«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ШАРИПОВ Р. А. КУРС ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ УФА 1996 2 УДК 517.9 Шарипов Р. А. Курс линейной алгебры и многомерной геометрии: учебное пособие для вузов / Изд-е ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ШАРИПОВ Р. А.

КУРС ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

И МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

УФА 1996

2

УДК 517.9

Шарипов Р. А. Курс линейной алгебры и многомерной геометрии:

учебное пособие для вузов / Изд-е Башкирского ун-та. Уфа, 1996. 146 с.

ISBN 5-7477-0099-5 Электронная версия свободно распространяются в сети Интернет, она бесплатна для персонального использования и учебных целей. Любое коммерческое использование без письменного согласия автора запрещено.

Книга рассчитана как учебное пособие по основному курсу многомерной геометрии и линейной алгебры. На математическом факультете Башкирского Государственного университета этот предмет изучается на первом курсе во втором семестре. Он входит в программу базового математического образования для физико-математических факультетов и изучается во всех университетах России.

Подготовка книги к изданию выполнена методом компьютерной верстки на базе пакета AMS-TEX от Американского Математического Общества. При этом были использованы кириллические шрифты семейства Lh, распространяемые Ассоциацией CyrTUG пользователей кириллического TEX’а.

Рецензенты: Кафедра Вычислительной Математики и Кибернетики УГАТУ, д. ф.-м. н., проф. Пинчук С.И. (Челябинский Государственный Технологический Университет и Индианский Университет, США).

Контактная информация для связи с автором.

Место работы: Математический факультет, Башкирский Государственный Университет, ул. Фрунзе 32, Уфа 450074, Россия Тел.: 7-(3472)-23-67- Факс: 7-(3472)-23-67- Домашний адрес: ул. Рабочая 5, Уфа 450003, Россия Тел.: 7-(917)-75-55- E-mail: R [email protected], [email protected], ra [email protected], ra [email protected] URL: http://www.geocities.com/r-sharipov c Шарипов Р.А. ISBN 5-7477-0099- c Башкирский университет ОГЛАВЛЕНИЕ.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

§ 1. Множества и отображения.

§ 2. Линейные векторные пространства.

§ 3. Линейная зависимость и независимость.

§ 4. Порождающие системы и базисы.

§ 5. Координаты. Преобразование координат векторов при замене базиса.

§ 6. Пересечения и суммы подпространств.

§ 7. Смежные классы по подпространству. Понятие факторпространства.

§ 8. Линейные отображения.

§ 9. Матрица линейного отображения.

§ 10. Алгебраические операции с отображениями.

Пространство гомоморфизмов Hom(V, W ).

ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

§ 1. Линейные операторы. Алгебра эндоморфизмов End(V ) и группа автоморфизмов Aut(V ).

§ 2. Операторы проектирования.

§ 3. Инвариантные подпространства. Сужение и факторизация операторов.

§ 4. Собственные числа и собственные векторы.

§ 5. Нильпотентные операторы.

§ 6. Корневые подпространства. Теорема о сумме корневых подпространств.

§ 7. Жорданов нормальный базис линейного оператора.

Теорема Гамильтона-Кэли

ГЛАВА III. СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО.

§ 1. Линейные функционалы. Векторы и ковекторы.

Сопряженное пространство.

§ 2. Преобразование координат ковектора при замене базиса.

§ 3. Ортогональные дополнения в сопряженном 4 ОГЛАВЛЕНИЕ.

пространстве

§ 4. Сопряженное отображение.

ГЛАВА IV. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ

ФОРМЫ.

§ 1. Симметрические билинейные формы и квадратичные формы. Формула восстановления.

§ 2. Ортогональные дополнения относительно квадратичной формы.

§ 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Индексы инерции и сигнатура.

§ 4. Положительно определенные квадратичные формы.

Критерий Сильвестра.

ГЛАВА V. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

§ 1. Норма и скалярное произведение. Угол между векторами. Ортонормированные базисы.

§ 2. Квадратичные формы в евклидовом пространстве.

Диагонализация пары форм.

§ 3. Самосопряженные операторы. Теорема о спектре и базисе из собственных векторов.

§ 4. Изометрии и ортогональные операторы.

ГЛАВА VI. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

§ 1. Точки и параллельные переносы. Аффинные пространства.

§ 2. Евклидовы точечные пространства. Квадрики в евклидовом пространстве.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Существует два подхода к изложению линейной алгебры и многомерной геометрии. Первый можно охарактеризовать как координатно-матричный подход, второй инвариантно-геометрический подход.

В большинстве учебников используется координатно-матричный подход.

Он начинается с рассмотрения систем линейных уравнений. Затем развивается теория детерминантов, матричная алгебра и геометрия пространства Rn. Этот подход удобен для первоначального знакомства с предметом. В основе его лежат простые понятия числа, наборы чисел, матрицы с числовыми элементами, линейные функции и линейные уравнения. Доказательства в идейном плане просты и носят, по существу, вычислительный характер.

Однако, в определенный момент простота координатно-матричного подхода перестает быть преимуществом. Вычислительный характер доказательств делает их громоздкими, а желание ограничиться числовыми объектами препятствует введению и использованию новых понятий.

Инвариантно-геометрический подход, которого мы придерживаемся в данной книге, стартует с определения абстрактного линейного векторного пространства. При этом координатное представление векторов перестает играть первостепенную роль. На первый план выходят теоретико-множественные методы, принятые в современной алгебре и геометрии. Линейные векторные пространства оказываются тем объектом, где эти методы проявляются наиболее просто и эффективно. Доказательство многих фактов удается сделать более коротким и изящным.

Принятый в книге инвариантно-геометрический подход к изложению материала позволяет подготовить читателя к изучению более продвинутых разделов математики, таких, как дифференциальная геометрия, коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и алгебраическая топология. Изложение материала в книге является замкнутым. От читателя требуются лишь некоторые минимальные знания из матричной алгебры и теории детерминантов.

Эти вопросы обычно излагаются в курсах общей алгебры и аналитической геометрии.

Под числовым полем в этой книге мы понимаем одно из трех полей: поле рациональных чисел Q, поле вещественных чисел R и поле комплексных чисел C. Поэтому знакомства с общей теорией числовых полей не требуется.

Автор благодарен Руденко Е. Б. за прочтение и редактирование рукописи книги.

ГЛАВА I

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

Понятие множества является базовым понятием современной математики.

Им принято обозначать всякую совокупность объектов, которые по какимлибо причинам необходимо выделить из числа остальных и объединить друг с другом. Объекты, составляющие данное множество, называются элементами этого множества. Множествам и их элементам обычно присваивают буквенные имена (идентификаторы). Пусть множество A состоит из трех объектов m, n и q. Это записывают следующим образом:

Тот факт, что m является элементом множества A, обозначают посредством значка принадлежности m A. Запись p A означает, что объект p не является элементом множества A.

Имея некоторое количество множеств, можно собрать все их элементы в одно множество, которое называется объединением исходных множеств. Для обозначения операции объединения используется значок. Выделив общую часть всех рассматриваемых множеств, мы получим новое множество, называемое пересечением этих множеств. Для обозначения операции пересечения используется значок.

Если одно из множеств A является частью другого множества B, то это обозначается так: A B или A B. При этом говорят, что A есть подмножество множества B. Значки и совершенно равнозначны. Просто, при втором варианте записи мы подчеркиваем, что условие A B не исключает совпадения A = B. Если A B, то говорят, что A есть собственное подмножество в множестве B.

Термином пустое множество обозначается множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество считается частью любого множества Определение 1.1. Отображением f : X Y из множества X в множество Y называется правило f, которое по каждому заданному x X однозначно определяет некоторый элемент y = f (x) из множества Y.

Множество X в определении 1.1 принято называть областью определения отображения f. Множество Y называется областью значений отображения f. Запись f (x) означает применение правила f к элементу x из множества X. Элемент y = f (x), полученный в результате применения f к элементу x, называют образом элемента x при отображении f.

Пусть A B некоторое подмножество в X. Множество f (A), составленное из образов всех элементов x A, называют образом множества A при отображении f. Можно дать формальное определение f (A):

Если A = X, то образ f (X) принято называть образом отображения f. Для него имеется специальное обозначение f (X) = Im f. Образ отображения f (X) = Im f часто называют множеством значений. Не следует путать множество значений и область значений, это разные понятия.

некоторый элемент в Y. Рассмотрим множество f 1 (y), состоПусть y ящее из всех элементов x X, которые отображаются в y. Оно называется полным прообразом элемента y при отображении f :

Пусть B Y некоторое подмножество в Y. Объединив полные прообразы всех элементов множества B, мы получим полный прообраз этого множества:

Нетрудно видеть, что для B = Y полный прообраз f 1 (Y ) совпадает с X.

Поэтому никакого специального обозначения для f 1 (Y ) не вводят.

Определение 1.2. Отображение f : X Y называется инъективным, если образы любых двух различных элементов x1 = x2 различны, т. е. x1 = x влечет f (x1 ) = f (x2 ).

Определение 1.3. Отображение f : X Y называется сюръективным, если полный прообраз f 1 (y) любого элемента y Y непуст.

Определение 1.4. Отображение f : X Y называется биективным или взаимно-однозначным, если полный прообраз f 1 (y) любого элемента y Y состоит равно из одного элемента множества X.

Теорема 1.1. Отображение f : X Y биективно тогда и только тогда, когда оно инъективно и сюръективно одновременно.

Док-во. Согласно утверждению теоремы 1.1 одновременная инъективность и сюръективность является необходимым и достаточным условием биективности отображения f : X Y. Начнем с доказательства необходимости.

Пусть отображение f : X Y биективно. Тогда для любого y Y полный прообраз f 1 (y) состоит ровно из одного элемента. Поэтому он непуст. Это доказывает сюръективность отображения f : X Y. Допустим, что условие инъективности отображения f : X Y нарушено. Тогда найдутся два различных элемента x1 = x2 в множестве X, для которых f (x1 ) = f (x2 ). Обозначим y = f (x1 ) = f (x2 ) и рассмотрим полный прообраз f 1 (y). Из f (x1 ) = y выводим x1 f 1 (y), а из f (x2 ) = y получаем x2 f 1 (y). Значит, множество f 1 (y) содержит, как минимум, два элемента x1 и x2. Это противоречит биективности отображения f : X Y. Полученное противоречие доказывает инъективность отображения f : X Y.

CopyRight c Шарипов Р.А., 1996.

8 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Перейдем к доказательству достаточности. Пусть отображение f : X Y инъективно и сюръективно одновременно. В силу сюръективности множества f 1 (y) непусты для всех y Y. Допустим, что какое-то из них f 1 (y) содержит более одного элемента. Пусть x1 = x2 два различных элемента из f 1 (y). Тогда f (x1 ) = y = f (x2 ), что противоречит инъективности отображения f : X Y. Значит, все множества f 1 (y) непусты и каждое состоит ровно из одного элемента. Это доказывает биективность отображения f.

Теорема 1.2. Отображение f : X Y сюръективно тогда и только тогда, когда Im f = Y.

