«С.В. МИРОНОВ, А.М. ПИЩУХИН МЕТАСИСИСТЕМНЫЙ ПОДХОД В УПРАВЛЕНИИ МОНОГРАФИЯ Рекомендовано к изданию Ученым Советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский ...»

Легко видеть, что отношение уточнения определяет частичное упорядочение. Более того, пара ( &п ) определяет решетку, что подтверждают следующие факты: 1) существует универсальная верхняя граница — множество (Nn}; 2) существует универсальная нижняя граница - множество {{x}| x N n }; 3) для любой пары Gi, Gj &n наибольшим общим уточнением является неизбыточный эквивалент множества { x y | x Gi, y G j }; 4) для любой пары Gi, Gj &n наименьшим общим укрупнением является неизбыточный эквивалент множества Gi G j. Будем называть эти решетки решетками уточнения G-структур). (по одной для каждого n N ). Отметим, что уточняющее упорядочение применимо и к множествам G+n, что дает решетки (&+п, ).

Понятно, что решетка уточнения или некая нужная ее часть может быть получена с помощью неоднократного выполнения процедуры, порождающей все непосредственные уточнения для любой структуры из решетки.

Одна такая процедура определяется следующим образом.

Уточняющая процедура для G-структур (или RG-процедура). Заданы Gструктуры Gi ={kS|kNq}&n. Для определения всех их непосредственных уточнений 1) положить k = 0;

2) если k2.

При Рисунок Г.21. Пояснение к RС-процедуре: а — заданный граф и соответствующая С-структура; б — непосредственные уточнения C Рисунок Г.22. Структурное соседство G-структуры G этом запрещается изменять элементы, содержащие только две вершины, и, следовательно, граф данной r-структуры остается неизменным.

Представление о непосредственных уточнениях (или укрупнениях) структур различных типов можно использовать для разбиения соответствующего множества структур на блоки структур, эквивалентных в смысле уровня уточнения, т. е. таких структур, которые достигаются от универсальной верхней границы {Nn} соответствующей решетки уточнения за одинаковое число шагов уточнения. Будем называть эту эквивалентность эквивалентноi стью уровня уточнения и обозначать. Так, например, структуры G1, G2, G3 на рисунке Г.22 - l-эквивалентные G-структуры из множества &4; структуры, показанные на рисунке Г.21,б, - l-эквивалентные С-структуры из множества G5; структуры Р1.P2, Р 3, P 4 на рисунке Г.24 являются l-эквивалентными Р-структурами из множества &Г.

Для того чтобы можно было составить представление о скорости роста числа структур этих трех типов с ростом п, а также числа их классов i- и lэквивалентности, в таблице Г.12 приведены соответствующие данные для п 7. Понятно, что Рисуноу Г.23 - Структурное соседство С-структуры С Рисунок Г.24 - Структурное соседство Р-структуры Р Таблица Г.12 - Число G-структур в & n + и & n, С-структур и их классов i-эквивалентности и классов l-эквивалентности для n |Gn | 1 4 18 166 7,579 7,828,352 2,414,682,040, где показатель п(п — 1)/2 — общее число возможных ребер в графе, определенном на Nn. Ясно также, что |Gп/1|=п(п—1)/2+1. Вычисление |R n /i| для заданного более сложно, но эта задача уже решена в теории графов (смотри раздел Г.11). Приведенные в таблице Г.12 значения |G + n |, |G + n /i|, |G + n /l|, |G п |, |G n /i| и |G n /l| известны только для п7.

Введем упоминавшиеся уже структуры еще одного типа. Это такие структуры, для которых при работе с вероятностными системами для определения несмещенной реконструкции не нужна итеративная процедура соединения. Обычно их называют ациклическими структурами.

Для решения задачи реконструкции наибольший интерес представляют ациклические структуры особого типа, которые можно было бы назвать строго ациклическими структурами или L-структурами. G-структура G i G n является L-структурой тогда и только тогда, когда не существует такой пары (а, b)N 2 n, что она входит в некий элемент Gi и связана через несколько соединенных элементов. Будем множество L-структур для некоего п обозначать L n.

Определим множество L п формально. Пусть дана G-структура G i & n. Для любой пары (a, b)N 2 n пусть Тогда Gi является L-структурой (Gi Ln) тогда и только тогда, когда не существует пары (a, b)N2n, являющейся элементом транзитивного замыкания rn(Gi - Ха,b ).

Очевидно, например, что все структуры из множества G 3 (рисунок Г.16), за исключением структуры G 2 ={{1, 2}, {2, 3}, (3, 1}}, являются L-структурами. В множестве G4 только три структуры не являются L-структурами. Они принадлежат к одному и тому же классу i-эквивалентности, который можно, например, представить С-структурой С={{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 1}}. В самом деле, транзитивное замыкание r4(С - X1,2)- это N4, и, следовательно, пара (1, 2) является ее элементом.

L-структуры отличаются тем, что для них не нужно использовать итеративную процедуру соединения независимо от порядка, в котором объединяются элементы рассматриваемой L-структуры. Ациклические структуры, не являющиеся L-структурами, этим замечательным свойством не обладают. Для таких структур, чтобы избежать применения итеративной процедуры соединения, нужно применять базовую процедуру соединения к элементам, расположенным в определенном порядке. Определение таких порядков требует сложных вычислений и проверок, так что методологическое значение таких структур существенно уступает значению L-структур.

С помощью различных понятий, введенных в этом разделе, можно более конкретно сформулировать задачу реконструкции. Дана обобщенная система и множество заданных пользователем реконструктивных гипотез (базирующихся на множестве Gп, &п, Pп или L - cтpyктyp). Решение задачи реконструкции сводится к выбору подмножества данного множества в соответствии с некоторыми требованиями. Обычно требуется, чтобы: 1) расстояния, соответствующие выбранным гипотезам, были как можно меньше и 2) сами гипотезы были, возможно, более уточненными. Оба эти требования предполагают упорядочение множества реконструктивных гипотез. Упорядочение в соответствии с требованием 2 фиксировано - это частичное упорядочение по структурному уточнению с решеткой, свойства которой описаны выше. Упорядочение согласно требованию 1 - его можно назвать упорядочением по расстоянию — не фиксировано. Оно зависит от данной обобщенной системы и выбранного типа расстояния и определяется только вычислением несмещенных реконструкций и расстояний отдельных реконструктивных гипотез.

Если используется расстояние, определяемое по формуле (Г.40) для вероятностных систем [или по формуле (Г.42) для возможностных систем], которое является мерой количества информации, потерянной при замене обобщенной системы реконструктивной гипотезой, то существует определенное предупорядочение по расстоянию: информационное расстояние монотонно не убывает с увеличением уточнения реконструктивных гипотез.

Кроме того, оба варианта информационного расстояния аддитивны для любого пути на используемой решетке уточнения. Это значит, что для любых трех реконструктивных гипотез х, у, z одной обобщенной системы, таких, что x y z. Свойства предупорядоченности и аддитивности очень полезны при решении задачи реконструкции и придают особую важность информационному расстоянию. В дальнейшем при обсуждении задачи реконструкции всегда будет предполагаться, что используется соответствующая версия информационного расстояния (то есть вероятностная или возможностная, базовая или порождающая).

Сочетание упорядочения по расстоянию с упорядочением по уточнению образует объединенное упорядочение для задачи реконструкции. Теперь множество решений задачи реконструкции характеризуется с помощью этого комбинированного упорядочения следующим образом: это множество представляет собой такое подмножество реконструктивных гипотез, в которое не входят гипотезы, худшие, чем любая другая гипотеза. Слово «худшие» используется здесь в обычном смысле: гипотеза h1 хуже гипотезы h2 тогда и только тогда, когда или h 1 является менее уточненной и ее расстояние не меньше, чем у h2 или у h1, большее расстояние, чем у h2, и в то же время она не является более уточненной, чем h2. Элементы этого множества решений будем называть подходящими реконструктивными гипотезами.

Теперь видно совершенное сходство задачи реконструкции с двумя рассмотренными выше задачами - задачей определения подходящих систем с поведением (раздел В.4 и В.6) и задачей определения подходящих упрощений заданной системы с поведением (раздел В.9). Если упорядочение по нечеткости и упорядочение по сложности из этих задач сопоставить соответственно с упорядочением по расстоянию и упорядочением по уточнению из задачи реконструкции, то сходство этих трех задач станет очевидным. Предоставляем читателю использовать это сходство для формального определения комбинированного упорядочения и множества решений для задачи реконструкции.

Средстда порождения Процедура порождения Средства оценки и критерии Критерии принятия решения Процедуры принятия решения Рисунок Г.25 - Общая схема процесса решения задачи реконструкции Мы видим, что задачи, связанные с подъемом по эпистемологической иерархии систем, а также с упрощением систем, образуют важнейшую категорию задач, имеющих следующие общие черты:

ДАНО:

множество X рассматриваемых систем;

множество отношений порядка

МНОЖЕСТВО РЕШЕНИИ:

где - объединенный порядок предпочтения на X, определенный для всех х, уХ следующим образом:

x y тогда и только тогда, когда x y, В процессе решения задачи реконструкции необходимы три набора процедур:

1) процедуры порождения всех нужных реконструктивных гипотез;

2) процедуры оценки и сравнения порожденных реконструктивных гипотез с точки зрения целей задачи реконструкции;

3) процедуры, которые на соответствующих этапах процесса решения задачи принимают решение о том, какие из порожденных реконструктивных гипотез должны быть включены в множество решений, какие использованы для дальнейшего порождения реконструктивных гипотез и должен ли процесс решения продолжаться или закончиться.

На рисунке Г.25 показано, каким образом эти три набора процедур объединяются в единый процесс решения. Ядром процесса является порождение всех подходящих реконструктивных гипотез. Удобно это делать, порождая соответствующие структуры, которые затем интерпретируются как реконструктивные гипотезы для заданной обобщенной системы. Интерпретация эта сводится к установлению соответствия между переменными обобщенной системы и целыми числами, которыми идентифицированы узлы структур, а также к вычислению, если нужно, проекций обобщенной функции поведения. Порожденные структуры можно разными способами сократить, что уменьшает время вычислений и их цену, а также, возможно, и по другим соображениям. Например, можно выбрать подмножество соответствующих G-, С- или L-структур или ограничиться рассмотрением только тех уровней уточнения (классов l-эквивалентности), для которых потеря информации не превышает некоторого заданного пользователем значения. Таким образом, процесс порождения реконструктивных гипотез может быть ограничен либо набором рассматриваемых структур, либо ограничениями на способ порождения.

