«ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ ПОЛЕЙ КВАНТОВОЙ ГЛЮОДИНАМИКИ ...»

Государственный научный центр Российской Федерации Институт

теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова

На правах рукописи

УДК 530.12

Бойко Павел Юрьевич

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ ПОЛЕЙ

КВАНТОВОЙ ГЛЮОДИНАМИКИ

01.04.02 – теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., проф.

Поликарпов М.И.

Москва – 2008 Содержание Введение................................... 1. Мотивация и обзор работы..................... 2.

Общая характеристика работы

................... Глава 1. Скейлинговые свойства МАП монополей....... 1.1. Магнитные монополи и невылетание............... 1.2. Обзор решеточной феноменологии................. 1.3. Геометрические и скейлинговые свойства............. 1.4. Связь с центральными вихрями.................. 1.5. Интерпретация феноменологии.................. 1.6. Выводы к первой главе....................... Погруженная HPn модель Глава 2.................. 2.1. Связь киральных и калибровочных теорий............ 2.2. Погруженная HPn модель на решетке............... 2.3. HP1 проекция............................ 2.4. Структура топологических флуктуаций............. 2.5. Выводы ко второй главе...................... Заключение................................. Литература................................. Приложение А. Детали численных экспериментов....... Приложение Б. Конденсация путей................. Приложение В. Квадратичная поправка.............. Введение 1. Мотивация и обзор работы Нет сомнений в том, что сильно взаимодействующие частицы состоят из кварков и глюонов, не наблюдаемых по отдельности. Вопрос о том, почему кварки связываются в адроны с наблюдаемыми свойствами далек, однако, от окончательного ответа.

Опыт решения большого количества квантовомеханических задач учит тому, что первым делом следует попытаться понять основное состояние системы, после чего можно надеяться, что свойства возбуждений получатся естественным образом. В этой работе мы сконцентрируемся исключительно на свойствах вакуума.

Конечно, полное решение КХД включает описание вакуумного состояния, конфайнмента и свойств адронов. Решеточная КХД делает серьезные успехи на этом пути, предоставляя решение в виде систематически улучшаемых результатов численных расчетов. Тем не менее, приближенные модели вакуума остаются важной составной частью понимания этих результатов. Назначением моделей является качественное объяснение непертурбативных свойств теории, таких как конфайнмент, вакуумные конденсаты, фазовая диаграмма.

Самые разнообразные модели были и остаются в разной степени феноменологически успешными. В моделях “мешков” роль непертурбативного вакуума сводится к граничным условиям на волновую функцию кварков на границе адронного мешка. Вакуум Саввиди заполнен спонтанно генерирующимся хромомагнитным полем, в спагетти-вакууме магнитное поле организовано в тонкие замкнутые трубки (мы вернемся к этой идее в разделе 1.4).

Вакуум модели дуальной сверхпроводимости имеет конденсат “магнитных зарядов”, в результате (дуальный) эффект Мейснера сжимает “электрическое” поле между кварком и антикварком в трубку, мы детально рассмотрим эту модель в первой главе. Множество вариаций модели инстантонной жидкости феноменологически успешны, особенно в описании свойств легких адронов.

Могут ли все эти модели быть (хотя бы отчасти) верными одновременно?

Можно ли получить их параметры из первых принципов? На каком масштабе эффективное описание сшивается с теорией возмущений? Как это происходит?

Решеточная КХД оказалась уникальным инструментом для поиска ответов на такие вопросы. Действительно, численное Монте-Карло моделирование теории1 представляет наблюдаемые в виде статистических средних по ансамблям конфигураций калибровочных полей {Aa (x)}. Выделяя на каждой конфигурации интересующие эффективные степени свободы, например “инстантоны” или “магнитные монополи”, можно непосредственно изучать их динамику в настоящем непертурбативном вакууме (евклидовой) КХД.

При дополнительных предположениях оказывается возможным факторизовать вклад рассматриваемых объектов в физические наблюдаемые, такие как натяжение струны. Можно рождать новые объекты, вычисляя эффективное действие. Можно даже удалять объекты из вакуума, исследуя соответствующее изменение физических свойств теории. Мы будем называть знания такого рода решеточной феноменологией.

Накопление и интерпретация фактов решеточной феноменологии привели к существенному пересмотру старых моделей вакуума.

В первой главе мы увидим, к каким причудливым модификациям модели дуальной сверхпроводимости привела систематическая интерпретация решеточных данных. В центре внимания будет описание магнитных монополей (определенных в максимальной абелевой проекции SU (2) глюодинамиПредполагается, что читатель знаком с основами решеточных калибровочных теорий. Для ориентации см., например, учебники [1, 2].

ки) в терминах флуктуирующей геометрии “квантовых” траекторий. Будет показано, что монополи проявляют себя не только на больших расстояниях порядка 1, как положено эффективным низкоэнергетическим степеням свободы, но и на малых расстояниях вплоть до масштаба обрезания2 a. Например, плотность монополей имеет вид (см. подробности в разделе 1.3.1) явно смешивая инфракрасный и ультрафиолетовый масштабы. Последовательная интерпретация (раздел 1.5) подобной “интерференции” масштабов неожиданно приводит к синтезу модели дуальной сверхпроводимости с картиной спагетти-вакуума центральных вихрей. Феноменологически, вклад вихрей и монополей в наблюдаемые идентифицируется в терминах квадратичной степенной поправки.

Другая феноменологически успешная модель вакуума – модель инстантонной жидкости (ILM) – испытала не меньшие метаморфозы под давлением решеточных данных. Специфика решеточной феноменологии ILM состоит в том, что наблюдение инстантонов требует явного разделения пертурбативного и непертурбативного вкладов. Так, плотность действия и плотность топзаряда максимально флуктуируют пертурбативно, не оставляя шансов заметить на пертурбативном фоне классическое решение Более того, уже определение плотности топологического заряда сталкивается на решетке с серьезными проблемами. Действительно, любая “наивная” Здесь и далее мы используем решеточную регуляризацию с шагом решетки a.

дискретизация тензора напряженности Gµ = Gµ + O(an ) в определении q GG нарушает целочисленность топологического заряда:

Проблема в том, что формально подавленные как степени a поправки на дискретизацию пропорциональны операторам высших размерностей и, вообще говоря, ультрафиолетово расходятся в среднем согласно размерности:

Mk ak a4 для всех k. Отметим для сравнения, что в аналогичном разложении плотности действия G2 настоящим малым параметром выступает константа связи s (a2 ) и только асимптотическая свобода обеспечивает сходимость дискретной версии оператора к непрерывной при a 0.

Отличные от наивной дискретизации определения решеточной плотности топологического заряда имеют свои серьезные недостатки. То же относится к широко распространенным рецептам “охлаждения” и сглаживания полей.

Во второй главе предлагается новый подход к конструкции оператора плотности топологического заряда в решеточной SU (2) глюодинамике. Конструкция состоит из двух частей.

Во-первых, калибровочное поле Aa (x) аппроксимируется с помощью геометрической связности поля | q (x) погруженной кватернионной нелинейной -модели:

Вопросы о том, что такое геометрическая связность, кватернионная проективная модель и как понимать приближенное равенство в выражении выше, подробно обсуждаются в разделе 2.1.

Во-вторых, геометрический смысл топологического заряда как индекса отображения | q (x) : Sphys HPn позволяет сконструировать дискретные операторы топологического заряда и его плотности c “хорошими” свойствами.

Описанию дискретной конструкции и ее свойств посвящен раздел 2.2.

Удивительным “побочным продуктом” конструкции погруженной HP1 модели оказывается полное подавление (по крайней мере лидирующего) пертурбативного вклада в физические наблюдаемые. В разделе 2.3 мы познакомимся с определением HP1 проекции как калибровочно-ковариантного отображения полей Aa i q | a µ | q, обобщающего подход к определению плотности топзаряда на другие операторы. Оказывается, что HP1 проекция сохраняет такие непертурбативные динамические свойства как глюонный конденсат, киральный конденсат и натяжение струны. Более того, статистически достоверно определена квадратичная поправка к глюонному конденсату. При этом наблюдаемые в HP1 проекции не имеют пертурбативных вкладов, таких как вклад нулевых колебаний в G2 и кулоновский член в потенциале. Напротив, остаток от проекции демонстрирует только пертурбативное поведение, см. сводную таблицу наблюдаемых 2.2.

Итак, конструкция погруженной HP1 модели отвечает всем требованиям для открытия инстантонной жидкости в вакууме: хорошо определенный оператор плотности топзаряда и разделение пертурбативного и непертурбативного вкладов в наблюдаемые. Пространственной структуре топологической плотности посвящен раздел 2.4. По-видимому, квадратичная поправка к глюонному конденсату оказывается фатальной для ILM вакуума. В разделе 2.4.1 показано, что квадратичная поправка к G2 соответствует линейной расходимости характерной плотности топзаряда Это, в свою очередь, интерпретируется как эффективно трехмерная структура флуктуаций топологической плотности в вакууме – вместо инстантона топзаряд порядка единицы несет сильно асимметричный “блин” характерного размера (1 fm)3 a.

Определение диффузионной размерности (раздел 2.4.2) позволяет провести независимую проверку утверждения о низкоразмерной структуре топологических флуктуаций. Оказывается, что действительно существует режим диффузии на фоне (модуля) плотности топологического заряда при котором величина локального возмущения падает со временем по степенному закону (t) tD/2 с эффективной размерностью D = 3.07(3).

В Заключении обсуждаются основные результаты работы.

В следующем разделе представлена общая информация о работе: список результатов выносимых на защиту, апробация диссертационной работы, ее объем и структура, а также благодарности.

2. Общая характеристика работы 2.1. Результаты Следующие новые научные результаты выносятся на защиту (в скобках указана страница текста, на которой можно найти детали, и ссылка на оригинальную работу автора):

1. Показана независимость геометрических свойств перколирующего кластера монополей от масштаба обрезания. В частности, получено значение для плотности монополей, принадлежащих перколирующему кластеру (стр. 31, [3]), 2. Открыта корреляция направлений перколирующего кластера. Показан скейлинг и непрерывный предел соответствующей корреляционной длины. Изучены скейлинговые свойства корреляторов монопольных токов, получены непрерывные значения соответствующих массовых параметров (стр. 37-39, [3, 4]).

3. Показано, что плотность монополей, принадлежащих конечным кластерам, расходится в непрерывном пределе линейно по a (стр. 31, [4]), 4. Показано, что удаление центральных вихрей приводит к исчезновению перколирующего кластера монополей. Одновременно показано, что удаление монополей приводит к исчезновению перколирующего кластера центральных вихрей (стр. 48, [5]).

5. Изучена конструкция погруженной кватернионной проективной (HP1 ) -модели и соответствующих решеточных операторов топологического заряда и его плотности. Проведено сравнение с другими определениями (стр. 78, [6]).

