[ «Екатеринбург 2011 УДК 51(075.3) Подготовлено на кафедре математики СУНЦ УрГУ Печатается по решению Ученого Совета СУНЦ УрГУ: протокол №04 от 23.01.2008г Сборник задач по геометрии (издание второе, исправленное). ...»
Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точку K, параллельно плоскости P QR (рис. 8).
Решение. 1) Построим начала сечение P S2 QR призмы заданной плоскостью P QR (например, с помощью следа S1 Q ).
2) Так как искомая секущая плоскость параллельна плоскости P QR, то плоскости граней призмы пересекаются искомой секущей плоскостью и плоскостью P QR по параллельным прямым. Проведем в плоскости AA1 B через точку K прямую KB2 P S2, затем в плоскости BB1 C1 через точку B2 прямую B2 C2 P R, затем в плоскости CC1 D1 через точку C2 прямую C2 D2 RQ и, наконец, соединим точки D2 и K.
3) Соединив далее полученные в процессе построения точки E1 и F1, найдем многогранник KB2 E1 F1 D2 — искомое сечение.
Пример 8. Высота правильной призмы ABCA1 B1 C1 равна стороне основания. На ребрах BB1 и A1 C1 взяты соответственно точки D и E — середины этих ребер. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки C, D и E, и найти площадь полученного сечения, если сторона основания равна a (рис. 9).
Решение. Построим заданное сечение призмы плоскостью CDE.
1) Проведем прямую CE и найдем точку M, в которой прямая CE пересекает прямую AA1.
2) Проведем прямую M D и найдем точку K, в которой эта прямая пересекает прямую A1 B1.
3) Точку K соединим с точкой E и точку D — с точкой C. Четырехугольник CDKE — искомое сечение.
4) Найдем теперь площадь сечения CDKE, пользуясь формулой где — угол между плоскостью CDE и плоскостью A1 B1 C1. Найдем cos. Прямая KE - линия пересечения плоскостей CDE и A1 B1 C1, т.е.
она является следом секущей плоскости на плоскости A1 B1 C1. Проведем A1 H KE, то так как прямая M A1 (A1 B1 C1 ), A1 H будет проекцией наклонной M H, и, значит, M H KE. Следовательно, угол M HA образован двумя перпендикулярами к прямой KE. Так как он является острым углом (как угол между наклонной и ее проекцией), то угол M HA и есть угол между плоскостями CDE и A1 B1 C1, т.е. M HA1 =.
5) Из подобия треугольников M A1 E и M AC находим, что M A1 = a, а из подобия треугольников DB1 K и M A1 K находим, что A1 K = 3 a.
Тогда в треугольнике A1 KE KE 2 = A1 K 2 + A1 E 2 2A1 K · A1 E · cos 60, откуда KE = a 613, и, выражая двумя способами площадь треугольника A1 KE, получаем 2 A1 H · KE = 2 A1 K · A1 E · sin 60, откуда A1 H = 6) Ясно, что четырехугольник C1 B1 KE является проекция сечения CDKE на плоскость A1 B1 C1, поэтому Sпр = SC1 B1 KE = SA1 B1 C1 SA1 KE.
Теперь получаем Sсеч = a 6 3 : 43 = 2a. 3.2. Сечения призм 3.1. Построить сечения призмы ABCA1 B1 C1 плоскостями, заданными следующими точками Р, Q и R : а) P лежит на ребре BB1, Q лежит на ребре AC, R лежит на продолжении ребра CC1, причем точка C лежит между точками C и R ; б) P лежит в грани AA1 B1 B, Q лежит на ребре AC, R лежит в грани BB1 C1 C ; в) P лежит на ребре A1 B1, Q — точка отрезка DC1, где точка D лежит на ребре AB, R лежит на продолжении ребра BC, причем C лежит между точками B и R.
3.2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 плоскостью KLM, где K (A1 B1 C1 ), L (A1 B1 C1 ) и M (AA1 B).
3.3. Построить сечения призмы ABCDA1 B1 C1 D1 плоскостями, заданными следующими точками P, Q и R : а) P лежит на ребре A1 B1.
Q лежит в грани ABCD. R лежит на ребре DD1 ; б) P лежит в грани AA1 B1 B, Q лежит в грани AA1 D1 D, R лежит в грани CC1 D1 D ; в) P лежит на диагонали AC1, Q лежит на диагонали B1 D, R лежит на ребре C1 D1.
3.4. Построить сечения шестиугольной призмы ABC... D1 E1 F1 плоскостями, заданными следующими точками P, Q и R : а) P лежит на ребре DD1, Q лежит на ребре AB, R лежит на ре6ре AF ; б) P лежит в грани BB1 C1 C, Q лежит на ребре E1 F1, R лежит на ребре AF ; в) P лежит на диагонали BD1, Q лежит на диагонали AЕ, R лежит на ребре BC.
3.5. Построить сечения призмы ABCA1 B1 C1 плоскостями, проходящими через прямую AQ, где точка Q лежит на ребре CC1, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит в грани A1 B1 C1 ; б) P лежит на прямой C1 M, где точка M лежит на ребре A1 B1 и находится между точками C1 и P ; в) P лежит на отрезке C1 K, где точка K лежит на ребре AB.
3.6. Построить сечения призмы ABCA1 B1 C1 плоскостями, проходящими через прямую AQ, где точка Q лежит на ребре B1 C1, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит на отрезке KL, где точка K лежит на ребре A1 B1, а точка L — на ребре AC ; б) P лежит на прямой CN, где точка N лежит в грани AA1 B1 B и находится между точками C и P ; в) P лежит на прямой AM, где точка M лежит на ребре B1 C и находится между точками B1 и C1.
3.7. Построить сечения призмы ABCDA1 B1 C1 D1 плоскостями, проходящими через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре CC1, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит в грани AA1 B1 B, б) P лежит на продолжении ребра A1 B1, причем точка A1 находится между B1 и P ; в) P лежит на диагонали AC1.
3.8. Построить сечения призмы ABCDA1 B1 C1 D1 плоскостями, проходящими через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре A1 B1, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит в грани BB1 C1 C ; б) P лежит на продолжении ребра BC, причем точка C лежит между точками B и P ; в) P лежит на диагонали A1 C.
3.9. На ребре CC1 призмы ABCDA1 B1 C1 D1 задана точка P. Построить прямые, параллельные прямой DP, и проходящие через следующие точки: а) A ; б) K, взятую на ребре AA1 ; в) L, взятую в грани AA1 D1 D.
3.10. В грани BB1 C1 C призмы ABCDA1 B1 C1 D1 задана точка P.
Построить прямые, параллельные прямой AР и проходящие через точки K, L и M, взятые соответственно на следующих ребрах: а) AD ; б) AB ;
в) BB1.
3.11. На ребрах BB1 и DD1 пятиугольной призмы ABC...D1 E1 заданы соответственно точки P и Q. Построить прямые параллельные прямой P Q и проходящие через следующие точки: а) E ; б) K, взятую на ребре AA1 ; в) L, взятую в грани AA1 BB1.
3.12. На ребрах BB1 и CC1 призмы ABCA1 B1 C1 заданы соответственно точки P и Q. Построить сечения призмы следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую BQ, параллельно прямой AP ; б) плоскостью, проходящей через прямую C1 P, параллельно прямой AQ ; в) плоскостью, проходящей через прямую AQ, параллельно прямой CP и плоскостью, проходящей через прямую CP, параллельно прямой AQ.
3.13. На ребре BB1 призмы ABCA1 B1 C1 задана точка P, а в грани ABC — точка Q. Построить сечения призмы следующими плоскостями:
а) плоскостью, проходящей через прямую C1 Q, параллельно прямой AP и плоскостью, проходящей через прямую AP, параллельно прямой C1 Q ;
б) плоскостью, проходящей через прямую CP, параллельно прямой C1 Q и плоскостью, проходящей через прямую C1 Q, параллельно прямой CP ;
в) плоскостью, проходящей через прямую CP, параллельно прямой B1 Q и плоскостью, проходящей через прямую B1 Q, параллельно прямой CP.
3.14. В грани ABCD призмы ABCA1 B1 C1 задана точка P. Построить сечения призмы следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую D1 P, параллельно прямой B1 D и плоскостью, проходящей через прямую B1 D, параллельно прямой D1 P ; б) плоскостью, проходящей через прямую A1 P, параллельно прямой DB1 и плоскостью, проходящей через прямую DB1 параллельно прямой A1 P ; в) плоскостью, проходящей через прямую B1 P, параллельно прямой A1 C и плоскостью, проходящей через прямую A1 C параллельно прямой B1 P.
3.15. На ребрах AC, BC и CC1 призмы ABCA1 B1 C1 заданы соответственно точки Q, R и S. Построить сечения призмы плоскостями, параллельными плоскости QRS и проходящими через точку P, заданную на следующих ребрах: а) CC1 ; б) BB1 ; в) A1 B1.
3.16. На ребрах AB и CC1 призмы ABCA1 B1 C1 заданы соответственно точки P и Q. Построить сечения призмы плоскостями, параллельными прямых B1 P и A1 Q и проходящими через точки K, L и M, взятые соответственно на следующих отрезках: а) C1 P ; б) BQ ; в) P Q.
3.3. Сечения пирамид 3.17. На ребрах AB, BD и AC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L и M соответственно. Построить сечение тетраэдра плоскостью KLM.
3.18. В тетраэдре ABCD точки K и L принадлежат грани ABC, а точка M — грани ACD. Построить сечение тетраэдра плоскостью.
3.19. Построить сечения пирамиды SABCD плоскостями, заданными следующими точками P, Q и R : а) P лежит на ребре SB, Q лежит на ребре AD1, R лежит в грани SCD, Q лежит в грани SAD ; б) P лежит в грани SAB, R лежит в грани SCD ; Q — лежит в грани SAD ;
в) P лежит на отрезке SM, где точка M лежит в грани ABCD, Q лежит в грани SBC, R лежит на ребре CD.
3.20. Построить сечения пирамиды SABC плоскостями, заданными следующими точками P, Q и R : а) P лежит на ребре SB, Q лежит на ребре AC, R лежит в грани ABC ; б) P лежит на продолжении ребра SB, причем точка B лежит между точками S и P, Q лежит на ребре AC, R лежит в грани SBC ; в) P лежит на отрезке SM, где точка M лежит в грани ABC, Q лежит на ребре SB, R лежит в грани ABC.
3.21. Построить сечения пирамиды SABC плоскостями, проходящими через прямую RQ, где точка R лежит на ребре AB, а точка Q — на ребре SC, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит на прямой BK, где точка K лежит на ребре SA и находится между точками B и P ; б) P лежит на отрезке CL, где точка L лежит в грани ABC ; в) P лежит на прямой BM, где точка M лежит в грани SAC и находится между точками B и P.
3.22. Построить сечения пирамиды SABCD плоскостями, проходящими через прямую QR, где точка Q лежит на ребре SB, а точка R — на ребре AD, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит в грани SCD ; б) P лежит на прямой AK, где точка K лежит в грани SBC и находится между точками A и P ; в) P лежит на отрезке SL, где точка L лежит в грани ABCD.
