое внутреннее время – аналог физического времени для процессов упругопластического деформирования. Существующие на данный момент варианты определения внутреннего времени лишены подробного физического анализа. Данная работа посвящена попытке физического осмысления и переопределения внутреннего времени в соответствии с полученным физическим обоснованием. Основным направлением исследования является поиск связей эндохронной теории с существующими макрофеноменологическими, физическими, и статистическими теориями.

Численное решение физически нелинейных краевых задач механики закритического деформирования (Пермский государственный технический университет) Моделирование процессов закритического поведения материалов является важной задачей механики, поскольку дает возможность более точно описывать процессы, проходящие в материале на этом этапе деформирования, и элементом совершенствования методик прочностного анализа элементов конструкций.

В работе проводится исследование процессов неупругого деформирования однородной изотропной области с вырезом, находящейся в условиях плоского напряженного и деформированного состояния. На основе численного решения краевых задач механики деформируемого твердого тела при пошаговом нагружении рассматриваются процессы возникновения и развития зон пластичности и зон закритического деформирования, соответствующих ниспадающему участку на диаграмме деформирования материала. Моделирование процессов осуществлялось с помощью метода конечных элементов и итерационного метода решения физически нелинейных краевых задач – метода переменных параметров упругости.

В ходе вычислений осуществляется построение картин распределения напряжений, зон пластичности и деформационного разупрочнения. Анализируются вопросы приспособления элементов конструкций, устойчивости процессов закритического деформирования и формирования условий потери несущей способности.

Работа выполнена при финансовой поддержке по гранту РФФИ–Урал № 01Влияние стоячей акустической волны на возникновение Рассматривается влияние стоячей акустической волны на возникновение крупномасштабной конвекции в горизонтальном слое, подогреваемом снизу.

Акустическое поле скорости параллельно твердым границам. Теплопроводность окружающего массива мала по сравнению с теплопроводностью жидкости.

В работе используются осредненные уравнения термоакустической конвекции [1]. Оказывается, что в данной постановке задачи акустическая волна не приводит к возникновению средних массовых сил, а все ее влияние заключается в генерации так называемого акустического течения [2]. Как известно, это течение можно учесть с помощью эффективных граничных условий, в наиболее общем виде приведенных в [1].

В предельном случае, когда длина акустической волны значительно больше толщины слоя, определено основное состояние: поля осредненной скорости и температуры. Течение имеет вид валов, продольный размер которых вдвое меньше длины акустической волны. На толщине слоя укладываются два вала с противоположным знаком завихренности. Вертикальный компонент скорости и добавка к теплопроводному распределению температуры малы по сравнению с продольным компонентом в меру малости отношения размеров вала.

Интенсивность акустического течения характеризуется числом Пекле.

Задача устойчивости данного течения рассмотрена в длинноволновом пределе. Получено амплитудное уравнение, описывающее возникновение крупномасштабной конвекции; показано, что оно не имеет непрерывных ограниченных решений. Это означает, что акустическое течение конечной амплитуды приводит к резкому усилению конвекции, что не позволяет применить теорию возмущений вблизи порога устойчивости.

С использованием закона теплоотдачи Ньютона учтена слабая теплопроводность границ (число Био является малым). В этом случае амплитудное уравнение можно привести к уравнению Хилла, для исследования которого применялась теория Флоке [3]. Задача изучена аналитически в пределе слабой акустической волны и численно для произвольных чисел Пекле. Обнаружены ограниченные решения амплитудного уравнения, показано, что акустическая волна приводит к повышению порога возникновения конвекции.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 00-01-00450а) Библиографический список:

1. Любимов Д.В. //Изв. РАН. МЖГ. – 2000. №2. С.28-36.

2. Ниборг. Акустические течения // Физическая акустика. Т. 2. Ч. Б. М.: Мир, 1969.

С.302-377.

3. Найфэ А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984. – 535 с.

