А.Л. Вернер. А.Д. Александров и школьный курс геометрии.

Нужно быть ближе к жизни! В жизни ясно, что |AB| > 0 и |AB| = |BA|.

Ясно без специальных формулировок. Вот и нужно, чтобы ученики понимали, прежде всего, что речь идёт об обыденных вещах, которые только уточняются.

А то ведь получается, что в жизни «расстояние» — это одно, а в геометрии другое, в жизни предметы одинаковые, а в геометрии конгруэнтные.

Замечание Ваше об одинаковых телах, фигурах прекрасно. Это Вы здорово сообразили. Ваш АА».

Из этого письмо хорошо видно, сколь увлечённо работал над учебниками в те годы Александр Данилович. Недаром в одной из рецензий на наши учебники Н.П. Долбилин написал, что А.Д. Александров вдохновенно говорит о геометрии.

Увлечённость Александра Даниловича геометрией прекрасно чувствуются уже в написанных им Предисловии и Введении к нашему первому учебнику [12].

Вот два абзаца из Предисловия учебника [12].

«Сущность геометрии в органическом соединении пространственных представлений со строгой логикой, в котором они взаимно проникают и организуют друг друга. И так как всё, что ни есть, находится в пространстве, то геометрия, как теория пространственных форм и отношений, имеет всеобщее значение.

Мы окружены её реальными воплощениями, она лежит в основе всей техники, появляясь всюду, где требуется малейшая точность в определении форм и размеров. Геометрия не существует без этих связей, — взятая «в себе», она не будет тем, что она есть на самом деле.

Соответственно, первая особенность предлагаемого учебника состоит в том, что в нём уделено существенно большее внимание, чем это обычно делается, связи вводимых понятий и доказываемых теорем с реальными вещами, от повседневного обихода до техники и законов физики».

А вот отрывок из Введения учебника [12].

«Своеобразие геометрии, выделяющее её среди других разделов математики, да и всех наук вообще, и заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента геометрии:

наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — «лёд и пламень не столь различны меж собой». Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так её и надо изучать: соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины — со строгими формулировками и доказательствами».

Алексей Васильевич Погорелов, прочитав Введение учебника [12], сказал:

«Александр Данилович, я же знаю, как Вы умеете писать!». А в целом же Математические структуры и моделирование. 2012. Вып. 25. о [12] он сказал: «Но это — учебник». Согласно взглядам А.В. Погорелова, учебник геометрии должен быть лишь кратким и логичным.

Первые главы стереометрии Александр Данилович назвал «строительной геометрией». В них речь идёт о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве, об отношениях перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей. При этом перпендикулярность изучается до параллельности, а наиболее важное из отношений перпендикулярности — это отношение перпендикулярности прямой и плоскости. Вот как, переходя от «чистой» геометрии к «реальным вещам», Александр Данилович пишет о значении перпендикуляра:

«Перпендикуляр к плоскости играет очень важную роль и помимо того, что он является кратчайшим среди всех отрезков от данной точки до точек плоскости. Поясним ещё его значение. Положение плоскости в пространстве можно задавать, указывая перпендикулярную ей прямую и ту точку, в которой она эту прямую пересекает.

Важнейшее свойство перпендикуляра состоит в том, что плоскость расположена симметрично относительно него. Что это значит? Все лучи, лежащие в данной плоскости, образуют с ним равные углы — прямые углы, а для наклонной это не так. При вращении вокруг перпендикуляра плоскость совмещается сама с собой: колесо должно быть насажено на ось так, чтобы его плоскость была перпендикулярна оси. Прямоугольник со стороной, перпендикулярной плоскости, можно вращать вокруг этой стороны, а другая сторона будет скользить по плоскости. Это хорошо видно на правильно навешенной двери. Если ее край не вертикален, дверь не открывается свободно и задевает пол.

Беря примеры из физики, можно отметить, что давление жидкости или газа на стенку сосуда направлено по перпендикуляру к стенке, так же как давление груза на опору направлено по перпендикуляру к ней.

Перпендикуляр к поверхности фигурирует в законах отражения и преломления света. Так, закон отражения гласит: «Луч падающий и луч отражённый расположены в одной плоскости с перпендикуляром к поверхности зеркала в точке падения и образуют с ним равные углы».

