«Екатеринбург 2011 УДК 51(075.3) Подготовлено на кафедре математики СУНЦ УрГУ Печатается по решению Ученого Совета СУНЦ УрГУ: протокол №04 от 23.01.2008г Сборник задач по геометрии (издание второе, исправленное). ...»

7.135. В правильной четырехугольной пирамиде центр описанной сферы лежит на поверхности вписанной. Найти величину плоского угла при вершине пирамиды.

7.136. В правильной шестиугольной пирамиде центр описанной сферы лежит на поверхности вписанной. Найти отношение радиусов описанной и вписанной сфер.

7.137. Найти чему равна площадь сечения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 плоскостью, параллельной A1 BD и проходящей через точку D1, если AD = 2 и AB = AA1 = 1.

7.138. Через вершину A1 и середины ребер AC и BC правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 проведена плоскость. Найти периметр многоугольника, полученного в сечении, если сторона основания призмы равна 8, а боковое ребро равно 3.

7.139. Основанием пирамиды ABCD служит правильный треугольник ABC со стороной, длина которой равна 4. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 1. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной скрещивающимся ребрам AC и BD так, что в сечении получился квадрат. Найти длину стороны этого квадрата.

7.140. Центр вписанного шара делит высоту правильной четырехугольной пирамиды в отношении 4 : 3, считая от вершины. Найти отношение радиусов описанного и вписанного шаров.

7.141. В основании пирамиды с объемом 4,8 лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Найти площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота составляет равные углы с боковыми гранями, а основание высоты лежит внутри основания пирамиды.

7.142. В правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна a, а боковое ребро — 3a, проведено сечение, параллельное боковому ребру. Найти площадь этого сечения, если оно является ромбом.

7.143. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром a. Найти радиус сферы, проходящей через вершины A, B и середины ребер A1 B1, AD.

7.144. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середины ребер SA, SC и вершину B проведена плоскость. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, если сторона основания равна a, а боковое ребро равно b.

7.145. В основании четырехугольной пирамиды с вершиной S лежит параллелограмм ABCD. Через точку A и середины ребер CD и SB проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит ребро SC ?

7.146. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1. Сфера касается ребер BC и CD и проходит через вершины A и A1. Найти радиус сферы и расстояние от центра сферы до центра грани ABCD.

7.147. В основании прямой призмы ABCA1 B1 C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), а угол между прямыми AB и BC1 равен 60. Найти угол между прямой BC1 и плоскостью грани AA1 C1 C.

7.148. Пусть ABCDS — четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Известно, что P [BC], Q [CD], причем BP : P C = 1 : 2, CQ = QD. Через вершину C проведена плоскость, параллельная прямым AP и QS. Найти точку пересечения плоскости и прямой SA.

7.149. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1. Известно, что P [A1 B1 ], Q [CC1 ], причем A1 P : P B1 = 2, C1 Q : QC = 1 : 2. Найти такие точки R (AA1 ), S (CD), что прямые P Q и RS были бы параллельны.

7.150. Дан прямоугольный треугольник ABC ( C = 90 ) и плоскость. Известно, что AC : BC = 3 : 4, (AB) и угол между плоскостью ABC и плоскостью равен 60. Найти угол между плоскостью и прямой AC.

7.151. Основанием пирамиды с вершиной S служит правильный пятиугольник ABCDE. Высота пирамиды проходит через точку E и образует с плоскостью SBC угол 30. Найти величину угла, образованного гранью SAB и основанием пирамиды.

7.152. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1. Точки P, Q, R лежат на ребрах DD1, CD и AB соответственно, причем DQ = QD1, BR = = 2AR, P D = P D1. Найти угол и расстояние между (P R) и (B1 Q).

7.153. В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной a. Высота пирамиды проходит через вершину A. Через центр основания параллельно боковой грани SCD проведена плоскость, причем площадь полученного сечения равна 3a2 2/8. Найти высоту пирамиды.

7.154. Все ребра правильной треугольной призмы равны a. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями соседних граней.

7.155. В правильной шестиугольной пирамиде через центр основания проведено сечение, параллельное боковой грани. Найти отношение площади сечения к площади боковой грани.

7.156. Два боковых ребра пирамиды, равные a и b, образуют угол /3. Угол между их проекциями на плоскость основания равен 2/3.

Найти высоту пирамиды.

7.157. На диагоналях AC и DC1 параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D выбраны точки M, N так, что (M N )(BD1 ). Найти M N : BD1.

7.158. В тетраэдре ABCD выполняется: (AB)(CD), (AC)(BD).

Доказать, что (AD)(BC).

7.159. Ребро куба равно a. Через диагональ AC грани ABCD проведена плоскость так, что в сечении куба этой плоскостью получилась трапеция, острый угол которой равен arccos (1/ 10). Найти расстояние от вершины B до этой плоскости.

7.160. В правильной треугольной пирамиде расстояние от середины высоты до боковой грани и бокового ребра равно a и b соответственно.

Найти высоту пирамиды.

7.161. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1. Точки E, F лежат на ребрах AA1, BC соответственно, причем AE = 1/3, BF = 1/4. Через точки E, F и через центр куба проведена плоскость. Найти расстояние от вершины B до этой плоскости.

7.162. В плоскости дан равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC = l, AC = 2a ). Шар радиуса r касается плоскости в точке B. Две скрещивающиеся прямые проходят через точки A, C и касаются шара.

Угол между каждой из этих прямых и плоскостью равен. Найти расстояние между прямыми.

7.163. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1. Сфера касается ребер AD, DD1, CD и прямой BC1. Найти радиус сферы.

7.164. Сфера радиуса R делит каждое из ребер SA, SC, AB и CB треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины ребер AC и SB. Найти длину высоты, опущенной из S.

7.165. В пирамиде SABC двугранные углы при ребрах AB, BC, CA равны 90, 30, 90 соответственно. Плоскость пересекает ребра SB, SC, AC и AB в точках K, L, M, N, причем KLM N — трапеция, основание KL которой втрое больше основания M N. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 13, AS = BS = 13.

7.166. Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Сфера касается плоскостей всех боковых граней в точках, лежащих на сторонах основания. Найти радиус сферы.

7.167. Три параллельные прямые касаются в точках A, B, C сферы радиуса 4 с центром в точке O. Найти угол BAC, если известно, что площадь треугольника OBC равна 4, а площадь треугольника ABC больше 16.

7.168. Пусть DABC — треугольная пирамида. Точка Q — середина ребра AC, точка R лежит на ребре BD, причем DR = 2RB. Точки M, N лежат на прямых AR и DQ соответственно и (M N )(BC). Найти отношения M N : BC и DN : N Q.

7.169. Дана четырехугольная пирамида F ABCD. Ее основанием является параллелограмм ABCD ( AB = 2, AD = 1, BAD = 60 ).

Известно, что AF = 3, F AD = 30 и двугранный угол между плоскостями F AB и DAB равен 60. Найти длину ребра F D и угол, образованный ребром F A с плоскостью основания.

7.170. Дана четырехугольная пирамида SABCD. Ее основанием является прямоугольник ABCD. Высота пирамиды проходит через вершину A. Найти величину двугранного угла между плоскостями SBC и SCD, если AD = SA = 2a, AB = a.

7.171. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1. Точки P, M лежат на ребрах BC и DD1 соответственно, причем BP = 2P C, DM = = 5M D1 /4. Через точки P, M параллельно диагонали BD1 проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит ребро AD ? В каком отношении она делит объем?

7.172. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция. Ее большее основание AD равно a, острый угол равен 60, а меньшее основание равно боковой стороне. Трапецию согнули вдоль диагонали AC так, что угол между плоскостями ABC и ACD стал равным 45. Найти расстояние между точками B и D.

