«Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по ...»

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входного сигнала:

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – разность фаз выходных и входных колебаний:

или где t () время сдвига.

Таким образом, амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) может быть определена как комплексная функция, для которой АЧХ является модулем, а ФЧХ – аргументом. Последние соотношения как раз и определяют физический смысл частотных характеристик.

Имея в своем распоряжении амплитудно-фазовую характеристику, снятую экспериментально, и входной сигнал, можно записать выходной сигнал. Например, АФХ задана годографом (рис. 4.11), на вход подается сигнал x(t) = 2 sin0,5t + 3 cos0,1t – 0,8 sin10t.

Выходной сигнал y(t) в рассматриваемом случае можно записать, используя принцип суперпозиции, как сумму трех сигналов y1(t) = 2 2 sin(0,5t – /2);

y3(t)= – 1,5 0,8 sin(10t – 3/2);

y(t) = 4sin(0,5t – /2) + 9 sin(0,1t – /4) – 1,2 sin(10t – (3/2)).

Амплитудно-фазовую характеристику системы можно записать не в виде (4.8), а, воспользовавшись теоремой Безу, как где qj – нули, a sj полюсы передаточной функции.

Числитель функции (4.18) представляет собой произведение сомножителей (i – qj ). Геометрически эта разность является вектором, начало которого лежит в точке qj, а конец на мнимой оси в точке i (рис. 4.12). Сравнение двух векторов(i – qj) и (i – qj), один из которых qj лежит в левой полуплоскости и характеризуется фазой, а другой qj – в правой полуплоскости и характеризуется фазой, показывает, что при одном и том же модуле всегда <, т.е. для вектора, лежащего в левой полуплоскости, фаза меньше.

Системы (звенья), все нули и полюса передаточных функций которых лежат в левой полуплоскости (действительная часть нулей и полюсов является отрицательной величиной – Re qj < 0; Re sj < 0), называются минимально-фазовыми.

Системы (звенья), у которых хотя бы один нуль или полюс передаточной функции лежит в правой полуплоскости (действительная часть нулей, полюсов является положительной величиной – Re qj > 0;

Re sj > 0), называются неминимально-фазовыми.

Можно показать, что для минимально-фазовых звеньев существуют зависимости:

Эти зависимости показывают, что амплитудно-фазовая характеристика минимально-фазовой системы (звена) полностью определяется ее ВЧХ, МЧХ или АЧХ. Это позволяет значительно упростить задачи анализа и синтеза рассматриваемых систем, ограничиваясь изучением их ВЧХ или АЧХ.

Неминимально-фазовую систему в простейшем случае можно представить в виде последовательного соединения минимально-фазовой системы и звена, имеющего один нуль в правой полуплоскости и, соответственно, характеризующегося АФХ:

Амплитудно-частотная характеристика этого звена М () = 1, a фазо-частотная – () = arctg.

Таким образом, рассматриваемое звено сохраняет амплитуду выходного гармонического сигнала равной амплитуде входного сигнала при любой частоте, фаза же при изменении частоты от 0 до меняется в интервале от до 0, т.е. включение звена с АФХ W (i) приводит к добавлению положительного сдвига фазы (), который при i 0 равен и уменьшается при возрастании частоты.

Подобные звенья на практике используются для корректирования фазовых характеристик цепей, для повышения устойчивости и т.д.

Кроме рассматриваемых выше частотных характеристик, иногда используют, так называемые, логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Для их получения выражение АФХ (4.15) записывается в виде и логарифмируется Для оценки отношения двух величин используется логарифмическая единица – децибел. Связь между числом децибел Sдб и некоторым числом N дается формулой Характеристика называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).

При построении логарифмических частотных характеристик по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе – lg, поэтому логарифмическая амплитудная частотная характеристика строится в координатах L(); lg, логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) ();

lg (рис. 4.13). Логарифмические частотные характеристики называют также диаграммами Боде.

Основной динамической характеристикой объекта или системы является дифференциальное уравнение. Кроме него могут применяться:

1) передаточная функция;

2) частотные характеристики: амплитудно-частотная, фазочастот-ная, амплитудно-фазовая;

3) переходные характеристики: переходная функция, весовая функция.

Любая из этих характеристик может быть определена, если известно дифференциальное уравнение объекта. Но, несмотря на это, следует еще раз остановиться на их взаимосвязи.

В качестве примера рассмотрим взаимосвязь между переходной функцией и другими характеристиками.

Если известна переходная функция h(t), то по формуле (3.39) определяется передаточная функция в которой, в свою очередь, могут быть получены частотные характеристики: W(i) = (i) h(i).

Так как (t) является производной от единичной ступенчатой функции, то для линейных систем весовая функция является производной от переходной функции, т.е. w(t) = h(t).

Дифференциальное уравнение по экспериментально снятой кривой разгона получают с помощью различных методик, позволяющих определить его коэффициенты.

Связь между основными характеристиками приведена в табл. 4.1.

При анализе динамических характеристик одним из возникающих вопросов является определение коэффициента усиления объекта, под которым понимают отношение выходной переменной к входной в установившемся режиме:

но, так как y () = lim y (t ), то Используя теорему о конечном значении функции При единичном ступенчатом воздействии А = 1 и тогда 1 Основной частотной характеристикой является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), которой называется конформное отображение мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения на плоскость АФХ. Амплитудно-фазовая характеристика является комплексной функцией и может быть записана в показательной форме и алгебраической форме где М() называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); () – фазочастотной характеристикой (ФЧХ); Re() – вещественно-частотной характеристикой (ВЧХ); Im() – мнимой частотной характеристикой (МЧХ). Между этими характеристиками существует связь.

А Сформулируйте основные свойства конформного отображения.

В Если известны АЧХ и ФЧХ, то каким образом определяются ВЧХ и МЧХ?

С Как перейти от ВЧХ и МЧХ к АЧХ и ФЧХ?

2 Частотные характеристики могут быть получены экспериментально в результате подачи на вход объекта гармонического сигнала, а также теоретически в передаточной функции комплексного параметра s на i.

А Какие частотные характеристики получают экспериментально?

В Задана передаточная функция W ( s) =, запишите амплитудно-фазовую характеристику в поs+ казательной и алгебраической форме.

С Задано дифференциальное уравнение объекта управления y (t ) + 4 y (t ) + 4 y (t ) = 3x(t ), запишите амплитудно-фазовую характеристику.

3 Амплитудно-фазовая характеристика связана с другими динамическими характеристиками.

А Как определить весовую функцию по амплитудно-фазовой характеристике?

В Как определить АФХ по переходной функции?

С Задана весовая функция w(t ) = e t, запишите АФХ.

1 В соответствии со свойствами конформного отображения линия переходит… С В треугольник.

2 Амплитудно-фазовая характеристика является… А Случайной функцией.

В Комплексной функцией.

С Детерминированной функцией.

3 Как экспериментально получают частотные характеристики? Подачей на вход объекта… А Гармонического сигнала x(t ) = A sin t.

С Единичного ступенчатого сигнала x(t ) = 1(t ).

4 Как перейти от передаточной функции к частотным характеристикам? Положив… 5 Если передаточная функция объекта управления W ( s ) = +s, то АФХ в показательной форме заs пишется… 6 Если передаточная функция объекта управления W ( s) = 3e 4 s, то амплитудно-частотная характеристика запишется как… ристика запишется как… 8 Если передаточная функция объекта управления W ( s) = 4 + s, то вещественно-частотная характеристика запишется… 9 Если переходная функция h(t ) = t, то АФХ записывается… 10 Амплитудно-частотная характеристика представляет собой… А Отношение выходного сигнала к входному сигналу.

В Отношение фаз выходного и входного сигналов.

С Отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного.

5 СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

При исследовании систем управления первостепенное значение приобретает характер преобразования сигналов в отдельных элементах, или звеньях. Динамические системы, передаточные функции которых имеют вид простых дробей, называются типовыми или элементарными звеньями. Любой промышленный объект представляется в виде связанных между собой типовых звеньев. Их основу составляет звено направленного действия, основное свойство которого заключается в том, что выходная величина y(t) зависит от входной величины x(t), но обратное воздействие выхода на вход отсутствует. Присоединение к выходу такого звена другого звена не изменяет передаточной функции первого звена. Физическая природа звена направленного действия может быть любой. Характеризуется оно соответствующим уравнением движения, которое и определяет конкретный тип элементарного звена.

Различают следующие звенья: усилительное, интегрирующее, идеальное и реальное дифференцирующие, форсирующее, чистого запаздывания, инерционно-форсирущее, апериодические первого и второго порядка, колебательное, которые по ряду общих закономерностей можно разделить на следующие группы:

1 Статические звенья, у которых статическая характеристика отлична от нуля, имеют однозначную связь между входной и выходной переменными в статическом режиме. К ним относят усилительное, апериодическое, колебательное звенья, у которых передаточный коэффициент связан с передаточной функцией соотношением k = W ( s ) s = 0. Кроме того, статические звенья являются фильтрами низкой частоты, исключение составляет усилительное звено.

2 Дифференцирующие звенья, у которых статическая характеристика равна нулю, – это идеальное и реальное дифференцирующие звенья; в их передаточную функцию всегда входит сомножитель s, поэтому W ( s) s = 0 = 0. Дифференцирующие звенья являются фильтрами высокой частоты, они вносят положительные фазовые сдвиги.

3 Астатические звенья – звенья, не имеющие статической характеристики, к ним относится интегрирующее звено, в передаточную функцию которого обязательно входит сомножитель, поэтому W(0) =. Интегрирующие звенья являются фильтрами низкой частоты.

Усилительное звено называют также статическим (безынерционным). Примером его может служить клапан с линеаризованной характеристикой в системах регулирования, различные усилители, рычажные передачи, редукторы и т.д. Это звено мгновенно и без искажений воспроизводит входную величину на выходе.

Уравнение движения усилительного звена имеет вид где k – коэффициент усиления.

Передаточная функция усилительного звена получается в результате преобразования по Лапласу его уравнения y(s) = kx(s), откуда Подстановка s = (i ) дает выражение АФХ отсюда АЧХ:

ФЧХ:

Графики частотных характеристик (АЧХ, АФХ) представлены на рис. 5.1.

Частотные характеристики усилительного звена не зависят от частоты, причем ФЧХ тождественно равна нулю, т.е. в гармонических колебаниях, поданных на вход, изменяется только амплитуда в k раз.

Амплитудно-фазовая характеристика является положительным действительным числом, ее график представляет собой точку на положительной ветви действительной оси.

