Министерство образования и науки РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный университет»

Механико-математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по научной работе А.Ф.Крутов «»_ 2011 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Автомодельные решения уравнений математической физики и механики»

( ОД.А.04; цикл «Дисциплины по выбору аспиранта»

основной образовательной программы подготовки аспиранта по отрасли Физико-математические науки, специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела) Самара Рабочая программа составлена на основании паспорта научной специальности 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела; в соответствии с Программой-минимум кандидатского экзамена по специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела» по физико-математическим наукам и учебным планом СамГУ по основной образовательной программе аспирантской подготовки.

Составитель рабочей программы: Степанова Лариса Валентиновна, доцент, доктор физикоматематических наук.

Рабочая программа утверждена на заседании ученого совета механико-математического факультета Председатель ученого совета «_»2011 г. _ Новиков С.Я.

(подпись)

СОГЛАСОВАНО:

Начальник отдела послевузовского профессионального образования «_»2011 г. _ Л.А.Круглова (подпись) 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в системе подготовки аспиранта, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины – знакомство с аналитическими методами построения точных решений нелинейных уравнений математической физики и механики, овладение методами построения автомодельных решений с помощью анализа размерностей, с помощью классического метода исследования симметрий дифференциальных уравнений; изложение новых подходов анализа размерностей и гипотезы автомодельности; применение этих новых подходов и методов для исследования задач механики с целью построения точных аналитических решений.

Задачи дисциплины:

• ознакомить слушателей с применением анализа размерностей величин к построению точных частных решений задач математической физики (решений типа бегущей волны и автомодельных решений);

• рассмотреть классические примеры автомодельных решений задач математической физики (задача о мгновенном тепловом источнике, задача о сильном взрыве, задача о пограничном слое на пластинке);

• дать классификацию автомодельных зависимостей и автомодельных решений;

• рассмотреть классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений (метод группового анализа), продемонстрировать использование симметрий уравнений для поиска точных решений;

• рассмотреть примеры симметрий уравнений математической физики (симметрии уравнений стационарного гидродинамического пограничного слоя);

• продемонстрировать основные методы и приемы решения задач.

1.2. Требования к уровню подготовки аспиранта, завершившего изучение данной дисциплины В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен:

Иметь представление:

• об анализе размерностей величин и применении его к построению точных решений задач математической физики;

• о полной и неполной автомодельности, об автомодельных решениях первого и второго рода;

• о методах решения нелинейных уравнений математической физики и механики (метод подобия, подход, основанный на решении функционального уравнения);

• о классическом методе исследования симметрий.

Знать:

• базовую терминологию, относящуюся к автомодельным решениям уравнений математической физики и механики;

• основные методы теории подобия и размерности;

• классические автомодельные решения уравнений математической физики и задач механики;

• знать основные понятия теории групп;

• содержание специализированной литературы, посвященной автомодельным решениям уравнений математической физики и механики;

• классификацию автомодельных решений, примеры автомодельных решений первого и второго рода;

• основные методы исследования симметрий дифференциальных уравнений (метод группового анализа).

• использовать методы теории подобия и анализа размерностей в математических моделях физических явлений на основе фундаментальных законов природы, вариационных принципов;

• привести примеры автомодельных решений уравнений математической физики;

• показать в "работе" классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений;

• применять основные приемы теории подобия и анализа размерностей при исследовании задач различной природы;

• проанализировать полученные результаты.

Быть способным:

• дать классификацию автомодельных решений;

• привести примеры автомодельных решений уравнений математической физики и механики;

• применить основные методы исследования симметрий дифференциальных уравнений;

• показать в "работе" приемы классического метода исследований симметрий дифференциальных уравнений;

• решать задачи курса на профессиональном уровне, включая разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования;

• самостоятельно математически корректно ставить инженерно-физические задачи;

• реализовать математические модели средствами вычислительной техники;

• использовать современные достижения науки и передовой технологии в научноисследовательских работах.

1.3.Связь с предшествующими дисциплинами Курс предполагает наличие у аспирантов знаний по механике сплошных сред, механике деформируемого твердого тела, теории упругости, механике жидкости, газа и плазмы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математического анализа, функционального анализа; уравнений в частных производных.

1.4.Связь с последующими дисциплинами Знания и навыки, полученные аспирантами при изучении данного курса, необходимы при подготовке и написании диссертации по специальности 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела.

2. Содержание дисциплины 2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах и зачетных единицах) Форма обучения (вид отчетности) 1-3 годы аспирантуры; вид отчетности – экзамен кандидатского минимума.