7.173. В основании треугольной пирамиды P QRS лежит правильный треугольник QRS. Высота пирамиды, опущенная из вершины P, проходит через середину ребра RS. Известно, что P Q = m 2, QR = m.

Пирамиду пересекает плоскость, параллельная ребрам P Q и RS и отстоящая от вершины Q на расстоянии d. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

7.174. Треугольная призма ABCA1 B1 C1 с нижним основанием ABC и боковыми ребрами AA1, BB1, CC1 рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где E — середина ребра AA1, F лежит на ребре BB1, причем F B1 = 2BF. Найти объем части призмы, заключенной между секущей плоскостью и нижним основанием, если объем призмы равен V.

7.175. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром 1. Пусть O — центр сферы, касающейся AA1, A1 B1, B1 C1. Найти радиус сферы, если расстояние от точки O до прямой BD равно 1/3.

7.176. Рассматривается ортогональная проекция куба с ребром a на плоскость, перпендикулярную диагонали куба. Во сколько раз площадь проекции будет больше площади сечения куба плоскостью, проходящей через середину диагонали перпендикулярно к ней?

7.177. Из точки O, лежащей в основании ABC треугольной пирамиды SABC, проведены прямые OA1, OB1, OC1, параллельные ребрам SA, SB, SC соответственно — до пересечения с гранями SBC, SCA, SAB в точках A1, B1, C1. Доказать, что

SA SB SC

7.178. Доказать, что если точка перемещается в плоскости основания правильной пирамиды, оставаясь внутри этого основания, то сумма расстояний от этой точки до боковых граней постоянна.

7.179. Доказать, что если все двугранные углы некоторой треугольной пирамиды равны, то и все ребра этой пирамиды равны.

7.180. Доказать, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения одинаково удалены от ребра.

7.181. В треугольной пирамиде проводятся сечения, параллельные двум ее пересекающимся ребрам. Найти сечение с наибольшей площадью.

7.182. Основание треугольной пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ). Известно, что AC = 48, а площадь треугольника ABC равна 432. Высота пирамиды проходит через середину боковой стороны. Точки A, B, C и середина высоты пирамиды лежат на сфере радиуса 30. Найти объем пирамиды, если ее высота меньше чем 70.

7.183. Пусть SABCD — четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Точки K, L, M лежат на ребрах SB, SA, AD соответственно, причем AL = 2LS, AM = M D, KB = 3SK. На прямой (LM ) выбрана точка X, а на прямой (SC) — точка Y так, что (XY )(AK). Найти LX : XM.

7.184. В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC. Боковое ребро [SA] образует с плоскостью основания угол = arctg(2/ 5), а боковые ребра [SC] и [SB] одинаково наклонены к плоскости основания. Параллельно ребрам [SA] и [BC] проведена плоскость, причем расстояние от точки S до плоскости равно 1.

Известно, что существует сфера с центром O, касающаяся всех граней пирамиды и плоскости. Найти радиус этой сферы, если известно, что точки S и O лежат по одну сторону от плоскости.

7.185. В правильный тетраэдр ABCD с длиной ребра 1 вписан шар.

Найти радиус шара, касающегося этого шара и трех граней ADC, ABC и ADB.

7.186. В основании прямой призмы ABCA1 B1 C1 лежит правильный треугольник ABC. Все ребра призмы имеют длину 1; M N — средняя линия грани BCC1 B1, параллельная ребру BC. Через центр треугольника ABC проходит прямая, пересекающая прямые AB1 и M N в точках P и Q соответственно. Найти длину отрезка P Q.

7.187. Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC со сторонами |AB| = 6, |AC| = 10 и |BC| = 14. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60. На биссектрисе BAC выбрана точка E так, что радиус шара, вписанного в трехгранный угол с вершиной A и касающегося прямой SE, равен 2/13. Найти длину отрезка AE.

7.188. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине A. Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой AC равно 2AB 2/3. (МФТИ. Билет 9, 1991) 7.189. В сферу радиуса 5/8 вписана четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой служит параллелограмм ABCD. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вершины S на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды касается второй сферы, расстояние от центра которой до прямой AD вдвое больше расстояния до прямой BC. Найти радиус второй сферы и расстояние от ее центра до вершины S, если AD : AB = 5 : 3.

(МФТИ. Билет 10, 1991) 7.190. В правильной треугольной пирамиде SABC ( S — вершина) точки D и E являются серединами ребер AC и BC соответственно.

Через точку E проведена плоскость, пересекающая ребра AB и SB и удаленная от точек D и В на одинаковое расстояние, равное 1/2. Найти Длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB, если BC = 4, SC = 3. (МФТИ. Билет 1, 1992) 7.191. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SABCD, основанием которой является трапеция ABCD, а также вписана в правильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SABCD. Найти радиус сферы, если объем пирамиды SABCD равен 64. (МФТИ. Билет 5, 1992) 7.192. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SKLM N ( S — вершина), и вписана в прямую треугольную призму ABCA B C, у которой AB = AC, BC = 4 2, а боковое ребро AA лежит на прямой KL. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SM параллельна плоскости BB C C. (МФТИ. Билет 8, 1992) 7.193. Основание прямой призмы ABCA1 B1 C1 — равнобедренный треугольник ABC, в котором AC = CB = 5, ACB = 2arcsin (3/5).

Плоскость, перпендикулярная прямой A1 C, пересекает ребра AC и A1 C в точках D, E соответственно, причем AD = AC/3, EC1 = A1 C1 /3.

Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью. (МФТИ. Билет 9, 1992) 7.194. Основание прямой призмы ABCDA1 B1 C1 D1 — равнобедренная трапеция ABCD, в которой (BC)(AD), BC = 1, AD = 5, BAD = arctg (3/2). Плоскость, перпендикулярная прямой A1 D, пересекает ребра AD и A1 D1 в точках E и F соответственно, причем AE = F D1 = 5/3. Найти площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

(МФТИ. Билет 10, 1992) 7.195. Через середину ребра AC правильной треугольной пирамиды SABC ( S — вершина) проведены плоскости,, каждая из которых образует угол /6 с плоскостью ABC. Найти площади сечений пирамиды SABC плоскостями,, если эти сечения имеют общую сторону длины 1, лежащую в грани ABC, и (SA). (МФТИ. Билет 1, 1993) 7.196. На сторонах BC и AD правильной четырехугольной пирамиды SABCD ( S — вершина) взяты точки P, Q. Сечения пирамиды двумя перпендикулярными плоскостями,, проходящими через прямую P Q, — трапеции с равными основаниями. Грань SAB образует угол /4 с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол между гранями SAB и ABCD равен arctg 2. Найти площади сечений, если P Q = 13. (МФТИ.

Билет 2, 1993) 7.197. Основание прямой призмы KLM N K L M N — ромб KLM N с углом 60 при вершине K. Точки E и F — середины ребер LL и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD ( S — вершина) лежит на прямой LN, вершины D и B — на прямых M M и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы и пирамиды, если SA = 2AB. (МФТИ. Билет 5, 1993) 7.198. Точки E и F — середины ребер CC и C D прямоугольного параллелепипеда ABCDA B C D. Ребро KL правильной треугольной пирамиды KLM N ( K — вершина) лежит на прямой AC, а вершины N и M — на прямых DD и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы и пирамиды, если AB : BC = 4 : 3, KL : M N = 2 : 3. (МФТИ.

