«В.С. Моисеев ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ БЕСПИЛОТНЫМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ МОНОГРАФИЯ Казань 2013 УДК 629.7:629:195 ББК 39.56 М 74 Редактор серии: В.С. Моисеев – заслуженный деятель науки и техники Республики ...»

Методами теории управления БЛА в общем случае являются методы формирования программного и командного управления БЛА с использованием методов теории обратных задач динамики, вариационного исчисления, оптимального управления, математического программирования, теории игр, интеллектуального управления, общих и специальных численных методов и методов обработки полетных данных. Основным требованием к этим методам является простота реализации на вычислительных средствах мобильных наземных пунктов управления (МНПУ) БЛА.

Решение прикладных задач управления БЛА как динамических объектов должно основываться на активном использовании дифференциальных уравнений их движения. Это объясняется тем, что целью выбора эффективных законов управления БЛА является реализация требуемых траекторий его движения, решающих поставленные перед БЛА задачи.

Уравнения движения различных видов ЛА приведены в работах [2, 4, 6, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 23, 24, 27-30, 33, 39]. В этих работах движение ЛА в каждый момент времени представляется как поступательное движение его центра масс (ЦМ) и вращательное движение ЛА как твердого тела вокруг ЦМ.

При этом полностью отсутствуют работы, в которых рассматриваются не только уравнения полета БЛА самолетных и вертолетных схем, но и описания процессов их старта (взлета) с пусковых установок и с постоянных и временных площадок (аэродромов), а также посадки с помощью парашютных систем, по «самолетному» и «вертолетному». Следует заметить, что одной из важнейших особенностей БЛА, отличающих их от пилотируемых ЛА, должна быть способность решения поставленных перед ними задач в сложных метеоусловиях. Эти вопросы также не отражены в существующей литературе по БЛА [2, 15, 102], хотя они являются весьма актуальными при их массовой эксплуатации в различных климатических условиях.

Приведем основные определения, используемые в предлагаемой теории.

Комплекс математических выражений (уравнений), описывающих отмеченные выше задачи, будем называть математическими моделями движения БЛА на различных этапах его полета.

Одним из главных требований к таким моделям, кроме их адекватности и достаточной для практического применения точности, будем считать простоту и понятность моделей специалистам по управлению БЛА соответствующих БАК. Выполнение этого требования обуславливается необходимостью их активного участия в выработке на основе этих моделей эффективных законов управления БЛА.

Кроме этого, простота применяемых моделей движения БЛА подразумевает, как показала практика, относительно небольшую трудоемкость используемых при формировании таких законов математических методов и алгоритмов. Последнее влечет за собой простоту их программной реализации в среде автоматизированных рабочих мест (АРМ) специалистов по управлению БЛА. В данной теории предлагается использовать упрощенные уравнения управляемого полета БЛА самолетной и вертолетной схем, описывающие движение в пространстве центра масс (ЦМ) соответствующего БЛА. Следуя работе [28], такое движение будем называть опорным движением БЛА.

Движение БЛА вокруг его ЦМ, которое вызывается взаимовлиянием его органов управления, внутренними и внешними факторами, для недопущения значительных отклонений должно обеспечиваться работой подсистемы стабилизации (автопилотом) САУ БЛА или корректирующими радиокомандами оператора управления БЛА.

В прикладной теории управления БЛА будут рассматриваться следующие виды их движения:

1. Программное движение БЛА.

2. Радиокомандное движение БЛА.

3. Движение БЛА в режиме самонаведения.

Первые два вида движений используют практически все виды БЛА, представленные на Рис. 1.2.

Третий вид движения характерен для АЛЦ в режимах их уклонения от перехватчиков и для БЛА-истребителей в процессе перехвата целей.

При решении задач предлагаемой теории будем использовать общепринятую модель управляемого движения ЛА, которая в векторной форме записывается как [4, 5, 11, 52]:

Здесь x = (x 1, x2, …, x n ) – вектор состояния ЛА, называемый вектором фазовых координат ЛА; u = (u 1, u2, …, u m ) – управляющий вектор, f = (f 1, f 2, …, f n) – вектор-функция своих аргументов; [t 0, t k ] – интервал времени t, на котором выполняется полет ЛА.

На управления ЛА накладываются ограничения вида:

Для снижения трудоемкости решения задач выбора вектора u(t) предлагается использовать упрощенные модели движения центра масс (ЦМ) БЛА [4, 7, 27, 34, 40], которые в общем случае представляются в следующем виде:

Здесь V = V(t) – скорость БЛА в момент времени t [t0,t k ];

= (t) и = (t) – углы наклона и поворота траектории БЛА в этот момент времени; x = x(t), y = y(t), z = z(t) – координаты БЛА в нормальной земной системе координат с центром в точке расположения МНПУ соответствующего БАК. При сопоставлении уравнений (1.1) и (1.3), (1.4) имеем, что фазовый вектор БЛА состоит из координат V,,, x, y, z.

Начальные условия для этой системы дифференциальных уравнений имеют вид:

Заметим, что правые части динамических уравнений (1.3) движения БЛА будут конкретизироваться в предлагаемой теории применительно к различным видам БЛА и этапам их движения.

При построении динамических уравнений (1.3) движения БЛА будут использованы следующие общепринятые в динамике полета ЛА системы координат (СК) [7]:

1. Скоростная СК ЦМx ск y ск z ск с началом в ЦМ БЛА, осью ЦМx ск направленной по вектору скорости БЛА, осью ЦМyск – вертикально вверх и осью ЦМz ск – влево с образованием левой СК [13].

2. Связанная СК ЦМx св y св z св, в которой ось ЦМxсв совпадает с горизонтальной строительной осью БЛА, а оси ЦМy св и ЦМz св ортогональны ей, также образуя левую СК.

3. Левая связанная с БЛА земная СК ЦМxyz с осями, параллельными осям СК, использованными в кинематических уравнениях (1.4) движения БЛА.

Применение в данной теории левых СК объясняется требованием пользователей БЛА по использованию в их задачах положительных значений координаты z.

Формирование программного управления БЛА предлагается проводить в два этапа:

1. Определение вектора u(t) косвенного управления БЛА с использованием модели (1.3)-(1.6).

2. Формирование вектора (t) прямого управления БЛА, описывающего законы изменения положения его органов управления, которые вычисляются с использованием значений вектора u(t), фазовых координат V(t), (t), (t), x(t), y(t), z(t), моментных и конструктивных характеристик конкретного образца БЛА.

Для БЛА СС вектор косвенного управления, не зависящий от их компоновочных схем, в общем случае имеет следующий вид:

где P(t) – сила тяги двигателей БЛА; (t), (t), (t) – углы атаки, Вектор прямого управления БЛА классической самолетной схемы представляется как Здесь – закон изменения положения управляющего органа Компоненты вектора (1.8) предлагается вычислять с использованием зависимостей вида:

где т – вектор моментных коэффициентов и их производных конкретного образца БЛА; р – вектор конструктивных характеристик этого образца.

Метод построения зависимостей вида (1.9) будет рассмотрен в Главе 5. Для БЛА СС неклассических типов компоновок («утка», «бесхвостка», «летающее крыло» и др.) применяется инвариантный вектор u(t) вида (1.7) и векторы (t) с соответствующими компонентами, описывающими законы отклонения их органов аэродинамического управления.

Состав векторов косвенного и прямого управления БЛА ВС предлагается в Главе 6.

Отметим, что сформированный с использованием определенных методов вектор u(t) оценивается путем подстановки в систему уравнений (1.3), (1.4) и моделирования движения БЛА путем ее численного интегрирования при заданных начальных условиях (1.5), (1.6).

После принятия решения о его полном соответствии программируемому полетному заданию вычисляются компоненты вектора прямого управления БЛА, которые записываются в БЦВМ САУ на этапе предполетной подготовки БЛА.

Важную роль в эксплуатации БЛА играет командный режим управления их полетами, который практически не отражен в существующей литературе.

Отметим, что вопросы командного управления аэрокосмическими ЛА подробно рассматривались в монографии [6], где предлагаемый режим управления полностью соответствует режиму стабилизации полета БЛА.

В дополнение к традиционному описанию управляемого движения БЛА вида (1.1) предлагается использовать формальное представление командно-управляемого полета БЛА, которое в общем случае описывается векторной системой дифференциальных уравнений вида:

Множество K команд управления БЛА, входящее в правую часть этих уравнений имеет вид:

где k j (a) – наименование (шифр код, номер) j -ой управляющей команды; a – вектор параметров, описывающих требуемые маневры БЛА при реализации конкретных управляющих команд, j = (1, m).

В настоящее время эти команды передаются оператором управления БЛА по радиоканалу «МНПУ-БЛА» и используются для «ручного» управления ДПЛА [102].

Например, для реализации маневра «пикирование БЛА с высоты h 1 под углом с выходом на горизонтальный полет на высоте h 2 » используется команда – «спуск БЛА с вектором параметров a = (h1,, h2 ) ». Для выполнения маневра «вираж БЛА с радиусом r на высоте h» применяется команда k s – «правый разворот с вектором a = (+1, r, h) », где (+1) означает реализацию указанного вида разворота,.

Отметим, что в каждый момент времени t [t 0, t k ] в правой части уравнений (1.10) должен присутствовать один и только один элемент множества K. Это означает, что на БЛА в каждый момент времени t воздействует одна конкретная управляющая команда k j (a), j (1, m).

Введем в рассмотрение булевскую функцию:

w j (t ) = для выполнения выбрана команда k j (a ) K ; (1.12) Условие того, что в каждый момент времени полета БЛА выполняется одна и только одна управляющая команда, формируется следующим образом:

Тогда модель командно-управляемого движения БЛА запишется как:

Здесь в качестве системы уравнений (1.1) выступают уравнения (1.14). В этом случае, выбор управляющих воздействий на БЛА может рассматриваться как выбор на интервале времени t [t 0, t k ] функций w1 (t ), w2 (t ),..., wm (t ), удовлетворяющих условиям (1.12), (1.13) и требованиям решаемой целевой задачи.

Радиокомандное управление БЛА осуществляется оператором управления, входящим в состав персонала МНПУ БАК (см.

Рис. 1.4), следующим образом.

Оператор выбирает реализуемую команду управления из каталога номеров и наименований команд (1.11), представленных на экране монитора его АРМ. Для выбранной команды k j с помощью клавиатуры оператор задает значения параметров вектора а, отражающих требуемые значения полетных параметров выполняемого режима полета (маневра) БЛА и интервал времени [ j, j+1 ] его выполнении,, j (1, m). Эти данные передаются по радиоканалу на борт БЛА, где в БЦВМ САУ производится настройка конкретных стандартных программ прямого управления БЛА и выполнение исполнительными механизмами системы результатов вычисления вектора прямого управления (t), t [ j, j+1 ].

В предлагаемой теории формирование косвенного управления u(t) видами БЛА, представленными на Рис. 1.2, осуществляется с привлечением следующих подходов:

1. Использование концепции обратных задач динамики управляемых систем [1, 9].

