Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Методы оптимальных решений»

Направление 080100 Экономика

для подготовки студентов — бакалавров очного отделения

Автор — составитель программы:

В. В. Славова, кандидат физико-математических наук Рабочая программа утверждена решением Ученого совета МШЭ МГУ Протокол № от «_» 2011 г.

Москва 2011

ВВЕДЕНИЕ

разработана в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования Министерства образования и науки Российской Федерации.

Рабочая программа соответствует учебному плану подготовки бакалавров (магистров) по направлению 080100 “Экономика”.

Изучение курса «Методы оптимальных решений » предназначено для формирования и усвоения знаний и навыков в области применения математических методов к экономической теории и практике, которые необходимы развития профессиональных качеств, компетенций, необходимых для выполнения функциональных обязанностей в сфере экономики.

Основные задачи преподавания дисциплины:

изучение основных математических результатов в теории экстремумов функций многих переменных привитие практических навыков в переходе от экономической постановки задачи к математической модели.

Формирование математического подхода к решению практических задач В результате изучения курса студенты должны:

Знать:

- основные определения и понятия теории экстремумов функций многих переменных - типы экономических задач, решаемых с помощью методов оптимальных решений Уметь:

- перейти от прикладной экономической задачи к математической модели - решать математические задачи по предлагаемым направлениям - формулировать выводы математических решений в экономических понятиях и терминах Практическая реализация учебной программы предусматривает проведение аудиторных занятий в виде лекций, семинаров, консультаций и организации самостоятельной работы студентов.

Дисциплина изучается в течение 7 семестра при общем объеме учебной нагрузки 76 часов. Итоговый контроль – в форме зачета.

Учебно-тематический план № Всего часов Название раздела, темы лекции семинары самостоят ельная работа Раздел I «Экстремумы функций многих переменных, необходимые для решения экономических задач»

Тема 1 Безусловные экстремумы… 1 1 3 Тема 2 Условные экстремумы… 2 3 4 Итого по разделу I: 4 7 Раздел II «Задачи линейного программирования»

Тема 1 Решение простейших задач ЛП 2 2 Тема 2 Симплекс-метод 1 2 Тема 3 Двойственная задача 1 1 Тема 4 Транспортная задача 3 3 Тема 5 Задачи целочисленного 1 1 программирования Итого по разделу II: 8 9 Всего по курсу: 12 16 Самостоятельная работа предусматривает изучение основной и дополнительной учебной литературы, выполнение домашних заданий, реферативных заданий.

Раздел I.

Лекция 1.

Экономические задачи, требующие для решения методов оптимизации:

1) оптимизация целевой функции потребления в условиях бюджетных ограничений, 2) максимизация производственной функции Кобба-Дугласа при ограничениях на ресурсы, 3) максимизация прибыли фирмы, 4) максимизация функции полезности потребителя при ограничениях на доход, 5) минимизация издержек фирмы при фиксированном объеме выпускаемой продукции.

Определение точек строгого и нестрогого экстремума, а также критических точек для функции F ( x ) F ( x1, x2,, xn ) многих переменных. Примеры.

Определение Гессиана D 2 F ( x ) и седловой точки для функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия того, что точка является точкой строгого локального экстремума. Экономический смысл понятия седловой точки.

[1] гл.6.1; [6] тема 3, п.2.

Лекция 2.

Выпуклые множества и выпуклые функции. Свойства выпуклых функций.

Критерий выпуклости функции двух переменных.

Нахождение условного локального экстремума с условиями связи в виде единственного равенства. Два подхода:

1) условие связи разрешимо относительно одного переменного, (производственная функция Леонтьева) 2) по методу Лагранжа. Понятие окаймленного Гессиана. Достаточные условия условного локального экстремума, сформулированные в терминах окаймленной матрицы Гессе или в терминах квадратичной формы, являющейся вторым дифференциалом функции Лагранжа.

[1] гл.6.2, 6.3; [6] тема3, п.3., П.3.1.,3.2.

Лекция 3.

Функция Лагранжа для случая нескольких уравнений связи в виде равенства.

Поиск точек возможного условного экстремума для этого случая. Поиск точек условного экстремума в случае, когда условие задано в виде неравенства, на примерах.

[1] гл.6.2, 6.3; [6] тема 3, п.3, п.4.

Лекция 4.

Постановка задачи оптимизации в условиях ограничений в виде нескольких неравенств. Условие Якоби. Условие Слейтера. Необходимое условие существования локального максимума.Теорема Куна – Таккера.

Экономические примеры, в которых решаются задачи оптимизации.

[1] гл.6.5, 6.7; [6] тема 3, п.2, тема 4, п. 2, п.4, п.5.

Раздел II.

Лекция 5.

Постановка задачи поиска глобального экстремума в задачах математического программирования. Примеры типовых практических задач, приводящих к математической постановке задачи математического (линейного) программирования:

1) задача о диете, 2) задача оптимизации производства при ограничениях на ресурсы.

[4] тема D гл.1.1; [3] гл.9.1.

Лекция 6.

Примеры графического решения задач линейного (математического) программирования в случае двух переменных. Свойства решений задачи линейного программирования (ЗЛП )--- связь опорного решения ЗЛП и угловых точек многогранника решений.

[3] гл.9.2, 9.3; [4] тема D, гл.1.1, 1.2, 2.1, 2.2.

Лекция 7.

Симплексный метод решения задач линейного программирования.

Двойственные задачи линейного программирования. Общие правила построения двойственных задач.

[4] тема D гл.4.1-4.4 ; гл.5.1-5.2.

Лекция 8.

Первая теорема двойственности, ее экономический смысл. Вторая теорема двойственности.

[4] тема D гл.5.3-5.4; [7],п.1. Лекция 9.

Экономико-математическая модель транспортной задачи. Построение начального распределения поставок методом «северо-западного угла».

Открытая и закрытая транспортная задача. Свойство системы ограничений транспорт ной задачи. Построение начального распределения поставок методом «минимальной стоимости».

[4] тема D гл.6.1-6.9; [7] п.1.5.

Лекция 11.

Решение транспортной задачи методом потенциалов.

Решение транспортной задачи с ограничениями на пропускную способность.

[4] тема D гл.6.6-6.9, 6.12; [7] п.1.5.

Лекция 12.

Решение транспортной задачи по критерию времени.

[4] тема D гл.6.13; [7] п.1.5.

Лекция 13.

Постановка задачи о назначениях. Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры.

[4] тема D гл.7.1.

Порядок проведения промежуточного и итогового контроля Промежуточный контроль осуществляется в процессе обучения на семинарских занятиях в виде проведения двух контрольных работ, а также реферативных заданий по желанию для студентов, активно работающих на семинарах и регулярно выполняющих домашние задания. По результатам промежуточного контроля проставляются текущие оценки в учетных ведомостях, которые ведет преподаватель.

Итоговый контроль проводится в форме предварительного анализа накопленных промежуточных оценок и выведения результирующей оценки путем проведения зачета. Зачет проводится письменно посредством выполнения контрольных заданий.

№ 1. Найти такие значения переменных x1 u x 2, чтобы при заданной системе ограничений (A) функция Z 2 x1 3x2 принимала максимальное значение, если вычислить градиент целевой функции и решить, опираясь на № 2. Найти такие значения переменных x1, x2, x3, чтобы при заданной системе ограничений (А) функция Z 4 x1 5x 2 6 x3 max (принимала максимальное значение), если это возможно.

№ 3.Транспортная задача.

Необходимо перевезти запасы продукции в количестве 180,70, 20 единиц со складов A1, A2, A3, соответственно, к потребителям B1, B2, B3, B4, причем нужды потребителей составляют 40, 130, 110, 50 единиц соответственно.

Стоимости перевозок таковы:

от A1 к 1) B1 равна 5; 2) к B2 равна 3; 3) к B3 равна 12; 4) к B4 равна 4;

от A2 к 1) B1 равна 2; 2) к B2 равна 3 3) к B3 равна 9; 4) к B4 равна 5;

от A3 к 1) B1 равна 7; 2) к B2 равна 5; 3) к B3 равна 9; 4) к B4 равна 6.

Требуется определить план перевозок так, чтобы все запасы были перевезены; все получатели были удовлетворены; транспортные расходы (стоимость перевозок) были минимальны.

дать определение плана поставок или плана перевозок (1 балл), построить первоначальный план перевозок методом «северо-западного» угла решить задачу методом потенциалов, указывая на каждом шаге величину объяснить, согласно какому критерию процесс решения задачи закончен, т.е. почему Вы остановились в поисках лучшего опорного решения (1 балл), указать стоимость транспортных расходов для первоначального плана и для № 4. Транспортная задача относительно времени перевозок Четыре поставщика с грузом соответственно в10,15, 25, единиц могут обеспечить четырех потребителей, которым необходимы поставки соответственно в количестве 5, 10, 20 и 15 единиц грузов.

Матрица времен перевозок такова: 4 1 6 7.

№ 5. Найти экстремумы функции Исследовать на условный экстремум функцию Основная литература.

1. В.А.Малугин Математика для экономистов. Линейная алгебра. Курс лекций. М.:Эксмо. 2006.

2. В.А.Малугин Математика для экономистов. Линейная алгебра. Задачи и упражнения. М.:Эксмо. 2006.

3. Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин Математика для экономистов:

от арифметики до эконометрики. М: Высшее образование.2007.

4. В.И.Ермаков и др. Общий курс высшей математики для экономистов.

М.:Инфра-М.2008.

5. В.И.Ермаков и др. Сборник задач по высшей математике для экономистов. М.:Инфра-М.2006.

6. А.В.Соколов, В.В.Токарев Методы оптимальных решений. Т.1.

М.:Физматлит. 2010.

7. А.Н.Ильченко,О.Л.Ксенофонтова, Г.В.Канакина Практикум по экономико-математическим методам. М.: Финансы и статистика. 2009.

Дополнительная литература:

1.М.В.Грачева, Л.Н.Фадеева, Ю.Н.Черемных Количественные методы в экономических исследованиях. М.: ЮНИТИ.2004.

2. C.H.Simon, L.Blume Mathematics for Economists. Norton & Company.

London.1994.

3. М. Интригатор Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.:Айрис-пресс, 2002.

4. R.K.Sundaram A First Course in Optimization Theory. Cambridge.

University Press.1996.