«Екатеринбург 2011 УДК 51(075.3) Подготовлено на кафедре математики СУНЦ УрГУ Печатается по решению Ученого Совета СУНЦ УрГУ: протокол №04 от 23.01.2008г Сборник задач по геометрии (издание второе, исправленное). ...»

5.65. Внутри угла даны две точки A и B. Построить окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.

5.66. Даны три точки A, B и C. Построить три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

5.67. а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Провести через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a и b в таких точках A1 и B1, что AA1 = BB1. б) Провести через точку C прямую, равноудаленную от данных точек A и B.

5.68. С помощью циркуля и линейки разделить угол 19 на 19 равных частей.

5.69. Построить прямую, касающуюся двух данных окружностей (разобрать все возможные случаи).

5.70. Построить треугольник, если известны отрезки, на которые высота делит основание, и медиана, проведенная к боковой стороне.

5.71. Построить параллелограмм ABCD по вершине A и серединам сторон BC и CD.

5.72. Построить четырехугольник по двум смежным сторонам, углу между ними, по данной диагонали, выходящей из вершины данного угла и углу между диагоналями.

5.73. Построить четырехугольник, зная три стороны и радиус описанной окружности.

5.74. Построить ромб по данным высоте и диагонали.

5.75. Построить ромб так, чтобы две противоположные его вершины были в двух данных точках, а третья на данной окружности.

5.76. Построить параллелограмм по двум данным сторонам и высоте.

5.77. Найти точку, из которой две данные окружности видны под данными углами.

5.78. Дан четырехугольник ABCD. Вписать в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.

В задачах 5.79–5.84 требуется построить треугольник по указанным в условии элементам.

5.79. ma, mb и mc. 5.80. ma, hb и hc.

5.81. ma, ha и A. 5.82. ha, p и A.

5.85. Построить треугольник ABC, если дана прямая l, на которой лежит сторона AB, и точки A1, B1 — основания высот, опущенных на стороны BC и AC.

5.86. Построить треугольник ABC по основаниям его высот.

5.87. а) Построить треугольник ABC, зная три точки A0, B0, C0, в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные). б) Построить треугольник ABC, зная три точки A0, B0, C0, в которых высоты треугольника пересекают описанную окружность (оба треугольника остроугольные).

5.88. Построить треугольник ABC, зная три точки A0, B0, C0, симметричные центру O описанной окружности этого треугольника относительно сторон BC, CA, AB.

5.89. Построить треугольник ABC, зная три точки A0, B0, C0, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон BC, CA, AB (оба треугольника остроугольные).

5.90. Построить треугольник ABC, зная три точки P, Q, R, в которых высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины C, пересекают описанную окружность.

5.91. Построить треугольник ABC по центру описанной окружности O, точке пересечения медиан M и основанию H высоты CH.

5.92. Построить треугольник ABC по центрам вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей.

5.93. Построить точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника ABC так, что AX = BY и (XY )(AC).

5.94. Вписать в данный треугольник ABC прямоугольник P QRS (вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне AC ) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

5.95. Провести через данную точку M прямую так, чтобы она отсекала от данного угла с вершиной A треугольник ABC данного периметра 5.96. Построить квадрат, три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых.

5.97. Построить ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

5.98. Построить четырехугольник ABCD по четырем сторонам и углу между (AB) и (CD).

5.99. Через вершину A выпуклого четырехугольника ABCD провести прямую, делящую его на две равновеликие части.

5.100. Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Построить этот четырехугольник.

5.101. Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольника. Построить его четвертую вершину.

5.102. Построить выпуклый четырехугольник, если даны длины всех его сторон и одной средней линии.

5.103. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы построенные окружности были взаимно ортогональны.

5.104. а) Даны две точки A, B и прямая l. Построить окружность, проходящую через точки A, B и касающуюся прямой l. б) Даны две точки A и B и окружность S. Построить окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S.

5.105. Построить окружность, равноудаленную от четырех данных точек.

5.106. Доказать, что угол величиной n, где n — целое число, не делящееся на 3, можно разделить на n равных частей с помощью циркуля и линейки.

5.107. Построить трапецию, боковые стороны которой лежат на данных прямых, диагонали пересекаются в данной точке, а одно из оснований имеет данную длину.

5.108. Даны две окружности. Повести прямую так, чтобы она касалась одной окружности, а вторая окружность высекала на ней хорду данной длины.

5.109. Даны две концентрические окружности и еще окружность.

Провести окружность, касательную ко всем трем окружностям.

5.110. Провести через вершину C треугольника ABC прямую l так, чтобы площади треугольников AA1 C и BB1 C, где A1 и B1 — проекции точек A и B на прямую l, были равны.

5.111. Построить треугольник ABC по сторонам AB и AC, зная, что биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке.

5.112. Даны точки A1, B1 и C1, делящие стороны BC, CA и AB треугольника ABC в отношении 1 : 2. Восстановить по ним треугольник ABC.

5.113. В данной окружности провести хорду, которая была бы видна из данных трех точек под равными углами.

5.114. Трапецию разделить на 5 равновеликих частей прямыми, параллельными данной прямой, которая пересекается с основаниями трапеции.

5.4. Алгебраический подход В этом параграфе речь пойдет о том, как алгебраические методы помогают в решении задач на построение и в описании различных ГМТ.

Предварительные алгебраические вычисления. Предположим, что в задаче по числовым значениям a1, a2,..., an (которые обозначают, например, длины отрезков или величины углов) требуют построить некоторую фигуру. Ключевым в этом построении может оказаться неизвестная сторона длины x. Используя известные формулы и геометрические теоремы, зачастую можно найти алгебраическое выражение x через a1, a2,..., an, т.е. x = f (a1, a2,..., an ). Возникает вопрос: какие алгебраические выражения f (a1, a2,..., an ) могут быть построены с помощью циркуля и линейки по известным a1, a2,..., an ? Об этом пойдет речь в следующих задачах (назовем их задачами алгебраического метода — сокращенно ЗАМ).

где m, n N.

Сначала увеличиваем данный отрезок в m раз, а затем делим полученный отрезок на n равных частей (по БЗ4).

ЗАМ2. По данным трем отрезкам, длины которых равны a, b и c, построить отрезок длины ab.c Для построения подойдет произвольный острый угол BAC ненулевой величины (рис. 25). На одной стороне угла от точки A последовательно откладываем отрезки AK и KL длины c и b соответственно, а на другой стороне угла откладываем отрезок AM длины a. Проведем через точку L прямую параллельно (KM ) и в пересечении с лучом [AM ) получим точку N. Отрезок M N имеет искомую длину. Действительно, обозначив его длину через x, по теореме Фалеса имеем x/a = b/c или x = ab.

ЗАМ3. По двум данным отрезкам, длины которых равны a и b, построить отрезок длины ab (среднее геометрическое a и b ).

На произвольной прямой l от произвольной точки H l в разные стороны от H откладываем отрезки HA и HB, длины которых равны a и b соответственно (рис. 26). На отрезке AB как на диаметре строим окружность. Пусть C — одна из точек пересечения этой окружности с перпендикуляром, проведенном из точки H к прямой l. Тогда отрезок CH искомой длины. Действительно, C = 90 и по свойству высоты прямоугольного треугольника CH 2 = ab или CH = ab.

ЗАМ4. По двум данным отрезкам, длины которых равны x и y, построить отрезок длины x2 + y 2.

Достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами длины x и y, тогда гипотенуза будет иметь искомую длину.

ЗАМ5. По отрезку длины a построить отрезок длины a n, где Выбрав в предыдущей задаче x = y = a, получаем отрезок длины a2 + a2 = a 2 Если же x = a и y = a 2, то по ЗАМ4 получаем отрезок длины a 3. В общем случае применение ЗАМ4 к отрезкам x = a и y = a n позволяет получить отрезок длины a n + 1.

ЗАМ6. По отрезку длины a и острому углу построить отрезки Строим прямоугольный треугольник с гипотенузой длины a и острым углом, тогда его катеты имеют длины a sin и a cos. Для нахождения отрезка длины a/ sin надо построить прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим ему углом величины (ГМТ6, БЗ7), тогда его гипотенуза будет иметь искомую длину. Построение отрезка длины a/ cos очевидно.

Теперь рассмотрим несколько более сложных задач.

Пример 1. Построить правильный десятиугольник, зная его сторону.

Решение. Анализ. Предположим, что такой десятиугольник A1... A уже построен и O — центр описанной около него окружности. Тогда величина угла A1 OA2 равна 36. Поэтому задача сводится к построению равнобедренного треугольника с известным основанием A1 A2 и величиной угла при вершине (сам угол пока не дан, нам еще предстоит его построить). Величина угла при основании такого треугольника равна 72 и поэтому биссектриса этого угла делит A1 OA2 на два равнобедренных треугольника. Из свойства биссектрисы делить противоположную сторону пропорционально прилежащим ей сторонам можно найти выражение для длины боковой стороны через a : A1 O = a ·. Построение.

По заданной стороне длины a находим отрезки длины a/2 и a 5/2 (по ЗАМ1 и ЗАМ5). Сумма двух найденных отрезков даст радиус описанной окружности около искомого десятиугольника, что делает дальнейшее построение очевидным. Доказательство. Следует из анализа. Исследование. Задача, очевидно, всегда имеет единственное решение.

Разобранный пример имеет несколько полезных приложений.

Пример 2. Построить правильный пятиугольник, зная его сторону.

Решение. Строим произвольный десятиугольник, затем, соединяя его вершины через одну, получаем правильный пятиугольник, подобный искомому. Зная теперь угол при вершине правильного пятиугольника и его сторону, получаем искомую фигуру.

Пример 3. Построить угол величины 3.

Решение. Напомним, что у нас уже есть угол, величина которого равна 36, а значит и угол величины 18. Проводя биссектрисы в равностороннем треугольнике, можно получить угол величины 15. Разность углов 18 и 15 дает нам угол искомой величины.

Пример 4. Даны прямая a и не пересекающий ее отрезок AB. Построить окружность, касающуюся прямой a и проходящей через точки A и B.