Но главное значение перпендикуляра — это его роль в технике и во всей нашей жизни. Мы, можно сказать, окружены перпендикулярами: ножки стола перпендикулярны полу, край шкафа перпендикулярен стене и т.д. Вертикаль перпендикулярна горизонтальной плоскости. Перпендикулярность играет главную роль в строительстве: междуэтажные перекрытия укладывают перпендикулярно столбам каркаса здания. Параллельность плоскостей связана с наличием у них общих перпендикуляров. Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей — существенный элемент в строительстве, так что учение о перпендикулярах и параллелях можно назвать основами строительной геометрии».

Из геометрических величин основным в курсе является расстояние. Подчёркивается, что параллельные фигуры — это фигуры, идущие на постоянном расстоянии друг от друга (что и проверяется в практике). А вот как понятие расстояния позволило упростить доказательство теоремы о трёх перпендикулярах: наклонная к плоскости перпендикулярна прямой, лежащей в этой А.Л. Вернер. А.Д. Александров и школьный курс геометрии.

плоскости, тогда и только тогда, когда проекция наклонной перпендикулярна этой прямой.

Доказательство. Пусть даны наклонная AC к плоскости, её проекция BC на эту плоскость и прямая a, лежащая в плоскости и проходящая через точку C. В теореме два утверждения: 1) если AC a, то BC a; 2) если BC a, то AC a. Докажем их.

Возьмём переменную точку X прямой a и рассмотрим две величины AX и BX 2. Треугольник ABX — прямоугольный. Поэтому AX 2 = AB 2 + BX 2.

Значит, величины AX 2 и BX 2 отличаются на постоянное слагаемое. Поэтому эти величины свои наименьшие значения принимают одновременно — в одной и той же точке. Из этого и следуют оба утверждения теоремы.

Курс стереометрии стал более современным: появилось понятие опорной плоскости, рассматриваются конусы и цилиндры с произвольными основаниями (а не только конусы и цилиндры вращения), благодаря такому подходу, пирамида — это конус с многоугольным основанием, а призма — это цилиндр с многоугольным основанием, формулы для объёмов пирамид и призм — это частные случаи общих формул для объёмом конусов и цилиндров. При выводе формул для объёмов тел применяется понятие производной.

Когда в конце лета встал вопрос о задачном материале, я познакомил Александра Даниловича с одним из известных ленинградских учителей Валерием Идельевичем Рыжиком. В.И. Рыжик закончил матфак ЛГПИ им. А.И. Герцена тремя годами позднее меня и работал тогда в математической 239-ой школе. Знакомство состоялось в гостинице Герценовского института, где в те годы часто жил Александр Данилович как гость ректора ЛГПИ Александра Дмитриевича Боборыкина. Так и сложился наш авторский коллектив: А.Д.

Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.

Ознакомившись с теорией учебника и зная положение с курсом геометрии в школе в те годы, В.И. Рыжик сказал Александру Даниловичу, что учителя забыли о том, что такое геометрия — та подлинная геометрия, которая появится на страницах учебника Александрова. Поэтому надо написать в журнал «Математика в школе» статью о геометрии. Такая статья «О геометрии» [5], существенно повлиявшая на геометрическое образование в школе, появилась в середине 80-го года ещё до выхода учебника стереометрии.

Работа над учебником стереометрии шла весь 80-ый год. Шла интенсивно.

Так, например, Александр Данилович писал нам с В.И. Рыжиком из Новосибирска об учебнике 22-го и 31-го августа, 1, 2, 3 и 4 сентября. В издательство «Просвещение» мы сдали учебник в декабре 1980 года. Уже летом этого года стало ясно, что ждать с началом эксперимента до появления из печати учебника — это упустить ещё год или два. Выход был найден в том, что в Институте Математики в Новосибирске Александр Данилович опубликовал в 1980-81 году четыре препринта, которые охватили основное содержание учебника для 9-го класса. Там же публиковался небольшими выпусками и задачный материал. По этим-то препринтам и задачам начали эксперимент с 1980-го года в нескольких ленинградских школах учителя-энтузиасты: Лариса Петровна Евстафьева в 210-ой школе, Арон Иосифович Ржавинский в 159-ой школе, Анатолий АрМатематические структуры и моделирование. 2012. Вып. 25. сеньевич Окунев в 526-ой школе.