Билет 6, 1993) 7.199. Внутри правильной треугольной пирамиды расположена прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней призмы принадлежит основанию пирамиды, другая грань — боковой грани пирамиды. Какой наибольший объем может иметь призма, если ребро основания пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 2 2 ? (МФТИ. Билет 9, 1993) 7.200. Внутри правильной четырехугольной пирамиды расположена прямая призма KLM N K L M N, в основании которой лежит ромб KLM N с углом 60 при вершине L. Ребро KK принадлежит основанию пирамиды, а ребро LL — диагонали этого основания. Какой наибольший объем может иметь призма, если диагональ основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 3 ? (МФТИ. Билет 10, 1993) 7.201. В основании прямой призмы ABCDA1 B1 C1 D1 лежит ромб ABCD с углом BAD, равным 2arccos (1/3). Сфера касается всех звеньев ломаной ABCC1 A1 и пересекает ребро BB1 в точках B1 и M. Найти объем призмы и радиус сферы, если B1 M = 1. (МФТИ. Билет 1, 1994) 7.202. Сфера пересекает ребро CC1 правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 в точках C1 и K и касается всех звеньев ломаной BCAA1 B1. Найти объем призмы и радиус сферы, если C1 K = 4. (МФТИ. Билет 3, 1994) 7.203. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ( S — вершина) AB = 3 2, высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку A, а другая - через точки B и D, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SC плоскости сечений? Найти расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями. (МФТИ. Билет 1, 1995) 7.204. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC, AB = 2, AC = 1, BAC = 120, SA = 3 2. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку C и середину ребра AB, а другая — через точку B, имеют равные площади.

В каком отношении делят ребро SA плоскости сечений? Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений, а также расстояние между этими плоскостями. (МФТИ. Билет 2, 1995) 7.205. На ребре AC правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C взята точка K так, что AK = 1/4, CK = 3/4. Через точку K проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол arctg (7/6) и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет. (МФТИ.

Билет 9,1995) 7.206. В основании прямой призмы ABCA1 B1 C1 лежит треугольник ABC со сторонами AB = AC = 25, BC = 40. На ребре AB взята точка M так, что BM = 15. Через точку M проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC угол arctg (11/15) и рассекающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно описать сферу, а около другого — нет. (МФТИ. Билет 10, 1995) 7.207. В основании призмы ABCDA1 B1 C1 D1 лежит прямоугольник ABCD. Острые углы D1 DA и D1 DC равны между собой, угол между ребром 1 D и плоскостью основания призмы равен arccos (1/ 13), a CD = 5 6. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину BC, угол между плоскостями D1 DC и ABC, а также расстояние от точки D до центра сферы. (МФТИ. Билет 1, 1996) 7.208. Все грани призмы ABCDA1 B1 C1 D1 касаются некоторого шара. Основанием призмы служит квадрат ABCD со стороной, равной 5.

Угол C1 CD — острый, a C1 CB = arctg (5/3). Найти C1 CD, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от точки C до точки касания шара с плоскостью AA1 D. (МФТИ.

Билет 2, 1996) 7.209. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1, ребро которого равно 6, точки M и N — середины ребер AB и B1 C1 соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что DK = 2KC. Найти: 1) расстояние от точки N до прямой AK ; 2) расстояние между прямыми M N и AK ; 3) расстояние от точки A1 до плоскости треугольника M N K. (МФТИ. Билет 5, 1996) 7.210. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1, ребро которого равно 4, точки E и F — середины ребер AB и B1 C1 соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что CP = 3P D. Найти: 1) расстояние от точки F до прямой AP ; 2) расстояние между прямыми EF и AP ; 3) расстояние от точки A1 до плоскости треугольника EF P. (МФТИ. Билет 6, 1996) 7.211. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно a и равно диагонали основания ABCD. Через точку A параллельно прямой BD проведена плоскость P, образующая с прямой AD угол, равный arcsin ( 2/4). Найти площадь сечения пирамиды плоскостью P и радиус шара, касающегося плоскости P и четырех прямых, которым принадлежат боковые ребра пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1997) 7.212. В треугольной пирамиде ABCD ребра AB и CD взаимно перпендикулярны, AD = BC, расстояние от середины E ребра AB до плоскости ACD равно h, DAC = /2, ACD = /4, угол между ребром DC и гранью ABC равен /6. Найти расстояние от точки E до плоскости BCD, угол между ребром AB и гранью ACD, а также угол между гранями ABD и ABC. (МФТИ. Билет 9, 1997) 7.213. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 равна 6, а высота равна 3/ 7. На ребрах AC, A1 C1 и BB1 расположены соответственно точки P, F и K так, что AP = 1, A1 F = 3 и BK = KB1. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, F и K. Найти площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения. (МФТИ. Билет 1, 1998) 7.214. Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна 5. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD ( AD = BC ), описанная около окружности и такая, что AB = 6, BAD = /3. Найти расстояние от точки D до плоскости SAB. Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани SAB. Найти объем конуса. (МФТИ. Билет 5, 1998) 7.215. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K — середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2, точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F. (МФТИ. Билет 1, 1999) 7.216. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, высота пирамиды, опущенная на основание, равна 2 2. На ребрах SA и SD расположены точки E и F так, что AE = 2ES, SF = = 5DF. Через точки E и F проведена плоскость, параллельная CD.

Найти: 1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью ; 2) радиус сферы с центром в точке A, касающейся плоскости ; 3) угол между плоскостью и плоскостью ABC. (МФТИ. Билет 5, 1999) 7.217. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 12, ADB = 2arctg (3/4). В треугольнике ABD проведена биссектриса BA1, а в треугольнике BCD проведены медиана BC и высота CB1. Найти: 1) объем пирамиды A1 B1 C1 D ; 2) площадь проекции треугольника A1 B1 C1 на плоскость ABC. (МФТИ. Билет 1, 2000) 7.218. В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC равен 2arcsin (1/6), а сторона основания ABC равна 2. Точки K, M, N — середины ребер AB, CD, AC соответственно. Точка E лежит на отрезке KM и 3M E = KE. Через точку E проходит плоскость перпендикулярно отрезку KM. В каком отношении плоскость делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения пирамиды плоскостью и расстояние от точки N до плоскости. (МФТИ. Билет 5, 2000) 7.219. Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F — середина ребра CD, точка S лежит на прямой AB, S = A, AB = BS. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным? (МФТИ. Билет 1, 2001) 7.220. Сторона основания ABC правильной пирамиды ABCD равна 4 3, DAB = arctg 37/3. Точки A1, B1, C1 — середины ребер AD, BD, CD соответственно. Найти: 1) угол между прямыми BA1 и AC1 ;

2) расстояние между прямыми BA1 и AC1 ; 3) радиус сферы, касающейся плоскости ABC и отрезков AC1, BA1 и CB1. (МФТИ. Билет 5, 2001) 7.221. Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный arctg 3/2. Точки E, F, K выбраны соответственно на ребрах AB, AD и SC так, что AE/EB = AF/F D = SK/KC = 1/2. Найти: 1) площадь сечения пирамиды плоскостью EF K ; 2) расстояние от точки D до плоскости EF K ;

3) угол между прямой SD и плоскостью EF K. (МФТИ. Билет 9, 2001) 7.222. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2. Плоскость, параллельная прямым SB и AD, пересекает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность радиуса 15/5.

Найти: 1) в каком отношении плоскость делит ребра пирамиды; 2) отношение объемов частей, на которые плоскость разбивает пирамиду;

3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плоскости. (МФТИ. Билет 3, 2002) 7.223. Расстояние от центра O шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4 2.

Найти: 1) высоту пирамиды; 2) расстояние от точки O до боковой грани пирамиды; 3) радиус вписанного в пирамиду шара. (МФТИ. Билет 5, 2002) 7.224. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота SO равна 3. Точка M — середина ребра SB, точка K — середина ребра BC. Найти: 1) объем пирамиды AM SK ; 2) угол между прямыми AM и SK ; 3) расстояние между прямыми AM и SK.