Решение. Анализ. Для решения задачи достаточно найти точку C — точку касания искомой окружности с данной прямой. Рассмотрим два случая: (AB)a и (AB) a =. В случае (AB)a точка C находится без труда — это пересечение серединного перпендикуляра к отрезку AB с прямой a. В случае непараллельности прямых AB и a обозначим через L точку их пересечения (рис. 27). Из теоремы о касательной и секущей получаем LC = LA · LB или LC = LA · LB.

Построение. Если прямые AB и a параллельны, построение очевидно.

Во всех остальных случаях сначала находим точку L — точку пересечения этих прямых. Затем находим отA резок длины LA · LB (по ЗАМ3) и откладываем его от точки L в обе стороны на прямой a. Получившиеся точки касания дают нам две искомых окружности. Доказательство. Остановимся только на случае, когда (AB)a =. Нам необходимо доказать, что точка C будет единственной токой пересечения прямой и построенной окружности. Предположим, что в этом пересечении есть еще одна точка D, отличная от точки C. Тогда LC · LD = LA · LB = LC 2. Откуда LD = LC, что противоречит предположению (так как обе точки — B и C — должны лежать на одном луче с вершиной в точке L ). Исследование. Решение единственно в случае (AB)a. Во всех остальных случаях существует два различных решения.

Пример 5. Построить вписанный четырехугольник, зная все его стоГлава 5. Задачи на построение роны (задача Брахмагупты).

Решение. Анализ. Пусть длины сторон AB, BC, CD, DA искомого четырехугольника соответственно равны a, b, c и d (известные нам числа). Ясно, что для построения достаточно найти хотя бы одну диагональ четырехугольника ABCD. Обозначим через x, y и R соответственно длины диагоналей BD, AC и радиус описанной около ABCD окружности. Из теоремы Птолемея получаем первое соотношение:

Каждая диагональ разбивает четырехугольник на пару треугольников, поэтому, используя известную формулу площади треугольника через радиус описанной окружности и через его стороны, легко можно придти откуда получаем второе соотношение Из (1) и (2) получаем систему из двух уравнений Преобразуем первое из уравнений системы (3) к виду Построение. По известным отрезкам, используя ЗАМ2, последовательно находим отрезки длины k, l, m, p (обозначения см. выше). Затем (по ЗАМ3) находим диагональ длины x. Дальнейшее построение очевидно.

Доказательство. Как это видно из системы (3) условие вписанности четырехугольника однозначно по сторонам позволяет найти длины диагоналей. Это означает, что если вписанный четырехугольник с известными сторонами существует, то он единственен и построенный нами четырехугольник является искомым. Осталось только доказать, что если существует четырехугольник со сторонами a, b, c и d, то обязательно существует и вписанный четырехугольник с такими же длинами сторон. Это следует из простого замечания: при достаточном увеличении диагонали BD сумма A + C будет больше 180, а при достаточном уменьшении диагонали BD сумма A + C будет меньше 180. Поэтому при некотором значении длины диагонали BD эта сумма будет равна 180 (здесь мы используем непрерывность изменения рассматриваемой суммы) и четырехугольник будет вписанным. Исследование. Почти полностью проведено в доказательстве. Остается только отметить, что четырехугольник со сторонами a, b, c и d существует тогда и только тогда, когда его наибольшая сторона меньше суммы остальных сторон (аналог хорошо известного неравенства для треугольника).

Координатный метод. Напомним, в чем суть координатного метода.

На плоскости вводится декартова система координат, при этом каждой точке M ставится в соответствие упорядоченная пара ее координат — (x, y) (точку с ее координатами обычно записывают в виде M (x, y) ). Появляется возможность некоторые фигуры на плоскости описать с помощью алгебраических уравнений. Напомним, что уравнение f (x, y) = называется координатным уравнением фигуры, если координаты точки M удовлетворяют уравнению f (x, y) = 0, или, что то же самое, = {M (x, y) : f (x, y) = 0}. Хорошо известны координатные уравнения прямых и окружностей. Любая прямая на плоскости имеет своим координатным уравнением уравнение вида y = k·x+b, если она не параллельна оси Oy, и x = x0 — в противном случае. Верно и обратное, любое уравнение вида y = k · x + b или x = x0 является координатным уравнением некоторой прямой. Координатным уравнением окружности радиуса r > 0 с центром в точке O1 (x0, y0 ) является уравнение Верно также, что любое такое уравнение задает на плоскости окружность радиуса r > 0 с центром в точке O1 (x0, y0 ).

Рассмотрим несколько задач, в которых поиск ГМТ осуществляется с использованием координатного метода.

Пример 6. На плоскости даны точки A и B ( A = B ). Найти ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна и рана некоторому числу d2 (где d — длина некоторого известного отрезка).

Решение. Введем систему координат так, что точки A и B лежат на оси Ox, и пусть их первые координаты равны соответственно a и b (можно считать, что b > a ). Точка M (x, y) принадлежит искомому ГМТ тогда и только тогда, когда Последнее уравнение задает перпендикулярную к (AB) прямую вида x = x0, причем отрезок длины x0 может быть построен с помощью ЗАМ2.

Пример 7. Даны две непересекающиеся окружности 1 и 2, причем ни одна из них не расположена внутри другой. Найти ГМТ M, отрезки касательных из которых к окружностям 1 и 2 равны между собой (радикальная ось двух окружностей).

Решение. Выберем систему координат так, что ось Ox проходит через центры данных окружностей и начало координат совпадает с центром одной из них. Пусть, например, 1 = (O, r), 2 = (O1, R), O1 (x1, 0) и x1 > 0. Рассмотрим произвольную точку M (x, y). Квадрат касательной из точки M к первой окружности равен M O2 r2 = x2 + y 2 r2. Квадрат касательной из точки M ко второй окружности равен M O1 R2 = = (x x1 )2 + y 2 R2. Таким образом, точка M (x, y) принадлежит искомому ГМТ тогда и только тогда, когда Последнее уравнение задает перпендикулярную к (OO1 ) прямую вида x = x0, причем причем отрезок длины x0 может быть построен с помощью ЗАМ2 (заметьте, что из условий задачи следует, что x0 > 0 ).

Добавим радикальную ось двух окружностей к шести основным ГМТ (ГМТ1–ГМТ6), рассмотренных во втором параграфе.

ГМТ7. Пусть даны две непересекающиеся окружности 1 и 2, причем ни одна из них не расположена внутри другой. Тогда ГМТ M, отрезки касательных из которых к окружностям 1 и 2 равны между собой, является прямой, перпендикулярной линии центров данных окружностей.

Замечание. Предыдущую задачу можно сформулировать для любых двух произвольно расположенных, но неконцентрических (т.е. центры которых не совпадают) окружностей 1 и 2. Прямая, уравнение которой было выведено в предыдущем примере, называется радикальной осью этих окружностей. Если обозначить через [AB] максимальный по длине отрезок, по которому окружности 1 и 2 пересекают их радикальную ось, то рассуждения предыдущего примера дают нам, что ГМТ M, отрезки касательных из которых к окружностям 1 и 2 равны между собой является радикальная ось, из которой выброшен отрезок AB (точки искомого ГМТ должны быть расположены вне окружностей 1 и 2, этим и объясняется исключение отрезка AB ).

Пример 8. На плоскости выбраны точки A и B ( A = B ) и задано число k > 0 ( k = 1 ). Найти ГМТ M, для которых AM : M B = k (окружность Аполлония1 ).

Решение. Введем систему координат так, что B = O, A Ox, причем A(a, 0) и a > 0. Точка M (x, y) принадлежит искомому ГМТ тогда и только тогда, когда Аполлоний(2-я половина 3 в.– 1-я половина 2 в. до н.э.). Родился в Перге (Малая Азия). Главный его труд “Конические сечения” сохранился не полностью (первые четыре книги) в оригинале, частично (три последующие книги) в арабском переводе, восьмая книга утеряна. Исследуя свойства конических сечений, их диаметров, фокусов, нормалей и касательных, пользовался проективногеометрическими методами.

Последнее) уравнение задает на плоскости окружность с центром в точке ГМТ8. Пусть на плоскости выбраны точки A и B ( A = B ) и задано число k > 0 ( k = 1 ). Тогда ГМТ M, для которых AM : M B = k является окружностью, центр которой лежит на прямой (AB).

5.115. По отрезку длины a и острому углу построить отрезки длины a tg, a ctg.

В задачах 5.116–5.146 по известным отрезкам длины a, b, c и d и натуральным числам m и n построить отрезок длины (или угол величины) x (все разности в этих задачах считать положительными).

5.140. Построить корни уравнения x2 ± ax + b2 = 0, полагая a b.

5.141. Построить корни уравнения x2 ± ax b2 = 0.

5.142. Построить корни уравнения x4 4c2 x2 c4 = 0.

5.143. Построить корни уравнения x4 2adx2 + 2a2 d2 = 0.

5.144. Построить угол величины x, если a sin2 x + 2a sin x b = 0.

5.145. Построить угол величины x, если b cos2 x 2a cos x + b = 0.

5.146. Построить угол величины x, если a tg2 x 2b tg x + a = 0.

5.147. Вписать в данную окружность треугольник, зная середины дуг, стягиваемых сторонами.

5.148. Провести окружность через две точки A и B так, чтобы касательная к ней из точки C равнялась данной длине a.

5.149. На горизонтальном отрезке AB вправо от точки B найти точку M, для которой выполнено равенство BM 2 = AM · AB.

5.150. Разделить пополам периметр и площадь данного треугольника ABC отрезком XY, лежащим внутри угла B.

5.151. Построить три отрезка или три угла, зная их сумму s и разности a и b между большим и каждым из двух меньших.

5.152. Построить два отрезка, зная их произведение k 2 и отношение 2 : 3.

5.153. Построить прямоугольный треугольник по данной сумме (или разности) его катетов s и высоте h, опущенной из прямого угла.

5.154. Данный отрезок разделить на две части так, чтобы одна из них была средней пропорциональной между другой частью и другим данным отрезком.

5.155. Через вершину A данного квадрата ABCD провести прямую так, чтобы ее отрезок между CD и продолжением BC был данной длины.