Док-во. Пусть f : X Y сюръективно. Тогда для любого элемента y Y полный прообраз f 1 (y) непуст. Выбрав некоторый элемент x f 1 (y), мы получим y = f (x). Значит, всякий элемент y Y есть образ некоторого элемента x при отображении f. Следовательно, Im f = Y.

Наоборот, пусть Im f = Y. Тогда всякий элемент y Y есть образ некоторого x, т. е. y = f (x). Значит, для всякого y Y прообраз f 1 (y) непуст, что означает сюръективность отображения f.

Рассмотрим два отображения f : X Y и g : Y Z. Выбрав произвольный элемент x X, мы можем применить к нему отображение f. В результате получится элемент f (x) Y, к которому можно применить отображение g. Последовательное применение двух отображений g(f (x)) задает правило, которое каждому x X сопоставляет однозначно определенный элемент z = g(f (x)) Z. Полученное отображение : X Z, называется композицией отображений g и f и обозначается = g f.

Теорема 1.3. Композиция g f двух инъективных отображений f : X Y и g : Y Z инъективна.

Док-во. Рассмотрим два вектора x1 и x2 из пространства X. Положим силу инъективности f из x1 = x2 вытекает y1 = y2. Из инъективности g выводим g(y1 ) = g(y2 ), что означает g f (x1 ) = g f (x2 ). Инъективность g f доказана.

Теорема 1.4. Композиция g f любых двух сюръективных отображений f : X Y и g : Y Z сюръективна.

Док-во. Рассмотрим некоторый произвольный вектор z из пространства Z. В силу сюръективности g прообраз g 1 (z) непуст. Выберем некоторый вектор y g 1 (z) и рассмотрим его прообраз f 1 (y). В силу сюръективности f он непуст. Выбрав некоторый вектор x f 1 (y), получаем g f (x) = z, то есть x (g f )1 (z). Значит, прообраз (g f )1 непуст. Сюръективность композиции g f доказана.

В качестве прямого следствия из доказанных двух теорем получаем теорему о композиции биекций.

Теорема 1.5. Композиция g f двух биективных отображений f : X Y и g : Y Z биективна.

Пусть заданы три отображения f : X Y, g : Y Z и h : Z U. Тогда мы можем образовать композиции этих отображений двумя способами:

Факт совпадения этих двух отображений составляет содержание следующей теоремы об ассоциативности.

Теорема 1.6. Операция взятия композиции отображений ассоциативна, Док-во. Согласно определению 1.1 проверка совпадения двух отображений : X U и : X U из (1.1) сводится к проверке равенства (x) = (x) для произвольного элемента x X. Положим = h g и = g f. Тогда Сравнивая правые части в равенствах (1.2), выводим требуемое совпадение (x) = (x) для отображений (1.1). Значит, h (g f ) = (h g) f. Теорема доказана.

Рассмотрим отображение f : X Y, а также пару единичных отображений idX : X X и idY : Y Y. Последние два отображения определяются так:

Определение 1.5. Отображение l : Y X называют левым обратным для отображения f : X Y, если l f = idX.

Определение 1.6. Отображение r : Y X называют правым обратным для отображения f : X Y, если f r = idY.

Вопрос о существовании левого и правого обратного отображений решается следующими двумя теоремами.

Теорема 1.7. Отображение f : X Y обладает левым обратным отображением l тогда и только тогда, когда оно инъективно.

Теорема 1.8. Отображение f : X Y обладает правым обратным отображением r тогда и только тогда, когда оно сюръективно.

Док-во теоремы 1.7. Пусть отображение f : X Y обладает левым обратным отображением l. Выберем два вектора x1 и x2 из пространства X и положим y1 = f (x1 ) и y2 = f (x2 ). Тогда равенство l f = idX дает x1 = l(y1 ) и x2 = l(y2 ). Следовательно, равенство y1 = y2 влечет x1 = x2, а из x1 = x2 вытекает y1 = y2. Таким образом, из существования левого обратного отображения l мы вывели инъективность f.

Теперь в обратную сторону. Пусть отображение f инъективно. Выберем и фиксируем некоторый элемент x0 X. Для каждого элемента y Im f прообраз f 1 (y) непуст. Для всех таких y выберем и фиксируем элементы xy f 1 (y). Определим отображение l : Y X следующим образом:

10 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Рассмотрим композицию l f. Нетрудно видеть, что для произвольного элемента x X выполнено соотношение l f (x) = xy, где y = f (x). Но f (xy ) = y = f (x). Используя инъективность отображения f, получаем xy = x.

Значит, l f (x) = x для произвольного x X. Равенство l f = idX для отображения l доказано. Это отображение и есть требуемое левое обратное отображение для f. Теорема доказана.

Док-во теоремы 1.8. Пусть отображение f : X Y обладает правым обратным отображением r. Для произвольного элемента y Y из равенства f r = idY выводим y = f (r(y)). Значит, r(y) f 1 (y) и прообраз f 1 (y) непуст. Сюръективность f установлена.

Теперь наоборот. Пусть отображение f сюръективно. Для каждого y Y прообраз f 1 (y) непуст. В каждом из множеств f 1 (y) выберем и фиксируем ровно по одному элементу xy f 1 (y). Это позволяет определить отображение r : Y X, полагая r(y) = xy. Но f (xy ) = y, поэтому f (r(y)) = y и f r = idY. Существование правого обратного отображения r установлено.

Отметим, что отображения l : Y X и r : Y X, построенные при доказательстве теорем 1.7 и 1.8, в общем случае не являются единственно возможными. Даже способ их построения содержит определенный элемент произвола.

Определение 1.7. Отображение f 1 : Y X называют двухсторонним обратным отображением или просто обратным отображением для f : X Y, если выполнены следующие соотношения:

Теорема 1.9. Отображение f : X Y обладает левым и правым обратными отображениями l и r тогда и только тогда, когда оно биективно. В этом случае отображения l и r однозначно определены, совпадают друг с другом и определяют единственное двустороннее обратное отображение l = r = f 1.

Док-во. Первое утверждение теоремы 1.9 вытекает из теорем 1.7 и 1.8 и теоремы 1.1. Докажем оставшиеся утверждения теоремы 1.9. Совпадение l = r вытекает из следующей цепочки равенств:

Отсюда же вытекает единственность левого обратного отображения. Если допустить существование еще одного левого обратного отображения l, то из l = r и l = r вытекает l = l.

Аналогичным образом, допустив существование еще одного правого обратного отображения r, получаем l = r и l = r. Откуда r = r. Совпадающие друг с другом левое и правое обратные отображения задают единственное двухстороннее обратное отображение f 1 = l = r, удовлетворяющее соотношениям (1.3).

Пусть M некоторое множество. Бинарной алгебраической операцией на M называют некоторое правило, которое каждой упорядоченной паре элементов x, y из множества M сопоставляет некоторый однозначно определенный третий элемент z M. Это правило можно обозначать в форме z = f (x, y).

Такая форма записи называется префиксной формой записи алгебраической операции: в ней знак операции f предшествует элементам x и y, к которым он применяется. Имеется и другая инфиксная форма записи алгебраической операции, когда знак операции ставится между элементами x и y. Примером могут служить бинарные операции сложения и умножения чисел: z = x + y, z = x · y. Иногда роль знака алгебраической операции играют специальные скобки, а разделителем служит обычная запятая. Примером такого обозначения служит векторное произведение трехмерных векторов: z = [x, y].

Пусть K числовое поле. Под числовым полем в этой книге мы будем понимать одно из трех полей: поле рациональных чисел K = Q, поле вещественных чисел K = R или поле комплексных чисел K = C. Скажем, что на множестве M задана операция умножения на числа из поля K, если задано правило, которое каждой паре, x, состоящей из числа K и элемента x M, ставит в соответствие некоторый элемент y M. Операция умножения на число записывается в инфиксной форме: y = · x. Знак умножения в этой записи часто не ставится: y = x.

Определение 2.1. Множество V, оснащенное бинарной операцией сложения и операцией умножения на числа из поля K, называется линейным векторным пространством над полем K, если выполнены условия (3) существует нулевой элемент 0 V, такой, что v + 0 = v для всякого (4) для всякого v V существует противоположный элемент v V, (5) · (u + v) = · u + · v для всякого числа K и для всяких элементов (7) · ( · v) = () · v для любых двух чисел, K и для всякого (8) 1 · v = v для числа 1 K и любого элемента v V.

Элементы линейного векторного пространства принято называть векторами, а условия (1)-(8) называют аксиомами линейного векторного пространства. В зависимости от рассматриваемого случая K = Q, K = R или K = C мы будем различать рациональные, вещественные и комплексные линейные векторные пространства. Большинство приводимых в этой книге результатов справедливо для случая произвольного числового поля K. При формулировке таких результатов мы не будем специально оговаривать тип линейного векторного пространства.

ативности для операции сложения векторов. Аксиомы (5) и (6) выражают свойство дистрибутивности.

Система аксиом (1)-(8) избыточна: аксиому (1) можно вывести из остальных. Автор признателен А. В. Муфтахову, сообщившему этот любопытный факт.

12 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Теорема 2.1. Алгебраические операции с векторами произвольного линейного векторного пространства V обладают следующими свойствами:

(9) нулевой вектор 0 V единственен;

(10) для любого вектора v из пространства V имеется ровно один противоположный вектор v ;

(11) произведение числа 0 K и любого вектора v из пространства V есть (12) произведение любого числа K и нулевого вектора есть нулевой (13) умножение числа 1 K и вектора v V дает противоположный Док-во. Свойства (9)-(13) вытекают непосредственно из аксиом (1)-(8). В силу этого их нумерация продолжает нумерацию аксиом линейного векторного пространства.

Предположим, что в линейном векторном пространстве имеются два элемента 0 и 0 со свойствами нулевого вектора. Тогда для любого вектора v V из аксиомы (3) имеем v = v + 0 и v + 0 = v. Подставим v = 0 в первое равенство и v = 0 во второе равенство. С учетом аксиомы (1) это дает Значит, вектора 0 и 0 совпадают: 0 = 0. Единственность нулевого вектора доказана.

Пусть v некоторый произвольный вектор из V. Предположим, что имеются два вектора v и v, противоположных вектору v. Тогда Следующая цепочка вычислений доказывают единственность противоположного вектора в линейном векторном пространстве V :

При выводе v = v выше мы использовали аксиому (4), аксиомы ассоциативности (2) и дважды использовали аксиому коммутативности (1).

Пусть вновь v некоторый произвольный вектор из V. Положим x = 0 · v.

Сложим вектор x с x и применим аксиому дистрибутивности (6). Это дает Из доказанного равенства x + x = x легко выводим x = 0:

Здесь мы вновь воспользовались аксиомой ассоциативности (2). Свойство (11) доказано.

некоторое число из числового поля K. Положим x = · 0, где 0 нулевой вектор из V. Тогда Здесь мы использовали аксиому (5) и использовали свойство нулевого вектора из аксиомы (3). Из равенства x + x = x вытекает x = 0 (см. выше). Свойство (12) доказано.

Пусть v некоторый произвольный вектор из V. Положим x = (1) · v.