3.23. Построить сечения пирамиды SABCD плоскостями, проходящими через прямую DQ, где точка Q лежит на ребре SC, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит в грани SAB ; б) P лежит на прямой CK, где точка K лежит в грани SAB и находится между точками C и P ; б) P лежит на отрезке SL, где точка L лежит в грани ABCD.
3.24. Построить сечения пирамиды SABC плоскостями, проходящими через прямую AQ, где точка Q лежит на ребре SC, и точку P, заданную следующим образом: а) P лежит на прямой BK, где точка K лежит на ребре SA и находится между точками B и P ; б) P лежит на отрезке SL, где точка L лежит в грани ABC ; в) P лежит на прямой CM, где точка M лежит в грани SAB и находится между точками C 3.25. На ребрах SA и SD пирамиды SABCD заданы соответственно точки P и Q. Построить прямые, параллельные прямой P Q и проходящие через следующие точки: а) D ; б) K, взятую на ребре SC ; в) L, взятую в грани SAB.
3.26. На ребрах AC, SC и AB пирамиды SABC заданы соответственно точки P, Q и R. Построить сечения пирамиды следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую SB, параллельно прямой P Q и плоскостью, проходящей через прямую P Q параллельно прямой SB ; б) плоскостью, проходящей через прямую BQ, параллельно прямой CR и плоскостью, проходящей через прямую CR параллельно прямой BQ ; в) плоскостью, проходящей через прямую QR, параллельно прямой SP и плоскостью, проходящей через прямую SP параллельно прямой QR.
3.27. На ребрах SC и SA пирамиды SABC заданы соответственно точки P и Q, а в грани ABC — точка R. Построить сечения пирамиды следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую CQ, параллельно прямой SR и плоскостью, проходящей через прямую SR параллельно прямой CQ ; б) плоскостью, проходящей через прямую BP, параллельно прямой CQ и плоскостью, проходящей через прямую CQ параллельно прямой BP ; в) плоскостью, проходящей через прямую P Q, параллельно прямой SR и плоскостью, проходящей через прямую SR параллельно прямой P Q.
3.28. На ребрах SB и SD пирамиды SABCD заданы соответственно точки P и Q, а в грани ABCD – точка R. Построить сечения пирамиды следующими плоскостями: а) плоскостью, проходящей через прямую AC, параллельно прямой DP и плоскостью, проходящей через прямую DP, параллельно прямой AC ; б) плоскостью, проходящей через прямую DP, параллельно прямой BQ и плоскостью, проходящей через прямую BQ, параллельно прямой DP ; в) плоскостью, проходящей через прямую P R, параллельно прямой BQ и плоскостью, проходящей через прямую BQ, параллельно прямой P R.
3.29. На ребрах SC и SB пирамиды SABCD заданы соответственно точки P и Q, а в грани ABCD — точка R — точка пересечения диагоналей AC и BD. Построить сечения пирамиды следующими плоскостями:
а) плоскостью, проходящей через прямую DQ, параллельно прямой P R и плоскостью, проходящей через прямую P R параллельно прямой DQ ;
б) плоскостью, проходящей через прямую DP, параллельно прямой QR и плоскостью, проходящей через прямую QR параллельно прямой DP ;
в) плоскостью, проходящей через прямую DR, параллельно прямой P Q и плоскостью, проходящей через прямую P Q параллельно прямой DR.
3.30. На ребрах CD, BC и SC пирамиды SABCD заданы соответственно точки Q, R и T. Построить сечения пирамиды плоскостями, параллельными плоскости QRT и проходящими через точку P, заданную следующим образом: а) на ребре AD ; б) на ребре SA ; в) грани SAB.
3.31. На ребрах SA и SC пирамиды SABC заданы соответственно точки P и Q. Построить сечения пирамиды плоскостями, параллельными прямым BP и AQ и проходящими через точки K, L и M, взятые соответственно на следующих ребрах: а) SA ; б) SB ; в) BC.
3.4. Задачи на нахождение отношений и площадей 3.32. В треугольной призме ABCA1 B1 C1 точки M и N — середины ребер B1 C1 и AB соответственно, точка P лежит на ребре A1 B1 так, что A1 P : P B1 = 1 : 3. Построить сечение призмы плоскостью (CN P ) и найти отношение, в котором оно делит отрезок AM.
3.33. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. На ребре SD взята точка L так, что SL : LD = 2 : 1, точка K — середина ребра SB. Построить сечение пирамиды плоскостью (AKL) и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро SC.
3.34. В тетраэдре ABCD O — точка пересечения медиан грани ABC, M – середина ребра AD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M и вершину C параллельно прямой DO. Найти отношение, в котором это сечение делит ребро AB.
3.35. На ребрах A1 B1, AB и CC1 призмы ABCA1 B1 C1 выбраны соответственно точки M, N и P так, что A1 M : M B1 = BN : N A = = C1 P : P C = 1 : 2. Построить сечение призмы плоскостью (M N P ) и найти отношение C1 Q : B1 C1, где Q — точка пересечения плоскости (M N P ) с прямой B1 C1.
3.36. В параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 точки M и N — середины ребер AB и B1 C1, точка P лежит на ребре AD так, что AP : P D = = 3 : 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (M N P ) и найти отношение, в котором сечение делит ребро BB1.
3.37. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середины отрезков AB и AD проведена плоскость, параллельная ребру SA.
Найти площадь сечения, если AB = a, SA = d.
3.38. Построить сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через точки M, N и P лежащих соответственно на ребрах BC, BD и AD так, что M C = 2M B, DN = 2N B и DP = 2AP. Определить в каком отношении эта плоскость делит площадь треугольника ADC.
3.39. Длина ребра куба ABCDA1 B1 C1 D1 равна a. Построить сечение плоскостью, содержащей диагональ AB1 и проходящую через середину ребра DD1. Найти площадь полученного сечения.
3.40. Длина ребра куба ABCDA1 B1 C1 D1 равна a. Точки M, N и K являются центрами трех граней с вершиной D1. Найти площадь сечения куба плоскостью (M N K).
3.41. Найти площадь сечения куба ABCDA1 B1 C1 D1 плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AA1, A1 D1, если длина ребра куба равна a .
3.42. На ребрах AA1 и AB параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 соответственно выбраны точки M и N так, что AM = 3M A1 и AN = N B.
Найти отношение, в котором плоскость C1 M N делит ребро BC.
3.43. Точки M и N являются серединами ребер AD и BB1 параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1, а P — центр грани A1 B1 C1 D1 (т.е. точка пересечения диагоналей этой грани). Найти отношение, в котором плоскость P M N делит ребро AB.
3.44. В параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 все грани прямоугольники, AD = 4, DC = 8, CC1 = 6. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоскости (ABC1 ) и найти его периметр.
3.45. Все ребра тетраэдра ABCD равны a. Точка M — середина ребра DB, точка N лежит на ребре BC так, что BN : N C = 2 : 1.
Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M и N параллельно прямой AB, и найти его площадь.
3.46. Точка O — центр основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Через середины отрезков AB, DC и SO проведена плоскость. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки A и C параллельно ребру SB равна q.
3.47. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение, проходящее через середины двух смежных боковых ребер параллельно высоте пирамиды. Найти площадь этого сечения, если боковое ребро равно 18, а диагональ основания равна 16 2.
3.48. Точка O — точка пересечения диагоналей грани A1 B1 C1 D1 куба ABCDA1 B1 C1 D1, точка M - середина ребра AD. Построить сечение куба плоскостью проходящей через точку M, параллельно прямым AO и C1 D и найти площадь сечения, если ребро куба равно 4.
3.49. На диагоналях AB1 и BC1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 расположены соответственно точки M и N так, что отрезок M N параллелен плоскости ABCD. Найти отношение AM : AB1, если M N : AB = 5/3.
3.50. Точки M и N — середины ребер AD и BB1 параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1, M N = a, а диагонали грани A1 B1 C1 D1 пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через точку P параллельно прямой M N, пересекает грань AA1 D1 D в точке Q. Найти длину отрезка P Q.
3.51. Пусть точки O и O1 — центры граней ABCD и A1 B1 C1 D куба ABCDA1 B1 C1 D1. На отрезке OO1 выбрана точка S так, что O1 S :
: OS = 1 : 3. Через эту точку проведено сечение куба, параллельное его диагонали AC1 и диагонали BD основания. Найти площадь этого сечения, если ребро куба равно a.
3.52. Среди всех сечений куба, проходящих через его диагональ, указать то, которое имеет наименьшую площадь. Найти эту площадь, если ребро куба равно a.
3.53. Секущая плоскость треугольной призмы ABCA1 B1 C1 проходит через точки A1, C параллельно прямой BC1. Определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро AB.
3.54. В призме ABCA1 B1 C1 медианы основания ABC пересекаются в точке M, а диагонали граней AA1 C1 C и BB1 C1 C в точках N и P соответственно. Плоскость M N P пересекает прямую B1 C1 в точке K.
Найти отношение B1 K : B1 C1.
3.55. Каждое ребро тетраэдра ABCD равно a. На ребрах AD, DC и BC расположены соответственно точки M, N и P так, что AM = 2a/3, CN = a/2 , CP = a/4. Плоскость M N P пересекает ребро AB в точке Q. Найти BQ.
3.56. В основании правильной пирамиды SABCD лежит квадрат, а боковые грани — правильные треугольники. Точки P и N лежат на сторонах основания AD и CD соответственно. Точки M и K лежат на боковых ребрах AS и CS соответственно. Известно, что AP : DP = = 2 : 1, CN = DN и AM = M S. Через точки M и N, P и K проведены две пересекающиеся между собой прямые M N и KP. Определить CK : KS.
3.57. На ребре AB тетраэдра ABCD выбрана точка M так, что AM : AB = x. Через точку M проведено сечение плоскостью, параллельной AD и BC. При каком x сечение этой плоскостью будет ромбом, если AD = 3BC.
3.58. Длины ребер AC и BD тетраэдра ABCD равны соответственно a и b, угол между прямыми AC и BD равен. Найти наибольшую площадь сечения тетраэдра, параллельного прямым AC и BD.
3.59. Пусть SABCD — четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Точки K, L, M лежат на ребрах SB, SA, AD соответственно, причем AL = 2LS, AM = M D, KB = 3SK. На прямой (LM ) выбрана точка X, а на прямой (SC) — точка Y так, что (XY )(AK). Найти LX : XM.
3.60. Пусть SABCD — четырехугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция ABCD ( BCAD ), причем AD = 2BC. Точки K, L лежат на ребрах SA, AB соответственно, причем SK = 2KA, AL = 3LB. На прямой (KL) выбрана точка X, а на прямой (AC) — точка Y так, что (XY )(SD). Найти LX : XK.
Глава Векторы 4.1. Алгебра векторов 4.1. Доказать, что сложение n векторов, где n > 2, можно выполнять по правилу многоугольника: A1 A2 + A2 A3 +... + An1 An = A1 An.
4.2. Доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существует такое число R, что AC = AB.
4.3. Доказать, что точка B является серединой отрезка AC тогда и только тогда, когда для произвольной точки O выполняется OB = = 2 (OA + OC) .
4.4. Известно, что AB = AC. Доказать, что точка B лежит на отрезке AC тогда и только тогда, когда [0; 1].
4.5. Доказать, что B [AC] тогда и только тогда, когда для любой точки O найдется такое число [0; 1], что OB = (1 )OA + OC.
Доказать, что при этом = |AB|.
4.6. Доказать, что точки A, B, C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда для любой точки O найдется такое R, что выполняется равенство OB = (1 )OA + OC. Доказать, что тогда = |AB|.
4.7. Даны точки A(1, 4, 3), B(3, 2, 8), C(1, 2, 1), D(11, x, y).
При каких x и y векторы AB и CD являются коллинеарными?
4.8. Даны точки A(3, 2, 5), B(5, 4, 8), C(3, x, y). При каких x и y точка C лежит на прямой AB ?
4.9. Даны точки A(1, 2, 3) и B(17, 13, 9). Найти координаты такой точки C отрезка AB, что |AC| : |CB| = 2 : 1.
4.10. Пусть точка C лежит на отрезке AB и |AC| : |CB| = 1 : 3.
Разложить вектор OC по векторам OA и OB.
4.11. Пусть точка O – центр правильного многоугольника A1 A2... An.
Доказать, что OA1 + OA2 +... + OAn = 0.
4.12. Пусть OA + OB + OC = 0 и |OA| = |OB| = |OC|. Доказать, что ABC — правильный треугольник.
4.13. Пусть M и N — середины отрезков AB и CD. Доказать, что M N = (AC + BD)/2.
4.14. Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
4.15. Даны три точки A, B, C. Для произвольной точки X пространства выбрана точка O так, что XO = 3 (XA+ XB + XC). Доказать, что:
a) расположение точки O не зависит от выбора точки X ; b) точка O является точкой пересечения медиан треугольника ABC.
4.16. Даны точки A1, A2,..., An. Для произвольной точки X пространства выбрана точка O так, что XO = n (XA1 + XA2 +... + XAn ).
Доказать, что расположение точки O не зависит от выбора точки X.
(Точка O называется центром масс системы материальных точек A1, A2,..., An равной массы.) 4.17. Доказать, что точка O является центром масс системы материальных точек A1, A2,..., An равной массы тогда и только тогда, когда 4.18. Доказать, что центр масс системы материальных точек равной массы, расположенных в вершинах произвольного четырехугольника, совпадает с серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей этого четырехугольника.
4.19. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины с центрами масс противоположных граней, переАлгебра векторов секаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 3 : 1, считая от вершины.
4.20. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
4.21. Даны два треугольника ABC и A1 B1 C1 с центрами тяжести M и M1 соответственно. Доказать, что M M1 = (AA1 + BB1 + CC1 )/3.
4.22. Назовем средней линией произвольного четырехугольника отрезок, соединяющий середины несмежных сторон. Доказать, что: a) средние линии четырехугольника точкой пересечения делятся пополам; b) центр масс системы материальных точек равной массы, расположенных в вершинах четырехугольника, совпадает с серединой средней линии этого четырехугольника; c) две средние линии и две диагонали четырехугольника (всего четыре отрезка) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда этот четырехугольник является параллелограммом; d) середины средних линий произвольного четырехугольника и середина отрезка, соединяющего середины диагоналей (всего три точки), совпадают.
4.23. Медиатрисой выпуклого четырехугольника называется отрезок, соединяющий одну из вершин этого четырехугольника с точкой пересечния медиан треугольника, образованного остальными тремя вершинами четырехугольника. a) Доказать, что четыре медиатрисы выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке. b) В каком отношении точка пересечения медиатрис делит каждую из них?
4.24. Дан треугольник ABC. Точки A1 и B1 выбраны так, что A1 [BC], B1 [AC], причем |BA1 | : |A1 C| = |AB1 | : |B1 C| = 1 : 2.
Точка O является пересечением отрезков [AA1 ] и [BB1 ]. a) Разложить вектор AO по базису = AC, = AB ; b) определить, в каком отноu v шении точка O делит отрезки AA1 и BB1.
4.25. Дан треугольник ABC. На отрезках BC и AC соответственно выбраны точки A1 и B1 так, что |BA1 | : |A1 C| = 3 : 1 и |AB1 | : |B1 C| = = 1 : 2. Точка O является пересечением отрезков [AA1 ] и [BB1 ]. a) Разложить вектор AO по базису = AC, = AB ; b) определить, в каком отношении точка O делит отрезки AA1 и BB1.
4.26. Даны четыре некомпланарных вектора, b,, d. Вычисa c лить сумму этих векторов, если известно, что для некоторых чисел x и 4.27. Даны три некомпланарных вектора, b, c. Найти k, если 4.28. Для трех произвольных векторов,, Доказать, что векuvw 4.29. Известно, что векторы,, не компланарны. Найти все значения p, q R, при которых векторы p + q + и + p + q коллинеарны.
4.30. Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник, M — точка пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базисных векторов = M A, b = M B, = M C, разложить по этому базису векторы M D, M E, M F, DF.
4.31. Пусть ABCDEF — правильный шестиугольник, M — точка пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базисных векторов b = AB, = AC, d = AM, разложить по этому базису 4.32. Пусть ABCDEF – правильный восьмиугольник, M — точка пространства, не лежащая в его плоскости. Принимая в качестве базисных векторов = M A, b = M B, = M C, найти в этом базисе выражения для векторов a) M E, M G ; b) CY, где Y — середина M F.
4.33. Даны две тройки коллинеарных точек: A1, A2, A3 и B1, B2, B3, причем (A1 A2 )(B1 B2 ). Известно, что для любого i {1, 2, 3} точка Ci лежит на отрезке Ai Bi и при этом выполняется равенство |Ai Ci | = = |Ai Bi |, где — некоторое положительное вещественное число. Доказать, что точки C1, C2, C3 коллинеарны.
4.34. На каждой из прямых a и b последовательно отмечены по n |Bi Bi+1 | = q при всех i n 1. Пусть Ci — середина отрезка Ai Bi при всех i n. Доказать, что точки C1,..., Cn лежат на одной прямой.
4.35. При каком x векторы = (1, 2, 5), = (1, 3, 13) и = = (5, x, 29) компланарны?
4.36. Лежит ли точка M (1, 1, 1) в плоскости, проходящей через точки A(2, 0, 4), B(3, 27, 5) и C(4, 2, 10) ?
4.37. Даны точки A(4, 2, 3), B(7, 12, 8) и C(1, 1, 3). При каком значении x точка D(15, 36, x) лежит в плоскости ABC ?
4.38. Даны точки A(1, 2, 3), B(7, 4, 9), C(1, 1, 1) и D(3, 8, 6). Определить взаимное расположение прямых AB и CD.
4.39. Даны точки A(11, 4, 8), B(6, 3, 4), C(0, 1, 0) и D(1, 0, 4).
Пересекаются ли прямые AB и CD ? Если да, то найти координаты точки их пересечения.
4.40. Даны точки A(1, 1, 1), B(2, 0, 1), C(3, 2, z) и O(0, 0, 0). При каких значениях z отрезки AB и OC пересекаются?
4.41. Известно, что плоскость проходит через точки A(2, 1, 2), B(0, 1, 4), C(4, 1, 0). На прямой a лежат точки E(11, 4, 8) и F (6, 3, 4) .
Пересекаются ли a и ? Если да, то найти координаты точки их пересечения.
4.42. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1. Точка P является серединой диагонали BC1. Выразить вектор AP через векторы AB, AD и AA1.
4.43. Даны точки A(1, 2, 3), B(12, 4, 6), C(7, 2, 4). Известно, что четырехугольник ABCD является параллелограммом. Найти координаты точки D.
4.44. Даны точки A(3, 2, 1), B(12, 3, 5), C(6, 7, 3). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника ABC (т. е. его центра масс).
4.45. Найти расстояние от начала координат до центра окружности, описанной около треугольника с вершинами (1, 0, 1), (1, 1, 0) и (1, 1, 1) (систему координат считать декартовой).
4.46. Даны координаты двух вершин треугольника A(2, 1), B(3, 5) и координаты точки пересечения медиан этого треугольника M (1, 1).
Найти координаты вершины C.
4.47. Даны четыре вектора, сумма которых равна 0, а длина каждого равна единице. Доказать, что среди этих векторов можно выбрать два, которые будут противоположны друг другу, причем два оставшихся вектора также будут противоположны друг другу.
4.48. Через концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, проведена плоскость. Определить, в каком отношении она делит диагональ параллелепипеда, выходящую из той же вершины.
4.49. Пусть M1 — центр масс системы материальных точек A1, A2,..., An, M2 — центр масс системы материальных точек An+1, An+2,. .., An+m (массы всех n + m точек одинаковы), M — центр масс системы всех этих n + m точек. Доказать, что выполняются два соотношения:
4.50. Доказать, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
4.51. Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A1 B1 C1, а из медиан треугольника A1 B1 C1 составлен треугольник A2 B2 C2. Доказать, что треугольники ABC и A2 B2 C2 подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.
4.52. Даны два треугольника ABC и A1 B1 C1, не лежащие в одной плоскости, M, N — середины сторон AC, BC, а M1, N1 — середины сторон A1 C1, B1 C1. Доказать, что если AB = A1 B1, то векторы M M1, N N1, CC1 коллинеарны.
4.53. Дана треугольная призма ABCA1 B1 C1. Доказать, что если A0, B0, C0 — середины сторон BC, CA, AB соответственно, то прямые A0 A1, B0 B1, C0 C1 пересекаются в одной точке.
4.54. Даны два подобных четырехугольника OABC и OA1 B1 C1 с общей вершиной, лежащие в различных плоскостях. Доказать, что прямые (AA1 ), (BB1 ), (CC1 ) параллельны одной плоскости.
4.55. Прямая a пересекает стороны AB и AD параллелограмма ABCD, а также его диагональ AC в точках B1, D1 и C1 соответственно. Пусть AB1 = b AB, AC1 = c AC, AD1 = d AD. Доказать, что c — среднее гармоническое чисел b и d, т. е. c = b + d.
4.56. Доказать, что если O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, а H — точка пересечения высот этого треугольника, то OH = OA + OB + OC.
4.57. В пространстве даны точки O, A, B, C. Доказать, что точка M принадлежит треугольнику ABC тогда и только тогда, когда найдется такая тройка таких неотрицательных чисел x, y, z, что x + y + z = 4.58. В параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 через середину M ребра BC проведена прямая, пересекающая прямые AC1 и DD1 соответственно в точках N и P. Найти отношение |M N | : |N P |.
4.59. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1, точка P — середина ребра AD. На прямых P B1 и BC1 взяты точки M, N так, что (M N )(A1 C1 ). Найти |A1 C1 | : |M N |.
4.60. Пусть SABCD – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Точка M – середина ребра AD, точка N является точкой пересечения медиан грани SBC. Точки P (AD), Q (SB) выбраны так, что (P Q)(M N ). Найти |P A| : |AD| и |SQ| : |QB|.
4.61. Пусть SABCD – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит трапеция ABCD ( (AB)(CD) ), причем 2|BC| = |AD|.
a) Выразить векторы SC, SD через векторы AB, AD, AS ; b) Пусть N — середина ребра SC ; найти точки P (AD), Q (SB) так, чтобы (P Q) (DN ).