Для достижения гибкости в решении задачи реконструкции УРСЗ должен располагать разнообразным набором способов порождения, но этот вопрос находится за пределами проблем, связанных с архитектурой УРСЗ. Это способы порождения соответствующих уточнений (или укрупнений) имеющихся реконструктивных гипотез, примерами чему служат RGпроцедура и RС-процедура (и их укрупняющие аналоги).

Как уже говорилось выше, порождение структур также может быть организовано на нескольких уровнях вычислений. Так, например, RСпроцедура может быть использована на глобальном уровне для работы с классами r-эквивалентности G-структур. Модифицированная RG-процедура, в которой на шаге 3 вместо |k S | 2 используется условие |kS| > 2, которое затем на локальном уровне для порождения непосредственных уточнений некоторых важных классов r-эквивалентности, определенных на глобальном уровне.

Часто бывает необходимо породить уточнения или укрупнения нескольких структур одного уровня уточнения. В этих случаях нужно использовать такие процедуры, которые не порождают одинаковых структур.

Вход в процедуры для оценки реконструктивных гипотез — второй блок на рисунке Г.25 - состоит из порожденных реконструктивных гипотез и различных способов оценки и критериев, определенных пользователем. К ним относятся определения расстояния (а также другие необходимые характеристики, такие, как коэффициент идентифицируемости, реконструктивная нечеткость или некий уровень доверия) и принцип, на котором основывается реконструкция (несмещенная, минимаксная и так далее). По умолчанию следует использовать такие хорошо теоретически обоснованные понятия, как информационное расстояние и несмещенная реконструкция. Полученные реконструктивные гипотезы нужным образом оцениваются и сравниваются. Если получены интересующие пользователя результаты, особенно относительно множества решений, то они выдаются на печать.

Процедуры принятия решений — третий блок на рисунке Г.25 - используют информацию об оценке реконструктивных гипотез и принимают различные решения в соответствии с заданными пользователем критериями. Самые важные - это решение о том, продолжать или завершить процесс решения, и, если процесс продолжается, решение о том, какая из реконструктивных гипотез должна использоваться на следующем шаге (множество X на рисунке Г.25).

Проиллюстрируем некоторые вопросы, связанные с задачей реконструкции и рассматриваемые в этом разделе, на нескольких примерах.

Пример Г.19. Рассмотрим возможностную систему с поведением, определенную на данных, полученных путем наблюдения за четырьмя переменными, характеризующими работу вычислительного комплекса. Целью является нахождение условий, при которых загрузка ЦП (центрального процессора) оказывается высокой. Наблюдаемые значения переменных представляют загрузку ЦП и трех каналов, скажем каналов Kl, К2 и КЗ.

Наблюдение проводилось в течение одного часа типичной рабочей нагрузки комплекса, и загрузка каждого устройства фиксировалась с интервалом в 1 с. Таким образом, было сделано 3600 наблюдений. Если загрузка, наблюдаемая в течение некоторого интервала - в 1 с, была меньше некоторого заданного исследователем порога (определенного на основании предшествующих исследований), то она считается низкой (Н), а если выше этого порога, то высокой (В).

Для определения на этих данных системы с поведением исследователь решил использовать возможностную методологию без памяти. Из 16 возможных состояний переменных в действительности наблюдались только 6.

Поскольку эти состояния наблюдались примерно с одинаковыми частотами, исследователь решил, что функция поведения должна только отличать далее наблюдаемое и ненаблюдаемое состояния. Таким образом, он объявил, что единственно возможными состояниями являются наблюдаемые ранее состояния. Эти состояния имеют возможность, равную 1, остальные состояния (т. е. которые не наблюдались) — равную 0. Полученная функция поведения f приведена в таблице Г.13. Она дает исследователю понимание важной вещи: при некоторых изменениях в организации работы компьютера загрузка ЦП может поддерживаться по высоким уровням, если три канала загружены одним из следующих способов:

Для подтверждения этой идеи исследователь решил изучить реконструктивные свойства обобщенной функции поведения f. Его интересовали только реконструктивные гипотезы без потери информации.

В этом случае переменные оказываются сильно ограниченными (возможны только 6 из 16 состояний переменных). Однако легко определить, что проекции f, соответствующие любой паре из четырех переменных (всего таких пар шесть), совершенно неограничены, то есть любое из четырех состояний, определенных на этой паре переменных, имеет возможность, равную 1.

Следовательно, эти переменные попарно независимы, и обобщенная функция поведения не может быть реконструирована только по ее двумерным проекциям.

Чтобы определить, может ли f вообще быть реконструирована по каким-либо проекциям, полезно сначала рассмотреть реконструктивные гипотезы, основанные на использовании С-структур. С помощью RС-процедуры мы получаем шесть реконструктивных гипотез на первом уровне уточнения. Их схемы и соответствующие графы изображены на рисунке Г.26,а. Каждая гипотеза помечена номером в левом верхнем углу соответствующей клетки, а ее несмещенные реконструкции f h (hN 6 ) приведены в таблице Г.13. Гипотезы 1, 4 и 6 в точности реконструируют f и являются перспективными кандидатами на включение в множество решений. Каждая из оставшихся гипотез дает по четыре некорректных состояния обобщенной системы. Они также имеют следующее информационное расстояние, вычисленное по формуле (Г.42):

Несмещенные реконструкции вычисляются, разумеется, с помощью возможностного варианта процедуры соединения. Для реконструктивной гипотезы 1 она показана на рисунке Г.27. Связями на диаграмме показаны те состояния отдельных трехмерных проекций, возможности которых равны 1. Результатом процедуры соединения, которая выполняется только один раз, являются все четверки из Н и В, которые лежат на путях на диаграмме, соединяющих левые и правые узлы.

эту подсистему. Таких гипотез только три (они показаны на рисунке Г.26,б).

Как следует из таблицы Г.13, их несмещенные реконструкции равны. Происходит это из-за того, что двумерные проекции не содержат никакой информации. Данная рекон-струкция не являРисунок Г.27 – Иллюстрация к ется безупречной: вместо шести репроцедуре соединения реконст- конструируется восемь состояний, а их руктивной гипотезы 1, изображен- расстояния равны 0,105. Это согласно ной на рисунке Г.26 условиям задачи является неприемлемым.

Рассматривать укрупнения этих трех удачных реконструктивных гипотез нет необходимости, поскольку они явно хуже: по определению, они являются менее уточненными, а их расстояния не могут быть меньше расстояний успешных гипотез (то есть не могут быть меньше 0). Следует, однако, рассмотреть укрупнения неудачных гипотез 2, 3 и 5 (смотри рисунок Г.26,а). Воспользовавшись рисунком Г.18, на котором изображена соответствующая решетка G-структур, можно установить, что рассматриваемые структуры - это G-структуры, принадлежащие классу изоморфизма GГ.

Таблица Г.13 - Возможностные функции поведения для обобщенной системы и некоторых несмещенных реконструкций из примера Г. Из каждой подсистемы, изображенной на рисунке Г.26,а, за исключением успешных подсистем, представленных переменными ЦП, К1 и К (на рисунке они заштрихованы), выбираются две подсистемы с двумя переменными. Однако мы знаем, что эти пары подсистем являются неподходящими и что подсистемы из двух переменных информации не добавляют. Следовательно, реконструктивные гипотезы из класса изоморфизма G4 могут быть отброшены без вычисления несмещенных реконструкций и расстояний.

Остается только рассмотреть реконструктивные гипотезы, основанные на G-структурах из класса изоморфизма G3. Поскольку подсистемы, представленные переменными ЦП, К1 и К2, снова должны быть исключены из рассмотрения, то остается только одна гипотеза. Она показана на рисунке Г.26,а, а ее функция поведения f 10 приведена в таблице Г.13. Мы видим, что и эта гипотеза не подходит: ее расстояние равно 0.105, и, следовательно, она должна быть отвергнута.

Поскольку укрупнением успешных реконструктивных гипотез является только гипотеза, основанная на G2, ее также не следует рассматривать.

Таким образом, можно" прийти к заключению, что множество решений состоит из изображенных на рисунке Г.26,а реконструктивных гипотез 1, 4 и 6.

Данный результат подтверждает предположение пользователя о том, что следует обратить внимание на критическую подсистему, базирующуюся на переменных ЦП, К1 и К2. В соответствии с этим загрузка ЦП может поддерживаться на высоком уровне при любой организации вычислительного комплекса, при которой не допускается, чтобы загрузка каналов К1 и К2 была одновременно или высокой, или низкой.

Пример Г.20. Пример основан на данных по использованию противозачаточных средств до замужества (смотри Г.13). Состояния следующих двоичных переменных были определены на группе из 414 студенток старших курсов университета:

v1 - отношение к внебрачным связям (0 - всегда отрицательное, 1 - не всегда отрицательное);

v2 - обращение в университетскую клинику для предотвращения беременности (0 - да, 1 - нет);

v3 - девственность (0 - да, 1 - нет).

Частоты N(c) отдельных состояний и соответствующая вероятностная функция поведения f приведены в таблице Г.14а.

Если рассматривать реконструктивные гипотезы, основанные только на С-структурах, то для получения гипотез первого уровня уточнения можно использовать RС-процедуру. Схемы гипотез, их графы и расстояния (полученные в результате выполнения этой процедуры) приведены на рисунке Г.28. С помощью предупорядочения по информационному расстоянию по расстояниям для первого уровня уточнения мы можем, как это показано на рисунке, определить нижние границы расстояний для всех реконструктивных гипотез второго уровня уточнения. Так, например, D6 0.0637, поскольку гипотеза 6 является уточнением гипотезы 3 и D3 = 0.0637. По этим Таблица Г.14 - Функции поведения из примера Г.20,а и примера Г.21,б нижним границам расстояний сразу определяется, что гипотеза 2 входит в множество решений.

Оценивая гипотезу 4, имеющую самую маленькую нижнюю границу среди конкурирующих гипотез второго уровня уточнения, получим, что действительное расстояние D4 = 0.0127. Поскольку оно меньше любой нижней границы для других гипотез и D7 0.0637, то гипотеза 4 является членом множества решений. Обратите внимание на то, что мы пришли к этому заключению не прибегая к вычислению ни конкурирующих гипотез, ни ее преемника. Если нас интересует гипотеза 7, то можно вычислить, что D7= 0.0802, и понятно, ее следует включить в множество решений, поскольку она является самой уточненной гипотезой из этой решетки уточнения.

Элементы множества решений выделены на рисунке Г.28 заштрихованными прямоугольниками. В данном случае комбинированное отношение упорядочения упорядочивает их полностью. Как видно, переменные v1 (отношение) и v2 (обращения в клинику) больше зависят от переменной v 3 (девственность), чем друг от друга. Особенно сильна связь между v2 и v3.