5.156. Через точки A и B провести окружность, отсекающую от данной прямой хорду данной длины.

5.157. В данную окружность вписать многоугольник, зная середины дуг, стягивающих его стороны.

5.158. На диаметре AB данной окружности выбрана точка C. Параллельно (AB) провести хорду XY так, чтобы XCY был прямым.

5.159. В данную окружность вписать равнобедренный треугольник, зная медиану, выходящую из конца основания.

5.160. Начертить r, зная S и 2p.

5.161. Начертить R, зная ha и bc.

В задачах 5.162–5.165 требуется построить треугольник, зная:

5.162. R, ha и b + c.

5.164. R, ha и b : c. 5.165. b, hb, если известно, что a = ha.

5.166. Построить радикальную ось к двум окружностям, центры которых находятся в точках с координатами (0, 0) и (5, 5), а радиусы соответственно равны 1 и 2.

5.167. На данной окружности найти точку, касательные из которой к двум другим окружностям равны между собой.

5.168. Через точку A провести окружность, делящую две данные окружности пополам.

5.169. Через точку A провести окружность, пересекающую две данные окружности под прямыми углами.

5.170. Провести окружность, пересекающую три данные окружности под прямыми углами.

5.171. Провести окружность, делящую пополам три данные окружности.

5.172. Провести прямую, делящую пополам касательную к данным окружностям, не проводя самой касательной.

5.173. Описать окружность, встречающую две данные окружности под прямыми углами так, чтобы касательная к ней из данной точки имела данную длину.

5.174. Через данную точку M радиусом R провести окружность, пересекающую данную окружность по хорде данной длины.

5.175. Данным радиусом провести окружность, касающуюся одной данной окружности и делящую пополам другую данную окружность.

5.176. В данной окружности провести хорду данной длины так, чтобы отношение расстояний от ее концов до данной точки A было данное.

5.177. Даны две концентрические окружности. Через данную точку провести окружность, встречающую данные окружности по хордам данной величины.

5.178. На координатной плоскости даны точки A(0, 0) и B(0, 3). Построить ГМТ X, для которых XA : XB = 2.

5.179. Построить треугольник ABC по сторонам a, b и биссектрисе 5.180. На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Провести через точку P прямую (отличную от AB ), пересекающую лучи CA и CB в таких точках M и N, что AM = BN.

5.181. Известны отрезки длины a, m, n и k. Построить корни системы уравнений: x2 + y 2 = k 2 и (x a) : y = m : n.

5.182. Построить отрезок, длина которого равна расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, зная R и r.

5.183. На бильярде, имеющем форму круга, лежит шар в точке A.

Требуется ударить его так, чтобы он прошел через прежнее свое место, отразившись от стенок два, три, четыре... раза.

5.184. Из точке A провести к данной окружности секущую так, чтобы она разделилась окружностью на части, разность которых равна данному отрезку.

5.185. В данную окружность вписать пять равных квадратов; у первого центр общий с окружностью, а две вершины каждого из остальных квадратов лежат на окружности и две совпадают с вершинами первого квадрата.

5.186. В данный равнобедренный треугольник ABC вписать треугольник DEF так, чтобы (DE)(AC) и площадь DEF составила пятую часть площади ABC.

5.187. Внутри треугольника ABC дана точка M. Провести через нее прямую, которая делит площадь данного треугольника пополам.

5.188. Через данную точку P провести окружность, касательную к сторонам данного угла.

5.189. Из высот данного равностороннего треугольника ABC составлен A1 B1 C1, из высот которого составлен A2 B2 C2 и т.д. до бесконечности. Начертить равносторонний треугольник, равновеликий сумме всех полученных треугольников, считая в том числе ABC.

5.190. Даны две внешне касающиеся окружности и касательная к ним окружность, так что все три центра лежат на одной прямой. Провести окружность, касательную ко всем трем окружностям (ее центр должен быть вне линии центров данных окружностей).

5.191. Построить треугольник, зная a, ma и b ± c.

5.192. Построить окружность, касательные к которой, проведенные из трех данных точек A, B и C, имели бы длины a, b и c соответственно.

5.193. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данной прямой и данной окружности.

5.194. Даны три луча с общим началом и точка M. Провести через M прямую, пересекающую лучи в точках A, B и C так, что AM = BC.

5.195. Построить треугольник по a, ha и b/c.

5.196. Построить треугольник ABC, если известны длина биссектрисы CD и длины отрезков AD и BD, на которые она делит сторону 5.197. На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Построить точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под равными углами.

5.198. На плоскости даны два отрезка AB и A0 B0. Построить точку O так, чтобы треугольники AOB и A0 OB. были подобны (одинаковые буквы обозначают соответственные вершины подобных треугольников).

5.199. Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Провести через них две равные хорды с общим концом.

5.200. Прямая CB касается данной окружности в точке B ; на этой прямой найти точку, соединив которую с концом A диаметра AB, получим секущую, внешний отрезок которой равен данной длине.

5.201. В данный сектор вписать прямоугольник данной площади.

5.202. В данный сектор вписать прямоугольник, имеющий данную диагональ.

5.5. Построения одной линейкой Этот параграф посвящен построениям одной линейкой. Без дополнительно нарисованных линий на плоскости (например, двух параллельных прямых) одной линейкой мало что можно сделать. Например, с помощью только одной линейки без дополнительных линий нельзя даже разделить пополам произвольный отрезок. Но, зато, если на плоскости нарисована хотя бы одна окружность и отмечен ее центр, все дальнейшие построения можно выполнять только с помощью одной линейки. В 1833 году швейцарский математик Якоб Штейнер доказал следующую теорему: любая задача на построение, которая может быть решена циркулем и линейкой, может быть решена только одной линейкой, если в плоскости чертежа задана хотя бы одна окружность и отмечен ее центр (при этом задача на построение какой-либо окружности считается решенной, если найден ее центр и отрезок, длина которого равна радиусу искомой окружности). Чуть раньше, эту же теорему совершенно другими методами удалось доказать французским математиком Жаном Понселе.

Здесь мы разберем несколько задач геометрии линейки (эту часть геометрии принято называть геометрией Понселе-Штейнера).

Пример 1. На плоскости задана окружность и отмечен ее центр. Только с помощью одной линейки построить прямоугольник.

Решение. Через точку O — центр данной окружности достаточно провести два различных диаметра. Концы этих диаметров будут вершинами прямоугольника, поскольку каждый из углов этого вписанного четырехугольника опирается на диаметр.

Пример 2. Дана пара различных параллельных прямых и на одной из них лежит отрезок. Разделить данный отрезок пополам, используя одну линейку.

Решение. Пусть ab и [AB] a (рис. 28). Выберем произвольно D b и на продолжении прямой AD за точку D отметим точку M. В пересечении прямых b и BM получим точку C, а в пересечении прямых AC и BD — точку O. Точки пересечения прямой OM с прямыми a и b обозначим через K и L соответственно. Четырехугольник ABCD является трапецией, отсюда точки K и L — середины ее оснований.

Пример 3. Дана пара различных параллельных прямых и на одной из них лежит отрезок. Увеличить данный отрезок в два раза, используя одну линейку.

Решение. Используем обозначения предыдущей задачи и рис. 29. Последовательно найдем точки P и N, где {P } = (BL) (AM ) и {N } = = (P C) a. Снова применяя основное свойство трапеции (прямая, проходящая через середины оснований трапеции проходит также и через точку пересечения ее диагоналей, и через точку пересечения продолжений ее боковых сторон), но уже к трапеции ADCN, получаем, что B — середина отрезка AN. Отсюда отрезок AN — искомый.

Пример 4. На плоскости задана окружность и отмечен ее центр. Только с помощью одной линейки вписать в эту окружность квадрат.

Решение. Пусть ABCD — вписанный в данную окружность прямоугольник (он построен в первом примере). Его противоположные стороны параллельны, поэтому, используя пример 2, мы можем найти точки K, L, M и N, которые являются соответственно серединами его сторон AB, BC, CD и DA. Прямые KM и LN содержат перпендикулярные диаметры данной окружности, поэтому высекают на ней четыре точки, являющиеся вершинами квадрата.

Пример 5. Дана прямая a и два равных отрезка AB и BN, лежащих на этой прямой. Через произвольную точку D провести прямую, параллельную прямой a.

Решение. Фактически, эта задача является обратной к задаче из примера 2. Сначала на продолжении прямой AD за точку D произвольно выберем точку M (рис. 30). Пусть O — точка пересечения прямых M B и DN, а C — точка пересечения прямых AO и M N. Докажем, что прямая b = (DC) является искомой. Пусть это не так, тогда рассмотрим прямую b1, которая проходит через D, параллельна прямой a и не совпадает с b. Точку пересечения прямых b1 и M N обозначим через C1.

Тогда AN C1 D — трапеция, причем точка O, одновременно лежащая на прямых DN и M B должна быть точкой пересечения диагоналей этой трапеции. Таким образом, C1 (AO), откуда C = C1 и b1 = b. Это противоречит предположению b1 = b. Параллельность прямых b и a доказана.

Пример 6. На плоскости задана окружность и отмечен ее центр. Только с помощью линейки через данную точку H провести прямую, параллельную данной прямой a.

Решение. Используя примеры 1 и 2 в данную окружность можно вписать прямоугольник ABCD и найти середины его сторон. Прямая a не может быть параллельна каждой стороне этого прямоугольника.

Пусть, например прямые AB и a не параллельны. Обозначим через K и M середины отрезков AB и CD. Тогда тройка параллельных прямых — (AD), (KM ) и (BC) — высечет согласно теореме Фалеса на прямой a два равных отрезка. Затем, используя результат предыдущей задачи, через любую точку плоскости, в том числе и через H, можно провести прямую, параллельную данной прямой a (используя при этом только линейку).

Пример 7. На плоскости задана окружность и отмечен ее центр. Только с помощью линейки через данную точку H провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.

