«MATLAB В ИНЖЕНЕРНЫХ И НАУЧНЫХ РАСЧЕТАХ Одесса Астропринт 2003 ББК Д УДК 539.3:681.3 Монография посвящена иллюстрации возможностей одной из самых эффективных систем компьютерной математики MATLAB в решении ряда научных и ...»

Кубик перемещается по плоскости с трением, поэтому при возбуждении системы рывком палочки можно наблюдать характерные затухающие колебательные движения кубика. Таким образом, в этом примере решается типичная физическая задача на колебания реального механического маятника под действие внешней силы.

Рис. 4.12. Графическая модель колебательной системы – массивного Нетрудно заметить, что графическая модель этого примера содержит блоков. Каждый блок имеет наглядное общепринятое обозначение в виде прямоугольника, треугольника и так далее. Блоки имеют входы и выходы и описываются различными математическими зависимостями. Блоки соединяются друг с другом линиями – стрелками, причем стрелка указывает направление от выходов одних блоков к входам других блоков. Имеются также текстовые комментарии и средства для вывода подсказок и открытия окон системы помощи.

В конце инструментальной панели Simulink находятся две важные кнопки управления симулятором. Одна – в виде черного треугольника (Start/Pause Simulation) запускает или приостанавливает начатый процесс моделирования", а другая – в виде черного квадратика (Stop) – останавливает его. Так что все, что надо для стимуляции выбранной модели, – это нажать кнопку с изображением треугольника. На рисунке 4.12 внизу показан результат моделирования для выбранной модели. Вместо кнопок можно использовать команды Start и Pause в позиции Simulation главного меню симулятора.

В данном случае результат моделирования отображается в виде анимационного видеоклипа (см. изображение физической модели кубика в окне анимации под графической моделью анализируемого физического устройства). Наглядность представления результатов поведения устройства в данном случае вполне очевидна.

Обычно Simulink запускается соответствующей кнопкой из панели инструментов, после чего все последующие действия выполняются в его Windowsсреде. Для вывода полного перечня команд Simulink надо исполнить команду » help simulink Дополнительную информацию можно получить, используя команды help blocks и help simdemos Мы не будем рассматривать эти многочисленные команды, поскольку на практике отказ от работы с очень удобным и наглядным Windows-интерфейсом для пакета Simulink трудно чем-то оправдать. При работе с этим интерфейсом данные команды знать не нужно.

Обзор библиотеки компонентов пакета Simulink Новая версия симулятора Simulink имеет существенно обновленную и пополненную библиотеку компонентов. Она размещается в директории MATLAB/TOOLBOX/SIMULINK/BLOCKS. Основная палитра компонентов представлена файлом simulink.mdi. Как основная, так и дополнительные библиотеки Simulink представлены файлами разного формата – с расширением dll, в виде m-файлов и файлов с расширением m. Последние могут при необходимости редактироваться и модифицироваться.

Окно основной палитры компонентов пакета Simulink появляется при запуске пакета. Оно было показано на рисунке 4.11. Каждый рисунок в данном случае носит обобщающий характер и представляет группу компонентов определенного класса. Можно считать, что эта группа рисунков представляет собой образное оглавление стандартной библиотеки графических элементов для набора функциональных схем.

Как видно на рисунке 4.11, в состав библиотеки графических элементов входят следующие их наборыSources – открытие окна с перечнем источников сигналов и воздействий.

Sinks – открытие окна с перечнем регистрирующих компонентов.

Continuous – линейные компоненты.

Discrete – открытие окна с перечнем дискретных компонентов.

Math – математические компоненты.

Function&Tables – функции и таблицы.

Nonlinear – открытие окна с перечнем нелинейных компонентов.

Signals&Systems – сигналы и системы.

Окно библиотек является обычным окном Simulink и имеет соответствующее главное меню, панель инструментов и панель статуса. С его помощью можно вводить и загружать из файла модели симулируемых устройств и систем. Окно можно свернуть или закрыть. Если при закрытии окна основной библиотеки оно понадобилось вновь, то из основного окна библиотеки надо загрузить файл Simulink из директории MATLAB/TOOLBOX/ SIMULINK/BLOCK10.