Численное моделирование аккумуляции частиц взвеси Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН) В экспериментах Д. Швабе было обнаружено явление аккумуляции частиц взвеси в потоке жидкости, заключающееся в том, что частицы могут полностью уходить из одних участков потока и собираться в других. В результате такого перераспределения частицы формируют определенного рода структуры, зависящие от свойств течения. Целью настоящей работы является построение теоретической модели данного явления. В качестве исходной принята двухжидкостная модель Нигматулина. Считается, что частицы сферические и не взаимодействуют между собой, а взаимодействие жидкой и твердой фаз происходит по закону Стокса.

Полагается также, что объемная концентрация частиц мала, а оседанием можно пренебречь. Исходная модель упрощается до одножидкостной. При этом скорость жидкой фазы определяется соответствующим уравнением движения, а скорость твердой фазы выражается через скорость жидкости: она складывается из скорости жидкости и малого слагаемого, учитывающего возможность относительного движения фаз и обеспечивающего наличие стоков в поле скорости твердой фазы вследствие учета инерционных слагаемых. Уравнение переноса частиц сохраняет обычный вид и записывается в консервативной форме.

Адекватность полученной модели проверена при решении тестовой задачи об эволюции из однородного состояния частиц взвеси в квадратной полости, находящейся в статическом поле тяжести и нагреваемой сбоку. Полученная система уравнений с граничными условиями интегрировалась численно методом конечных разностей. Для нахождения скоростей фаз применялся двухполевой метод. Значения завихренности на твердых границах получались по формуле Тома.

Использовалась разнесенная сетка. Уравнение переноса решалось с помощью улучшенного алгоритма второго порядка, использующего идеи метода распространения волн. Вычисление потоков на границах ячеек проводилось с применением ограничителей. Расчеты показали, что в том случае, когда плотность частиц больше плотности жидкости, частицы сносятся из центра полости к периферии, образуя тонкое кольцо вблизи границ конвективного вихря. В случае же, когда жидкая фаза плотнее твердой, частицы мигрируют с периферии и локализуются в центре вихря. Установление этих состояний происходит тем быстрее, чем больше разность плотностей фаз.

Об эквивалентности векторных полей и непрерывном Рассматриваемые на практике математические модели, имеющие вид однопараметрических групп, являются решениями систем нелинейных дифференциальных уравнений, и отыскание их в явном виде затруднительно.

Поэтому доказательство непрерывного изоморфизма однопараметрических групп, являющихся математическими моделями, можно основывать на теореме об эквивалентности векторных полей и непрерывном изоморфизме задаваемых ими однопараметрических групп.

Дадим сначала определение эквивалентности векторных полей.

Определение: векторные поля V1 и V2 заданные на векторных пространствах X и Y называются эквивалентными, если X и Y изоморфны и существует диффеоморфизм f X на Y такой, что где g – изоморфизм X на Y, а h – производная f.

Теперь сформулируем основной результат об эквивалентности векторных полей и непрерывном изоморфизме задаваемых ими однопараметрических групп.

Теорема. Однопараметрические группы эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны задающие их векторные поля.

Доказательство. Из теоремы о действии диффеоморфизма на векторное поле *, очевидно, следует, что существует диффеоморфизм одной однопараметрической группы на другую и легко проверить, что он сохраняет операцию.

Таким образом, для доказательства непрерывного изоморфизма однопараметрических групп достаточно показать эквивалентность соответствующих векторных полей. Разрешив (1) относительно h, доказав, что X и Y изоморфны и существует диффеоморфизм X на Y такой, что его производная равна h, получим эквивалентность исследуемых векторных полей.

На основании вышеизложенного можно предложить следующий алгоритм для доказательства непрерывного изоморфизма однопараметрических групп, задаваемых нелинейными дифференциальными уравнениями:

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука; Физматлит, 1984. – 271 с.

От двухмерного вещественного векторного поля переходим к одномерному комплексному вида w(z)=azz+b. Так, для него легко проверяются существование, и обратимость первообразной отображения h, то из представимости исследуемых полей в таком виде следует их эквивалентность.

