«В.П. ЧЕРНОВ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ 2012 2 ББК 65 Ч 49 Чернов В.П. Ч 49 Финансовая математика : учебное пособие / В.П. ...»

Приведенная стоимость всего потока St, приведенная на момент времени t по сложной процентной ставке i, определяется суммой результатов приведения всех членов потока, то есть формулой Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t – момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t – момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.

Связь между результатами приведения к разным моментам времени Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.

Пусть t – другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t получим величину:

Величины St и St связаны соотношением:

Рассмотрим отношение приведенных оценок:

Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если t > t, откуда следует, что Отношение приведенных оценок St / St выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t – t ) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i.

Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.

Действительно, пусть St1 и St2 – стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а St 1 и St 2 – стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t. Тогда отношения этих оценок равны:

St 1 / St 2 = St1(1 + i)(t – t ) / St2(1 + i)(t – t ) = St1 / St2.

Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какомуто одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.

Полученная выше формула приведенной стоимости потока пригодна для расчетов с любыми потоками. В некоторых важных частных случаях ее можно заметно упростить. Так, для наиболее распространенного вида потоков – постоянной финансовой ренты – мы получим существенно более простые расчетные формулы. Простые формулы можно получить и для переменных рент с несложной закономерностью изменения членов ренты.

Рассмотрим постоянную ренту, содержащую n членов одинаковой величины R. Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет один год (такая рента называется аннуитетом). Пусть это рента постнумерандо.

Таким образом, перед нами последовательность из n одинаковых платежей размера R каждый. Общий срок ренты составляет n лет. Очередной платеж совершается в конце года. Первый платеж происходит в конце первого года, последний – в конце n-го года. Конец общего срока ренты совпадает с моментом последнего платежа.

R R R R R R

Определим наращенную стоимость ренты S, то есть стоимость ренты на конец ее срока (наращенную стоимость обозначают иногда также посредством FV – Future Value).

Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1 + i).

Предпредпоследний, (n-2)-й член преобразуется в R(1 + i)2.

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в R(1 + i)k.

В частности, первый член преобразуется в R(1 + i)n-1.

Суммируя получившуюся n-членную геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+ i), приходим к формуле Это и есть формула наращенной суммы постоянной n-членной ренты постнумерандо.

Обратимся к формуле современной стоимости ренты A, соответствующей приведению к начальному моменту срока ренты (такую величину обозначают также посредством PV – Present Value). Эту формулу можно получить двумя способами.

Один – провести рассуждения, аналогичные данным выше для формулы наращенной суммы, но ориентированные на приведение к другому моменту времени. Другой – провести дисконтирование уже полученной величины наращенной суммы к начальному моменту срока ренты, то есть воспользоваться равенством A = S(1 + i)– n.

Второй путь позволяет сразу написать итоговую формулу По этим формулам можно провести расчет при любой положительной величине процентной ставки i. Они не работают только при i = 0, то есть в случае, когда не учитывается рост вложенной денежной суммы. Однако в этом случае современная и будущая оценки фонда совпадают, и обе равны простой сумме членов ренты:

Пример. Накопление денежного фонда происходит в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 12 лет. Размер разового платежа составляет 7 тыс. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%.

Требуется определить наращенную сумму фонда на конец срока и оценку современной стоимости сформированного фонда на начало срока.

Решение. В соответствии с приведенными выше формулами получаем Расчеты показывают весьма сильное различие между современной и наращенной стоимостью фонда. Это различие связано с распределением процесса накопления фонда во времени и с величиной процентной ставки. Увеличение процентной ставки приводит к усилению различий между современной и будущей оценками, уменьшение ставки – к их сближению.

Если величина ставки i равна 0, то результат получается непосредственным перемножением 7 12 = 84 (тыс. руб.).

Приведем результаты расчетов для различных процентных ставок (таблица 26).

В некоторых случаях ренту можно рассматривать как продолжающуюся неограниченно долго, то есть имеющую неограниченное число членов. Такая ситуация возникает, когда заранее срок ренты не установлен. Например, регулярные выплаты по облигациям с неограниченным сроком действия.

Ренты с неограниченным сроком называются вечными рентами.

Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, так как такая сумма должна быть приведена к концу срока ренты. Однако можно определить современную стоимость вечной ренты. Для этого достаточно просуммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

Если в полученной выше формуле для современной стоимости ренты со сроком n устремить n к бесконечности, то получим:

Таким образом, современная стоимость вечной ренты определяется простым правилом: современная стоимость равна отношению величины члена ренты к процентной ставке.

Пример. В условиях предыдущего примера рассмотрим теперь ситуацию, когда срок ренты не оговорен, рента вечная.

Тогда ее современная стоимость при ставке i = 20% равна:

Стоимость вечной ренты обратно пропорциональна процентной ставке. При уменьшении процентной ставки стоимость вечной ренты увеличивается. При ставке, стремящейся к 0, современная стоимость вечной ренты стремится к +.

Приведем результаты расчета современной стоимости вечной ренты с постоянным членом 7 тыс. руб. для различных процентных ставок (таблица 27).

Полученные формулы позволяют рассчитать параметры ренты R и n через ее итоговые приведенные характеристики S и A. Простые преобразования приводят к формулам для члена ренты R:

а также:

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид:

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид:

Отметим, что числитель в последней формуле отрицателен (подлогарифмическое выражение меньше 1), так что знак «минус» перед формулой возвращает положительное значение n.

В отличие от R и n, расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции – методом хорд или методом Ньютона – методом касательных).

Пример. Накопление денежного фонда происходит в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 12 лет. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%. Современная стоимость будущей величины фонда оценивается в 40 тыс. руб. Требуется определить размер ежегодного платежа.

Решение определяется по формуле Пример. Накопление денежного фонда происходит в виде постоянной годовой ренты постнумерандо. Ежегодный взнос составляет 20 тыс. руб.

На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%. Современная стоимость будущей величины фонда оценивается в 60 тыс. руб. Требуется определить срок ренты.

Решение определяется по формуле Отметим, что число лет (число разовых взносов) в результате расчета может не оказаться целым. В таком случае условия его обычно округляют и в соответствии с этим корректируют величину взноса.

Пример. Пусть в условиях предыдущего примера оценка современной стоимости фонда составляет не 60, а 50 тыс. руб. Тогда расчет срока ренты дает 3,8 лет. Его можно округлить до 4 лет и после этого пересчитать величину ежегодного взноса. Она окажется равной не 20, а 19,3 тыс. руб.

Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад.

Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид:

Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:

Соответствующие изменения произойдут в формулах, определяющих величину постоянного члена и продолжительность для ренты пренумерандо:

а также:

Полученные формулы можно рассматривать как формулы для ренты постнумерандо, но с новой оценкой приведенной стоимости (оценкой S или A), уменьшенной в (1+i) раз.

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид:

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид:

Полученные формулы соответствуют формулам для ренты постнумерандо, но с новой величиной члена ренты R, увеличенной в (1+i) раз.

В дальнейшем мы будем строить формулы для ренты постнумерандо, имея в виду, что они легко преобразуются в формулы для ренты пренумерандо.

Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.

Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально).

Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.

1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, то есть по формуле j = (1 + i)1/4 – 1.

В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид:

j = (1 + i)1/ m – 1.

В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой остаются прежними.

2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, то есть по формуле j = i/ или, в случае разделения года на m периодов, по формуле j = i/m.

В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине (1 + j/m)m.

При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем – со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:

Для современной стоимости потока получаем формулу Пример. Вернемся к условию одного из предыдущих примеров. Накопление денежного фонда происходит в виде постоянной годовой ренты постнумерандо в течение 12 лет. Размер разового платежа составляет тыс. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%.

Пусть проценты теперь начисляются не ежегодно, как прежде, а ежеквартально. Рассмотрим два варианта.

1. Пусть перевод годовой ставки в квартальную осуществляется по формуле сложных процентов. Тогда 20% годовых превращаются в (1+0,2)1/4 – 1 = 0,466, то есть в 4,66% квартальных. Результаты расчетов остаются прежними (с точностью до погрешностей округления). В частности, по-прежнему S = 277 тыс. руб., A = 31 тыс. руб.

2. Пусть перевод годовой ставки в квартальную осуществляется по формуле простых процентов. Тогда 20% годовых превращаются в 0,2/4 = 0,05, то есть в 5% квартальных.

Перевод годовой ставки по формуле простых процентов приводит к численно большей квартальной ставке, чем перевод по формуле сложных процентов. Следует ожидать, что большая величина ставки сильнее скажется на результатах расчетов. Действительно, результаты расчетов в этом случае дают:

Учет особенностей поступления платежей Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.

Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R/p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.

Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R/p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть (1 + i)1/p.

Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой Современная стоимость ренты определяется формулой Пример. Вернемся к условию предыдущего примера. Накопление денежного фонда происходит в виде постоянной ренты постнумерандо в течение 12 лет. Рассмотрим теперь вариант, когда рента не годовая, а квартальная. Платежи производятся ежеквартально, по 1,750 тыс. руб. в квартал. Сумма за год по-прежнему составляет 7 тыс. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%.

Требуется определить наращенную сумму и современную стоимость ренты.

Решение. Наращенная сумма S равна:

Современная стоимость ренты A равна:

Учет особенностей начисления процентов Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.

Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным).

При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.

Пример. Пусть, как и в предыдущих примерах, накопление денежного фонда происходит в виде постоянной ренты постнумерандо в течение 12 лет. Сумма за год по-прежнему составляет 7 тыс. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%.

Однако пусть теперь и поступление платежей, и начисление процентов происходит ежеквартально, причем перевод годовых процентов в квартальные проводится по формуле простой процентной ставки.

Требуется определить наращенную сумму и современную стоимость ренты.

Решение. Размер ежеквартального платежа равен 1,750 тыс. руб., квартальный процент равен 5%, число платежей равно 48. Подставляя эти параметры в первоначальную формулу, получим:

Мы видим, как более частое поступление платежей и более частое начисление процентов по большей ставке увеличивают приведенные оценки ренты.

Перейдем теперь к рассмотрению переменных рент. Члены такой ренты могут в общем случае изменяться произвольным образом. Однако на практике обычно они изменяются в соответствии с выбранной закономерностью. Простейшими закономерностями являются равномерный абсолютный рост членов ренты и равномерный относительный рост членов ренты.

