«Екатеринбург 2011 УДК 51(075.3) Подготовлено на кафедре математики СУНЦ УрГУ Печатается по решению Ученого Совета СУНЦ УрГУ: протокол №04 от 23.01.2008г Сборник задач по геометрии (издание второе, исправленное). ...»

Сборник задач

по геометрии

Екатеринбург 2011

УДК 51(075.3) Подготовлено на кафедре математики

СУНЦ УрГУ

Печатается по решению Ученого Совета СУНЦ УрГУ: протокол №04 от

23.01.2008г

Сборник задач по геометрии (издание второе, исправленное). Составители: Ануфриенко С.А., Гольдин А.М., Гулика С.В., Кремешкова С.А., Расин В.В., Смирнова Е.В. Екатеринбург, 2011. 199с.

В сборник включены задачи по основным темам программы по математике физико-математических, математико-информационных и математико-экономических классов СУНЦ УрГУ. Сборник предназначен для учащихся СУНЦ УрГУ, старшеклассников и учителей математики.

СУНЦ УрГУ, c Оглавление Введение 1. Планиметрия 1.1. Равенство и подобие треугольников.................... 1.2. Чевианы в треугольнике.......................... 1.3. Окружность................................. 1.4. Четырехугольники............................. 2. Преобразования плоскости 2.1. Осевая симметрия.............................. 2.2. Центральная симметрия. Поворот..................... 2.3. Параллельный перенос........................... 2.4. Гомотетия. Преобразования подобия................... 3. Сечения многогранников 3.1. Основные способы построения сечений.................. 3.2. Сечения призм................................ 3.3. Сечения пирамид.............................. 3.4. Задачи на нахождение отношений и площадей............. 4. Векторы 4.1. Алгебра векторов.............................. 4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи........... 5. Задачи на построение 5.1. Введение. Схема решения задач на построение............. 5.2. Геометрические места точек........................ 5.3. Задачи на построение............................ 5.4. Алгебраический подход........................... 5.5. Построения одной линейкой........................ 5.6. Построения одним циркулем. Инверсия................. 6. Преобразования пространства 6.1. Движения пространства.......................... 6.2. Гомотетия. Преобразования подобия................... 4 Оглавление 7. Стереометрия 7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы........ 7.2. Многогранники............................... 7.3. Фигуры вращения.............................. 8. Задачи на максимум и минимум 8.1. Планиметрия................................. 8.2. Стереометрия................................ Введение Настоящая книга является второй частью сборника задач, соответствующего программе обучения по геометрии в математических классах СУНЦ УрГУ.

Задачи почти каждой главы сборника разделены на две группы (А и Б) по нарастанию их сложности. Ясно, что такое деление условно. Но у составителей сборника есть некоторое убеждение в том, что задачи первой группы (А) составляют необходимый (или базовый) уровень обучения.

Вторая группа (Б) позволяет достигнуть достаточный уровень совершенства в решении задач данной темы. Кроме того, отмеченные звездочкой задачи этой группы носят исследовательский характер или встречались на математических олимпиадах.

Отзывы, критические замечания и добрые пожелания просим направлять по адресу: 620173, г. Екатеринбург, ул. Д.Зверева, 30. СУНЦ УрГУ, кафедра математики или [email protected].

Глава Планиметрия 1.1. Равенство и подобие треугольников Группа А 1.1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. Доказать, что AC 2 = AB · AH и CH 2 = AH · BH.

1.2. Основания трапеции равны a и b ( a > b ). а) Найти длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии. б) Найти длину отрезка, высекаемого боковыми сторонами трапеции на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям.

в) Найти длину отрезка M N, концы которого делят боковые стороны 1.3. Один из углов трапеции равен 30, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.

1.4. На стороне BC треугольника ABC взята точка A1 так, что BA1 : A1 C = 2 : 1. В каком отношении медиана CC1 делит отрезок AA1 ?

1.5. Точки A1 и B1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях BA1 : A1 C = 1 : p и AB1 : B1 C = 1 : q. В каком отношении отрезок AA1 делится отрезком BB1 ?

1.6. В треугольник ABC вписан квадрат P QRS так, что вершины P и Q лежат на сторонах AB и AC, а вершины R и S — на стороне BC. Выразить длину стороны квадрата через a = BC и ha — длину высоты треугольника, проведенной из вершины A.

1.7. Биссектриса AD треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P. Доказать, что треугольники ABP и BDP подобны.

1.8. Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Для каких четырехугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом, для каких — квадратом?

1.9. Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60. На этой дуге взята точка M. Доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков M A и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков M B и OA.

1.10. На одной из сторон угла расположены два отрезка длиной 3 и 4.

Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Длина наибольшего равна 6. Найти длину другого отрезка.

1.11. Основания трапеции равны 4 и 3, а боковые стороны пересекаются под прямым углом. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

1.12. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M так, что ABM = BCM. Известно, что AM = 1, M C = 3. Найти длину стороны AB.

1.13. Все стороны треугольника различны. Один из углов равен 40.

Биссектриса этого угла делит треугольник на два треугольника, один из которых подобен исходному. Найти наибольший угол исходного треугольника.

1.14. У двух неравных, но подобных между собой треугольников имеются две пары соответственно равных между собой сторон, длины которых 12 и 18. Найдите остальные стороны каждого треугольника.

1.15. Диагональ трапеции делит ее на два подобных между собой треугольника. Отношение боковых сторон трапеции равно 2. Найти отношение оснований трапеции.

1.16. В трапеции известны основания: AD = 7, BC = 3. Прямая, параллельная основаниям трапеции, пересекает боковые стороны AB и CD в точках K и M. Известно, что AK : KB = 7 : 3. Найти KM.

1.17. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что AP : AD = 1 : n ; Q — точка пересечения прямых AC и BP.

Доказать, что AQ : AC = 1 : (n + 1).

1.18. Вершины параллелограмма A1 B1 C1 D1 лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB, точка B1 — на стороне BC и т.д.). Доказать, что центры обоих параллелограммов совпадают.

1.19. Одна из диагоналей вписанного в окружность четырехугольника является диаметром. Доказать, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

1.20. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Доказать, что AD : DC = AB : BC.

1.21. Доказать, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису AA1 в отношении AO : OA1 = (b + c) : a, где a, b, c — длины сторон треугольника.

1.22. Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей стороны равна b. Вычислить радиус его описанной окружности.

1.23. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями S1, S2, S3. Найти площадь данного треугольника.

1.24. Доказать, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

1.25. а) Доказать, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD . б) Доказать, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

1.26. Точка O, лежащая внутри выпуклого четырехугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон. Найти площадь четырехугольника с вершинами в полученных точках.

1.27. Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника ABC. Доказать, что A1 B1 C ABC. Чему равен коэффициент подобия?

1.28. Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Доказать, что M N C ABC.

1.29. Пусть BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC. а) Доказать, что касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1 C1. б) Доказать, что B1 C1 OA, где O — центр описанной окружности.

1.30. В равнобедренном треугольнике ABC из середины основания BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC ; O — середина отрезка HE. Доказать, что прямые AO и BE перпендикулярны.

1.31. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, но которые они делятся точкой пересечения.

1.32. Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая.

Вычислить сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до этой прямой.

1.33. Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Доказать, что она делит пополам и сторону BC.

1.34. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1.

Доказать, что расстояние от любой точки M отрезка A1 B1 до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

1.35. На продолжении оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N , а диагонали AC и BD в точках O и P.

Доказать, что если KM = N L, то KO = P L.

1.36. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причем AB = CD = EF = R. Доказать, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и F OA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

1.37. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Доказать, что треугольник AKL правильный.

1.38. На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Доказать, что их центры образуют квадрат.

1.39. На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники AB1 C и AC1 B внешним образом и BA1 C внутренним образом. Доказать, что AB1 A1 C1 — параллелограмм.

1.40. На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены внешним образом правильные треугольники. Доказать, что их центры образуют правильный треугольник, причем его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

1.41. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC и острым углом при вершине B, CD — биссектриса угла C. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе CD. Эта прямая пересекает продолжение основания AC в точке E. Докажите, что AD = EC/2.