(МФТИ. Билет 9, 2002) 7.225. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно 1. Найти радиус сферы, касающейся: а) ребер BA, BB1, BC и плоскости A1 DC1 ; б) ребер BA, BB1, BC и прямой DA1 (МФТИ. Билет 5, 2003) 7.226. Основание прямой призмы ABCA1 B1 C1 — треугольник ABC, в котором AB = BC = 5, AC = 6. Высота призмы равна 6. На сторонах AC, BC и A1 C1 выбраны соответственно точки D, E и D так, что DC = AC/4, BE = CE, A1 D1 = A1 C1 /3, и через эти точки проведена плоскость. Найти: 1) площадь сечения призмы плоскостью ; 2) угол между плоскостью и плоскостью ABC ; 3) расстояние от точек C1 и C до плоскости. (МФТИ. Билет 9, 2003) 7.227. В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 5/2, точка E — середина AB, a F — точка пересечения медиан грани BCD, причем EF = 8. Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках E и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и BCD, площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD. (МФТИ. Билет 1, 2004) 7.228. Вписанные окружности граней SBC, SAC и SAB треугольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы 3, и 7 соответственно. Точка K является точкой касания окружностей со стороной SA, причем SK = 5. Найти длину отрезка AK, периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC. (МФТИ. Билет 5, 2004) 7.229. Задан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром длины 1. Найти: а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину B1, середину ребра AD и параллельной прямой A1 C1 ; б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину B1 и параллельной прямой A1 C1, у которой площадь проекции сечения на плоскость A1 C1 A максимальна.

(МФТИ. Билет 9, 2004) 7.3. Фигуры вращения 7.230. Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную общую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего шара равна 0,4. Найти площадь сечения этой плоскостью большего шара.

7.231. Расстояние от центра верхнего основания цилиндра до плоскости нижнего основания цилиндра равно радиусу основания цилиндра и равно 6. Найти расстояние от центра верхнего основания до хорды нижнего основания, стягивающего дугу 90.

7.232. Площадь сечения усеченного конуса плоскостью, проходящей через ось его симметрии, равна 5, а один из углов между диагоналями сечения равен. Найти высоту конуса.

7.233. Радиус основания конуса равен R, а боковая поверхность равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объем конуса.

7.234. Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120. Вычислить объем конуса.

7.235. Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 90. Вычислить объем конуса.

7.236. Определить боковую поверхность и объем усеченного конуса с образующей, равной l, описанного около шара радиуса r.

7.237. Радиус основания конуса равен R. Две взаимно перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса на части в отношении 1 : 2. Найти объем конуса.

7.238. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определить отношение объемов полученных частей конуса.

7.239. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в a раз больше площади верхнего основания. Во сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара?

7.240. В конус вписан шар. Доказать, что отношение полной поверхности конуса к поверхности шара равно отношению их объемов.

7.241. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину a. Через ось цилиндра проведена другая цилиндрическая поверхность, делящая окружность основания на две дуги, длины которых относятся, как 2 : 1. Эта цилиндрическая поверхность делит данный цилиндр на две части. Найти боковую поверхность и объем большей части цилиндра.

7.242. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких значениях q задача не имеет решения?

7.243. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса и его образующая равны h и l. Вычислить площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

7.244. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы прямую призму можно было вписать в цилиндр?

7.245. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы цилиндр можно было вписать в прямую призму?

7.246. Цилиндр рассечен плоскостью, не параллельной основаниям и их не пересекающей. Какие измерения нужно произвести, чтобы вычислить объем одной из отсеченных частей?

7.247. Фигура получена вращением прямоугольника около оси, параллельной одной из его сторон и лежащей в плоскости прямоугольника, но его не пересекающей. Доказать, что объем этой фигуры равен произведению площади прямоугольника на длину окружности, описываемой при вращении центром прямоугольника.

7.248. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания. В правильный тетраэдр с ребром a вписать равносторонний цилиндр так, чтобы одно из оснований цилиндра содержалось в одной из граней тетраэдра, а окружность второго основания касалась трех других граней. Вычислить объем и площадь боковой поверхности этого цилиндра.

7.249. В куб с ребром a вписать равносторонний цилиндр так, чтобы ось цилиндра содержала диагональ куба, а окружности оснований цилиндра касались граней куба. Вычислить объем этого цилиндра.

7.250. Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно уменьшили вдвое его высоту. Как изменилась площадь боковой поверхности и объем цилиндра?

7.251. В каком случае площадь треугольника, получающегося в сечении конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, имеет наибольшую величину?

7.252. В конус высоты h и с радиусом основания R вписать цилиндр с максимальной площадью боковой поверхности и найти эту площадь.

7.253. Дана сфера радиуса R. На расстоянии, равном 2R от центра сферы, взята точка S и из нее проведены все прямые, касающиеся сферы (т.е. имеющие с ней ровно одну общую точку). Что из себя представляет объединение этих касательных? Вычислить площадь поверхности, составленных из отрезков касательных от точки S до точек касания.

7.254. В сферу радиуса R вписать правильный тетраэдр (описать построение). Найти объем этого тетраэдра.

7.255. В сферу радиуса R вписать куб (описать построение). Найти объем этого куба.

7.256. Около сферы радиуса R описать правильный тетраэдр (описать построение). Найти объем этого тетраэдра.

7.257. Около сферы радиуса R описать правильный октаэдр (описать построение). Найти объем этого октаэдра.

7.258. Три образующие конуса содержатся в прямых — осях прямоугольной системы координат. В этот конус вписана сфера радиуса R.

Вычислить боковую поверхность конуса.

7.259. Каждое ребро куба разделено на три конгруэнтные части. Доказать, что полученные двадцать четыре точки деления принадлежат одной сфере. Вычислить площадь поверхности этой сферы, если длина ребра куба равна a.

7.260. Гранями параллелепипеда с ребрами длины a являются ромбы с острым углом 60. Вычислить объем вписанного в параллелепипед шара.

7.261. Из бумажного прямоугольника со сторонами a и b склеивают боковую поверхность цилиндра. Какие стороны следует склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел наибольший объем?

7.262. Доказать, что плоскость, пересекающая боковую поверхность цилиндра, но не пересекающая его основания, делит ось цилиндра, боковую поверхность и объем в одинаковом отношении.

7.263. Цилиндр пересекается плоскостью, не перпендикулярной его образующей и не пересекающей его основания. Какая кривая получится, если развернуть линию пересечения вместе с боковой поверхностью цилиндра на плоскость?

7.264. Найти геометрическое место центров кругов, образуемых при сечении данного шара плоскостями, проходящими: а) через данную прямую a ; б) через данную точку A.

7.265. Доказать, что отношение объемов шара и описанного около него усеченного конуса равно отношению площадей их полных поверхностей.

7.266. Плоскость касается двух касающихся шаров радиусов R и r в точках A и B. Найти длину отрезка AB.

7.267. Центры трех сфер радиусов 3, 4 и 6 расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоскостей, касающихся одновременно этих сфер?

7.268. Внутри конуса находятся четыре шара равного радиуса. Три шара касаются его основания, каждый шар касается боковой поверхности конуса, кроме того, каждый шар касается трех других. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

7.269. Радиус основания и высота конуса равны 1. Внутри конуса находятся три шара равного радиуса. Каждый шар касается двух других, основания конуса и боковой поверхности конуса. Найти радиус каждого из этих шаров.

7.270. Два равных конуса с общей вершиной S, высотой h и радиусом основания R ( R < h ) касаются друг друга и плоскости P, находясь по одну сторону от этой плоскости. Пусть l — прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Найти угол между прямой l и плоскостью P.