Рассмотрим сначала случай равномерного абсолютного роста членов.

Рассмотрим ренту, содержащую n членов. Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет один год. Пусть, как обычно, это рента постнумерандо.

Пусть первый платеж равен R и в дальнейшем каждый платеж больше предыдущего на одну и ту же величину a.

Определим наращенную стоимость ренты S, то есть стоимость ренты на конец ее срока.

Рис. 16. Финансовая рента с равномерным абсолютным ростом членов Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R+(n-1)a.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину (R+(n-2)a) (1 + i).

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в (R+(k-1)a) (1 + i)n-k.

В частности, первый член преобразуется в (R+(1-1)a) (1 + i)n-1 = R (1 + i)n-1.

Членами возникшей последовательности являются попарные произведения. Первые сомножители образуют арифметическую прогрессию с разностью -a и первым членом R+(n-1)a. Вторые сомножители образуют геометрическую прогрессию с знаменателем (1+i) и первым членом 1.

Сумма такого ряда и есть наращенная сумма ренты S. Для удобства дальнейших преобразований введем обозначение:

S = R+(n-1)a + (R+(n-2)a)q +... (R+(k-1)a)qn-k +... Rqn-1.

Эту сумму можно преобразовать следующим образом. Умножим обе части равенства на q:

Sq = (R+(n-1)a)q + (R+(n-2)a)q2 +... (R+(k-1)a)qn-k+1 +... +Rqn.

Вычтем из второго равенства первое:

S(q – 1) = Rqn + a(qn-1 +... +q) – (R + (n – 1)a).

В средней части полученного выражения присутствует геометрическая прогрессия. Просуммировав ее, получим:

Отсюда после простых преобразований приходим к формуле наращенной суммы ренты:

Умножив обе части на (1+i)–n, получим формулу для оценки современной стоимости ренты:

Отметим, что постоянная величина a прироста членов ренты может быть положительной (и тогда члены ренты растут), но может быть и отрицательной (и тогда члены ренты убывают). Если она равна 0, a = 0, то переменная рента становится постоянной. Новые формулы при этом автоматически переходят в прежние, полученные для постоянной ренты.

Пример. Пусть накопление денежного фонда происходит в виде переменной ренты постнумерандо с равномерным абсолютным ростом членов в течение 12 лет. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%.

Пусть первый член ренты равен 7 тыс. руб. и в дальнейшем каждый член на 1 тыс. руб. больше предыдущего.

Требуется определить наращенную сумму и современную стоимость ренты.

Решение. В условиях примера имеем:

a = 1.

Наращенная сумма S равна:

Современная стоимость ренты A равна в этих условиях:

Мы получили формулы для ренты с равномерным абсолютным ростом членов. Рассмотрим теперь ренту с равномерным относительным ростом членов.

Пусть рента содержит n членов. Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет один год. Пусть, как обычно, это рента постнумерандо.

Пусть первый платеж равен R и в дальнейшем каждый платеж больше предыдущего в одно и то же число раз. Коэффициент роста членов обозначим посредством (1+ h). Тогда h – постоянный темп роста членов ренты.

Рис. 17. Финансовая рента с равномерным относительным ростом членов Определим наращенную стоимость ренты S, то есть стоимость ренты на конец ее срока.

Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим, как обычно, члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R(1+h)n-1.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1+h)n-2(1 + i).

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в R(1+h)k-1(1 + i)n-k.

В частности, первый член ренты преобразуется в R(1 + i)n-1.

Члены возникшей последовательности образуют геометрическую прогрессию, содержащую n членов. Если упорядочить ее, в соответствии с проведенными рассуждениями, от последнего члена ренты к первому, то знаменателем прогрессии является (1 + i)/(1 + h), а ее первым членом R(1+h)n-1. Сумма такой прогрессии и есть наращенная сумма ренты S.

По формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

Отсюда современная стоимость ренты A равна:

Отметим, что величина h, характеризующая постоянный темп изменения членов ренты, может быть положительной (и тогда члены ренты с постоянным темпом растут), но может быть и отрицательной (и тогда члены ренты убывают с постоянным темпом).

Если же темп изменения равен 0, h = 0, то члены ренты остаются постоянными. При этом новые формулы автоматически переходят в ранее полученные формулы для постоянной ренты.

Пример. Пусть накопление денежного фонда происходит в виде переменной ренты постнумерандо с равномерным относительным ростом членов в течение 12 лет. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной годовой ставке 20%. Пусть первый член ренты равен 7 тыс.

руб. и в дальнейшем каждый член на 10% больше предыдущего.

Требуется определить наращенную сумму и современную стоимость ренты.

Решение. В условиях примера h = 0,1, и наращенная сумма S равна:

5.5. Финансовые расчеты с помощью Excel Фонд накопления формируется путем суммирования отдельных платежей с целью дальнейшего использования накопленной суммы. Если предусмотрено регулярное поступление платежей и начисление процентов на уже накопленную частичную сумму, то можно использовать формулы финансовой ренты.

Помимо получения готовых итоговых результатов, бывает необходимо проследить накопление фонда в динамике. Для решения такой задачи полезно использовать средства Excel. Рассмотрим пример такого применения Excel.

Пример. Необходимо накопить 500 тыс. руб. в течение 8 лет. На поступающие в фонд платежи начисляются проценты по ставке 18% годовых.

Такое накопление может осуществляться в виде регулярных или нерегулярных платежей, в виде платежей одинакового или неодинакового размера. Мы построим таблицу для одного из вариантов, а затем обсудим, как ее можно модифицировать для других вариантов.

Начнем с самого простого случая, когда взносы поступают равными ежегодными суммами.

Сформируем расчетную таблицу на листе Excel (табл. 28).

A B C D E F G H I

Процент годовой 3 Дата 31.12.2012 31.12.2013 31.12.2014 31.12.2015 31.12.2016 31.12.2017 31.12.2018 31.12. Сумма взносов (с Общая сумма взносов В ячейки A1, B1, C1 введем слова: Процент годовой, Фонд, Взнос.

Это будут заголовки ячеек A2, B2, C2, соответственно. В первые две из них введем данные: в ячейку A2 величину процентной ставки 30%, а в ячейку B2 желаемую итоговую сумму фонда 500.

В ячейку C2 можно ввести расчетную формулу, определяющую величину постоянного члена финансовой ренты R по наращенной сумме S, числу членов n и процентной ставке i:

Таким образом, в ячейку C2 вводится формула =B2*A2/((1+A2)^8-1).

Число 20,96, полученное в результате расчета по этой формуле в ячейке C2, и является решением задачи: ежегодно в фонд следует вносить по 20,96 тыс. руб., чтобы к концу восьмого года в фонде вместе с начисленными процентами накопились искомые 500 тыс. руб.

Мы продолжим построение таблицы для того, чтобы проследить динамику накопления фонда. В ячейки A3, A4, A5 и A6 введем, соответственно, слова: Дата, Взнос, Сумма взносов с процентами и Общая сумма взносов (без %%). Это заголовки соответствующих строк.

В третью строку введем даты платежей. В следующие строки введем расчетные формулы. Все ячейки третьей строки привяжем к ячейке C2, содержащей расчетную величину взноса. Достаточно в B4 ввести формулу =$C$ и распространить ее направо до конца таблицы.

Постепенно накапливающаяся сумма взносов с процентами рассчитывается в пятой строке. В ячейке B5 вводится формула =B4, в ячейке C вводится формула =C4+B5*(1+$A$2), и затем она распространяется направо до конца таблицы.

Накапливающаяся сумма взносов без процентов рассчитывается в шестой строке. В ячейке B6 вводится формула =B4, в ячейке C6 вводится формула =B6+C4, и затем она распространяется направо до конца таблицы.

Начальная часть такого расчета представлена в таблице 29.

Динамику накопления фонда легко представить графически. Для этого достаточно выделить часть таблицы, содержащую 4, 5 и 6 строки, и обратиться к встроенной процедуре «Мастер диаграмм». В результате можно получить графики, представленные на рис. 18.

Сумма взносов (с 5 процентами) =B4 =C4+B5*(1+$A$2) =D4+C5*(1+$A$2) =E4+D5*(1+$A$2) Общая сумма взносов В построенную расчетную таблицу можно ввести и другие исходные данные (новый размер фонда накопления или другую процентную ставку) и сразу автоматически получить новый результат расчета с перестроенными под этот результат графиками.

Можно использовать таблицу еще одним способом. Очистим ячейку C2, в которой находится формула расчета величины взноса. После этого обратимся к встроенной процедуре «Подбор параметра» (Сервис \ Подбор параметра). На экране появится диалоговое табло с тремя окошками.

В верхнем окошке (Установить в ячейке) следует кликнуть ячейку I5.

Во втором окошке (Значение) следует ввести с клавиатуры число 500.

В третьем окошке (Изменяя значение ячейки) следует кликнуть ячейку C2.

Затем нажать кнопку OK и получить результат в таблице.

Расчет на основе «Подбора параметра» может быть проведен для самых разнообразных видов потоков платежей. Для того чтобы расчеты сохраняли корректность при изменении дат платежей, изменим формулы в пятой строке. В ячейке C5 вместо формулы =C4+B5*(1+$A$2) вставим формулу =C4+B5*(1+$A$2)^((C3-B3)/365) и, как и раньше, протянем ее направо до конца таблицы. Эта формула дает расчет накопления фонда по сложной процентной ставке при любых датах платежей.

Незначительная погрешность, возникающая при этом в ячейке I5, связана с наличием високосных лет. Во всех ячейках пятой строки в формуле присутствует теперь число 365, независимо от реального количества дней в том или ином году. Можно, конечно, в соответствующих ячейках пятой строки (в ячейках E5 и I5) заменить 365 на 366 и восстановить абсолютную точность вычислений, но можно и пренебречь возникающей погрешностью.

Введем, например, в третьей строке даты не с годовым, а с полугодовым интервалом, то есть 31.12.2001, 30.06.2002 и так далее по 30.06.2005.

Процедура «Подбор параметра» позволяет сразу определить, что при прежней 30%-ной ставке для получения итоговой величины фонда в тыс. руб. полугодовой взнос должен составлять 37,762 тыс. руб. В соответствии с этим автоматически перестраиваются графики.

Полученная таблица позволяет провести и расчеты другого типа. Например, что получится, если полугодовой взнос будет составлять не 37,762, а 35 тыс. руб.? Введем число 35 во все ячейки пятой строки и получим, что размер фонда с начисленными процентами составит 463, тыс. руб. Как изменить один из платежей, чтобы выйти на целевой результат в 500 тыс. руб.?

Предположим, что речь идет об изменении одного первого платежа.

Расчет на основе «Подбора параметра» показывает, что первый платеж тогда должен быть равен 49,61 тыс. руб. Аналогично, если речь идет об изменении одного только второго платежа, то он должен быть равен 51, тыс. руб. Можно продолжить такие расчеты. Для последнего платежа его измененное значение составляет 71,58 тыс. руб. Последовательное увеличение платежей связано с укорочением срока, остающегося для начисления процентов на данный платеж.

Отметим, что Excel обладает широким набором встроенных функций, позволяющих проводить разнообразные финансовые расчеты.

Под амортизацией долговых обязательств понимается возврат долга с процентами по частям, в виде некоторого потока платежей. В типичной ситуации платежи имеют одинаковую величину и возникают через равные промежутки времени. Таким образом, поток платежей образует постоянную финансовую ренту. Если указана периодичность выплат, число платежей и процентная ставка, то задача сводится к определению размера платежа. Если периодичность начисления процентов и периодичность платежей совпадают, то, как мы уже знаем, размер платежа можно вычислить по формуле В этой формуле A – сумма, взятая в долг, i – сложная процентная ставка, n – число выплат. Выше были приведены формулы и для других, более сложных случаев.

Мы рассмотрим организацию соответствующей расчетной таблицы в Excel. Такая таблица позволит легко построить график и наглядно увидеть последовательность выплат в их динамике.

Пример. Долг размером 300 тыс. руб. взят на срок 7 лет под 30% годовых. Согласно договору, его следует погасить шестью равными ежегодными выплатами. Необходимо установить размер выплат и построить график для наглядного представления об изменении остатка долга.

На новом листе Excel организуем расчетную таблицу (таблица 30).

В ячейки A1, B1, C1, D1 введем заголовки данных, находящихся соответственно в ячейках A2, B2, C2, D2. В ячейки A2, B2, C2 введем соответствующие числа, а в ячейку D2 – формулу =$B$5*$A$2/(1-(1+$A$2)^-6), позволяющую рассчитать член ренты по остальным данным.

A B C D E F G H

Остаток долга (с Остаток долга Собственно, расчеты на этом можно было бы закончить, так как в ячейке D2 мы имеем решение задачи – размер платежа. Однако для получения представления о динамике выплат, а также для создания универсальной таблицы, пригодной и для расчетов в других ситуациях, мы продолжим наши построения.

В ячейки A4, A5, A6, A7 введем слова, которые будут служить заголовками строк. Далее в строку 4 введем даты платежей. В ячейку B4 введем формулу =C2, остальные даты введем с клавиатуры.

В строку 5 введем остаток долга перед очередной выплатой, в строку 6 саму неизменную величину платежа и в строку 7 остаток долга сразу после выплаты. Для этого в ячейку B5 введем формулу =B2, в ячейку C5 формулу =B7*(1+$A$2) и дальше протянем эту последнюю ячейку направо до конца таблицы.

В ячейку B6 введем 0 (в момент получения займа возврат не производится), в следующую ячейку C6 введем формулу =$D$ и протянем ее направо до конца таблицы.

В ячейку B7 введем формулу =B5-B и протянем ее направо до конца таблицы.

В итоге получим формульное заполнение, представленное в таблице 31. Результаты численных расчетов по этим формулам содержатся в таблице 30.

A B C D E F G H

1 Процент годовой займа займа платежа Остаток долга (с 5 процентами) =B2 =B7*(1+$A$2) =C7*(1+$A$2) =D7*(1+$A$2) =E7*(1+$A$2) =F7*(1+$A$2) =G7*(1+$A$2) Остаток долга Строки 5 и 7 содержат данные, различающиеся на константу – на постоянную величину платежа, находящуюся в строке 6. Выделим эти три строки и построим график. Он представлен на рис. 19.

450, 400, 350, 300, 250, 200, 150, 100, Рис. 19. График динамики выплат и остатков долга График демонстрирует последовательные состояния долговых обязательств по периодам времени. Изогнутость линии долга определяется постоянным нарастанием процентов на еще не выплаченную долговую часть.

Расчеты были проведены для ежегодных выплат. Однако они без труда могут быть модифицированы под другие схемы платежей.

Расчет параметров потребительского кредита Рассмотрим возможности применения Excel к расчетам, связанным с анализом потребительского кредита.

Пример. Товар стоимостью 5 тыс. руб. продается с рассрочкой платежа на срок 9 месяцев по процентной ставке 20% годовых. Оплата проводится 10 одинаковыми ежемесячными взносами. Требуется определить величину такого взноса и проанализировать наращенную стоимость возникающего потока.

Для решения такой задачи и прослеживания динамики оплаты кредита полезно сформировать таблицу в Excel (табл. 32).

В ячейки A1, B1, C1, D1 введем слова: Годовая простая процентная ставка, Цена товара, Цена с %%, Ежемесячный платеж. Это заголовки ячеек A2, B2, C2, D2 соответственно.

В ячейки A3, A4, A5, A6 введем соответственно тексты: Дата, Платеж, Сумма платежей с %%, Сумма платежей без %%. Это заголовки строк с третьей по шестую.

A B C D E F G H I J K

Годовая простая процентная Цена Цена с Ежемес.

2 20,00% 5000,00 5747,95 574, 3 Дата 01.10.12 01.11.12 01.12.12 01.01.13 01.02.13 01.03.13 01.04.13 01.05.13 01.06.13 01.07. Сумма платежей с Сумма платежей В ячейки A2 и B2 введем исходные данные: 20% и 5000. В строку 3 с ячейки B3 по K3 вводим даты платежей с 01.10.2001 по 01.07.2002.

В ячейку C2 водим расчетную формулу =B2*(1+A2*(K3-B3)/365).

В результате получаем, что цена товара с процентами составляет 5747,95 руб.

В ячейку D2 вводим формулу =C2/10.

Тем самым ежемесячный платеж составляет 574,79 руб. Задача решена.

Проследим теперь накопление платежей в динамике. Для этого введем в ячейку B4 формулу =$D и распространим ее направо до конца таблицы.

В ячейку B5 введем формулу =B4, а в ячейку C5 формулу =C4+B5*(1+$A2*(C$3-B$3)/365).

Формулу ячейки C5 распространим направо до конца таблицы.

В ячейку B6 ведем формулу =B4.

В ячейку C6 введем формулу =B6+C и распространим ее направо до конца таблицы.

Наглядное представление о таком формульном заполнении можно получить по фрагменту (от столбца A до столбца F), представленному в таблице 33. Численные результаты расчетов представлены выше в таблице 32.

Годовая простая процентная Сумма платежей с 5 %% =B4 =C4+B5*(1+$A2*(C$3-B$3)/365) =D4+C5*(1+$A2*(D$3-C$3)/365) Сумма платежей без Такова принятая расчетная схема по потребительскому кредиту. Проанализируем финансовую справедливость такого расчета для покупателя товара.

Мы видим, что общая накопленная сумма платежей 5747,95 руб.

(ячейка K6) совпадает с ценой товара с начисленными процентами по простой процентной ставке (ячейка C2). На первый взгляд может показаться, что концы с концами полностью сходятся, расчет справедлив.

Так бы оно и было, если бы вся сумма с процентами выплачивалась в виде единого платежа в конце срока. Однако она выплачивается порциями, постепенно. Покупатель расстается со своими деньгами, а продавец получает их раньше конца срока.

Предположим, что продавец товара, получив от покупателя очередной платеж, кладет его на банковский счет по той же простой процентной ставке 20% годовых. Тогда к концу срока на таком счете накопится определенная сумма, превышающая 5747,95 руб. Она рассчитана в ячейке K нашей таблицы и равна 6196,45 руб. Разность в 448,50 руб. – это чистый выигрыш продавца (и проигрыш покупателя). Расхождение появляется ввиду финансовой некорректности расчетов.

Накопление расхождений наглядно проявляется на графике (рис. 20).

Скорректировать расчет можно следующим образом. Перекопируем таблицу, чтобы при дальнейшей работе сохранить и старые расчеты – например, перекопируем вниз, оставив свободной одну строку между двумя экземплярами таблиц. Таким образом, новый экземпляр располагается в тех же столбцах, но в строках с 8 по 13.

Во втором экземпляре очистим ячейку ежемесячного платежа – ячейку D9. При этом таблица обнулится. Выделим ячейку K12 и обратимся к процедуре «Подбор параметра».

В первом окошке Установить в ячейке должна быть ссылка на ячейку K12. Во втором окошке Значение следует ввести с клавиатуры число 5747,95. В третьем окошке Изменяя значение ячейки кликнуть ячейку D9.

После этого нажать кнопку OK.

Результат представлен в таблице 34.

Мы видим, что ежемесячный платеж должен быть равен 533,19 руб. а не 574,19, как это рассчитывается по обычной схеме. Таким образом, покупатель ежемесячно проигрывает по 41,60 руб.

Можно оценить проигрыш покупателя еще в одном направлении. Покупатель с учетом роста выплачиваемых им сумм по простой процентной ставке в итоге уплачивает 6196,45 руб. (ячейка K5 таблицы 32). Вопрос:

какова должна быть простая процентная ставка, чтобы номинальная цена товара 5000 руб. выросла до этой суммы за расчетный срок 9 месяцев?

A B C D E F G H I J K

Годовая простая процентная Цена Цена с Ежемес.

9 20,00% 5000,00 5747,95 533, 10 Дата 01.10.12 01.11.12 01.12.12 01.01.13 01.02.13 01.03.13 01.04.13 01.05.13 01.06.13 01.07. Сумма платежей с Сумма платежей Ответ можно получить с помощью процедуры «Подбор параметра»

или по уже известной формуле, позволяющей рассчитать простую процентную ставку i по сроку вклада t, t = 9 мес. = 0,75 года, начальной величине P, P = 5000, и конечной величине S, S = 6196,45.

дает 32% годовых. Таким образом, покупатель при оплате кредита реально платит по ставке 32%, хотя расчет в соответствии с договором проводится по ставке 20%.

Еще более существенные расхождения возникают, когда расчеты проводятся не по простой, а по сложной ставке при оплате длительного потребительского кредита.

Выше мы рассматривали распределенные во времени потоки платежей и их характеристики. Основной характеристикой является приведенная стоимость потока. Полученные формулы позволяют проводить необходимые расчеты при приведении потока к различным конкретным моментам времени.

Потоки представляли собой дискретные последовательности платежей, приуроченные к определенным моментам времени (например, к концу годовых периодов). Теперь у нас есть возможность анализировать не только дискретные, но и непрерывные потоки платежей.

Характеристики непрерывного потока общего вида Непрерывный поток соответствует непрерывному поступлению платежей. Платежи могут быть положительными и отрицательными.

Непрерывный поток описывается функцией поступления платежей R(t). Эта функция определяет интенсивность поступления платежей во времени. Общая сумма платежей за время T:

Общая сумма S, приведенная к некоторому моменту времени, с учетом роста платежей по сложной процентной ставке i определяется формулой S = R(t) (1 i) t dt.

В частности, наращенная (конечная) сумма S платежей с учетом их роста по сложной процентной ставке i определяется формулой S = ST = R(t) (1 i)T t dt.

Современная стоимость такого потока A (приведенная к начальному моменту времени) определяется формулой A = S0 = R(t) (1 i) t dt.

Эти две величины связаны соотношением S = A(1 + i)T.

Таким образом, определив одну из них, можно сразу определить и другую. Поэтому мы сосредоточим внимание на одной – например, на наращенной сумме S.

Непрерывные потоки с постоянной интенсивностью Пусть интенсивность потока платежей постоянна и равна R. Таким образом, R(t) = R.

S = ST = R(t) (1 i) Полученная формула отличается от выведенной ранее формулы для дискретной постоянной финансовой ренты знаменателем дроби. В дискретном случае знаменатель равен i, в непрерывном случае он равен ln(1+i).

Пусть интенсивность потока платежей изменяется линейно, то есть с постоянной величиной прироста. Таким образом, R(t) = R0 + at.

При положительном коэффициенте a это соответствует равномерному росту платежей, при отрицательном коэффициенте a – их равномерному снижению. При a = 0 получаем предыдущий случай постоянной интенсивности платежей.

Определим наращенную сумму S:

S = ST = R(t) (1 i) = R 0 (1 i) Первый интеграл совпадает с вычисленным выше интегралом для потоков с постоянной интенсивностью (при интенсивности, равной R0). Таким образом, Второй интеграл следует вычислить отдельно. Здесь следует использовать правило интегрирования по частям. В результате получим:

Общим результатом является:

Первое слагаемое в этой сумме демонстрирует влияние начального члена R0, а второе – влияние величины постоянного прироста a. При a = эта формула автоматически превращается в полученную выше формулу для непрерывных потоков с постоянной интенсивностью.

Формулу можно представить и по-другому:

Непрерывные потоки с экспоненциальной интенсивностью Пусть интенсивность потока платежей изменяется экспоненциально, то есть с постоянной величиной относительного прироста. Таким образом, R(t) = R0 eat.

При положительном коэффициенте a это соответствует равномерному относительному росту платежей, при отрицательном коэффициенте a – их равномерному относительному снижению. При a = 0 получаем случай постоянной интенсивности платежей.

Определим наращенную сумму S.

S = ST = R(t) (1 i) Таким образом, В частности, при a = 0 эта формула превращается в выведенную ранее формулу для потока платежей с постоянной интенсивностью.

1. Для обеспечения будущих расходов создается денежный фонд. Средства поступают в фонд в виде постоянной годовой ренты постнумерандо, состоящей из 8 одинаковых взносов по 10 тыс. руб. каждый. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 20% годовых. Определите:

величину фонда на конец срока, современную (дисконтированную) оценку конечной величины 2. Средства поступают в фонд в виде постоянной годовой ренты постнумерандо, состоящей из 7 одинаковых взносов. На поступившие взносы начисляются сложные проценты по ставке 15% годовых. Накопленная величина фонда на конец срока составляет 55334 руб. Определите величину члена ренты.

3. Средства поступают в фонд в виде постоянной годовой ренты постнумерандо, состоящей из 8 одинаковых взносов по 10 тыс. руб. каждый.

На поступившие взносы начисляются сложные проценты. Накопленная величина фонда на конец срока составляет 120 тыс. руб. Определите величину процентной ставки с точностью до 0,1%.

4. Средства поступают в фонд в виде постоянной годовой ренты постнумерандо, состоящей из одинаковых взносов по 35000 руб. каждый. На поступившие взносы начисляются сложные проценты по ставке 15% годовых. Накопленная величина фонда на конец срока составляет руб. Определите число членов ренты.

5. Наращенная сумма ренты постнумерандо, содержащей 10 одинаковых членов, составляет 50000 руб. Определите приведенную величину данной ренты при процентной ставке, равной 15% годовых.

6. Наращенная сумма ренты постнумерандо составляет 50000 руб.

Рассмотрим ту же ренту, как ренту пренумерандо. Определите наращенную сумму ренты пренумерандо при процентной ставке, равной 12% годовых.

7. Рента постнумерандо выплачивается в течение 6 лет равными ежегодными выплатами по 20000 руб. На накапливающуюся сумму ежеквартально начисляются проценты по годовой ставке 12%. Определите итоговую наращенную сумму ренты. Во сколько раз данная сумма больше той, которая получилась бы при ежегодном начислении процентов?

8. Рента постнумерандо выплачивается в течение 4 лет равными ежеквартальными выплатами по 6000 руб. На накапливающуюся сумму ежегодно начисляются проценты по годовой ставке 12%. Определите итоговую наращенную сумму ренты. Во сколько раз данная сумма больше той, которая получилась бы при ежегодном поступлении 24000 руб.?

9. Рента постнумерандо выплачивается в течение 5 лет равными ежеквартальными выплатами по 8000 руб. На накапливающуюся сумму ежеквартально начисляются проценты по годовой ставке 12%. Определите итоговую наращенную сумму ренты. Во сколько раз данная сумма больше той, которая получилась бы при ежегодном поступлении 32000 руб.?

10. Рента постнумерандо выплачивается ежегодно в течение 12 лет нарастающими выплатами. Первый платеж равен 6000 руб., величина ежегодного прироста составляет 1000 руб. На накапливающуюся сумму ежегодно начисляются проценты по годовой ставке 15%. Определите величину наращенной суммы ренты. Во сколько раз данная сумма больше той, которая получилась бы при отсутствии ежегодного прироста?

11. Рента постнумерандо выплачивается ежегодно в течение 10 лет равномерно нарастающими выплатами. Первый платеж равен 8000 руб.

Наращенная сумма ренты составляет 250000 руб. Определите величину ежегодного прироста платежа.

12. Рента постнумерандо выплачивается ежегодно в течение 10 лет, причем каждая выплата на 6% больше предыдущей. Первая выплата составляет 8000 руб. На накапливающуюся сумму ежегодно начисляются проценты по годовой ставке 18%. Определите наращенную сумму ренты.

Во сколько раз данная сумма больше той, которая получилась бы при отсутствии ежегодного прироста?

13. Воспроизведите в Excel приведенные в тексте расчеты по фонду накопления и по потребительскому кредиту. Попробуйте модифицировать приведенные расчетные схемы и сделать их удобными для себя.

Глава 6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА

В основе оценок эффективности инвестиционного проекта лежат оценки финансового потока, связанного с данным проектом. Для того чтобы сравнить разные варианты проектов, соответствующие финансовые потоки дисконтируют (приводят) к одному моменту времени.

Оценка эффективности инвестиционного проекта является важной самостоятельной темой финансового менеджмента, поэтому кратко напомним основные формулы.

Оценка финансовых средств по сложной постоянной ставке Формула роста:

S = P(1+i)T = P(1 i) (t t0 ) Формула дисконтирования:

t0 – начальный момент времени;

t – конечный момент времени;

T – длина промежутка времени, T = t – t0;

P – начальный объем финансовых средств (объем средств в момент времени t0);

S – конечный объем финансовых средств (объем средств в момент времени t);

i – процентная ставка, или ставка дисконтирования (в числовом формате).

Обе формулы – и роста, и дисконтирования – можно рассматривать как формулы приведения, как формулы пересчета суммы платежа к новому моменту времени. Формула роста определяет будущую стоимость начальной денежной суммы, она приводит платеж к будущему моменту времени. Формула дисконтирования, напротив, определяет современную стоимость будущей денежной суммы, приводит стоимость будущего платежа к начальному моменту времени.

Оценка финансовых средств по сложной переменной ставке В ряде ситуаций используется переменная процентная или дисконтная ставка (например, с целью учета инфляционных процессов). В этом случае промежуток времени T разбивается на части T1, T2,... Tn, так что и на каждой части Tk задается свое значение ставки ik. Промежутки времени Tk могут быть одинаковой длины, но могут иметь и различную длину.

Таким образом, на первом промежутке времени длиной T1 ставка равна i1, на втором промежутке длиной T2 ставка равна i2 и так далее.

Формула роста по сложной переменной ставке имеет вид:

S P (1 i1 )T1 (1 i 2 )T2...(1 i n ) Tn Формула дисконтирования по сложной переменной ставке имеет вид:

В этих формулах:

t0 – начальный момент промежутка времени T1 и общего промежутка времени T;

tk – конечный момент промежутка времени Tk и начальный момент промежутка Tk+1;

tn – конечный момент промежутка времени Tn и конечный момент промежутка T;

P – начальный объем финансовых средств (объем средств в момент времени t0);

S – конечный объем финансовых средств (объем средств в момент времени tn);

ik – процентная ставка или ставка дисконтирования (в числовом формате), действующая на промежутке времени Tk.

В частном случае все ставки ik могут быть равны одной и той же величине i:

В этом случае все основания степеней становятся равными (1+i), показатели степеней суммируются, и формулы с переменной ставкой автоматически преобразуются в приведенные выше формулы с постоянной ставкой.

Ставку дисконтирования называют также нормой дисконтирования.

Оценка эффективности инвестиционного проекта тесно связана с оценкой соответствующего финансового потока, с оценкой последовательности денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени.

Приведенная стоимость потока в общем случае равна сумме приведенных стоимостей членов данного потока. Она определяется по формуле В этой формуле:

V – приведенная стоимость потока;

Rk – член потока с номером k;

tk – момент возникновения платежа Rk;

t0 – момент времени, к которому осуществляется приведение;

i – ставка приведения.

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t0.

В частности, если t0 – начальный момент потока (или сегодняшний момент времени), то эта формула определяет современную стоимость потока. Величину приведенной стоимости V в этом случае обозначают посредством A или посредством PV (Present Value).

Если же t0 – момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока. В этом случае приведенную стоимость потока V обозначают посредством S или иногда посредством FV (Future Value).

Величина приведенной стоимости V потока численно зависит от момента времени t0, к которому осуществляется приведение. Результаты приведения к различным моментам времени связаны друг с другом простым соотношением.

Пусть V – результат приведения к моменту времени t0, а V – результат приведения к моменту времени t0. Тогда Таким образом, результат приведения к одной дате пропорционален результату приведения к другой дате, причем коэффициент пропорциональности, равный величине (1 i)(t 0 t 0 ), определяется только величиной ставки i и разностью дат (t0 – t0), но не зависит от структуры финансового потока.

Результат расчета приведенной стоимости финансового потока численно зависит от выбранной ставки приведения i. Величина ставки отражает ценность времени. Чем ниже ставка, тем медленнее предполагается изменение стоимости денежных средств, тем ниже стоимостная оценка времени.

В предельном случае, при нулевой ставке, когда i = 0, ценность времени исчезает. При этом исчезает и дисконтирование (или рост) членов финансового потока. Результат расчета приведенной стоимости потока в этом случае даст величину, равную простой сумме членов этого потока.

Указанная выше формула приведенной стоимости потока V позволяет провести расчет с постоянной ставкой i. Однако расчет приведенной стоимости потока может основываться и на переменной ставке. При таком расчете промежуток времени, охватывающий всю продолжительность потока, разбивают на части, каждой из которых соответствует своя величина ставки. Переменная ставка применяется к каждому члену потока, а затем результаты суммируются. Формулы расчета с отдельными членами потока (с отдельными платежами) были приведены выше.

6.2. Оценки финансовых потоков инвестиционного проекта Инвестиционный проект предполагает как капиталовложения, так и доходы от реализации проекта. Под доходами подразумевается финансовая оценка результатов реализации проекта, очищенная от текущих затрат.

Такой поток может иметь достаточно сложную структуру, с разнородными капиталовложениями, разнесенными во времени, и с неоднородной структурой доходов (рис. 21).

Рис. 21. Финансовый поток инвестиционного проекта При графическом представлении потока на оси времени стрелками изображают отдельные платежи (элементы потока). Каждый элемент потока приурочен к своему моменту времени. Стрелки, направленные вниз, соответствуют инвестициям, стрелки, направленные вверх, – доходам от реализации проекта. Длина стрелки соответствует размеру платежа.

Анализу подвергают оба потока, и поток вложений, и поток доходов.

При оценке общего, объединенного потока его членам приписывают разные знаки: инвестициям знак «минус», доходам знак «плюс».

Приведенная стоимость потока капиталовложений Формула приведенной оценки потока инвестиций K соответствует общей формуле приведенной стоимости данного потока:

K – приведенная стоимость потока инвестиций;

Kk – член потока с номером k;

tk – момент возникновения вложения Ik;

t0 – момент времени, к которому осуществляется приведение;

i – ставка приведения.

При оценке потока доходов инвестиционного проекта доходы рассматриваются очищенными от текущих эксплуатационных затрат. Формула приведенной оценки потока доходов D соответствует общей формуле приведенной стоимости этого потока:

D – приведенная стоимость потока доходов;

Dk – член потока с номером k;

tk – момент возникновения дохода Dk;

t0 – момент времени, к которому осуществляется приведение;

i – ставка приведения.

Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта NPV Базовой оценкой инвестиционного проекта является чистая приведенная стоимость (ЧПС) соответствующего финансового потока. Эту оценку называют также чистым дисконтированным доходом (ЧДД), или Net Present Value (NPV). Она может быть рассчитана через приведенные стоимости потока инвестиций и потока доходов по формуле NPV = D – K или же непосредственно по общей формуле NPV – чистая приведенная стоимость финансового потока;

Rk – член потока с номером k (отрицательный, если он является вложением, и положительный, если он является доходом);

tk – момент возникновения члена Rk;

t0 – момент времени, к которому осуществляется приведение (обычно это начальный момент анализа проекта);

i – ставка приведения.

Чем больше величина NPV, тем, при прочих равных условиях, лучше анализируемый инвестиционный проект.

Если величина NPV положительна, то проект окупается с учетом стоимостной оценки времени, выраженной с помощью дисконтирования по ставке i. Само численное значение NPV определяет чистый доход от реализации проекта с учетом стоимости времени.

Если величина NPV отрицательна, то проект не окупается. Численное значение NPV определяет в этом случае величину чистых убытков от реализации проекта с учетом стоимости времени.

Нулевое значение NPV соответствует равновесной ситуации, когда дисконтированные доходы в точности покрывают дисконтированные инвестиции.

Среднегодовая величина чистой приведенной стоимости проекта U Среднегодовая величина U чистой приведенной стоимости проекта равна члену R такой постоянной финансовой ренты, продолжительность которой совпадает с продолжительностью жизни проекта и дисконтированная сумма которой PV равна чистому дисконтированному доходу проекта NPV. Величину U можно рассчитать по формуле U – среднегодовая величина чистой приведенной стоимости проекта;

NPV – чистая приведенная стоимость проекта;

n – общая продолжительность жизни проекта (в годах);

i – ставка приведения.

При неограниченной продолжительности жизни проекта формула упрощается и принимает вид:

U = NPV i.

Важной характеристикой проекта, которую можно рассматривать как вариант оценки его рентабельности в дисконтированной форме, является индекс доходности проекта PI (Profitability Index):

K – приведенная стоимость потока капиталовложений (инвестиций), D – приведенная стоимость потока доходов.

Индекс доходности называют также Benefit-Cost Ratio.

Индекс доходности, больший 100%, соответствует положительной величине NPV.

Индекс доходности, меньший 100%, соответствует отрицательной величине NPV.

Индекс доходности, равный 100%, соответствует нулевой величине NPV.

Срок окупаемости проекта L равен продолжительности того периода времени, когда накопленная дисконтированная сумма доходов окажется равной дисконтированной сумме капиталовложений. Таким образом, речь идет об окупаемости дисконтированного потока.

Срок окупаемости L дисконтированного потока обозначают иногда посредством DPP (Discounted Payback Period).

В общем случае, когда поток доходов не описывается простой математической закономерностью, для расчета срока окупаемости проекта L используют сначала вспомогательные формулы, позволяющие рассчитать частичные суммы дисконтированного дохода Ds и определить с их помощью величину L с недостатком (s-) и с избытком (s+):

Величина срока окупаемости L лежит между s- и s+. В первом приближении в качестве L принимают одну из величин s- или s+, а именно ту, для которой отклонение Ds от K оказывается меньшим по абсолютной величине. Более точно положение L определяют с помощью линейной интерполяции.

В том случае, когда поток доходов представляет собой постоянную финансовую ренту постнумерандо, срок окупаемости проекта L может быть рассчитан по формуле где L – срок окупаемости проекта;

i – норма дисконтирования;

K – приведенная стоимость потока капиталовложений;

R – постоянная величина члена потока доходов;

t – длина промежутка времени от момента приведения до начала потока доходов постнумерандо; таким образом, длина промежутка времени от момента приведения до момента получения первого дохода равна t+1.

Для того чтобы срок окупаемости проекта существовал, необходимо, чтобы выражение под логарифмом в числителе было положительно, то есть чтобы выполнялось условие R > K i (1 + i)t.

Если это условие не выполнено, то проект не окупается ни при каком сроке.

К важнейшим оценкам инвестиционного проекта относится его внутренняя норма доходности. Ее называют также внутренней нормой рентабельности, или Internal Rate of Return (IRR). Она численно равна тому значению i0 ставки дисконтирования i, при котором величина чистого дисконтированного дохода NPV обращается в 0.

Другими словами, внутренняя норма доходности i0 является решением уравнения относительно неизвестной величины i.

При выполнении условия i = i не только чистая приведенная стоимость проекта становится равной 0, но и индекс доходности становится равным 100%, а срок окупаемости совпадает со сроком окончания проекта (со сроком последнего поступления в финансовом потоке).

Отметим, что величина IRR не зависит ни от точки приведения проекта, ни от выбранной ставки дисконтирования (она сама определяет такую ставку).

6.3. Расчет эффективности инвестиционного проекта средствами Excel Оценки эффективности рассчитываются обычно для еще не реализованных перспективных проектов, обращенных в будущее. В этих случаях и размеры инвестиций, и размеры доходов являются прогнозными величинами. Прогнозы обладают относительной надежностью. Поэтому наряду с получением оценок эффективности проекта важную роль играет анализ устойчивости полученных оценок относительно ошибок прогноза, анализ типа «что, если…».

В основе анализа устойчивости лежат вариантные расчеты. Такие расчеты особенно удобно проводить в электронных таблицах Excel. Можно построить одну базовую расчетную таблицу, затем многократно скопировать ее, в каждую копию подставить свой вариант данных и сопоставить полученные результаты.

Пример. Пусть инвестиционный проект предусматривает два акта инвестиций в объеме 15 у.е. и 5 у.е. в начале 2014 и 2015 года, и в дальнейшем ежегодное получение дохода в размере 10 у.е. в течение четырех лет.

Датой приведения определено 20.01.2013.

Требуется оценить эффективность проекта и проверить устойчивость полученных оценок. Отметим сразу, что сумма доходов в 2 раза превышает сумму вложений, так что в недисконтированной форме проект представляется весьма выгодным. Однако в этой форме учитывается лишь общая сумма платежей, но совершенно не учитывается их распределение во времени, то есть не учитывается ценность времени. Точнее, ценность времени считается при этом равной нулю.

Оценка эффективности проекта зависит от ценности времени, от перевода времени в деньги, то есть от величины ставки дисконтирования.

Оценка проекта в недисконтированной форме соответствует дисконтированной оценке, но при ставке, равной 0.

Для проведения необходимых расчетов построим таблицу в Excel (таблица 35).

Верхний блок таблицы (строки с 1 по 6) содержит заголовки и исходные данные: последовательность дат (включая дату приведения), поток инвестиций и поток доходов. В строке 6 рассчитывается итоговый поток (разность доходов и вложений). Пустая строка 7 разделяет два блока.

В строке 8 (верхней строке второго блока) указана ставка дисконтирования. Первоначально примем ее равной 40% годовых.

В строке 9 для каждого периода времени рассчитан дисконтный множитель. Он позволяет дисконтировать результаты очередного периода к предыдущей дате (но еще не к дате приведения).

A B C D E F G H

Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Далее в строке 10 последовательное перемножение этих множителей дает кумулятивный множитель, позволяющий дисконтировать результаты каждого периода к единой дате приведения.

В строке 11 осуществляется дисконтирование потока вложений, а в строке 12 этот дисконтированный поток последовательно суммируется (нарастающим итогом).

Аналогично в строке 13 осуществляется дисконтирование потока доходов, а в строке 14 этот дисконтированный поток последовательно суммируется.

В строке 15 рассчитывается разность строк 14 и 12, дисконтированной суммы доходов и вложений. Тем самым определена ключевая величина чистой приведенной стоимости – NPV проекта на любую дату.

Наконец, в строке 16 рассчитывается отношение дисконтированной суммы доходов к дисконтированной сумме вложений. В процентном формате эта величина определяет индекс доходности проекта на любую дату.

В таблице 36 представлены формулы фрагмента таблицы 33, дающие представление о формульном заполнении всей таблицы 33. Своеобразием обладают лишь формулы начального столбца B. Формулы столбца C полностью соответствуют формулам последующих столбцов и могут быть распространены направо до конца таблицы.

Анализируя данные таблицы 35, мы видим, что проект не окупается по ставке дисконтирования 40%: величина NPV отрицательна даже к концу срока (равна –3,904, данные в ячейке H15), индекс доходности меньше 100% (равен 71%, данные в ячейке H16).

9 Дисконт. множитель vk = (1+ik)^(-(tk - tk-1)/365) =(1+B8)^-((B$3-B$3)/365) =(1+C8)^-((C$3-B$3)/365) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Окупится ли он при другой ставке дисконтирования? Если бы проект не окупался при нулевой ставке, то он не окупался бы ни при какой положительной ставке. Однако при нулевой ставке он, как мы видели, окупается, так что следует ожидать, что он окупится при некоторой достаточно низкой ставке дисконтирования.

Создадим несколько копий нашей таблицы. Абсолютные ссылки в формулах позволяют организовать копирование следующим образом.

Достаточно выделить и скопировать лишь второй блок таблицы (строки с 8 по 16) и затем многократно вставить копию вниз. В каждой копии подставим свою ставку дисконтирования: 30%, 20%, 10%, 0%. Получим единую большую таблицу (таблица 37).

Результаты расчетов показывают, что проект не окупается при ставке дисконтирования 30%, окупается в последнем периоде и дает положительный результат при ставке 20%, окупается в предпоследнем периоде при 10% и еще на период раньше при 0%.

Возникает вопрос, как определить ставку, при которой проект выйдет на окупаемость в точности к последнему сроку. Эта ставка дисконтирования и является внутренней нормой доходности, IRR.

Внутреннюю норму доходности проекта можно рассчитать с помощью функции ЧИСТВНДОХ. Можно воспользоваться и процедурой «Подбор параметра».

Для этого следует сделать еще одну копию таблицы (таблица 38) и в ней во всех ячейках строки, содержащих ставку дисконтирования, сделать ссылку на одну ячейку, например, на B58. Таким образом, во всех ячейках диапазона C58:H58 следует вести формулу =B58. Затем с помощью “Подбора параметра” определить такое значение изменяемой ячейки B58, при котором содержимое ячейки H65 равно 0. В результате получим, что внутренняя норма доходности IRR = 24,75%.

Результаты отражены в таблице 38. При данной ставке дисконтирования значение NPV (ячейка H65) равно 0, индекс доходности (ячейка H66) равен 100%.

Полученная величина IRR говорит о следующем. Предположим, что проект предполагается финансировать из кредитных средств, причем получать необходимые средства предполагается в тот момент, когда они требуются, а возвращать предполагается из получаемых доходов. Тогда если кредитная ставка ниже, чем критическая величина 24,75%, то кредиты с причитающимися процентами будут по такой схеме возвращены. Если же она выше, чем 24,75%, то рассчитаться по кредитам таким способом не удастся. Сама величина IRR есть точка равновесия, своеобразная точка безубыточности. При такой кредитной ставке кредит с процентами будет покрыт в точности, но прибыль от реализации проекта будет равна 0.

A B C D E F G H

Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm)

A B C D E F G H

Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Чистый дисконт. доход Изменение величины NPV по периодам времени при различных ставках дисконтирования отображено на рис. 22. При всех вариантах ставки характерно первоначальное достаточно крутое снижение NPV и его последующий рост. При ставках 40% и 30% график целиком лежит ниже 0, при ставке 24,75% он в самом конце доходит до 0, при других ставках он в конце переходит в положительную область.

Изменение величины индекса доходности PI показано на рис. 23.

Критическим здесь является уровень 100%. При тех вариантах ставки дисконтирования, при которых PI в конце срока реализации проекта оказывается ниже 100%, проект не окупается. Если PI в конце срока оказывается выше 100%, то проект окупается. При ставке, равной IRR, проект выходит на нулевую окупаемость в точности к концу срока.

Разумеется, это те же варианты, которые были рассмотрены относительно NPV.

Мы наметили путь анализа зависимости эффективности инвестиционного проекта от ставки дисконтирования. Рассмотрим зависимость от возможных изменений потока вложений и доходов.

Предположим, что в результате анализа надежности прогноза потока выявилось, что возможные вариации платежей лежат в пределах 20% прогноза. Таким образом, в худшем случае вложения окажутся на 20% больше, а доходы на 20% меньше запланированных. Это соответствует пессимистическому варианту прогноза.

Напротив, в лучшем случае вложения окажутся на 20% меньше, а доходы на 20% больше запланированных. Это соответствует оптимистическому варианту прогноза.

Для получения расчетов по этим вариантам достаточно скопировать уже построенные таблицы и внести изменения в исходные данные в строках 4 и 5 таблицы.

Результаты расчетов по пессимистическому варианту проекта представлены в таблице 39. Мы видим, что среди анализируемых ставок дисконтирования пессимистический вариант проекта окупается только при нулевой ставке. При ставке 10% он весьма близок к окупаемости, но конечное значение NPV все же оказывается отрицательным.

Расчет внутренней нормы доходности, проведенный в таблице 39, дает значение IRR = 9,39%. Таким образом, если кредитная ставка меньше порогового значения 9,39%, то проект окупится даже в пессимистическом варианте. Тем более он окупится в оптимистическом варианте.

A B C D E F G H

Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm)

A B C D E F G H

Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm)

A B C D E F G H

Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm)

A B C D E F G H

Результаты расчетов по оптимистическому варианту проекта представлены в таблице 41. Среди анализируемых ставок дисконтирования оптимистический вариант проекта окупается при любой ставке. Ставка 40% близка к предельной ставке, но данный вариант проекта окупается и при 40%.

Расчет внутренней нормы доходности, проведенный в таблице 42, дает значение IRR = 43,14%.

Рассмотрим теперь, как влияет на эффективность само распределение платежей во времени. Предположим, что сумма вложений остается попрежнему равной 20 у.е., но распределена она теперь в обратном порядке:

сначала 5 у.е., а затем 15 у.е. Предположим также, что доходы в сумме попрежнему составляют 40 у.е., но распределены они теперь не равномерно, а последовательно убывая: сначала 16 у.е., затем 12 у.е., потом 8 у.е., и наконец 4 у.е. Такой новый поток будем рассматривать как поток нового инвестиционного проекта – проекта B.

Заметим, что и перераспределение вложений, и перераспределение доходов направлены в сторону повышения эффективности проекта. Массивные вложения отложены на более поздний срок, а новое распределение доходов позволяет получить значительную их часть в более ранние сроки.

Проект B можно было бы рассматривать как еще один оптимистический вариант проекта A.

Расчеты по проекту B можно получить прежним способом: следует скопировать результаты по проекту A и в копии изменить исходные данные в строках 4 и 5.

Расчеты по проекту B при различных ставках дисконтирования даны в таблице 43. Проект не окупается лишь при ставке 40%, но даже при этой ставке он близок к окупаемости. Внутренняя норма доходности равна 38,41%. Это значительно выше, чем IRR для проекта A, и довольно близко к IRR для оптимистического варианта проекта A. Подчеркнем, что такой вариант возник при сохранении общей номинальной суммы вложений и суммы доходов, исключительно за счет перераспределения этих сумм во времени.

A B C D E F G H

Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm) Индекс доходности PIk = (VmDm) / (VmKm)

A B C D E F G H

Универсальный характер расчетной схемы Построенные таблицы по расчету параметров инвестиционного проекта имеют универсальный характер.

В рассмотренных примерах для анализа новых вариантов инвестиционных проектов достаточно было изменить данные в строке вложений и доходов (строки 4 и 5 таблицы). Мы рассматривали варианты с двумя актами инвестиций и четырьмя актами получения дохода.

В общем случае число таких актов может быть любым, они могут перемежаться произвольным образом и быть приурочены к любым датам.

Для соответствующей модификации таблицы, возможно, потребуется ввести дополнительные столбцы (или устранить часть имеющихся), а также ввести новые даты в строку времени (строка 3). Интервалы между датами в таблице могут быть произвольными и различными.

Для получения дополнительных столбцов с готовыми формулами достаточно выделить два последних столбца и протянуть их направо. В частности, распространение столбцов направо эффективно при анализе вопроса о том, как будут вести себя оценки проекта при его дальнейшей реализации. Например, если проект не окупается при некоторой ставке дисконтирования, то таким способом можно попытаться определить тот отдаленный период времени, когда проект при дальнейшем поступлении доходов все-таки окупится.

Таблица позволяет работать не только с постоянной, но и с переменной ставкой дисконтирования. В различные ячейки одной и той же строки «Ставка дисконтирования» могут быть введены разные данные. Это позволяет учесть в расчетах прогнозы по изменению величины ставки.

В расчетах может быть учтена ликвидационная стоимость проекта.

Для этого достаточно в строке «Поток доходов» в ячейке последнего столбца указать величину остаточной стоимости проекта.

Исходные данные по потоку доходов и вложений сами обычно являются результатами своих предварительных расчетов. Такие расчеты также могут быть проведены в электронных таблицах Excel и их результаты введены в соответствующие ячейки 4-й и 5-й строки. В этом случае изменение в тех или иных параметрах предварительных расчетов приведет к автоматическому изменению их итогов, которое, в свою очередь, вызовет изменение исходных данных наших таблиц, а, тем самым, и автоматическое изменение их результатов.

Во всех этих и подобных ситуациях новый расчет будет проведен автоматически при вводе новых данных. Дополнительно следует обновить лишь те расчеты, которые были проведены с помощью процедуры «Подбор параметра».

При расчетах, связанных с оценкой инвестиционных проектов, можно с успехом использовать встроенные финансовые функции Excel. В частности, функция ЧИСТНЗ позволяет рассчитать NPV проекта, а функция ЧИСТВНДОХ позволяет вычислить IRR.

Следует, однако, иметь в виду, что эти функции корректно работают при некоторых ограничениях. Так, ЧИСТНЗ не работает при ставке дисконтирования, равной 0%. Функция ЧИСТВНДОХ требует, чтобы в потоке были элементы разных знаков, и первый элемент не 0.

В приведенных выше табличных расчетах эти ограничения оказываются излишними.

Нулевая ставка фактически соответствует отсутствию дисконтирования. Результаты расчетов с такой ставкой полезны как своеобразное начало отсчета при анализе проекта.

Рассмотренные выше финансовые потоки инвестиционных проектов начинаются с нулевого платежа. Так происходит во всех случаях, когда дата приведения не совпадает с датой возникновения платежа (например, когда датой приведения является день анализа будущего проекта).

1. Рассмотрим проанализированный выше инвестиционный проект A. Предположим, что доходы по проекту и после 2019 года продолжают поступать неопределенно долго с той же регулярностью и в тех же объемах.

Найдите срок окупаемости проекта в этом случае по ставке 30%.

Окупится ли проект когда-нибудь по ставке 40%?

Определите внутреннюю норму доходности для такого проекта с бесконечной продолжительностью.

2. Для проекта A определите ту величину ставки дисконтирования, при которой NPV к 01.01.2019 равно 4 у.е.

3. Для проекта A определите ту величину ставки дисконтирования, при которой NPV равно 0 в точности к 01.01.2018.

4. Определите величину последнего платежа так, чтобы он окупал проект A по заданной ставке (30%), то есть определите ликвидационную стоимость проекта из условий его окупаемости.

5. Определите, какова должна быть постоянная величина доходов в проекте A, чтобы внутренняя норма доходности проекта была равна 40%.

6. Определите «границу безопасности» реализации проекта, то есть определите тот максимальный допустимый процент снижения общего уровня потока доходов, при котором, например, для 20%-ной ставки дисконтирования NPV = 0 на конец срока проекта.

Глава 7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ПРОЕКТОВ Основное внимание в данной главе сосредоточено на формировании и оптимизации портфеля инвестиционных проектов. В отличие от известных моделей портфеля ценных бумаг, здесь не предполагается долевое участие инвестора. Другими словами, включение проекта в портфель не может быть частичным, проект либо целиком включается в портфель, либо целиком исклчается из него.

В основу моделей портфеля проектов положены следующие предположения.

1. Имеется некоторое потенциальное множество инвестиционных проектов, и задан общий горизонт планирования. Из множества проектов требуется сформировать портфель, то есть сформировать набор проектов, предназначенных для реализации в пределах горизонта планирования, с указанием сроков выполнения каждого проекта.

2. Тот или иной проект может быть выполнен лишь в определенных условиях. Часть таких условий может быть сформирована в результате выполнения других проектов. В частности, некоторые проекты могут начаться только после завершения некоторых других проектов. Другие проекты могут быть реализованы лишь в определенном интервале времени, когда будут существовать прогнозируемые необходимые внешние условия.

3. Реализация проекта требует затрат финансовых ресурсов. Эти затраты относятся к периодам времени реализации проекта.

4. Проект имеет финансовые результаты. Эти результаты могут охватывать продолжительное время после реализации проекта. Они могут, в общем случае, использоваться для финансирования других проектов или других этапов данного проекта в последующие периоды времени.

5. Время в модели дискретно и представлено в виде последовательности периодов. Проекты, требующие нескольких периодов для своей реализации, разбиваются на отдельные этапы (части), каждый из которых занимает один период. При таком разбиении реализация очередного этапа требует обязательной реализации предыдущих Разбиение на этапы позволяет сделать модель гибкой, учесть самые разнообразные варианты соединения этапов, от предельно жесткого, когда один этап однозначно следует за другим, до предельно свободного, когда каждый этап превращается в отдельный проект.

Формирование портфеля нацелено на получение максимальных финансовых результатов при заданных ограничениях по затратам, логиковременным и финансовым связям проектов, входящих в портфель.

7.1. Математическая модель формирования портфеля Пусть M – общее число проектов, анализируемых на предмет включения в портфель с целью последующей реализации. Пронумеруем все проекты числами от 1 до M, символом m будем обозначать номер проекта, так что 1 m M.

Для каждого проекта задано время его выполнения, то есть количество периодов времени его выполнения и, тем самым, число его этапов.

Число этапов проекта m, его «длину», будем обозначать посредством lh(m).

Пусть T – горизонт планирования, символом t будем обозначать номер периода времени, так что 1 t T.

Посредством umkt обозначим затраты по реализации k-го этапа проекта m в периоде времени t. Таким образом, объем затрат по выполнению определенного этапа того или иного проекта в общем случае предполагается зависящим не только от самого проекта и от этапа его выполнения, но и от периода времени t, на который приходится данный этап.

Один и тот же этап одного и того же проекта в разные периоды времени может быть связан с разными объемами затрат. Причинами этого могут быть прогнозируемые изменения как во внешней среде, так и в характеристиках внутреннего состояния системы (инфляционные изменения, динамика валютного курса, изменения налогового законодательства, износ оборудования, изменения затрат по модернизации оборудования, по оплате труда). Эти затраты относятся к периоду t.

Введенные обозначения имеют смысл не для всех комбинаций индексов. Так, номер этапа проекта m должен быть в пределах от 1 до lh(m).

Сам номер проекта m должен быть в пределах от 1 до М. Номер периода времени t также должен быть в пределах от 1 до Т.

В дальнейшем, при построении и исследовании моделей, мы будем полагать величину затрат umkt равной 0 во всех тех случаях, когда комбинация индексов теряет смысл.

Обозначим посредством Umt суммарные затраты по реализации проекта номер m, начинающейся в периоде t. Тогда Umt определится формулой Посредством Wt обозначим плановую предельную допустимую сумму затрат на проведение всех проектов в периоде времени t.

Посредством W будем обозначать общую сумму плановых затрат на проведение всех проектов по всему горизонту планирования T, то есть Обозначим посредством wt реально используемую сумму затрат на проведение всех проектов в периоде времени t. Таким образом, в каждом периоде времени t должно выполняться неравенство Допустимые объемы затрат Wt, выделенные для данного периода t, могут оказаться использованными не полностью. Неиспользованный объем определяется разностью t:

Посредством dmkt обозначим доход, получаемый в периоде времени t на k-м этапе от начала реализации проекта номер m.

Таким образом, размер дохода может зависеть не только от самого проекта и от периода получения дохода, но и от времени реализации проекта. Естественным условием является неравенство k 1. Оно означает, что получение дохода от реализации проекта не может начаться раньше начала осуществления данного проекта. При выполнении обратного условия, то есть при выполнении неравенства k < 1, величину dmkt будем полагать равной 0.

В модели может быть предусмотрена возможность переноса неиспользованных объемов затрат или полученных доходов на последующие периоды. Перенос средств из периода в период может осуществляться с учетом их возможного роста по соответствующей ставке.

Доходы, выходящие за пределы горизонта планирования, дисконтируются и приводятся к концу горизонта планирования, к концу периода Т.

Посредством q обозначим ставку дисконтирования за один период времени, позволяющую пересчитывать объемы платежей при переходе от одного периода к другому. В частном случае, при q = 0, получаем недисконтированные пересчеты.

Введем переменные. Посредством xmt обозначим факт начала реализации проекта m в периоде времени t. Таким образом, 1, если период времени t является начальным периодом реализации xmt 0, в противоположном случае.

Если неизвестно точное время начала проекта m, но известно, что он должен начаться в промежутке от t1 до t2, то такое условие можно задать в виде равенства Посредством xm обозначим сумму переменных xmt по всем t:

Таким образом, условие xm 1 означает, что проект номер m может начаться не более одного раза, то есть начинается один раз или не начинается вообще. Дополнительное условие:

означает, что проект m не может начаться слишком поздно, так, чтобы успеть закончиться в пределах горизонта планирования. Это равенство позволяет предыдущие условия записать с помощью более коротких сумм.

Напомним, что посредством lh(m) обозначается длительность реализации проекта m, выражаемая числом периодов времени, или числом этапов реализации проекта.

Для включения в модель мы всю эту совокупность условий выразим в виде следующей системы:

xmt {0; 1} для всех t, удовлетворяющих условию 1 t Т, xmt = 0 для всех t, удовлетворяющих условию T – lh(m) + 2 t T, Такая система условий будет подразумеваться включенной в модель для каждого проекта m.

Логические связи несложно ввести в модель, сделав ее нелинейной, используя, например, произведение переменных или другие нелинейные функции. Произведение переменных традиционно используется при формализации конъюнкции условий, выражаемой союзом «и». В представленных далее построениях мы обращали специальное внимание на то, чтобы не выходить за рамки линейных моделей с булевыми (двоичными) переменными.

Предположим, что обязательно должна быть выполнена целая группа проектов: проекты с номерами m1, m2, …ms. Это можно формально выразить различными способами. Например, в виде системы условий:

Другой способ – написать одно равенство:

Предположим, что из некоторой группы проектов с номерами m1,...

ms в портфель обязательно должны быть включены по крайней мере r проектов (с заранее не определенными номерами).

Тогда в модель вводится условие Это условие обеспечивает равенство 1 по крайней мере r членов из s слагаемых, входящих в сумму, то есть обеспечивает включение в портфель по крайней мере r проектов.

Рассмотрим моделирование основных логических связей между проектами.

Конъюнкция (союз «и», логическое умножение). Пусть требуется, чтобы все s проектов данной группы обязательно вошли в портфель. Тогда в неравенстве следует положить r = s. Условие примет вид:

что обеспечит равенство 1 всех s слагаемых, входящих в сумму, то есть обеспечивает включение в портфель всех s проектов.

Дизъюнкция (союз «или», логическое сложение). Пусть требуется, чтобы хотя бы один из s проектов данной группы обязательно вошел в портфель. Тогда в неравенстве следует положить r = 1. Условие примет вид:

что обеспечит равенство 1 по крайней мере одного из s слагаемых, входящих в сумму, то есть обеспечивает включение в портфель одного из s проектов.

Отрицание (частица «не»). Пусть требуется, чтобы ни один из проектов данной группы не вошел в портфель. Тогда в модель вводим условие:

Оно обеспечивает равенство 0 всех s слагаемых, входящих в сумму, то есть обеспечивает невключение в портфель каждого из s проектов.

Разумеется, невключение в портфель той или иной группы проектов можно промоделировать и другими способами. Например, просто исключить из модели соответствующие переменные. Приведенный выше способ удобен при вариантном анализе, когда можно, не изменяя состав переменных, оперативно модифицировать систему ограничений.

Импликация (союз «если, то»). Предположим, что проект номер m может начаться только после окончания проекта номер n. Вводим в модель систему неравенств:

Подразумевается, что если верхний предел суммирования оказывается меньше нижнего, то сумма равна 0.

Рассмотрим условие в виде неравенства подробнее.

Если проект m не реализуется, то величины xmt для всех t равны 0.

При этом неравенство будет выполнено.

Если же проект m реализуется, то xmt для некоторого t будет равно 1.

Подставим это xmt в неравенство. Для того чтобы оно было выполнено, необходимо, чтобы сумма была не меньше 1. А для этого, в свою очередь, необходимо, чтобы для некоторого периода времени i началось выполнение проекта n. При этом, согласно неравенству, период i наступает раньше, чем период t, по крайней мере на lh(n) периодов времени. Следовательно, проект n начнется и успеет закончиться до начала проекта m.

Условия в виде неравенств можно модифицировать. Предположим, что проект m может начинаться не просто после окончания проекта n, а не менее чем через j периодов времени после окончания n. Система неравенств обеспечивает зазор между концом выполнения проекта n и началом выполнения проекта m по крайней мере в j периодов времени.

Рассмотрим другой вариант. Предположим, что проект m может начинаться и до окончания проекта n, но все-таки когда в реализации проекта n прошло определенное число этапов. Система неравенств обеспечивает начало выполнения проекта m не ранее чем за j этапов до окончания проекта n.

Комбинации формально выраженных условий позволяют выразить самые разнообразные логические связи, накладываемые на выполнение проектов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть, например, требуется, чтобы были выполнены проекты (m1 или m2) и (m3 или m4).

Это выражается системой неравенств Рассмотрим другой пример. Пусть теперь требуется, чтобы были выполнены проекты (m1 и m2) или (m3 и m4).

Введем дополнительные булевы переменные y1 и y2. С их помощью данное требование выразится следующей системой неравенств:

Согласно последнему неравенству, обе переменные y1 и y2 не могут одновременно равняться 0. По крайней мере, одна из них должна быть равна 1. Таким образом, в правой части, по крайней мере, одного из двух верхних неравенств стоит 2. Следовательно, в этом неравенстве каждая из сумм слева равна 1, то есть каждый из проектов, указанных в этих суммах, должен быть реализован.

Сконструируем теперь формулы и условия для затрат, связанных с реализацией проектов.

Рассмотрим сначала случай, когда заранее известен начальный период реализации проекта m. Пусть этим периодом является период t. Суммарные затраты Umt по реализации проекта m, начинающегося в периоде времени t, описываются формулой Рассмотрим теперь случай, когда начальный период реализации проекта m заранее не известен. Суммарные затраты Um по реализации проекта m, начинающегося в заранее не известном периоде времени, описываются формулой При любой реализации проекта в этой формуле среди переменных xmt лишь одна из переменных (лишь для одного значения t) будет равна 1, остальные будут равны 0. Таким образом, будет выполнено равенство Um = Umt для некоторого, заранее не известного значения t.

Мы рассмотрели формулы затрат по реализации данного проекта.

Рассмотрим теперь формулы затрат по реализации всех проектов, приходящихся на данный период времени. Такие затраты для периода времени t мы обозначили выше посредством wt.

Величина wt определится формулой Согласно написанной формуле суммируются затраты по всем проектам, начинающимся не позднее периода t, с учетом этапа данного проекта (номер этапа k) и периода его выполнения.

Указанное в формуле суммирование до периода t можно заменить суммированием до горизонта T, единого для всех проектов. Результат будет таким же, поскольку, согласно сформулированным выше соглашениям, величины umkt с бессмысленным сочетанием индексов автоматически обращаются в 0.

Аналогичным образом формируются доходы по периодам времени.

Обозначим доходы, полученные в периоде времени t от реализации проектов, посредством ct. Эта величина определяется условием Мы построим и исследуем несколько вариантов моделей формирования портфеля проектов, от сравнительно простых к более сложным.

Первоначальные варианты отличаются относительно небольшим объемом исходной информации и простотой структуры модели. Расчет по таким моделям начинается с предварительного ввода какого-то варианта расстановки проектов во времени. Моделирование нацелено на дальнейшую оптимизацию такого варианта. Полученный результат может быть изменен и опять предложен модели в качестве нового исходного варианта. Такой процесс последовательного изменения и уточнения может продолжаться до получения приемлемого портфеля проектов. Итоговый вариант решения получается в результате последовательного уточнения, в результате диалога пользователя с компьютерной реализацией модели.

Дальнейшие, усложняющиеся варианты моделей предполагают более значительный объем исходной информации и более автоматизированную процедуру поиска оптимального портфеля проектов. Разумеется, и здесь возможен диалог пользователя с компьютерной реализацией модели, но при этом программа работает с большим объемом информации и берет на себя значительно больший объем работы.

7.2. Модель с целевым доходом (Модель 1) Данная модель нацелена на то, чтобы пользователь мог сам расставить проекты по периодам времени, в соответствии со своими представлениями об уместных сроках начала их исполнения. Заранее определенный совокупный объем затрат может быть распределен по периодам времени в соответствии с потребностями.

Компьютерная реализация модели автоматически выбирает из всей предъявленной совокупности проектов оптимальный портфель. Такой портфель проектов вписывается в заранее определенный совокупный объем затрат и обеспечивает в этих рамках максимальный суммарный эффект.

Предположения Модели 1.

1. Финансовые затраты по реализации проектов и доходы от их реализации не зависят от времени, то есть не меняются при переносе проектов на другие периоды времени. Платежи не дисконтируются (ставка дисконтирования q равна 0). Такие условия естественны для относительно стабильных ситуаций, при небольшом горизонте планирования T, когда дисконтированием финансовых потоков можно пренебречь.

2. Для каждого периода времени t определен допустимый объем затрат Wt на реализацию проектов в данном периоде.

3. Для каждого проекта m известен срок его начала. Таким образом, среди переменных xmt для данного проекта m заранее определен номер t периода начала реализации проекта.

4. Целью является максимизация суммы доходов от реализации проектов к концу периода T.

Обозначения переменных и параметров, введенные для моделей общего вида, можно упростить применительно к Модели 1 в соответствии с ее предпосылками. Введем эти упрощения.

Обозначения переменных. Согласно пункту 3, вместо переменных xmt можно использовать переменные xm, поскольку для заданного проекта m номер начального периода t определен.

Обозначения затрат. Поскольку начальный период реализации проекта определен, то известно начало отсчета этапов реализации проекта, и тем самым известна привязка номеров этапов к номерам периодов времени в перечне от 1 до Т. Затраты по данному проекту в периодах до начала и после окончания его реализации можно заранее положить равными 0.

Обозначениям umkt, определяющим затраты в периоде t по реализации k-го этапа проекта m, можно придать более простой вид. Номер проекта m и номер периода времени t однозначно определяют номер этапа проекта k.

Индекс k в этих условиях является избыточным. Достаточно использовать индексы m и t, опустив номер этапа k. Вместо umkt будем использовать обозначение vmt. Величина vmt – это затраты по реализации того этапа проекта m, который приходится на период времени t. Связь между обозначениями можно выразить следующей формулой:

vmt = um,k,t-k+1.

Обозначения доходов. В условиях 1 и 4 общий доход, подлежащий максимизации, можно представить как простую сумму доходов от реализации проектов, вошедших в итоговый портфель. Поэтому во введенных обозначениях доходов dmkt можно в Модели 1 опустить индексы k и t и использовать более простое обозначение dm.

Модель 1 в этих обозначениях является задачей линейного программирования с булевыми переменными xm, и системой ограничений в соответствии с допустимыми объемами затрат в каждом периоде времени, а именно: Модель предписывает из всей рассматриваемой совокупности выбрать такой портфель проектов, который удовлетворяет ограничениям по затратам в каждом периоде времени и при этом дает максимальный совокупный размер дохода.

Модель имеет вид:

Рассмотрим сначала вариант модели, когда горизонт планирования ограничен одним периодом, то есть когда Т = 1. В такой ситуации во всех обозначениях можно опустить указание на номер периода времени t. Модель примет более простой вид:

Отметим, что даже такой простейший вариант модели уже позволяет обнаружить любопытные эффекты и отвергнуть часто используемые ложные предпосылки решений.