6. Предложена конструкция калибровочно-ковариантной HP1 проекции и изучены ее свойства. Обнаружено, что HP1 проекция сохраняет такие непертурбативные динамические свойства, как глюонный конденсат, киральный конденсат и натяжение струны. Статистически достоверно определена квадратичная поправка к глюонному конденсату:

При этом наблюдаемые в HP1 проекции не имеют (по крайней мере лидирующего) пертурбативного вклада, такого как вклад нулевых колебаний в G2 и кулоновский член в потенциале. Напротив, остаток от проекции демонстрирует только пертурбативное поведение (стр. 79-89, [6]).

7. Показано, что в формализме погруженной HP1 модели квадратичная поправка к глюонному конденсату соответствует линейной расходимости характерной плотности топологического заряда и справедлива оценка Это, в свою очередь, интерпретировано как проявление эффективно трехмерной структуры топологических флуктуаций (стр. 90, [7]).

8. Предложено определение диффузионной размерности топологических флуктуаций в вакууме. Показано, что существует масштабно-инвариантный режим диффузии, соответствующий эффективной размерности структуры топологической плотности независимо от шага решетки (стр. 96, [7]).

2.2. Апробация работы Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в зарубежных реферируемых журналах [5–8], а так же в трудах международных конференций [3, 4, 9, 10]. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах ИТЭФ, университета Гумбольдта (Берлин), Института математических исследований (Ченнай, Индия); на многочисленных международных конференциях, в том числе Lattice 2001 (Берлин), 2002 (Бостон, США), 2003 (Цукуба, Япония), 2007 (Регенсбург, Германия).

2.3. Структура и объем диссертации Диссертация включает в себя введение, две главы основного текста, заключение и три приложения. Объем диссертации 134 страницы, включая рисунок и 9 таблиц. Список литературы содержит 124 ссылки.

2.4. Благодарности Прежде всего, я очень благодарен своему научному руководителю, Михаилу Игоревичу Поликарпову, который всегда старался передать мне так много своих знаний и опыта, сколько я мог усвоить. Бльшая часть оригинальных идей, затрагиваемых в этой работе, принадлежит Валентину Ивановичу Захарову, и, безусловно, еще больше его идей так и остались мной не поняты.

Федор Губарев был инициатором и лидером исследований, которые легли в основу второй главы.

Я признателен всем без исключения своим соавторам: Виталию Борнякову, Александру Веселову, Федору Губареву, Алексею Коваленко, Борису Мартемьянову, Сергею Морозову, Михаилу Поликарпову, Максиму Чернодубу, Валентину Захарову, Michael Muller-Preussker, Ernst-Michael Ilgenfritz за интересную совместную работу. Конечно, все результаты, которые я приписываю себе в этой диссертации, были бы невозможны без их активного и талантливого участия.

Благодаря исключительному гостеприимству В.И. Захарова, B.L.G. Bakker, а так же N.D. Hari Dass и Л.В. Лаперашвили часть этой работы была сделана в крайне приятных условиях.

Я очень признателен Федору Губареву и Виталию Борнякову за прочтение рукописи, их критические замечания сделали этот текст намного лучше.

Большое спасибо В.А. Новикову и А.А. Белавину, взявшим на себя труд быть официальными оппонентами этой работы.

Скейлинговые свойства МАП монополей 1.1. Магнитные монополи и невылетание Сама возможность существования магнитно заряженных частиц приводит к нетривиальным последствиям.

Простой причиной введения магнитных зарядов является симметрия уравнений Максвелла в вакууме, относительно глобального преобразования дуальности. Пусть E обозначает любую электрическую величину, такую как E, je, e, а M – соответствующую магнитную, например B, jm, m. Преобразование дуальности меняет магнитные и электрические величины местами:

и является симметрией (1.1).

С другой стороны, существуют серьезные возражения против введения магнитных зарядов. Легко видеть, что уравнения Максвелла в форме (1.1) не допускают введения векторного потенциала A:

Это, в свою очередь, создает непреодолимые трудности для квантово-механического описания движения электрического заряда в электромагнитном поле. Действительно, как гамильтониан так и лагранжиан точечной заряструна Дирака Рис. 1.1. Магнитный монополь Дирака. Сингулярная струна и кулоновская часть несут равные потоки = 4g. Электрически заряженная частица e не рассеивается на струне если выполнено условие квантования.

женной частицы включают в явном виде вектор-потенциал внешнего поля Aµ, а другие формулировки квантовой механики неизвестны.

Дирак показал [11, 12], что существование магнитных монополей может быть согласовано с квантовой механикой, если величины любого электрического e и любого магнитного g зарядов удовлетворяют условию квантования Монополь Дирака выглядит следующим образом: кулоновское магнитное поле статического монополя, B = gr/r3, может быть получено из векторного потенциала сингулярного на отрицательной полуоси z, в виде Сингулярная часть в (1.6) имеет носитель на отрицательной полуоси z и интерпретируется как вклад бесконечно тонкой струны Дирака, начинающейся на монополе и уходящей на бесконечность. Из (1.6) видно, что струна несет тот же полный поток магнитного поля = 4g, что и кулоновская часть B.

Положение струны Дирака в пространстве не имеет инвариантного смысла – можно показать, что линия сингулярностей меняется при калибровочных преобразованиях A. Требование ненаблюдаемости струны Дирака приводит к условию квантования заряда (1.4). Доказательство этого факта [12] основано на решении задачи рассеяния заряженной частицы в потенциале (1.5).

Мы ограничимся тем, что рассмотрим действие электрического заряда вдоль замкнутой траектории [13] вокруг струны Дирака (см. рис.1.1) где = 4g – полный поток магнитного поля в струне. В квантовой механике действие само по себе ненаблюдаемо, а входит в амплитуду рассеяния в виде фазового фактора – электрон не заметит положение струны Дирака если что и есть условие квантования (1.4). Отметим, что даже если условие квантования выполнено и сингулярная струна не наблюдаема, кулоновская часть поля достаточно сингулярна сама по себе, чтобы энергия монополя Дирака (“магнитная масса”) была бесконечна. Впрочем, это проблема любого точечного заряда.

Итак, монополь Дирака является источником магнитного поля, и струна Дирака ненаблюдаема, если выполнено условие квантования заряда.

Подобное (1.4) условие квантование появляется в физике конденсированного состояния при анализе струны Абрикосова. Нормальный сверхпроводник – это среда с конденсатом электрически заряженных квазичастиц, куперовских пар. Все сверхпроводники полностью выталкивают слабое внешнее магнитное поле – энергетически выгодно экранировать внешнее поле за счет замкнутого тока на поверхности сверхпроводящего образца. С другой стороны, достаточно сильное внешнее магнитное поле разрушает сверхпроводимость, при этом скачком проникая в весь объем металла. Важной для нас характеристикой является поверхностная энергия границы раздела сверхпроводящей и нормальной фаз. В сверхпроводниках второго рода эта энергия отрицательна. Это значит, что в окрестности фазового перехода возможны энергетически выгодные конфигурации, при которых лишь часть образца находится в нормальной фазе и пропускает магнитное поле. Абрикосов [14] нашел такие конфигурации. Найденное им решение классических уравнений движения Гинзбурга-Ландау имеет вид тонкой (толщиной порядка глубины проникновения) струны, ориентированной вдоль внешнего поля. Внутри струны Абрикосова сверхпроводимость разрушена, и магнитное поле не равно нулю. Поток магнитного поля в струне Абрикосова квантуется:

где q = 2e – заряд куперовской пары. Этот эффект имеет ту же причину, что и обсуждавшееся выше квантование электрического заряда в присутствии струны Дирака – однозначность фазы волновой функции внешних заряженных частиц, в этом случае – глобально когерентной волновой функции конденсата куперовских пар.

Теперь рассмотрим пару из дираковских монополя и антимонополя, погруженную в сверхпроводник второго рода (см. рис. 1.2). Условия квантования заряда (1.4) и квантования потока (1.9) тождественны. Т.е. одновременно не наблюдаемы струны Дирака, и весь поток магнитного поля между монополем и антимонополем сжимается в струну Абрикосова. Ситуация отчасти аналогична невылетанию цвета в КХД. Действительно, благодаря струне Абрикосова потенциал взаимодействия магнитных монополя и антимонополя растет асимптотически линейно с расстоянием.

Осталось сделать последний шаг – вспомнить о преобразовании дуальности, обсуждаемом в начале этого раздела. Меняя местами магнитные и элекg Рис. 1.2. Пара монополь-антимонополь в сверхпроводнике второго рода. Дираковская струна и струна Абрикосова несут одинаковые потоки магнитного поля.

трические заряды, мы приходим к качественной картине дуального сверхпроводника, впервые предложенной 30 лет назад ’т Хуфтом [15] и Мандельстамом [16]: удержание кварков объясняется конденсатом “магнитных монополей” в вакууме КХД.

Путь от этой простой идеи до объяснения невылетания цвета в КХД до сих пор не пройден до конца. В этой главе мы покажем куда он ведет.

1.1.1. Монополи и невылетание в компактной U (1) теории Серьезную поддержку идее дуальной сверхпроводимости дал анализ фазовой структуры компактной U (1) теории [17]. Это почти обычная электродинамика с действием дискретизированным на гиперкубической решетке. Динамическими переменными в такой модели являются определенные на ребрах решетки углы x,µ [, ), калибровочная группа U (1) естественным образом параметризуется как u = exp(i) U (1). Плакетные переменные, входят в стандартное действие Вильсона:

соответствующее (1.10) в наивном непрерывном пределе.

Периодичность действия (1.12), однако, разрешает сингулярные скачки напряженности поля на единичных плакетах где регулярно и mµ (x) Z. Второе слагаемое соответствует струне Дирака, аналогично непрерывному разложению Действие струны Дирака равно нулю в компактной версии электродинамики.

Это вызывает к жизни дираковские монополи. Несмотря на то, что (как и в обычной электродинамике) полная напряженность удовлетворяет тождествам Бьянки µ (x) = 0, это не так для отдельных членов в правой части (1.13). Магнитные токи определяются либо как граница дираковских струн, либо как точки сингулярностей полей, в которых нарушаются тождества Бьянки для регулярной напряженности µ. Практически используется второе определение – токи kµ (x) определяются следующим образом:

где использована решеточная производная вперед, f (x) = f (x + ) f (x) и мы позволяем себе игнорировать такой артефакт регуляризации как различие между “реальной” и “дуальной” решетками. Ток kµ (x) сохраняется:

Являясь геометрически границей струн Дирака, токи kµ (x) определяют замкнутые линии на решетке. Эти линии, вдоль которых kµ (x) целочисленно и отлично от нуля, естественным образом интерпретируются как монопольные траектории.

Отметим, что хотя компактная электродинамика содержит только “фотоны”, это нелинейная теория, см. действие (1.12), что делает ее больше похожей на неабелевые теории Янга-Миллса. Однако, в отличие от последних, компактная U (1) теория не имеет непрерывного предела.

Динамика компактной электродинамики хорошо известна. Существует фазовый переход по константе связи e в точке ecrit 1. При e > ecrit имеет место конфайнмент статических зарядов и массовая щель, при e < ecrit – нет. Механизм невылетания буквально соответствует механизму дуальной сверхпроводимости, и конденсат монополей является параметром порядка.

Теоретические результаты [17] были подтверждены численным моделированием решеточной теории [18]. В Приложении Б приведен более детальный анализ конденсации монополей в компактной электродинамике.