Работал по ним в 239-ой школе и В.И. Рыжик, а в одном из его классов по этим препринтам геометрии учился Гриша Перельман. Когда в те годы я упрекал Рыжика за то, что его задачи трудны, то он мне говорил: «А у меня в классе сидит Гриша Перельман. Должен же я чем-то загрузить его голову». Но, конечно, были среди задач у В.И. Рыжика и простые, посильные для обычных учеников. Задач всегда было много.

Первые два учебника [12] и [13] в сокращённом виде были объединены в один учебник «Геометрия, 9–10» [14], вышедший в свет в 1983 году.

3. Курс планиметрии, построенный А.Д. Александровым После того, как первый этап работы над учебником стереометрии был завершён, Александру Даниловичу стало ясно, что теперь необходимо писать курс планиметрии, чтобы появилась элементарная геометрия «по Александрову». Два года (с 1981 по 1983) он работал над курсом планиметрии, который опубликовал в препринтах [43–51]. Эти препринты легли в основу наших учебников «Геометрия, 6» [17], «Геометрия, 7» [18] и «Геометрия, 8» [19]. Затем три учебника планиметрии были дополнены ещё одним, снова переработанным, учебником стереометрии «Геометрия, 9–10» (1987, [16]). Тем самым, появился полный курс элементарной геометрии «по Александрову» для общеобразовательной школы.

Работая над курсом планиметрии для школы, Александр Данилович одновременно писал книгу «Основания геометрии» (М.: «Наука», 1987. [52]), которая, как он написал во введении к этой книге, «обращена не только вообще к тем, кто интересуется основаниями геометрии, но специально к тем, кто профессионально заинтересован в их понимании — к настоящим и будущим учителям, студентам университетов и педагогических институтов».

«Основания геометрии» [52] начинаются с рассказа о практических истоках геометрии, о тех практических задачах, решение которых привело к возникновению геометрии как науки. Глава 1 в [52] так и называется «Практические основания геометрии». Это стремление идти от практики побудило Александра Даниловича в качестве основного объекта выбрать отрезок, а не прямую, как принято в других школьных курсах геометрии. Луч и прямую А.Д. Александров определяет как неограниченные продолжения отрезка в одну или в обе стороны.

По той же причине в курсе традиционная аксиома параллельности заменена аксиомой прямоугольника, в которой постулируется возможность построения прямоугольника, стороны которого равны заданным отрезкам (возможность такого построения повседневно подтверждается практикой).

Среди основных отношений — отношение равенства отрезков, которое дат возможность ввести измерение отрезков. Равенство углов, как и равенство других фигур, Александр Данилович определяет через равенство отрезков. Например, равными он называет треугольники, стороны которых соответственно А.Л. Вернер. А.Д. Александров и школьный курс геометрии.

равны. Тем самым, отпадает трудное доказательство традиционного третьего признака равенства треугольников. А аксиомы А.Д. Александровым сформулированы так, что два других признака равенства треугольников становятся их простыми следствиями. Для начальных тем курса планиметрии в школе это очень важное облегчение. Ведь недаром существует анекдот про учителя геометрии, который сначала нарисовал на доске два равных треугольника, а затем весь урок доказывал, что они равны.

О том, какие доказательства считал особенно важными в школьном курсе Александр Данилович, говорит его замечание, которое он сделал в [45], приведя известное доказательство теоремы Пифагора:

«Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Если, например, вглядеться в равнобедренный треугольник с проведённой медианой, то все его свойства, указанные в теореме о нем, можно видеть непосредственно. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение:

a2 + b2 = c2. Зато это соотношение как соотношение между соответственными площадями становится очевидным из построения, изображённого на рисунке 1.

В этом и состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения, приёма или соображения сделать неочевидное очевидным».

Теорема Пифагора — важнейшая теорема планиметрии — появляется в курсе Александрова рано, благодаря тому, что сразу после первых теорем о треугольниках в этом курсе (как и у Евклида) идёт измерение площадей многоугольных фигур. Понятие площади позволяет корректно ввести синус и косинус и доказать теорему синусов и теорему косинусов (ее Александр Данилович называет «обобщённой теоремой Пифагора» — ОТП).

Далее изучаются подобные треугольники, которые определяются как треугольники, стороны которых пропорциональны. Все теоремы о подобии треугольников стали простыми следствиями теоремы синусов и ОТП.