2. Применение методов вариационного исчисления и теории оптимального управления [11, 13, 20, 52].

3. Использование теоретико-игрового подхода [4, 10, 14, 29].

4. Применение методов математического программирования [17, 108].

5. Программирование траекторий полета БЛА с использованием полетных данных пилотируемых ЛА-имитаторов соответствующих видов.

6. Применение интеллектуального управления ЛА.

При практическом решении задач управления в полетах всех видов БЛА на интервале времени [t 0, t k ] предлагается выделить следующие этапы:

1. Взлет и набор заданной высоты полета в течение времени [t 0, t 1 ].

2. Горизонтальный полет на интервале времени [t 1, t 2 ] в зону выполнения полетного задания (ПЗ).

3. Выполнение ПЗ в течение запланированного времени [t2, t3].

4. Полет в зону посадки при t [t 3, t 4 ].

5. Снижение и посадка БЛА в интервале времени [t4, t 5 ].

Основной задачей предлагаемой теории является разработка методов формирования векторов u1(t), u2(t), …, u5(t), обеспечивающих выполнение полетов БЛА на интервале [t 0, t 5 ]. При программировании каждого этапа полета БЛА с помощью соответствующих численных методов решаются следующие задачи:

а) выбор или формирование вида требуемой траектории полета БЛА;

б) формирование косвенного и прямого управления, обеспечивающего движение БЛА по такой траектории.

Для упрощения методов решения задач управления полетом БЛА на отмеченных выше этапах предлагается использовать совокупность вспомогательных СК, представленных на Рис. 1.9.

Положение стартовой СК [13] относительно нормальной земной системы МНПУxyz определяется углом поворота ст, определяющим направление полета при старте БЛА с МПУ БАК или осью площадки (аэродрома) взлета и посадки БЛА. В этом случае ось 0 стхст направлена под углом ст к оси МНПУх. На тот же угол повернута и ось 0стzст относительно оси МНПУz. Оси МНПУу и 0стуст совпадают. При этом точка 0ст может находиться на высоте yст относительно высоты размещения МНПУ БАК.

Кроме этого введем в рассмотрение маневренную СК с началом в заданной точке М. Ось Мх м этой системы повернута на угол м относительно оси МНПУх, а направления осей М м у м и МНПУу совпадают.

Если обозначить через ( xст, yст, zст ) координаты точки 0 ст в базовой СК МНПУxyz, то формулы пересчета значений координат БЛА, полученных в стартовой СК, в базовую СК имеют вид [17]:

где x ст (t), y ст (t), zст (t) – параметрическое представление траектории движения БЛА в стартовой СК.

Аналогичные формулы перехода из маневренной СК с центром М в точке ( xм, yм, zм ) в базовую СК записываются как:

Здесь x м (t), y м (t), z м (t) – параметрическое представление траектории движения БЛА в СК Мx мy м z м.

Для ориентации базовой СК МНПУxyz примем направление осей местной геодезической СК [7]. В этом случае ось МНПУх имеет направление на север, ось МНПУz – на восток, а ось МНПУу – по местной вертикали вверх.

В связи с тем, что современная спутниковая навигационная аппаратура БЛА (см. Рис. 1.1) работает с системами ГЛОНАСС/GPS [49], для задания местоположения МНПУ БАК предлагается использовать современную геодезическую систему координат СК-95, которая привязана к отечественной геоцентрической СК ПЗ-90.02. Начальная точка СК-95 расположена в Пулковской астрономической обсерватории (Ленингр.

обл.). Конкретные значения координат МНПУ БАК определяются с помощью наземных приемников ГЛОНАСС/GPS, входящих в состав их аппаратных средств.

В последующих главах работы будут рассмотрены математические и вычислительные основы предлагаемой теории, модели управляемого движения БЛА и методы программирования старта, взлета, посадки и полетов различных видов БЛА, представленных на Рис. 1.2.

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ БЛА

Выбор управления БЛА для эффективного достижения целей проводимой операции является достаточно сложной инженерной задачей. При ее решении в рамках предлагаемой теории управления БЛА необходимо активно использовать аппарат классической и современной математики с обязательным применением средств вычислительной техники. Последнее объясняется тем, что для получения в решаемой задаче практически значимых результатов необходимо использовать достаточно сложные математические модели движения БЛА, учитывающие условия их применения. Как показала практика, при их использовании весьма маловероятным является возможность получения законов управления БЛА в аналитическом (формульном) виде. Формирование таких законов, к которым необходимо стремиться, оправдано тем, что их достоверность может быть проверена «на земле» специалистом по управлению БЛА существующими методами математического анализа. Кроме того, «простые» законы управления БЛА подразумевают менее трудоемкие процессы их бортовой реализации.

Изложение математических методов формирования управления БЛА начинается с основных понятий теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которые широко используются как в разнообразных математических моделях движения БЛА, так и в методах оптимизации таких движений путем выбора соответствующих управлений.

Далее приводятся краткое описание методов безусловной и условной оптимизации функций и элементарная теория обратных задач управления динамическими объектами, используемых при программировании требуемых траекторий полетов БЛА.

Значительное место в материале главы отводится таким основным методам формирования оптимальных управлений БЛА, как методы классического вариационного исчисления и их развитию в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Материал данной главы рекомендуется достаточно подробно изучить математику - системному программисту из состава персонала МНПУ БАК для выработки твердых навыков решения практических задач управления БЛА методами предлагаемой теории.

2.1. Краткая характеристика теории обыкновенных дифференциальных уравнений В материале последующих глав данной работы широко используются дифференциальные уравнения, как средства решения поставленных в них задач.

Дифференциальные уравнения позволяют находить неизвестные функции, удовлетворяющие, кроме порождающих их уравнений, некоторым дополнительным требованиям.

В выражения, представляющие такие уравнения, неизвестные функции обязательно входят вместе с их производными по рассматриваемым в решаемой задаче аргументам.

При наличии у неизвестных функций более одного аргумента соответствующие выражения называются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Если неизвестные функции зависят только от одной переменной (аргумента), то такие выражения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями [20]. Такие уравнения являются основным математическим аппаратом задач динамики полета и управления ЛА [4, 6, 7, 9, 11, 13, 21, 23, 27Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной неизвестной функции.

В ситуации, когда в задаче участвуют несколько неизвестных функций, математические выражения для их определения называются системой дифференциальных уравнений.

Количество таких уравнений, которое должно обязательно совпадать с числом неизвестных функций, называется порядком системы дифференциальных уравнений.

Заметим, что на практике имеют место системы дифференциальных уравнений, состоящие из уравнений первого, второго, третьего и др. порядков.

В науке и технике выделяются следующие подходы к построению дифференциальных уравнений и их систем:

1. Построение зависимостей, описывающих исследуемое явление или процесс, которые наряду с их характеристиками содержат производные определенного порядка, отражающие развитие изучаемых свойств в пространстве и (или) во времени.

Такой метод называется непосредственным выводом дифференциальных уравнений.

2. Использование дифференциальных уравнений, описывающих фундаментальные законы, установленные в соответствующих областях науки и техники. В этом случае исследователь или инженер формирует требуемые ему уравнения путем конкретизации применительно к решаемой задаче характеристик и параметров выбранного им закона. Этот подход с использованием законов теоретической механики [22] применен для построения дифференциальных уравнений движения БЛА, приведенных в Главах 5, 6, 7 данной работы.

3. Применение в исследованиях и разработках задач вариационного исчисления, в которых формирование дифференциальных уравнений является первым этапом их решения. Данный подход описан в Разд. 2.4. Примеры построения дифференциальных уравнений в вариационных задачах оптимизации траекторий полетов БЛА представлены в Главах 8 и 9.

Рассмотрим основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений [17, 20].

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y = y(x) в общем виде представляется выражением вида:

Здесь y = – производная искомой функции y = y(x).

Выделив из этого выражения производную y, т.е. переписав его в форме:

получаем стандартную форму записи дифференциального уравнения 1-го порядка.

Если функция f(x, y) является линейной функцией своих аргументов, то имеем линейное дифференциальное уравнение 1го порядка.

Примером выражения (2.1.2) является уравнение вида:

Уравнение является примером линейного дифференциального уравнения 1-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решением уравнения (2.1.1) или (2.1.2) называется функция y(x), которая после ее подстановки в эти выражения превращает их в тождества.

В общем случае уравнению (2.1.2) удовлетворяет некоторое семейство функций y(x), представленное на Рис. 2.1.

Для нахождения единственного решения y = y(x) уравнения (2.1.2) на плоскости 0xy задается точка с координатами (x 0, y0 ), через которую должна пройти искомая кривая (см. Рис. 2.1,а).

Это требование записывается в форме выражения:

которое называется начальным условием для уравнения (2.1.2).

Интегрирование уравнения (2.1.2) с учетом условия (2.1.5) называется решением задачи Коши вида (2.1.2), (2.1.5).

Функция y = y(x) может определяться из решения дифференциального уравнения n-го порядка, которое по аналогии с выражением (2.1.1) представляется в общем виде как:

Здесь y = 2, …, y (n ) = n – соответственно производные второго, третьего и n-го порядков функции y = y(x).

В этом случае для получения единственного решения уравнения (2.1.6) задается совокупность начальных условий вида:

которые дополнительно к значению искомой функции в точке x = x0 определяют в ней значения входящих в уравнение производных этой функции до (n – 1)-го порядка включительно.

Кроме задачи Коши (2.1.6), (2.1.7) с помощью таких уравнений решаются так называемые краевые задачи, в которых решение y = y(x) должно проходить через две заданные точки (см. Рис. 2.1,б).

В этом случае число граничных условий, задаваемых в точках x = x 0 и x = x1, должно равняться порядку уравнения (2.1.6).

Например, граничные условия для уравнения 4-го порядка записываются как:

Уравнение (2.1.6) в зависимости от вида функции F могут быть линейным или нелинейным уравнением.

Примером линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами является следующее уравнение:

где a 0 0, a 1, a 2 – заданные значения коэффициентов; (x) – заданная (известная) функция.

Уравнение (2.1.8) как задача Коши может решаться при начальных условиях:

Граничные условия для этого уравнения, с помощью которых формулируется соответствующая краевая задача, имеют вид:

На практике для определения неизвестных функций y 1 (x), y 2 (x), …, yn (x) используются системы дифференциальных уравнений n-го порядка, которые в общем случае записываются как:

Для получения единственного решения таких систем используют начальные условия вида:

которые задают требуемые значения неизвестных функций в конкретной точке x = x 0.

Интегрирование системы уравнений (2.1.9) с начальными условиями (2.1.10) называется, как и выше, решением задачи Коши (2.1.9), (2.1.10).

Примером системы линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами являются выражения:

где a ij = const – заданные значения коэффициентов системы, i = (1,2), j = (1,2 ); 1(x), 2(x) – известные функции переменной x.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что любая система вида (2.1.9) может быть сведена путем специальных преобразований к уравнению вида (2.1.6) и наоборот [20].

