«Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по ...»

Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для всех характеристик (x), принадлежащих к определенному классу.

Будем рассматривать устойчивость для характеристик (x), лежащих в углу, т.е. принадлежащих подклассу (0, k ) (рис. 12.8).

Если равновесие абсолютно устойчиво, то оно абсолютно устойчиво и для всех прямолинейных характеристик y = hx, где 0 h k, поскольку эти прямые относятся к данному подклассу.

Исходная нелинейная система (рис. 12.7) представляет собой по своей структуре замкнутую систему, в которой нелинейный элемент охвачен отрицательной замкнутая линейная система была устойчива. Так как 0 h k, то достаточным условием устойчивости всех линейных систем из подкласса (0, k ) будет условие, чтобы W (i) не пересекала отрезка действительной оси (, 1 / k ).

Можно показать, что это условие необходимо и достаточно. Действительно, пусть линейная часть устойчива, но W (i) пересекает четное число раз отрезок (, 1 / k ). Изменяя h в пределах от 0 до k, тем самым перемещается правая граница критического отрезка, причем значению h = 0 соответствует точка, а h = k – 1 / k. Всегда можно выбрать h внутри заданных границ так, чтобы правая граница критического отрезка попала в любую точку отрезка (, 1 / k ).

Если характеристика W (i) пересекает четное число раз отрезок (, 1 / k ), то выберется значение h так, чтобы число пересечений стало на единицу меньше, но тогда замкнутая система становится неустойчивой. Таким образом, чтобы замкнутая система оставалась устойчивой при любых h, заключенных в пределах 0 h k, необходимо и достаточно, чтобы W (i) нигде не пересекала отрезок (, 1 / k ) оси абсцисс.

Для произвольной нелинейной функции из подкласса (0, k ) достаточное условие абсолютной устойчивости было сформулировано Поповым и выглядит следующим образом.

Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью было устойчиво, достаточно выполнение следующих условий:

1 Существует такое действительное число, при котором действительная часть функции Попова П(i) была положительна 2 Функция (x) принадлежит подклассу (0, k ), т.е. 0 ( x) / x k.

Доказательство этой теоремы не приводится, но рассматривается геометрическая трактовка. Для этого вводятся следующие характеристики видоизмененной частотной характеристики линейной части W * (i), связанной с исходной W (i) соотношениями:

т.е. действительная часть видоизмененной характеристики равна действительной части исходной, а мнимая равна мнимой части исходной, умноженной на. Так как ImW (i) = 0 и ImW * (i) = 0 одновременно, то точки пересечения действительных характеристик совпадают. Действительная и мнимая части видоизмененной характеристики W * (i) являются четными функциями. Если степень числителя W (i) не выше степени знаменателя и W (i) имеет не более одного полюса в начале координат, то при Re W * (i) и Im W * (i) стремятся к конечным пределам и характеристика W * (i) лежит в конечной части плоскости целиком.

тогда или Критическим случаем является случай, когда который дает в координатах U *, V * уравнение прямой линии, касающейся характеристики W * (i). Прямая проходит через точку (1 / k, i) и имеет угловой коэффициент 1 /.

Когда U * () V * () + 1 / k > 0, W * (i) лежит в части плоскости, включающей начало координат, т.е.

правее прямой.

Таким образом, для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы на плоскости видоизмененной частотной характеристики W * (i) линейной части системы можно было провести прямую через точку ( 1 / k, i0) так, чтобы W * (i) целиком располагалась справа от этой прямой (рис. 12.9, а).

На рис. 12.9, б приведен случай, когда отделяющую прямую построить нельзя и судить об устойчивости также нельзя.

Критерий Попова распространен также на системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью. В этом случае должны выполняться условия Рис. 12.9 Геометрическая трактовка абсолютной устойчивости системы:

т.е. нелинейная характеристика должна укладываться в углу, ограниченном прямыми с угловыми коэффициентами r и k + r. При этом r выбирается так, чтобы 1 + rW (i) имела все нули в левой полуплоскости, а W1 (i) – видоизмененная характеристика линейной части Между критерием абсолютной устойчивости Попова и вторым методом Ляпунова существует глубокая связь. Было доказано, что если выполняется условие абсолютной устойчивости Попова, то существует типовая функция Ляпунова – квадратичная форма плюс нелинейность, причем условие Re( П (i)) > 0 является необходимым и достаточным.

Пример 12.5 Нелинейная система второго порядка имеет линейную часть, описываемую уравнением Требуется определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного элемента лежит в секторе (0, k ).

Видоизмененная характеристика линейной части будет Анализ этой характеристики показывает, что при всех мнимая часть характеристики отрицательна, а это говорит о том, что вся характеристика W * (i) лежит в Рис. 12.10 Видоизмененная 1 В нелинейных системах исследуется устойчивость движения. Различают возмущенное движение и невозмущенное движение. Основными видами устойчивости движения являются понятия устойчивости движения по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Кроме того для нелинейных систем существуют такие понятия, как устойчивость в "малом" и устойчивость в "большом".

Для исследования устойчивости в "малом" используется первый метод Ляпунова, который позволяет судить об устойчивости нелинейной системы по линейной системе первого приближения.

А Какое движение называется возмущенным движением и какое движение называется невозмущенным движением?

В Какой смысл имеет понятие устойчивости движения системы по Ляпунову и чем оно отличается от асимптотической устойчивости?

С Какие теоремы были доказаны Ляпуновым в первом методе исследования устойчивости в "малом" состояния равновесия нелинейной системы.

2 Как известно, достаточные условия устойчивости нелинейных систем дает второй метод Ляпунова, позволяющий исследовать устойчивость в "большом". Согласно этому методу в рассмотрение вводится функция V ( y1, y2,..., yn ), заданная в фазовом пространстве и обладающая следующими свойствами: непрерывна со всеми своими частными производными в некоторой открытой области, содержащей начало координат; при y1 = y2 =... = yn = 0 – V ( y1, y 2,..., y n ) = 0; внутри рассматриваемой области V является знакоопределенной функцией, т.е. V > 0 или V < 0.

А. М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устойчивости и о неустойчивости. Так для доказательства асимптотической устойчивости строится и исследуется производная по времени функции Ляпунова, которая в силу системы дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, должна быть знакоопределенной функцией противоположного с V знака.

Если найти такую функцию V удастся, то устойчивость нелинейной системы будет доказана, причем устойчивость в "большом". Единого подхода к построению функции V ( y1, y2,..., yn ) не существует, но имеются рекомендации по составлению этой функции для исследования определенного класса систем.

А Какая теорема физики лежит в основе второго метода Ляпунова?

В Какими свойствами должна обладать функция Ляпунова и ее производная по времени, чтобы нелинейная система была устойчива ?

С Как Вы объясните, что второй метод Ляпунова дает устойчивость нелинейной системы в "большом"?

3 Для исследования устойчивости определенного класса нелинейных систем применяют критерий абсолютной устойчивости. Этот критерий относится к группе частотных критериев устойчивости. Рассматриваемая нелинейная система представляет собой замкнутую систему и состоит из линейной части, характеризуемой амплитудно-фазовой характеристикой W (i), и нелинейного элемента со статической характеристикой (x) из подкласса (0, k ), т.е. 0 ( x) / x k, стоящего в отрицательной обратной связи.

Для устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью достаточно выполнения условия, что действительная часть функций Попова (i) положительна.

А Как Вы понимаете абсолютную устойчивость?

В Что представляет собой видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части, и как последняя связана с исходной?

С Дайте геометрическую трактовку критерия абсолютной устойчивости.

1 Для асимптотической устойчивости необходимо, чтобы при t 2 Если нелинейная система второго порядка описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка то состояние равновесия определяется решением следующей системы 3 Линеаризованное уравнение первого приближения записывается в виде 4 Знакоопределенной функцией является функция вида 5 Функция Ляпунова при y1 = y2 =... = yn = 0 принимает значение 6 В фазовом пространстве функция Ляпунова представляет собой 7 Производная от функции Ляпунова по времени в силу системы дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему записывается в виде 8 Критерий абсолютной устойчивости Попова используется для исследования устойчивости нелинейных систем со статическими характеристиками вида 9 Состояние равновесия нелинейной системы будет устойчиво, если на плоскости видоизмененной АФХ W * (i) линейной части, если W * (i) и прямая, проведенная через точку (1 / K, i), расположены следующим образом 10 Функция Попова, используемая в критерии абсолютной устойчивости, записывается в виде

13 АВТОКОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Одной из основных особенностей нелинейных систем, как уже отмечалось в разделе 10, является режим автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие за счет непериодического источника энергии и определяемые свойствами системы. Этот режим принципиально отличается от колебаний линейной системы на границе устойчивости. В линейной системе при малейшем уменьшении ее параметров колебательный процесс становится либо затухающим, либо расходящимся. Автоколебания же являются устойчивым режимом: малые изменения параметров системы не выводят ее из этого режима. Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних воздействий.

Автоколебания в нелинейных системах в общем случае нежелательны, а иногда и недопустимы. Однако, в некоторых нелинейных системах автоколебания являются основным рабочим режимом. Примерами автоколебательных систем являются часы, электрический звонок, всевозможные генераторы;

при определенных условиях автоколебания возникают и в химических реакторах.

Для большинства реальных систем определение автоколебаний является сложной проблемой, являясь в то же время одной из задач исследования нелинейных систем.

При изучении режима автоколебаний необходимо ответить на вопросы, связанные с условиями их возникновения, числом, параметрами автоколебаний и их устойчивостью.

Как известно, на фазовой плоскости автоколебательному режиму соответствует изолированная замкнутая фазовая траектория – предельный цикл. В связи с этим проследить условия возникновения автоколебаний можно на примере возникновения предельного цикла. Существует два режима возникновения автоколебаний, которые называются режимами мягкого и жесткого возбуждения.

Характер возникновения автоколебаний и изменение фазового портрета удобно проследить на примере системы второго порядка.

Пусть при некотором значении какого-либо параметра а системы ее фазовый портрет имеет вид, представленный на рис. 13.1, а. Система устойчива, все фазовые траектории ведут к состоянию равновесия, которым в данном случае является начало координат.

Параметр a можно изменять. Изменяя непрерывно этот параметр систему можно сделать неустойчивой. Допустим, что при значении параметра a = a1 образуется устойчивый предельный цикл бесконечно малых размеров (рис. 13.1, б). При дальнейшем изменении этого Рис. 13.1 Режим мягкого возбуждения возникновения автоколебаний:

а – устойчивое состояние системы; б – образование предельного цикла бесконечно малых размеров; в – распухание предельного цикла параметра предельный цикл будет распухать (рис. 13.1, в), его наличие на фазовой плоскости говорит о возникновении в системе автоколебаний. Подобный режим возникновения автоколебаний называется режимом мягкого возбуждения.

При режиме мягкого возбуждения образуется устойчивый предельный цикл, но состояние равновесия становится неустойчивым. При этом режиме иногда бывает неопасно выходить за пределы области устойчивости, если при этом предельный цикл оказывается достаточно малым. Образующиеся автоколебания имеют малые размеры и находятся в пределах допустимой погрешности, что может оказаться вполне приемлемым для системы регулирования и не несет нежелательных явлений. Иногда же эти автоколебания могут быть даже полезными, так как уничтожают застой в зоне нечувствительности, образованный, например, сухим трением.

Другой характер возникновения автоколебаний в нелинейных системах заключается в следующем.

Также как и в предыдущем случае рассматривается фазовый портрет устойчивой системы (рис. 13.2, а).

Пусть изменяется какой-либо параметр a нелинейной системы, и при некотором его значении a = a образуются как бы "слипшиеся" друг с другом два предельных цикла конечных размеров, а не бесконечно малых (рис. 13.2, б). Один из этих предельных циклов является устойчивым, а другой – неустойчивым. При дальнейшем увеличении параметра a неустойчивый предельный цикл "съеживается", уменьшаясь по размерам, а устойчивый "распухает", увеличиваясь в размерах (рис. 13.2, в). Наконец, при некотором значении параметра a = a2 неустойчивый предельный цикл "съеживается" до минимума и сливается с точкой равновесия (рис. 13.2, г).

В результате остается лишь один предельный цикл, причем устойчивый. Неустойчивый предельный цикл, слипшись с точкой равновесия, как бы заражает ее своей неустойчивостью, и она становится неустойчивой.

а – устойчивое состояние системы; б – образование двух слипшихся предельных циклов; в – изменение размеров предельных циклов;

Подобный режим возникновения автоколебаний, при котором сразу же возникает предельный цикл конечных размеров, называется режимом жесткого возбуждения. При режиме жесткого возбуждения может оказаться опасным сколь угодно малый выход системы за пределы области устойчивости. Значения параметров a1 и a2, при которых качественно изменяется картина фазового портрета называются бифуркационными.

Для определения автоколебаний и их исследования разработаны специальные методы и критерии.

В ряде случаев можно воспользоваться критериями, с помощью которых удается показать, что в фазовом портрете рассматриваемой системы нет замкнутых фазовых траекторий, т.е. в рассматриваемой системе автоколебания отсутствуют. Одним из таких критериев отсутствия замкнутых фазовых траекторий, дающих достаточные условия отсутствия автоколебаний, является критерий Бендиксона, который наиболее прост для практического применения.

Пусть рассматриваемая система описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка где F1 ( y1, y2 ), F2 ( y1, y2 ) – нелинейные функции аналитические на всей фазовой плоскости.

Критерий Бендиксона формулируется следующим образом: если в некоторой области на фазовой плоскости выражение F1 / y1 + F2 / y2 знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий.

В тех случаях, когда критерий Бендиксона не выполняется или не может быть использован, например, функции F1 ( y1, y2 ), F2 ( y1, y2 ) не являются аналитическими, применяются другие методы для определения автоколебательных режимов.

Прежде чем рассмотреть другие методы нахождения автоколебаний, приведем следующий пример на использование критерия Бендиксона.

Пример 13.1 Пусть химический реактор идеального перемешивания, в котором протекает химическая реакция типа A 2 B, описывается следующими уравнениями где y1, y2 – текущие концентрации реагентов в реакторе; y10, y20 – реагентов; – расход; t – время.

Требуется ответить на вопрос: будут или нет автоколебания в химическом реакторе, используя критерий Бендиксона. В соответствии с этим критерием находится выражение Очевидно, что в соответствии с физическим смыслом y1 0, y2 0, т.е. концентрации не могут быть отрицательными, а также > 0, последнее выражение представляет собой знакопостоянную отрицательную функцию. Следовательно, согласно критерию Бендиксона в рассматриваемой системе – химическом реакторе автоколебания существовать не могут.

Этот метод используется для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе и изучения их устойчивости. Суть метода заключается в следующем.

Рассмотрим на фазовой плоскости отдельную фазовую траекторию и какую-либо полупрямую, например Oy1 (рис. 13.3).

В некоторый момент времени фазовая траектория пересечет положительную полуось в точке M 1 с координатой y1. При дальнейшем движении фазовая траектория вновь пересечет положительную полуось, но уже в точке M 2 с координатой y12.

Через каждую точку полуоси Oy1 проходит лишь одна фазовая траектория, поэтому обходу изображающей точки вокруг начала координат соответствует переход произвольной точки полупрямой Oy (точки M 1 ) в другую точку этой же полупрямой (точку M 2 ). Иначе говоря, обходу фазовой траектории вокруг начала координат соответствует точечное преобразование полупрямой Oy1 в саму себя. Очевидно, что положение точки M 2 зависит от M 1, т.е.

где через, обозначены абсциссы точек M 1 и M 2.

Функция = f ( y1 ) называется функцией последования.

В некоторых случаях эту функцию (13.1) удается получить аналитически из исходного дифференциального уравнения системы.

Если при любом y1 получается, что y12 < y1, то в системе будет затухающий процесс, т.е. фазовая траектория – спираль, навивающаяся на начало координат; если y12 > y1, то процесс в системе будет расходящимся.

При y12 = y1 на фазовой траектории будет предельный цикл, который соответствует колебательному режиму в системе. Представим функцию последования f ( y1 ) графически (рис. 13.4).

На этот график наносится прямая y12 = y1. Анализируя взаиморасположение кривой f ( y1 ) и прямой y1 = y1, легко видеть, что если при некотором y1 выполняется равенство y1 = y1 = y1, т.е. f ( y1 ) пересекает прямую y12 = y1, то через точку y* проходит замкнутая фазовая траектория.

Рассматривая взаиморасположение кривой f ( y1 ) и прямой y12 = y1 можно также ответить на вопрос, будут ли устойчивы периодические колебания, соответствующие этой замкнутой траектории.

Пусть в начальный момент времени изображающая точка находится в точке M на некоторой фазовой траектории. При движении по этой траектории переходим к точке с абсциссой y12. Далее y12 преобразуется в y13, y13 – в y14 и т.д. (рис. 13.4.).

Для других начальных условий: абсцисса точки M 1 y1, также строится "лестница" движения от этой точки (рис. 13.4), таким образом получают, что изображающая точка с обеих сторон от "неподвижной" точки y1 приближается к ней. Следовательно, в данном случае на фазовой плоскости будет устойчивый предельный цикл, соответствующий устойчивым автоколебаниям в системе. Величина y1 определяет амплитуду автоколебаний.

Различные случаи точечного преобразования и соответствующие им фазовые портреты представлены на рис. 13.5. На рис. 13.5, а представлена функция последования для системы, имеющей два предельных цикла, из которых один устойчив, а другой неустойчив. Функция последования для системы с полуустойчивым предельным циклом изображена на рис. 13.5, б.

а – наличие устойчивого и неустойчивого предельных циклов;

Рассмотренные методы нахождения автоколебаний и исследования автоколебаний применимы только для систем второго порядка. Однако большинство реальных систем автоматического управления описывается уравнениями более высокого порядка. Наиболее распространенным методом исследования таких систем на практике является метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса был предложен для определения автоколебаний в нелинейной системе Л. С. Гольдфарбом. Этот метод основан на применении частотных характеристик нелинейной системы, получаемых в результате гармонической линеаризации, в связи с чем и применяется для приближенного исследования.

Исследуемая нелинейная система должна быть представима в виде замкнутой системы, состоящей из линейной части, характеризуемой амплитудно-фазовой характеристикой – Wл (i) и объединяющей все линейные элементы системы, и нелинейного звена с характеристикой yнэ = F ( y ) (рис. 13.6).

К нелинейному элементу предъявляется единственное требование, что он не должен быть частотопреобразующим. Нелинейность может быть как статической, так и динамической.

Линейная часть должна быть фильтром высоких частот. Подобное упрощение для большинства промышленных систем регулирования не несет значительных ошибок.

Для применения метода гармонического баланса звено должно быть линеаризовано методом гармонической линеаризации, при котором не учитываются старшие гармонические составляющие на выходе этого звена. Если на вход этого звена подается гармонический сигнал частоты 0, то на его выходе устанавливаются колебания, содержащие сумму гармоник с частотой 0, 20, 30,.... Каждая из этих гармоник поступает на вход линейной части и, проходя через нее, изменяет свою амплитуду в M л (k0 ) раз, где M л () – амплитудно-частотная характеристика линейной части. Но для того, чтобы выполнялась для линейной части гипотеза фильтра высокой частоты, АЧХ линейной части должна удовлетворять условию M л (0 ) >> M л (20 ), т.е. АЧХ должна быть одной из видов, представленных на рис. 13.7.

рис. 13.7, а, называется характеристикой типа фильтра. Система с такой характеристикой не пропускает высокие частоты. Другой вид АЧХ (рис. 13.7, б) относится к характеристикам резонансного типа. Система пропускает здесь ряд частот, отличных от 0, но эти частоты Рис. 13.7 Амплитудно-частотные характеристики линейной части:

незначительно отклоняются от 0, остальные не проходят. Таким образом, выходной сигнал линейной части будет практически содержать лишь первую гармонику с частотой 0.

Рассматриваемая нелинейная система заменяется линеаризованной системой, в которой нелинейное звено заменено линеаризованным и описывается эквивалентной амплитудно-фазовой характеристикой Wнэ (iA).

Так как автоколебания представляют собой незатухающие колебания в нелинейной системе, то в замкнутой линеаризованной системе возникновение незатухающих колебаний за счет первой гармоники возможно только в единственном случае, когда эта система находится на границе устойчивости. В этом случае характеристическое уравнение замкнутой системы должно иметь пару чисто мнимых корней. В соответствии с критерием Найквиста амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы Wрс (i, A) = Wл (i)Wнэ (iA) должна проходить через точку с координатами ( 1, i0). Следовательно, или Уравнение (13.2) сводится к следующим двум уравнениям Уравнения (13.2), а также (13.3) определяют амплитуду Aa и частоту a периодического решения, т.е. гармонический сигнал после прохождения нелинейного звена и линейной части должен иметь на входе в нелинейное звено опять ту же частоту и амплитуду. Если решение ( Aa, a ) системы (13.3) будет действительное положительное, то в рассматриваемой системе возможны автоколебания с частотой a и амплитудой Aa.

На практике уравнение (13.2) обычно решается графически. Для этого на комплексной плоскости с координатами Re(), i Im() вычерчиваются амплитудно-фазовая характеристика линейной части Wл () и инверсная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена с обратным знаком Z нэ (iA) (рис. 13.8). Точка пересечения этих кривых свидетельствует о том, что решение системы (13.2) существует (рис. 13.8, а), а значит в рассматриваемой системе возможны а – автоколебания существуют – точка M; б – автоколебания не существуют колебания, следовательно, в исходной нелинейной системе возможны автоколебания, параметры которых определяются координатами точки M пересечения годографов Wл (i) и Z нэ (iA). Амплитуда автоколебаний определяется по Z нэ (iA), а частота – по Wл (i). Если кривые Wл (i) и Z нэ (iA) не пересекаются (рис. 13.8, б), то в рассматриваемой:

системе автоколебания отсутствуют.

Графическое решение уравнения (13.2) позволило формально найти периодическое решение, так как физически возможны лишь устойчивые периодические колебания. В связи с этим возникает еще проблема исследования устойчивости найденных автоколебаний. Для исследования устойчивости автоколебаний метод гармонического баланса предполагает применение критерия, вытекающего из критерия Найквиста.

нелинейного элемента т.е. Wл (i) < Z нэ (iA) и, следовательно Wрс (i, A) < 1 (АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами ( 1, i0) ), то замкнутая система будет устойчивой.

Если АФХ линейной части охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента, Wл (i) > Z нэ (iA), (АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами (1, i0)), то замкнутая сисWрс (i, A) > тема будет неустойчивой.

Наличию автоколебаний в нелинейной системе соответствует факт нахождения линеаризованной системы на границе устойчивости, поэтому для исследования их устойчивости предполагается, что под действием возмущений линеаризованная система сдвигается с границы устойчивости. Последующее движение системы оценивается по приведенному выше аналогу критерия Найквиста.

(рис. 13.9, а). В результате действия возмущений система сместилась в точку M1, которой соответствует новое состояние нелинейной системы, характеризующееся возрастанием амплитуды в случае движения по кривой Z нэ (iA) вправо. Точка M 1 находится вне АФХ линейной части, следовательно, согласно аналогу критерия Найквиста система в этом случае будет вести себя как устойчивая, тогда колебания в ней будут затухать, т.е. амплитуда колебаний будет уменьшаться. Последнее через некоторое время приведет к тому, что амплитуда колебаний станет равной исходной амплитуде автоколебаний Aa, т.е. система вернется в состояние, характеризуемое точкой M.

Если по какой-либо причине амплитуда в системе уменьшится, новому состоянию системы будет соответствовать точка M 2, находящаяся внутри АФХ линейной части. В этом случае, применяя аналог критерия Найквиста, видно, что здесь система ведет себя как неустойчивая система. Амплитуда колебаний, следовательно, будет возрастать, но не до бесконечности, а до амплитуды автоколебаний Aa. Таким образом, система опять вернется в состояние, соответствующее режиму автоколебаний – точку M.

Следовательно, во всех случаях происходит возврат системы в режим автоколебаний, что и говорит о том, что автоколебания будут устойчивыми.

На рис. 13.9, б изображены годографы АФХ линейной части и инверсной АФХ нелинейного элемента с обратным знаком, соответствующие неустойчивым колебаниям в системе. Режиму автоколебаний соответствует точка M. Если отклонение от этого режима приводит а – устойчивые автоколебания; б – неустойчивые автоколебания в состояние, характеризуемое точкой M 1, то в силу критерия Найквиста эта точка не охватывает АФХ линейной части, следовательно, система будет вести себя как устойчивая. Колебания в такой системе затухают, т.е. амплитуда уменьшается, и движение будет происходить по кривой Z нэ (iA), удаляясь от точки M. Если же в силу действующих возмущений произойдет увеличение амплитуды колебаний, и система примет состояние, отвечающее точке M 2, которая охватывает АФХ линейной части, то в силу критерия устойчивости система будет вести себя как неустойчивая. Амплитуда колебаний будет возрастать, и движение будет происходить по кривой Z нэ (iA) в сторону противоположную от точки M. Здесь возврат в точку M невозможен. Таким образом, расположение кривых Wл (i) и Z нэ (iA) на рис. 13.9, б соответствует случаю, когда автоколебания в системе неустойчивы.

Подводя итог, следует отметить, что применение метода гармонического баланса сводится к гармонической линеаризации нелинейного элемента, построению Рис. 13.10 Статическая характеристика трехпозиционного Z нэ (iA) = A / 4c A b. На рис. 13.11 приведены Z нэ (iA). Эти характеристики пересекаются в двух точках M1 и M 2. Точка M1 со-ответствует неустойчивым колебаниям, а M 2 – устойчивым, параметры которых a 0,375 с 1, Aa 3, если k л = 1, T = 10 c, = 5 c, c = 25, b = 1.

1 Одной из особенностей нелинейных систем является режим автоколебаний, которые могут быть устойчивыми и неустойчивыми. На фазовой плоскости режиму автоколебаний соответствует замкнутая кривая, называемая предельным циклом. Существуют два режима возникновения автоколебаний: режим мягкого и режим жесткого возбуждения.

А На какие вопросы необходимо ответить при изменении автоколебаний?

В Чем режим мягкого возбуждения отличается от режима жесткого возбуждения?

С Какие автоколебания называются устойчивыми?

2 Для исследования режима автоколебаний применяют различные критерии и методы. Так критерий Бендиксона позволяет ответить на вопрос о существовании в системе замкнутых фазовых траекторий, т.е. автоколебаний.

Для качественного исследования хода фазовых траекторий, выявления автоколебаний в системе и изучения их устойчивости используется метод точечного преобразования.

А В соответствии с критерием Бендиксона в рассматриваемой области не существует фазовых траекторий при выполнении определенных условий. Сформулируйте эти условия В Какая функция называется функцией последования?

С Каким образом в соответствии с методом преобразования можно определить в системе существующий режим?

3 Для исследования режима автоколебаний в системах высокого порядка используется метод гармонического баланса, являющийся приближенным методом. Исследуемая нелинейная система должна быть представлена в виде замкнутой системы, состоящей из нелинейной части с АФХ Wл (i) и нелинейного звена с характеристикой yнэ = f ( y ), допускающего гармоническую линеаризацию. Для ответа на вопрос о существовании в системе автоколебаний графически решается уравнение Wл (i) Wнэ (iA) = 1. Если АФХ линейной части пересекается с инверсной АФХ нелинейной части Z нэ (iA) = 1 / Wнэ (iA), то в системе существуют автоколебания, в противном случае не существуют. При существовании автоколебаний определяют их параметры – частоту и амплитуду и, используя аналог критерия Найквиста, отвечают на вопрос об устойчивости автоколебаний.

А Какими свойствами должна обладать линейная часть нелинейной системы, чтобы можно было применить к исследованию режима автоколебаний метод гармонического баланса?

В Какой факт лежит в основе доказательства существования в нелинейной системе автоколебаний?

С Сформулируйте аналог критерия Найквиста для исследования устойчивости автоколебаний.

1 В каком из трех случаев автоколебания устойчивы 2 При режиме жесткого возбуждения возникновения автоколебаний образуются А два слипшихся друг с другом предельных цикла конечных размеров;

В два предельных цикла, один из которых бесконечно мал, а второй имеет конечные размеры;

С два бесконечно малых предельных цикла.

3 В критерии Бендиксона исследуется выражение 4 В критерии Бендиксона исследуемое выражение должно быть А знакопеременным;

В знакоопределенным;

С знакопостоянным.

5 В результате исследования режима автоколебаний методом точечного преобразования получили следующую функцию последования.

В результате построения функции последования получим y12 > y1, что свидетельствует о том, что в системе будет процесс А колебательный;

В расходящийся;

С затухающий.

7 Согласно метода гармонического баланса в нелинейной системе существует режим автоколебаний, если АФХ линейной части и инверсная АФХ нелинейного элемента расположены следующим образом 8 Параметры автоколебаний определяются из следующей системы уравнений 10 Основное уравнение, используемое в методе гармонического баланса, имеет вид

14 КАЧЕСТВО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

14.1 Методы определения качества регулирования нелинейных систем Вблизи границы устойчивости качество процесса регулирования ухудшается, это обстоятельство дает полагать, что любой критерий устойчивости может послужить основой для выработки тех или иных оценок качества процесса.

В линейных системах все критерии устойчивости устанавливают неравенство, дающее условия нахождения всех корней характеристического уравнения слева от мнимой оси. Как известно, одним из таких показателей является степень устойчивости, но на практике качество оценивается по иным прямым показателям качества, с которыми устанавливается связь через степень устойчивости.

С помощью критерия Попова понятие степени устойчивости может быть использовано и для нелинейных систем.

Говорят, что нелинейная система обладает затуханием или степенью устойчивости 0 не меньше заданной, если для отклонения процесса (t ) от вынужденного или отклонения координат от положения равновесия при любых t остается справедливым неравенство где M – const.

Чтобы неравенство (14.1) могло иметь место при любых t, необходимо, чтобы Если этот предел будет равным нулю, т.е. lim (t )e = 0, то это означает, что (t ) 0 быстрее, чем e 0t.

По аналогии с линейными системами для оценки качества нелинейной системы можно применить интегральную квадратичную оценку где y – выходная координата нелинейного элемента.

В общем виде определить или оценить величину интеграла (14.3) не представляется возможным.

Но, если наложить некоторые ограничения на класс нелинейных функций F (x), то оценка величины интеграла становится возможной.

Дополнительное ограничение, налагаемое на функцию F (x), сводится к следующему.

Рассматривается класс функций, удовлетворяющих условию Касательная, проведенная из начала координат F (x), имеет угловой коэффициент k0, причем k0 < k2, и кривая F (x) лежит ниже касательной во всех точках, кроме точки касания (рис. 14.1).

Для введения оценки выбирается промежуточный параметр k1, заключенный между k0 и k2 :

причем Оценка:

f н – преобразованная по Фурье; – выбирается как можно меньшей, в пределе это может быть угловой коэффициент касательной, проведенной из точки ( 1 / k0, i0) к видоизмененной частотной характеристике системы.

Таким образом, оценка (14.5) сводится к выражению, которое всегда может быть определено путем интегрирования графика функции F (x) в заданных пределах и вычисления интеграла Оценка (14.5) дает удовлетворительные результаты, если k1 достаточно отличается от k0. Если эти величины близки, пользоваться оценкой не имеет смысла.

1 В нелинейных системах для исследования качества регулирования используют критерии устойчивости, из которых выводят такой показатель как степень устойчивости. Также для оценки качества регулирования используют интегральные критерии качества.

А В каком виде записывается интегральный квадратичный критерий?

В Какие ограничения накладываются на нелинейную функцию y = F (x) при расчете интегральных 1 Для затухания системы необходимо, чтобы выполнялось условие 2 Для расчета интегрально-квадратичного критерия качества используют:

А Эквивалентную АФХ нелинейного элемента.

В Статическую характеристику нелинейного элемента.

С Инверсную частотную характеристику нелинейного элемента.

15 РЕШЕНИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ

1 А Совокупность технических средств, выполняющих некоторый процесс, называется объектом управления. Примером объекта управления, например, является процесс ректификации, центрифуга и др.

В Входные переменные являются управляющими, если они служат для поддержания управляемой переменной в соответствии с некоторым законом управления.

С Переменная, которую необходимо поддерживать в соответствии с некоторым законом управления, называется управляемой.

2 А В АСР, изображенной на рис. 1.2, реализованы принципы регулирования по отклонению и по возмущению.

В Если регулятор изменяет регулирующее воздействие при отклонении регулируемой переменной = y(t) – yзад), то такой принцип регулирования называется регулированием по отклонению, y(t) называется отклонением или ошибкой управления.

С Наиболее эффективной является комбинированная система регулирования.

3 А Линейная система относится к классу систем по основным видам уравнений динамики процессов управления.

В Класс "характер функционирования" делится на:

а) системы стабилизации;

б) системы программного регулирования;

в) следящие системы;

г) системы оптимального управления;

д) адаптивные системы.

С Класс "характер подачи сигналов" подразделяется на:

а) непрерывные системы;

б) дискретные системы, в которых выделяют импульсные, релейные, цифровые.

1 А Сигнал называется регулярным, если его математическим представлением является заранее заданная функция времени.

В Существуют временное и частотное представления сигналов.

С К основным типам регулярных сигналов относятся: периодический, почти периодический и непериодический.

2 А Преобразованием Фурье называется оператор В Характерными свойствами спектра периодического сигнала являются:

а) спектры всегда дискретны, частоты основных гармоник кратны основной частоте;

б) чем больше период сигнала T, тем "гуще" спектр; при T получают непериодическую функцию;

в) с уменьшением длительности импульсов при постоянном периоде амплитуды гармоник уменьшаются, а спектр становится "гуще";

г) если с уменьшением длительности прямоугольных импульсов увеличивать амплитуды по закону A0 = 1/, то их последовательность стремится к последовательности дельта-функций, а амплитудный спектр – к постоянному для всех частот значению Аn = 1/Т.

С Спектральной характеристикой непериодической функции называется величина где А – бесконечно малые амплитуды периодической функции.

3 А Дельта-функцией называется функция, удовлетворяющая условиям:

В Сигнал в виде единичного скачка на исследуемом объекте подают путем резкого открытия вентиля, чтобы расход подаваемого вещества изменялся скачком на единицу.

С Гармонический сигнал характеризуется амплитудой, периодом и фазой.

1 А Уравнениями статики называются уравнения, описывающие поведение системы регулирования в установившемся режиме при постоянных воздействиях.

Статической характеристикой объекта (системы) называется зависимость выходной величины от входной в статическом режиме.

В Уравнениями динамики называются уравнения, описывающие поведение системы регулирования при неустановившемся режиме и произвольных входных воздействиях.

С Гидравлический резервуар, электрическая емкость, непрерывный химический реактор полного перемешивания описываются обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами первого порядка.

2 А Для доказательства линейности системы проводят эксперимент, состоящий из трех опытов:

1 опыт: на вход системы подается входной сигнал x1(t) и определяется выходная координата y1(t) в установившемся режиме;

2 опыт: на вход системы подается другой сигнал x2(t) и определяется координата y2(t);

3 опыт: на вход системы подается сигнал, равный сумме входных сигналов x3(t) = x1(t) + x2(t), и определяется выходная координата y3(t). Далее проверяется выполнение соответствия y3(t) = y1(t) + y2(t) для любого момента времени. Если оно выполняется, то выполняется принцип суперпозиции, и система, следовательно, является линейной.

В Основными динамическими характеристиками, используемыми в теории автоматического управления, являются: передаточная функция, дифференциальное уравнение, переходная функция, весовая функция, частотными характеристикими: амплитудно-фазовая, амплитудно-частотная, фазочастотная, вещественно-частотная.

С Схема расчета динамики с помощью временных характеристик состоит из следующих этапов:

1) выбирается стандартный сигнал на входе 2) входной сигнал произвольной формы представляется как суперпозиция стандартных сигналов 3) определяется реакция системы на стандартные сигналы 4) выходной сигнал y(t) определяется как суперпозиция выходных сигналов yi(t):

3 А Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию x(s) другой переменной s при помощи оператора L[ x(t )] = x( s ) = x(t )e st dt. Основными свойствами преобразования Лапласа являются следующие:

г) теорема запаздывания x(t ) = e s x( s) и др.

С Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выходного сигнала y(s) к преобразованному по Лапласу входному сигналу x(s) при нулевых начальных условиях.

1 А Основными свойствами конформного отображения являются:

а) линия одной комплексной плоскости отображается в линию другой комплексной плоскости;

б) бесконечно малый угол отображается в такой же бесконечно малый угол, углы сохраняются;

в) треугольник одной комплексной плоскости отображается в такой же или подобный треугольник другой комплексной плоскости, направление обхода сохраняется;

г) внутренняя область одного треугольника преобразуется во внутреннюю область другого треугольника.

В Re() = M() cos (); Im() = M() sin ().

2 А Экспериментально получают АЧХ и ФЧХ. АЧХ представляет собой отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала. ФЧХ – разность фаз выходного и входного сигнала.

3 А Весовая функция представляет собой обратное преобразование Фурье от АФХ w(t ) = W (i) e it d.

В Если h(t) – переходная функция, то W(i) = (i) h(i).

1 А Обыкновенными дифференциальными уравнениями описываются апериодическое звено первого порядка, апериодическое звено второго порядка, колебательное звено.

В У реальных звеньев АЧХ M() 0 при. У идеально-дифференцирующего звена M() при, его неосуществимость также видна из временных характеристик, так как h(t) = (t), а w(t) = (t).

С Типовые звенья подразделяются на:

а) статические, у которых статическая характеристика отлична 2 А Для одноконтурной системы автоматического регулирования можно записать передаточные функции по каналу регулирования, по каналу возмущения, по каналу ошибки.

В При последовательном соединении:

При параллельном соединении:

С Без дополнительных преобразований производится перенос узла через узел и перенос сумматора через сумматор.

3 А Физически не реализуем Д-закон регулирования.

В Введение в закон регулирования дифференциальной составляющей увеличивает быстродействие регулятора.

С Знак "–" у передаточных функций регулятора учитывает тот факт, что регулятор включается в систему по принципу отрицательной обратной связи.

1 А Система, которая после снятия возмущения принимает новое состояние равновесия, отличное от первоначального, называется нейтральной.

В Система автоматического управления не устойчива, так как один из корней S4 положительный.

С Система автоматического регулирования, у которой корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, устойчива.

2 А Необходимое условие устойчивости является и достаточным для систем, описывающихся обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка.

В В соответствии с критерием Гурвица система устойчива: 1 = 4 > 0; 2 = 5 > 0; 3 = 5 > 0.

С Для исследования устойчивости с помощью критерия Рауса необходимо располагать уравнением, которое описывает систему автоматического управления.

3 А Если разомкнутая система не устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, системы.

В В соответствии с критерием Михайлова система автоматического управления не устойчива, так как корни не являются действительными чередующимися между собой.

С В соответствии с критерием Найквиста система устойчива, так как АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (–1, i0).

1 А Синтез устойчивых систем базируется на критерии устойчивости Найквиста.

В Граница устойчивости для систем автоматического регулирования, с регуляторами, имеющими два настроечных параметра, строится в плоскости параметров настройки s1 – s0 (ПИ-регулятор) или s2 – s1 (ПД-регулятор) по уравнению Wоб (ip )Wp (ip, s0, s1 ) = 1 или Wоб (ip ) Wp (ip, s1, s2 ) = 1 соответственно.

С Задача синтеза систем регулирования с П- или И-регулятором решается однозначно, так как имеются два уравнения и два неизвеcтных p и s1 (или s0).

2 А К корневым показателям оценки запаса устойчивости относятся степень устойчивости и степень колебательности.

В Показатель колебательности – это максимум АЧХ замкнутой системы.

С Корневые оценки запаса устойчивости вводятся в рассмотрение через расширенные амплитуднофазовые характеристики.

3 А Если запас устойчивости оценивается показателем колебательности М, то замкнутая система обладает заданным запасом устойчивости, если АФХ разомкнутой системы касается окружности радиуса r = M / (M 2 – 1) с центром в точке l = M 2/ (M 2 – 1).

В Задача определения настроек регуляторов ПИ и ПД на заданный запас устойчивости решается неоднозначно. Задача имеет бесконечное множество решений.

С Структурно-неустойчивыми называются системы, которые не могут стать устойчивыми ни при каких комбинациях значений их параметров.

1 А Прямыми показателями качества являются показатели, которые позволяют непосредственно по кривой переходного процесса оценивать качество регулирования. К ним относятся статическая ошибка регулирования, динамическая ошибка регулирования, время регулирования, перерегулирование, степень затухания.

В Для оценки качества регулирования колебательных переходных процессов используется степень колебательности.

С Положительным фактором использования интегральных критериев качества является получение общей оценки быстродействия и отклонения регулируемой величины от установившегося значения.

2 А Если ВЧХ представима суммой и каждой составляющей соответствует переходный процесс, то и переходный процесс представляется суммой составляющих.

В Если ВЧХ на оси ординат увеличивается в раз, то и переходный процесс увеличивается в раз.

С Конечное значение переходного процесса равно начальному значению ВЧХ; начальное значение переходного процесса равно конечному значению ВЧХ.

1 А Синтез функциональной структуры заключается в выборе конкретных элементов и согласовании их характеристик.

В К точным методам расчета параметров настроек регуляторов относятся метод РАФХ и графоаналитический метод.

С Расчет параметров настроек регуляторов называется параметрическим синтезом.

2 А Оптимальными параметрами настроек регуляторов согласно методу РАФХ являются настройки, обеспечивающие заданную степень колебательности и минимум квадратичного интегрального критерия.

В Качество регулирования в методе РАФХ оценивается квадратичным интегральным критерием.

С Для регуляторов с двумя настроечными параметрами оптимальным настройкам соответствует точка, лежащая на кривой заданной степени колебательности в плоскости настроечных параметров, в которой квадратичный интегральный критерий минимален.

3 А В графоаналитическом методе запас устойчивости оценивается показателем колебательности.

В Качество регулирования в графоаналитическом методе оценивается с помощью критерия оптимальной фильтрации, заключающегося в наилучшем приближении АЧХ реальной системы к АЧХ идеальной системы на низких частотах и, в частности, при = 0. Условия оптимальности записываются в виде:

– относительно возмущающего воздействия – относительно управляющего воздействия С Точка, соответствующая оптимальным настройкам ПИ-регу-лятора, находится в точке касания касательной, проведенной из начала координат к кривой заданного запаса устойчивости в плоскости параметров настроек Ти – Kп (время изодрома – коэффициент передачи).

1 А Для доказательства нелинейности системы автоматического управления проводят эксперимент, состоящий из трех опытов. В первом опыте на вход нелинейной системы подается входной сигнал x1 и в установившемся режиме фиксируется сигнал y1 = f ( x1 ) на выходе системы. Во втором опыте подается входной сигнал x2 и фиксируется выходной сигнал y2 = f ( x2 ). В третьем опыте на вход системы подается сигнал x3, равный сумме первых двух, т.е. x3 = x1 + x2 и аналогичным образом фиксируется сигнал y3 = f ( x3 ). После завершения эксперимента необходимо проверить выполнение принципа суперпозиции:

y3 = y1 + y2. Для нелинейной системы принцип суперпозиции не имеет места, т.е. в результате сравнения получают неравенство y3 y1 + y2, что и подтверждает нелинейность системы.

В Статические нелинейности – это нелинейности статических характеристик. Выходная переменная статических нелинейных звеньев в каждый момент времени зависит только от значения входной переменной в тот же момент времени и не зависит от того, как эта входная переменная изменялась до рассматриваемого момента времени. Вход и выход нелинейного звена связаны между собой нелинейной статической характеристикой.

Динамические характеристики – это нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих звено, например, С Типовыми нелинейными элементами, которые также называются типовыми нелинейными звеньями, являются звено с зоной нечувствительности, усилительное звено с зоной насыщения, двухпозиционное реле и др.

2 А Статические характеристики типовых нелинейных элементов, а также большинства других нелинейных элементов, не относящихся к типовым, представляют собой кусочно-линейные функции. При подаче на вход элементов гармонического сигнала в зависимости от его амплитуды будет работать либо вся статическая характеристика, либо ее часть. Например, при исследовании звена с зоной насыщения – B при малых амплитудах A B звено будет вести себя как линейное, а при больших амплитудах входного сигнала A > B – как нелинейное. Таким образом, частотные характеристики, называемые для нелинейных элементов эквивалентными, зависят как от частоты, так и амплитуды входного сигнала Wнэ (i, A), для нечастотопреобразующих элементов частотные характеристики зависят только от амплитуды входного сигнала Wнэ (i, A).

дифференциальным уравнением y ( n ) (t ) = F ( y ( n 1) (t ),..., y (t ), y (t )). Состояния равновесия определяются решением уравнения F (0, 0,..., y(t ), y (t )), которое является нелинейным и имеет несколько решений, количество которых определяется характером нелинейности, следовательно, и состояний равновесия будет несколько.

С В нелинейных системах могут наблюдаться незатухающие колебания, обусловленные внутренними свойствами системы, которые получили название автоколебаний.

3 А Нелинейность называется слабой, если она может быть заменена линейным элементом без изменения принципиальных особенностей системы. Для линеаризации таких нелинейностей применяют разложение статической характеристики yнэ = f нэ ( x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0, считая после этой операции где a = f нэ ( x0 ), b = f нэ ( x0 ) f нэ ( x0 ) x0 ; x0 – любая точка рассматриваемой области.

Процессы в полученной линеаризованной системе не должны качественно отличаться от процессов в реальной системе.

В Гармоническая линеаризация применяется к нелинейным системам, характеризуемым неаналитическими, разрывными и неоднозначными нелинейностями. Кроме того, рассматриваемые нелинейные системы должны быть нечастотопреобразующими, на выходе иметь периодические колебания и для них должна выполняться гипотеза фильтра. При выполнении всех перечисленных условий выходной периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье, оставив в результате проведения линеаризации только первые гармоники.

С В результате проведения гармонической линеаризации нелинейной системы в рассмотрение вводятся частотные характеристики, получившие название эквивалентных, так как они получены для линеаризованной системы: эквивалентная амплитудно-частотная характеристика M нэ ( A), эквивалентная фазочастотная характеристика нэ ( A), эквивалентная амплитудно-фазовая характеристика Wнэ (iA). В соответствии с определением частотных характеристик 1 А Особая траектория, представляющая собой изолированную замкнутую кривую, называется предельным циклом. Предельный цикл может быть устойчивым, если все фазовые траектории на него "наматываются", и неустойчивым, если фазовые траектории с него "сматываются", уходя в бесконечность.

В Сепаратриса – особая траектория, представляющая собой кривую, разделяющую фазовый портрет на области с различным характером фазовых траекторий.

С Типичный фазовый портрет нелинейной системы состоит из областей с различным характером фазовых траекторий, разделенных между собой сепаратрисами. В каждой области характер фазовой траектории определяется особой точкой.

2 А Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс.

В При построении фазового портрета методом изоклин необходимо знать систему дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, для которой строится фазовый портрет.

С Метод изоклин имеет невысокую точность и носит качественный характер, так как фазовая траектория определяется по направлению касательных к ней; начальная точка определяется произвольно.

3 А Построение фазового портрета методом припасовывания производится в следующей последовательности:

– выбираются или задаются начальные условия;

– интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали начальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

– производится припасовывание начальных условий.

В При построении фазовых портретов методом сшивания фазовые траектории линейных участков "сшиваются" желаемым образом, т.е. на границе конечные значения не принимаются за начальные для граничащих участков. Конечные значения предыдущего участка рассчитываются – какие получились, такие получились, а начальные условия для последующего участка задаются желаемым образом.

С Метод "сшивания" используется при построении фазовых портретов систем с переменной структурой. При переходе изображающей точки через границы заранее установленных областей, система изменяет свою структуру.

1 А Движение называется невозмущенным, если оно получено в результате рассмотрения идеализированной системы. Движение с учетом возмущений, возникающих в реальной системе, называется возмущенным.

В Смысл понятия устойчивости движения по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге точки M 0 от M 0, точка M * в последующем движении достаточно близка к M. Если эти точки будут неограниченно сближаться, то траектория возмущенного движения будет возвращаться на траекторию невозмущенного движения, и тогда такое движение будет называться асимптотически устойчивым.

С Первый метод Ляпунова включает три теоремы:

1 Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы устойчиво по Ляпунову.

2 Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы неустойчиво по Ляпунову.

3 Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.

2 А В основе второго метода Ляпунова лежит теорема Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум.

В Для того, чтобы доказать, что нелинейная система устойчива, необходимо построить функцию V ( y1, y2,..., y n ), которая должна быть знакоопределенной функцией, а ее производная по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, знакопостоянной функцией противоположного с V знака или тождественно равна нулю.

С Второй метод Ляпунова доказывает устойчивость нелинейной системы в "большом". Для подтверждения этого факта рассматривается геометрическая иллюстрация. Пусть V ( y1, y 2,..., y n ) знакоопределенная положительная функция V > 0, тогда ей в фазовом пространстве соответствуют эллипсоиды, причем каждый последующий содержит внутри себя целиком предыдущий. Производная по времени от этой функции dV / dt < 0, что свидетельствует о том, что изображающая точка перемещается по фазовой траектории на внутреннюю поверхность, неограниченно приближаясь к состоянию равновесия, она уже никак не может выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые проникла. Как только dV / dt = 0, то изображающая точка останавливается на соответствующей поверхности, что и доказывает устойчивость в "большом".

3 А Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для всех характеристик (x), принадлежащих определенному классу.

В Видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика W * (i) линейной части получается из исходной W (i) по следующим соотношениям:

С Для геометрической трактовки критерия абсолютной устойчивости рассматривается плоскость видоизмененной частотной характеристики W * (i) линейной части системы. Для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы на плоскости АФХ W * (i) можно было провести прямую через точку (1 / K ; i0) так, чтобы W * (i) целиком располагалась справа от этой прямой.

1 А При изучении режима автоколебаний необходимо ответить на вопросы: существуют автоколебания или нет; если существуют, то устойчивы они или нет, и каковы параметры автоколебаний – частота и амплитуда.

В В режиме мягкого возбуждения при значении a1, характеризующем нелинейную систему и который можно изменять, образуется устойчивый предельный цикл бесконечно малых размеров, который начинает распухать, достигая в конце концов конечных значений. При режиме жесткого возбуждения образуются как бы слипшиеся друг с другом два предельных цикла конечных размеров, один из них устойчив, другой – нет. Дальнейшее изменение параметра a позволяет неустойчивый предельный цикл сжать до точки, а устойчивый будет распухать, увеличиваясь в размерах.

В обоих случаях состояние равновесия будет неустойчивым, а автоколебания – устойчивыми.

С Автоколебания будут устойчивыми, если на фазовой плоскости на соответствующий им предельный цикл фазовые траектории наматываются.

2 А Критерий Бендиксона используется для ответа на вопрос о существовании в рассматриваемой системе режима автоколебаний. Так для нелинейной системы второго порядка, описываемой системой дифференциальных уравнений где F1 ( y1, y2 ), F2 ( y1, y 2 ) – нелинейные аналитические функции на всей фазовой плоскости, исследуется выражение. Если это выражение знакопостоянно, то в этой области замкнутых фазовых траекy1 y торий не существует, т.е. не существует режима автоколебаний.

В Функция y12 = f ( y1 ) называется функцией последования. Здесь y1 – значение фазовой координаты y1 при первом пересечении положительной полуоси y1 ; y1 – значение фазовой координаты y1 при втором пересечении.

С Для определения в нелинейной системе существующего режима анализируются значения фазовой координаты y1 при ее пересечении фазовой траекторией. Если y1, y12 – значения фазовой координаты при первом и втором пересечении ее фазовой траекторией, то при y1 = y12 на фазовой траектории будет предельный цикл, соответствующий режиму автоколебаний. Если же y1 < y12, то в системе будет наблюдаться затухающий процесс, а при y1 > y12 процесс в системе будет расходящимся.

3 А Для применения метода гармонического баланса линейная часть нелинейной системы должна быть фильтром высоких частот и описываться амплитудно-фазовой характеристикой Wл (i). Амплитудночастотная характеристика должна удовлетворять условию M л (0 ) >> M л (20 ).

В В основе доказательства существования в системе автоколебаний лежит тот факт, что исходная нелинейная система заменяется линеаризованной системой, в которой возникновение незатухающих колебаний возможно только в единственном случае, когда эта система находится на границе устойчивости. В этом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы согласно критерию Найквиста должна проходить через точку (1; i0), т.е. Wл (i)Wнэ (iA) = 1.

С Аналог критерия Найквиста для исследования устойчивости автоколебаний формулируется следующим образом: если АФХ линейной части не охватывает инверсную АФХ нелинейного элемента, т.е.

Wл (i) < Z нэ (iA), то замкнутая система будет устойчивой.

1 А Интегральный квадратичный критерий для нелинейных систем записывается в виде где y = F ( x(t )) – характеристика нелинейного элемента.

В На класс нелинейных функций F (x) накладываются ограничения вида 0 < < k 2 с целью выx числения интеграла качества, так как в самом общем виде оценить его не представляется возможности.

С Говорят, что нелинейная система обладает затуханием или степенью устойчивости 0 не меньше заданной, если для отклонения процесса (t ) от вынужденного или отклонения координат от положения равновесия при любых t остается справедливым неравенство (t ) = y (t ) y1 (t ) Me 0t, где M const.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Алексеев А. А., Имаев Д. Х., Кузьмин Н. Н., Яковлев В. Б. Теория управления: Учебник. СПб.:

ЛЭТИ, 1999. 435 с.

2 Софиева Ю. Н., Софиев А. Э. Теория автоматического управления. М.: МИХМ, 1975. 165 с.

3 Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под ред. В. А. Бесекерского. М.: Наука, 1978. 512 с.

4 Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. А. Во-ронова. М.: Высшая школа, 1986.

367 с.

5 Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред. А. А. Во-ронова. М.: Высшая школа, 1986.

504 с.

6 Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления: Учебное пособие для вузов. М.:

Наука, 1986. 616 с.

7 Лукас В. А. Теория автоматического управления. М.: Недра, 1990. 416 с.

8 Попов В. Л. Теория линейных систем регулирования и управления. М.: Наука, 1989. 304 с.

9 Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования. М.: Энергия, 1973. 440 с.

10 Теория автоматического управления: Сборник задач и контрольных вопросов / Сост. Ю. Н. Софиева. М., 1974. 92 с.

11 Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. 744 с.

12 Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1985. 296 с.

13 Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. М.: Госэнергоиздат, 1956. 264 с.

14 СТЕФАНИ Е. П. ОСНОВЫ РАСЧЕТА НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ И ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. М.: ЭНЕРГОИЗДАТ, 1982. 352 С.

15 Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1989. 389 с.

16 Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. В. Не-тушила. М.: Высшая школа, 1978.

424 с.

17 Теория автоматического управления. Ч. 2 / Под ред. А. В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1972.

432 с.

18 Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1998. 256 с.

19 Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Линейные системы автоматического регулирования. Тамбов:

Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001. 264 с.