1.42. Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Доказать, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

1.43. На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре во внешнюю сторону построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

1.44. а) Доказать, что высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC делят углы A1 B1 C1 пополам. б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Доказать, что если B1 A1 C = BA1 C1, A1 B1 C = AB1 C и A1 C1 B = AC1 B1, то точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

1.45. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Доказать, что точка, симметричная A1 относительно прямой AC, лежит на прямой B1 C1.

1.46. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Доказать, что если A1 B1 AB и B1 C1 BC, то A1 C1 AC.

1.47. Пусть p — полупериметр остроугольного треугольника ABC, q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.

Доказать, что p : q = R : r, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

1.48. Точки A1, B1 и C1 симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон. Доказать, что ABC = = A1 B1 C1.

1.49. Доказать, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

1.50. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A1 C1. Прямые AD и A1 C1 пересекаются в точке K. Доказать, что 2A1 K = |b c|.

1.51. Три прямые, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три треугольника, причем остается правильный шестиугольник.

Найти длину стороны этого шестиугольника, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

1.52. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC, пересекает стороны BA и BC в точках P и Q соответственно. Известно, что AB = 1, BC = 2 и BP · BQ = 8/9. Найти длину отрезка BP.

1.2. Чевианы в треугольнике 1.53. Основание треугольника равно 20, а медианы к боковым сторонам равны 18 и 24. Найти площадь треугольника.

1.54. Через середину M медианы CC1 треугольника ABC проведена прямая (AN ), пересекающая сторону BC в точке N. Найти отношение 1.55. Основание треугольника равно 26, медианы, проведенные к боковым сторонам, составляют 36 и 15. Найти площадь треугольника и третью медиану.

1.56. В треугольнике ABC со сторонами BC = a и AC = b проведена биссектриса CC1. Доказать, что 1.57. В треугольнике ABC со сторонами BC = a и AC = b проведена биссектриса CC1, длина которой равна lc. Доказать, что 1.58. В треугольнике ABC со сторонами BC = a и AC = b проведена биссектриса CC1, длина которой равна lc. Пусть также BC1 = ac и AC1 = bc. Доказать, что lc = ab ac bc.

1.59. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Определить площадь треугольника.

1.60. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне треугольника. Найти отрезки, на которые центр окружности делит бльшую сторону треугольника.

1.61. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы треугольника.

1.62. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18.

1.63. Дан треугольник ABC такой, что AB = 15, BC = 12 и AC = 18. Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла C.

1.64. Дан равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной b. Найти в каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании треугольника.

1.65. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

1.66. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 72, а биссектриса этого угла равна m. Найти длины сторон этого треугольника.

1.67. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36, а биссектриса угла при основании равна 20. Найти длины сторон треугольника.

1.68. Найти величину cos 36.

1.69. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 из вершины прямого угла проведена биссектриса CM. Окружности, вписанные в треугольники ACM и BCM, касаются отрезка CM в точках K и L.

Найти длину отрезка KL.

1.70. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке L, проходит через вершину C и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найти AB и AC, если известно, что CQ = 9, QB = 3, AP = 4 и CL является биссектрисой угла C.

1.71. В треугольнике ABC сторона AB = 15, окружность, проходящая через вершину C, касается стороны AB в точке L и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найти AC и BC, если известно, что AP = 3, BQ = 2 и CL — биссектриса угла C.

1.72. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.

1.73. Пусть h — длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, ac, bc — проекции катетов a и b на гипотенузу c.

Доказать, что h2 = ac · bc, a2 = c · ac, и b2 = c · bc.

1.74. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

1.75. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника с площадями Q и q. Найти катеты.

1.76. На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A1, B1, C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC пересекаются в одной точке O. Доказать, что отношение площадей треугольников AOB и AOC равно BA1 /CA1.

1.77. На отрезке AB выбраны точки X и Y так, что AX : XB = AY : Y B. Доказать, что X = Y.

1.78. (Теорема Чевы). На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A1, B1, C1. Доказать, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 1.79. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

1.80. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1.81. Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

1.82. В треугольнике проведены три отрезка, каждый из которых соединяет вершину треугольника с точкой касания вписанной в треугольник окружности с противоположной стороной. Доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке.

1.83. Пусть точки X и Y лежат на прямой (AB), но не принадлежат отрезку [AB]. Доказать, что если BX : XA = BY : Y A, то X = Y.

1.84. (Теорема Менелая). На сторонах BC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A1 и C1, а на продолжении стороны AC выбрана точка B1. Доказать, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда 1.85. На сторонах BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки A1 и B1 так, что BA1 : A1 C = 1 : 3 и AB1 : B1 C = 2 : 1.

Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке O. а) Найти отношение B1 O :

: OB. б) Найти площадь треугольника AOB1, если площадь треугольника ABC равна 6.

1.86. На сторонах BC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A1 и C1 так, что BA1 : A1 C = 2 : 3 и AC1 : C1 B = 1 :

: 2. Отрезки AA1 и CC1 пересекаются в точке O. а) Найти отношение AO : OA1. б) Найти площадь четырехугольника BC1 OA1, если площадь треугольника ABC равна 1.

1.87. Отрезок BM является медианой треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки P и Q так, что AP :

: P B = 2 : 5 и BQ : QC = 10 : 1. Отрезок P Q пересекает BM в точке R. Найти отношение BR : RM.

1.88. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны AC = 4 и BC = 3. В треугольнике проведены биссектриса CD и медиана AM.

Они пересекаются в точке E. Найти площадь треугольника CEM.

1.89. На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1, B1 так, что AC1 : C1 B = BA1 : A1 C = CB1 :

: B1 C = 1 : 2. Точки P, Q, R являются попарным пересечением отрезков AA1, BB1, CC1. Найти отношение площади треугольников ABC и P QR.

1.90. Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F.

Доказать, что прямая EF делит отрезок AC пополам.

1.91. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1, причем точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым AA1, BB1 и CC1 относительно соответствующих биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA и AB в точках A2, B2 и C2. Доказать, что точки A2, B2 и C2 лежат на одной прямой.

1.92. Прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O.

Доказать, что точки пересечения прямых AB и A1 B1, BC и B1 C1, AC и A1 C1 лежат на одной прямой (теорема Дезарга).

1.93. На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на другой — точки A2, B2 и C2. Прямые A1 B2 и A2 B1, B1 C2 и B2 C1, A2 C1 и A1 C пересекаются в точках C, A и B соответственно. Доказать, что точки C, A и B лежат на одной прямой (теорема Паппа).

1.94. На сторонах AB, BC и CD четырехугольника ABCD (или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL и AC пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q. Доказать, что точка пересечения прямых KQ и M P лежит на прямой AD.

1.95. Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1. Доказать, что: а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP пересекаются в одной точке; б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.

1.96. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Прямые A1 B1 и A1 C1 пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C2 и B2 соответственно.

Доказать, что AB2 = AC2.

1.97. а) Пусть, и — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A1 BC, AB1 C и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы, и. Доказать, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. б) Доказать аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

1.98. Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A1, B1 и C1. На лучах OA1, OB1 и OC отложены равные отрезки OA2, OB2 и OC2. Доказать, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.

1.99. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Доказать, что прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q (такие точки P и Q называют изогонально сопряженными относительно треугольника ABC ).

1.100. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

1.101. Из некоторой точки P опущены перпендикуляры P A1 и P A на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA3. Аналогично определяются точки B1, B2 и C1, C2. Доказать, что прямые A1 A2, B1 B2 и C1 C2 пересекаются в одной точке или параллельны.

1.102. Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C.

Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q.

Доказать, что прямая P Q проходит через точку S.

1.103. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1 B1 и B1 A1 в точках M и N. Доказать, что M BB1 = N BB1.

1.104. В треугольнике ABC таком, что AB = BC = 4 и AC = проведены медиана AA1, биссектриса BB1 и высота CC1. Найти площадь треугольника, образованного пересечением прямых: а) AB, AA1, BB1 ; б) AA1, BB1, CC1.

1.105. Через середину стороны AB равнобедренного треугольника ABC ( AB = BC ) проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке K и продолжение стороны AC за точку C — в точке P. Найти площадь треугольника ABC, если BK = 2, AP = 5 и ACB = arccos (1/4).

