«В.П. ЧЕРНОВ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ 2012 2 ББК 65 Ч 49 Чернов В.П. Ч 49 Финансовая математика : учебное пособие / В.П. ...»

В приведенном примере был проведен расчет эквивалентной простой процентной ставки по заданной величине сложной процентной ставки.

Рассмотрим теперь пример расчета эквивалентной сложной ставки по заданной простой.

Пример. Вклад положен в банк на условиях нарастания под 20 простых процентов в год. Определить эквивалентную ставку сложных процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года.

Решение. По условию in = 0,2.

По соответствующей формуле получаем для t = 1/12:

Для t = 0,5 получаем:

ic = (1 + 0,2 0,5)2 – 1 = 0,21 > in.

ic = (1 + 0,2 1)1 – 1 = 0,2 = in.

ic = (1 + 0,2 2)1/2 – 1 = 0,1832 < in.

В этом примере, как и в предыдущем, прослеживается характер изменения эквивалентной сложной процентной ставки в зависимости от изменения длины промежутка времени.

В банковской практике часто используется смешанная форма перевода процентных ставок, при которой сложная годовая ставка переводится, например, в квартальную не как сложная, а как простая. Дальнейшее же начисление процентов идет по формуле сложной ставки.

Например, банк объявляет условия вклада как «48% годовых с ежеквартальным начислением процентов». Это означает, что проценты ежеквартально приплюсовываются к уже накопленной величине вклада и на них в дальнейшем начисляются проценты. Речь, таким образом, идет о сложной ставке. Однако сами квартальные проценты рассчитываются по формуле простой ставки, то есть по формуле iкв = iгод / 4 = 12 (%).

В обратном переводе в сложную годовую ставку это дает (1 + iкв)4 = 1,124 = 1,5735, то есть 57,35% годовых вместо 48%. Результат всегда оказывается завышенным, так что самому банку такая форма перевода невыгодна. Она выгодна клиентам банка и используется практически.

Посмотрим, к чему это приведет, если постепенно уменьшать период начисления процентов. Предположим, что такая форма перевода процентов применяется не к квартальному, а к месячному периоду.

Ежемесячное начисление по ставке 48 / 12 = 4 (%) определяет годовой коэффициент роста 1,0412 = 1,6010, что соответствует ставке 60,10% годовых.

Предположим, что период начисления уменьшается дальше, то есть что год дробится на m одинаковых промежутков времени, и величина m растет. Тогда общая формула нового коэффициента годового роста выглядит следующим образом:

(1 + i/m)m.

В пределе, при m время t (измеряемое в годах) определяется формулой S = Peit.

Число e, участвующее в формуле – это основание натуральных логарифмов. Оно играет важную роль в математическом анализе самых разнообразных процессов. Число е – иррациональное, его значение есть е = 2,7182818...

Это число можно найти на клавиатуре калькуляторов, предназначенных для научных и инженерных расчетов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются символом ln. В табличном процессоре Excel соответствующая функция имеет обозначение LN.

Мы пришли к понятию непрерывных процентов через смешанную форму начисления, через соединение расчетов по простой и сложной ставке. Однако смешанная форма здесь не важна. Существенно лишь участие сложной ставки.

От понятия сложной ставки к понятию непрерывных процентов можно прейти и другим путем. Для этого достаточно формулу сложных процентов, определяющую рост первоначальной суммы Р:

S = P (1 + i)t, записать в другом, равносильном виде.

Формула сложных процентов определяет рост суммы по закону показательной функции. Основанием этой функции является величина (1 + i).

При разных значениях процентной ставки i основания оказываются различными. Формулу сложных процентов для непрерывного времени преобразуют таким образом, чтобы при разных ставках основание оказывалось одинаковым, а изменялся бы показатель степени.

Обозначим буквой натуральный логарифм от величины (1 + i):

= ln(1 + i).

и, следовательно, (1 + i)t = e t.

Таким образом, формулу сложных процентов можно заменить равносильной формулой:

Эту формулу используют обычно при анализе непрерывного роста суммы денег.

В этой формуле величина характеризует скорость роста суммы. Величину называют силой роста, или силой процента. Она равна скорости относительного прироста суммы, то есть равна относительному приросту суммы за бесконечно малый промежуток времени. Сила процента представляет собой особый вид процентной ставки, предназначенный для изучения процесса роста денежной суммы в непрерывном времени.

Сила роста тесно связана со ставкой процента. Чем больше ставка процента i, тем больше сила роста, и наоборот, чем больше сила роста, тем больше ставка процента. Однако связь между ними не является прямо пропорциональной, линейной связью. Она имеет логарифмический характер.

В таблице 10 дан ряд значений процентной ставки и соответствующей ей величины силы роста.

Ставка процента Для малых значений процентная ставка практически совпадает с силой роста, однако с увеличением ставки расхождения между их численными значениями нарастают. При этом ставка процента по своему численному значению всегда больше силы роста.

Следует подчеркнуть, что эти различия не приводят к различию в росте денежной суммы. Напротив, соответствующие друг другу, но численно различающиеся величины ставки процента и силы роста обеспечивают одинаковое наращение денежной суммы за одинаковые промежутки времени.

Пример. Рассчитать рост вклада в размере 100 тыс. руб. за 1,5 года по формуле сложных процентов с использованием 30%-й годовой ставки и по формуле с использованием соответствующей величины силы роста.

Решение. Согласно расчетам, приведенным в таблице 10, величине i = 0,35 соответствует = 0,3.

По формуле сложных процентов:

S = P (1 + i)t = 100 (1 + 0,35)1,5 = 156,8 (тыс. руб.).

По формуле с использованием силы роста:

Дисконтирование – это операция, позволяющая будущую сумму денег привести к настоящему моменту времени. Эта операция позволяет определить современную величину будущей суммы. Выше мы рассматривали дисконтирование по простой процентной ставке. Такое дисконтирование подразумевает рост денежной суммы по формуле простых процентов. Теперь мы рассмотрим дисконтирование по сложной процентной ставке, соответствующей росту суммы денег по формуле сложных процентов.

Исходная денежная сумма Р по формуле сложных процентов со ставкой i за время t превращается в сумму S:

S = P (1 + i)t.

Отсюда следует, что Эта формула позволяет осуществить дисконтирование, то есть по конечной величине S определить начальную величину Р. Множитель (1 i) называется дисконтным множителем за время t. Он является величиной, обратной множителю нарастания. Величину Р называют современной, или приведенной, величиной S. Ее называют также величиной, полученной дисконтированием S. Разность S P называют дисконтом и обозначают обычно буквой D:

Пример. Какую сумму следует сейчас положить на счет на условиях нарастания в соответствии с формулой сложных процентов по ставке 20% годовых, чтобы через 5 лет получить 100 тыс. рублей? Через 20 лет получить ту же сумму?

Решение. В нашем примере P = S (1 + i)-t = 100 (1 + 0,2)-5 = 40,188 (тыс. руб.).

P = S (1 + i)-t = 100 (1 + 0,2)-20 = 2,608 (тыс. руб.).

Таким образом, на 5 лет достаточно положить 40 188 руб., а на 20 лет гораздо меньшую сумму – 2 608 руб. Каждая из этих сумм через указанное время превратится в 100 000 руб. Дисконтирующий множитель в первом случае равен 0,40188, а во втором случае 0,020608. Дисконт в первом случае равен:

D = S – P = 100 000 – 40 188 = 59 812 (руб.), D = S – P = 100 000 – 2 608 = 97 392 (руб.).

В примере рассмотрен случай с целым числом периодов начисления.

В том случае, когда количество периодов не является целочисленным, используют тот из подходов, который соответствует способу начисления процентов. В зависимости от того, предполагается ли при начислении использовать уравновешенную или относительную ставку, тот же вид ставки применяется и при дисконтировании.

Операция дисконтирования обратная операции роста суммы. Поэтому свойства дисконтирования тесно связаны со свойствами наращения. Выше было проведено сравнение роста по простым и сложным процентам. Для дисконтирования имеют место обратные соотношения.

Если длина промежутка времени меньше периода начисления (например, года), то рост по простым процентам дает большую сумму, чем рост по сложным процентам. Дисконтирование по простым процентам дает меньшую величину, чем дисконтирование по сложным процентам.

Если же длина промежутка времени больше периода начисления, то больший рост суммы дает сложная процентная ставка. Однако сложная ставка дает меньшую величину при дисконтировании.

Пример. Пусть одна и та же сумма 100 тыс. руб. дисконтируется по одной и той же процентной ставке 30% годовых по формуле простых процентов и по формуле сложных процентов.

За полугодие дисконтирование по простой ставке дает величину:

Дисконтирование по сложной ставке за тот же срок дает большую величину:

За трехлетний срок дисконтирование по простой ставке приводит к величине:

За тот же период дисконтирование по сложной ставке приводит к заметно меньшей величине:

Дисконтирование можно проводить не только для дискретного, но и для непрерывного измерения времени. Из формулы для непрерывного времени с использованием силы роста, имеющей вид:

получаем формулу дисконтирования:

применяемую в дисконтных расчетах с непрерывным временем.

В учетных операциях используют как простую, так и сложную учетную ставку. Процедуры расчетов с простой учетной ставкой были изучены выше. Теперь мы рассмотрим соответствующие процедуры для сложной учетной ставки.

Простая учетная ставка при дисконтировании применяется к одной и той же первоначальной сумме, снижение этой суммы по периодам времени происходит равномерно.

Сложная учетная ставка на каждом шаге дисконтирования применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, уменьшенной на величину дисконта, определенного на предыдущем шаге. Процесс дисконтирования идет при этом с замедлением.

Если конечная сумма есть S и учетная ставка равна d, то дисконтирование по сложной учетной ставке за t периодов времени дает первоначальную сумму P, определяемую формулой:

P = S (1 – d)t.

Пример. Долговое обязательство на сумму 100 тыс. рублей учитывается по сложной учетной ставке 20% годовых за полтора года до наступления срока его погашения. Определить текущую стоимость этого обязательства и величину дисконта.

Решение. В данном примере:

S = 100; d = 0,2; t = 1,5.

P = S (1-d)t = 100 (1 – 0,2)1,5 = 71,554, D=S Текущая стоимость обязательства равна 71 554 руб., дисконт составляет 28 446 руб.

3.5. Годовые, квартальные, месячные учетные ставки Выше мы рассмотрели переход от годовой сложной процентной ставки к квартальной, месячной и другим сложным процентным ставкам.

В более общем виде это соответствует переходу от ставки с одним периодом начисления к ставке с другим периодом начисления. Были изучены два способа перехода: переход к уравновешенной ставке и переход к относительной ставке. Преимущество первого способа в его точности, преимущество второго способа в его простоте.