4.62. ABCDA1 B1 C1 D1 — параллелепипед. На диагоналях AC и DC выбраны соответственно точки M и N так, что (M N )(BD1 ). Найти |M N | : |BD1 |.
4.63. На диагонали AC1 параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1, взята точка M, а на прямой B1 C точка N так, что (M N )(BD). Найти |BD| : |M N |.
4.64. Точки M и N — середины ребер AB и CD тетраэдра ABCD.
Точки P и Q расположены на ребрах AD и BC так, что отрезки M N и P Q пересекаются, а |AP | : |AD| = 2 : 3. Найти |BQ| : |BC|.
4.65. Точки M, N, и P соответственно — середины ребер AB, CD и BC тетраэдра ABCD. Через точку P проведена плоскость, параллельная прямым DM и AN. В каком отношении эта плоскость разделит ребро AD ?
4.66. Все ребра правильной треугольной призмы имеют длину a.
Точка M лежит на диагонали BC1 так, что |BM | : |BC1 | = 1 : 3.
На диагонали CA1 выбрана точка N так, что (M N )(ABB1 A1 ). Найти длину отрезка M N.
4.67. Дана шестиугольная пирамида SABCDEF, в основании которой лежит правильный шестиугольник ABCDEF. Точки P, Q, R — середины ребер DE, EF, AS. Найти отношения, в которых секущая плоскость делит боковые ребра.
4.68. В тетраэдре ABCD проведены медианы AM и DN граней ACD и ADB, и на этих медианах взяты соответственно точки E и F так, что (EF )(BC). Найти отношение |EF | : |BC|.
4.69. В призме ABCA1 B1 C1 медианы оснований ABC и A1 B1 C пересекаются соответственно в точках O и O1. Через середину отрезка OO1 проведена прямая, параллельная прямой CA1. Найти длину отрезка этой прямой, лежащего внутри призмы, если |CA1 | = a.
4.70. Основание пирамиды ABCDS — параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Через середину отрезка SO проведена прямая, параллельная медиане BM грани SAB. Найти длину отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если |BM | = a.
4.71. ABCDA1 B1 C1 D1 — параллелепипед. Проведена прямая, пересекающая прямые AA1, BC и C1 D1 соответственно в точках M, N и P так, что |M N | : |M P | = 2. Найти |CN | : |BC| (найти все решения).
4.72. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1. Точки K, L лежат на ребрах AD и CC1 соответственно, причем |KD| : |AK| = 3, |CL| :
: |C1 L| = 2. Через точки K, L параллельно диагонали AC1 проведена плоскость. a) В каком отношении эта плоскость делит ребро BC ? b) В каком отношении она делит объем параллелепипеда?
4.73. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 имеет длину a. На прямой BC взята точка M так, что прямые DA1, AB1 и D1 M параллельны одной плоскости. Найти длину отрезка D1 M.
4.74. Соответственно на ребре AD и диагонали A1 C параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 взяты точки M и N так, что прямая M N параллельна плоскости BDC1 и |AM | : |AD| = 1 : 5. Найти |CN | : |CA1 |.
4.75. Пусть ABCDS — правильная четырехугольная пирамида. На ребрах AS и BS соответственно выбраны точки K и L так, что |AK| : |KS| = |SL| : |LB| = 1 : 3, а точка M — середина ребра SC. Точка N выбрана на прямой CD так, что прямые KL и N M пересекаются.
Найти |DN | : |N C|.
4.76. В параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 точка M — середина ребра CD, N [BC1 ], P [AB1 ), при этом точки M, N, P лежат на одной прямой. Найти |P N | : |M N |.
4.77. В параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 точка M — середина ребра CD, P [BC1 ], N [AB1 ), при этом точки M, N, P лежат на одной прямой. Найти отношения |N P | : |P M |, |BP | : |P C1 | и |AB1 | : |AN |.
4.78. Даны две скрещивающиеся прямые m и n. На прямой m даны точки P, Q, R, а на прямой m — точки P1, Q1, R1, причем |P Q| = = k|P R| , |P1 Q1 | = k|P1 R1 |. Доказать, что прямые (P P1 ), (QQ1 ), (RR1 ) параллельны одной плоскости.
4.79. Даны два четырехугольника ABCD, A1 B1 C1 D1, лежащие в различных плоскостях, O, O1 — точки пересечения их диагоналей.
Доказать, что если |AO| : |OC| = |A1 O1 | : |O1 C1 | и |BO| : |OD| = = |B1 O1 | : |O1 D1 |, то прямые (AA1 ), (BB1 ), (CC1 ), (DD1 ) параллельны одной плоскости.
4.80. Дан тетраэдр ABCD и точка M. Через эту точку и точки пересечения медиан граней A1, B1, C1, D1 проведены прямые a1, b1, c1, d1. Доказать, что прямые a2, b2, c2, d2, проведенные через вершины A, B, C, D, параллельно прямым a1, b1, c1, d1, пересекаются в одной точке.
4.81. Даны два треугольника. Доказать, что если медианы одного из них параллельны сторонам другого, то и медианы второго из них параллельны сторонам первого.
4.82. Дан треугольник ABC. Прямая l пересекает прямые BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Доказать, что векторы AB + A1 B1 , BC + B1 C1, CA + C1 A1 коллинеарны.
4.83. Найти сечение параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 плоскостью (определите в каком отношении плоскость делит ребра параллелепипеда), проходящей через вершину A, точку P – середину ребра A1 B1 и точку Q на ребре C1 C такую, что |CQ| = |QC1 | /3. Определить, в каком отношении плоскость делит диагональ параллелепипеда.
4.84. Доказать, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.
4.85. Дан трехгранный угол. Доказать, что биссектрисы трех углов, смежных с его плоскими углами, лежат в одной плоскости.
4.86. Доказать, что три плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису одного из плоских углов трехгранного угла и противолежащее этому плоскому углу ребро, пересекаются по некоторой прямой.
4.87. Дан параллелограмм ABCD. Прямая l пересекает прямые (AB), (AC), (AD) в точках B1, C1, D1 соответственно. Доказать, что class='zagtext'> AC AB AD
4.90. Длина вектора равна 2, длина вектора b равна 3. Известно, что ( b )2 + (2 b )2 = 56. Найти угол между векторами и b.
4.91. Длины векторов, b и равны 3, 1 и 4 соответственно, а сумма этих векторов равна 0. Вычислить b + b +.
4.92. Какому условию должны удовлетворять векторы и b, чтобы выполнялось равенство | b | = | + b | ?
4.93. Доказать, что вектор ( · b ) ( · ) b перпендикулярен вектору.
лярны. Существует ли такое число k, что векторы a b c пендикулярны?
4.95. Даны три произвольных вектора, b,. Доказать, что векторы ( b · c ) a ( · ) b и перпендикулярны.
4.96. Доказать, что AB · CD + CA · BD + AD · BC = 0 каковы бы ни были точки A, B, C, D.
4.97. Используя векторы, доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
4.98. Используя векторы, доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
4.99. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, AB = = (6, 2), AC = (3, 4). Найти координаты вектора AH.
4.100. Пусть O — начало координат. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку N (3, 5, 2) и перпендикулярной вектору ON.
4.101. Плоскости и заданы уравнениями x + 2y z + 1 = 0 и 2x + 4y 2z 7 = 0 соответственно. Записать уравнение плоскости, параллельной обеим заданным плоскостям и находящейся от них на равных расстояниях.
4.102. Найти координаты точки, симметричной началу координат относительно плоскости, заданной уравнением 3x 2y + z + 1 = 0.
4.103. Являются ли точки (2, 5, 3) и (4, 1, 1) симметричными относительно плоскости, заданной уравнением x + 2y z 5 = 0 ?
4.104. Найти угол между плоскостями M N K и M N D, если M (0, 0, 0), N (1, 1, 1), K(3, 2, 1), D(3, 1, 2).
4.105. Найти угол между плоскостями ABC и P QR, если A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), P (2, 1, 2), Q(0, 1, 4), R(4, 0, 0).
4.106. Найти координаты точки пересечения прямой AB с плоскостью, задаваемой уравнением 2x + 2y z + 4 = 0, если A(2, 1, 1), B(3, 4, 0).
4.107. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 имеет длину 1. Точки E и F лежат на ребрах BC и C1 D1 соответственно, причем |BE| = 4, |F D1 | = = 5. Точка M — центр куба. Найти расстояние от точки A1 до плоскости EF M.
4.108. Ребро куба KLM N K1 L1 M1 N1 имеет длину 1. Точки A и B лежат на ребрах KL и M M1 соответственно, причем |KA| = 4, |BM1 | = = 5. Точка O — центр куба, точка P — проекция точки K1 на плоскость (ABO). Найти |AP |.
4.109. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 имеет длину 2. Точки L и K — середины ребер AD и CC1 соответственно. Найти расстояние от точки A1 до плоскости BLK.
4.110. Найти угол между плоскостями, которые заданы уравнениями 4.111. Найти координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением x2 + y 2 + z 2 = 25, и прямой, проходящей через точку (2, 1, 1) параллельно вектору (2, 4, 1).
4.112. Найти расстояние от плоскости до сферы, если они соответственно заданы уравнениями 2x + 2y z + 15 = 0 и x2 + y 2 + z 2 = 4.
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 4.113. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 ; точка M — середина ребра [CC1 ].
Найти косинус угла между векторами DA1 и DM.
4.114. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Используя векторы, найти угол между прямыми DA1 и AB1.
4.115. Тройка векторов, и имеющих длины 1, 2 и 3 соe1 e2 e ответственно, образует базис пространства. Известно, что, = 30,, = , = 60. Найти скалярное произведение векторов = 4.116. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Точка M — середина ребра [CC1 ].
Найти: a) угол между прямыми BM и DC1 ; b) расстояние от точки M до плоскости, проходящей через прямую DC1 параллельно прямой BM, если длина ребра куба равна a.
4.117. Используя векторы, найти угол и расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба с ребром 1.
4.118. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1, точка M — центр грани CC1 D1 D. Найти расстояние от точки A до прямой BM.
4.119. Найти координаты точки, симметричной точке (0, 1, 0) относительно прямой, проходящей через точки (1, 0, 0) и (1, 2, 1).
4.120. a) Найти координаты точки, симметричной точке (1, 2, 1) относительно прямой, проходящей через точки (0, 0, 1) и (1, 1, 0). b) Найти расстояние от точки (1, 2, 1) до этой прямой.
4.121. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 имеет длину 2. Точки E, F и G — середины ребер D1 C1, B1 C1 и AB соответственно; = (EF G), = (BB1 D1 ). a) Найти расстояние от точки A1 до плоскости. b) Найти координаты точки, симметричной точке A1 относительно плоскости.
c) Найти угол между плоскостями и. d) Точка X получена симметричным отражением точки A1 относительно, а затем отражением результата относительно ; точка Y получена симметричным отражением точки A1 относительно, а затем отражением результата относительно. Сравнить |A1 X| и |A1 Y |.
4.122. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 выбраны точки: K — середина ребра AA1, H [AD], M — центр грани CC1 D1 D, (KM )(B1 H). В каком отношении точка H делит отрезок AD ?
4.123. ABCA1 B1 C1 — прямая треугольная призма, объем которой равен 3. Известно, что A(1, 0, 1), B(2, 0, 0), C(0, 1, 0). Найти координаты точки A1. Для тех, кто забыл: объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на длину бокового ребра.
4.124. Плоскость, заданная уравнением x + y + z + D = 0, касается сферы, заданной уравнением x2 + y 2 + z 2 = 2x + 2y + 2z. Найти число D и координаты точки касания.
4.125. Используя векторы, доказать теорему Лейбница: если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то для любой точки X выполняется равенство |XA|2 + |XB|2 + |XC|2 = 3|XM |2 + |M A|2 + |M B|2 + |M C|2.
4.126. Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного треугольника минимальна.
4.127. Известно, что O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, H — точка пересечения высот этого треугольника, R — радиус описанной около него окружности. Доказать, что выполняется равенство |OH|2 = 9R2 (|OA|2 + |OB|2 + |OC|2 ).
4.128. Точка I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
Доказать, что |BC| · IA + |CA| · IB + |AB| · IC = 0.
4.129. Дан треугольник ABC, H – ортоцентр треугольника. Доказать, что HA · HB = HB · HC = HC · HA = k. Выразить k через стороны треугольника.
4.130. Даны две различные точки A, B. Найти геометрическое место точек M, для которых M A · M B = k 2, k = 0.
4.131. Даны две различные точки A, B. Найти геометрическое место точек M, для которых |M A| = k · |M B|, k > 0.
4.132. Дан параллелограмм ABCD. Около треугольника ABC описана окружность с центром O радиуса R. Доказать, что выполняется равенство |OD|2 = R2 + a2 + c2 b2.
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 4.133. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника, а ma и mb — длины медиан, проведенных к соответствующим сторонам. Доказать, что эти медианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a2 + b2 = 5c2.
4.134. Точка O – центр окружности, описанной около треугольника ABC. Доказать, что OA · sin 2 + OB · sin 2 + OC · sin 2 = 0 (здесь,, — соответственно величины углов A, B и C данного треугольника).
4.135. В правильном тетраэдре DABC точка M — центр грани BCD, а точка K — середина ребра AC. Найти угол между прямыми AM и BK.
4.136. В правильном тетраэдре DABC точка O — центр грани ABC, а точки N, K и M — середины ребер AB, CD и AD соответственно. Найти угол между прямыми M O и KN.
4.137. Дана правильная треугольная призма ABCA1 B1 C1 с длиной ребра основания 1; O и O1 — центры треугольников ABC и A1 B1 C1 соответственно. Известно, что длина ортогональной проекции отрезка AO на прямую B1 O равна 6. Найти длину бокового ребра призмы.
4.138. Дана правильная треугольная призма ABCA1 B1 C1 с длиной ребра основания 1; O — центр треугольника ABC. a) Известно, что длина проекции отрезка A1 O на прямую CB1 равна 1. Найти длину бокового ребра призмы. b) Найти расстояние от точки A1 до прямой OM, где M — центр грани BCC1 B1.
4.139. DABC — правильный тетраэдр с длиной ребра 2, M, N и K — середины ребер AD, AB и DC соответственно, O — центр треугольника ABC. Найти: a) угол между прямыми M O и KN ; b) расстояние от точки N до плоскости M KB ; c) расстояние между прямыми BO и KN.
4.140. DABC — правильный тетраэдр, [AK] и [DL] — медианы граней ADC и DCB соответственно. Найти угол и расстояние между прямыми AK и DL.
4.141. В основании тетраэдра SABC лежит правильный треугольник ABC с длиной стороны 2 2. Боковое ребро AS имеет длину 1 и перпендикулярно плоскости основания. Точки K и M — середины ребер SB и CB соответственно. Найти: a) расстояние от точки A до плоскости SCB ; b) угол между плоскостями ABS и CBS ; c) угол между прямыми AK и SM ; d) расстояние между прямыми AK и SM.
4.142. Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник ABC со стороной 4 2. Ребро SC перпендикулярно плоскости ABC, |SC| = 2, точки E и D — середины ребер BC и AB соответственно.
Найти угол и расстояние между прямыми SE и CD.
4.143. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно a. Квадрат A1 B1 C1 D является основанием правильной пирамиды SA1 B1 C1 D1 (точка S лежит вне куба), боковое ребро которой также равно a. Найти угол между прямыми AB и SC1.
4.144. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 имеет длину 2, точка P — центр грани CDD1 C1. a) Найти координаты точки X — ортогональной проекции точки B1 на плоскость DA1 C1. b) Найти расстояние от точки X до прямой AP.
4.145. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 имеет длину 2, точка P — центр грани CDD1 C1, точка K лежит на луче [BB1 ) так, что |BK| = 4. Жуки Вася и Петя таковы, что их размерами можно пренебречь, однако каждый из них имеет одну лапу длины 13. Вася ползает по прямой AP, а Петя — по прямой DK.a) Смогут ли Вася и Петя обменяться лапопожатием?
b) Если да, то найти координаты точки, в которой встретятся лапы Васи и Пети в тот момент, когда расстояние между ними будет наименьшим.
4.146. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1, |AD| = 4, |AB| = 1, |AA1 | = 2. Плоскость такова, что она перпендикулярна прямой AC1 и содержит точку B1. a) В каком отношении плоскость делит отрезок AD ? b) Построить сечение параллелепипеда плоскостью. c) Найти расстояние от точки C1 до плоскости. d) Построить точку M, симметричную точке C1 относительно.
4.147. Доказать, что из равенства длин отрезков, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, вытекает перпендикулярность пар противоположных ребер.
4.148. Известно, что в тетраэдре суммы квадратов противоположных ребер попарно равны. Доказать, что противоположные ребра взаимно перпендикулярны.
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 4.149. Дана четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой является прямоугольник ABCD. Высота пирамиды проходит через вершину A. Найти величину двугранного угла между плоскостями SBC и SCD, если |AD| = |SA| = 2a, |AB| = a.
4.150. Дан прямоугольник ABCD, у которого |AD| : |AB| = 3.
Прямоугольник перегнули по диагонали AC так, что угол между плоскостями ABC и ADC стал равным 30. Какой угол будет образовывать прямая AB с плоскостью ADC ?
4.151. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция. Ее большее основание равно a, острый угол равен 60, а меньшее основание равно боковой стороне. Трапецию согнули по диагонали AC так, что угол между плоскостями ABC и ACD стал равным 45. Найти расстояние между точками B и D.
4.152. В грани двугранного угла, равного 120, проведена прямая, образующая угол 60 c ребром двугранного угла. Найти угол между этой прямой и другой гранью.
4.153. В основании прямой призмы ABCA1 B1 C1 лежит правильный треугольник ABC со стороной 1, прямые AC1 и BA1 перпендикулярны.
Найти объем призмы.
4.154. a) Доказать, что сумма квадратов проекций всех ребер единичного куба на произвольную прямую не зависит от выбора этой прямой.
b) Найти эту сумму.
4.155. В единичный куб вписана сфера. a) Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки сферы до всех вершин куба не зависит от выбора этой точки. b) Найти эту сумму.
4.156. Дана правильная треугольная призма ABCA1 B1 C1, длины всех ребер которой равны a. Точки M и K выбраны так, что M [BC1 ], K [CA1 ], причем (M K)(ABB1 A1 ). a) Найти |M K|, если |BM | : |BC1 | = 1 : 3. b) Найти минимально возможную длину отрезка 4.157. Дана пирамида DABC с основанием ABC, грани которой ABD и ACD — прямоугольные треугольники. Ребро AD перпендикулярно медиане AK основания пирамиды. Известно, что |AD| = |AK|, точка E — середина отрезка BD, а точка G лежит на отрезке AC так, что |AG| = 3|GC|. Кроме того, в пространстве взята точка H так, что EF GH — равнобедренная трапеция с основаниями EF и GH, причем плоскость EF GH не проходит через середины отрезков AD и BC. Найти отношение площадей трапеции EF GH и треугольника BCD.
4.158. В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину. Точка M — середина ребра AD, точка O — центр треугольника ABC, точка N — середина ребра AB и точка K — середина ребра CD.
Найти угол между прямыми M O и KN.
4.159. В правильной треугольной пирамиде SABC ( S — вершина, |SA| = 4 ) точка D лежит на ребре SC, |CD| = 3, а расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найти объем пирамиды.
4.160. В основании прямой призмы ABCDA1 B1 C1 D1 лежит ромб ABCD с острым углом A = 60. Все ребра призмы имеют длину a. Точка K является ортогональной проекцией точки B1 на плоскость (DA1 C1 ), а точка L — ортогональной проекцией точки K на плоскость (DD1 C1 C).
Найти объем пирамиды DCLK.
4.161. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны BC, а точка M — середина стороны CD. Найти |AD|, если |AK| = 6, |AM | = 3 и KAM = 60.
4.162. В правильном тетраэдре ABCD отрезок M N соединяет середину ребра AC с центром грани BDC, а точка E — середина ребра AB. Найти угол между прямыми M N и DE.
4.163. В основании треугольной призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, длины катетов AB и AC которого равны a. Боковые ребра AA, BB, CC образуют с плоскостью основания углы в 60, а диагональ BC боковой грани CBB C перпендикулярна ребру AC. Найти объем призмы, если длина диагонали BC равна a 6.
4.164. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 длина стороны основания равна a, длина бокового ребра равна a/2. Точка D является ортогональной проекцией середины ребра A1 C1 на плоскость AB1 C, а точка E — ортогональной проекцией точки D на плоскость AA1 B1 B.
Найти объем пирамиды A1 B1 DE.
4.2. Скалярное произведение векторов. Разные задачи 4.165. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD имеет длину a, боковое ребро — длину 2a. Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BD основания и боковом ребре SC, параллельные плоскости (SAD). a) Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали BD так, что |DM | : |DB| = 1 : 3. Найти его длину. b) Найти наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
4.166. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной ребро SA пирамиды перпендикулярно плоскости основания, |SA| = 3. Плоскость параллельна прямым SB и AC, плоскость параллельна прямым SC и AB. Определить величину угла между плоскостями и.
Глава Задачи на построение 5.1. Введение. Схема решения задач на построение Сначала обсудим набор данных нам инструментов. Если в условии задачи не говорится о том, какими инструментами нужно выполнять построение, это означает, что в нашем распоряжении есть только циркуль и линейка. Также сразу договоримся, что все точки, отрезки и другие геометрические фигуры, о которых будет идти речь в этой главе, лежат в некоторой фиксированной плоскости.
Циркуль. Этот инструмент позволяет выполнять только две операции. По данному отрезку AB и точке O с помощью циркуля мы можем провести окружность с центром в точке O радиуса AB. Кроме того, циркуль позволяет найти пересечение этой окружности с любой ранее построенной фигурой (может случиться, что это пересечение будет пустым множеством).
Линейка. С помощью линейки можно провести прямую через любые две выбранные точки, а также найти пересечение этой прямой с любой другой ранее построенной фигурой. Таким образом, под линейкой мы понимаем одностороннюю линейку без делений.
Обычно решение задачи на построение содержит следующие четыре этапа: анализ задачи, выполнение построения, доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи и, наконец, исследование задачи. На примере решения следующей задачи выясним, в чем суть каждого из этих этапов.
Пример 1. Построить треугольник ABC по сторонам AB = c, BC = a и углу BAC =.
5.1. Введение. Схема решения задач на построение Решение. 1. Поскольку нам дана сторона AB, решение задачи своC положим, что искомый треугольник a уже построен (рис. 1). Во-первых, точРис. ка C лежит на окружности радиуса a с центром в точке B. Во-вторых, точка C принадлежит лучу [AX), составляющему с лучом [AB) угол. На этом анализ задачи завершен.
Итак, анализ задачи состоит в определении геометрических свойств, которым должна удовлетворять точка (или последовательность точек), которую нам необходимо построить. При этом мы считаем, что искомая фигура уже построена.
2. Через произвольную точку A проведем произвольную прямую, на которой отметим отрезок AB длины c. Построим окружность с центром в точке B радиуса a. Проведем луч [AX), составляющим с лучом [AB) угол (тем, кто забыл как от данного луча отложить данный угол, следует посмотреть начало третьего параграфа этой главы). В пересечении луча [AX) с окружностью мы найдем искомую точку C.
Построение завершено.
Построение является описанием конечной цепочкой шагов, достаточной для нахождения искомой точки (или нескольких искомых точек).
Формально каждый из этих шагов является одной из четырех элементарных операций, которые мы можем проделать с помощь циркуля и линейки. На самом деле, к этим элементарным операциям мы также будем относить несколько таких хорошо известных задач на построение, как откладывание данного угла, построение серединного перпендикуляра к данному отрезку и т.д. (см. начало третьего параграфа).
3. Поскольку для треугольника ABC выполняются равенства AB = c, BC = a и BAC =, найденный треугольник искомый.
Находясь на этапе доказательства, мы проверяем, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи.
4. Число решений данной задачи зависит от количества точек переГлава 5. Задачи на построение сечения луча [AX) с окружностью. Первый случай: a = c · sin. В этом случае окружность касается луча [AX) (рис. 2) и решением будет прямоугольный треугольник. Второй случай: a < c · sin. В этом случае окружность не пересекает луча [AX) (рис. 3) и задача решений не имеет. Третий случай: c · sin < a < с (рис. 4). При таких числовых данных окружность пересекает луч [AX) в двух точках и задача имеет два решения. И, наконец, последний случай: a c (рис. 5). Окружность пересекает луч [AX) в единственной точке и задача имеет единственное решение. Подведем итоги: при a = c · sin и при a c задача имеет единственное решение; при a < c · sin задача решений не имеет; во всех остальных случаях задача имеет два решения.
Исследование задачи состоит в определении количества различных решений задачи в зависимости от данных числовых значений.
О подсчете числа решений надо поговорить особо. Существуют несколько типов задач на построение. Тип первый: по заданным отрезкам и углам надо построить некоторый n -угольник. Построение в этом случае можно начинать от произвольной точки плоскости и получать при этом бесконечно много одинаковых n -угольников. В таких задачах равные фигуры (т.е. переводящиеся друг в друга некоторым движением) считаются за одно решение. Так в предыдущем примере мы могли построить еще один луч [AY ), также составляющий с лучом [AB) угол. Но этот луч приводит к нахождению треугольников, которые равны уже построенным.
Второй тип: на плоскости задано некоторое множество точек и фигур.
В задаче требуют построить фигуру, специальным образом расположенную относительно заданного множества точек и фигур. В таких задачах если найденные фигуры не совпадают между собой, они считаются различными решениями. Типичный пример — надо провести касательную к окружности (O, R) из точки A, расположенной вне этой окружности.
Очевидно, что эта задача имеет два различных решения, хотя искомые касательные и переводятся друг в друга осевой симметрией с осью OA.
5.2. Геометрические места точек Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих некоторому свойству P (т.е. = {A : P(A)} ). Таким образом, решение задачи на ГМТ сводится к тому, что по данному геометрическому свойству P нам необходимо найти конкретную геометрическую фигуру (например, отрезок или дугу окружности), для которой выполняется: а) все точки фигуры удовлетворяют свойству P ; б) все точки плоскости, удовлетворяющие свойству P, принадлежат фигуре. Вместо условия (б) в некоторых задачах проще проверять условие б ) все точки плоскости, не лежащие в фигуре, не удовлетворяют свойству P.
Если в задаче на ГМТ сформулированы сразу два геометрических свойства — P1 и P2, для которых уже найдены фигуры 1 = {A : P1 (A)} и 2 = {A : P2 (A)}, то ГМТ, одновременно удовлетворяющих и P1, и P2, является пересечение фигур 1 и 2 (т.е. искомая фигура = 1 2 ).
Поэтому для решения сложных задач на определение ГМТ важно знать следующие простые, но очень важные частные случаи.
ГМТ1. ГМТ, равноудаленных от концов данного отрезка AB ( A = B ), является серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Здесь условие P — быть равноудаленной точкой от концов отрезка AB, фигура — серединный перпендикуляр к этому отрезку. Проверка выполнения условий (а) и (б) для серединного перпендикуляра к отрезку AB не составляет труда.
ГМТ2. ГМТ, удаленных от данной точки O на расстояние r > 0, является окружностью радиуса r с центром в точке O.
Доказательство в данном случае очевидно, поскольку свойство P является определением окружности.
ГМТ3. ГМТ, принадлежащих данному углу BAC и равноудаленных от прямых AB и AC, является биссектриса этого угла.
Как и в случае ГМТ1, выполнение условий (а) и (б) для биссектрисы угла BAC легко сводится к одному из признаков равенства прямоугольных треугольников.
ГМТ4. ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (AB) и (AC), является парой взаимно перпендикулярных прямых, которые содержат биссектрисы углов, образованных прямыми (AB) и (AC).
Последнее утверждение легко следует из ГМТ3 и очевидного факта, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
ГМТ5. ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом, является окружностью, построенной на этом отрезке как на диаметре, из которой исключены точки A и B (рис. 6).
ГМТ6. ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под данным углом ( 0 < < 180 ), является объединением двух равных дуг (рис. 7) с общей хордой AB, причем точки A и B из дуг исключены.
Убедимся в выполнении свойств (а) и (б ). Сначала заметим, что искомое ГМТ симметрично относительно прямой AB, поэтому достаточно рассмотреть только одну из полуплоскостей с границей (AB). На серединном перпендикуляре к отрезку AB в фиксированной полуплоскости найдем такую точку O1 (рис. 7), что AO1 B = 2 (о построении такой точке написано в начале следующего параграфа). Пусть 1 — это окружность с центром в точке O1 радиуса O1 A и 1 — дуга этой окружности, лежащая в выбранной полуплоскости, за исключением точек A и B. Проверка свойства (а) для 1 следует из теоремы о вписанном и центральном углах, опирающихся на одну дугу. Для доказательства свойства (б ) возьмем произвольную точку C выбранной полуплоскости и не лежащую на прямой AB. По крайней мере один из лучей — [AC) или [BC) — пересечет 1 в некоторой точке C1. Уже доказано, что AC1 B =. Отсюда, а также из свойства внешнего угла треугольника имеем: для точек выбранной полуплоскости, расположенных внутри окружности 1 (рис. 8), данный отрезок виден под углом больше ; для точек вне 1 — меньше (рис. 9).
Чуть позже (в четвертом параграфе этой главы) мы рассмотрим еще два важных ГМТ — радикальную ось дух окружностей и окружность Аполлония.
Переходим к решению задач. Обычно в решении этих задач данное в условии геометрическое свойство Q удается заменить эквивалентным свойством P (используя теоремы первых двух глав, простые геометрические или алгебраические соотношения), которое является одним из разобранных нами ГМТ1–ГМТ6. В этом случае достаточно привести доказательство эквивалентности свойств Q и P и использовать фигуру, соответствующую ГМТ для свойства P.
Пример 1. Найти ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых a и b.
Решение. Если a = b, то искомым ГМТ будет, очевидно, вся плоскость. Пусть теперь a = b. Выберем точки A a и B b так, что (AB)a. Осталось доказать, что X серединный перпендикуляр к отрезку AB для произвольной точки X (рис. 10) опуРис. стим перпендикуляры XY и XZ на прямые a и b соответственно ( Y a, Z b ) и сразу заметим, что Y A = ZB. Поэтому точка X принадлежит искомому ГМТ (т.е. XY = XZ ) тогда и только тогда, когда XY A = XZB, что равносильно XA = XB. Используя ГМТ1 получаем, что серединный перпендикуляр к отрезку AB является искомым ГМТ.
Пример 2. Дан треугольник ABC. Найти ГМТ X, удовлетворяющих неравенствам AX BX CX.
Решение. Пусть a — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Согласно ГМТ1 для точек этой прямой и только для них выполняется равенство XA = XB. Прямая a разбивает плоскость на две полуплоскости, в одной из которой выполняется неравенство XA XB, а в друГлава 5. Задачи на построение гой — обратное неравенство. Итак, ГМТ удовлетворяющих неравенству BX, является полуплоскость с границей a, в которой содержитAX ся точка A. Аналогично построим серединный перпендикуляр к отрезку BC (на рис. 11 это прямая b ) и выберем полуплоскость, в которой содержится точка B. Эта полуплоскость соответствует ГМТ, удовлетворяющих второму неравенству BX CX. Поскольку искомое ГМТ должно одновременно удовлетворять обеим неравенствам, остается пересечь две найденные полуплоскости. В результате получится угол, изображенный на рис. 11.
Пример 3. Найти геометрическое место таких точек X, что касательные, проведенные из X к данной окружности, имеют данную длину Решение. Пусть O — центр данной окружности, r — ее радиус. Обозначим также через Y точку касания (рис. 12) и из прямоугольного треугольника OXY сразу найдем OX = r2 + d2. Таким образом, используя ГМТ2, получаем, что искомой фигурой является окружность радиуса r2 + d2 с центром в точке O.
Пример 4. На окружности фиксирована точка A. Найти ГМТ X, делящих хорды с концом в точке A в соотношении 1 : 2, считая от точки Решение. Пусть [AB] — диаметр данной окружности, а точка C выбрана на луче [AB) так, что AC : CB = 1 : 2 (рис. 13). Сразу замечаем, что C принадлежит искомому ГМТ. Предположим теперь, что точка X делит хорду AY в данном отношении, тогда треугольники AXC и AY B подобны (есть пропорциональность двух пар сторон и общий угол между ними). Отсюда AXC = AY B = 90 и, согласно ГМТ5, точка X лежит на окружности, построенной на отрезке AC как на диаметре.
Исключим из этой окружности точку A (эта точка не может принадлежать искомому ГМТ, из-за невозможности деления на ноль) и докажем, что \{A} — искомое ГМТ. Мы уже проверили свойство (а) (свойство (а) определяется в начале этого параграфа) для этой фигуры. Для проверки свойства (б) выберем произвольную точку X \{A} и заметим, что (XC)(Y B). По теореме Фалеса получим AX : XY = AC : CB = 1 : 2, что и доказывает свойство (б) для фигуры \{A}.
Пример 5. Дан квадрат ABCD.