Активизация каждого раздела библиотеки открывает окно с пиктограммами каждого компонента. На рисунке 4.13, к примеру, открыто окно источников воздействий Sources Графические элементы источников сигналов имеют настолько очевидные обозначения, что не имеет смысла приводить даже их названия (значительная часть фирменного электронного справочника по Simulink тем не менее посвящена подробному описанию компонентов и их параметрам). Названия блоков приведены в них и справа. Большинство элементов содержат рисунок, представляющий временную зависимость.

Набор блоков содержит практически все часто используемые при моделировании источники сигналов с самой различной функциональной и временной зависимостью. Возможно задание произвольного воздействия из файла – элемент From File. Есть и случайные воздействия для моделирования систем и устройств методом Монте-Карло.

С каждым графическим элементом связана панель его настроек. Для открытия этого окна достаточно выполнить двойной щелчок левой клавишей мышки при ее маркере, установленном на нужное изображение элемента. Оно выделяется характерными маленькими кружками по углам.

При вызове окон параметров активизацией графических элементов в окнах библиотек отображаются установки параметров по умолчанию. Как правило, они нормализованы – например, задана единичная частота, единичная амплитуда, нулевая фаза и так далее. Возможность изменения параметров в этом случае отсутствует. Она появляется после переноса графических элементов в окно подготовки и редактирования функциональных схем. Как правило, установки параметров блоков по умолчанию позволяют уверенно начать моделирование и затем уточнить эти параметры.

Регистрирующие элементы – важное средство высококачественной визуализации результатов блочного моделирования. Некоторые регистраторы в Simulink выполнены в виде, весьма похожем на реальные приборы, что нередко создает ощущение практической работы симулируемых систем. В состав виртуальных регистраторов входят:

Scope - осциллограф для наблюдения временных и иных зависимостей.

XY Graph - графопостроитель в системе полярных координат.

Display - дисплей.

То File - устройство, описанное в файле.

To Workspace - устройство обзора рабочего пространства.

Stop Simulation - остановка симуляции.

Важно отметить, что виртуальные регистраторы фиксируют параметры любого типа, а не только электрические. Это придает некоторым виртуальным регистраторам (приборам) уникальный характер. Например, осциллоскоп, фиксирующий не только электрические сигналы, но и перемещения механических объектов, изменения температуры или давления и вообще изменения любых физических величин, можно создать только в памяти компьютера.

Дискретные компоненты включают в себя устройства задержки, дискретно-временной интегратор, дискретный фильтр и иные. Линейные компоненты играют важную роль в создании математических моделей многих устройств.

Имеются следующие типы линейных компонентов: Gain – аналоговый усилитель (масштабирующее устройство), Sum – аналоговый сумматор, Рис. 4.14. Окно библиотеки с нелинейными компонентами Integrator – аналоговый интегратор, Derivative – аналоговое дифференцирующее устройство и ряд других (в основном матричных) устройств.

Поскольку Simulink предназначен главным образом для моделирования нелинейных динамических систем, раздел, посвященный нелинейным компонентам, впечатляет уже одним только их обилием – см. рисунок 4.14. Окно с этими элементами настолько велико, что даже не поместилось на рисунке.

Среди нелинейных компонентов следует отметить компоненты с типичными нелинейностями, например вида abs(u), с характеристиками, описанными типовыми математическими функциями, компонентами вида идеальных и неидеальных ограничителей и так далее. Достойно представлены и такие сложные компоненты, как квантователи, блоки нелинейности, моделирующие нелинейные петли гистерезиса, временные задержки и ключи-переключатели. Естественно, что все нелинейные блоки имеют установку своих параметров.

Рис. 4.15. Окно библиотеки Signal&Systems с подключающими Окно библиотеки Signal&Systems с подключающими компонентами показано на рисунке 4.15. Оно также содержит впечатляющий выбор таких компонентов – от портов входа In, выхода Out и заземления Ground до компонент, имитирующих работу триггера Trig, и даже задания субсистем Subsystem.