Решение. Можно считать, что на плоскости, кроме данных прямой и точки нарисован квадрат ABCD (см. пример 4), его центр — точка O, а также прямая b (см. пример 5), которая проходит через точку O и параллельна прямой a (рис. 31). Пусть K — точка пересечения прямой b со стороной CD, прямая KL параллельна диагонали BD (см. пример 5), причем L [BC]. И, наконец, проводя через L прямую параллельно (AB), получаем на стороне AD точку M. Докажем, что (OM ) b. Из равенств DM = CL = CK следует равенство треугольников ODM и OCK (две пары соответственно равных сторон и равенство углов между ними). Из равенства этих треугольников и условия (OC) (OD) следует, что (OM ) b. Теперь остается через точку H провести прямую, параллельную прямой OM (см. пример 5).

5.203. Даны две параллельные прямые и на одной из них — отрезок AB. а) Увеличить отрезок AB в три раза используя только линейку.

б) Уменьшить отрезок AB в три раза используя только линейку.

5.204. В треугольнике проведена средняя линия. Найти середину основания этого треугольника, пользуясь только односторонней линейкой.

5.205. На плоскости нарисована окружность и в ней проведен диаметр AB. Для любой точки C, не лежащей на прямой AB, только с помощью линейки провести перпендикуляр из точки C к прямой AB.

5.206. К двум пересекающимся окружностям проведена общая касательная. Разделить ее пополам с помощью одной линейки.

5.207. Дан параллелограмм ABCD через его центр провести прямую, параллельную одной из его сторон.

В задачах 5.208–5.215 требуется выполнить построения с помощью линейки с двумя параллельными краями (т.е. с помощью двусторонней линейки).

5.208. а) Построить биссектрису данного угла AOB. б) Дан острый угол AOB. Построить угол BOC, биссектрисой которого является луч 5.209. Восстановить перпендикуляр к данной прямой l в данной точке 5.210. а) Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой. б) Построить середину данного отрезка.

5.211. Даны угол AOB, прямая l и точка P на ней. Провести через точку P прямые, образующие с прямой l угол, равный углу AOB.

5.212. Даны отрезок AB, непараллельная ему прямая l и точка M на ней. Построить точки пересечения прямой l с окружностью радиуса AB с центром M.

5.213. Даны прямая l и отрезок OA, параллельный l. Построить точки пересечения прямой l с окружностью радиуса OA с центром O.

5.214. На данной прямой DE от данной точки D отложить отрезок, равный данному отрезку AB.

5.215. Даны отрезки O1 A1 и O2 A2. Построить радикальную ось окружностей радиуса O1 A1 и O2 A2 с центрами O1 и O2 соответственно.

5.216. Дан параллелограмм ABCD. Через данную точку P провести прямую, параллельную данной прямой l.

5.217. При помощи одной линейки заданный отрезок разделить на три равные части, если указана середина отрезка.

5.218. На плоскости изображены две пересекающиеся окружности.

При помощи одной линейки построить центр каждой из них.

В задачах 5.219–5.222 предполагается, что на плоскости дана какаянибудь окружность и отмечен ее центр O.

5.219. От данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку.

5.220. Построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных отрезков.

5.221. Построить точки пересечения данной прямой l с окружностью, центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного отрезка.

5.222. Построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.

5.223. Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки построить шестую точку этой окружности.

5.6. Построения одним циркулем. Инверсия Теория построения одним циркулем получила свою известность благодаря книге “Геометрия циркуля” (1797 г.) Лоренцо Маскерони2. Значительно позже в одном из букинистических магазинов была обнаружена книга датского математика Георга Мора “Датский Евклид”, датированная 1672 годом! Обе книги содержат следующий основной результат геометрии циркуля.

Теорема Мора-Маскерони. Все построения, выполненные с помощью циркуля и линейки, могут быть проделаны только с помощью циркуля (при этом мы считаем прямую построенной, если найдены хотя бы две точки этой прямой).

Для доказательства этой теоремы достаточно научиться находить только с помощью циркуля пересечения двух прямых, прямой и окружности.

Решения этих задач мы приведем чуть позже, а сначала исследуем еще один вид преобразований плоскости.

В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать преобразование плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio — обращение). Под инверсией плоскости относительно окружности (O, R) с центром в точке O и радиусом R Л. Маскерони(1750-1800), итальянский инженер, изучал математику самостоятельно. Работы относятся к теории геометрических построений, теории многоугольников, интегральному исчислению.

Результаты его геометрических исследований доложил в 1797 году на заседании Национального института Наполеон Бонапарт.

понимают такое преобразование множества \{O}, при котором каждой точке A \{O} ставится в соответствие такая точка A, что A лежит на луче [OA) и OA · OA = R2 (далее будем использовать обозначение invO (A) = A ). Заметим сразу, что инверсия не определена в точке O, но иногда бывает полезно добавить к плоскости одну бесконечно удаленную точку, т.е. рассмотреть множество {} и при этом считать, что invO (O) = и invO () = O.

На рис. 32 указан способ построения обB раза точки A при инверсии относительно ли точка A расположена внутри окружноOA сти) проводят перпендикуляр (AB) к прямой OA ( B (AB) ) и из точки B w проводят касательную к окружности. Из подобия треугольников OAB и OBA полу- Рис. чаем отношение OA : OB = OB : OA или OA · OA = OB 2 = R2. Следовательно invO (A) = A. Если же точка A расположена вне окружности, то сначала из точки A проводят касательную к окружности, затем из точки касания опускают перпендикуляр на прямую OA и получают точку A.

На рис. 33 построение образа выполнено только с помощью циркуля (в предположении, что OA > R/2 ). Для этого достаточно провести окружность (A, OA) и для двух точек пересечения (O, R)(A, OA) построить равные окружности (B, R) и (C, R). Вторая точка пересечения (B, R) (C, R), отличная от точки O, является искомой. Для доказательства используем подобие равнобедренных треугольников OBA и OBA. Сначала получаем OA : OB = OB : OA, а затем, необходимое OA·OA = OB 2 = R2. Если же OA R/2, то сначала увеличивают отрезок OA в n раз до отрезка OB (удвоение отрезка показано на рис. 34 — последовательно откладывают радиус OA на окружности (A, OA) и используют свойство правильного вписанного шестиугольника), после этого находят B = invO (B) и снова увеличивают (а не уменьшают!) отрезок OB в n раз до отрезка OC. Можно доказать, что C = invO (A).

Из многочисленных свойств инверсии рассмотрим лишь следующие.

Пусть A = invO (A) и B = invO (B).

Утверждение требует проверки только когда лучи [OA) и [OB) совпадают. В этом случае OA = OB и поэтому OA = OB. Приходим к неравенству A = B.

II. Все точки окружности (O, R) при инверсии invO остаются неподвижными. Внутренние точки круга с границей (O, R) переходят во внешние, а внешние — во внутренние.

Первая часть утверждения очевидна, а вторая следует из замечания:

если OA < R, то OA = R2 /OA > R.

III. Если A = invO (A), то A = invO (A ). Для произвольных фигур и из условия = invO () также следует = invO ( ).

IV. Треугольники AOB и A OB подобны, причем OBA = OA B.

Достаточно заметить, что эти треугольники имеют общий угол, а из равенства OA · OA = R2 = OB · OB следует равенство отношений OA : OB = OB : OA. Обратите внимание, что в отличие от подобия, пропорциональность связывает стороны OA и OB, OB и OA, а не OA и OA, OB и OB. Из подобия получаем OBA = OA B.

V. A B = · R2. Действительно, по свойству IV имеем VI. Прямая a, проходящая через центр инверсии, отображается в себя. Если же O a и A — основание перпендикуляра из точки O на прямую a (рис. 35), то образом прямой a будет окружность 1, построенная на отрезке OA как на диаметре ( A = invO (A) ).

Для доказательства этого свойства рассмотрим произвольную точку B w прямой a. По свойству IV имеем такого неожиданного действия инверw сии на произвольную прямую пройРис. дет, если принять в расчет бесконечно удаленную точку. Каждая прямая проходит через. Поэтому переход точки в точку O заставляет концы прямой сжиматься к точке O.

Следующее свойство позволяет определить центр окружности, которая является образом прямой из свойства VI.

VII. Пусть 1 = invO (a). Обозначим через O1 = Sa (O), где Sa — осевая симметрия с осью a (рис. 35). Тогда центром окружности 1 явR ляется точка O1 = invO (O1 ).

Сохраняя принятые в предыдущем свойстве обозначения, имеем OO1 = = 2OA. Подставляя это в равенство OA·OA = R2 = OO1 ·OO1 получаем OO1 = OA /2. Поэтому точка O1 является серединой отрезка OA.

VIII. Окружность 1 (O1, r), проходящая через центр инверсии, отображается на некоторую прямую a. Более того, если A — конец диаметра, проходящего через O и O1 ( A = O ), то прямая a проходит через точку A = invO (A) и перпендикулярна прямой OO1.

Справедливость этого свойства сразу следует из свойств III и VI.

IX. Окружность 1 (O1, r1 ), не проходящая через центр инверсии, отобR ражается при invO на некоторую окружность 2 (O2, r2 ). Точнее, если точки A и B являются концами диаметра, лежащего на прямой OO (рис. 36), то отрезок A B является диаметром окружности 2 ( A = = invO (A), B = invO (B) ).

Для доказательства рассмотрим произвольную точку C окружности 1 и покажем, что C = invO (C) 2. Из свойства IV имеем равенства OCA = OA C и OCB = OB C. Поэтому Следовательно C 2.

Переходит ли центр O1 в центр окружности 2, точку O2 ? ОказыCC вается, никогда не переходит (убедитесь в этом с помощью прямых O вычислений, т.е. докажите, что точR серединой [A B ] ). Этот “недостаРис. ток” инверсии с лихвой компенсируется замечательным ее свойством сохранять величину угла. Напомним, что угол между пересекающимися окружностями по определению равен углу между касательными к этим окружностям в точке их пересечения. Аналогично определяется и угол между пересекающимися прямой и окружностью. Рассмотрим частный случай: для двух касающихся окружностей 1 и 2 определим величину угла между invO (1 ) и invO (2 ). Вид образов invO (1 ) и invO (2 ) во многом зависит от положения точки O относительно окружностей 1 и 2. Так, если O 1 2, то из свойств I и IX получаем, что invO (1 ) и invO (2 ) являются касающимися окружностями. Если же O лежит только на одной из окружностей, например на 1, то из свойств I, VIII и IX получим касающиеся прямую invO (1 ) и окружность invO (2 ). И, наконец, если O совпадает с точкой касания окружностей, то invO (1 ) и invO (2 ) являются параллельными прямыми (величина угла между параллельными прямыми по определению равна нулю). Итак, в каждом из случаев, величина угла между invO (1 ) и invO (2 ) равна нулю. Аналогично можно установить, что если прямые a и b параллельны, то велиR R чина угла между invO (a) и invO (b) также равна нулю.

X. Инверсия сохраняет величину угла между прямыми, пересекающимися окружностями, пересекающимися прямой и окружностью.

Докажем сначала, что для любых прямых угол ab совпадает с углом между invO (a) и invO (b). Утверждение очевидно, если прямые проходят через точку O. Пусть теперь O a и O b (рис. 37). Обозначим через 1 окружность, в которую переходит прямая b, и через b1 — касательную к 1 в точке O. Так прямые b и b1 перпендикулярны одному и тому же диаметру, то они параллельны. Поэтому угол между a и 1, равный по определению углу между a и b1, совпадает с углом ab. Рассуждения аналогичны и в случае, когда O a b (надо рассмотреть касательные к окружностям invO (a) и invO (b) в точке O ).

то доказательство остальных двух утверждений легко сводятся к случаю сохранения угла между прямыми.

в решении которых разрешается поль- Рис. зоваться только циркулем.

Пример 1. Разделить с помощью циркуля данный отрезок AB на n равных частей ( n N ).

Решение. Чтобы разделить отрезок AB на n равных частей, сначала увеличим его в n раз, т.е. на луче [AB) найдем точку C, что AC = n · AB. А затем построим точку C — образ точки C при инверсии относительно окружности (A, AB). Из соотношения AC · AC = AB получаем AC = AB/n. Все указанные построения можно выполнить только с помощью циркуля (для этого даже не нужна прямая AB ).

Пример 2. Только с помощью циркуля найти центр данной окружности.

Решение. Выберем произвольную точку O окружности 1 (X, r), центр X которой нам нужно определить (рис. 38). Из точки O проведем произвольную окружность (O, R) так, чтобы она пересекала исходную окружность 1. Обозначим точки пересечения 1 через A и B. Куда перейдет прямая AB при инверсии invO ? Конечно же в 1, поскольку точки A и B остаются неподвижными (свойства II и VI). По свойству VII центр invO ((AB)) (т.е. центр 1 ) является образом точки S(AB) (O) при invO. Из этих рассуждений следует цепочка необходимых построений.

Сначала находим точку O1 = S(AB) (O), симметричную O относительно прямой AB. А затем строим образ точки O1 при invO, он и будет искомым центром. Все указанные построения выполняются только с помощью циркуля.

Пример 3. Даны точки A, B, C, D и окружность. Только с помощью циркуля найти пересечение прямых AB и CD, а также точки пересечения прямой AB с окружностью.

Решение. Опишем поиск пересечения двух прямых только с помощью циркуля. Пусть даны точки A, B, C и D (рис. 39). Выберем точку O так, чтобы она не лежала на прямых a = (AB) и b = (CD) (для этого достаточно провести две окружности, описанные около треугольников ABC и BCD и выбрать точку их пересечения, отличную от точки C ; если же эти две окружности совпадают, т.е. ABCD — вписанный четырехугольник, выбираем на этой окружности любую точку, отличную от A, B, C и D ). При инверсии invO прямые a и b должны перейти в окружности invO (a) и invO (b), а их точка пересечения отобразится в точку пересечеR R ния окружностей invO (a) и invO (b), отличную от точки O (свойства VI и I). Теперь необходимые построения становятся очевидными: с помощью свойства VII строим окружности invO (a) и invO (b), находим точку пересечения этих окружностей — точку X, и снова действуем инверсией уже на точку X. Точка Y = invO (X) является искомой. Пересечение прямой и окружности находится похожим образом.

Теперь терема Мора-Маскерони следует из решения задач предыдущих трех примеров. Поскольку уже доказано, что добавление линейки к циркулю не приводит к появлению новых возможностей при решении задач на построение, можно снять ограничения на набор инструментов для построения. Будем считать, что у нас есть циркуль и линейка, и сосредоточим внимание только на том, как предварительное использование инверсии существенно помогает в решении нескольких классических задач.

Пример 4. Построить окружность, которая проходит через две данные точки A и B и касается данной окружности 1.

Решение. Чтобы построить окружность 2, проходящую через точки A и B и касающуюся данной окружности 1, рассмотрим инверсию с центром в точке O = A относительно окружности произвольного раR диуса R. Образом 2 при инверсии invO должна быть некоторая прямая a, проходящая через точку B = invO (B) и касающаяся окружноR сти invO (1 ) (свойства VIII и IX). Напомним, что касательные из произвольной точки X к произвольной окружности (Y, r) провести довольно легко: для этого достаточно построить вспомогательную окружность на диаметре [XY ] и соединить X с точками пересечения. Теперь выполняем необходимые построения в следующем порядке: находим B = invO (B) и invO (1 ), через точку B проводим касательные a и b к окружности invO (1 ), строим образы invO (a) и invO (b) при инверсии invO. В зависимости от расположения точки B относительно окружноR сти invO (1 ) может быть два, одно и ни одного решения (например, когда B находится внутри invO (1 ) ).

Пример 5. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей.

Решение. Для решения этой задачи достаточно уметь проводить общую касательную к двум произвольным окружностям (X, r) и (Y, R). Будем a внешняя касательная b к окружностям и будет параллельна прямой a и находится от нее на расстоянии r. Для проведения внутренней касательной вместо 1 (Y, R r) надо рассмотреть окружность 2 (Y, R + r). В общем случае возможно до четырех решений. Теперь вернемся к исходной задаче. Пусть даны точка A и две окружности 1 и 2. Искомая окружность, проходящая через A и касающаяся 1 и 2, при инверсии с центром O = A должна перейR ти в некоторую прямую a, которая касается окружностей invO (1 ) и invO (2 ) (свойства VIII и IX). Таким образом, приходим к следующему порядку построений: находим invO (1 ) и invO (2 ), проводим общие касаR тельные ( a, b, c, d ) и строим образы этих касательных при invO. В общем случае получится до четырех искомых окружностей, однако в одном случае решений будет бесконечно много (представьте, что произойдет после инверсии с окружностями 1 и 2, если они касаются в точке A ).

Пример 6. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

Решение. Задача Аполлония сводится к предыдущей задаче. Пусть даны окружности 1 (O1, r1 ), 2 (O2, r2 ) и 3 (O3, r3 ), и r1 r3.

Построим окружность (O, R), проходящую через точку O1 и касающуюся окружностей 2 (O2, r2 r1 ) и 3 (O3, r3 r1 ). Уменьшив радиус окружности на r1, т.е. рассматривая (O, R r1 ), приходим к одной из искомых окружностей. Количество решений исследовать самим.

5.224. а) Увеличить данный отрезок в три раза, используя только циркуль. б) Разделить данный отрезок на три равные части, используя только циркуль.

5.225. Построить середину отрезка с данными концами, используя только циркуль.

5.226. Только с помощью циркуля построить окружность, в которую переходит данная прямая AB при инверсии относительно данной окружности с данным центром O.

5.227. В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найти множество их точек касания.

5.228. Найти множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

5.229. Доказать, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC ( AB = AC ) и степенью AB 2 переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

5.230. Доказать, что две непересекающиеся окружности 1 и 2 можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

5.231. Доказать, что непересекающиеся окружность и прямую l можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

5.232. Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M и N — точки, симметричные M и N относительно OA, а A — точка пересечения прямых M N и M N. Доказать, что A совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l ).

5.233. Используя только циркуль, найти центр окружности, описанной около данного треугольника ABC.

5.234. Провести через данную точку окружность, перпендикулярную двум данным окружностям.

5.235. Построить окружность, касающуюся данной окружности и перпендикулярную двум данным окружностям 1 и 2.

5.236. Провести через данные точки A и B окружность, пересекающую данную окружность под данным углом.

5.237. В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Доказать, что все эти прямые проходят через одну точку.

5.238. Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Доказать, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

5.239. Через точки A и B проведены окружности S1 и S2, касающиеся окружности S, и окружность S3, перпендикулярная S. Доказать, что S3 образует равные углы с окружностями S1 и S2.

5.240. Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или прямой) S1 в точках B1 и C1, а окружности (или прямой) S2 в точках B2 и C2 (причем касание в B2 и C2 такое же, как в B1 и C1 ). Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников AB1 C и AB2 C2, касаются друг друга.

5.241. Доказать, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).

5.242. Окружности S1, S2,..., Sn касаются двух окружностей R и R2 и, кроме того, S1 касается S2 в точке A1, S2 касается S3 в точке A2,..., Sn1 касается Sn в точке An1. Доказать, что точки A1, A2,..., An1 лежат на одной окружности.

5.243. Доказать, что если существует цепочка окружностей S1, S2,..., Sn, каждая из которых касается двух соседних ( Sn касается Sn и S1 ) и двух данных непересекающихся окружностей R1 и R2, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T1, касающейся R1 и R2 (одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T1, T2,..., Tn (поризм Штейнера).

5.244. Доказать, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

(Напомним определение изодинамических центров. Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE, окружности Sb и Sc определяются аналогично. Эти три окружности имеют две общие точки M и N, причем прямая M N проходит через центр описанной около треугольника ABC окружности. Точки M и N называются изодинамическими центрами треугольника ABC.) Глава Преобразования пространства 6.1. Движения пространства 6.1. Доказать, что любое движение пространства a) сохраняет отношение лежать между; b) переводит отрезок в отрезок; c) отображает выпуклую фигуру на выпуклую фигуру; d) отображает прямую на прямую;

e) сферу отображает на сферу.

6.2. Доказать, что если прямые a и b параллельны, то и образы их при любом движении пространства также будут параллельными прямыми.

6.3. Доказать, что при любом движении пространства плоскость отображается на плоскость, а пара параллельных плоскостей отображаются в пару параллельных плоскостей.