Найти все такие точки X плоскости, что сумма расстояний от точки X до прямых, содержащих две противопоZ ложные стороны квадрата равна сумN ме расстояний до двух прямых, содерE жащих оставшиеся две стороны.
Решение. Для удобства обозначим ки) обе суммы, о которых идет речь в условии задачи, равны a. Следовательно весь квадрат содержится в искомом ГМТ. Далее будем рассматривать точки вне данного квадрата.
Прямые, содержащие стороны квадрата разбивают плоскость на несколько частей, занумеруем их так, как это сделано на рис. 14. В областях 1 и 5 сумма расстояний до прямых (AB) и (CD) равна a, а другая сумма больше, чем a. По схожей причине не подходят точки областей с номерами 3 и 7. Для точек прямого угла M CN (номер области — 2) сумма расстояний до прямых (AB) и (CD) равна a + 2x, где x — расстояние от точки до луча [CM ) ; сумма же расстояний до прямых (AD) и (BC) равна a + 2y, где x — расстояние от точки до луча [CN ). Таким образом, эти суммы равны только в случае x = y, что, согласно ГМТ3, дает нам биссектрису угла M CN. Аналогично получаются биссектрисы углов 4, 6 и 8. Итак, искомое ГМТ — это объединение квадрата и четырех биссектрис.
Пример 6. Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой траектории движется середина этого отрезка?
Решение. Пусть длина данного отрезка равна 2r и точки X и Y перемещаются соответственно по лучам [BA) и [BC). Определим ГМТ M, где M — середина отрезка XY. В крайних положениях отрезок XY целиком лежит на одном из лучей [BA) или [BC), что дает нам две точки этих лучей, удаленных от точки B на расстояние r. Во всех остальных случаях треугольник XBY прямоугольный, и точка M, будучи серединой гипотенузы этого треугольника, удалена от точки B на расстояние r.
Обозначим через ту четверть окружности (B, r), которая содержится в угле ABC (рис. 15). Уже доказано, что всякая точка искомого ГМТ принадлежит, т.е. для проверено свойство (а). Выберем теперь произвольную точку M1 и проведем окружность радиуса r с центром в точке M1 (рис. 16). Эта окружность пересечет стороны данного угла в точках X1, B, Y1. Треугольник X1 BY1 прямоугольный (случай, когда M1 лежит на одной из сторон угла рассмотрите сами) и M1 — центр его описанной окружности. Отсюда M1 [X1 Y1 ] и X1 Y1 = 2r. Тем самым доказано свойство (б) для фигуры.
Пример 7. На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найти геометрическое множество точек пересечения биссектрис треугольника ABC.
Решение. Пусть — данная окружность с центром в точке O и M — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Точки A и B делят на две дуги 1 и 2. Будем читать, что 2 меньшая из двух дуг и имеет величину 2. Начнем со случая, когда C 1 (рис. 17). Тогда, по свойству вписанного угла C =. Отсюда AM B = 180 A/2 B/2 = = 90 + C/2 = 90 + /2. Это означает, по ГМТ6, что точка M лежит на некоторой дуге 1, состоящей из точек рассматриваемой полуплоскости, из которых отрезок AB виден под углом 90 + /2. Точки A и B в 1 не входят, поскольку при C = A или C = B треугольник вырождается. Также необходимо проверить, что всякая точка M1 1 будет точкой пересечения биссектрис одного из рассматриваемых треугольников. Удваивая углы M1 AB и M1 BA (рис. 18) мы получим точку C1 со свойствами: M1 является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC1 и AC1 B =. Учитывая, что события разворачиваются в полуплоскости с границей (AB), в которой находится дуга 1, мы получаем C1 1 и 1 удовлетворяет свойству (б). Аналогично рассматривается оставшаяся полуплоскость (случай, когда C 2 ). Здесь мы получим вторую дугу, состоящую из точек этой полуплоскости, из которых отрезок AB виден под углом 180 /2.
5.1. Найти ГМТ середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.
5.2. Найти ГМТ, удаленных от данного отрезка AB на расстояние r > 0 (расстояние от точки X до отрезка AB — это наименьшее из расстояний от точки X до всех точек отрезка AB ).
5.3. Найти ГМТ, из которых данный отрезок AB виден под углом 5.4. На данной прямой или окружности найти точку, из которой данный отрезок виден под данным углом.
5.5. Найти ГМТ середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
5.6. Найти ГМТ, из которых граница данного квадрата ABCD видна под углом 45.
5.7. Даны две параллельные прямые a и b и перпендикулярная к ним прямая c. Найти ГМТ плоскости, равноудаленных от этих трех прямых.
5.8. Найти ГМТ плоскости, равноудаленных от трех данных попарно пересекающихся прямых.
5.9. Найти ГМТ плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных параллельных прямых равна данному отрезку.
5.10. Найти ГМТ плоскости, для которых разность расстояний от двух данных параллельных прямых равна данному отрезку. Рассмотреть три возможных случая.
5.11. Найти ГМТ, расположенных внутри данного угла AOB, которые вдвое дальше отстоят от стороны OA, чем от стороны OB.
5.12. Найти геометрическое место центров окружностей данного радиуса, пересекающих данную окружность под прямым углом.
5.13. Две окружности, касающиеся одна другой, касаются данной прямой в двух данных точках A и B. Найти геометрическое место точек касания всех пар окружностей, удовлетворяющих этому условию.
5.14. Дан остроугольный треугольник. Найти геометрическое место центров прямоугольников, вписанных в этот треугольник так, что основания прямоугольников лежат на основании треугольника, а две вершины — на боковых сторонах треугольника.
5.15. Дан равносторонний треугольник со стороной a. Найти площадь ГМТ, удаленных от границы этого треугольника на расстояние не больше, чем a 3/12.
5.16. Найти ГМТ, сумма расстояний которых от сторон данного равностороннего треугольника равна его высоте.
5.17. Дан прямоугольник ABCD. Найти ГМТ X, для которых выполняется равенство AX + BX = CX + DX.
5.18. Два колеса радиусов r1 и r2 катаются по прямой l. Найти множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.
5.19. Даны две точки A и B. Две окружности касаются прямой AB (одна — в точке A, другая — в точке B ) и касаются друг друга в точке M. Найти ГМТ M.
5.20. Точка P перемещается по описанной окружности квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая, проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в точке X. Найти ГМТ X.
5.21. а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A1 и B1 движутся по той же окружности так, что величина дуги A1 B1 остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA1 и BB1. Найти ГМТ M. б) В окружность вписаны треугольники ABC и A1 B1 C1, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A1 B1 C1 вращается.
Доказать, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A1 B1 C1.
5.22. Пусть D и E — середины сторон AB и BC остроугольного треугольника ABC, а точка M лежит на стороне AC. Доказать, что 5.23. Внутри выпуклого многоугольника взяты точки P и Q. Доказать, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от Q, чем от P.
5.24. Точки A, B и C таковы, что для любой четвертой точки M либо M A M B, либо M A M C. Доказать, что точка A лежит на отрезке BC .
5.25. Дан четырехугольник ABCD, причем AB < BC и AD < DC.
Точка M лежит на диагонали BD. Доказать, что AM < M C.
5.26. Найти ГМТ X, из которых можно провести касательные к данной дуге AB окружности.
5.27. Пусть O — центр правильного треугольника ABC. Найти ГМТ M, удовлетворяющих следующему условию: любая прямая, проведенная через точку M, пересекает либо отрезок AB, либо отрезок CO.
5.28. На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно ли найдется точка M, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая такому условию: каждая прямая, проходящая через точку M, пересекает хотя бы один из этих кругов? Найти ГМТ M, удовлетворяющих такому условию.
5.29. На сторонах AB и BC треугольника ABC берутся точки D и E. Найти геометрическое место середин отрезков DE.
5.30. Две окружности касаются данной прямой в двух данных точках A и B и касаются друг друга. Пусть C и D — точки касания этих окружностей с другой внешней касательной. Найти геометрическое место середин отрезков CD.
5.31. В треугольнике ABC найти точки X и Y (точки Брокара) так, чтобы углы XAB, XBC и XCA, точно так же, как и углы Y AC, Y CB и Y BA, были равны между собой.
5.32. Пусть O — центр прямоугольника ABCD. Найти ГМТ M, для которых AM OM, BM OM, CM OM и DM OM.
5.33. На плоскости даны четыре точки. Найти множество центров прямоугольников, образуемых четырьмя прямыми, проходящими соответственно через данные точки.
5.34. Найти ГМТ X, лежащих внутри правильного треугольника ABC и обладающих тем свойством, что XAB +XBC +XCA = 90.
5.35. Доказать, что если биссектриса одного из углов треугольника имеет внутри треугольника общую точку с перпендикуляром, восставленным из середины противоположной стороны, то треугольник равнобедренный.
5.36. Дан треугольник ABC. Найти множество всех точек M этого треугольника, для которых выполнено условие AM BM CM. Когда полученное множество есть а) пятиугольник; б) треугольник?
5.37. Дан квадрат ABCD. Найти геометрическое место середин сторон квадратов, вписанных в данный квадрат.
5.38. Дан равносторонний треугольник ABC. Найти ГМТ M таких, что треугольники AM B и BCM равнобедренные.
5.39. Найти геометрическое место середин отрезков длины 2/ 3, концы которых лежат на сторонах единичного квадрата.
5.40. На сторонах AB, BC и CA данного треугольника ABC выбираются такие точки P, Q и R, что (P Q)(AC) и (P R)(BC). Найти геометрическое место середин отрезков QR.
5.41. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB, BC и CA выбираются точки C1, A1 и B1 соответственно. Найти ГМТ пересечения описанных окружностей треугольников AB1 C1, A1 BC1 и A1 B1 C.
5.42. Дана полуокружность с диаметром AB. Для любой точки X этой полуокружности на луче XA строится точка Y так, что XY = XB.
Найти ГМТ Y.
5.43. Дана полуокружность с центром O. Из каждой точки X, лежащей на продолжении диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности луч и на нем откладывается отрезок XM, равный отрезку XO. Найти ГМТ M, полученных таким образом.
5.44. Пусть A и B — фиксированные точки плоскости. Найти ГМТ C, обладающих следующим свойством: высота hb треугольника ABC равна b.
5.45. Даны окружность и точка P внутри ее. Через каждую точку Q окружности проведем касательную. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на прямую P Q, и касательная пересекаются в точке M.
Найти ГМТ M.
5.46. Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке O. Доказать, что отрезки, соединяющие точку O с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные части.
5.3. Задачи на построение К четырем операциям, которые мы можем выполнить с помощью циркуля и линейки (см. первый параграф этой главы) добавим еще несколько элементарных операций, которые мы будем часто использовать при решении задач на построение. Эти операции должны быть хорошо известны каждому школьнику, поэтому напомним только цепочку построений, с помощью которых можно получить ту или иную фигуру. Анализ в силу простоты задач не приводится, доказательство и исследование в этих задачах (далее они называются базовыми задачами, сокращенно БЗ) выполните самостоятельно.
БЗ1. Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку AB.
Для решения задачи достаточно провести две окружности одинакового радиуса r = AB с центрами в точках A и B соответственно, а затем через две точки пересечения этих окружностей провести прямую.
БЗ2. Через данную точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.
С центром в точке O строим произвольную окружность, пересекающую прямую a. Если A и B — точки пересечения и прямой a, то останется только (используя БЗ1) построить серединный перпендикуляр к отрезку AB. Заметьте, что указанное построение проходит и в случае, когда O a.
БЗ3. Через данную точку O провести прямую, параллельную данной прямой a.
Сначала строим прямую b, проходящую через точку O и перпендикулярную прямой a (используем БЗ2). Точно также через точку O проводим прямую c, перпендикулярную уже прямой b. Прямая c будет искомой.
БЗ4. Разделить данный отрезок AB на n равных частей ( n N ).
Через произвольную точку C, не лежащую на прямой AB, проведем луч [AC). На этом луче с помощью циркуля от точки A откладываем n равных отрезков (можно, например, откладывать сам отрезок AB ), получая попарно различные точки A1, A2,..., An. Останется соединить точки An и B и через каждую точку Ai провести прямую параллельно прямой An B (по БЗ3). Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые разделят отрезок AB на n равных частей.
БЗ5. Разделить данный угол BAC пополам.
Начнем со случая, когда BAC < 180. Проведем окружность с центром в точке A и найдем точки пересечения этой окружности со сторонами угла — точки K и L. Не изменяя радиус окружности проводим теперь пару окружностей с центрами в точках K и L. Пересечение этих окружностей — пара точек A и M. Поскольку отрезок AM является диагональю ромба AKM L, луч [AM ) искомый. Очевидно, что в случае BAC = 180 можно использовать БЗ2, если же BAC > 180, надо сначала построить биссектрису дополнительного угла, а затем выбрать противоположный этой биссектрисе луч.
БЗ6. От луча [XY ) отложить угол, равный данному углу BAC.
Снова начнем со случая, когда BAC < 180. С центром в точке A проведем окружность ненулевого радиуса и найдем точки пересечения этой окружности со сторонами угла — точки K и L. Окружность того же радиуса проведем с центром в X и обозначим через M точку пересечения этой окружности с лучом XY. Теперь проводим окружность 1 с центром в M радиуса KL. Если обозначить через P и Q точки пересечения окружностей и 1, имеем равенство равнобедренных треугольников AKL, XM P и XM Q. Отсюда P XM и QXM — искомые. Случай BAC = 180 очевиден, а случай BAC > 180 легко сводится к ранее рассмотренному.
БЗ7. Дан угол величины ( 0 < < 180 ) и некоторый отрезок AB ( A = B ). Построить множество точек, из которых данный отрезок виден под углом.
В случае = 90 с центром в точке P, середине отрезка AB (которую можно найти по БЗ4), строим окружность радиуса AB/2. Останется из этой окружности исключить точки A и B (см. ГМТ5). Пусть теперь = 90 и a — серединный перпендикуляр к отрезку AB. На прямой a выберем произвольную точку M, отличную от точки P. От луча [M P ) в полуплоскости, в которой находится, например, точка B откладываем угол, равный (по БЗ6), и получаем луч [M Q) (рис. 19). Через точки B и A проводим прямые, параллельные прямой M Q (по БЗ3), получаем точки O1 и O2. Строим две равные окружности радиуса O1 A с центрами в точках O1 и O2. Выбираем те дуги этих окружностей, которые соответствуют углу (на рис. 19 выбраны дуги для < 90, а на рис. 20 — > 90 ).
Рассмотрим несколько примеров. В записи решения мы будем старатьГлава 5. Задачи на построение ся следовать общей схеме из первого параграфа и активно использовать ГМТ1-6 и БЗ1-7. Совет: не спешите сразу читать решения задач, пытайтесь решить задачи самостоятельно.
Пример 1. Построить треугольник ABC по стороне a, высоте ha и углу = A.
Решение. Анализ. Предположим, что такой треAl угольник уже построен. Посмотрим, какими свойствами должна обладать точка A. Во-первых, она a удалена от прямой BC на расстояние ha и, воha вторых, из этой точки отрезок BC виден под углом (рис. 21). Построение. На произвольной прямой откладываем отрезок BC = a. Строим ГМТ, удаРис. ленных от прямой BC на расстояние ha. Получаем пару параллельных прямых l и m (несколько раз используем БЗ1). Затем строим ГМТ, из которых отрезок BC виден под углом (ГМТ6, БЗ7). В пересечении этих двух ГМТ получаем недостающую вершину треугольника. Доказательство. Сразу следует из построения. Исследование. Можно заметить, что даже если прямые l и m пересекают дуги окружностей в четырех точках, все четыре треугольника будут равны между собой. Поэтому решение единственно, если такое пересечение непусто. Во всех остальных случаях решений нет.
Замечание. В предыдущем примере при исследовании не было приведено алгебраическое соотношение между числовыми данными, гарантирующее непустоту пересечения двух ГМТ (как это сделано в примере 1 первого параграфа). Договоримся, что в случае, если вывод таких соотношений требует непростых тригонометрических преобразований (в предыдущем примере для острых надо было получить соотношение 0 < ha < a(cos + 1)/(2 sin ) ), мы будем заменять их геометрическими свойствами типа “если прямые l и m пересекают дуги окружностей в четырех точках”.
Пример 2. Построить прямую, проходящую через данную точку A и касающуюся данной окружности (O, r).
Решение. Анализ. Предположим, что такая прямая уже построена, и выделим два свойства, которыми обладает точка B — точка касания прямой и окружности. Во-первых, точка B удалена от точки O на расЗадачи на построение стояние r ; во-вторых, отрезок OA виден из точки B под прямым углом.
Построение. Строим на отрезке OA как на диаметре окружность и пересекаем ее с данной окружностью. Получаем в результате две точки касания. Остается соединить их с точкой A. Доказательство. Следует из того факта, что прямая, удаленная от центра окружности (O, r) на расстояние r, является касательной к этой окружности. Исследование.
Существуют две касательные, если OA > r ; одна, если OA = r ; во всех остальных случаях касательную провести нельзя (точка A находится внутри окружности).
Пример 3. Даны прямая a и окружность (O, R), не имеющие общих точек. Постройте окружность данного радиуса r, касающуюся их.
Решение. Анализ. Снова предполагаем, что такая окружность уже построена (рис. 22) и определим свойства, которым обладает точка O1 — центр искомой окружности. Точка O1 одновременно удалена на расстояние r и от окружности (O, R), и от прямой a. Построение. Проводим пару окружностей 1 = (O, R+r), 2 = (O, Rr) (вторая существует только в случае R r > 0 ). Строим параллельные прямые b и c, каждая из которых удалена от прямой a на расстояние r. Точки пересечения этих прямых с окружностями дают нам центры искомых окружностей.
Доказательство. Следует из построения. Исследование. Пусть прямая b и точка O расположены по одну сторону от прямой a. Тогда прямая c не может пересечь ни 1, ни 2, а прямая b не пересекается с 2 (по условию и a не пересекаются, поэтому точки 2 удалены от a на расстояние больше r ). Поэтому число решений совпадает с количеством точек пересечения прямой b и окружности 1 (на рис. 22 две точки пересечения дают две окружности). Если обозначить через h расстояние от точки O до прямой a, то количество искомых окружностей равно двум, если h < R + 2r ; одному — если h = R + 2r ; нулю — во всех остальных случаях.
Пример 4. Даны точка A и окружность (O, r). Провести через точку A прямую так, чтобы хорда, высекаемая данной окружностью на этой прямой, имела данную длину d.
Решение. Анализ. Предположим, что такая прямая уже построена и она высекает на окружности (O, r) хорду BC длины d. Обозначим через M середину хорды BC (рис. 23). Тогда в прямоугольном треугольнике OBM нам известна гипотенуза и катет (он равен d/2 ). Этот прямоугольный треугольник мы можем построить, т.е. длина отрезка OM определяется, а искомая прямая оказывается касательной из точки A к окружности (O, OM ). Построение. Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе r и катету d/2 и находим длину второго катета. Теперь к окружности с центром в точке O и только что найденным радиусом проводим касательную (см. пример 2). Доказательство. Следует из построения. Исследование. Ясно, что при d > 2r решений нет. В остальных случаях число решений совпадает с количеством касательных из точки A к окружности (O, r2 d2 /4) (см. исследование в примере 2).
Пример 5. Постройте треугольник по медиане m, биссектрисе l и высоте h, проведенными из одной вершины.
Решение. Пусть AM = m, AL = l, AH = h. Сразу отметим, что в случае равенства каких-либо двух из данных отрезков, мы сразу получаем AB = AC, m = l = h, и бесконечное множество различных треугольников удовлетворяют условию задачи. Поэтому далее считаем, что BA = AC, для определенности, BA < AC. Тогда по основному свойству биссектрисы BL < LC и поэтому L расположена между точками H и M (здесь мы еще используем, что из BA < AC следует, что B > C, а из последнего неравенства следует BAH < HAC ). Таким образом, при BA = AC биссектриса AL всегда лежит между высотой AH и медианой AM и поэтому h < l < m.
Анализ. Считаем треугольник ABC уже построенным и рассмотрим точку P — середину дуги BC описанной около ABC окружности (рис. 24). Тогда P определяется двумя условиями: P [AL) и P лежит на перпендикуляре к прямой HM, проведенному из точки M. Треугольники AHL и AHM строятся без труда (в каждом из них нам известен катет и гипотенуза). После определения точки P можно найти точку O — центр описанной около ABC окружности, поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AP и на прямой P M. Точки B и C определяются как точки пересечения прямой M H и окружности (O, OA).
Построение. На произвольной пряA мой a отмечаем точку H, строим перпендикуляр к a в точке H и отмечаем на нем точку A так, что HA = h.
На прямой a по одну сторону от точm ки H находим такие точки L и M, что AL = l и AM = m. Затем через M проводим перпендикуляр к прямой ка P найдена. Затем последовательно находим точки O, B и C, как это опиP сано выше. Доказательство. Очевидно, что отрезки AH и AM будут соответственно высотой и медианой. Отрезок AL будет являться биссектрисой построенного треугольника, поскольку продолжение этого отрезка пересечет дугу BC в ее середине. Исследование. Как уже отмечалось, при m = l = h существует бесконечное множество различных треугольников, удовлетворяющих условию задачи. При h < l < m решение единственно, поскольку из анализа следует однозначность в определении точек B и C. Во всех остальных случаях решения не существует.
5.47. Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
5.48. Построить трапецию по основаниям и боковым сторонам.
5.49. Построить трапецию по основаниям и диагоналям.
5.50. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
5.51. Построить параллелограмм по данным стороне, углу и диагонали.
5.52. Построить треугольник, зная расстояния от центра вписанной окружности до концов основания и основание.
5.53. Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Вписать в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.
5.54. Продолжения сторон AB и CD прямоугольника ABCD пересекают некоторую прямую в точках M и N, а продолжения сторон AD и BC пересекают ту же прямую в точках P и Q. Построить прямоугольник ABCD, если даны точки M, N, P, Q и длина a стороны В задачах 5.55–5.62 требуется построить треугольник по указанным в условии элементам.
5.61. a, ha и R.
5.63. Построить равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис.
5.64. Построить треугольник ABC, зная положение трех точек A1, B1, C1, являющихся центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
«