Для вектора x выводим Здесь мы использовали аксиому (8) и аксиому дистрибутивности (6). Из выведенного равенства v + x = 0 видим, что x есть вектор, противоположный вектору v в смысле аксиомы (4). Из доказанного выше свойства единственности противоположного вектора (10) находим x = v, то есть (1) · v = v.

Теорема полностью доказана.

Аксиомы коммутативности и ассоциативности позволяют не заботиться о расстановке скобок и о порядке слагаемых при записи сумм векторов.

Свойство (8) и аксиомы (7) и (8) дают Это равенство делает естественным обозначение v = v для противоположного вектора. При этом Операция вычитания векторов противоположна операции сложения. Она определяется как сложение с противоположным вектором: x y = x + (y).

Следующие свойства операции вычитания делают вычисления с векторами естественными, простыми и очень похожими на вычисления с числами. Доказательство перечисленных свойств мы оставляем читателю.

Рассмотрим некоторые примеры линейных векторных пространств. Вещественное арифметическое линейное векторное пространство Rn определяется как множество всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел x1,..., xn. Такие наборы удобно изображать в форме вектор-столбцов.

Алгебраические операции с вектор-столбцами выполняются покомпонентно:

14 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Мы представляем читателю возможность самостоятельно убедиться в том, что множество Rn с алгебраическими операциями (2.1) есть линейное векторное пространство над полем вещественных чисел. Аналогичным образом определяется рациональное арифметическое векторное пространство Qn над полем Q и комплексное арифметическое векторное пространство Cn над полем C.

Рассмотрим множество m-кратно непрерывно дифференцируемых вещественнозначных функций на отрезке [1, 1]. Это множество обычно обозначают так: C m ([1, 1]). Операции сложения функций и умножения функции на число в C m ([1, 1]) определяются поточечно. Значение функции f + g в точке a есть сумма значений функций f и g в этой точке, а значение функции · f в точке a есть произведение чисел и f (a). Нетрудно убедиться в том, что множество функций C m ([1, 1]) с поточечным сложением и умножением на число есть линейное векторное пространство над полем вещественных чисел R. Проверку этого мы также оставляем читателю.

Определение 2.2. Непустое подмножество U V линейного векторного пространства V над полем K называется подпространством в V, если:

(2) из u U вытекает · u U для любого числа K.

Пусть U подпространство линейного векторного пространства V. Рассмотрим U как отдельное изолированное множество. В силу условий (1) и (2) это множество замкнуто относительно операций сложения и умножения на число. Нетрудно показать, что нулевой вектор 0 принадлежит U и для всякого u U противоположный вектор u также принадлежит U. Это вытекает из формул 0 = 0 · u и u = (1) · u, где u U. Основываясь на этих фактах, нетрудно доказать, что любое подпространство U V, рассматриваемое изолированно, само является линейным векторным пространством над полем K.

Действительно, выполнение аксиом (3) и (4) мы уже установили. Проверка аксиом (1), (2) и (5)-(8) состоит в проверке некоторых равенств, записанных в терминах операций сложения и умножения на число. Будучи выполненными для произвольных векторов из V, эти равенства выполнены и для векторов из подмножества U V. Замкнутость U относительно алгебраических операций гарантирует нам, что все определяемые этими равенствами вычисления не выводят за пределы множества U.

В качестве примеров отметим следующие подпространства в функциональном пространстве C m ([1, 1]):

– подпространство четных функций;

– подпространство нечетных функций;

– подпространство полиномов.

§ 3. Линейная зависимость и независимость.

Пусть v1,..., vn некоторая система векторов из линейного векторного пространства V. Операции сложения и умножения на числа позволяют образовать из этих векторов выражения вида Выражение вида (3.1) называется линейной комбинацией векторов v1,..., vn.

Числа 1,..., n из поля K называются коэффициентами линейной комбинаCopyRight c Шарипов Р.А., 1996.

ции, а вектор y называется значением линейной комбинации. Будем говорить, что линейная комбинация равна нулю, если равно нулю ее значение.

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю: 1 =... = n = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной.

Определение 3.1. Система векторов v1,..., vn из линейного векторного пространства V называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация из этих векторов, равная нулю.

Определение 3.2. Система векторов v1,..., vn из линейного векторного пространства V называется линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих векторов вытекает ее тривиальность.

Понятие линейной независимости получается прямым логическим отрицанием понятия линейной зависимости. Читатель может может дать несколько эквивалентных формулировок для определения этого понятия. Мы привели лишь одну из таких формулировок, которая, на наш взгляд, будет наиболее удобна в дальнейшем.

Введем еще одно понятие, связанное с линейными комбинациями. Скажем, что вектор y линейно выражается через вектора v1,..., vn, если y есть значение некоторой линейной комбинации, составленной из векторов v1,..., vn.

Теорема 3.1. Отношение линейной зависимости векторов обладает следующими основными свойствами:

(1) система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима;

(2) система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно (3) если система векторов линейно зависима, то один из этих векторов линейно выражается через остальные;

(4) если система векторов v1,..., vn линейно независима, а добавление вектора vn+1 делает ее линейно зависимой, то вектор vn+1 линейно (5) если вектор x линейно выражается через y1,..., ym, а каждый из векторов y1,..., ym линейно выражается через z1,..., zn, то x линейно выражается через вектора z1,..., zn.

Док-во. Пусть система векторов v1,..., vn содержит нулевой вектор.

Для определенности можно считать vk = 0. Составим из векторов v1,..., vn следующую линейную комбинацию:

Эта линейная комбинация нетривиальна, ибо коэффициент при vk отличен от нуля. А значение этой комбинации равно нулю. Свойство (1) доказано.

Пусть система векторов v1,..., vn содержит линейно зависимую подсистему. Поскольку понятие линейной зависимости нечувствительно к порядку нумерации векторов, можно считать, что линейно зависимая подсистема состоит из первых k векторов v1,..., vk. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация этих k векторов, равная нулю:

16 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Эту линейную комбинацию можно превратить в линейную комбинацию из полной системы векторов v1,..., vn. Надо лишь добавить недостающие вектора с нулевыми коэффициентами:

Полученная линейная комбинация нетривиальна, а ее значение равно нулю.

Свойство (2) доказано.

Пусть вектора v1,..., vn линейно зависимы. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю:

Нетривиальность линейной комбинации векторов (3.2) означает, что один из ее коэффициентов отличен от нуля. Пусть для определенности k = 0. Запишем линейную комбинацию (3.2) более подробно:

Перенесем слагаемое k · vk в правую часть равенства и поделим полученное в результате этого выражение на k :

Отсюда видим, что один из векторов vk линейно выражается через остальные векторы системы. Свойство (3) доказано.

Пусть теперь система векторов v1,..., vn линейно независима, а добавление вектора vn+1 делает ее линейно зависимой. Тогда имеется нетривиальная линейная комбинация векторов v1,..., vn+1, равная нулю:

Докажем, что n+1 = 0. Допустив противоположное n+1 = 0, мы получим нетривиальную линейную комбинацию векторов v1,..., vn, равную нулю:

А это противоречит линейной независимости первых n векторов v1,..., vn.

Значит, n+1 = 0, что позволяет повторить прием, использованный выше:

Полученное выражение для вектора vn+1 доказывает свойство (4).

Пусть вектор x линейно выражается через y1,..., ym, а каждый из векторов y1,..., ym выражается через z1,..., zn. Этот факт запишем так:

Подставив вторую формулу в первую, для x получаем:

Полученное выражение для вектора x показывает, что он линейно выражается через вектора z1,..., zn. Свойство (5) доказано. Это завершает доказательство всей теоремы 3.1.

Отметим важное следствие из свойства (2) в теореме 3.1.

Следствие. Любая подсистема в линейно независимой системе векторов линейно независима.

Следующее свойство отношения линейной зависимости известно как теорема Штейница. Она описывает некоторый количественный аспект этого понятия.

Теорема 3.2 (Штейниц). Если вектора x1,..., xn линейно независимы и если каждый вектор этой системы векторов линейно выражается через вектора Док-во. Доказательство проведем индукцией по числу n векторов в системе x1,..., xn. Начнем со случая n = 1. Линейная независимость системы, состоящей из одного вектора, эквивалентна условию x1 = 0. Для выражения ненулевого вектора x1 через вектора системы y1,..., ym эта система должна содержать, как минимум, один вектор. Значит, m 1. База индукции доказана.

Предположим, что теорема справедлива для случая n = k. В этом предположении докажем справедливость теоремы при n = k + 1. В этом случае мы имеем систему линейно независимых векторов x1,..., xk+1, каждый из которых выражается через y1,..., ym. Изобразим это обстоятельство формулами Аналогичную формулу для выражения погледнего (k + 1)-вектора xk+1 через вектора y1,..., ym запишем в несколько ином виде:

В силу линейной независимости системы векторов x1,..., xk+1 вектор xk+ отличен от нуля. Поэтому среди чисел 1,..., m есть, по меньшей мере, одно ненулевое. Выполнив, если это необходимо, перенумерацию векторов y1,..., ym, можем считать, что m = 0. Тогда 18 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Подставим (3.4) в соотношения (3.3) и произведем в них приведение подобных членов. После этого соотношения (3.3) можно записать в виде где i = 1,..., k. Для того, чтобы упростить запись полученных формул (3.5) введем следующие обозначения:

В этих обозначениях соотношения (3.5) запишутся в виде Согласно полученным формулам k векторов x,..., x линейно выражаются через y1,..., ym1. Для того, чтобы применить предположение индукции, необходимо установить линейную независимость векторов x,..., x. Расk смотрим линейную комбинацию этих векторов, равную нулю:

Подставив в нее выражения для x из (3.6), после приведения подобных слагаемых в формле (3.8) получим В силу линейной независимости исходной системы векторов x1,..., xk+1 выводим 1 =... = k = 0. Значит, линейная комбинация (3.8) тривиальна, что доказывает линейную независимость векторов x,..., x. Теперь, применив предположение индукции к соотношениям (3.7), получим m 1 k. Отсюда вытекает требуемое неравенство m k + 1, которое доказывает справедливость теоремы для случая n = k + 1. Индукционный переход завершен и теорема доказана.

Пусть S V некоторое непустое подмножество в линейном векторном пространстве V. Множество S может состоять как из конечного, так и из бесконечного числа векторов. Обозначим через S, множество всех векторов, каждый из которых линейно выражается через некоторое конечное число векторов, взятых из множества S:

Множество S принято называть линейной оболочкой подмножества S V.

Теорема 4.1. Линейная оболочка любого подмножества S V есть подпространство в линейном векторном пространстве V.

Док-во. Для доказательства того, что S есть подпространство в V, надо проверить два условия из определения 2.2. Пусть u1, u2 S. Тогда Сложив эти два выражения, видим, что вектор u1 + u2 также линейно выражается через конечное число векторов, взятых из S. Поэтому u1 + u2 S.

Пусть u S и u = 1 · s1 +...+ n · sn. Для вектора · u из этого получаем откуда ·u S. Условия (1) и (2) для S выполнены. Теорема доказана.

Теорема 4.2. Операция взятия линейной оболочки в линейном векторном пространстве V обладает следующими свойствами:

(1) если S U и U есть подпространство в V, то S U ;

(2) линейная оболочка множества S V есть пересечение всех подпространств, содержащих в себе множество S.

u = 1 · s1 +... + n · sn, причем из si S вытекает si U. Но значение любой линейной комбинации, составленной из векторов подпространства U, принадлежит этому подпространству. Следовательно, u U. Это доказывает включение S U.

Обозначим через W пересечение всех подпространств в V, содержащих в себе множество S. В силу уже доказанного свойства (1) множество S содержится в каждом из таких подпространств. Следовательно S W. С другой стороны, множество S само является подпространством, содержащим в себе множество S. Значит, оно входит в число тех подпространств, пересечением которых является W. Отсюда W S. Из полученных двух включений вытекает S = W. Теорема доказана.

Пусть S = U. При этом говорят, что множество S V порождает подпространство U посредством линейных комбинаций. Для случая U = V эту терминологию закрепим в следующем определении.

Определение 4.1. Множество S V называется порождающим множеством или порождающей системой векторов в линейном векторном пространстве V, если S = V.

В линейном векторном пространстве может существовать несколько порождающих систем векторов: S = R = V. В связи с этим возникает вопрос о выборе некоторой минимальной такой системы.

Определение 4.2. Порождающая система векторов S V называется минимальной порождающей системой, если никакая меньшая подсистема S не является порождающей системой: S = V.

20 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Определение 4.3. Система векторов S V называется линейно независимой, если любая конечная подсистема векторов s1,..., sn, взятая из S, линейно независима.

В случае, когда система векторов S конечна, определение 4.3 сводится к определению 3.2. В общем случае связь между свойствами минимальности и линейной независимости для порождающих систем векторов дает следующая теорема.

Теорема 4.3. Порождающая система векторов минимальна тогда и только тогда, когда она линейно независима.

Док-во. Пусть порождающая система векторов S V минимальна. Докажем ее линейную независимость. Допустим, что система векторов S зависима.

Тогда в ней имеется некоторая линейно зависимая конечная подсистема векторов s1,..., sn. В силу пункта (3) теоремы 3.1 один из векторов sk в этой подсистеме линейно выражается через остальные. Рассмотрим подсистему S = S \ {sk } в S, которая получается удалением вектора sk из S. Очевидно, S. Докажем, что S = V. В силу S = V произвольный вектор v V линейно выражается через некоторое конечное число векторов из S.

Если вектор sk не участвует в этом выражении, то v линейно выражается через вектора системы S. Если же sk входит в выражение для вектора v, мы можем исключить его из этого выражения в силу пункта (5) теоремы 3.1, пользуясь тем, что сам вектор sk линейно выражается через вектора системы S. Доказанное равенство S = V противоречит минимальности порождающей системы векторов S. Полученное противоречие доказывает линейную независимость системы векторов S.

Пусть, наоборот, порождающая система векторов S линейно независима.

Если она не является минимальной, то в ней найдется подсистема S S, которая также порождает пространство V. Выберем некоторый вектор s S, не принадлежащий S. Этот вектор линейно выражается через некоторое конечное число векторов из подсистемы S :

Переписав это в форме 1 ·s1 +...+n ·sn +(1)·s = 0, мы видим, что вектора s1,..., sn, s составляют линейно зависимую конечную подсистему векторов в S. Это противоречит линейной независимости системы векторов S. Полученное противоречие доказывает минимальность S. Теорема доказана.

Определение 4.4. Линейное векторное пространство V называется конечномерным, если в нем существует порождающая система S = {x1,..., xn }, состоящая из конечного числа векторов.

В любом линейном векторном пространстве существует по меньшей мере одна порождающая система векторов, например, S = V. Однако, вопрос о существовании минимальных порождающих систем векторов нетривиален.

В случае произвольных линейных векторных пространств он решается положительно, но доказательство этого факта неэлементарно и неконструктивно.

Оно основывается на аксиоме выбора (см. [1]). Класс конечномерных лиПОРОЖДАЮЩИЕ СИСТЕМЫ И БАЗИСЫ. нейных векторных пространств выделен тем, что для него доказательство существования минимальных порождающих систем векторов осуществляется элементарными средствами.

Теорема 4.4. Пусть V конечномерное линейное векторное пространство.

Тогда в нем существует, по меньшей мере, одна минимальная порождающая система векторов. Число векторов в любых двух минимальных порождающих системах векторов {x1,..., xm } и {y1,..., ym } одинаково. Оно называется размерностью пространства V и обозначается m = dim V.

Док-во. Пусть {x1,..., xk } некоторая конечная порождающая система векторов в конечномерном линейном векторном пространстве V. Если эта система не минимальна, то она линейно зависима, и один из векторов линейно выражается через остальные. Исключив этот вектор из системы, мы получим конечную порождающую систему векторов, число векторов в которой на единицу меньше, чем в исходной. Если полученная система также не минимальна, повторим процедуру исключения вектора. В силу конечности общего числа векторов в исходной системе после некоторого числа исключений, мы получим линейно независимую систему векторов, которая и будет минимальной.

Пусть {y1,..., ym } минимальная порождающая система векторов в V и пусть S некоторая другая минимальная порождающая система пространства V. Система векторов S линейно независима и каждый вектор из S линейно выражается через вектора y1,..., ym. В силу теоремы Штейница число векторов в S конечно и n = |S| m. Но любой из векторов yi также линейно выражается через вектора системы S = {x1,..., xn }. Из той же теоремы Штейница заключаем: m n. Из полученных двух неравенств вытекает равенство m = n. Теорема доказана.

Размерность dim V является целочисленным числовым инвариантом конечномерного пространства V. Конечномерное пространство размерности m называется m-мерным. Возвращаясь к примерам линейных векторных пространств из параграфа 2, отметим, что dim Rn = n, а функциональное пространство C m ([1, 1]) не является конечномерным.

Теорема 4.5. Пусть V конечномерное линейное векторное пространство.

Тогда имеют место следующие факты:

(1) количество векторов во всякой линейно независимой системе векторов x1,..., xk пространства V не превосходит его размерности;

(2) всякое подпространство U конечномерного пространства V конечномерно, причем dim U dim V ;

(3) из совпадения размерностей dim U = dim V для подпространства U V вытекает совпадение U = V ;

(4) любая линейно независимая система векторов, число векторов в которой совпадает с dim V, является порождающей системой в V.

Док-во. Пусть dim V = m. Фиксируем некоторую минимальную порождающую систему векторов y1,..., ym в V. Всякий вектор линейно независимой системы векторов x1,..., xk линейно выражается через вектора y1,..., ym.

Применяя в этой ситуации теорему Штейница, заключаем, что k m. Первый пункт теоремы доказан.

CopyRight c Шарипов Р.А., 1996.

22 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Пусть U подпространство в V. Рассмотрим всевозможные линейно независимые системы u1,..., uk, составленные из векторов подпространства U. В силу уже доказанного пункта (1) теоремы число векторов в таких системах ограничено, оно не превосходит dim V. Поэтому можно подобрать систему u1,..., uk, число векторов в которой является максимально возможdim V. Пусть u подпространства U. Добавление его к системе u1,..., uk делает ее линейно зависимой (это следует из максимальности k). Применив свойство (4) из теоремы 3.1, заключаем, что вектор u линейно выражается через вектора u1,..., uk. Значит, {u1,..., uk } есть порождающая система векторов в U, состоящая из конечного числа векторов. Ее минимальность вытекает из линейной независимости. Конечномерность подпространства U доказана.

Оценка для его размерности вытекает из неравенства dim U = k m = dim V.

Пусть вновь U подпространство в V. Рассмотрим случай совпадения размерностей dim U = dim V. Выберем некоторую минимальную порождающую систему векторов u1,..., um в U. Она линейно независима. Добавление произвольного вектора v V к ней делает ее линейно зависимой, ибо в V не может быть линейно независимых систем из (m + 1)-го вектора. Применив свойство (4) из теоремы 3.1, заключаем, что вектор v линейно выражается через систему векторов u1,..., um :

Из этой формулы немедленно получаем v U. Ввиду произвольности выбора v V мы получаем U = V. Третий пункт теоремы доказан.

Пусть x1,..., xm линейно независимая система векторов из V, число векторов m в которой совпадает с размерностью пространства V. Обозначим через U линейную оболочку системы векторов x1,..., xm. Эти вектора порождают U, ввиду линейной независимости они образуют минимальную порождающую систему в U. Значит, dim U = m = dim V. Применяя уже доказанный пункт (3) теоремы, получаем Таким образом, вектора x1,..., xm образуют порождающую систему в V.

Теорема доказана.

Определение 4.5. Упорядоченная минимальная порождающая система векторов e1,..., en, т. е. та, в которой зафиксирован порядок следования векторов, называется базисом конечномерного векторного пространства V.

Теорема 4.6 (критерий базиса). Упорядоченная система из n векторов e1,..., en является базисом в пространства V тогда и только тогда, когда (1) вектора e1,..., en линейно независимы;

(2) любой вектор пространства V линейно выражается через e1,..., en.

Доказательство теоремы очевидно. Условие (2) теоремы 4.6 означает, что система векторов e1,..., en является порождающей. А условие (1) эквивалентно ее минимальности.

Теорема 4.6 является, по существу, переформулировкой определения 4.5.

Мы сформулировали ее исключительно для упрощения терминологии. Термины порождающая система и минимальная порождающая система достаточно громоздки для частого использования.

Теорема 4.7. Пусть e1,..., es базис в подпространстве U V и пусть vV некоторый вектор, не принадлежащий подпространству U. Тогда система векторов e1,..., es, v линейно независима.

Док-во. Действительно, если система векторов e1,..., es, v, полученная добавлением вектора v к e1,..., es, линейно зависима, то мы оказываемся в условиях пункта (4) теоремы 3.1. Тогда v линейно выражается через вектора e1,..., es, что противоречит условию v U. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 4.8 (о дополнении базиса). Пусть U подпространство в конечномерном линейном векторном пространстве V. Тогда произвольный базис e1,..., es из U может быть дополнен до базиса e1,..., es, es+1,..., en в V.

Док-во. Обозначим U = U0. Если U0 = V, то дополнять базис нет необходимости базис e1,..., es является базисом в V. Если же U0 = V, то обозначим через es+1 некоторый произвольный вектор из V, не содержащийся в U0. По теореме 4.7 вектора e1,..., es, es+1 линейно независимы.

Обозначим через U1 линейную оболочку векторов e1,..., es, es+1. Для подпространства U1 также возникает альтернатива: U1 = V либо U1 = V.

В первом случае процесс дополнения базиса завершен. Во втором случае он продолжается и приводит к построению подпространства U2 с базисом e1,..., es, es+1, es+2. В результате продолжения этого процесса мы получим цепочку вложенных друг в друга подпространств Такая цепочка подпространств не может быть бесконечной, ибо каждое следующее подпространство имеет на единицу большую размерность, чем предыдущее. А их размерность ограничена сверху размерностью V. На (n s)-ом шаге этот процесс завершится совпадением Uns = V и мы получим базис e1,..., es, es+1,..., en в V, дополняющий базис e1,..., es из U.

Пусть V некоторое конечномерное линейное векторное пространство над полем K и пусть dim V = n. На протяжении этого параграфа мы рассматриваем только конечномерные пространства. Выберем некоторый базис e1,..., en в V. Система векторов e1,..., en порождает V, поэтому любой вектор x из пространства V может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов e1,..., en :

24 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Линейная комбинация (5.1) называется разложением вектора x по базису e1,..., en. Ее коэффициенты x1,..., xn это числа из поля K. Они называются компонентами или координатами вектора x в этом базисе.

Буквенные обозначения для координат вектора x в (5.1) мы маркируем верхними индексами. Такое обозначение для координат векторов обусловлено специальным соглашением, известным как тензорная нотация. Тензорная нотация была введена для упрощения громоздких вычислений в дифференциальной геометрии и в общей теории относительности (см. [2] и [3]). С другими правилами тензорной нотации можно познакомиться при рассмотрении координатной теории тензоров (см. [7]1 ).

Теорема 5.1. Для всякого вектора x V его разложение по базису пространства V однозначно определено.

Док-во. Существование разложения (5.1) для вектора x вытекает из пункта (2) теоремы 4.7. Допустим, что существует некоторое другое разложение Вычитая (5.1) из этого равенства, получим соотношение В силу линейной независимости базисных векторов e1,..., en из равенства нулю линейной комбинации (5.3) вытекает ее тривиальность, т. е. имеют место равенства x i xi = 0. Тогда из них мы выводим векторов по базису доказана.

Фиксировав некоторый базис e1,..., en в пространстве V и разложив вектор x по этому базису, мы можем записать его координаты в векторстолбцы. В силу теоремы 5.1 это определяет взаимно-однозначное отображение : V Kn. При этом нетрудно проверить, что Формулы (5.4) показывают, что базис это очень удобное средство работы с векторами. Алгебраические операции с векторами заменяются алгебраическими операциями с их координатами. Однако, у координатного подхода есть один недостаток. Отображение существенно зависит от выбора базиса.

А канонического выбора базиса нет: в общем случае ни один из базисов не является предпочтительным перед другим. Это приводит к необходимости рассмотрения различных базисов и пересчету координат векторов при замене базиса.

Ссылка [7] добавлена в 2004 году при переводе книги на английский язык.

Первый неволнистый базис будем называть исходным или старым базисом, а второй новым базисом. Выбрав i-ый вектор нового (волнистого) базиса, разложим его по векторам старого базиса:

В соответствии с тензорной нотацией координаты вектора ei в разложении (5.5) маркируются верхним индексом. Нижний индекс i есть просто номер раскладываемого вектора ei. Всего разложения (5.5) однозначно определяют n2 чисел Si, которые принято записывать в виде матрицы:

Верхний индекс элемента Si это номер строки, нижний индекс номер столбца. Матрица S в (5.6) называется матрицей перехода из старого базиса e1,..., en в новый базис e1,..., en.

Поменяв базисы e1,..., en и e1,..., en ролями, мы можем записать разложение вектора ej по волнистому базису:

Коэффициенты разложений (5.7) определяют матрицу T, которую принято называть матрицей обратного перехода. Разумеется, понятие прямого и обратного перехода относительны: они зависят от того, какой из базисов считать старым или исходным, а какой новым.

Теорема 5.2. Матрица прямого перехода S и матрица обратного перехода T, определяемые двумя разложениями (5.5) и (5.7), являются обратными матрицами друг для друга.

Напомним, что две квадратные матрицы являются обратными друг для друга, если их произведение есть единичная матрица: S T = 1. Операцию умножения матриц мы здесь не определяем, считая ее известной из курса общей алгебры.

Док-во. Начнем доказательство теоремы с того, что запишем соотношения (5.5) и (5.7) в сокращенном виде:

Подставим первое соотношение (5.8) во второе. Это дает 26 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Символ j, называемый символом Кронекера, используется для обозначения следующего набора чисел:

Используем символ Кронекера, определенный согласно (5.10), для преобразования левой части равенства (5.9):

Соотношение (5.11) и правая часть соотношения (5.9) определяют разложение одного и того же вектора ej по базису e1,..., en. В силу теоремы 5.1 об однозначности разложения вектора по базису имеем Легко видеть, что полученные соотношения в точности эквивалентны матричному равенству S T = 1. Теорема доказана.

Следствие. Матрица прямого перехода S и матрица обратного перехода T невырождены, причем det S det T = 1.

Док-во. Соотношение det S det T = 1 вытекает из доказанного выше соотношения S T = 1. Этот факт известен из курса общей алгебры. Но если произведение двух чисел равно 1, то ни одно из них не может быть нулем:

Это и означает невырожденность матриц S и T. Следствие доказано.

Теорема 5.3. Всякая невырожденная матрица S порядка nn может быть получена как матрица перехода из некоторого базиса e1,..., en в некоторый другой базис e1,..., en.

Док-во. Выберем базис e1,..., en в V произвольным образом и фиксируем его, после чего определим векторы e1,..., en из соотношений (5.5).

Докажем линейную независимость полученных векторов. Для этого рассмотрим линейную комбинацию этих векторов, равную нулю:

Подставив (5.5) в это соотношение, можно преобразовать его к виду Из линейной независимости базисных векторов e1,..., en вытекает равенство нулю всех выписанных выше сумм. Расписав эти суммы, мы получим однородную систему линейных уравнений относительно 1,..., n :

Матрица этой системы уравнений совпадает с S. Из курса алгебры известно, что однородная система линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей S имеет единственное чисто нулевое решение 1 =... = n = 0.

Значит, равная нулю линейная комбинация (5.12) тривиальна. Пользуясь доказанной линейной независимостью векторов e1,..., en, применим к ним пункт (4) теоремы 4.5. Из него вытекает, что вектора e1,..., en образуют базис, а матрица S служит матрицей перехода из e1,..., en в этот базис.

Теорема доказана.

Рассмотрим два базиса e1,..., en и e1,..., en в пространстве V, связанных матрицей перехода S. Пусть x некоторый произвольный вектор пространства V. Он может быть разложен в каждом из этих базисов При этом задание координат вектора в одном базисе определяет этот вектор, а значит, определяет и его координаты в другом базисе.

Теорем 5.4. Связь между координатами вектора x в базисах e1,..., en и e1,..., en, связанных матрицей перехода S, дается формулами Соотношения (5.14) известны как формулы преобразования координат вектора при замене базиса.

Док-во. Для доказательства первого из соотношений (5.14) подставим во второе соотношение (5.13) разложение вектора ei по базису без волны в форме (5.8). В результате такой подстановки получим Сравнив полученное разложение вектора x с первым разложением (5.13), в силу теоремы об однозначности разложения вектора по базису выводим:

Это в точности первая из формул преобразования (5.14). Вторая формула (5.14) доказывается аналогично.

28 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Пусть задано некоторое количество подпространств в линейном векторном пространстве V. Для обозначения этого факта запишем Ui V, где i I.

Число подпространств может быть конечным или счетным, тогда их можно пронумеровать натуральными числами. Однако, в общем случае подпространства приходится индексировать элементами некоторого индексного множества I, которое может быть конечным, счетным или даже несчетным. Обозначим через U и S пересечение и объединение всех подпространств:

Теорема 6.1. Пересечение любого числа подпространств линейного векторного пространства V есть подпространство в пространстве V.

Док-во. Множество U в (6.1) непусто, ибо нулевой вектор содержится в каждом из Ui. Проверим для U условия (1) и (2) из определения 2.2.

Пусть вектора u1, u2 и u принадлежат U. Тогда они принадлежат Ui для каждого i I. Но Ui есть подпространство, поэтому u1 + u2 Ui и · u Ui для всех i I. Отсюда u1 + u2 U и · u U. Теорема доказана.

Множество S в (6.1), вообще говоря, подпространством не является. Поэтому на базе S вводится следующее понятие.

Определение 6.1. Суммой подпространств Ui, i I, называется линейная оболочка объединения этих подпространств.

Для обозначения суммы подпространств W = S используем знак суммы:

Теорема 6.2. Вектор w принадлежит сумме семейства подпространств Ui V, i I тогда и только тогда, когда он представляется в виде суммы конечного числа векторов, взятых из подпространств Ui этого семейства:

Док-во. Пусть S объединение подпространств семейства Ui V, i I.

Тогда их сумма есть линейная комбинация некоторого конечного числа векторов из S:

Но S есть объединение подпространств Ui, поэтому sm принадлежит Uim и m · sm = uim Uim, где m = 1,..., k. Это приводит к соотношению (6.2) для нашего вектора w.

Теперь, наоборот, пусть вектор w задан соотношением (6.2). Тогда для u im мы имеем uim Uim S. Поэтому вектор w принадлежит линейной оболочке множества S. Теорема доказана.

CopyRight c Шарипов Р.А., 1996.

Определение 6.2. Сумма W семейства подпространств Ui, i I, называется прямой суммой, если для каждого вектора w W разложение (6.2) единственно. Для прямой суммы используется специальное обозначение:

Теорема 6.3. Пусть W = U1 +... + Uk есть сумма конечного числа конечномерных подпространств. Размерность W равна сумме размерностей подпространств Ui тогда и только тогда, когда эта сумма прямая: W = U1... Uk.

Док-во. Выберем базис в каждом из подпространств. Пусть dim Ui = si и пусть ei 1,..., ei si базис в Ui. Объединим все базисные векторы ei m в одну систему векторов, упорядоченную в алфавитном порядке:

Система векторов (6.3) является порождающей в W. В силу W = U1 +... + Uk для произвольного вектора w W имеется разложение вида (6.2):

Разложив каждый из векторов ui в (6.4) по базису в соответствующем подпространстве Ui, получим разложение вектора w по векторам системы (6.3).

Значит, вектора (6.3) порождают подпространство W.

Если dim W = dim U1 +... + dim Uk, то число векторов в порождающей системе (6.3) является минимальным. Поэтому (6.3) это базис в W. Из всякого разложения (6.4) выводится разложение вектора w по базису (6.3):

Суммы в круглых скобках при этом определяются разложениями векторов u1,..., uk по базисам в соответствующих подпространствах U1,..., Uk :

В силу (6.6) существование двух различных разложений (6.4) для некоторого вектора w означало бы существование двух различных разложений (6.5) этого вектора в базисе (6.3). Значит, разложение (6.4) единственно и сумма подпространств W = U1 +... + Uk является прямой.

Пусть, наоборот, W = U1... Uk. Вектора (6.3) порождают W. Докажем линейную независимость этих векторов. Для этого рассмотрим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

30 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Обозначим через u1,..., uk значения сумм, заключенных в круглые скобки в (6.7). Легко видеть, что ui Ui, поэтому (6.7) есть разложение (6.4) для w = 0. Но 0 = 0 +... + 0 и 0 Ui. Сумма подпространств U1,..., Uk прямая, следовательно, это разложение нуля должно совпасть с (6.7). Отсюда Полученные соотношения это разложения нулевого вектора по базисам в подпространствах Ui. Значит, i j = 0. Линейная независимость векторов (6.3) доказана. Для определения размерности W посчитаем число векторов ei j в системе (6.3): dim W = s1 +... + sk = dim U1 +... + dim Uk.

Замечание. Если сумма подпространств U1,..., Uk не является прямой, вектора (6.3) по прежнему порождают их сумму W, но они уже не являются линейно независимыми. Поэтому получается неравенство:

Уточнение этого неравенства в общем случае достаточно сложно. Мы уточним его для случая суммы двух подпространств.

Теорема 6.4. Размерность суммы двух произвольных конечномерных подпространств U1 и U2 в линейном векторном пространстве V равна сумме их размерностей за вычетом размерности их пересечения:

Док-во. Из включения U1 U2 U1 и из неравенства (6.8) заключаем, что все рассматриваемые в теореме подпространства конечномерны. Положим dim(U1 U2 ) = s и выберем базис e1,..., es в пересечении U1 U2.

Используя включение U1 U2 U1 применим теорему 4.8 о дополнении базиса. Это позволяет дополнить базис e1,..., es в пересечении U1 U до базиса e1,..., es, es+1,..., es+p в U1. Тогда dim U1 = s + p. Аналогичным образом, в силу включения U1 U2 U2 определяется базис e1,..., es, es+p+1,..., es+p+q в U2, который дополняет базис из пересечения U1 U2. Для размерности U2 это дает dim U2 = s + q.

Объединим два построенных базиса и рассмотрим вектора Докажем, что вектора (6.10) образуют базис в сумме подпространств U 1 + U2.

Пусть w некоторый произвольный вектор в U1 + U2. Соотношение (6.2) для этого вектора имеет вид: w = u1 + u2. Разложим вектора u1 и u2 по построенным базисам в пространствах U1 и U2 :

Сложив эти два разложения, мы получим, что w линейно выражается через вектора (6.10). Значит, вектора (6.10) порождают подпространство U 1 + U2.

Для доказательства линейной независимости системы векторов (6.10) рассмотрим их линейную комбинацию, равную нулю:

Преобразуем это выражение, перенеся вторую сумму в правую часть:

Обозначим через u значение левой и правой частей этого равенства. Тогда для вектора u получаем следующие формулы:

В силу первого из этих равенств u U1, в силу второго этот вектор принадлежит U2. Отсюда u U1 U2. Значит, он раскладывается по базису e1,..., es в пересечении двух подпространств U1 и U2 :

Из сравнения этого разложения со вторым разложением из (6.12) получаем:

Но вектора e1,..., es, es+p+1,..., es+p+q составляют базис U2. Они линейно независимы. Поэтому все коэффициенты в (6.14) равны нулю. В частности:

Подставив 1 =... = s = 0 в (6.13) получаем u = 0. Теперь из первого разложения (6.12) выводим следующую формулу:

Из линейной независимости e1,..., es, es+1,..., es+p вытекает зануление всех коэффициентов выписанном выше разложении:

Объединив (6.15) и (6.16), получаем тривиальность линейной комбинации (6.11). Значит, вектора (6.10) линейно независимы и образуют базис в U 1 + U2.

Для размерности этого подпространства имеем 32 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Соотношение (6.9) и вся теорема 6.4 в целом доказаны.

Пусть V некоторое линейное векторное пространство и пусть U подпространство в нем. Смежным классом вектора v V по подпространству U называется следующее множество:

Вектор v называется определяющим вектором или представителем класса (7.1). Класс ClU (v) устроен очень просто. Он получается добавлением вектора v к каждому вектору u из подпространства U. Особенно просто устроен класс нулевого вектора: ClU (0) = U. Он называется нулевым классом.

Теорема 7.1. Смежные классы по подпространству U V обладают следующими свойствами:

Док-во. Первый пункт теоремы очевиден. Действительно, разность a a = 0 есть вектор из подпространства U. Отсюда в силу определения (7.1) имеем a ClU (a).

Пусть a ClU (b). Тогда a b U. Но b a = (1) · (a b), следовательно, b a U и b ClU (a). Второй пункт теоремы доказан.

a c = (a b) + (b c), значит, a c U и a ClU (c). Это завершает доказательство теоремы.

Пусть a ClU (b). Это условие определяет некоторую взаимосвязь или зависимость между векторами a и b. Такая взаимосвязь не является жесткой:

условие a ClU (b) не исключает a ClU (b) для некоторого другого вектора a. Подобные нежесткие связи в математике описываются понятием бинарного отношения. Подробнее о бинарных отношениях можно прочесть в книгах [1] и [4]. Запишем a b в качестве сокращения записи a ClU (b). Теорема 7.1 определяет следующие свойства введенного таким способом бинарного отношения:

(1) рефлексивность: a a;

(2) симметричность: a b влечет b a;

(3) транзитивность: a b и b c влечет a с.

Бинарные отношения, обладающие свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называются отношениями эквивалентности. Отношения эквивалентности определяют разбиение множества V, на котором они заданы, в объединение попарно не пересекающихся подмножеств, называемых классами эквивалентности:

В рассматриваемом нами конкретном случае определение (7.2) в точности совпадает с определением (7.1). Для соблюдения замкнутости изложения мы не будем более использовать запись a b вместо a ClU (b) и не будем ссылаться на теорию бинарных отношений (хотя она и проста и широко известна). Вместо этого выведем результат о разбиении V на попарно не пересекающиеся смежные классы из следующей теоремы.

Теорема 7.2. Если два смежных класса ClU (a) и ClU (b) пересекаются, то они совпадают.

Док-во. Действительно, пусть пересечение указанных в теореме классов непусто. Тогда найдется элемент c, принадлежащий им обоим: c ClU (a) и c ClU (b). Из c ClU (b) в силу пункта (2) теоремы 7.1 выводим b ClU (c).

Соединив b ClU (c) и c ClU (a), в силу пункта (3) теоремы 7.1 получаем b ClU (a). Имеется и обратное включение a ClU (b), которое вытекает в силу свойства (2).

Докажем совпадением множеств ClU (a) и ClU (b). Выберем произвольный элемент x ClU (a). Из x ClU (a) и a ClU (b) выводим x ClU (b).

Следовательно ClU (a) ClU (b). Аналогичным образом выводится включение ClU (a) ClU (b). Из этих двух включений получаем ClU (a) = ClU (b).

Множество всех смежных классов пространства V по подпространству U называется фактормножеством V /U. В силу доказанной выше теоремы различные классы из фактормножества имеют пустое пересечение, а объединение всех таких классов совпадает с пространством V :

Это равенство вытекает из того, что всякий вектор v V содержится в некотором смежном классе v Q. Класс Q определяется любым своим представителем v по формуле Q = ClU (v). В силу сказанного следующая теорема получается простой переформулировкой определения смежного класса.

Теорема 7.3. Два вектора v и w принадлежат одному смежному классу по подпространству U тогда и только тогда, когда их разность vw принадлежит подпространству U.

Определение 7.1. Пусть Q1 и Q2 два смежных класса по подпространству U. Суммой классов Q1 и Q2 называется смежный класс Q, определяемый соотношением Q = ClU (v1 + v2 ), где v1 Q1 и v2 Q2.

Определение 7.2. Пусть Q смежный класс по подпространству U.

Произведением класса Q на число K называется смежный класс P по подпространству U, определяемый соотношением P = ClU ( · v), где v Q.

Для сложения классов и умножения классов на число принято использовать те же знаки алгебраических операций, что и в случае векторов: то есть Q = Q1 + Q2 и P = · Q. Определения 7.1 и 7.2 можно изобразить так:

34 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Заметим, что определения 7.1 и 7.2 требуют некоторых комментариев. Действительно, класс Q = Q1 + Q2 в определении 7.1 и класс P = · Q в определении 7.2 определяются выбором векторов v1 Q1, v2 Q2 и v Q.

Выбор представителя в классе неоднозначен, поэтому однозначность результата операции в определениях 7.1 и 7.2 требует специального обоснования.

Это же относиться и к формулам (7.3). Такое обоснование называется доказательством корректности определения 7.1 и 7.2.

Теорема 7.4. Определения 7.1 и 7.2 корректны и определяемые ими операции сложения классов и умножения класса на число не зависят от выбора представителей в этих классах.

Док-во. Начнем с операции сложения классов. Рассмотрим два выбора представителей в смежных классах Q1 и Q2. Пусть v1, v1 Q1 и v2, v2 Q2.

Тогда в силу теоремы 7.3 находим:

векторов v1 v1 и v2 v2 совпадают Это доказывает корректность определения 7.1 для сложения классов.

Теперь два выбора представителей в классе Q. Положим v, v Q. Тогда ClU ( · v) = ClU ( · v), что доказывает корректность определения 7.2.

Определения 7.1 и 7.2 оснащают фактормножество V /U двумя алгебраическими операциями сложения классов и умножения классов на число.

Теорема 7.5. Фактормножество V /U пространства V по подпространству U, оснащенное алгебраическими операциями (7.3), является линейным векторным пространством. Оно называется факторпространством пространства V по подпространству U.

Док-во. Доказательство теоремы сводится к проверке выполнения аксиом (1)-(8) линейного векторного пространства для V /U. Коммутативность и ассоциативность сложения классов вытекают из следующих вычислений:

Они являются следствием соответствующих свойств сложения векторов.

Для проверки выполнения аксиомы (3) мы должны указать нулевой элемент в V /U. Выберем в качестве нуля нулевой класс 0 = ClU (0). Такой выбор нуля удовлетворяет необходимому условию из аксиомы (3):

Для проверки выполнения аксиомы (4) мы должны указать противоположный класс Q для Q = ClU (v). Определим его так: Q = ClU (v ). Тогда:

Проверка оставшихся аксиом (5)-(8) сводится просто к прямым вычислениям на базе формул (7.3), корректность которых установлена:

Выписанные равенства завершают проверку того, что фактормножество V /U наделено структурой линейного векторного пространства.

Отметим, что при проверке аксиомы (4) мы определили противоположный класс Q для класса Q = ClU (v) соотношением Q = ClU (v ). Можно установить корректность такого определения. Однако, в этом нет настоятельной необходимости, ибо в силу свойства (10) из теоремы 2.1 противоположный класс Q для Q единственен.

Понятие факторпространства в равной мере применимо и к конечномерным и к бесконечномерным пространствам V. Конечномерность или бесконечномерность подпространства U также не играет роли. Единственное упрощение в конечномерном случае состоит в том, что мы можем вычислить размерность факторпространства V /U.

Теорема 7.6. Если пространство V конечномерно, то для любого его подпространства U соответствующее факторпространство V /U также конечномерно и его размерность удовлетворяет соотношению Док-во. Если U = V, то факторпространство V /U состоит из единственного нулевого класса V /U = {0}. Размерность такого факторпространства равна нулю и равенство (7.4) выполнено тривиальным образом.

Рассмотрим нетривиальный случай U V. В силу теоремы 4.5 подпространство U конечномерно. Пусть dim V = n и dim U = s, тогда s < n.

Выберем базис e1,..., es в подпространстве U и в соответствии с теоремой 4.8 рассмотрим его дополнение es+1,..., en до базиса в V. Для каждого из дополнительных векторов рассмотрим его класс:

CopyRight c Шарипов Р.А., 1996.

36 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Покажем, что классы (7.5) порождают факторпространство V /U. Действительно, пусть Q произвольный класс из V /U и пусть v Q некоторый представитель этого класса. Разложим вектор v по базису в V :

Обозначим через u начальный фрагмент этого разложения: u = 1 · e1 +... + s · es. Ясно, что u U. Тогда Но ClU (u) = 0 по причине u U. Для класса Q = ClU (v) это дает Q = ClU (u) + 1 · ClU (es+1 ) +... + ns · ClU (en ). Отсюда Значит, E1,..., Ens есть конечная порождающая система в V /U. Это доказывает конечномерность факторпространства V /U. Для определения его размерности докажем линейную независимость классов (7.5). Для этого рассмотрим линейную комбинацию этих классов, равную нулю:

Переходя от классов к векторам, из этого соотношения получаем:

Обозначим u = 1 · es+1 +... + ns · en. Из выведенного соотношения для этого вектора имеем ClU (u) = ClU (0), что дает u U. Разложим вектор u по базису в подпространстве: u = 1 · e1 +... + s · es. Тогда приравняв два выражения для вектора u, получим Это линейная комбинация базисных векторов пространства V, равная нулю.

Ввиду линейной независимости векторов e1,..., en она тривиальна. Значит, 1 =... = ns = 0. Это доказывает тривиальность линейной комбинации (7.6) и линейную независимость классов (7.5). Для размерности факторпространства получаем dim(V /U ) = n s, что доказывает соотношение (7.4).

Определение 8.1. Пусть V и W два линейных векторных пространства над числовым полем K. Отображение f : V W из пространства в V в пространство W называется линейным отображением, если:

Простейшим и немедленным следствием свойств (1) и (2) линейного отображения является соотношение f (0) = 0. Действительно:

Теорема 8.1. Линейные отображения обладают следующими свойствами:

(1) тождественное отображение idV : V V линейного векторного пространства V на себя линейно;

(2) композиция двух линейных отображений f : V W и g : W U есть линейное отображение g f : V U ;

(3) если линейное отображение f : V W биективно, то обратное отображение f 1 : W V также линейно.

Док-во. Линейность тождественного отображения очевидна. Проверка условий (1) и (2) из определения 8.1 для него имеет следующий вид:

Докажем второй пункт теоремы. Рассмотрим композицию отображений g f.

Для такой композиции условия (1) и (2) из определения линейности 8. проверяются следующим образом:

Теперь докажем третий пункт теоремы. Для этого рассмотрим биективное отображение f : V W. Оно имеет однозначно определенное обратное отображение f 1 : W V (см. теорему 1.9). Сделаем следующие обозначения:

Линейность обратного отображения, очевидно, эквивалентна занулению векторов z1 и z2. Вычислим вектора f (z1 ) и f (z2 ):

Биективное отображение инъективно. Поэтому из полученных равенств f (z1 ) = 0, f (z2 ) = 0 и из равенства f (0) = 0, выведенного в (8.1), вытекает z1 = z2 = 0. Теорема доказана.

38 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

С каждым линейным отображением f : V W связаны два подмножества:

ядро Ker f V и образ Im f W. Образ Im f = f (V ) для линейного отображения определяется так же, как это было сделано в случае произвольного отображения выше в параграфе 1:

Ядром линейного отображения f : V W называется множество элементов из пространства V, отображающихся в ноль:

Теорема 8.2. Ядро и образ для линейного отображения f : V W являются подпространствами в пространствах V и W соответственно.

Док-во. Для доказательства теоремы проверим условия (1) и (2) из определения 2.2 применительно к подмножествам Ker f V и Im f W.

Пусть v1, v2 Ker f. Тогда f (v1 ) = 0 и f (v2 ) = 0. Пусть также v Ker f.

Тогда f (v) = 0. Отсюда выводим Значит, v1 + v2 Ker f и · v Ker f. Это доказывает утверждение теоремы относительно Ker f.

Пусть w1, w2, w Im f. Тогда существуют векторы v1, v2, v из V, такие, что f (v1 ) = w1, f (v2 ) = w2 и f (v) = w. Отсюда Значит, w1 + w2 Im f и · w Im f. Теорема доказана.

Напомним, что в силу теоремы 1.2 линейное отображение f : V W сюръективно тогда и только тогда, когда Im f = W. Аналогичное утверждение имеется для Ker f.

Теорема 8.3. Линейное отображение f : V W инъективно тогда и только тогда, когда Ker f = {0}.

Док-во. Пусть f инъективно и пусть v Ker f. Тогда f (0) = 0 и f (v) = 0.

Но из v = 0, вытекало бы f (v) = f (0). Следовательно, v = 0 и ядро отображения f состоит только из нулевого вектора: Ker f = {0}.

Теперь наоборот, пусть Ker f = {0}. Рассмотрим пару не совпадающих векторов v1 = v2 из V. Значит, v1 v2 = 0 и v1 v2 Ker f. Поэтому f (v1 v2 ) = 0. Используя линейность отображения f, из этого выводим:

f (v1 ) f (v2 ) = 0 и f (v1 ) = f (v2 ). Следовательно отображение f инъективно.

Теорема доказана.

Следующая теорема известна как теорема о линейной независимости прообразов для линейно независимой системы векторов.

Теорема 8.4. Пусть f : V W некоторое линейное отображение и пусть вектора v1,..., vs из пространства V таковы, что соответствующие им вектора f (v1 ),..., f (vn ) в W линейно независимы. Тогда сами вектора v1,..., vs также линейно независимы.

Док-во. Для доказательства теоремы рассмотрим линейную комбинацию векторов v1,..., vs, равную нулю:

Применив к обоим частям этого равенства отображение f и воспользовавшись его линейностью, получим соотношение Теперь из линейной независимости f (v1 ),..., f (vs ) выводим равенство нулю всех коэффициентов: 1 =... = s = 0. Значит, и исходная линейная комбинация тривиальна, что доказывает линейную независимость исходной системы векторов v1,..., vs.

Линейное векторное пространство это некоторое множество. Но это не просто множество, это структурированное множество. На нем определены алгебраические операции и выполнены аксиомы (1)-(8). Линейные отображения это отображения, согласованные со структурами линейных векторных пространств. На алгебраическом языке отображения, согласованные с алгебраическими структурами в связываемых ими множествах, называются морфизмами. На этом языке линейные отображения это морфизмы линейных векторных пространств. Биективные линейные отображения называются изоморфизмами линейных векторных пространств.

Определение 8.2. Два линейных векторных пространства V и W называются изоморфными, если существует биективное линейное отображение f : V W, связывающее эти два пространства.

Первым примером изоморфизма линейных векторных пространств было отображение : V Kn из (5.4). Из существования такого отображения вытекает следующая теорема.

Теорема 8.5. Всякое n-мерное линейное векторное пространство V изоморфно арифметическому линейному векторному пространству Kn.

Изоморфные линейные векторные пространства имеют много общего. Часто их вообще можно считать неразличимыми. В частности, имеет место следующий факт.

Теорема 8.6. Если линейное пространство V изоморфно конечномерному пространству W, то V конечномерно и размерности этих двух пространств совпадают: dim V = dim W.

Док-во. Пусть f : V W изоморфизм пространств V и W. Положим для определенности dim W = n и выберем базис h1,..., hn в W. При помощи обратного отображения f 1 : W V определим вектора ei = f 1 (hi ), 40 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

i = 1,..., n. Пусть v некоторый произвольный вектор из V. Отобразим его с помощью f в пространство W и разложим по базису:

Применим отображение f 1 к обеим частям этого равенства. В результате, используя линейность f 1, получим разложение Из этого разложения видим, что {e1,..., en } есть порождающая система в V, состоящая из конечного числа векторов. Конечномерность пространства V доказана. Линейная независимость e1,..., en вытекает из теоремы 8.4 о линейной независимости прообразов. Значит, e1,..., en есть базис в V и dim V = n = dim W. Теорема доказана.

Пусть f : V W отображение из n-мерного векторного пространства V в m-мерное векторное пространство W. Выберем базис e1..., en в пространстве V и базис h1,..., hm в пространстве W. Рассмотрим образы векторов e1,..., en и разложим их по базису h1,..., hm :

В (9.1) мы имеем n разложений, из которых определяется n m чисел Fji. Они записываются в прямоугольную матрицу F размера mn, которая называется матрицей линейного отображения f в паре базисов e1,..., en и h1,..., hm :

При записи элемента Fji в матрицу (9.2) верхний индекс определяет номер строки, нижний номер столбца. Иными словами, матрица F составляется из вектор-столбцов, образованных координатами векторов f (e 1 ),..., f (en ) в базисе h1,..., hm. Разложения (9.1), определяющие компоненты этой матрицы, удобно записать так:

Пусть x некоторый произвольный вектор из V и пусть y = f (x) его образ при отображении f. Разложим x по базису: x = x1 · e1 +... + xn · en.

Тогда с учетом (9.3) для вектора y получим:

Поменяв порядок суммирования в полученном выражении, мы получим разложение вектора y по базису h1,..., hm :

В силу однозначности такого разложения для координат вектора y в базисе h1,..., hm получится следующее выражение:

Формула (9.4) это основное применение матрицы линейного отображения.

Она позволяет вычислить координаты вектора f (x) непосредственно по координатам вектора x. В матричной форме эта формула имеет вид Вспомним, что сопоставление вектору x вектор-столбца из его координат мы договорились оформлять в виде линейного отображения : V Kn (см.

(5.8)). Аналогичное отображение для векторов y из W обозначим через :

W K. Матричное соотношение (9.5) можно трактовать как отображение F : Kn Km. Перечисленные три отображения вместе с отображением f можно изобразить в виде диаграммы:

Подобные диаграммы называются коммутативными, если композиции отображений, соответствующие прохождению по стрелкам диаграммы, не зависят от маршрута прохождения. Применительно к диаграмме (9.6) коммутативность означает f = F. Ввиду биективности линейных отображений условие коммутативности диаграммы (9.6) можно изобразить двумя эквивалентными формулами следующего вида:

Читатель легко проверит, что соотношения (9.7) выполнены в силу способа построения матрицы F. Следовательно, диаграмма (9.6) коммутативна.

Посмотрим на соотношения (9.7) с несколько иной точки зрения. Пусть заданы два пространства V и W размерности n и m соответственно. Пусть также задана некоторая произвольная матрица F размера m n. Тогда соотношение (9.5) определит линейное отображение F : Kn Km. Выбрав базисы e1,..., en и h1,..., hm в пространствах V и W и, пользуясь вторым 42 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

соотношением (9.7), определим отображение f : V W. Матрица этого отображения f в базисах e1,..., en и h1,..., hm в точности совпадает с F.

В результате доказана следующая теорема.

Теорема 9.1. Всякая прямоугольная матрица F размера mn может быть реализована как матрица некоторого линейного отображения f : V W из nмерного пространства V в m-мерное пространство W в некоторой паре базисов в этих пространствах.