К сожалению, этот алгоритм применим только для двухмерных однопараметрических групп, задаваемых векторными полями, являющимися диффеоморфизмами, и дает только достаточное условие их непрерывного изоморфизма.

Оценка спектра матрицы инцидентности случайного графа для определения порога квантовой перколяции (Астраханский государственный педагогический университет) Возникновение перколяционного кластера еще недостаточно для появления проводимости, т. к. электронные состояния могут быть локализованными. Это некоторый аналог андерсоновской локализации, но критические показатели здесь другие. Появление делокализованных состояний на перколяционном кластере и называется квантовой перколяцией. Утверждается, что в двухмерном случае порог квантовой перколяции равен 1, т.е. волновые функции остаются локализованными, пока перколяционный кластер не займет весь кристалл. Критическая концентрация примесей, при которых происходит переход от локализованных к делокализованным состояниям, называется порогом квантовой перколяции, который выше порога обычной перколяции [1].

С математической точки определение порога квантовой перколяции сводится к исследованию спектра собственных значений гамильтониана.

Гамильтониан, в свою очередь, можно рассматривать как матрицу инцидентностей некоторого случайного графа. В последнее время проводятся интенсивные исследования, направленные на определение спектра собственных значений матрицы инцидентностей различных случайных графов [2,3,4].

Особый интерес представляет задача об оценке порога перколяции в смешанной задаче (задаче узлов и связей). Такая задача возникает, например, при исследовании альтернантных систем – бинарных систем, в которых атомы различных сортов чередуются. Математической моделью кристаллической решетки альтернантной системы является двудольный граф.

Подход, позволяющий оценить спектр собственных значений двудольного графа, был предложен в [5] и развит в [6]. Дополнительную информацию о спектре собственных значений можно получить с использованием кругов Гершгорина [7].

Библиографический список:

1. Stauffer D., Aharony A. Introduction to percolation theory. 2nd Edition. – London, Washington, DC: Taylor & Francis, 1992.

2. Bauer M., Golinelli O. Random incidence matrices: moments of spectral density //Preprint T00/088; cond-mat/0007127.

3. Bauer M., Golinelli O. Random incidence matrices: spectral density at zero energy //Preprint Spht 00/087; cond-mat/0006472.

4. Bauer M., Golinelli O. On the kernel of tree incidence matrices //Journal of Integer Sequences. Vol. 3 (2000). Article 00.1.A 5. Coulson C. A., Longuet-Higgins H. C. The electronic structure of conjugated systems.

I General theory // Proc. Roy. Soc. 1947. V. 191. Sec. A, N 1024. P. 39-60.

6. Ребане Т. К. Спектр энергии электронов в неупорядоченных альтернантных структурах// ФТТю – 1986. – Т. 28. – № 5. – С. 1368-1369.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

Применение метода крупных частиц для моделирования кавитационных течений в гидромеханических системах (Новосибирск, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева) Была проведена адаптация и оптимизация метода крупных частиц для двухмерного моделирования течений жидкости, содержащей пузырька газа. В качестве базовой модели используется модель пузырьковой среды Иорданского Когарко. Предлагаемый подход позволяет рассчитывать динамику формирования кавитационных течений и пакета ударных волн в двухфазных газожидкостных средах. Кроме того, была формализована постановка начально-краевой задачи, что позволило существенно облегчить проведение численного эксперимента. Область применения метода ограничивается объемными концентрациями пузырьков ~ 10% (ограничения модели), что, однако, допускает ее использование как при моделировании начальных стадии зарождения кавитационных ядер вихрей при формировании отрывной стадии кавитационных течений в докритическом режиме обтекания, так и для моделирования процессов отражения импульсов сжатия и разрежения от свободной поверхности или твердой стенки. Количественных сравнений с экспериментом не проводилось, однако результаты расчета лобового столкновения двух ударных волн в воде с 1%-ным содержанием газа полностью совпадают с результатами работы.

Программно реализованный алгоритм позволяет моделировать открытие и закрытие арматуры по заданному закону, что дает возможность отслеживать динамику формирования гидравлических ударов в газожидкостных системах, где время открытия и закрытия заслонок порядка времени прихода отраженных волн.

