Учебно-методический комплекс дисциплины «Прикладной
функциональный анализ». 3 п.л. Автор: доцент Саженков С.А.
Предназначено для студентов 4-го курса специальности 010100.62
«Математика».
Аннотация. Основной целью курса является изучение продвинутых, по
отношению к базовому курсу, вопросов функционального анализа, имеющих
приложения в дискретных и распределенных математических моделях,
относящихся к области экономики, механики сплошной среды, теоретической физики. Для достижения поставленной цели выделяются три основные задачи курса:
изучение теорем о неподвижных точках Брауэра и Шаудера и их приложений. По окончании изучения указанной дисциплины студент должен знать формулировки и основные этапы доказательства ключевых теорем курса, иметь представление о приложениях ключевых теорем, быть способным привести конкретные примеры.
Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины «Прикладной функциональный анализ»: ОК-6; ОК-7; ОК-8; ОК-10; ОК-11;
ОК-14; ОК-15; ПК-1; ПК-2; ПК-3; ПК-4; ПК-5; ПК-6; ПК-7; ПК-8; ПК-9; ПКПК-11; ПК-12; ПК-13; ПК-15; ПК-16; ПК-18; ПК-19; ПК-21; ПК-22; ПК- 23; ПК-27; ПК-29.
Рабочая программа.
1. Введение (повторение необходимых основ функционального анализа). Определения и основные свойства нормированных пространств, компактных множеств, понятия сильной и слабой сходимостей, теорема Алаоглу, теорема Хана — Банаха в аналитической форме и ее следствия.
2. Теоремы о неподвижных точках.
2.1. Предисловие: понятие неподвижной точки, примеры элементарных теорем о неподвижных точках.
2.2. Предварительные сведения: определители матриц и якобианы дифференцируемых отображений, лемма о дивергенции.
2.3. Теорема Брауэра: лемма о несуществовании (дифференцируемой) ретракции, теорема Брауэра в слабой форме, теоремы Брауэра для множеств, гомеоморфных замкнутому единичному шару и для множеств, гомеоморфных компактным выпуклым множествам, принцип несуществования ретракции.
2.4. Теорема Шаудера: нелинейный проектор Шаудера, теоремы Шаудера и Тихонова—Шаудера.
2.5. Два приложения теорем Брауэра и Шаудера: теорема о матрице с положительными компонентами — наличие одномерного собственного подпространства, в котором есть вектор с положительными компонентами;
теорема Каратеодори.
Литература.
Основные источники:
1. J. F. Toland, Bifurcation Theory, University of Bath, The United Kingdom, Lecture Notes, 1992.
2. Ж. Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.:
Мир, 1972.
3. Ж.. Дьедонне, Основы современного анализа, М.: Мир, 1964.
Дополнительные источники:
1. А. Б. Ковригин, Математический анализ динамических систем, учебное пособие, Ленинград: издательство ЛГУ, 1980.
2. В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации, Физматлит, 2005.
3. Ж.-П. Обен, И. Экланд, Прикладной нелинейный анализ, М.: Мир, 1988.
4. Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья, Введение в вариационные неравенства и их приложения, М.: Мир, 1983.
Экзаменационные билеты.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
1. Лемма о дивергенции.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
2. Лемма о присоединенной матрице: доказательство для базисных векторов.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
3. Лемма о присоединенной матрице: доказательство для векторов общего вида, в предположении, что для базисных векторов справедливость установлена.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
4. Ретракция. Лемма о несуществовании ретракции. Принцип несуществования ретракции.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
5. Слабая форма теоремы Брауэра.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
6. Сильная форма теоремы Брауэра о неподвижной точке I.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
7. Сильная форма теоремы Брауэра о неподвижной точке II.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
8. Нелинейный проектор Шаудера, его свойства.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
9. Теорема Шаудера о неподвижной точке I (теорема Шаудера—Тихонова).
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
10. Теорема Шаудера о неподвижной точке II.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
11. Приложение теоремы Брауэра: теорема о квадратной матрице с положительными элементами.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ПО КУРСУ
«ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
12. Приложение теоремы Шаудера: теорема Каратеодори (локальная версия).
ЛЕКЦИИ
ПО ПРИКЛАДНОМУ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
1 Введение 1.1 Нормированные пространства Определение 1.1. Нормированное пространство X это линейное пространство над полем вещественных чисел, снабженное нормой · : X R, удовлетворяющей аксиомам Справедливо неравенство Определение 1.2. Последовательность {xn }nN сходится сильно к x X, то есть xn x, Определение 1.3. Нормированное пространство X называется банаховым, если всякая фундаментальная последовательность из пространства X сходится к x X.1.2 Компактные множества Пусть X банахово пространство.
Определение 1.4. Множество K X компактно, если из любого открытого покрытия {U } множества K в X (K U ) можно выделить конечное подпокрытие, то есть найдутся такие Теорема 1.1. (Критерий компактности.) Пункты 1–3 эквивалентны друг другу:
2. для любой последовательности {xn }nN K существует подпоследовательность {xnk }kN такая, что xnk x K;
B(ai, ) – открытый шар с центром ai радиуса ).
Определение 1.5. Множество K X предкомпактно, если его замыкание K компактно.
1.3 Сопряженное пространство Определение 1.6. Банахово пространство X, состоящее из всех линейных отображений f : X R, обладающих конечной нормой называется сопряженным пространством к X.
Определение 1.7. Последовательность {xn }nN X сходится слабо к x X, то есть xn x, Предложение 1.1. Всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
Определение 1.8. Последовательность {fn }nN X сходится -слабо к f X, то есть fn f, если f (xn ) f (x) для любого x X.
Теорема 1.2. (Алаоглу) Если X сепарабельно и K X ограничено, то для любой последовательноw сти {fn }nN K найдется подпоследовательность {fnk }kN такая, что fnk f X Предложение 1.2. Пусть X рефлексивно, X сепарабельно и K X ограниченно. Тогда для любой последовательности {xn }nN K найдется подпоследовательность {xnk }kN такая, что xnk Зафиксируем x X и рассмотрим отображение x : X R такое, что x (f ) = f (x) для всех f X. Очевидно, что отображение x линейно.
Предложение 1.3. Отображенние : X X такое, что (x) = x, является изометрией, то есть имеет место равенство x X = x <.
Определение 1.9. Вложение : X X называется естественной изометрией.
Предложение 1.4. Если (X) = X, то пространство X рефлексивно.
2 Теоремы о неподвижных точках 2.1 Предисловие Некоторые теоремы о неподвижных точках уже известны из предыдущих курсов.
Теорема 2.1. (Принцип сжимающих отображений Банаха) Всякое сжимающие отображение A, определенное в полном метрическом пространстве E, имеет одну и только одну неподвижную точку, то есть для любого A : E E такого, что (Ax, Ay) (x, y) для всех x, y E ( – метрика, = const (1, 0)), существует единственный x E такой, что Ax = x.
Приведем еще одну элементарную теорему из курса математического анализа.
Теорема 2.2. Каждая непрерывная функция f из замкнутого ограниченного отрезка [a, b] в себя имеет неподвижную точку, то есть для любой f C[a, b] такой, что f ([a, b]) [a, b], существует x [a, b], для которой f (x ) = x.
Доказательство. Имеем a f (a) 0 b f (b), значит по теореме о среднем значении существует x [a, b] такая, что x f (x ) = 0.
В настоящей главе мы продолжим эту элементарную теорему на случай пространства Rn, а затем на произвольные банаховы пространства. Эти продолжения не элементарны, имеют глубокие последствия в топологии и обширно используются при изучении нелинейных уравнений и систем.
2.2 Определители и якобианы 2.2.1 Свойства определителей Определение 2.1. Пусть A = (aij )i,j=1,n матрица размерности n n. Определителем матрицы A называют величину где Sn – это группа подстановок n-элементного множества.
Для заданных i, j коэффициент Aij при элементе aij в выражении det A имеет следующий вид:
Определение 2.2. Коэффициент Aij называется алгебраическим дополнением элемента aij.
Имеет место представление где Aij – (n 1) (n 1)-матрица, получающаяся из A удалением i-ой строки и j-ого столбца.
Рассмотрим определитель матрицы A как функцию компонентов aij, тогда из определения ?? следует, что Значит, если aij = aij () дифференцируемы по, то Классические формулы линейной алгебры:
Формула (2.4) это формула разложения определителя по строке. Справедлива также формула разложения по столбцу.