Последняя компонента представляет собой пустое окно, в котором можно создать функциональную схему, рассматриваемую как подсистему (блок). Такая подсистема может многократно использоваться различными моделями. Каждый компонент, как и ранее, имеет окно установки своих параметров.

Представленные в этих разделах компоненты относятся к достаточно серьезным приложениям системы MATLAB, причем подчас вполне законченным.

Ряд примеров применения пакета Simulink представлен и в справочной системе MATLAB - Demo 10. Выход в нее возможен из окон прочих компонентов, в которых также есть разделы с именем Demo 10.

В директории MATLAB/TOOLBOX/SIMULINK/BLOCKS помимо файла основной библиотеки находится ряд файлов дополнительных библиотек.

В разделе MATLAB/TOOLBOX/SIMULINK/DEE находится редактор и решатель систем дифференциальных уравнений с примерами его применения.

Таким образом, в поставку Simulink 4 входит множество библиотечных компонентов, с лихвой удовлетворяющих большинство пользователей, всерьез занятых математическим моделированием различных систем и устройств. При этом есть возможность корректировать описания компонентов и вводить новые компоненты, в том числе в виде функциональных схем отдельных подсистем.

Пример подготовки и решения конкретной задачи Решение любой задачи в системе Simulink должно начинаться с постановки задачи. Чем глубже продумана постановка задачи, тем больше вероятность успешного ее решения. В ходе постановки задачи нужно оценить, насколько решение задачи отвечает возможностям пакета Simulink и какие компоненты последнего могут потребоваться для решения заданной задачи.

В качестве примера рассмотрим тривиальную задачу моделирования работы линейного осциллятора. Осциллятором в механике называют механическую систему с одной степенью свободы, совершающую колебания около положения устойчивого равновесия (например, маятник, груз на пружине). Колебания осциллятора описываются следующим дифференциальным уравнением [ 8 ] здесь x - обобщённое ускорение осциллятора ; 2nx - обобщённая сила линейного сопротивления; k 2 x - обобщённая квазиупругая сила; h sin(pt ) – обобщённая гармоническая возмущающая сила.

Данное уравнение применяется также и для исследования колебаний немеханических систем. В частности, колебательный контур является осциллятором. Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне вполне можно описывать предыдущим дифференциальным уравнением. В квантовой механике задача о линейном осцилляторе решается с помощью уравнения Шредингера. Законы колебаний линейного осциллятора играют важную роль в теории твёрдого тела, электромагнитного излучения, колебательных спектров молекул.

Запишем уравнение (1) в форме В основу воплощения уравнения (1) в блок-схему положим следующую идею последовательного итерационного процесса:

- если сформировать правую часть уравнения (1) зависящую от х, x', считая их известными, то станет известно ускорение x'' осциллятора. Проинтегрировав ускорение, можно получить скорость x', а последующее интегрирование даёт закон изменения перемещения осциллятора х ( t ). Полученные значения скорости и перемещения можно теперь использовать для формирования правой части.

Итак, для формирования блок-схемы, осуществляющей численное интегрирование, можно сделать следующее:

1. В основу блок-схемы положено два последовательно соединённых интегратора (блоки Integrator) с внешне задаваемыми начальными условиями в соответствии с системой дифференциальных уравнений и начальными условиями при t = 0 x = x0, x' = x'0.

На вход первого интегратора подаётся ускорение V', а в качестве начального условия используется начальное значение скорости V(0) = x'0 ; выходом этого блока будет текущая скорость осциллятора V = V ( t ); эту величину следует подать на вход второго интегратора с начальным условием в виде начального значения отклонения x (0) = x0 ; выход из блока будет представлять собой искомый закон движения х = х (t).

2. Сформулировать отдельным блоком в виде подмодели (блок Subsystem) функцию правой части f(t, x, x') = h sin (pt) – 2nx' – k2 x, используя в качестве входных параметров полученные значения х ( t ) и x' ( t ) в качестве входных величин h, p, n, k.

3. Используя созданную подмодель, в основной модели связать сформулированные текущие значения х ( t ) и х' ( t ) с соответствующими входами подмодели, а выход подмодели связать с сумматором; сигнал с выхода сумматора подать на вход первого интегратора, замыкая цепь интегрирования.