Более прямой способ доказательства теоремы 9.1 может быть основан на следующей теореме.

Теорема 9.2. Для всякого базиса e1,..., en в n-мерном линейном векторном пространстве V и для любого набора w1,..., wn из n-векторов в другом пространстве W существует линейное отображение f : V W, такое, что Док-во. Задание базиса e1,..., en в V определяет линейное отображение : V Kn (см. (5.8)). Для построения необходимого отображения f определим отображение : Kn W следующим соотношением:

Теперь нетрудно убедиться, что искомое отображение есть композиция двух построенных отображений f =.

Вернемся к исходной ситуации. Пусть задано отображение f : V W, которое определяет матрицу F после выбора базисов e1,..., en и h1,..., hm в пространствах V и W. Зависимость матрицы F от выбора базисов существенна. Для того, чтобы описать такую зависимость, рассмотрим четыре базиса: два базиса в V и два в W. Пусть S и P матрицы перехода для указанных пар базисов в V и W соответственно:

Пусть T = S 1 и Q = P 1 соответствующие матрицы обратного перехода:

Используем эти соотношения вместе с соотношением (9.3) для того, чтобы проделать следующие вычисления:

CopyRight c Шарипов Р.А., 1996.

После перемены порядка суммирования результат этого вычисления можно записать в форме следующего соотношения:

Двойные суммы в скобках являются коэффициентами разложения векторов f (k ) по базису h1,..., hm. Они определяют матрицу линейного отображения f в волнистых базисах e1,..., en и h1,..., hm :

Аналогичным образом можно вывести противоположное соотношение, выражающее компоненты матрицы F через компоненты F :

Соотношения (9.8) и (9.9) называются формулами преобразования матрицы линейного отображения при замене базисов. Эти соотношения допускают матричную форму записи. В этом случае они выглядят так:

Формулы преобразования типа (9.10) подводят нас к очень широкому кругу задач о приведении к каноническому виду. В данном случае изменение базисов в пространствах V и W изменяет вид матрицы линейного отображения f : V W. Задача о приведении к каноническому виду состоит в нахождении оптимального выбора базисов, в которых матрица F имеет максимально простой (канонический) вид. Следующая теорема, дающая решение данной задачи, известна как теорема о приведении к почти диагональному виду.

Теорема 9.3. Пусть f : V W некоторое ненулевое линейное отображение из n-мерного пространства V в m-мерное пространство W. Тогда существует такой выбор базисов в V и W, при котором матрица F этого отображения имеет следующий почти диагональный вид:

44 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Док-во. Чисто нулевое отображение 0 : V W отображает любой вектор в нулевой. Матрица такого отображения состоит из одних нулей при любом выборе базисов в V и W. Задача о приведении к каноническому виду для такой матрицы просто не ставится.

Пусть f : V W ненулевое линейное отображение. Число s = dim(Im f ) называется рангом отображения f. Ранг ненулевого отображения отличен от нуля. Построение канонического базиса в W начнем с выбора базиса h1,..., hs в образе Im f. Для каждого базисного вектора hi Im f существует вектор ei V, такой, что f (ei ) = hi, i = 1,..., s. Вектора e1,..., es линейно независимы в силу теоремы 8.4. Пусть r = dim(Ker f ). Выберем базис в Ker f и обозначим базисные вектора через es+1,..., es+r. Далее рассмотрим систему векторов и докажем, что она является базисом в V. Для этого используем теорему 4.6.

Начнем с условия (1) теоремы 4.6. Для доказательства линейной независимости векторов (9.12) рассмотрим их линейную комбинацию, равную нулю:

Применим к обеим частям равенства (9.13) отображение f и при этом учтем, что f (ei ) = hi при i = 1,..., s. Остальные векторы принадлежат ядру отображения, поэтому f (es+i ) = 0. С учетом этого из (9.13) выводим:

Вектора h1,..., hs составляют базис в Im f. Они линейно независимы, поэтому 1 =... = s = 0. Учет этого сводит (9.13) к соотношению:

Вектора es+1,..., es+r составляют базис в Ker f. Они линейно независимы, поэтому s+1 =... = s+r = 0. В итоге мы доказали зануление всех коэффициентов в линейной комбинации (9.13). Следовательно, вектора (9.12) линейно независимы.

Пусть v некоторый произвольный вектор из V. Тогда f (v) принадлежит Im f. Разложим f (v) по базису h1,..., hs :

Вспомним, что f (ei ) = hi при i = 1,..., s. Тогда из (9.14) выводим Обозначим v = v 1 · e1... s · es. Из (9.15) для него имеем: f ( ) = 0.

Значит, v Ker f. Разложим вектор v по базису в ядре отображения f :

Объединив v = v 1 · e1... s · es c выписанным разложением, получаем:

Вывод: вектора (9.12) порождают пространство V. Условие (2) теоремы 4. также доказано. Значит, вектора (9.12) составляют базис в V. Это дает Для завершения доказательства теоремы осталось дополнить базис h 1,..., hs векторов f (ej ) имеем разложение При j = s + 1,..., s + r для f (ej ) разложение чисто нулевое:

В силу полученных разложений матрица отображения f в построенных базисах имеет требуемый вид (9.10).

В процессе доказательства этой теоремы мы одновременно доказали следующую теорему.

Теорема 9.4. Пусть f : V W линейное отображение из n-мерного пространства V в пространство W. Тогда Теорема 9.4 известна как теорема о сумме размерностей ядра и образа линейного отображения. Утверждение теоремы в форме соотношения (9.17) немедленно вытекает из (9.16).

§ 10. Алгебраические операции с отображениями.

Определение 10.1. Пусть V и W два линейных векторных пространства и пусть f : V W и g : V W два отображения из V в W. Суммой отображений f и h называется отображение h : V W, определяемое соотношением h(v) = f (v) + g(v) для всех v V.

Определение 10.2. Пусть V и W два линейных векторных пространства над числовым полем K и пусть f : V W отображение из V в W. Произведением числа K на отображение f называется отображение h : V W, определяемое соотношением h(v) = · f (v) для всех v V.

Алгебраические операции, вводимые определениями 10.1 и 10.2, принято называть поточечным сложением отображений и поточечным умножением 46 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

отображений на число. Действительно, они выполняются поточечно путем сложения значений исходных отображений и умножения этих значений на число отдельно для каждого значения аргумента v V. Для обозначения этих операций используются те же значки, что и для соответствующих операций с векторами: h = f + g и h = · f. Запись (f + g)(v) понимается как применение суммы отображений f + g к вектору v. Запись же f (v) + g(v) означает сложение результатов применения отображений f и g к вектору v.

Хотя результаты этих действий совпадают, их смысл различен. Аналогичным образом следует различать левую и правую части следующего равенства Обозначим через Map(V, W ) множество всевозможных отображений из пространства V в пространство W. Иногда это множество обозначают так: W V.

Теорема 10.1. Множество Map(V, W ), оснащенное операциями поточечного сложения и поточечного умножения отображений на число, является линейным векторным пространством.

Док-во. Проверим выполнение аксиом линейного векторного пространства для Map(V, W ). В случае первой аксиомы мы должны установить совпадение отображений f + g и g + f. Совпадение отображений эквивалентно совпадению результатов их применения к произвольному вектору v V.

Следующие вычисления как раз и устанавливают такое совпадение:

Как мы видим из проделанных вычислений, равенство f +g = g+f вытекает из аксиомы коммутативности для пространства W в силу поточечного характера операции сложения отображений. Аналогичное обстоятельство проявляется и при проверке аксиом (2), (5) и (6):

В случае аксиомы (7) соответствующие выкладки имеют вид ( · ( · f ))(v) = · ( · f )(v) = · ( · f (v)) = () · f (v) = (() · f )(v), а в случае аксиомы (8) эти выкладки еще проще: (1 · f )(v) = 1 · f (v) = f (v).

Остается проверить аксиомы (3) и (4). В качестве нулевого элемента в пространстве Map(V, W ) выберем нулевое отображение 0 : V W, которое отображает все вектора из V в нулевой вектор из W. Тогда (f + 0)(v) = f (v) + 0(v) = f (v) + 0 = f (v). Аксиома (3) выполнена.

Для отображения f Map(V, W ) противоположное отображение f определим так f = (1) · f. Тогда Аксиома (3) также выполнена. Это завершает доказательство теоремы.

В типичной ситуации пространство Map(V, W ) очень велико. Даже для конечномерных пространств V и W оно обычно бывает бесконечномерным. В линейной алгебре принято изучать гораздо меньшее подмножество в пространстве Map(V, W ), состоящее из всех линейных отображений из V в W. Оно обозначается Hom(V, W ) и называется множеством гомоморфизмов. Следующие две теоремы показывают замкнутость Hom(V, W ) относительно алгебраических операций в Map(V, W ). Поэтому мы можем говорить о Hom(V, W ) как о пространстве гомоморфизмов.

Теорема 10.2. Поточечная сумма двух линейных отображений f : V W и g : V W есть линейное отображение из пространства V в пространство W.

Теорема 10.3. Поточечное произведение всякого линейного отображения f : V W на число K есть линейное отображение из пространства V в пространство W.

выкладки доказывают линейность отображения h:

Теперь рассмотрим произведение отображения f на число K. Положим h = · f и проделаем аналогичные выкладки:

Проделанные выкладки завершают доказательство теорем 10.2 и 10.3.

Пространство гомоморфизмов Hom(V, W ) является подпространством в пространстве всех отображений Map(V, W ). Оно гораздо меньше по своим размерам и состоит из объектов, изучение которых входит в предмет ведения линейной алгебры. Для конечномерных пространств V и W пространство Hom(V, W ) также конечномерно. Это вытекает из следующей теоремы.

48 ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА...

Теорема 10.4. Для двух конечномерных пространств V и W пространство Hom(V, W ) конечномерно и его размерность определяется формулой:

Док-во. Пусть dim V = n и dim W = m. Выберем базис e1,..., en в пространстве V и базис h1,..., hm в пространстве W. Пусть 1 nи 1 m. Для каждой фиксированной пары индексов i, j из указанных диапазонов рассмотрим следующий набор из n векторов пространства W :

Все вектора в этом наборе, за исключением вектора wi, равны нулю, а вектор wi совпадает с базисным вектором hj. Применим теорему 9.2 к базису e1,..., en из V и набору векторов w1,..., wn. Это определит нам линейное отображение Ej : V W, для которого Ej (es ) = ws при всех s = 1,..., n.

Запишем это обстоятельство так:

где s символ Кронекера. Всего мы имеем n m отображений Ej, удовлетворяющих соотношениям (10.2):

Покажем, что отображения (10.3) порождают пространство Hom(V, W ).

Рассмотрим некоторое произвольное отображение f Hom(V, W ). Пусть его матрица в базисах e1,..., en и h1,..., hm и пусть Fij элементы этой матрицы. Тогда действие f на произвольный вектор v V определяется координатами этого вектора по формуле:

Для действия Ej на этот же вектор v из (10.2) выводим:

Теперь из сравнения соотношений (10.4) и (10.5) находим Ввиду произвольности вектора v V это можно записать в форме разложения отображения f в линейную комбинацию отображений (10.3):