Моделируются плоские и аксиальносимметричные каналы произвольного профиля при произвольном законе изменения давления или вектора скорости на входе в моделируемое устройство. Наряду с работой арматуры, программа позволяет моделировать работу и рассчитывать формирование импульсов давлений в устройствах сиренного типа, конфузорах, диффузорах, а также возникновение резонансных явлений в емкостях с газожидкостной смесью при различных интенсивностях воздействия. В качестве примера приводятся векторные поля скоростей (формирование вихревых течений) и распределение давления по сечению канала в процессе развития гидроудара при открытии и последующем закрытии плоской заслонки в арматуре и в генераторе сиренного типа в плоской геометрии.

Анализ процесса зарождения трещины и устойчивости ее роста (Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, лицей № 1 при Пермском государственном техническом университете) Ранее в работах [1,2] исследовалась устойчивость процесса накопления повреждений для представительного элемента структурно-неоднородной среды в виде модели Фойгта. При этом неоднородность структуры задавалась как случайностью предела прочности элемента структуры, так и двухкомпонентностью среды, которые создавали статистически однородное поле структуры. Граничные условия были также однородными по пространственной координате, поэтому процесс накопления повреждений носил дисперсный характер.

В данной работе с целью исследования механизма зарождения трещины, анализа равновесной стадии и потери ее устойчивости для рассмотренного в указанных работах представительного элемента задаются неоднородные по пространственной координате граничные условия. Исследуется устойчивость равновесной стадии существования трещины в зависимости от параметров неоднородности структуры и параметров неоднородности граничных условий.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Интеграция» (проект № А 0053).

Библиографический список:

1. Мельников С.В. К исследованию механизма деформирования-разрушения волокнистых композитов на основе модели Мазинга //Тез. докл. 12-й зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1999. С. 234.

2. Мельников С.В., Пантелеев И.А., Пугин А.В. Моделирование процесса развития поврежденности на ниспадающей ветви полной диаграммы деформирования //Тез. докл. Всеросс. конфер. молодых ученых Молодые ученые Прикамья, 2000.

Поведение капли тяжелой жидкости на поверхности В последнее время в ряде теоретических работ [1,2,3] появилась гипотеза о линейном натяжении, направленном вдоль линии многофазного контакта.

Экспериментального подтверждения этой гипотезе не найдено. Исследовать искривленную линию контакта трех сред возможно в задаче о свободно плавающей капле тяжелой жидкости на поверхности менее плотной. Условие плавания капли определяется из соотношения капиллярных сил и массовых. Численно задача решается методом минимизации энергии.

Эксперименты проводились с парами жидкостей: анилин – вода и четыреххлористый углерод - вода. Для первой пары были построены графики зависимости диаметра от массы и проведено сравнение экспериментальных данных с теоретическими значениями. В целом теория без учета линейного натяжения хорошо описывает эксперимент, но область малых капель, где влияние линейного натяжения наиболее существенно, в эксперименте не исследована из-за невозможности получения и непосредственного измерения капель малых масс.

Поэтому были проведены исследования с быстроиспаряющимся четыреххлористым углеродом.

Методика эксперимента позволяла исследовать капли малых масс при различных внешних параметрах. Четыреххлористый углерод является нерастворимым ПАВ для воды, поэтому при добавлении его на поверхность поверхностное натяжение воды изменяется, следовательно, возможно подбирать параметры так, чтобы они соответствовали устойчивому плаванию капли. На основе методики, использующей испарение CCl4, были проведены измерения зависимости диаметра от массы и рассчитаны параметры равновесных форм капель с учетом и без учета линейного натяжения. Было обнаружено, что для данного поверхностного натяжения существует некий минимальный диаметр капли, ниже которого капля не существует, в теории также есть некий характерный размер, при котором углы, образованные касательными к поверхностям вблизи линии контакта трех сред, перестают изменяться, что также связано с появлением пленки.

Зависимости критических диметров от поверхностного натяжения капли в эксперименте и в теории качественно расходятся. Решение задачи с учетом линейного натяжения в виде, предложенном в теории, привело к формам, нереализуемым в эксперименте. Это дало возможность предполагать, что вклад в энергию линейного натяжения необходимо представлять в иной форме.

Библиографический список:

1. Братухин Ю.К., Макаров С.О., Теплова О.В. Ветвление равновесных форм плавающих капель (в печати).

2. Русанов А.И., Прохоров В.А. Межфазная тензиометрия. Спб: Химия, 1994.

3. Kubalski G.P., Napiorkovski M., F liquid drop in a cone – line tention effects //J/Phys: Condens. Matter 12 (2000).

Вариант математической модели течения двухфазной среды в канале переменного сечения с учетом скоростной Одним из наиболее сложных, трудноформализуемых физических процессов является процесс передачи энергии в различных контактных системах разрушения массивов природных и искусственно созданных материалов в горнодобывающей промышленности и металлургии, системах разделения и фасонной обработки листовых материалов в ряде технологий общего и специального машиностроения.

Не останавливаясь подробно на сути каждого из известных технологических методов, необходимо отметить перспективность гидродинамических технологий, широко применяемых в указанных отраслях промышленности.

Введение в высокоскоростной поток сжимаемой или несжимоемой жидкости (сплошную фазу) присадков в виде твердых частиц (дискретной фазы) значительно повышает работоспособность создаваемой рабочей среды. Наличие в сплошной среде конгломерата твердых частиц приводит к значительному усложнению общей картины течения по сравнению с однофазным течением и, вследствие этого, к усложнениям математического описания явлений и методов решения.

Рассмотрен процесс формирования двухфазного потока в осесимметричном канале коллиматора переменного сечения с учетом эффектов взаимодействия дискретной фазы с непроницаемыми стенками. Указанные эффекты существенно негативно сказываются на интегральных значениях потерь удельного импульса и объемной концентрации дискретной фазы в выходном сечении коллиматора.

В основу разработанного математического аппарата положена система нестационарных двумерных газодинамических уравнений для двухфазной среды, представленных в дивергентной форме. Для определения диссипационных членов в уравнениях движения фаз предложен вариант дискретного суммирования проекций термодинамических сил, действующих на частицы, находящиеся в ядре потока и в окрестности стенки. Во втором слагаемом, в явном виде, были учтены коэффициенты восстановления нормальной и тенгенциальной скорости частиц, взаимодействующих со стенкой канала.

В качестве схемы решения системы дифференциальных уравнений была определена двухшаговая схема Лакса – Вендроффа с членом искусственной вязкости, реализованная на неравномерной лагранжевой сетке. На подвижной границе раздела сплошной фазы ставились условия Ренкина – Гюгонию; на жестких стенках коллиматора – условия скольжения. На входной границе канала определялись нестационарные распределения случайных величин координат частиц, их размеров и скоростей.

В результате анализа результатов проведенных реализаций установлено: 1) влияние начальной дисперсии частиц по размерам и скоростям на объемную плотность последних в выходном сечении; 2) однозначное фиксирование в области сопряжения конфузорного и цилиндрического участков канала наибольшей частоты соударений частиц со стенками. Снижение интегральных потерь импульса частиц при соударении может быть уменьшено при удлинении цилиндрического участка канала и при соответствующем изменении механических свойств материала коллиматора (увеличении модуля упругости и снижении вязкости).

Определение динамических модулей упругости стальных образцов ультразвуковым импульсным методом (Нижегородский филиал института машиноведения РАН) Задача экспериментального определения упругих свойств конструкционных материалов без их разрушения и без использования машин для механических испытаний в упругой области часто встречается в практике прочностных расчетов.

Результаты таких экспериментов могут быть также использованы для сравнения значений статических и динамических модулей упругости металлов и сплавов и построения частотных зависимостей упругих констант при воздействии вибраций широкого спектра частот.