Трудоемкость изучения дисциплины Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего) в том числе:

Лекции Семинары практические занятия Самостоятельная работа аспиранта (всего) в том числе:

Подготовка к практическим занятиям Подготовка реферата Подготовка эссе Изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку 2.2. Разделы дисциплины и виды занятий Анализ размерностей и подобие. Размерность. Анализ размерностей. Подобие. Птеорема Применение анализа размерностей величин к построению точных частных решений задач математической физики и механики.

Автомодельность. Промежуточная асимптотика.

второго рода. Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Автомодельное решение второго рода. Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике.

размерностей в модифицированной задаче о мгновенном тепловом источнике. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение. Модифицированная задача о сильном взрыве.

Классификация автомодельных зависимостей и Полная и неполная автомодельность. Автомодельные Автомодельные решения и бегущие волны. Полная и неполная автомодельность упругости и разрушения.

Решения типа бегущих волн.

Ударная волна Бюргерса – стационарная бегущая волна первого рода. Пламя – стационарная бегущая волна второго рода. Задача о равновесии упругого клина под действием пары сил, приложенной в его вершине. Парадокс Стернберга-Койтера.

математике. Группы преобразований. Множества и отображения. Преобразования и их свойства. Группы преобразований и их инварианты.

Общее понятие группы. Определение группы.

Группы преобразований.

Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли.

Однопараметрические преобразования и их локальные свойства. Однопараметрические преобразования и их локальные свойства.

Инфинитезимальный оператор. Инвариант оператора.

Преобразования на плоскости. Формулы для вычисления производных. Координаты первого и второго продолжений.

уравнений второго порядка. Условие инвариантности.

производным. Примеры поиска симметрий нелинейных физики. Двумерное стационарное уравнение теплопроводности с нелинейным источником. Нелинейное уравнение нестационарной теплопроводности. Нелинейное волновое уравнение. Допустимые инфинитезимальные движения нелинейной вязкопластической среды 2.3. Лекционный курс.

Раздел 1. Методы теории подобия и размерности.

Тема 1.1. Анализ размерностей и подобие.

1.1. Размерность. Анализ размерностей. Физическое подобие. П-теорема. Применение П-теоремы.

Тема 1.2. Применение анализа размерностей величин к построению точных частных решений задач математической физики и механики. Автомодельные решения.

Задача о точечном тепловом источнике. Сильные тепловые волны. Сильные взрывные волны. Автомодельность. Пологое течение грунтовых вод. Очень интенсивное заводнение: автомодельное решение. Промежуточная асимптотика. Интенсивный поток от импульса грунтовых вод на границе.

2.4. Практические (семинарские) занятия – не предусмотрены.

3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний 3.1. Контрольные работы – не предусмотрены.

3.2. Список вопросов для промежуточного тестирования – не предусмотрено.

3.3. Самостоятельная работа Изучение учебного материала, перенесенного с аудиторных занятий на самостоятельную проработку.

Выявление информационных ресурсов в научных библиотеках и сети Internet по следующим направлениям:

• библиография по автомодельным решениям уравнений математической физики и механики;

• публикации (в том числе электронные) источников по автомодельным решениям уравнений математической физики и механики;

• научно-исследовательская литература по автомодельным решениям уравнений математической физики и механики.

Конспектирование и реферирование первоисточников и научно-исследовательской литературы по тематическим блокам.

Темы, вынесенные на самостоятельное изучение аспирантов.

Тема 1.3. Автомодельные решения второго рода. Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Автомодельное решение второго рода.

Модифицированная задача о мгновенном тепловом источнике. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о мгновенном тепловом источнике. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение. Модифицированная задача о сильном взрыве. Прямое применение анализа размерностей в модифицированной задаче о точечном сильном взрыве. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика.

Автомодельное предельное решение. Качественное исследование нелинейной задачи на собственные значения. Задача о коротком ударе. Численный эксперимент. Автомодельная промежуточная асимптотика. Автомодельное предельное решение.

Тема 1.4. Классификация автомодельных зависимостей и автомодельных решений.

Полная и неполная автомодельность. Автомодельные решения первого и второго рода.

Тема 1.5. Автомодельные решения и бегущие волны. Полная и неполная автомодельность упругости и разрушения.

Решения типа бегущих волн. Ударная волна Бюргерса – стационарная бегущая волна первого рода.

Пламя – стационарная бегущая волна второго рода. Задача о равновесии упругого клина под действием пары сил, приложенной в его вершине. Парадокс Стернберга-Койтера. Промежуточная асимптотика решения неавтомодельной задачи. Законы подобия хрупкого и квазихрупкого разрушения.