Из формул (2.3)–(2.4) следует, что где матрица Ai получается из матрицы A заменой i-ой строки на строку производных по. Такая же формула справедлива и в случае, если матрица Ai получается путем замены столбца.
Определение 2.3. Присоединенной матрицей к матрице A называется матрица Из формул (2.4)–(2.5) следует где E – единичная матрица.
2.2.2 Лемма о дивергенции Пусть f : U Rn Rn – непрерывно дифференцируемое отображение, Определение 2.4. Матрицей Якоби отображения f называется матрица Определение 2.5. Дивергенцией отображения f называется Лемма 2.1. (Лемма о дивергенции) Пусть U Rn открытое множество, f C 2 (U, Rn ) и A = f (x).
Тогда для всех x U В частности, Доказательство. Зафиксируем i, обозначим Из формулы (2.2) следует В силу (2.7) из (2.11) получаем:
Суммируем по j, а затем во второй сумме взаимно переобозначим индексы j и l:
и, с другой стороны, det(M 1 A M )E = det(A )E = M 1 (det(A )E)M = M 1 (A adj A )M = (M 1 A M )(M 1 (adj A )M ).
Так как матрица M 1 A M обратима, то из двух последних равенств вытекает, что Переходя к пределу при 0 и полагая теперь A = A(x) = f (x), находим Рассмотрим функцию g(x) = M 1 f (M x), тогда по правилу дифференцирования сложной функции B(x) = g (x) = M 1 A(M x)M. Поэтому Теперь пусть M – ортогональная матрица, тогда (adj A(x) x, x) = (adj A(x) x, M M 1 x) = (M T adj A(x) x, M 1 x) = (M 1 adj A(x) x, M 1 x) = Кроме того, поскольку M x S n1 для всех x S n1, то g(x) = M 1 f (M x) = M 1 M x = x для всех x S n1. Тогда, применяя результат первого этапа доказательства к функции g(x), получим Наконец, для любого x S n1 найдется ортогональная матрица M такая, что M 1 x = en. Таким образом, что и завершает доказательство.
2.3 Теоремы Брауэра 2.3.1 Ретракция. Лемма о несуществовании ретракции Определение 2.6. Пусть X – метрическое пространство, A, B – замкнутые множества такие, что A B X. Множество A называется ретрактом множества B, если существует непрерывное отображение f : B A такое, что f (x) = x для всех x A. Отображение f называется ретракцией B на A.
Лемма 2.3. (Лемма о несуществовании дважды дифференцируемой ретракции) Пусть B – открытый шар в Rn, B B(0, 1), тогда не существует f C 2 (B, S n1 ) такой, что f (x) = x для всех Доказательство. Проведем доказательство методом от противного.
Предположим, что такое f существует, тогда справедливо тождество дифференцируя которое, получаем Но по условию леммы f (x) = 0 ( f (x) = 1) для всех x B, значит матрица f (x) вырождена:
Справедлива цепочка равенств:
Третье равенство в этой цепочке получено применением формулы Грина, n – единичный вектор внешней нормали к сфере S n1. Четвертое равенство справедливо, так как f (x) = x и n = x всюду на сфере S n1. Сравнивая начало и конец приведенной цепочки, получаем противоречие. Таким образом, лемма доказана.
2.3.2 Слабая форма теоремы Брауэра Докажем вспомогательную версию основного результата этого параграфа.
Теорема 2.3. Пусть B – открытый шар в Rn, B B(0, 1), функция f C 2 (B, B(0, 1)). Тогда существует точка x0 B(0, 1) такая, что f (x0 ) = x0.
Доказательство. Проведем доказательство методом от противного.
Предположим, что f (x) = x для всех x B (по условию теоремы f (B ) B(0, 1), поэтому f (x) = x для всех x B \ B(0, 1)). Отсюда следует, что для всех x B прямая {f (x) + (x f (x)), R} пересекает сферу S n1 ровно в двух точках, поскольку уравнение имеем ровно два решения. В самом деле, перепишем это уравнение в другой форме:
Уравнение (2.22) является квадратным относительно, и его дискриминант имеет вид:
Так как f (B ) B(0, 1), то f (x) 2 < 1 для всех x B, поэтому D > 0. Кроме того, свободный член уравнения (??) отрицательный, следовательно, по теореме Виета его корни имеют разные знаки.