Пример Г.21. На этом примере мы хотим продемонстрировать некоторые проблемы, возникающие при решении задачи реконструкции в тех случаях, когда заданная функция поведения зависит от памяти. Данная система представлена тремя переменными описывающими человека (v1 – производиv Рисунок Г.28 – Иллюстрация к задаче реконструкции, рассматриваемой в примере Г. тельность труда v2 - общее состояние здоровья, v3 - стресс). Параметром является время (полностью упорядоченный параметр). Наблюдения делаются ежедневно в течение определенного периода времени. Ограничения на переменные заданы возможностной функцией поведения, приведенной в таблице Г.14,б. Они определены на множестве состоянии следующих выборочных переменных:

Функция поведения получена по данным с помощью метода оценки масок, описанного в разделе В.6. Не вдаваясь в подробности относительно предыдущих этапов исследования, сосредоточим свое внимание на задаче реконструкции данной функции поведения. Пусть стандартная формулировка этой задачи основывается на идеях несмещенной реконструкции и информационного расстояния. Предположим далее, что требуется, чтобы реконструктивные гипотезы основывались только на С-структурах, и что максимальное приемлемое расстояние равно 0.1.

Сначала породим и оценим реконструктивные гипотезы, основанные на С-структурах первого уровня уточнения. Они показаны на рисунке Г. (гипотезы 1 - 6), причем выборочные переменные Sk представлены их идентификаторами k (k Nk), а подмножества переменных разделяются косой чертой. Оценка этих гипотез заключается в определении их несмещенных реконструкций (с помощью возможностного варианта процедуры соединения) и вычисления их расстояний [по формуле (Г.42)].

Поскольку гипотеза 4 имеет наименьшее расстояние (D4 = 0) то породим и оценим все ее непосредственные С-уточнения Всего этих уточнений пять, и они помечены номерами 7—11 Наименьшее расстояние в этой группе D10 = 0.021. Из монотонности информационного расстояния следует, что расстояние любой гипотезы на первом уровне уточнения является также нижней границей расстояний для всех ее уточнений. Следовательно, единственной гипотезой первого уровня уточнения, которая потенциально может быть источником уточнений с расстояниями, меньшими или равными 0.021, является гипотеза 5, чье расстояние D 5 = 0.0179. Однако легко видеть, что любое непосредственное уточнение гипотезы 5 является одновременно уточнением какой-то другой гипотезы первого уровня. Отсюда следует, что любое не посредственное уточнение гипотезы 5 либо находится среди гипотез 7 - 11, либо среди гипотез, нижняя граница расстояний которых больше 0.021. Следовательно лучшей на втором уровне является гипотеза 10. Ее непосредственными уточнениями являются гипотезы 12—15, среди которых гипотеза 13 имеет наименьшее расстояние.

Для того чтобы убедиться, что гипотеза 13 является лучшей на третьем уровне, необходимо оценить все остальные гипотезы этого уровня, за исключением уточняющих гипотез 1, 3, 7 и 8, нижние границы которых превышают D13. Поскольку гипотеза 7 является уточнением гипотезы 1, ею D = 0. D7=0.086 D8= 0.0681 D9=0.122 D10 =0.021 D11=0. D12=0.1626 D13= 0.06 5 D 1 4 =0.1354 D15=0.0887 D16= 0. D17= 0.2381 D18= 0.1 7 43 D19= 0.2056 D20= 0. Рисунок Г.29. Реконструктивные гипотезы, оцениваемые в примере можно пренебречь. Графы гипотез 1, 3 и 8 приведены на рисунке Г.30,а.

Графы гипотез, не являющихся их уточнением на третьем уровне, должны содержать ребра (1, 4), (3, 4), а также либо ребро (1, 2), либо ребро (2, 4).

Имеется всего два таких графа. Они приведены на рисунке Г.30,б.

Рисунок Г.30 - Графы некоторых реконструктивных гипотез, рассматриваемые в примере Г. Первый на самом деле является графом гипотезы 13, второй представляет гипотезу 12/14/34, являющуюся единственным потенциальным конкурентом гипотезы 13.

Оценив этого потенциального конкурента (на рисунке Г.29 он помечен номером 16), мы получим, что D16 0.1188 > D13. Следовательно, гипотеза является лучшей на третьем уровне уточнения.

Поскольку наименьшее расстояние на третьем уровне (D13 = 0.065) меньше, чем наибольшее допустимое расстояние, необходимо исследовать 4-й уровень. На этом уровне 15 гипотез (представленных всеми парами ребер на графе из четырех узлов), но только четыре из них не являются уточнениями гипотез 9, 12, 14 и 16, расстояния которых превышают критическое значение 0.1. Это гипотезы 12/13/4, 12/23/4, 12/24/3 и 13/34/2. Их номера и расстояния приведены на рисунке Г.29. Поскольку все эти расстояния превышают 0.1, никакая из этих гипотез не входит в множество решений, и дальнейшие уточнения не нужны. Множество решений полностью упорядочено и состоит из гипотез 4, 10 и 13 (а также, возможно, гипотезы 0 — обобщенной системой 1234).

Обратите внимание на то, что, Dl используя предупорядочение по ин- 0. совершенно точно), оценив только 20 0. из 63 возможных реконструктивных всех гипотез. Для систем с большим числом переменных применение преРисунок Г.31 – Зависимость минидупорядочения по информационному расстоянию еще более эффективно.

Вообще говоря, чем больше отличаются (по расстоянию) оцениваемые реконструктивные гипотезы на отдельных уровнях уточнения, тем эффективнее использование этого предупорядочения.

Часто бывает полезно посмотреть на приращения минимального расстояния, соответствующие соседним уровням уточнения. Для этого определяется расстояние для наиболее уточненной гипотезы и вычисляется среднее приращение расстояния, равное этому наибольшему расстоянию, деленному на общее число уровней уточнения. В данном примере расстояние для наиболее уточненной гипотезы 1/2/3/4 равно 0.4591, следовательно, среднее приращение расстояния равно 0.4591/6=0.0765. Экстраполируя по известным значениям расстояний, можно получить график зависимости минимального расстояния Dl от уровня уточнения l. Этот график для данного примера приведен на рисунке Г.31. График точен для l = 0, 1, 2, 3, 6, приблизителен для l= (нам известно, что 0.1188 D 4 0.1748) и оценен для l=5. Остается только решить вопрос относительно однозначности управления для каждого элемента множества решений (раздел Г.4, пример Г.6). Как показано на рисунке Г.32,а, переменные 1, 2, 3, очевидно, являются порождаемыми, а единственной порождающей переменной является переменная Г. Каждая порождаемая переменная должна управляться (определяться) в точности одной подсистемой реконструктивной гипотезы. Для гипотезы 134/234 ясно, что переменные 1 и 2 управляются соответственно подсистемами 134 и 234, однако переменная 3 может управляться любой из них. Решение о том, какая из подсистем должна быть выбрана для управления переменной 3, должно быть принято исходя из их порождающих нечеткостей. Для данного примера вычисленные U - нечеткости равны: U(3| 1,4) =0.834 для подсистемы 134 и U(3|2,4) для подсистемы 23Г. Так как U(3|2,4) а, если переменные порождаются по возрастанию t (предсказание), и b < а, если переменные порождаются по убыванию t (восстановление). Понятие содержательной реконструктивной гипотезы может быть легко обобщено на зависящие от памяти системы, базирующиеся на двух и более полностью упорядоченных параметрических множествах (таких, как двух- и трехмерные декартовы пространства), однако для таких систем формализация оказывается существенно более сложной прежде всего из-за значительного роста числа возможных порядков порождения.

Г.8. Анализ реконструируемости Анализ реконструируемости — это пакет методологических инструментов, входящий в УРСЗ и используемый при решении целого класса задач, имеющих следующее общее свойство: в них изучается взаимосвязь между обобщенными системами и различными их подсистемами. В задачах этого класса фигурируют системы двух эпистемологических типов: порождающие системы и структурированные порождающие системы, причем обычно они представляются в виде систем с поведением. Эти задачи естественным образом разбиваются на два подкласса в зависимости от эпистемологического уровня исходной (заданной) системы. Задачи, в которых исходная система является порождающей структурированной, называются задачами идентификации, а задачи, в которых исходная система является структурированной системой,— задачами реконструкции.

Самые общие типы задач идентификации и реконструкции, в которых множества состояний переменных не обладают никакими особыми свойствами, сформулированы и рассмотрены соответственно в разделе Г.6 и Г.7.

Основные вопросы (подзадачи), связанные с этими задачами, не зависят от конкретных методологических отличий и являются предметом общего анализа реконструируемости. Они показаны на рисунке Г.33 и приведены в следующем списке:

определение реконструктивного семейства для заданной системы с поведением;

определение коэффициента идентифицируемости (реконструктивной нечеткости) для заданной системы с поведением;

определение несмещенной реконструкции для заданной системы с поведением;

определение реконструкции наименьшего риска или, возможно, реконструкции какого-то другого типа для заданной системы с поведением;

разрешение локальных несогласованностей в заданной системе с поведением (раздел Г.11);

порождение подходящих реконструктивных гипотез для заданной системы с поведением;

вычисление соответствующих проекций заданной системы с поведением;

вычисление расстояния между заданной системой с поведением и системой, реконструированной по реконструктивной гипотезе;

упорядочение соответствующих реконструктивных гипотез и определение приемлемых, реконструктивных гипотез (множества решений задачи реконструкции);

определение управления для рассматриваемых переменных.

Если посмотреть с точки зрения эпистемологической иерархии систем, то легко увидеть, что анализ реконструктивности представляет собой решение последовательностей задач, принадлежащих к четырем категориям, которые на рисунке Г.34 изображены помеченными стрелками. Приведем список подзадач, относящихся к каждой категории:

1 - реконструктивное семейство, коэффициент идентифицируемости, несмещенная реконструкция или реконструкция наименьшего 3 - разрешение локальных несогласованностей, порождение и упорядочение реконструктивных гипотез, управление переменными;

При других методологических отличиях возникают другие типы задач идентификации и реконструкции. Например, если переменные непрерывны, то проекции обобщенной системы с поведением зависят не только от выбранных подмножеств переменных, но и от преобразований координат. Так, трехмерный объект, изображенный на рисунке Г.35а, может быть полностью реконструирован по трем своим двумерным (планарным) проекциям (видам), скажем по виду слева, виду спереди и виду снизу (рисунок Г.35б) в соответствии с декартовыми координатами, определенными на этом объекте. Несмотря на то, что реконструируемость сохраняется при изменении положения начала системы координат, очевидно, что это свойство не сохраняется при вращении координат. В действительности существует континуум проекций одного объекта, соответствующий континууму вращений системы координат или, иначе, континууму вращений объекта в одной системе координат. Кроме того, дополнительные проекции могут быть получены на любую плоскость, определенную в данной системе координат.

ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Заданная структурированная Множество функций поведения,

ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ

с поведением Множества подходящих реконструктивных гипотез для F для отдельных уровней уточнения (множество решений} Рисунок Г.33. Основные вопросы, связанные с анализом реконструируемости Структурированные порождаюназываемые ортогональные проекции, щие системы (с поведением) типом проекций являются так называемые тени, получаемые соединениПорождающие системы (с ем каждой точки объекта с некоторой рассматриваемых при анализе ре- имеется континуум проекций, соответконструируемости ствующий континууму положений точки проектирования. Далее, пересечения объекта с различными плоскостями, - так называемые сечения,также могут быть использованы в качестве двумерных представлений.

Несмотря на огромное разнообразие возможных проекции для систем с непрерывными переменными, основные понятия, связанные с отношением целого (скажем, трехмерных объектов) и частей (их различных двумерных и одномерных проекций), такие, как реконструктивное семейство, несмещенная реконструкция, локальная согласованность, расстояние и т. д., остаются теми же самыми, даже если они принимают некие специфические формы. Например, процедура соединения, с помощью которой по двумерным ортогональным проекциям определяется несмещенная реконструкция, состоит в восстановлении для каждой из проекций бесконечных цилиндров и определении общего объема этих цилиндров (то есть множества точек, принадлежащих их пересечению). Разумеется, существуют некоторые дополнительные проблемы, связанные с непрерывными переменными.

Они прежде всего связаны с выбором соответствующих проекций. Несмотря на то, что эти проблемы имеют важное значение в таких областях, как оптика, механика, картография или томография, это тем не менее проблемы, частные, не применимые ко всем системам. Поэтому они не входят в сферу вопросов, рассматриваемых в данной книге, хотя в УРСЗ должны, быть включены соответствующие методы решения этих задач. Некоторые из этих задач рассматривались в дескриптивной геометрии и в последнее время в системах обработки изображений.

Методологический пакет, такой, как пакет анализа реконструируемости, должен быть доступен как в интерактивном, так и в автоматическом (пакетном) режиме. При работе в интерактивном режиме пользователь может применять соответствующие процедуры в любом порядке и объеме, принимает решения, исходя из промежуточных результатов и собственного опыта. Например, при решении задачи реконструкции он может начать с исходной структурированной системы как возможной реконструктивной гипотезы, оценить ее и, если нужно, сравнить с непосредственными уточнениями, со всеми реконструктивными гипотезами, в ее структурной соседстве, с другими возможными гипотезами, не находящимися в соседстве, или предпринять какие-либо другие действия. При решении задачи идентификации можно сравнить несколько вариантов структурированных систем по их коэффициентам идентифицируемости. В зависимости от полученных результатов можно определить затем или реконструктивные семейства, или только некие типы реконструкций для некоторых из них. То, что интерактивный режим дает возможность пользователю сосредоточить внимание на конкретных вопросах и воспользоваться своим опытом и знаниями, является большим преимуществом интерактивного режима при работе с большими системами, в которых полная обработка практически невозможна из-за неприемлемых запросов на вычислительные ресурсы.

При работе в автоматическом режиме пользователю должен быть предоставлен набор последовательностей различных процедур, что позволило бы ему выбирать различные варианты решения задачи. Так, например, при решении задачи реконструкции одна из последовательностей процедур, повторяющаяся на каждом уровне уточнения, может состоять из RС-процедуры, процедуры соединения, вычисления расстояния и процедуры принятия решения о продолжении. В другой последовательности RC-процедура может быть заменена на RG-процедуру (ограниченную уточнениями из одного класса r-эквивалентности), за которой следуют три остальные процедуры (процедура соединения и так далее); другие последовательности могут базироваться на укрупнении, а не на уточнении и тому подобное. Одна из последовательностей должна выполняться по умолчанию, например простая последовательность, основанная на RС-процедуре.

Помимо своей основной роли при анализе систем естественного происхождения, реконструктивный анализ может быть применен также и для решения задач, связанных с искусственными системами. Понятие структурного соседства можно, например, Непосредственно использовать для обнаружения дефектов в связях между элементами структурированной системы в тех случаях, когда непосредственное наблюдение связей невозможно. Правильно использованное, оно может оказать большую помощь и при проектировании. Его, например, можно применять для определения всего множества структурных уточнений, полностью сохраняющих данную проектируемую систему с поведением. Такие уточнения являются основой для естественного способа проектирования по частям, что делает этот процесс более управляемым. Под «естественным» здесь понимается то, что эти уточнения содержат только входные и выходные переменные, входящие в данную систему с поведением, т. е. не содержат дополнительных (или искусственных) переменных, вводимых на данном этапе. В каждом уточнении по крайней мере некоторые из заданных переменных входят в несколько подсистем и, следовательно, играют несколько разных ролей. В максимально подробных уточнениях множественность использования любой переменной достигает предела. Далее переменные должны при необходимости вводиться с помощью обычных методов декомпозиции или другого подходящего метода проектирования.

Несмотря на такое использование реконструктивного анализа для искусственных систем, необходимо подчеркнуть, что основным его назначением является исследование естественных систем. Дело в том, что отношение часть-целое в естественных системах куда более неопределенно, чем в естественных. Так, например, любая искусственная система является также определением соответствующей обобщенной системы. Это непосредственно следует из того факта, что соединяющие переменные в любой искусственной системе являются либо переменными, которые прямо представляют единственную систему с поведением (определенную в задаче проектирования), либo искусственными соединяющими переменными, введенными только для косвенного представления этой единственной системы. Следовательно, реконструктивное семейство любой искусственной структурированной системы является единственным и представляет собой объединение функций поведения ее элементов. То есть обобщенная система любой искусственной структурированной системы всегда представляется несмещенной реконструкцией этой структурированной системы.

Это взаимно однозначное соответствие между искусственными структурированными системами и связанными с ними обобщенными системами является, без сомнения, доводом, возможно самым главным, в пользу того, что связь между сопоставимыми системами с поведением и структурированными системами при исследовании систем (то есть при исследовании естественных систем) часто недостаточно хорошо понимается, особенно людьми с инженерной подготовкой. В самом деле, в литературе описано множество больших систем, которые, как предполагается, описывают различные естественные явления и составлены из меньших взаимосвязанных систем (подсистем). На основании полученной конкретной структурированной системы делаются выводы о свойствах обобщенной системы так же, как это делается для аналогичных искусственных систем, т.

е. с помощью соединения или композиции функций поведения соответствующих элементов. Понятно, что подобные выводы основываются на предположении, что структурированные системы представляют эту обобщенную систему точно так же, как для искусственных систем. Это недоказанное и обычно неверное предположение, которое в подобных исследованиях никогда явно не декларируется, принимается без доказательства из-за неправомерной и сбивающей с толку аналогии с искусственными системами.

Г.9. Вычислительные эксперименты В этом разделе в качестве примера метаметодологических средств УРСЗ описываются вычислительные эксперименты, с помощью которых можно определить некоторые важнейшие характеристики анализа реконструируемости (связанные с задачей реконструкции). Эти характеристики нужны для более глубокого понимания реконструктивного анализа, помощи пользователям УРСЗ по применению реконструктивного анализа при общесистемных исследованиях и оценки новых принципов, таких, как принцип индуктивного вывода, рассматриваемый в разделе Г.10.

В типичном эксперименте реконструктивная гипотеза выбирается при заданном числе переменных и мощностях их множеств состояний. Затем процесс порождения данных с помощью этой гипотезы моделируется на компьютере. В большей части этих экспериментов порождается последовательность из 2000 элементов данных. В соответствии с описанными выше правилами анализ реконструируемости проводится на 10 разных сегментах этих последовательностей, содержащих 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1000, 1500 и элементов данных. Полученные для каждого сегмента результаты затем сравниваются с данной реконструктивной гипотезой.

Для заданного числа переменных и их множеств состояний порождается и анализируется соответствующее число различных последовательностей данных.

Усредненные результаты этих экспериментов затем используются для определения различных характеристик. Эксперименты для простоты ограничиваются только С-структурами. Они были проведены для множеств &3, &4 и &5; для каждого множества были соответствующим образом представлены все уровни уточнения. Аналогичные эксперименты были проведены для множеств состояний одинаковой мощности (2, 3, 4 и 5) для всех рассматриваемых переменных, а также для определенных смесей разной мощности. Поскольку отличия переменных, описываемых масками и средами, которые для общесистемных исследований очень важны, собственно для реконструктивного анализа значения не имеют, эксперименты проводились только для нейтральных систем без памяти.

Последовательности данных порождались с помощью генератора случайных чисел в соответствии с конкретной вероятностной структурированной системой (представленной С-структурой). Затем они анализировались вероятностным и возможностным методами. На самом деле одной из целей проведения экспериментов было сравнение этих двух методов и определение их областей применения.

На начальном этапе эксперимента было замечено, что возможностный анализ демонстрирует тенденцию к естественной классификации реконструктивных гипотез на каждом уровне уточнения на хорошие и плохие гипотезы, т. е. на гипотезы соответственно с малыми и большими расстояниями. Было также отмечено, что корректные гипотезы (то есть гипотезы, с помощью которых были порождены анализируемые данные) часто не обладают наименьшим расстоянием, но почти всегда принадлежат к хорошему кластеру. Исходя из этих наблюдений вероятностный и возможностный анализы проводились по немного отличающимся правилам.

При вероятностном анализе любая порожденная последовательность данных анализируется на соответствующей решетке уточнения дважды с помощью двух различных процедур поиска. Согласно первой процедуре на каждом уровне уточнения уточняются только структуры с минимальным расстоянием. Согласно второй процедуре уточняются все структуры, чьи расстояния не превышают минимальное более чем на 100%. По каждой из процедур характеристики вычисляются отдельно.

При возможностном анализе структуры на каждом уровне уточнения кластеризуются на плохие и хорошие и далее уточняются только хорошие структуры. Любая последовательность данных анализируется дважды с помощью двух разных процедур кластеризации. Для описания этих процедур пусть обозначает множество всех С-структур Сi, оцениваемых на определенном уровне уточнения конкретного эксперимента, с их расстояниями di. Пусть didi+1 для всех i N r 1 и пусть - соответственно кластеры хороших и плохих структур, где 1 c r (то есть кластер G всегда непустой, в то время как кластер В в некоторых случаях может быть пустым).

В первой процедуре кластеризации с определяется наименьшим значением i, для которого разность di - di-1 превышает среднюю разность в R для всех iNr-1. To есть Будем называть эту процедуру кластеризацией по средней разности или AD-кластеризацией (average difference).

Во второй процедуре кластеризации с определяется значением k N r, для которого выражение достигает минимума, причем Эта процедура основана на естественном кластеризационном требовании о том, что расстояния между кластерами должны быть велики, а расстояния внутри кластеров малы; будем называть это кластеризацией по внутреннему и внешнему расстоянию или IOD-кластеризацией (от англ. Inside and Outside Distance).

Теперь можно целиком описать процедуру реализации одного эксперимента (смотри диаграмму на рисунке Г.36). Она начинается с выбора струкОцениваемые Сструктуры и Рисунок Г.36 - Схема вычислительного эксперимента турированной системы с поведением TSF (которая рассматривается в эксперименте как подлинная). Эта система основывается на С-структуре. Эта структуризованная система, представляющая обобщенную систему с поведением TF (полученную из системы TSF с помощью процедуры соединения), моделируется на компьютере и используется для порождения данных. После порождения данных из соответствующей системы данных D выводится обобщенная система с поведением без памяти DF (вероятностная или возможностная). Затем для ведением без памяти DF (вероятностная или возможностная). Затем для системы F проводится реконструктивный анализ в соответствии с одной из упомянутых выше процедур поиска (например, для возможностных систем, основанных на одном из двух типов кластеризации). Результатом является последовательность множеств С-структур (и их расстояний), которые оцениваются на отдельных уровнях соответствующей решетки уточнения. Это множества, скажем множества для l = 1, 2,..., п(п — 1)/2, где п — число рассматриваемых переменных. Особый интерес представляет множество El для того же уровня уточнения, что и система TSF. Система DF также используется для определения структурированной системы DSF, основанной на такой же С-структуре, что и заданная структурированная система TSF. Эта система (DSF) представляет обобщенную систему с поведением RF (реконструированную обобщенную систему).

По множеству El (l Nn(n-1)/2) и обобщенным системам с поведением TF, DF и RF, полученным в результате экспериментов одного типа (то есть для определенного числа переменных, определенных множеств состояний, для вероятностного или возможностного варианта и так далее), можно определить различные характеристики результатов анализа реконструируемости. Опишем эти характеристики на нескольких примерах систем из трех переменных. Некоторые основные характеристики для вероятностных систем (с тремя переменными) представлены на рисунке Г.37.

Они получены с использованием процедуры поиска, в которой уточняются только структуры с минимальным расстоянием. Графики на рисунке Г.37,а описывают влияние числа наблюдений (объем данных |d|) на качество анализа реконструируемости для переменных с двумя и с пятью состояниями. Качество оценивается как для тех экспериментов, для которых процедура поиска получает на соответствующем уровне уточнения корректную структуру, являющуюся структурой с наименьшим расстоянием. Как видно, 100%-ое качество достигается достаточно быстро для обоих случаев. Несмотря на то, что с ростом числа наблюдений результативность сходится к 100% во всех исследованных случаях, скорость сходимости несколько падает с ростом числа переменных.

Это объясняется прежде всего высокой селективностью используемой процедуры поиска. Видно также, что переменные с пятью состояниями (верхний график) оцениваются лучше, чем переменные с двумя состояниями (нижний график).

Это также общая тенденция: с ростом мощностей множеств рассматриваемых состояний улучшается и качество. Таким образом, для любого конкретного числа переменных характеристики представленных систем с двоичными пере менными могут рассматриваться как худший случай.

На остальных графиках на рисунка Г.37 показаны характеристики анализа реконструируемости только для двоичных переменных. На графике (рисунок Г.37,б) показано, насколько отличается корректная структура по информационному расстоянию от других структур на том же уровне уточнения. На нижнем графике представлено расстояние для корректной структуры D(Df, Rf ), на среднем — наименьшие расстояния для структур, конкурирующих с корректной на том же уровне уточнения, и на верхнем средние расстояния для всех структур, конкурирующих с корректной (в соответствии с процедурой по Рисунок Г.37 - Некоторые характеристики анализа реконструируемости для вероятностных систем иска) на одном уровне уточнения. Несмотря на то, что на вид этих кривых влияет число переменных и мощность множеств их состояний, а также используемый тип расстояния, с ростом числа наблюдений эти расстояния всегда убывают, а расстояние для корректной структуры стремится к нулю.

На графике (рисунок Г.37в) сравниваются информационные расстояния между подлинной системой TF и соответственно системами DF и RF. Поскольку соответствующие пары распределений вероятностей Tf, Df и Tf, Rf являются произвольными, необходима общая мера информационного расстояния. Это расстояние, назовем его G, определяется формулой где 1f и 2f - произвольные распределения вероятностей, определенные на одном и том же конечном множестве состояний; D — специальное информационное расстояние, заданное уравнением (Г.40); (1f +2f )/2—распределение вероятностей, полученное взятием среднего для каждой пары соответствующих вероятностей из 1 f и 2 f. Нижний график на рисунке Г.37,в представляет D( T f, f),а Рисунок 7.38 - Некоторые характеристики анализа реконструируемости верхний - D(Tf, Df). Таким образом, реконструированная система RF оказывается ближе к подлинной системе TF, чем система DF, опирающаяся только на доступные данные. Это довольно неожиданный результат, важность которого будет проанализирована в разделе Г.10.

На графиках (рисунок Г.37г) показана взаимосвязь множеств состояний с ненулевыми вероятностями для трех участвующих в вычислительном эксперименте систем с поведением ТF, DF и RF; будем эти множества состояний обозначать соответственно ТХ, DX и RХ. На нижнем графике показана доля тех состояний TF, которые имеются в D F (это происходит из-за недостатка данных), то есть (DX/TX)·100; на верхнем графике представлен процент состояний TF, имеющихся в Из этих графиков ясно видно, что Это столь же важное свойство, как и то, что получено из графиков на рисунке Г.37,г, и оно также будет рассмотрено в разделе Г.10.

Возможностные аналоги описанных характеристик приведены на рисунке Г.38. Они основаны на IOD-кластеризации. Поскольку реконструктивный анализ возможностных систем основывается на работе с кластерами структур, а не с отдельными структурами, то соответствие между вероятностными характеристиками и их возможностными аналогами не является прямым.

На рисунке Г.38 (а) показано качество возможностного анализа реконструируемости для различных множеств состояний (от двух до пяти для переменной). График в данном случае имеет обобщенный вид, поскольку различия для разных множеств состояний малы и никаких особых тенденций выявить не удается. Качество представляется как доля экспериментов, в которых корректные структуры входят в кластер хороших структур. Остальные зависимости на рисунке Г.38 построены только для двоичных переменных На рисунке Г.38,г показаны верхнее и нижнее информационные расстояния для двух кластеров структур. Они существенно отличаются от своих вероятностных аналогов. Напротив, на рис. Г.38,в и г очень похожи на свои вероятностные аналоги. Возможностная версия общего информационного расстояния, использованная при построении графиков на этих рисунках, определяется формулой где f и f— произвольные распределения возможностей, определенные на одном и том же конечном множестве состояний; D - специальное информационное расстояние, определяемое уравнением (Г.42); 1f V 2f - распределение возможностей, получаемое взятием максимума для каждой пары соответствующих возможностей из 1f и 2f.

Все эксперименты, для которых определялись данные характеристики, проводились в предположении, что данные порождены некой структурированной системой. Целью этих экспериментов было определение того, насколько недостаток данных влияет на качество анализа реконструируемости. Несмотря на то, что эти идеализированные эксперименты достаточно ценны и представляют собой естественный первый этап анализа реконструируемости, очень желательно было бы расширить их для более общих и более реальных ситуаций. Позвольте в качестве примера описать обобщенные эксперименты, подготавливаемые в настоящее время. Подобно идеализированным вычислительным экспериментам, обобщенные эксперименты будут также разбиты на группы по числу переменных и по мощностям их множеств состояний. Для каждого эксперимента будет выбрано определенное распределение, где для каждого обобщенного состояния рассматриваемых переменных будет определено число его наблюдений. Одни сматриваемых переменных будет определено число его наблюдений. Одни распределения будут выбраны из различных архивов данных и из литературы, а другие — порождены случайными процессами. Эти два класса экспериментов будут анализироваться по отдельности для того, чтобы понять, обладают ли распределения, основанные на реальных данных, некими особыми реконструктивными свойствами по сравнению с порожденными случайно распределениями.

Каждое отобранное распределение будет использовано двояко. Вопервых, его реконструктивные свойства будут анализироваться как вероятностным, так и возможностным методами. Во-вторых, оно будет использовано для порождения данных, обычно для 2000 наблюдений. Затем распределения, полученные для различных сегментов данных, будут анализироваться точно так же, как и исходные (истинные) распределения, и с помощью тех же методов (вероятностного и возможностного). Наконец, результаты соответствующих экспериментов, полученные для различных сегментов данных, будут сравниваться с теоретическими свойствами, определенными для исходного распределения. Это сравнение будет проводиться для того, чтобы определить, насколько хорошо эти теоретические (истинные) свойства согласуются с экспериментальными. Для каждого свойства, считающегося существенным, в результате выполнения каждой группы экспериментов будет определена зависимость средней сохранности этого свойства (а также вариации этой сохранности) от размеря анализируемого сегмента данных и используемого метода.

Вычислительные эксперименты так, как они описаны в этом разделе для анализа реконструируемости, являются важнейшим инструментом для метаметодологических исследований в науке о системах. УРСЗ должен не только предоставлять в распоряжение пользователя метод решения разных типов задач, но и давать метаметодологическое описание этих методов. Характеристики анализа реконструируемости, описанные в данном разделе,— это простой пример такого метаметодологического описания.

Г.10 Индуктивное рассуждение Хотя индуктивное рассуждение неявно применялось только при решении задач идентификации и реконструкции, оно используется практически в любой задаче, связанной с применением метода открытия в исследовании систем. Поэтому желательно дать обзор вопросов, связанных с индуктивными рассуждениями, и это - одна из задач данного раздела; вторая задача - введение нового принципа индуктивного вывода, основанного на некоторых особенностях анализа реконструируемости.

Понятие индуктивного рассуждения мы будем рассматривать не в традиционном узком смысле - как выведение общего заключения из частных примеров, а более широко - как «охват всех недоказуемых случаев, в которых истинность предпосылок хотя и не определяет инстинность заключения, но показывает, что есть серьезные основания доверять истинности этого заключения» (Философская энциклопедия).

Понятие индуктивного рассуждения в течение столетий являлось предметом философских споров, особенно после опубликования в 1739 г. Дейвидом Хьюмом классического анализа этого понятия (David Hume, A. Treatise of Human Nature, William Collins, Glasgow, 1962). Несмотря на то, что было выдвинуто множество доказательств, опровергающих скептическое отношение Хьюма к возможности обоснования индуктивного вывода, в конечном счете оказалось, что все эти доказательства имеют слабые места. В одних случаях доказательства оказывались несостоятельными из-за скрытой цикличности (то есть из-за попыток обоснования индукции с помощью индукции), в других - зависели от неких метафизических допущений (типа единообразия природы).