В данной работе на основе прецизионного измерения скоростей продольных и сдвиговых упругих волн мегагерцевого диапазона частот и взвешивания образцов на аналитических весах определены два независимых модуля линейной упругости образцов сталей У8, Ст45, Ст65Г, Ст20, ХВГ, Ст40Х, Ст20ХН. Измерения времени распространения упругих волн в материале производились с погрешностью 0,01 % с использованием акустического стенда и специальных пьезоэлектрических преобразователей, разработанных для неразрушающего исследования напряженного состояния материалов и элементов конструкций на основе упругоакустического эффекта. Погрешность определения массы образцов была того же порядка.

Конечно, для изучения прочностных свойств или для определения напряженного состояния материала по известным значениям деформаций в нем совсем не нужна такая точность измерения упругих констант. Однако вопросы влияния структурных особенностей, способа получения материала и режимов его дальнейшей обработки на величины его модулей упругости весьма интересны для материаловедов и специалистов неразрушающего контроля. Изучение частотной зависимости, скажем, модуля Юнга позволяет оценить демпфируюшие свойства материала, поскольку динамический и статический модули отличаются наличием мнимой части, связанной с неупругим (гистерезисным) поведением материала при переменных нагрузках.

В результате экспериментов выяснилось, что модуль сдвига менее чувствителен к марке стали, чем модуль Юнга – отличие в пределах 1% и 1,5%.

Модуль Юнга в стали ХВГ определить не удалось из-за малой толщины образца, препятствующей временному разрешению импульсов продольных волн, скорость которых почти в два раза больше чем у поперечных волн. Погрешность определения модуля сдвига составила 0,1 %, модуля Юнга 0,4 %.

Моделирование эволюции дислокационных субструктур ГЦК кристаллов для трех систем скольжения (Пермский государственный технический университет) Поскольку физико-механические характеристики материала в значительной мере определяются дислокационной субструктурой, то открылись новые возможности для целенаправленного формирования оптимальной структуры, обеспечивающей заданные свойства материала.

В процессе формирования дислокационной структуры ГЦК кристаллов значительную роль играют краевые дислокации. При этом необходимо анализировать такие типы взаимодействия дислокаций, как их размножение и аннигиляция на препятствиях недислокационной природы и дислокациях леса, образование дислокационных барьеров.

Целью работы является разработка модели, описывающей эволюцию дислокационных субструктур ГЦК кристалла с тремя системами скольжения.

Рассматривается плоская задача, т.е. дислокации с тремя различными векторами Бюргерса перемещаются в пересекающихся плоскостях скольжения, наклонённых таким образом, что направления векторов Бюргерса образуют углы /3 (модель для трёх равнонаклоненных плоскостей скольжения). С физической точки зрения подробно рассмотрен вопрос переползания дислокаций, аннигиляции дислокаций, которая характеризуется параметром-расстоянием между дислокациями, на котором они могут аннигилировать, образования барьеров Ломер – Коттрелла и взаимодействия их с дислокациями; для учета размножения дислокаций используется линейное приближение, связывающее плотность дислокаций с дислокациями леса и дислокациями всех систем скольжения.

С учетом вышеописанных процессов сформулирована система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию плотности дислокаций.

Найдены стационарные распределения дислокаций, исследована устойчивость этих решений. Численным методом найдено решение эволюционной системы уравнений. Изучена зависимость полученных решений от параметров модели.

Вычислительный эксперимент как элемент методического обеспечения опытного определения механических свойств (Пермский государственный технический университет) В механике деформирования и разрушения композиционных материалов одной из основных проблем является оценка их физико-механических свойств.

Этому посвящено достаточно большое количество работ, но анализ полученных результатов указывает на довольно значительный разброс полученных характеристик, отмечается зависимость результатов от особенностей методик проведения экспериментального определения физико-механических свойств. В частности, на получаемые характеристики оказывает большое влияние неоднородность напряженно-деформированного состояния в опытном образце.

Отмечаются зависимости физико-механических характеристик от формы и размера образцов.