Рассмотрим положительный корень уравнения (2.22) как функцию точки x:
Заметим, что (x) = 1 при x = 1 (в этом легко убедиться подстановкой).
Теперь положим F (x) = f (x) + (x)(x f (x)) для всех x B. Тогда по построению F C (B, S n1 ) и F (x) = x для всех x S n1. Но по лемме 2.3 о несуществовании дважды непрерывно дифференцируемой ретракции такой функции быть не может. Это противоречие завершает доказательство теоремы.
2.3.3 Теорема Брауэра о неподвижной точке в сильной форме Теорема 2.4. (Брауэра I) Пусть – замкнутое непустое подмножество в Rn, гомеоморфное B(0, 1), и f : – непрерывное отображение. Тогда найдется x0 такой, что f (x0 ) = x0.
Доказательство. Проведем доказательство в три этапа.
Этап I. Предположим, что теорема справедлива для = B(0, 1). Покажем, что она остается справедливой и для произвольного допустимого.
Пусть h : B(0, 1) – гомеоморфизм (взаимнооднозначное непрерывное отображение), существующий по условию теоремы. Тогда отображение h f h1 : B(0, 1) B(0, 1) непрерывно и по предположению имеет неподвижную точку y0 B(0, 1), то есть h f h1 (y0 ) = y0. Таким образом, получаем Следовательно, x0 = h1 (y0 ) – неподвижная точка отображения f.
Этап II. Докажем, что теорема справедлива для = B(0, 1).
Для любого k > 1 положим Bk = B(0, 1 k ), B k = B(0, 1+ k ) (Bk B k B(0, 1) B k ) и определим отображение f : B Bk по формуле:
Отображение f k непрерывно для любого k > 1, и, кроме того, f k f равномерно на B(0, 1).
Предположим, что для любого k > 1 существует последовательность дважды непрерывно дифференцируемых отображений {gm : B 2k B 2k }mN такая, что gm f k равномерно на B 2k.
Обоснуем это предположение на третьем этапе доказательства.
Так как B 2k B(0, 1) B(0, 1) B 2k, то в силу теоремы 2.3 для каждого m N найдется неподвижная точка xk B 2k отображения gm, то есть gm (xk ) = xk. По теореме Больцано-Вейерштрасса из последовательности {xm }mN можно выделить подпоследовательность {xk l }lN, сходящуюся к некоk торому xk B(0, 1).
В силу того, что f k непрерывно, gml f k равномерно на B 2k и xk l xk получаем Значит f k (xk ) = xk для любого k > 1.
Будем считать, что xk x0 B(0, 1), иначе заменим ее на сходящуюся подпоследовательность, которая существует по теореме Больцано-Вейерштрасса. Вспомним, что f непрерывно и f k f равномерно на B(0, 1). Тогда, проводя рассуждения аналогичные предыдущим, получаем Таким образом, f (x0 ) = x0, то есть x0 B(0, 1) неподвижная точка отображения f.
Этап III. Остается доказать предположение, что для любого k > 1 существует последовательность отображений {gm (x)}mN C 2 (B 2k, B 2k ) такая, что gm f k равномерно на B 2k.
Пусть : R R – бесконечно дифференцируемая четная неотрицательная функция, такая что supp B(0, 1) и (x)dx = 1. Например, в качестве можно взять стандартное регуляризующее B(0, m ).
Для любых k, m N определим отображение gm (x) следующим образом:
Тогда gm переводит B 2k на B 2k и является бесконечно гладким, как свертка бесконечно гладкой и непрерывной функций.
Покажем, что gm f k равномерно на B 2k.
Пусть > 0. Так как отображение f k непрерывно на B k, то оно равномерно непрерывно на B k.
Тогда найдется (0, 2k ) такое, что Заметим, что для любых x B 2k и y B k верно неравенство:
Так как supp m B(0, m ) и m четная, то, учитывая это неравенство, получаем Справедлива цепочка равенств:
Оценим первое слагаемое в правой части равенства (2.26):
Так как f k : B k Bk B(0, 1), то f k (y) f k (x) f k (y) + f k (x) 2. Учитывая данное неравенство, оценим второе слагаемое в правой части равенства (2.26):
Наконец, применяя неравенства (2.27)–(2.28), из (2.26) получаем, что gm (x) f k (x) образом, gm f равномерно на B 2k, и доказательство теоремы закончено.