Переход от годовой учетной ставки к квартальной, месячной и другим ставкам осуществляется теми же двумя способами. Один из них дает уравновешенную учетную ставку, а другой позволяет получить относительную учетную ставку. Рассмотрим их по порядку.

Уравновешенные учетные ставки определяются в соответствии с принципом финансовой эквивалентности результатов.

Финансовый результат, получаемый за год при годовой учетной ставке dгод, должен быть равен результату, получаемому за четыре квартала по сложной учетной ставке dкв. Другими словами, должно выполняться равенство:

(1 – dгод ) = (1 – dкв )4.

Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую:

dгод = 1 – (1 – dкв )4.

dкв = 1 – (1 – dгод )1/4.

Полученные связи между ставками обеспечивают равенство финансовых результатов не только за годовой, но и за любой промежуток времени.

Промежуток, состоящий из t лет, содержит 4 t кварталов. Дисконтирование за этот промежуток времени по сложной годовой и по сложной квартальной ставке приводят к одинаковым результатам, так как (1 – dгод)t = (1 – dкв)4t.

Мы установили связь между годовой и квартальной учетной ставкой.

Аналогично формируем связь между годовой dгод и месячной dмес, дневной dднев и другими сложными учетными ставками:

(1 – dгод) = (1 – dмес)12.

dгод = 1 – (1 – dмес)12, dмес = 1 – (1 – dгод)1/12.

(1 – dгод) = (1 – dднев)365.

dгод = 1 – (1 – dднев)365, dднев = 1 – (1 – dгод)1/365.

Аналогично выражаются связи между квартальной и месячной сложной учетной ставкой:

(1 – dкв) = (1 – dмес)3.

Следовательно, dкв = 1 – (1 – dмес)3, dмес = 1 – (1 – dкв)1/3.

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда учетная ставка d, связанная с этими промежутками, определяется через ставку d с помощью соотношения:

(1 – d)m = (1 – d).

d = 1 – (1 – d), В общем случае таким способом может быть получена связь между любыми двумя сложными учетными ставками, начисляемыми за два различных периода времени.

Пусть периоды времени t и t измеряются в одинаковых временных единицах (годах, месяцах и т.п.). Пусть периоду t соответствует сложная учетная ставка d, а периоду t – сложная учетная ставка d. Эти ставки эквивалентны, если они дают одинаковые финансовые результаты за равные промежутки времени, то есть если одинаковы соответствующие дисконтные множители.

В качестве единого промежутка времени выберем промежуток длины t t. В нем содержатся периоды t в количестве t единиц и периоды t в количестве t единиц. Условие эквивалентности выражается в виде равенства дисконтных множителей за соответствующие промежутки времени, то есть в виде равенства:

Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую:

Обычно устанавливается годовая учетная ставка, называемая номинальной учетной ставкой. По ней рассчитываются учетные ставки за другие периоды времени. Если эти ставки устанавливаются указанным здесь способом, то они называются уравновешенными (иногда их называют уравновешивающими) сложными учетными ставками.

Уравновешенные сложные учетные ставки обеспечивают финансовую эквивалентность результатов на любых промежутках времени. В этом смысле и сами такие ставки являются эквивалентными.

Пример. Годовая учетная ставка равна 20%. Найти уравновешенную полугодовую, квартальную, месячную и дневную учетную ставку.

Решение. dгод = 0,2, dполуг = 1 – (1 – dгод)1/2 = 0,1056, dкв = 1 – (1 – dгод) = 0,0542, dмес = 1 – (1 – dгод ) = 0,0184, dднев = 1 – (1 – dгод ) = 0,0006.

Таким образом, в процентном выражении уравновешенные учетные ставки принимают следующие значения: полугодовая 10,56%, квартальная 5,42%, месячная 1,84%, дневная 0,06%.

Рассмотрим другой пример.

Пример. Учетная ставка за период 2,5 месяца установлена в размере 5%. Найти эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.

Решение. Введем обозначения:

t = 2,5; d = 0,05; t = 6.

Требуется найти d.

В соответствии с формулой (1 – d)t' = (1 – d')t получаем:

(1 – 0,05)6 = (1 – d ')2,5.

d ' = 1 – (1 – 0,05)6/2,5 = 0,1158.

В процентном выражении учетная ставка за шестимесячный период составляет 11,58%.

Уравновешенные учетные ставки вводятся аналогично уравновешенным процентным ставкам. Относительные учетные ставки аналогичны относительным процентным ставкам.

Если годовая учетная ставка равна dгод, то относительные квартальная учетная ставка dкв, месячная учетная ставка dмес, дневная учетная ставка dднев определяются формулами:

dкв = dгод /4, dмес = dгод /12, dднев = dгод / 365.

В общем случае, пусть период начисления учетной ставки d разбит на m одинаковых промежутков. Тогда относительная учетная ставка d для этих промежутков связана со ставкой d соотношениями:

Можно установить связь между относительными учетными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена учетная ставка d, а за период t – учетная ставка d. Эти ставки являются относительными друг для друга, если для них выполняется соотношение:

то есть если их доли, приходящиеся на единицу времени, равны друг другу. Это равенство равносильно следующему:

Отсюда легко можно получить формулы, позволяющие выразить одну учетную ставку через другую:

Эти формулы позволяют не только выражать относительные учетные ставки через номинальную годовую учетную ставку, но и выражать относительные учетные ставки непосредственно друг через друга.

Расчет относительных учетных ставок соответствует преобразованиям по формулам простых ставок. Однако использование относительных учетных ставок соответствует формулам сложных ставок.

Дисконтный множитель, например, за 6 месяцев, рассчитанный по месячной учетной ставке, имеет вид:

Тот же множитель, рассчитанный по квартальной ставке, имеет вид:

Этот множитель можно определить и непосредственно через полугодовую учетную ставку dполугод :

Указанные здесь способы расчета одной и той же величины приводят к численно различающимся результатам.

Пример. Для 20%-ной годовой учетной ставки рассчитать относительные учетные ставки для разных периодов времени и с их помощью определить величину дисконтного множителя за 6-месячный период времени.

Решение. Согласно условию, d = 0,2.

Отсюда:

dполуг = dгод / 2= 0,1.

dкв = dгод / 4 = 0,05.

dмес = dгод /12 = 0,0167.

dднев = dгод / 365 = 0,0005.

В соответствии со значениями относительных учетных ставок вычисляем величину дисконтного множителя на полугодовой период:

1 – dполуг = 0,9000.

(1 – dкв)2 = 0,9025.

(1 – dмес)6 = 0,9040.

(1 – dднев)183 = 0,9046.

Полученные результаты численно различаются. Если договаривающиеся стороны не готовы пренебречь такими различиями, то в договоре должна быть указана формула расчета.

Отметим, что в предыдущем параграфе для этой же номинальной годовой учетной ставки были рассчитаны уравновешивающие ставки для различных периодов времени. Все они дают одну и ту же точную величину дисконтного множителя, равную 0,8944 и отличающуюся от всех вариантов, полученных с помощью относительных ставок.

Таким образом, с уравновешенными и относительными учетными ставками дело обстоит так же, как и с соответствующими видами ставки процента. А именно: уравновешивающие учетные ставки дают точный результат, но связаны с довольно громоздкими вычислениями. Относительные учетные ставки проще для расчетов, но дают приближенный результат.

Следует иметь в виду, что при переходе к промежуткам времени меньшей длины (например, от года к месяцу) относительная учетная ставка имеет меньшую величину, чем уравновешенная учетная ставка.

Дисконтный множитель по относительной учетной ставке, следовательно, больше, чем дисконтный множитель по уравновешенной учетной ставке.

Таким образом, если установлена номинальная годовая учетная ставка и до окончания срока векселя осталось меньше года, то владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по относительной учетной ставке.

При переходе к промежуткам времени большей длины (например, от месяца к году) дело обстоит противоположным образом. Здесь относительная учетная ставка будет больше, чем уравновешенная. Дисконтный множитель, рассчитанный по относительной ставке, будет, соответственно, меньше дисконтного множителя, рассчитанного по уравновешенной ставке. В этом случае владельцу векселя выгоднее, чтобы учет проводился по уравновешенной ставке.

3.6. Дисконтирование по простым и сложным учетным ставкам Дисконтирование суммы при учете по простой учетной ставке определяется формулой:

P = S (1 – d t).

Дисконтирование при учете по сложной учетной ставке – формулой:

P = S (1 – d)t.

На рис. 7 представлены графики зависимости суммы Р, полученной при учете, от срока учета t.

Рис. 7. Убывание суммы по простой и сложной учетной ставке Убывание суммы по простой учетной ставке происходит по закону линейной функции, равномерно. Графиком зависимости суммы от времени (от срока дисконтирования) является прямая.

Убывание суммы по сложной учетной ставке происходит неравномерно, с замедлением. Графиком зависимости суммы от времени является график показательной функции с основанием, меньшим 1.

Оба графика начинаются в одной точке при t = 0 и пересекаются при t = 1. Если срок дисконтирования равен 0, то естественно, безразлично, проводить ли дисконтирование по сложной или простой ставке. Точно так же это безразлично и при сроке дисконтирования, равном одному периоду (одному году при годовой ставке). Действительно, при t = 1 по простой и по сложной ставке получаем одинаковые результаты:

P = S (1 – d)t = S (1 – d).

Во всех остальных случаях дисконтирование по простой и сложной ставке дает различные результаты. При этом, если срок дисконтирования меньше одного периода, то более высокая сумма (и соответственно более низкая величина дисконта) получается по простой ставке. Держателю долгового обязательства при оставшемся сроке, меньшем одного периода (одного года при годовой ставке), выгоднее учитывать обязательство по простой учетной ставке. Если же оставшийся срок больше одного периода, то выгоднее учитывать обязательство по сложной учетной ставке, причем эта выгодность возрастает с ростом срока.

График линейной функции, соответствующий простой ставке, при некотором значении t пересечет ось абсцисс. Это означает, что при данном сроке сумма, получаемая в результате учета обязательства, равна 0, а дисконт равен всей сумме обязательства. Учитывать обязательства при этих условиях не имеет смысла. Тем более не имеет смысла учет при дальнейших значениях t, когда график опускается ниже оси абсцисс.

Реально простую учетную ставку применяют при не слишком больших сроках учета. В отличие от этого сложную учетную ставку можно применять при любых сроках. График показательной функции, соответствующий сложной ставке, никогда не пересечет горизонтальную ось, хотя и будет с ростом времени неограниченно к ней приближаться. Сумма, выдаваемая при учете обязательства на таких условиях, будет неограниченно уменьшаться с ростом срока, но никогда не станет равной 0. Соответственно величина дисконта будет неограниченно приближаться к сумме самого обязательства, но никогда не совпадет с ним.