4. Для отображения результатов интегрирования в графической форме подсоединить блок Scope к выходу системы – сформированному сигналу х ( t ); для отображения фазового портрета осциллятора использовать блок XY Graph, на входы которого направить сигналы x ( t ) и x' ( t ).

Блок-схема, реализующая указанные идеи приведена на рисунке 4.17.

Отметим также, что при построении блок-схемы подсистемы (рисунке 4.16) связь подсистемы с основной системой осуществляется путём ввода в подсистему стандартных блоков типа In (Вход) и Out (Выход). Все величины, которые формируются в основной модели, а затем должны быть использованы в подмодели, должны "проникать" в подсистему через блоки In, а величины, сформированные в подсистеме и затем используемые в основной системе, должны "выходить" из подсистемы через блоки Out.

Рис. 4.16. Блок-схема подмодели линейного осциллятора.

Рис. 4.17. Блок-схема основной модели линейного осциллятора При этом на изображении блока подсистемы в блок-схеме основной модели автоматически появляется такое количество входов, которое совпадает с числом введенных в подсистеме блоков In, и выходов, равных числу блоков Out, использованных в подсистеме.

Вызвав команду Start из меню Simulation окна основной блок-схемы, можно активизировать процесс моделирования созданной S – модели осциллятора. По окончании этого процесса появится дополнительное графическое окно, созданное блоком XY Graph, на котором изображается фазовый портрет осциллятора при выбранных параметрах. Если теперь дважды щёлкнуть мышью на блоке Scope в блок-схеме осциллятора, то появится ещё одно графическое окно (рисунок 4.18) с графиком зависимости координаты х от времени.

Изменяя данные настройки входных блоков Constant, можно проводить исследования поведения осциллятора при произвольных значениях входных параметров.

Рис. 4.19. Резонансные колебания осциллятора ( при p = k ) В качестве заданий применения пакета расширений Simulink рассматривается задача об определении управляющих факторов, обеспечивающих программное движение манипулятора [ 7 ].

Манипулятор (рис. 4.24 – 4.26), состоящий из звеньев 1, 2 и захвата D, приводится в движение приводами А и В. Захват D перемещается вдоль прямой ON. Co стороны привода А к звену 1 прикладывается либо управляющий момент МА (варианты 2, 4, 7, 8, 12, 22, 24-26, 29), либо управляющее усилие РА (варианты 1, 3, 5, 6, 9-11, 13-21, 23, 27, 28, 30). Привод В воздействует на звено 2 либо моментом МВ (варианты 1-3, 5, 6, 8-11, 13-21, 23, 27), либо управляющим усилием РВ (варианты 4, 7, 12, 22, 24-26, 28-30).

Перемещение звена 1 (варианты 3, 4, 7, 12, 22, 24-26, 28-30) или звена (варианты 1, 2, 5, 6, 8-11, 13 - 21, 23, 27) манипулятора ограничено препятствиями К и L, поэтому изменение угла поворота = (t) этого звена возможно лишь в интервале [(0), ()], где — время движения звена. Технические условия работы манипулятора требуют, чтобы указанное звено сошло со связи К при t = 0 и «мягко» коснулось препятствия L при t =, т. е. так, чтобы были удовлетворены условия Программные движения звена 1, удовлетворяющие требованиям «мягкого»

касания, приняты в таком виде:

12, 16, 19, 22, 24-26, 28-30);

2) (t) = (0) + [ () - (0)] [t / - (1/(2)) sin (2t/)] (варианты 1, 3, 5, 8Значения (0) и () заданы в таблице. Силами сопротивления движению пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Движением захвата относительно звена 1 пренебречь.

В задании приняты следующие обозначения:

m1 — масса первого звена, захвата и переносимого в захвате объекта;

ш2 — масса второго звена;

J1 - момент инерции звена 1, захвата и переносимого в захвате объекта относительно главной центральной оси инерции;

J2 - момент инерции звена 2.

