«В.П. ЧЕРНОВ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ 2012 2 ББК 65 Ч 49 Чернов В.П. Ч 49 Финансовая математика : учебное пособие / В.П. ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

В.П. ЧЕРНОВ

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

ИЗДАТЕЛЬСТВО

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

ББК Ч Чернов В.П.

Ч 49 Финансовая математика : учебное пособие / В.П. Чернов. – СПб. :

Изд-во СПбГУЭФ, 2012. – 220 с.

ISBN 978-5-7310-2819- В учебном пособии излагаются базовые математические методы финансового анализа (финансовой математики) – от простейших расчетов с процентными ставками до анализа дисконтированных оценок эффективности инвестиционных проектов. Изложение понятийного аппарата и теоретического материала сопровождается подробными пояснениями и примерами.

Особое внимание уделено компьютерным реализациям расчетов на основе Excel. Приведены примеры компьютерных расчетов, даны подробные указания по их самостоятельной реализации, сформулированы упражнения для индивидуальной работы.

Пособие соответствует программам дисциплин «Математические методы финансового анализа» и «Финансовая математика» для студентов специальности «Математические методы в экономике» и бакалавров соответствующего профиля, а также широкого круга учащихся, включая студентов вузов, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям и слушателей системы дополнительного профессионального образования. Его можно использовать для самообразования и как справочный материал в практике финансово-экономического анализа.

ББК Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Г.В. Савинов засл. работник ВШ РФ, д-р экон. наук, профессор Н.Н. Погостинская Учебное издание Чернов Виктор Петрович

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие Редактор М.В. Манерова Подписано в печать 31.08.12. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 13,75. Тираж 80 экз. Заказ 407. РТП изд-ва СПбГУЭФ.

Издательство СПбГУЭФ. 191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.

© СПбГУЭФ, ISBN 978-5-7310-2819-

ВВЕДЕНИЕ

В пособии рассматриваются вопросы финансового менеджмента, традиционно вызывающие наибольшие трудности. Это методы финансовой математики, направленные на моделирование и решение задач количественного финансового анализа.

Изложение ведется по принципу «от простого к сложному». Оно начинается с изучения вопросов, связанных с отдельными платежами, далее исследуются свойства различных финансовых потоков и расчет разнообразных оценок эффективности инвестиционных проектов.

Теоретические построения сопровождаются выводом и обсуждением формул, позволяющих получить все необходимые расчеты и провести разносторонний анализ результатов. Изложение сопровождается многочисленными примерами. Усвоению материала способствуют задачи и упражнения, сгруппированные по разделам книги.

Всесторонний анализ ситуации обычно требует проведения ее моделирования и осуществления разнообразных вариантных расчетов. Весьма полезным инструментом здесь являются электронные таблицы Excel.

В пособии для ряда наиболее трудоемких задач проведены соответствующие построения. Подробно излагаются формирование расчетных схем, их реализация и наглядное графическое отображение результатов, поясняются возможности их дальнейшей модификации и развития.

Все это позволяет читателю не только воспроизвести приведенные в пособии схемы и не только адаптировать их в дальнейшем к решению аналогичных задач со своими собственными данными, но и самому строить новые подобные схемы.

Материал пособия многократно использовался автором в соответствующих курсах для студентов СПбГУЭФ, а также в программах системы дополнительного профессионального образования.

Подробность изложения и многочисленные примеры позволяют использовать его для самообразования и как справочный материал в практике финансово-экономического анализа.

Глава 1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДОХОДНОСТИ ВЛОЖЕНИЙ Текущее и будущее потребление Доходы предприятия могут использоваться по различным направлениям. В общем случае часть доходов направляется на выплату дивидендов собственникам предприятия, владельцам акций, а другая часть инвестируется. Первая часть обеспечивает текущие потребности собственников, вторая часть служит для получения будущих доходов и обеспечивает отложенные потребности.

Инвестирование также предполагает различные направления. Часть средств может использоваться для расширения или модернизации производственных мощностей, часть – на совершенствование системы сбыта, часть – на повышение квалификации работников, часть – на совершенствование контроля качества и так далее.

Доходы физического лица, доходы человека также распределяются по различным направлениям. Часть своего дохода человек тратит на удовлетворение повседневных потребностей. Другая часть дохода представляет собой накопления. Она откладывается на будущее.

Этими деньгами можно распорядиться по-разному. Можно положить их на счет в тот или иной банк. Разные банки предоставляют свои услуги на различных условиях. Можно купить на эти деньги ценные бумаги, например, государственные облигации или акции каких-либо предприятий.

Можно вложить в конкретное дело, конкретный проект, рассчитывая на последующее участие в прибылях. Можно оплатить получение образования, рассчитывая на дальнейший профессиональный рост и повышение доходов. Можно вложить деньги в пенсионный фонд в расчете обеспечить себе определенную пенсию через много лет. Можно приобрести страховой медицинский полис в расчете на получение в дальнейшем бесплатной медицинской помощи.

Возможны самые различные варианты вложений. Все эти варианты характеризуются тремя обстоятельствами.

Во-первых, предполагается отказ от текущего в пользу будущего. Это означает, что момент вложения средств и момент получения результатов от вложения отделены друг от друга промежутком времени. Промежуток может быть коротким и измеряться несколькими днями или месяцами, например, если деньги даются в долг под проценты. Промежуток может быть длинным и измеряться годами и даже десятилетиями, если речь идет о вложениях в пенсионный фонд. Но в любом случае такой промежуток времени имеется. Момент вложения и момент получения результатов разнесены во времени.

Во-вторых, отказ от текущего потребления во имя будущего, жертва сегодняшним ради завтрашнего должны окупаться. Другими словами, предполагается, что результаты вложений окажутся больше, чем вложенные средства. Увеличение вложенных средств — это и есть денежная оценка приносимой жертвы, денежная оценка отсрочки в потреблении.

Поговорка "время — деньги" обретает в этой связи совершенно конкретный смысл. Разные варианты вложений могут дать разную денежную оценку одному и тому же промежутку времени, но в любом случае он получает некоторую денежную оценку, денежный эквивалент.

В-третьих, всякое вложение связано с риском. Иногда этот риск весьма мал. Так обстоит дело, например, с вложением в государственные ценные бумаги. Риск здесь связан с возможностью возникновения ситуации, когда государство не может выполнить свои финансовые обязательства.

Такое может возникнуть при крахе государственных структур. В условиях политической и экономической стабильности вероятность такого краха можно считать близкой к нулю, риск вложений в государственные ценные бумаги практически отсутствует.

По-иному обстоит дело с негосударственными банковскими структурами. Здесь риск выше, причем для разных банков он различен. Еще более высокий риск обычно связан с вложениями в коммерческие предприятия.

Риск должен окупаться. Это означает, что ожидаемая прибыль рискованных вложений заметно выше обычной. Чем выше риск, тем выше должна быть эта прибыль. Если риск мал, то и прибыль будет не столь высокой. Поэтому обычно государственные ценные бумаги, являясь практически безрисковыми, дают малую прибыль. Ценные бумаги коммерческих структур, связанные со значительно более высоким риском, обещают и заметно более высокую прибыль.

Таким образом, расставаясь с частью своего дохода, предприятие или человек с определенной степенью уверенности рассчитывает вернуть через заданное время вложенные средства с вознаграждением, с прибылью.

В финансовых расчетах вознаграждение, получаемое в связи с вложением средств, носит название процента (или процентных денег). Под процентом понимается та сумма, измеряемая в денежных единицах, которую инвестор или вкладчик получает в виде прибыли, в виде вознаграждения.

Отношение этой прибыли к величине вложенных средств, выраженное в сотых долях, называется процентной ставкой (или ставкой процента).

При этом используют две формы выражения. Одну и ту же величину, например, пятипроцентную, можно представить как 5%, а можно как 0,05.

В финансовых вычислениях чаще используют вторую форму, форму десятичной дроби. Именно в этой форме она будет в дальнейшем включаться в расчетные формулы.

Процент – это цена услуги, состоящей в отказе от использования денежных средств на текущее потребление в пользу предоставления этих средств в качестве ссуды.

Процентная ставка – это цена каждой денежной единицы (например, рубля) таких ссужаемых средств, цена каждой единицы такой услуги.

Та или иная величина процентной ставки ориентирует на разное распределение средств между настоящим и будущим.

Процесс увеличения суммы вклада, связанный с присоединением процентов, называется наращением, или ростом, этой суммы.

Интервал времени, на который вкладываются денежные средства и за который выплачиваются проценты, называется периодом начисления.

Начисление процентов происходит, как правило, с определенной периодичностью (раз в год, квартал, месяц и т.п.). В таких случаях говорят о дискретных процентах. Иногда проценты начисляют каждый день, а в некоторых случаях и еще чаще. Тогда говорят о непрерывных процентах.

Во многих случаях экономический анализ, основывающийся на непрерывном начислении процентов, оказывается более простым и удобным, чем при предположении о дискретном начислении. Поэтому формулы для непрерывного начисления используют часто также и в тех случаях, когда проценты начисляются дискретно. Процентная ставка в финансовом анализе используется не только как измеритель доходности непосредственно денежных вложений, но и как измеритель эффективности самых различных финансовых, производственно-хозяйственных, коммерческих операций. Ее применяют и в тех случаях, когда непосредственное вложение денег в явном виде в операции не присутствует.

Существуют различные формы начисления и выплат процентных денег. Обычно эти деньги присоединяются к сумме вклада и выплачиваются по окончании периода начисления. В некоторых случаях проценты выплачиваются регулярно до окончания срока вклада (например, деньги вложены на год, а проценты начисляются и выплачиваются каждый месяц).

Иногда проценты начисляют и выплачивают в начале операции. Вкладчику часть средств возвращается в виде процентов не в конце срока, а в его начале, в момент вклада. По сути дела, можно считать, что он вкладывает не всю оговоренную сумму средств, а сумму за вычетом процентов. В конце же срока он получит оговоренную сумму. В таких случаях часто ставку процента называют учетной ставкой.

Чем раньше вкладчик вернет свои средства или хотя бы их часть, тем раньше он сможет воспользоваться этими средствами (например, вложить их еще раз), и тем это ему выгоднее при прочих равных обстоятельствах.

Отказываясь от своих средств на длительный срок, вкладчик приносит бльшую жертву, чем при отказе на короткий срок. Заинтересовать вкладчика в длительном сроке вклада труднее, чем в коротком. Поэтому обычно при длительных сроках процентная ставка предлагается большей, чем при коротких. При выплате процентов в конце, вместе с возвратом вклада, процентная ставка бывает выше, чем при выплатах по ходу срока вклада.

Выплата процентов в начале срока наиболее выгодна вкладчику, поэтому учетная ставка обычно оказывается меньше других видов процентных ставок.

Ставка процента может применяться к одной и той же первоначальной сумме на протяжении всего срока вклада. В этом случае говорят о простых процентных ставках (простых процентах). Однако возможны и другие ситуации, когда ставка процента применяется не только к первоначальной сумме, но и к сумме процентных денег, начисленных ранее. В таком случае говорят о сложных процентных ставках (сложных процентах), или о капитализации процентов.

И для простых, и для сложных процентных ставок сама величина ставки на протяжении срока вклада обычно не изменяется, меняться может лишь сумма денег, к которым эта ставка применяется и, соответственно, сумма выплачиваемых процентных денег. Однако в условиях договора могут использоваться и другие, переменные, плавающие варианты процентных ставок. Например, может быть оговорено, что процентная ставка должна на определенную величину превышать заранее неизвестный темп инфляции, складывающийся на протяжении срока договора. В этом случае величина процентной ставки заранее не известна, но она оказывается определенным образом привязана к изменяющемуся показателю инфляции.

В дальнейшем анализе и формульных расчетах приняты стандартные обозначения:

P – начальная величина денежной суммы, S – конечная величина денежной суммы, i – процентная ставка, d – учетная ставка, t – срок вклада или ссуды.

В каждой конкретной формуле ставка i (или d) и время t предполагаются соразмерными. Это означает, что если, например, ставка годовая, то и время измеряется в годах, а если ставка месячная, то и время измеряется в месяцах.

Величина S называется наращенной величиной суммы P. Величина P называется современной (или приведенной) величиной суммы S.

Определение наращенной суммы S по начальной сумме P называют компаундингом. Обратную операцию, определение современной величины P будущей суммы S называют дисконтированием.

Если речь идет о компаундинге, об определении наращенной суммы вклада, то разность S – P называют процентами, или процентными деньгами, и обозначают обычно посредством I:

Если же речь идет о дисконтировании, об определении современной стоимости будущей суммы S, то та же разность S – P называется дисконтом и обозначается обычно посредством D:

Отношение S/P, показывающее, во сколько раз наращенная сумма превышает первоначальную величину вклада, называют коэффициентом (или множителем) роста.

Отметим, что наряду с указанными обозначениями в литературе по финансовому менеджменту используются иногда и другие обозначения.

Так, начальную величину денежной суммы P обозначают также двухбуквенным сочетанием PV (Present Value), а конечную величину денежной суммы S обозначают иногда посредством FV (Future Value).

Принцип финансовой эквивалентности Ценность денежной суммы, меньшей по размеру, но полученной раньше по времени, может оказаться больше ценности другой суммы, большей по величине, но полученной позже. Денежные суммы, выплаты которых приурочены к различным моментам времени, непосредственно не соизмеримы друг с другом. Для их соизмерения следует пересчитать такие суммы к одному моменту времени. Пересчет, или приведение сумм к тому или иному моменту времени, осуществляется на основе процентной или учетной ставки.

Предположим, что получение суммы R1 приурочено к моменту времени t1, а получение суммы R2 приурочено к моменту времени t2. Если эти два момента времени совпадают, то денежные суммы можно сравнивать непосредственно. Если же они не совпадают, то для сравнения следует перевести обе суммы к одному моменту времени.

Пусть, для определенности, момент t1 наступает раньше момента t2, t1 < t2.

Если первая сумма больше второй, R1 > R2, то ее ценность выше, чем ценность второй суммы, поскольку она не только раньше получена по времени, но и больше по величине. Однако если данное неравенство не выполнено, то есть если R1 R2, то результат сравнения не очевиден.

Для того чтобы эти суммы можно было сопоставить друг с другом, представим себе, что сумма R1 в момент t1 положена на банковский счет, где она растет по заранее определенной процентной ставке. Тогда к моменту t2 она превратится в некоторую сумму S, большую, чем R1. Сравнение величин R1 и R2, отнесенных к разным моментам времени, сводится к сравнению величин S и R2, отнесенных к одному и тому же моменту времени t2.

S < R2, то R1 имеет меньшую ценность, чем R2.

В противоположном случае, при S > R2, R1 имеет большую ценность, чем R2.

Наконец, если S = R2, то R1 и R2 имеют одинаковую ценность. В этом случае суммы R1 и R2 считаются финансово эквивалентными (при данной процентной ставке).

Финансовая эквивалентность денежных сумм зависит от величины процентной ставки. При одной ставке две суммы могут оказаться эквивалентными, а при другой нет. Она может зависеть также от формы начисления процентов и некоторых других обстоятельств.

Однако общий принцип остается неизменным: для сравнения денежных величин, относящихся к разным моментам времени, следует пересчитать (привести) их к одному и тому же моменту времени.

Глава 2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ Предположим, что на банковский счет положено 100 рублей на 3 года под 20% годовых. Это значит, что в конце первого года первоначальная сумма выросла до величины 100 + в конце второго года до величины 120 + и, наконец, в конце третьего года до величины 140 + Прирост суммы за три года (процентные деньги за весь срок) составляют 60 рублей.

Такой рост суммы вклада, когда процентная ставка (равная 0,2) каждый год применяется к одной и той же первоначальной величине вклада (100 рублей), соответствует использованию простой процентной ставки.

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть P – первоначальная сумма вклада, S – конечная сумма (вместе с начисленными процентами). Тогда разность I между S и Р I=S–P определяет процент (процентные деньги) за весь срок вклада. Эта величина складывается, как мы видели на примере, из одинаковых частей. Каждая часть, каждое слагаемое соответствует своему году (своему периоду) вклада.

Пусть вклад положен на n лет и процентная ставка равна i. Тогда процентные деньги I являются суммой n одинаковых слагаемых, каждое из которых равно P i, то есть Таким образом, S= P (1+ i n) позволяет вычислить конечную сумму денег через ее начальную сумму Р и процентную ставку i при любом числе лет n. Более того, эта же формула годится и для нецелого числа лет. Например, для определения конечной суммы с процентами через полтора года вместо n следует подставить 1,5.

Для определения этой суммы через один месяц вместо n следует подставить 1/12.

Общая формула для произвольного промежутка времени t (не обязательно состоящего из целого числа лет) имеет прежний вид:

S = P (1+i t).

Здесь вместо целочисленной величины n используется произвольная положительная величина t. Эта формула называется формулой простых процентов.

Сумма вклада S линейно растет во времени (рис. 1).

Графиком является прямая линия. Она начинается в точке P на вертикальной оси. Угол наклона прямой, то есть крутизна роста, определяется произведением двух величин: начальной суммы вклада P и процентной ставки i. Чем больше каждая из этих величин, тем больший прирост получает вклад за единицу времени (например, за один год).

Простая переменная ставка и средние арифметические величины Рассмотрим ситуацию с переменной простой процентной ставкой.

Пусть на первом промежутке времени длиной t1 ставка равна i1, на втором промежутке длиной t2 ставка равна i2, на третьем промежутке длиной t ставка равна i3 и так далее. Первый промежуток начинается в момент 0 и заканчивается в момент t1, второй начинается в момент t1 и заканчивается в момент t1+t2, третий начинается в t1+t2 и заканчивается в t1+t2+t3 и так далее. Промежутки могут иметь различную длину. График роста по такой переменной ставке представляет собой ломаную линию (линейный сплайн – рис. 2).

Рассмотрим n таких промежутков длиной t1, t2,... tn. Величина вклада к концу последнего промежутка составит При сравнении различных вариантов вложения денежных средств важно определить среднюю процентную ставку по вкладу.

Обозначим посредством T общий срок вклада по переменной ставке:

Средняя процентная ставка i по определению удовлетворяет следующему условию: если ее подставить в формулу роста вместо каждой из ставок ik, то результат расчета при этом не изменится. Таким образом, P( Отсюда получаем формулу для средней простой процентной ставки i:

Согласно формуле, средняя процентная ставка i является средневзвешенной ставок ik, причем в качестве весовых коэффициентов выступают доли соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада.

Весовые коэффициенты удовлетворяют естественному условию:

Процентные ставки для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом.

В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля каждого из них равна 1/n, и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю арифметическую:

Пример. Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 – год и промежуток t3 – 2,5 года. Общий срок вклада T равен 5 годам. Соответствующие годовые процентные ставки:

Определим среднюю процентную ставку i. Найдем доли промежутков времени:

Средняя ставка составляет 34% годовых.

Если бы промежутки были одинаковой длительности, то средняя ставка оказалась бы равна среднему арифметическому ставок, то есть 40% годовых.

Если процентная ставка i определена для периода в один год (годовая ставка), то и при измерении промежутка времени t в качестве единицы измерения следует использовать год. В этом случае, например, при промежутке времени в полтора года вместо t следует подставить число 1,5. Если же процентная ставка i привязана к другому промежутку времени, скажем месяцу, то и промежуток времени t следует измерять месяцами. В этом случае при прежней длине промежутка в полтора года вместо t следует подставить число 18.

Годовая ставка и месячная ставка связаны друг с другом равенством:

i мес год, i год 12i мес.

Так, если годовая ставка равна 0,24, то месячная ставка равна 0,02. За полтора года процентные деньги от первоначального вклада 100 рублей составят в годовом исчислении:

I = 1,5 100 0,24 = 36 (рублей).

В месячном исчислении процентные деньги составят ту же самую величину, но рассчитанную по-иному:

I = 18 100 0,02 = 36 (рублей).

Для получения квартальной ставки следует годовую ставку разделить на 4 или месячную умножить на 3.

При использовании квартальных ставок промежуток времени t измеряется в кварталах. Например, для полуторагодового промежутка t = 6.

Точные и обыкновенные процентные ставки Обычно пользуются годовыми процентными ставками. Расчет процентных денег за определенное число дней при использовании годовой ставки i связан с некоторыми особенностями.

При точных расчетах следует считать, что год содержит 365 (или 366) дней. В этом случае говорят о точных процентах.

Однако часто при банковских расчетах считают, что год содержит дней. Это позволяет рассматривать любой месяц как промежуток времени стандартной длины в 30 дней, а квартал – как промежуток в 90 дней. В этом случае говорят об обыкновенных процентах.

Начисления с обыкновенными процентами дают несколько больший результат, чем начисления с точными процентами.

Так, пусть 100 тысяч рублей отданы в долг на 120 дней под 20% годовых. Тогда при расчете с точными процентами через 120 дней следует получить 100 (1 120 ) 106,575(тыс.руб.).

При расчете с обыкновенными процентами итоговая сумма составит 100 (1 120 ) 106,667(тыс.руб.).

Разница составляет 92 рубля. Определим расхождения в расчетах по точным и обыкновенным процентам в общем случае. При расчете по точным процентам конечная сумма ST равна:

При расчете по обыкновенным процентам конечная сумма равна Разность между ними составляет величину S:

Выше были приведены формулы, которые позволяют по начальной величине вклада P определить конечную сумму S. В финансовой практике часто возникает и обратная задача: по заданной конечной сумме S определить необходимую начальную величину Р. Такая задача возникает, например, при применении учетной ставки, когда проценты с суммы S удерживаются при выдаче кредита. Такая же задача возникает при получении платежных обязательств (векселей), расчет по которым будет производиться в будущем.

Операцию начисления и удержания процентов вперед называют учетом, а разность D, D=S–P, называют дисконтом.

Мы видим, что дисконт D и процент I определяются одинаковыми формулами. Различие между ними в том, что процент выплачивается в конце, при окончании срока вклада (если договором не оговорена постепенная выплата процента по отдельным периодам срока). Дисконт же выплачивается в начале срока. Про величину S говорят при этом, что она дисконтируется.

Дисконтирование – это преобразование будущей величины стоимости в оценку этой величины для настоящего момента времени. Такое преобразование называют также приведением будущей стоимости к текущему моменту времени.

Дисконтирование используют не только в задачах, связанных с проведением той или иной конкретной финансовой операции (выдаче векселя, ссуды и т.п.). Оно имеет гораздо более широкий круг применения.

Дисконтирование как способ оценки будущей стоимости путем приведения ее к настоящему моменту времени позволяет ввести время в финансовые расчеты, дать денежную оценку времени.

В зависимости от целей дисконтирования используют две формулы расчета. Одна связана с математическим дисконтированием. Другая – с банковским учетом.

При расчетах по математическому дисконтированию (при простой процентной ставке) исходят из указанной выше формулы:

Эта формула выражает конечную сумму S через начальную величину Р. Отсюда можно сразу получить выражение, определяющее начальную величину Р через конечную сумму S:

При расчетах по схеме банковского учета (при простой учетной ставке) используют другую формулу, выражающую начальную величину Р через конечную сумму S:

Здесь дисконтным множителем является величина где d – учетная ставка.

Математическое дисконтирование точным и корректным образом связывает исходную и конечную величины P и S. Оно активно используется в теоретическом финансовом анализе. Однако на практике в коммерческих операциях при покупке векселей и других платежных обязательств часто используют другую схему, схему банковского учета. Связано это с тем, что в соответствии с последней схемой зависимость дисконтного множителя от времени более простая и наглядная.

Действительно, зависимость дисконтного множителя m от времени t при математическом дисконтировании графически представляется в виде смещенной ветви гиперболы (рис. 3).

Рис. 3. График зависимости дисконтного множителя от времени при математическом дисконтировании График же зависимости дисконтного множителя m от времени t при банковском учете представляет собой график убывающей линейной функции, прямую линию (рис. 4). Тангенс угла наклона этой прямой равен d, то есть определяется учетной ставкой, взятой с противоположным знаком.

Рис. 4. График зависимости дисконтного множителя На графиках хорошо видно, что при математическом дисконтировании множитель, постепенно уменьшаясь, остается положительным. При банковском учете это не так. Дисконтный множитель обращается в 0 при t = 1/d, а затем становится отрицательным. Пользоваться такой формулой расчета можно лишь для промежутков времени t, меньших, чем 1/d.

Эти два способа расчета дают различные результаты. При заключении финансового соглашения следует оговорить, какая схема расчета будет использоваться. Рассмотрим примеры.

Пример. Допустим, что через 3 месяца должник должен уплатить 140000 руб. Ссуда предоставлена под 36% годовых. Требуется определить, какую сумму сейчас получит должник и какова величина дисконта при математическом дисконтировании.

Решение. По формуле:

при S = 140 000, i = 0,36, t = 0, получим:

Величина дисконта D составит:

D=S Рассмотрим другой пример.

Пример. Имеется вексель фирмы на сумму 140000 руб. со сроком уплаты 30.04. За три месяца до срока владелец векселя решил учесть его в банке по учетной ставке 36% годовых. Какую сумму денег получит владелец?

Решение. В соответствии с формулой при S = 140 000, d = 0,36, t = 0, получим:

Приведенные выше формулы позволяют определить срок вклада, величину процентной или учетной ставки через остальные характеристики условий вклада. Эти же формулы могут быть использованы и для других финансовых операций, в том числе и при заключении договоров о ссудах, кредитах.

Для определения продолжительности кредита следует соответствующим образом преобразовать исходные формулы. Из формулы S = P (1+ i t), определяющей характеристики кредита через процентную ставку i, получаем:

P = S (1- d t), определяющей характеристики кредита через учетную ставку d, получаем:

В обеих расчетных схемах, и по процентной, и по учетной ставке, время кредита прямо пропорционально приращению средств (проценту или дисконту) и обратно пропорционально величине ставки (процентной или учетной).

Аналогичным образом можно выразить величину ставки через остальные характеристики кредита. Для процентной ставки i получим:

Для учетной ставки d получим:

Рассмотрим примеры.

Пример. Ссуда в размере 100 000 рублей выдана на условиях начисления простых процентов по годовой ставке 25%. Через какое время накопленная величина долга станет равна 150 000 рублей?

Решение. На основе полученной выше формулы имеем:

Поскольку по условию задачи процентная ставка годовая, то и рассчитанное по формуле время выражено в годах. Таким образом, ответ: через 2 года.

Пример. По договору предусмотрено погашение кредита через 4 месяца в сумме 120 000 рублей. Первоначальная величина кредита составляет 100 000 рублей. Требуется определить величину годовой процентной ставки и величину годовой учетной ставки.

Решение. Переводим месячные периоды в годовые. 4 месяца составляют 1/3 года. По полученным выше формулам определяем:

SP Таким образом, годовая процентная ставка i равна 60%, а годовая учетная ставка d равна 50%.

Другими словами, если кредит выдается на условиях его возврата с начисленными процентами, то исходные данные примера соответствуют 60%-ной годовой ставке. Проверим правильность расчета. Действительно, за год по этой ставке к 100 000 рублей должны прибавиться 60 000, а за месяца – в три раза меньше, то есть 20 000 рублей. Итоговая сумма составляет 120 000, что полностью соответствует исходным условиям примера.

Если же кредит выводится на условиях удержания процентов в момент выдачи и возврата в конце срока самой суммы кредита без процентов, то исходные условия примера соответствуют 50%-ной годовой учетной ставке.

Проверим наш расчет. Действительно, по условиям примера сумма кредита в этом случае составляет 120 000 рублей. За годовой период с этой суммы по данной учетной ставке должно быть удержано 60 000, а за 4 месяца в три раза меньше, то есть 20 000 рублей. В результате удержания этой суммы исходная величина кредита 120 000 рублей уменьшается до 100 000. Эту сумму и получает заемщик в полном соответствии с условиями примера.

Основные соотношения между процентными и учетными ставками В рассмотренном выше примере 50%-я учетная ставка приводит к тем же финансовым результатам, что и 60%-я процентная ставка. Найдем соотношения между этими видами ставок в общем виде.

Для процентной ставки основная формула имеет вид:

S = P (1 + i t).

Для учетной ставки основной формулой является P = S (1 – d t).

Подставив правую часть первой формулы вместо S во вторую, получим:

После сокращения обеих частей на Р и проведения простых преобразований получим:

Эти формулы позволяют по учетной ставке находить равносильную ей процентную ставку (дающую тот же финансовый результат) и наоборот, по процентной ставке находить равносильную ей учетную.

Заметим, что в формулах присутствует длина интервала времени t.

Отсюда следует, что равносильную ставку другого вида можно вычислить только в том случае, если указан интервал времени, на который рассчитана финансовая операция (в случае кредита указан срок, на который выдаются деньги). При изменении интервала времени величина равносильной ставки другого вида изменится.

Совпадение численных значений ставок двух видов, то есть равенство i = d, могло бы иметь место только для такой операции, протяженность которой t равна 0, момент начала и окончания которой совпадают. Это непосредственно следует из полученных формул.

В случае кредитования это означало бы, что выдаваемый кредит тут же возвращается кредитору. Понятно, что такая операция не имеет смысла. Для реальных финансовых операций значения двух видов ставок расходятся, причем всегда процентная ставка выше равносильной ей учетной ставки:

Рассмотрим соотношения между численными значениями равносильных ставок для годового интервала времени, t = 1. В таблице приведен ряд значений учетной ставки d и соответствующий ряд процентной ставки. В таблице 2, наоборот, исходным является ряд значений процентной ставки и вместе с ним даны соответствующие значения учетной ставки. Оба вида ставок в этих таблицах выражены в процентах.

В таблицах приведены данные для фиксированного интервала времени, равного одному году. С ростом интервала времени расхождения между равносильными значениями ставок возрастают. В таблице 3 даны значения процентной ставки i для разных периодов времени, соответствующие одной и той же учетной ставке d, равной 10%.

В таблице 4 даны значения учетной ставки d для разных периодов, соответствующие процентной ставке i, равной 10%.

Предположим, что одно лицо брало несколько раз ссуду у другого лица и теперь должно вернуть ему определенные суммы денег в различные моменты времени. По договоренности обеих сторон может быть произведена консолидация, то есть объединение этих нескольких платежей в один платеж. Следует определить срок возврата консолидированной суммы и размер этой суммы. В этом и состоит задача консолидации платежей.

Такая задача, в принципе, допускает множество решений. Можно договариваться о любом сроке и любой сумме, лишь бы эта договоренность устраивала обе стороны.

Однако интересы сторон обычно оказываются противоположными.

Одна сторона хочет вернуть деньги позже и в меньшем объеме, в то время как другая желает получить их раньше и в большей сумме. Следует найти справедливое решение, которое устроило бы обе стороны.

Справедливое решение соответствует сформулированному выше принципу финансовой эквивалентности платежей. Пусть имеется два или большее число платежей, соответствующих различным суммам и приуроченных к различным моментам времени. Такие платежи считаются финансово эквивалентными, если они, будучи приведенными по заданной ставке процента к одному моменту времени, оказываются равными.

Решение задачи консолидации нескольких платежей – это определение такого размера единого платежа и такого момента его выплаты, которые финансово эквивалентны всей заменяемой совокупности платежей.

Рассмотрим решение этой задачи для случая простых процентных ставок.

Пусть платежи имеют размеры S1,S2, Sm и они должны быть выплачены в соответствующие моменты времени t1, t 2, t m :

Предположим, что всю эту совокупность платежей следует консолидировать, то есть заменить одним платежом размера S. Следует определить справедливый момент выплаты t этого платежа.

Мы рассмотрим эту задачу в предположении, что величина консолидированного платежа S равна сумме консолидируемых платежей:

Такое предположение не является обязательным, платежи можно консолидировать и с другой суммой. Однако оно наиболее естественно, и мы проведем сначала рассуждение именно для этого случая.

На рис. 5 указаны моменты выплаты отдельных платежей t1, t 2, t m.

Искомый момент времени t выплаты консолидированной суммы S не может наступить ранее срока первого платежа t1 или в сам момент t1. На это не согласится та сторона, которая должна выплачивать эти платежи. В этом случае оказалось бы, что ту же сумму платежей S она должна выплатить в более ранний срок. На выплату в более ранний срок можно было бы пойти, если бы при этом можно было выплатить меньшую сумму. Однако мы решаем задачу в предположении, что консолидированная величина S не меньше, а равна сумме консолидируемых величин Sk. Таким образом, t > t1.

Искомый момент t не может наступить и позже срока последнего платежа tm или в сам момент tm. На это не пойдет та сторона, которая должна получать платежи. Она могла бы на это согласиться, если бы консолидированная величина была больше суммы консолидируемых платежей. Однако по предположению они равны друг другу. Таким образом, t < tm.

Итак, искомый момент t лежит в промежутке от t1 до tm. Для части консолидируемых платежей моменты их выплаты окажутся раньше, чем t.

Такие платежи назовем ранними платежами. Моменты выплаты другой части платежей окажутся позже, чем t. Эти платежи назовем поздними платежами.

С точки зрения уплачивающей стороны при консолидации она проигрывает по поздним платежам (так как их при консолидации придется выплатить раньше), но выигрывает по ранним платежам (их при консолидации следует уплатить позже). С точки зрения получающей стороны все наоборот, она проигрывает по ранним платежам, но выигрывает по поздним. То, что проигрывает одна сторона, выигрывает другая.

Консолидация будет справедливой, если для каждой из сторон суммарный выигрыш будет равен суммарному проигрышу. При этом достаточно уравновесить выигрыш и проигрыш для одной стороны. Отсюда будет следовать, что они уравновешены и для другой.

Определение времени уплаты консолидированной суммы Для количественной оценки выгодности и невыгодности будем использовать простую процентную ставку i.

До консолидации уплачивающая сторона должна была выплатить платеж в размере S1 в момент t1. В результате консолидации она выплатит платеж того же размера (как составную часть общего платежа S), но в другой, более поздний момент t.

За промежуток времени от момента t1 до момента t величина по ставке процента i могла бы вырасти на величину L1:

L1 S1 i(t t1 ).

Эта величина и определяет выигрыш уплачивающей стороны, связанный с переносом платежа S1 на более поздний срок.

Это рассуждение можно провести для всех ранних платежей. Каждый такой ранний платеж даст при консолидации свой выигрыш. Для платежа Sp, соответствующего моменту t p, такой выигрыш равен L p :

Общий выигрыш L равен сумме таких выигрышей при консолидации по всем ранним платежам:

Поздние платежи связаны с проигрышем при консолидации для уплачивающей стороны, поскольку выплачивать их придется в том же объеме, но раньше по сроку. Величина проигрыша для позднего платежа Sq, соответствующего моменту tq, равна На эту величину могла бы вырасти сумма по ставке процента i, если бы ее выплату можно было отложить от момента времени t до момента tq.

Общая величина проигрыша R равна сумме таких проигрышей при консолидации по всем поздним платежам:

Условие финансовой эквивалентности, справедливости замены сроков платежей при их консолидации означает, что общий выигрыш и общий проигрыш равны:

L = R, то есть В левой сумме участвуют все ранние платежи, а в правой – все поздние.

Если один из платежей оказался на границе между ранним и поздним платежом, то есть если его срок уплаты tk совпал с t, то его можно отнести в любую из двух групп. При консолидации момент выплаты такого платежа не изменяется, соответствующие ему выигрыш или проигрыш равны 0.

Обе части последнего равенства можно сократить на величину процентной ставки i. После сокращения перенесем правую часть налево. Получим:

По-другому это можно записать так:

Теперь раскроем скобки и запишем выражение как разность двух сумм:

В первой сумме множитель t во всех слагаемых один и тот же. Его можно вынести за знак суммы (по правилам вынесения общего множителя за скобки). Вторую сумму перенесем в первую часть равенства. Получим:

Сумма платежей, стоящая в левой части равенства, по условию задачи равна S:

Разделим обе части предыдущего равенства на эту сумму. Получим:

Мы получили формулу для расчета момента времени t уплаты консолидированной суммы S.

Преобразуем эту формулу к более удобному виду. Внесем знаменатель под знак суммы:

В этой формуле каждая из дробей Sk Sпредставляет собой отношение величины одного из платежей к консолидированной сумме Sk, то есть представляет собой ту долю, которую платеж Sk составляет в общей сумме S. Сумма всех таких долей равна 1:

Таким образом, момент t уплаты консолидированной суммы S равен сумме моментов внесения tk отдельных платежей, причем в этой сумме каждый момент tk берется с коэффициентом, равным той доле, которую составляет данный платеж Sk в общей консолидированной сумме S.

Эти долевые коэффициенты часто называют весами, а сумму с такими коэффициентами называют взвешенной суммой. В таком случае говорят, что момент времени t уплаты консолидированного платежа равен взвешенной сумме моментов уплаты консолидируемых платежей.

Пример. Рассмотрим пример расчета времени уплаты консолидированной суммы.

Предположим, что одно лицо несколько раз брало в долг деньги у другого лица. В настоящее время долг состоит из трех сумм: 100 руб., руб. и 150 руб., которые по условию следует выплатить в рамках одного года соответственно 10 марта, 1 апреля и 10 июня.

Предположим, что обе стороны договорились объединить три долга в один с общей суммой 450 руб. Как определить справедливый день уплаты этого консолидированного долга?

Решение. Выберем в качестве начала отсчета 28 февраля. Тогда дни уплаты долгов приходятся на 10, 31 и 102 дни от начала отсчета. Таким образом, t1 = 10, t2 = 31, t3 = 102, S1 = 100, S2 = 200, S3 = 150, S= 450.

Согласно формуле для расчета t получаем:

Таким образом, срок уплаты консолидированной суммы приходится на 50-й день от 28 февраля, то есть на 19 апреля.

Проанализируем полученный результат.

При решении этого примера мог возникнуть следующий вопрос. В качестве начала отсчета времени была выбрана дата 28 февраля. А что, если выбрать другую дату? Не сдвинется ли при этом срок уплаты консолидированной суммы?

Оказывается, нет, срок уплаты не сдвигается. Это следует из полученной выше формулы для расчета t. Ведь при ее выводе никак не оговаривалось начало отсчета. Следовательно, результат от начала отсчета не зависит.

Проверим это на примере. Предположим, что в качестве начала выбрано не 28 февраля, а 31 декабря предыдущего года. Тогда относительно этой новой даты все сроки отодвигаются на 59 дней. Получаем:

t1 = 69, t2 = 90, t3 = 161.

По формуле получаем:

Размеры платежей остаются прежними.

Таким образом, срок уплаты приходится на 113-й день от 31 декабря, то есть по-прежнему на 19 апреля.

Можно в качестве начала отсчета взять более поздний срок, например, 1 мая. В этом случае t1 и t2 получатся отрицательными, а t3 положительной. В результате расчета величина t получится отрицательной относительно 1 мая и будет указывать (с точностью до округления) все на ту же дату – 19 апреля.

Заметим, что ставка процента i, в соответствии с которой происходила консолидация выплат, в процессе вывода формулы сократилась. В формуле, определяющей момент времени t, когда должна быть произведена выплата консолидированной суммы, ставка процента i не участвует.

Отсюда следует вывод: срок t не зависит от i, то есть при любой процентной ставке время выплаты консолидированной суммы оказывается одним и тем же.

Применение Excel к решению задачи консолидации платежей Для проведения расчетов с большими объемами данных, а также для проведения вариантных расчетов удобно использовать Excel.

Покажем, как может быть сформирована универсальная расчетная таблица, позволяющая проводить расчеты при практически любом, заранее не определенном объеме исходных данных.

Пример реализации такого расчета приведен в таблице 5.

A B C D E F G H

Консолидация платежей по простой процентной ставке 3 10.01.13 12.03.13 05.05.13 20.08.13 14.10.13 12.12.13 25.02.14 01.04. 6 Доля платежа в общей сумме Откроем новую книгу Excel.

1. На первом листе в ячейку A1 введем текст: Консолидация платежей при простой процентной ставке. Этот текст будет заголовком будущей таблицы, выделим его полужирным курсивом.

2. В ячейку A2 введем слова: Срок платежа, в ячейке A4 напишем:

Размер платежа, в ячейке A6 напишем: Доля платежа в общей сумме. Это будут заголовки соответственно третьей, пятой и седьмой строки – выделим их курсивом.

3. В ячейки A9 и A10, соответственно, введем заголовки будущих результатов вычислений: Размер консолидированного платежа и Срок уплаты консолидированного платежа. Выделим их жирным шрифтом.

4. Теперь в строке 3 ячейка за ячейкой введем даты платежей, а в строке 5 – соответствующие размеры платежей. (При необходимости – если в ячейке с датой возникает решетка – следует увеличить ширину столбца или изменить формат изображения даты.) 5. В ячейке F9 введем формулу:

=СУММ(5:5).

6. Ее можно ввести непосредственно с клавиатуры или обратившись к мастеру функций. В ячейке F9 возникает сумма всех платежей, причем не только тех, которые уже введены в пятой строке, но и тех, которые могут быть введены в дальнейшем в этой строке.

7. Выделим всю седьмую строку (кликнув мышью номер строки 7) и наберем формулу:

Набор этой формулы следует завершить не как обычно нажатием клавиши Enter, а одновременным нажатием двух клавиш: Ctrl и Enter. Это позволяет распространить формулу на все ячейки строки. После ввода удобно установить единую разрядность в ячейках этой строки (например, три знака после запятой).

8. В ячейку F10 введем формулу :

=СУММПРОИЗВ(3:3;7:7).

Расчет закончен.

Согласно формулам, введенным в седьмой строке, там вычисляются доли, которые составляют отдельные платежи в их общей сумме. В тех столбцах, где нет исходных платежей, доли автоматически равны 0. Ввод новых платежей в пятой строке приведет к автоматическому пересчету долей в ячейках седьмой строки.

Формула в ячейке F10 вычисляет взвешенную сумму дат платежей, то есть искомый срок уплаты консолидированного платежа.

Мы получили универсальную расчетную таблицу. Вводя в ячейки третьей и пятой строки произвольные объемы новых данных по срокам и размерам платежей, мы в ячейке F10 будем получать автоматически рассчитанный срок уплаты консолидированной суммы. Это позволяет легко проводить расчеты по различным вариантам долговых обязательств. Если создать несколько копий такой таблицы, то все эти варианты можно анализировать параллельно.

Отметим, что при вычислении в Excel нет необходимости фиксировать дату начала отсчета. Результаты расчета, как мы уже знаем, не зависят от конкретизации начальной даты. По умолчанию в качестве такой даты в Excel автоматически устанавливается дата 01.01.1900.

В таблице 6 дано формульное представление листа Excel с проведенными выше расчетами. В третьей строке таблицы на месте дат стоят числа. Эти числа соответствуют количеству суток, прошедших от начальной даты 01.01.1900 до текущей даты, указанной в данной ячейке. В остальных ячейках стоят исходные тексты, числовые данные или расчетные формулы.

Такого рода расчетные таблицы могут быть построены в связи с самыми разнообразными задачами финансового менеджмента.

A B C D E F G H

Консолидация платежей по простой процентной ставке 2 Срок платежа 4 Размер платежа 6 Доля платежа в общей сумме Срок уплаты консолидированного платежа =СУММПРОИЗВ(3:3;7:7) Мы рассмотрели формулы, связанные с объединением нескольких выплат, с их консолидацией. Рассмотрим теперь противоположную задачу, задачу разъединения платежа.

Пусть в соответствии с договором выплата в размере S должна быть произведена в момент времени t. Предположим, что часть этой выплаты в размере S1 может быть произведена раньше, в момент t1. Тогда оставшаяся часть S2:

может быть выплачена позже, в некоторый момент t2. Как определить этот момент?

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой консолидации. Согласно этой формуле, если два платежа S1 и S2, приуроченные к моментам времени t1 и t2, консолидируются в один суммарный платеж S, то его момент времени t определяется равенством:

Раньше мы по этой формуле рассчитывали момент t по известным t1 и t2. Теперь мы используем эту формулу для расчета t2 при известных t1 и t.

После простых преобразований получаем расчетную формулу:

Пример. Рассмотрим пример расчета времени уплаты части долга.

Одно лицо, согласно договору, должно вернуть другому долг в размере 500 рублей. Срок возврата 20 августа.

Предположим, что часть долга в размере 200 рублей была возвращена раньше, 2 августа. Это дает основание поставить вопрос об отсрочке уплаты оставшейся части долга. Какой срок уплаты следует считать справедливым?

Решение. В нашем примере В соответствии с формулой для определения срока уплаты второй части долга получаем:

Временной интервал t – t1 между 2 и 20 августа составляет 18 дней.

Таким образом, Срок возврата оставшейся части долга в соответствии с расчетом наступает на 12 дней позже первоначально оговоренного срока возврата всего долга, т.е. оставшуюся часть в 300 рублей следует вернуть 1 сентября, через 12 дней после 20 августа.

Если часть из этих 300 будет возвращена ранее 1 сентября, то можно поставить вопрос о переносе оставшейся части на более поздний срок и рассчитать этот срок аналогичным образом.

Следует еще раз подчеркнуть важное обстоятельство. Расчленение долга, выплата его по частям, изменение сроков выплат связаны с изменением условий договора. С такими изменениями должны быть согласны обе договаривающиеся стороны. Может, например, оказаться, что лицо, давшее денежную ссуду, не согласится с переносом сроков ни на каких условиях. Перенос сроков в этом случае окажется невозможен.

Приведенные выше в примере расчеты показывают, как можно было бы изменить условия договора на объективной основе, сохранив финансовую эквивалентность его результатов. Тем самым расчет устанавливает объективную основу для изменения условий договора. Окажется ли это достаточным для действительного изменения условий, зависит еще и от субъективной основы, от желаний участников.

Мы рассмотрели задачи объединения и разъединения платежей без изменения их общей суммы. На практике встречаются и другие задачи, когда изменяется общая сумма платежей или срок выплаты.

Пусть несколько платежей S1,S2,,Sm консолидируются в один платеж S, по величине равный сумме этих отдельных платежей:

В этом случае, как мы уже знаем, момент выплаты t этой консолидированной суммы определяется формулой:

Пусть по условию договора изменяется срок уплаты общей суммы платежей. Вместо момента времени t теперь платеж будет произведен позже, в момент t '. Тогда должна измениться и уплачиваемая сумма, вместо суммы S теперь следует выплатить большую сумму S '.

Величина S должна быть определена в соответствии с принципом финансовой эквивалентности.

Обозначим посредством t разность между новым и старым моментами выплаты:

Пусть в условии договора оговорена процентная ставка i. Тогда за время сумма S должна вырасти по формуле простых процентов и достичь новой величины S ' :

Это и есть искомая величина выплаты в момент t'. При переносе платежа на более ранний срок формула расчета S сохраняется прежней. Следует, однако, иметь в виду, что величина t в ней будет отрицательной, так что новая сумма S окажется меньше исходной суммы S.

Мы рассмотрели задачу изменения уплачиваемой суммы при изменении срока уплаты. Важную роль играет и обратная задача – задача изменения срока при изменении суммы.

Пусть по условиям договора изменяется общая сумма платежей, вместо прежней суммы S теперь следует уплатить сумму S'. Следует определить срок уплаты t' этой суммы.

Если новая сумма S' больше прежней суммы S, то и новый срок t' должен быть позже t. Разность t:

должна быть такова, чтобы по оговоренной процентной ставке i сумма S за время t выросла бы до величины S'. В этом случае выплата суммы S в момент t будет финансово эквивалентна выплате суммы S ' в момент t'.

Таким образом, то есть Новый срок уплаты t', связанный с уплатой новой суммы S', можно рассчитать по этой формуле через старый срок t, сумму платежей S и ставку процента i, с помощью которой определяется финансовая эквивалентность платежей.

Пример. Рассмотрим условия приведенного выше примера. Согласно проведенным расчетам, общую сумму 450 рублей по трем долговым обязательствам следует уплатить 19 апреля.

Предположим, что обе стороны договариваются сместить срок уплаты с 19 апреля на 1 июля. В связи с этим должна увеличиться и выплачиваемая сумма. Какова новая величина этой суммы? Ответ на этот вопрос зависит от выбора величины процентной ставки. Пусть стороны договорились вести расчеты исходя из годовой ставки i = 30%. Тогда новая сумма S' определится в соответствии с формулой:

Величину процентной ставки i и промежутка времени следует выразить в единой шкале. Ставка i определена в годовом исчислении. Выразим величину t в годах.

Промежуток времени от 19 апреля до 1 июля составляет 73 дня, то есть 0,2 года. Заменяя 30% величиной 0,3, получаем:

S' = 450 (1+ 0,3 0,2)= 477 (руб.).

Таким образом, при переносе срока уплаты с 19 апреля на 1 июля выплачиваемая сумма вырастает с 450 до 477 рублей.

Рассмотрим другую ситуацию. Предположим, что должник вместо 450 готов уплатить 500 рублей, но в более поздний срок. Как определить новую дату уплаты? Соответствующая формула имеет вид:

Переведем готовую ставку процента 0,3 в суточную. Получим:

Дата уплаты новой суммы оказывается на 135 дней позже первоначальной даты 19 апреля. Таким образом, сумму 500 рублей следует уплатить 1 сентября.

Отметим, что расчеты для консолидации без изменения суммы и срока не связаны с конкретной величиной процентной ставки. При изменении ставки результаты расчетов не изменяются. По-другому дело обстоит для расчетов по консолидации платежей с изменением суммы или срока. Здесь результат зависит от выбранной ставки. С увеличением процентной ставки сумма S' будет все больше отличаться от суммы S, а дата t' будет все больше приближаться к дате t.

Консолидация платежей на основе учетной ставки Учетная ставка обычно используется при банковском учете, замене или консолидации векселей.

Рассмотрим ситуацию, когда одно лицо должно уплатить другому лицу денежную сумму S. Предположим, что они договорились о переносе платежа на более поздний срок, отстоящий от срока уплаты на время t. В связи с продлением срока сумма долга возрастет до некоторой, пока неизвестной, величины S '. Ранее мы рассчитывали эту величину на основе простой процентной ставки. Теперь определим ее через простую учетную ставку. Пусть учетная ставка равна d.

В соответствии с формулой учетной ставки S S (1 d t).

Отсюда следует, что Рассмотрим задачу консолидации нескольких платежей. Предположим, что несколько долгов в размерах S1,S2,,Sm, срок уплаты которых приходится на разные моменты времени, объединяются в один долг, который относится на момент уплаты последнего из долгов или на еще более поздний срок. Пусть сроки пролонгации долгов равны соответственно Тогда общая сумма долга S', рассчитанная по формулам простой учетной ставки d, составит величину В том случае, если срок уплаты консолидированного долга устанавливается ранее срока последнего из долгов, расчетная формула несколько изменяется. Все множество долгов, участвующих в консолидации, следует разбить на два подмножества: ранних долгов (срок уплаты которых наступает раньше срока уплаты консолидированной суммы) и поздних долгов (для которых срок уплаты наступает позже срока консолидированной суммы). Формула величины консолидированного долга имеет в этом случае вид:

В этой формуле в первой сумме участвуют ранние долги, а во второй сумме – поздние долги. Для ранних долгов – это сроки продления уплаты долгов, а для поздних долгов – это сроки опережения уплаты.

Пример. Рассмотрим пример консолидации платежей на основе учетной ставки.

Пусть два векселя со сроками 2.05 (200 тыс. руб.) и 16.06 (300 тыс.

руб.) заменяются одним векселем со сроком 1.07 по годовой учетной ставке d = 0,2. Требуется определить сумму нового векселя.

Решение. Согласно расчетной формуле, сумма нового векселя S равна Срок t1 от 2.05 до 1.07 равен 61 дню, то есть Срок t2 от 16.06 до 1.07 составляет 16 дней, то есть S1 = 200, S2 = 300.

Таким образом, 200 1,0345 300 1,0083 509,39.

В срок 1.07 должно быть уплачено по консолидированному векселю 509 390 рублей.

Рассмотрим другой вариант консолидации. Пусть по объединенному векселю установлен срок уплаты 10.06, дата, промежуточная между сроками уплаты по отдельным векселям. Тогда В этой формуле t1 – это срок от 2.05 до 10.06, он составляет 39 дней, то есть Срок от 10.06 до 16.06 равен 6 дням, то есть 200(1 0, 2 0,1068) 1 300(1 0, 2 0,0164) 200 1,0218 300 0,9967 503,37.

Таким образом, 10.06 по объединенному векселю следует уплатить 503 370 рублей.

1. Человек положил 10000 рублей на банковский счет на 4 месяца по простой процентной ставке 12% годовых. Какую сумму он получит в конце срока вклада? Чему равны процентные деньги?

2. Человек, положив на счет некоторую сумму на условиях начисления по простой процентной ставке 20% годовых, через 3 месяца получил 13125 руб. Какая сумма была положена на счет? Чему равна начисленная за это время сумма процентов?

3. Константин положил на банковский счет 1000 рублей на 3 месяца по простой процентной ставке 12% годовых. По окончании срока он снял все причитающиеся деньги с процентами и положил их еще раз на тех же условиях.

Максим также положил на счет 1000 рублей, но сразу на полгода и по процентной ставке 13% годовых. Чему равны проценты по вкладу каждого из них? У кого через полгода будет больше денег и на сколько?

Павел положил на полгода 2000 рублей и получил ровно столько денег, сколько Константин и Максим вместе. Рассчитайте годовую процентную ставку по вкладу Павла.

4. Человек имеющиеся у него свободные средства разделил на 4 части и положил их на счета с различными условиями начисления. На счет, дающий 15% годовых, он положил 20% своих средств. На счет, дающий 12% годовых, он положил 10% своих средств. Оставшиеся средства он разделил поровну и положил на два счета, один из которых дает 10%, а другой 8% годовых. Спустя полгода оказалось, что банк, обещавший 15%, разорился и в этом банке не удалось получить ни проценты, ни первоначальный вклад. Другой банк, обещавший 12%, вернул вклад, но без процентов. Остальные два банка полностью выполнили условия договора.

Удалось ли человеку вернуть вложенные средства? Какова величина его прибыли или убытков, выраженная в процентах от вложенных средств?

Какова была бы величина прибыли (убытков), выраженная в процентах от вложенных средств, если бы второй банк вернул не только вклад, но и причитающиеся проценты?

Предположим, что все четыре банка выполнили полностью условия договора. Какой ставке процента соответствует в этом случае наращение вложенных средств?

5. На счет положено 400 тыс. рублей на условиях начисления по простой процентной ставке, равной 10% годовых.

Через какое время накопленная сумма достигнет величины 600 тыс.

рублей? Через какое время проценты по вкладу достигнут этой величины?

Начертите графики роста накопленной суммы и процентов от времени.

6. Магазин приобретает товар по некоторой цене и продает его с 25%-ной наценкой. Разность между выручкой от продажи товара и затратами на его приобретение является прибылью магазина. Сколько процентов от выручки составляет прибыль?

7. Банк "Северный" за операцию обмена рублей на валюту берет 1% от обмениваемой суммы. Банк "Южный" за подобную операцию берет фиксированные комиссионные 10 руб. независимо от обмениваемой суммы.

При небольших обмениваемых суммах выгоднее пользоваться услугами одного банка, при больших – другого. При какой величине суммы услуги обоих банков оказываются одинаково выгодными?

8. Для каждой величины годовой процентной ставки от 5 до 10% с шагом 1 рассчитайте равносильную величину учетной ставки. Для каждой величины годовой учетной ставки от 5 до 10% вычислите равносильную величину процентной ставки.

Расчеты проведите для интервалов времени в 1, 2 и 3 года.

Начертите графики зависимости величины равносильной процентной и учетной ставки от времени.

9. Три платежа: 120 руб. со сроком уплаты 16 марта, 200 руб. со сроком 10 апреля и 160 руб. со сроком 12 июня консолидируются в один платеж с сохранением суммы. Рассчитайте срок уплаты консолидированной суммы.

Как изменится срок уплаты консолидированной суммы, если срок первого платежа перенести с 16 на 26 марта? С 16 на 6 марта? Начертите график зависимости срока уплаты консолидированной суммы от срока первого платежа. Начертите аналогичный график для второго платежа.

Что общего у этих графиков и чем они различаются?

Предположим, что все три платежа пропорционально изменены (например, увеличены в 2 раза). Изменится ли при этом срок уплаты консолидированной суммы?

Начертите график зависимости срока уплаты консолидированной суммы от величины доли первого платежа в этой сумме.

10. Рассмотрим исходные условия предыдущей задачи. Как должна измениться величина суммы, если срок уплаты сместить вперед на 20 дней на условиях начисления 20% годовых?

Начертите график зависимости суммы от срока смещения уплаты.

11. Платеж в размере 400 руб. разъединяется на два платежа: 150 руб.

и 250 руб., причем первый из них выплачивается на 30 дней раньше срока, установленного для первоначального общего платежа.

На сколько дней в связи с этим может быть отодвинута выплата второго платежа?

12. В условиях предыдущей задачи объем второго платежа, в свою очередь, разъединяется на две части: 150 руб. и 100 руб., причем первый из них выплачивается на 10 дней раньше срока, установленного при решении предыдущей задачи для уплаты 250 руб. На какой срок в связи с этим может быть отодвинута уплата оставшихся 100 руб.?

13. Вексель выдан на сумму 60 тыс. руб. с уплатой 28 апреля. Владелец векселя учел его в банке 1 апреля по учетной ставке 10% годовых.

Определите сумму, полученную при учете векселя. Как изменится эта сумма, если учесть вексель на 5 дней раньше? На 5 дней позже?

Начертите график зависимости суммы, полученной при учете векселя, от длины промежутка времени между датой учета векселя и датой уплаты по векселю.

14. Владелец векселя учел его в банке за месяц до срока уплаты и получил при этом 90% от причитающейся по векселю суммы.

Какова была величина учетной ставки при учете векселя?

15. Три векселя, первый на сумму 280 тыс. руб. со сроком уплаты июля, второй на сумму 360 тыс. руб. со сроком 1 августа и третий на сумму 320 тыс. руб. со сроком 1 сентября заменяются одним векселем по учетной ставке 24% годовых со сроком уплаты 16 сентября. На какую сумму должен быть оформлен объединенный вексель?

Какова будет сумма объединенного векселя при сроке уплаты 1 сентября? При сроке 20 августа?

16. Два векселя, первый на сумму 200 тыс. руб. со сроком уплаты 20.04 и второй на сумму 300 тыс. руб. со сроком 15.05 объединяются в один вексель на сумму 600 тыс. руб. со сроком 1.08.

По какой величине учетной ставки было проведено объединение векселей?

17. Два векселя, один на сумму 100 тыс. руб. со сроком уплаты 1.04 и другой на сумму 150 тыс. руб. со сроком 1.05 объединяются в один по учетной ставке 30%. На какой срок может быть отодвинута уплата по объединенному векселю с тем, чтобы сумма по этому векселю не превышала 280 тыс. руб.?

Глава 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ И УЧЕТНЫЕ СТАВКИ Расчеты с простыми процентными ставками проводятся достаточно легко и просто. Однако они имеют ограниченное применение.

Допустим, что банк выплачивает простые проценты в течение трех лет по ставке i. При первоначальном вкладе, равном Р, вкладчик через год будет иметь на счете сумму S1:

S1 = P (1 + i), через два года сумму S2:

S2 = P (1 + 2 i), через три года сумму S3:

S3 = P (1 + 3 i).

Однако вкладчик может через год закрыть счет, получить сумму S1, включающую проценты, и положить эту сумму на новый счет. В конце следующего года он может повторить эту операцию. В результате после первого года он получит сумму S1, равную прежней сумме S1:

S = S1 = P (1 + i), после второго года уже новую сумму S2 :

после третьего года сумму S3 :

Новые суммы будут больше прежних, поскольку в них содержатся проценты не только на первоначальный вклад, но и на уже начисленные ранее проценты. В математической форме это соответствует неравенствам:

(1 i)2 1 2i i 2 1 2i, (1 i)3 1 3i 3i 2 i3 1 3i.

Таким образом, вкладчику выгодно снимать деньги со счета и класть их на другой счет. Проводить такую операцию каждый квартал выгоднее, чем каждый год, а каждый месяц выгоднее, чем каждый квартал. Чем чаще вкладчик перекладывает деньги, тем больший доход он получит. Следовательно, значительная часть вкладчиков банка будет стремиться проводить такую операцию.

Для банка же это сопряжено с разного рода затруднениями в работе.

Во-первых, для проведения таких операций банку необходимо держать дополнительный резерв денежных средств. Во-вторых, обилие таких операций затрудняет текущую банковскую работу. Наконец, в-третьих, вкладчик, закрыв счет, может положить полученные деньги в другой банк, условия которого в данный момент покажутся ему более выгодными.

В связи с этим банки сами берут на себя инициативу проведения такой операции. Проценты, возникающие по вкладу, присоединяются к вкладу, так что новые проценты начисляются на увеличенную сумму, включающую начисленные ранее проценты. Такая операция называется начислением сложных процентов.

Рост суммы в соответствии со сложными процентами можно представлять себе как рост по простым процентам, применяемым к все увеличивающейся сумме, включающей в себя ранее накопленные проценты, то есть как периодическое реинвестирование средств, вложенных под простые проценты, в каждом периоде начисления.

На практике при расчете сложных процентов обычно некоторый промежуток времени принимают за стандартный период начисления (год, квартал, месяц и т.д.) и дальше рассчитывают проценты, начисляемые за такие одинаковые стандартные периоды. Другими словами, время при таких вычислениях рассматривается как дискретная величина, измеряемая стандартными периодами. При этом говорят о дискретных процентах.

Если уменьшать длину такого стандартного промежутка, от квартала перейти к месяцу, неделе, дню и т.д., то в пределе мы от дискретных процентов перейдем к непрерывным процентам, начисляемым за бесконечно малый промежуток времени.

Пусть первоначальная сумма равна Р и она растет в соответствии со сложной процентной ставкой, равной i за один период времени. Через n таких периодов выросшая сумма S будет определяться следующей формулой (формулой сложных процентов):

S = P (1+i)n.

Величину (1+i) n называют обычно коэффициентом роста, или множителем наращения. Она показывает, в какую денежную сумму превратится каждый рубль первоначально вложенных средств через n периодов времени.

Если при начислении по формуле сложных процентов воспользоваться операцией реинвестирования, то есть снять со счета деньги вместе с процентами и положить их на счет снова, то вкладчик при этом ничего не выигрывает.

Действительно, пусть вкладчик положил средства в размере Р на счет на условиях начисления сложных процентов. Через k периодов времени он снял деньги со счета и положил их вновь еще на m периодов. Тогда после первых k периодов он получит сумму Q, Q = P(1+i)k.

Затем эта сумма Q еще через m периодов превращается в новую сумму S:

S = Q (1+i)m.

Выражая конечную сумму S через первоначальную P, получим:

S = Q (1+i)m = Р (1+i)k (1+i)m = P (1+i)k+m.

Таким образом, результат получается в точности такой же, как если бы вкладчик не проводил промежуточную операцию, а просто положил бы первоначальную сумму Р на суммарное число периодов времени, равное k + m.

В практике финансовых организаций иногда предусматривается начисление процентов лишь за целое число периодов. Если это не предусмотреть, то при начислении процентов за нецелое число периодов используют разные способы.

Начисление за нецелое число периодов может быть проведено по той же формуле сложных процентов, что и за целое число. Например, если требуется рассчитать выросшую сумму за 5,2 периода, то расчет в этом случае ведется по формуле:

S = Р (1+i)5 (1+i)0,2 = P (1+i)5,2.

Другими словами, за дробное число 0,2 периода проценты начисляются по той же схеме, что и за целое число периодов. Это позволяет написать общую формулу сложных процентов за любое время t:

S = Р (1+i)t, независимо от того, содержит ли оно целое или нецелое число периодов.

В ряде случаев начисление за нецелое число периодов ведется по другой, смешанной формуле. За целое число периодов проценты начисляются по формуле сложных процентов, а за дробный остаток – по формуле простых процентов. В этом случае начисления за 5,2 периода будут проведены по формуле:

S = Р (1+i)5 (1+ i 0,2).

Следует иметь в виду, что начисленная сумма при этом окажется несколько больше, чем при расчете по первому способу.

Наконец, как было отмечено выше, иногда за дробную часть периода проценты вообще не начисляются. В этом случае начисления за 5,2 периода определяются формулой:

S = Р (1+i)5.

Пример. Денежная сумма 100 тыс. руб. положена на счет на условиях начисления сложных процентов по ставке 5% в месяц. Через шесть с половиной месяцев вкладчик решил закрыть счет. Какая сумма причитается вкладчику?

При расчете по первому способу, по чистой формуле сложных процентов, получаем:

S = 100 (1 + 0,05)6,5 = 137,318 (тыс. руб.).

При расчете по второму способу, по смешанной формуле, получаем:

S = 100 (1 + 0,05)6 (1 + 0,05 0,5) = 137,359 (тыс. руб.), что на 41 руб. больше, чем при первом способе.

Наименьшая сумма получается при способе расчета, когда дробная часть периода отбрасывается. При этом S = 100 (1 + 0,05)6 = 134,009 (тыс. руб.).

Использование разных способов расчета приводит к различным результатам. Вкладчику при оформлении договора необходимо уточнить, как проводятся расчеты в данной финансовой организации.

Сложная переменная ставка и средние геометрические величины Обычно в условиях договора указывается постоянная ставка процента. Однако в некоторых случаях может быть оговорена переменная ставка.

Обычно это бывает связано с процессом инфляции, снижающим рост реальной величины денежной суммы, или с изменением курса валюты, с которой связаны условия договора.

В этих и подобных им случаях оговаривается изменение процентной ставки.

Рассмотрим ситуацию с переменной сложной процентной ставкой.

Пусть на первом промежутке времени длиной t1 ставка равна i1, на втором промежутке длиной t2 ставка равна i2, на третьем промежутке длиной t ставка равна i3 и так далее. Промежутки, как и раньше, могут иметь различную длину.

Рассмотрим n таких промежутков длиной t1, t2,... tn. Величина вклада по сложной переменной ставке к концу последнего промежутка составит:

Определим среднюю процентную ставку i для случая вклада по сложной переменной ставке.

Пусть, как и раньше, T – общий срок вклада по переменной ставке, Средняя процентная ставка i по определению удовлетворяет следующему условию: если ее подставить в формулу роста вместо каждой из ставок ik, то результат расчета при этом не изменится. Таким образом:

Отсюда получаем формулу для (1 + i) – средней величины коэффициента роста за единицу времени:

Наконец, сама средняя сложная процентная ставка i равна:

Согласно формуле среднего коэффициента роста (1 + i), он является средневзвешенной геометрической коэффициентов роста по отдельным промежуткам времени. В качестве весовых коэффициентов выступают доли соответствующих промежутков времени в общем сроке вклада.

Коэффициенты роста для тех промежутков времени, которые имеют относительно большую длину, войдут в итоговую средневзвешенную величину с большим весом.

В частном случае, когда длины всех промежутков времени равны друг другу, доля каждого из них равна 1/n, и средневзвешенная величина переходит в обычную среднюю геометрическую:

Пример. Рассмотрим условия примера, приведенного выше для простой процентной ставки. Пусть промежуток t1 составляет 1,5 года, промежуток t2 – 1 год и промежуток t3 – 2,5 года. Соответствующие годовые процентные ставки:

Доли промежутков времени:

Определим среднюю сложную процентную ставку i:

1 + i = (1 + i1) 1(1 + i2) 2 (1 + i3) 3 = (1 + 0,4)0,3(1 + 0,6)0,2(1 + 0,2)0,5 = 1,33.

Средняя ставка составляет 33% годовых.

Если бы промежутки были одинаковой длительности, то средний коэффициент роста оказался бы равен среднему геометрическому отдельных коэффициентов:

1 + i = (1,4*1,6*1,2)1/3 = 1,39.

Средняя ставка в этом случае составляет 39% годовых.

Пример. Пусть по условиям договора первый год наращения суммы идет по ставке 5% в месяц, затем еще полгода по ставке 4% в месяц, а потом еще полгода по ставке 3% в месяц. Тогда первоначальный вклад в размере 100 тыс. руб. через два года вырастет до величины S:

100(1 0,05)12 (1 0,04)6 (1 0,03) 3.2. Годовые, квартальные, месячные ставки процента Начисление сложных процентов часто осуществляется не один, а несколько раз в году, каждый квартал, каждый месяц и т.д. В таком случае обычно в договоре указывается номинальная ставка процента i, по которой определяется величина ставки в каждом периоде начисления ( i кв при квартальном начислении, iгод при месячном и т.д.).

Формулы, связывающие друг с другом процентные ставки за разные периоды времени, можно получить, используя принцип финансовой эквивалентности результатов.

Финансовый результат за год, получаемый при годовой ставке iгод, должен быть равен финансовому результату за четыре последовательных квартала, рассчитанному по формуле сложных процентов для эквивалентной квартальной ставки i кв. Отсюда получаем равенство:

1 iгод iгод iкв При выводе формул говорилось об эквивалентности финансовых результатов за год. Важно отметить, что эквивалентность результатов при этом обеспечивается не только за годовой, но и за любой промежуток времени.

Действительно, рассмотрим, например, промежуток длиной 2,5 года.

Он содержит 10 кварталов. При годовом расчете коэффициент наращения равен:

(1 iгод )2,5.

При квартальном расчете такой коэффициент равен:

(1 i кв )10.

Но эти коэффициенты равны друг другу, поскольку годовая и квартальная ставки связаны соотношением:

1 iгод (1 iкв )4.

Отсюда получаем:

Это рассуждение можно распространить на общий случай.

Пусть промежуток времени, исчисляемый в годах, равен n (число n не обязательно целое). Тогда этот промежуток содержит 4 n кварталов. Наращения по годовой и эквивалентной ей квартальной ставке процента за этот промежуток времени равны друг другу, Мы установили связь между годовой и квартальной ставками. Такое же рассуждение позволяет сформировать связь между годовыми, квартальными и месячными ставками:

1 iгод iгод iмес 1 i KB i мес Рассмотрим ситуацию в общем виде. Пусть период начисления по процентной ставке i делится на m одинаковых промежутков времени. Тогда процентная ставка i', связанная с этими промежутками, определяется через ставку i в соответствии с соотношением:

(1 + i ')m = (1 + i).

i = (1 + i ')m – 1, i '= (1 + i)1/m – 1.

Этим путем может быть установлена связь между процентными ставками за любые два периода времени. Пусть периоды t и t' выражены в одинаковых единицах (годах, месяцах, днях и т.п.). Пусть за период времени t установлена процентная ставка i, а за период t' процентная ставка i'. Эти ставки эквивалентны, если они за одинаковые промежутки времени приводят к одинаковым результатам, то есть если соответствующие им коэффициенты наращения за одинаковые промежутки времени равны.

В качестве единого промежутка возьмем промежуток величины t t'.

В нем содержатся периоды t в количестве t' и периоды t' в количестве t.

Условие эквивалентности запишется в виде равенства:

(1 + i)t' = (1 + i ')t.

Отсюда получаем формулы, выражающие одну ставку через другую:

i = (1 + i ')t/t' – 1, i = (1 + i)t'/t – 1.

Обычно в контрактах оговаривается годовая процентная ставка. Она в этом случае называется номинальной процентной ставкой. Эквивалентные ей процентные ставки за другие периоды времени, рассчитанные в соответствии с указанными выше формулами, называются уравновешенными (или уравновешивающими) Таким образом, говорят о номинальной годовой ставке и уравновешенных (уравновешивающих) полугодовой, квартальной, месячной, дневной ставках.

Пример. Годовая ставка равна 40%. Найти уравновешенную полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.

Решение. iгод = 0,4.

iполугод = (1 + iгод )1/2 – 1 = (1,4)1/2 – 1 = 0,1832, iкв = (1 + iгод )1/4 – 1 = (1,4)1/4 – 1 = 0,0877, iмес = (1 + iгод )1/12 – 1 = (1,4)1/12 – 1 = 0,0284, iднев = (1 + iгод )1/365 – 1 = (1,4)1/365 – 1 = 0,0009.

Таким образом, уравновешенные ставки принимают следующие значения: полугодовая 18,32%, квартальная 8,77%, месячная 2,84%, дневная 0,09%.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Ставка процента за период 3,5 месяца равна 20%. Найти эквивалентную ей ставку за период 6 месяцев.

Решение. Введем обозначения: t = 3,5; i = 0,2; t ' = 6.

Требуется найти i '. В соответствии с формулой (1 + i)t' = (1 + i ')t (1 + 0,2)6 = (1 + i )3,5.

i = (1 + 0,2)6/3,5 – 1 = 0,3669.

Таким образом, эквивалентная ставка за 6 месяцев равна 36,69%.

В предыдущем параграфе мы получили формулы, которые позволяют ставку процента, привязанную к одному периоду начисления, пересчитать в другую, эквивалентную ставку процента, привязанную к другому периоду начисления. В частности, эти формулы позволяют номинальную годовую ставку перевести в другие уравновешенные ставки.

Полученные формулы являются точными, но в силу своей сложности не всегда удобными для практического применения. В практике финансовых операций эти формулы часто заменяются другими, более простыми формулами. Вместо уравновешенной ставки эти упрощенные формулы определяют так называемую относительную (релятивную) ставку.

Следует отметить, что расчет по относительным ставкам, будучи достаточно простым, приводит к неточным результатам.

Пусть годовая ставка процента равна iгод. Тогда квартальная относительная ставка iкв рассчитывается по формуле:

Месячная относительная ставка iмес определяется формулой:

Вообще, относительная ставка за период времени t, измеряемый в годах, определится величиной:

Для квартала t = 1/4, для месяца t = 1/12, так что из последней общей формулы автоматически получаются ее частные случаи для квартальной и месячной ставки.

Рассмотрим ситуацию в общем виде. Предположим, что период начисления делится на m одинаковых промежутков. Тогда относительная процентная ставка i', связанная с такими промежутками, рассчитывается по формуле:

Обратное соотношение позволяет выразить исходную ставку i через относительную i '. Установим связь между относительными ставками процента за любые два периода времени. Пусть периоды времени t и t ' измеряются в одних и тех же единицах. За период t установлена процентная ставка i, а за период t ' ставка i '. Эти ставки считаются относительными друг для друга, если они связаны соотношением:

то есть, если они равны в расчете на единицу времени. В равносильной форме это равенство имеет вид:

Отсюда получаем формулы, позволяющие выразить одну ставку через другую:

Пример. Возьмем данные из примера, рассмотренного в предыдущем параграфе. Пусть номинальная годовая процентная ставка равна 40%.

Требуется найти относительные полугодовую, квартальную, месячную и дневную ставки процента.

Решение. i = 0,4.

iполугод = 1/2 iгод = 0,2, iкв = 1/4 iгод = 0,1, iмес = 1/12 iгод = 0,0333, iднев = 1/365 iгод = 0,0011.

Таким образом, относительные ставки принимают следующие значения: полугодовая 20%, квартальная 10%, месячная 3,33%, дневная 0,11%.

Рассмотрим другой пример.

Пример. Ставка процента за период 3,5 месяца равна 20 %. Найти относительную ставку за период 6 месяцев.

Решение. Введем обозначения:

Требуется найти i'. В соответствии с формулой для относительной процентной ставки:

Отсюда получаем: i ' = 0,3428. Относительная ставка за 6 месяцев составляет, таким образом, 34,28%.

Сопоставление результатов рассмотренных примеров с результатами примеров предыдущего параграфа показывает следующее. Относительная ставка по своей величине оказывается выше уравновешенной ставки при переходе к периоду меньшей длины (от годового периода к полугодию, кварталу и т.д.). При переходе к периоду большей длины (от 3,5 к 6 месяцам), напротив, относительная ставка ниже уравновешенной.

Номинальная годовая ставка превращается в относительную ставку для полугодия, квартала, месяца путем деления величины годовой ставки на соответствующее число. Такой переход соответствует преобразованиям по формуле простых процентов. Однако дальнейшие преобразования, связанные и с использованием относительной ставки, проводятся по формулам сложных процентов.

Так, рост вклада за m месяцев по номинальной годовой ставке сложных процентов рассчитывают с помощью относительной ставки следующим образом. По годовой ставке iгод рассчитывают месячную ставку iмес:

iмес = iгод /12, и затем по формуле сложных процентов определяют коэффициент наращения за m месяцев. Он имеет величину:

Такой расчет приводит к искажениям.

Например, при m = 6 коэффициент наращения с помощью относительной ставки можно вычислить несколькими различными способами.

Они приведут к различным результатам.

Пример. Номинальная годовая ставка равна 40%. Определить коэффициент наращения для промежутка времени, равного полугодию, на основе относительных ставок для разных периодов начисления.

Решение. Ставка i = 0,4.

Отсюда, как было рассчитано выше:

iполугод = 0,2, iмес = 0,0333, iднев = 0,0011.

Величина коэффициента наращения за одно и то же полугодие, вычисленная по различным относительным ставкам, оказывается различной:

(1 + iполугод )1 = 1,200, (1 + iмес )6 = 1,217, (1 + iднев )183 = 1,221.

Какая же из этих величин правильная? Ответ на этот вопрос (то есть применение той или иной формулы расчета) должен быть оговорен в контракте. Если это не сделано, то каждая из договаривающихся сторон может подразумевать свою формулу, что в дальнейшем может оказаться причиной недоразумений и конфликтов.

Конкретную формулу расчета можно не оговаривать в тех случаях, когда каждая из сторон готова примириться с возникающими при этом искажениями.

В предыдущем параграфе рассмотрен пример расчета уравновешенных ставок для номинальной 40%-й годовой ставки. Расчеты по этим ставкам для любого промежутка времени, в частности для полугодия, дают одну и ту же величину, точную величину коэффициента наращения.

Она равна 1,1832 и отличается от всех результатов, рассчитанных с применением относительных ставок.

Точный расчет, не вносящий искажений, основан на уравновешенных ставках. Если здесь и возникают расхождения, то это связано не с существом дела, а исключительно с точностью вычислений. Точность повышается, если в расчеты вовлекать большее число десятичных разрядов или если проводить расчеты в обыкновенных дробях.

Расчеты же с относительными ставками всегда вносят те или иные искажения, не устранимые путем простого повышения точности вычислений.

На практике чаще пользуются относительными ставками. Их применение связано с большим удобством (в ущерб точности) и со сложившейся традицией.

Однако при проведении точного анализа и в теоретических исследованиях используют уравновешенную ставку. Ее называют также эффективной процентной ставкой.

Эффективная процентная ставка показывает тот реальный относительный доход, который возникает за год в связи с начислением процентов. Иными словами, эффективная ставка – эта годовая сложная процентная ставка, обеспечивающая ту же величину дохода, что и реально применяемый способ начисления процентов.

Если проценты начисляются раз в году, то эффективная ставка соответствует сложной номинальной процентной ставке. Если же проценты начисляются чаще, то эффективная и номинальная ставка численно могут оказаться различными. Соответствие между ними зависит от способа расчета процентов за отдельные промежутки времени.

Если реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на уравновешенных ставках, то эффективная ставка совпадает с номинальной ставкой процентов. Если же реально применяемый способ помесячного (поквартального) начисления процентов основан на относительных ставках (или еще на каких-то расчетных схемах), то эффективная и номинальная ставка окажутся различными.

3.3. Рост по простым и сложным процентным ставкам Характеристики роста по простым и сложным процентам Рассмотрим рост величины вклада по формулам простых и сложных процентов при одной и той же величине процентной ставки.

Пусть начисление процентов идет по ставке i за период времени (например, за год). Тогда рост суммы за время t от начальной величины Р определяется следующими формулами:

- для простых процентов:

S = Р (1 + i t);

- для сложных процентов:

S = Р (1 + i)t.

Начисления для нецелого числа периодов проводятся здесь по той же формуле, что и для целого числа. Для простых процентов величина S зависит от времени t по закону линейной функции. Для сложных процентов она зависит от t по закону показательной функции. На рис. 6 представлены графики таких зависимостей.

Рис. 6. Рост суммы по формулам простых и сложных процентов Обе линии на рисунке начинаются в одной точке. При t = 0:

Если длина промежутка времени t меньше длины периода, то простые проценты дают больший рост суммы, чем сложные.

График линейной функции, определяющей рост по формуле простых процентов, лежит при этом выше графика показательной функции, определяющей рост по формуле сложных процентов. Поэтому, если банк объявляет годовую процентную ставку по вкладам, а срок вклада меньше года, то вкладчику выгоднее, чтобы банк вел с ним расчеты по простой процентной ставке. Заемщику, взявшему в банке ссуду на срок меньше года, напротив, выгоднее рассчитываться по сложным процентам.

Если промежуток времени t равен одному периоду, то расчет по простым и сложным процентам дает один и тот же результат:

Оба графика при t = 1 проходят через одну точку. Если срок равен длине периода начисления процентов (например, году), то вкладчику или заемщику безразлично, ведутся ли с ним расчеты по простым или сложным процентам.

Если же длина промежутка t больше одного периода, то сложные проценты дают большой рост суммы, чем простые. Если t > 1, то P (1 + i t) < P (1 + i)t.

График показательной функции лежит выше прямой, причем с ростом t увеличивается не только величина расхождения между ними, но и скорость увеличения этого расхождения. Если срок вклада больше периода начисления процентов, то вкладчику выгоднее начисления по формуле сложных процентов, причем с ростом срока вклада эта выгода возрастает.

Заемщику же, напротив, выгоднее возвращать ссуду с простыми процентами.

В таблице 7 даны значения коэффициента нарастания по кварталам в течение одного года для простых и сложных процентных начислений при ставке 30% годовых. В таблице ясно прослеживается более высокий рост по простым процентам. Расхождение между нарастанием по простым и сложным процентам особенно велико в середине годового периода и становится менее заметным по мере приближения к его левой или правой границе. При сроке вклада менее одного года для вкладчика более выгоден расчет по простым процентам, причем эта выгода особенно велика при сроке вклада около двух кварталов и становится меньшей при коротких и длинных сроках вклада.

Впрочем, расхождение даже в середине года составляет один процентный пункт при ставке 30% годовых.

В таблице 8 приведены расчеты коэффициентов нарастания по той же годовой ставке 30%, но для сроков, превышающих год. Здесь хорошо видна разница в нарастании по простым и сложным процентам. Для вкладчика существенно более выгодны расчеты по сложным процентам, причем тем выгоднее, чем больше срок вклада.

Каждый рубль, положенный на счет с приростом по ставке 30% годовых, через 100 лет превратится по простым процентам в 31 рубль, а по сложным процентам – в 247 900 000 000 рублей.

Такое расхождение иллюстрирует разницу в росте по закону арифметической и геометрической прогрессии.

Механизм роста здесь тот же, что и в известной притче о мудреце – изобретателе шахмат. Повелитель обещал ему в виде награды дать зерно:

одно зернышко за первую клетку шахматной доски и далее за каждую клетку в два раза больше зерен, чем за предыдущую, – и обнаружил, что для такой награды не хватит зерна во всех его обширных владениях.

Для оценки скорости роста денежной суммы часто используют так называемые формулы срока удвоения. Такие формулы позволяют рассчитать срок, за который удваивается вложенная сумма денег.

Такой срок рассчитывается путем решения уравнения, определяющего удвоение коэффициента нарастания.

Для простых процентов уравнение имеет вид:

Для сложных процентов уравнение имеет вид:

(1 + i)t = 2.

Решением этого уравнения является:

В таблице 9 показаны результаты расчетов срока удвоения для различных величин ставок простых и сложных процентов.

Для небольших процентных ставок (1 – 5%) срок удвоения по сложным процентам заметно короче, чем по простым. Он составляет около 70% от срока удвоения по простым процентам. С ростом процентных ставок оба срока укорачиваются, причем по простым процентам сокращение срока удвоения идет быстрее, чем по сложным, так что расхождение между ними постепенно сплачивается. При ставке, равной 100%, сумма удваивается за один и тот же срок – за 1 год по каждому виду процентов.

При дальнейшем росте ставки простые проценты дают меньший срок удвоения, чем сложные.

Число лет для простых процентов Число лет для сложных процентов Процентные ставки являются финансово эквивалентными, если замена в контракте одной ставки на другую не приводит к изменению финансовых результатов контракта, к изменению отношений участвующих в сделке сторон.

Если рост по простой процентной ставке за определенное время приводит к тому же результату, что и рост по сложной процентной ставке за то же время, то эти ставки финансово эквивалентны. Пусть in и ic – простая и сложная процентные ставки с одним и тем же периодом начисления (например, годовые ставки). Приравняем множители роста по этим ставкам за время t:

1 + in t = (1 + ic)t.

Отсюда можно получить формулы, позволяющие по сложной ставке рассчитать эквивалентную ей простую и по простой ставке определить эквивалентную ей сложную.

Отметим, что в формулах расчета эквивалентных ставок участвует величина промежутка времени t. При изменении длины промежутка изменяется и величина эквивалентной ставки.

Из полученных формул непосредственно следует, что при t = 1, то есть когда длина рассматриваемого промежутка времени равна периоду начисления, эквивалентные ставки равны друг другу:

если t = 1, то in = ic.

Как показывают наши предыдущие рассуждения, для эквивалентных процентных ставок in и ic выполняются условия:

если t < 1, то in < ic, если t > 1, то in > ic.

Пример. Кредит предоставляется на условиях 20 сложных процентов.

Какова эквивалентная ставка простых процентов при сроках: 1 месяц, полгода, год, 2 года?

Решение. По условию ic = 0,2. В соответствии с формулой для t = 1/12, получаем:

Для t = 0,5 получаем:

Проведенные в примере расчеты на конкретных числовых данных демонстрируют характер изменения величины простой процентной ставки в зависимости от изменения длины промежутка времени.