7.271. Два конуса, осевое сечение каждого из которых является правильным треугольником со стороной a, лежат на горизонтальной плоскости, касаясь друг друга и имея общую вершину. На какой высоте над этой плоскостью находится точка касания оснований этих конусов?

7.272. Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей вписано по шару. а) Найти отношение объема вписанного в одну из частей шара к объему исходного шара. б) Центры вписанных шаров являются вершинами многогранника. Найти отношение объема этого многогранника и данного шара.

7.273. Найти объем конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг радиуса R.

7.274. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся прямоугольным треугольником. Найти угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

7.275. Осевое сечение конуса является правильным треугольником.

Через ось конуса проведены две взаимно перпендикулярные плоскости.

Рассмотрим два шара, каждый из которых касается этих двух плоскостей, плоскости основания и боковой поверхности конуса, только один касается изнутри, а другой — снаружи. Найти отношение радиусов шаров.

7.276. Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна 2. Две вершины правильного треугольника расположены на грани одного основания цилиндра, а одна вершина — на границе другого основания. Найти сторону правильного треугольника.

7.277. Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре — на его боковой поверхности. Найти отношение объемов куба и конуса.

7.278. Три одинаковых шара касаются попарно между собой, а также касаются боковой поверхности и плоскости основания конуса. Центры шаров находятся внутри конуса. Найти угол в осевом сечении конуса, если известно, что точка касания каждого шара с боковой поверхностью конуса делит соответствующую образующую пополам.

7.279. В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC, у которого AB = AC = 2, BAC = 30. Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что существует конус, вершина которого совпадает с точкой A, а основание вписано в треугольник SBC. Найти объем пирамиды.

7.280. Найти объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 и 2 вокруг диагонали.

7.281. Две противоположные вершины куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные лежат на боковой поверхности цилиндра.

Найти отношение объемов цилиндра и куба.

7.282. ABC — правильный треугольник со стороной 3, M и K — точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1. Найти объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой M K.

7.283. Основанием пирамиды ABCD является правильный треугольник ABC стороной 12. Ребро BD перпендикулярно плоскости ABC и равно 10 3. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро BD и плоскость ABC. Найти радиус основания цилиндра.

7.284. Шар касается плоскости основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD в точке A и, кроме того, касается вписанного в пирамиду шара. Через центр первого шара и сторону основания BC проведена секущая плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания, если диагонали сечения перпендикулярны ребрам SA и SD.

7.285. Внутри прямого кругового конуса расположен куб так, что одно ребро куба лежит на диаметре основания конуса, вершины, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, центр куба лежит на высоте конуса. Найти отношение объемов конуса и куба.

7.286. Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со стороной a, боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно b, M — точка на ребре SA. Точки M, B, D лежат на поверхности прямого кругового конуса с вершиной в точке A, точка C — в плоскости основания конуса. Найти площадь боковой поверхности конуса.

7.287. Пусть точки A, B и C не принадлежат одной прямой. Что из себя представляет множество точек пространства, расстояния от которых до плоскости = (ABC) не превышают данной величины h и проекции которых на прямые BC, CA, AB принадлежат одной прямой?

7.288. Доказать, что в сечении боковой поверхности цилиндра плоскостью, не перпендикулярной оси цилиндра и не пересекающей его основания, получается эллипс. Указать наибольший и наименьший диаметры этого эллипса.

7.289. Что из себя представляет множества точек, находящихся на данных расстояниях от плоскости и от прямой l, наклоненной к этой плоскости?

7.290. Два цилиндра, имеющие равные радиусы оснований, расположены так, что их оси пересекают друг друга под прямым углом. Нарисовать фигуру, получившуюся в пересечении этих цилиндров. Вычислить ее объем, если радиусы оснований цилиндров равны r.

7.291. Вершина конической поверхности вращения совпадает с началом O прямоугольной системы координат Oxyz, ось вращения совпадает с положительным направлением оси Oz, луч, вращением которого получается поверхность, образует с осью Oz угол. Написать уравнение этой поверхности в координатах.

7.292. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы данный выпуклый четырехгранный угол мог быть вписан в коническую поверхность вращения так, чтобы ребра угла были образующими конической поверхности?

7.293. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы в данный выпуклый четырехгранный угол могла быть вписана коническая поверхность вращения так, чтобы угол и коническая поверхность пересекались в точности по четырем образующим поверхности — лежащим в гранях угла?

7.294. Доказать, что для того, чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, касающуюся оснований и каждой образующей конуса, необходимо и достаточно, чтобы длина высоты конуса была средним пропорциональным между диаметрами верхнего и нижнего основания конуса: 2R : h = h : 2r (здесь r — радиус верхнего основания, R — радиус нижнего основания, h — высота конуса).

7.295. При помощи циркуля и линейки построить диаметр данного материального (например, из углепластика) шара.

7.296. Все четыре стороны пространственного четырехугольника касаются сферы. Доказать, что четыре точки касания принадлежат одной плоскости.

7.297. Рассмотрим гексаэдр (шестигранник), все грани которого — четырехугольники, около которых можно описать окружность. Доказать, что существует единственная сфера, проходящая через все 8 вершин этого многогранника.

7.298. Что из себя представляет множество точек пространства, не содержащееся в одной плоскости, не совпадающее со всем пространством, и такое, что через каждые три его точки проходит окружность, содержащаяся в этом множестве?

7.299. Даны четыре попарно не пересекающиеся сферы равных радиусов с центрами, не принадлежащими одной плоскости. а) Сколько существует сфер, касающихся одновременно всех четырех сфер? б) Как построить эти сферы?

7.300. Пересечение сферы с двугранным углом, ребро которого проходит через центр сферы, называется сферическим двуугольником. Ограничивающие его две полуокружности называются его сторонами, величина двугранного угла, равная величине угла между касательными, проведенными к полуокружностям в точке их пересечения, называется величиной угла двуугольника. Доказать, что: а) если величины углов двух двуугольников на одной сфере равны, то сами двуугольники конгруэнтны; б) исходя из того, что конгруэнтные сферические двуугольники имеют равные площади, вывести для площади двуугольника формулу: S = 2R2, где R — радиус сферы, — радианная мера угла двуугольника.

7.301. Сферическим треугольником называется пересечение сферы и трехгранного угла с вершиной в центре сферы (или часть сферы, ограниченная тремя дугами больших кругов). Вычислить площадь сферического треугольника ABC, рассматривая его как пересечение трех двуугольников: одного с вершиной в точке A и соответствующем углом, другого с вершиной B и углом величины и третьего с вершиной C и углом.

7.302. Доказать, что если грани тетраэдра равновелики (т.е. имеют равные площади), то описанная около него и вписанная в него сферы концентрические.

7.303. Вывести формулу Симпсона: если площадь S(x) сечения пространственной фигуры плоскостью Px, проведенной перпендикулярно некоторой координатной прямой Ox через точку с координатой x, выражается многочленом от переменной x не выше второй степени, то объем фигуры можно вычислить по формуле V = h(S0 + 4Sm + Sn )/6, где h — высота фигуры, S0 — площадь непустого сечения с наименьшей координатой x = x0, Sn — площадь непустого сечения с наибольшей координатой x = x1, Sm — площадь сечения с координатой x = (x0 +x1 )/2.

Проверить справедливость этой формулы на уже известных формулах для объемов.

7.304. Можно ли внутри куба с ребром 1 разместить три цилиндра высоты 1 и диаметра 1/2 так, чтобы они не могли перемещаться внутри куба?

7.305. С помощью циркуля и линейки построить на плоскости отрезок, равный радиусу данного деревянного шара.