2.3.4 Принцип несуществования ретракции Теорема 2.5. (Принцип несуществования ретракции) Не существует непрерывной функции f : B(0, 1) S n1 такой, что f (x) = x для всех x S n1.
Доказательство. Пусть такая непрерывная функция существует. Тогда (f ) непрерывная функция из B(0, 1) в B(0, 1) и по теореме Брауэра 2.4 существует x0 B(0, 1) такая, что f (x0 ) = x0. По условию теоремы f (x0 ) S n1, следовательно (x0 ) S n1 и значит x0 S n1, отсюда f (x0 ) = x0, но тогда x0 = x0 S n1. Получили противоречие, теорема доказана.
2.3.5 Обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке Теорема Брауэра 2.4 допускает естественное усиление для компактных выпуклых множеств в Rn, доказательство которого основано на использовании специального проектора.
Лемма 2.4. Пусть K – замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H. Тогда для каждого x H существует единственная точка y K такая, что Доказательство. Пусть {k }kN K – минимизирующая последовательность, то есть По правилу параллелограмма получаем, что Поскольку K выпукло, 2 (k + l ) K и поэтому d x 2 (k + l ) 2. Следовательно, и из (2.30) вытекает, что lim k l = 0, то есть последовательность {k }kN фундаментальна.
Так как H полно, а K замкнуто, существует элемент y K такой, что lim k = y. Кроме того, Пусть существует два элемента y, y K, удовлетворяющих (2.29). Подставив их вместо k и l в равенство (2.31), получим откуда следует, что y = y.
Определение 2.7. Точка y, удовлетворяющая (2.29), называется проекцией точки x на замкнутое выпуклое подмножество K. При этом пишем y = PrK x.
Отметим, что PrK x = x для всех x K.
Лемма 2.5. Пусть K – замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H. Тогда y = PrK x в том и только в том случае, когда Доказательство. Пусть x H и y = PrK x. Поскольку K выпукло, и поэтому вследствие (2.29) функция принимает наименьшее значение на отрезке [0, 1] в точке t = 0. Это означает, что (0) 0, то есть K. Значит справедливо (2.29).
Следствие 2.1. Пусть K – замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H. Тогда оператор PrK : H K нерастягивающий, то есть и, следовательно, непрерывный.
Доказательство. Пусть x, x H и y = PrK x, y = PrK x. Тогда по лемме 2. Положим = y в первом неравенстве и = y во втором. Складывая затем эти неравенства, получим или y y x x, что и требовалось доказать.
Теперь сформулируем усиление теоремы Брауэра 2.4.
Теорема 2.6. (Брауэра II) Пусть K Rn – компактное непустое множество, гомеоморфное компактному выпуклому подмножеству в Rn, и f : K K – непрерывное отображение. Тогда найдется точка x0 K, такая что f (x0 ) = x0.
Доказательство. Точно также, как в доказательстве теоремы 2.4, достаточно рассмотреть случай, когда само множество K компактное и выпуклое.
Пусть B – замкнутый шар в Rn такой, что K B, он гомеоморфен B(0, 1). Согласно следствию 2. оператор PrK непрерывен, следовательно отображение f PrK : B K B непрерывно и переводит B в себя. Тогда по теореме 2.4 у него есть неподвижная точка x0, то есть f PrK x0 = x0 K. Но PrK x0 = x0, и поэтому f (x0 ) = x0.
2.4 Теоремы Шаудера Теоремы Шаудера это важнейшее обобщение теоремы Брауэра 2.6 на случай нормированного пространства бесконечной размерности. Начнем с описания конструкции, лежащей в основе доказательства.
2.4.1 Нелинейный проектор Шаудера Пусть X – вещественное банахово пространство, K X – компакт.
По критерию компактности 1.1 K вполне ограничено и, следовательно, содержит счетное всюду плотное множество {ki, i N} K. Кроме того, для любого m N найдется конечное подмножество m N определим Заметим, что для каждого x K существует хотя бы один номер l такой, что lm = 0. Действительно, если это не так, то найдется такой x K, для которого f (x ) kil m для всех l = 1, M (m), и значит f (x ) образом, корректно следующее определение.
«