1.1.2. Монополи в неабелевых теориях Хотя сферически симметричные статические решения классических уравнений Янга-Миллса были найдены в 1969 году Ву и Янгом [19], только в году ’т Хуфт [20] и Поляков [21] добавили в теорию скалярное поле Хиггса в присоединенном представлении калибровочной группы и нашли стабильное монопольное решение. Лагранжиан модели имеет вид:

где Fµ (x) - неабелевый тензор напряженности поля, Fµ = [µ Aa +e a (x) - скалярное поле в присоединенном представлении, (Dµ )a = µ a + Ab c. Это модель Джорджи-Глешоу [22], в которой массы калибровочноe µ го и хиггсовского бозонов равны соответственно Явный вид монопольного решения известен в пределе Богомольного [23, 24] = 0, mH = 0:

Энергия этого решения, то есть масса монополя, равна В отличие от дираковского монополя, монополь ’т Хуфта-Полякова имеет конечную массу – нетривиальная конфигурация хиггсовского поля в ядре монопольного решения смягчает сингулярность магнитного поля.

Глобальная SU (2) симметрия нарушена этим решением, как и в случае классического вакуума, до U (1) - группы вращений вокруг оси, определяемой вектором a на бесконечности. Эту группу называют электромагнитной.

Можно определить калибровочно-инвариантный тензор напряженности электромагнитного поля в терминах исходных полей:

и вычислить магнитное поле для решения (1.19-1.20) на большом расстоянии от центра монополя. С точностью до членов, убывающих как emW r оно равно Это поле монополя с магнитным зарядом Taким образом, выполняется условие квантования заряда подобное условию Дирака (1.4). В унитарной калибровке 1 = 2 = то есть имеет вид (1.5) дираковского монополя с зарядом 4/e. Неабелевые компоненты A1,2, заряженные по отношению к ненарушенной U (1), убывают экспоненциально, и на больших расстояниях решение выглядит как монополь в абелевой теории.

Рассмотренное решение является топологическим солитоном. Топологическое число n равно степени отображения, определяемому полем Хиггса на пространственной бесконечности, S Svac, где S - бесконечно удаленная сфера, Svac - сфера в пространстве скалярных полей, определенная соотношением a a = µ2. Поскольку 2 (S 2 ) = Z, отображения S Svac характеризуются целым топологическим числом. В общем случае заряд монополя равен gm = 4n/e.

Таким образом, поле Хиггса в присоединенном представлении калибровочной группы является неотъемлемой составляющей для существования стабильного монопольного решения. Спонтанное нарушение симметрии выделяет абелевую подгруппу, после чего монополь появляется так же, как в компактной U (1) теории.

Более реалистичный случай чистой теории Янга-Миллса (КХД без полей материи), однако, не содержит поля Хиггса. Вместо него ’т Хуфт предложил использовать композитный оператор, построенный из калибровочных полей и преобразующийся в присоединенном представлении. Такой подход получил в конечном счете название абелевой проекции.

1.1.3. Абелевая проекция Предложенная первоначально ’т Хуфтом в [25] процедура абелевой проекции выглядит следующим образом. Пусть X(x) - некоторый оператор, зависящий от калибровочного поля и преобразующийся при калибровочных преобразованиях по присоединенному представлению1 :

Далее, пусть g(x) - калибровочное преобразование, приводящее X(x) к диагональному виду:

Очевидно, что g(x) определено с точностью до умножения слева на v(x) [U (1)]Nc 1, где [U (1)]Nc 1 – максимальная абелевая подгруппа, подгруппа Картана, группы SU (Nc ). Такую калибровку называют абелевой калибровкой. Заметим, что кроме [U (1)]Nc 1 симметрии сохраняется вейлевская симметрия относительно перестановок столбцов и строк в матрице X. Эта симметрия может быть фиксирована упорядочиванием собственных значений i.

Калибровочное поле в этой калибровке имеет диагональные компоненты ai (Aµ )ii, преобразующиеся как абелевые калибровочные поля (“фотоны”) и недиагональные компоненты cij (Aµ )ij, i = j, преобразующиеся как векторные электрически заряженные поля Было показано, что при фиксации такой калибровки появляются сингулярности в точках, где два или более собственных значения совпадают. КаЗдесь и далее явная зависимость полей от пространственных координат опускается везде где это не приводит к недоразумениям.

либровочное поле в окрестности сингулярности имеет вид монополя ’т ХуфтаПолякова [20, 21]. Рассмотрим для простоты случай Nc = 2. Тогда (1.26) В данном случае равенство собственных значений означает (x) = 0, т.е.

Xa (x) = 0, a = 1, 2, 3. Эти три условия задают точку в 3-х мерном пространстве и замкнутую линию в 4-х мерном пространстве. В окрестности этой точки Xa (x) = Caµ (xµ xµ ) +.... После преобразования системы координат получаем X(x ) = xa Ta +..., что совпадает с поведением в нуле поля Хиггса монополя ’т Хуфта-Полякова. Калибровочное преобразование g(x), которое диагонализует X имеет вид:

Для этого калибровочного преобразования Таким образом, после калибровочного преобразования абелева компонента калибровочного поля приобретает сингулярный член который имеет вид монополя Дирака с зарядом Аналогичным образом можно показать для группы SU (3), что абелева компонента калибровочного поля в окрестности точки, где два собственных значения оператора X(x) вырождены, имеет составляющую в виде монополя Дирака. Заметим, однако, что вдали от этой точки вид калибровочного поля в общем случае не фиксирован, то есть общие с магнитным монополем свойства проявляются только в окрестности точки сингулярности. Также стоит отметить, что в общем случае не установлена связь между определенными таким образом абелевыми монополями и решениями классических уравнений движения. Хотя в некоторых частных случаях такая связь имеется, правильнее рассматривать эти монополи как вид квантовых флуктуаций.

Рассмотренный пример показывает, что процедура абелевой проекции действительно предоставляет описание неабелевой теории в терминах абелевых полей, электрических зарядов и магнитных монополей, необходимое, чтобы вдохнуть жизнь в механизм дуальной сверхпроводимости. Ряд принципиальных вопросов, тем не менее, остается открытым.

Во-первых, существует бесконечно много способов выбрать оператор X, определяющий, какая картанова подгруппа будет выбрана в качестве “фотонной”. Более того, ниже будет рассматриваться случай т.н. максимальной абелевой калибровки, для которой локальный оператор X не определен. Не существует a priory выделенной среди других абелевой калибровки, тем не менее, различные калибровки приводят к качественно различным описаниям.

Во-вторых, нет оснований утверждать a priоri, что монополи, определенные как сингулярности проецированных полей (1.28), не являются артефактами сингулярного калибровочного преобразования и действительно играют роль в динамике КХД.

Ответы на эти вопросы требуют методов непертурбативного анализа динамики КХД. Дальнейшее развитие идеи дуальной сверхпроводимости практически полностью связано с ее решеточной формулировкой, предложенной в [26, 27]. Более того, практически все развитие было связано с единственной максимальной абелевой калибровкой, хорошо зарекомендовавшей себя феноменологически.

1.1.4. Максимальная абелевая калибровка Фиксация максимальной абелевой калибровки (МАК) на решетке определяется максимизацией функционала по отношению к калибровочным преобразованиям, Условие (1.34) фиксирует gx с точностью до умножения gx vx gx с т.е. gx SU (2)/U (1).

В наивном непрерывном пределе функционал принимает вид где Можно показать, что экстремумы функционала F (A) удовлетворяют дифференциальному билинейному калибровочному условию Дифференциальное калибровочное условие (1.39), дополненное условием положительности оператора Фадеева-Попова, эквивалентно нахождению минимумов функционала F (A).

После преобразования решеточного калибровочного поля в МА калибровку выполняется разложение где преобразуется как абелевое калибровочное поле, а Cx,µ – как заряженное поле материи, при преобразованиях из ненарушенной абелевой подгруппы:

Кварковые поля также заряжены по отношению к этим U (1) преобразованиям:

Абелевое решеточное калибровочное поле Vx,µ будем называть абелевой проекцией неабелевого калибровочного поля Ux,µ.

Используя параметризацию реберной матрицы, [, +), [0, ), функционал F можно переписать как Таким образом, максимизация F соответствует максимизации абсолютных значений диагональных элементов реберной матрицы (1.44).

После определения U (1) поля µ (x) магнитные монополи могут быть определены точно так же, как в компактной U (1) теории, см. раздел 1.1.1. Теперь мы переходим к оправданию всей конструкции, включающей нелокальную фиксацию калибровки и определение дираковских монополей.

1.2. Обзор решеточной феноменологии За двадцать лет активных исследований накоплено большое количество фактов, известных об абелевых монополях в максимальной абелевой проекции решеточной SU (2) глюодинамики. К сожалению, все они основаны на алгоритмическом определении абелевой проекции и существенно непертурбативном решеточном моделировании и не имеют непосредственной интерпретации в терминах квантовой теории поля в пространстве-времени Минковского. Мы будем называть такие знания “решеточной феноменологией”. В этом разделе представлен краткий обзор наиболее важных феноменологических фактов, известных об МАП монополях на сегодняшний день. Вместе с предыдущим разделом он составит основу для более детального рассмотрения оригинальных работ автора в следующем разделе.

Мы увидим, что несмотря на большую теоретическую неопределенность, решеточная феноменология МАП монополей оказывается крайне нетривиальной и, по-видимому, указывает на глубокую связь динамики монополей и невылетания цвета. Мы также покажем, в каком смысле эта связь соответствует качественному механизму дуальной сверхпроводимости, описанному выше.

1.2.1. Абелевая и монопольная доминантность Выбор абелевой калибровки разделяет неабелевые полевые переменные A(x) на абелевые (они же диагональные) Aabelian (x) и заряженные по отношению к ним недиагональные поля. Это разделение, конечно, совершенно условно до тех пор, пока рассматриваются калибровочно-инвариантные наблюдаемые, петли Вильсона например. Разница появляется при рассмотрении т.н. абелевых операторов, т.е. операторов, определенных как функции только лишь электромагнитной составляющей поля и инвариантных лишь относительно ненарушенной калибровочным условием U (1) подгруппы. Под абелевой проекцией понимается отображение калибровочно-инвариантного оператора O[A] в аналогичный оператор, построенный из абелевых полей Oabelian O[Aabelian ]. Утверждение о том, что значение физической наблюдаемой O в неабелевой теории совпадает (или почти совпадает) со средним значением соответствующего абелевого оператора Oabelian, полученного путем абелевой проекции, называется абелевой доминантностью [28, 29]. Монопольная доминантность означает, что та же величина может быть посчитана на полях, определяемых только монопольными траекториями Amono A[jmono ], где поле монополей получается интегрированием дираковского решения по положению монополя.

Гипотезы абелевой и монопольной доминантности широко исследовались в МАК для различных инфракрасных наблюдаемых в КХД, таких как натяжение струны. В работе [30] было показано что abelian mono с точностью порядка 5%. В работе [31] тот же результат был получен в SU (2) глюодинамике с улучшенным решеточным действием. То же было продемонстрировано для натяжения струны при конечной температуре в [32], натяжения струны в SU (3) глюодинамике [33], для среднего линии Полякова и ее критических экспонент [34], для топологической восприимчивости и даже адронных масс в [35]. Своего рода операцией, обратной выделению вклада монополей в абелевые операторы, является процедура удаления монополей [36].

