УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

10 июня 2010 г.

ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ

по дисциплине: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

по направлению

010600

подготовки:

для всех факультетов (кроме ФИВТ)

факультет:

высшей математики кафедра:

II курс:

3, 4 Зачет — 3 семестр семестры:

лекции: — 66 часов Дифзачет — 3 семестр (ФОПФ) практические (семинарские) занятия: — 66 часов Экзамен — 4 семестр лабораторные Самостоятельная работа занятия: — — 2 часа нет в неделю —

ВСЕГО АУДИТОРНЫХ ЧАСОВ

Программу составили:

А.А. Абрамов, д.ф.-м.н., профессор, А.И. Егоров, д.ф.-м.н., профессор В.Н. Диесперов, д.ф.-м.н., профессор, В.К. Романко, д.ф.-м.н., профессор В.С. Николаев, д.т.н., профессор В.М. Ипатова, к.ф.-м.н., доцент Программа обсуждена на заседании кафедры высшей математики 22 апреля 2010 г.

Заведующий кафедрой Е.С. Половинкин

ПРОГРАММА

(базовый уровень) 1. Основные понятия, простейшие типы дифференциальных уравнений Основные понятия. Простейшие типы уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель. Метод введения параметра.

Методы понижения порядка дифференциальных уравнений.

II. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Формула общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка. Отыскание решения линейного неоднородного в случае, когда правая часть уравнения является квазимногочленом. Уравнение Эйлера.

Формула общего решения линейной однородной системы уравнений в случае простых собственных значений матрицы коэффициентов системы. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к жордановой форме (без доказательства). Формула общего решения линейной однородной системы в случае кратных собственных значений матрицы коэффициентов системы. Отыскание решения линейной неоднородной системы в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.

Матричная экспонента и ее использование для получения формулы общего решения и решения задачи Коши для линейных однородных и неоднородных систем.

III. Элементы вариационного исчисления Основные понятия. простейшая задача вариационного исчисления. Задача со свободными концами. Задача для функционалов, зависящих от нескольких неизвестных функций, и задача для функционалов, содержащих производные высших порядков. Изопериметрическая задача(без доказательства). Задача Лагранжа(без доказательства).

IV. Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений (без доказательства). Теорема о продолжении решений нормальных систем(без доказательства). Характер зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных: непрерывность, дифференцируемость(доказательство для случая одного уравнения). Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения.

V. Автономные системы дифференциальных уравнений Основные понятия и свойства фазовых траекторий. Классификация положений равновесия линейных автономных систем уравнений второго порядка. Характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения равновесия автономных нелинейных систем уравнений второго порядка.

VI. Первые интегралы и линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Связь первого интеграла с решением линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Теорема о числе независимых первых интегралов(без доказательства). Применение первых интегралов для понижения порядка системы уравнений.

Формула общего решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Постановка задачи Коши для таких уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши(без доказательства).

VII. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных линейных систем уравнений.

Фундаментальная система и фундаментальная матрица решений линейной однородной системы уравнений. Структура общего решения линейной однородной и неоднородной системы уравнений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского(без доказательства). Метод вариации постоянных для линейной неоднородной системы уравнений. Следствия для линейных уравнений n-го порядка. Теорема Штурма.

ПРОГРАММА

(повышенный уровень) I. Основные понятия, простейшие типы дифференциальных уравнений Основные понятия. Простейшие типы уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель. Метод введения параметра.

Методы понижения порядка дифференциальных уравнений.

II. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Формула общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка. Отыскание решения линейного неоднородного в случае, когда правая часть уравнения является квазимногочленом. Уравнение Эйлера. Исследование краевых задач для линейного уравнения второго порядка, в частности, при наличии малого параметра при старшей производной.

Формула общего решения линейной однородной системы уравнений в случае простых собственных значений матрицы коэффициентов системы. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к жордановой форме (без доказательства). Формула общего решения линейной однородной системы в случае кратных собственных значений матрицы коэффициентов системы. Отыскание решения линейной неоднородной системы в случае, когда свободные члены уравнений являются квазимногочленами.

Матричная экспонента и ее использование для получения формулы общего решения и решения задачи Коши для линейных однородных и неоднородных систем.