Вообще курс планиметрии Александром Даниловичем построен так, что в нем немного опорных теорем, таких, например, как теорема о сумме углов треугольника, теорема Пифагора, теорема синусов, ОТП, а остальные результаты из них получаются как достаточно простые следствия. Это даёт возможность минимизировать основную линию теории, сохраняя её дедуктивность.

Элементарная геометрия «по Александрову» изложена им также в учебнике «Геометрия», написанной в соавторстве с Никитой Юрьевичем Нецветаевым (М.: «Наука», 1990. [53]) для университетов и педвузов. Тем самым, школьные учебники, написанные Александровым, оказались подкрепленными и написанными им книгами для будущих учителей.

Александр Данилович сделал очень много для школьного геометрического образования. Созданный им курс элементарной геометрии проще и современней других аналогичных курсов. Его глубокие педагогические идеи далеко не сразу принимаются многими учителями, привыкшими к другому стилю преподавания геометрии. Но, поняв их, учителя становятся стойкими приверженцами его идей. Я надеюсь, что уже в ближайшие годы большинство учителей в школах России станут преподавать геометрию «по Александрову», и такое изучение Математические структуры и моделирование. 2012. Вып. 25. геометрии принесёт радость и им, и их ученикам. Именно этого хотел Александр Данилович, начиная в 1979 году работу над школьными учебниками геометрии. И вряд ли теперь, после того, как появились учебники Александрова, можно писать скучные и сухие учебники геометрии для школы.

4. Постколмогоровский период: конкуренция учебников Приказом Министра Просвещения СССР в 1982 году учебники геометрии А.Н. Колмогорова [10] и З.А. Скопеца [11] были заменены учебником геометрии А.В. Погорелова [20]. «Виноградово-Тихоновская» революция (или контрреволюция) в школьной геометрии свершилась!

Поворот был крутой. Многие учителя, которые десять лет с трудом осваивали учебник А.Н. Колмогорова, должны были снова переучиваться. Осенью 1982 года в Новосибирске, где жил тогда А.Д. Александров, была юбилейная геометрическая конференция, посвящённая 70-летию А.Д. Александрова. Съехались геометры, и Алексей Васильевич тоже приехал. Его попросили выступить перед учителями. Я слушал выступление Алексея Васильевича. Учителя уже начали работать по учебнику А.В. Погорелова и задавали ему много острых вопросов: «Почему концы отрезка ему не принадлежат?», «Почему нельзя пользоваться удобной символикой?», «Почему теперь ученикам приходится так много писать?» и т.д. Тогда после лекции Алексей Васильевич был сильно расстроен.

А.В. Погорелов изложил свой взгляд на курс геометрии в школе в книге «Элементарная геометрия» [54]. В Предисловии для учителей этой книги он пишет:

«Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе — научить учащегося логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора.

Однако вряд ли найдётся хотя бы один, которому не придётся рассуждать, анализировать, доказывать.

Весь многовековой опыт преподавания элементарной геометрии со времён Евклида доказывает рациональность традиционной системы. Её совершенствование, связанное с общим развитием науки, нам кажется, не должно касаться её разумных и глубоко продуманных основ. Поэтому предлагаемый курс, в основном традиционный, отличается только более строгим изложением предмета и некоторой переоценкой значения его отдельных частей.

В основе предлагаемого курса геометрии лежит весьма немногочисленная система геометрических фактов, хорошо знакомых учащемуся и закреплённых в начальных классах школы. Эта система исходных положений, позже названных аксиомами, выделена в результате тщательного анализа школьного курса геометрии с учётом элементов традиционных доказательств».

А.Л. Вернер. А.Д. Александров и школьный курс геометрии.

До школьного учебника книгу [54] А.В. Погорелов дорабатывал с помощью лаборатории математики НИИ Содержания и Методов Обучения (СиМО) МП СССР. Заведовавший тогда этой лабораторией Виктор Васильевич Фирсов говорил мне, как трудно им было уговорить Алексея Васильевича что-либо изменить, сделать более доступным для школьников. Учебник А.В. Погорелова [20] поддерживал МИАН и МП СССР. Этот учебник-конспект был рассчитан на репродуктивные методы, т.е. попросту на зубрёжку. Выступая тогда же на Всесоюзном совещании математиков педвузов в Харькове, А.В. Погорелов говорил о работе по своему учебнику так: «Пусть сначала выучит! Потом — поймёт!». Кроме учебника А.В. Погорелова других учебников МИАН предложить не смог.

