МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Кемеровский государственный университет»
в г. Анжеро-Судженске
«1» марта 2013 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине «Функциональный анализ» (ОПД.В2.) для специальности 080116.65 «Математические методы в экономике»факультет информатики, экономики и математики курс: 4 зачёт: 8 семестр семестр: 8 лекции: 12 часов практические занятия: 14 часов самостоятельная работа: 24 часа всего часов: 50 Составитель: док. физ.-мат. наук, профессор кафедры математики Якупов Р.Т.
Анжеро-Судженск Рабочая программа составлена на основании:
«ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»
Рабочая программа обсуждена На заседании кафедры математики Протокол №6 «31» января 2013г.Зав. кафедрой_ Якупов Р.Т.
(Ф.И.О., подпись) Одобрено методической комиссией Протокол №8 «26» февраля 2013г.
Председатель _ Якупов Р.Т.
(Ф.И.О., подпись) 1. Пояснительная записка Программа учебной дисциплины «Функциональный анализ» составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 080116 «Математические методы в экономике».
В результате изучения дисциплины студенты должны получить представление о внутренней логике развития теории множеств, отображений метрических пространств, линейных пространств и функционалов на них.
Цель дисциплины – ознакомление студентов с базовыми понятиями и методами функционального анализа и их практическим применением.
При изучении курса решаются следующие задачи:
- изучение свойств функциональных пространств и операторов;
– освоение студентами основных приемов формулировки и решения задач с использованием методов функционального анализа.
Студенты, завершившие изучение курса функциональный анализ, должны Знать:
основные положения теории функциональных пространств, теорию линейных операторов.
понятие сжимающего оператора и метод последовательных приближений;
Уметь:
применять методы функционального анализа для решения практических задач (в том числе для решения алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений).
Дисциплина «Функциональный анализ» изучается в 8 семестре, в конце семестра студент должен сдать зачет по данной дисциплине.
Объем аудиторной нагрузки, необходимой для усвоения материала дисциплины, составляет 26 ч.
Методика преподавания дисциплины строится на сочетании лекций (12 ч.) с практическими занятиями (14 ч.).
Структура курса диктуется его небольшим объемом. В курс включены только основные начальные понятия функционального анализа: множества, метрические и топологические пространства, евклидовы и нормированные пространства, линейные операторы (в том числе функционалы), понятие об обобщенных функциях При изложении материала используются межпредметные связи с изученными ранее дисциплинами «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Теория вероятностей». Сведения, излагаемые в дисциплине «Функциональный анализ» будут полезны студентам при самостоятельном освоении ими современных математических методов решения оптимизационных задач применительно к проблемам предметной области «Экономика».
2. ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Метрические пространства3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕМА 1. Множества.Действия над множествами. Отображение множеств. Эквивалентность множеств.
Мощность множества. Упорядоченные множества. Кольцо множеств. Сигмаалгебры.
ТЕМА 2. Метрические пространства.
Определение. Примеры метрических пространств. Предельные точки множества.
Сходимость в метрическом пространстве. Полное метрическое пространство.
Примеры.
Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений.
Примеры применения (решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка, решение интегральных уравнений).
Непрерывные кривые в метрических пространствах.
Тема 3. Нормированные линейные пространства.
Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства.
Линейная зависимость. Базис и координаты. Размерность. Подпространства.
Фактор пространства. Линейные функционалы. Выпуклые множества. Выпуклые функционалы. Теорема Хана-Банаха. Определение нормированного пространства.
Примеры. Определение евклидова пространства. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Угол между векторами.
Ортонормированный базис. Полные евклидовы пространства. Гильбертово пространство. Топологические линейные пространства. Примеры.
Тема 4. Линейные операторы.
Непрерывные функционалы в топологических линейных пространствах. Линейные функционалы в нормированных пространствах. Сопряженные пространства.
Примеры. Обобщенные функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями. - функция Дирака, ее свойства. Определение и примеры линейных операторов. Непрерывность и ограниченность. Действия над линейными операторами. Обратный оператор.
Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Спектр оператора.
Компактные операторы. Примеры. Свойства. Собственные значения компактного оператора.
Метрические пространства. Построение метрики. Полное метрическое пространство. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений Пикара и его применение.
Евклидовы пространства. Нормированные пространства. Построение нормы. Построение ортонормированного базиса. Полное евклидово пространство.
Линейные операторы. Линейные функционалы. Их непрерывность, ограниченность.
Обобщенные функции. Действия над обобщенными функциями. Дельта-функция Дирака.
4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
функционального анализа: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004.2. Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2002.
3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. - М.: Наука, 1996.
4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512с.
5. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа. – Новосибирск: Изд-во 6. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. – М.: Вуз.книга, 2000. – 320с.
7. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник для вузов.– М.:
Физматлит, 2002.
1. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975. – 448с.
2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М:
Высш.шк., 1982.
3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука,1984. – 4. Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения. – М.: Мир, 1969.
5. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.:
6. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624с.
7. Гельфанд И.М., Шилов Г.В. Обобщённые функции. – М.: Физматгиз, 1958, Т.1. – 440с.
8. Садовничий В.А. Теория операторов. – М.: МГУ, 1986.
9. Кирилов А.А., Гвишиани А.Д., Теоремы и задачи функционального анализа.
– М.: Наука, 1970. – 384с.
10. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. – Минск: Высшая шк., 1978. – 206 с.
11. Мышкис А.Д. Математика для ВТУЗов. Специальные курсы. – М.: Наука, 12. Рид М., Саймон Б. Функциональный анализ. М., Мир, 1977.
13. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1967.
5. ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО
КОНТРОЛЯ
Текущий контроль осуществляется в формах:Промежуточный контроль:
– самостоятельные аудиторные работы.
Итоговый контроль:
1. Множества. Действия над множествами. Отображение множеств.
2. Эквивалентность множеств. Мощность множества. Упорядоченные множества.
3. Кольцо множеств. Сигма-алгебры.
4. Определение метрического пространства. Примеры метрических пространств.
5. Предельные точки множества. Сходимость в метрическом пространстве. Полное метрическое пространство.
6. Метрики равномерная и среднеквадратичная на множестве C[a,b] непрерывных и D[a,b] дифференцируемых на отрезке функций. Полное метрическое пространство.
7. Сжимающий оператор, неподвижная точка. Принцип сжимающих отображений.
8. Метод последовательных приближений Пикара. Его применение для алгебраических уравнений и систем линейных алгебраических уравнений.
9. Применение метода последовательных приближений к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.
10. Применение метода последовательных приближений к решению интегральных уравнений.
11. Непрерывные кривые в метрических пространствах.
12. Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства.
13. Линейная зависимость элементов линейного пространства.
14. Понятие базиса и координат. Размерность. Подпространства. Фактор пространства.
12. Линейные функционалы. Выпуклые множества. Выпуклые функционалы.
15. Теорема Хана-Банаха.
16. Определение нормированного пространства. Норма. Метрика в нормированном пространстве. Банахово пространство. Нормы в C[a,b] и D[a,b].
17. Определение евклидова пространства. Скалярное произведение на множестве L2[a,b] интегрируемых в квадрате на отрезке функций. Неравенство КошиБуняковского. Неравенство треугольника. Угол между векторами.
Ортонормированный базис.
18. Полные евклидовы пространства. Гильбертово пространство. Неполнота C[a,b] по среднеквадратичной и полнота по равномерной метрикам.
19. Топологические линейные пространства. Примеры.
20. Непрерывные функционалы в в топологических линейных пространствах.
29. Линейные функционалы в нормированных пространствах.
22. Сопряженные пространства. Примеры.
23. Обобщенные функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции.
Действия над обобщенными функциями.
24. - функция Дирака, ее свойства.
25. Импульсные функции и обобщенная производная.
26. Определение и примеры линейных операторов.
27. Непрерывность и ограниченность линейного оператора.
28. Действия над линейными операторами. Обратный оператор.
29. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Спектр оператора.