Тема 1.6. Решения типа бегущей волны и автомодельные решения. Метод подобия. Общий вид решений типа бегущей волны. Инвариантность уравнений относительно преобразований сдвига.

Функциональное уравнение, задающее решение типа бегущей волны. Метод подобия. Примеры автомодельных решений уравнений математической физики и механики. Уравнения, инвариантные относительно комбинаций преобразований сдвига и растяжения, и их решения. Экспонециальноавтомодельные решения. Инвариантные решения. Обобщенно-автомодельные решения.

Раздел 2. Симметрия в математике. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 2.1. Введение. Симметрия в современной математике. Группы преобразований. Множества и отображения. Преобразования и их свойства. Группы преобразований и их инварианты. Общее понятие группы. Определение группы. Четные и нечетные функции. Задача о кубе. Задача о восстановлении формы тела. Томограф и его устройство. Однопараметрические группы преобразований. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие фундаментальной системой решений. Фундаментальные решения уравнений математической физики как инвариантные решения. Группа Галуа.

Тема 2.2. Группы преобразований. Группа точечных преобразований. Продолжение группы и инфинитезимального оператора. Дифференциальные уравнения, допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка с помощью однопараметрической группы. Определяющее уравнение. Алгебра Ли.

Тема 2.3. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих двухпараметрическую группу.

Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование в квадратурах с помощью двумерной алгебры. Пример уравнения, не допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах. Групповая классификация уравнений второго порядка. Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки линеаризуемости. Инвариантные решения. Определения и решения. Оптимальная система инвариантных решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих 3-хмерную алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи. Сферические функции. Групповой подход в методе Римана.

Раздел 3. Классический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений.

Тема 3.1. Однопараметрические преобразования и их локальные свойства. Однопараметрические преобразования и их локальные свойства. Инфинитезимальный оператор. Инвариант оператора.

Преобразования на плоскости. Формулы для вычисления производных. Координаты первого и второго продолжений.

Тема 3.2. Симметрии нелинейных уравнений второго порядка. Условие инвариантности. Процедура расщепления по производным. Примеры поиска симметрий нелинейных уравнений математической физики. Двумерное стационарное уравнение теплопроводности с нелинейным источником.

Нелинейное уравнение нестационарной теплопроводности. Нелинейное волновое уравнение. Допустимые инфинитезимальные операторы и инварианты движения нелинейной вязко-пластической среды.

Тема 3.3. Использование симметрий уравнения для поиска точных решений. Использование симметрий уравнения для построения однопараметрических решений. Процедура построения инвариантных решений. Примеры построения инвариантных решений нелинейных уравнений. Решения, порождаемые линейными комбинациями допускаемых операторов.

Тема 3.4. Уравнения старших порядков. Однопараметрические группы Ли точечных преобразований. Генератор группы. Инвариант группы. Локальные преобразования производных. Условие инвариантности. Процедура расщепления. Инвариантные решения. Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного безградиентного гидродинамического пограничного слоя. Допустимые инфинитезимальные операторы и инвариантные решения уравнения стационарного градиентного гидродинамического пограничного слоя.

Тема 3.5. Симметрии систем уравнений математической физики. Основные соотношения, используемые при анализе симметрий систем уравнений. Симметрии уравнений гидродинамического пограничного слоя. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений установившегося околозвукового течения газа. Допустимые операторы и инвариантные решения нелинейной системы уравнений одномерных длинноволновых колебаний упругого стержня. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений одномерного изэнтропического движения идеального газа. Допустимые операторы и инвариантные решения системы уравнений двумерного установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости.

Тема 3.6. Неклассический метод исследования симметрий дифференциальных уравнений. Описание метода. Условие инвариантной поверхности. Алгоритм построения точных решений неклассическим методом для эволюционных уравнений второго порядка. Конкретные примеры: уравнение Фитсхью-Нагумо и нелинейное волновое уравнение.

3.3.1. Поддержка самостоятельной работы:

• Список литературы и источников для обязательного прочтения.