В настоящей работе показано, что полученные зависимости являются следствием несовершенства методики обработки результатов проведенных экспериментов, а именно, не учитывается несоответствие получаемого в ходе испытания напряженно-деформированного состояния однородному. Для выявления этих причин проводится численная реализация экспериментального определения характеристик композиционного материала при одноосном сжатии.

Решается осесимметричная задача деформирования цилиндрического образца в двух различных постановках: упруго-хрупкое разрушение и упругопластическое деформирование.

Решение задач ведется методом конечных элементов, в ходе вычислений осуществляется построение диаграмм деформирования, картины распределения напряжений, проводится сравнение с экспериментальными данными.

Полученные результаты рассматриваются как основа методического обеспечения экспериментальных исследований неупругих свойств материалов.

Один из способов улучшения получаемых результатов состоит в том, что используются данные как натурных испытаний, так и результаты математического моделирования. Такой подход стоит в основе расчетно-экспериментального метода. В соответствии с этим методом фиксируются усилия и перемещения, полученные при натурных испытаниях образца материала. Далее проводится численный эксперимент с образцом, имеющим такие же геометрические размеры и некоторые задаваемые механические характеристики. Натурный и численный эксперименты считаются эквивалентными, если при одной и той же степени деформирования получаются одинаковые усилия и перемещения, и механические свойства, заложенные в модель, будут наиболее близки к действительным.

Работа выполнена при финансовой поддержке по гранту Президента РФ № 00-15-99264 и гранту РФФИ-Урал № 01-01-96479.

Проблемы численного решения задач закритического деформирования и разрушения композитов периодической структуры с учетом свойств нагружающей системы (Пермский государственный технический университет) Учет свойств нагружающей системы в процессе численного решения задач деформирования композиционных материалов позволяет определить степень реализации закритической части кривой деформирования. Нагружающая система рассматривается как система элементов, участвующих в передаче внешних воздействий исследуемому объекту и изменяющая при этом свои свойства. Как правило, роль нагружающей системы играет деформируемое тело, участвующее в передаче внешних воздействий на рассматриваемую область.

Использование метода конечных элементов при решении задач, описывающих процессы деформирования и разрушения композиционных материалов с учетом влияния нагружающей системы, обычно связано с непосредственным включением нагружающей системы в расчетную схему.

Рассматривается моделирование нагружающей системы при исследовании деформирования ячейки периодичности волокнистого композиционного материала периодической структуры. На исследуемую ячейку периодичности воздействуют ее непосредственные соседи (8 ячеек, граничащих с рассматриваемой) и однородная изотропная среда с эффективными свойствами, которая моделирует воздействие окружающего материала.

Количество рассматриваемых в задаче объектов и соответственно уравнений, описывающих их состояние, увеличивается в несколько раз, что создает известные трудности в процессе численного решения задачи.

Предложены способы снижения затрат времени и ресурсов компьютера при численном моделировании деформирования и разрушения композиционных материалов периодической структуры. Рассматриваются технологии создания подструктур исследуемой модели, их сборки и хранения, использующие алгоритмы метода суперэлементов. Предложена схема кластеризации расчетов при решении задачи на ЭВМ. Описывается применение локальных вычислительных сетей для реализации распараллеливания решения наиболее ресурсоемких расчетов.

Работа выполнена при финансовой поддержке по грантам Президента РФ №00-15-99264 и РФФИ–Урал № 01-01-96479.

Решение краевых задач с помощью вейвлет – Галеркин метода (Пермский государственный технический университет) Построение и исследование математических моделей деформируемых тел, описывающих образование внутренних иерархических структур, представляет значительный интерес (например, модель многомасштабной фрагментации металлического тела при его значительных пластических деформациях). Для численного решения таких моделей, представимых дифференциальными уравнениями в частных производных, необходим метод, базисные функции которого согласованы с ожидаемым видом решения краевой задачи. В качестве такого метода предлагается использовать метод Галеркина в сочетании со специальным безэлементным иерархическим вейвлет-базисом.