В приложениях теории дифференциальных уравнений неизвестные функции могут иметь аргумент отличный от переменной x. Очень часто в качестве такой переменной используется время t.

Если применить для неизвестной функции z = z(t) следующие обозначения первой и второй производных:

то уравнения (2.1.2) и (2.1.8) принимают вид:

Начальные условия для этих уравнений записываются соответственно как z(t 0 ) = z 0 и z(t 0 ) = z 0 ; z (t 0 ) = z 0.

Общая форма записи задачи Коши для определения функций z 1 (t), z 2 (t), …, zi (t), …, z n (t) имеет вид:

Рассмотрим наиболее часто используемые на практике методы получения аналитических (формульных) решений дифференциальных уравнений.

Метод разделения переменных при решении уравнения (2.1.2) применяется в тех случаях, когда функцию f(x, y) можно представить как произведение или частное от деления функций f 1 (x) и f 2 (y).

Пусть уравнение (2.1.2) имеет вид:

Избавляясь от дробей, представим его в следующей форме:

Интегрируя обе части этого равенства, имеем:

Здесь C – произвольная постоянная, которая появляется при вычислении неопределенных интегралов [8].

Вычисляя интегралы, получим выражение вида:

Из этого соотношения путем его преобразований выделяется зависимость вида:

Постоянная интегрирования C определяется с помощью начального условия (2.1.5) как решение уравнения:

При сложности решения этого уравнения значение C можно определить как Решим с помощью этого метода уравнение (2.1.3) с начальным условием:

Запишем это уравнение в следующей форме:

где f 1 (x) = 2x2, f 2(y) = y.

Разделяя переменные, получим:

Подставляя в это равенство конкретный вид функций f 1 (x) и f 2 (y), имеем:

Вычисляя интегралы от правой и левой частей этого выражения, получаем решение уравнения в форме (2.1.12):

Потенцируя обе части этого равенства, запишем конкретизацию выражения (2.1.13) в виде следующей формулы:

Эта формула при различных значениях постоянной C задает семейство интегральных кривых y = y(x), изображенных на Рис.

2.1,а, каждая из которых является решением уравнения (2.1.3).

Для указания конкретной кривой (см. Рис. 2.1,б) значение C определим с помощью выражений (2.1.14) и (2.1.15):

В этом случае решение (2.1.16) конкретизируется следующим образом:

Другие методы интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка приведены в работе [20].

В некоторых приложениях встречаются разрывные дифференциальные уравнения, в которых правая часть представляет собой совокупность функций, заданных в различных интервалах изменения независимой переменной.

Разрывное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид:

Начальное условие для этого уравнения записывается как:

На практике решение задачи Коши (2.1.18), (2.1.19) сводится к последовательному решению двух задач Коши:

Начальное условие для определения функции y2 (x) формируется с использованием решения задачи Коши (2.1.20).

Таким образом, решение уравнения (2.1.18) представляется в виде:

Пример 2. Пусть уравнение (2.1.18) имеет вид:

и задано начальное условие:

Задача Коши (2.1.20) в данном случае записывается как:

Семейство кривых, являющихся решением этого уравнения, имеет вид:

Постоянную интегрирования C 1 определим из начального условия как:

Отсюда единственное решение первого дифференциального уравнения записывается как:

Определим из этого выражения начальное условие для второго дифференциального уравнения:

которое будет иметь вид:

В общем случае решение второго дифференциального уравнения как уравнения с разделяющимися переменными записывается как:

Постоянная С 2 определяется следующим образом:

Откуда:

Тогда единственное решение второго уравнения будет иметь вид:

Графически результаты решения разрывного дифференциального уравнения (2.1.23) представлены на Рис. 2.2.

Из этого рисунка видно, что в точке x = 1 функция у(х) имеет излом, а производная y ( x ) претерпевает разрыв.

Решение любого дифференциального уравнения, содержащее постоянные интегрирования, называется его общим решением. После конкретизации их значений с помощью начальных или граничных условий полученное решение называется частным решением дифференциального уравнения.

В смысле этих определений выражение (2.1.16) является общим, а (2.1.17) – частным решениями уравнения (2.1.3).

Заметим, что решения уравнения n-го порядка вида (2.1.6) и систем уравнений вида (2.1.9) и (2.1.11) включают n постоянных интегрирования C1, C 2, …, C n.

Рассмотрим некоторые методы получения общих и частных решений дифференциальных уравнений.

Приведенным выше методом разделения переменных можно решать уравнения вида:

где a, b – постоянные величины.

В данном случае используется замена переменных:

Дифференцируя по x обе части этого равенства, имеем:

С учетом этого исходное уравнение преобразуется в уравнение с искомой функцией w = w(x) вида:

Разделяя переменные в этом уравнении, получим:

Интегрируя это равенство, имеем:

Действия по возврату к функции y(x) проиллюстрируем на примере решения конкретного уравнения вида (2.1.24).

Пример 2. Пусть решаемое уравнение имеет вид:

Полагая w = 2x + y, будем иметь:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Отсюда общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид:

Заметим, что с помощью замены (2.1.25) методом разделения переменных можно решать линейные неоднородные уравнения 1-го порядка вида (2.1.4).

Рассмотрим метод решения линейного однородного уравнения 2-го порядка:

которое получается из уравнения (2.1.8) при (х) 0.

Для построения общего решения уравнения (2.1.26) формируется характеристическое уравнение вида [17]:

Решая это квадратное уравнение, имеем Если корни k 1 и k 2 этого уравнения действительны и различны, то общее решение уравнения (2.1.26) записывается как:

В этом случае общее решение уравнения (2.1.26) имеет вид:

Характеристическое уравнение (2.1.27) при имеет комплексно-сопряженные корни:

Тогда общее решение уравнения (2.1.6) представляется выражением:

где Для получения частного решения уравнения (2.1.26) необходимо определить с помощью указанных выше начальных или граничных условий значения постоянных интегрирования С1 и С2.

Пример 2. Построим общее и частные решения следующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка:

Характеристическое уравнение (2.1.27) записывается как Корни этого уравнения будут соответственно равны:

В этом случае общее решение рассматриваемого уравнения с учетом выражения (2.1.28) будет иметь вид:

Пусть для уравнения (2.1.29) заданы следующие начальные условия:

Тогда для получения частного решения задачи Коши (2.1.29), (2.1.31) необходимо решить систему уравнений вида:

Из этой системы следует, что Подставляя эти значения в выражение (2.1.30), получим искомое решение задачи Коши:

Пусть решение уравнения (2.1.29) должно проходить через следующие точки:

Для учета этих граничных условий с использованием формулы (2.1.30) сформируем систему уравнений вида:

Решая эту систему, получим Подставляя эти значения в выражение (2.1.30), запишем частное решение краевой задачи (2.1.29), (2.1.32):

В работе [17] приведены методы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений п-го порядка и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим общий подход к решению уравнения (2.1.1), из которого невозможно получить стандартную форму записи уравнения 1-го порядка вида (2.1.2) [20].

Заменим аргументы функции F их параметрическими представлениями:

где, и – выбранные функции; u, v – параметры.

Пользуясь представлением дифференциала функции y = y(x) вида:

получаем, что Разрешая это выражение относительно производной, имеем:

Это выражение является уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной неизвестной функции v = v(u), для решения которого в общем случае используются описанные в Разд. 3.1 численные методы интегрирования дифференциальных уравнений.

Первым этапом при решении нелинейных уравнений вида (2.1.6) является анализ возможности понижения их порядка.

Особенно часто в приложениях используются следующие виды уравнений 2-го порядка, допускающие их сведение к уравнениям 1-го порядка:

1. Уравнение вида:

упрощается с помощью следующих приемов:

а) выделение из уравнения зависимости которая дважды интегрируется для получения искомой функции y = y(x);

б) введение новой неизвестной функции p = p(x), использование подстановки:

и сведение к уравнению:

Если это уравнение невозможно разрешить относительно производной, то можно заменить его двумя параметрическими уравнениями:

где и – выбранные функции.

Искомое решение получается в параметрической форме как:

2. Уравнение представляется в параметрическом виде:

Дифференциал от производной y представим как:

Отсюда:

Проводя интегрирование этого выражения, получим:

Для получения функции y(t) используем представление вида:

Интегрируя это равенство, получим:

3. Уравнение можно упростить, полагая:

В этом случае исходное уравнение превращается в уравнение 1-го порядка вида:

относительно неизвестной функции p = p(y). Искомая функция y(x) определяется из уравнения с разделяющимися переменными вида:

где p(y, C 1) – общее решение уравнения (2.1.34).

С существующими подходами к интегрированию различных видов уравнений можно ознакомиться в работе [20] и др.

В заключение данного раздела уточним постановку краевых задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка и выше.

Простейшей краевой задачей является двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

с граничными условиями, заданными на концах отрезка [a, b]:

В этой задаче следует найти такое решение y(х) уравнения (2.1.35) на отрезке [a, b], которое принимает на его концах значения y 0 и y 1. Если функция f(x,y,y') линейна по аргументам y, y', то задача (2.1.35), (2.1.36) является линейной краевой задачей (см. пример 2.3), в противном случае – это нелинейная краевая задача.

Кроме граничных условий (2.1.36), называемых граничными условиями 1-го рода, в прикладных задачах используются условия, накладываемые на производные от решения на концах интервала [a, b] (граничные условия 2-го рода) [25]:

или линейная комбинация решений и их производных (граничные условия 3-го рода):

где,,, – такие числа, что || + || 0, || + || 0; A, B – заданные константы.

Отметим, что из условий 3-го рода как частные случаи при определенных значениях параметров,,, получаются условия вида (2.1.36) и (2.1.37).

В практических задачах на разных концах отрезка [a, b] могут использоваться условия различных типов. В некоторых из таких задач применяются нелинейные граничные условия вида:

Общие постановки краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений приведены в работах [25, 104].

2.2. Безусловные и условные экстремумы При формировании управлений БЛА возникают экстремальные задачи, в которых требуется определить значения переменных, доставляющих минимум (максимум) некоторой зависящей от них функции.

Такие задачи относятся к классическим задачам нахождения экстремума функций одной или нескольких переменных [8, 17]. Для функций многих переменных выделяются задачи нахождения безусловных или условных точек их минимума (максимума). В последнем случае в решаемых задачах минимизации (максимизации) значения искомых переменных должны дополнительно удовлетворять ограничениям типа равенств [8].

В данном разделе приводятся краткие сведения по решению таких задач, необходимые для использования в последующих главах монографии.

Рассмотрим задачу определения минимального (максимального) значения дважды дифференцируемой функции одной переменной y = f(x).

Необходимое условие того, что в некоторых точках эта функция имеет экстремум (минимум или максимум), имеет вид [8, 17]:

Точки, в которых выполняется это условие, называются точками, подозрительными на экстремум, или стационарными точками функции f(x).