6.4. Доказать, что множество всех параллельных переносов пространства с операцией композиция является абелевой группой.

6.5. Пусть f — движение пространства. Доказать, что f — параллельный перенос, тогда и только тогда, когда для произвольной прямой a выполнено f (a)a.

6.6. Доказать, что для произвольного движения f и произвольной пары векторов и справедливо равенство f ( + ) = f ( )+f ( ).

6.7. Доказать, что для произвольных движения f, вектора и числа 140 Глава 6. Преобразования пространства 6.8. Пусть плоскости и пересекаются по прямой a. Доказать, что для любой плоскости 1, проходящей через прямую a, найдется пара плоскостей 1 и 2, также проходящих через a и для которых справедливы равенства 6.9. Может ли движение пространства иметь ровно две неподвижные точки? Описать все движения, имеющие по крайней мере две неподвижные точки.

6.10. Пусть S — зеркальная симметрия относительно плоскости, A и A = S (A). Доказать, что прямая и плоскости, проходящие одновременно через A и A инвариантны, т.е. отображаются сами на себя; эти прямая и плоскости перпендикулярны плоскости.

6.11. Найти все движения, множество неподвижных точек которых содержит некоторую окружность.

ются зеркальными симметриями относительно плоскостей и. Найти 6.13. Известно, что AB. Найти такой вектор CD, что T S = 6.14. Говорят, что движение f меняет направление на противоположное, если для любого вектора выполняется f ( ) =. Описать все движения, которые меняют направление на противоположное.

6.15. Движение пространства имеет три неподвижные точки, не лежащие на одной прямой. Доказать, что плоскость, проходящая через эти точки, является неподвижной. Верно ли, что указанная плоскость будет плоскостью неподвижных точек?

6.16. Даны плоскость и не принадлежащие ей точки A и B. Найти на плоскости такую точку M, чтобы сумма |M A| + |M B| была наименьшей.

6.17. Даны плоскость и не принадлежащие ей точки A и B. Найти на плоскости такую точку N, чтобы число ||M A| |M B|| было наибольшим.

6.18. Через данную точку P провести прямую, перпендикулярную двум скрещивающимся прямым a и b.

6.19. Найти геометрическое место центров симметрии двух параллельных плоскостей.

6.20. Отрезок постоянной длины “скользит” своими концами по двум взаимно перпендикулярным скрещивающимся прямым. Какую линию при этом описывает середина отрезка?

6.21. Пусть ZO — симметрия с центром O. Доказать, что ZO (l)l и ZO ().

6.22. Доказать, что композиция трех зеркальных симметрий относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей есть центральная симметрия. Как найти ее центр? Как, обратно, представить центральную симметрию в виде композиции трех симметрий относительно плоскостей?

6.23. Даны прямая l и не принадлежащие ей точки A и B. Найти на прямой l такую точку M, чтобы сумма |M A| + |M B| была наименьшей.

6.24. Даны два конгруэнтных треугольника AOB и A OB, не лежащих в одной плоскости. Доказать, что существует поворот, отображающий один треугольник на другой.

6.25. Даны биссектрисы трех плоских углов трехгранного угла. Восстановить по ним трехгранный угол.

6.26. Внутри двугранного угла дана точка. Провести через эту точку прямую, перпендикулярную к ребру, и притом так, чтобы отрезок этой прямой между сторонами угла делился данной точкой пополам.

6.27. Дан произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

6.28. Найти поворот, переводящий отрезок в конгруэнтный отрезок.

6.29. Найти поворот, переводящий угол в конгруэнтный угол.

6.30. Доказать, что существует бесконечно много поворотов, переводящих одну прямую в другую.

6.31. На данной прямой найти точку так, чтобы сумма ее расстояний до двух данных прямых была наименьшей.

142 Глава 6. Преобразования пространства 6.32. Даны две прямые. Найти осевые симметрии, переводящие одну прямую в другую.

6.33. Доказать, что если Sp (m) = n и Sq (n) = m, то прямые p и q пересекаются.

6.34. a) Доказать, что композиция двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельным переносом пространства. Как определить длину и направление этого переноса (вектора)? b) Доказать, что любой параллельный перенос пространства можно представить как композицию двух осевых симметрий. Как построить оси таких симметрий?

6.35. Найти все движения, при которых данная прямая является неподвижной.

6.36. Найти все движения, при которых данная плоскость является неподвижной.

6.37. Найти неподвижные плоскости винтового движения.

6.38. Доказать, что винтовое движение является композицией двух осевых симметрий со скрещивающимися осями.

6.39. Доказать, что композиция двух поворотов со скрещивающимися осями не может быть поворотом.

6.40. В пространстве даны две перпендикулярные прямые a и b (не обязательно пересекающиеся). Чему равна композиция Sb Sa ?

6.41. Даны две скрещивающиеся прямые a и a. На первой из них дана точка A, на второй — точка A. Найти поворот пространства относительно оси, отображающий a на a и A на A (построить ось этого поворота).

6.42. Даны скрещивающиеся прямые a и b, образующие с некоторой прямой l равные углы. Доказать, что существует поворот с осью l, отображающий прямую a на прямую a, параллельную b.

6.43. Описать все движения, представимые в виде композиции трех зеркальных симметрий.

6.44. Доказать, что если движение представлено в виде композиции пяти зеркальных симметрий, то его можно представить и в виде композиции трех зеркальных симметрий.

6.45. Показать, что тождественное преобразование не может быть представлено в виде композиции нечетного числа зеркальных симметрий.

6.46. Доказать, что если движение представлено в виде композиции четного (нечетного) числа зеркальных симметрий, то его нельзя представить в виде композиции нечетного (соответственно, четного) числа зеркальных симметрий.

6.47. Движение называется сохраняющим (меняющим) ориентацию, если оно может быть представлено в виде композиции четного (соответственно, нечетного) числа зеркальных симметрий. Описать все движения, которые a) сохраняют ориентацию; b) меняют ориентацию.

6.48. Пусть f — скользящая симметрия. Доказать, что для любого вектора движения f T и T f также являются скользящими симметриями.

6.49. Пусть f — винтовой поворот. Доказать, что для любого вектора движения f T и T f также являются винтовыми поворотами.

6.50. Пусть f — зеркальный поворот. Доказать, что для любого вектора движения f T и T f также являются зеркальными повоv v v ротами.

6.51. Через середину каждого ребра тетраэдра проведена плоскость, перпендикулярная противоположному ребру. Доказать, что все шесть таких плоскостей пересекаются в одной точке (точка Монжа).

6.52. Доказать, что если точка Монжа лежит в какой либо грани тетраэдра, то основание высоты, опущенной на эту грань, лежит на описанной окружности.

6.53. Даны три правильных конгруэнтных пятиугольника: OAM N B, OBP QC, OCRSA. Доказать, что прямые ON, OQ, OS взаимно перпендикулярны.

6.54. Дан произвольный тетраэдр и точка N. Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная отрезку, соединяющему N 144 Глава 6. Преобразования пространства с серединой противоположного ребра. Доказать, что все шесть плоскостей пересекаются в одной точке.

6.55. Если некоторая фигура имеет две пересекающиеся перпендикулярные оси симметрии, то она имеет еще одну ось симметрии. Доказать.

6.56. Ограниченная фигура имеет центр симметрии и плоскость симметрии. Доказать, что центр симметрии лежит в плоскости симметрии.

6.57. Ограниченная фигура имеет несколько плоскостей симметрии.

Доказать, что все они проходят через одну точку.

6.58. Ограниченная фигура имеет несколько осей симметрии. Доказать, что все оси симметрии проходят через одну точку.

6.59. Плоскости,, и содержат все грани некоторого тетраэдра ABCD. Каким движением является композиция S S S S ?

6.2. Гомотетия. Преобразования подобия 6.60. Даны две произвольные сферы. Существует ли гомотетия, отображающая одну из этих сфер на другую? Если да, то сколько таких гомотетий?

6.61. Доказать, что центроиды граней тетраэдра являются вершинами тетраэдра, гомотетичного данному. Указать центр и коэффициент гомотетии.

6.62. Для каждой вершины тетраэдра строится точка, симметричная ей относительно центроида противоположной грани. Доказать, что построенные точки являются вершинами тетраэдра, гомотетичного данному. Указать центр и коэффициент гомотетии.

6.63. Построить куб по данной его диагонали.

6.64. Построить куб по данной величине разности между длинами его диагонали и стороны.

6.65. Доказать, что два подобных, но неравных треугольника можно перевести друг в друга композицией гомотетии и поворота вокруг оси.

6.66. Доказать, что преобразование подобия с коэффициентом k = 1, переводящее каждую плоскость в себя или в параллельную ей плоскость, является гомотетией.

6.67. Даны четыре точки A1, A2, A3 и A4, не расположенные в одной плоскости. Доказать, что если для двух подобий f и g выполняется f (Ai ) = g(Ai ) при всех i {1, 2, 3, 4}, то f = g (т.е. для любой точки A пространства f (A) = g(A) ).

6.68. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре вершины одной из его граней лежали на четырех боковых ребрах пирамиды.

6.69. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точку вне сферы с точками этой сферы.

6.70. Даны четыре отрезка [A1 B1 ], [A2 B2 ], [A3 B3 ], [A3 B3 ], из которых никакие три не лежат в одной плоскости, причем все они параллельны друг другу и в то же время попарно не равны. Как расположены центры шести гомотетий, отображающих Ai на Ak и Bi на Bk (i, k = 1, 2, 3, 4) ?

6.71. В плоскости боковой грани правильной чтырехугольной пирамиды взята вигура. Пусть 1 - проекция на плоскость основания пирамиды, а 2 - проекция на плоскость смежной боковой грани. Доказать, что фигуры 1 и 2 подобны.

Глава Стереометрия 7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы Во всех задачах на построение предполагается, что мы умеем:

1) провести плоскость через данные три точки;

2) построить линию пересечения двух плоскостей и точку пересечения прямой и плоскости;

3) выполнить в произвольной плоскости пространства все построения, известные из планиметрии.

7.1. Через данную точку провести прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые.