Было показано, что после вычитания монопольного вклада из абелевых полей пропадают конфайнмент и спонтанное нарушение киральной симметрии.

Предполагается, что абелевая и монопольная доминантность в МАК являются точным фактом в непрерывном пределе a 0 для всех непертурбативных наблюдаемых.

1.2.2. Признаки дуального сверхпроводника В обычном сверхпроводнике электрические токи куперовских пар удовлетворяют уравнению Лондонов. Если вакуум глюодинамики ведет себя подобно дуальному сверхпроводнику, то естественно предположить, что абелевые монопольные токи должны удовлетворять уравнению Лондонов в присутствии струны.

И действительно, как было показано численно в [37], уравнение Лондонов выполняется в максимальной абелевой проекции SU (2) глюодинамики. Детальные исследования профиля электрического поля и распределения монопольных токов вокруг КХД струны показали, что хромоэлектрическая струна в максимальной абелевой проекции очень похожа на вихрь Абрикосова в сверхпроводнике [38]. Важен следующий физический вопрос: если вакуум КХД ведет себя как (дуальный) сверхпроводник, то какого он типа? Вычисления, выполненные в [37, 39] показывают, что вакуум глюодинамики очень близок к границе между сверхпроводимостью первого и второго рода.

Если вакуум SU (2) глюодинамики в абелевой проекции аналогичен дуальному сверхпроводнику, то величина монопольного конденсата должна зависеть от температуры как параметр порядка: иметь ненулевое значение при низких температурах и зануляться выше точки фазового перехода.

Поведение монопольного конденсата может быть исследовано с помощью оператора рождения монополя. В глюодинамике этот оператор можно вывести из результатов работы [40]. Кроме того, удобнее исследовать эффективный потенциал на поле монополя, определяемый следующим образом (аналогичные вычисления в компактной электродинамике были сделаны в [41]):

где mon (x) – оператор рождения монополя в точке x. Если так определенный потенциал имеет вид потенциала Хиггса то в теории существует монопольный конденсат. Механизм дуальной сверхпроводимости предсказывает именно такой вид потенциала в фазе невылетания. В фазе деконфайнмента эффективный потенциал должен иметь вид:

Потенциал (1.46) был численно исследован в работе [42], где было показано, что он имеет нетривиальный минимум c > 0 в фазе невылетания и не имеет нетривиального минимума в фазе деконфайнмента.

Оператор рождения монополя в представлении монопольных токов [43] исследовался в работе [44]. В этих работах сначала монопольное действие реконструировалось из монопольных токов в максимальной абелевой проекции, и только затем, используя полученное действие, вычислялось среднее оператора рождения монополя в токовом представлении. И снова было найдено, что оператор рождения является параметром порядка в фазовом переходе конфайнмент-деконфайнмент.

Итак, мы видим, что накопленные феноменологические знания о динамике монополей в максимальной абелевой проекции серьезно поддерживают картину дуальной сверхпроводимости.

Проблема, однако, заключается в модельно-зависимом характере наблюдений такого сорта. Не имея сомнений в том, что дуальная абелевая модель Хиггса может служить лишь приближением к описанию непертурбативной динамики КХД, мы вынуждены искать место монополей в оригинальной неабелевой теории и связь их динамики с физическими наблюдаемыми. Мы посвятим этим вопросам оставшуюся часть этой главы.

1.3. Геометрические и скейлинговые свойства Как обсуждалось выше, абелевые монополи определяются на решетке как граница дираковских струн, несущих сингулярный абелевый поток. Будучи геометрической границей, монополи представляют собой замкнутые ориентированные траектории xµ ( ) в 4-мерном евклидовом пространстве-времени.

Замкнутость монопольных траекторий имеет естественную интерпретацию сохранения магнитного заряда, имея это в виду мы будем часто называть монопольные траектории токами. Операционно, процедура абелевой проекции может рассматриваться как отображение конфигурации решеточных калибровочных полей Uµ (x) в конфигурацию монопольных токов xµ ( ).

Такое представление об абелевой проекции как о “черном ящике”, определяющим монополи по конфигурациям полей является отправной точкой модельно-независимого описания динамики абелевых монополей и их роли в непертурбативной физике КХД. Непосредственно наблюдаемыми при этом являются только траектории монополей, а единственным свободным параметром – масштаб ультрафиолетового обрезания a.

Ниже будет показано какую информацию о динамике монополей и их месте в КХД можно получить исследуя зависимость их геометрических свойств от масштаба обрезания. Ключевую роль в дальнейшем анализе займут два хорошо известных понятия: асимптотический скейлинг и кластерная декомпозиция монопольных траекторий.

1.3.1. Кластерная декомпозиция и скейлинг плотности Кластерная декомпозиция монопольных траекторий, предложенная в [45], оказалась чрезвычайно полезным инструментом исследования их геометрических свойств. По определению кластер это максимальная связная часть траектории. Любая конфигурация токов xµ ( ) на решетке единственным образом разбивается на ансамбль непересекающихся кластеров. Под размером кластера мы будем понимать его длину, т.е. полное количество ребер решетки, принадлежащих кластеру.

В работах [45, 46] было впервые показано, что динамически кластеры монополей разделяются на два существенно различных класса. Во-первых, в каждой Монте-Карло конфигурации монопольных токов существует единственный перколирующий кластер монополей, размер которого пропорционален объему решетки:

Остальные кластеры имеют конечную длину в термодинамическом пределе2 V и характеризуются распределением по длинам P (l). Соответствующие плотности монополей в перколирующих и в конечных кластерах принято нормировать следующим образом:

где lperc, ln – число ребер решетки в соответствующих кластерах, V – число узлов решетки, a – шаг решетки. Полная плотность равна сумме perc и n.

На Рис. 1.3 показана плотность перколирующего кластера монополей perc как функция шага решетки a, полученная в работе [8]. Слабая зависимость от a подгонялась константой для значений > 2.35. В результате получено значение в непрерывном пределе (показано сплошной линией на Рис. 1.3).

Плотность монополей в конечных кластерах, напротив, расходится при a 0, и хорошо подгоняется следующей функцией (пунктирная линия на Рис. 1.3) со значениями параметров При этом количество и суммарная длина конечных кластеров растут, конечно, пропорционально объему.

Рис. 1.3. Скейлинг плотности монополей, детали подгонок и обсуждение см. в тексте.

Заметим, что отрицательное значение параметра C1 означает, что подгонка не работает в (нефизической) области сильной связи.

Процитированные выше феноменологические результаты крайне нетривиальны и требуют целого ряда комментариев.

Во-первых, сосуществование одного перколирующего и конечных кластеров обладающих качественно различными скейлинговые свойствами оправдывает кластерное разложение как подход к описанию геометрии монопольных токов. Более того, в [45] было показано что только лишь перколирующий кластер способен обеспечить натяжение струны в смысле монопольной доминантности, см. обсуждение монопольной доминантности выше. В работе [47] было показано, что при температурном переходе конфайнментдеконфайнмент в SU (2) глюодинамике перколирующий кластер монополей распадается на ансамбль маленьких кластеров. Остатки перколирующего кластера продолжают перколировать по направлению евклидового времени, тогда как свойство перколяции в пространственных направлениях пропадает.

Во-вторых, существование единственного экземпляра перколирующего кластера на каждой динамически важной Монте-Карло конфигурации выглядит буквально как соответствующее утверждение теории перколяции (см. [48] и Приложение Б в качестве введения в теорию). Существенное отличие, тем не менее, заключается в том что случайная перколяция предполагает достаточную конечную решеточную (т.е. безразмерную) плотность “занятых” ребер, необходимую для образования перколирующего кластера. Это условие явно не выполняется для монопольных токов, решеточная плотность монополей стремится к нулю в непрерывном пределе:

При типичном для работ автора значении шага решетки a 0.1 f m монополи занимают всего около 1-2% ребер решетки, что на порядок меньше порога случайной перколяции ребер в 4-мерном пространстве. Таким образом существование перколирующего кластера монополей в непрерывном пределе не имеет отношения к случайной перколяции.

В-третьих, скейлинг плотности монополей из конечных кластеров (1.52) не соответствует “наивным” ожиданиям, основанным на размерных соображениях a3 или 3.

Отметив все это, мы перейдем сейчас к дальнейшему изложению решеточной феноменологии монопольных кластеров с тем чтобы вернуться к интерпретации этих фактов в разделе 1.5.

1.3.2. Свойства перколирующего кластера Итак, перколирующий кластер представлен в единственном экземпляре на каждой конфигурации. Геометрически эта замкнутая траектория состоит из точек самопересечения и промежутков траектории между ними – сегментов кластера. Мы будем рассматривать как длину сегмента вдоль траектоfm 1. Рис. 1.4. Скейлинг средней длины сегмента перколирующего кластера.

рии (т.е. число ребер в сегменте) lsegm, так и расстояние между конечными точками сегмента d.

Как уже показано выше, плотность монополей в перколирующем кластере perc конечна в континуальном пределе. В работе [3] были получены данные по скейлингу для других характеристик перколирующего кластера. Как видно из Рис. 1.4 средняя длина сегмента между самопересечениями lsegm слабо зависит от шага решетки. Делая подгонку константой для > 2.35 получаем Для расстояния между пересечениями d зависимость от шага решетки заметная, она хорошо аппроксимируется линейной функцией (см. Рис. 1.5).

В непрерывном пределе получено значение d 0.20 fm.

На Рис. 1.6 показано среднее число самопересечений на единицу длины (линия full). Эта величина также слабо зависит от шага решетки и подгонка константой дает 0.3f m1. Используя значение плотности перколирующеfm Рис. 1.5. Скейлинг среднего расстояния между точками самопересечения перколирующего кластера.

Рис. 1.6. Число пересечений на единицу длины в перколирующем кластере, см. обсуждение в тексте.

Рис. 1.7. Корреляция направлений монопольного тока, см. объяснение в тексте.

го кластера (1.51) получаем примерно 10 самопересечений в перколирующем кластере на объем 1f m4. Другой результат получается, если исключить из рассмотрения замкнутые петли конечной длины, соединенные с перколирующим кластером. На Рис. 1.6 линия с числом n = 4, 6,..., 12 показывает среднее количество самопересечений кластера, из которого исключены замкнутые петли длины вплоть до n шагов решетки. Как видно из рисунка, при вычитании коротких петель среднее число пересечений на единицу длины уменьшается и его предел согласуется с нулем в пределах ошибок.

Картина перколирующего кластера без самопересечений (кроме случайных пересечений с короткими вакуумными петлями) кардинально отличается от картины случайных блужданий. С целью сравнения геометрии перколирующего кластера с геометрией случайного блуждания, в работе [3] были изучены корреляции направлений соседних ребер перколирующего кластера.