30. Компактные операторы. Примеры. Свойства. Собственные значения компактного оператора.
5.2. Вопросы для самопроверки при подготовке к зачету 1. Какое множество называется линейным пространством?
2. Какие условия налагаются на операции сложения и умножения на число в линейном пространстве?
3. В каком случае линейное пространство называется вещественным, а в каком комплексным?
4. Какими свойствами характеризуется линейное пространство?
5. Приведите примеры линейных пространств.
6. Что такое линейная комбинация векторов в линейном пространстве?
7. В каком случае вектора линейного пространства называются линейно зависимыми?
8. Приведите примеры линейно зависимых элементов линейного пространства, элементами которого являются многочлены Pn(x) от одной переменной x.
9. Какая система векторов линейного пространства называется базисом?
10. Чем определяется размерность линейного пространства?
11. Что называется подпространством линейного пространства?
12. Какие примеры подпространств линейного пространства вы знаете?
13. Как определяется скалярное произведение векторов линейного пространства?
14. Какое линейное пространство называется евклидовым?
15. Какие примеры евклидовых пространств вы знаете?
16. Как определяется длина вектора в евклидовом пространстве?
17. Какое неравенство имеет место для скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве?
18. Какое неравенство для произвольных векторов выполняется в евклидовом пространстве?
19. Когда векторы линейного пространства ортогональны?
20. Какой базис евклидова пространства называется ортогональным?
21. Какой базис евклидова пространства называется ортонормированным?
22. Во всяком ли евклидовом пространстве имеются ортонормированные базисы?
23. Что называется оператором линейного пространства, действующим из одного непустого множества в другое непустое множество?
24. Что называется областью определения оператора линейного пространства?
25. Что называется прообразом элемента?
26. Что называется областью значений оператора линейного пространства?
27. При каком условии оператор линейного пространства называется взаимнооднозначным?
28. При каких условиях оператор линейного пространства называется линейным?
29. Как определяется матрица линейного оператора линейного пространства?
30. Приведите примеры линейных операторов линейного пространства.
31. Какой оператор называется суммой линейных операторов?
32. Какой оператор называется произведением линейного оператора на число?
33. Какой оператор называется произведением двух линейных операторов?
34. Какой оператор линейного пространства называется сопряжённым по отношению к другому оператору линейного пространства?
35. Какой линейный оператор называется самосопряжённым (или эрмитовым)?
36. Что называется метрическим пространством?
37. Приведите примеры метрических пространств?
38. Что называется замкнутым шаром метрического пространства?
39. Что называется открытым шаром метрического пространства?
40. Что называется предельной точкой множества метрического пространства?
41. Что называется изолированной точкой множества метрического пространства?
42. Сформулируйте необходимое и достаточное условие для точки прикосновения множества метрического пространства.
43. При каком условии множество метрического пространства является замкнутым?
44. При каком условии последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной?
45. Какое метрическое пространство называется полным?
46. Какое отображение называется сжимающим?
47. В чём сущность принципа сжимающих отображений?
48. В чём сущность метода последовательных приближений?
1. Будет ли замкнутым в C[a, b] множество многочленов заданной степени k?
2. Доказать, что для любых 4-х точек x, y, z, t метрического пространства ( X, ), справедливы неравенства:
3. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны следующим двум аксиомам:
4. Пусть ( x, y) - метрики на множестве X. Доказать, что функции б) 2 ( x, y) min ( x, y),1 являются метриками на X.
5. Докажите, что множество натуральных чисел N с метрикой 6. Доказать что следующие множества с заданными на них метриками являются полными метрическими пространствами:
а) Множество l всех ограниченных числовых последовательностей удовлетворяющих условию x x1, x2,... с метрикой ( x, y) supk xk yk ;
б) Множество l всех числовых последовательностей удовлетворяющих x x1, x2,... стремящихся к нулю, с метрикой ( x, y) max k xk yk в) Множество C[a, b] всех непрерывных функций на отрезке [a, b] с метрикой 7. Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций взять за норму элемента x(t):
ограниченными:
«