7.306. Планета получена вращением квадрата со стороной a вокруг его диагонали. Маршрут по поверхности этой планеты называется кругосветным, если он замкнут и симметричен относительно центра квадрата.

Найти длину кратчайшего кругосветного маршрута.

7.307. а) Доказать, что если все сечения тела плоскостями являются кругами, то это тело — шар. б) Доказать, что если все сечения тела плоскостями, проходящими через данную точку, являются кругами, то это тело — шар.

7.308. а) Можно ли четырьмя шарами закрыть точечный источник света? (Источник считается закрытым, если любой исходящий из него луч пересекает хотя бы один из шаров.) б) Каким наименьшим числом шаров одинакового радиуса можно закрыть точечный источник света?

7.309. В пространстве заданы тридцать ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45.

7.310. Три шара попарно касаются, а плоскость касается этих шаров в точках A, B и C. Найти радиусы этих шаров, если стороны треугольника ABC равны a, b и c.

7.311. Два шара одного радиуса и два другого расположены так, что каждый шар касается трех других и данной плоскости. Найти отношение радиусов шаров.

7.312. В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трех других. Доказать, что шесть точек касания принадлежат одной сфере или одной плоскости.

7.313. В пространстве расположены четыре конуса с общей вершиной и одинаковой образующей (но, вообще говоря, с разными радиусами оснований). Каждый из этих конусов касается двух других. Доказать, что четыре точки касания окружностей оснований конусов лежат на одной окружности.

7.314. На плоскости лежат n равных конусов с общей вершиной (n 3 ). Каждый конус касается двух других конусов. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

7.315. Оси трех равных попарно касающихся цилиндрических поверхностей взаимно перпендикулярны. Найти радиус наибольшей цилиндрической поверхности, которая может пройти между данными, если их радиус равен r.

7.316. а) Две окружности, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в двух точках A и B. Доказать, что существует единственная сфера, содержащая эти окружности. б) Докажите справедливость утверждения предыдущего пункта в случае, когда обе окружности касаются прямой l в точке A.

7.317. а) В пространстве расположены несколько окружностей, причем любые две из них имеют пару общих точек. Доказать, что либо все эти окружности имеют две общие точки, либо все они лежат на одной сфере (или в одной плоскости). б) Три окружности попарно касаются друг друга (т.е. имеют общие точки и общие касательные в этих точках), причем все точки касания различны. Доказать, что эти окружности лежат на одной сфере (или в одной плоскости).

7.318. На сфере радиуса 2 расположены три попарно касающиеся окружности радиуса 1. Найти радиус наименьшей окружности, расположенной на этой сфере и касающейся всех трех окружностей.

7.319. Доказать, что в четырехгранный угол можно вписать сферу тогда и только когда, когда суммы его противоположных плоских углов равны.

7.320. Доказать, что многогранник, описанный около сферы радиуса 10 и целиком лежащий внутри сферы радиуса 11, имеет более двадцати двух граней.

7.321. Доказать, что если все грани многогранника являются вписанными многоугольниками, а в каждой его вершине сходятся три ребра, то этот многогранник можно вписать в шар.

7.322. У белого многогранника некоторые грани покрашены черной краской так, что никакие две черные грани не имеют общего ребра. Доказать, что если выполнено хотя бы одно из условий: а) черных граней больше половины; б) площадь черных граней больше площади половины площади поверхности многогранника, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

7.323. У белого многогранника некоторые вершины покрашены черной краской так, что никакие две черные вершины не соединены ребром, и черных вершин больше половины. Доказать, что в этот многогранник нельзя вписать шар.

7.324. Известно, что все ребра многогранника M равны и касаются некоторого шара. а) Доказать, что если одна из граней M имеет нечетное число сторон, то существует шар, описанный около M. б) Обязательно ли в условиях пункта (а) существует вписанный в M шар? в) Доказать, что если все грани M имеют одинаковое число сторон, то существует вписанный в M шар. г) Обязательно ли в условиях пункта (в) существует описанный около M шар?

7.325. Сколько существует шаров, касающихся всех ребер данного тетраэдра или их продолжений?

7.326. Найти радиус шара, вписанного в тетраэдр, если радиусы вневписанных шаров равны r1, r2, r3 и r4.

7.327. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, ABS = /2, BSC = /12, SCB = /4. (МФТИ. Билет 1, 1991) 7.328. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLM N, касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности.

Найти объем пирамиды, если M K = 5/4, N M K = /2, KM L = = 3arctg (1/3), N M L = /2 arctg (1/3). (МФТИ. Билет 2, 1991) 7.329. В четырехугольной пирамиде SABCD основанием является трапеция ABCD ( BCAD ), BC = 4AD/5, ASD = CDS = /2.

Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота которого равна 2, а радиус основания равен 5/3. Найти объем пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1991) 7.330. В четырехугольной пирамиде SKLM N основанием является параллелограмм KLM N, LSM = KSL = /2. Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований усеченного конуса, высота которого равна 3/2, а радиусы оснований равны 1 и 5/4. Найти объем пирамиды. (МФТИ. Билет 8, 1991) 7.331. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ребро AH вдвое больше высоты пирамиды. По одну сторону от плоскости грани ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого проходит через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SCD и SBC — прямоугольники с общей вершиной в точке C. Найти отношение объемов цилиндра и пирамиды. (МФТИ. Билет 5, 1994) 7.332. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC имеет длину 11/5 и составляет с плоскостью основания ABC угол, равный arctg (5 2/4). Цилиндр расположен так, что окружность одного из его оснований проходит через середину ребра AC и не пересекает грань SAB.

Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SAB и SBC — прямоугольники с общей вершиной в точке S. Найти объем цилиндра. (МФТИ.

Билет 6, 1994) 7.333. Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении 2 : 6 : 1, считая от центра одного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии 2 6 друг от друга. (МФТИ.

Билет 9, 1994) 7.334. В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1 C1 D1 боковое ребро равно 14, длина стороны основания ABCD призмы равна 6. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в треугольник BC1 D, а вершина конуса лежит в плоскости ABC1. Найти объем конуса. (МФТИ. Билет 5, 1995) 7.335. Окружность основания прямого кругового цилиндра вписана в боковую грань SAB правильной четырехугольной пирамиды SABCD ( S — вершина), центр другого основания цилиндра лежит в плоскости SBC. Найти объем цилиндра, если AB = 6, SB = 5. (МФТИ. Билет 6, 1995) 7.336. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна a. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса является точка O, лежащая на высоте BE треугольника ABC так, что BE : OB = 3. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой B. (МФТИ. Билет 9, 1996) 7.337. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна a. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ABD, а вершина конуса расположена на средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AB. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой C. (МФТИ. Билет 10, 1996) 7.338. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса 3r/2 так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего основания, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найти радиус основания цилиндра, если его высота равна 4r. (МФТИ. Билет 1,1997) 7.339. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса r/2 так, что каждый шар касается двух других, нижнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания цилиндра.

(МФТИ. Билет 2, 1997) 7.340. Три шара радиуса r касаются друг друга и шара радиуса R внешним образом. При каком соотношении r и R это возможно? Считая, что R > r, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров внешним образом. (МФТИ. Билет 5, 2001) Глава Задачи на максимум и минимум 8.1. Планиметрия 8.1. В треугольнике ABC известно, что AB = 3, 8, BC = 0, 6. Найти длину стороны AC, если ее длина выражается целым числом.

8.2. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно построить колодец, чтобы сумма расстояний от него до всех домов была наименьшая?

8.3. Доказать, что медианы треугольника меньше полусумм сторон, выходящих из той же вершины, но больше разности полупериметра и длины стороны, к которой проведена эта медиана.

8.4. В некотором поселке четыре дома: столовая, баня, клуб и почта.