Как обычно бывает, среди победивших революционеров возникли разногласия. Андрей Николаевич Тихонов и МП РСФСР создали авторские коллективы для обновления всех школьных учебников математики. Вначале геометрию в проекте А.Н. Тихонова писали Левон Сергеевич Атанасян и Эдуард Генрихович Позняк, а затем их авторский коллектив пополнился Валентином Фёдоровичем Бутузовым, Сергеем Борисовичем Кадомцевым и Ириной Игоревной Юдиной.

Проект А.Н. Тихонова пользовался поддержкой НИИ школ МП РСФСР.

У меня с коллективом Атанасяна-Позняка всегда были хорошие отношения:

мы обсуждали свои планы, обменивались изданными учебниками. Эдуард Генрихович мне говорил: «Мы хотим написать простой учебник геометрии в духе Киселёва». Первые варианты этих учебников [21–23] сильно критиковали (в том числе и Александр Данилович), но коллектив Л.С. Атанасяна совершенствовал свой учебник, и сейчас учебники [23, 24] — самые массовые учебники в школе.

Широкий эксперимент в Ленинграде начался с 1981 года, когда вышел в свет первый наш учебник «Начала стереометрии, 9»: по этому учебнику стал заниматься один из крупнейших районов Ленинграда — Калининский.

В это время в Ленинграде половина остальных районов занималась по учебнику А.В. Погорелова, а другая половина — по учебнику Л.С. Атанасяна и его коллег. Так что в Ленинграде уже в то время реально существовали три альтернативных учебника геометрии.

Пробные учебники [12] и [13] были изданы тогда в серии «Библиотека учителя математики», публиковавшей тогда все новые учебники математики.

В то время, когда Александр Данилович вёл работу над курсом планиметрии, я и В.И. Рыжик летом 1982 года вели интенсивную работу над учебником стереометрии [16] для классов с углублённым изучением математики. Заказ на создание такого учебника исходил от Маргариты Романовны Леонтьевой, которая в то время руководила сектором учебников естественно-научного цикла в МП СССР. В основу его были положены учебники [12, 13], но содержание его существенно расширилось по сравнению с этими учебниками. Первое издание учебника стереометрии для физ.-мат. классов появилось в 1984 году. Оглавление этого учебника стало министерской программой для таких классов.

Математические структуры и моделирование. 2012. Вып. 25. 5. Всесоюзный конкурс учебников геометрии К середине 80-х годов основные состязающиеся лица на арене школьных учебников геометрии в СССР уже обнародовали свои концепции по этой проблеме, имели возможность по нескольку раз издать свои учебники и дать поработать по ним учителям с учениками в школах. Настало время провести конкурс этих учебников. В 1986 году Министерство Просвещения СССР объявило конкурсы учебников математики для средней школы: 1) «Математика, 5–6»;

2) «Алгебра, 7–9»; 3) «Алгебра и начала анализа, 10–11»; 4) «Геометрия, 7–9»;

5) «Геометрия, 10–11».

Особого желания участвовать в конкурсе Александр Данилович не имел, но все-таки согласился, уступив моим и В.И. Рыжика доводам. Итоги конкурса для нас в целом можно считать удовлетворительными. На первые два места безоговорочно претендовали учебник А.В. Погорелова, который пользовался поддержкой МП СССР, отделения математики АН СССР и президиума АПН СССР, а также учебник Л.С. Атанасяна и его коллег, который поддерживался МП РСФСР. В итоге конкурса первое место занял учебник Л.С. Атанасяна и его коллег, а учебник А.В. Погорелова остался вторым. Наш учебник планиметрии занял третье место (опередив учебники А.Н. Колмогорова, В.Г. Болтянского и других известных авторов), а учебник стереометрии — четвёртое место, пропустив на третье учебник В.Г. Бевза и его коллег (что для нас было неожиданно).

Условия конкурсов были жёсткими. На подготовку рукописи учебника отводился год, рукопись подавалась в МП СССР под девизом, и в запечатанном конверте указывались сведения об авторах-конкурсантах. Рукопись должна быть пригодной для ротапринтного издания, объёмы её указывались (для геометрии 7–9 — 20 печатных листов, а для геометрии 10–11 — 16 печатных листов), содержание должно было соответствовать министерским программам.

Принятые рукописи в МП СССР шифровались, ротапринтировались довольно большими тиражами, и рассылались на рецензирование в различные организации: в научно-исследовательские институты, учебные заведения, институты усовершенствования учителей, методистам, учителям. Через год Конкурсной комиссией было получено свыше восьмисот актов экспертиз, и Конкурсная комиссия приступила к их анализу.

Конечно, в конкурсе участвовали и неизвестные рецензентам и членам Конкурсной комиссии авторы, но «спрятать под шифрами» уже всем известные (и столь индивидуальные) учебники А.В. Погорелова, А.Н. Колмогорова и его соавторов, Л.С. Атанасяна и его соавторов, А.Д. Александрова и его соавторов было невозможно.

В тот год в Вильнюсе проводилось заседание комиссии по геометрии МП СССР. Хозяином был известный литовский геометр — профессор Вацловас Ионо Близникас. Среди членов комиссии были Л.С. Атанасян и я. И нам В.И.

Близникас говорил: «Литва будет за Атанасяна. Для литовских хуторов их учебник подходит лучше». Ясно, было, что учебники А.В. Погорелова и Л.С.

Атанасяна и его соавторов вне конкуренции (и по доработанности, да и по А.Л. Вернер. А.Д. Александров и школьный курс геометрии.

«административному резерву»)? и они займут первые два места. Интересно, что, объявляя о результатах конкурса, Конкурсная комиссия сообщала:

«В ходе обсуждения конкурсной комиссией рукописей выявилось различие во взглядах её членов на учебник геометрии для средней школы: допустимый уровень строгости изложения материала, место аксиоматического метода в школьном курсе, язык и изложения и т.д. Это нашло отражение при голосовании, когда число голосов, поданных за учебники, занявших первые и вторые места, различалось незначительно» (МШ. 1988. № 5. С.48–50).

На конкурс «Геометрия, 7–9» было подано 22 рукописи, а на конкурс «Геометрия, 10–11» — 7 рукописей.

Первые места в обоих конкурсах («Геометрия, 7–9» и «Геометрия, 10–11») заняли рукописи учебников Л.С. Атанасяна и его коллег. Конкурсная комиссия дала им такую характеристику: «Рукописи отличаются доступностью изложения, направленностью на самостоятельное изучение материала учащимися, отчётливой практической направленностью».

Второе место в конкурсе «Геометрия, 7–9» занял учебник А.В. Погорелова, а в конкурсе «Геометрия, 10–11» учебник А.В. Погорелова поделил второе и третье места с рукописью киевских авторов Г.П. Бевза, В.Г. Бевза, Н.Г. Владимировой (это были новые авторы).

Рукописи учебников А.В. Погорелова Конкурсная комиссия характеризовала так: «Для рукописей учебников характерен высокий уровень строгости изложения теоретического материала, краткость и точность языка, построение курса на аксиоматической основе».

Рукопись учебника «Геометрия, 7–9» А.Д. Александрова, А.Л. Вернера и В.И. Рыжика заняла третье место. Об этой рукописи было сказано так: «Её отличает нетрадиционность изложения ряда вопросов, живость и занимательность языка, направленность системы упражнений на развитие учащихся».

Перечисленные рукописи учебников были премированы и приняты к изданию в издательстве «Просвещение».

В конкурсе «Геометрия, 7–9» четвёртое место занял учебник В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера и Л.М. Пашковой, а пятое место — учебник А.Н. Колмогорова, А.Ф. Семеновича и Р.С. Черкасова.

В конкурсе «Геометрия, 10–11» четвёртое место занял учебник А.Д. Александрова, А.Л. Вернера и В.И. Рыжика, а пятое место — учебник В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера и Л.М. Пашковой.

Можно считать, что конкурс подвёл итоги десятилетиям колмогоровских реформ и их критике: школьная геометрия в России вернулась на традиционный, евклидовский путь.

Если оценивать результаты этого конкурса среди учебников геометрии, то, можно сказать, что он как бы «узаконил» ту ситуацию, которая к этому времени уже сложилась среди имевшихся учебников:

1) легче всего учителям было работать по учебнику Л.С. Атанасяна и его соавторов, который занял первое место на конкурсе, и который активно поддерживало Министерство просвещения России;

Математические структуры и моделирование. 2012. Вып. 25. 2) многие учителя уже приспособились к учебнику-конспекту А.В. Погорелова, введённого в 1982 году в приказном порядке МП СССР, но в конкурсе занявшем второе место после учебника Л.С. Атанасяна;

3) среди учителей появились поклонники учебников А.Д. Александрова (занявшем на конкурсе третье место), прежде всего среди учителей, работавших в классах с углублённым изучением математики.

6. Александровские учебники нового поколения С середины восьмидесятых годов появились школы, в которых углублённое изучение отдельных предметов стали вести не только в двух старших классах, но и начиная с 8-го класса. Для этих классов мы написали учебник «Геометрия, 8–9» [28]. Вместе с учебником «Геометрия, 10–11» [29] он составил полный курс элементарной геометрии для физ.-мат.классов. И сейчас продолжается совершенствование этого углублённого курса: уже вышли новые учебники [39–42].

О том, что школьные учебники должны содержать материал различного уровня сложности, рассчитанный на учеников с различными интересами и способностями, и о том, что курс планиметрии следует пополнить элементами стереометрии, Александр Данилович писал ещё в своей статье «О геометрии» [5].

Именно эти задачи решаются в ещё одном цикле наших учебников [30–32].

Эти учебники написаны уже в девяностые годы. Они предназначены для дифференцированного преподавания геометрии, и их содержание разбито на три уровня: гуманитарный (общеобразовательный), расширяющий его прикладной уровень, и углубляющий общеобразовательный уровень — логический (проблемный) уровень.

Благодаря тому, что Александр Данилович значительно упростил и минимизировал элементарную планиметрию, в этих учебниках на наглядном уровне изложен довольно обширный стереометрический материал, который излагается параллельно с аналогичным планиметрическим материалом. Тем самым, циклом этих учебников начинается новое поколение учебников геометрии для основной школы, в которых систематическое изложение планиметрии будет сочетаться с элементами стереометрии, изложенными на наглядном уровне. Именно в этом направлении идёт сейчас геометрическое образование в России.

В конце 90-х годов прошлого века Александр Данилович по состоянию здоровья уже не работал над школьными учебниками. Без него, но по его идеям был написан ещё один цикл учебников [33–35], в котором планиметрия «по Александрову» сочетается с изложением на наглядно-интуитивном уровне элементов стереометрии. Эти учебники стали победителями в конкурсе учебников нового поколения, проведённого Министерством Образования РФ и Национальным Фондом подготовки кадров.

Появление в начале 21-го века Стандартов Образования потребовало доработки Александровских учебников. После такой доработки они были изданы издательством «Просвещение» в серии «Академический школьный учебник», основанной в 2005 году РАН, РАО и издательством «Просвещение». В этих А.Л. Вернер. А.Д. Александров и школьный курс геометрии.

учебниках [27, 36–38], уже учтён тридцатилетний опыт работы учителей по Александровским учебникам, а также и опыт их авторов.

В Александровских учебниках геометрии перед школьником предстаёт Геометрия во всей её широте и многогранности. Работать по этим учебниками каждый учитель сможет в соответствии со своими педагогическими взглядами, а каждый ученик найдёт близкие ему стороны многогранной геометрии.

ЛИТЕРАТУРА

2. Колмогоров А.Н. К новым программам по математике // Математика в школе.

1968. № 2. C. 21–22.

3. Колмогоров А.Н. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса // Математика в школе. 1971. № 2. С. 17–22.

4. Колмогоров А.Н. Замечания о понятии множества в школьном курсе математики.

// Математика в школе. 1984. № 1. С. 52–53.

5. Александров А.Д. О геометрии. // Математика в школе. 1980. № 3. С. 56–62.

6. Александров А.Д. Что такое многогранник? // Математика в школе. 1981. № 1.

С. 8–16, № 2. С. 19–25.

7. Александров А.Д. О понятии множества в курсе геометрии // Математика в школе.

1984. № 1. С. 47–52.

8. Александров А.Д. Что же такое вектор? // Математика в школе. 1984. № 5. С. 39– 9. Владимиров В.С., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании. // Математика в школе. 1979. № 3. С. 12–14.

10. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия, 6–8. М. : «Просвещение», 1979. 384 с.

11. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия, 9–10. М. : «Просвещение», 1977. изд. 3-е.

12. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Начала стереометрии, 9. М. : «Просвещение», 1981. 224 с.

13. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Начала стереометрии, 10. М. : «Просвещение», 1982. 192 с.

14. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9–10. М.: «Просвещени>е>, 1983. 336 с.

15. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9–10 (издание 2, переработанное). М.: «Просвещение», 1987. 272 с.

16. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9–10 (для физ.мат.классов). М. : «Просвещение», 1984. 480 с.

17. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 6. М. : «Просвещение», 1984. 176 с.

18. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 7. М. : «Просвещение», 1985. 192 с.

19. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 8. М. : «Просвещение», 1986. 192 с.

20. Погорелов А.В. Геометрия, 6–10. М. : «Просвещение», 1982. 288 с.

21. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 6 (изд. четвёртое, переработанное). М. : «Просвещение», 1985. 96 с.

22. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 8 (изд. третье, переработанное). М. : «Просвещение», 1987. 128 с.

23. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 9–10 (изд. второе, переработанное). М. : «Просвещение», 1985. 256 с.

24. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 7–9 (14-е издание). М. : «Просвещение», 2004. 25. Атанасян Л.С. и др. Геометрия, 10–11 (15-е издание, дополненное). М. : «Просвещение», 2006. 256 с.

26. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7–9. М. : «Просвещение», 1992. 320 с. (2-е изд. 1995, 3-е изд, доработанное 2003).

27. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 10–11. М. : «Просвещение», 1998. 272 с. (2-е изд. 2001, 4-е изд., дополненное 2006).

28. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8–9 (для классов с углублённым изучением). М. : «Просвещение», 1991. 416 с. (2-е изд., доработанное, 1995, 3-е изд. 1996).

29. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 10–11 (для классов с углублённым изучением, 3-е изд., переработанное). М. : «Просвещение», 1992. с. (4-е изд., 1994, 5-е изд. 1995).

30. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7. М. : МИРОС, 1994.

31. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8. М. : МИРОС, СПб.:

Оракул, 1997. 302 с.

32. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9. М. : МИРОС, ЧеРо., 1998. 350 с.

33. Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия, 7. М. : «Просвещение», 1999. с. (2-е изд., переработанное, 2003, 176 с.).

34. Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия, 8. М. : «Просвещение», 2001.

35. Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия, 9. М. : «Просвещение», 2001.

36. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия, 7. М. : «Просвещение», 2008. 176 с.

37. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.. Геометрия, 8. М. : «Просвещение», 2009. 176 с.

38. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9. М. : «Просвещение», 2010. 176 с.

39. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 (для углублённого изучения). М. : «Просвещение», 2002. 240 с. (2-е изд. Переработанное, 2008, 272 с).

40. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 (для углублённого изучения). М. : «Просвещение», 2004. 240 с.

41. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 10 (для углублённого изучения). М. : «Просвещение», 1999. 240 с. (2-е изд. 2001; 3-е изд. 2003; 4-е изд, доработанное, 2006. 272 с).

42. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 11 (для углублённого изучения). М. : «Просвещение», 2000. 320 с. (2-е изд. 2001; 3-е изд. 2006).

43. Александров А.Д. Начала геометрии // Препринт. Новосибирск : Институт математики СО АН СССР, 1981. 46 с.

44. Александров А.Д. Величины и фигуры // Препринт. Новосибирск : Институт математики СО АН СССР, 1981. 48 с.

45. Александров А.Д. Треугольники // Препринт. Новосибирск : Институт математики 46. Александров А.Д. Подобные треугольники // Препринт. Новосибирск : Институт математики СО АН СССР, 1982. 42 с.

47. Александров А.Д. Параллельные прямые и векторы // Препринт. Новосибирск :

Институт математики СО АН СССР, 1982. 50 с.

48. Александров А.Д. Многоугольники и окружности // Препринт. Новосибирск :

Институт математики СО АН СССР, 1982. 32 с.

49. Александров А.Д. Векторы и координаты // Препринт. Новосибирск : Институт математики СО АН СССР, 1983. 48.

50. Александров А.Д. Окружность и круг // Препринт. Новосибирск : Институт математики СО АН СССР, 1983. 12.

51. Александров А.Д. Отображения // Препринт. Новосибирск : Институт математики 52. Александров А.Д. Основания геометрии. М. : «Наука», 1987. 288 с.

53. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М. : «Наука», 1990. 672 с.

54. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. Изд. 2. М. : «Наука», 1974. 208 с.