7.2. Провести прямую, пересекающую три данные попарно скрещивающиеся прямые. Сколько существует таких прямых ?

7.3. Дана плоскость и вне ее три неколлинеарные точки A, B, C. Найти: a) такую точку M, что прямые M A, M B, M C пересекают плоскость в вершинах треугольника, гомотетичного некоторому данному треугольнику; b) такую точку M, что прямые M A, M B, M C пересекают плоскость в вершинах треугольника, конгруэнтного некоторому данному треугольнику.

7.4. Провести прямую, параллельную данной прямой и пересекающую две данные прямые.

7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы 7.5. Доказать, что три параллельные между собой плоскости отсекают на двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.

7.6. Пусть даны две тройки коллинеарных точек A, B, C и A1, B1, C1, причем |AB| : |BC| = |A1 B1 | : |B1 C1 |. Доказать, что прямые AA1 , BB1, CC1 лежат в параллельных плоскостях.

7.7. Два плоских зеркала служат гранями двугранного угла. Луч света, перпендикулярный ребру угла и параллельный первому зеркалу, отражается пять раз от граней угла и возвращается обратно по той же прямой.

Какова величина двугранного угла?

7.8. Даны три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, и не принадлежащая ни одной из них точка P. Провести через P плоскость так, чтобы она образовывала с данными прямыми равные углы.

7.9. Из точки O на ребре двугранного угла в одной из его граней проведен луч. Провести из той же точки в другой грани луч, перпендикулярный первому лучу.

7.10. На двух гранях двугранного угла даны точки A и B. Найти на ребре такую точку M, чтобы угол AM B был прямым.

7.11. Даны двугранный угол и прямая l, которая пересекает его ребро. Провести через эту прямую плоскость, которая пересекается с гранями двугранного угла по двум прямым так, чтобы прямая l была биссектрисой плоского угла, получающегося в сечении.

7.12. Пусть ABCD — пространственный четырехугольник. Доказать, что ABC + BCD + CDA + DAB < 360.

7.13. Найти геометрическое множество точек пространства, одинаково удаленных от двух данных пересекающихся прямых. То же для двух параллельных прямых.

7.14. Найти геометрическое множество точек пространства, равноудаленных от вершин данного треугольника.

7.15. Найти множество всех точек, равноудаленных от трех прямых, содержащих ребра данного трехгранного угла и расположенных внутри угла.

7.16. Найти множество всех точек, равноудаленных от плоскостей всех трех граней данного трехгранного угла.

7.17. Семейство параллельных плоскостей, пересекая все грани трехгранного угла, образует семейство треугольников. а) Найти множество центроидов (центроид, или центр масс треугольника, суть точка пересечения медиан треугольника) этих треугольников. б) Найти множество ортоцентров этих треугольников.

7.18. Доказать: если в трехгранном угле два плоских угла равны, то равны и противолежащие им двугранные углы. Справедливо ли обратное утверждение?

7.19. Трехгранный угол называется ортогональным, если все его плоские углы прямые. Доказать: а) три точки, лежащие на ребрах ортогонального трехгранного угла и не совпадающие с его вершиной O, являются вершинами остроугольного треугольника; б) проекция вершины O на плоскость этого треугольника совпадает с его ортоцентром.

7.20. Доказать, что если луч образует конгруэнтные углы с тремя лучами, лежащими в одной плоскости, то он перпендикулярен этой плоскости.

7.21. Доказать, что геометрическое место точек, разность квадратов расстояний до двух данных точек есть постоянная, есть плоскость.

7.22. В данной плоскости через данную на ней точку провести прямую, образующую с данной прямой данный угол.

7.23. В данной плоскости через данную на ней точку провести прямую, образующую с другой данной плоскостью данный угол.

7.24. Через данную прямую провести плоскость, образующую данный угол с данной плоскостью.

7.25. Доказать, что прямая, одинаково наклоненная к обеим граням двугранного угла, пересекает эти грани в точках, одинаково удаленных от ребра. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

7.26. Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и образующих равные углы с двумя данными плоскостями.

7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы 7.27. Найти геометрическое место точек плоскости, обладающих тем свойством, что прямые, которые соединяют их с данными точками A, B, образуют равные углы с данной плоскостью.

7.28. Пусть ABCDA1 B1 C1 D1 — параллелепипед. Доказать, что плоскости A1 BD и B1 D1 C делят диагональ AC1 на три равные части.

7.29. В пространстве дано несколько прямых, причем любые две из них пресекаются. Доказать, что либо все они лежат в одной плоскости, либо все проходят через одну точку.

7.30. Доказать, что сумма углов, которые прямая образует с двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, не превосходит 90.

7.31. В правильной четырехугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу между боковым ребром и плоскостью боковой грани, не содержащей это ребро. Найти этот угол.

7.32. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Доказать, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости A1 BD.

7.33. Через ребро AA1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 проведена плоскость, образующая равные углы с прямыми BC и B1 D. Найти эти углы.

7.34. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно плоскости ABC ; M — середина DB, N — середина AB, а точка K делит ребро CD в отношении CK : KD = 1 : 2. Доказать, что прямая CN равноудалена от прямых AM и BK.

7.35. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 диагональ AC1 перпендикулярна плоскости A1 BD. Доказать, что параллелепипед является кубом.

7.36. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 проведен общий перпендикуляр M N к прямым A1 B и B1 C ( M [A1 B] ). Найти A1 M : M B.

7.37. Плоскость, проходящая через середины ребер AB и CD тетраэдра ABCD пересекает ребра AD и BC в точках L и N. Доказать, что BC : CN = AD : DL.

7.38. Доказать, что противоположные ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, если одна из его высот проходит через ортоцентр грани.

7.39. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. В каком отношении делит ребро B1 C1 точка E, которая принадлежит плоскости, проходящей через вершину A и центры граней A1 B1 C1 D1 и B1 C1 CB ?

7.40. Можно ли произвольный четырехгранный угол пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм?

7.41. Доказать, что проекция правильного тетраэдра на плоскость будет наибольшей площади, если плоскость параллельна двум скрещивающимся ребрам.

7.42. Через середину диагонали куба перпендикулярно к ней проведена плоскость. Определить площадь сечения куба этой плоскостью, если ребро куба равно a.

7.43. Дан трехгранный угол с плоскими углами,, и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Доказать, что существует трехгранный угол с плоскими углами A, B, C и двугранными 7.44. Доказать, что против равных плоских углов трехгранного угла лежат равные двугранные углы.

7.45. Дан трехгранный угол с плоскими углами,, и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Доказать, что (Первая и вторая теоремы косинусов для трехгранного угла.) 7.46. Дан трехгранный угол с плоскими углами,, и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Доказать, что (Теорема синусов для трехгранного угла.) 7.47. В одной из граней двугранного угла величины проведена прямая l, пересекающаяся с его ребром и образующая с ним угол, а с 7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы другой гранью этого двугранного угла — угол. Доказать, что (Теорема о трех синусах.) 7.48. Доказать, что плоскости, проведенные через ребра двугранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

7.49. Дан трехгранный угол, среди двугранных углов которого нет прямых углов. Доказать, что плоскости, проведенные через ребра двугранного угла перпендикулярно противоположным граням, пересекаются по одной прямой.

7.50. В грани двугранного угла, равного 120, проведена прямая, образующая угол 60 с ребром двугранного угла. Найти угол между этой прямой и другой гранью.

7.51. Дан прямоугольный треугольник ABC ( C = 90 ), у которого B = 60. Треугольник перегнули вдоль биссектрисы BD так, что плоскости DBC и DBA образовали угол 45. Какой угол будут образовывать прямая AD с плоскостью DBC ?

7.52. Все три плоских угла трехгранного угла являются острыми.

Один из них равен, двугранные углы, прилегающие е этому плоскому углу, равны,. Найти два других плоских угла.

7.53. Три луча a = [OA), b = [OB), c = [OC) образуют следующие углы: a, c = b, c =, a, b =. Найти углы между парами плоскостей OAB и OAC , OAC и OBC.

7.54. Прямоугольный равнобедренный треугольник повернут вокруг биссектрисы прямого угла на угол 45. На какие углы повернулись катеты?

7.55. В прямоугольном треугольнике через биссектрису прямого угла проведена плоскость, которая составляет с плоскостью треугольника угол. Какие углы она составляет с катетами?

7.56. Плоскость отсекает на ребрах прямого трехгранного угла отрезки a, b, c. Вычислить площадь полученного сечения.

7.57. Через вершину S прямого трехгранного угла Sabc проведен луч d. Доказать, что cos2 a, d + cos2 b, d + cos2 c, d = 1.

7.58. Доказать, что у всякого четырехгранного угла с равными плоскими углами есть сечение, являющееся ромбом.

7.59. Доказать. что сумма двугранных углов выпуклого n -гранного угла больше (n 2).

7.60. Сумма плоских углов некоторого выпуклого n -гранного угла равна сумме его двугранных углов. Доказать, что n = 3.

7.61. В выпуклый четырехгранный угол вписана сфера. Доказать, что суммы его противоположных плоских углов равны.

7.62. В трехгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром O.

Доказать, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна прямой SO.

7.63. Даны две скрещивающиеся прямые l и m. Найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении отрезки LM, где L l, 7.64. Провести прямую, пересекающую три данные прямые так, чтобы отрезки, отсекаемые на ней этими прямыми, имели данное отношение.

7.65. Построить отрезок, имеющий заданную длину и параллельный данной плоскости, концы которого принадлежат двум данным прямым.

7.66. Найти множество всех точек, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся плоскостей постоянна и равна p.

7.67. Даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые l, m и точка P. Найти множество всех точек M, таких, что сумма длин проекций отрезков P M на прямые l и m постоянна.

7.68. Треугольники ABC и A1 B1 C1 не лежат в одной плоскости, а прямые AB и A1 B1, BC и B1 C1, CA и C1 A1 попарно пересекаются. Доказать, что: а) точки пересечения указанных прямых коллинеарны;

б) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.

7.1. Прямые и плоскости. Двугранные и многогранные углы 7.69. Углы между некоторой плоскостью и сторонами правильного треугольника равны,,. Доказать, что синус одного из этих углов равен сумме синусов двух других углов.