1.106. Дан треугольник ABC, в котором AB = BC = 5, медиана AD = 97/2. На биссектрисе CE выбрана точка F такая, что CF = = CE/5. Через точку F проведена прямая l, параллельная BC. Найти расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до прямой l.

1.107. Дан треугольник ABC, в котором AB = BC = 5, а радиус описанной окружности равен 25/8. На высоте CD выбрана точка E такая, что CE = CD/4 и через точку E проведена прямая l, параллельная BC. Найти расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник ABC, до прямой l.

1.108. В треугольнике ABC на сторонах AC и BC расположены точки D и E соответственно так, что BD — биссектриса треугольника ABC, DC = CE = 4/3, BD = 2, ABC = ADB. Найти BC и площадь треугольника ABC.

1.3. Окружность 1.109. Из точки B, лежащей вне окружности, выходят лучи BA и BC, пересекающие эту окружность. Выразить величину угла ABC через угловые величины дуг окружности, заключенных внутри этого угла.

1.110. Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Выразить величину угла BAC через угловые величины дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричному ему относительно вершины A.

1.111. Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры P C1 и P B1 на прямые AB и AC. Доказать, что C1 AP = C1 B1 P.

1.112. Треугольник ABC прямоугольный. На гипотенузе AB во внешнюю строну построен квадрат. Точка O — его центр. Доказать, что CO — биссектриса угла ACB.

1.113. Центр вписанной окружности треугольника ABC симметричен центру описанной окружности относительно стороны AB. Найти углы треугольника ABC .

1.114. Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Доказать, что BAH = OAC.

1.115. В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что если CAA1 = CBB1, то AC = BC.

1.116. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E ; AD – биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.

1.117. На отрезке AB как на диаметре построена полуокружность.

Прямая l касается этой полуокружности в точке C. Из точек A и B на прямую l опущены перпендикуляры AM и BN. Пусть D — проекция точки C на AB. Доказать, что CD2 = AM · BN.

1.118. Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую — в точках B и D. Доказать, что AC параллельна BD.

1.119. Доказать, что биссектрисы углов любого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

1.120. Через середину C дуги AB проводят две произвольные прямые, которые пересекают окружность в точках D, E и хорду AB — в точках F и G. Доказать, что четырехугольник DEGF может быть вписан в окружность.

1.121. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке M. AB — общая касательная этих окружностей, не проходящая через M ( A и B — точки касания). Доказать, что M лежит на окружности с диаметром AB.

1.122. Через точку O проведены три прямые, попарные углы между которыми равны 60. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки A на эти прямые, служат вершинами правильного треугольника.

1.123. N диаметров делят окружность на равные дуги. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M внутри окружности на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.

1.124. Прямоугольный треугольник ABC ( BAC — прямой) двигается по плоскости таким образом, что вершины B и C скользят по сторонам заданного прямого угла. Доказать, что геометрическим местом точек A является некоторый отрезок и найти его длину.

1.125. На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке.

A1, B1, C1, D1 — середины дуг AB, BC, CD, DA соответственно.

Найти угол между прямыми A1 C1 и B1 D1.

1.126. AB и CD — диаметры одной окружности. Из точки M этой окружности опущены перпендикуляры M P и M Q на прямые AB и CD. Доказать, что длина отрезка P Q не зависит от положения точки 1.127. Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Доказать, что длины отрезков касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

1.128. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом (т.е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найти длину общей касательной к этим окружностям.

1.129. Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. а) Доказать, что радиус вписанной в этот треугольник окружности равен (a + b c)/2. б) Доказать, что радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2.

1.130. Прямые AB и AC — касательные к окружности с центром в точке O ( B и C — точки касания). Выбирается произвольная точка X дуги BC. Через X проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Доказать, что периметр треугольника AM N не зависит от выбора точки X.

1.131. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол.

а) К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная. Обозначим точки пересечения этой касательной со сторонами угла через A и A2, а точки касания — через B1 и B2. Доказать, что A1 B1 = A2 B2.

б) Через две точки касания окружностей со сторонами угла, лежащие на разных сторонах этого угла и на разных окружностях, проведена прямая.

Доказать, что эта прямая высекает на окружностях хорды равной длины.

1.132. В треугольник ABC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке K. Доказать, что AK = p a, где a = BC и p — полупериметр треугольника ABC.

1.133. Доказать, что длина отрезка AL, где L — точка касания с лучом [AB) вневписанной окружности треугольника ABC, равна p, где p — полупериметр треугольника ABC.

1.134. Пусть BC = a, r и ra — радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC (окружность радиуса ra касается стороны BC ), p — его полупериметр. Доказать, что pr = ra (p a).

1.135. Пусть AC = b, AB = c, r и ra — радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC (окружность радиуса ra касается стороны BC ), p — полупериметр треугольника ABC. Доказать, что rra = (p b)(p c).

1.136. Доказать формулу Герона для треугольника ABC ( AC = b, 1.137. Пусть r и ra, rb, rc — радиусы вписанной и трех вневписанных окружностей треугольника ABC. Доказать, что = ++.

1.138. Пусть r и ha, hb, hc — радиус вписанной окружности и длины 1.139. Пусть OA, OB, и OC — центры трех вневписанных окружностей треугольника ABC (окружность с центром в OA касается стороны BC, с центром в OB — стороны AC, с центром в OC — стороны AB ).

а) Доказать, что B [OA OC ]. б) Доказать, что (AOA ) (OB OC ).

1.140. Пусть BC = a, rb и rc — радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC (окружность радиуса rb касается стороны AC, радиуса rc — стороны AB ), p — полупериметр треугольника ABC. Доказать, что rb rc = p(p a).

1.141. Пусть r и ra, rb, rc — радиусы вписанной и трех вневписанных окружностей треугольника ABC. Доказать, что SABC = rra rb rc.

1.142. На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что AC · AD/AM = BC · BD/BM.

1.143. Центр O данной окружности радиуса R соединен с точкой C, произвольно взятой на хорде AB. Доказать, что OC 2 + AC · BC = R2.

1.144. На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B. Доказать, что произведение P A · P B не зависит от выбора прямой. (Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со знаком минус для точки P внутри окружности, называется степенью точки P относительно окружности S.) 1.145. Три окружности S1, S2, S3 попарно касаются друг друга в трех различных точках. Доказать, что прямые, соединяющие точку касания S1 и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являющихся концами ее диаметра.

1.146. Доказать, что для точки P, лежащей вне окружности S, ее степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведенной из этой точки.

1.147. Доказать, что степень точки P относительно окружности S равна d2 R2, где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра окружности S.

1.148. На плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Доказать, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая. (Эту прямую называют радикальной осью окружностей S1 и S2.) 1.149. Доказать, что радикальная ось двух окружностей проходит через точки их пересечения.

1.150. На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Доказать, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке. (Эту точку называют радикальным центром трех окружностей.) 1.151. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности.

Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая. Доказать, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

1.152. Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Доказать, что множество центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальной осью, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена общая хорда.

1.153. а) Доказать, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой. б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Доказать, что окружности высекают на этой прямой равные хорды.

1.154. Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найти периметр треугольника OO1 O2.

1.155. В окружность радиуса 17 вписан четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найти длины сторон четырехугольника.

1.156. В равнобедренную трапецию ABCD ( AD, BC — основания) вписана окружность с центром в точке O, OC = 3, OD = 4. Чему равен периметр трапеции?

1.157. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Доказать, что эти высоты являются биссектрисами углов треугольника A1 B1 C1.

1.158. Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные с точкой пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

1.159. Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C.

Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку B, окружность S1 она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

1.160. В треугольнике ABC угол B равен 60, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

1.161. В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40 :

BD – биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.

1.162. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника AP B.

1.163. Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB ; из точки M опущены перпендикуляры M P и M Q на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/P M + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.

1.164. Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q ( P на прямой BM, Q на прямой BN ). Доказать, что отрезки M P и N Q равны.

1.165. Доказать, что если через одну из точек пересечения двух окружностей провести диаметр в каждой окружности, то прямая, соединяющая другие концы этих диаметров, пройдет через вторую точку пересечения этих окружностей.

1.166. Две окружности касаются внутренним образом в точке M.

Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Доказать, что M T — биссектриса угла AM B.

1.167. По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

1.168. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC ), пересекающая AD в точке K.

Доказать, что длина отрезка AK не зависит от выбора точки D.

1.169. Дана окружность и точки P, K вне ее. Через точку P проведена секущая P AB ( A, B — точки на окружности) и построена окружность, проходящая через точки K, A, B. Доказать, что все такие окружности походят, кроме K, еще через одну общую точку, не зависящую от выбора секущей P AB.

1.170. Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E.

Доказать, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников ABE, CDE, ADF и BCF.

1.171. Доказать, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (теорема Брианшона).

1.172. В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть r1, r2, r3 — радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Докажите, что r1 + r2 + r3 = r.

щенной из вершины C, равна 5 3. Найти длины сторон треугольника ABC, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2 3.

1.174. Через точку O — центр окружности радиуса 15 см, описанной около равнобедренного треугольника ABC, проведен диаметр, который пересекает боковые стороны AB и BC в точках M и N соответственно.

Найти длины отрезков BM и BN, если известно, что длины отрезков M O и N O соответственно равны 4 и 15/4 см.

1.175.Через вершины A и C треугольника ABC, площадь которого равна 10 3, проведена окружность, пересекающая стороны [AB] и [BC] в точках M и N соответственно. Центр окружности, описанной около треугольника ABC лежит на отрезке [M N ]. Найти длину [M N ], если известно, что |BC| = 5, а ABC = 60.

1.176. Около треугольника ABC с периметром 15 и ABC = описана окружность радиуса 7/ 3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC и биссектрису BK.

1.177. Около равнобедренного треугольника ABC ( AB = BC ) описана окружность. Диаметр AD этой окружности пересекает сторону BC в точке K, BK : KC = 5 : 6. Найти радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 32.

1.178. Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC. Окружность 1, вписанная в треугольник ABD, касается отрезка BD в точке M ; окружность 2, вписанная в треугольник BСD — в точке N. Отношение радиусов окружностей 1 и 2 равно 7/4. Известно, что BM = 3, M N = N D = 1. Найти длины сторон треугольника ABC.

1.179. На окружности по разные стороны от диаметра AC расположены точки B и D. Известно, что AB = 6 и CD = 1, а площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника BCD. Найти радиус окружности.

1.180. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вершины A, B и точка пересечения высот треугольника E лежат на окружности, которая пересекает отрезок BC в точке D. Найти радиус окружности, если CD = 4 и BD = 5.

1.181. Окружности 1 и 2 внешне касаются в точке A. Прямая l касается окружности 1 в точке B, а окружности 2 — в точке C.

Через точку A проведены две прямые: одна проходит через точку B, а другая касается окружностей 1 и 2 и пересекает прямую l в Найти радиусы окружностей 1 и 2, если AD = 3 и AC = 2 3.

1.182. Через точку A проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке B, а другая пересекает окружность в точках C и D так, что точка D лежит на отрезке AC. Найти длины отрезков AB и CD и радиус окружности, если BC = 4, BD = 3, BAC = arccos (1/3).

1.183. Один из углов треугольника равен /4, радиус вписанной в него окружности равен 2(2 2), а радиус описанной около него окружности равен 3. Найти площадь этого треугольника.

1.184. Окружность с центром на стороне AB равнобедренного треугольника ABC ( AB = BC ) проходит через точку A, пересекает отрезок AC в точке F , касается отрезка BC в точке G и пересекает отрезок AB в точке E, причем GC = BG, F C = a. Найти радиус окружности.

1.185. Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F. Найти отношение AE : EC, если AB = 5, BC = 9. Сравнить площади треугольников ABC и ABF.

1.186. Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка K так, что расстояние он нее до продолжений сторон AC и BC равны 39 и 156 соответственно. Найти расстояние от точки K до прямой AB.

1.187. Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC ( AB = BC ) касается сторон AB и BC. Найти радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 25, а отношение высоты BD к стороне AC равно 3/8.

1.188. Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Доказать, что: а) d2 = R2 2Rr, где d = OI и R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC (формула Эйлера); б) d2 = R2 + 2Rra, где da = OIa и R и ra — радиусы описанной и вневписанной окружностей (последняя — с центром в точке Ia ) треугольника ABC.

1.4. Четырехугольники 1.189. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

1.190. Величина одного из углов параллелограмма равна 60, а меньшая диагональ — 2 31 см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к большей стороне, равна 75/2 см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.

1.191. Точки K, L, M и N лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем AK : KB = 1 : 2, отношение площадей четырехугольников KLM N и ABCD.

1.192. Точки K, L, M и N лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем AK : KB = 3 : 1, отношение площадей четырехугольников KLM N и ABCD.

1.193. В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 см и диагональю, равной 6 см. Найти стороны треугольника, если известно, что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.

1.194. В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 см вписан параллелограмм так, что одна из его сторон длиной 6 см лежит на основании треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника. Найти другую сторону параллелограмма и основание треугольника.

1.195. Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта вершина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние между их основаниями 3 3 см. Вычислить длины диагоналей ромба.

1.196. Точки M, N, P и Q являются серединами сторон AB, BC, CD и DA ромба ABCD. Вычислить площадь фигуры, являющейся пересечением четырехугольников ABCD, AN CQ и BP DM, если площадь ромба равна 100 см2.

1.197. Диагональ BD параллелограмма ABCD равна 2, а угол CAD равен 30. Прямая CD является касательной к окружности, описанной около треугольника ABD. Найти площадь параллелограмма ABCD.

1.198. Доказать, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

1.199. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

1.200. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.

1.201. Найти длины боковой стороны и диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

1.202. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции.

1.203. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см.

Найти площадь трапеции.

1.204. Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 4 см.

1.205. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции.

1.206. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании. Найти все стороны трапеции, если ее высота равна 12 см, а длины биссектрис 15 и 13 см.

1.207. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найти радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.

1.208. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 и 12 см.

1.209. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заГлава 1. Планиметрия ключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны a и b.

1.210. Найти площадь трапеции, если ее диагонали равны 7 и 8 см, а основания — 3 и 6 см.

1.211. Основания трапеции равны a и b. Определить длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

1.212. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной m и n. Определить площадь трапеции.

1.213. Длина основания AD трапеции ABCD равна 5, а длина боковой стороны CD — 3. Известно, что диагональ AC перпендикулярна CD, а диагональ BD делит угол D пополам. Найти площадь трапеции.

1.214. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из боковых сторон и перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны к первой.

1.215. Отрезок AE является биссектрисой угла A трапеции ABCD ( ADBC и точка E лежит на прямой BC ). Окружность, вписанная в треугольник ABE касается сторон AB и BE в точках K и L. Найти величину угла BAD, если KL = 1 а боковая сторона AB равна 2.

1.216. В трапеции P QRN ( P N QR ) проведена высота RH. Известно, что P H = 8, QR = 4, P Q = 28, P N R = 60. На основании P N выбрана точка M так, что отрезок RM делит площадь трапеции пополам. Найти длину отрезка RM.

1.217. В трапеции ABCD даны основания AD = a и BC = b. На продолжении BC выбрана точка M так, что прямая AM отсекает от площади трапеции 1/4 ее часть. Найти длину отрезка CM.

1.218. В трапеции ABCD даны основания AD = 12 и BC = 8. На продолжении BC выбрана точка M так, что прямая AM делит трапецию на две равновеликие фигуры. Найти длину отрезка CM.

1.219. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5 см 2. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

1.220. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

1.221. В выпуклом четырехугольнике диагонали равны 1 и 2, а длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны.

Найти площадь четырехугольника.

1.222. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найти площадь треугольника BCE, если длины оснований трапеции AB = 30, CD = 24, боковой стороны AD = 3, и угол DAB = 60.

1.223. В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность с центром O. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, 1.224. Около четырехугольника ABCD описана окружность, продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке K, BC : AD = 1 : 3, KC = CD. Чему равно отношение AB : CD ?

1.225. В трапеции ABCD основание AB вдвое больше основания CD и вдвое больше стороны AD. Диагональ AC равна p, а сторона BC — q. Найти площадь трапеции.

1.226. Около окружности радиуса R описана трапеция ABCD, длина меньшего основания BC которой равна a. Пусть E — точка касания окружности со стороной AB и длина отрезка BE равна b. Найти площадь трапеции.

1.227. Косинус угла между боковыми сторонами AB и CD трапеции ABCD равен 4/5. В трапецию вписана окружность, причем сторона AB делится точкой касания на отрезки длины 4 и 1, считая от вершины B.

Найти длину стороны CD.

1.228. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, K — точка пересечения диагоналей этого четырехугольника. Известно, что окружность, описанная около треугольника CKD, касается прямых AD и BC.

Найти CD, если AB = a, CK = b.

1.229. Трапеция ABCD прямоугольная, (AD)(BC), (CD) (AD), CAD = 45, AD = 2. Окружность, построенная на стороне AD как на диаметре, пересекает сторону AB в точке L, AL = AB 3/4. Найти: а) площадь трапеции; б) площадь части круга, заключенной внутри трапеции.

1.230. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол ADB в два раза меньше угла ACB, BC = AC = 5, AD = 6. Найти площадь трапеции и длину боковой стороны.

1.231. В равнобедренной трапеции ABCD окружность касается меньшего основания BC, боковых сторон AB и CD и проходит через точку пересечения диагоналей. Найти радиус окружности, если BC : AD = = 4 : 5 и площадь трапеции равна 3.

1.232. В окружность вписан выпуклый 4-х угольник ABCD со сторонами a, b, c и d. а) Доказать, что площадь его равна SABCD = = (p a)(p b)(p c)(p d), где p — полупериметр ABCD. б) Доказать, что если в этот четырехугольник еще можно и вписать окружность, то SABCD = abcd.

1.233. В ромбе ABCD из вершины D опущен перпендикуляр DK на сторону BC. Найти длину стороны ромба, если AC = 2 6 и AK = 14.

1.234. В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность радиуса R, касающаяся основания AD в точке P и пересекающая отрезок BP в точке S такой, что P S = 3BS. Найти углы и площадь трапеции.

1.235. Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD, касается прямой AD и пересекает прямую AB в точках B и E. Найти длину отрезка AE, если AD = 4 и CE = 5.

1.236. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти сторону AB.

1.237. Вершины A и C параллелограмма ABCD лежат на одной окружности, а вершины B и D — на другой, пересекающей первую, причем центры окружностей лежат в плоскости параллелограмма. Расстояние между центрами окружностей равно 10. Диагонали параллелограмма равны 26 и 6 соответственно. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до прямой, содержащей общую хорду окружностей.

1.238. Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD проходит через вершины A, B, C и касается прямой CD в точке C.

Найти площадь трапеции, если BC = 4, CD = 3 13.

1.239. Диагонали BD и AC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O и перпендикулярны друг другу, AO = 2, OC = = 3. Точка K лежит на стороне BC, причем BK : KC = 1 : 2. Треугольник AKD — правильный. Найти его площадь.

1.240.В трапеции ABCD с бльшим основанием BC и площадью, равной 4 3, прямые BC и AD касаются окружности диаметра 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина M N равна 3.

Найти величину угла M DN и длину основания BC.

1.241. Точка E лежит на стороне CD равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC. Известно, что AE = BE = 5 2, AB = 10, DE = DC/3. Найти углы и площадь трапеции.

1.242. Четырехугольник, один из углов которого равен arctg (4/3), вписан в окружность радиуса 6 и описан около окружности радиуса 1.

Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.

1.243. Четырехугольник, один из углов которого равен arcsin (4/5), вписан в окружность радиуса 15 и описан около окружности радиуса 2. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.

1.244. Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD, равно 8.

Найти радиусы этих окружностей.

1.245. Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треугольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья параллельна одной из сторон ромба и равна 5. Найти сторону ромба.

1.246. Вокруг окружности с центром O описана трапеция ABCD, в которой BC — меньшее основание. Продолжения боковых сторон траГлава 1. Планиметрия пеции пересекаются в точке M. Найти радиус окружности, если M B = 1.247. Окружность с центром на диагонали AC параллелограмма ABCD касается прямой AB и проходит через точки и D. Найти стороны параллелограмма, если его площадь равна 2 5 и BAC = = arctg (2/ 5).

1.248. В параллелограмме ABCD прямые l1 и l2 являются биссектрисами углов A и C соответственно, а прямые m1 и m2 — биссектрисами углов B и D соответственно. Расстояние между l1 и l2 в 3 раза больше расстояния между m1 и m2. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AC = 3, BD = 59/3.

1.249. В параллелограмме ABCD прямые l1 и l2 являются биссектрисами углов A и C соответственно, а прямые m1 и m2 — биссектрисами углов B и D соответственно. Расстояние между l1 и l2 в 3 раза меньше расстояния между m1 и m2. Найти угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, если AC = 41/3, BD = 3.

1.250. В выпуклом четырехугольнике P QRS диагонали P R и QS перпендикулярны соответственно сторонам RS и QP, а длина стороны P S равна 4. На стороне P S взята точка K такая, что QKP = SKR.

Известно, что RP S P SQ = 45. Найти длину ломаной QKR и площадь четырехугольника P QRS, если QK : RK = 3 : 3.

Глава Преобразования плоскости 2.1. Осевая симметрия 2.1. Каким движением является композиция двух осевых симметрий с параллельными осями?

2.2. Каким движением является композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями?

2.3. Две окружности с равными радиусами пересекаются в точках A и B. Доказать, что (AB) — ось симметрии фигуры, являющейся объединением данных окружностей.

2.4. На разных сторонах данного острого угла выбраны точки A и B. Построить равнобедренный треугольник ABC так, чтобы все его вершины принадлежали сторонам данного угла.

2.5. Дана прямая a и отрезок AB. Построить равнобедренный треугольник с основанием AB так, чтобы его вершина лежала бы на a.

2.6. Известно, что Sa (A) = A. Как построить точку, симметричную произвольной точке B, с помощью одной линейки?

2.7. С помощью осевой симметрии построить разность сторон AB и BC треугольника ABC.

2.8. С помощью осевой симметрии построить сумму сторон AB и BC треугольника ABC.

2.9. Можно ли с помощью осевой симметрии построить разность двух углов треугольника ABC ?

2.10. Даны прямая l и две точки A, B по одну сторону от нее. Найти на прямой l точку X так, чтобы длина ломаной AXB была минимальна.

2.11. Точки A, B, C принадлежат внутренней области полосы с краями l1 и l2 ( l1 l2 ). Построить замкнутую ломаную AKBCLA наименьшей длины ( K l1, L l2 ).

2.12. Даны точки A и B и окружность с известным центром O и радиусом r. С помощью циркуля найти точки пересечения этой окружности и прямой AB .

2.13. В окружности, центр которой не указан, проведены две параллельные, но не равные хорды. Пользуясь только одной линейкой, разделить эти хорды пополам.

2.14. Даны точки A и B и прямая l, разделяющая их (т.е. точки лежат по разные стороны от этой прямой). Провести прямые a и b так, чтобы угол между ними делился прямой l пополам и A a, B b.

2.15. Внутри угла ABC выбрана некоторая точка X. На лучах [BA) и [BC) найти такие точки M и N, чтобы периметр треугольника XM N был минимальным.

2.16. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и разности боковой стороны и основания.

2.17. Построить треугольник ABC, если даны точки A и B и прямая, на которой лежит биссектриса угла C.

2.18. Даны три прямые l1, l2, l3, пересекающиеся в одной точке, и точка A на прямой l1. Построить треугольник ABC так, чтобы точка A была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых l1, l2, l3.

2.19. Построить треугольник по серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.

2.20. Построить четырехугольник ABCD, у которого диагональ AC является биссектрисой угла A, зная длины его сторон.

2.21. Построить четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D .

2.22. В данный остроугольный треугольник вписать треугольник наименьшего периметра.

2.23. Известно, что ABa. Какими движениями являются T Sa 2.24. Известно, что ABa. Доказать, что T Sa = Sa T.

2.25. Известно, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Доказать, что композиция Sc Sb Sa является осевой симметрией.

2.26. Доказать, что T Sa — скользящая симметрия. Найти ось симметрии и вектор переноса.

2.27. Каким движением является композиция двух скользящих симметрий с перпендикулярными осями?

2.28. Доказать, что движение f — скользящая симметрия тогда и только тогда, когда f имеет единственную неподвижную прямую.

2.29. Доказать, что если плоская фигура имеет ровно две оси симметрии, то эти оси перпендикулярны.

2.30. Доказать, что если многоугольник имеет несколько (больше двух) осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

2.31. Доказать, что если плоский многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

2.2. Центральная симметрия. Поворот 2.32. Движение f имеет единственную неподвижную точку. Доказать, что f — поворот.

2.33. Дан угол с вершиной в точке A и точка M, принадлежащая одной из его сторон. Найти на другой стороне этого угла такую точку P, сто сумма расстояний от точки P до точек M и A равна длине данного отрезка.

2.34. Дана точка O внутри данного угла. На сторонах этого угла найти такие две точки M и N, чтобы O была бы серединой отрезка 2.35. Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения ее с данной прямой и данной окружностью, делился точкой A пополам.

2.36. Пусть A — одна из точек пересечения окружностей 1 и 2.

Найти такие точки X 1 и Y 2, чтобы A была бы серединой отрезка XY.

2.37. Доказать, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда он имеет центр симметрии.

2.38. Даны угол и внутри него точки A и B. Постройте параллелограмм, для которого точки A и B — противоположные вершины, а две другие вершины лежат на сторонах угла.

2.39. Построить треугольник по двум сторонам и медиане к третьей стороне. В каких пределах может изменяться длина медианы, если длины сторон треугольника равны a и b ?

2.40. Каким движением является композиция центральной симметрии и параллельного переноса?

2.41. Построить треугольник, зная середины его сторон.

2.42. Построить пятиугольник, зная середины его сторон.

2.43. Даны m = 2n + 1 точек — середины сторон m -угольника.

Постройте его вершины.

2.44. Постройте треугольник по медианам ma, mb и углу C.

2.45. Каким движением является композиция центральной и осевой симметрий, если центр симметрии лежит на оси симметрии?

2.46. Верно ли, что ZO2 ZO1 ZO = ZO ZO1 ZO2 ?

2.47. Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Доказать, что первый игрок имеет выигрышную стратегию.

2.48. Может ли многоугольник иметь ровно один центр и одну ось симметрии?

2.49. Доказать, что ограниченная фигура не может иметь более одного центра симметрии.

2.50. Доказать, что никакая фигура не может иметь ровно двух центров симметрии.

2.51. Дана точка, лежащая внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника. Сколько существует отрезков с концами на сторонах данного треугольника, делящихся этой точкой пополам?

2.52. Пусть даны точка O, прямая a и угол величины ( O a ).

Найти прямую b, если Sa RO = Sb.

2.53. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.

2.54. Постройте квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.

2.55. Пусть O — центр квадрата ABCD, ab, O a b. Доказать, что точки пересечения прямых a и b со сторонами данного квадрата также являются вершинами некоторого квадрата.

2.56. Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60 и которые не содержат вершин треугольника. Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны между собой.

2.57. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Доказать, что эти отрезки равны.

2.58. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились четыре столба на сторонах квадрата. Восстановить границу участка.

2.59. На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных квадратов, равносторонний.

2.60. Каким движением является композиция двух поворотов?

2.61. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две другие принадлежали сторонам квадрата.

2.62. На сторонах AB и AC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABN M и ACQP. Доказать, что |M C| = |BP | и (M C)(BP ).

2.63. Хорды одной и той же окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Доказать, что они равны.

2.64. Дан равносторонний треугольник ABC и точка M. Доказать, что длина любого из трех отрезков M A, M B и M C не больше суммы длин двух других отрезков. В каком случае длина отрезка равна сумме длин двух других отрезков?

2.65. Дан остроугольный треугольник ABC. Найти такую точку P внутри этого треугольника, что сумма |P A| + |P B| + |P C| минимальна (указать способ построения такой точки).

2.66. Пусть N, M, L и K являются соответственно серединами сторон AB, BC, CD и DA квадрата ABCD. Доказать, что пересечение полос N CLA и BM DK является квадратом.

2.67. На сторонах произвольного треугольника вне его построены равносторонние треугольники. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных треугольников, равносторонний.

2.68. Доказать, что f = ZO тогда и только тогда, когда O — единственная неподвижная точка движения f и f f =.

2.3. Параллельный перенос 2.69. Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем AKB — прямой.

Доказать, что |AB| = 2R.

2.70. Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N.

Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку M N с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой M N. Доказать, что M N 2 + AB 2 = 4R2.

2.71. В каком месте следует построить мост M N, разделяющий деревни A и B, чтобы путь AM N B из A в B был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам.) 2.72. Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с AB и т.д. Доказать, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

2.73. Пусть K, L, M и N соответственно являются серединами сторон AB, BC CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что KM (BC + AD)/2, причем равенство достигается только если (BC)(AD).

2.74. Даны две окружности 1 и 2 и прямая l. Провести прямую l1, параллельную прямой l так, чтобы 1 и 2 высекали на l1 равные хорды.

2.75. Построить четырехугольник ABCD по четырем углам и длинам сторон AB = a и CD = b.

2.76. Построить четырехугольник ABCD по четырем углам и диагоналям.

2.77. Найти геометрическое место точек, что сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

2.78. Дан угол ABC и прямая l. Построить прямую, параллельную прямой l, на которой стороны угла ABC высекают отрезок длины a.

2.79. Даны две окружности 1 и 2 и точка A. Провести через A прямую l так, чтобы 1 и 2 высекали на ней равные хорды.

2.80. Даны две пары параллельных прямых и точка P. Провести через точку P прямую так, чтобы обе пары параллельных прямых отсекали на ней равные отрезки.

2.81. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем BAM = M AK. Доказать, что BM + KD = 2.82. На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем периметр треугольника CM K равен удвоенной стороне квадрата. Найти величину угла M AK.

2.83. Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известно, что KH = a и BD = b. Найти расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.

2.84. На сторонах AB и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты. Доказать, что треугольник, вершинами которого являются центры построенных квадратов и середина отрезка AC, прямоугольный и равнобедренный.

2.85. Доказать, что f = T тогда и только тогда, когда движение f не имеет неподвижных точек, но через каждую точку плоскости проходит неподвижная прямая.

2.4. Гомотетия. Преобразования подобия 2.86. Даны две различные точки A и B. Найти такую точку O, что а) HO (A) = B ; б) HO (A) = B.

2.87. Доказать, что при гомотетии а) прямая отображается в параллельную прямую; б) угол отображается в равный угол.

2.88. Известно, что при гомотетия с центром в данной точке O отображает точку A ( A = O ) в точку A. Построить образ произвольной точки M при этой гомотетии, используя только циркуль и линейку.

2.89. Отрезок A B является образом отрезка AB при некоторой гомотетии, центр которой не задан. Построить образ произвольной точки M при этой гомотетии, используя только циркуль и линейку.

2.90. Точка пересечения прямых a и б “недоступна”. Для произвольной точки M построить прямую, проходящую через M и “недоступную” точку пересечения прямых a и б.

2.91. Известно, что HO (A) = A и HO (B) = B. Построить точку O.

2.92. Даны два параллельных отрезка разной длины. Сколько существует гомотетий, отображающих один из этих отрезков на другой?

2.93. Даны две окружности разного радиуса. Сколько существует гомотетий, отображающих одну из этих окружностей на другую? При каких условиях центры этих гомотетий совпадают?

2.94. Записать координаты образа точки A(a, b) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k.

2.95. a) Записать уравнение прямой, на которую отображается прямая y = 2x + 1 гомотетией с центром в начале координат и k = 3.

b) Записать уравнение окружности, на которую отображается окружность x2 + y 2 = 16x 8y 64 гомотетией с центром в начале координат 2.96. Записать координаты точки пересечения прямой y = 5x + 1, и образа прямой y = x 1 при гомотетии с центром в начале координат и k = 2/3.

2.97. На прямых y = 3x + 2 и y = 2x + 4 найти соответственно точки A и B такие, что HO (A) = B. Решить задачу аналитически.

2.98. Гомотетичны ли параболы y = x2 и y = 8x2 ? Если да, то чему равен коэффициент гомотетии?

2.99. Можно ли гомотетией отобразить график функции y = 4/x на график функции y = 1/x ? Если да, то определить коэффициент гомотетий.

2.100. Вписать в данный треугольник квадрат, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах.

2.101. Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

2.102. Построить треугольник по углу, противолежащей ему стороне и отношению 2 : 3 длин двух других сторон.

2.103. Дан угол ABC и точка P внутри этого угла. Провести через точку P прямую a, для точек M и N пересечения этой прямой со сторонами угла выполняется соотношение M P : P N = 1 : 2.

2.104. Даны две окружности и точка M. Найти на разных окружностях такие точки A и B, что M [AB] и AM : M B = 2 : 3.

2.105. Две окружности с центрами в точках O1 и O2 касаются в точке K. Прямая, проходящая через точку K, пересекает первую и вторую окружности в точках A и B соответственно. Доказать, что прямые O1 A и O2 B параллельны.

2.106. Две окружности касаются в точке K. Прямая, проходящая через точку K, пересекает эти окружности в точках A и B. Доказать, что касательные к окружностям, проведенные через точки A и B, параллельны.

2.107. Две окружности касаются в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B, вторую — в точках C и D. Доказать, что (AB)(CD).

2.108. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD продолжены до пересечения в точке O. Точки E и F — середины оснований трапеции.

Доказать, что точки O, E и F лежат на одной прямой.

2.109. Доказать, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

2.110. На плоскости даны точки A, B и прямая l. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников ABC, если точка C движется по прямой l ?

2.111. Внутри угла выбрана точка M. Построить окружность, проходящую через эту точку и касающуюся сторон данного угла.

2.112. На одной из двух данных параллельных прямых лежит отрезок AB. Пользуясь только линейкой а) разделить AB пополам; б) удвоить отрезок AB.

2.113. Вписать в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.

2.114. Вписать в данный треугольник ABC треугольник A1 B1 C1, стороны которого параллельны сторонам данного треугольника KLM.

2.115. На основаниях BC и AD трапеции ABCD во внешнюю сторону построены квадраты BCM N и ADEF. Доказать, что прямые N E и M F проходят через точку пересечения диагоналей трапеции.

2.116. Около окружности описана трапеция ABCD, меньшее основание BC которой касается ее в точке F. Прямая M F, где M — точка пересечения продолжений боковых сторон данной трапеции, пересекает AD в точке K. Доказать, что K — точка касания отрезка AD и окружности, вписанной в фигуру, являющуюся объединением основания AD и продолжений сторон BA и CD.

2.117. Найти геометрическое место точек (ГМТ), из которых данный отрезок виден под углом. Построить треугольник по медианам ma, mb и углу C.

2.118. Чему равна композиция гомотетии и параллельного переноса?

2.119. В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на которых лежат боковые стороны. Доказать, что трапеция равнобедренная.

2.120. Точки K и L являются серединами диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, O — середина отрезка KL. Доказать, что точка M = HO (A) есть центр масс треугольника BCD.

2.121. На плоскости дана прямая a и две точки A и B, лежащие по одну сторону от этой прямой. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

2.122. Известно, что H — ортоцентр (т.е. точка пересечения высот) остроугольного треугольника ABC, а O — центр его описанной окружности. Пусть A1 — середина стороны BC. Доказать, что |AH| = 2|OA1 |.

2.123. На плоскости дана окружность и пересекающий ее угол ABC. Вписать в данный угол окружность так, чтобы она касалась данной окружности.

2.124. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Доказать, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

2.125. Доказать, что любой выпуклый многоугольник содержит два выпуклых многоугольника 1 и 2, не имеющих общих внутренних точек и подобных данному многоугольнику с коэффициентом 1/2.

2.126. На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найти геометрическое место точек, являющихся точками пересечения медиан треугольников ABC.

2.127. Две окружности касаются в точке P. Через точку P проведены две секущие, пересекающие первую окружность в точках A1 и B1, вторую окружность — в точках A2 и B2. Доказать, что треугольник P A1 B1 подобен треугольнику P A2 B2.

2.128. Внутри окружности S даны две точки A и B. Доказать, что существует окружность, проходящая через точки A и B, целиком лежащая внутри окружности S.

2.129. На отрезке между центрами двух касающихся внешним образом окружностей как на диаметре построена окружность. Доказать, что все три окружности касаются одной прямой.

2.130. Окружность касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Доказать, что середина отрезка P K является центром вписанной окружности треугольника ABC.

2.131. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Доказать, что AK = DC.

2.132. Дан остроугольный треугольник ABC. Построить точки X и Y на сторонах AB и BC так, что а) AX = XY = Y C ; б) BX = XY = YC.

2.133. Построить треугольник ABC по сторонам AB и AC и биссектрисе AD.

2.134. На плоскости даны точки A и E. Построить ромб ABCD с заданной высотой, для которого E — середина стороны BC.

2.135. Даны острый угол AOB и внутри его точка C. Найти на стороне OB точку M, равноудаленную от стороны OA и от точки C.

Глава Сечения многогранников 3.1. Основные способы построения сечений Построить сечение многогранника плоскостью — это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадлежащие граням, — сторонами многоугольника, получающегося в сечении многогранника плоскостью.

Рассмотрим следующие методы построения сечений многогранников.

Метод следов. В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое-нибудь ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно также говорить о следе секущей плоскости на грани и аналогично говорить о следе на ребре.

След секущей плоскости на плоскости нижнего основания условимся ради краткости речи называть просто следом секущей плоскости. С построения именно этого следа чаще всего начинают построение сечения многогранника.

Способы задания сечения весьма разнообразны. Наиболее распростраОсновные способы построения сечений ненным из них является способ задания секущей плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

В тех случаях, когда сечение строится с помощью следа на плоскости нижнего основания, задавая три точки, принадлежащие непосредственно секущей плоскости, следует указать их таким образом, чтобы проекции этих точек на плоскость нижнего основания строились однозначно. Сделать это можно, например, если указать, на каком ребре лежит заданная точка или в какой грани и т.д.

При этом, если многогранником, сечение которого строится, является призма, то проектирование на плоскость нижнего основания выполняется параллельное. Его направление определяется боковым ребром призмы.

Если же многогранником является пирамида, то выполняется центральное проектирование на плоскость основания. Центром проектирования является вершина пирамиды, в которой сходятся все боковые ребра.

Перейдем к рассмотрению примеров.

Пример 1. На ребрах BB1, CC1 и DD1 призмы ABCDA1 B1 C1 D заданы соответственно точки P, Q и R. Построить след секущей плоскости P QR (рис. 1).

Решение. Так как требуется построить след плоскости P QR на плоскость нижнего основания, то спроектируем точки P, Q и R на плоскость нижнего основания. Боковое ребро призмы определяет направление проектирования.

Поскольку точка P задана на ребре BB1, точка P — проекция точки P — совпадает с точкой B. Аналогично точка Q совпадает с точкой C, а точка R — с точкой D. Прямые P P и QQ параллельны, поэтому точки P, Q, P и Q лежат в одной плоскости. Построим точку S1 — точку пересечения прямых P Q и P Q. Точка S1 лежит на прямой P Q и поэтому лежит и в секущей плоскости. Кроме того, точка S1 лежит на прямой P Q, т.е. лежит и в плоскости нижнего основания призмы.

Таким образом, точка S1 лежит на линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания, т.е. точка S1 лежит на следе секущей плоскости P QR.

Аналогично находим точку S2 — точку пересечения прямых P R и P R. Точка S2 также лежит на следе секущей плоскости. Итак, искомым следом секущей плоскости является прямая S1 S2.

Пример 2. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка P, в грани SAB — точка Q, а внутри пирамиды, в плоскости SBD, задана точка R. Построить след секущей плоскости P QR.

Решение. Выполним проектирование точек P, Q и R на плоскость ABC, приняв вершину S за центр проектирования. Получим точку P совпадающую с точкой C, точку Q — на ребре AB и точку R — на диагонали BD.

Так как прямые P P и QQ пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Тогда в одной плоскости лежат также прямые P Q и P Q. Найдем точку S1 — точку пересечения этих прямых. Точка S1 по построению лежит на прямой P Q, т.е. лежит и в секущей плоскости. Вместе с тем точка S1 лежит и на прямой P Q, т.е. лежит и в плоскости основания.

Таким образом, точка S1 лежит на линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания, т.е. на следе секущей плоскости. Аналогично строится точка S2 — точка пересечения прямых P R и P R. Точка S также лежит на следе секущей плоскости. Итак, следом секущей плоскости является прямая S1 S2.

Пример 3. На ребрах AA1, CC1 и EE1 призмы ABCDEA1 B1 C1 D1 E заданы соответственно точки P, Q, и R. Построить сечение призмы плоскостью P QR (рис. 3).

Решение. 1. Находим проекции точек P, Q и R на плоскость нижнего основания в направлении, параллельном боковому ребру призмы.

Получаем соответственно точки P (совпадает с точкой A ), Q (совпадает с точкой C ) и R (совпадает с точкой E ). Затем строим след S1 S секущей плоскости. В точке S1 пересекаются прямые P R и AE, а в точке S2 — прямые QR и QE.

2. Найдем далее точку V — след секущей плоскости на прямой DD1.

Для этого найдем сначала точку S3, в которой прямая DE пересекает след S1 S2, а затем найдем и точку V как точку пересечения прямых S3 R и DD1.

3. Осталось найти след секущей плоскости на прямой BB1. Найдем его так же, как и след V. А именно найдем точку S4, в которой пересекаются прямые BE и S1 S2, а затем искомый на прямой BB1 след — точку T как точку пересечения прямых S4 R и BB1.

4. Убедимся, что построенные точки V и T лежат в плоскости P QR.

Действительно, точка S3 лежит на следе секущей плоскости и поэтому лежит в плоскости P QR, а точка R лежит в плоскости P QR по условию.

Таким образом, и точка V, лежащая на прямой S3 R, лежит в плоскости P QR. Аналогично можно показать, что и точка T лежит в плоскости P QR. Итак, многоугольник P RV QT — искомое сечение.

Пример 4. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка P, а в гранях SAB и SAD заданы соответственно точки R и Q. Построить сечение пирамиды плоскостью P QR (рис.4).

Решение. 1. Построим след секущей плоскости P QR. Для этого спроектируем точки P, Q и R на плоскость ABCD из точки S. Получим точку P (совпадает с точкой C ) и точки Q и R. Затем найдем две точки следа — плоскости P QR, например точку S1 — точку пересечения прямых P Q и CQ и точку S2 — точку пересечения прямых RQ и R Q. Прямая S1 S2 — след секущей плоскости.

2. Построим далее след секущей плоскости на прямой SD. Для этого найдем точку S3, в которой прямая CD пересекает след S1 S2, и проведем прямую S3 P. Точка V, в которой прямая S3 P пересекает прямую SD, и является следом секущей плоскости на прямой SD.

3. Дальнейшие построения можно выполнить уже не пользуясь следом S1 S2. Так как точки V и Q обе лежат и в секущей плоскости, и в плоскости SAD, то прямая V Q является линией пересечения этих плоскостей.

На прямой SA строим теперь точку W, в которой пересекаются прямые 4. Рассуждая аналогично, получаем далее W T — след секущей плоскости на грани SAB и T P — след секущей плоскости на грани SBC.

5. Многоугольник P V W T — искомое сечение (доказательство того, что построенные точки V, W и T лежат в секущей плоскости, вполне понятно).

Метод вспомогательных сечений (метод внутреннего проектирования). Этот метод в достаточной мере является универсальным и имеет определенные преимущества по сравнению с методом следов в тех случаях, когда нужный след секущей плоскости оказывается за пределами чертежа. Вместе с тем построения при использовании этого метода получаются “скученными”, т.к. все они выполняются внутри многогранника (это обстоятельство послужило причиной называть рассматриваемый метод также методом внутреннего проектирования).

Рассмотрим примеры применения этого метода. Вернемся к примеру № 3. Выполним построение методом вспомогательных сечений (рис. 5).

Решение. 1. Построим первое вспомогательное сечение призмы — ее сечение плоскостью, которая проходит через какие-нибудь две из трех заданных прямых P P, QQ и RR, например через прямые P P и QQ.

Этим сечением является четырехугольник AA1 C1 C.

2. Будем искать теперь след секущей плоскости P QR на прямой BB1.

Для этого построим второе вспомогательное сечение призмы плоскостью.

Это сечение проведем через третью заданную прямую RR и боковое ребро BB1, на котором мы хотим найти след плоскости P QR. Этим сечением является фигура BB1 E1 E.

3. Находим прямую OO1, по которой пересекаются плоскости вспомогательных сечений AA1 C1 C и BB1 E1 E, а затем точку O2, в которой пересекаются прямые P Q и OO1.

4. Так как точка O2 лежит на прямой P Q, то она лежит и в плоскости P QR. Тогда и прямая RO2 лежит в плоскости P QR. Это значит, что точка T, в которой пересекаются прямые RQ2 и BB1, также лежит в секущей плоскости. Точка T и является следом плоскости P QR на прямой BB1.

5. Аналогично найдем след плоскости P QR на прямой DD1. Для этого построим прямую F F1, по которой пересекаются плоскости BB1 E1 E и AA1 D1 D, а затем точку F2 — точку пересечения прямых RT и F F1.

Проводя далее прямую P F2, получим на прямой DD1 след V плоскости P QR.

6. Соединяя, наконец, заданные и построенные точки в соответствии с порядком следования ребер призмы, получим многоугольник P RV QT — искомое сечение.

Комбинированный метод. Суть этого метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в сочетании с методом следов, или с методом вспомогательных сечений, или с обоими этими методами. При построении сечения используются следующие теоремы:

1) Если две плоскости параллельны и пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны между собой.

2) Если две пересекающиеся плоскости параллельны одной и той же прямой, то линия их пересечения параллельна этой прямой.

3) Если плоскость и прямая параллельны и через эту прямую проведена некоторая плоскость, пересекающая данную плоскость, то линия пересечения этих двух плоскостей параллельна данной прямой.

Рассмотрим решение вспомогательной задачи.

Пример 5. На ребрах SB и SC пирамиды SABCD заданы соответственно точки K и P. Построить прямую, проходящую через точку K, параллельно прямой AP (рис. 6).

Решение. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и прямую AP, т.е. плоскостью, заданной тремя точками K, A и P. Для этого, как обычно, строим след секущей плоскости. В рассматриваемом примере это прямая S1 A. Строим далее сечение AKP S и в плоскости этого сечения через точку K проводим прямую KF, параллельную прямой AP. Прямая KF - искомая прямая.

Пример 6. На ребрах AB, SC и SA пирамиды SABC заданы соответственно точки P, Q и R. Построить сечения пирамиды следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую P Q параллельОсновные способы построения сечений но прямой CR ; б) плоскостью, проходящей через прямую CR, параллельно прямой P Q (рис. 7).

Решение. а) В плоскости SAC, проходящей через прямую CR и точку Q, проведем прямую QV CR, а затем построим сечение пирамиды плоскостью P QV (следом этой плоскости является прямая S1 P ) Плоскость P QV проходит через прямую P Q и параллельна прямой CR, поэтому многоугольник P V QS2 — искомое сечение.

б) Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую P Q и точку R (прямая S1 P — след этой плоскости, многоугольник RQS2 P — сечение), а затем в плоскости этого сечения через точку R проведем прямую RS3 P Q. Прямыми CR и RS3 определится тогда искомая секущая плоскость. Следом искомой секущей плоскости является прямая S3 C, а треугольник CRS4 — искомое сечение.

Пример 7. На ребрах BB1, CD и CC1 призмы ABCDA1 B1 C1 D1 заданы соответственно точки P, Q и R, а на ребре AA1 — точка K.