Хорошо известные вейвлет-функции Добеши [1], отличные от нуля на конечном отрезке (на компактном носителе), образуют ортонормированный базис в пространстве суммируемых с квадратом функций на всей числовой оси путем сдвигов и масштабных преобразований единственной материнской функции. Но применение данного базиса ограничивает то, что реальные задачи обычно ставятся на конечной области с заданными граничными условиями, т.к. внутренняя структура сильно зависит от них. Из-за того, что базисные функции перекрываются, если просто оставить те функции, которые попали на отрезок, и выкинуть остальные, то мы не получим базис на этом отрезке. В самом деле, тогда нам придется выкинуть функции, частично оказывающиеся на отрезке и частично вне его. Но тогда появляются проблемы с разложением произвольной функции из пространства суммируемых с квадратом функций на отрезке вблизи его концов.

Данная проблема пополнения базиса решена в работе [2], где на основе функций Добеши были построены базисы для отрезка, удовлетворяющие однородным граничным условиям произвольного рода путем добавления краевых функций.

Авторы поставили перед собой задачу освоить и проверить математические результаты [1-2] и, в частности, на основе численного решения линейных краевых задач на отрезке проверить, является ли базисом построенный набор функций.

На основе метода [2] построены иерархические базисы для краевых задач с различными условиями на границе. В качестве исходных базисов использованы функции Добеши D4 и D6, позволяющие получить обобщенное решение для дифференциальных операторов II и IV порядков соответственно. Получены фильтры для краевых базисных функций, в терминах которых в замкнутом виде выражаются все интегралы задачи. Более того, были решены задача изгиба упругой балки под действием распределенной нагрузки и задача образования периодической структуры в сплошной среде на основе уравнений состояния градиентного типа. Полученные решения задач с хорошей точностью совпадают c аналитическим решением. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 98Библиографический список 1. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. Philadelphia: SIAM Publishing, 1992.

2. Monasse P., Perrier V. Orthonormal wavelet bases adapted for PDE with boundary conditions // SIAM J. Math. Anal. – 1998. – V.29. – №4.

(Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН) Во многих конвективных системах возникают течения, связанные с тем, что часть теплопотока перекрывается некоторым объектом, перемещающимся вместе со средой.

В данной работе исследованы колебательные режимы конвективного течения, возникающие на фоне развитой турбулентности, в подогреваемом снизу слое жидкости. Поток тепла частично перекрывается теплоизолирующим объектом, который находится внутри среды. Он способен перемещаться под действием крупномасштабного вихря, возникающего из-за появления горизонтального градиента температуры. Рассмотрена зависимость колебательного движения от вертикального расположения подвижного изолятора теплового потока в слое.

Обсуждается связь этого явления с движением плазмы и солнечных пятен, возникающих вследствие неустойчивости напряженности магнитного поля звезды, в конвективной оболочке Солнца.

О нелинейных колебаниях с изменяющейся во времени Настоящая работа посвящена рассмотрению одной из задач теории нелинейных колебаний – колебаниям с переменной частотой. Рассматриваются две модели, применимые в различных условиях.

Первая представляет собой квазистационарный случай, то есть мы считаем, что в каждый отдельный, достаточно малый момент времени закон движения может быть записан в виде гармонического колебания с затуханием. Отсюда получается уравнение, описывающее изменение частоты на данном интервале. На каждом следующем интервале конечная частота колебаний на предыдущем интервале является начальным условием для уравнения изменения частоты на этом интервале. В целом поведение частоты в данном случае в зависимости от конкретного сочетания параметров может быть описано суперпозицией экспоненты и гармонической функции. Отметим, что описанная модель работает на временах, меньших некоторого характеристического времени. В действительности подобные колебания в одиночном режиме при однократном внешнем воздействии быстро затухают, так что модель вполне приемлема.

Вторая модель представляет более общий случай, когда мы уже не можем говорить о квазистационарности. При этом форма закона движения остаётся той же, но в качестве аргумента гармонической функции берется не произведение мгновенного значения амплитуды на время, а интеграл от такого произведения по заданному временному промежутку. При этом в результате решения соответствующего уравнения для частоты мы получаем, что поведение её во времени носит также экспоненциальный характер.