7.70. В основании пирамиды лежит многоугольник с нечетным числом сторон. Можно ли на его ребрах так расставить стрелки, что сумма полученных векторов равна нулю?

7.71. Дана плоскость и точки A, B вне ее. Найти множество всех точек X плоскости, для которых прямые AX и BX образуют равные углы с плоскостью.

7.72. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром a. Пусть P, K, L — середины ребер AA1, A1 D1 и B1 C1 ; Q — центр грани CC1 D1 D. Отрезок M N с концами на прямых AD и KL пересекает прямую P Q и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка.

7.73. Ортогональные проекции треугольника ABC на две взаимно перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со сторонами, равными 1. Найти периметр ABC, если AB = 5/2.

7.74. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка M — середина ребра SB, а N (AB), причем N B = 2AB. Где на боковом ребре SC лежит точка P, если в сечении пирамиды плоскостью M N P получился четырехугольник?

7.75. В треугольной пирамиде SABC суммы всех плоских углов при каждой из вершин A, B и C равны 180. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми SA и BC, если BC = 4, AC = 5, AB = 6.

7.76. Дан трехгранный угол с плоскими углами,,. Найти угол наклона каждого ребра к плоскости противоположной грани.

7.77. Сумма плоских углов трехгранного угла равна 180. Доказать, что сумма косинусов его двугранных углов равна 1.

7.78. В трехгранный угол Oabc вписана сфера, касающаяся граней Obc, Oca и Oab в точках A1, B1, C1. Выразить величину угла aOB через плоские углы трехгранного угла.

7.2. Многогранники 7.79. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего ей бокового ребра.

7.80. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Найти объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров.

7.81. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6. Найти объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.

7.82. Внутри куба расположены два равных, касающихся друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех других граней куба. Найти радиусы шаров, если ребро куба равно a.

7.83. Найти объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4, 5, а двугранные углы при основании равны 60.

7.84. Внутри треугольной пирамиды, все ребра которой равны a, расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трех других шаров, а также трех граней пирамиды. Найти радиусы шаров.

7.85. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а радиус вписанного шара — 1/2. Найти величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды.

7.86. Найти двугранный угол между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в нее шара в три раза меньше стороны основания.

7.87. Найти радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять ребер которой равны 2, а одно ребро равно 1.

7.88. Ребро куба равно 1. Найти объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине куба, не принадлежащей этим граням.

7.89. Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром a. Найти радиус шара, касающегося ребра AB в его середине, а также ребер AC и CD.

7.90. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1. Найти объем общей части двух треугольных пирамид ACB1 D1 и A1 C1 BD.

7.91. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3. Высота пирамиды равна 4 и проходит через середину AD. Найти AD, если известно, что в пирамиду можно вписать шар.

7.92. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3, BC = 4. Высота пирамиды равна 3 и проходит через середину BC. Найти радиус наибольшего шара, который можно поместить внутри пирамиды.

7.93. ABCDA1 B1 C1 D1 — параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через D, C1 и середину A1 B1, делит диагональ D1 B ?

7.94. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1. Найти расстояние от середины ребра AB до плоскости, проходящей через C и середины ребер SB и SD.

7.95. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, равен 1, радиус вписанного шара —. Найти длины ребер пирамиды.

7.96. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром a. Найти радиус шара, проходящего через вершины C и C1 и касающегося AB и AD.

7.97. Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противоположной грани (ребро куба равно a )?

7.98. Из точки S в пространстве проведены три луча: [SX), [SY ), [SZ). На этих лучах выбраны точки A1, A2 [SX), B1, B2 [SY ), C1, C2 [SZ). Докажите, что отношение объемов тетраэдров SA1 B1 C 7.99. S и P — площади двух смежных граней тетраэдра ABCD, a — длина их общего ребра, — величина угла между этими гранями.

Докажите, что объем тетраэдра равен 7.100. a и b — длины противоположных ребер тетраэдра ABCD, d — расстояние между этими ребрами, — угол между ними. Докажите, что объем тетраэдра равен 7.101. Доказать, что биссекторная плоскость двугранного угла, образованного смежными гранями тетраэдра, делит противоположное ребро на части, пропорциональные площадям этих граней. Доказать также, что отношение этих частей также равно отношению объемов тетраэдров, на которые биссекторная плоскость разбивает данный тетраэдр.

7.102. Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. На ребре SA взята точка M так, что SM = 2AM. Через M и середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

7.103. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Через середину D1 C1 проведена прямая l, пересекающая прямые BA1 и AD1. Какой угол образует прямая l с BA1 ?

7.104. SABC — правильный тетраэдр с ребром 6. Точка M — середина AB, K — такая точка на BC, что BK = 2KC. Найти расстояние от K до середины отрезка DM.

7.105. Найти радиус шара, касающегося всех ребер правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3 .

7.106. В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через центры трех его смежных граней.

7.107. Радиус шара, описанного около правильной шестиугольной пирамиды, равен 2, боковое ребро равно 1. Найти объем пирамиды.

7.108. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 1. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами. Одно боковое ребро равно 7, а два других меньше его. Найти объем пирамиды.

7.109. Дан куб с ребром a. Две вершины правильного тетраэдра лежат на его диагонали, а две оставшиеся — на диагонали его грани.

Найти длину ребра тетраэдра.

7.110. Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани. Найти радиус сферы, если ребро куба равно a.

7.111. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно a. Найти радиус сферы, проходящей через середины ребер AA1 и BB1 и вершины A и C1.

7.112. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a. Найти радиус сферы, проходящей через C, D и середины ребер AB и AC.

7.113. В треугольной призме ABCA1 B1 C1 проведены две плоскости:

одна проходит через A, B, C1, другая — через A1, B1, C. Эти плоскости разделили призму на четыре части. Объем меньшей из этих частей равен V. Найти объем призмы.

7.114. В каком отношении делит объем треугольной пирамиды плоскость, параллельная двум ее скрещивающимся ребрам и делящая одно из других ребер в отношении 2 : 1 ?

7.115. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Сечение призмы проходит через сторону нижнего основания и параллельную ей среднюю линию верхнего основания. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?

7.116. Объем пирамиды ABCD равен V. Найти объем пирамиды KN P B, если B — середина AP, K лежит на ребре AD и AK : KD = = 3, N — точка пересечения медиан грани BCD.

7.117. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти двугранные углы между соседними боковыми гранями.

7.118. Найти двугранный угол между основанием и боковой гранью правильной усеченной треугольной пирамиды, если известно, что в нее можно вписать шар, и, кроме того, существует шар, касающийся всех ее ребер.

7.119. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Через ребро AA1 проведена плоскость, образующая равные углы с прямыми BC и B1 D. Найти эти углы.

7.120. Точка K — середина ребра AA1 куба ABCDA1 B1 C1 D1, точка L лежит на ребре BC. Отрезок KL касается шара, вписанного в куб. В каком отношении отрезок KL делится точкой касания?

7.121. В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD имеют площади S1 и S2 и образуют между собой угол. Найти площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро AB и центр вписанного в пирамиду шара.

7.122. Точки K и L являются серединами ребер AB и CC1 куба ABCDA1 B1 C1 D1. Найти радиус шара, вписанного в трехгранный угол с вершиной A и касающегося прямой KL, если ребро куба равно a.

7.123. Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром a, M — центр грани ADC, N — середина ребра BC. Найти радиус шара, вписанного в трехгранный угол A и касающегося прямой M N.

7.124. В треугольной пирамиде SABC известно, что AC = AB, а ребро SA наклонено к плоскостям граней ABC и SBC под углом 45.

Известно, что вершина A и середины всех ребер пирамиды, кроме SA, лежат на сфере радиуса 1. Доказать, что центр сферы расположен на ребре SA и найти площадь грани ASC.

7.125. Внутри правильного тетраэдра ABCD расположены два шара радиусов 2R и 3R, касающиеся друг друга внешним образом, причем один шар вписан в трехгранный угол тетраэдра с вершиной A, а другой — в трехгранный угол с вершиной B. Найти ребро тетраэдра.

7.126. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна a, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен. Плоскость, параллельная диагонали основания AC и боковому ребру SB пересекает пирамиду так, что в сечении получается пятиугольник, в который можно вписать окружность. Определить радиус этой окружности.

7.127. В правильном тетраэдре точки M и N являются серединами противоположных ребер. Проекция тетраэдра на плоскость, параллельную M N, представляет собой четырехугольник площадью S, один из углов которого равен 60. Найти площадь поверхности тетраэдра.

7.128. Длина стороны основания правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 равна a. Точки M и N являются соответственно серединами ребер A1 B1 и AA1. Проекция отрезка BM на прямую C1 N равна a/(2 5). Определить высоту призмы.

7.129. В треугольной призме ABCA1 B1 C1 проведены два сечения.

Первое сечение проходит через ребро AB и середину ребра CC1, а второе — через ребро A1 B1 и середину ребра BC. Найти отношение длины отрезка линии пересечения этих сечений, заключенного внутри призмы, к длине ребра AB.

7.130. Основанием призмы ABCA1 B1 C1 является правильный треугольник ABC со стороной a. Проекцией призмы на плоскость основания является трапеция с боковой стороной AB и площадью, в два раза большей площади основания. Радиус сферы, проходящей через вершины A, B, A1, C1 равен a. Найти объем призмы.

7.131. Правильный тетраэдр объемом V повернут около прямой, соединяющей середины его скрещивающихся ребер, на угол = 90. Найти объем общей части данного тетраэдра и повернутого. Решить задачу для произвольного, 0 < < 180.

7.132. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. M — центр грани ABB1 A1, N — точка на ребре B1 C1, L — середина A1 B1, K — основание перпендикуляра, опущенного из N на BC1. В каком отношении точка N делит B1 C1, если LM K = M KN ?

7.133. Высота усеченной пирамиды равна h, площадь среднего сечения равна S. В каких пределах может изменяться объем пирамиды?

7.134. Квадрат ABCD является основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1. Найти наибольшую возможную величину угла между прямой BD1 и плоскостью BDC1.