Назовем ребро Cin из перколирующего кластера начальным и вычислим вероятность того, что ребро Cl, отстоящее от Cin вдоль кластера на l + 1 ребро, имеет то же самое направление. Оказывается эта вероятность довольно медленно убывает с ростом l. Направление ребра Cl может совпадать с направлением ребра Cin, быть противоположным или совсем не совпадать. Эти три возможности рассматривались отдельно. Соответствующие корреляторы были нормированы таким образом, что они равнялись бы единице для случая случайного блуждания (это верно для l = 0, для l = 0 противоположное направление запрещено).

Из Рис. 1.7 видно, что даже для l порядка размера решетки наиболее вероятное направление - это направление начального ребра. Заметим, что (нормированная) вероятность обнаружения направления начального ребра, Psame, экспоненциально приближается к единице сверху: Psame = 1 + As eµs la, а (нормированная) вероятность найти противоположное направление - снизу:

Popposit = 1 Ao eµo la. Результаты соответствующих подгонок показаны на Рис. 1.7 пунктирными линиями. Обратные длины корреляции µs и µo совпадают в пределах ошибок и слабо зависят от шага решетки, см. Таб. 1.1.

Таблица 1.1. Результаты подгонки для Psame 1 и 1 Popposit.

1.3.3. Свойства конечных кластеров На Рис. 1.8 показано число конечных кластеров длины l (в решеточных единицах) как функция l. Пунктирная линия показывает результат подгонки данных функцией C/l. Важно, что для всех значений шага решетки значения параметра хорошо согласуются со значением = 3, как видно из Nfin(l)/Nfintotal Рис. 1.8. Распределение конечных кластеров по длинам. = 2.4 решетка 324.

Таб. 1.2, где приведены результаты подгонки. Значимость этого факта будет обсуждаться ниже.

3.10(4) 2.98(2) 2.95(2) 2.97(2) 2.91(3) 3.02(3) 3.06(3) 3.11(4) Таблица 1.2. Параметр подгонки спектра длин конечных кластеров, 1.3.4. Пространственные корреляции Рассматривались три типа корреляторов:

• G1 (x y) - вероятность того, что точки x и y соединены монопольной траекторией.

• G2 (x y) - вероятность того, что точки x и y соединены монопольной траекторией, принадлежащей к перколирующему кластеру.

• G3 (xy) - вероятность того, что монопольный ток проходит через точки Поскольку небольшие кластеры имеют конечный размер в решеточных единицах, корреляторы G1 (xy) и G2 (xy) совпадают для больших d = |xy|.

Поведение в пределе d = |x y| одинаковое для всех трех корреляторов. Для его описания в работах [49, 50] (см. также [51]) была предложена следующая функция:

где k = 1, 2, 3. Константы Ck равны квадрату соответствующей плотности монополей, поскольку плотность монополей по определению равна вероятности найти монопольный ток на данном ребре. Очевидно, что C1,2 = (perc )2, а C3 = (perc + n )2.

Полученные данные указывают на наличие скейлинга, т.е. независимости от обрезания. Это иллюстрируется на Рис. 1.9, где показан коррелятор G1 (d) в физических единицах, вычисленный при различных. Заметим, что поскольку размерность – fm3, размерность корреляторов Gk – fm6 и они должны быть весьма чувствительны к возможным нарушениям скейлинга.

Было также проверено наличие эффектов конечного объема. При = 2. сравнивались результаты, полученные для разных размеров решетки. Полученные результаты не выявили зависимости корреляторов Gk (d) от объема.

Важным физическим параметром являются массы mk, введенные в (1.54).

Подгонка, сделанная для d > 0.3 fm показывает, что массы mk обладают скейлингом, но точность их определения невысока:

Рис. 1.9. Демонстрация скейлинга для коррелятора G1 (d). Константа C1 была вычтена, см. объяснения в тексте.

1.3.5. Действие, связанное с монополями Выше мы рассмотрели феноменологические факты, касающиеся скейлинга геометрических свойств монопольных токов. В этом разделе мы кратко рассмотрим результаты важной работы [52] посвященной скейлингу полного неабелевого действия ассоциированного с монопольными траекториями.

Было вычислено неабелевое (стандартное вильсоновское плакетное) действие, обозначаемое ниже Splaq, на плакетах, наиболее близких к монопольной траектории. При этом измерение Splaq производилось раздельно для монополей, принадлежащих к перколирующему кластеру и к конечным кластерам. На Рис. 1.10 показана зависимость избытка действия в элементарном трехмерном кубике вокруг монополя где S - среднее действие по всей решетке, от расстояния до центра 3D кубиb Рис. 1.10. Зависимость избытка неабелевого действия Scube от расстояния до монополя a/2 для монополей из перколирующего кластера (квадраты) и монополей из конечных кластеров (треугольники). Пунктирная линия соответствует ln 7 и приведена для сравнения. Погрешности не превышают размера символов для большинства точек. Из работы [52].

ка с монополем, т.е. половины шага решетки, a/2. Нормировочный фактор учитывает что один монополь окружен трехмерным кубиком, имеющим 6 элементарных плакетов в качестве граней, дополнительный множитель = 1/g введен для удобства сравнения с классическим действием и энтропийным фактором, см. ниже. Заметим, что избыток действия определяется в основном вкладом на ближайших к монополю плакетах, поэтому погрешность из-за неучета избытка действия на более удаленных плакетах невелика.

Предполагая что поведение, показанное на рис. 1.10 сохранится в непрерывном пределе, из этих данных было сделано два важных для дальнейшего обсуждения вывода [52]:

Во-первых, добавочное действие, связанное с монопольной траекторией физической длины l линейно расходится с шагом решетки:

Это следует из предположения что добавочное действие в каждом кубике конечно в пределе a 0 (см. Рис. 1.10) и простого факта что количество элементарных кубиков, окружающих траекторию длины l пропорционально l/a. Этот вывод неожиданно отсылает нас к классическому точечному монополю Дирака (1.5) – тот тоже имеет расходящийся как 1/a лагранжиан (действие на единицу длины на языке четырехмерной евклидовой теории):

Во-вторых, линейная плотность действия µmono S(l) /l превышает ln 7/a для конечных кластеров и не превышает ln 7/a для перколирующего кластера:

Это наблюдение оправдывает сравнение динамики монопольных траекторий с полимерным представлением свободной скалярной теории поля, см. Приложение Б. Мы вернемся к обсуждению этого факта в разделе 1.5.

1.4. Связь с центральными вихрями Картина феноменологии абелевых монополей была бы неполной без обсуждения их связи с другими известными низкоразмерными объектами, населяющими вакуум решеточной глюодинамики. В начале этого раздела мы рассмотрим новую качественную картину невылетания, связанную с центром калибровочной группы и соответствующими топологическими дефектами – центральными вихрями. Затем, по аналогии с разделом 1.2, мы приведем краткий обзор известных фактов о динамике центральных вихрей в решеточной SU (2) теории и их связи с невылетанием. Остаток раздела посвящен установлению связи между двумя феноменологически успешными механизмами конфайнмента.

1.4.1. Стохастический конфайнмент и центральные вихри Картина замкнутых магнитных струн, населяющих вакуум КХД, имеет долгую историю [53–57]. Современная инкарнация этих идей выглядит следующим образом, см. обзор [58].

Вакуум заполнен замкнутыми магнитными вихрями, имеющими геометрию “трубок” (в трех евклидовых измерениях) или поверхностей (в четырех измерениях). Вихри несут квантованный магнитный поток, соответствующий центру калибровочной группы (поэтому центральные вихри). Зацепляясь с центральным вихрем, петля Вильсона в фундаментальном представлении SU (N ) калибровочной теории умножается на элемент центра калибровочной группы:

Дальше мы ограничимся калибровочной группой SU (2) имеющей единственный нетривиальный элемент центра 1.

Случайные флуктуации количества вихрей, зацепляющихся (на трехмерном языке – протыкающих) с петлей Вильсона приводят к закону площадей.

Пусть p – вероятность того что элементарный плакет площади a2 протыкается центральным вихрем. Предполагая полную случайность геометрии вихрей, петля Вильсона площади A может быть оценена как Соответствующее натяжение струны связано с плотностью (средней площадью Avort в единице 4-объема) вихрей В решеточной теории определение центральных вихрей вполне аналогично определению монополей. Оно начинается с фиксации максимальной абелевой калибровки, см. раздел 1.1.4. Далее оставшаяся U (1) калибровочная симметрия фиксируется так, чтобы сделать абелевые поля Uabelian = diag(ei, ei ) как можно ближе к элементам центра ±1, т.е. максимизируя cos2 и оставляя ненарушенной Z2 симметрию. Это (непрямая3 ) максимальная центральная калибровка. После этого на каждом ребре решетки определяется поле Легко видеть, что Z преобразуется как калибровочное поле относительно оставшейся Z2 симметрии. Окончательно, фиксация центральной калибровки разделяет калибровочные поля на две компоненты Аналогично абелевой проекции, ограничение операторов O[U ] до O[Z] называется центральной проекцией.

Отметим, что калибровочная теория с дискретной Z2 симметрией возможна только на решетке и обладает достаточно непривычными свойствами.

В частности, калибровочной симметрии не отвечает безмассовый векторный бозон. Единственными возбуждениями теории являются центральные вихри, имеющие геометрию замкнутых поверхностей в 4-мерном пространстве.

Непрямая потому что к центру приближаются поля Uabelian а не U. Для простоты мы не будем рассматривать прямую максимальную калибровку ниже.

По определению центральные вихри протыкают отрицательные, т.е. принадлежащие нетривиальному элементу центра, плакеты решетки. Так определенные вихри принято назвать П(от “проекция”)-вихрями (P-vortices) в отличие от гипотетических магнитных вихрей, существующих в полной теории, см. [59, 60]. Мы, однако, не будем различать эти понятия и переходим к описанию динамических свойств центральных вихрей.

1.4.2. Обзор решеточной феноменологии центральных вихрей В этом разделе мы перечислим кратко известные свойства центральных вихрей в максимальной центральной проекции SU (2) глюодинамики. За более полным обзором феноменологии и теории центральных вихрей читатель может обратиться к работе [58].

Аналогично абелевой и монопольной доминантности, обсуждаемой в разделе 1.2, имеет место центральная доминантность для натяжения струны [61]. Более того, статический потенциал, определенный в центральной проекции, демонстрирует только линейное поведение как на больших так и на малых расстояниях. Это свойство получило название строгая линейность потенциала. Вместе центральная доминантность и линейность потенциала интерпретируются как наличие только важных для невылетания флуктуаций в центрально проецированных полях. Отметим, что в случае проекции до Z2 теории нет смысла вводить понятие “вихревой доминантности”, аналогичное монопольной доминантности в абелевом случае – вихри заключают в себе всю динамику Z2 полей.

В работе [62] была предложена процедура удаления центральных вихрей, обратная центральной проекции – калибровочные поля заменяются на остаток от факторизации центра (1.63): Uµ (x) Vµ (x)4. Там же было показано Отметим что т.к. Z 2 = 1, удаление центральных вихрей является элементарной операцией: U ZU.

что в модифицированных ансамблях натяжение струны равно нулю.

Поверхности центральных вихрей перколируют в пространстве [63]. Как обычно, на каждой динамически существенной Монте-Карло конфигурации существует единственный перколирующий кластер центральных вихрей. Пространственная перколяция центральных вихрей исчезает при температурном фазовом переходе в область деконфайнмента [63].

Суммарная плотность центральных вихрей, определенная как средняя площадь поверхности в единице 4-объема асимптотически не зависит от шага решетки [64]:

где полный объем решетки выражен в f m4. При этом скейлинг плотности только конечных кластеров совместим с расходимостью [65]:

что согласуется со степенным распределением конечных кластеров по площадям Утверждения (1.64) с одной стороны и (1.65, 1.66) с другой, проверены для шага решетки вплоть до amin 0.06 f m, но, безусловно, рассогласуются при меньших a.

Избыток неабелевого действия на единицу площади поверхности центральных вихрей расходится в непрерывном пределе [64]:

1.4.3. Корреляции монополей и центральных вихрей Итак, мы знаем что геометрически монополи представляют собой замкнутые траектории на решетке, тогда как вихри являются замкнутыми двумерными поверхностями. Более того, и те и другие одновременно обладают очень похожими и нетривиальными свойствами. С точки зрения физики больших расстояний и монополи и вихри способны “генерировать” натяжение струны; и те и другие перколируют в фазе конфайнмента, причем мера (длина или площадь соответственно) перколирующего кластера не зависит от шага решетки в физических единицах. Вместе с тем, плотность конечных кластеров монополей и вихрей слабо расходится в непрерывном пределе, показывая чувствительность как инфракрасному так и к ультрафиолетовому масштабам; монополи и вихри несут сингулярный в непрерывном пределе избыток неабелевого действия.

Естественным образом возникает вопрос о том, действительно ли монополи и центральные вихри являются независимыми эффективными степенями свободы. Базовым наблюдением, показывающим фактическое единство монополей и вихрей стало открытие сильной пространственной корреляции в положении монопольных траекторий с поверхностями вихрей [59, 66–68].

Было показано (рисунки взяты из работы [59]) что:

Почти все (93% при = 2.4) трехмерные кубы, содержащие монополи, протыкаются одним и только одним центральным вихрем. Другими словами, большая часть монопольных траекторий лежит на поверхностях центральных вихрей:

Действие на монопольных кубиках, пересекаемых П-вихрями, оказалось сильно асимметричным. Почти весь избыток неабелевого действия над средним по вакууму приходится на два плакета, протыкаемых вихрем. Избыток решеточного действия на таких плакетах составил в среднем 0.29 при = 2.4, Рис. 1.11. Гистограмма распределения монопольных кластеров по длинам N (l) до и после удаления центральных вихрей. Из работы [5].

тогда как средний избыток действия на остальных плакетах вблизи монополей составил 0.03 в безразмерных единицах.

Кластерное разложение монопольных траекторий и поверхностей вихрей согласовано [65, 68]: на перколирующем кластере центральных вихрей лежит весь перколирующий монопольный кластер и малая в непрерывном пределе доля конечных кластеров. Основная часть конечных монопольных кластеров оккупируют конечные кластеры вихрей.

На Рис. 1.11 показано распределение длин монопольных кластеров N (l), полученных при фиксации максимальной абелевой калибровки, в сравнении с тем же распределением после удаления центральных вихрей, определенных в непрямой максимальной центральной калибровке. Точнее, здесь и далее N (l) обозначает количество кластеров длины l, найденных на 100 конфигурациях калибровочных полей, см. Таб. А.1. Напомним, что операция удаления вихрей заключается в изменении знака линков с отрицательным cos(x,µ ) в (абелевой) максимальной центральной калибровке и что эта операция сохраняет калибровочное условие МАК [30]. Исходная плотность монополей составляет mon = 13.01(1) fm3 и исходная плотность вихрей равна vort = 4.11(1) fm2.

Видно, что изначально на каждой решеточной конфигурации существует макроскопический монопольный кластер длиной порядка5 103 fm. Отдельно было проверено что этот кластер перколирует во всех четырех направлениях.

После удаления вихрей длинные кластеры полностью исчезают из спектра, “выживает” только короткие кластеры не длиннее 5 fm 40 a. Полная плотность монополей уменьшается на фактор 0.500(3).

Учитывая сильную пространственную корреляцию между положением монополей и вихрей, в работе [5] был сделан вывод о том что удаление центральных вихрей в непрямой центральной калибровке приводит к удалению практически всех монополей, принадлежащих перколирующему кластеру. Также хорошо известно что натяжение струны пропадает на модифицированном ансамбле.

Перейдем к симметричному вопросу о влиянии удаления монополей из ансамбля на кластерные свойства центральных вихрей. На Рис. 1.12 показано распределение количества кластеров центральных вихрей по площади в сравнении с тем же распределением после того как сингулярная (монопольная) часть вычитается из абелевых проецированных полей. Отметим что фиксация максимальной центральной калибровки выполняется после удаления монополей в этом случае. Исходная плотность центральных вихрей vort = 4.11(1) fm2 уменьшается в пять раз, до vort = 0.837(2) fm2, при удалении монополей.

Полный объем решетки порядка 32 fm Рис. 1.12. Гистограмма распределения кластеров центральных вихрей по площади N (A) до и после удаления абелевых монополей. Из работы [5].

На конфигурациях исходного ансамбля существует один большой перколирующий (проверяется отдельно) кластер центральных вихрей площадью около 800 fm2 а так же большое количество гораздо меньших кластеров плоfm2. После того как монопольный вклад удаляется из абелевых щадью полей, перколирующий кластер центральных вихрей пропадает на всех конфигурациях, самый большой из наблюдаемых кластеров вихрей имел размер около 120 fm2. Таким образом удаление абелевых монополей не приводит к удалению всех больших кластеров центральных вихрей чего можно было бы ожидать по аналогии со случаем удаления вихрей. Вместо этого удаление монополей приводит к распаду единственного перколирующего кластера вихрей на несколько неперколирующих но все еще довольно больших кластеров. Как и в предыдущем случае хорошо известно что натяжение струны равно нулю на модифицированном ансамбле.

Итак, результаты согласуются с обоими рассматриваемыми “сценариями” невылетания, утверждающими что ненулевое натяжение струны генерируется: (A) перколирующим кластером монополей [45, 46] либо (B) перколирующим кластером центральных вихрей [69].

1.5. Интерпретация феноменологии Три предыдущих раздела были посвящены описанию решеточной феноменологии монополей. В этом разделе мы перейдем к интерпретации накопленных фактов.

Мы начнем с короткой сводки феноменологических фактов, потом перейдем к интерпретации свойств монополей с точки зрения больших расстояний.

Основной идеей при этом будет, конечно, уже привычная картина вакуума КХД как дуального сверхпроводника. Вопрос о том, на каком масштабе картина дуальной сверхпроводимости переходит в картину асимптотически свободных глюонов заставит обратиться к свойствам монополей с точки зрения малых расстояний. Мы столкнемся с своеобразной “проблемой иерархии” и сформулируем утверждение о точной подстройке действия. Попытка согласовать свойства монополей с асимптотической свободой приведет к неожиданно странной картине двумерных бран населенных конденсатом монополей.

Далее, вклад бран в физические наблюдаемые будет интерпретирован в терминах квадратичной поправки к глюонному конденсату.

Выводы сформулированы в разделе 1.6.

Приложения Б и В содержат более подробное рассмотрение конденсации протяженных объектов и физики квадратичной поправки в КХД, чем мог вместить в себя этот раздел.

1.5.1. Сводка феноменологии A. Общие свойства монополей A.1 Имеют место абелевая и монопольная доминантность. Удаление монополей приводит к потере конфайнмента.

A.2 Монопольные токи удовлетворяют (дуальному) уравнению Лондона, эффективный монопольный потенциал имеет нетривиальный минимум в фазе конфайнмента и не имеет его в фазе деконфайнмента.

A.3 С монопольными токами связан расходящийся в непрерывном пределе избыток неабелевого действия При этом численный коэффициент при расходимости сравним с геометрическим энтропийным фактором ln 7.

A.4 На каждой конфигурации полей монопольные токи однозначным образом разделяются на единственный перколирующий и множество конечных кластеров.

Б. Свойства перколирующего кластера Б.1 На каждой динамически важной Монте-Карло конфигурации существует один и только один перколирующий кластер. Перколирующий кластер пропадает в фазе деконфайнмента.

Б.2 Плотность (средняя длина в единице 4-объема) перколирующего кластера не зависит от шага решетки Б.3 Имеют место корреляции направлений смежных ребер перколирующего кластера. Также имеют место дальние корреляции локальной плотности монополей. Параметры подгонок корреляционных функций не зависят от шага решетки.

Б.4 Средняя длина перколирующего кластера между самопересечениями не зависит от шага решетки, справедлива оценка средней плотности самопересечений как Вместе с тем другая картина получается при удалении из перколирующего кластера маленьких замкнутых петель размера до O(10a). В этом случае плотность самопересечений совместна с нулем в непрерывном пределе.

В. Свойства конечных кластеров В.1 На каждой динамически важной Монте-Карло конфигурации существует большое количество конечных кластеров, среднее количество кластеров фиксированной длины совместно с независимо от шага решетки.

В.2 Плотность монополей в конечных кластерах слабо расходится в непрерывном пределе:

Г. Связь с центральными вихрями Г.1 Положения монопольных токов и поверхностей центральных вихрей сильно коррелированы.

Г.2 Кластерные разложения монопольных траекторий и поверхностей вихрей согласованы. Удаление монополей приводит к распаду перколирующего кластера центральных вихрей, удаление вихрей приводит к удалению перколирующего кластера монополей.

1.5.2. Конденсация, перколяция, конфайнмент Факты (А.1) традиционно интерпретируются как серьезные указания на то, что монополи являются динамически важными степенями свободы для описания непертурбативной физики КХД. Факты (А.2) обосновывают механизм дуальной сверхпроводимости и позволяют обсуждать динамику монополей в терминах теоретико-полевой (дуальной) абелевой модели Хиггса, где скалярное поле несет магнитный заряд, Fµ – тензор напряженности дуального фотонного поля Bµ и потенциал V (||2 ) ответственен за ненулевое классическое вакуумное ожидание = 0. Однако связь между “эффективными” полями, Bµ и фундаментальными полями КХД остается основной проблемой такого подхода.

Альтернативой является интерпретация динамики монополей в терминах монопольных траекторий, которые могут быть непосредственно “наблюдаемы” в решеточных экспериментах. Подходящим формализмом является первично квантованная (евклидовая) квантовая теория поля, другие названия которой: полимерное или путевое представление КТП, см. Приложение Б.

На этом языке утверждения о кластерной структуре (А.4) и существовании “макроскопического” перколирующего кластера (Б.1) интерпретируются как указание на существование конденсата (т.е. глобально когерентного основного состояния) монополей, аналогично утверждению о нетривиальном классическом минимуме потенциала во вторично квантованном описании (1.68). Тот факт что геометрические свойства перколирующего кластера выражаются в физических величинах и не зависят от масштаба обрезания (Б.2 – Б.4) поддерживает механизм дуальной сверхпроводимости, т.е. генерацию натяжения струны конденсатом (= перколирующим кластером) монополей.

Итак, отметим, что на больших расстояниях свойства монополей соответствуют ожиданиям механизма дуальной сверхпроводимости. Другими словами, решеточные эксперименты в большой степени подтвердили картину монополей, как подходящих длинноволновых степеней свободы, “ответственных” за невылетание и описываемых (эффективной) абелевой моделью Хиггса (1.68).

Неожиданные сложности возникают, однако, когда мы спрашиваем себя до какого масштаба энергий/расстояний эта картина верна.

1.5.3. Проблема иерархии и точная подстройка В работе [70] было впервые указано на то, что данные по скейлингу избытка неабелевого действия, связанного с монопольными траекториями (А.3) показали что монополь выглядит как точечная частица вплоть до минимальf m 4 GeV. Это значение интерного доступного шага решетки amin претируется как ограничение сверху на эффективный радиус монополя:

Сравнение этого числа с типичным длинноволновым масштабом КХД, показывает расхождение минимум в 20 раз и открывает две равно неожиданные возможности: либо в квантовой глюодинамике существует масштаб, существенно превышающий, либо монополи являются точечными в строгом “академическом” пределе a 0 в том смысле что действие на единицу длины монопольных траекторий (“масса монополя”) действительно сингулярно Феноменологически эти возможности неразличимы при вычислительно доступных сегодня шагах решетки.

С теоретической точки зрения, компактная U (1) теория дает классический пример конденсации монополей с сингулярным действием вида (1.69), см. детальный анализ в Приложении Б. Конденсат скалярных частиц с действием (1.69) существует в узкой окрестности критической точки при условии точной подстройки (fine tuning) параметров:

в которой энтропийный фактор ccrit имеет геометрическое происхождение, зависит от деталей регуляризации и приведен для 4-мерной гиперкубической решетки.

Отметим сходство с проблемой иерархии в Стандартной Модели: иерархия электрослабого масштаба и масштаба обрезания поддерживается точной подстройкой затравочной массы в лагранжиане и ультрафиолетово-расходящихся контрчленов, вычисляемых в теории возмущений. Специфика (1.70) заключается в том что “контрчлен” ccrit известен точно.

Возвращаясь к компактной U (1) теории подчеркнем, что в ней точная подстройка реализуется подстройкой константы связи: для монополя Дирака cU (1) e2 и (1.70) принимает вид Квантовая глюодинамика напротив не имеет подстраиваемых параметров – константа связи g 2 однозначно связана с масштабом обрезания и зануляется в наивном непрерывном пределе a 0. На первый взгляд это делает невозможной прямую аналогию с (1.71) – существует такая величина обрезания acrit что g 2 (acrit ) gcrit и мы вынуждены прийти к выводу что монополи не сконденсированы в непрерывном пределе.

Тем не менее феноменологические факты (А.3) показывают что коэффициент при лидирующей расходимости полного неабелевого действия, связанного с монополями, действительно близок к геометрическому фактору ccrit.

Более того, именно для перколирующего кластера выполняется условие конденсации (1.70) c < ccrit, в то время как для конечных кластеров c > ccrit, см.

подробное обсуждение в разделе 1.3.5 и работу [52]. Имея в виду отсутствие свободных параметров эти свойства монополей получили в [71] название самоподстройки (selftuning).

Самоподстройка поддерживает иерархию масштабов (Rmon )1. Отталкиваясь от аналогии с компактной U (1) предположим что g 2 (Rmono ) gcrit 1. В реалистичном случае LEP s (100 GeV ) 0.1, что приводит к оценке (Rmon )1 1 T eV ([70]). Огромный по меркам КХД масштаб формально возникает из-за медленного логарифмического бега константы связи.

Оговоримся, что обсуждаемая интерпретация основана на экстраполяции феноменологических данных, прежде всего (1.56), в область малых a и на тесных аналогиях с компактной U (1) теорией. С практической точки зрения масштаб порядка 1 TэВ неотличим от масштаба ультрафиолетового обрезания. В дальнейшем мы будем предполагать что шаг решетки достаточно велик для того чтобы монополь выглядел точечной частицей на масштабе a. Утверждение об иерархии масштабов, обсуждаемое выше, формулируется в этом случае как одновременное проявление масштабов и a в свойствах монополей.

1.5.4. Степенные скейлинги, асимптотическая свобода и браны Независимое основание представлению о точной подстройке и сосуществовании инфракрасного и ультрафиолетового масштабов дает факт слабой степенной расходимости полной плотности монополей в непрерывном пределе (В.2):

Стоит отметить, что перемешивание масштабов и a нетипично для наблюдаемых квантовой глюодинамики. Более того, асимптотическая свобода подразумевает отсутствие вклада новых скалярных частиц в функцию на масштабе a. В работах [70, 71] были получены ограничения на степенные скейлинги вида (1.72), согласные с асимптотической свободой глюодинамики. Сложность заключается в том что из-за конденсации монополь должен быть переопределен как возбуждение над новым, “настоящим” вакуумом, стандартный способ сделать это – рассмотреть коррелятор сдвинутого поля Основная идея вывода заключается в том, что дифференцируя статсумму в полимерном и полевом представлениях по соответствующим параметрам свободного действия (Б.1) и (1.68) можно связать наблюдаемые в разных представлениях. А именно, в путевом представлении наблюдаемой является средняя плотность монополей:

В полевом представлении аналогом плотности является конденсат:

где мы опустили явный вид взаимодействия в (1.73) и большую часть лагранжиана (1.68).

Континуальные интегралы в (1.73) и (1.75) понимаются в одной (решеточной) регуляризации. Поскольку предполагается что путевое и полевое представления описывают одну и ту же теорию, то Zpath Zf ield и константа пропорциональности не зависит от m и µ. Учитывая это, а так же связь между m и µ, см. (Б.10), получаем Следующий шаг связан с разделением плотности монополей на плотность перколирующего и конечных кластеров. В полевом представлении соответствующие корреляторы интерпретируются как вклад нетривиального основного состояния class и квантовых флуктуаций относительно настоящего вакуума соответственно:

Подставляя феноменологические скейлинги плотности (1.51) и (1.52), получаем в непрерывном пределе:

Отсутствие ультрафиолетового масштаба в правых частях (1.79), а так же зануление конденсата и массы дуального фотона в непрерывном пределе было интерпретировано в [70] как согласованность картины точно подстроенных монополей и асимптотической свободы. Отметим что расходимость плотности конечных кластеров как f in a1 является максимально разрешенной для того, чтобы ультрафиолетовый масштаб не попал в правую часть (1.79).

Теперь стоит оговориться что скейлинги (1.79) не соответствуют на самом деле никакой эффективной скалярной теории вида (1.68). Действительно, в скалярной теории в D измерениях К тому же выводу можно прийти со стороны полимерного описания – масштабно-инвариантный спектр свободных траекторий N (l) = c/lD1 приводит к максимально расходящейся плотности путей:

в полном соответствии с (1.77). Заметим что спектр конечных кластеров действительно распределен как N (l) 1/l3, см. свойство (В.1) в сводке феноменологии.

В работе [72] было сделано неожиданное утверждение что расходимости (1.80), (1.81) согласуются с феноменологическими данными по скейлингу плотности конечных кластеров при D = 2. Другими словами достаточно слабая расходимость плотности (1.72), обеспечивающая “невмешательство” монополей в пертурбативную -функцию (1.79) объясняется распространением монополей эффективно в двух измерениях вместо четырех.

Идеальным кандидатом на роль двумерных поверхностей - носителей монополей являются центральные вихри. Действительно, известно что плотность вихрей не зависит от шага решетки и положение монополей сильно коррелировано с положением вихрей, см. факты (Г.1, Г.2) и раздел 1.4. Система из флуктуирующих двумерных поверхностей, несущих конденсат скалярных магнитных частиц получила в [72] название браны. Нет никаких сомнений что картина бран как эффективных степеней свободы в КХД далеко выходит за рамки теоретико-полевых моделей типа дуального сверхпроводника. Тем не менее на сегодняшний день это единственная интерпретация, вмещающая в себя все феноменологические данные о динамике монополей и центральных вихрей, а так же их связь с конфайнментом и согласованность с асимптотической свободой.

1.5.5. Браны и квадратичная поправка И центральные вихри и монополи дают вклад порядка 1/a2 в среднюю плотность действия. В случае монополей квадратичная расходимость “собирается” из линейных расходимостей плотности и действия на единицу длины.

В случае вихрей плотность не зависит от a зато действие на единицу площади расходится квадратично.

В работе [73] было указано на то, что вклад бран в среднее действие может быть представлен как квадратичная поправка к лидирующей пертурбативной расходимости где мы явно оставили вклады нулевых колебаний (Nc2 1) “партонов”, классического глюонного конденсата [74] и квадратичную поправку, опустив пертурбативные поправки и конденсаты высших размерностей.

Квадратичная поправка имеет долгую историю и достаточно богатую феноменологию, см. Приложение В и ссылки в нем. Забегая вперед отметим, что существование квадратичного конденсата и его следствия будут одной из центральных тем следующей главы.

Квадратичная поправка не может быть выражена как конденсат локального оператора – в глюодинамике нет калибровочно инвариантного оператора размерности 2. Это вполне соответствует представлению о бранах как о существенно нелокальных источниках квадратичного конденсата.

Квадратичная поправка дает линейный по r вклад в статический потенциал на малых расстояниях:

Это соответствует нашим утверждениям о том что браны (вихри + монополи) генерируют натяжение струны V (r) = r на всех расстояниях, в том числе при r 0.

С точки зрения теории возмущений источником квадратичной поправки является ультрафиолетовый ренормалон – достаточно специфичное поведение пертурбативных рядов, связанное с переменным знаком и факториальным ростом коэффициентов при высших порядках по s, см. Приложение В.

Квадратичная поправка дуальна высшим порядкам теории возмущений в том смысле что они взаимозаменяемы: можно использовать обрезанные пертурбативные ряды + квадратичную поправку либо суммировать весь ряд теории возмущений.

Соответствие вклада бран в (1.82) и (1.83) квадратичной поправке было интерпретировано в [73] как дуальность бран высшим порядкам теории возмущений, а именно ультрафиолетовому ренормалону.

1.6. Выводы к первой главе Идея о том, что конфайнмент обязан “дуальной сверхпроводимости” вакуума КХД (раздел 1.1), оказывается феноменологически успешной в рамках максимальной абелевой проекции решеточной SU (2) глюодинамики (раздел 1.2).

Программа модельно-независимого описания динамики монополей основана на исследовании зависимости геометрических свойств токов от масштаба обрезания (раздел 1.3). Кластерное разложение играет при этом критическую роль. На каждой динамически важной конфигурации полей существует единственный перколирующий и множество конечных кластеров (1.3.1). Разнообразные геометрические свойства перколирующего кластера (1.3.2) конечны в пределе снятия обрезания. Вместе с тем плотность конечных кластеров расходится как f in 1/a. Другим источником степенной расходимости служит средний избыток действия на единицу длины монопольной траектории (1.3.5): S 1/a в пределе a 0.

По аналогии с U (1) теорией перколирующий кластер интерпретируется как классический конденсат на языке эффективной теории поля (1.5.2).

Независимость свойств перколирующего кластера от обрезания поддерживает картину дуальной сверхпроводимости, т.е. генерацию натяжения струны конденсатом монополей. Трудности, однако, возникают при интерпретации степенных расходимостей.

Попытки последовательной интерпретации нетривиальной чувствительности монополей к масштабу обрезания (разделы 1.5.3 и 1.5.5) приводят к картине флуктуирующих двумерных бран, населенных конденсатом монополей. Браны имеют следующие свойства:

(a) полная площадь в единице 4-объема не зависит от a;

(b) ассоциированное неабелевое действие расходится как a2 ;

(c) браны населены скалярными частицами, монополями;

(d) монополи перколируют (сконденсированы) на бранах;

(e) браны перколируют (сконденсированы) в пространстве.

Картина бран кажется менее удивительной учитывая связь монополей и центральных вихрей (раздел 1.4). Вклад бран в наблюдаемые идентифицируется в терминах квадратичной поправки к глюонному конденсату (раздел 1.5.5).

2.1. Связь киральных и калибровочных теорий Мы привыкли к фундаментальным калибровочным теориям поля. Вместе с тем, калибровочные поля могут естественным образом появляться “самостоятельно” в простых динамических моделях. В следующих трех разделах мы продемонстрируем это на примерах квантовой механики, двумерной O(3) нелинейной -модели и, наконец, кватернионной проективной модели в четырех измерениях. Общим для них будет выражение для индуцированного калибровочного потенциала Aµ, а структура полей | в каждом случае своя.

После этого мы вернемся к SU (2) калибровочной теории с тем, чтобы прочитать (*) “в обратную сторону”, т.е. как определение полей | [A] погруженной -модели. Польза от такой конструкции будет рассмотрена в разделе 2.2.

2.1.1. Фаза Берри Отказ физической системы возвращаться в исходное состояние после эволюции по замкнутой траектории в пространстве параметров называется (ан)голономией 1. Типичная ситуация выглядит следующим образом. Некоторая величина, s, характеризующая систему, “подчинена” набору параметров x, которые изменяются вдоль замкнутого контура в X-пространстве. Если x Геометры не различают термины голономия и анголономия. Мы тоже не будем этого делать в дальнейшем.

вернулись к исходным значениям, а подчиненная величина s нет, то разница между конечным и начальным значениями s называется геометрической фазой или голономией.

Самым известным примером геометрической фазы является фаза Берри [75], открытая при изучении адиабатической эволюции систем в квантовой механике. Пусть H(x) – гамильтониан квантовой системы, зависящий от набора параметров x X. Далее, пусть x изменяется с течением времени, соответственно уравнение Шредингера имеет вид Пусть начальное состояние было n-тым собственным для гамильтониана | (0) = | n(x(0)) с энергией En (x(0)), Если параметры x меняются адиабатически, т.е. достаточно медленно, чтобы | (t) оставалось собственным состоянием, то можно показать, что [75] Второй член в фазе это обычная динамическая фаза eiEt. Подставляя (2.3) в уравнение Шредингера (2.1) легко убедиться, что дополнительная фаза Берри n (t) удовлетворяет уравнению общий знак “минус” перед n вводится по традиции. Если параметры x описывают замкнутый контур x(T ) = x(0) то n не зависит от репараметризаций времени, a зависит только от описанной траектории C в X:

Конструкция Берри (2.5) естественным образом допускает введение абелевого калибровочного потенциала [76], определенного в каждой точке пространства параметров X с координатами x = {xµ }, µ = 1, 2, · · · как Непосредственный вид Aµ (x) зависит от выбора фазы собственного состояния | n(x). При смене этого выбора Aµ преобразуется как как и положено калибровочному полю. Фаза Берри соответствует петле Вильсона на языке калибровочной теории, см. [76] для неабелевого обобщения всей конструкции.

Итак, мы нашли “скрытую” калибровочную структуру в простейшей динамической системе (2.1). Причиной является проективная геометрия пространства H собственных состояний | n(x), определяемых условием (2.2).

Состояния | n, отличающиеся лишь фазовым множителем, эквивалентны:

где все величины зависят от x. Отношение эквивалентности (2.8) соответствует калибровочной симметрии (2.7). Калибровочный потенциал (2.6) имеет смысл связности соответствующего U (1) расслоения над пространством параметров X, см., например, учебник [77] для ориентации в геометрии расслоений.

2.1.2. CP1 модель в двух измерениях Другим хорошо известным простым примером появления калибровочных полей в проективной теории является CP1 (или O(3)) модель в двух измерениях. Обычно O(3) модель определяется в терминах единичных 3-векторов n S 2. Лагранжиан имеет вид простого кинетического члена для n, нелинейность приходит из ограничения n2 = 1. Имеется глобальная O(3) симметрия.

Конфигурация поля n(x) может рассматриваться как отображение (компактифицированного) “физического” пространства в S 2 :

Гомотопические классы отображений (2.9) перечисляются целым индексом Q 2 (S 2 ) = Z. В терминах n топологический заряд имеет вид Существуют соответствующие топологически стабильные классические решения – инстантоны [78].

Выражение (2.10) для топологического заряда имеет простую геометрическую интерпретацию. При отображении (2.9) инфинитезимальный треугольник T в физическом пространстве с вершинами {x, x + µ, x + } отображается в инфинитезимальный сферический треугольник T с вершинами {n(x), n(x) + µ n(x), n(x) + n(x)}. Подынтегральное выражение в (2.10) (плотность топологического заряда) это площадь сферического треугольника vol T нормированная на полную площадь единичной сферы vol S 2 = 4.

Заметим, что vol T меньше нуля если отображение меняет ориентацию пары векторов. Фактически индекс Q считает сколько раз сфера в образе накрывается при отображении (2.9) с учетом ориентации.

Снять связь n2 = 1 за счет уменьшения числа степеней свободы невозможно также, как невозможно ввести глобальные координаты на сфере S 2.

Следующий трюк, однако, работает: пусть g(x) SU (2) и где – матрицы Паули. Легко проверить, что тогда автоматически n2 = 1.

Матрицы g определены при этом с точностью до U (1) вращений в слое Это калибровочные преобразования. Удобно параметризовать матрицы g(x) нормированной парой комплексных чисел | z = (z1, z2 )T, z | = (z1, z2 ):

Это однородные координаты на языке проективной геометрии. Выражение для n (2.11) принимает вид где проектор P = | z контексте предыдущего раздела. Калибровочная связность вводится как (ср.

с (2.6)) и калибровочное преобразование (2.13) имеет вид Топологический заряд (2.10) выражается только через A:

где Fµ – обычная абелевая напряженность поля.

Вся конструкция естественным образом обобщается на случай комплексных проективных моделей высших рангов, с той разницей, что в CPn вектор однородных координат | z имеет n + 1 компонент.

До сих пор мы обсуждали “кинематическую” связь между проективной и калибровочной теориями. Действительно, поле Aµ не имеет самостоятельной динамики, в частности переход от (2.10) к (2.18) является (потенциально) удобным тождественным преобразованием. Картина, однако, была бы неполной без упоминания удивительного динамического сходства двумерной CP -модели c SU (2) калибровочной теорией в четырех измерениях. Обе теории масштабно-инвариантны и асимптотически свободны, имеют точные инстантонные и меронные решения. CPn модели в двух измерениях допускают 1/n разложение, в пределе n фундаментальные частицы модели не вылетают.

Естественным расширением двумерных CPn моделей на случай одновременно четырех измерений и неабелевой калибровочной группы являются кватернионные проективные модели, рассматриваемые в следующем разделе.

2.1.3. HPn модель в четырех измерениях Алгебра кватернионов H является некоммутативным четырехмерным расширением комплексных чисел. Аналогично комплексным числам, z = a+b i C, кватернионы представляются в виде линейной комбинации где кватернионный базис определен таблицей умножения Мы будем часто использовать представление кватернионов в виде 2 2 комплексных матриц, что соответствует выбору ei = i i, где i матрицы Паули.

Множество кватернионов с единичной нормой |q|2 = 1 изоморфно группе SU (2) Ниже мы схематически рассмотрим конструкцию калибровочной и топологической структуры кватернионной проективной модели, опираясь на полную аналогию с простым комплексным случаем, подробно рассмотренным в предыдущем разделе. Гораздо более детальное изложение читатель может найти в обзоре [79].

Кватернионное проективное пространство HPn является базой второго расслоения Хопфа Соответственно и HPn модель топологически нетривиальна в четырех измерениях.

Однородные координаты | q = (q1... qn+1 )T, q|q = 1 вводятся в полном пространстве расслоения S 4n+3 так же, как в комплексном случае и определены с точностью до вращения в слое. В данном случае это правое действие группы кватернионов с единичным модулем, SU (2), Соответствующий неабелевый калибровочный потенциал принадлежит алгебре su(2)2. Так же как в комплексном случае вводятся калибровочно-инвариантные кватернионные (n + 1) (n + 1) проекторы P = В простейшем случае HP1 S 4 можно ввести прямой аналог поля единичных векторов n из предыдущего раздела. А именно, сфера S 4 параметриВообще говоря Aµ H, но в матричном представлении кватернионов Aµ – эрмитова матрица. Мнимая единица i в (2.23) относится именно к представлению кватернионов как 2 2 комплексных матриц.

зуется единичным 5-вектором nA, A = 1..5, связанным с | q как (ср. (2.15)) где A – пять евклидовых матриц Дирака { µ, 5 }.

Как было замечено, отображение топологически нетривиально, гомотопические классы перечисляются целым индексом Q. Топологический заряд выражается через калибровочно-инвариантные проекторы:

где tr обозначает след по индексам кватернионных матриц P и скалярная часть кватерниона аналогична действительной части комплексного числа, Sc q = (q + q )/2. Действие модели также определено в терминах проекторов, но его явный вид не понадобится нам в дальнейшем.

Выражение (2.26) упрощается в случае HP1 = S 4. В терминах пятимерного единичного вектора (2.24) топологический заряд имеет вид (ср. с (2.10)):

и, геометрически, является суммой ориентированных инфинитезимальных объемов в образе отображения nA (x) : S 4 S 4.

Альтернативно топологический заряд (2.26, 2.27) может быть выражен исключительно через калибровочный потенциал Aµ :

что в точности (и, конечно, не случайно) повторяет привычное выражение для топологического заряда в калибровочной теории.

Обсудив индуцированную калибровочную связность в HPn модели, вернемся к SU (2) калибровочной теории.

2.1.4. Связь с SU (2) калибровочной теорией Различие между SU (2) теорией Янга-Миллса и HPn моделью заключается в том, что в последней калибровочные потенциалы являются не независимыми динамическими переменными, а композитными полями построенными из элементарных скаляров (2.23). Вообще говоря, этот факт может накладывать определенные ограничения на класс конфигураций индуцированной связности Aµ (x).

Можно ли утверждать, что любая конфигурация полей Aµ (x) может рассматриваться как индуцированная какой-либо конфигурацией полей | q (x)?