Центр тяжести звена 1 находится в точке С (варианты 1- 4, 6-8, 11-13, 16, 18-20, 22-30) или в точке А (варианты 5, 9, 10, 14, 15, 17, 21).

1. Вычислить значения управляющих сил и моментов в начале торможения звена 1. Считать, что торможение звена 1 начинается в тот момент, когда угловое ускорение звена обращается в ноль.

2. Построить графики зависимости управляющих моментов и сил от времени.

Пример выполнения задания. Дано: m1 = 2 кг; m2 = 3 кг; Jl = 0,8 кг м 2 ; l = 1 м;

Центр тяжести звена 1 находится в точке С (рис. 4.20):

Р е ш е н и е. Для решения задачи применим уравнения Лагранжа II рода. Будем рассматривать механическую систему как систему с двумя степенями свободы, приняв за Для рассматриваемой механической системы можно записать:

Эти равенства играют роль уравнений связей.

В соответствии с выбранными обобщенными координатами имеем Совокупность уравнений (1) и (2) позволяет составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Составим выражение для кинетической энергии системы Т как функцию обобщенных скоростей и x и обобщенных координат и х. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии T1 звена 1 и Т2 звена Кинетическая энергия звена 1, совершающего плоское движение, Продифференцировав (1) по времени, будем иметь Определим обобщенные силы Q и Qx.

Обобщенные силы Qx и Q можно определить и из выражения работы сил на элементарных перемещениях системы, соответствующих вариации каждой обобщенной координаты:

Подставляя полученные значения кинетической энергии и обобщённых сил в уравнения Лагранжа II рода (2), получим Эти равенства представляют собой зависимость управляющего момента М и управляющего усилия Р от известных функций,.

Данные управляющие факторы находим с помощью пакета расширения Simulink, составляя блочную модель механизма манипулятора Данная модель содержит подмодель (рис. 4.22), определяющая изменение, с течением времени Рис. 4.22. Субмодель механизма манипулятора Результат такого имитационного моделирования для управляющих факторов представляется в виде двух осциллограмм Рис. 4.23, a. Программное изменение управляющего момента M (t) Рис. 4.23, b. Программное изменение управляющего усилия Р (t) Варианты расчётов управляющих моментов М (t) и сил Р (t), обеспечивающих программное движение манипулятора приведены на рисунках 4.24 – 4.26, соответствующие числовые данные приведены в таблице.

Рис. 4. Рис. 4. Рис. 4. Номер варианта

ЛИТЕРАТУРА

1. Дьяконов В.П. MATLAB 6. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 592 с.

2. Баженов В.А., Дащенко А.Ф., Коломиец Л.В., Оробей В.Ф. Строительная механика. Специальный курс. Применение метода граничных элементов. – Одесса: Астропринт, 2001. – 288 с.

3. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / Под ред.

А.Ф. Смирнова. – М. : Стройиздат, 1984. – 415 с.

4. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

5. Мэтьюз Дж.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. Пер.

с англ. – М.: Изд. Дом «Вильямс», 2001. – 720 с.

6. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB.

Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. – 480 с.

7. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов / Яблонский А.А. и др. М.: Высш. шк., 1985. – 367 с.

8. Кириллов В.Х., Лещенко Д.Д. Курс теоретической механики. Учебное пособие для студентов технических вузов. – Одесса: ОГАСА, 2002. – 263 с.

9. Даффи Д.А., Бекман У.А. Тепловые процессы с использованием солнечной энергии. – М.: Мир, 1977. – 305 с.

10. Кириллов В.Х. Гидродинамика и тепломассообмен в двухфазных потоках плёночных аппаратов для холодильной техники: Дис…док. техн. наук. – Одесса, 1993. – 342 с.

11. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического программирования. – Л.: Изд. Ленинград. ун-та, 1976. – 192 с.

12. Дьяконов В. SIMULINK 4. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002. – 528 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. Основные элементы языка программирования и визуализации расчетов в системе MATLAB…………….