• Полнотекстовые базы данных и ресурсы, доступ к которым обеспечен из кампусной сети СамГУ (сайт научной библиотеки СамГУ, URL: http://weblib.samsu.ru/level23.html):

1. Издания Самарского государственного университета 2. Полнотекстовая БД диссертаций РГБ 3. Научная электронная библиотека РФФИ (Elibrary) 4. Университетская библиотека ONLINE 5. Университетская информационная система Россия 6. ЭБС «БиблиоТЕХ»

7. Коллекция журналов издательства Оксфордского университета 8. Словари и справочники издательства Оксфордского университета 9. Реферативный журнал ВИНИТИ 10. Полнотекстовые статьи из коллекции журналов по математике Научной электронной библиотеки РФФИ (E-library), к которым имеется доступ в сети Интернет: «доклады РАН»; «Известия РАН, Механика твердого тела»; «Известия РАН. Механика жидкости и газа»; «Прикладная математика и механика»; «Прикладная механика и техническая физика»; «Математические заметки»; «Журнал вычислительной математики и математической физики»; «Теоретическая и математическая физика»; «Дифференциальные уравнения»; «Вестник Самарского государственного университета. Серия естественные науки»; «Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки»; «Журнал Сибирского федерального университета.

Серия: Математика и физика»; «Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН».

3.3.2. Тематика рефератов – не предусмотрены.

Итоговый контроль проводится в виде экзамена кандидатского минимума.

4. Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ (Перечень обучающих, контролирующих и расчетных программ, диафильмов, слайдфильмов, кино- и телефильмов).

Программы пакета Microsoft Offiсe;

Сайт научной библиотеки СамГУ, с доступом к электронному каталогу и полнотекстовым базам данных – URL: http://weblib.samsu.ru/level23.html 5.Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) не предусмотрены.

6. Материальное обеспечение дисциплины (Современные приборы, установки (стенды), необходимость специализированных лабораторий и классов) • Компьютерные классы, оснащенные компьютерами класса Pentium 4 с выходом в Интернет и в локальную сеть Самарского государственного университета, а также принтеры, сканеры и ксероксы.

7. Литература 7.1. Основная 1. Степанова Л.В. Сборник задач по курсу «Автомодельные решения уравнений математической физики». Самара. Изд-во "Самарский университет". 2010. 28 с. (100 экз).

2. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple (учебник для вузов). СПб: Питер, 2004. 538 с.

3. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2008.

4. Ильин А.М. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2009. 192 с. (Рек УМО).

5. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики.

Точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.

6. Кудряшов А.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2010. 368 с.

7.2. Дополнительная 1. Баренблатт Г.И. Автомодельные явления – анализ размерностей и скейлинг. Долгопрудный:

Издательский Дом «Интеллект», 2009. 216 с.

2. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. Ленинград.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 c.

3. Тарасевич Ю.Ю. Нахождение и визуализация автомодельных решений дифференциальных уравнений в частных производных средствами Maple. Астрахань: Астраханский госуниверситет, 2010. 23 с.

4. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987. 428 с.

5. Пенни Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и вычисления с помощью Mathematica, Maple и Matlab. М.: Диалектика, 2008. 1104 с.

6. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Н.Г, Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. М.: УРСС, 2006. 376 с.

7. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: МЦНМО, 2002. 240 с.

8. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 с.

9. Симметрии дифференциальных уравнений. Сборник научных трудов. М.: МФТИ, 2009. 192 с.

10. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. Под ред. Виноградова А.М., Красильщика И.С. М.: Факториал Пресс, 2005. 380 с.

11. Бочаров А.В. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Факториал Пресс, 2005. 384 с.

12. Вербовецкий А.М., Хорькова Н.Г., Четвериков В.Н. Симметрии дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 36 с.

13. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. М.:

Факториал Пресс, 2005. 608 с.

14. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 400 с.

15. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. 48 с.

16. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991. 48 с.

17. Вейль Г. Симметрия. М.: УРСС, 2003.192 с.

18. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

7. 3. Учебно-методические материалы по дисциплине 1. Степанова Л.В. Сборник задач по курсу «Автомодельные решения уравнений математической физики». Самара. Изд-во "Самарский университет". 2010. 28 с. (100 экз).

http://www.allmath/appliedmath/mathmet/mathmet9/mathmet.htm 3. Электронная библиотека Попечительского совета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова http://lib.mexmat.ru http://books4study.com.ua/doc3002.html http://books4study.com.ua/document3381.html 6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.

М.: Физматлит, 2005. 320 с. http://books4study.com.ua/doc4526.html 7. www.plib.ru/library/book/14944.html.

8. www.libedu.ru.

9. www.twirpx.com.

10. www.ph4s.ru/book_mat_difur.html.

11. Электронная библиотека «Мир математических уравнений» http://eqworld.ipmnet.ru 12. http://www.math.ru 13. http://www.allmath.ru

ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ

за _/_ учебный год В рабочую программу курса ОД.А.04, «Автомодельные решения уравнений математической физики и механики», цикл «Дисциплины по выбору аспиранта» основной образовательной программы подготовки аспиранта по отрасли Физико-математические науки, специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела, вносятся следующие дополнения и изменения: