«Работа допущена к защите: зав. кафедрой проф. Рубцов Б. Б. МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ на тему: Прогнозирование валютных курсов с использованием эконометрических моделей и искусственных нейронных сетей Магистрант ...»

ВАЛЮТНОГО КУРСА

Практическая часть данного исследования поделена на две части: линейный подход к прогнозированию валютного рынка и нелинейный подход. Внутри линейного подхода рассматривается непараметрический метод, представленный эконометрикой, и непараметрический, представленный методом «Гусеница»-SSA. Нелинейный подход базируется на теории нейронных сетей.

Итогом практической части являются построенные прогнозы по каждому из методов и их анализ. В заключении делается вывод о наиболее подходящем подходе и методе для решения поставленной задачи.

Весь анализ и вычисления проводятся на примере обменного курса швейцарского франка на доллар США. Кратко поясним этот выбор. Во-первых, обе валюты являются свободно конвертируемыми, что облегчает их анализ. Во-вторых, швейцарский франк обладает большей волатильностью, чем, к примеру, евро или японская йена. В-третьих, правительство Швейцарии, в отличие от правительства Японии, практически никогда не проводит интервенций на валютном рынке, что позволяет рассматривать котировки в «чистом» виде без необходимости их корректировать. И, наконец, в-четвертых, данная валютная пара является одной из основных во всех дилинговых центрах, что облегчает доступ к историческим данным.

3.1 Линейный подход 3.1.1 Прогнозирование курса USDCHF эконометрическим методом Возьмем для рассмотрения ряд часовых котировок швейцарского франка к американскому доллару CHFUSD за период с 1 декабря 2009 года по 28 февраля 2010 года.

Рассматриваемый файл данных содержит даты, время котировки, цену открытия, максимальной цены за час, минимальной цены за час, цену закрытия и объем совершенных сделок (Date, Time, Open, High, Low, Close, Volume). То есть вектор (20091201, 1500, 1.0002, 1.0020, 0.9990, 1.0010, 5535) означает, что 1 декабря 2009 года в период с 15:00 до 15:59 цена выросла с 1.0002 до 1.001, колеблясь внутри данного периода между 1.0020 и 0.999 франками за 1 доллар. Всего в каждом ряде 1610 элементов.

Анализ рядов и построение регрессий проводился с использованием программного пакета Eviews 4.0, рекомендованного многими исследователями в области эконометрики4.

Этот пакет является наиболее удобным для быстрого и точного анализа временных рядов при помощи эконометрических методов.

Отметим, что котировки Open и Close довольно условны, потому что очень сильно зависят от конкретного выбора периода анализа данных, в то время как котировки High и Low более независимы, потому что показывают максимальное и минимальное колебание цен за определенный период. Значение ряда Volume показывает не столько объем торгов, как, к примеру, на фондовом рынке, сколько количество совершенных сделок за период времени. Недоступность объемов в их классическом понимании вызвано затруднениями в учете всех сделок, заключаемых на глобальном рынке FOREX. В связи с приведенными выше доводами в большей степени будут анализироваться ряды High и Low как более объективные.

Для начала проанализируем ряды на стационарность. В предыдущих главах были определены основные подходы к проверке рядов на стационарность. Для этого будет проводиться визуальный тест, тест на наличие единичного корня (unit root test), анализ коррелограммы.

Проверка рядов на стационарность.

Проанализируем ряды High, Low и Volume на стационарность.

High. Временной ряд High является тем максимумом, которого колебания цены смогли достичь за определенный интервал времени (для данного случая за 60 минут).

График ряда выглядит следующим образом (Рисунок 3.1.1.1):

Берндт, Эрис Роюерт. Практика эконометрики классика и современность. Пер. с англ.-М. ЮНИТИ-ДАНА, 2005.863 с Из приведенного выше рисунка визуально можно установить, что данный процесс не является стационарным, его трудно посчитать стационарным вокруг тренда и константы. Тест на наличие единичного корня показывает, что вероятность единичного корня равна 89% при оценке стационарности с трендом и константой. Коррелограмма также убеждает нас принять гипотезу о наличии единичного корня в операторе сдвига (Рисунок 3.1.1.2):

Данный вид коррелограммы (значимые значения ACF для всех временных лагов и первое значимое значение PACF) позволяет сделать предположение о сходстве данного процесса с моделью «случайного блуждания» (random walk). Во всяком случае, процесс нестационарен.

Перейдем к первым разностям ряда High, чтобы посмотреть, являются ли они стационарными и можно ли назвать ряд High интегрированным первого порядка. Если предположить, что мы имеем дело со «случайным блужданием», то, как было показано в теоретической части, взятие разности поможет избавиться о стационарности.

Обозначим ряд Int_High как первую разность ряда High. Для начала обратимся к стационарность.

По виду график напоминает «белый шум» (white noise), который определяется нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Тест на наличие единичного корня дал неплохие результаты и показал, что ряд, вероятнее всего, стационарен вокруг нуля.

Анализ коррелограммы (Рисунок 3.1.1.4) также подтвердил предположение о стационарности:

Данный вид коррелограммы больше всего напоминает модель «белого шума».

Согласно проведенному анализу, делаем вывод о стационарности полученного ряда. Это означает, что ряд High интегрированный первого порядка, I(1), то есть сам он нестационарен, но его первые разности стационарны. Это позволяет нам использовать как ряд Int_High, так и ряд High. Последний ряд, согласно приведенной выше теории, можно использовать только совместно с моделями того же порядка интегрированности.

Попытаемся построить авторегрессионную модель для ряда High. Для ряда Int_high построить какую-либо модель представляется затруднительным, поскольку, согласно проведенному тесту на стационарность, данный ряд представляет собой «белый шум», то есть случайную величину с нулевым математическим ожиданием и асимптотически нормальным распределением.

Раз по коррелограмме ряд High напоминает «случайное блуждание» (random walk), предпримем попытку оценить модель типа yt = y t 1 + t. Результат, полученный при помощи программного пакета Eviews, выгладит следующим образом (Таблица 3.1.1.5):

Included observations: 1610 after adjusting endpoints Иными словами, коэффициент при лагированной переменной равен 0.997, что очень близко к 1 в теоретической модели случайного блуждания. Константа в модели мала по абсолютной величине и с вероятностью более чем 10% равна нулю (согласно анализу tстатистики). Константа в данной модели была введена лишь для того, чтобы можно было анализировать коэффициент R 2, являющийся мерой объясненной дисперсии. Для данной модели R 2 равен 99,5% - очень убедительный аргумент в пользу построенной модели.

Однако не стоит забывать, что модель, построенная на временном ряде, имеет смысл лишь в том случае, если полученные остатки являются белым шумом. Для данного случая остатки оказались стационарными.

На основе проведенного анализа можно заключить, что ряд High является интегрированным первого порядка и лучше всего описывается моделью случайного блуждания. На этом мы пока закончим анализировать ряд High и перейдем и остальным рядам.

Рассмотрим возможные пути выхода из сложившейся «нестационарной» ситуации.

В своей книге5 Берндт приводит следующие рекомендации по прогнозированию случайного блуждания.

оптимальный предиктор X t +1 для одного частного случая. Если предположить, что X является стохастической переменной и что ее реализации соответствуют процессу скользящей средней первого порядка вида X t = X t 1 + u t lu t 1, где ut - независимые и одинаково распределенные случайные возмущения с нулевым средним, то оптимальный или рациональный предиктор, порожденный переменной X t +1, обозначаемый как X * t +1, Это означает, что если процесс X t является случайным блужданием, а его ошибки распределены по принципу скользящего среднего первого порядка, то X * t +1 будет оптимальным предиктором, который только можно получить для этого случайного ряда.

К сожалению, хоть ряд High и является случайным блужданием, его ошибки являются «белым шумом», что запрещает использование этой удобной и простой формулы. Остается только надеяться, что найдется среди рассматриваемых рядов ряд, который можно будет спрогнозировать по данному принципу.

Low. По аналогии с рядом High, временной ряд Low показывает минимальную из всех котировок за 60 минут. Ряд очень похож по своему виду на ряд High, он также напоминает «случайное блуждание». Содержательно нового и отличного от предыдущих рассуждений в анализе данного ряда нет. Перейдем к анализу ряда Volume.

Volume. Ряд Volume показывает количество сделок, которое было заключено в данный период времени. График ряда выглядит следующим образом (Рисунок 3.1.1.6):

Берндт, Эрис Роюерт. Практика эконометрики классика и современность. Пер. с англ.-М. ЮНИТИ-ДАНА, 2005.863 с На графике выше видна определенная волнообразность процесса Volume. Если разбить весь ряд на дни (в дне 24 свечи). Совместный график произвольно взятых девяти дней представлен ниже.

Как можно видеть, в течение дня почти во всех случаях день начинается с небольшого объема, возрастает к 16-17 часам, потом опять падает к уровню начала дня. На основании вида графиков можно сделать предположение о том, что волатильность котировок развивается аналогичным образом: когда объем сделок небольшой, курс валюты изменяется небольшими темпами, когда же количество сделок возрастает, курс меняется более высокими темпами. Чтобы проверить данную гипотезу, необходимо ввести понятие Volume(Рисунок 3.1.1.8).

Определим волатильность котировок внутри интервала как разницу между значением High и Low для данного интервала. Проверим поставленную гипотезу на часовых данных за апрель 2010 года. Для каждого дня были найдены максимумы объема по дням, а также максимальные изменения объема, и сравнены с максимумами по волатильности. В среднем за рассматриваемые 546 свечей волатильность равнялась пунктам. Анализ выявил два центра максимумов за день: 7 часов утра и 15 часов дня.

Максимумы по волатильности также тяготели к данным часам. В некоторых случаях дневной максимум по волатильности следовал сразу после максимума по объему, однако это происходило не всегда и не смогло быть выявлено как зависимость. Аналогичная гипотеза с использованием дневных максимумов связана с изменением направления движения цены после достижения максимума по объему. Данное предположение подтвердилось в 23 случаях из 47 случаев, то есть в 48,9% случаев, что также не позволяет сделать вывод о наличии значимой связи.

Прокомментируем столь большое внимание, уделенное рассмотрению ряда Volume.

Особенность этого ряда заключается в том, что он показывает скорее количество реакции участников, чем направление этой реакции. Однако представляется очень полезным изучить мотивы этой реакции для того, чтобы спрогнозировать развитие ситуации на рынке.

Остановимся теперь на проблеме стационарности ряда Volume. Внешне он выглядит как процесс «белого шума», взятого по модулю. Тест на наличие единичного корня в матрице перехода (тест на стационарность ряда) выявил, что ряд не стационарен вокруг нуля, однако с вероятностью 98,6% стационарен вокруг константы, являющейся математическим ожиданием ряда. Средней величиной для ряда Volume является 3396 – среднее количество сделок в каждом часу в рассматриваемом интервале (Рисунок 3.1.1.9).

Проверив ряд на стабильность (иными словами, проверив, что математическое ожидание одинаково для разных частей ряда), получаем довольно устойчивые результаты.

Математическое ожидание за декабрь 2009 года для ряда равняется 3016, а для последнего рассматриваемого месяца, февраля 2010 года, среднее равно 3573 сделкам в час.

Как правило, если ряд стационарен вокруг константы, то и в первых разностях он также стационарен. Для ряда Volume это утверждение выполняется. Коррелограмма интегрированного ряда не несет в себе никакой содержательной информации, а вот коррелограмма первоначального ряда заслуживает более детального рассмотрения (Рисунок 3.1.1.10).

