ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

по специальности 010901 - Механика

Математический анализ

1. Понятие функции. Предел функции в конечной и бесконечно удаленной точке.

Непрерывность.

2. Вывод первого и второго замечательных пределов.

3. Вычисление предела по правилу Лопиталя.

4. Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Коши,

Лагранжа, Роля.

5. Дифференцируемость функции нескольких переменных.

6. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций sin x, cos x, exp(x), ch(x), sh(x) в ряд в точке x=0.

7. Условие сходимости и равномерной сходимости степенного ряда. Условие дифференцируемости степенного ряда.

8. Неопределенный интеграл. Первообразные от функций sin x, cos x, exp(x), ch(x), sh(x), дробно-линейной и степенной функций.

9. Определенный интеграл. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра, по параметру.

10. Необходимое и достаточное условий локального экстремума функций нескольких переменных.

11. Скалярное и векторное поля. Поток векторного поля через поверхность, циркуляция. Градиент, дивергенция, ротор, производная по направлению.

12. Формулы Остроградского-Гаусса, Грина, Стокса, 13. Разложение функции на заданном отрезке в ряд по гармоническим функциям.

Алгебра и аналитическая геометрия 1. Определитель, его свойства. Правило Крамера.

2. Ранг матрицы, его вычисление. Действия с матрицами. Критерий совместности системы линейных уравнений.

3. Решение однородных и неоднородных систем линейных уравнений.

4. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы с выводом одного из них.

5. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их геометрическая интерпретация.

6. Нормаль к поверхности. Угол между поверхностями в точке пересечения.

7. Определение тензорной величины. Собственные векторы и собственные значения матрицы тензора. Характеристический многочлен матрицы, инварианты в пространстве L3.

Дифференциальные уравнения 1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем.

2. Решение линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.

3. Решение линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

4. Метод вариации постоянных в решении дифференциальных уравнений.

5. Понятие функционала. Вариация функции. Вариация функционала и уравнение Эйлера.

6. Решение одномерной задачи на собственные значения. Ортогональность собственных функций, соответствующих разным собственным значениям с самосопряженной задаче.

Комплексный анализ 1. Комплексные числа, модуль, аргумент. Действия с комплексными числами:

сложение, умножение, возведение в степень. Геометрическая интерпретация на комплексной плоскости.

2. Формула Эйлера для комплексных чисел.

3. Аналитические функции. Условие дифференцируемости Коши – Римана функции комплексного аргумента.

4. Ряды Лорана.

5. Вычет. Вычисление интегралов методом вычетов.

6. Разложение функции в интеграл Фурье. Прямое и обратное преобразования.

Уравнения математической физики 1. Основные уравнения математической физики: волновое, Лапласа, Пуассона, теплопроводности.

2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

3. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения методом Даламбера.

4. Решение одномерного волнового уравнения методом Фурье.

5. Функция Грина в задачах Дирихле и Неймана с плоской границей.

6. Решение уравнения Пуассона в R3.

7. Решение волнового уравнения в R3.

8. Решение уравнения Гельмгольца в R3.

Методы вычислений 1. Задачи Интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.

2. Квадратурные формулы: прямоугольников, трапеций, Симпсона. Их погрешность.

3. Метод Рунге – Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Явная и неявная разностные схемы для уравнения теплопроводности и устойчивость.

5. Метод прогонки.

Теоретическая механика 1. Скорость и ускорение материальной точки в декартовых и естественных координатах.

2. Абсолютное, относительное и переносное движения материальной точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений точки.

3. Вращение твердого тела. Угловая скорость, угловое ускорение.

4. Уравнения равновесия твердого тела под действием системы сил.

Равнодействующая. Момент силы.

5. Понятие силы. Законы Ньютона их достоинства и ограниченность.

6. Работа. Понятие энергии. Кинетическая энергия, закон изменения кинетической энергии материальной точки.

7. Силовое поле. Потенциальные силовые поля. Потенциальная энергия и ее свойства.

8. Закон изменения полной энергии материальной точки. Мощность силы.

9. Законы изменения и сохранения импульса системы материальных точек.

Реактивное движение, уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

10. Теорема о движении центра масс системы материальных точек.

11. Момент импульса. Законы изменения и сохранения момента импульса в системе материальных точек.

12. Теорема об изменении полной энергии системы материальных точек.

13. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

14. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижного центра.

15. Уравнение движения материальной точки в неинерциальных системах отсчета.

Силы инерции: переносная, центробежная, Кориолеса.

16. Связи, классификация. Силы реакции. Уравнение Лагранжа I рода для движения материальной точки по поверхности.

17. Число степеней свободы. Обобщенные координаты и скорости. Уравнение Лагранжа второго рода. Лагранжиан.

18. Теорема Эммы Нетер и интегралы движения.

19. Вариация. Вариационный принцип Гамильтона.

20. Положение равновесия системы материальных точек. Необходимое и достаточное условие положения равновесия.

21. Положение устойчивого равновесия. Теорема Лагранжа. Признаки неустойчивости положения равновесия Ляпунова и Четаева.

22. Асимптотически устойчивое положение равновесия. Теорема Лагранжа об асимптотической устойчивости.

23. Суждение о положении равновесия по функции Ляпунова.

24. Суждение о положении равновесия по линейному приближению уравнений движения. Теорема Ляпунова.

25. Критерии асимптотической устойчивости Рауса, Льенара - Шипарда, Михайлова.

26. Движение механической системы вблизи положения устойчивого равновесия.

Характеристическое уравнение. Определение собственных частот и форм колебаний.

1. Описание сплошной среды по Эйлеру и Лагранжу.

2. Деформации. Компоненты тензора конечных и малых деформаций и их геометрический смысл. Условия совместности для тензора деформаций.

3. Скорость движения среды. Линии тока и траектории. Вихрь, механический смысл вихря. Тензор скоростей деформации и тензор вихря. Связь тензора вихря и вихря.

4. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса.

5. Виды сил в сплошной среде. Напряжения, тензор напряжений. Выражение через напряжение сил, действующих на граничную поверхность. Симметричность напряжений в немоментных средах. Инварианты тензора напряжений.

6. Уравнение неразрывности в материальной и пространственной формах. Условие несжимаемости среды.

7. Уравнения движения сплошной среды в материальной и пространственной формах.

8. Энтропия, второе начало термодинамики. Температура и ее свойства.

9. Уравнение баланса внутренней энергии. Уравнение теплопроводности, плотность потока внутренней энергии. Производство внутренней энергии.

10. Идеальные жидкость и газ. Уравнение Эйлера. Граничные условия на твердой и свободной поверхности.

11. Баротропные процессы. Интегралы движения в гидродинамике идеальной жидкости. Интеграл Бернулли.

12. Интенсивность вихря. Вихревые теоремы Томсона и Гельмгольца.

13. Потенциальное обтекание тела идеальной несжимаемой жидкостью.

Присоединенная масса тела. Присоединенная масса сферы.

14. Тензор вязких напряжений. Положительность коэффициента сдвиговой вязкости.

15. Уравнение Навье –Стокса течения несжимаемой вязкой жидкости. Граничные условия на твердой и свободной поверхности.

16. Число Рейнольдса. Ламинарные течения. Краевая задача о течении Куэтта в 17. Задача об установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом канале. Формула Пуазейля.

18. Закон Гука в изотропной упругой среде. Модули упругости, сдвиговой, объемный, Юнга. Коэффициент Пуассона.

19. Уравнения движения линейно-упругой среды. Граничные условия на своюодной поверхности и границе раздела сред.

20. Метод потенциалов в решении задачи определении поля перемещений в линейной упругой среде. Скалярный и векторный потенциалы.

21. Продольные и сдвиговые волны в изотропном упругом пространстве.

22. Волны Рэлея на поверхности упругого полупространства.

23. Задача о действием нормальной нагрузки на упругое полупространство.

24. Теория подобия и размерностей. П-теорема.

Рекомендуемая литература для подготовки к экзамену 1. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука. 1990. 528 С.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. М.: Наука. 2005.

3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2003..

4. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Кн. 1. М.: Высшая школа, 2002; Кн. 2. М.: Высшая школа, 5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.:

Наука, 1990 и последующие издания.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.I-III.

М.: Физматриз, 1962 или другие издания.

7. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.

8. Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Кн.I-IV. Новосибирск: Изд-во ИМ, 1999-2001.

9. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Части I, II. М.: МГУ, 1995.

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука. 1999. 296 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру.

4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре.

5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.

6. Александров П.С. Аналитическая геометрия. М. 1968.

7. Постников М.М. Лекции по геометрии. I семестр. М. 1979.

8. Кожевников Е.Н. Сборник задач по векторному анализу. Самара. Изд-во «Самарский университет». 2000. 83С.

1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:

Наука. 1969. 424 с.

2. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М:

Наука, 1998. 231 с.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука. 1982. 331 с.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1998.

1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука, 1976, Ч.1.

2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.- М.:

3. Маркушевич А.И. Краткий курс аналитических функций.- М.: Наука, 1978.

4. Лаврентьев М.А.., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1998.

5. Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций.- М.:

Наука, 1972.

6. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.

М.: Наука, 1972.

1. Пулькина Л.С. Дифференциальные уравнения в частных производных. Учебное пособие. Самара, СамГУ, 2004.

2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М. Наука. 1981.

3. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б, Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., ВШ, 1970.

4. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Башарин А.А., Каримова Х.К., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики. М. Наука.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Г.М. Кобельков, Н.П. Жидков. М.:

Лаборатория базовых знаний, 2003. – 616 с.

2. Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. М.:

Лань, 2005. – 288 с.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. – 608 с.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. – 430 с.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

1. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Т. I, II. - М.: Наука, 2. Айзерман М.А. Классическая механика. М:Физматлит. 2005. 380 С.

3. Вильке В.Г. Теоретичекая механика. – М.: МГУ. 1991,1998.

4. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. МИ.: МГУ. 1992.

5. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. I, II. - М.: Наука, 1990.

6. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. I, II. - М.:

7. Тарг М.С. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 1968, 1995.

8. К. Ланцош. Вариационные принципы механики. М.: Наука. 1965. 407с.

9. Д.тер Хаар. Основы Гамильтоновой механики. – М.Наука. 1974. 223с.

10. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1995.

11. Березин Е.Н. Решение задач по теоретической механике. М.:МГУ. 2007. -112 с. (б/ Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред :Либроком. 2010. 208 С.

(гриф. Минобразования) 2. Седов Л.И. Механика сплошных сред. Т. I, II. М.: Наука, 1970.

3. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.

Петкевич В.В. Основы механики сплошной среды. М УРCC. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.:Физматлит. 2003. 736 С. (гриф.

Минобразования) Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теория упругости. :Физматлит. 2007. 264 С. (гриф.

Минобразования) Новацкий В. Теория упругости. М.:Мир. 1975. 872 С.

Лойцанский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987.

Андреев В.К. Задачи по гидродинамике. Красноярск. 10. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика сплошных сред. М.: МГУ.

11. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: Гостехиздат. 1947.

12. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. – М., 1955. – Ч.I, изд. 5 – 560 с., М., 1963. Ч.II, изд. 4 – 728 с. (цитируется - ККР).

13. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.: Наука, 1965, – С.209-240).

14. Жермен П. Курс МСС. М.: Высшая школа, 1983.

15. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1977.

Декан механико-математического факультета