Основной недостаток этих доказательств заключается в том, что они всерьез рассматривают тезис Хьюма как содержательную проблему. Альтернативный подход состоит в том, чтобы отказаться от попыток обоснования индуктивного вывода дедуктивными методами, что неявно присутствует в анализе Хьюма, и рассматривать индуктивное рассуждение как процесс правильного суждения на основе неполной информации. Одним из самых многообещающих способов обоснования индуктивного рассуждения при таком подходе является методологический прагматизм, предложенный недавно Решером [263]. Согласно этому способу ключом к обоснованию индуктивного рассуждения являются методы; понятно, что методологический прагматизм хорошо согласуется с темой данной книги. Дадим краткий обзор основных особенностей этого способа.

Решер рассматривает индуктивное рассуждение как метод «правильного суждения с помощью систематизации на основе опыта, представляющего собой оптимально правдоподобное сочетание догадки и имеющейся информации» [266]. Он утверждает, что информацию о природе можно получить, только взаимодействуя с ней, и если мы не готовы довериться такому взаимодействию, то остается только отказаться от всего проекта исследования. Несмотря на то, что цели такого проекта являются как научными, так и практическими, окончательная проверка должна основываться на том, насколько полученные знания оказываются полезны для деятельности человека.

Происходит это из-за того, что в отличие от теоретических построений на практике для достижения целей (например, чтобы избежать гибели, травмы, болезни, страданий, огорчений и так далее) нужно принимать неотложные решения. В книге [260] подробно рассматривается вопрос о том, насколько необходимы индуктивные рассуждения для успеха работы лица, принимающего решения.

Поскольку индуктивное рассуждение рассматривается как метод решения задач при неполной информации, его обоснование - это обоснование с точки зрения практический пригодности; отсюда и название «методологический прагматизм».

Обоснование метода индуктивных рассуждений, по Решеру, разбивается на два этапа, называемые соответственно начальным и окончательным обоснованием. При начальном обосновании, которое является неиндуктивным, требуется показать, что метод является потенциально более пригодным по сравнению с другими сопоставимыми методами. Окончательное обоснование — это проверка реальной эффективное!и метода, т. е. проверка того, насколько его эффективность выше, чем у альтернативных методов, Существенной стороной начального обоснования метода индуктивного распределения, по Решеру, является учет того, в какой степени полученные с помощью этого метода результаты могут быть включены в систему, основанную на предшествующем опыте. Все остальное остается таким же. В качестве критериев для начального обоснования метода используются различные параметры систематичности (полнота, связанность, совместимость, простота и т.

д.). Такой подход является следствием согласованной теории истинности [261], подробно излагаемой в книге Решера «Когнитивная систематизация» [265].

Решер утверждает также, что индуктивное рассуждение «лежит в самой основе использования человеком языка для коммуникаций. Именно естественный язык служит для согласования явного расхождения между полученными утверждениями и реальными свидетельствами; это делается с помощью завуалирования фактов, причем этот процесс имеет индуктивную природу» [266].

Взаимосвязанность индуктивного рассуждения и естественного языка, хорошо согласующаяся с основными идеями методологического прагматизма, отмечается и в работах некоторых современных философов. Одно из самых ясных высказываний на этот счет принадлежит Блэку. Он утверждает [45]:

Мне представляется естественным считать, что индукция — это система, управляемая правилами. Индукция как система человеческой деятельности использует соответствующую терминологию, а также определенные правила вывода суждений. При индуктивном рассуждении требуется соответствующим образом помечать определенные ситуации, определенными способами делать выводы и, что важно, принять определенный способ мышления, прежде чем предпринять соответствующие действия... Грубо говоря, индуктивные правила определяют: как говорить, как думать и как действовать в определенных рамках... У этих правил есть априорная и есть практическая стороны, определяющие правильное использование этих правил; при нашем языке и включающей его системе понятий невозможно представить себе, как можно вообще отказаться от них. Однако это опытом. Большая часть этого опыта воплощена в структуре нашего языка, не означает, что мы находимся в плену у догмы: устанавливающие правила индукции дают значительную свободу для различных суждений относительно индуктивных заключений, достоверности правил и т. п. При этом можно обратиться к прошлому опыту как основе для повышения мощности вывода или при разумных ограничениях для модификации системы индукции и ее компонентов. Однако обращение к предшествующему опыту — это, пользуясь политической терминологией, ревизионизм: для революций в способах мышления нужно искать другие пути.

Индуктивное рассуждение хорошо формулируется на языке теории информации. Большой вклад в эту область внесли работы Кристенсена [75Он определил индуцированное суждение как суждение, представляющее всю доступную информацию, но только ее. Несмотря на то, что индуцированные суждения получаются не обязательно с помощью дедукции из имеющейся информации, случаи, в которых применима дедукция, также рассматриваются как особые (экстремальные) случаи индуцированных суждений.

Из определения индуцированного суждения следуют два общих принципа индуктивного рассуждения:

1) наши суждения не должны быть отражением большего объема информации, чем тот, которым мы располагаем;

2) наши суждения должны отражать всю доступную нам Поразительно, что эти чрезвычайно фундаментальные принципы были прекрасно известны китайскому философу Лао-цзы уже в V в. до н. э. Они блестяще сформулированы в его книге Дао Дэ Цзин:

Для создания определенной методологии индуктивного рассуждения, основанного на этих общих принципах, нужно принять какое-то определение термина «информация». В разных контекстах этот термин понимается поразному. В контексте исследования систем, когда информация понимается как мера ограничений на рассматриваемые переменные, смысл этого термина определяется способом представления этих ограничений. В рамках теории вероятностей два общих принципа индуктивного рассуждения становятся соответственно принципами минимума и максимума энтропии. В альтернативных теориях есть соответствующие аналоги этих принципов. Например, в теории возможностей это принципы максимума и минимума U нечеткости.

Принцип максимума энтропии используется для оценки неизвестных вероятностей (которые нельзя определить дедуктивно) по имеющейся информации. Согласно этому принципу оцененное распределение вероятностей должно быть таким, чтобы его энтропия была максимальной при имеющихся ограничениях, т. е. ограничениях, представляющих имеющуюся информацию.

Таким образом, этот принцип обеспечивает то, что не будет использована никакая информация, кроме имеющейся.

Принцип минимума энтропии применяется при формировании разрешающих форм и в связанных с этим процессом задачах. Согласно этому принципу энтропия оцениваемого распределения вероятностей, обусловленного определенной классификацией заданных событий (например, состояний рассматриваемой переменной), является минимальной основой для ограничений, накладываемых на ситуацию. Таким образом, этот принцип гарантирует, что при оценке неизвестных вероятностей используется вся имеющаяся информация, насколько это возможно при заданных ограничениях (например, при требуемом числе состояний) и по существу согласно Ватанабе [331], это является основным принципом распознавания образов:

Распознавание образов — это способность интеллекта, направленная на то, чтобы в ряде событий выделить некую «форму». На языке математики самым подходящим было бы такое определение: распознавание образов - это формирование, переформирование и модификация нашей системы отсчета с тем, чтобы соответствующим образом минимизировать с учетом неизбежных ограничений определенную для этой системы отсчета энтропию.

Соответствующее применение обоих методологических принципов— максимума и минимума энтропии и дает методологию индуктивного рассуждения по Кристенсену. Она называется методологией минимакса энтропии.

Для обоснования этой методологии Кристенсен анализирует грамматические структуры и морфемы естественного языка. Он утверждает следующее:

Так же как в физике, где измерения зависят от физической системы отсчета, наши индуктивные суждения зависят от системы понятий, выработанной нашим опытом. Большая часть этого опыта воплощена в структуре нашего языка, в смысле используемых нами слов, фраз, предложений. Искать твердый «принцип индукции», на котором основывались бы наши обобщения, столь :же тщетно, как искать окончательную систему отсчета для ньютоновской механики... [75].

Любое сделанное человеком обобщение зависит не только от конкретных данных, непосредственно из которых оно получено, но и (только косвенно) от всего опыта истории эволюции языка, на котором получено это обобщение. В конечном счете все суждения людей используются при принятии решений того или иного рода или при выборе последовательности действий. Решение зависит от оценок и суждений лица, принимающего решение, причем эти оценки относятся и к природе окружающего его мира. На систему ценностей и убеждения влияет как внешний мир, так и сама личность...

Предположим, что индуктивное рассуждение широко используется всеми членами некоего общества, говорящими на одном языке. Тогда, приняв первую часть определения индуцированного суждения, а именно, что оно представляет не больше информации, чем нам доступно, мы видим справедливость термодинамического закона неубывания энтропии. Из этого закона следует, что будущий опыт стремится быть представленным так же просто на существующем в настоящее время языке, как и опыт прошлый.

Принимая вторую часть определения индуцированного суждения, а именно, что оно представляет всю доступную нам информацию, и считая, что индуктивное рассуждение используется всем обществом, мы приходим к принципу эволюции языка: [Язык эволюционирует в направлении, ведущем к более простому описанию опыта всех членов общества, использующих этот язык]. Из чего следует, что прошлый опыт может быть легко выражен на языке современности. Однако это также означает, что индуктивное рассуждение порождает представление физической действительности. Таким образом, мы показали условную обоснованность индуктивного рассуждения, условную, поскольку она зависит от применения индуктивного рассуждения в обществе. Другими словами, обоснованность индуктивного рассуждения зависит от того, поддерживается оно «живым» языком или нет. Однако, и это очень важно, такая условность находится под контролем людей, принимающих решение о том, доверять или нет этим индуцированным суждениям.

Основывая свои решения на результатах индуктивных рассуждений, они оценивают все, от чего зависит обоснование индуктивного рассуждения. В этом смысле принятие решений на основе индуктивного рассуждения, реализуемое в «живом» языке, представляет собой процесс, обосновывающий сам себя [79].

Рассматривая все доводы в обоснование метода минимакса энтропии как методологии индуктивного рассуждения, можно прийти к выводу, что эта методология обоснована достаточно хорошо. Будут, вероятно, разработаны и соответствующим образом обоснованы аналоги этой методологии для других классов нечетких множеств (например, методология минимакса (U - нечеткости).

После этого краткого обзора некоторых важнейших вопросов индуктивного рассуждения позвольте мне описать некий новый принцип индуктивного вывода. Поскольку этот принцип связан с задачей реконструкции, назовем его реконструктивным принципом индуктивного вывода.

Предположим, что некое ограничение для заданной обобщенной системы с поведением было определено по эмпирическим данным с помощью индуктивных рассуждений, скажем с помощью методологии минимакса энтропии. Поскольку количество данных ограничено, это ограничение представляет собой только оценку того, как рассматриваемые переменные ограничены в действительности; если эта оценка основана на всей информации относительно действительного ограничения, содержащейся в базе данных, то она является несмещенной.

Теперь допустим, что действительное ограничение таково, что оно может быть реконструировано по определенному набору своих проекций.

Из-за ограниченности данных оцененное ограничение может этим свойством не обладать. Тем не менее реконструктивная гипотеза, основанная на подсистемах, будет, вероятно, лучше подходить для оценки обобщенного ограничения, чем другие гипотезы на том же уровне решетки уточнения.

Затем это превосходство будет проявляться на любом более низком уровне этой решетки при всех уточнениях такой удачной реконструктивной гипотезы. Теперь можно привести решающий довод. Если корректная реконструктивная гипотеза и/или ее уточнения на различных уровнях уточнения в самом деле определяются как лучшие, то с помощью любой из них потенциально возможно реконструировать некоторые обобщенные состояния, которые переменные могут иметь, но которые не входят в имеющиеся данные и, следовательно, в ограничения для заданной обобщенной системы.

Это хорошо согласуется с масштабными экспериментами, результаты которых приведены на рисунке Г.37,г и Г.38,г. Более того, поскольку с любой подсистемой связано меньшее множество состояний обобщенной системы, то в общем случае его ограничения лучше описываются данными, чем ограничения обобщенной системы (например, больше отношение числа наблюдений к числу потенциальных состояний). То есть с помощью лучших реконструктивных гипотез можно улучшить нашу исходную оценку обобщенного ограничения. Это также подтверждается результатами экспериментов, приведенными на рисунке Г.37,в и Г.38, в. Полученные результаты ясно указывают на то, что неравенство для конечных данных выполняется всегда независимо от объема данных. Это значит, что обобщенная система, реконструированная на основе корректной реконструктивной гипотезы, информационно всегда ближе к истинной обобщенной системе, чем система, выведенная только из заданных данных. Свидетельством того, что реконструированное ограничение Rf оценивает истинное ограничение f, лучше, чем полученное из данных (Df), является неравенство где 1 - расстояние Хемминга. Выполнение этого неравенства подтверждается также результатами вычислительных экспериментов. Так, например, результаты реальных экспериментов для трех переменных с пятью состояниями каждая приведена в таблице Г.15 соответственно для вероятностной и возможностной систем.

Таблица Г.15. Пример экспериментального подтверждения реконструктивного принципа индуктивного вывода 1 ( f, f ) 0.0132 0.0111 0.0086 0.0063 0.0044 0.0031 0.0023 0.0018 0.0015 0. 1 ( Tf,R f ) 0.0106 0.0073 0.0052 0.0036 0.0025 0.0018 0.0014 0.0011 0.0009 0. G1 ( Tf,D f ) 0.0952 0.0741 0.0526 0.0328 0.0174 0.0084 0.0042 0.0025 0.0017 0. G1 ( Tf,R f ) 0.0697 0.0404 0.0213 0.0104 0.0045 0.0024 0.0013 0.0008 0.0005 0. 1 ( Tf,D f ) 0.2779 0.2479 0.2188 0.1859 0.1508 0.1100 0.0883 0.0746 0.0627 0. G1 ( Tf,D f ) 0.0999 0.0894 0.1002 0.0872 0.0776 0.0599 0.0526 0.0450 0.0379 0. G1 ( Tf,R f ) 0.0972 0.0742 0.0691 0.0647 0.0568 0.0450 0.0383 0.0334 0.0260 0. Для сравнения в этих таблицах приведены результаты, полученные с помощью информационного расстояния.

Будем ли мы получать реконструкцию с помощью лучшей реконструктивной гипотезы на некотором уровне уточнения как улучшенную оценку обобщенного ограничения, зависит от того, влияет ли, по нашему мнению, рассматриваемая гипотеза на некоторые фундаментальные реконструктивные свойства переменных или нет. Что может помочь исследователю принять то или иное решение? Предлагается следующее: с помощью вычислительных экспериментов на компьютере, как это описано в разделе Г.9, ему следует определить некоторые реконструктивные характеристики. Эти характеристики позволят исследователю оценить конкретную ситуацию и сформировать соответствующее мнение. Такие характеристики могут быть использованы даже в соответствующих руководствах по формированию этого мнения, и, в конечном счете, могут быть разработаны некие обоснованные функции формирования мнения и одна из них использоваться в УРСЗ по умолчанию. Очевидно, что эти функции должны быть определены реконструктивными характеристиками типа изображенных на рисунке Г.37,а, б или Г.38,а, б.

Умение решать задачу реконструкции позволяет нетрадиционно подойти к процессу индуктивного рассуждения. Он осуществляется в два этапа. На первом обобщенное ограничение определяется по имеющимся данным с помощью обычных принципов индуктивного рассуждения (например, с помощью принципа минимакса энтропии). Второй этап состоит из трех шагов:

1) на различных уровнях уточнения определяются лучшие реконструктивные гипотезы для обобщенной системы;

2) формируются мнения о том, насколько эти гипотезы влияют на реальные реконструктивные свойства рассматриваемых переменных; эти мнения формируются на основе соответствующих экспериментальных характеристик, руководств и конкретных функций;

3) заданное обобщенное ограничение дополняется (или заменяется) ограничениями, реконструированными с помощью лучших реконструктивных гипотез, причем с каждой связывается определенная степень доверия.

При использовании только той информации, что содержится в данных, этот двухэтапный метод позволяет включать в оцененное обобщенное ограничение некоторые характеристики (например, обобщенные состояния), которые нельзя непосредственно определить по имеющимся данным. Следовательно, такой метод позволяет нам предсказывать или восстанавливать с определенной степенью достоверности некоторые состояния исследуемых переменных, которые не входят в момент предсказания или восстановления в данные, которыми мы располагаем.

Г.11. Несогласованные структурированные системы грань между рациональным и иррациональным можно, только учитывая несогласованность... Мысленные конструкции или утверждения Возможно, согласованность является самым фундаментальным критерием для классификаций структурированных систем. Для структурированных систем согласованность тесно связана с задачей идентификации (раздел Г.6):

если структурированная система с поведением согласованная, то ее реконструктивное семейство непусто, если несогласованная, то пусто.

В структурированных системах с поведением возможна несогласованность двух типов - локальная и глобальная. Структурированная система локально несогласованная, если она не удовлетворяет требованиям локальной согласованности, задаваемым уравнением (Г.20), и глобально несогласованная, если она локально несогласована и ее реконструктивное семейство пусто.

Пример Г.22. Рассмотрим структурированную систему с поведением, элементы которой описываются вероятностными функциями поведения, приведенными в таблице Г.16а. Вычислив проекции этих функций относительно соединяющей переменной v2, имеем Эта система локально не согласована, так как Пример Г.23. Понятно, что структурированная система с поведением, вероятностные функции поведения которой приведены в таблице Г.16,б, локально согласованная. Однако несложная проверка уравнений, определяющих реконструктивное семейство, показывает, что реконструктивное семейство является пустым. Например, требуется, чтобы вероятности состояний Таблица Г.16. Пример несогласованных структурированных систем с а) Локально несогласованная структурированная система б) Глобально несогласованная структурированная система 001 и 011 согласно функциям lf и 2f были равны 0, и в то же время требуется, чтобы их сумма согласно функции 3f была равна 0.3. Таким образом, эта система глобально несогласованная.

Локальные несогласованности в структурированных системах обычно возникают из-за того, что соответствующие их элементам функции поведения являются всего лишь оценками, полученными по ограниченным экспериментальным данным. Из таких несогла-сованностей (в отличие от глобальных) не следует, что сами исследуемые переменные являются несогласованными. Это просто отражение того факта, что информация о каждом подмножестве входящих в структурированную систему переменных неполная. Эта неполнота (т. е. наше незнание) и порождает локальные несогласованности, и, следовательно, можно и нужно работать с локально несогласованными структурированными системами.

Иначе обстоит дело с глобальной несогласованностью. Глобальная несогласованность означает, что структурированная система плохо задумана; это математическая конструкция, не имеющая реального смысла. Превосходные примеры глобальной несогласованности целого при локальной согласованности можно найти в живописи. Например, это некоторые рисунки М. Эшера (скажем, его литография «Бельведер») и многие рисунки шведского художника О. Ретерсвярда, которые называют невозможными рисунками или японской перспективой.

Понятно, что к локально несогласованным структурированным системам неприменимы обычные логические процедуры. Относиться к ним можно двояко: либо вообще отбросить такие структурированные системы, поскольку они не представляют никакую обобщенную систему, либо разрешить эти локальные несогласованности с помощью такой модификации заданных функций поведения, чтобы новые функции поведения были согласованными Таблица Г.17. Решение задачи оптимального разрешения локальных несогласованностей для функций поведения, приведенных в таблице Г.16а и в некотором смысле как можно более близки к исходным. Обычно близость определяется через информационное расстояние. Полученная в результате структурированная система используется затем вместо исходной.

Пусть дана локально несогласованная структурированная система с поведением с вероятностными функциями поведения xf (xNq). Тогда задачу разрешения несогласованностей можно сформулировать следующим образом.

Требуется определить функции поведения хfс того же вида, что и функции xf (xNq), так, чтобы функция достигала минимума при ограничениях для всех х,y N q и для всех состояний хс (xNq). Назовем ее задачей оптимального разрешения локальных несогласованностей.

Согласно уравнению (Г.48) полученная структурированная система должна быть локально согласованная. Из утверждении (Г.49) следует, что любое состояние, возможное при исходной формулировке, не будет отброшено при модифицированной локально согласованной формулировке; это требование делает возможным использование простого информационного расстояния D (смотри уравнение (Г.40) или (Г.42) для функции (Г.47).

Пример Г.2Г. Рассмотрим локально несогласованную структурированную систему с поведением, состоящую из двух элементов, чьи функции поведения приведены в таблице Г.16а. Решение задачи оптимального разрешения локальных несогласованностей для этих функций поведения дают функции поведения lfc и 2fс, приведенные в таблице Г.17. Легко убедиться в том, что эти функции локально согласованы и что Интерес к задаче разрешения локальных несогласованностей был проявлен сравнительно недавно. Методологически эта проблема пока не разработана и является объектом активных исследований.

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

МЕТАСИСТЕМЫ

Д.1 Изменение и инвариантность Ученый стремится не столько описать неизменное, сколько найти неизменяющиеся описания меняющегося.

Одной из основных способностей человека, и возможно самой существенной, является способность распознавать отличия. Наиболее элементарные проявления этой способности описываются в книге [127]:

Отличие расщепляет мир надвое: на «это» и «то», «среду» и «систему», на «мы» и «они» и т. д. В человеческой деятельности различение занимает одно из самых важных мест и является, разумеется, одним из самых важных действий в науке о системах, поскольку любое определение системы есть различение собственно системы и ее среды.

Отличия неразрывно связаны с намерениями. В частности, наиболее распространенным является случай, когда система определяет свои границы и пытается их поддерживать; это, видимо, соответствует тому, что мы называем самоосознанием. Подобное наблюдается и у отдельных личностей (самосохранение), и у социальных групп (клубы, субкультуры, нации). В этих случаях имеет место не только отличие, но и индикация, т. е. выделение одного из двух различаемых состояний как более важного («это», «я», «мы» и т. д.). В самом деле, целью различения является, как правило, именно такая индикация.

Менее важным типом отличия является отличие, которое делается при самостоятельном определении цели: в основном при научных исследованиях, например тогда, когда какая-то дисциплина «определяет область своих интересов» или когда ученый определяет систему, которую он будет изучать.

В любом случае установление границ системы неизбежно связано с тем, что мы называем когнитивной точкой зрения;... в частности, оно связано с понятием ценности или пользы, а также с мыслительными способностями (чувствительностью, знаниями) того, кто определяет отличия. И наоборот, выделенные отличия обнаруживают уровень мыслительных способностей того, кто их сделал. Именно таким способом биологические и социальные структуры проявляют свою связность и позволяют убедиться в том, что они обладают мыслительными способностями или что они до некоторой степени «ощущают».

Таким образом, распознавание различий, близкие (по смыслу) к отличиям, может быть двух типов. Можно распознать либо то, что две вещи являются различными, либо то, что одна и та же вещь меняется во времени (в терминологии УРСЗ, с точки зрения соответствующей базы или соответствующего параметра). Эти два понимания отличия теснейшим образом связаны и дополняют друг друга. Первое охватывает неизменные (инвариантные, постоянные) свойства вещей, а второе - те свойства, которые рассматриваются как временные (варьирующиеся, изменяющиеся).

Важность понятия изменение, являющегося одним из производных от понятия отличие, выражена в литературе многими способами. Например, древнегреческому философу Гераклиту принадлежит знаменитое высказывание о том, что Ничто не постоянно, кроме изменений.

Джон Вильмонт, английский поэт XVII в., в одном из своих стихотворений выражает ту же мысль:

Так как закон Природы — измененье, лишь постоянство вызывает изумленье а Эдмунд Берк, английский государственный деятель, в 1774 г. в своей «Речи об американском налогообложении» высказал эту мысль на политическом языке:

Государство, которое не может измениться, не может и сохранить себя.

Независимо от того, разделяем мы точку зрения Гераклита или нет, хотя бы из практических соображений необходимо считать, что некоторые характеристики среды являются неизменными. Если это невозможно, то невозможно также и передавать сообщения, поскольку отсутствуют идентифицируемые единицы, и на самом деле нельзя действовать осмысленным образом, поскольку ничто в среде нельзя считать истинным.

Имеется несколько соображений, по которым можно определить инварианты в среде. Одно из таких очевидных соображений состоит в том, что изменения в среде происходят значительно медленнее, чем мы воспринимаем, думаем или действуем. Таким образом, на практике можно или пренебречь этими изменениями, или вообще их не замечать. Другое соображение заключается в том, что эти изменения происходят на таком уровне разрешения, что человек не может их наблюдать. Поэтому эти изменения, если они только не проявляются каким-то образом в диапазоне нашего восприятия, являются для нас несущественными.

Можно выделить инвариантность другого типа, которая связана с процессом изменений, а не с тем, что меняется. В схеме УРСЗ этот тип инвариантности нашел свое отражение в понятии порождающей системы. Ее переменные изменяются, однако способ изменения, описываемый функцией поведения системы, параметрически инвариантен, то есть постоянен (неизменен) относительно параметрического множества.

Поиск инвариантностей составляет самую суть науки, о чем очень хорошо пишет Г. Спенсер Браун [57]:

Наука занимается определением констант: это изучение неизменного. Если я брошу бомбу из окна верхнего этажа, то она будет падать вниз со все возрастающей скоростью. Это изменение скорости - проклятие для ученого. Он не успокоится до тех пор, пока не придумает, как описать это изменение неизменным образом. В данном случае долго искать решение не нужно. Скорость этой бомбы может меняться, но неизменной остается скорость ее изменения (называемая ускорением). Функция фут/с 2 - это константа, описывающая поведение не только этой бомбы, но и всех других бомб, сброшенных поблизости.

Мы говорим о функции 32 фут/с2 как об абсолютной константе, но если вдуматься, то это не так. Масса Земли понемногу увеличивается за счет захвата метеоритов и космической пыли. Следовательно, можно ожидать, что гравитационное ускорение будет со временем увеличиваться. Можно считать это увеличение «константой», но нет оснований считать, что и эта «константа» будет оставаться неизменной. Наша попытка исчерпывающего описания гравитационного ускорения оказалась неудачной. Может показаться, что положение можно исправить следующим образом Мы можем утверждать, что g зависит от заданных масс, расстояний и других факторов, которые называются соответствующими. Если соответствующие факторы определены, то мы в состоянии определить неменяющуюся константу. Однако теперь эта задача представляется чисто лингвистической: либо изменение этой константы, сделанное исходя из наблюдений и экспериментов, может быть объяснено нашим ошибочным определением соответствующих условий, при которых следует наблюдать эту константу. Другими словами, всегда существует «действительная» константа, к которой сходятся наши наблюдения; если нам даже покажется, что мы ее определили, впоследствии обнаружится, что мы нашли только некоторое ее приближение.

Это похоже на философское понятие «вещь в себе» или «реальности вне проявления». Его можно было бы назвать «константой вне аппроксимации». Подобное предположение является частью научного подхода, и для определенных Целей этот подход, несомненно, удобен. Его плодотворность мы обсудим позже, а сейчас необходимо подчеркнуть, что законы природы — это всего лишь сделанные нами описания таких структур, относительно которых было выяснено, что они меняются, но только очень медленно. По существу, мы не располагаем свидетельствами того, что какая-то структура вообще не меняется...

То, что мы замечаем, зависит от того, как и особенно как быстро меняемся сами. Например, замечаем вещи, которые меняются также медленно, как мы, или еще медленнее, но в общем случае не те, что меняются значительно быстрее. Таким образом, чем быстрее мы меняемся, тем больше мы замечаем.

Если мы снимем на кинопленку растение со скоростью один кадр в минуту и прокрутим эту пленку со скоростью 30 кадров в секунду, то нам покажется, что это растение ведет себя как животное. Если поместить что-то рядом с ним, то растение явно ощутит это и отреагирует. Это, безусловно, чувствующее существо. Тогда почему в обычных условиях не кажется, что оно обладает чувствительностью? Возможно, дело в том, что оно слишком медленно думает. Для существ, которые реагируют в 1800 раз быстрее нас, мы тоже выглядим как лишенные чувств растения. В самом деле, существа, двигающиеся так быстро, будут уверены в том, что мы лишены чувств, поскольку, как правило мы не будем ощущать их поведение. Их мимолетные появления не будут для нас ничего значить. Дерево не может почувствовать, что я прошел мимо, так же как я не могут почувствовать пролетевшую мимо меня пулю. Я должен ощутить определенные события, связанные с полетом пули, например простреленную руку. Точно так же, если моя прогулка была достаточно «разрушительной», то дерево ощутит определенные события, связанные с моей прогулкой, скажем сломанную ветку. Но то, что для дерева быстро, для меня медленно и скучно, а то, что происходит с обычной для меня скоростью, вообще находится за пределами мира дерева... Тот, кто сможет двигаться бесконечно быстро, будет способен знать все, поскольку для него все будет находиться в состоянии покоя. Он будет располагать бесконечным временем для узнавания. А если ему будет позволено и самому перемещать частицы вселенной, то он станет не только всезнающим, но и всесильным, поскольку сможет сколь угодно долго изменять положение вещей.

Мы видели, что наука всегда стремится описать изменение в виде неизменной формулы. Такая формула всегда может быть найдена, если изменение уже произошло, однако она не всегда применима к будущему. Если же изменяется само изменение, то нужна новая формула. Теперь мы в состоянии разделить задачу историка и задачу ученого. Мы видели, что ученый стремится зафиксировать неизменным образом меняющиеся явления, в то время как историк занимается только фиксированием изменений, которые уже произошли. Историк не занимается поиском формулы, которая была бы истинной на все времена. Еслид бы им когданибудь была обнаружена такая формула, то больше не потребовалось бы никаких новых записей, и он потерял бы работу. Повторяется не история, а наука. Ученый начинает с того, что вглядывается в сумбур изменений:? и что может фиксирует в виде формул. История — это то, что остается послед того, как ученый уже отобрал свое.

Таким образом, история важнее науки, поскольку она дает первоначальноез понимание вещей. Но изучать ее не обязательно. То, что не изменяется (напри-мер, прошлое), не опасно. Оно не может нам повредить. Остерегаться следует того, что изменяется. А для того, чтобы приспособиться к изменениям и суметь их почувствовать, нужно быстро ощущать.

Понятно, что поиск инвариантностей, столь важный для науки, должен быть одним из главных компонентов УРСЗ. Некоторые виды параметрической инвариантности связаны с порождающими системами и структурированными порождающими системами. Они рассматриваются соответственно в гл. 3, 4. Однако они представляют собой только частные случаи общего понятия параметрической инвариантности, рассматриваемого в следующем разделе.

Д.2. Первичные и вторичные характеристики системы Существовать — значит быть тождественным самому себе, что, в свою очередь, значит быть идентифицированным. Система обладает тождественностью, если определены какие-то ее характеристики. Характеристики, совокупность которых идентифицирует систему, будем называть первичными характеристиками. Любые другие характеристики системы, не участвующие в ее идентификации, назовем ее вторичными характеристиками.

Таким образом, множество всех характеристик системы образует ее определение. Общим свойством эпистемологической иерархии систем является то, что множество первичных характеристик определенного уровня является подмножеством множества первичных характеристик всех более высоких уровней. На рис.

Д.1 эти включения для нейтральных систем показаны вплоть до уровня структурированных систем с поведением. Аналогично можно представить эти включения для структурированных систем данных или структурированных исходных систем.

Для этого нужно только исключить те характеристики, которые не входят в определения соответствующих систем (маски, функции поведения и функции данных);

модификация этого рисунка для направленных систем тривиальна.