При решении практических задач используются достаточные условия достижения функцией f(x) максимума или минимума в таких точках, которые формулируются как: «Если в точке x = x0 выполняется неравенство:

то функция f(x) имеет в точке x 0 максимум. При противоположном неравенстве в этой точке достигается минимум функции f(x). Если вторая производная в рассматриваемой точке равна 0, то в ней функция f(x) имеет точку перегиба» (Рис. 2.3).

Схема нахождения точек максимума (минимума) дважды дифференцируемой функции f(x) включает в себя три этапа:

1°. Составление и решение уравнения (2.2.1) для определения значений стационарных точек x k (k > 0) функции f(x).

2°. Вычисление значения второй производной функции f(x) в каждой точке xk и определение ее знака.

3°. Выводы о наличии в каждой стационарной точке x k точек максимума, минимума или точек перегиба исследуемой функции f(x) с использованием приведенного выше правила.

На Рис. 2.3 в составе стационарных точек x1, x 2, …, x функции у = f(x) с помощью достаточных условий ее экстремума выделены точки максимума (x 1, x 4 ), минимума (x 2, x 5 ) и точки перегиба (x 3, x 6 ).

При минимизации или максимизации функций многих переменных решается задача вида:

Стационарные точки этой функции по аналогии с формулой (2.2.1) находятся из решения следующей системы нелинейных уравнений п-го порядка [8, 17]:

которые являются необходимыми условиями экстремума функции (2.2.3).

Достаточные условия минимума или максимума функции (2.2.3) на решениях системы (2.2.4) приведены в работе [8].

Заметим, что задачи определения глобального (наибольшего) максимума и глобального (наименьшего) минимума многоэкстремальных функций y = f(x) и y = f(x 1, x 2,…, x n ) рассматриваемый классический подход не решает. Такие точки находятся путем перебора значений функции f в выявленных точках ее максимума и минимума. На Рис. 2.3 точками глобальных максимума и минимума функции y = f(x) являются соответственно точки х 4 и х 2.

Задача (2.2.3) является задачей поиска безусловного экстремума функции y = f(x 1, x 2,…, x n ).

Наряду с этой задачей в приложениях используется задача определения условного экстремума такой функции, которая формулируется следующим образом: «Найти значения переменных x1, x 2,…, xn, доставляющих минимум (максимум) функции (2.2.3) при выполнении условий вида то есть число управляющих функций объекта больше числа его фазовых координат.

Рассмотрим метод нахождения управлений u1 (t ), u2 (t ), …, um (t ), которые должны удовлетворять условиям:

В связи с тем, что в этой системе число неизвестных больше числа уравнений, будем определять их с помощью решения следующей вспомогательной задачи условной параметрической оптимизации: «Найти функции u 1 (t), u 2 (t), …, u k (t), доставляющие минимум целевой функции:

при выполнении ограничений (2.3.44)».

Заметим, что минимизация квадратичной функции U(t) соответствует минимальным управляющим воздействиям на объект.

Эту задачу предполагается решать методом Лагранжа, приведенным в Разд. 2.2 [114].

Функция Лагранжа вида (2.2.6) задачи (2.3.45), (2.3.44) записывается как:

где 1 = 1 (t), 2 = 2 (t), …, n = n (t) – значения множителей Лагранжа в момент времени t [t0, t1 ].

По аналогии с выражениями (2.2.7) значения искомых управлений в каждый момент времени t будем определять из необходимых условий экстремума функции (2.3.46), которые имеют вид:

Из решения этой системы уравнений (т + n)-го порядка определяются искомые управления u r (t) и соответствующие им множители Лагранжа j (t), r = (1, n ), j = (1, n ) для каждого момента времени t [t 0,t 1 ].

Для решения параметрической системы уравнений (2.3.47), (2.3.48) в общем случае используются отмеченные выше численные методы.

Пример 2. Пусть уравнение движения объекта имеет вид:

и заданы функция = (t) и ее производная (t ).

Требуется определить управления u 1 (t), u 2 (t), обеспечивающие движение объекта по кривой x = (t) с заданной скоростью x = (t ).

В данной задаче имеем n = 1 и т = 2.

Условия (2.3.44) с учетом уравнения (2.3.49) конкретизируются как:

Целевая функция (2.3.45) имеет вид:

Функция Лагранжа (2.3.46) для решаемой задачи записывается как:

Сформируем систему уравнений вида (2.3.47), (2.3.48):

Из первых двух уравнений системы имеем, что Для определения множителя Лагранжа подставим эти решения в третье уравнение системы:

Откуда получим:

Подставляя правую часть этого выражения в формулы (2.3.50), получаем окончательный вид искомых управлений:

При решении практических задач с ограничениями вида (1.2) предлагается следующий подход [114].

Системы уравнений (2.3.40) или (2.3.47), (2.3.48) решаются с выполнением в соответствующей системе уравнений замены управлений вида:

где v 1 (t), v2 (t),…, v m (t) – неограниченные управления.

Эта система численно решается относительно неизвестных функций vr (t), t [t 0,t 1 ] с использованием для рассматриваемых моментов времени t произвольных начальных приближений vr0) (t ), r = (1, m ). Полученные решения v1 (t ), v2 (t ),..., vm (t ) подставляются в выражения (2.3.51), с помощью которых определяются управления u r (t ), r = (1, m ), удовлетворяющие ограничениям (1.2).

Если при некотором значении t [t 0,t 1 ] решения системы (2.3.40) или (2.3.47), (2.3.48) не существует, то делается заключение о невозможности выполнения заданных условий вида (1.2) в рассматриваемой обратной задаче управления.

Отметим, что предложенные выше методы формирования управлений u 1 (t), u 2 (t), …, u т (t) при наличии условий (1.2), (2.3.43), (2.3.44) в теории обратных задач управления [9] не рассматривались.

В некоторых прикладных задачах возникает необходимость нахождения максимальных и минимальных значений математических выражений, называемых функционалами, значения которых зависят от выбора одной или нескольких функций [11, 17, 20].

Примеры различных видов функционалов приведены на Рис. 2.6.

На Рис. 2.6,а функционалом является длина l кривой, соединяющей на плоскости две заданные точки A(x 0, y 0) и B(x 1, y 1 ).

Каждой из кривых, задаваемых уравнениями yi = y i (x), i 1, будет соответствовать собственное значение l i, вычисляемое по формуле [20]:

где yi (x) – производная функции yi (x).

Функционалом также является площадь криволинейной трапеции [8]:

представленной на Рис. 2.6,б. В самом деле, подставляя в подынтегральное выражение различные функции y1 (x), y 2 (x), … и вычисляя значения определенного интеграла, будем получать различные числа S 1, S2, ….

Функционалы вида l = l(y(x)) и S = S(y(x)) называются интегральными функционалами.

На Рис. 2.6,в приведен пример функционала вида:

который называется терминальным (конечным) функционалом.

При его вычислении заданными значениями являются исходная точка с координатами (x 0, y 0) и координата x 1 конечной точки интервала [x 0, x1 ]. Задаваясь различными функциями y 1 (x), y 2 (x), y 3(x), … и вычисляя их значения при x = x1, получаем различные числа y 11, y12, y 13,…, которые являются значениями рассматриваемого функционала.

Методы нахождения максимальных и минимальных значений функционалов разработаны в рамках специальной математической дисциплины, называемой вариационным исчислением [11, 17, 20].

Задачи, в которых необходимо найти одну или несколько функций, доставляющих максимум или минимум используемому функционалу, называются вариационными задачами.

В этих задачах функции, доставляющие максимум или минимум (экстремум) применяемым функционалам, называются экстремалями.

2.4.1. Безусловные вариационные задачи В работах основателя вариационного исчисления Л. Эйлера была сформулирована следующая задача [20]: «Найти функцию y = y(x), доставляющую максимум (минимум) функционалу:

при заданных граничных значениях экстремали y(x 0 ) = y 0 и y(x 1 ) = y 1 ».

В его работах было доказано, что необходимое условие того, что некоторая функция y 0 (x) доставляет экстремум функционалу (2.4.4), определяется выражением:

где J – вариация (приращение) функционала в достаточно малой окрестности экстремали y 0 (x).

Кроме того, Л. Эйлером было доказано, что, если вторая вариация функционала (2.4.4) удовлетворяет условию:

то экстремаль y 0(x) доставляет максимум функционалу J, в противном случае – минимум.

Из условия (2.4.5) следует, что функция y = y(x), доставляющая экстремальное значение функционалу (2.4.4), является решением дифференциального уравнения 2-го порядка [20]:

удовлетворяющего граничным условиям:

В выражении (2.4.7), которое называется уравнением Эйлера, использованы следующие обозначения частных производных функции F ( x, y, y) :

Заметим, что для построения уравнения (2.4.7) функция Fy должна быть продифференцирована по независимой переменной x.

Как было отмечено в Разд. 2.1, общее решение любого дифференциального уравнения 2-го порядка имеет вид:

Такой же вид имеет результат интегрирования уравнения (2.4.7). При этом для полной конкретизации полученной экстремали постоянные интегрирования C 1 и C 2 определяются с помощью граничных условий (2.4.8) из решения системы уравнений:

Таким образом, при решении вариационной задачи (2.4.4), (2.4.8) выполняются следующие действия:

1°. Вычисление производных (2.4.9) и формирование уравнения Эйлера вида (2.4.7).

2°. Интегрирование уравнения (2.4.7) известными методами, т.е. получение его решения в форме (2.4.10).

3°. Запись с помощью условий (2.4.8) системы уравнений (2.4.11) и определение из ее решения значений C1, C 2 постоянных интегрирования уравнения (2.4.7).

4°. Формирование экстремали решаемой задачи в виде выражения:

Пример 2. Пусть дана вариационная задача:

В этой задаче функция F имеет вид:

Вычислим производные вида (2.4.9) и производную по переменной х:

Тогда уравнение Эйлера (2.4.7) запишется как:

Переписывая его в форме:

и дважды интегрируя по x, получим:

Последнее выражение представляет собой конкретизацию формулы (2.4.10) для решаемой задачи.

Используя граничные условия (2.4.13), запишем систему уравнений вида (2.4.11) для определения значений постоянных интегрирования С 1 и С 2 :

Решая эту систему, получаем, что C1 = 0,5 ; C2 = 0.

Тогда уравнение экстремали вида (2.4.12) запишется как:

Отметим особые случаи задачи (2.4.7), (2.4.8), в которых ее решение не существует:

1) Функция F не зависит от y, то есть имеет вид:

В этом случае уравнение (2.4.7) записывается как F y = 0 и не является дифференциальным уравнением, так как Fy 0.

2) Функция F линейно зависит от y :

Уравнение Эйлера для такой функции имеет вид:

Вычисляя производную по x, получим:

Приводя подобные члены, имеем выражение:

которое является конечным, а не дифференциальным уравнением.

Полученные в этих случаях конечные уравнения и выделенные из них функции y(x) не удовлетворяют в общем случае граничным условиям (2.4.8), то есть не являются экстремалями.

Отмеченные случаи необходимо учитывать при постановке вариационных задач.