Преобразование Лапласа и его применение для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

III. Элементы вариационного исчисления Основные понятия. простейшая задача вариационного исчисления. Задача со свободными концами. задача для функционалов, зависящих от нескольких неизвестных функций, и задача для функционалов, содержащих производные высших порядков.

Изопериметрическая задача. Задача Лагранжа.

IV. Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решений нормальных систем. Характер зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных: непрерывность, дифференцируемость. Задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Особые решения.

V. Автономные системы дифференциальных уравнений Основные понятия и свойства фазовых траекторий. Классификация положений равновесия линейных автономных систем уравнений второго порядка. Характер поведения фазовых траекторий в окрестности положения равновесия автономных нелинейных систем уравнений второго порядка. Устойчивость и асимптотическая устойчивость положения равновесия автономной системы. Достаточные условия асимптотической устойчивости.

VI. Первые интегралы и линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка.

Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Связь первого интеграла с решением линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Теорема о числе независимых первых интегралов. Применение первых интегралов для понижения порядка системы уравнений.

Формула общего решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Постановка задачи Коши для таких уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

VII. Линейные дифференциальные уравнения и линейные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных линейных систем уравнений.

Фундаментальная система и фундаментальная матрица решений линейной однородной системы уравнений. Структура общего решения линейной однородной и неоднородной системы уравнений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля–Остроградского. Метод вариации постоянных для линейной неоднородной системы уравнений. Следствия для линейных уравнений n-го порядка. Теорема Штурма.

Применение групп Ли к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Функция Грина краевой задачи и ее применение для решения краевой задачи для неоднородного линейного уравнения. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Общее решение и решение задачи Коши.

1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – 7-е изд. – М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – 5-е изд. – М.: Наука, 1985.

3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – 7-е изд. – М.: ГИФМЛ, 1958.

4. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – 2-е изд. – М.: Наука, 1985.

5. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматгиз, 1961.

6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Физматгиз, 1985.

7. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2000.

8. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2003.

9. Купцов Л.П., Николаев В.С. Курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие. – М.: МФТИ, 2003.

ЗАДАНИЯ

1. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению /под ред. В.К. Романко. – М.:

Лаборатория базовых знаний. 2002. (С) 2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1979, 1985, 1992, 2005. (Ф)

ЗАМЕЧАНИЯ

1. Задачи с подчёркнутыми номерами рекомендовано разобрать на семинарских занятиях.

2. Задачи и разделы, отмеченные звёздочкой (*), являются необязательными для базового уровня.

3. Задачи, отмеченные двумя звёздочками (**), являются необязательными для повышенного уровня.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ

(срок сдачи 27 сентября–2 октября) I. Простейшие типы уравнений 1-го порядка C. § 2: 33; 49; 53**.

Ф: 55; 62; 66; 67*; 69**.

Ф: 109; 112*; 116; 127.

Ф: 141; 150; 153; 160; 164*; 165**; 182**.

C. § 4: 13; 22; 43*; 57**.

II. Уравнения, неразрешенные отностительно производной 1. Решить уравнение а) указать интегральные кривые, проходящие через б) обьяснить, почему не существует решения уравнения с начальным условием y(2) = 1;

в) выяснить какие решения уравнения удовлетворяют условиям y(1) = 0,y(1) = a, где a = 1,2.

III. Уравнения, допускающие понижение порядка С. § 7: 15; 24; 35; 60; 63*; 67**; 81*.

2. Решить задачу Коши 3. Решить задачу Коши

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ

IV. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами C. § 8: 196; 197; 200*. Ф: 599.

Ф: 614; 618; 620*; 626**.

1. Дано уравнение где R — заданное число.

а) Найти решение, имеющее период 1.

б) Найти решения, удовлетворяющие условиям y(0) = При каких значениях такие решения существуют?

При каких значениях решение будет единственным?

2. При каких значениях p R краевая задача имеет ненулевое решение?

V. Линейные системы с постоянными коэффициентами C. § 11: 26; 29; 47; 65; 89; 99.

C. § 11: 142; 146*; 176.

VI. Матричная экспонента 3. С помощью матричной экспоненты решить линейные однородные системы уравнений:

С. § 11: 119; 123; 129*.

4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы exp(tA) в зависимости от t, если 5.* Доказать формулу: det eA = etr A.

VII. Операционный метод C. § 8: 176; 179*.

C. § 11: 191; 193*.

Учебно-методическая лаборатория кафедры высшей математики МФТИ