Временные характеристики можно получить непосредственно из уравнения (5.1). Если входной сигнал x(t) = 1(t), то получают уравнение переходной функции Рис. 5.1 Частотные характеристики усилительного звена:

Рис. 5.2 Графики временных характеристик усилительного звена:

она равна постоянной величине – коэффициенту усиления звена. Если же x(t) = уравнение весовой функции Графики временных характеристик изображены на рис. 5.2.

Уравнение движения интегрирующего звена имеет вид где Ти – постоянная времени звена.

Выходной сигнал интегрирующего звена равен интегралу по времени от входного сигнала, умноженному на коэффициент.

Примером интегрирующего звена являются счетчики, суммирующие расход вещества или энергии за определенный промежуток времени, уровень в емкости и т.п.

Передаточная функция интегрирующего звена получается в результате преобразования по Лапласу (5.8):

Рис. 5.3 Частотные характеристики интегрирующего звена:

Частотные характеристики образуются в результате подстановки s = i ; их графики изображены на рис. 5.3:

Амплитудно-частотная характеристика интегрирующего звена является гиперболической функцией частоты, а фазочастотная не зависит от частоты и равна –. В этом случае АФХ является мнимой функцией частоты, и ее годограф для положительных частот совпадает с отрицательной ветвью мнимой оси.

Переходные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.4, определяют из уравнения движения (5.8) подстановкой входного сигнала x(t) = 1(t) и х(t) = (t) соответственно для получения выражения:

– переходной функции – весовой функции Рис. 5.4 Переходные характеристики интегрирующего звена:

Таким образом, при подаче на вход интегрирующего звена постоянного неисчезающего возмущения выходная координата увеличивается до бесконечности с постоянной скоростью, т.е. отличительной особенностью является тот факт, что переходная функция не имеет установившегося (при t конечного значения. Это свойство является причиной принципиального отличия астатических систем автоматического регулирования, содержащих интегрирующее звено, от статических систем, которые не содержат этого звена.

-функцию является ступенчатой функцией с амплитудой Уравнение идеального дифференцирующего звена т.е. изменение выходной координаты пропорционально скорости изменения входной координаты. В операторной форме уравнение имеет вид y(s) = ksx(s), откуда передаточная функция Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.5:

Таким образом, АЧХ прямо пропорциональна частоте, а ФЧХ не зависит от частоты и равна. Следовательно, годограф АФХ при > 0 совпадает с положительной ветвью мнимой оси.

Переходная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:

т.е. представляет собой -функцию с площадью, равной k.

Весовая функция представляет собой производную от -функция:

В природе идеально дифференцирующих звеньев не существует, так как при M( ), а любой реальный объект практически фильтрует гармонические сигналы с частотой, большей частоты среза данного объекта. Неосуществимость идеального звена видна также и из переходной функции, которая равна Встречаются звенья, которые реагируют только на скорость изменения входного сигнала. Они описываются уравнениями следующего вида и называются реальными дифференцирующими:

Примером такого звена является RC-цепочка (рис. 5.6).

Передаточная функция имеет вид:

Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.7:

У реального дифференцирующего звена при увеличении частоты амплитудно-частотная характеTд. Для доказательства запишем W(i ) в прямоугольных координатах точке или Раскрывая скобки, получаем тождество, которое и доказывает, что АФХ действительно представляет собой полуокружность.

Используя взаимосвязь динамических характеристик, получаем уравнение переходной функции в операторной форме по (3.39):

Применив обратное преобразование Лапласа к последнему выражению, получаем уравнение переходной функции во временной области:

Весовая функция находится как производная от переходной функции Графики переходных характеристик изображены на рис. 5.8.

На рис. 5.8, а для сравнения показаны переходные функции идеального 1 и реального 2 дифференцирующих звеньев. В силу инерции реальных звеньев изменение выходной координаты – переходной функции происходит постепенно, а не скачком, как в случае идеального звена. Для того, чтобы приблизить свойства реального звена к свойствам идеального, необходимо одновременно увеличивать коэффициенты передачи Тд и уменьшать постоянную времени Т так, чтобы их произведение ТдТ оставалось постоянным.

Форсирующим звеном называется звено, описываемое уравнением Такое звено может быть получено в результате параллельного соединения усилительного и идеального дифференцирующего звеньев. Оно характеризуется двумя параметрами: коэффициентом передачи k и постоянной времени Т.

Передаточная функция Замена в (5.28) s = i позволяет получить частотные характеристики форсирующего звена, графики которых показаны на рис. 5.9:

Рис. 5.9 Частотные характеристики форсирующего звена:

Как видно из графиков, амплитудно-фазовая характеристика представляет собой прямую, параллельную мнимой оси и пересекающую действительную ось в точке Re = k.

Переходные характеристики получают непосредственно из уравнения (5.28):

– переходная функция – входной сигнал x(t) = 1(t), а выходной сигнал – весовая функция – входной сигнал х(t) = (t), а выходной сигнал Графически изобразить возможно только переходную функцию, которая и представлена на рис. 5.10.

Примером звена чистого запаздывания является транспортер (рис. 5.11).

Если за входную координату принять расход материала в начале транспортера, а за выход – расход материала в конце транспортера, то выходной сигнал будет повторять входной сигнал x(t) с запаздываL, равным времени движения материала от места погрузки до места выгрузки, причем = Уравнение звена чистого запаздывания Передаточная функция получается в результате преобразования Лапласа (5.35):

Частотные характеристики:

Риc. 5.12 Частотные характеристики звена чистого запаздывания:

Графики частотных характеристик изображены на рис. 5.12.

Так как М( ) = 1, а отставание по фазе выходных колебаний прямо пропорционально частоте с коэффициентом пропорциональности равным времени чистого запаздывания, то годограф АФХ представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Переходные характеристики получаются подстановкой соответствующих входных сигналов в уравнение звена (5.35):

– переходная функция – весовая функция Графики переходных характеристики изображены на рис. 5.13.

Рис. 5.13 Переходные характеристики звена чистого запаздывания:

5.2.7 АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Апериодическое звено первого порядка называется также инерционным. Оно описывается дифференциальным уравнением первого порядка и имеет не колебательный характер переходного процесса.

Примером таких звеньев может служить любая электрическая цепь, включающая сопротивление и емкость, тепловые объекты.

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид где T – постоянная времени звена; k – коэффициент усиления, k > 0, T > 0.

Постоянная времени характеризует инерционность звена и зависит от величин массы или сопротивления и емкости – чем больше масса, сопротивление и емкость, тем больше инерционность звена и больше Т.

Передаточную функцию получают из уравнения (5.42) Частотные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.14:

Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена первого порядка на нулевой частоте равна коэффициенту усиления k, с увеличением частоты она монотонно уменьшается, асимптотически стремясь к нулю.

Рис. 5.14 Частотные характеристики апериодического звена ружность диаметром k с центром в точке, которая описывается уравнением Доказательство последнего тождества аналогично доказательству подобного выражения для реального дифференцирующего звена. Значения действительной и мнимой частей АФХ заменяются их конкретными выражениями и подставляются в (5.47).

Уравнение переходной функции получают как решение уравнения при x(t) = k(t) или в операторной форме Переходя к оригиналу, получают выражение переходной функции во временной области Весовую функцию можно получить как производную от переходной функции Графики переходных характеристик изображены на рис. 5.15.

Как видно из графиков, переходные характеристики представляют собой монотонные функции времени, по ним можно определить такие параметры, как коэффициент усиления, равный установившемуся значению h( ); постоянную времени, равную интервалу времени T от точки касания переходной функции до точки пересечения касательной с ее асимптотой (рис. 5.15, а).

Инерционно-форсирующее звено называют также интегро-диф-ференцирующим или упругим звеном, описывается оно дифференциальным уравнением первого порядка свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям, если же дифференцирующим звеньям.

Передаточная функция звена:

Частотные характеристики получают в результате замены s = i :

Рис. 5.16 Частотные характеристики инерционно-форсирующего Рис. 5.17 Частотные характеристики инерционно-форсирующего Графики частотных характеристик для 5.17.

Используя взаимосвязь динамических характеристик, записываются уравнения переходной и весовой функций, соответственно их графики для Рис. 5.18 Переходные характеристики инерционно-форсирующего После преобразования (5.57) по Лапласу откуда передаточная функция звена равна:

Апериодическое звено второго порядка можно структурно представить в виде последовательного соединения двух звеньев первого порядка с постоянными времени Т1 и T2 (рис. 5.20), поэтому оно не относится к числу элементарных. Корни характеристического уравнения действительные.

Частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.21:

Рис. 5.20 Структурная схема апериодического звена второго порядка Для сравнения пунктиром показаны характеристики звена первого порядка. Амплитудно-частотная характеристика при изменении частоты от 0 до изменяется от k до 0. Фазочастотная характеристика изменяется от 0 до –. Годограф амплитудно-фазовой характеристики лежит в 4-м и 3-м квадрантах.

Сравнивая частотные характеристики звена первого порядка, видно, что добавление второго звена первого порядка увеличивает инерционность объекта, увеличивает модуль и увеличивает отставание по фазе.

Уравнение переходной функции в операторной форме имеет вид Рис. 5.22 Переходные характеристики апериодического звена Переходя к оригиналу, получают Переходная функция представляет собой неколебательную кривую, имеющую одну точку перегиба и асимптотически стремящуюся к y () = k.

Уравнение весовой функции:

Графики переходных характеристик изображены на рис. 5.22.

Колебательное звено, как и апериодическое, является звеном второго порядка и описывается дифференциальным уравнением второго порядка, которое удобно записать в виде Характеристическое уравнение колебательного звена ли же 2, то корни уравнения –действительные и звено будет апериодическим второго порядка.

Характеристики колебательного звена имеют вид:

– передаточная функция – частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.23:

Анализ амплитудно-частотной характеристики показывает, что при малых значениях частоты, когда 4 1 / T, годограф которой расположен на действительной полуоси (рис. 5.25).

Рис. 5.25 Частотные характеристики консервативного звена:

Временные характеристики:

– переходная функция – весовая функция представляют собой гармонические колебания (рис. 5.26). Частота p = называется резонансной часT тотой.

Определение минимально-фазовых систем (звеньев) было дано ранее. Все рассмотренные звенья относятся к минимально-фазовым звеньям. Однако на практике встречаются и неминимально-фазовые звенья, у которых хотя бы один нуль или полюс передаточной функции имеет положительную вещественную часть. Примерами таких звеньев являются звено чистого запаздывания, а также звенья с передаточными функциями Особенностью неминимально-фазовых звеньев по сравнению с минимально-фазовыми является то, что для звеньев, имеющих одинаковые АЧХ, у них отставание по фазе больше. Например, сравнивая АЧХ в обоих случаях но ФЧХ в первом случае () = arctgT изменяется от нуля до, а во втором () = + arctgT и изменяется Неминимально-фазовые звенья встречаются в электрических схемах при дифференциальных или мостовых соединениях.

Частным случаем неминимально-фазовых звеньев являются неустойчивые звенья, когда только полюсы имеют положительную вещественную часть. Рассмотренное выше звено является неминимальнофазовым неустойчивым звеном, наиболее распространенным среди неустойчивых звеньев, и называется квазиинерционным звеном. Для неустойчивых звеньев не существует установившегося режима, и с течением времени при любом входном сигнале выходная величина стремится в бесконечность.

При анализе и синтезе систем автоматического управления широко используется структурный анализ, основными понятиями которого служат следующие.

Структурная схема является графическим изображением дифференциального уравнения объекта и обладает главным достоинством любого графического представления – наглядностью.

Элементы структурной схемы называются звеньями, как уже известно, и изображаются в виде прямоугольников, внутри которых записывается передаточная функция звена.

Взаимосвязь между звеньями изображается линиями связи со стрелками, указывающими направление передачи сигнала. Над линией ставится условное обозначение сигнала.

Точка на линии связи, в которой происходит разветвление линии, называется узлом.

Алгебраическое сложение нескольких сигналов изображается в виде круга на линии связи и называется сумматором.

Для изображения основных элементов структурных схем используются условные обозначения, представленные на рис. 5.27.

Рис. 5.27 Условные обозначения элементов структурной схемы Составление структурной схемы является одним из первых этапов исследования сложных объектов управления, она может быть составлена на основании математического описания, а также исходя из физической модели объекта.

Какой бы сложной ни была структурная схема, в ней всегда присутствуют только три типа соединений: параллельное, последовательное и с обратной связью. Задачей рассмотрения типов соединений является получение соотношения между передаточной функцией соединения и передаточными функциями отдельных звеньев.

При параллельном соединении (рис. 5.28) сигналы входа всех звеньев одинаковы и равны сигналу входа системы x(t), а выход y(t) равен сумме сигналов выходов звеньев.

Для каждого звена в операторной форме можно записать:

тогда выход всей системы откуда передаточная функция параллельного соединения Таким образом, передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Временные характеристики, в частности, переходную функцию можно получить из (5.79):

Т.Е. ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ РАВНА СУММЕ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ ОТДЕЛЬНЫХ ЗВЕНЬЕВ.

Частотные характеристики параллельного соединения получают следующим образом:

Как видно из (5.81), амплитудно-фазовая характеристика параллельного соединения может быть получена в результате сложения действительных и мнимых частей АФХ отдельных звеньев или по правилу сложения векторов. На рис. 5.29 приведена иллюстрация получения AФX двух параллельно соединенных звеньев, заданных своими АФХ.

Рис. 5.30 Пример технологического объекта параллельного соединения Примером технологического объекта, имеющего подобную структурную схему, может служить цепочка параллельно работающих однотипных реакторов (рис. 5.30).

5.2.3 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ

При последовательном соединении выход предыдущего звена подается на вход последующего (рис.

5.31).

Уравнения выходных сигналов после каждого звена в операторной форме имеют вид:

Выходной сигнал последнего звена является выходом всей системы: у(s) = уn(s), а передаточная функция системы согласно определению имеет вид Проводя последовательную подстановку, получают передаточную функцию последовательного соединения Таким образом, передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

Частотные характеристики легко получают из (5.82), так как и тогда т.е. амплитудно-частотная характеристика последовательного соединения равна произведению АЧХ отдельных звеньев, а фазочастотная – сумме ФЧХ отдельных звеньев. Иллюстрация построения АФХ двух последовательно соединенных звеньев, заданных своими АФХ, приведена на рис. 5.32.

Переходную функцию получают следующим образом. Если входной сигнал x(t) = 1(t), то на выходе первого звена имеем его переходную функцию h1(t), которая подается на вход второго звена. На выходе второго звена получают переходную функцию двух последовательно соединенных звеньев. Если собственная переходная функция второго звена h2(t), то переходная функция соединения определится через интеграл Дюамеля:

Продолжая рассуждения дальше, можно получить выражение переходной функции для любого числа последовательно соединенных звеньев.

в – АФХ последовательного соединения первого и второго звеньев Следует отметить, что все полученные утверждения справедливы только для звеньев направленного действия.

Примером технологического объекта, имеющего структурную схему последовательного соединения, является любой технологический процесс, в котором отдельные стадии и участки представляются в виде соответствующего звена.

Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход, где сигнал обратной связи алгебраически суммируется с внешним сигналом. Структурная схема соединения с обратной связью изображена на рис. 5.33.

Если х1 = х + xос, то связь называется положительной, если же х1 = х – xос, то – отрицательной.

Для вывода передаточной функции соединения с положительной обратной связью выходные сигналы для каждого звена в операторной форме записываются как:

Исключая из полученной системы х1(s) и хос(s), получают откуда передаточная функция соединения с положительной обратной связью имеет вид Для соединения с отрицательной обратной связью передаточная функция выводится аналогичным образом и определяется в окончательном виде выражением На практике наиболее распространенными являются системы с отрицательной обратной связью, к ним относятся, например, все одноконтурные системы автоматического регулирования, причем в прямой цепи расположен объект, а в обратной – регулятор.

5.3.5 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Структурная схема одноконтурной системы автоматического регулирования приведена на рис. 5.34.

В расчетах систем автоматического регулирования используют три основных вида передаточных функции. Эти функции определяются следующим образом.

Главной передаточной функцией является передаточная функция по каналу регулирования yзад y (t ), f 0 (0) = 0 :

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки, т.е. по каналу yзад (t ), где (t ) = yзад (t ) y (t ) – ошибка регулирования и f0(t) = 0:

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию, т.е. по каналу Анализ передаточных функций замкнутой системы показывает, что знаменатель у них один и тот же, а числители различны. Для замкнутой системы можно записать целый ряд других передаточных функций, например, для ошибки по возмущающему воздействию.

Характеристическое уравнение замкнутой системы находится в знаменателе передаточной функции и записывается в виде Корни этого уравнения равны полюсам si передаточной функции замкнутой системы. Динамические свойства процессов, протекающих в замкнутой системе, существенно отличаются от таковых в разомкнутой цепи, состоящей из тех же самых звеньев. Так как передаточная функция разомкнутой цепи записывается в виде Wр.с(s) = Wоб(s)Wр(s), то главная передаточная функция может быть записана как

5.3.6 ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Реальные объекты обладают сложной структурой. Упрощение вывода передаточных функций сложных объектов в схемах достигается за счет преобразования их структурных схем к трем основным типам соединений.

Критерий правильности преобразования структурной схемы заключается в том, чтобы входные и выходные сигналы преобразуемого участка до и после преобразования были одинаковы.

На практике редко встречаются схемы, в которых можно сразу же выделить тот или иной тип соединений, как правило, имеются, так называемые, перекрестные связи. В этом случае возникает необходимость перестановки и переноса сумматоров и узлов.

Например, требуется осуществить перенос узла через звено по направлению распространения сигнала (рис. 5.35, а).

Преобразованию подлежит участок, выделенный пунктиром, который имеет один входной сигнал x (t) и два выходных x (t) и у (t). Требуется перенести узел "1" через звено " 2" с передаточной функцией W(s).

Простой перенос приводит к схеме, изображенной на (рис. 5.35, б). Эта схема не соответствует исходной, так как отсутствует выходной сигнал x (t), но имеются два сигнала y (t), причем у (s) = x (s) W(s), следовательно, для приведения схемы к исходной необходимо в боковую ветвь на выходе у (t) включить звено с передаточной функцией. Тогда получают схему (рис. 5.35, в), соответствующую исходной.

Таким образом, перенос узла через звено с передаточной функцией W(s) по направлению распространения сигнала сопровождается появлением в боковой цепи звена, имеющего передаточную функцию W ( s) Рассмотренный пример является доказательством правила переноса узла через звено. Остальные правила переноса приводятся без доказательства и выглядят следующим образом.

1 Перенос узла через узел осуществляется без дополнительных преобразований (рис. 5.36).

2 Перенос сумматора через сумматор производится без дополнительных преобразований (от перемены мест слагаемых сумма не изменяется) (рис. 5.37).

3 При переносе узла через сумматор по направлению сигнала в боковой ветви преобразованного участка появляется дополнительное звено с передаточной функцией (1) (рис. 5.38).

4 При переносе сумматора через узел по направлению сигнала в боковой ветви появляется звено с передаточной функцией +1 (рис. 5.39).

5 Перенос узла через звено по направлению сигнала приводит к появлению дополнительного звена с передаточной функцией (рис. 5.40).

6 При переносе узла через звено против направления сигнала появляется дополнительное звено с передаточной функцией W(s) (рис. 5.41).

7 Перенос сумматора через звено по направлению сигнала сопровождается появлением дополнительного звена с передаточной функцией W(s) (рис. 5.42).

8 Перенос сумматора через звено против направления сигнала приводит к появлению дополнительного звена с передаточной функцией (рис. 5.43).

9 Вынесение элемента из прямой связи приводит к появлению дополнительных звеньев, в прямой цепи и в дополнительной W2(s) (рис. 5.44).

10 Внесение элемента в прямую связь сопровождается появлением в одной и второй прямых цепях звеньев с передаточной функцией W2(s) и в дополнительной цепи – звена с передаточной 11 Вынесение элемента из обратной связи сопровождается появлением в прямой цепи элемента с передаточной функцией W2(s), а в дополнительной цепи – звена с передаточной функцией (рис. 5.46).

12 Внесение элемента в обратную связь сопровождается появлением в обратной связи звена с передаточной функцией W2(s), в прямой цепи – звена с передаточной функцией, в дополнительной – звена с передаточной функцией W2(s) (рис. 5.47).

Пример 5.1 Записать передаточную функцию соединения, изображенного на рис. 5.48.

Пример 5.2 Преобразовать структурную схему (рис. 5.49) и записать передаточную функцию Рис. 5.49 Структурная схема некоторого объекта с перекрестными связями:

При выводе передаточных функций сложных структурных схем не всегда бывает удобно пользоваться правилами преобразования. В 1953 г. Мэйсоном было предложено правило вычисления передаточной функции между двумя заданными узлами. Это правило выражается следующей формулой различных прямых путей из узла m в узел n; Wрк i (s) – передаточная функция разомкнутого контура, взятая со знаком, соответствующим отрицательной обратной связи; П – произведение, включающее все замкнутые контуры системы; * – знак обозначает исключение из скобки всех членов, содержащих произведения передаточных функций одних и тех же звеньев, включая и звенья с W(s) = 1.

Пример 5.3 Записать передаточную функцию системы (рис. 5.50) по каналу (х – у).

В структурной схеме объекта по каналу (х – у) имеется один прямой путь (r = 1) с передаточной функцией Wпр1(s) = W1(s) W2(s) и два замкнутых контура (b = 2) с передаточными функциями разомкнутых цепей с отрицательными обратными связями:

Подставляя полученное выражение в (5.90), получают:

Рис. 5.50 Структурная схема технологического объекта Раскрывая скобки и исключая члены, содержащие передаточные функции общих ветвей, окончательно получают:

Законом регулирования называется уравнение, описывающее зависимость между входом регулятора y (t ) = y (t ) y зад и его выходом xр(t).

Все законы регулирования подразделяются на простейшие: пропорциональный (П), интегральный (И), дифференциальный (Д) и промышленные: пропорционально-интегральный (ПИ), пропорционально-дифференциальный (ПД), пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД).

Ниже приводится характеристика всех законов регулирования с точки зрения их динамических свойств.

5.4.1 ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ

Пропорциональный закон регулирования описывается уравнением где S1 – параметр настройки.

Знак (–) отражает тот факт, что регулятор включается в систему по принципу отрицательной обратной связи.

Пропорциональным регулятором может служить обычное усилительное звено с изменяемым коэффициентом усиления, включенное в отрицательную обратную связь по отношению к объекту. В связи с этим динамические характеристики П-регулятора в основном совпадают с характеристиками усилительного звена и имеют вид:

передаточная функция частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.51:

Переходная функция (рис. 5.52, а):

Весовая функция (рис. 5.52, б):

Для того, чтобы выяснить недостатки и достоинства того или иного закона регулирования, необходимо рассмотреть переходный процесс замкнутой системы.

Переходный процесс АСР с П-регулятором, изображенный на рис. 5.53, характеризуется тем, что имеется статическая ошибка регули рования, равная yуст – yзад. Действительно, по теореме о конечном значении функции можно записать:

если lim Wоб ( s ) = k об.

Таким образом, статическая ошибка регулирования зависит от коэффициента усиления объекта и параметра настройки регулятора. Причем статическая ошибка тем меньше, чем больше значение параметра настройки S1. Для того, чтобы эта ошибка отсутствовала, т.е. ууст = 0 при kоб 0, необходимо, чтобы S1. Следовательно, наличие статической ошибки регулирования является органическим недостатком АСР с пропорциональным регулятором.

Интегральный закон регулирования описывается уравнением или где S0 – параметр настройки регулятора.

Интегральным регулятором может служить интегрирующее звено с переменным передаточным коэффициентом, включенное в отрицательную обратную связь к объекту.

Динамические характеристики И-регулятора имеют вид:

– передаточная функция – частотные характеристики, изображенные на рис. 5.54:

Рис. 5.54 Частотные характеристики И-закона регулирования:

Рис. 5.55 Переходные характеристики И-закона регулирования:

Переходные характеристики, графики которых представлены на рис. 5.55:

– переходная функция – весовая функция Переходной процесс в ACP с И-регулятором, изображенный на рис. 5.56, характеризуется отсутствием статической ошибки регулирования, наибольшим значением отклонения регулируемой величины

УСТАНОВИВШЕГОСЯ ЗНАЧЕНИЯ ПО СРАВНЕНИЮ С ДРУГИМИ ЗАКОНАМИ РЕГУЛИРОВАНИЯ, НАИБОЛЬШИМ ВРЕМЕНЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Главным достоинством интегрального регулятора является отсутствие статической ошибки регулирования. Действительно:

5.4.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ

Дифференциальный закон регулирования описывается уравнением где S2 – параметр настройки, которое является уравнением идеального дифференцирующего звена. На практике дифференциальный закон может быть реализован лишь приближенно в определенном интервале частот. Дифференциальная составляющая вводится в закон регулирования для того, чтобы увеличить быстродействие регулятора, так как в этом случае регулятор реагирует не на абсолютное значение регулируемой величины, а на скорость ее изменения. Дифференциальный регулятор не применяется для регулирования, так как при любом постоянном значении регулируемой величины выходной сигнал такого регулятора равен нулю.

Динамические характеристики Д-закона регулирования:

– передаточная функция – частотные характеристики, изображенные на рис. 5.57:

Рис. 5.57 Частотные характеристики Д-закона регулирования:

Рис. 5.58 Переходная функция Д-закона регулирования:

Переходные характеристики:

– переходная функция – весовая функция графики которых изображены на рис. 5.58.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ УЧАСТВУЕТ ТОЛЬКО В СЛОЖНЫХ ЗАКОНАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА.

ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ

Пропорционально-дифференциальный закон регулирования опи-сывается уравнением

ЭТОТ РЕГУЛЯТОР ПО СУЩЕСТВУ СОСТОИТ ИЗ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНО ВКЛЮЧЕННЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЙ.

Динамические характеристики ПД-регулятора:

– передаточная функция – частотные характеристики, графики которых изображены на рис. 5.59:

АФХ W (i) = ( S1 + S 2 i) = S12 + S 2 2 ei ( +arctg( S2 / S1)) ; (5.115) Переходная функция, график которой изображен на рис. 5.60:

Весовая функция:

С точки зрения качества процесса регулирования в замкнутой АСР пропорционально-дифференциальный регулятор обладает особенностями обоих законов регулирования (рис. 5.61). Наличие воздействия по производной от y(t) увеличивает быстродействие регулятора, благодаря чему уменьшается динамическая ошибка по сравнению с пропорциональным регулятором.

В установившихся режимах, когда y' = 0, регулятор ведет себя как обычный П-регулятор. Величина статической ошибки остается такой же, как и в случае применения П-регулятора, действительно:

5.4.5 ПРОПОРЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ

Пропорционально-интегральный закон регулирования описывается уравнением и представляет собой параллельное соединение пропорциональной и интегральной составляющих.

Динамические характеристики ПИ-регу-лятора:

– передаточная функция – частотные характеристики (рис. 5.62):

Переходная функция (рис. 5.63, а):

Весовая функция (рис. 5.63, б):

Пропорционально-интегральный регулятор сочетает в себе достоинства П- и И-законов регулирования, а именно: пропорциональная составляющая обеспечивает достаточное быстродействие регулятора, а интегральная составляющая ликвидирует статическую ошибку регулирования. Переходный процесс в АСР с ПИ-регулятором изображен на рис. 5.64.

В начале процесса регулирования основную роль играет пропорциональная составляющая, так как интегральная составляющая зависит не только от абсолютного значения, но и от времени. С увеличением времени возрастает роль интегральной составляющей, обеспечивающей устранение статической ошибки, т.е.

Подбором параметров настройки S0 и S1 можно изменять удель-ный вес каждой составляющей. В частности, при S0 = 0 получается П-регулятор, а при S1 = 0 – И-регулятор.

Рис. 5.64 Переходный процесс в АСР с ПИ-, П- и И-регуляторами

5.4.6 ПРОПОРЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ

ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ

Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования описывается уравнением Динамические характеристики ПИД-регулятора:

передаточная функция частотные характеристики (рис. 5.65):

Переходные характеристики:

переходная функция, при t > весовая функция РИС. 5.65 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИД-РЕГУЛЯТОРА:

График переходной функции ПИД-регулятора представлен на рис. 5.66.

ПИД-регулятор сочетает в себе достоинства всех трех простейших законов регулирования: высокое быстродействие благодаря наличию импульса по производной от y(t) и отсутствие статической ошибки, которое обеспечивает интегральная составляющая (рис. 5.67).

РИС. 5.67 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АСР С РАЗЛИЧНЫМИ

ЗАКОНАМИ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Необходимо отметить, что применение регуляторов с дифференциальными составляющими, несмотря на их достоинства, не всегда целесообразно, а иногда и недопустимо. Так, для объектов с большим запаздыванием по каналу регулирования бесполезно вводить воздействие по производной от регулируемой величины, так как этот импульс будет поступать в регулятор по истечении времени чистого запаздывания после прихода возмущения, за которое в объекте могут накопиться большие отклонения. Более того, в таких случаях ПД- или ПИД-регулятор может "раскачать" объект и система потеряет устойчивость.

1 Звеньями называются отдельные элементы системы, в которых происходит преобразование входных сигналов в выходные. Если передаточная функция звена имеет вид простой дроби, то такое звено относится к группе типовых или элементарных звеньев, уравнения которых можно получить из дифференциального уравнения приравнивая те или иные коэффициенты нулю.

Различают следующие звенья: усилительное, интегральное, идеальное и реальное дифференцирующие, чистого запаздывания, апериодическое первого порядка, апериодическое второго порядка, колебательное. Каждое из перечисленных звеньев рассматривается с позиций анализа их динамических характеристик.

А Какие звенья описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями?

В Почему идеальное дифференцирующее звено физически не реализуемо?

С На какие группы делятся типовые звенья?

2 При анализе и синтезе систем автоматического управления широко используется структурный анализ. В любой структурной схеме могут присутствовать только три типа соединений: последовательное, параллельное, соединение с обратной связью. Значение передаточных функций отдельных звеньев позволяет записать передаточные функции соединений и построить их частотные характеристики.

Реальные объекты обладают сложной структурой, в них имеются, так называемые, перекрестные связи, которые необходимо развязать, используя правила преобразования структурных схем.

А Какие передаточные функции можно записать для одноконтурной системы автоматического регулирования?

В Заданы передаточные функции звеньев W1 ( s ) = k ; W2 ( s ) = 4. Записать частотные характеристики последовательного и параллельного соединений.

С Перенос каких элементов при преобразовании схем производится без дополнительных преобразований?

3 Элементами одноконтурной системы автоматического регулирования являются объект и регулятор. Все законы регулирования подразделяются на простейшие: пропорциональный, дифференциальный, интегральный и промышленные: пропорционально-интегральный, пропорциональнодифференциальный, пропорционально-интегрально-диф-ференциальный. Все законы регулирования рассматриваются с точки зрения их динамических свойств.

А Какой из законов регулирования физически не реализуется?

В Что дает введение в закон регулирования дифференциальной составляющей?

"–". Какую информацию дает этот знак?

1 Какие звенья относятся к группе статических звеньев?

А Статическая характеристика отлична от нуля.

В Статическая характеристика не существует.

С Статическая характеристика равна нулю.

2 Передаточная функция какого звена имеет вид W ( s) = ?

А Усилительного.

В Реального дифференцирующего.

С Интегрального.

3 Передаточная функция апериодического звена первого порядка… 4 Кривая разгона какого звена имеет вид?

А Усилительного.

В Апериодического первого порядка.

С Апериодического второго порядка.

5 Какое звено описывается уравнением T y' (t ) + y (t ) = k x' (t ) ?

А Апериодическое первого порядка.

В Идеальное дифференцирующее.

С Реальное дифференцирующее.

6 Каким уравнением описывается колебательное звено?

7 Какую кривую разгона имеет звено чистого запаздывания?

8 Какое звено имеет весовую функцию?

А Апериодическое первого порядка.

В Реальное дифференцирующее.

С Интегральное.

9 Какую весовую функцию имеет апериодическое звено первого порядка?

10 Какое звено имеет изображенную ниже АФХ?

А Усилительное.

В Интегральное.

С Колебательное.

11 Какая АФХ соответствует звену чистого запаздывания?

12 Какое звено с соответствующей передаточной функцией относится к группе особых звеньев?

13 Какое соединение называется параллельным?

14 В каком варианте правильно осуществлен перенос узла через звено?

15 Какой закон регулирования имеет пропорциональный регулятор?

16 Какую АФХ имеет ПИ-регулятор?

17 Какую передаточную функцию имеет ПД-регулятор?

18 Какой переходный процесс будет в АСР с И-регулятором?

19 Какой из законов регулирования наиболее распространен на практике?

А И-закон.

В ПИ-закон.

С П-закон.

20 Какой из законов регулирования имеет три настроечных параметра?

А ПИ-закон.

В ПД-закон.

С ПИД-закон.

6 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

ВСЯКАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДОЛЖНА НОРМАЛЬНО

ФУНКЦИОНИРОВАТЬ ПРИ ДЕЙСТВИИ НА НЕЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОМЕХ, ШУМОВ ИЛИ,

НЕСМОТРЯ НА ДЕЙСТВИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОСТОРОННИХ ВОЗМУЩЕНИЙ, ОНА ДОЛЖНА

РАБОТАТЬ УСТОЙЧИВО. В СВЯЗИ С ЭТИМ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ВАЖНЫМ ЯВЛЯЕТСЯ ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАННОГО РЕЖИМА РАБОТЫ СИСТЕМЫ. ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗАДАННЫМ РЕЖИМОМ ПРИНЯТО

СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ.

В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ СВЯЗАНО СО СПОСОБНОСТЬЮ СИСТЕМЫ ВОЗВРАЩАТЬСЯ В СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПОСЛЕ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ ВНЕШНИХ СИЛ, КОТОРЫЕ ВЫВЕЛИ ЕЕ ИЗ ЭТОГО СОСТОЯНИЯ. ЕСЛИ

СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА, ТО ОНА НЕ ВОЗВРАЩАЕТСЯ В ИСХОДНОЕ СОСТОЯНИЕ.

ТАКИМ ОБРАЗОМ, РАЗЛИЧАЮТ ТРИ ТИПА СИСТЕМ:

1) устойчивые системы, которые после снятия возмущений возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные системы, которые после снятия возмущения возвращаются в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые системы, в которых не устанавливается равновесие после снятия возмущений.

НАГЛЯДНО УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМИ РИСУНКАМИ (РИС. 6.1).

Положение равновесия шара характеризуется точкой A0. При отклонении в положение A1 в первом случае шар стремится к положению A0, во втором не стремится к этому положению, в третьем состояние шара безразлично.

Примером устойчивых систем могут служить все типовые звенья, кроме интегрирующего, которое является нейтральным объектом. Переходные процессы, соответствующие импульсным входным сигналам, для а – устойчивая система; б – неустойчивая система; в – нейтральная система Рис. 6.2 Переходные процессы при импульсном возмущении:

А АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО ПЕРВОГО ПОРЯДКА; Б ИНТЕГРАЛЬНОЕ

апериодического звена первого порядка и интегрирующего выглядят следующим образом (рис. 6.2).

ПРИМЕРОМ НЕУСТОЙЧИВОЙ СИСТЕМЫ МОЖЕТ СЛУЖИТЬ ОБЪЕКТ, ОХВАЧЕННЫЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ. ТАК, НЕКОТОРЫЕ ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКТОРЫ, В КОТОРЫХ ПРОИСХОДЯТ ЭКЗОТЕРМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ЯВЛЯЮТСЯ НЕУСТОЙЧИВЫМИ ОБЪЕКТАМИ, ТАК КАК ПРИ ПОВЫШЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ СКОРОСТЬ

ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ УВЕЛИЧИВАЕТСЯ, ЧТО В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ ПРИВОДИТ К УВЕЛИЧЕНИЮ ВЫДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА РЕАКЦИИ И ПОВЫШЕНИЮ ТЕМПЕРАТУРЫ.

В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ВОЗМОЖНЫ И ДРУГИЕ ТИПЫ СОСТОЯНИЯ.

Рассмотрим следующий пример (рис. 6.3):

Состояние равновесия (рис. 6.3, а) устойчиво лишь до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую границу, определяемую, например, точкой B. Выйдя за нее, шар уже не вернется в точку A. Второй случай (рис. 6.3, б) характеризует принципиально возможное состояние равновесия для нелинейных систем, которое называется полуустойчивым.

Рассматривая нелинейные системы, вводят понятия устойчивости "в малом", "в большом" и "в целом":

система устойчива "в малом", если лишь констатируется факт наличия области устойчивости, но границы ее не определены;

система устойчива "в большом", когда определены границы области устойчивости, т.е.

определены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние;

система, которая возвращается в исходное состояние при любых начальных отклонениях, называется устойчивой "в целом". Для некоторого класса систем устойчивость "в целом" называется абсолютной устойчивостью.

СЛУЧАЙ, ИЗОБРАЖЕННЫЙ НА РИС. 6.1, А, СООТВЕТСТВУЕТ УСТОЙЧИВОСТИ "В

ЦЕЛОМ", А НА РИС. 6.3, А – ЛИБО "В БОЛЬШОМ", ЛИБО "В МАЛОМ". В РАССМОТРЕННОМ ПРИМЕРЕ С ШАРОМ ВОПРОС ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШАЕТСЯ ПРОСТО, НО В

ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НЕ ВСЕГДА ЯСНО, ПРИ КАКИХ УСЛОВИЯХ РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ БУДЕТ УСТОЙЧИВО.

КАК УЖЕ НЕОДНОКРАТНО ОТМЕЧАЛОСЬ, ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ОПИСЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (3.8) И НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ (3.9).

Регулируемая величина y(t) представляет собой решение уравнения (3.8):

ОТНОСИТЕЛЬНО СОСТАВЛЯЮЩИХ YСВ(T) И YВЫН(T) РЕШЕНИЯ (6.1) ПОДРОБНО ГОВОРИЛОСЬ В П. 3.4. ПРИ РАССМОТРЕНИИ ВОПРОСОВ УСТОЙЧИВОСТИ ИНТЕРЕС ВЫЗЫВАЕТ ТОЛЬКО СВОБОДНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ, ОПРЕДЕЛЯЕМАЯ ОБЩИМ РЕШЕНИЕМ ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (3.8) БЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЭТОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В ТОМ, ЧТО ЭТО КАК РАЗ

ТО РЕШЕНИЕ, КОТОРОЕ ОТЛИЧНО ОТ НУЛЯ ТОЛЬКО В ТЕЧЕНИЕ ПЕРЕХОДНОГО

ПРОЦЕССА И ИСЧЕЗАЕТ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ. ВЫНУЖДЕННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ВИДА ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ И ПРАВОЙ ЧАСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (3.8), НА УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ НЕ ВЛИЯЕТ.

СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РЕШЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ (3.8). ТАК КАК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИМЕЕТ ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ, ТО И СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЕДИНСТВЕННО.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ "УСТОЙЧИВОСТИ" ФОРМУЛИРУЕТСЯ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ. СИСТЕМА ЯВЛЯЕТСЯ УСТОЙЧИВОЙ, ЕСЛИ СВОБОДНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ СТРЕМИТСЯ К НУЛЮ, Т.Е.

При этом выходная координата системы будет стремиться к вынужденной составляющей, определяемой внешним воздействием и правой частью уравнения (3.8).

Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е.

то система неустойчива.

Понятие устойчивости распространяется и на более общий случай движение системы.

Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. свободное движение, описывается решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

и заданными начальными условиями.

С этим уравнением связан характеристический полином:

Без ограничения общности предположим, что корни этого полинома различны, тогда решение уравнения записывается в виде Исследуем характер решения. Пусть, например, корень s1 действительный, тогда возможны два случая:

а) s1 < 0. В этом случае составляющая C1e s1t имеет вид кривой, асимптотически приближающейся к оси абсцисс t (рис. 6.4, а).

Действительно, при s1 < 0 имеет место условие Таким образом, если все корни действительные отрицательные, то и все слагаемые будут стремиться к нулю, а, следовательно, и их сумма.

б) Пусть один из корней действителен и положителен, s1 > 0, тогда абсолютная величина слагаемого C1e s1t будет безгранично возрастать при t (рис. 6.4, б), т.е. C1e s1t при t. В этом слуу даже в том случае, когда все остальные слагаемые решения стремятся к нулю при t.

чае а корни действительные отрицательные; б корни действительные положительные; в корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью; г корни комплексно-сопряженные с положительной действительной частью; д корни мнимые; е нулевой корень в) Пусть уравнение (6.5) имеет комплексно-сопряженные корни. Здесь также возможны два случая.

Первый случай, если s1,2 = ± i, причем < 0, тогда решение y1 = C1e S1t + C2 e S 2 t = Ce t sin(t + ) представляет собой затухающие колебания с частотой (рис. 6.5, в), так как e 0 при t, и, следовательно, все выражение также стремится к нулю при возрастании t.

Если комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то соответствующие члены решения стремятся к нулю при t.

г) Пусть > 0. В этом случае решением являются колебания с нарастающей амплитудой (рис. 6.4, г), так как e t при t, следовательно, y1 = C1e S1t + C2e S 2 t = Ce t sin(t + ).

д) Допустим теперь, что уравнение (6.5) имеет мнимые корни, т.е. s1,2 = ± i, тогда решение будет иметь вид: y1 = C1ei + C2 e i = е) Пусть уравнение имеет нулевой корень s1 = 0, в этом случае y1 = C, т.е. решение представляет собой константу.

СОСТАВЛЯЮЩУЮ РЕШЕНИЯ YСВ(T) ДАЕТ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗ ПРАВОЙ ЧАСТИ, КОТОРУЮ ЧАСТО НАЗЫВАЮТ ПЕРЕХОДНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ РЕШЕНИЯ. УСТОЙЧИВАЯ СИСТЕМА ХАРАКТЕРИЗУЕТСЯ ТЕМ, ЧТО YСВ(T) 0 ПРИ T.

ЕСЛИ ЖЕ ЭТО УСЛОВИЕ НЕ СОБЛЮДАЕТСЯ, ТО СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА, ЕСЛИ

YСВ(T) = СONST, ТО СИСТЕМА НЕЙТРАЛЬНА, А ЕСЛИ YСВ(T) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ, ТО СИСТЕМА НАХОДИТСЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОСТИ. ТАКИМ ОБРАЗОМ, СИСТЕМА УСТОЙЧИВА ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ВСЕ

КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ИМЕЮТ ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ ДЕЙСТВИТЕЛЬНУЮ ЧАСТЬ. ЭТО ПРАВИЛО ПОЛУЧИЛО НАЗВАНИЕ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные дейст-вительные части. Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 6.5.

Отсюда вытекает следующая формулировка признака устойчивости: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной переменной s. Если хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, то система неустойчива. Если же хоть один корень лежит на мнимой оси, система находится на границе устойчивости. Мнимая ось i является границей устойчивости. Если характериб) Рис. 6.5 Геометрическая интерпретация признака устойчивости:

стическое уравнение имеет одну пару мнимых корней, а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то система находится на колебательной границе устойчивости. Если же уравнение имеет нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости.

ПРИ РАССМОТРЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНО ПОЛЕЗНЫМ

ОКАЗАЛОСЬ ВВЕДЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НАГЛЯДНЫХ ПОНЯТИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА. ОСНОВНЫМ ИЗ НИХ ЯВЛЯЕТСЯ ПОНЯТИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА, ВВЕДЕННОЕ АКАДЕМИКОМ АНДРОНОВЫМ.

ФАЗОВЫМ ПРОСТРАНСТВОМ НАЗЫВАЕТСЯ ТАКОЕ ПРОСТРАНСТВО, В КОТОРОМ

ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ ТОЧКИ ЯВЛЯЮТСЯ ВЕЛИЧИНЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ МГНОВЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ, НАЗЫВАЕМЫЕ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ.

МЕТОД ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИМЕНИМ КАК ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ, ТАК И ДЛЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

Любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

ОПИСЫВАЮЩЕЙ ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

x(t ) = { x1, x2,..., xn }.

В КАЧЕСТВЕ ФАЗОВЫХ КООРДИНАТ ВЫБИРАЮТ ВЫХОДНУЮ КООРДИНАТУ СИСТЕМЫ И ЕЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

Точка фазового пространства (рис. 6.6), соответствующая состоянию системы в данный момент времени t, называется изображающей точкой (М).

Изменение состояния системы во времени будет соответствовать движению изображающей точки в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией.

КАЖДОМУ ПЕРЕХОДНОМУ ПРОЦЕССУ В СИСТЕМЕ СООТВЕТСТВУЕТ СВОЯ ОПРЕДЕЛЕННАЯ ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И НАОБОРОТ.

Метод фазового пространства получил наибольшее распространение при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных уравнений (6.7) для системы второго порядка в общем случае записывается в виде:

Фазовые траектории для систем второго порядка обладают следующими свойствами.

1 В каждой точке фазовой плоскости можно провести единственную касательную к фазовой траектории, т.е. через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна траектория. Исключение составляет начало координат: y1 = 0, y2 = 0, которое соответствует состоянию равновесия. Уравнение состояния равновесия:

НАПРАВЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ НЕОПРЕДЕЛЕННО, ПОЭТОМУ НАЧАЛО КООРДИНАТ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ

СИСТЕМЫ, НАЗЫВАЕТСЯ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ.

2 НАПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИИ ОТМЕЧАЮТ СТРЕЛКАМИ. ДВИЖЕНИЕ ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ ТОЧКИ ПО ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ ПРОИСХОДИТ ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ ВОКРУГ НАЧАЛА КООРДИНАТ.

3 В точках y1 = 0, y2 = 0, т.е. в особых точках, происходит остановка движения.

4 В системах второго порядка фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом, так как при y2(t) = 0, =, а y1 (t ) = y (t ) достигает своего максимума.

5 В верхних квадрантах координатной плоскости изображающая точка движется всегда слева наdy1 (t ) 6 В любой точке фазовой плоскости, где переменная y2(t) и функция f2(y1, y2) не равны нулю, фаdy данной точке, откуда следует, что фазовые траектории не пересекаются.

НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЯЮТ КООРДИНАТЫ

НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ M0 НА ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ.

СОВОКУПНОСТЬ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ВСЕМ ВОЗМОЖНЫМ В ДАННОЙ СИСТЕМЕ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ, НАЗЫВАЕТСЯ ФАЗОВЫМ ПОРТРЕТОМ СИСТЕМЫ.

6.3.2 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Для получения уравнений, описывающих фазовый портрет системы второго порядка, необходимо в системе дифференциальных уравнений (6.8) второе уравнение поделить на первое и исключить из рассмотрения время t, в результате чего получают:

РЕШЕНИЕ ЭТОГО УРАВНЕНИЯ ДАЕТ СЕМЕЙСТВО ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ, ПО КОТОРЫМ СТРОЯТСЯ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ СИСТЕМЫ.

ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА КЛАССИФИЦИРУЮТСЯ ПО ТИПАМ ОСОБЫХ ТОЧЕК.

Линейная система второго порядка описывается дифференциальным уравнением вида где y(t) выходная координата системы; a0, a1, a2 постоянные коэффициенты.

и уравнение (6.9) можно записать в виде системы дифференциальных уравнений:

Разделив второе уравнение на первое, получают

РЕШЕНИЕМ КОТОРОГО БУДЕТ УРАВНЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

ГДЕ СI ПОСТОЯННЫЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

ВОЗМОЖНЫ ШЕСТЬ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЕВ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ A2 S2 + A1 S + A0 = 0.

Случай Корни мнимые при a1 = 0, a0 > 0, a2 > 0: s1,2 = +i;

=. СИСТЕМА НАХОДИТСЯ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОСТИ.

Уравнение системы: a2 y1 (t) + a0 y1(t) = 0, его решение имеет вид откуда График y1(t) показан на рис. 6.7.

Для получения уравнения фазовой траектории выражения (6.13) и (6.14) возводят в квадрат и складывают, в результате получают уравнение:

Выражение (6.15) представляет собой уравнение эллипса с полуосями A и A. Задавая различные А, получают семейство фазовых траекторий, которые нигде не пересекаются и имеют общий центр в начале координат (рис. 6.7, в).

Направление движения изображающей точки M в каждой половине фазовой плоскости определяется по знаку y2. При положительной величине y1 может только увеличиваться, а при отрицательном y уменьшаться, следовательно, движение изображающей точки на фазоy2 = y1 в) вой плоскости происходит по часовой стрелке, поэтому незатухающим периодическим колебаниям в системе соответствует на фазовой плоскости замкнутая фазовая траектория.

ОСОБАЯ ТОЧКА СИСТЕМЫ ЯВЛЯЕТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЦЕНТРОМ ФАЗОВЫХ

ТРАЕКТОРИЙ И НОСИТ НАЗВАНИЕ ЦЕНТР, А САМА СИСТЕМА НАЗЫВАЕТСЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ (Т.Е. СИСТЕМА БЕЗ РАССЕИВАНИЯ ЭНЕРГИИ, БЕЗ ТРЕНИЯ).

Случай 2 Корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при a12 < 4а0a2; a > 0, а2 > 0, a0 > 0:

S1,2 = ± I (РИС. 6.8, А), = A1/2А2, = (1/2А2) a12 4a0 a 2 СИСТЕМА УСТОЙЧИВА.

Решение уравнения (6.9) имеет вид:

ОТКУДА

Уравнения (6.16) и (6.17) дают в фазовой плоскости параметрическое уравнение спиралей (с параметром t). С каждым оборотом, соответствующим одному периоду колебаний, изображающая точка приближается к началу координат, так как значения y1 и y2 за период колебаний становятся меньше, т.е.

переходный процесс имеет характер затухающих колебаний.

Особая точка называется устойчивым фокусом.

РИС. 6.8 ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ТИПА УСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС:

А РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;

Б ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС; В ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ

а расположение корней характеристического уравнения;

Случай 3 Корни комплексные и имеют положительные вещественные части при a21 < 4а0a1;

a0 > 0, а1 < 0, a2 > 0: s1,2 = + і.

Этот случай соответствует расходящимся колебаниям в системе, т.е. система является неустойчивой. Решение уравнения (6.9):

Откуда Фазовая точка, двигаясь по фазовой траектории, неограниченно удаляется от начала координат.

Состоянию неустойчивого равновесия системы соответствует особая точка, которая называется неустойчивый фокус (рис. 6.9).

Если в результате сколь угодно малого возмущения система выйдет из состояния равновесия, то она будет неограниченно удаляться от

НЕГО ПО СПИРАЛИ ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ, Т.Е. В СИСТЕМЕ ВОЗНИКАЕТ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС С ВОЗРАСТАЮЩЕЙ АМПЛИТУДОЙ.

СЛУЧАЙ 4 КОРНИ – ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПРИ A21 > 4А0A2, A1 > 0, А2 > 0, A0 > 0:

ЭТОТ СЛУЧАЙ СООТВЕТСТВУЕТ АПЕРИОДИЧЕСКОМУ ПРОЦЕССУ В СИСТЕМЕ,

САМА СИСТЕМА УСТОЙЧИВА.

Решение уравнения (6.9)

ОТКУДА

Границей области с переходными процессами типа 1 и 2 служат прямые с уравнениями y2 = –s2 y и y2 = –s1 y1, которые получаются из (6.20), (6.21) при s1 = 0 или s2 = 0 (обращение одного из корней в нуль).

ВСЕ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ ВЛИВАЮТСЯ В НАЧАЛО КООРДИНАТ ОСОБУЮ

ТОЧКУ, НАЗЫВАЕМУЮ УСТОЙЧИВЫМ УЗЛОМ (РИС. 6.10). ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ К СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИ РАВНО БЕСКОНЕЧНОСТИ.

А РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;

Б ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС; В ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ

Случай 5 Корни вещественные положительные при a12 > 4а0a2, a1 < 0, а2 > 0, a0 > 0: s1,2 = ±.

В системе будет апериодический процесс, она неустойчива. Решение уравнения (6.9):

Б ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС; В ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ

ОТКУДА

Фазовые траектории направлены от начала координат в бесконечность, т.е. если в системе имеется отклонение от состояния равновесия (начало координат), то с течением времени оно будет неограниченно возрастать.

Особая точка носит название неустойчивый узел (рис. 6.11). По аналогии со случаем 4 кривым переходного процесса вида 1 соответствуют фазовые траектории вида 1, где крайние траектории определяются уравнениями y2 = s1y1 и y2 = s2y1. Кривым переходного процесса 2 соответствуют фазовые траектории вида 2.

Случай 6 Корни вещественные и имеют различные знаки при a1 > 0, a2 > 0, a0 < 0: s1 = 1, s2 =.

В этом случае будет неустойчивая система (при a0 = 0 граница устойчивости).

ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС В СИСТЕМЕ ИМЕЕТ АПЕРИОДИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР, НО

ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ ИМЕЕТ СОВЕРШЕННО ДРУГОЙ ВИД.

Частным является случай, когда a1 = 0, и, учитывая, что a0 < 0, уравнение (6.9) запишется в виде Интегрирование этого уравнения дает:

А – РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ;

Б – ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС; В – ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ

ВЫРАЖЕНИЕ (6.25) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ УРАВНЕНИЕ СЕМЕЙСТВА РАВНОСТОРОННИХ ГИПЕРБОЛ, ОТНЕСЕННОЕ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ. АСИМПТОТА ГИПЕРБОЛ:

Y2 = ± У1.

Каждая из асимптот состоит из трех фазовых траекторий, т.е. особая точка рассматривается как одна из фазовых траекторий.

ОСОБАЯ ТОЧКА НОСИТ НАЗВАНИЕ СЕДЛО, А АСИМПТОТЫ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ НАЗЫВАЮТСЯ СЕПАРАТРИСАМИ СЕДЛА (РИС. 6.12).

По двум сепаратрисам изображающая точка приближается к состоянию равновесия, а по двум другим удаляется от него.

ДВИГАЯСЬ ПО ЛЮБОЙ ФАЗОВОЙ ТРАЕКТОРИИ, ИЗОБРАЖАЮЩАЯ ТОЧКА ПО ИСТЕЧЕНИИ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШОГО ВРЕМЕНИ УДАЛЯЕТСЯ ОТ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА СКОЛЬ УГОДНО БОЛЬШОЕ РАССТОЯНИЕ.

СЕДЛО ЯВЛЯЕТСЯ НЕУСТОЙЧИВЫМ СОСТОЯНИЕМ РАВНОВЕСИЯ, ДАЖЕ КОГДА

НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ТОЧНО СООТВЕТСТВУЮТ ТОЧКЕ НА СЕПАРАТРИСЕ, МАЛЕЙШЕЕ ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИВОДИТ К ТОМУ, ЧТО ИЗОБРАЖАЮЩАЯ ТОЧКА, ПОПАВ

НА СОСЕДНЮЮ ТРАЕКТОРИЮ, БУДЕТ НЕОГРАНИЧЕННО УДАЛЯТЬСЯ ПО НЕЙ ОТ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ.

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ БЫЛА СОЗДАНА В НАЧАЛЕ НАШЕГО ВЕКА

ВЕЛИКИМ РУССКИМ МАТЕМАТИКОМ АЛЕКСАНДРОМ МИХАЙЛОВИЧЕМ ЛЯПУНОВЫМ

(1857 – 1918) В СВЯЗИ С ЗАДАЧАМИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ.

ЛЮБАЯ СИСТЕМА, БУДЬ ОНА ИДЕАЛЬНОЙ (ЕСЛИ НА НЕЕ НЕ ДЕЙСТВУЮТ НИКАКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ) ИЛИ РЕАЛЬНОЙ, ОПИСЫВАЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ, РЕШЕНИЕ КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЕТ ТРАЕКТОРИЮ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ.

ДВИЖЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ НЕВОЗМУЩЕННЫМ, ЕСЛИ ОНО ПОЛУЧЕНО В РЕЗУЛЬТАТЕ РАССМОТРЕНИЯ ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ.

ДВИЖЕНИЕ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В РЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ,

НАЗЫВАЕТСЯ ВОЗМУЩЕННЫМ.

Невозмущенное движение называется устойчивым, если достаточно малые возмущения сколь угодно мало отклоняют возмущенное движение от невозмущенного. Если же возмущенное движение заметно отклоняется от невозмущенного при сколь угодно слабых возмущениях, то оно называется неустойчивым.

В теории устойчивости существуют различные понятия (термины), как то: орбитальная устойчивость (устойчивость по траектории), устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и т.д.

Прежде чем перейти к определению этих понятий, необходимо уточнить, что понимается под малыми возмущениями. Любые возмущения можно разделить на два типа.

1 Импульсные возмущения.

Возмущение называется импульсным, если оно действует в течение короткого промежутка времени (t) (рис. 6.13, а). Импульс считают мгновенным, если за время t координата не успевает заметно измениться. В этом случае его влияние заключается в мгновенном сдвиге изображающей точки M0 системы из начального положения M0 в некоторое другое положение M 0. Траектория невозмущенного движения исходит из точки M, а возмущенного – из M 0 и отличается от первой (рис.

6.13, б). Влияние импульса сказывается на всем движении системы, хотя он действовал только при времени t.

i = 1, n. ПРИ МАЛОМ СДВИГЕ РАЗНОСТЬ КООРДИНАТ МАЛА ПО АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ, Т.Е. УДОВЛЕТВОРЯЕТ УСЛОВИЮ

где – некоторое достаточно малое положительное число.

Малым возмущением называется такое импульсное возмущение, которое вызывает малый сдвиг начального положения изображающей точки системы.

Малым возмущениям соответствуют малые, чем меньше, тем меньше возмущения.

а – импульсное возмущение; б – движение в фазовом пространстве 2 Непрерывно действующие возмущения.

Такие возмущения действуют на систему не только в начальный момент времени, но и в последующие (рис. 6.14). На первый взгляд кажется, что учет таких возмущений сделает более общими и выводы, так как они имеют более общую форму, чем импульсные. Но на практике оказывается не так.

Системы, устойчивые при импульсных возмущениях, устойчивы и при непрерывных; неустойчивые при первом типе неустойчивы и при втором. Причиной этого является тот факт, что непрерывное возмущение можно представить в виде последовательности импульсов, т.е. разрезать весь график x(t) на импульсы длительностью dt, поэтому в дальнейшем рассматриваются лишь импульсные возмущения.

Вводится понятие -окрестности невозмущенного движения. С этой целью рассматривается траектория невозмущенного движения М0М и строится криволинейный цилиндр радиусом, осью которого является эта траектория.

Считается, что траектория возмущенного движения мало отклоняется от траектории невозмущенного движения, если она целиком лежит в -окрестности невозмущенного движения ( мало). Возмущенное движение исходит из точки M 0 (рис. 6.15).

УСТОЙЧИВОСТЬ – ЭТО СВОЙСТВО ДВИЖЕНИЯ, ИМЕЮЩЕЕ КАЧЕСТВЕННЫЙ, А НЕ

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ХАРАКТЕР. ПОЭТОМУ ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВАЖНА ЛИШЬ ПРИНЦИПИАЛЬНАЯ ВОЗМОЖНОСТЬ ПОДОБРАТЬ СТОЛЬ

МАЛОЕ, ЧТОБЫ КРИВАЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕ ВЫШЛА ИЗ -ОКРЕСТНОСТИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПРИ ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ. ЕСЛИ ТАКАЯ

ВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВУЕТ, ТО ДВИЖЕНИЕ УСТОЙЧИВО, ЕСЛИ ОНА ОТСУТСТВУЕТ, ТО НЕУСТОЙЧИВО.

жении yi 0 yi0 <, чтобы траектория возмущенного движения не вышла из -окрестности невозмущенного движения, то последнее назыM' 0 вается устойчивым. Если же подобрать такое нельзя, то невозмущенное движение неустойчиво.

ПОНЯТИЕ ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМЕЕТ

СУЩЕСТВЕННЫЙ, ПРИНЦИПИАЛЬНЫЙ НЕДОСТАТОК, ОГРис. 6.15 К понятию РАНИЧИВАЮЩИЙ ПРЕДЕЛЫ ЕГО ПРИМЕНИМОСТИ. ПРИ

"О б й ОРБИТАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЖЕТ ЗНАЧИТЕЛЬНО ОТЛИЧАТЬСЯ ОТ НЕВОЗМУЩЕННОГО.

Если даже траектории и близки, но точки М и М' движутся с разными скоростями, то с течением времени расстояние между ними может оказаться большим (рис. 6.16), т.е. если yi координаты точки М, а yi M, то при наличии орбитальной устойчивости может оказаться, что величины ( yi yi ) станут большими. В связи с этим вводится понятие устойчивости по Ляпунову.

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого > 0 можно указать число = () > 0 такое, что из неравенства y0 y0 < () при t = t0 следует неравенство y y < для всех t > t0.

Смысл понятия устойчивости по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге М'0 от М0 точка М' в последующем движении достаточно близка к М (рис. 6.16). Если же подобрать такое () нельзя, то движение неустойчиво.

Под устойчивостью очень часто понимают свойство тела возвращаться в состояние равновесия, из которого оно предварительно было выведено, например, маятник после затухающих колебаний вернется к положению равновесия (рис. 6.17). Подобное определение можно ввести и для невозмущенного движения.

Если при движении в пространстве точки М и M неограниченно сближаются и разности их координат ( yi yi ) 0, то возмущенное движение постепенно возвращается к невозмущенному. Такое движение называется асимптотически устойчивым.

Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое, что, если y0 y0 <, то выполняется условие y y 0 при t.

Понятие асимптотической устойчивости более узко, чем понятие устойчивости по Ляпунову. Если движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову. Но обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо. Движение может быть устойчивым по Ляпунову, но не являться асимптотически устойчивым.

В п. 6.2 получено необходимое и достаточное условие устойчивости – отрицательность действительных частей корней характеристического уравнения или, что идентично, эти корни должны располагаться слева от мнимой оси.

В этих формулировках изложен не только признак устойчивости, но и дан, в сущности, метод исследования устойчивости: необходимо найти корни характеристического уравнения и проверить, лежат ли они в левой полуплоскости или нет. Однако такой метод совершенно неадекватен задаче исследования в силу следующих причин.

1 Задача определения корней характеристического уравнения просто решается только для уравнений первого и второго порядка; для всех других случаев приходится пользоваться различными приближенными, сравнительно громоздкими методами.

2 Для определения устойчивости необходимо знать только знаки корней, поэтому определение корней представляет ненужную трудоемкую работу. Между тем не получают общих формул, по которым можно было бы судить о влиянии коэффициентов уравнений на устойчивость системы, но именно это влияние, в первую очередь, и интересует проектировщика системы автоматического регулирования.

Задача исследования часто ставится таким образом, что необходимо определить коэффициенты уравнений, при которых система была бы устойчива.

В распоряжении исследователя имеются методы, позволяющие судить об устойчивости системы по так называемым условиям устойчивости, не решая характеристического уравнения и не находя его корней. Первым таким условием, которое следует рассмотреть, является необходимое условие устойчивости.

Пусть характеристическое уравнение n-й степени имеет корни s1, s2,..., sn. Тогда это уравнение можно записать следующим образом Если система устойчива, то корни должны быть либо действительными отрицательными, либо комплексно-сопряженными с отрицательной действительной частью.

Отсюда следует, что после раскрытия скобок все коэффициенты уравнения будут положительны.

Из этих рассуждений следует, что, когда хоть один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен, то система неустойчива.

Если все коэффициенты характеристического полинома ai > 0, то любое действительное положительное значение s, подставленное в уравнение, не может обратить его в нуль и, следовательно, не является корнем характеристического уравнения. Поэтому при ai > 0 невозможно появление нарастающих экспонент, характеризующих апериодическую неустойчивость, т.е. апериодическая неустойчивость невозможна. Однако может возникнуть колебательная неустойчивость, т.е. появление в решении составляющих в виде колебаний с нарастающей амплитудой. Это возникает, когда существуют комплексносопряженные корни с положительной действительной частью. Поэтому условие положительности коэффициентов при порядке системы больше двух является необходимым условием, но не достаточным, а для уравнений первого и второго порядка это условие является и достаточным.

Действительно:

Если корни комплексно-сопряженные, то а12 – 4 а0 а2 < 0, а1 > 0; а2 > 0. Следовательно, и а0 > 0, так как а12 < 4 а0 а2.

Критерий устойчивости Рауса и Гурвица позволяет по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать суждение об устойчивости системы.

Словацкий ученый А. Стодола, преподававший в Швейцарии, поставил перед швейцарским математиком Гурвицем задачу нахождения условий устойчивости для линейной системы любого порядка.

Такую же задачу поставил Максвелл в своем докладе, на котором присутствовал английский математик Раус. В результате, независимо друг от друга и в различных формах, Раус и Гурвиц вывели неравенства, соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости систем любого порядка.

Критерий, который предложил Раус, наиболее просто поясняется табл. 6.1, где характеристический полином.

В первой строке записываются в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс, во второй нечетный индекс.

Любой другой коэффициент таблицы определяется как где ri = c1,i–2 /c1,i–1; k – номер столбца; i – номер строки.

Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического полинома плюс единица – (n + 1).

После заполнения таблицы можно сделать следующее суждение об устойчивости системы согласно условию устойчивости Рауса.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при a0 > 0 были положительными числа:

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий очень удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения, очень легок для программирования на ЭВМ и нашел широкое применение при исследовании влияния на устойчивость коэффициентов уравнения либо отдельных параметров системы.

Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (6.27) строят сначала главный определитель Гурвица (6.30) по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами.

На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получим определители Гурвица низшего порядка.

Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали. Сам критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a0, т.е. при a0 > 0:

Если раскрыть определитель Гурвица для уравнений первого, второго и третьего порядка, то получатся следующие условия устойчивости:

1) n = 1; a0 s + a1 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0.

2) n = 2; a0 s2 + a1 s + a0 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0.

3) n = 3; a0 s3 + a1 s2 + a2 s + a3 = 0; условия устойчивости: a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0; a1 a2 – a0 a Критерий Гурвица обычно применяют при n < 4.

Так как n = an n–1, то при an > 0 для проверки устойчивости необходимо проверить определители от 1 до n–1.

Если an = 0 или n–1 = 0 при 1 > 0,..., то система находится на границе устойчивости, причем при an = 0 граница апериодической устойчивости (один из корней равен нулю); при an–1 = 0 граница колебательной устойчивости (имеются два комплексно-сопряженных корня).

По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.

При исследовании устойчивости систем автоматического регулирования, имеющих порядок характеристического уравнения n 5, рекомендуется использовать одну из модификаций критерия Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром и вошедшую в теорию автоматического управления как критерий устойчивости Льенара-Шипаро, который формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось необходимое условие устойчивости и чтобы определители Гурвица с четными индексами (или с нечетными индексами) были положительны, т.е.

или В такой формулировке критерия устойчивости требуется раскрытие меньшего числа определителей, чем по критерию Гурвица.

Пример 6.1 Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему, если характеристическое уравнение имеет вид Из коэффициентов уравнения составляется таблица Рауса.

Система не устойчива, так как знаки коэффициентов первого столбца различны: а0 > 0, a1 > 0, с13 < 0, с14 > 0, с15 > 0.

Пример 6.2 Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица, если характеристическое уравнение имеет вид:

Система устойчива, так как 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0.

6.7.4 УСТОЙЧИВОСТЬ И УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Система автоматического регулирования рассчитывается из условия, что в установившемся режиме должна обеспечиваться малая погрешность, а переходный процесс протекать должным образом, т.е.

система должна быть устойчивой (не "раскачиваться") и переходный процесс должен затухать с течением времени. В реальных замкнутых АСР обратная связь – отрицательная, и в этом случае на вход системы действует сигнал (t) = x(t) – y(t). Рассматриваем канал управления.

Если на вход рассматриваемой системы подается ступенчатая функция x(t) = x0, то при устойчивой системе после окончания переходного процесса на ее выходе устанавливается некоторое постоянное значение ууст (рис. 6.18).

Переходный процесс описывается уравнением (3.8). В установившимся режиме все производные равны нулю и уравнение принимает вид:

откуда Разность называется установившимся значением погрешности. Системы, имеющие ys 0, называются статическими, а установившаяся погрешность ys – статизмом системы. Иногда рассматривается относительная погрешность или коэффициент статизма S:

Для достижения малой погрешности в установившемся режиме необходимо иметь большое значение коэффициента усиления системы, но при достаточно большом значении последнего система становится неустойчивой, т.е. возникает конфликт между требованием устойчивости и требованием малой погрешности. Решение этой проблемы можно рассмотреть на следующем примере.

Пусть задана система, структурная схема которой изображена на рис. 6.19.

Рис. 6.19 Структурная схема системы автоматического регулирования Передаточная функция разомкнутой системы будет:

где K – коэффициент усиления системы и K = k1 k2 k3.

Для установившегося режима уравнение (6.34) принимает вид (1 + K) yуст = K x0, откуда yуст = K x0 /( + K), а статизм системы и коэффициент статизма, соответственно:

Характеристическое уравнение рассматриваемой системы имеет вид:

Так как все коэффициенты характеристического уравнения третьего порядка положительны, то согласно критерию устойчивости Гурвица система будет устойчива, если выполняется неравенство:

из которого можно определить коэффициент усиления, т.е.:

Величина K пр < Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициент усиления системы был меньше предельного значения K < Kпр. Если взять Т1 = Т2 = Т3, то Kпр = 8 и, следовательно, K < 8.

Если же для получения малой погрешности задать статизм S < 0,01 (S < 1 %), то получается K > 100.

Разрешение этого конфликта является одной из основных задач. Пути его разрешения различны, так, например, можно изменять постоянные времени Т1, Т2, Т3 и добиться требуемого значения коэффициента усиления. Наиболее общий путь разрешения такого конфликта – это изменение структурной схемы, введение дополнительных связей.

В общем случае система называется астатической относительно некоторого возмущающего воздействия f, если при f = сonst установившееся значение погрешности уs не зависит от значения f. В такой системе должно присутствовать интегрирующее звено. Установившаяся погрешность в режиме отработки постоянного рассогласования равна нулю.

На устойчивость системы автоматического регулирования оказывают влияние параметры системы, это наглядно было видно на примере, рассмотренном выше. Геометрический образ зависимости устойчивости от параметров системы называется областью устойчивости и был введен в рассмотрение И. А. Вышнеградским. Построение областей устойчивости является одним из наиболее ценных для практики результатов исследования устойчивости системы.

Область устойчивости строится в пространстве параметров, под которым понимается пространство, координатами которого являются параметры системы. Количество параметров может быть любым, но для графического изображения наиболее распространенными являются два.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид где А и В – параметры системы.

Для устойчивости системы, исходя из критерия Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы А В > 1, откуда граница области устойчивости будет А В = 1.

В плоскости параметров A и В граница области устойчивости представляет собой гиперболу, называемую гиперболой Вышнеградского (рис. 6.20). Область устойчивой работы отмечена штриховкой.

Вторая из этих границ соответствует наличию нулевого корня характеристического уравнения, а третья наличию чисто мнимых корней. Уравнения (6.39) разбивают пространство параметров на ряд областей, из которых устойчивой будет та область, Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии позволяют исследовать устойчивость систем высокого порядка и имеют простую геометрическую интерпретацию.

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие известного из теории функции комплексного переменного принципа аргумента. Пусть дан полином n-й степени (6.27):

Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде где sj = j + ij – корни уравнения D(s) = 0; j = 1, 2,..., n.

Каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке sj (рис. 6.21, а). Длина его равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, – аргументу или фазе комплексного числа.

Величины (s – sj) геометрически изображаются вектором, проведенным из точки sj к произвольной точке s (рис. 6.21, б).

При s = i, например, получают:

и концы всех векторов будут находиться на мнимой оси (рис. 6.21, в).

Рассматривая вектор D(i), получают, что модуль его равен а аргумент Если принять за положительное направление отсчета углов вращения против часовой стрелки, то при изменении частоты от – до + каждый элементарный вектор поворачивается на угол, если корень расположен слева от мнимой оси, и на – – если справа (рис. 6.21, г).

Если полином имеет m правых корней и (n – m) левых, то при изменении от – до + изменение аргумента вектора D(i ) равно сумме углов поворота вектора (i – sj), т.е.

Откуда вытекает следующее правило: изменение аргумента D(i ) при изменении частоты от – до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(s) = 0, умноженной на.

При изменении частоты от 0 до изменение аргумента вектора D(i) будет вдвое меньше Это правило положено в основу всех частотных критериев.

Этот критерий по существу является геометрической интерпретацией принципа аргумента и был сформулирован в 1938 г. советским ученым Михайловым.

Рассматривается характеристический полином (6.27):

Замена s = i, приводит к комплексному полиному, называемому функцией Михайлова.

называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова; D() – модуль D(i); () – фаза D(i).

При изменении частоты конец вектора D(i) будет описывать некоторую кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом Михайлова.

При изменении частоты от 0 до угол поворота вектора D вокруг начала координат равен (6.45):