Рассмотрим еще один частный случай задачи (2.4.4), когда функция F зависит только от y :

Уравнение Эйлера (2.4.7) для такой функции имеет вид:

Так как производная Fyy 0, то уравнение Эйлера записывается как:

Проводя его последовательное интегрирование, получим:

Последнее означает, что при F = F ( y) любая вариационная задача имеет экстремали в виде всевозможных прямых.

Пример 2. Пусть требуется найти кривую y = y(x) минимальной длины, соединяющую точки A(x 0, y 0 ) и B(x 1, y 1 ) (см. Рис. 2.6,а). Вариационная задача (2.4.4), (2.4.8), записанная с использованием выражения (2.4.1), будет иметь следующий вид:

Для этой задачи имеем, что Если повторно продифференцировать по y функцию Fy, то можно показать, что Fyy 0. Это следует из того, что производная y не должна по условиям задачи обращаться в ноль Тогда общее решение уравнения Эйлера:

запишется как:

Уравнения (2.4.11) примут в этой задаче вид:

Решая эту систему, получим:

Тогда уравнение экстремали будет иметь вид:

Эта экстремаль соответствует на Рис. 2.6,а прямой y 2 (x) и подтверждает тот общеизвестный факт, что любая прямая кратчайшим образом соединяет две произвольные точки плоскости.

Пусть в функционале (2.4.4) функция F = F ( x, y). Тогда уравнение (2.4.6) приобретает вид:

Интегрируя это соотношение, получим выражение:

которое является первым интегралом уравнения Эйлера, представляющим собой уравнение 1-го порядка, решаемое соответствующим способом (см. Разд. 2.1).

В приложениях часто используются функционалы с подынтегральными функциями вида:

Уравнение Эйлера для этого случая записывается как:

Если умножить обе части этого равенства на y, то левая часть приобретает вид:

Следовательно, это уравнение Эйлера также имеет первый интеграл:

Данное уравнение 1-го порядка может быть проинтегрировано методами, рассмотренными в Разд. 2.1.

В большинстве прикладных задач функционалы зависят от нескольких функций, то есть имеют вид:

Для таких функционалов экстремали y i (x) определяются из решения системы дифференциальных уравнений 2-го порядка [17, 20]:

c граничными условиями вида:

Функционал задачи может зависеть от производных порядка выше первого. В общем случае такие функционалы записываются как:

Граничные условия, которым должна удовлетворять искомая функция у = y(x), имеют вид:

В данном случае экстремаль y = y(x) получается как решение дифференциального уравнения Эйлера 2n-го порядка [20]:

Общее решение этого уравнения содержит 2n постоянных интегрирования, которые определяются с помощью граничных условий (2.4.17).

Для функционалов вида:

при определении экстремалей yi = yi ( x ), i = 1, m, решается следующая система уравнений Эйлера [20]:

2.4.2. Вариационные задачи с подвижными границами Значительное место в прикладных задачах занимают вариационные задачи с подвижными границами, в которых одна или обе граничные точки (x 0, y0 ) и (x 1, y1 ) искомых экстремалей могут перемещаться на плоскости.

Пример такой ситуации представлен на Рис. 2.6,в.

В этих задачах уравнение экстремали y = y(x, C 1, C 2 ) также определяется путем решения уравнения Эйлера (2.4.7).

Постоянные интегрирования C 1, C 2 и неизвестные значения граничных условий находятся из специальных условий экстремума функционала называемых условиями трансверсальности.

Рассмотрим представленный на Рис. 2.7 общий случай рассматриваемой вариационной задачи, когда начальная точка (x 0, y0 ) экстремали y = y(x) должна лежать на заданной кривой y = (x), а конечная (x 1, y 1 ) – на кривой y = (x).

Условия трансверсальности для этого случая имеют вид [20]:

Здесь и – производные граничных функций (x) и (x).

В эти соотношения подставляются функции y = y(x, C1, C 2) и y = y( x, C1, C2 ). Для определения искомых параметров C 1, C 2, x 0, x 1 к ним добавляются уравнения:

После определения значений x 0 и x 1 оставшиеся неизвестные параметры задачи y 0 и y1 вычисляются как:

Требуется построить экстремаль в задаче:

при ее закрепленном левом конце, заданном условием:

и требовании, что правый конец экстремали y(x) должен лежать на прямой:

Общим решением уравнения Эйлера (2.4.7) в этой задаче является семейство окружностей [20]:

Подставляя в него заданное граничное (левое) условие, получим Тогда явное представление искомой экстремали будет иметь вид:

Используя второе условие трансверсальности из состава выражений (2.4.21), имеем:

Исключив из этого выражения значение y 0 и проведя несложные преобразования, получим:

Откуда предполагая, что 1 + y2 0, получаем равенство вида:

Перепишем его в следующей форме:

Это равенство означает, что в точке x = x1 тангенс угла наклона касательной к экстремали у(х) будет равен (–1), то есть в этой точке она будет ортогональна прямой y = x – 5, так как тангенс угла ее «касательной» равен (+1).

Возьмем для определенности уравнение экстремали у(х) со знаком (+), вычислим производную от нее и конкретизируем полученное выше условие как:

Кроме того, искомые параметры C, x 1, y 1 должны удовлетворять условиям их принадлежности экстремали и заданной прямой, которые имеют вид:

Используя первое условие трансверсальности (2.4.21), из этих уравнений имеем:

Приравнивая это выражение второму уравнению, получим, что Тогда уравнение полученной выше экстремали конкретизируется как:

Неизвестные координаты (x 1, y 1) можно найти как точку пересечения окружности:

и прямой:

Решая эту систему уравнений, получим:

Графическая иллюстрация результатов решения задачи приведена на Рис. 2.8.

2.4.3. Вариационные задачи с запрещенными областями В некоторых вариационных задачах на экстремали у = у(х) может быть наложено ограничение, запрещающее им проходить через точки области G, ограниченной заданной кривой y = (x) (Рис. 2.9).

В таких задачах экстремаль y = y(x) может располагаться целиком вне области G либо она состоит из дуг, лежащих вне границы G, и из частей границы этой области.

В последнем случае необходимо определить координаты точек экстремали, лежащих на граничной кривой y = (x). На Рис. 2.9 такими точками являются точки M, N, P, Q. Точки A(x 0, y 0 ) и B(x 1, y 1 ) являются заданными граничными точками экстремали y = y(x).

Штриховой линией обозначены участки экстремали, находящиеся в «запрещенной» области G.

Как и выше, будем считать, что из уравнения Эйлера (2.4.7) получено общее решение y = y(x, C 1, C 2 ) вариационной задачи.

Рассмотрим условия для определения координат точки M x, y перехода экстремали на границу области G и точки N (x, y ) ее «схода» с границы области G.

Запишем функционал (2.4.4) в виде [20]:

Функционал J 1 имеет подвижную граничную точку, лежащую на кривой y = (x). Следовательно, для ее определения можно использовать одно из условий трансверсальности (2.4.21) вида:

Функционал J 2 также имеет подвижную точку ( x, y ), но в этой точке производные от экстремали y(x) и функции (x) должны быть равны.

Отсюда следует второе условие вида [20]:

Для определения параметров C 1, C 2, x к этим уравнениям необходимо добавить уравнение:

Координата y при известном значении x вычисляется как:

Координату x точки N будем определять из уравнения:

которое представляет собой условие гладкости «схода» откорректированной экстремали с кривой y = (x). Параметры C 1M и C 2M – результаты решения уравнений (2.4.22)-(2.4.24).

Ордината точки N при вычисленном из уравнения (2.4.26) значении x определяется как:

Аналогичным образом находятся координаты остальных точек «входа» и «схода» экстремали (точки P и Q на Рис. 2.9) на границу и с границы «запрещенной» области G.

В этом случае искомая экстремаль Y(x) решаемой задачи представляется составной функцией, включающей в себя чередующиеся участки найденной из решения задачи (2.4.7), (2.4.8) экстремали и кривой y = (x).

Для ситуации, представленной на Рис. 2.9, такая функция будет иметь вид:

где x и x – абсциссы точек P и Q.

Заметим, что данная задача может не иметь решения, если система уравнений (2.4.22)-(2.4.24) несовместна. Это означает отсутствие такого значения x, при котором значения производных экстремали и граничной функции были бы равны. Такую ситуацию иллюстрирует Рис. 2.8, если в качестве граничной функции y = (x) рассматривать прямую y = x – 5.

2.4.4. Вариационные задачи на условный экстремум При наличии связей, накладываемых на искомые экстремали, используются вариационные задачи на условный экстремум.

Пусть требуется найти экстремум функционала (2.4.14) при выполнении следующих условий:

Это означает, что экстремали yj (x), j = (1, n ), должны не только доставлять максимальное (минимальное) значение функционалу J, но и удовлетворять при этом равенствам (2.4.28).

При решении задач вида (2.4.14), (2.4.28) используется вспомогательный функционал [20]:

где В этих выражениях использованы вектор-функции:

При этом функции i (x) выполняют роль вспомогательных функций решаемой задачи и носят название множителей Лагранжа.

Экстремали yj (x), j = (1, n ), функционала (2.4.29) формируются путем решения системы уравнений Эйлера:

дополненной уравнениями связи (2.4.28).

Эта расширенная система (n + m) уравнений позволяет найти функции y 1 (x), y 2 (x), …, y n (x), 1 (x), 2 (x), …, m (x), а граничные условия:

которые должны удовлетворять условиям (2.4.28), дают возможность определить 2n постоянных интегрированием системы (2.4.31).

Пример 2. Пусть требуется найти функции y 1 (x) и y 2 (x), доставляющие минимальное значение функционалу:

при выполнении условий вида:

Вспомогательный функционал этой задачи, сформированный с использованием выражений (2.4.29) и (2.4.30), записывается как:

где = (х) – множитель Лагранжа.

Система уравнений Эйлера (2.4.31), дополненная уравнением связи, имеет вид:

Из этой системы уравнений определяются искомые функции y1 = y1 (x, C1, C 2 ), y 2 = y 2 (x, C 3, C 4 ) и (x) решаемой задачи.

Пусть уравнения связей являются дифференциальными уравнениями вида [20]:

В этом случае так же, как для связей вида (2.4.28), с использованием этих уравнений составляется выражение (2.4.30), формируется система дифференциальных уравнений (2.4.31), (2.4.33), из решения которой определяются функции yj и i, j = (1, n ), i = 1, m. Для определения постоянных интегрирования используются условия (2.4.32).

Если требуется определить экстремум функционала (2.4.14) при удовлетворении интегральных условий:

где l i – заданные постоянные величины, то такие задачи называются изопараметрическими вариационными задачами [20].

Отметим, что число ограничений вида (2.4.34) в таких задачах может быть больше, меньше или равно числу искомых функций п.

Для решения таких задач используется вспомогательный функционал вида [20]:

где i = const – множители Лагранжа, i = (1, m).

Уравнения Эйлера (2.4.31) записываются для следующей подынтегральной функции:

функционала (2.4.35).

Постоянные интегрирования C 1, C 2, …, C2n этих уравнений и множители Лагранжа 1, 2, …, m определяются из граничных условий (2.4.32) и из изопериметрических условий (2.4.34).

Отметим основные этапы решения вариационных задач на условный экстремум:

1°. Составление вспомогательных функционалов вида (2.4.29) или (2.4.35).

2°. Запись уравнений Эйлера для выражений (2.4.30) или (2.4.36).

3°. Определение наряду с искомыми экстремалями вспомогательных функций i (x) или параметров i, i = 1, m.

Важным этапом решения таких задач является анализ соответствия граничных условий (2.4.32) используемым ограничениям вида (2.4.28) или (2.4.33) и, при необходимости, корректировка значений y j0 и yj1,.

2.4.5. Вариационные задачи в параметрической форме Вариационные задачи, используемые для оптимизации управления ЛА [4, 5, 11, 13, 29 и др.], обычно формулируются в параметрической форме, где в качестве аргумента искомых экстремалей используется параметр t, физически означающий время.

Параметрический вид задачи часто бывает удобнее рассмотренного выше классического вида вариационных задач.

Так в изопериметрической задаче вида (2.4.14), (2.4.34), в которой требуется найти замкнутую кривую y = y(x) заданной длины l, ограничивающую максимальную площадь S, неудобно искать решение в виде неоднозначной функции y(x). Примером такой функции является уравнение окружности:

которое, будучи записано в виде:

для каждого значения аргумента x, дает два значения y.

Если считать, что уравнение искомой кривой задается в параметрической форме [8, 17] как:

то такая изопериметрическая задача будет иметь вид [17]:

где x = x(t ), y = y (t ) – производные функций x(t) и y(t).

Рассмотрим общий подход, позволяющий переходить от задачи поиска экстремали в форме y = y(x) к параметрической вариационной задаче, где искомая экстремаль будет представляться функциями (2.4.37).

Пусть функционал задачи задан выражением (2.4.4).

Преобразуем производную y следующим образом:

Кроме этого, имеем, что С учетом этих представлений и выражений (2.4.37) функционал (2.4.4) примет вид:

Здесь t 0 и t 1 – значения параметра t, найденные из условий:

Общая форма параметрической вариационной задачи имеет вид:

При ее решении используются уравнения Эйлера [20]:

и граничные условия:

Наряду с простейшей вариационной параметрической задачей (2.4.40), (2.4.42) в такой форме могут представляться все рассмотренные выше виды вариационных задач.

В приложениях вариационного исчисления к задачам динамики полета ЛА [11] широко используется следующая постановка задачи: «Найти функции x 1 (t), x 2 (t), …, x n(t), доставляющие максимум (минимум) функционалу:

при выполнении ограничений:

и граничных условий:

Здесь в отличие от рассмотренных выше функционалов в состав выражения (2.4.43) входит внеинтегральная составляющая f 0, которая зависит от начального (t 0 ) и конечного (t 1 ) моментов времени и граничных значений искомых функций (2.4.45).

В оптимальных задачах динамики полета [11] выражения (2.4.43)-(2.4.45) описывают вариационную задачу Больца. Из этой задачи при f 0 0 получается задача Лагранжа, а при 0 – задача Майера [11].

Заметим, что в последнем случае функционал J становится терминальным функционалом, пример которого приведен на Рис. 2.6,в.

Использование задачи Майера позволяет находить не только оптимальные экстремали x j (t), j = (1, n ), но и соответствующие им величины t 0, t 1, x j0, x j1, j = (1, n ).

Задачи Больца, Майера и Лагранжа решаются с использованием множителей Лагранжа i = i (t), i = 1, m.

Здесь, как и выше, формируется выражение:

и записываются уравнения Эйлера-Лагранжа вида:

Для определения функций xj (t) и i (t), j = (1, n ), i = 1, m эти уравнения при заданных значениях граничных условий (2.4.45) решаются совместно с дифференциальными уравнениями (2.4.44).

Если часть граничных условий задачи не определена, то для их нахождения, как в Разд. 2.4.2, используются условия трансверсальности, которые имеют следующий вид:

Заметим, что из этих выражений в каждой конкретной задаче используется только их часть, касающаяся «свободных»

(«подвижных») граничных параметров.

Например, если в решаемой задаче задан начальный момент времени t 0 и значения x j0, xj1, j = (1, n ), а конечный момент времени t 1 является «свободным», то для определения его оптимального значения из этих условий используется только выражение (2.4.49).

Если значения t 0 и t 1 заданы совместно с частью граничных значений x j0 и x j1, то их оставшиеся «свободными» значения находятся из выражений (2.4.50) и (2.4.51).

При задании в решаемой прикладной задаче дифференциальных связей в явной форме вида:

они преобразуются в неявную форму (2.4.44) как:

Как было отмечено выше, методы поиска оптимальных решений в вариационных задачах основаны на необходимых условиях экстремума применяемых в них функционалов вида (2.4.5). Вместе с тем в каждой практической задаче ее функционал должен быть либо максимизирован, либо минимизирован.

Поэтому после решения каждой вариационной задачи должен быть проведен анализ на достижение этой цели.

Здесь, как и в дифференциальном исчислении, имеются достаточные условия типа (2.4.6) максимума и минимума используемого функционала J.

Сформулируем достаточные условия экстремума для задачи Больца (2.4.43)-(2.4.45) в форме условия Лежандра-Клебша [11].

Это условие при достижении функционалом J максимума имеет вид:

Для нахождения минимума функционала J эта сумма должна быть больше нуля.

При проверке этого условия в смешанную производную от функции подставляются результаты решения x 0 (t ), x 0 (t ), 0 (t ), j = 1, n, i = 1, m, задачи (2.4.43)-(2.4.45).

Условие (2.4.53) может быть использовано и для других видов рассмотренных выше вариационных задач.

Примеры использования вариационного исчисления в задачах оптимизации управления БЛА представлены в Главе 9.

2.5. Основы теории оптимального управления Рассмотренные в предыдущем разделе методы вариационного исчисления предназначены для определения непрерывных и гладких экстремалей.

Вместе с тем, развитие техники в XX веке выдвинуло ряд задач нахождения экстремалей, которые должны лежать в некоторых заданных областях и быть при этом кусочнонепрерывными функциями времени и других характеристик оптимизируемого объекта или процесса.

Необходимость решения неклассических задач управления вызвало разработку в 60-70-тых годах прошлого столетия теории оптимального управления динамическими системами [4, 5, 11, 29, 52].

В этой теории функционирование объекта управления на интервале времени [t 0, t 1 ] описывается системой дифференциальных уравнений [11]:

с граничными условиями:

Здесь x 1 (t), x 2 (t), …, xn (t) – непрерывные кусочно-гладкие функции, называемые фазовыми координатами объекта, описывающие состояние объекта (положение в пространстве, скорость движения и т.п.) в момент времени t [t0, t1 ] ; u 1 (t), u 2 (t), …, uk (t) – управляющие кусочно-непрерывные функции, принадлежащие некоторой заданной области U и имеющие в промежутке времени [t 0, t 1 ] конечное число точек разрыва.

Примером такой системы являются выражения (1.3), (1.4), приведенные в Главе 1.

Управление объектом может быть реализовано методами, представленными на Рис. 2.10.

Если управляющие функции имеют вид:

то имеем программное управление объектом (см. Рис. 2.10,а).

Если применяемое управление объектом имеет вид зависимостей:

где x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t), …, x n = xn (t) – текущие значения его фазовых координат, то управление осуществляется по принципу обратной связи (см. Рис. 2.10,б).

В задачах управления такими объектами как самолет, вертолет, ракета, космический корабль и т.п. область U обычно задается соотношениями:

где u 1r, u 2r – предельные состояния их органов управления (рулей и т.п.).

Управления объектом, удовлетворяющие этим условиям, называются допустимыми управлениями.

Как было отмечено выше, управляющие функции u r, r = 1, k, могут быть разрывными. Это приводит к тому, что вследствие уравнений (2.5.1) фазовые координаты x j (t), j = (1, n ) становятся кусочно-гладкими функциями.

На Рис. 2.11 приведены примеры таких функций.

В теории оптимального управления динамическими объектами в общем случае решается следующая задача [11]:

«Найти управления u 1, u 2,, …, uk, доставляющие максимум функционалу:

при выполнении ограничений (2.5.5), (2.5.1), (2.5.2)».

Здесь функция f0, как и в выражении (2.4.43), включает в себя «свободные» параметры конкретной решаемой задачи, то есть параметры, не заданные условиями (2.5.2).

В теории оптимального управления сформулированная задача, как и в вариационном исчислении, носит название задачи Больца, которая при f 0 0 превращается в задачу Лагранжа, а при F 0 – в задачу Майера.

Заметим, что задачу Больца можно свести к задаче Майера путем введения в рассмотрение дополнительного дифференциального уравнения:

с начальным условием:

В этом случае значение интеграла, входящего в выражение (2.5.6), будет равно величине:

и функционал (2.5.6) примет вид терминального функционала:

Найденные из решения задачи (2.5.10), (2.5.5), (2.5.1), (2.5.7), (2.5.2) управления u1, u 2, …, u k называются оптимальным управлением рассматриваемым объектом.

Если управление представлено в форме (2.5.3), то такое управление называют оптимальным программным управлением объектом.

При формировании оптимального управления в форме (2.5.4) решается задача синтеза оптимального закона управления объектом.

Отметим, что эта задача в общем случае не решена до настоящего времени.

2.5.2. Принцип максимума Л.С. Понтрягина Задача формирования оптимального программного управления чаще всего решается на практике с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина [11], который обеспечивает необходимые условия экстремума функционала:

при выполнении условий (2.5.5), (2.5.1), (2.5.2).

Для формулировки таких условий вводится в рассмотрение функция Гамильтона:

Здесь j = j (t) – сопряженные функции; j – правые части системы уравнений (2.5.1).

С учетом функции сопряженные функции должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений вида:

Принцип максимума. Для оптимальности допустимого управления u1, u 2, …, u k системы (2.5.1), доставляющего минимум (максимум) функционалу (2.5.11), необходимо существование ненулевых функций 1 (t), 2 (t), …, n (t), определяемых выражениями (2.5.12), (2.5.13), при которых:

а) оптимальное управление u1, u 2, …, u k доставляет максимум (минимум) функции H = H (t, x1,, xn ; u1,, uk ; 1,, n ) переменных u 1, u 2, …, uk для любого t [t0, t1 ] ;

б) неизвестные граничные значения функций xj (t), j (t), j = (1, n ) и параметры t 0, t 1 должны удовлетворять уравнениям:

в) функция остается непрерывной по t в точках разрыва оптимальных функций u1, u 2, …, u k.

Доказательство принципа максимума приведено в работе [11].

Функция может достигать максимума как внутри области допустимых управлений (2.5.5), так и на ее границах. Отсюда следует, что каждая из оптимальных функций u r = u r (t ) долж- на на всем промежутке [t 0, t 1 ] или на отдельных его частях определяться одним из следующих условий:

в зависимости от того, которое из них доставляет наибольшее значение функции.

Возможные варианты поведения функции = (u r ) представлены на Рис. 2.12.

Согласно этим графикам, условию (2.5.16) могут соответствовать в отрезках [u r1, u r 2 ] точки максимума, минимума и точки перегиба функции. Наибольшие значения эта функция может достигать в граничных точках таких промежутков (см.

Рис.2.12,б и Рис. 2.12,в).

Решение этого вопроса затрудняется тем, что x j (t) и j (t), j = (1, n ), входящие в выражение (2.5.12), неизвестны.

Задача становится определенной при совместном использовании уравнений (2.5.1), (2.5.13) и условий (2.5.2), (2.5.14)Эти выражения образуют замкнутую систему с неизвестными функциями x j (t) и j (t), ur (t), j = (1, n ), r = 1, k, позволяющую установить 2n зависимостей между параметрами t 0, t 1, x j0, xj1, j0, j1, j = (1, n ) и координатами t = t(s), s > 1 точек разрыва управлений u r (t), t [t0, t1 ], представленных на Рис. 2.11.

Совместное рассмотрение этих уравнений сводит задачу определения оптимальных управлений к решению краевых задач для систем уравнений (2.5.1) и (2.5.13). При этом сложности возникают при определении на отрезке времени [t 0, t 1 ] точек сопряжения решений уравнений (2.5.16)-(2.5.18).

Установлено [11], что если в некоторой задаче оптимизации правые части уравнений (2.5.1) не зависят явно от времени t, а ur(t) – кусочно-непрерывные кусочно-гладкие функции, то функция Гамильтона (2.5.12) обладает следующим свойством:

где С – некоторая константа.

Если ввести новые функции zr (t), такие, что и включить в уравнения (2.5.1) вместо управлений u 1, u 2, …, uk производные этих функций, а также не учитывать условия (2.5.5), то получим вариационную задачу Майера (2.4.43)при 0.

Таким образом, основным достоинством принципа Л.С. Понтрягина является возможность решения задач оптимального управления, в которых допускаются разрывы функций u r (t) и их выходы на границы допустимых значений u 1r и Как и в Разд. 2.3 от условий вида (2.5.5) можно избавиться путем использования новых управлений v r (t), которые связаны с управлениями u r (t) соотношением [11]:

В связи с тем, что при vr (t ) (, ) синус этой функции изменяется в пределах [–1, +1], функция ur(t) будет при t [t 0,t1 ] удовлетворять неравенству (2.5.5).

Проводя в уравнениях (2.5.1) замену (2.5.19), получаем функционал:

При его минимизации можно отбросить условия (2.5.17), (2.5.18) и определять оптимальные управления из следующей системы уравнений:

В некоторых задачах оптимального управления на параметры начального и конечного состояний объекта налагаются граничные условия вида [11]:

Для таких задач оптимальное управление u1, u2,…, u k определяется как управление, доставляющее минимум функционалу (2.5.11) при выполнении ограничений (2.5.5), (2.5.1), (2.5.9) и (2.5.22). При этом, часть граничных условий, налагаемых на фазовые координаты объекта, может быть задана в форме выражений (2.5.2), а другая часть – в виде равенств (2.5.22).

При наличии ограничений (2.5.22) в п. б) принципа максимума вместо выражений (2.5.14), (2.5.15) используются следующие уравнения [11]:

где µ s = const – множители Лагранжа.

В практических задачах выбора оптимального управления возникает необходимость учета дополнительных ограничений на текущие значения фазовых координат и управлений, заданных в виде неравенств:

Формулировка принципа максимума для решения таких задач приведена в работе [52].

2.5.3. Пример использования принципа максимума Пусть функционирование объекта управления описывается дифференциальным уравнением:

с заданным начальным условием:

Функционал задачи выбора оптимального управления Будем считать, что ограничение вида (2.5.5) на искомое управление отсутствует.

Выражения (2.5.25), (2.5.26) являются частными случаями соотношений (2.5.1) и (2.5.2) при n = 1 и k = 1. Отметим, что в данной задаче t 0 = 0, t 1 = 1, x 10 = 4.

Выражения (2.5.25)-(2.5.27) описывают задачу оптимального управления в форме задачи Лагранжа.

Введем дополнительную фазовую координату x 2 = x 2 (t) объекта и перейдем к задаче Майера.

Эта координата согласно (2.5.7) должна описываться дифференциальным уравнением вида:

с начальным условием:

Тогда функционал (2.5.27) примет вид выражения (2.5.11) и запишется как:

где x 21 = x2 (1) – значение функции x 2 (t) при t = 1.

Построим с использованием уравнений (2.5.25) и (2.5.28) функцию Гамильтона вида (2.5.12):

где 1 = 1(t), 2 = 2(t) – сопряженные функции решаемой задачи.

Система дифференциальных уравнений (2.5.13) записывается с учетом выражения (2.5.31) следующим образом:

Определим общий вид оптимального управления с помощью выражения вида (2.5.16), которое конкретизируется с учетом (2.5.31) как:

Решая полученное уравнение, имеем:

Из этого выражения следует, что для определения оптимального управления требуется в это выражение подставить конкретный вид функций x1 = x 1 (t), 1 = 1 (t), 2 = 2 (t).

Для проверки достаточных условий экстремума функционала (2.5.30) в «стационарной точке» гамильтониана (2.5.31), определяемой выражением (2.5.34), вычислим производную [11]:

Используя достаточные условия максимума функции одной переменной вида (2.2.2), из этого выражения можно сделать вывод, что если функция 2 (t) < 0 при t [0, 1], то управление (2.5.34) доставляет максимум функционалу (2.5.30). При 2 (t) > 0, t [0, 1], этот функционал на управлении u1 = u 1 (t) принимает минимальное значение.

Подставляя управление (2.5.34) в уравнения (2.5.25), (2.5.28), (2.5.32), (2.5.33), получим следующую систему дифференциальных уравнений:

для нахождения на отрезке времени [0, 1] неизвестных функций Начальные условия для первых двух уравнений этой системы задаются выражениями (2.5.26) и (2.5.29).

Начальные условия для остальных уравнений системы (2.5.36) будем определять с помощью условий (2.5.14) и (2.5.15).

В связи с тем, что при t = 0 заданы значения всех фазовых координат x 1 и x 2 задачи, первое условие из состава (2.5.14) не используется.

Из выражения (2.5.30) следует, что значение x 21 = x2 (1) является «свободным», т.е. подлежит определению в процессе решения задачи.

Производная по этому параметру функционала (2.5.30), который в форме (2.5.11) представляется как J, равна единице.

Поэтому из второй группы уравнений (2.5.14) имеем, что Откуда начальное значение сопряженной функции 2 (t) при t = 1 будет равно:

Интегрируя последнее уравнение системы (2.5.36), получаем следующее выражение:

где C 2 – постоянная интегрирования.

Из выражения (2.5.37) следует, что C 2 = –1 и функция 2 (t) конкретизируется как:

Тогда из подстановки ее в выражение (2.5.35) следует, что функционал (2.5.30) на управлении (2.5.34) достигает максимума.

Для нахождения начального условия 10 = 1 (0) используем первое уравнение из состава выражений (2.5.15).

В связи с тем, что функционал (2.5.30) не зависит от начального момента времени, это условие примет вид:

Используя выражение (2.5.31), полученное условие конкретизируется как:

При t = 0 с учетом (2.5.38) функция (2.5.34) имеет вид:

Подставляя правую часть этой формулы в предыдущее выражение, получим:

Используя в этой формуле известные значения 20 = –1, x 10 = 4, имеем:

Решая это уравнение, получаем следующие варианты начального условия для функции 1 (t):

С учетом соотношения (2.5.38) система (2.5.36) приобретает следующий вид:

Тогда решение задачи формирования оптимального управления u1 (t ), t [0, 1], завершается численным решением задачи Коши (2.5.40), (2.5.26), (2.5.29), (2.5.39) одним из методов, описанных в Разд. 3.1.

При этом для каждого значения начальных условий (2.5.39) анализируются полученные значения x 21 = x 2 (1). Из этих значений с использованием функционала (2.5.30) выбирается наибольшее значение и соответствующие ему решения x1 (t ), 0 (t ) системы (2.5.40). Эти значения используются для вычисления оптимального управления u1 (t ) с помощью формулы:

которая получена путем подстановки в выражение (2.5.34) функции (2.5.38).

Указанная выше задача Коши была решена численным методом Рунге-Кутта (см. Разд. 3.1) для различных вариантов начальных условий (2.5.39). При этом оптимальные управления определялись по формуле (2.5.41).

В табл. 2.3 представлены значения управления u1 (t), t [0,1] при 1 (0) = +0,866.

u 1 (t) 1,155 1,049 0,952 0,866 0,793 0,732 0,683 0,645 0,615 0,591 0, При использовании этого управления получено следующее значение функционала (2.5.30):

Для начального условия 1 (0) = –0,866 управление u 1 (t) приведено в табл. 2.4.

u 1 (t) -1,155 -0,737 -0,447 -0,237 -0,078 0,045 0,143 0,222 0,285 0,337 0, Отметим, что в данном случае в промежутке времени [0,4; 0,5] сек управление u 1(t) изменяет знак. Значение функционала (2.5.30) для полученного управления будет равно:

В связи с тем, что J 1 > J2, оптимальным будет управление, приведенное в табл. 2.3.

Пусть в рассматриваемой задаче (2.5.25)-(2.5.27) на управление u 1 (t) наложено ограничение:

которое является конкретизацией условий (2.5.5).

Из табл. 2.3 следует, что это ограничение нарушается в промежутке времени [0; 0,1]. Второе управление (см. табл. 2.4) не соответствует условию в окрестности начального момента времени t = 0. Это означает, что полученные управления являются недопустимыми управлениями рассматриваемого объекта.

Согласно приведенным выше условиям оптимальности управления (2.5.16)-(2.5.18) проведем анализ оптимальности управлений:

Рассмотрим управление u1 (t) = +1. При подстановке этого значения в уравнения (2.5.25) и (2.5.28) получим следующую систему уравнений:

Проинтегрируем первое уравнение этой системы методом разделения переменных, описанным в Разд. 2.1.

Общее решение этого уравнения имеет вид:

Постоянная интегрирования C 1, вычисленная с помощью начального условия (2.5.26), будет равна 4.

Тогда закон изменения первой фазовой координаты объекта запишется как:

Подставляя эту функцию в уравнение (2.5.44), получим:

Интегрируя это уравнение, имеем:

Из начального условия (2.5.29) следует, что C 2 = –2. Отсюда вторая фазовая координата объекта определяется как:

Вычисляя значение функционала (2.5.30) на полученном решении (2.5.45), имеем:

Исследуем оптимальность управления u1 (t) = –1, t [0, 1].

Уравнения (2.5.25) и (2.5.28) для этого случая будут иметь вид Частное решение первого уравнения записывается как:

Подставляя это решение во второе уравнение системы (2.5.46) и интегрируя его, получим:

При x 2 (0) = 0 постоянная интегрирования C 3 = 2. Тогда окончательно имеем, что Значение функционала (2.5.30) на этом решении будет равно:

Из сравнения значений J 1, J 2, J 3, J 4 функционала (2.5.30) следует, что наибольшим из них является значение J 3 = 13,778.

Это означает, что оптимальным управлением в задаче (2.5.25)является управление:

Решим рассматриваемую задачу, применяя для учета ограничения (2.5.42) замену управления вида (2.5.19).

Подставляя в это выражение значения u 1r = –1 и u 2r = +1, получаем следующее соотношение:

где – неограниченное управление объектом.

Гамильтониан задачи (2.5.31) с учетом замены (2.5.47) примет вид:

Необходимое условие его экстремума вида (2.5.21) конкретизируется как:

Перепишем уравнение (2.5.49) относительно искомого управления v 1 (t) в следующей форме:

Первый корень этого уравнения получим, приравнивая Второй корень будем искать, приравнивая к нулю второй сомножитель уравнения (2.5.49). Проводя соответствующие преобразования, получаем выражение вида:

Подставляя в эту формулу начальные значения ее аргументов:

получаем, что Отсюда следует, что функция v1 (t), определяемая выражением (2.5.50), не является решением уравнения (2.5.49), так как функция sin любого значения аргумента не может по абсолютной величине превышать единицу.

Подставляя это значение в формулу (2.5.48), имеем ранее полученный результат, описываемый выражением (2.5.47).

Отметим, что в работе [11], в которой была введена в рассмотрение замена управлений вида (2.5.19), отсутствуют примеры ее применения при решении различных задач оптимального управления.

Конкретные задачи формирования оптимального управления БЛА с применением принципа максимума Л.С. Понтрягина приведены в Главе 9.

В заключение данной главы необходимо отметить, что применение на практике изложенного в ней математического аппарата прикладной теории управления БЛА подразумевает активное применение общих и специальных численных методов решения соответствующих задач с их реализацией в составе программного обеспечения АРМ персонала БАК.

Глава 3. ОБЩИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ

МЕТОДЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ БЛА

В данной главе приводятся расчетные схемы методов приближенного решения систем дифференциальных и конечных уравнений. В составе последних рассматриваются линейные алгебраические, а также нелинейные классические и параметрические системы уравнений.

В связи с тем, что эти методы применяются при решении практически всех задач формирования программного управления БЛА, они определены как общие численные методы теории. Наряду с ними в главе приводятся специальные численные методы решения задач оптимизации управлений БЛА, основанные на применении методов вариационного исчисления и принципа максимума Л.С. Понтрягина.

систем дифференциальных уравнений Как было отмечено в Разд. 2.1, с помощью аналитических методов можно интегрировать достаточно ограниченный круг дифференциальных уравнений. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой системы таких уравнений [25].

Сформируем простейшую задачу численного интегрирования дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения (2.1.2):

численным методом означает, что для заданной последовательности значений аргументов x0, x1, x 2, …, x n и числа y 0 = y(x 0 ), не определяя аналитического вида функции y = y(x), нужно найти значения y 1, y 2, …, y n, удовлетворяющие условиям:

Рассмотрим два наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и их систем [25, 52, 104].

Метод Эйлера является наиболее простым с точки зрения его практической реализации, но обладает меньшей точностью по сравнению с другими численными методами [25, 104]. Вместе с тем, этот метод рекомендован в работе [7] в качестве приближенного метода моделирования различных режимов полета БЛА.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши):

и выполняются условия существования и единственности решения, определенные теоремой Пикара [20].

Требуется найти численное решение y(x) задачи Коши (3.1.1) на интервале [a, b] значений независимой переменной х.

Выбрав шаг h достаточно малый и равный h = (b a ) n, строим систему равноотстоящих точек (сетку) x0, x1, …, xn, по правилу:

Искомую интегральную кривую y = y(x), проходящую через точку M 0 (x 0, y 0), приближенно заменим ломаной Эйлера с вершинами в точках M i (xi, yi ), i = 0, 1, 2,…, п (Рис. 3.1).

Звено ломаной M i M i+1, заключенное между точками xi и x i+1, наклонено к оси Ox под углом i. Тангенс этого угла вычисляется по формуле:

Сделав соответствующее преобразование этого выражения, получим формулу Эйлера:

Вычисление значений y 1, y2, …, y n осуществляется с использованием формулы (3.1.2) следующим образом. По заданным начальным условиям x 0 = a и y 0, полагая i = 0 в выражении (3.1.2), вычисляется значение:

Далее, определяя значение аргумента x по формуле x 1 = x 0 + h, используя найденное значение y1 и полагая в формуле (3.1.2) i = 1, вычисляем следующее приближенное значение искомой интегральной кривой y = y (x):

Поступая аналогичным образом при i = 2, n 1, определяем все остальные значения y i, в том числе последнее значение yn = yn 1 + h f ( xn 1, yn 1 ), которое соответствует значению аргумента x n = b.

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки (x 0, y0 ), (x1, y 1 ), …, (x n, y n ) отрезками прямых, получаем ломаную линию с вершинами в точках M 0 (x 0, y 0 ), M 1 (x 1, y 1 ), …, M n (x n, y n ), которая приближенно описывает искомую интегральную кривую у = у(х).

Запишем разложение yi+1 в ряд Тейлора [8]:

Учитывая формулы (3.1.2) и (3.1.5), получим:

Соотношение (3.1.6) может быть использовано для выбора шага интегрирования h. Как правило, шаг h выбирают таким образом, чтобы h2 <, где – заданная точность решения задачи Коши (3.1.1).

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений вида (2.1.9).

Пусть задана система двух дифференциальных уравнений относительно функций y(x) и z(x) вида:

с начальными условиями:

Для решения этой задачи Коши по аналогии с выражением (3.1.2) получаем расчетные формулы вида:

где h – шаг интегрирования.

В результате применения расчетной схемы (3.1.9) получается приближенное представление интегральных кривых y = y(x) и z = z(x) в форме двух ломаных Эйлера вида, показанного на Рис. 3.1, построенных по полученным точкам (x i, y i ), (x i, z i ), i = 0, 1, 2,…, п.

С помощью расчетной схемы (3.1.9) можно получить численное решение задачи Коши для уравнения 2-го порядка:

Для этого вводится замена:

и рассматриваемое уравнение представляется в виде следующей системы дифференциальных уравнений:

Расчетная схема (3.1.9) для интегрирования этой системы имеет вид:

Расчетная схема метода Эйлера для решения задачи Коши (2.1.11), широко применяемая при моделировании движения ЛА на интервале времени [t 0, t k ], имеет следующий вид:

Здесь h – шаг интегрирования, определяемый как:

где т – число узлов сетки моментов времени t 0, t 1,…, t j,…, t m = t k, в которых вычисляются значения интегральных кривых функций Достоинством метода Эйлера является его простота и высокая скорость получения решения. Недостатками метода Эйлера являются малая точность и систематическое накопление ошибок, так как при вычислении значений на каждом последующем шаге исходные данные не являются точными и содержат погрешности, зависящие от неточности предшествующих вычислений. Эти недостатки частично устраняются в различных модификациях метода, предложенных в работах [25, 52].

Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений [52]. По сравнению с методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, но невысокую скорость получения решения, так как относится в отличие от метода Эйлера к классу многошаговых методов [25].

Пусть требуется получить численное решение задачи Коши (3.1.1).

Выберем шаг h и введем следующие обозначения:

Рассмотрим четыре числа, которые будем вычислять по следующим формулам:

По методу Рунге-Кутта значения y i искомой функции y(x) при x = x i определяются по формуле:

Погрешность метода Рунге-Кутта, заданного расчетной схемой (3.1.13), на каждом шаге составляет величину порядка h5 [25].

Формулу (3.1.13) еще называют формулой Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Помимо этой формулы существуют еще другие формулы типа Рунге-Кутта с иными порядками точности. В частности формула yi+1 = yi + k 2i является формулой Рунге-Кутта второго порядка точности. Эта формула на каждом шаге дает погрешность порядка h3.

Для определения правильности выбора шага h на практике обычно на каждом этапе вычислений применяют двойной пересчет. Исходя из текущего верного значения y(x i ), вычисляют значение y i+1 двумя способами: вначале с шагом h, а затем с шагом 2h. Если расхождение полученных результатов не превышает допустимой погрешности, то шаг h для данного этапа выбран правильно, и полученное с его помощью значение можно принять за искомую величину y i+1. В противном случае шаг уменьшается в два раза. Эту вычислительную схему легко запрограммировать на ПЭВМ.

Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы двух дифференциальных уравнений вида (3.1.7), (3.1.8).

Расчетная схема метода Рунге-Кутта для решения системы (3.1.7) примет вид [25]:

где Данная схема легко преобразуется в расчетную схему решения системы дифференциальных уравнений вида (3.1.10), используемую для численного интегрирования уравнений 2-го порядка.

Аналогично формулам (3.1.14) и (3.1.15) можно записать расчетные выражения для решения систем уравнений вида (2.1.9) и (2.1.11). Расчетные схемы применения метода РунгеКутта для решения этих систем приведены в работах [25, 52].

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и их систем.

Важным преимуществом этого метода является возможность применения переменного шага, что позволяет учитывать локальные особенности искомых функций.

В работе [52] приведены другие численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Численные методы решения краевых задач для уравнений 2-го и более высоких порядков приведены в Разд. 3.6.

линейных алгебраических уравнений Как будет показано в последующих главах работы, при формировании управлений БЛА возникают задачи решения разнообразных систем линейных алгебраических уравнений, которые в общем виде записываются как:

Вводя в рассмотрение матрицу и вектор-столбцы:

систему (3.2.1) можно записать в виде матричного уравнения:

Для решения систем линейных алгебраических уравнений существуют точные методы: метод Гаусса; метод обратной матрицы (матричный метод); метод, использующий формулы Крамера [26]. Например, решение системы уравнений (3.2.2) методом обратной матрицы имеет вид:

где А-1 – матрица, обратная матрице коэффициентов А [17]. Однако при большом числе неизвестных применение точных методов решения затруднено. В этом случае для нахождения корней системы (3.2.1) целесообразнее пользоваться приближенными (численными) методами [26], основные из которых будут рассмотрены в данном разделе.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида (3.2.1). Предположим, что диагональные элементы матрицы A не равны нулю, т.е.. В случае равенства нулю одного или нескольких из них с помощью перестановки уравнений или других эквивалентных преобразований можно добиться, чтобы они были отличны от нуля. Разделив i-е уравнение системы на a ii, получим:

Введем обозначения:

Тогда система (3.2.3), записанная в векторно-матричной форме, примет вид:

Систему (3.2.4) будем решать методом последовательных приближений. Выбираем начальное приближение x(0) = и вычисляем следующие приближения по формулам вида:

Расчетная схема этого метода, записанная в координатной форме, имеет вид: