[ 2 3
СОДЕРЖАНИЕ
АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Введение…………………………………………………..
«БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 5
КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»
Раздел 1. Теория функций действительного переменного 6 Тема 1.1. Мера, измеримые функции, интеграл……….. 6 Тема 1.2. Неопределенный интеграл Лебега. Теория дифференцирования……………………………………… Тема 1.3. Пространства суммируемых функций………. Тема 1.4. Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье………………………………………………………ПРОГРАММА
Тема 1.5. Дифференцируемые многообразия и диффевступительных испытаний при приеме на обучение ренциальные формы……………………………………… по программам подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре по профилю «Вещественный, Раздел 2. Теория функций комплексного переменного.. комплексный и функциональный анализ»направления подготовки научно-педагогических Тема 2.1. Интегральные представления аналитических функций…………………………………………………… кадров 01.06.01 «Математика и механика» Тема 2.2. Ряды аналитических функций. Особые точки.
Вычеты…………………………………………………….. Тема 2.3. Целые и мероморфные функции……………... Тема 2.4. Конформные отображения…………................ Тема 2.5. Аналитическое продолжение………................ Издательство Белгородского университета Раздел 3. Функциональный анализ……………………… кооперации, экономики и права 4 Тема 3.1. Метрические и топологические простран- ВВЕДЕНИЕ ства………………………………………………………… Основная задача аспирантуры – подготовка научных и Тема 3.2. Нормированные и топологические линейные научно-педагогических кадров высшей квалификации матепространства……………………………………………… матического профиля. Целями подготовки аспиранта являются:
Тема 3.3. Линейные функционалы и линейные опера- - формирование навыков самостоятельной научноторы………………………………………
- углубленное изучение теоретических и методологиТема 3.4. Гильбертовы пространства. Спектральная ческих основ математических наук;
теория самосопряженных операторов………………….. - совершенствование знаний иностранного языка, в том числе для использования в профессиональной деятельноТема 3.5. Обобщенные функции………………………… сти.
Данная программа предназначена для сдачи вступиВопросы для подготовки к вступительному экзамену… тельного экзамена по профилю «Вещественный, комплексный и функциональный анализ». Она включает три раздела: «ТеоРекомендуемая литература рия функций действительного переменного», «Теория функций комплексного переменного», «Функциональный анализ».
Прием экзамена по профилю «Вещественный, комплексный и функциональный анализ» проводится в форме собеседования по опросам, составленным на основании данной программы.
Темы рефератов определятся соискателями и утверждаются на кафедре.
Предполагается, что экзаменующийся владеет общим курсом математического анализа в объеме университетской программы.
6
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ РАЗДЕЛ 2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Тема 1.1. Мера, измеримые функции, интеграл Тема 2.1. Интегральные представления аналитических функций Аддитивность и счетная аддитивность меры. Лебегово продолжение меры. Измеримые функции. Сходимость по ме- Интегральная теорема Коши. Интегральная формула ре и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебе- Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Лемга. Предельный переход под знаком интеграла. Сравнение с ма Шварца. Интеграл Коши. Формулы Соходского.интегралом Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини. Тема 2.2. Ряды аналитических функций.
Особые точки. Вычеты Тема 1.2. Неопределенный интеграл Лебега.
Теория дифференцирования Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций;
теорема Вейерштрасса. Разложение аналитических функций в Производная неопределенного интеграла Лебега. Восряды Тейлора, Лорана, неравенство Коши. Нули аналитичестановление функции по ее производной. Абсолютно непреских функций. Теорема двойственности. Изолированные осорывные функции. Интеграл Лебега как функция множества.
бые точки (однозначного характера). Вычеты, теорема Коши Теорема Радона-Никодима. Интеграл Стилтьеса.
о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Рунге о продолТема 1.3. Пространства суммируемых функций жении аналитических функций многочленами.
Пространства Lр. Ортогональные системы функций в Тема 2.3. Целые и мероморфные функции L2. Ряды по ортогональным системам.
Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема ВейерТема 1.4. Тригонометрические ряды.
штрасса о целых функциях с заданными нулями; разложение Преобразование Фурье конечной функции в конечное произведение. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема НитУсловия сходимости ряда Фурье. преобразование таг-Леффлера о мероморфных функциях с заданными полюФурье в пространствах L1 и L2. преобразование Лапласа. Пресами и главными частями.
образование Фурье-Стилтьеса.
Тема 2.4. Конформные отображения Тема 1.5. Дифференцируемые многообразия и дифференциальные формы Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Принцип сохранения области. Критерии Дифференцируемые многообразия. Дифференциальные формы Стокса.
однолистности. Теорема Римана. Теоремы о соответствии слабая сходимость. Линейные операторы. Пространство лиграниц при конформных отображениях. нейных ограниченных операторов. Компактные (вполне непрерывные) операторы.
Тема 2.5. Аналитическое продолжение Аналитическое продолжение и полная аналитическая Спектральная теория самосопряженных верхности. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Изолированные особые точки аналитических функций, Теория ограниченных операторов. Пространства l2 и точки ветвления конечного и бесконечного порядка. Принцип L2. Неограниченные операторы.
симметрии. Модулярная функция. Нормальные семейства, Сходимость. Полнота и пополнение метрического пространства. Сепарабельность. Принцип сжимающих отображений. Компактность в метрических и топологических пространствах.
Тема 3.2. Нормированные и топологические Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, теорема Хана-Банаха. Нормированные пространства. Топологические линейные пространства.
Тема 3.3. Линейные функционалы и линейные Непрерывные линейные функционалы. Общий вид линейных функционалов в основных функциональных пространствах. Сопряженное пространство. Слабая топология и
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
2. Измеримые функции. Сходимость по мере и почти выпуклые функционалы, теорема Хана-Банаха. Нормированвсюду. Теоремы Егорова и Лузина. ные пространства. Топологические линейные пространства.3. Интеграл Лебега. Предельный переход под знаком 19. Непрерывные линейные функционалы. Сопряженинтеграла. Сравнение с интегралом Римана. Теорема Фубини. ное пространство. Слабая топология и слабая сходимость.
4. Производная неопределенного интеграла Лебега. Линейные операторы. Пространство линейных ограниченных Восстановление функции по ее производной. операторов. Компактные операторы.
5. Абсолютно непрерывные функции. Интеграл Лебега 20. Теория ограниченных операторов. Пространства l 6. Теорема Радона-Никодима. Интеграл Стилтьеса. 21. Основные и обобщенные функции. ДифференцироПространства Lр. Ортогональные системы функций вание обобщенных функций. Прямое произведение и свертка 8. Условия сходимости ряда Фурье. Преобразование 22. Обобщенные функции медленного роста. ПреобраФурье в пространствах L1 и L2. Преобразование Лапласа. зование Фурье обобщенных функций медленного роста.
Преобразование Фурье-Стилтьеса.
9. Дифференцируемые многообразия. Дифференциальные формы Стокса.
10. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем.
11. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций; теорема Вейерштрасса.
12. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора, Лорана, неравенство Коши. Нули аналитических функций.
13. Теорема двойственности. Изолированные особые точки (однозначного характера).
14. Вычеты, теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
15. Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых функциях с заданными нулями; разложение конечной функции в конечное произведение.
16. Аналитическое продолжение и полная аналитическая функция (в смысле Вейерштрасса). Понятие римановой поверхности.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Берман А.Ф. Краткий курс математического анализа:Учебное пособие. – СПб.: Лань,2010. – 736с.
2. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ:
введение в анализ и дифференциальное исчисление: Учебное пособие для вузов. – Минск: Высшая школа, 2008. – 319 с.
3. Привалов И.И. Введение в комплексный анализ:
Учебник. - СПб.: Лань, 2009. – 205 с.
4. Рудин У. Функциональный анализ: Учебник для вузов. Изд. 2-е, испр., доп. – Лань, 2009. – 540 с.
5. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник.
Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 488 с.
«