В таблице 11 представлена величина дисконтного множителя в течение одного года при учете с простой и сложной ставкой при величине ставки, равной 20% годовых.

Простая ставка Сложная ставка На концах периода дисконтные множители, рассчитанные разными способами, совпадают. Внутри периода они расходятся, причем множители по простой ставке выше множителя по сложной. Наибольшее расхождение (около 5,6%) приходится на середину периода ( квартал).

В таблице 12 рассчитана величина дисконтного множителя в течение нескольких лет при тех же условиях.

Простая ставка Сложная ставка Дисконтирование по сложной ставке идет замедленно, а по простой – равномерно, расхождения между дисконтными множителями, рассчитанными по одинаковым величинам простой и сложной ставки, постепенно нарастают.

Связь между простыми и сложными учетными ставками Эквивалентность учетных ставок связана с эквивалентностью финансовых результатов по этим ставкам за определенный промежуток времени.

Пусть dn и dc – простая и сложная учетные ставки с одним тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Эквивалентность ставок за промежуток времени t означает равенство дисконтных множителей, связанных с этим промежутком:

Отсюда получаем формулы расчета простой ставки по эквивалентной ей сложной и расчета сложной ставки по эквивалентной ей простой:

Для учетных ставок, так же как и для процентных, эквивалентность определяется для конкретного промежутка времени.

Ставки, эквивалентные для одного промежутка времени, при изменении длины промежутка времени перестают быть эквивалентными.

Эквивалентные ставки равны друг другу, когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, то есть:

если t = 1, то dn = dc.

Это непосредственно следует из полученных формул. Проведенные ранее рассуждения показывают, что эквивалентные учетные ставки удовлетворяют следующим условиям:

если t < 1, то dn > dc, если t > 1, то dn < dc.

Пример. Вексель учитывается по учетной ставке 20 сложных годовых процентов. Какова эквивалентная ей простая учетная ставка при сроках:

1 месяц, полгода, год, 2 года?

Решение. По условию d = 0,2. В соответствии с формулой для t = 1/ получаем:

Аналогично для t = 0,5 получаем:

Расчеты показывают характер изменения величины эквивалентной простой учетной ставки при изменении длины промежутка времени.

Мы продемонстрировали расчет эквивалентной простой учетной ставки по заданной сложной. В следующем примере показан расчет сложной учетной ставки по заданной простой.

Пример. Вексель учитывается по простой учетной ставке из расчета 20% годовых. Определить величину эквивалентной ей сложной учетной ставки для промежутков времени: 1 месяц, полгода, год, 2 года.

Решение. По условию примера d = 0,2. В соответствии с расчетной формулой, получаем для t = 1/12:

По той же формуле для t = 0,5 получаем:

Проведенные расчеты демонстрируют характер изменения сложной учетной ставки при изменении длины промежутка времени.

Основные соотношения между сложными процентными Дисконтирование денежной суммы может проводиться по процентной или по учетной ставке.

При дисконтировании по сложной процентной ставке начальная величина денежной суммы Р определяется по ее конечной величине S, выросшей за время t по процентной ставке i, по формуле:

P = S (1 + i).

При дисконтировании по сложной учетной ставке d начальная величина денежной суммы определяется по формуле:

P = S (1 – d).

Процентная и учетная ставка эквивалентны, если они дают один и тот же финансовый результат, то есть если они по одинаковым конечным суммам S за одно и то же время t дают одинаковые начальные суммы P.

Таким образом, для эквивалентных ставок должно выполняться равенство:

(1 + i) = (1 – d).

Извлекая из обеих частей корень степени t, получаем:

(1 + i) = (1 – d).

Это можно записать следующим образом:

(1 + i) (1 – d) = 1.

Отсюда легко можно выразить процентную ставку через учетную и учетную ставку через процентную:

Важно отметить, что в эти формулы не входит длина промежутка времени t. Следовательно, эквивалентные сложные ставки являются эквивалентными не только для какого-то определенного промежутка времени, а для любого промежутка времени. Напомним, что для простых ставок это не так.

Выше были проведены соответствующие рассуждения для простых ставок. Их эквивалентность связана с длиной промежутка времени. Там же даны таблицы, в которых приведены данные по эквивалентным простым ставкам для единичного, годового промежутка времени (таблицы и 2).

Соотношения между простыми ставками, приведенные в этих таблицах, верны и для сложных ставок, поскольку для единичного промежутка времени простые и сложные ставки неразличимы. Более того, эти соотношения в применении к сложным ставкам верны не только для единичного, но и для любого промежутка времени.

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке за время t P = S (1-d)t может применяться не только в дискретном, но и в непрерывном времени.

Так же, как и в случае сложного процента, при переходе к непрерывному времени формулу преобразуют так, чтобы при изменении учетной ставки d изменялось не основание показательной функции, а ее показатель.

С этой целью вводят величину :

Подлогарифмическое выражение меньше 1, то есть ln (1-d) < 0, и, следовательно, величина положительна. Из определения получаем то есть Формула дисконтирования по сложной учетной ставке принимает вид По аналогии с силой процента величину называют иногда силой дисконта. Полученная формула дисконтирования с участием силы дисконта позволяет вести расчеты в удобной форме для непрерывного времени. Сила дисконта характеризует относительную скорость убывания дисконтируемой суммы.

С ростом учетной ставки растет и соответствующая ей сила дисконта.

Связь между этими величинами является не прямой, не прямо пропорциональной, а логарифмической. В таблице 13 представлен ряд значений учетных ставок и соответствующий ряд значений силы дисконта.

Учетная ставка d Сила дисконта С ростом учетной ставки расхождения между численными значениями учетной ставки и силы дисконта постепенно нарастают. Сила дисконта по своей величине выше учетной ставки. Следует, однако, иметь в виду, что соответствующие друг другу величины учетной ставки и силы дисконта задают один и тот же процесс дисконтирования, один и тот же размер уменьшения долговой суммы при учете долгового обязательства.

3.7. Параметры расчетов с процентными и учетными ставками Полученные нами формулы позволяют, исходя из условий договора, рассчитать конечную сумму денег по ее начальной сумме или, наоборот, вычислить начальную сумму по известной конечной сумме. Большую роль в финансовых расчетах играет и другая задача: по известной начальной и конечной сумме определить условия договора. Важнейшими численными характеристиками договора являются продолжительность срока и величина ставки.

Расчет продолжительности срока по процентным ставкам В соответствии с формулой сложных процентов имеем S = P (1+i)t.

Проведя элементарные преобразования и логарифмируя, получаем отсюда:

Эта формула позволяет по заданной начальной и конечной сумме и при известной ставке сложного процента определить продолжительность того срока t, за который начальная сумма Р вырастет до конечной суммы S по ставке сложного процента i. Логарифмы, участвующие в формуле, могут иметь любое основание (но оба логарифма должны иметь одинаковое основание). В частности, можно пользоваться натуральными или десятичными логарифмами.

Предположим теперь, что период начисления раздроблен на m одинаковых промежутков времени и расчеты ведутся по ставке, пересчитанной для этих промежутков. Например, от расчетов по номинальной годовой ставке перешли к расчетам по месячной. Как мы знаем, при этом используют месячную уравновешенную и месячную относительную ставку.

Величина уравновешенной ставки i ' для промежутка времени, составляющего 1/m от периода начисления по ставке i, определяется по формуле Рост денежной суммы за время t по ставке i будет идти в соответствии с формулой S = P (1+i )mt.

Отсюда находим Поскольку m log(1+i ) = log(1+i )m и при этом (1+i )m =(1+i), Таким образом, расчет продолжительности срока t по исходной ставке i и по уравновешенной ставке i дает один и тот же результат. Подругому обстоит дело при переходе не к уравновешенной, а к относительной ставке.

При разбиении периода начисления по ставке i на m равных промежутков относительная ставка i рассчитывается по формуле Рост денежной суммы за время t в соответствии со ставкой i определяется формулой При увеличении числа промежутков m скорость роста по формуле для относительной ставки становится выше, а продолжительность срока t меньше. С увеличением m эта продолжительность все больше расходится с продолжительностью срока, рассчитанной по исходной или уравновешенной ставке.

При расчетах на основе силы роста используют формулу:

S Pe t.

Взяв натуральный логарифм (по основанию e) от обеих частей формулы после несложных преобразований получим:

Силу роста (ставку непрерывных процентов) и исходную ставку процента i связывает соотношение Таким образом, продолжительность срока, рассчитанная по ставке непрерывных процентов, совпадает с продолжительностью, рассчитанной по исходной процентной ставке:

Пример. Номинальная ставка сложного процента составляет 24% годовых. На какой срок следует положить вклад размером 100 тыс. руб., чтобы он вырос до величины 800 тыс. руб.? Расчет провести при номинальной годовой, уравновешенной и относительной месячных ставках и для ставки непрерывных процентов.

Решение. Согласно условиям примера, В соответствии с формулой определяем необходимую продолжительность срока для исходной годовой процентной ставки:

Таким образом, продолжительность срока составляет 9,667 лет.

Вычислим этот срок на основе уравновешенной месячной ставки. Величина этой ставки определяется формулой:

iмес = (1+i)1/12 1 = (1+0,24)1/12 1 0,01809.

Продолжительность срока, рассчитанная на основе этой месячной ставки, составит следующую величину:

Мы получили тот же результат (расхождение на 1 в последнем знаке связано с погрешностью округлений при вычислениях).

Определим теперь продолжительность срока на основе относительной ставки. Величина этой ставки i мес определяется формулой Продолжительность срока, рассчитанная на основе относительной ставки, равна следующей величине:

Продолжительность срока составляет по этой ставке 8,75 лет, что на 11 месяцев меньше срока по предыдущим расчетам.

Вкладчику выгоднее, чтобы расчеты с ним велись по относительной ставке процента. Банку, напротив, выгоднее расчеты с вкладчиком по уравновешенной ставке. Вопрос о способе расчета должен быть оговорен заранее.

Естественная согласованность расчетов возникает при использовании уравновешенной ставки.

Рассчитаем продолжительность срока по формуле, основанной на использовании силы роста. Величина силы роста определяется соотношением:

= ln(1+i) =ln(1+0,24) = 0,21511.

Результат расчета совпадает с тем, который был получен для исходной и для уравновешенной ставки.

Расчет продолжительности срока по учетным ставкам В соответствии с формулой дисконтирования по сложной учетной ставке имеем:

P = S ( После простых преобразований этой формулы получаем:

Эта формула позволяет рассчитать срок дисконтирования по конечной сумме S, сумме учета Р и учетной ставке d. Как и в случае со сложными процентами, логарифмы в расчетах можно брать по любому основанию (по одинаковому в числителе и знаменателе дроби).