Расстояние между баней и клубом рано 1000м, между клубом и почтой — 500 м, между баней и столовой — 200 м, между столовой и почтой — 300м. На каком расстоянии находятся баня и почта?

8.5. а) По разные стороны от прямолинейного шоссе расположены две деревни. В каком месте на шоссе надо построить автобусную остановку, чтобы сумма расстояний от деревень до автобусной остановки была наименьшей (шириной шоссе пренебречь)? б) Где нужно построить автобусную остановку, если деревни расположены по одну сторону от шоссе?

8.6. В треугольнике ABC известно, что AB < BC < AC, а один из углов вдвое меньше другого и втрое меньше третьего. Найти угол при вершине A .

8.7. Докажите, что сумма высот треугольника меньше его периметра.

8.8. Внутри треугольника ABC с периметром P взята точка O.

Доказать, что P/2 < AO + BO + CO < P.

8.9. Пусть CK — биссектриса треугольника ABC и AC > BC.

Доказать, что угол AKC — тупой.

8.10. В треугольнике P QR сторона P Q не больше, чем 9, сторона P R не больше, чем 12. Площадь треугольника не меньше, чем 54. Найти его медиану, проведенную из вершины P.

8.11. В треугольнике ABC сторона AC не длиннее, чем 3, сторона BC не длиннее, чем 4, а его площадь не меньше, чем 6. Найти радиус описанной вокруг треугольника ABC окружности.

8.12. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и AC в точках M и N соответственно. Доказать, что 8.13. Площадь треугольника равна 1. Доказать, что средняя по длине сторона не меньше 2.

8.14. Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. На прямой AC взята точка M, причем DM E = 80, ABD = 60, CBD = 70. Где расположена точка M : на диагонали AC или на ее продолжении?

8.15. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 6, BC = 9, AC = 10. Биссектриса угла B пересекает сторону AC в точке M. На отрезке BM выбрана точка O так, что BO : OM = 3 : 1. Площадь какого из треугольников ABO, BCO или ACO будет наименьшей?

8.16. Доказать, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.

8.17. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

8.18. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.

8.19. Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Доказать, что биссектриса угла между ними не больше 12.

8.20. Доказать, что не существует двух трапеций (отличных от параллелограмма) таких, что боковые стороны каждой из них соответственно равны основаниям другой.

8.21. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Доказать, что M A + M B > CA + CB.

8.22. Среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью Найти треугольник наименьшего периметра.

8.23. Точки M и N расположены по разные стороны от прямой l.

Постройте на прямой l такую точку K, чтобы разность отрезков M K и N K была наибольшей.

8.24. Внутри угла даны точки M и N. Постройте на сторонах угла точки K и L так, чтобы периметр четырехугольника KLM N был наименьшим.

8.25. При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30 и периметром 6 имеет наибольшую площадь?

8.26. На сторонах прямого угла с вершиной в точке O выбраны точки A и B. Точка C лежит во внутренней области угла. Доказать, что полупериметр треугольника ABC больше OC.

8.27. Внутри квадрата выбрана произвольная точка. Доказать, что расстояние от этой точки до любой вершины меньше суммы расстояний до трех других вершин.

8.28. Пусть a, b, c — длины сторон некоторого треугольника. Доказать, что существуют положительные числа x, y, z такие, что a = x + y, b = y +z, c = x+z.

8.29. Доказать, что в выпуклом четырехугольнике сумма длин сторон меньше удвоенной суммы длин диагоналей, но больше суммы диагоналей.

8.30. Внутри острого угла выбрана точка C. Построить на сторонах угла точка A и B так, чтобы треугольник ABC имел наименьший периметр.

8.31. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Доказать, что если периметр треугольника ABD меньше периметра треугольника ACD, то AB < AC.

8.32. Доказать, что удвоенный периметр выпуклого пятиугольника больше суммы длин его диагоналей.

8.33. Два поселка расположены по разные стороны от реки с параллельными прямолинейными берегами. В каком месте на реке нужно построить мост, чтобы путь от одного поселка до другого был наименьший?

8.34. Существует ли треугольник, у которого две высоты больше 1м, а площадь меньше 1см?

8.35. В треугольнике ABC на наибольшей стороне BC, равной b, выбирается точка M. Найти наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM и ACM.

8.36. Доказать, что в параллелограмме против большего угла лежит большая сторона.

8.37. Две высоты треугольника равны 12 и 20. Доказать, что третья высота меньше 30.

8.38. Две высоты треугольника равны 10 и 6. Доказать, что третья высота меньше 15.

8.39. Доказать, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из той же вершины.

8.40. Доказать, что в любом треугольнике со сторонами a, b, c выполняется неравенство a2 + b2 > c2 /2.

8.41. Пусть m1 и m2 — медианы, проведенные к сторонам a и b треугольника со сторонами a, b, c. Доказать, что m2 + m2 > 9c2 /2.

8.42. Пусть a, b, c — стороны произвольного треугольника. Доказать, что a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac).

8.43. Пусть h1, h2, h3 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Доказать, что h1 + h2 + h3 9r.

8.44. Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус вписанной окружности. Доказать, что 2r < h1 + h2 < 1.

8.45. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Доказать, что площадь треугольника меньше 1.

8.46. Биссектриса угла при основании BC равнобедренного треугольника ABC пересекает боковую сторону AC в точке K. Доказать, что BK < 2CK.

8.47. Известно, что в треугольнике ABC угол A равен 60. Доказать, что AB + AC 2BC.

8.48. Доказать, что площадь четырехугольника ABCD не превосходит (AB · CD + AD · BC)/2.

8.49. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и CDE равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4, AD = 3. Найти сторону BC.

8.50. Пусть M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD и M N = (AB + CD)/2. Доказать, что ABCD — трапеция или параллелограмм.

8.51. В четырехугольнике ABCD диагональ AC делит другую диагональ пополам и BC + CD = AB + AD. Доказать, что ABCD — параллелограмм.

8.52. Возможен ли треугольник со сторонами 7 и 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

8.53. На плоскости дана прямая l и две точки A и B по одну сторону от нее. На прямой l выбрана точка M, сумма расстояний от которой до точек A и B наименьшая, и точка N, для которой расстояния от A и B равны. Доказать, что точки A, B, M, N лежат на одной окружности.

8.54. Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая.

(Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды.) 8.55. На сторонах прямого угла с вершиной O лежат концы отрезка AB длины a. При каком положении отрезка площадь треугольника будет наибольшей?

8.56. Доказать, что из всех четырехугольников с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

8.57. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника AB = 10. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника?

8.58. Площадь треугольника ABC равна 10. Какое наименьшее значение может принимать радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что середины высот этого треугольника лежат на одной прямой?

8.59. В треугольнике ABC со стороной AC = 8 проведена биссектриса BL. Известно, что площади треугольников ABL и BLC относятся, как 3 : 1. Найти биссектрису BL, при которой высота, опущенная из вершины B на основание AC будет наибольшей.

8.60. В треугольнике KLM с основанием KM = 6 проведена медиана LP. Известно, что расстояния от точки P до боковых сторон KL и LM относятся, как 1 : 2. Найти медиану LP, при которой площадь треугольника KLM будет наибольшей.

8.61. В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника.

Найти наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключенной внутри треугольника.

8.62. На окружности, описанной около треугольника ABC, Найти точку M такую, что расстояние между ее проекциями на прямые AC и BC максимально.

8.63. На прямой, содержащей сторону AB остроугольного треугольника ABC, постройте такую точку M, что расстояние между ее проекциями на прямые AC и BC минимально. Чему равно это расстояние?

8.64. Около данного треугольника опишите равносторонний треугольник наибольшего периметра.

8.65. Даны угол XAY и точка O внутри него. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

8.66. На плоскости даны прямая и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от нее. Найти на прямой l такую точку M, что расстояние между основаниями высот треугольника P QM, опущенных на стороны P M и QM наименьшее.

8.67. От данного угла отрезком данной длины отрежьте треугольник наибольшего периметра.

8.68. Пусть точка C — середина дуги AB, а D — любая другая точка этой дуги. Доказать, что AC + BC > AD + BD.

8.69. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего периметра.

8.70. Доказать, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.

8.2. Стереометрия 8.71. Дан куб с ребром 1. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 3.

8.72. Доказать, что сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего.

8.73. Доказать, что плоский угол выпуклого четырехгранного угла меньше суммы трех остальных.

8.74. В каких пределах может меняться плоский угол трехгранного угла, если два других плоских угла соответственно равны а) 70 и 100 ;

б) 130 и 150 ?

8.75. Доказать, что площадь одной грани тетраэдра меньше суммы площадей трех остальных граней.

8.76. Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между его противоположными вершинами.

8.77. Найти длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами противоположных ребер.

8.78. Радиус основания конуса и образующая равны соответственно 2/3 и 2. Найти длину кратчайшего замкнутого пути, пересекающего все образующие конуса и проходящего через конец одной из них, принадлежащий основанию.

8.79. Радиус основания и высота цилиндра равны r и h. Найти длину кратчайшего пути по боковой поверхности цилиндра между диаметрально противоположными точками разных оснований.

8.80. Ребро правильного октаэдра равно a. Найти кратчайший путь по поверхности октаэдра между серединами двух его параллельных ребер.

8.81. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найти среди них параллелепипед большего объема.

Вычислите этот объем.

8.82. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Вычислите этот периметр.

8.83. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 1/2, а одна из боковых граней является квадратом. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. Вычислите этот периметр.

8.84. Найти высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в сферу радиуса R.

8.85. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 27, а радиус основания 9.

8.86. Найти наибольший объем конуса с образующей, равной a.

8.87. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.

8.88. Вокруг сферы радиуса r описан конус. Найти наименьшее значение объема конуса и отношение его высоты к радиусу сферы в этом случае.

8.89. Конус описан около куба так, что четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины — на его боковой поверхности. Какой наименьший объем может иметь такой конус, если ребро куба равно a ?

8.90. Около шара объема V описана треугольная пирамида. Какой наименьший объем может быть у этой пирамиды?

8.91. В конусе расположены два единичных шара, центры которых находятся на оси симметрии конуса. Один из шаров касается боковой поверхности конуса, а другой — основания конуса и первого шара. Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса наименьший.

8.92. В конусе расположены два единичных шара, касающиеся основания конуса в точках, симметричных относительно центра основания.

Каждый из шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара.

Найти угол между образующей конуса и основанием, при котором объем конуса наименьший.

8.93. В правильной четырехугольной пирамиде расположены два шара радиуса r, касающиеся основания пирамиды в точках, принадлежащих отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основания. Каждый из шаров касается боковой грани пирамиды и другого шара.

Найти высоту пирамиды, при которой объем пирамиды наименьший.

8.94. Периметр равнобедренного треугольника равен P. Каковы должны быть длины его сторон, чтобы объем фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?

8.95. Ребро AB тетраэдра ABCD является диагональю основания четырехугольной пирамиды, ребро CD параллельно другой диагонали этого основания, и концы его лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти наименьший объем пирамиды, если объем тетраэдра равен V.

8.96. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей площади. Оказалось, что площадь сечения в два раза больше площади осевого сечения конуса. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

8.97. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D служит квадрат. Найти наибольший возможный угол между прямой BD и плоскостью BDC1.

8.98. Все плоские углы трехгранного угла прямые. Доказать, что любое его сечение, не проходящее через вершину, есть остроугольный треугольник.

8.99. Доказать, что сумма углов пространственного четырехугольника не превосходит 360.

8.100. Существует ли треугольная пирамида, высоты которой равны 1, 2, 3 и 6?

8.101. Верно ли, что у любого трехгранного угла есть сечение, являющееся правильным треугольником?

8.102. Пусть a, b, c — стороны параллелепипеда, d — одна из его диагоналей. Доказать, что a2 + b2 + c2 d2 /3.

8.103. В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD, не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K — середины этих отрезков.

Доказать, что M K < (AD + BC)/2.

8.104. Ребро правильного тетраэдра равно a. Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Доказать, что 2a < P 3a.

8.105. В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны 60. Доказать, что AB + AC + AD BC + CD + DB.

8.106. Можно ли в кубе вырезать отверстие, сквозь которое пройдет куб того же размера?

8.107. На какое наименьшее количество непересекающихся трехгранных углов можно разбить пространство?

8.108. Сфера радиуса 2 пересечена плоскостью, удаленной от центра на расстояние, равное 1. Найти длину кратчайшего пути по поверхности сферы между двумя наиболее удаленными точками сечения.

8.109. Сторона основания BCA правильной пирамиды P ABC равна a, боковое ребро равно b. На каком расстоянии от прямой BC следует провести сечение пирамиды, параллельное BC и AP, чтобы площадь его была наибольшей?

8.110. В основании пирамиды N KLM лежит правильный треугольник KLM со стороной a, KN = b. Высота пирамиды, опущенная из вершины N, проходит через середину ребра LM. Пирамиду пересекает плоскость, параллельная ребрам KN и LM. На каком расстоянии должна находиться плоскость, чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была наибольшей?

8.111. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, в котором угол BAD равен 60. Известно, что SA = SC, SD = SB = AB. В каком отношении должна делить ребро CD точка E, чтобы площадь треугольника SBE была наименьшая из возможных?

8.112. Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 равны a. Найти наименьшую длину отрезков, с концами на диагоналях BC И CA1, параллельных плоскости ABB1.

8.113. Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды P ABCD равна a, а боковые ребра равны 2a. Найти наименьшую длину отрезков, с концами на ребрах AD И P C, параллельных плоскости P AB.

8.114. Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 равны a. Найти наименьшую длину отрезков, с концами на прямых AB1 И BC1, перпендикулярных прямой AC1.

8.115. Высота правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше диагонали основания, объем пирамиды равен V. Рассматриваются всевозможные правильные четырехугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что их боковые ребра параллельны диагонали основания пирамиды, одна боковая грань принадлежит этому основанию, а вершины противоположной боковой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найти наибольшее значение объема рассматриваемых пирамид.

8.116. Длина ребра куба ABCDA1 B1 C1 D1 равна a. Точки E и F — середины ребер BB1 и CC1 соответственно. Рассматриваются треугольники, вершинами которых служат точки пересечения плоскостей, параллельных основаниям куба с прямыми AC1, CE и DF. Найти наименьшее значение площади этих треугольников.

8.117. В правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания a и высотой h вписана правильная четырехугольная призма так, что ее нижнее основание лежит внутри основания пирамиды, а вершины верхнего — на боковых ребрах пирамиды. Найти наибольшую площадь боковой поверхности таких призм.

8.118. Образующая конуса имеет фиксированную длину и составляет с высотой угол. В конус вписана правильная шестиугольная призма с равными ребрами (одно основание призмы лежит внутри основания конуса, а вершины другого основания лежат на боковой поверхности конуса).

При каком значении площадь боковой поверхности призмы будет наибольшей?

Компьютерный набор и верстка С.А. Ануфриенко, А.М. Гольдин, С.А. Кремешкова, С.Э. Нохрин, Е.В. Смирнова, С.Б. Шишеморова.

Подписано в печать 06.09.2011. Формат 60 84 1/16.

Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная.

Уч.-изд.л. 7,4. Усл. печ. л. 7,5. Зак.. Тираж 210 экз.