1.2. Арифметические и логические операторы……………… 1.4. Понятие о файлах-сценариях и файлах-функциях……... 1.5.5. Формирование векторов и матриц………………………. 1.5.7. Оператор двоеточие:....………………………………… 1.5.8. Оператор разветвления if ………………………………. 1.5.10. Сообщения об ошибках и исправление ошибок………... 1.5.11. Вычисление определителя квадратной матрицы……….. 1.6. Основы графической визуализации вычислений……… 1.6.1. Построение графиков отрезками прямых……………… 1.6.2. Графики дискретных отсчетов функции……………….. 1.6.3. Создание массивов данных для трехмерной графики….. 1.6.4. Построение графиков поверхностей…………………….. 1.6.5. Включение и выключение масштабной сетки………….. 1.6.6. Представление нескольких графиков в одном окне……. 1.6.7. Ввод текста на график с помощью мыши………………. 1.6.8. Управление свойствами осей графиков…………………. ГЛАВА 2. MATLAB в задачах вычислительной математики……... 2.2. Решение систем линейных алгебраических 2.4. Численное решение обыкновенных 2.5. Приближенное вычисление определенных интегралов... 2.6. Численное решение нелинейных уравнений…………… 2.7. Численное решение оптимизационных задач………….. ГЛАВА 3. Применение MATLAB для решения задач строительной механики стержневых систем…………… 3.1. Основные положения метода граничных элементов… 3.2.1. Определение граничных параметров при 3.2.2. Построение эпюр прогибов, углов поворота, 3.2.3. Определение частот собственных колебаний…………... 3.2.4. Построение форм собственных колебаний……………... 3.2.5. Расчет на вынужденные колебания……………………… 3.2.6. Построение эпюр напряженно-деформированного состояния балки при вынужденных колебаниях……….. 3.2.7. Определение критических сил потери устойчивости….. 3.2.8. Построение форм потери устойчивости………………… 3.3.1. Определение граничных параметров при 3.3.2. Построение эпюр напряженно-деформированного 3.3.3. Определение частот собственных колебаний………….. 3.3.4. Построение форм собственных колебаний…………….. 3.3.5. Расчет на вынужденные колебания……………………… 3.3.6. Построение эпюр напряженно-деформированного состояния при вынужденных колебаниях………………. 3.3.7. Определение критических сил рамы……………………. 3.3.8. Построение форм потери устойчивости рамы…………. 3.3.9. Построение эпюр напряженно-деформированного ГЛАВА 4. Применение пакетов расширений MATLAB 4.1. Пакет расширений Symbolic Math………………………. 4.2. Пакет оптимизации Optimization Toolbox………………. 4.3. Simulink – система визуального моделирования ДАЩЕНКО Олександр Федорович КИРИЛЛОВ Володимир Харитонович КОЛОМІЄЦЬ Леонід Володимирович ОРОБЕЙ Віктор Федорович MATLAB в інженерних та наукових розрахунках Книга видана в авторській редакції Технічний редактор М. М. Бушин Здано у виробництво 13.01.2003. Підписано до друку Формат 60х84/16. Папір офсетний. Гарнітура Друк офсетний. Ум. друк. арк.. Тираж 300 прим.

Видавництво і друкарня “Астропринт” (Свідоцтво ДК № 132 від 28.07.2002 р.) 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Тел.: (0482) 26-98-82, 26-96-82, 37-14-25.

Дащенко О. Ф., Кириллов В. Х., Коломієць Л. В., Оробей В. Ф.

Д MATLAB в інженерних та наукових розрахунках: Монографія. – Одеса: Астропринт, 2003. – 214 с.

Монография посвящена иллюстрации возможностей одной из самых эффективных систем компьютерной математики MATLAB в решении ряда научных и инженерных проблем. Рассмотрены примеры решения задач математического анализа. Классические численные методы дополнены примерами более сложных инженерных и научных задач математической физики. Подробно изложены алгоритмы краевых задач статики, динамики и устойчивости упругих систем в методе граничных элементов. Рассмотрены пакеты расширений системы MATLAB символьных вычислений, оптимизации и моделирования. Применение компьютерных технологий решения задач посредством системы MATLAB иллюстрируется большим количеством упражнений и примеров.

Предназначена для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, будет полезна специалистам и научным работникам широкого профиля.