Рассмотрим ситуацию, когда период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков равной длины (например, год разбит на месяцы). В таком случае наряду с исходной учетной ставкой d используют уравновешенные и относительные учетные ставки d, для которых периодами начисления являются эти малые одинаковые промежутки.

Величина уравновешенной учетной ставки d для промежутка, составляющего часть от периода начисления по ставке d, определяется по формуле d = 1 – (1-d)1/m.

Дисконтирование денежной суммы за время t по учетной ставке d рассчитывается по формуле P = S ( Отсюда получаем:

Учетные ставки d и d связаны соотношением (1 – d )m =1 – d.

Мы получили, что расчет срока дисконтирования t по исходной учетной ставке d и по уравновешенной учетной ставке d дает один и тот же результат.

Для относительной ставки дело обстоит не так. Относительная ставка рассчитывается по формуле:

Дисконтирование денежной суммы за время t в соответствии с относительной учетной ставкой d определяется по формуле P = S ( Отсюда получаем:

При увеличении числа промежутков m скорость дисконтирования по относительной учетной ставке уменьшается, а срок дисконтирования растет. С увеличением m этот срок все сильнее расходится со сроком, рассчитанным по исходной и уравновешенной ставке.

В расчетах на основе силы дисконта используют формулу Из этой формулы получаем:

Поскольку силу дисконта и учетную ставку d связывает соотношение то продолжительность срока, рассчитанная на основе силы дисконта, и продолжительность, рассчитанная по учетной ставке, совпадают. Действительно, Пример. Сложная учетная годовая ставка равна 20%. За какое время до истечения срока векселя на 500 тыс. руб. следует его учесть, чтобы получить по нему 350 тыс. руб.? Расчет провести для различных видов ставок.

Решение. В соответствии с условием, Р = 350, S = 500, d = 0,2.

Срок дисконтирования по исходной годовой учетной ставке определяем по формуле Для получения по векселю 350 тыс. руб. его следует учесть за 1, лет до указанного в векселе срока.

Эту же величину можно вычислить на основе уравновешенной месячной учетной ставки. Величина этой ставки определяется по формуле dмес =1 – (1-d)1/12 =1 – (1 – 0,2)1/12 = 0,01842.

Срок дисконтирования по такой месячной ставке рассчитывается следующим образом:

Мы получили то же время, что и при предыдущем способе расчета.

Вычислим теперь этот срок на основе относительной месячной учетной ставки. Величина такой ставки d определяется выражением d = d/12 = 0,01667.

Расчет проводим по формуле Мы видим, что срок дисконтирования вырос. Отсюда следует, что ту же сумму 350 тыс. руб. можно получить при учете данного векселя за большее время до истечения его срока. Держателю векселя выгоднее, чтобы дисконтирование шло по относительной учетной ставке, чем по номинальной или уравновешенной учетной ставке.

Рассмотрим теперь расчет времени с использованием силы дисконта.

Сила дисконта определяется формулой ln(1 d) 0,22314.

Отсюда получаем:

Мы получили прежний результат, как и следовало ожидать.

Из формулы сложных процентов S = P (1 + i)t следует, что Последняя формула позволяет по объему начальной суммы Р, конечной суммы S и времени нарастания t определить необходимую величину процентной ставки i.

Предположим, что период начисления разбит на m одинаковых промежутков. Таким промежуткам соответствует своя величина процентной ставки i.

Величину ставки i можно рассчитать двумя разными способами. Первый способ – найти i' исходя из уже полученной ставки i. Результат здесь будет зависеть от того, является ли эта ставка i' уравновешенной или относительной. Для уравновешенной ставки расчет следует проводить по формуле:

Отсюда, воспользовавшись уже полученной формулой для i, можно вывести следующую формулу:

Для относительной ставки расчет следует вести по формуле Второй способ – найти величину ставки i' непосредственно, не прибегая к ставке i, а уже затем по ней определить ставку i.

Формула сложных процентов, выраженная через ставку i', имеет вид:

S = P (1 + i )mt.

Если ставка i' рассматривается как уравновешенная ставка, то из последней формулы можно получить:

Таким образом, для расчета ставки i получаем прежнюю формулу.

Для уравновешенной ставки результаты расчетов по первому и по второму способу совпадают.

Если же ставка i' рассматривается как относительная ставка, то из формулы ее расчета получаем:

Эта формула расходится с первоначальной формулой для ставки i, дает иной результат.

Таким образом, для относительной ставки важен способ ее вычисления.

Рассмотрим теперь непрерывное начисление процентов на основе силы роста. В этом случае формула нарастания имеет вид:

S P e t.

Отсюда получаем расчетную формулу для определения силы роста (непрерывной ставки процента) :

Пример. Какова должна быть процентная ставка для того, чтобы сумма задолженности удвоилась за 3 года? Провести расчеты для начисления годовой ставки, различных способов начисления месячной ставки и для непрерывной процентной ставки.

Решение. В нашем примере:

В соответствии с формулами находим процентные ставки. Годовая ставка i при годовом начислении процентов:

i (S P)1 t 1 21 3 1 0, 26.

Годовая ставка в процентном выражении равна 26%. Уравновешенная месячная ставка i' определяется формулой i (S P)1 mt 1 21 12 3 1 0,01944.

Уравновешенная месячная ставка в процентном выражении есть 1,944%. Если величину (1+ i') = 1,01944 возвести в 12-ю степень, то получится 1,26. Таким образом, (1+i')12 =(1+i), расчеты по годовой и месячной ставке согласованы друг с другом.

Рассмотрим теперь относительную месячную ставку. Она рассчитывается по той же формуле, что и уравновешенная, то есть для относительной, как и для уравновешенной:

i' = 0,01944.

Рассмотрим теперь относительную месячную ставку. К ее расчету, как мы видели, можно подойти двумя способами.

По первому способу расчета, когда месячная ставка i' определяется на основе годовой ставки i, имеем:

По второму способу расчета, когда месячная ставка i' определяется непосредственно, а уже потом по ней вычисляется годовая, имеем:

i (S P)1 mt 1 21 12 3 1 0,01944.

Формула расчета и численный результат совпадают с формулой и результатом для уравновешенной ставки и отличаются от того, что было получено для относительной ставки первым способом. Годовая ставка i, рассчитанная по такой относительной ставке, будет равна следующей величине:

i=m i' = 12 0,01944 = 0,23328.

Это отличается от величины 0,26, полученной первым способом.

Таким образом, при расчетах с использованием относительной ставки следует заранее оговорить способ расчета. Для уравновешенных ставок это не требуется.

Найдем теперь силу роста в условиях примера по формуле:

Эту же величину можно получить и другим способом. Поскольку мы уже определили годовую ставку i = 0,26, то можно воспользоваться другой формулой:

= ln(1+i) = ln(1+0,26) = 0,231.

Результаты расчетов совпадают.

По формуле дисконтирования, P S(1 d) t.

Отсюда следует, что d 1 (P S)1 t.

Эта формула позволяет вычислить величину учетной ставки d по конечной сумме S, сумме на момент учета Р и срока дисконтирования t.

Пусть период начисления учетной ставки разбит на m одинаковых промежутков. Определим величину ставки d', соответствующей таким промежуткам. Как и для процентной ставки, здесь возникают два способа расчета. Первый способ – определить величину учетной ставки d' на основе уже полученной ставки d.

Уравновешенную учетную ставку d' в этом случае следует рассчитывать по формуле Это равенство можно продолжить:

что позволяет вычислить величину ставки d' непосредственно через исходные данные.

Для относительной учетной ставки расчет ведется по формуле Второй способ основан на том, чтобы найти величину ставки d', не прибегая к ставке d. Ставку d затем можно рассчитать на основе ставки d'.

Формула дисконтирования по учетной ставке d' имеет вид:

P S (1 d )mt.

Таким образом, мы еще раз получили ту же формулу, что была выведена для уравновешенной ставки. Следовательно, для уравновешенной ставки оба способа расчета дают одинаковые результаты, как для d, так и для d'.

Для относительной ставки дело обстоит по-иному. Определим ставку d и d':

Эта формула и формула непосредственного расчета ставки d, приведенная в начале этого параграфа, отличаются друг от друга и приводят к разным результатам.

Таким образом, для относительной учетной ставки, как и для относительной процентной, важен способ ее исчисления.

Перейдем к рассмотрению непрерывного дисконтирования. Формула, использующая силу дисконта, имеет вид:

P S e t.

Отсюда силу дисконта (непрерывную ставку учета) можно рассчитать по формуле:

Поскольку Р < S, то подлогарифмическое выражение меньше 1, сам логарифм отрицателен, а с учетом знака "минус" числитель дроби положителен. Таким образом, величина непрерывной учетной ставки положительна.

Пример. Вексель учитывается за два года до срока уплаты. Какова должна быть величина сложной учетной ставки, чтобы владелец векселя получил 60% от его суммы? Провести расчет для разных вариантов учетных ставок.

Решение. По условию примера, Годовая учетная ставка d рассчитывается в соответствии с формулой Таким образом, сложная годовая учетная ставка, выраженная в процентах, равна 22,54%.

Уравновешенная месячная учетная ставка d' рассчитывается через полученную годовую ставку d по формуле Эту же ставку можно вычислить непосредственно по исходным данным:

Для относительной ставки разные способы расчета дают различные результаты. В соответствии с первым способом, d' определяется по годовой ставке d:

Согласно второму способу, d' рассчитывается непосредственно и равно уже вычисленному значению 0,021. По этой ставке определяется теперь годовая ставка d в соответствии с формулой Эта величина отличается от той величины годовой ставки, которая была получена в начале решения примера.

Таким образом, если имеют дело с относительной ставкой, то должен быть оговорен способ ее расчета.

Наконец, для непрерывной учетной ставки получаем:

3.8. Реструктуризация платежей при сложных ставках Общим принципом изменения условий платежей является принцип финансовой эквивалентности результатов до и после изменения условий.

В этом случае обе договаривающиеся стороны будут готовы к изменению договора.

Простейший случай изменения условий – это перенос срока платежа.

Пусть платеж размера S переносится на более поздний срок, отстоящий от первоначально оговоренного срока на время t. Тогда новая величина платежа S' представляет собой наращенную за это время сумму по оговоренной ставке процента i:

Если сумма выплачивается раньше срока на время t, то она может быть уменьшена до величины S'', дисконтирована по ставке процента i:

В более сложных случаях для определения финансовой эквивалентности формируют специальные уравнения. Их решение позволяет определить численные параметры условий изменения платежей.

При консолидации (объединении) платежей определяется срок общего платежа по его сумме, а также по суммам и срокам объединяемых платежей.

Пусть объединяются m платежей, имеющих суммы S1, S2, Sm и сроки t1, t2, tm. Предположим, что сумма общего платежа равна S. Требуется определить срок этого общего платежа t.

Если все платежи привести к моменту времени t по процентной ставке i, то получим равенство, выражающее условие финансовой эквивалентности:

Это и есть уравнение эквивалентности, на основе которого можно определить искомый срок t.

Простые преобразования приводят уравнение к следующему виду:

Логарифмируя обе части и преобразуя, получаем выражение для t:

В этой и дальнейших формулах логарифмы могут иметь любое основание (но одно и то же везде в одной формуле).

Это равенство можно представить в другой форме:

Здесь для расчета не требуется знать отдельно величины платежей Sk и сумму нового платежа S, достаточно знать отношения Sk/S.

Иногда эту точную формулу заменяют более простой приближенной формулой:

В этой формуле не требуется логарифмировать. Кроме того, результат расчета по этой упрощенной формуле не зависит от ставки процента i.

При достаточно малых ставках процента i эта приближенная формула дает результат с небольшой погрешностью. С ростом ставки процента погрешность увеличивается. Расчеты по упрощенной формуле всегда дают срок более поздний, чем расчеты по точной формуле.

Наконец, следует отметить, что приближенная формула является точной в том случае, если консолидация проводится не по сложной ставке процента, а по простой ставке (консолидация по простой ставке рассмотрена выше).

Пример. Три платежа: 100 тыс. руб. (срок 4 месяца), 200 тыс. руб.

(срок 5 месяцев) и 200 тыс. руб. (срок 8 месяцев) заменяются одним платежом 500 тыс. руб. Определить срок уплаты этого объединенного платежа при месячной ставке сложного процента, равной 5%.

Решение. В нашем примере S1 = 100, S2 = 200, S3 = 200, S = 500, t1 = 4, t2 = 5, t3 = 8, i = 0,05.

Следует найти t. По точной формуле По приближенной формуле Разница в расчетах при данной ставке процента составляет 0,07 месяца, то есть 2 дня.

Однако, если сложную ставку 5% заменить на 20%, то расчеты по точной формуле дадут 5,75, расхождение с приближенной формулой составит 0,25 месяца, то есть 7,5 дней.

Рассмотрим теперь случай, когда величина общего платежа не равна сумме объединяемых платежей. В этом случае приближенная формула для расчетов не годится. Вычисления следует проводить по точной формуле.

Точная формула годится и для таких случаев (при ее выводе мы не предполагали, что величина объединенного платежа равна сумме объединяемых платежей и нигде в выводе этим не пользовались). Она и в этом случае даст точный результат.

Однако можно поступить и по-другому. Сначала рассчитать срок для варианта, когда величина нового платежа равна сумме объединяемых платежей. Здесь можно воспользоваться и приближенной формулой, если возникающая при этом погрешность считается допустимой. Затем полученный срок платежа следует сдвинуть на такой промежуток времени, который соответствует переходу от одной суммы общего платежа к другой.

Пример. Внесем в условия предыдущего примера одно изменение.

Предположим, что общий платеж имеет величину не 500 тыс. руб., а 525 тыс. руб. Требуется рассчитать срок уплаты для этой новой суммы.

Решение. Срок уплаты новой суммы можно вычислить прямо по точной формуле. Однако к этому же результату можно прийти и другим путем.

Для этого определим время, за которое сумма 500 тыс. руб. (S) вырастет до величины 525 тыс. руб. (S') по ставке процента 0,05:

lg(1 i) lg(1,05) Таким образом, увеличенная сумма должна быть выплачена на 1 месяц позже, чем первоначальная сумма 500 тыс. руб. Срок уплаты наступит через 5,93 + 1 = 6,93 (месяцев), при использовании формулы точных расчетов, или же через 6 + 1 = 7 (месяцев), при использовании формулы приближенного установления срока уплаты суммы 500 тыс. руб.

Заметим, что при увеличении суммы платежа срок уплаты отодвигается. При ее уменьшении срок приближается. Если сумма, выбранная для уплаты, слишком мала, то по результатам расчетов может оказаться, что срок уплаты уже прошел. Для такой суммы реализовать платеж с соблюдением условия финансовой эквивалентности окажется невозможным.

Пример. Внесем в условия примера другое изменение. Предположим, что общий платеж имеет величину не 500 тыс. руб., а 350 тыс. руб. Это, разумеется, означает, что срок уплаты должен быть приближен. Требуется рассчитать этот срок.

Решение. Определим время, за которое сумма 500 тыс. руб. (S) дисконтируется по ставке процента 0,05 до величины 350 тыс. руб. (S'):

lg(1 i) lg(1,05) 0, Таким образом, относительно времени уплаты суммы 500 тыс. руб., составляющего 5,93 месяца, срок уплаты новой суммы должен быть приближен на 7,31 месяца. Новый срок составляет 5, Получившаяся величина оказалась отрицательной, то есть срок уплаты уже прошел 1,38 месяца тому назад. В связи с этим особый интерес представляет расчет величины суммы для ее немедленной уплаты, то есть величины такой суммы, срок уплаты которой наступает сейчас.

Пример. Внесем в рассматриваемые условия еще одно изменение.

Предположим, что общий платеж имеет не величину S = 500 тыс. руб., а некоторую величину S', срок уплаты которой наступает немедленно. Требуется вычислить величину S'.

Решение. Рассмотрим формулу Положим в ней t = -5,93 и найдем S'. Получим:

lg S 2,699 5,93 0,02119 2,573.

Отсюда находим:

S'= 374,4.

Таким образом, если три исходных платежа со своими сроками уплаты заменить по 5%-й сложной месячной ставке процента на один платеж с немедленной уплатой, то величина этого единого платежа должна составить 374,4 тыс. руб.

Наряду с консолидацией, объединением платежей в финансовой практике возникает задача разъединения платежей и вообще замены одной комбинации платежей другой комбинацией. Определение величины новых платежей и сроков их уплаты проводится на основе уравнений эквивалентности.

Предположим, что уплата долга в соответствии с договором осуществляется в виде серии платежей, которые должны проходить в моменты времени. Эта серия заменяется другой серией платежей, возможно, с другим числом выплат и другими их размерами, и приуроченными к другим моментам времени. Для того чтобы одна серия была эквивалентна другой серии по сложной процентной ставке i, необходимо, чтобы выполнялось равенство Левая часть равенства представляет собой сумму всех платежей первоначальной серии, приведенных (дисконтированных) по процентной ставке i к начальному моменту времени. Правая часть равенства представляет собой аналогичную сумму для заменяющей серии платежей. Равенство утверждает, что обе серии, пересчитанные к одному и тому же моменту времени, равны друг другу. Другими словами, оно утверждает финансовую эквивалентность результатов, является уравнением эквивалентности.

Отметим, что, если равенство выполнено при приведении к одному моменту времени, то оно будет выполнено и при приведении к любому другому моменту. Переход от одного момента к другому при расчете со сложными процентными ставками осуществляется путем умножения обеих частей уравнения на один и тот же множитель. Таким образом, выбор конкретного момента приведения не важен.

По-иному дело обстоит с выбором конкретной величины процентной ставки. Изменение величины ставки может сделать равенство неверным.

При изменении условий платежей внимание следует обращать на величину ставки, по которой осуществляется пересчет, а не на дату, относительно которой этот пересчет производится.

Пример. Долг в размере 100 тыс. руб. должен быть погашен через 5 месяцев в сумме, определяемой начислением по 5%-й сложной месячной ставке. Обе стороны согласились пересмотреть соглашение. Обязательство будет погашено следующим образом. Через 3 месяца будет уплачено тыс. руб., а еще через 3 месяца – оставшаяся часть долга. Следует определить размер последнего платежа.

Решение. Составим уравнение эквивалентности. В качестве момента приведения выберем момент начала срока обязательства.

Величина уплаты по первоначальному соглашению, приведенная на этот момент времени, составляет 100 тыс. руб., то есть величину самого долга.

По пересмотренному соглашению первая часть долга, пересчитанная на выбранный момент времени, составляет величину:

Величину второй части долга еще требуется определить. Обозначим ее посредством S. Тогда, приведенная к выбранному моменту времени, она составит:

Таким образом, уравнение эквивалентности имеет вид:

100 = 34,553+ S 0,7462.

Отсюда находим:

S = 87,707 (тыс. руб.).

Задача решена. Заметим, что общая сумма платежей по обязательствам составляет:

34,553 + 87,707 = 122,260 (тыс. руб.).

Это больше, чем сама величина долга 100 тыс. руб., но меньше, чем сумма возврата по первоначальному соглашению, которая должна составить:

100 (1 0,05)5 127,628 (тыс. руб.).

Однако, с учетом распределения выплат во времени, эти величины в точности соответствуют друг другу при пересчете по 5%-й сложной месячной ставке.

Проведем другой вариант расчета, с другим моментом приведения.

В качестве такого момента выберем, например, момент уплаты первой части долга. Он отстоит на 3 месяца от начала срока обязательства.

Первоначальная сумма 100 тыс. руб., приведенная к этому сроку, составляет:

100 (1 0,05)3 115,762 (тыс. руб.).

Первая часть уплачиваемой суммы соответствует моменту приведения и составляет 40 тыс. руб.

Вторая часть суммы, приведенная к этому моменту, равна:

Уравнение эквивалентности имеет вид:

115,762 = 40 + S 0,8638.

Отсюда получаем прежний результат:

S = 87,707.

Расхождения, которые могут возникнуть при подобных расчетах, связаны с погрешностью округления. Для получения результатов с необходимой точностью следует вести расчеты с достаточным числом знаков.

1. На банковский счет положено 100 рублей с условием нарастания по сложной процентной ставке 48% годовых.

Какая сумма будет на счете через 4 месяца? Какую сумму составляют процентные деньги? Сопоставьте полученные результаты с результатами расчета по простой процентной ставке. Какие условия выгоднее для вкладчика?

Проведите расчеты для трехлетнего срока. Какие условия выгоднее для вкладчика в этом случае?

2. Человек, положив на счет некоторую сумму на условиях начисления по сложной процентной ставке 10% годовых, через 2 года получил 605 руб.

Какая сумма была положена на счет? Чему равна сумма полученных процентов? Какую сумму должен был бы получить человек, если бы начисления велись по простой процентной ставке той же величины?

3. За 4 года вклад вырос в 2,0736 раза. Определить соответствующую годовую ставку простых и сложных процентов.

4. Вклад, положенный на условиях начисления сложной годовой процентной ставки, через 2 года вырос до некоторой величины. Если бы величина ставки была в 2,25 раза больше, то он вырос бы до той же величины за 1 год.

Определить величину процентной ставки.

5. Вклад с условием начисления по сложной ставке 12% годовых положен на 4 года. Определить эквивалентную величину простой годовой процентной ставки. Определить соответствующую величину для полугодового срока.

6. Вклад с условием начисления по простой ставке 18% годовых положен на 2 года. Определить эквивалентную величину сложной годовой процентной ставки. Определить соответствующую величину для одного квартала.

7. На банковский счет положена денежная сумма в размере 300 руб. с условием нарастания по сложной процентной ставке 20% годовых. Через какое время сумма вырастет до 500 руб.? Чему равна эквивалентная простая годовая процентная ставка?

8. Человек положил на счет некоторую сумму на условиях начисления по сложной процентной ставке. Через 2 года эта сумма выросла до руб. Если бы та же исходная сумма нарастала по такой же простой процентной ставке, то через 2 года она составила бы 600 руб.

Какая сумма была положена на счет и чему равна процентная ставка?

9. Банк принимает 5-летние депозитные вклады на условиях роста по сложной процентной ставке. Определить величину простой годовой процентной ставки, обеспечивающей за этот срок такой же рост вклада для двух вариантов:

сложная процентная ставка равна 36% годовых, сложная процентная ставка равна 60% годовых.

10. Два денежных фонда (А) и (В) формируются путем суммирования растущих ежемесячных взносов в течение 5 лет. Первый взнос для каждого фонда составляет 100 руб. Дальнейший рост взносов определяется поразному.

Для фонда (А) каждый взнос больше предшествующего на 5% от величины первоначального взноса. Для фонда (В) каждый взнос на 5% больше предшествующего.

Для каждого фонда требуется определить:

Во сколько раз последний взнос (к концу 5-летнего периода) превысит первоначальный?

Величину фонда к концу пятилетнего периода.

11. Остров Манхеттен был куплен в XVII веке за 24 доллара. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивается примерно в 40 млрд долларов. Определить величину годовой процентной ставки, обеспечивающей такой рост денежной суммы для двух вариантов: для простой и для сложной процентной ставки.

12. Банк принимает вклады по процентной ставке, равной 24% годовых. Какой срок вклада обеспечивает его 7-кратный рост? Ответ найти для простой и для сложной процентной ставки.

13. При какой величине годовой процентной ставки срок удвоения вклада составляет 8 лет? Ответ найти для простой и для сложной процентной ставки.

14. Годовая процентная ставка равна 16%. Определить уравновешенную и относительную квартальные ставки. Определить ставки этих же видов для месячного периода.

15. Годовая учетная ставка равна 6%. Определить уравновешенные и относительные учетные ставки для квартального и месячного периодов.

16. Дисконтирование платежа может быть проведено по процентной ставке, а может – по учетной ставке. Для сложной годовой процентной ставки, равной 6%, найдите величину эквивалентной учетной ставки для периодов времени длиной 1, 2, 3 года. Различаются ли результаты для разных периодов времени?

Для сложной годовой учетной 6%-й ставки найдите величину эквивалентной процентной ставки для тех же периодов времени. Что можно сказать о полученных результатах?

17. Банки "Северный", "Южный" и "Восточный" предлагают открыть вклад на 3-месячный срок. Банк "Северный" предлагает рост по простой ставке 11% в месяц. Банк "Южный" предлагает рост по сложной ставке 10,5% в месяц. Банк "Восточный" предлагает рост по непрерывной ставке 10% в месяц.

Условия какого из банков являются для вкладчика наиболее предпочтительными?

18. Три платежа: 80, 120 и 150 тыс. руб. со сроками соответственно 1, 3 и 4 месяца заменяются одним платежом 380 тыс. руб. Определить срок этого платежа при 5%-й сложной месячной ставке. Определить срок при 10%-ной сложной месячной ставке.

19. Два платежа по 200 тыс. руб. со сроками 2 и 4 месяца заменяются одним по сложной месячной ставке 12% с немедленной уплатой. Определить величину этого платежа.

20. Платеж 500 тыс. руб. со сроком 4 месяца заменяется по 10%-й сложной месячной ставке на два одинаковых платежа со сроками 2 и 6 месяцев. Найти размеры этих платежей.

21. Два платежа по 300 тыс. руб. со сроками 1 и 5 месяцев заменяются по 5%-й сложной месячной ставке на два одинаковых платежа со сроками 2 и 4 месяца. Найти размеры этих платежей.

Глава 4. СОСТАВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ОПЕРАЦИИ 4.1. Конверсия валюты и процентные ставки Рассмотрим расчет оценок доходности, связанных с возможностью замены валюты.

Пусть имеется возможность перевода вклада из валюты 1 (например, рублей) в валюту 2 (например, доллары США). Введем параметры вкладов.

P1 – исходная сумма средств в валюте 1;

P2 – та же сумма средств, выраженная в валюте 2;

i1 – процентная ставка по вкладу в валюте 1;

i2 – процентная ставка по вкладу в валюте 2;

t – срок вклада;

S1 – конечная сумма средств в валюте 1;

S2 – конечная сумма средств в валюте 2;

S1 – сумма средств, накопленная в валюте 2 и переведенная в валюту 1;

K12 – начальный курс валюты 2 относительно валюты 1;

K12(t) – курс валюты 2 относительно валюты 1 к концу срока t.

В этих обозначениях K12 = K12(0).

Вкладчик имеет сумму средств P1 в валюте 1. У него есть две возможности. Первая – использовать возможности роста по вкладам в валюте 1.

Предположим, что речь идет о простой процентной ставке. Тогда к концу срока t он получит S1:

S1 = P1(1 + i1t).

Вторая возможность – перевести деньги в валюту 2 и затем использовать вклад в валюте 2. В результате перевода валюты он получит сумму P2:

P2 = P1/K12.

К концу срока t он получит S2:

S2 = P2(1 + i2t) = P1(1 + i2t)/K12.

Для сопоставления результатов их следует перевести в одну валюту.

Пусть это валюта 1. Сумма S2 конвертируется в сумму S1 по формуле S1 = S2K12(t) = P1(1 + i2t)K12(t) / K12.

В этой формуле все параметры, кроме одного, известны в начале операции. Единственным неизвестным заранее параметром является валютный курс K12(t) к концу срока операции.

При принятии решения необходимо спрогнозировать курс K12(t).

Простейшей формой прогноза является линейная. При этом прогноз валютного курса принимает форму K12(t) = K12(1 + kt).

Величина k в этой формуле представляет собой среднюю величину прироста валютного курса за единицу времени. Величина прироста k может быть положительной (курс валюты 2 в среднем растет) или отрицательной (курс валюты 2 в среднем падает).

Для определения выгодности того или иного варианта вклада рассмотрим разность их результатов S1 – S1, S1 – S1 = P1((1 + i2t)(1 + kt) – (1 + i1t)) = P1(i2kt2 + (k + i2 – i1)t).

Полезной для анализа является величина разности, приходящейся на вклад единичной величины (при P1 = 1). Она имеет вид:

S1 – S1 = i2kt2 + (k + i2 – i1)t и представляет собой квадратичную функцию относительно времени t.

Рассмотрим два случая.

1. Предположим, что курс валюты 2 растет, то есть предположим, что k > 0.

Тогда коэффициент i2k при старшем члене квадратичной функции положителен. Квадратичная функция растет. Одним из корней этой функции является t1 = 0, другим корнем Второй корень может быть положительным, отрицательным или равным 0. Если он отрицателен или равен 0, то есть если то вариант с конверсией валюты 1 в валюту 2 дает больший результат при любом сроке вклада t. Такая ситуация изображена на рис. 8.

Если же корень t2 положителен, то есть если i1 > i2 + k, то вариант с конверсией валюты дает больший результат лишь при достаточно большом сроке вклада t, а именно при t > t2.

Такая ситуация отображена на рис. 9.

Объединив оба варианта можно сказать, что конверсионный вариант выгоднее, если срок вклада t больше большей из двух величин t1 и t2, то есть если Важно отметить, что рано или поздно вариант с конверсией оказывается выгоднее бесконверсионного варианта, и это обстоятельство не зависит от конкретных соотношений между значениями параметров i1, i2 и k. Это верно даже в случае, когда параметры второй валюты i2 и k сколь угодно малы, а параметр первой валюты i1 сколь угодно велик. От соотношений параметров зависит лишь длина промежутка времени, после которого конверсионный вклад становится выгоднее бесконверсионного.

Правда, при этом должен оставаться справедливым прогноз валютного курса.

2. Рассмотрим второй случай, когда валютный курс снижается, k < 0.

В этом случае коэффициент i2k при старшем члене квадратичной функции отрицателен. Квадратичная функция убывает. Вклад, связанный с конверсией валюты, со временем станет менее выгодным, чем вклад без конверсии.

Линейный прогноз в Excel и простые процентные ставки Пример. В таблице 14 представлена динамика курса доллара США (в рублях) в течение января – октября 1999г.

Линейный прогноз валютного курса, построенный на основе анализа этой динамики, представлен на рис. 10. Соответствующие расчетные значения вместе с прогнозом даны в таблице 15. В таблице и на графике представлен прогноз до конца 1999 года, но, разумеется, прогнозные расчеты по линейной функции могут быть продолжены и далее.

Для построения линейного прогноза средствами Excel следует сначала перевести все данные таблицы 14 в единый столбец. Затем по этому столбцу необходимо построить график (кривая на рис. 10). Для этого следует выделить столбец и обратиться к процедуре «Мастер диаграмм». Далее по построенной диаграмме через меню обратиться к команде «Добавить линию тренда…».

Среди вариантов моделей тренда выбрать «Линейную», и во вкладке «Параметры» пометить окошко «Показывать уравнение на диаграмме».

В результате на экране появится линия тренда (прямая на рис. 10) и уравнение, по которому и проводятся дальнейшие расчеты.

Для расчетов с другими видами моделей тренда следует действовать аналогично и на соответствующем шаге выбрать другую модель. Именно так ниже проводятся расчеты с экспоненциальной моделью.

Рис. 10. Динамика и линейный прогноз курса доллара США в 1999 г.

Линейная функция прогноза курса доллара представляет собой функцию вида:

y = 25,8946 +0,0111x = 25,8946 (1 + 0,00043x), где x – порядковый номер дня прогноза (начиная с 1.11.1999);

y – курс доллара США (в рублях), сглаженный в соответствии с линейной функцией.

Величина 25,8946 характеризует курс доллара на 31.10.1999 по линейной функции (при x = 0). Эта расчетная величина отличается от фактического курса на ту же дату. Она представляет собой линейно сглаженный, усредненный курс, не подверженный текущим краткосрочным колебаниям.

Величина 0,0111 соответствует среднему ежедневному приросту курса в рублях. Величина 0,00043 – это тот же средний ежедневный прирост курса, но выраженный в долларах, то есть переведенный в долларовую шкалу по курсу 25,8946 рублей за доллар.

Для дальнейшего анализа перейдем от прироста курса за день к приросту за год. Получим средний ежегодный прирост курса, равный 0,0111 365 = 4,06 руб. за год, 0,00043 365 = 0,1568 долл. за год.

Из положительности величины годового прироста k следует, что конверсионный вариант вклада окажется выгоднее бесконверсионного при любых величинах процентных ставок. Однако возможно, что эта выгодность проявится лишь при достаточно большом сроке вклада. Критический срок t2, начиная с которого валютный вклад становится выгоднее рублевого, определяется соотношением величины годового прироста k и процентных ставок по рублевым (i1) и валютным (i2) депозитным вкладам.

Средняя депозитная ставка по срочным рублевым вкладам в банках Санкт-Петербурга в октябре 1999 г. равна 32% годовых, i1 = 0,32.

Аналогичная ставка по валютным вкладам составляет 11,5% годовых, i2 = 0,115.

Проведем расчет величины t2:

Если бы рассчитанное значение величины t2 оказалось отрицательным, то выгодность конверсионного варианта вклада проявилась бы сразу.

Полученная величина положительна, и срок 2,673 года, отсчитанный от начала прогноза, приходится на начало июля 2002 года.

Таким образом, выгодность варианта вклада с конверсией проявится лишь после начала июля 2002 года.

Рассмотрим теперь вариант, когда i1 и i2 являются сложными процентными ставками.

Конечная величина вклада без конверсии валюты определяется формулой S1 = P1(1 + i1)t.

Конечная величина вклада с конверсией валюты 1 в валюту 2 в начале срока и обратной конверсией по окончании срока определяется формулой S1 = S2K12(t) = P1(1 + i2)tK12(t) / K12.

Рассмотрим новую форму прогноза валютного курса:

K12(t) = K12(1 + k)t.

В основе такой формы прогноза, как и в случае с простой процентной ставкой, лежит предположение о постоянной средней величине k прироста валютного курса, но теперь не абсолютного прироста, а относительного.

Сама величина прироста k может быть положительной (курс валюты растет) или отрицательной (курс валюты 2 падает).

Для определения выгодности того или иного варианта вклада рассмотрим отношение их результатов:

Вклад с конверсией валюты окажется более выгодным, чем бесконверсионный вклад, если числитель дроби больше знаменателя, (1 + i2)(1 + k) > (1 + i1).

Последнее условие равносильно неравенству характеризующему ограничение снизу на темп роста валютного курса.

Если это неравенство выполнено, то есть если темп роста валютного курса достаточно высок, то выгоден конверсионный вариант. Если же выполнено обратное неравенство, то выгоден бесконверсионный вариант.

При выполнении равенства оба варианта равносильны.

Экспоненциальный прогноз в Excel и сложные процентные ставки Пример. Проведем анализ выгодности рублевого и валютного депозитного вклада для сложных процентных ставок на реальных данных.

В основе такого анализа лежит экспоненциальный прогноз валютного курса. Экспоненциальный прогноз, как и линейный в предыдущем примере, сформируем на основе данных за январь – октябрь 1999 года (данные таблицы 14). Экспоненциальный прогноз представлен на рис. 11.

Для построения экспоненциального прогноза средствами Excel полезно сначала перевести все данные таблицы 14 в единый столбец. Затем по этому столбцу необходимо построить график (кривая на рис. 11) с помощью процедуры «Мастер диаграмм». Далее по построенной диаграмме через меню обратиться к команде «Добавить линию тренда…». Среди вариантов моделей тренда выбрать «Экспоненциальную» и во вкладке «Параметры» пометить окошко «Показывать уравнение на диаграмме». В результате на экране появится линия тренда (гладкая линия на рис. 11) и уравнение, по которому и проводятся дальнейшие расчеты.

Экспоненциальный график по отношению к линейному дает несколько более высокий прогноз, но различия между ними в течение 1999 года незначительны.

Различия можно проследить по расчетным таблицам. Расчетные значения по экспоненциальной кривой вместе с прогнозом даны в таблице 16.

Как и в предыдущем примере, в таблице и на графике представлен прогноз лишь до конца 1999 года, но расчеты по экспоненциальной функции могут быть продолжены и далее.

Экспоненциальная функция прогноза курса доллара представляет собой функцию вида:

y = 25,9516 EXP(0,000466x), где x – порядковый номер дня прогноза (начиная с 1.11.1999), y – курс доллара США (в рублях), сглаженный в соответствии с экспоненциальной функцией.

Величина 25,9516 характеризует курс доллара на 31.10.1999 по экспоненциальной функции (то есть при x = 0). Это расчетная величина, она отличается от фактического курса на ту же дату. Она представляет собой экспоненциально сглаженный, усредненный курс, не подверженный текущим краткосрочным колебаниям. Она играет роль начальной величины курса доллара K12 в дальнейших расчетах.

Величина EXP(0,000466), приблизительно равная 1,000466, соответствует среднему суточному индексу роста курса доллара.

Для дальнейшего анализа перейдем от суточного к годовому индексу, равному EXP(0,000466 365) = EXP(0,1701) = 1,1854 = (1 + k).

Таким образом, K12 = 25,9516, k = 0,1854.

Рис. 11. Динамика и экспоненциальный прогноз курса доллара США Величина k характеризует годовой темп прироста курса. Ее знак (+) говорит о том, что курс доллара растет.

Выясним теперь, является ли выгодным конверсионный вариант вклада. Для этого следует определить, достаточно ли велик темп k по отношению к действующим рублевым (i1) и валютным (i2) процентным ставкам, то есть выполнено ли неравенство:

Возьмем те же значения процентных ставок, что и в предыдущем примере, то есть Получим:

Таким образом, неравенство выполнено, 0,1854 > 0,1729, и вариант вклада с конверсией оказывается выгоднее бесконверсионного варианта.

Сама степень выгодности определяется отношением годовых индексов роста валютного и рублевого вклада, то есть величиной (1 i 2 )(1 k) (1 0,115)(1 0,1854) Мы видим, что конверсионный вариант вклада через год даст результат на 0,13% больше, чем бесконверсионный вариант.

Выгодность конверсионного варианта незначительна.

Можно констатировать, что в обоих примерах, и с простой, и со сложной процентной ставкой, выгодность конверсионного вклада проявляется в полной мере лишь при длительных сроках вклада. Ситуация с двумя видами вкладов в обоих случаях близка к равновесной.

Это свидетельствует о том, что банки достаточно тщательно просчитывают ситуацию и что построенные нами прогнозы валютного курса близки к банковским прогнозам.

4.2. Оценка эффективности вклада в условиях инфляции Обычные формулы расчетов по процентным ставкам позволяют рассчитать номинальный рост денежной суммы. В связи с инфляцией эта сумма может постепенно обесцениваться. При определении реального роста денежной суммы следует учитывать характеристики инфляции. Основными характеристиками являются индекс и темп инфляции.

Индекс инфляции показывает, во сколько раз изменился уровень цен за анализируемый период. Темп инфляции характеризует прирост уровня цен.

В таблице 17 представлены цепные темпы инфляции в экономике России за 1994 год (в числовом формате).

Месяц янв. февр. март апр. май июнь июль авг. сент. окт. нояб. дек.

Цепной 0,210 0,100 0,089 0,097 0,081 0,050 0,050 0,046 0,077 0,150 0,140 0, темп Темпы показывают инфляционный прирост уровня цен на конец данного месяца по отношению к концу предыдущего месяца. Для определения прироста уровня цен по отношению к фиксированной базе – началу года (или концу предыдущего года) следует преобразовать цепные темпы в базовые. Для этот сначала переведем цепные темпы в цепные индексы.

Цепные индексы (в числовом формате) представлены в таблице 18.

Месяц янв. февр. март апр. май июнь июль авг. сент. окт. нояб. дек.

Цепной 1,210 1,100 1,089 1,097 1,081 1,050 1,050 1,046 1,077 1,150 1,140 1, индекс Последовательным умножением цепные индексы переводятся в базовые. Например, апрельский базовый индекс – это результат перемножения январского, февральского, мартовского и апрельского цепных индексов.

Базовые индексы даны в таблице 19.

Месяц янв. февр. март апр. май июнь июль авг. сент. окт. нояб. дек.

Базовый 1,210 1,331 1,449 1,590 1,719 1,805 1,895 1,982 2,135 2,455 2,799 3, индекс Теперь базовые индексы инфляции можно преобразовать в базовые темпы инфляции. Для этого следует вычесть из индекса 1 и, если требуется, перевести темпы в процентный формат. Результаты представлены в следующей таблице.

Месяц янв. февр. март апр. май июнь июль авг. сент. окт. нояб. дек.

Базовый 0,210 0,331 0,449 0,590 0,719 0,805 0,895 0,982 1,135 1,455 1,799 2, темп Средний индекс инфляции определяется корнем 12-й степени из произведения цепных индексов, то есть из базового декабрьского индекса:

(3,258)1/12 = 1,103.

Таким образом, средний темп инфляции составляет 0,103, или 10,3%, в месяц.

Аналогичным образом можно сосчитать средний индекс и средний темп инфляции в отдельных интервалах времени, например, в отдельных кварталах.

В первом квартале месячный средний индекс равен:

(1,210 1,100 1,089)1/3 = 1,132.

Средний месячный темп инфляции в первом квартале равен 0,132, или 13,2%.

Во втором квартале средний месячный индекс равен:

(1,097 1,081 1,050)1/3 = 1,076.

Средний месячный темп инфляции во втором квартале равен 0,076, или 7,6%.

В третьем квартале средний индекс равен:

(1,050 1,046 1,077)1/3 = 1,058.

Средний месячный темп инфляции в третьем квартале равен 0,058, или 5,8%.

В четвертом квартале средний индекс равен:

(1,150 1,140 1,164)1/3 = 1,151.

Средний месячный темп инфляции в первом квартале равен 0,151, или 15,1%.

Можно провести расчет средней месячной величины индекса, полученной по средним квартальным:

(1,132 1,076 1,058 1,151)1/4 = 1,103.

Он, естественно, приводит опять к уже известной средней месячной величине индекса за год.

Пусть денежный вклад растет по процентной ставке i. Тогда коэффициент роста в течение одного периода начисления (например, одного года) равен (1 + i) независимо от того, соответствует ли рост простой или сложной процентной ставке.

Предположим, что за то же время в связи с инфляцией происходит падение покупательной способности денег. Пусть темп инфляции за этот промежуток времени равен h.

Таким образом, реальная оценка денежного вклада изменяется одновременно под воздействием двух разнонаправленных факторов: по условиям вклада его номинальная сумма растет, а под влиянием инфляции его покупательная способность падает.

Реальная оценка вклада характеризуется величиной реальной процентной ставки r. Для определения этой величины следует сначала определить коэффициент реального роста вклада (1 + r):

Отсюда получаем реальную процентную ставку r:

В таких случаях иногда i называют номинальной процентной ставкой (или ставкой-брутто), а r – реальной процентной ставкой (или ставкойнетто). Полученная формула, определяющая реальную процентную ставку r, носит название формулы И. Фишера.

Отметим, что довольно распространенный способ определения реальной процентной ставки как разности между номинальной ставкой и темпом инфляции, является неверным. При этом не учитывается знаменатель дроби в предыдущей правильной формуле. Полученный при этом результат оказывается завышенным по абсолютной величине в (1+h) раз, то есть в число раз, соответствующее индексу инфляции.

Если инфляция невелика, то погрешность, связанная с использованием неверного способа расчета, окажется не очень большой. Однако с ростом темпа инфляции погрешность нарастает.

Пример. Пусть темп инфляции за рассматриваемый период времени составил 10%, номинальная ставка процента 16%. Требуется определить реальную ставку.

По упрощенной формуле:

i = r + h = 0,16 – 0,10 = 0,06.

По формуле Фишера:

Расхождение составляет 0,0055, или 0,55%. Пусть теперь темп инфляции составляет 20%, а номинальная ставка по-прежнему на 6 процентных пунктов выше, т.е. составляет 26%. Тогда по упрощенной формуле попрежнему r = 0,06. По формуле Фишера:

Таким образом, расхождение составляет уже 0,01, или 1%. Если же темп инфляции за рассматриваемый период равен 200%, а номинальная ставка на 6 пунктов выше и составляет 206%, то по упрощенной формуле опять r = 0,06, а по точной формуле:

2,06 2, В этом случае по упрощенной формуле получаем, что реальная ставка прироста оценивается величиной 6%, а по точной формуле Фишера получаем существенно меньшую величину 2%.

В рассмотренном примере во всех ситуациях номинальная ставка процента была выше темпа инфляции и реальная ставка оказывалась положительной. Если же номинальная процентная ставка ниже темпа инфляции, то реальная ставка окажется отрицательной. Это означает, что, хотя сумма денег за период времени выросла, покупательная способность этой выросшей суммы в связи с инфляцией снизилась.

Так, пусть темп инфляции составил 10%, а номинальная ставка за этот период была равна 8%. Рассчитаем величину реальной ставки по точной формуле:

Таким образом, первоначальный вклад в сумме 100 тыс. руб., несмотря на его номинальный рост, обесценился в связи с инфляцией, и по своей реальной покупательной способности он теперь составляет величину R:

R = P (1 + r) = 100 (1 – 0,018) = 98,182 (тыс. руб.).

Эту же величину можно получить и другим способом. Первоначальный вклад Р вырос в соответствии с номинальной ставкой процента и составил величину S:

S = P (1 + i) = 100 (1 +0,008) = 108 (тыс. руб.).

Однако в связи с инфляцией полученная величина обесценилась в (1 + h) раз, так что в реальном исчислении (в ценах, существовавших на начальный момент периода) эта величина превращается в R:

В таблице 21 приведены результаты расчетов, полученных при двух способах оценки влияния инфляции для номинальной ставки i = 20%.

Рассмотрим теперь влияние инфляции в течение нескольких периодов начисления процентов (например, нескольких лет). Пусть в течение n периодов темпы инфляции последовательно равны величинам h1, h2,... hn.

Рассмотрим два варианта роста вклада: по простой и по сложной процентной ставке.

Пусть вклад растет по простой процентной ставке i. Тогда коэффициент реального роста вклада за это время (1 + r n) определяется формулой Отсюда находим величину реальной простой процентной ставки r:

Пусть вклад растет по сложной процентной ставке i. Тогда коэффициент реального роста вклада за это время (1 + r)n определяется формулой Отсюда находим среднюю величину коэффициента реального роста за один период:

1+r = и среднюю величину реальной сложной процентной ставки r:

Отметим, что числитель дроби соответствует коэффициенту роста за один период времени, а знаменатель – средней величине индекса инфляции за один период.

1. Предположим, что при текущем курсе 30 руб. за доллар курсовая стоимость доллара прирастает в среднем на 1 коп. в день. Пусть годовая банковская ставка по рублевым депозитам составляет 18%, а по валютным вкладам 6%. Проанализируйте относительную выгодность рублевых или конверсионных вкладов.

2. Проанализируйте данные за последние несколько месяцев и рассчитайте прогноз валютного курса аналогично тому, как это было сделано в приведенном выше примере.

Проведите расчеты по анализу относительной выгодности рублевых или конверсионных вкладов.

3. Один московский банк в 1993 году обещал рост по простой годовой ставке 50 000% для вкладов, положенных на 5-летний срок.

Какова эквивалентная величина сложной годовой ставки? Уравновешенной месячной ставки?

В течение 1993 года уровень потребительских цен в России вырос приблизительно в 9,4 раза. Предположим, что такой темп роста цен сохраняется в течение 5 лет. Можно ли уберечь деньги от инфляции, положив их на счет в этот банк?

В течение 1994 года уровень цен в России вырос в 3,2 раза. Можно ли уберечь деньги от инфляции в этом банке при таком росте цен в течение лет?

При каком ежегодном темпе роста цен условия банка позволяют сохранить покупательную способность денег?

4. В таблице 22 представлены данные по месячным темпам инфляции в российской экономике в 1992-1994 г.г. (относительный прирост уровня потребительских цен к уровню цен предыдущего месяца, в процентах) Предположим, что человек в начале 1992 г. имел 10 тыс. руб. Проследите по месяцам, как инфляция "съедала" эту сумму. Чему равна реальная покупательная способность этой суммы к концу 1992г.? к концу 1993г.? к концу 1994г.?

5. Рассмотрим условия предыдущей задачи. Какой должна быть номинальная годовая банковская процентная ставка по вкладам за три года (1992-1994), чтобы деньги, положенные в банк, сохранили свою покупательную способность?

Какой должна быть номинальная ставка, чтобы вложенные средства за эти три года не только не обесценились, но и приросли на 16%? Какова при этом переменная реальная процентная ставка в каждом из этих трех лет?

Предположим, что мы хотим получить тот же 16%-й прирост за 3 года не при переменной, а при постоянной реальной процентной ставке.

Какой должна быть величина этой постоянной годовой реальной ставки?

Какой будет тогда величина переменной номинальной годовой процентной ставки в каждом из этих трех лет?

6. Для полученной в предыдущей задаче величины постоянной годовой реальной процентной ставки рассчитайте уравновешенную величину месячной реальной процентной ставки. Какой должна быть при этом величина переменной номинальной месячной процентной ставки в каждом из месяцев? Составьте соответствующую таблицу. Сравните ее с таблицей темпов инфляции.

Банки не заинтересованы в частом изменении величины процентной ставки. Предположим, что банк меняет величину ставки один раз в квартал. Каковы должны быть переменные значения номинальных квартальных ставок, чтобы было обеспечено постоянство значений реальных квартальных ставок в 1992-1994 гг. при прежнем 16%-м общем приросте средств за 3 года?

7. В таблице 23 представлены данные по средней величине месячной процентной ставки коммерческих банков Российской Федерации по вкладам за 1992-1993 гг.

Используя данные предыдущих таблиц, определите величину реальной месячной процентной ставки в 1992-1993 гг. Составьте соответствующую таблицу.

Предположим, что в начале 1992 г. человек положил 10 тыс. руб. на банковский счет. Проследите по месяцам, как изменялась номинальная величина суммы денег и ее реальная покупательная способность с учетом инфляции в 1992-1993 гг. Во сколько раз изменилась реальная сумма вклада к концу 1992 г.? к концу 1993 г.?

Сопоставьте полученные результаты и результаты решения задач 2 – 5.

8. В таблице 24 представлены квартальные темпы инфляции в экономике России за 1994 год.

Определите:

Ту величину номинальной годовой процентной ставки, при которой реальная годовая процентная ставка окажется равной 0%.

Ту величину номинальной годовой процентной ставки, при которой реальная годовая процентная ставка окажется равной 10%.

9. В таблице 25 представлены месячные темпы инфляции в экономике России за 1998 год.

инфл.

(%) Определите:

1. Темпы инфляции для каждого квартала отдельно.

2. Темп инфляции за год в целом.

3. Среднеквартальный темп инфляции за год в целом.

4. Среднемесячный темп инфляции за год в целом.

Глава 5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций – операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, то есть с потоками платежей. Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока.

Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д.

Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные.

В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные – затратам.

В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами.

Рис. 13. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты) Рис. 14. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты) Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются – то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.

К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:

член ренты – размер отдельного платежа;

период ренты – длина интервала времени между соседними платежами;

срок ренты – длина промежутка времени от начала первого периода до конца последнего периода;

процентная ставка – та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты.

При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например, периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др.

Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте.

Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо.

Обобщающие характеристики потоков платежей Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.

Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.

К основной характеристике потока относится его приведенная стоимость (приведенная оценка). Она позволяет «свернуть» весь распределенный во времени поток в одно число.

Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости (современной оценке) потока, во втором – о наращенной стоимости (наращенной сумме) потока.

Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.

Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.

Пусть поток состоит из членов Rk, приуроченных к моментам времени tk. Определим стоимость этого потока, приведенную к произвольному моменту времени t.

Рассмотрим произвольный член потока Rk. Если соответствующий ему момент времени tk наступает раньше момента приведения t, tk < t, то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный (1 i)(t t k ). Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина Rk по сложной процентной ставке i за время (t – tk), отделяющее момент tk от момента t.

Другими словами, если бы денежную сумму Rk положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t – tk) величина Rk выросла бы до величины Rk (1 i)(t t k ). Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина Rk при умножении увеличивается.

Если же момент времени tk наступает позже момента t, tk > t, то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, то есть (1 i)(t t k ). Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется меньшим 1. Величина Rk при умножении на такой коэффициент уменьшается.

Таким образом, независимо от того, как взаимно расположены моменты t и tk, при приведении члена потока Rk к моменту t его следует умножить на одно и то же выражение, равное В одной ситуации это приводит к увеличению Rk, в другой – к уменьшению. Во всех ситуациях это приводит к корректному пересчету величины Rk, к ее приведению на момент времени t.