По поведению функции PACF (на графике выше это второй ряд столбиков), то можно предположить сходство ряда класса AR(1), однако первый ряд столбиков, представляющих значения автокорреляционной функции (ACF), напрашивается вывод о наличии сезонной компоненты в ряде. Согласно анализу, приведенному в книге Я.Р.

Магнуса6, коррелограмма ряда Volume почти совпадает с моделью сезонности, солнечных авторегрессионной модели.

Класс рядов AR(1) означает, что настоящее значения ряда зависит в основном от его предыдущего значения. Построив авторегрессионную модель первого порядка, получаем «белый шум» в остатках, что означает, что модель была выбрана правильно.

Коэффициент объясненной дисперсии для модели равен примерно 60%. Это означает, что есть другие регрессоры, от которых зависит рассматриваемый ряд. Возможно, здесь идет речь о выявленной сезонности, наблюдающейся на некотором количестве лагов назад.

Магнус Я.Р.Эконометрика. Начальный курс. Москва, М: Дело, Уравнение полученной модели выглядит следующим образом: VOLUME = 3401.948108 + 0.7842477489*VOLUME(-1). Заметим, что коэффициент при лагированной переменной меньше единицы, что еще раз подтверждает гипотезу о его стационарности.

Попытаться объяснить ряд Volume можно через введение фиктивных переменных, обозначающих день недели и время суток. Данные переменные называются фиктивными, потому что они принимают только два значения: 1 при наступлении события и 0 во всех остальных случаях. Например, фиктивная переменная «понедельник» равна единице на всех часовых котировках и значениях рядов каждые 24 свечи (когда понедельник) через 144. Переменная «время суток» носит более условный характер, она принимает значение на свечках, когда обычно активность на рынке максимальна, и 0 в остальных случаях.

Выявим теперь период «валютного дня» для данной валютной пары.

С одной стороны, сам уровень Volume в эти периоды выше – этот сдвиг мы и пытаемся учесть. Можно вычесть из значений ряда его математическое ожидание и так выявить периоды активности, в которых новый показатель будет преимущественно положительным. С другой стороны, волатильность валютных котировок также должна быть для ряда выше обычной.

По первому методу были проанализированы дни и выделен период с 12 до 18 часов по Гринвичу.

Для данной задачи под волатильностью котировок будем понимать разницу между значением High и Low. Средним значением для рассматриваемого периода является пунктов за час. Можно опять перейти к центрированным показателям и выявить «валютный день» через положительные значения полученного ряда. Однако хороших результатов при помощи данного способа добиться не удалось. Гораздо лучше проводить анализ, вычитая не среднюю, а некое среднее нижнее значение. Условно его можно выбрать равным 15 пунктам. В таком случае период большей трейдерской активности виден более четко. Наиболее устойчивыми рамками является период с 9 до 21 часа. Таким образом, необходимо проанализировать отдельно две фиктивные переменные, описывающих время суток: одну, построенную на основе анализа самого ряда Volume, другую – на основе анализа волатильности.

Теперь попытаемся включить данные полученные фиктивные переменные в авторегрессионную модель. В ходе проведенного исследования выяснилось, что в рамках данной модели день недели никак не влияет на сдвиг в объеме проводимых торгов. Этот вывод несколько не сочетается с тем фактом, что особо крупные и относительно долгосрочные сделки на рынке FOREX заключаются и исполняются по понедельникам и пятницам. Именно из-за этого практикующие трейдеры советуют воздержаться от торговли в первый и последний день недели, поскольку особо крупные сделки могут сильно исказить результаты проводимого технического анализа.

Что касается фиктивных переменных, отвечающих за световой день, то некоторое их различие не выявило сколько-нибудь значимых различий в полученных результатах.

Для каждого случая добавлялся лишь 1 процент объясненной дисперсии. Путем подбора подходящего варианта разбиения наиболее удачно подошло выделение в отдельный кластер период с 8 до 14 часов по Гринвичу, добавивший исходной модели сразу 3% объясненной дисперсии – результат, конечно, небольшой, но значимый по сравнению с другими вариантами.

Попытаемся построить модели взаимозависимости ряда High или Low от Volume на несколько периодов в прошлое. Для удостоверения законности данной операции, можно считать ряд Volume нестационарный (на определенном уровне точности это действительно так). Все ряды являются интегрированными первого порядка.

взаимозависимости между этими рядами. Это побудило перейти от самих рядов High и константы. В результате проведенного исследования на наличие зависимостей получилась модель, данные по которой приведены ниже (Таблица 3.1.1.11).

Sample(adjusted): 7502 11458 IF T> Included observations: 3957 after adjusting endpoints Convergence achieved after 15 iterations Недостатком данной модели является ее неприменимость на практике, так как в начале периода, на котором мы будем пытаться предсказать волатильность, не будут известны величины Volume и Int_High. Если же взять лагированные объем и первую разность ряда High, то доля объясненной дисперсии снизится до 20,8%. Иными словами, качество прогноза, полученного при помощи данной модели, будет очень низким.

По итогам исследования, проведенного с использованием методов эконометрики, можно сделать вывод о получении неудовлетворительных результатов. Связь, которую мы пытаемся выявить, может быть нелинейной. Перейдем теперь к рассмотрению взятых временных рядов с использованием непараметрического метода в рамках линейного подхода.

3.1.2 Прогнозирование курса USDCHF методом «Гусеница»-SSA Программный пакет, при помощи которого можно использовать метод «Гусеница»-SSA, называется CaterpillarSSA. Он был разработан отечественными учеными совместно с американскими. С помощью данной программы (версия 3.3), построенной по модульному принципу, можно разложить ряд на компоненты, выделить тренд, периодические колебания и шум, аппроксимировать ряд на основе проведенного анализа, а также построить прогноз. Попробуем спрогнозировать колебания обменного курса валютной пары CHFUSD данным методом.

Ряд, загруженный для анализа в CaterpillarSSA, содержит часовые изменения котировок за последние 3 года. К сожалению, вычислительные возможности программы не позволили проанализировать весь временной интервал, из-за чего пришлось ограничиться последними тремя месяцами доступных данных. Ряд Open, таким образом, выглядит следующим образом (Рисунок 3.1.2.1):

Как уже было доказано выше, в эконометрической части данного исследования, ряд Open, как и High, Low, Close, является примером «случайного блуждания», то есть оптимальным предиктором для следующего значения является предыдущее значение данного ряда. Попытаемся проверить, сможет ли непараметрический метод «Гусеница»SSA дать более содержательный ответ на вопрос о прогнозируемости данного ряда. Для решения задачи необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Нормализовать или отцентрировать исходный ряд. Альтернативной является взятие ряда в первозданном виде без изменений.

2. Разложения ряда (Decomposition) на составляющие при заданной длине 3. Группировка (Grouping) элементарных матриц на основе таблицы корреляций. Здесь определяются те компоненты, которые войдут в 4. Воссоздание ряда (Reconstruction) из элементов, выбранных на основе предыдущего этапа. В результате получаем воссозданный ряд.

5. Аппроксимация (Approximation) ряда на основе воссозданного. На этом этапе проверяется адекватность распознанной модели реальной.

6. Прогнозирование (Forecasting) ряда в будущее. Если есть реальные данные, то на этом этапе происходит оценка полученных результатов.

Итоговый ряд, путем усечения хвостов, состоит из 1565 точек. Такой ряд можно назвать скорее длинным, чем коротким. Согласно эмпирическим исследованиям, наиболее «правильным» будет выбор окна L=N/2, то есть примерно 782.

Визуальный анализ ряда не позволяет сделать вывод о наличии общего тренда, поэтому не будем пытаться выделить тренд в ряде, где его нет. Можно, конечно, выделить частные тренды на коротких интервалах времени, однако, такое разбиение будет очень субъективным, поскольку трудно будет однозначно решить, когда начинается и заканчивается тренд.

После разложения рада с окном 782, была проведена группировка для первых элементарных матриц (брать большее количество не позволили технические возможности программы) и построена матрица коррелограм для проведения анализа ряда (Рисунок 3.1.2.2).

Представленная выше матрица зашифрована 20 оттенками черного и белого, где черная клетка соответствует почти единичной корреляции членов между собой, а белая – отсутствие корреляции. Как и следовало ожидать, мы видим черные клетки по диагонали матрицы (корреляция любой элементарной матрицы с собой равна 1). Теперь необходимо определить, какие же элементарные матрицы необходимо взять для воссоздания рассматриваемого ряда. На рисунке эти элементы не «отбрасывают» никакой серой «тени»

ни по вертикали, ни по горизонтали. С некоторыми допущениями будем считать, что этому условию удовлетворяют первые 3 элементарных матрицы. Это означает, что все остальные матрицы являются шумом.

На верхней половине представленного выше графика (Рисунок 3.1.2.3) показано наложение реального ряда с реконструированным по первым 3 элементарным матрицам. В нижней половине представлены ошибки, которые можно считать стационарными.

Ошибками является сумма всех остальных элементарных матриц, потому что включение их в реконструируемую модель приведет к точной реплике исходного ряда. Анализируя реконструированный ряд, не трудно убедиться, что он достаточно грубо показывает развитие процесса, однако достаточно точно включает в себя основное направление процесса.

Следующим этапом в анализе рассматриваемого ряда является построение аппроксимации на основе реконструированного ряда. Программа CaterpillarSSA предлагает два способа проведения процесса аппроксимации: рекуррентный и векторный. Рисунок 3.1.2.4 показывает результаты применения сначала рекуррентного (выше), а потом векторного (ниже) метода.

Как не трудно убедиться, аппроксимированные ряды в целом повторяют (или пытаются повторить) реконструированный процесс. Трудно отдать предпочтение какому либо из методов аппроксимации, потому что каждый из них практически в равной степени ошибается. Однако, с нашей точки зрения, предпочтительнее будет использовать векторный метод восстановления ряда, так как ошибки аппроксимации с использованием данного метода носят осцилляционный характер, в отличие от рекуррентного метода, ошибки аппроксимации которого, начиная со второй трети выборки, имеют постоянный знак.

После решения задачи аппроксимации ряда мы вплотную подошли к этапу, на котором можно построить прогноз. Период прогноза не имеет особого значения, поскольку чем дальше в будущее мы углубляемся, тем больше накапливается ошибок построенного прогноза. Для простоты будем строить прогноз на 120 точек вперед, что для часовых данных будет означать пять торговых дней.

Модуль Forecasting, встроенный в программу CaterpillarSSA также предлагает два варианта построения прогноза: рекуррентный и векторный. Рассмотрим, какой метод является наилучшим для данного приложения.

Сначала временной ряд был спрогнозирован на 120 точек вперед при помощи векторного метода. Результаты прогноза, а также реальные значения для прогнозируемого интервала, можно увидеть на рисунке, представленном ниже.

Полученные результаты можно в целом назвать неплохими. Метод SSA в данном случае верно определил, что в дальнейшем рост стоимости доллара продолжится и в ближайшие 5 дней цена преодолеет уровень сопротивления (1.09). К сожалению, в результатах расчета не в полной мере отражена степень роста: так на картинках (Рисунок 3.1.2.5 и 3.1.2.6) видно, что угол наклона прогнозной цены значительно меньше реального.

Другой метод прогнозирования, рекуррентный, построенный по другому принципу, дал очень похожие результаты прогноза на 120 часов вперед. Результаты рекуррентного прогноза ряда, аппроксимированного рекуррентным и векторным методом, представлены на двух следующих рисунках.

Как и в вышеописанном случае «Гусеница»-SSA смогла верно определить, что в прогнозируемый период цена пойдет вверх, то есть направление движения цены было спрогнозировано достаточно точно. Что же касается абсолютного значения прогноза и его отличие от реальных величин, то рекуррентный метод прогнозирования, так же как и векторный значительно «отстал» от реального значения. В остальном же построенному прогнозу (Рисунок 3.1.2.7 и 3.1.2.8) можно дать достаточно высокую оценку, потому что верно спрогнозированное направление цены может принести большую прибыль для человека, который сможет правильно использовать полученную информацию.

Оставим пока рассмотрение данной модели и попытаемся улучшить прогноз путем более верного выбора анализируемой модели. Построим модель на 27 первых элементарных матрицах, предположив тем самым наличие в ряде периодичности колебаний длиной в 27 точек. Как показано на рисунке 3.1.2.9, наши ожидания относительно того, что реконструированный ряд будет более точно повторять колебания исходного ряда, потому что большее количество элементом теперь объясняло его дисперсию, в полной мере оправдались.

Алгоритм построения остальных моделей был аналогичен рассмотренному в первой модели. Среди опасений получения худших результатов было возникновение прогнозирования. Результат наилучшего из рассмотренных улучшений первоначальной модели представлен на рисунках 3.1.2.10 и 3.1.2.11. Данный результат был получен путем построения модели на 14 элементарных матрицах.

Как видно из рисунков, точность прогноза значительно выросла. Угол наклона прогнозной линии гораздо ближе прилегает к реальному ряду, чем в первоначально построенной модели. Казалось бы, на основе полученного результата можно сделать вывод о том, что нам удалось в значительно степени улучшить первоначальную модель. Однако полученный в ходе расчетов аппроксимирующий ряд, который представлен на рисунке ниже, ставит под сомнение вывод о высоком качестве последней модели.

Как видно из рисунка 3.1.2.12, расхождение между восстановленным и аппроксимирующим рядами показывает практически экспоненциальный рост. Данный факт, свидетельствует о том, что полученный нами прогноз, скорее по случайным чем по закономерным обстоятельствам оказался лучше первоначального.

В рамках метода «Гусеница»-SSA были также проанализированы ряды волатильности Volat и Volat2, однако это не принесло желаемых результатов.

Подводя итог, можно сделать вывод о том, что построенная нами первоначальная модель является оптимальной в том смысле, что полученный на ее основе прогноз является наилучшим из возможных в рамках данного подхода.

3.2 Нелинейный подход. Искусственные нейронные сети.

Данный раздел исследования разделен на три части. В первой части строится прогноз валютного рынка на примере валютной пары CHFUSD на часовом интервале. Во второй части приводится прогноз валютного рынка на дневном интервале, опять же на примере данной валютной пары. В третьей части нейронной сети дается решение задачи классификации рыночных ситуаций.

В последнее время гипотеза эффективного рынка (EMH – effective market hypothesis) подвергается серьезной критике. В своей слабой формулировке эта гипотеза утверждает, что инвестор не может получить дополнительный доход (с учетом компенсации за риск, связанный с данной стратегией) за счет использования правил торговли, основанных на прошлых данных. Иными словами, информация о прошлых ценах и доходах не может принести пользу для извлечения дополнительного дохода. В то же время EMH-гипотеза не конкретизирует ни природу такой информации, ни способы ее извлечения из прошлых цен. Более того, EMH является комбинированной гипотезой в том смысле, что для ее проверки требуется предварительное формирование модели ценообразования, которая, в свою очередь, зависит от степени прогнозируемости.

Отбор и диагностика модели.

Проверка свойств модели – необходимое условие для успешного предсказания и для понимания природы имеющихся закономерностей. К сожалению, этот вопрос слабо освещен в литературе. Наиболее часто применяемым критерием для проверки прогностических свойств модели является анализ ошибок модели, то есть разницы между истинными и оцененными значениями.

Разности между истинными и оцененными значениями должны подчиняться гауссовскому распределению с нулевым средним. Если оказалось, что распределение имеет слишком тяжелые хвосты или несимметрично, то нужно пересмотреть модель.

Среди значений разностей могут выявиться закономерности или последовательные корреляции, тогда необходимо дополнительное обучение или улучшение модели.

Характер динамики рынка связан с его формальными и неформальными установками, институциональным окружением, а также сложившейся практикой, предвзятыми мнениями, тенденциями и психологическими барьерами. Все это делает возможным существование (до поры скрытых и выглядящих как случайности) закономерностей в поведении рыночных цен, и эти закономерности, в принципе, можно предсказать. Научные исследования7 выявляют все новые и новые закономерности такого рода. Например, было установлено, что рынок иностранных валют не любит котировок, выраженных круглыми числами, например, обменный курс GBPUSD 1.5000.

3.2.1 Прогнозирование котировок USDCHF с использованием пакета NeuroSolution.

Первая часть была выполнена при помощи программного пакета NeuroSolutions.

Как уже было отмечено в предыдущей главе данной работы, NeuroSolutions является универсальной нейросетевой программой, то есть она предназначена не только для трейдеров, но и для исследователей из других областей. Преимущество NeuroSolutions (в работе была использована версия 4.0) заключается в ее почти неограниченной мощности.

Это позволяет давать ей в качестве входных данных большие массивы информации, в отличие от специализированных программ, таких как, например, NeuroShell.

Сделаем прогноз часовых свечей валютной пары CHFUSD на месяц вперед. В качестве основной нейросетевой парадигмы был взят многослойный персептрон (multilayer perceptron), сеть обучалась по принципу минимизации ошибки на 18020 часовым свечкам.

Перед тем, как начать моделировать нейронную сеть, обратимся к часовому графику USDCHF (Рисунок 3.2.1.1), который представлен на рисунке ниже.

Твид Л. Психология финансов.. — М.: "ИК "Аналитика", 2005 – 376 с Как нетрудно убедиться из приведенных выше часовых колебаний курсов валют швейцарского франка и доллара, за всплесками трейдерской активности (сильное увеличение количества сделок за период) следует изменение направления рынка, то есть пик или долина. Значению объемов рынка FOREX следует уделить повышенное внимание, поскольку этот показатель напрямую коррелирует с настроениями, превалирующими на рынке. Именно поэтому анализу ряда Volume было уделено так много внимания в эконометрической части. Всплески активности по сделкам могут быть спрогнозированы с целью получения прогноза об изменении направления движения рынка. Следует отметить, что наиболее четко такая параллель выявляется на часовом графике.

Попытаемся объяснить временной ряд Open через Volume, а также High, Low и Close. Особое внимание следует уделить вопросу сопоставимости входных и выходных данных, что может быть автоматически учтено в специализированных нейросетевых программах. Иными словами, выходы должны обязательно запаздывать, чтобы сеть не «видела», например, High и Low для свечи, которая по сценарию еще не наступила.

Поэтому в качестве выхода был выбран ряд Open, в качестве входов – лагированные переменные High(-1), Low(-1), Close(-1), Volume(-1). Для проверки CV (cross validation) было дано 10% от генеральной совокупности, а для тестового множества – 5%. Проверка CV является очень рекомендуемым методом для прекращения обучения нейронной сети.

Этот метод отслеживает ошибку на независимом наборе данных и прекращает обучение, когда ошибка начинает увеличиваться. Таким образом, система пытается оградить исследователя от проблемы «переобучения» нейронной сети, когда в погоне за увеличением правдоподобия на обучающей выборке, общие результаты снижаются.

Количество обучающих эпох было ограничено двумястами для снижения затрат машинного времени. Построенная в итоге нейронная сеть с двумя скрытыми слоями, имеет следующий вид:

Для того, чтобы провести сравнительный анализ, было построено 10 нейронных сетей различной конфигурации (Таблица 3.2.1.3), с различными ошибками на тестовом множестве.

Наилучшим вариантом из полученных нейронных сетей с четырьмя входами и одним выходом стала сеть конфигурации 4-24-32-1 (в первом скрытом слое 24 нейрона, во втором скрытом слое 32 нейрона). Заметим, что средняя ошибка вычислялась на тестовом множестве, а не на обучающем, поскольку на тестовом множестве нейронная сеть всегда показывает более плохие результаты. Для данной сети ошибка составила 0,001765, то есть примерно 18 пунктов на свечу. Рассмотрим теперь сам прогноз на примере лучшей сети.

Его можно увидеть на рисунке 3.2.1.2, представленном ниже. По оси y мы видим целые числа, поскольку каждую котировку пришлось умножить на 10000, чтобы она стала целым числом. В этом случае в вычислительных процессах делается меньше ошибок.

Обозначение Des O означает Desired Open (истинный сигнал), а Out O – сигнал, который получился на выходе нейронной сети. Проанализируем качество полученного прогноза. Во-первых, сразу бросается в глаза ценовая долина в середине графика, которую сеть не смогла точно аппроксимировать. Во-вторых, волатильность прогнозных значений гораздо выше, чем сами значения. С другой стороны, пусть и с большими колебаниями, нейронной сети все же удалось увидеть пики (самые высокие точки графика) и довольно грамотно его аппроксимировать.

Проанализируем более подробно два ряда Des O и Out O. Корреляция между этими двумя рядами составляет 78%, то по этому критерию прогноз достаточно хороший.

Обратимся теперь к такому показателю, как процент угаданных знаков, то есть процент случаев, когда прогноз верно угадывает направление движения. Из 1200 часовых данных цена открытия шла вверх 604 раза, а вниз 592 раза (выборка практически абсолютно симметрична по этому критерию). Сеть же предсказывала за этот же период 560 и подъемов и спадов соответственно. Это означает, что процент угадывания знаков для данной сети равен примерно 92%.

Сделаем теперь прогноз относительно будущей волатильности ряда (как и в линейном подходе). Для анализа опять были взяты ряды Volat и Volat2, в качестве входных параметров было взято окно размером 3, а также ряд Volume. Тестовое множество было выбрано в размере 10% от имеющейся выборки. Прогноз ряда Volat2 не дал хороших результатов, зато для ряда Volat качества прогноза оказалось достаточно высоким. Средняя ошибка оказалась равной 8,083, то есть примерно 6 пунктам. Средняя волатильность за данный период составила всего 27 пунктов в час, так что такая погрешность вполне приемлема. Сводный график по двум рядам (исходный и прогнозный) приведен на рисунке 3.2.1. Полученный прогноз уже представляет реальную ценность использующему его трейдеру. Сложность заключается лишь в определении направления движения с момента открытия свечи. Если с помощью технического анализа был верно найден тренд, то данный прогноз поможет ему определить силу будущего движения. Гораздо практичней был бы прогноз материальной части свечи, то есть разность между ценой открытия и закрытия.

Были рассмотрен ряд Candle = Open-Close. К сожалению, сколько-нибудь значимых результатов для данного ряда достичь не удалось. При средней свече в 9. пунктов средняя ошибка равнялась 16 пунктам, а процент угаданных знаков оказался равен 49%.

Существенным недостатком работы с программой NeuroSolutions является ее сложность в использовании и в представлении полученных результатов. Каждый раз для дополнения существующей выборки (что случается в каждый новый временной период), сеть необходимо перенастраивать. Никакой графической визуализации данных не предусмотрено. Оптимизация не предусматривает изменение критерия обучения ни на максимизацию корреляции, ни на максимизацию R2. Более удобной в этом смысле являются программы их семейства NeuroShell.

3.2.2 Прогнозирование котировок USDCHF с использованием пакета NeuroShell.

Следующий раздел практической части по нейронным сетям выполнен преимущественно с использованием пакета NeuroShell Day Trader Pro 3.8. Рыночные котировки были взяты в формате Metastock, которые предоставила компания FX-CLUB.

Далее файл данных Metastock был загружен в программу NeuroShell, где при помощи нее были построены различные нейронные сети, чтобы выявить нелинейные взаимозависимости элементов ряда между собой и объяснить ряд котировок при помощи других временных рядов.

Пакет NeuroShell Day Trader был выбран по нескольким причинам. Во-первых, это специализированный нейропакет, предназначенный специально для прогнозирования финансовых рынков. Такая политика разработчиков обусловила дружественный экономическому восприятию интерфейс и возможность работать с нейронными сетями без навыков программирования. Во-вторых, данный программный пакет предназначен специально для торговли внутри дня, о чем свидетельствует его название и инструкция пользователя. В-третьих, NeuroShell можно приобрести практически в любом магазине программного обеспечения по сравнительно невысокой цене. Четвертым преимуществом NeuroShell Day Trader является тот факт, что в нем реализован принцип оптимизации с использованием генетическим алгоритмов. Это позволяет сэкономить много машинного времени, ранее расходовавшегося на подбор наилучших параметров того или иного индикатора, на анализ того или иного входа нейронной сети.

NeuroShell Day Trader концентрируется на построении торговой системы. Сама же торговая система может использовать в своих правилах как индикаторы, так и спрогнозированные значения, полученные при помощи нейронных сетей. Сам процесс построения нейронных сетей достаточно прост, однако ни один из ключевых этапов построения нейронной сети не остался в тени. Основная архитектура, которая используется NeuroShell Day Trader – многослойный персептрон, наиболее удобная нейросетевая парадигма для прогнозирования.

В NeuroShell Day Trader были загружены для анализа котировки по 80 рабочим дням с февраля по май 2010 года. Особо важной характеристикой для обучения нейронной сети является хотя бы приблизительная симметрия входных данных. Иными словами, необходимо, чтобы примеров разных категорий было примерно одинаковое количество, чтобы обучение было «беспристрастным». В качестве примера можно привести нейронную сеть, построенную Министерством обороны США для обнаружения танков противника по фотографиям со спутника. В итоге выяснилось, что почти на всех фотографиях, где присутствуют танки, погода была пасмурной, поэтому сети легче было настроиться на угадывание погоды, чтобы успешно справиться с тестовой выборкой. Следовательно, рекомендуется сбалансировать входную выборку.

Другой пример больше связан с темой данного исследования. Отечественными исследователями была построена нейронная сеть, предсказывающая дневное изменение обменного курса рубля на доллар. Сеть давала хорошие результаты, ошибаясь только тогда, когда курс не изменялся. Когда же начался процесс укрепления рубля, сеть стала давать только неправильные ответы. Вызвано это было тем, что в обучающей выборке содержались примеры того, что рубль постоянно дешевел, поэтому сеть просто «не знала», что может быть иначе. В таких случаях также рекомендуется регулярно дополнять обучающую выборку свежими данными.

В некоторых исследованиях предлагается использовать исторические данные в их наиболее удобном и компактном представлении – в форме индексов, которые уже являются комбинацией котировок прошлых периодов.

Для начала определим, какое задание будет дано нейронной сети. Ее можно обучить действовать по принципу максимальной прибыли. В программе Metastock эта функция называется Maximum Profit System (MPS). Алгоритм моделирования торговли построен по принципу «зачислять в прибыль все, что возможно». Это может быть изменение цены за одну свечку или удержание позиции в течение очень длительного периода времени. К сожалению, для торговли внутри дня такой принцип трудно реализуем, поскольку часто колебания очень малы. В несколько модифицированном виде MPS может быть применен как критерий для отбора идеальной нейронной сети для прогнозирования. В теоретической части, посвященной теории нейронных сетей, среди критериев обучения обычно использовался принцип минимизации ошибки между идеальным значением и полученным. Как показывает практика, критерий максимизации прибыли может дать как такие же, так и более хорошие результаты. Попробуем разработать MPS, которая была бы более приближена к реальным условиям торговли на рынке.

Во-первых, необходимо определить, сколько пунктов должен содержать в себе «значимый» для торговли ход цены. Среди практикующих трейдеров «взять фигуру»

(заработать 100 пунктов) при игре внутри дня является отличным завершением удачной сделки. Несколько меньший выигрыш также вполне устроит трейдера. Таким образом, можно говорить о наличии некоторых ориентиров, на которые нацелен трейдер в своей работе. Эти ориентиры могут быть получены чисто из эмпирических соображений, однако, могут быть вполне обоснованы статистически.

Проанализируем данные по швейцарскому франку с 1 января 2008 года по 3 мая 2010 года. Возьмем сначала изменения курса за 24 часа:

1. Среднее колебание курса за день (High-Low) равно 111 пунктам. За последний год этот показатель равен 91 пункту, то есть значение 2. Максимальное колебание курса за день, зафиксированное за период – 3. Минимальное колебание курса за день, зафиксированное за период – Из приведенного выше анализа видно, что в среднем курс валютной пары CHFUSD изменяется на 90-110 пунктов в день. Это тот доход, на который можно рассчитывать, торгуя внутри дня. С учетом рисков и комиссионных положим «значимый»

сигнал равным 100 пунктам в день. На исторических данных вполне можно сделать разметку, в каких местах следует покупать, в каких продавать, а в каких ожидать покупки или продажи. Существуют предпосылки разработки алгоритма, формирующего так называемый шаблон (карту) максимальной прибыли – Maximum Profit Pattern (MPP). MPP имеет сходством с индикатором, однако рассчитывается не по прошлым данным, а по будущим. Сигналами MPP могут, например, быть:

Моделирование торговли на исторических данных с построенным на их основе MPP приносит максимальную прибыль с учетом ограничения, что система будет реагировать только на ход, который будет больше 100 пунктов, которые мы определили как «значимое» изменение курса.

Иными словами, предлагается использовать нейронную сеть как классификатор, который бы в ответ на входные данные на выходе давал сигналы «покупать», продавать, «ждать», то есть классифицировать ситуацию, сложившуюся на рынке.

После определения задачи, которая будет задана нейронной сети, необходимо решить задачу кодирования обучающего правила таким образом, чтобы максимально упростить процесс обучения. Из всех статистических функций распределения, определенных на конечном интервале, максимальной энтропией (оценкой информационной насыщенности) обладает равномерное распределение. Применительно к данному случаю, это подразумевает, что кодирование переменных числовыми значениями должно приводить, по возможности, к равномерному заполнению единичного интервала закодированными примерами (захватывая и этап нормировки). При таком способе кодирования все примеры будут нести примерно одинаковую информационную нагрузку.

Рассмотрим персептрон c одним выходным нейроном. Подавая на входы этого персептрона любые числа x1, x2,..., xn, получим на выходе значение некоторой функции F(x1, x2,..., xn), которое является ответом (реакцией) сети. Очевидно, что ответ сети зависит как от входного сигнала, так и от значений ее внутренних параметров - весов нейронов.

Сразу же возникает вопрос о том, может ли нейронная сеть аппроксимировать функцию достаточной сложности. Ученые занимались решением этой задачи долгое время и ответ был получен сравнительно недавно - в 1989 г. В результате продолжительных исследований несколькими учеными практически одновременно была сформулирована теорема, которая на языке нейронных сетей звучит следующим образом: «Любую непрерывную функцию нескольких переменных можно с любой точностью реализовать с помощью обычного трехслойного персептрона с достаточным количеством нейронов в скрытом слое». Это означает, что с помощью стандартного персептрона возможно решать любые задачи прогнозирования и оценки, в которых существуют функциональные зависимости. Однако теорема не указывает, каким способом можно подобрать веса каждого нейрона, используя набор примеров.

Очень полезными для прогнозирования валютного рынка могут послужить использование в качестве входов для нейронной сети различных индикаторов. С одной стороны, они достаточно информативны, потому что по-разному используют исторические данные. С другой стороны, размерность одного индикатора как входа равна единице, в отличие от «окна» данных в 10-20 свечей. Разберем данный подход более подробно.

Как уже было указано выше, в качестве поступающих на входы нейронной сети данных могут выступать как приращения цен одного типа, например, цен закрытия, так и комбинация приращений разных типов цен в пределах одного временного интервала. Это может быть информация, содержащаяся в свече: цена открытия, цена закрытия, максимальная и минимальная цена за период. Четыре разных цены будут подаваться на разных нейрона. Очевидно, что данный подход влечет трудности в рассмотрении достаточно большого количества интервалов в прошлом. Для кодирования информации о 24 последних часах (24 свечки на часовом графике) потребуется 96 входных нейронов.

Задача такой размерности может быть качественно решена только при наличии достаточно мощного оборудования, например, нейрокомпьютеров или нейроплат.

Однако такая постановка задачи имеет смысл при достаточно небольшом размере входного окна. Если мы попытаемся спрогнозировать японскую свечку по 3 предыдущим приращениям, то с задачей справится даже обычный компьютер.

Недостатком метода окон является чисто техническое ограничение «кругозора»

сети в прошлом. При использовании методов технического анализа трейдер не обязательно должен рассматривать только последние три-четыре значения, погружаясь в прошлое как угодно глубоко. В некоторых исследованиях утверждается, что максимальные и минимальные значения ряда даже в относительно далеком прошлом оказывают сильное воздействие на психологию игроков, и, следовательно, должны быть значимы для предсказания. Прогнозирование нейронной сетью методом окон не способно предоставить такую информацию, что снижает качество полученных результатов. Увеличение же размера окна до приемлемых значений сильно увеличивает машинное время, потраченное на обучение сети. Выходом из сложившейся ситуации могут быть альтернативные способы кодирования исторической информации.

Альтернативным представлением входной информации можно считать значения индикаторов, построенных на основе ценовой динамики. Выделим плюсы данного подхода:

• Значение каждого из индикаторов зависит от определенного числа значений временного ряда в прошлом, таким образом, использование совокупности нескольких индикаторов позволяет оценить рынок широким взглядом и оценить рыночную ситуацию в прошлом с использование в техническом анализе ввиду ограничений со стороны • Выборка с индикаторами обычно достаточно мала, поскольку сама базируется на переменных, взятых с определенным лагом, и, соответственно, количество задействованных входных нейронов сети • Часто индикаторы уже лежат в промежутке от 0 до 1 (или от 0 до 100), что заметно упрощает подходы к нормализации входных данных.

Стоит отметить, что описанный здесь способ не уступает по информативности методу окон с достаточно большим погружением в прошлое. Подобный способ сжатия информация позволяет из огромного количества входных данных оставить лишь значимые для предсказания будущих значений ряда.

Из множества индикаторов технического анализа для обучающей выборки проанализируем следующие двенадцать:

Со своей стороны, разработчики программы NeuroShell Day Trader предпочитают использовать следующие индексы:

• Lag(Linear Time Regression Slope) Особенной популярностью пользуются показатели Volume и Momentum.

Возможной трудностью, возникающей при использовании индикаторов на входе в нейронную сеть, является оптимальный выбор коэффициентов, используемых для каждого конкретного индикатора. Например, индикатор Average Crossover Above/Below просит уточнить, какой порядок скользящих средних следует строить. Реализованная программой NeuroShell возможность оптимизации при помощи генетических алгоритмов позволяет отдавать подбор наилучших параметров на откуп компьютеру. Это, однако, сильно снижает быстродействие при вычислениях.

Есть и другие, менее распространенные индикаторы. К примеру, в книге Е.М.

Азоффа приведен индикатор случайного блуждания (RWI – random walk index), предложенный Поулосом. Этот индикатор определяет отклонение от случайного движения. Для временного ряда котировок сначала рассчитывается среднее изменение цены за период, pt, затем и сам индикатор:

pt ( N, ) - изменение цены за интервал времени N. Здесь - интервал, с которым определены котировки, а N – количество анализируемых котировок. Отклонение индикатора от единицы подразумевает либо наличие тренда (абсолютное значение